线性代数matlab
浅谈MATLAB软件在线性代数教学中的应用
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ｉ ｎ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｔ ｏ ｉ ｍｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｔ ｈ ｅ ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ｅ ｆｅ ｃ ｔ ｏ ｆ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ． Ｔｈ ｅ ｎ ｓ ｔ ｕ ｄ ｅ ｎ ｔ ｓ ｃ ａ ｎ ｕ ｎ ｄ ｅ ｒ ｓ ｔ ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｎ ｃ ｅ ｐ ｔ ｓ ｏ ｆ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ． Ｔｈ ｅ
ａ ｓ ｓ ｉ ｓ ｔ ｅ ｄ ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ｏ ｆ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｓ ｏ ｆ Ｌ ｖ ａ ｒ ｅ ｉ ｓ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ｂ ｙ
ｓ ｅ ｖ ｅ ｒ ａ ｌ ｅ ｘ ａ ｍｐ ｌ ｅ ｓ ， ｗｈ ｉ ｃ ｈ ｃ ｕｌ ｔ ｉ ｖ ａ ｔ ｅ ｓ ｓ ｔ ｕ ｄｅ ｎｔ ｓ ’ ｐ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ． Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｄ ｓ ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ； ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ； ａ ｓ ｓ ｉ ｓ ｔ ｅ ｄ ｉ ｎｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ
文 章编 号 ：１ ６ ７ １ — ４ ８ ９ Ｘ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ４ — ０ ０ ９ ２ — ０ ４
Ｄｉ ｓ ｃ ｕｓ ｓ ｉ ｏ ｎ ｏ ｎ Ｔｅ ａ ｃ ｈｉ ｎｇ ｏ ｆ Ｌｉ ｎｅ ａ ｒ Ａｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ｗｉ ｔ ｈ Ｍ ＡＴＬＡ Ｂ／ ／ Ｄｉ ｎ ｇ Ｘｉ ａ ｏｘ ｉ ｎｇ
MATLAB中的线性代数运算方法详述
MATLAB中的线性代数运算方法详述导言：线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间及其线性变换、线性方程组和矩阵等概念。
在科学计算与工程实践中，线性代数的应用十分广泛。
MATLAB作为一种强大的数值计算软件，提供了丰富的线性代数运算方法，能够帮助用户高效地解决各种与矩阵、向量相关的问题。
本文将详细介绍MATLAB中常用的线性代数运算方法，并且从算法原理到具体函数的使用进行详细说明。
一、矩阵运算在MATLAB中，矩阵是一种重要的数据类型，它可以表示线性系统、图像等多种实际问题。
矩阵的加法和乘法是线性代数运算中最基本的运算，MATLAB提供了相应的函数来进行矩阵的加法和乘法运算。
1.1 矩阵加法MATLAB中的矩阵加法使用“+”操作符进行操作，可以直接对两个矩阵进行加法运算。
例如，给定两个矩阵A和B，可以使用"A + B"来进行矩阵加法运算。
1.2 矩阵乘法MATLAB中的矩阵乘法使用"*"操作符进行操作，可以直接对两个矩阵进行乘法运算。
需要注意的是，矩阵相乘的维度要满足匹配规则，即乘法前一个矩阵的列数要等于后一个矩阵的行数。
例如，给定两个矩阵A和B，可以使用"A * B"来进行矩阵乘法运算。
二、向量运算向量是线性代数中常用的数据结构，它可以表示方向和大小。
在MATLAB中，向量是一种特殊的矩阵，可以使用矩阵运算中的方法进行计算。
2.1 向量点乘向量的点乘是指两个向量对应位置上元素的乘积之和。
MATLAB中可以使用“.*”操作符进行向量的点乘运算。
例如，给定两个向量A和B，可以使用"A .* B"来进行向量点乘运算。
2.2 向量叉乘向量的叉乘是指两个三维向量的运算结果，它得到一个新的向量，该向量与两个原始向量都垂直。
MATLAB中可以使用叉乘函数cross()进行向量的叉乘运算。
例如，给定两个向量A和B，可以使用"cross(A, B)"来进行向量叉乘运算。
用matlab解决线性代数的问题
生成向量（1）
• 初值:步长:终值 生成从初值开始、以步长为间隔、小于或等于终值的行向量 如果不设步长，则默认步长为1
x是行向量；x’是其转置，为列向量
节约计算时间的技巧
对于需要对其元素循环赋值的矩阵，可预先对整个矩阵赋值，例如赋值为零矩阵。 以某20X500个循环的 脚本为例：
