实验数学三：MATLAB在线性代数中的应用

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Matlab在线性代数教学中的应用研究

线性代数作为高等院校一门重要的基础数学课程［１－２］，在自然科学、工程技术和管理科学等诸多领域有着广泛的应用．但长时间以来，线性代数课程的重要作用并没有得到充分体现，学生没有认识到线性代数和实际工作的联系，该课程的教学效率低，教学效果差．为提高线性代数课程的教学质量，让学生认识到线性代数和实际应用问题的联系，会用线性代数解决后续课程中出现的一些问题，引入计算机辅助线性代数教学是必要的．本文从传统线性代数教学的不足及Ｍａｔｌａｂ强大功能的介绍入手，阐述在线性代数教学中引入Ｍａｔｌａｂ的必要性，进而通过例题介绍Ｍａｔｌａｂ在解决线性代数中矩阵的行列式、逆、特征值、特征向量以及在解线性方程组和实际问题中的具体应用．1线性代数课程中引入Matlab 教学的必要性传统的线性代数教学以理论为主导，偏重理论的证明和推导，不用计算机解题，不联系实际应用，不能满足后续课程的需求，按所教的方法后续课程无法用来解高阶、复数的矩阵题目，后续课程普遍不用线性代数解题．另外，课程本身所固有的抽象性、逻辑性、人工计算的复杂性，使得学生学习起来费力，学习兴趣不高，学习效果不理想．Ｍａｔｌａｂ是由美国Ｍａｔｈｗｏｒｋｓ公司开发的一种功能强大的科学及工程计算软件，简单易学，具有数值运算、符号运算、计算结果和编程可视化、数学和文字同时处理等功能［３－５］．引入Ｍａｔｌａｂ辅助线性代数教学，使得线性代数抽象的概念能从图形的角度进行引入；可以用简单的程序解决线性方程组、行列式、矩阵的逆等问题；用数学建模思想和实例［６］实践线性代数知识的应用，达到理论对实践的指导目的．在线性代数教学中引入Ｍａｔｌａｂ软件能培养学生分析问题和解决问题的能力，改变被动接受式学习的枯燥乏味，有利于调动学生的学习积极性，提高教学质量．2Matlab 解决线性代数课程中的典型问题我们知道，线性代数中行列式、矩阵的逆、特征值、特征向量以及线性方程组等很多方面涉及的计算量是很大的，即占用了学生大量的时间，又因为课时少，使得学生对于理论的学习往往很不到位，教学效果很差．下面通过典型的例题来展示Ｍａｔｌａｂ软件在解决线性代数课程相关问题中的便利．例1求矩阵Ａ＝２－３７５－４１－２３３４６－７８－２３－!"""#$%%%&５的行列式ｄｅｔＡ．解输入：＞＞Ａ＝［２－３７５；－４１－２３；３４６－７；８－２３－５］；＞＞ｄｅｔ（Ａ）ａｎｓ＝－２３５例2求例１中矩阵Ａ的逆．解输入：＞＞Ａ＝［２－３７５；－４１－２３；３４６－７；８－２３－５］；＞＞ｉｎｖ（Ａ）ａｎｓ＝０．０２１３１．６３８３０．０６３８０．９１４９０．００４３２．１２７７０．２１２８０．９８３００．０８０９－０．５７４５０．０４２６－０．３２３４０．０８０９１．４２５５０．０４２６０．６７６６例3求例１中矩阵Ａ的特征值与特征向量．解输入：＞＞Ａ＝［２－３７５；－４１－２３；３４６－７；８－２３－５］；＞＞［Ｖ，Ｄ］＝ｅｉｇ（Ａ）Ｖ＝０．５９６７－０．６８０５－０．６８０５０．５４９７０．３０２１０．２３７２＋０．０１２７ｉ０．２３７２－０．０１２７ｉ０．６６５９－０．４５２２－０．０１０５－０．４９２９ｉ－０．０１０５＋０．４９２９ｉ－０．１７９９－０．５９０１－０．４８３０＋０．０６３７ｉ－０．４８３０－０．０６３７ｉ０．４７１２Ｄ＝－９．７６７３００００６．７０３１＋４．６５８０ｉ００００６．７０３１－４．６５８０ｉ０００００．３６１１其中Ｖ是特征向量矩阵，Ｄ是特征值矩阵，并且相互对应．Matlab 在线性代数教学中的应用研究杜玉霞，梁武，段鹏举（宿州学院数学与统计学院，安徽宿州２３４０００）摘要：针对目前线性代数教学效果不够理想的现状，尝试将Ｍａｔｌａｂ引入线性代数教学中，以提高线性代数教学质量，为学生后续课程的学习和实际应用问题的解决打下基础．同时通过几个典型问题来说明Ｍａｔｌａｂ在线性代数教学中的应用．关键词：Matlab ；线性代数；教学；应用中图分类号：Ｏ１５１．２文献标识码：Ａ文章编号：１６７３－２６０Ｘ（２０１２）１１－０００３－０２基金项目：安徽省教育厅教学研究项目(20101071)；宿州学院教学研究项目(szxyjyxm201143)Ｖｏｌ．２８Ｎｏ．１１Ｎｏｖ．２０１２赤峰学院学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｉｆｅｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）第２８卷第１１期（上）２０１２年１１月３－－例4解方程组ｘ１＋３ｘ２＋ｘ３＋２ｘ４＝４３ｘ１＋４ｘ２＋２ｘ３－３ｘ４＝６－ｘ１－５ｘ２＋４ｘ３＋ｘ４＝１１２ｘ１＋７ｘ２＋ｘ３－６ｘ４＝－!