中考数学99个考点对照练习
九年级数学下册同步考点必刷基础练实际问题与反比例函数(解析版)
九年级数学下册考点必刷练精编讲义（人教版）基础第26章《反比例函数》26.2 实际问题与反比例函数知识点01：根据实际问题列反比例函数关系式1．（2021•饶平县校级模拟）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，∴xy＝10，∴y与x的函数关系式为：y＝．故选：C．2．（2020•莫旗一模）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（）A．v＝B．v+t＝480 C．v＝D．v＝解：由于以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，那么路程为80×6＝480千米，∴汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为v＝．故选：A．3．（2017秋•宝安区期末）今年，某公司推出一款的新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买新手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款2000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数x（x 为正整数）之间的函数关系式是（）A．y＝+2000 B．y＝﹣2000C．y＝D．y＝解：由题意可得：y＝＝．故选：C．4．（2021秋•长安区期末）如图，某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面积为12m2的矩形园子．（1）设矩形园子的相邻两边长分别为xm，ym，y关于x的函数表达式为y＝（不写自变量取值范围）；（2）当y≥4m时，x的取值范围为 1.2≤x≤3 ；（3）当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为 1.6 m．解：（1）依题意得：xy＝12，∴y＝．故答案为：y＝．（2）∵4≤y≤10，即4≤≤10，∴1.2≤x≤3．∴x的取值范围为1.2≤x≤3．故答案为：1.2≤x≤3．（3）当x＝7.5时，y＝＝1.6；当y＝7.5时，＝7.5，解得：x＝1.6．∴当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为1.6m．故答案为：1.6．5．（2021•株洲模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止．记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数解析式是y ＝．解：如图，记AP边上的高为DE，∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAE＝∠APB，∵∠B＝∠AED＝90°，∴△ABP∽△DEA，∴＝，∴＝，∴y＝．故答案为：y＝．6．（2020•枣阳市校级模拟）如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下：x（cm）…10 15 20 25 30 …y（N）…30 20 15 12 10 …猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式为．解：由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，∴设y＝（k≠0），把x＝10，y＝30代入得：k＝300∴y＝，将其余各点代入验证均适合，∴y与x的函数关系式为：y＝．故答案为：y＝．7．（2021春•海州区期末）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视镜片的焦距为0.2米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是y＝．解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y＝，由于点（0.2，400）在此函数解析式上，∴k＝0.2×400＝80，∴y＝．故答案为：y＝．8．甲、乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用的时间t（h）表示为汽车速度v（km/h）的函数，并说明t是v的什么函数．解：∵路程为100，速度为v，∴时间t＝，t是v的反比例函数．9．（2021•东胜区一模）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．（1）写出v关于t的函数表达式；（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．解：（1）根据题意，路程为400，设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，则v关于t的函数表达式为v＝；（2）设从A地匀速行驶到B地要t小时，则≤80，解得：t≥5，∴他从A地匀速行驶到B地至少要5小时；（3）∵v≤100，≤100，解得：t≥4，∴某人从A地出发最少用4个小时才能到达B地，7点至10点40分，是3小时，∴他不能在10点40分之前到达B地．10．我们学习过反比例函数，例如，当矩形面积一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写为（s为常数，s≠0）．