提示：循环越多，矩阵越大， 节约计算时间就越重要。
利用函数生成矩阵（2）
• eye(n)生成n×n的单位矩阵； eye (m,n)生成m×n的单位矩阵； eye(size(A))生成与A同维数的单位矩阵
– AX=B的解是X=A\B，等价于inv(A)*B – XA=B的解是X=B/A，等价于B*inv(A)
• • • • • • • •
方矩阵A的行列式：det(A) 方矩阵A的逆：inv(A) 矩阵A的共轭转置：A’ 矩阵A的转置：conj(A’) 方矩阵A的乘方：A^n 方矩阵A的迹：trace(A) 矩阵A的秩：rank(A) 方矩阵A的特征向量(矩阵)v和特征值(对角矩阵) d ： [v d]=eig(A) • 对矩阵A作行初等变换化为行最简矩阵：rref(A) • 对矩阵A作奇异值分解：svd(A)
用matlab解决线性代数的问题
张宏浩
Matlab的一些常识
• • • • • • • • pi表示圆周率π=3.14159… i或j表示虚数单位sqrt(-1) conj(x)：取x的复共轭 log(x)：以e为底的对数函数ln(x) log10(x)：以10为底的对数函数 exp(x)：指数函数e^x sin(x),cos(x),tan(x),cot(x)：三角函数 asin(x),acos(x),atan(x),acot(x)：反三角函数
【学习】用Matlab学习线性代数行列式
【关键字】学习用Matlab学习线性代数__行列式实验目的理解行列式的概念、行列式的性质与计算Matlab函数det实验内容前面的四个练习使用整数矩阵，并演示一些本章讨论的行列式的性质。
最后两个练习演示我们使用浮点运算计算行列式时出现的不同。
理论上将，行列式的值应告诉我们矩阵是否是奇异的。
然而，如果矩阵是奇异的，且计算其行列式采用有限位精度运算，那么由于舍入误差，计算出的行列式的值也许不是零。
一个计算得到的行列式的值很接近零，并不能说明矩阵是奇异的甚至是接近奇异的。
此外，一个接近奇异的矩阵，它的行列式值也可能不接近零。
1.用如下方法随机生成整数元素的5阶方阵：A=round(10*rand(5)) 和B=round(20*rand(5))-10用Matlab计算下列每对数。
在每种情况下比较第一个是否等于第二个。
（1）det(A) ==det(A T) （2）det(A+B) ；det(A)+det(B)（3）det(AB)==det(A)det(B) （4）det(ATBT) ==det(AT)det(BT)（5）det(A-1)==1/det(A) （6）det(AB-1)==det(A)/det(B)> A=round(10*rand(5));>> B=round(20*rand(5))-10;>> det(A)ans =5972>> det(A')ans5972>> det(A+B)ans =36495>> det(A)+det(B)ans =26384>> det(A*B)ans =4>> det(A)*det(B)ans =4>> det(A'*B')ans =4>> det(A')*det(B')ans =4>> det(inv(A))ans =0.00016745>> 1/det(A)ans =0.00016745>> det(A*inv(B))ans =0.29257>> det(A)/det(B)ans =0.29257>>2.n阶的幻方阵是否奇异？用Matlab计算n=3、4、5、…、10时的det(magic(n))。
A03 线性代数部分之MATLAB解方程
解方程组 矩阵的特征值与特征向量
郑丰华
成都信息工程学院数学学院 郑丰华
求解代数方程
一般代数方程包括线性（Linear）、非 一般代数方程包括线性（Linear）、非 线性（Nonlinear）和超越方程 线性（Nonlinear）和超越方程 （Transcedental equation）等。求解 equation）等。求解 的指令是solve。 的指令是solve。
成都信息工程学院数学学院 郑丰华
求矩阵的秩
rank rref 讨论线性方程组的解
– 求特解：linsolve(),pinv(A)*b 求特解：linsolve(),pinv(A)*b – 求通解：null() 求通解：null()
成都信息工程学院数学学院 郑丰华
特征值与特征向量
表3-3 eig命令 命令 d=eig(A) [V,D]=eig(A) 功能 求特征值及特征向量
成都信息工程学院数学学院 郑丰华
表3-1 solve命令 命令 S=solve('eq1','eq2',… S=solve('eq1','eq2',…,'eqn', 'v1','v2',… 'v1','v2',…,'vn') 功能 求方程或方程组关于 指定变量的解
说明： 1.'eq1','eq2',…,'eqn'或是字符串表达的方程，或是字 符串表达式；'v1','v2',…,'vn'是字符串表达的求解 变量名； 2.如果'eq1','eq2',…,'eqn'是不含有“等号”的表达式 ，则指令是对eq1=0,eq2=0,…,eqn=0的求解； 3.求解结果S是一个构架数组。如果要显示求解结果，必 须采用S.v1,S.v2,…,S.vn的援引方式； 4.指令solve在缺省规则下，还有一些形式更为简单的调 用方法，但推荐大家使用字符串格式； 5.在得不到“封闭型解析解”时，solve会给出数值解。
利用Matlab进行线性代数问题求解的方法与案例