#####"#####$５解输入：＞＞Ａ＝［１３１２；３４２－３；－１－５４１；２７１－６］；＞＞Ｂ＝［４；６；１１；－５］；＞＞Ｃ＝［ＡＢ］；＞＞Ｒ＝ｒｒｅｆ（Ｃ）Ｒ＝１０００３０１００－１００１０２０００１１第五列为所求解向量，即（ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４）＝（３，－１，２，１）．通过以上的实例，我们可以看出Ｍａｔｌａｂ在解决线性代数典型问题中的优势，可以使得繁琐的计算通过简单的程序语言得以轻松解决，既能提高学生的动手能力，又能引发学生的学习兴趣，从而取得较好的教学效果．另外，在求诸如矩阵的转置、迹、正交矩阵等许多方面，都可以使用Ｍａｔｌａｂ软件得到轻松解决．3Matlab在实际问题中的应用数学来源于现实，并应用于现实．学生在学好理论的同时，还应该学会应用数学去解决问题，下面借助Ｍａｔｌａｂ来解决一个实际问题．例5某车间有Ⅰ、Ⅱ两台车床，可用于加工三种工件．假定这两台车床的可用台时数分别为８００和９００，三种工件的数量分别为４００、６００和５００，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表．问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？解这个问题可以应用线性方程组来描述，设在Ⅰ车车床类型单位工件所需加工台时数单位工件的加工费用可用台时数工件1工件2工件3工件1工件2工件3Ⅰ0.4 1.1 1.013910800Ⅱ0.5 1.2 1.311128900床加工工件１、２、３的数量分别为ｘ１、ｘ２、ｘ３，在Ⅱ车床上加工工件１、２、３的数量分别为ｘ４、ｘ５、ｘ６．可建立以下模型：ｍｉｎｚ＝１３ｘ１＋９ｘ２＋１０ｘ３＋１１ｘ４＋１２ｘ５＋８ｘ６ｓ．ｔ．＝ｘ１＋ｘ４＝４００ｘ２＋ｘ５＝６００ｘ３＋ｘ６＝５０００．４ｘ１＋１．１ｘ２＋ｘ３≤８０００．５ｘ４＋１．２ｘ５＋１．３ｘ６≤９００ｘｉ≥０，ｉ＝１，２，…，!########"########$６我们借助Ｍａｔｌａｂ来求解：输入：＞＞ｆ＝［１３９１０１１１２８］；Ａ＝［０．４１．１１０００；００００．５１．２１．３］；ｂ＝［８００；９００］；Ａｅｑ＝［１００１００；０１００１０；００１００１］；ｂｅｑ＝［４００６００５００］；ｖｌｂ＝ｚｅｒｏｓ（６，１）；ｖｕｂ＝［］；［ｘ，ｆｖａｌ］＝ｌｉｎｐｒｏｇ（ｆ，Ａ，ｂ，Ａｅｑ，ｂｅｑ，ｖｌｂ，ｖｕｂ）＞＞ｘ＝０．００００６００．０００００．００００４００．０００００．００００５００．００００ｆｖａｌ＝１．３８００ｅ＋００４即在Ⅰ车床上加工６００个工件２，在Ⅱ车床上加工４００个工件１、５００个工件３，可在满足条件的情况下使总加工费用最少，为１３８００．4小结与建议在教学实践中，引入Ｍａｔｌａｂ软件解决线性代数问题，把Ｍａｔｌａｂ软件渗透到线性代数的各章节中，使得学生在学习理论知识的同时也学会了应用，为后续专业课奠定了坚实的基础，这样不仅开拓了学生的视野，提高了学习兴趣，获得了良好的教学效果，而且让学生学有所用，用有所值，为数学基础学习和实际计算应用搭建了一座桥梁．但线性代数的教学不应因引入软件而改变其理论体系，只是有些理论可以通过计算机来验证，具体到每一节课该怎么将Ｍａｔｌａｂ软件与线性代数理论很好的结合起来，怎样把握，还是一个值得再继续探讨的话题．不能太向计算机软件靠拢，但是也不该像以前一样排斥数学软件，一定要掌握好计算机软件只是辅助线性代数教学，以达到好的教学效果．应用Ｍａｔｌａｂ软件来辅助线性代数教学可以改变“繁”、“难”的现状，而且可以把大量的应用问题纳入课程的习题中，加强它的工程背景，从而提高学生进行数学建模的能力和解决实际问题的本领．———————————————————参考文献：〔1〕同济大学数学系.线性代数(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2007.〔2〕陆剑虹.线性代数[M].北京：航空工业出版社，2002.〔3〕周建兴,岂兴明,矫津毅，等.MATLAB从入门到精通[M].北京:人民邮电出版社,2008.〔4〕巩萍,赵杰.Matlab在数字信号处理中的应用[J].长沙大学学报,2009,23(5):78-79.〔5〕徐小湛.数学软件在国外工科数学教学中的应用[J].高等数学研究,1999,2(4):7-11.〔6〕赵静,但琦.数学建模与数学实验(第2版)[M].北京:高等教育出版社,2003.４－－。