请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式．实例：三角形的面积S一定时，三角形底边长y是高x的反比例函数；函数关系式：（s为常数，s≠0）．解：本题通过范例，再联系日常生活、生产或学习当中可以举出许许多多与反比例函数有关的例子来，例如：实例1，三角形的面积S一定时，三角形底边长y是高x的反比例函数，其函数关系式可以写出（s为常数，s≠0）．实例2，甲、乙两地相距100千米，一辆汽车从甲地开往乙地，这时汽车到达乙地所用时间y（小时）是汽车平均速度x（千米/小时）的反比例函数，其函数关系式可以写出．知识点02：反比例函数的应用11．（2022•牡丹区三模）当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，下表记录了一组实验数据：V（单位：m3） 1 1.5 2 2.5 3P（单位：96 64 48 38.4 32kPa）P与V的函数关系可能是（）A．P＝96V B．P＝﹣16V+112C．D．P＝16V2﹣96V+176解：观察发现：VP＝1×96＝1.5×64＝2×48＝2.5×38.4＝3×32＝96，故P与V的函数关系式为P＝，故选：C．12．（2022•南宁模拟）学校的自动饮水机，通电加热时水温每分钟上升10℃，加热到100℃时，自动停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则水温要从20℃加热到100℃，所需要的时间为（）ArrayA．6min B．7min C．8min D．10min解：∵通电加热时每分钟上升10℃，∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：＝8（min），故选：C．13．（2022•皇姑区二模）研究发现，近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.4米，则小明的近视镜度数可以调整为（）A．300度B．500度C．250度D．200度解：设函数的解析式为y＝（x＞0），∵400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，∴k＝400×0.25＝100，∴解析式为y＝，∴当y＝0.4时，x＝＝250（度），答：小明的近视镜度数可以调整为250度，故选：C．14．（2022春•海州区校级期末）滑草是同学们喜欢的一项运动，滑道两边形如两条双曲线．如图，点A1、A2、A3……在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1、B2、B3，一反比例函数y＝（k＞1，x＞0）的图象上，A1B1，∥A2B2……∥y轴，已知点A1、A2……的横坐标分别为1、2……，令四边形A1A2B2B1、A2A3B3B2…的面积分别为S1、S2……，若S10＝21，则k的值为221 ．解：∵A1B1∥A2B2…∥y轴，∴A1和B1的横坐标相等，A2和2的横坐标相等，…，A n和B n的横坐标相等，∵点A1，A2…的横坐标分别为1，2，…，∴点B1，B2…的横坐标分别为1，2，…，∵点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3…反比例函数y＝（k＞1，x＞0）的图象上，∴A1B1＝k﹣1，A2B2＝﹣，∴S1＝×1×（﹣+k﹣1）＝（k﹣）＝（k﹣1），同理得：A3B3＝﹣＝（k﹣1），A4B4＝（k﹣1），…，∴S2＝×1×[（k﹣1）+（k﹣1）]＝×（k﹣1），S3＝×1×[（k﹣1）+（k﹣1）]＝×（k﹣1）…，∴S n＝×（k﹣1），∵S10＝21，∴××（k﹣1）＝21，解得：k＝221，故答案为：221．15．（2022•山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为400 Pa．解：设p＝，∵函数图象经过（0.1，1000），∴k＝100，∴p＝，当S＝0.25m2时，物体所受的压强p＝＝400（Pa），故答案为：400．16．（2022•岳麓区校级模拟）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲、F乙、F丙、F丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F乙＜F丙＜F甲＜F丁，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是乙同学．解：根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂可得，∵阻力×阻力臂是个定值，即水桶的重力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变，∴动力越小，动力臂越大，即拉力越小，压力的作用点到支点的距离越远，∵F乙最小，∴乙同学到支点的距离最远．故答案为：乙．17．（2022•青岛一模）如图，一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v （km/h）的图象为双曲线的一段，若这段公路行驶速度不得超过80km/h，则该汽车通过这段公路最少需要h．解：设双曲线的解析式为v＝，∵A（40，1）在双曲线上，∴1＝．∴k＝40，∴双曲线的解析式为v＝，∵≤80，∴t≥，即该汽车通过这段公路最少需要h．故答案为：．18．（2022•福州模拟）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，在温度不变的情况下，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化，已知密度ρ是体积V的反比例函数关系，它的图象如图所示，则当ρ＝3.3kg/m3时，相应的体积V是 3 m3．