利用Matlab进行线性代数问题求解的方法与案例引言线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。
而Matlab作为一种功能强大的数值计算软件，提供了各种实用的工具和函数，可以方便地解决线性代数问题。
本文将介绍一些常用的线性代数问题求解方法，并通过具体的案例来展示Matlab在实际应用中的效果。
一、线性方程组的求解线性方程组是线性代数中最基础的问题之一。
Matlab提供了多种求解线性方程组的函数，如“backslash”操作符（\）和“linsolve”函数等。
下面通过一个实例来说明Matlab的线性方程组求解功能。
案例：假设有以下线性方程组需要求解：2x + 3y - 4z = 53x - 2y + z = 8x + 5y - 3z = 7在Matlab中输入以下代码：A = [2 3 -4; 3 -2 1; 1 5 -3];b = [5; 8; 7];x = A\b;通过以上代码，我们可以得到线性方程组的解x=[1; -2; 3]。
这表明在满足以上方程组的条件下，x=1，y=-2，z=3。
可以看出，Matlab在求解线性方程组时，使用简单且高效。
二、矩阵的特征值和特征向量求解矩阵的特征值和特征向量也是线性代数中的重要概念。
利用特征值和特征向量可以得到矩阵的许多性质和信息。
在Matlab中，我们可以通过“eig”函数来求解矩阵的特征值和特征向量。
案例：假设有一个2x2矩阵A，需要求解其特征值和特征向量。
在Matlab中输入以下代码：A = [2 3; 1 4];[V, D] = eig(A);通过以上代码，我们可以得到矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D。
具体结果如下：特征向量矩阵V = [0.8507 -0.5257; 0.5257 0.8507]特征值矩阵D = [1.5858 0; 0 4.4142]由结果可知，矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D可以提供有关该矩阵的很多信息，如相关线性变换、对称性等。
用MATLAB做线性代数实验
【2】参数方程解的判别 【注意】 ：含有参数情况的线性方程组的解的情况讨论，不能直接使用 Matlab 中 的函数：rank,rref,因为 Matlab 会默认这些参数及其表达式不等于零。因此，应 该编写独立的过程加以讨论。 试就参数 s 的各种情况，讨论下述线性方程组的解的情况：
sx y z 1 x sy z s 。 2 x y sz s
p1 ( x ) q( x ) p2 ( x ) r ( x ) , d (r ( x )) d ( p2 ( x ))
例如，求多项式 f ( x ) x 3 6 x 2 11 x 6 , g( x ) x 5 2 x 2 1 的最大公因式和最小公倍 式。 p=[1 -6 11 -6]; q=[1 0 0 -2 0 1]; [q1,r1]=deconv(q,p) [q2,r2]=deconv(p,r1(4:6)) %注意保证第一个分量不能为零 [q3,r3]=deconv(r1(4:6),r2(3:4))
x2 x3 2 x2 3 x 2
分解为最简分式之和的程序如下：
-0.5000 - 1.3229i -1.0000 r = [] 结果表示出来即是：
f ( x)
如果是在实数范围内分解：
0.25 0.4725 i x 0.51.3229 i
0.25 0.4725 i x 0.51.3229 i
用 MATLAB 做线性代数实验
1. 多项式运算
【1】表示方法与根 表示方法：降幂，向量形式. 例如， p( x ) 2 x x 3 x5 被表示为向量 p=[-1 0 1 0 2 0] 而不是 p=[0 2 0 1 0 -1] 或者 p=[2 1 -1]. 相关 MATLAB 函数 函数名 含义 %注意保证第一个分量不能为零
matlab高等数学部分
matlab高等数学部分
MATLAB是一种强大的数学软件，它提供了许多高等数学领域的
功能和工具，包括微积分、线性代数、微分方程等。
在MATLAB中，
你可以使用各种内置函数和工具箱来解决高等数学中的各种问题。
以下是MATLAB在高等数学部分的一些应用和功能：
1.微积分，MATLAB提供了符号计算工具箱，可以进行符号计算，如求导、积分、极限等。
此外，MATLAB还提供了数值积分和微分方
程求解的函数，可以用来解决各种微积分相关的问题。
2.线性代数，MATLAB拥有强大的线性代数工具，可以进行矩阵
运算、线性方程组求解、特征值分解等操作。
你可以使用MATLAB来
进行矩阵运算、求解线性方程组、进行特征值分解等。
3.微分方程，MATLAB提供了ODE工具箱，可以用来求解各种常
微分方程和偏微分方程。
你可以使用MATLAB来进行数值求解、绘制
相图、分析稳定性等。
4.数值方法，MATLAB提供了各种数值方法的函数和工具箱，可
以用来解决高等数学中的各种数值计算问题，如数值积分、数值求
解微分方程、数值优化等。
总之，MATLAB在高等数学部分提供了丰富的功能和工具，可以
用来解决各种高等数学领域的问题。
无论是符号计算还是数值计算，MATLAB都能够帮助你进行高效、准确的数学建模和分析。
希望这些
信息能够帮助你更好地了解MATLAB在高等数学领域的应用。
MATLAB软件在线性代数教学中的应用
MATLAB软件在线性代数教学中的应用