浅谈MATLAB软件在线性代数教学中的应用

它是美国的ＭａｔｈＷｏｒｋｓ公司开发的一种集数值计算、概念设计、算法开发以及建模仿真等于一体的卓越的科学计算类软件＿６］。由于它以矩阵作为基本数据单位，故将其应用于线性代数的辅助教学，既能加深学生对线性代数定义、
ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｏｒｄｅｒｔｏｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｔｅａｃｈｉｎｇｅｆｅｃｔｏｆｌｉｎｅａｒａｌｇｅｂｒａ．Ｔｈｅｎｓｔｕｄｅｎｔｓｃａｎｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｃｏｎｃｅｐｔｓｏｆｌｉｎｅａｒａｌｇｅｂｒａ．Ｔｈｅ
ａｓｓｉｓｔｅｄｔｅａｃｈｉｎｇｏｆｌｉｎｅａｒａｌｇｅｂｒａｉｎｔｈｉｓｓｏｆＬｖａｒｅｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｂｙ
ｓｅｖｅｒａｌｅｘａｍｐｌｅｓ，ｗｈｉｃｈｃｕｌｔｉｖａｔｅｓｓｔｕｄｅｎｔｓ ’ ｐｒａｃｔｉｃａｌａｂｉｌｉｔｙ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓｍａｔｌａｂ；ｌｉｎｅａｒａｌｇｅｂｒａ；ａｓｓｉｓｔｅｄｉｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ
文章编号：１６７１ — ４８９Ｘ（２０１４）０４ — ００９２ — ０４
ＤｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｎＴｅａｃｈｉｎｇｏｆＬｉｎｅａｒＡｌｇｅｂｒａｗｉｔｈＭＡＴＬＡＢ／／ＤｉｎｇＸｉａｏｘｉｎｇ

MATLAB软件在线性代数教学中的应用

MATLAB软件在线性代数教学中的应用【摘要】MATLAB软件在线性代数教学中的应用日益重要。

本文从向量和矩阵运算、线性方程组求解、特征值和特征向量计算、线性代数可视化教学以及矩阵分解和奇异值分解等方面探讨了MATLAB的应用。

通过实际案例展示了MATLAB在教学中的实际应用，有助于学生更好地理解线性代数的概念和应用。

结合结论部分讨论了MATLAB在线性代数教学中的重要性以及未来的发展方向，强调了MATLAB在提升学生学习效果和培养解决实际问题能力方面的巨大潜力。

MATLAB在线性代数教学中的应用有着广阔的发展前景，为教学提供了更加丰富和多样化的教学手段。

【关键词】MATLAB, 线性代数, 教学应用, 向量, 矩阵运算, 线性方程组, 特征值, 特征向量, 可视化教学, 矩阵分解, 奇异值分解, 重要性, 发展方向1. 引言1.1 MATLAB软件在线性代数教学中的应用概述MATLAB是一种强大的数学软件，广泛应用于高等教育领域，尤其在线性代数教学中发挥着重要作用。

在在线性代数教学中，MATLAB可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念，提高他们的数学建模和问题求解能力。