解：设ρ＝，把（5，1.98）代入得：k＝5×1.98＝9.9，故ρ＝，则当ρ＝3.3kg/m3时，相应的体积V＝＝3（m3）．故答案为：3．19．（2022秋•莱阳市期中）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强P（Pa）与气球体积V（m3）之间成反比例关系，其图象如图所示．（1）求P与V之间的函数表达式；（2）当V＝2.5m3时，求P的值；（3）当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于多少？解：（1）设这个函数解析式为：P＝，代入点A的坐标（1.5，16000）得，＝16000，∴k＝24000，∴这个函数的解析式为P＝；（2）由题可得，V＝2.5m3，∴P＝＝9600（Pa），∴气球内气体的压强是9600帕；（3）∵气球内气体的压强大于40000Pa时，气球将爆炸，∴为了安全起见，P≤40000kPa，∴≤40000，∴V≥m3，∴为了安全起见，气球的体积不少于立方米．20．（2022秋•中山区期中）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当R＝9Ω时，I＝4A．（1）求蓄电池的电压；（2）若I≤10，求可变电阻R的变化范围．解：（1）根据电学知识，设，∵当R＝9时，I＝4．∴U＝36，∴电压36V．（2）由题意，，∴36≤10R，∴R≥3.6，∴可变电阻R的变化范围是R≥3.6．21．（2022秋•历下区期中）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（x＞0）的反比例函数，y与x之间有如表关系：x/厘米 1 2 3 5y/米14 7 2.8 请根据表中的信息解决下列问题：（1）直接写出y与x之间的函数表达式是y＝；（2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28 米；（3）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝，∴7＝，∴k＝14，∴y与x之间的函数表达式为y＝；（2）当x＝0.5时，y＝＝28米，∴当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米；（3）当y≥35时，即≥35，∴x≤0.4，∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.4厘米，故答案为：（1）y＝；（2）28．22．（2022秋•天桥区期中）把一定体积的钢锭拉成钢丝，钢丝的总长度y（m）是其横截面积x（mm2）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求y与x的函数关系式；（2）当钢丝总长度不少于80m时，钢丝的横截面积最多是多少mm2？解：（1）由图象得，反比例函数图象经过点（4，32），设y与x的函数关系式使y＝，则＝32，解得k＝128，∴y与x的函数关系式是y＝；（2）当y＝80时，即：＝80，解得：x＝1.6（mm2），∴钢丝的横截面积最多为1.6mm2．23．（2022秋•岳阳县校级月考）太阳能进入了千家万户，一个容量为180升的太阳能热水器，能连续的工作时间是y分钟，每分钟的排水量为x升．（1）写出y与x的函数关系式；（2）若热水器连续工作最长时间是1小时，求自变量x的取值范围．解：（1）由题意可得，y＝，即y与x的函数关系式是y＝；（2）当x＝60时，y＝3，即热水器连续工作最长时间是1小时时的每分钟的排水量最少是3升，∴x的取值范围为x≥3．24．（2022秋•中山区月考）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象过点A（0.8，120）如图所示．（1）求这一函数的表达式；（2）当气体压强为48kPa时，求V的值；（3）当气球内的体积小于0.6m3时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的最大压强为多少？解：（1）设P与V的函数关系式为P＝，则k＝0.8×120，解得k＝96，∴函数关系式为P＝．（2）将P＝48代入P＝中，得＝48，解得V＝2，∴当气球内的气压为48kPa时，气球的体积为2立方米．（3）当V＝0.6m3时，气球将爆炸，∴V＝0.6，即＝0.6，解得P＝160kpa故为了安全起见，气体的压强不大于160kPa。
2023年九年级中考数学高频考点提升练习--二次函数与动态几何
2023年九年级中考数学高频考点提升练习--二次函数与动态几何1．已知，m,n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|<|n|，抛物线y=x2+ bx+c的图象经过点A(m,0)，B(0,n)，如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D 的坐标，并判断△BCD的形状；（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为√2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．2．已知x轴上有点A（1，0），点B在y轴上，点C（m，0）为x轴上一动点且m＜﹣1，连接AB，BC，tan∠ABO= 12，以线段BC为直径作∠M交直线AB于点D，过点B作直线l∠AC，过A，B，C三点的抛物线为y=ax2+bx+c，直线l与抛物线和∠M的另一个交点分别是E，F．