MATLAB是一个具有强大计算和图形处理功能的数学软件，它广泛应用于各个领域，包括线性代数教学。
在线性代数教学中，MATLAB可以帮助学生更好地理解和应用矩阵和线性方程组等基础概念。
首先，在矩阵的操作方面，MATLAB可以用来进行矩阵的创建、转置、逆矩阵计算、乘法运算、矩阵方程求解等操作。
例如，通过输入命令行“A=[1 2;3 4]”创建一个
$2\times 2$矩阵，通过输入命令行“B=A'”可以得到A的转置矩阵，通过输入命令行
“inv(A)”可以得到A的逆矩阵，通过输入命令行“C=A*B”可以得到A和B的乘积矩阵，在输入命令行“x=A\b”可以求解矩阵方程$Ax=b$。
其次，在解决线性方程组的问题上，MATLAB可以用来求解线性方程组、得到线性方程组解的唯一性和存在性，并且可以比较不同求解方法的效率。
例如，通过输入命令行
“x=A\b”就可以得到线性方程组$Ax=b$的解，通过输入命令行“rank(A)”可以得到矩阵
A的秩，通过输入命令行“cond(A)”可以得到矩阵A的条件数。
此外，在线性代数的复杂问题求解上，MATLAB可以用来进行特征值和特征向量的计算、矩阵的奇异值分解等问题的求解。
例如，通过输入命令行“[V,D]=eig(A)”可以得到矩阵
A的特征值和特征向量，通过输入命令行“[U,S,V]=svd(A)”可以得到矩阵A的奇异值分解。
总之，MATLAB的强大计算和图形处理功能，可以为线性代数教学的理解和应用提供很好的帮助。
通过学生编写MATLAB程序，实现矩阵和线性方程组的数值求解，可以加深对
线性代数基础概念的理解，提高线性代数教学的效果。
【matlab-7】Matlab与线性代数（一）
【matlab-7】Matlab与线性代数（⼀）⼀、线性代数基本⽅程组基本⽅程组：矩阵表⽰：解决问题的视⾓：1、解联⽴⽅程的视⾓ (⾏阶梯变换 & 矩阵运算)着重研究解x，即研究线性⽅程组的解法。
中学⾥的解⽅程和MATLAB的矩阵除法就是这样。
要点：矩阵的每⼀⾏代表⼀个⽅程，m⾏代表m个线性联⽴⽅程。
n列代表n个变量。
如果m是独⽴⽅程数，根据m<n、m=n、m>n确定⽅程是 ‘⽋定’、‘适定’ 还是 ‘超定’。
对这三种情况都会求解了，研究就完成了。
必须剔除⾮独⽴⽅程。
⾏阶梯形式、⾏列式和秩的概念很⼤程度上为此⽬的⽽建⽴。
2、向量空间中向量的合成的视⾓ (⽤向量空间解⽅程组)把A各列看成n个m维基本向量，线性⽅程组看成基向量的线性合成：要点：解x是这些基向量的系数。
它可能是常数(适定⽅程)，也可能成为其中的⼀个⼦空间(⽋定⽅程) 。
要建⽴其⼏何概念，并会求解或解空间。
3、线性变换或映射的视⾓ (线性变换及其特征)把b看成变量y，着重研究把Rn空间的x变换为Rm空间y 的效果，就是研究线性变换系数矩阵A的特征对变换的影响。
要点：就是要找到适当的变换，使研究问题的物理意义最为明晰。
特征值问题就是⼀例。
⼆、线性代数建模与应⽤概述介绍⼀些⼤的系统⼯程中使⽤线性代数的情况，使读者知道为什么线性代数在近⼏⼗年来变得如此的重要。
Leontief教授把美国的经济⽤500个变量的500个线性⽅程来描述，在1949年利⽤当时的计算机解出了42×42的简化模型，使他于1973年获得诺贝尔经济奖，从⽽⼤⼤推动了线性代数的发展。
把飞⾏器的外形分成若⼲⼤的部件，每个部件沿着其表⾯⼜⽤三维的细⽹格划分出许多⽴⽅体，这些⽴⽅体包括了机⾝表⾯以及此表⾯内外的空⽓。
对每个⽴⽅体列写出空⽓动⼒学⽅程，其中包括了与它相邻的⽴⽅体的共同边界变量，这些⽅程通常都已经简化为线性⽅程。
对⼀个飞⾏器，⼩⽴⽅体的数⽬可以多达400,000个，⽽要解的联⽴⽅程可能多达2,000,000个。
matlab中的 线性代数
B= 000 000
ones函数是形成元素皆为 1 的矩阵 A=ones(2), %A= ones (n) 创建n×n全1 的矩阵 A= 11 11 B=ones(2,3) B= 111 111
% B= ones (m，n)
创建m×n全1的矩阵
eye则是产生一个单位矩阵
A= eye (2),
④也可对先前建立的阵列 进行修改 如A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A= 1 4 7 2 5 8 3 6 9
A(2,3) = 5
A= 1 4 7
2 5 8 3 5 9
% 改变位於第二行，第三列的元素值
⑤利用“：”表达式获得子矩阵 A(:,j) % 表示取A矩阵的第j列全部元素； A(i,:) %表示取A矩阵第i行的全部元素； A(i,j) %表示取A矩阵第i行、第j列的元素 A(i:i+m,:) %表示取A矩阵第i～i+m行的全部元素； A(:,k:k+m) %表示取A矩阵第k～k+m列的全部元素 A(i:i+m,k:k+m) %表示取A矩阵第i～i+m行内，并
A与B的对应元素相乘 将非奇异矩阵正交化 两个向量的内积
eig(A) [X,D]=eig(A)
A^n A.*B 第i行与第j行互换
用k乘以A的第i行 A的i行加上第j行k倍
A([i,j],:)=A([j,i],:)
A(i,:)=k*A(i,:) A(i,:)=A(i,:)+k*A(i,:)
例：用LU分解法求解下列方程组的解
12 x 1 3 x 2 3 x 3 15 16 x 1 3 x 2 x 3 13 x1 x 2 x 3 6
线性代数的MATLAB软件实验报告
线性代数的MATLAB 软件实验一、实验目的1.熟悉矩阵代数主要MATLAB 指令。