通过MATLAB软件，学生可以直观地进行向量和矩阵运算，求解线性方程组，计算特征值和特征向量，进行矩阵分解和奇异值分解等操作。

MATLAB软件提供了丰富的数学函数和工具箱，使得学生可以方便地进行各种数学计算和仿真实验。

通过MATLAB的可视化功能，学生可以直观地观察数学概念的几何意义，加深对数学知识的理解。

MATLAB还支持编程功能，学生可以通过编写脚本和函数来实现复杂的数学运算和算法，培养他们的编程能力。

在线性代数教学中，MATLAB软件的应用不仅可以帮助学生更好地掌握数学知识，提高数学建模和问题求解能力，还可以激发学生的学习兴趣，培养他们的创新思维和实践能力。

MATLAB软件在线性代数教学中的应用具有重要意义，对提升教学效果和培养学生的数学素养具有积极作用。

如何使用Matlab解决数学问题

如何使用Matlab解决数学问题使用Matlab解决数学问题引言:数学作为一门基础学科，广泛应用于各个学科领域。

而Matlab作为一款数学软件，拥有强大的计算能力和丰富的函数库，成为了数学问题解决的得力工具。

本文将介绍如何使用Matlab解决数学问题，并通过实例来展示其强大的功能和灵活性。

一、Matlab的基本使用方法1. 安装和启动Matlab首先，我们需要从官方网站下载并安装Matlab软件。

安装完成后，打开软件即可启动Matlab的工作环境。

2. 变量和运算符在Matlab中，变量可以用来存储数据。

我们可以通过赋值运算符“=”将数值赋给一个变量。

例如，可以使用“a=5”将数值5赋给变量a。

Matlab支持常见的运算符，如加、减、乘、除等，可以通过在命令行输入相应的表达式进行计算。

3. Matirx和向量的操作Matlab中，Matrix和向量（Vector）是常用的数据结构。

我们可以使用方括号将数值组成的矩阵或向量输入Matlab，比如“A=[1 2; 3 4]”可以创建一个2x2的矩阵。

4. 函数和脚本Matlab提供了丰富的内置函数和函数库，可以通过函数来解决各种数学问题。

同时，我们还可以自己编写函数和脚本。

函数用于封装一段可复用的代码，而脚本则是按照特定的顺序执行一系列的命令。

二、解决线性代数问题1. 线性方程组求解Matlab提供了“solve”函数用于求解线性方程组。

例如，我们可以使用“solve([2*x + y = 1, x + 3*y = 1], [x, y])”来求解方程组2x + y = 1和x + 3y = 1的解。

2. 矩阵运算Matlab提供了丰富的矩阵运算函数，如矩阵的加法、乘法、转置等。

通过这些函数，我们可以快速进行矩阵运算，解决线性代数问题。

三、解决数值计算问题1. 数值积分对于某些无法解析求解的积分问题，Matlab可以通过数值积分方法求得近似解。

Matlab提供了“integral”函数用于数值积分，我们只需要给出被积函数和积分区间即可。

数学实验在线性代数教学中的应用——以极大线性无关组为例

数学实验在线性代数教学中的应用——以极大线性无关组为例摘要：线性代数内容的高度抽象性以及计算过程繁复性，是学生学习过程中的一大难点。

本文基于案例教学法，以极大线性无关组为例，将数学实验应用于实际问题的求解中。

加深学生对知识点的理解，提高学生动手能力和解决问题的能力。

关键词：线性代数；数学实验；案例教学法一、数学实验数学实验是借助与MATLAB编程语言，快速实现自高等数学、线性代数和概率统计课程中数学方法与数学模型的应用实践探索。

随着计算机技术的飞速发展，数学的应用日益广泛，利用 MATLAB软件为实验平台，借助其强大的直观呈现功能，实现传统的数学理论内容与程序实验内容交错进行。

MATLAB软件包含大量计算算法。

其拥有600多个工程中要用到的数学运算函数，可以方便的实现用户所需的各种计算功能。

通过程序计算，一方面能够加深学生对线性方程组的求解、向量空间以及矩阵相关概念、性质的理解；另一方面在摆脱耗时枯燥的计算的同时也保证了计算结果的正确性和可靠性，提升学生的学习效率和学习兴趣。

二、线性代数课程概述及现状随着科技的迅猛发展，社会对于高校毕业生的综合要求也越来越高，要具备更高的专业素养、综合能力以及创新能力，达到复合型、应用型人才的要求。

线性代数课程是线性代数是高等学校理、工、经管类等多个专业的公共基础课，为现代社会诸多领域提供必备的数学分析工具，是本科阶段教学的重要必修课之一。

线性代数的研究对象多为离散量，如向量、向量空间、线性方程组、矩阵等，具有高度的抽象性、计算的复杂性以及广泛的应用性。

在线性代数的教材中，定义定理较多，涉及到计算的方面，方法虽易掌握，但计算量大、容易出错，定理证明较为抽象，学生理解起来难度比较大。

[2]这就要求教师在实际的线性代数授课过程中，要改进教学理念及教学方式，借助有实际背景的案例，在提高学生理解的基础上，结合计算机程序，使用MATLAB等数学软件求解线性代数问题，提高学生的分析问题、科学计算能力及理论与实践相结合的能力。