（1）求B点坐标；（2）用含m的式子表示抛物线的对称轴；（3）线段EF的长是否为定值？如果是，求出EF的长；如果不是，说明理由．（4）是否存在点C（m，0），使得BD= 12AB若存在，求出此时m的值；若不存在，说明理由．3．将一个直角三角形纸片ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，点A(4，0)，点C(0，2)，点O(0，0)，点B在x轴负半轴，点E在线段AO上以每秒2个单位长度的速度从A向点O运动，过点E作直线EF∠x轴，交线段AC于点F，设运动时间为t秒．将∠AEF沿EF翻折，使点A 落在x轴上点D处，得到∠DEF．（1）如图①，连接DC，当∠CDF=90°时，求点D的坐标．（2）①如图②，若折叠后∠DEF与∠ABC重叠部分为四边形，DF与边BC相交于点M，求点M的坐标（用含t的代数式表示），并直接写出t的取值范围；②∠DEF与∠ABC重叠部分的面积为S，当12≤t≤2时，求S的取值范围（直接写当出结果即可）．4．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE∠AB交AC于点E①过点E作EF∠AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得∠CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.5．在平面直角坐标系中，抛物线y= −√34x 2+√32x+2√3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q.（1）如图1，连接AC，BC.若点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∠y轴交BC于点E，作PF∠BC于点F，过点B作BG∠AC交y轴于点G.点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH，HK.当∠PEF的周长最大时，求PH+HK+ √32KG的最小值及点H的坐标.（2）如图2，将抛物线沿射线AC方向平移，当抛物线经过原点O时停止平移，此时抛物线顶点记为D/，N为直线DQ上一点，连接点D/，C，N，∠D/CN能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N的坐标；若不能，请说明理由.6．已知抛物线G：y1＝mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3，直线h：y2＝mx+3﹣2m，其中m≠0．（1）当m＝1时，求抛物线G与直线h交点的坐标；（2）求证：抛物线G与直线h必有一个交点A在坐标轴上；（3）在（2）的结论下，解决下列问题：①无论m怎样变化，求抛物线G一定经过的点坐标；②将抛物线G关于原点对称得到的图象记为抛物线G′，试结合图象探究：若在抛物线G与直线h，抛物线G′与直线h均相交，在所有交点的横坐标中，点A横坐标既不是最大值，也不是最小值，求此时抛物线G的对称轴的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，8），直线l经过原点O，与抛物线的一个交点为D（6，8）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与直线l交于点E，点T为x轴上方的抛物线上的一个动点．①当∠TEC=∠TEO时，求点T的坐标；②直线BT与y轴交于点P，与直线l交于点Q，当OP=OQ时，求点P的坐标．8．如图，在Rt△ABC，∠ACB=90∘，AC=8，BC=6,点D是边AB的中点，动点P从点B 出发以每秒4个单位长度的速度向终点A运动，当P与点D不重合时，以PD为边构造Rt△PDQ，使∠PDQ=∠A，∠DPQ=90∘，且点Q与点C在直线AB同侧，设点P的运动时间为t 秒（t>0），△PDQ与△ABC重叠部分图形面积为S．（1）用含t的代数式表示线段PD的长；（2）当点Q落在边BC上时，求t的值；（3）当△PDQ与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t的函数关系式．（4）当点Q落在△ABC内部或边上时，直接写出点Q与△ABC的顶点的连线平分△ABC面积时t的值．9．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”．这条高称为“半高”．如图1，对于∠ABC，BC边上的高AD等于BC的一半，△ABC就是“半高三角形”．此时，称∠ABC是“BC边半高三角形”，AD是“BC边半高”；如图2，对于∠EFG，EF边上的高GH等于EF的一半，∠EFG就是半高三角形，此时，称∠EFG是EF边半高三角形，CH是“EF 边半高”．（1）在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，若∠ABC是“BC边半高三角形”，则AC＝cm；（2）若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”长为2cm，则该等腰三角形底边长的所有可能值为．（3）如图3，平面直角坐标系内，直线y＝x+2与抛物线y＝x2交于R，S两点，点P是抛物线y ＝x2.上的一个动点，点Q是坐标系内一点，且使得∠RSQ为“RS边半高三角形”当点P介于抛物线上点R与点S之间，且PQ取得最小值时，求点P的坐标．10．如图1，二次函数y=a(x+3)(x−4)的图象交x轴于点A，交y轴于点B(0，−2)，点P为x轴上一动点．（1）求二次函数y=a(x+3)(x−4)的表达式并化成一般形式；（2）过点P作PQ⊥x轴交线段AB于点Q，交抛物线于点C，连接AC．