2.掌握矩阵的转置、加、减、乘、除、乘方、除法等MATLAB 运算。
3.掌握特殊矩阵的MATLAB 生成。
4.掌握MATLAB 的矩阵处理方法。
5.掌握MATLAB 的矩阵分析方法。
6.掌握矩阵的特征值与标准形的MATLAB 验算。
7.掌握线性方程组的MATLAB 求解算法。
二、实验原理1.线性方程组 【基本观点】自然科学和工程实践很多问题的解决都涉及线性代数方程组的求解和矩阵运算.一方面，许多问题的数学模型本身就是一个线性方程组，例如结构应力分析问题、电子传输网分析问题和投入产出分析问题；另一方面，有些数值计算方法导致线性方程组求解，如数据拟合，非线性方程组求解和偏微分方程组数值解等.n 个未知量m 个方程的线性方程组一般形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,22112222212111212111m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (3.1) 令,,,2121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m n mn m m n n b b b b x x x x a a a a a aa a a A则得矩阵形式Ax=b. (3.2)若右端b=0,即Ax=0, (3.3)则称方程组为齐次的.方程组（3.1）可能有唯一解，可能有无穷多解，也可能无解，主要取决于系数矩阵A 及增广矩阵（A,b ）的秩.若秩（A ）=秩（A,b ）=n,存在唯一解，其解理论上用Cramer 法则求出，但由于这种方法要计算n+1个n 阶行列式，计算量太大通常并不采用；若秩（A ）=秩（A,b ）<n,存在无穷多解，其通解可表示为对应齐次方程组（3.3）的一个基础解系与（3.2）的一个特解的叠加；若秩（A ）≠秩（A,b ），则无解，这时一般寻求最小二乘近似解，即求x 使向量Ax-b 模最小.P50矩阵左除的数学思维:恒等变形Ax=b 方程两边的左边同时除以A ，得：b AAx A11=，即：b A b Ax 11-==MATLAB 的实现（左除）：x=A\b 2.逆矩阵 【基本观点】方阵A 称为可逆的，如果存在方阵B ，使 AB=BA=E,这里E 表示单位阵.并称B 为A 的逆矩阵，记B=1-A .方阵A 可逆的充分必要条件是A 的行列式det A ≠0.求逆矩阵理论上的公式为*1det 1A AA =-， (3.4)这里*A 为A 的伴随矩阵.利用逆矩阵，当A 可逆时，（3.2）的解可表示为b A x 1-=.由于公式（3.4）涉及大量行列式计算，数值计算不采用.求逆矩阵的数值算法一般是基于矩阵分解的方法.3.特征值与特征向量 【基本观点】对于方阵A ，若存在数λ和非零向量x ，使,x Ax λ= (3.5) 则称λ为A 的一个特征值，x 为A 的一个对应于特征值λ的特征向量.特征值计算归结为特征多项式的求根.对于n 阶实数方阵，特征多项式在复数范围内总有n 个根。
Matlab中的矩阵操作与线性代数计算
Matlab中的矩阵操作与线性代数计算Matlab是一种广泛应用于科学计算和工程领域的编程语言和环境，它提供了丰富的数学函数和工具箱，方便进行矩阵操作和线性代数计算。
在本文中，我们将探讨Matlab中常用的矩阵操作和线性代数计算的一些技巧和应用。
1. 矩阵的创建和初始化在Matlab中，我们可以使用不同的方法来创建和初始化矩阵。
最常见的方法是使用方括号来定义一个矩阵，例如：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];这样就创建了一个3x3的矩阵A，其中每个元素的值依次为1到9。
我们还可以使用特殊的矩阵函数来创建特定类型的矩阵，如单位矩阵（eye）、全零矩阵（zeros）和全一矩阵（ones）等，例如：B = eye(4); % 创建一个4x4的单位矩阵C = zeros(2,3); % 创建一个2x3的全零矩阵D = ones(3,2); % 创建一个3x2的全一矩阵通过这种方式，我们可以方便地创建各种形状和类型的矩阵。
2. 矩阵的基本操作在Matlab中，我们可以对矩阵进行基本的操作，如矩阵的加法、减法、乘法和转置等。
这些操作可以通过运算符来实现，例如：E = A + B; % 矩阵的加法F = A - B; % 矩阵的减法G = A * B; % 矩阵的乘法H = A'; % 矩阵的转置使用这些操作，我们可以方便地进行矩阵的运算和变换。
此外，Matlab还提供了一些特殊的矩阵函数，如矩阵的逆（inv）和矩阵的行列式（det）等，以支持更复杂的线性代数计算。
3. 矩阵的索引和切片在Matlab中，我们可以通过索引和切片来访问矩阵的特定元素或子矩阵。
矩阵的索引从1开始，可以使用括号和下标来指定所需的元素或子矩阵。
例如：a = A(2,3); % 访问矩阵A的第2行第3列的元素b = A(1:2,2:3); % 获取矩阵A的前两行和第2、3列的子矩阵c = A(:,1); % 获取矩阵A的第一列的所有元素通过这种方式，我们可以方便地对矩阵的特定部分进行操作和分析，从而提高计算效率和精度。
如何在MATLAB中进行矩阵运算与线性代数操作
如何在MATLAB中进行矩阵运算与线性代数操作MATLAB是一种功能强大的数学软件，广泛用于科学和工程领域。
它提供了丰富的矩阵运算和线性代数操作功能，能够帮助用户进行各种数学计算和分析。