用MATLAB做线性代数实验

【2】参数方程解的判别【注意】：含有参数情况的线性方程组的解的情况讨论，不能直接使用 Matlab 中的函数：rank,rref,因为 Matlab 会默认这些参数及其表达式不等于零。因此，应该编写独立的过程加以讨论。试就参数 s 的各种情况，讨论下述线性方程组的解的情况：
sx y z 1 x sy z s 。 2 x y sz s
p1 ( x ) q( x ) p2 ( x ) r ( x ) , d (r ( x )) d ( p2 ( x ))
例如，求多项式 f ( x ) x 3 6 x 2 11 x 6 , g( x ) x 5 2 x 2 1 的最大公因式和最小公倍式。 p=[1 -6 11 -6]; q=[1 0 0 -2 0 1]; [q1,r1]=deconv(q,p) [q2,r2]=deconv(p,r1(4:6)) %注意保证第一个分量不能为零 [q3,r3]=deconv(r1(4:6),r2(3:4))
x2 x3 2 x2 3 x 2
分解为最简分式之和的程序如下：
-0.5000 - 1.3229i -1.0000 r = [] 结果表示出来即是：
f ( x)
如果是在实数范围内分解：
0.25 0.4725 i x 0.51.3229 i

0.25 0.4725 i x 0.51.3229 i
用 MATLAB 做线性代数实验
1. 多项式运算
【1】表示方法与根表示方法：降幂，向量形式. 例如， p( x ) 2 x x 3 x5 被表示为向量 p=[-1 0 1 0 2 0] 而不是 p=[0 2 0 1 0 -1] 或者 p=[2 1 -1]. 相关 MATLAB 函数函数名含义 %注意保证第一个分量不能为零

Matlab中常用的数学函数介绍与应用

Matlab中常用的数学函数介绍与应用引言：Matlab是一种强大的数学计算工具，它提供了丰富的函数库，可以方便地进行各种数学运算和数据分析。

本文将介绍一些常用的Matlab数学函数，并讨论它们的具体应用场景和用法。

一、线性代数函数1.1 dot函数dot函数用于计算两个向量的点积。

在向量计算中，点积可以帮助我们判断两个向量之间的夹角以及它们的相似程度。

例如，我们可以使用dot函数来计算两个特征向量之间的相似性，从而实现图像分类或者特征匹配。

具体用法：C = dot(A,B)，其中A和B是两个向量。

计算结果将存储在变量C 中。

1.2 inv函数inv函数用于计算一个矩阵的逆矩阵。

在线性代数中，逆矩阵对于求解线性方程组、求解最小二乘问题以及确定矩阵的特征值等具有重要作用。

通过使用inv函数，我们可以方便地求解这些问题。

具体用法：B = inv(A)，其中A是输入的矩阵，B是其逆矩阵。

1.3 eig函数eig函数用于计算一个矩阵的特征值和特征向量。

在许多数学和物理问题中，特征值和特征向量都具有重要的意义。

例如，在图像压缩和图像处理中，特征值分解可以帮助我们找到最佳的基向量，从而实现更好的图像压缩效果。

具体用法：[V,D] = eig(A)，其中A是输入的矩阵，V是特征向量矩阵，D是特征值对角矩阵。

二、微积分函数2.1 diff函数diff函数用于计算一个函数的导数。

在微积分中，导数表示函数在某一点的变化率，具有重要的应用价值。

通过使用diff函数，我们可以方便地计算函数的导数，从而求解一些最优化问题、优化算法以及信号处理等领域的相关问题。

具体用法：Y = diff(X)，其中X是输入的函数，Y是其导数。

2.2 int函数int函数用于计算一个函数的不定积分。

在微积分中，不定积分表示函数在某一区间上的面积或体积，对于求解曲线下面积、计算变量间的相关性以及估计概率密度分布等问题非常有用。

通过使用int函数，我们可以轻松地计算函数的不定积分。

matlab中的线性代数

全0阵
B= 000 000
ones函数是形成元素皆为 1 的矩阵 A=ones(2), %A= ones (n) 创建n×n全1 的矩阵 A= 11 11 B=ones(2,3) B= 111 111
% B= ones (m，n)
创建m×n全1的矩阵
eye则是产生一个单位矩阵
A= eye (2),
④也可对先前建立的阵列进行修改如A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A= 1 4 7 2 5 8 3 6 9
A(2,3) = 5
A= 1 4 7
2 5 8 3 5 9
% 改变位於第二行，第三列的元素值
⑤利用“：”表达式获得子矩阵 A(:,j) % 表示取A矩阵的第j列全部元素； A(i,:) %表示取A矩阵第i行的全部元素； A(i,j) %表示取A矩阵第i行、第j列的元素 A(i:i+m,:) %表示取A矩阵第i～i+m行的全部元素； A(:,k:k+m) %表示取A矩阵第k～k+m列的全部元素 A(i:i+m,k:k+m) %表示取A矩阵第i～i+m行内，并
A与B的对应元素相乘将非奇异矩阵正交化两个向量的内积
eig(A) [X,D]=eig(A)
A^n A.*B 第i行与第j行互换
用k乘以A的第i行 A的i行加上第j行k倍
A([i,j],:)=A([j,i],:)
A(i,:)=k*A(i,:) A(i,:)=A(i,:)+k*A(i,:)
例：用LU分解法求解下列方程组的解
12 x 1 3 x 2 3 x 3 15 16 x 1 3 x 2 x 3 13 x1 x 2 x 3 6