当OP=1时，求△ACQ的面积；（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在x轴下方的抛物线上时，求点D的坐标．11．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2−2ax−3a交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴点B，交y轴的正半轴于点C，且OB＝2OC．（1）求a的值；（2）如图1，点D、P分别在一、三象限的抛物线上，其中点P的横坐标为t，连接BP，交y轴于点E，连接CD、DE，设∠CDE的面积为s，若4s+3t=0，求点D的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，射线AE与射线FB交于点G，连接AP，若∠AGB＝2∠APB，求点P的坐标．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = ax2+ bx + c经过A、B、C三点，已知点A（-3，0），B（0，3），C（1，0）.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD∠AB于点D.动点P在什么位置时，∠PDE的周长最大，求出此时P 点的坐标；（3）在直线x = -2上是否存在点M，使得∠MAC = 2∠MCA，若存在，求出M点坐标.若不存在，说明理由.13．综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−7(a≠0)经过x轴上的点A(1，0)和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y=x+n．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线对称轴上存在一点H，连接AH、CH，则|AH−CH|的最大值是；（3）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．设运动时间为t秒且（0<t<4），求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值；（4）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的横坐标．14．在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=12x2−32x−2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若∠DPQ与∠ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．15．综合与探究在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C．P（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；（2）若点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点D，求线段PD的最大值．（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．16．如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y= 34x2+bx+c经过点B，且对称轴是直线x=﹣5 2．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）将图甲中∠ABO沿x轴向左平移到∠DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上；（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作MN∠y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l与t之间的函数解析式，并求当t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．（参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣b2a，4ac−b24a），对称轴是直线x=﹣b2a．）答案解析部分1．【答案】（1）解：∵x2+4x+3=0，∴x1=−1，x2=−3，∵m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|<|n|，∴m=−1，n=−3，∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(m,0)，B(0,n)，∴{1−b+c=0c=−3，∴{b=−2c=−3，∴抛物线解析式为y=x2−2x−3，（2）解：令y=0，则x2−2x−3=0，∴x1=−1，x2=3，∴C(3,0)，∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴顶点坐标D(1,−4)，过点D作DE⊥y轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD是直角三角形；（3）解：如图，∵B(0,−3)，C(3,0)，∴直线BC解析式为y=x−3，∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M的横坐标为t，∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴P(t,t−3)，M(t,t2−2t−3)，过点Q作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ=√2，∴QF=1，当点P在点M上方时，即0<t<3时，PM=t−3−(t2−2t−3)=−t2+3t，∴S=12PM×QF=12(−t2−3t)=−12t2+32t，如图3，当点P在点M下方时，即t<0或t>3时，PM=t2−2t−3−(t−3)，∴S=12PM×QF=12(t2−3t)=12t2−32t．