矩阵的创建是进行矩阵运算和线性代数操作的第一步。
在MATLAB中，可以使用不同的方式创建矩阵，包括手动输入元素、使用内置函数、导入外部数据等。
一种创建矩阵的方法是手动输入元素。
可以使用矩阵赋值符号（`=`）将元素赋值给矩阵变量。
例如，以下代码创建了一个3x3的矩阵A：```MATLABA = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];```另一种创建矩阵的方法是使用内置函数。
MATLAB提供了许多内置函数来生成特定类型的矩阵，如零矩阵、单位矩阵、对角矩阵等。
例如，以下代码创建了一个3x3的零矩阵B：```MATLABB = zeros(3, 3);```还可以使用其他内置函数创建特定类型的矩阵。
例如，使用`ones`函数可以创建一个全1矩阵，使用`eye`函数可以创建一个单位矩阵。
进行矩阵运算时，MATLAB提供了许多运算符和函数。
例如，`+`运算符可以用于矩阵的加法，`*`运算符可以用于矩阵的乘法。
此外，MATLAB还提供了其他运算符和函数，如转置运算符（`'`）、矩阵的逆（`inv`函数）、矩阵的转置（`transpose`函数）等。
以下是一些常见的矩阵运算和线性代数操作的示例代码。
1. 矩阵加法：```MATLABA = [1 2; 3 4];B = [5 6; 7 8];C = A + B;```2. 矩阵乘法：```MATLABA = [1 2; 3 4];B = [5 6; 7 8];C = A * B;```3. 矩阵的转置：```MATLABA = [1 2 3; 4 5 6];B = transpose(A);```4. 矩阵的逆：```MATLABA = [1 2; 3 4];B = inv(A);```5. 矩阵的行列式：```MATLABA = [1 2; 3 4];det_A = det(A);```6. 矩阵的特征值和特征向量：```MATLABA = [1 2; 3 4];[eig_vec, eig_val] = eig(A);```此外，MATLAB还提供了许多其他的矩阵运算和线性代数操作的函数，如矩阵的奇异值分解、最小二乘解、QR分解等。
Matlab应用线性代数
矩阵的行列式
可用函数det求矩阵的行列式大小。 例：
a=[1 2 0;2 5 -1;4 10 -1]; b=det(a) b=
1
矩阵的四则运算
❖ 数组和矩阵的加减运算使用加号和减号，即 “+”和“-”。
❖ 矩阵相乘使用“*”运算符。
❖ 如果只是将两个矩阵中相同位置的元素相乘， 使用“.*”运算符。
线性方程组的求解
❖ 方形系统 p135 ❖ 超定系统 ❖ 不定系统
符号矩阵
❖ 符号矩阵的四则运算 ❖ 符号矩阵的转置运算 ❖ 符号矩阵的行列式运算 ❖ 符号矩阵的求逆运算 ❖ 符号矩阵的求秩运算 ❖ 符号矩阵的常用函数运算 ❖ 符号矩阵常用线性方程(组)的求解
符号矩阵运算的函数： symadd(a,d) —— 符号矩阵的加 symsub(a,b) —— 符号矩阵的减 symmul(a,b) —— 符号矩阵的乘 symdiv(a,b) —— 符号矩阵的除 sympow(a,b) —— 符号矩阵的幂运算 symop(a,b) —— 符号矩阵的综合运算
load mri; montage(D,map);
❖ Imwrite;将图像写成图像文件 （bmp,hdf,jpeg,tiff等）; imwrite(A,文件名，‘格式’)；
❖ Warp 显示图像为纹理映射表面 warp(x,y,z,….) [x,y,z]=sphere; d=imread('test.jpg'); warp(x,y,z,d); warp(x,y,z,X,map);%% load trees; 具有颜色图map的索引图X
0000
矩阵的秩
用函数rank求矩阵的秩。 例：
a=[1 2 0;2 5 -1;4 10 -1]; b=rank(a) b=
第三章 MATLAB线性方程组及矩阵特征值
求解线性方程组的主要方法有：
直接法：理论，无舍入误差，有限步，精确解 迭代法：格式，无穷序列 解向量 x
§3.1 解线性方程组的直接法 一、 Gauss消去法
设有 a11 x1 a12 x2 a1n xn a1,n1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn a2,n1 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn ai ,n1 an1 x1 an 2 x2 ann xn an ,n1
(n) 回代求解公式
a xn n,n 1 ann n 1 xk [ak ,n1 akj x j ] akk j k 1 (k n 1, n 2,...,1
（3.3)
（3.3) 是回代过程。
说明： (1)也可采用无回代的列主元消去法(叫Gauss--Jordan消去法)，该法同时消去对角元上 下的元素，且仍旧需要选主元，但比有回 代的列主元消去法的乘除运算次数多。 Gauss－Jordan消去法的优点之一是用它来 计算逆矩阵的算法非常容易解释。 (2)有回代的列主元消去法所进行的乘除运算 次数为 1 n3 n 2 1 n ，量很小。
回 代： an,n 1 xn a
nn n 1 xk [ak ,n1 akj x j ] akk j k 1 (k n 1, n 2,...,1
问 题：aii 0或 aii 0?