线性代数的MATLAB软件实验报告

线性代数的MATLAB 软件实验一、实验目的1.熟悉矩阵代数主要MATLAB 指令。

2.掌握矩阵的转置、加、减、乘、除、乘方、除法等MATLAB 运算。

3.掌握特殊矩阵的MATLAB 生成。

4.掌握MATLAB 的矩阵处理方法。

5.掌握MATLAB 的矩阵分析方法。

6.掌握矩阵的特征值与标准形的MATLAB 验算。

7.掌握线性方程组的MATLAB 求解算法。

二、实验原理1.线性方程组【基本观点】自然科学和工程实践很多问题的解决都涉及线性代数方程组的求解和矩阵运算.一方面，许多问题的数学模型本身就是一个线性方程组，例如结构应力分析问题、电子传输网分析问题和投入产出分析问题；另一方面，有些数值计算方法导致线性方程组求解，如数据拟合，非线性方程组求解和偏微分方程组数值解等.n 个未知量m 个方程的线性方程组一般形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,22112222212111212111m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (3.1) 令,,,2121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m n mn m m n n b b b b x x x x a a a a a aa a a A则得矩阵形式Ax=b. (3.2)若右端b=0,即Ax=0, (3.3)则称方程组为齐次的.方程组（3.1）可能有唯一解，可能有无穷多解，也可能无解，主要取决于系数矩阵A 及增广矩阵（A,b ）的秩.若秩（A ）=秩（A,b ）=n,存在唯一解，其解理论上用Cramer 法则求出，但由于这种方法要计算n+1个n 阶行列式，计算量太大通常并不采用；若秩（A ）=秩（A,b ）<n,存在无穷多解，其通解可表示为对应齐次方程组（3.3）的一个基础解系与（3.2）的一个特解的叠加；若秩（A ）≠秩（A,b ），则无解，这时一般寻求最小二乘近似解，即求x 使向量Ax-b 模最小.P50矩阵左除的数学思维:恒等变形Ax=b 方程两边的左边同时除以A ，得：b AAx A11=，即：b A b Ax 11-==MATLAB 的实现（左除）：x=A\b 2.逆矩阵【基本观点】方阵A 称为可逆的，如果存在方阵B ，使 AB=BA=E,这里E 表示单位阵.并称B 为A 的逆矩阵，记B=1-A .方阵A 可逆的充分必要条件是A 的行列式det A ≠0.求逆矩阵理论上的公式为*1det 1A AA =-， (3.4)这里*A 为A 的伴随矩阵.利用逆矩阵，当A 可逆时，（3.2）的解可表示为b A x 1-=.由于公式（3.4）涉及大量行列式计算，数值计算不采用.求逆矩阵的数值算法一般是基于矩阵分解的方法.3.特征值与特征向量【基本观点】对于方阵A ，若存在数λ和非零向量x ，使,x Ax λ= (3.5) 则称λ为A 的一个特征值，x 为A 的一个对应于特征值λ的特征向量.特征值计算归结为特征多项式的求根.对于n 阶实数方阵，特征多项式在复数范围内总有n 个根。