综上所述：当点P在点M上方时，即0<t<3时，S=−12t2+32t，当点P在点M下方时，即t<0或t>3时，S=12t2−32t．2．【答案】（1）解：∵tan∠ABO= OAOB=12，且A（1，0），∴OB=2，即：点B的坐标为（0，2）（2）解：点C（m，0），A（1，0），B（0，2）在抛物线y=ax2+bx+c上，∴{a+b+c=0c=2am2+bm+c=0解之得：b=﹣2(m+1)m，a= 2m，∴x=﹣b2a= m+12．即：抛物线的对称轴为x= m+1 2（3）解：∵点E在抛物线y=ax2+bx+c上，又在直线y=2上，∴2=ax2+bx+2∴x1=0，x2=﹣b a∴E（﹣ba，2），又∵直线l∠x轴，BC是∠M的直径，∴BF∠OC，BF=OC，∴F（m，2）∴EF=﹣ba﹣m，∵点C（m，0）为x轴上一动点且m＜﹣1，∴m的值是一个变量，即：线段EF的长不是定值（4）解：如下图所示：连接CD∵BCS是∠M的直径，∴∠CDB=90°，∵若BD= 12AB，即BD=DA则易证CB=CA∴√22+m 2 =1﹣m 解之得m=﹣ 32，即：存在一点C （﹣ 32 ，0），使得BD= 12AB3．【答案】（1）解：∵点A(4，0)，点C(0，2)，∴OA=4，OC=2， ∵∠AOC=90°， ∴tan∠CAO=OC OA =12，∵∠AEF 沿EF 翻折后，点A 落在x 轴上点D 处， ∴∠DEF∠∠AEF ， ∴∠FDE=∠FAE ， ∵∠CDF=90°， ∴∠FDE+∠CDO=90°， ∵∠COD=90°， ∴∠OCD+∠CDO=90°， ∴∠FDE=∠OCD ， ∴∠FDE=∠OCD=∠FAE ， ∴tan∠OCD=tan∠FAE=12，在Rt∠OCD 中，tan∠OCD =OD OC =12， ∴OD=12OC =1，∴D(1，0)．（2）解：①过点M 作MN∠x 轴，如图所示：∵∠MNB=90°， ∴∠MBN+∠BMN=90°，∵∠ACB=90°， ∴∠CBA+∠CAB=90°， ∴∠BMN=∠CAB ，在RtΔBMN 中，tan∠BMN=tan∠CAB =MN DN =12， ∴MN=2BN ，在RtΔDMN 中，tan∠MDN=tan∠CAB =MN DN =12， ∴DN=2MN=4BN ， ∴BD=DN ﹣BN=3BN ， ∵∠ACB=∠AOC=90°，∴∠BCO+∠ACO=∠ACO+∠CAB=90°， ∴∠BCO=∠CAB ， 在RtΔBOC 中，tan∠BCO =OB OC =12， ∴OB=12OC=1，∴AB=5， ∴∠DEF∠ΔAEF ， ∴AE=DE=2t ，∴BD=AD ﹣AB=4t ﹣5， ∴4t ﹣5=3BN ， ∴BN =4t−53，MN=2BN =8t−103，∴M (4t−83，8t−103)，要使重叠部分为四边形，则2AE ＞AB ， 即4t ＞5，解得t ＞54，∵点E 在线段AO 上， ∴AE ≤AO ， 即2t ≤4， 解得：t ≤2，∴t 的取值范围是54＜t ≤2；②14≤S ≤25134．【答案】（1）解：点A 的坐标为（4，8）将A (4，8)、C （8，0）两点坐标分别代入y=ax 2+bx 得8=16a+4b 0=64a+8b解得a= −12，b=4∴抛物线的解析式为：y=- 12x 2+4x（2）解：①在Rt∠APE 和Rt∠ABC 中，tan∠PAE= PE AP = BC AB ，即 PE AP =48=12PE= 12 AP= 12t ．PB=8-t ．∴点E 的坐标为（4+ 12 t ，8-t ）.∴点G 的纵坐标为：- 12 （4+ 12 t ）2+4(4+ 12 t ）=- 18 t 2+8. ∴EG=- 18 t 2+8-(8-t) =- 18 t 2+t.∵- 18 ＜0，∴当t=4时，线段EG 最长为2 ②共有三个时刻：t 1= 163 ，t 2= 4013 ，t 3= 852+55．【答案】（1）解：易求A(-2,0)，B(4,0)，C(0, 2√3 )，D(1, 9√34)，∠PEF∠∠BOC. ∴当PE 最大时，∠PEF 的周长最大.易求直线BC 的解析式为y= −√32x +2√3 设P(x, −√34x 2+√32x +2√3 )，则E(x, −√32x +2√3 ) ∴PE= −√34x 2+√32x +2√3 -( −√32x +2√3 )= −√34x 2+√3x ∴当x=2时，PE 有最大值. ∴P(2, 2√3 )，此时 如图，将直线OG 绕点G 逆时针旋转60 °得到直线l ， 过点P 作PM∠l 于点M ，过点K 作KM /∠l 于M /.则PH+HK+ √32KG= PH+HK+KM /≥PM 易知∠POB=60°.POM 在一直线上. 易得PM=10，H(1, √3 )（2）解：易得直线AC 的解析式为y= √3x +2√3 ，过D 作AC 的平行线，易求此直线的解析式为y= √3x +5√34 ，所以可设D /(m, √3m +5√34 )，平移后的抛物线y 1= −√34(x −m)2+√3m +5√34 .将（0，0）代入解得m 1=-1（舍），m 2=5.所以D /(5, 25√34).