二、列主元素消去法---计算结果可靠
(1)找行号r1 使 ar11 max ai1 ，对调1 r1行：
(3.1)
线性代数：方法不好时工作量非常大， 工作量小的方法是 Gauss 消去法。
关于MATLAB软件在线性代数教学中的应用探讨
关于MATLAB软件在线性代数教学中的应用探讨关于MATLAB软件在线性代数教学中的应用探讨一、引言线性代数作为数学的一个重要分支，在各个领域都有广泛的应用。
线性代数的教学过程中，理论与实践相结合，能够更好地培养学生的分析和解决问题的能力。
而MATLAB软件作为数学建模、仿真和计算的工具，能够为线性代数的教学提供有力的支持。
本文将探讨MATLAB软件在线性代数教学中的应用。
二、MATLAB软件的介绍MATLAB是一种强大的高级计算机语言和交互式环境，该软件提供了丰富的数学、图形和数据分析工具，适用于各种科学与工程计算。
MATLAB在科研领域有广泛的应用，尤其在线性代数、信号处理和图像处理方面具有突出的优势。
三、MATLAB在线性代数教学中的应用1. 线性方程组的求解线性方程组是线性代数的基本内容之一，而MATLAB提供了直接求解线性方程组的工具。
学生可以通过编程的方式输入线性方程组，使用MATLAB求解方程组，并将结果可视化展示。
这样不仅可以加深学生对线性方程组求解方法的理解，还能提高他们的编程能力。
2. 矩阵运算与特征值分解矩阵运算是线性代数的重要内容，而MATLAB提供了丰富的矩阵运算函数。
学生可以通过编写MATLAB程序，实现矩阵的加减乘除、转置和求逆等操作，并进行相应的结果验证。
此外，MATLAB还能够进行特征值分解，对于矩阵的特征向量和特征值进行计算。
通过这些实践操作，学生可以更好地理解矩阵运算的概念和原理，提高解决实际问题的能力。
3. 图形绘制与可视化MATLAB具备强大的图形功能，能够进行二维和三维图形的绘制。
在线性代数教学中，学生可以通过编写MATLAB程序，将矩阵、向量或线性方程组的解表示为图形，从而更直观地展示线性代数的概念和应用。
这种图形化的可视化方式有助于学生理解和记忆线性代数的重要概念，提高他们的学习兴趣和积极性。
四、MATLAB在线性代数教学中的优势1. 提高学生的编程能力MATLAB作为一种编程语言，可以提高学生的编程能力。
线性代数matlab实验指导
实验四 行列式及应用
第1章 矩阵与行列式
实验四 行列式及应用 【实验目的】 1. 了解行列式的概念，掌握行列式的性质 2．掌握行列式的计算方法 3．掌握Gramer法则求解线性方程组 【实验要求】掌握计算行列式det、解线性方程组solve、生成Vandermonde行列式vander等命令 【实验内容】 1．计算下列行列式的值： （1） ；（2） ；
第1章 矩阵与行列式
>> G=inv(A) 运行结果： G = 1/4 1/4 -1/4 1 -2 1 -3/4 5/4 -1/4 >> H=A^5 运行结果： H = 1492 1006 1460 1558 1069 1558 1914 1331 1946
第1章 矩阵与行列式
【矩阵与行列式简介】 在计算机日益发展的今天，线性代数起着越来越重要的作用。线性代数起源于解线性方程组的问题，而利用矩阵来求解线性方程组的Gauss消元法至今仍是十分有效的计算机求解线性方程组的方法。矩阵是数学研究和应用的一个重要工具，利用矩阵的运算及初等变换可以解决求解线性方程组等问题。特殊的矩阵方阵的数字特征之一是方阵的行列式，使用行列式可以描述方阵的一些重要的性质。通过计算行列式可求逆矩阵，n个
第1章 矩阵与行列式
实验三 Gauss消元法
【实验目的】掌握解线性方程组的Gauss消元法 【实验要求】掌握矩阵赋值命令、初等变换相关命令、简化矩阵为阶梯形式rref等命令 【实验内容】
用Gauss消元法解线性方程组：
；
第1章 矩阵与行列式
【实验过程】 1．（1）解法一：Gauss消元法． >>A=[1 2 1 8;1 2 3 10;2 3 1 13;1 2 2 9] ; >>A(2,:)=A(2,:)-A(1,:); >>A(3,:)=A(3,:)-2*A(1,:); >>A(4,:)=A(4,:)-A(1,:) 运行结果： A = 1 2 1 8 0 0 2 2 0 -1 -1 -3 0 0 1 1 >> A([2,3],:)=A([3,2],:) 运行结果： A = 1 2 1 8 0 -1 -1 -3 0 0 2 2 0 0 1 1
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>>det(A) 运行结果：
ans =
a^5-10*a^3*b^2+20*a^2*b^3-15*a*b^4+4*b^5
即行列式的值为 a5 10a3b2 20a2b3 15ab4 4b5
．
第1章 矩阵与行列式
2．用Gramer法则解线性方程组
>> A=[2 1 -5 1;1 4 -7 6;1 -3 0 -6;0 2 -1 2];
X= 31 52 -2 0
第1章 矩阵与行列式
实验三 Gauss消元法
【实验目的】掌握解线性方程组的Gauss消元法
【实验要求】掌握矩阵赋值命令、初等变换相关命 令、简化矩阵为阶梯形式rref等命令
【实验内容】
1．用Gauss消元法解线性方程组：
x1 2x2 x3 8
（1）2x1x123xx2 23xx33
【实验目的】
1. 了解行列式的概念，掌握行列式的性质
2．掌握行列式的计算方法
3．掌握Gramer法则求解线性方程组
【实验要求】掌握计算行列式det、解线性方程组solve、生成 Vandermonde行列式vander等命令
【实验内容】
1．计算下列行列式的值：
abbbb
2 5 1
（1） 1 9 13
运行结果：
C=
4
2
0
4
0
2
2
2
4
>> AB=A*B
运行结果：
AB =
6
2
6
1
8 -1
>> D=6*A
运行结果：
D=
18
6
12
6
6 12
第1章 矩阵与行列式
-2 0 2
6 12 18
>> sym c;
>> cA=c*A 运行结果：
cA =
[ 3*c, c, c]
[ 2*c, c, 2*c]
[ c, 2*c, 3*c]
会求向量组的极大线性无关组和秩
5．掌握矩阵秩的求法
【实验要求】掌握简化矩阵为阶梯形式rref、计算行列式det、计算矩阵的 秩rank等命令
【实验内容】
1.
设向量： 1
a1
0 1 2
， 3
a2
4
52
由 a1, a2 , a3 线性表示？
12 由上可知 r(A) r(B) 2 ，故方程组有解。
第1章 矩阵与行列式
3
3
1
0
2．求向量
5
在基
5
，a1
0
，a3
1
下的坐标．
9
9
1
1
.