MATLAB在高等数学教学中的应用

MATLAB在高等数学教学中的应用MATLAB是一种用于数学计算、可视化和编程的高级技术计算软件。

它在高等数学教学中有着广泛的应用，可以帮助学生更好地理解数学概念、加深对数学知识的理解，并提高数学建模和问题求解的能力。

下面我们将从MATLAB在微积分、线性代数和概率统计等课程中的应用来探讨它在高等数学教学中的重要作用。

一、微积分课程在学习函数的图像和性质时，可以利用MATLAB绘制各种类型的函数图像，通过调整参数和观察图像的变化，帮助学生更好地理解函数的变化规律和性质。

在学习导数和积分时，可以利用MATLAB进行导数和积分的符号计算和数值计算，帮助学生更好地掌握导数和积分的计算方法和技巧。

利用MATLAB进行微积分相关问题的建模和求解，可以帮助学生将抽象的数学概念转化为具体的计算问题，提高他们的数学建模和问题求解能力。

二、线性代数课程线性代数是数学中的另一个重要分支，涉及到向量、矩阵、线性方程组、特征值特征向量等内容。

MATLAB在线性代数教学中的应用同样也非常广泛，可以帮助学生更好地理解和掌握线性代数的相关概念和方法。

在线性代数课程中，学生可以利用MATLAB进行向量和矩阵的运算、线性方程组的求解、特征值特征向量的计算等。

在学习向量和矩阵运算时，可以利用MATLAB进行向量和矩阵的加法、减法、乘法等运算，帮助学生更好地理解向量和矩阵的运算规律和性质。

在学习线性方程组的解法时，可以利用MATLAB进行线性方程组的求解，并通过可视化的方式展示方程组的解集，帮助学生更直观地理解线性方程组的解的性质。

在学习特征值特征向量时，可以利用MATLAB进行矩阵的特征值特征向量的计算，帮助学生更好地理解矩阵的特征值特征向量的几何意义和应用。

三、概率统计课程。

Matlab在线性代数教学中的几点应用

＝
［４１－－ —；３－；１１２６— １］３－３２—；６０３３４— ４２２１０－；２；０１－３
【４２７３６４十ｘ — ｘ＋ｘ＝０
［１５１１３６０１；４７】２ — ； — ０－；２－２１ — ；６ｄｔ；ｅ（Ｄ）６［ — 】＝８９５ ’ ０；ＤＩ［Ｉ５１－６一２－２ — ６；＝８－；３９０－；１；７】５０４Ｄ＝２８５１１ —；５１；０－】２［ — ；９０６０－ — ２１７６；Ｄ＝２１； — ９６０２５；４０］３［８１１３－； — ２１６；Ｄ４［１５８１３０；１５１７Ｏ；＝２ — ；－０９２— ・；４－】ｘ－ｅＤ１ｄｔ；ｌｄｔ）ｅＤ）（／（ｘ＝ｅＤ）ｅ（；２ｄｔ２／ｔ（ｄＤ）
ｌ求解线性方程组－３线性方程组是线性代数的基础部分和重要部分，线性方程组的求解是贯穿于线性代数课程的主线．对于一个适定方程组的求解，只要方程组的系数行列式不等于零，就可以用克拉默法则或逆阵乘积法求解．例如求线性方程组
收稿日期：２０．１２０９１－１作者简介：高智中（９９）男，１７一，山西神池人，徽科技学院理学院教师，安理学硕士
１Ｍａａｔｂ在线性代数教学中的几点应用ｌ１１求方阵的逆和行列式．
线性代数中论述的求方阵的逆运算和行列式比较复杂，而在Ｍａａｔｂ中，方阵的逆运算只需用函数 “ ｖ来实ｌｉ＇ｎ’ 现，方阵的行列式只需用函数 “ ｅ’ ｄｔ＇来实现，这大大简化了计算过程．例如求方阵

线性代数实践及MATLAB入门课件

遗传算法
使用Matlab中的遗传算法工具箱，如ga函数，求解优化问题，通过模拟生物进化过程中的自然选择和遗传机制来寻找最优解。
信号处理与分析
傅里叶变换
使用Matlab中的fft函数，对信号进行傅里叶变换，以便将信号从时域转换到频域，从而更好地分析信号的频率成分。
小波变换
使用Matlab中的小波变换函数，如wavedec和waverec，对信号进行小波变换，以便在不同的频率段上分析信号的特性。
特征值与特征向量的应用
在解决实际问题时，特征值与特征向量是重要的数学工具，如判断矩阵的稳定性、求解微分方程的振动性等。
线性变换与矩阵运算
线性变换的定义
对于给定的向量空间V和线性映射T:V→V，如果对于V中的任意向量α、β，都有 T(α+β)=T(α)+T(β)和T(kα)=kT(α)，则称T为线性变换。
高维数据聚类
使用Matlab中的聚类算法，如K-means和层次聚类，对高维数据进行聚类分析，以便将相似的数据点归为一类。
优化算法应用
非线性规划
使用Matlab中的优化工具箱，如fmincon函数，求解非线性规划问题，以找到满足一定约束条件下目标函数的最大或如linprog函数，求解线性规划问题，以找到满足一定约束条件下目标函数的最大或最小值。
矩阵运算的性质
矩阵的加法、数乘、乘法等运算性质，以及逆矩阵、行列式等概念。
线性变换与矩阵运算的应用
在解决实际问题时，线性变换与矩阵运算是重要的数学工具，如求解微分方程、解决线性规划问题等。
02 Matlab基础
Matlab界面与编程基础
掌握Matlab的基本操作界面
01
启动与退出Matlab