设N(1,n)，又C(0, 2√3 )，D /(5, 25√34).所以NC 2=1+(n- 2√3 )2，D /C 2= 52+(25√34−2√3)2= 126716 ，D /N 2= （5−1)2+(25√34−n)2 . 分NC 2= D /C 2 D /C 2= D /N 2；NC 2= D /N 2.列出关于n 的方程求解.答案N 1(1, 8√3+3√1394 )，N 2(1, 8√3−3√1394 )，N 3(1, 25√3+√10114 )，N 4(1, 25√3−√10114)，N 5(1, 641√3136).6．【答案】（1）解：当m =1时，抛物线G ：y 1=x 2−1，直线ℎ：y 2=x +1，令x 2−1=x +1，解得x =−1或x =2，∴抛物线G 与直线ℎ交点的坐标为(−1，0)或(2，3)；（2）证明：令mx 2−(3m −3)x +2m −3=mx +3−2m ，整理得mx 2−(4m −3)x +4m −6=0，即(x −2)(mx −2m +3)=0，解得x =2或x =2m−3m， 当x =2时，y =3；当x =2m−3m时，y =0； ∴抛物线G 与直线ℎ的交点分别为(2，3)和(2m−3m，0)， ∴必有一个交点在x 轴上；（3）解：①证明：由（2）可知，抛物线一定过点(2，3)；②解：抛物线G ：y 1=mx 2−(3m −3)x +2m −3=(mx −2m +3)(x −1)，则抛物线G 与x 轴的交点为(1，0)，(2m−3m，0)，∵抛物线G 与抛物线G′关于原点对称， ∴抛物线G′过点(−1，0)，(−2m−3m，0)， ∴抛物线G′的解析式为：y′=−m(x +1)(x +2m−3m)=−mx 2−(3m −3)x −2m +3， 令−mx 2−(3m −3)x −2m +3=mx +3−2m ，整理得mx 2+(4m −3)x =0， ∴x =0或x =3−4mm， 即四个交点分别为：(0，3−2m)，(2，3)，A(2m−3m ，0)，(3−4mm，6−6m)，当0⩽3−4m m⩽2时，即12⩽m ⩽34时，0为最小值，2为最大值， ∴0<2m−3m<2(m >0)，不等式无解，这种情况不成立； 当3−4m m <0时，则0<m <34，则3−4m m <2m−3m<2，解得m >1，不成立； 当3−4m m >2时，得0<m <12，此时0<2m−3m <3−4m m ，解得得0<m <12， ∴0<3m−32m <32．即抛物线G 对称轴的取值范围为：0<3m−32m<32． 7．【答案】（1）解：把C 、D 两点的坐标代入抛物线解析式可得 {c =836a +18+c =8，解得 {c =8a =−12， ∴抛物线解析式为y=﹣ 12 x 2+3x+8（2）解：①∵y=﹣ 12 x 2+3x+8=﹣ 12 （x ﹣3）2+ 252 ，∴抛物线对称轴为x=3，设直线l解析式为y=kx，把D（6，8）代入可得8=6k，解得k= 3 4，∴直线l的解析式为y= 43x，∴E（3，4），∵O（0，0），C（0，8），∴OE=CE，∴点E在线段OC的垂直平分线上，∵∠TEC=∠TEO，∴TE∠x轴，∴T的纵坐标为4，在y=﹣12x2+3x+8中，令y=4可得4=﹣12x2+3x+8，解得x=3+ √17或x=3﹣√17，∴T的坐标为（3+ √17，4）或（3﹣√17，4）；②在y=﹣12x2+3x+8中，令y=0可得0=﹣12x2+3x+8，解得x=﹣2或x=8，∴B（8，0），∵E（3，4），∴OE=5，如图2，过点E作BP的平行线，交y轴于点F，交x轴于点H，∴OPOF=OQOE，∵OP=OQ，∴OF=OE=5，∴F（0，5），∴可设直线PB的解析式为y=kx+5，把E点坐标代入可得4=3k+5，解得k=﹣1 3，∴直线EF的解析式为y=﹣13x+5，∴可设直线PB的解析式为y=﹣13x+m，把B点坐标代入可得0=﹣13×8+m，解得m=83，∴P点坐标为（0，8 3）8．【答案】（1）解：由题意得，AB= √AC2+BC2=√62+82=10,AD=BD= 12AB=5 当P在线段BD上且不与D重合时，有PD=5-4t（0<t<54）；当P在线段AD上且不与D重合时，有PD=4t-5（0<t<54）；则当0<t<54时，PD=5−4t；当54<t≤52时，PD=4t−5；（2）解：如图1∵∠PDQ=∠A, ∠DPQ=∠ACB=90°,∴∠DQP∠∠ABC∴DQAB=DPAC,DQ=54PD=54(5−4t)=254−5t又∵∠PDQ=∠A∴DQ//AC,∵点D是边AB的中点∴DQ为∠ABC的中位线∴当点Q落在BC上时，DQ= 12AC=4∴254−5t=4,解得t=920；（3）解：由（1）（2）可知：①如图2：当0＜t＜920时，重叠部分为四边形S=S∠BND-S∠BPM= 12×3×4−12×(4t)2×43= =−333t2+6；②如图3：当Q在AC上时，P在AD的中点，即此时t= 15 8当158＜t＜52时，重叠部分为四边形S=S∠ADQ-S∠APM= 12×5×52×34−12×(10−4t)2×34= −6t2+30t−52516；（4）t的值为920，365228，17209．【答案】（1）2 √5（2）4或2√6+2√2或2√6−2√2（3）解：将抛物线的表达式y=x2与直线方程y=x＋2联立并解得：x=−1或2，即：点R、S的坐标分别为（−1，1）、（2，4），则RS＝3 √2，则RS边上的高为：12×3 √2= 32√2，则点Q在于RS平行的上下两条直线上，如下图，设直线RS与y轴交于点N，则N（0，2），过点N作NQ∠TQ于点Q，则NQ= 32√2，则NT=NQsin45°＝3，∴点T（0，5），则点Q所在的直线方程为：y＝x＋5，同理：当点Q所在的直线在直线RS的下方时，y＝x−1，∴点Q所在的直线方程为：y＝x＋5或y＝x−1；如图4，当点P介于点R与点S之间时，设与RS平行且与抛物线只有一个交点p′的直线方程为：y＝x＋d，将该方程与抛物线方程联立并整理得：x2−x−d＝0，∴∠＝1＋4d＝0，解得：d＝−1 4，此时，x2−x＋14＝0，解得：x＝12，∴点p′（12，14），此时，P（p′）Q取得最小值．