即求满足方程 x1a1 x2 a2 x3a3 的解。
第1章 矩阵与行列式
未知量n个方程的线性方程组的惟一解等问题。向 量也是研究矩阵的有力工具，可通过向量组的秩 来定义矩阵的秩。向量与矩阵、行列式都是线性 代数的重要基本概念，它们是建立线性方程组的
解的构造理论与系统求解方法的三个基本工具。
第1章 矩阵与行列式
验证性实验
实验一 矩阵的运算 【实验目的】 1．理解矩阵、逆矩阵的概念 2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、逆、方阵的
>> F=A' 运行结果：
F=
3
2
1
1
1
2
第1章 矩阵与行列式
1 2 3
第1章 矩阵与行列式
>> G=inv(A) 运行结果： G=
1/4 1/4 1 -2 -3/4 5/4 >> H=A^5 运行结果： H= 1492 1006 1558 1069 1914 1331
-1/4 1 -1/4
1460 1558 1946
>>A3=[2 1 8 1;1 4 0 6;1 -3 9 -6;0 2 -5 2];
>>A4=[2 1 -5 8;1 4 -7 0;1 -3 0 9;0 2 -1 -5];
>>a=det(A);
>>a1=det(A1);a2=det(A2);a3=det(A3);a4=det(A4);
>>X=[a1/a,a2/a,a3/a,a4/a]
2x1 x2 5x3 x4 8
x1
4x2 7x3 6x4 x1 3x2 6x4 9
0
2x2 x3 2x4 5
>>A1=[8 1 -5 1;0 4 -7 6;9 -3 0 -6;-5 2 -1 2];
>>A2=[2 8 -5 1;1 0 -7 6;1 9 0 -6;0 -5 -1 2];
>> A1=[1;1;0];
>> A2=[1;0;1];
>> A3=[0;1;1];
>> A=[A1,A2,A3];
>> b=[3;-5;9];
>> X=inv(A)*b
输出
X=
-5.5000
8.5000
0.5000
第2章 线性方程组
【线性方程组简介】
线性方程组的求解问题促进了线性代数 的产生和发展，利用矩阵、行列式和向量 这三个基本工具可较好的解决线性方程组 的求解问题。利用解向量所构成的基础解 系可方便的描述解空间的基本特征及写出 通解，从而较好地描述了线性方程组解的 结构问题。
% conj为复数共轭即
A'
a b
c d
G=
[ d/(a*d-c*b), -b/(a*d-c*b)]
[ -c/(a*d-c*b), a/(a*d-c*b)]
d
b
即
A 1
ad cb c
ad cb
ad cb
ad
a
cb
．
第1章 矩阵与行列式
， 1
a3
4
0 9
， 5
b
4 14
，问b能否
第1章 矩阵与行列式
>> A=[-1 3 1;0 4 4;1 -2 0;2 5 9]; b=[5;4;-4;1]; B=[A,b]; r=[rank(A),rank(B)] 运行结果： r=
3 7
；（2） b a b b b ；
bbabb
3 1 5 5
bbbaa
2 8 7 10
bbbba
第1章 矩阵与行列式
（1）>> A=[-2 5 -1 3;1 -9 13 7;3 -1 5 -5;2 8 -7 -10];
>>det(A) 运行结果：
ans =
312
（2）>> A=sym('[a b b b b;b a b b b;b b a b b;b b b a b;b b b b a]');
实验二 矩阵的初等变换 【实验目的】 1．理解矩阵初等变换的概念 2．掌握矩阵的初等变换及用初等变换求矩阵的逆矩
阵
【实验要求】掌握矩阵的表示、符号变量说明syms 、逆矩阵inv等命令
第1章 矩阵与行列式
【实验内容】
1．已知矩阵AΒιβλιοθήκη a eb f
c g
d h
，求对矩阵实施如下的
i j k l
第1章 矩阵与行列式
【矩阵与行列式简介】
在计算机日益发展的今天，线性代数起着越 来越重要的作用。线性代数起源于解线性方程组 的问题，而利用矩阵来求解线性方程组的Gauss消 元法至今仍是十分有效的计算机求解线性方程组 的方法。矩阵是数学研究和应用的一个重要工具 ，利用矩阵的运算及初等变换可以解决求解线性 方程组等问题。特殊的矩阵方阵的数字特征之一 是方阵的行列式，使用行列式可以描述方阵的一 些重要的性质。通过计算行列式可求逆矩阵，n个
第1章 矩阵与行列式
3）>> A=sym('[a b c d;e f g h;i j k l]'); >>A([2,1],:)=A([1,2],:) 运行结果： A= [ e, f, g, h] [ a, b, c, d] [ i, j, k, l]
第1章 矩阵与行列式
1 2 3 3
初等变换后所得矩阵。
矩阵的第2行乘以m；
矩阵的第3列的n倍加到第1列上去；
矩阵的第1行与第2行交换。 1）>> syms m;
>>A=sym('[a b c d;e f g h;i j k l]');
>>A(2,:)=m*A(2,:)
第1章 矩阵与行列式
运行结果： A= [ a, b, c, d] [ m*e, m*f, m*g, m*h] [ i, j, k, l] 2）>> syms n; >>A=sym('[a b c d;e f g h;i j k l]'); >>A(:,1)=A(:,1)+n*A(:,3) 运行结果： A= [ a+n*c, b, c, d] [ e+n*g, f, g, h] [ i+n*k, j, k, l]
>>A(4,:)=A(4,:)-A(1,:) 运行结果：
A=
1218
0022
0 -1 -1 -3