Matlab应用线性代数

矩阵的行列式
可用函数det求矩阵的行列式大小。例：
a=[1 2 0;2 5 -1;4 10 -1]; b=det(a) b=
1
矩阵的四则运算
❖ 数组和矩阵的加减运算使用加号和减号，即 “+”和“-”。
❖ 矩阵相乘使用“*”运算符。
❖ 如果只是将两个矩阵中相同位置的元素相乘，使用“.*”运算符。
线性方程组的求解
❖ 方形系统 p135 ❖ 超定系统 ❖ 不定系统
符号矩阵
❖ 符号矩阵的四则运算 ❖ 符号矩阵的转置运算 ❖ 符号矩阵的行列式运算 ❖ 符号矩阵的求逆运算 ❖ 符号矩阵的求秩运算 ❖ 符号矩阵的常用函数运算 ❖ 符号矩阵常用线性方程(组)的求解
符号矩阵运算的函数： symadd(a,d) —— 符号矩阵的加 symsub(a,b) —— 符号矩阵的减 symmul(a,b) —— 符号矩阵的乘 symdiv(a,b) —— 符号矩阵的除 sympow(a,b) —— 符号矩阵的幂运算 symop(a,b) —— 符号矩阵的综合运算
load mri; montage(D,map);
❖ Imwrite;将图像写成图像文件（bmp,hdf,jpeg,tiff等）; imwrite(A,文件名，‘格式’)；
❖ Warp 显示图像为纹理映射表面 warp(x,y,z,….) [x,y,z]=sphere; d=imread('test.jpg'); warp(x,y,z,d); warp(x,y,z,X,map);%% load trees; 具有颜色图map的索引图X
0000
矩阵的秩
用函数rank求矩阵的秩。例：
a=[1 2 0;2 5 -1;4 10 -1]; b=rank(a) b=

线性代数中Matlab实验教学的探索与实践

第２０卷
第６期
长
春
大
学
学
报
Ｖｏ．０Ｎｏ６１２．Ｊｎ００ｕｅ２１
２１００年６月
ＪＯＵＲＮＡｌ０ＦＣＨＡＮＧＣＨＵＮＵＮＶＥＲＩＹＩＳＴ
线性代数中Ｍａｌｔｂ实验教学的探索与实践ａ
李绍刚，段复建，陈利霞
算、模拟等打下良好的基础。让学生在感觉到学有所用的同时，化学生的应用意识，养学生的实践动手强培能力，而加深学生对知识的掌握和理解，强学生的学习兴趣。进增文献［５分别从线性代数教学、３～］实验、则的不同角度对Ｍｔｂ的应用作了介绍与分析。本文力求原ａｌａ从新的角度重新审视其教学效果和作用，循由浅入深，序渐进的原则，探索实践中检验其真正的作用遵循在
的实践能力。
关键词：线性代数；ｔｂＭａａ；实验教学；索；实践ｌ探
中图分类号：６２Ｇ４文献标志码：Ａ文章编号：０９—３０（００００２ — ４１０９７２１ｌ６— ０１０
随着现代科学技术的发展，尤其是计算机技术的日新月异和电脑的逐步普及，性代数 … 这门课程的线
和效果。
２Ｍａｌｂ实验教学的探索与实践ｔａ
２１Ｍａａ．ｔｂ软件的使用介绍ｌ
Ｍａａｔｂ是以矩阵运算为基础的交互式程序语言，介智能，ｌ简书写方便，对线性代数尤为适用，可以与其且他计算机语言兼容，后续课程也起到很好的示范作用。但对于一年级的新生而言，对由于其计算机知识的掌握还很有限，我们首先让学生了解Ｍａｌｔｂ的工作界面和简单的菜单功能，ａ以及编程的知识介绍。在我们学校的计算机控制学院、电工程学院、息通信学院等进行了探索和实践，机信一届学生大概有１２０多人，合０结

MATLAB在线性代数实际问题中的应用

版社，０８７．２０：１
的同学认为通过对该软件的学习收获了自信心和成就感，
还有４％的同学认为该软件培养了他们的动手实践能力，１而在这所有的收获中有将近一半的同学认为通过对该软件的学习最重要的收获是培养了他们学习数学的兴趣．一这点对高职的学生来说是非常重要的，为他们的数学基础因普遍较差，易对数学丧失信心和兴趣，学软件ＭＡＬＢ容数ＴＡ让他们重拾学习数学的兴趣和信心．数学来源于现实，在于现实，应用于现实．实际存也对问题的研究不仅可以让学生体会数学的应，价值，会应Ｅｌｊ学用数学解决问题，且对数学本身的源头、想方法有更为而思
单位食物所含的营养营养
食物一蛋白质脂肪３６Ｏ食物二５ｌ７食物三１３１１．３３３
线性代数作为高等学校一门重要的基础课程，计算在
机科学、程技术、济管理等诸多领域有着广泛的应用．工经
由以上的计算我们可知：们每天摄人０２７我．７２个单位
的食物一，．９９个单位的食物二，．３２个单位的食物０３１０２３三就可以保证我们的健康饮食了．