Matlab在线性代数中的应用.ppt

3、排列 由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in 称为一个n级排列. （总数为 n!个） 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：
123 132 213 231 312 321 4、 排列的逆序数
在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前后位置与大小
顺逆序序相的反 总数,即,i称s>为it(t它>s的),则逆称序这数两，数记构为成(一i1i2个…逆in)序。。排列中
一、行列式
1、二阶行列式
a11 a12 a21 a22
a11a22 a12a21
2、三阶行列式
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a11 a12 a13
用克莱姆法则解方程组
2x1 2x2
6x4 2
32xx11
x2 x2
2x3 4x3
4x4 4x4
2 3
x1 x2 x3 8x4 2
二、矩阵运算
由m n个数aij构成的m行n列数表
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
am1 am2 amn
, x2
D2 D
,
xn
Dn D
(2)
其中Dj (j=1,2,…,n) 是把系数行列式D中第j列的元素 换成方程组的常数项b1,b2,…,bn所构成的n级行列式, 即：
a11
Dj
a21
a1, j1 a2, j1
an1 an, j1
b1 a1, j1 b2 a2, j1 bn an, j1
a1n a2n ann
2、矩阵转置、共轭转置运算
A’
矩阵共轭转置
A.’
矩阵转置
转置的运算级别比加、减、乘、除等运算高
对称矩阵：一个矩阵与其转置矩阵相等
isequal(A,A.’) == 1
反对称矩阵：一个矩阵与其转置矩阵的和为零矩阵
isequal(-A,A.’) == 1
3、矩阵加法
定义 设有两个m×n矩阵
a11 a12
(1) (
j1 j2
a a jn ) 1 j1 2 j2
anjn
Det(aij
)
an1 an2 ann
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a a 1 j1 2 j2 anjn 并冠以符号 (1) ( j1 j2 jn ) 的项的和。
(i) a1 j1 a2 j2 L anjn 是取自不同行、不同列的n个元素的乘积；
(ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 ( j1 j2 jn )
决定每一项的符号；
(iii) 表示对所有的 j1 j2 jn 构成的n！个排列求和.
Matlab中，行列式由函数 det() 实现
练习：求下面的行列式，n为输入参数
1 2 2L 2 2 2 2L 2 2 2 3L 2 MMM M M 2 2 2L n
Matlab在线性代数中的应用
一、行列式 二、矩阵运算 三、矩阵初等变换 四、求解线性方程组
Matlab的最初设计目的就是为程序员或科研人员编写专业 化的数值线性代数程序提供一个简单实用的接口。在Matlab的 命令提示符下运行help matfun命令可以查看Matlab提供的所有 与线性代数相关的函数。
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
(1) a a a ( j1 j2 j3 ) 1 j1 2 j2 3 j3
(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
b11 b12
B
b21
b22
bm1 bm2
b1n
b2n
ຫໍສະໝຸດ Baidu
bmn
a11 b11
a12 b12
矩阵 C
a21
b21
a22 b22
am1 bm1 am 2 bm 2
a1n b1n
a2n
b2n
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a 21 x1 a 22 x2
a2n xn
b2
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
a11 a12 L
的系数行列式 D a21 a22 L
MM an1 an2 L
a1n
a2n 0, 则方程组有惟一解
M ann
x1
D1 D
乘积构成，除符号外可写为 a a a 1 j1 2 j2 3 j3
(ii)符号为 (1) ( j1 j2 j3 ) “+” 123 231 312 （偶排列）
(iii)项数为 3！=6
“-” 321 213 132 （奇排列）
定义： n阶行列式
a11 a12 a1n
记
D a21 a22 a2n
amn bmn
称为矩阵A与B的和. 记作
C AB
aij
bij
.
mn
Matlab中，矩阵的加法就是 A + B
4、矩阵减法
a11
设A
aij
,A
mn
aij
a21
mn M
am1
a12 L a22 L
称为维(型)是m n的矩阵(matrix),简称为m n矩阵.
记为
A (aij )mn , Amn 或 A (aij ),
其 中aij为 矩 阵 的 第i行 第j列 元 素.
i称为行标i 1,2, , m，j称为列标j 1,2, , n.
1、矩阵相等
定义 设有两个m×n矩阵
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
b11 b12
B
b21
b22
bm1 bm 2
b1n
b2n
bmn
若 aij bij (i 1,2, , m; j 1,2, , n)
则称矩阵A和B相等. 记作A=B
Matlab中，矩阵相等可用函数 isequal(A,B) 来判断
奇(偶)排列: 若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶），称 它为奇（偶）排列.
高等教育出版社 同济大学数学教研室 编《工程数学——线性代数》（第三版）P7
练习：编写一个M函数求排列的逆序数： 输入：一个排列，如 k = [3 2 1 4 5] 输出：排列的逆序数 t = 5
克莱姆法则
克莱姆法则：如果n元线性方程组