10．【答案】（1）解：将B（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），∴a ＝16，∴y ＝16（x+3）（x ﹣4）＝16x 2﹣16x ﹣2；（2）解：令y ＝0，则16（x+3）（x ﹣4）＝0，∴x ＝﹣3或x ＝4， ∴A （4，0），设直线AB 的解析式为y ＝kx+b ， ∴{b =−24k +b =0， ∴{k =12b =−2， ∴y ＝12x ﹣2，∵OP ＝1， ∴P （1，0）， ∵PQ∠x 轴，∴Q （1，﹣32），C （1，﹣2），∴AP ＝3，∴S ∠ACQ ＝S ∠ACP ﹣S ∠APQ ＝12×3×2﹣12×3×32＝34；（3）解：设P （t ，0），如图3，过点D 作x 轴垂线交于点N ，∵∠BPD ＝90°，∴∠OPB+∠NPD ＝90°，∠OPB+∠OBP ＝90°， ∴∠NPD ＝∠OBP ， ∵BP ＝PD ，∴∠PND∠∠BOP （AAS ）， ∴OP ＝ND ，BO ＝PN ， ∴D （t+2，﹣t ），∴﹣t ＝16（t+2+3）（t+2﹣4），解得t ＝1或t ＝﹣10，∴D （3，﹣1）或D （﹣8，10）．11．【答案】（1）解： ∵ 抛物线 y =ax 2−2ax −3a 交x 轴的负半轴于点A ，交x 轴的正半轴点B ，交y 轴的正半轴于点C ，且 OB =2OC ， 令 x =0 ，则 y =−3a ，则 C(0，−3a) ， ∴OC =−3a ，由 y =ax 2−2ax −3a =a(x 2−2x −3)=a(x −3)(x +1) ， 则 A(−1，0) ， B(3，0) ， ∴OB =3 ， ∵ OB =2OC ， 即 3=2×(−3a) ，解得 a =−12，（2）解： ∵ a =−12 ，∴y =−12x 2+x +32 ，∵ 点P 的横坐标为t ，则 P(t ，−12t 2+t +32) ， A(−1，0) ， B(3，0) ， C(0，32) ，设 D 的横坐标为 m ，设直线 BP 的解析式为 y =kx +b ，则 {kt +b =−12t 2+t +323k +b =0解得 {k =−t 2+2t+32t−6=−12(t +1)b =3t 2−6t+92t−6=32(t +1) ∴y =−12(t +1)x +32(t +1) ，∴OE =−b =3t 2−6t+96−2t =3(t 2−2t+3)2(3−t)=−32(t +1) ，CE=32−32(t+1)=−32t，设∠CDE的面积为s，则S=12CE⋅x D=12×(−32t)×m=−34mt，∵4s+3t=0，∴−3mt+3t=0，解得m=1，∴x D=1，将x=1代入y=−12x2+x+32=−12+1+32=2，∴D(1，2)，（3）解：如图，连接AD，BD，过D作DH⊥x轴与H∵A(−1，0)，B(3，0)，C(0，32)，D(1，2)，P(t，−12t2+t+32)，E(0，32t+32)∴AD=√(1+1)2+22=2√2，BD=√(3−1)2+22=2√2，AB=4∴AD2+BD2=16，AB2=16，AD=BD∴△ABD是等腰直角三角形∴∠ADB=90°∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，∴∠EDF=90°，DE=DF∴∠ADE+∠EDB=∠EDB+∠BDF∴∠ADE=∠BDF∴△AED≌△BFD ∴AE=BF，DA=DB，∠DAE=∠DBF延长GF至R，使得FR=EG，连接DR，DG，∵AE=BF，FR=EG∴AG=BR在△DAG与△DBR中{DA=DB ∠DAG=∠DBR AG=BR∴△DAG≌△DBR∴DG=DR，∠ADG=∠BDR，∵∠ADB=90°∴∠ADG+∠GDB=90°∴∠BDR+GDB=90°即∠GDR=90°∴△DRG是等腰直角三角形∴∠DRG=∠DGR=45°∵∠DGA=∠DRB∴∠DGA=45°∴∠AGB=∠DGA+∠DGB=90°∵∠AGB=2∠APB∴∠APB=45°过点P引坐标的两条垂线，垂足为Y，Z，作直线BP关于x轴对称的直线BT，交DH于点T，过点T作TS⊥DB，设T关于x轴对称的点为T′，∵∠APE=45°∴∠EPZ+∠YPA=45°设∠PBA=α，则∠TBO=α，∠EPZ=α，∠YPA=45°−α∵DH⊥x轴，△ADB是等腰直角三角形，∴∠DBO=45°∴∠SBT=45°−α=∠YPA∴tan∠SBT=tan∠YPA，∴STSB=YAYP∵D(1，2)，DH⊥x轴，∴T，T′的横坐标为1，∵直线BP的解析式为y=−12(t+1)x+32(t+1)令x=1解得y=t+1∴T′(1，t+1)∴T(1，−t −1) ∴DT =3+t∴ST =DS =DT ⋅sin45°=√22(3+t)∵ D(1，2) ， H(1，0) ∴ DH =2∴SB =DB −DS =DHsin45°−DS =2√2−√22(3+t)=√22−√22t∵ P(t ，−12t 2+t +32) ， A(−1，0) ，∴YA =−1−t ， YP =12t 2−t −32=12(t +1)(t −3) ，∴ST SB =YAYP， 即 √22(3+t)√22−√22t =−1−t12t 2−t−32 ， 整理得 t 2−2t −7=0 ，解得 t 1=1+2√2，t 2=1−2√2 ， ∵t <0 ， ∴t =1−2√2 ，将 t =1−2√2 t 代入 −12t 2+t +32=−2 ，∴P(1−2√2，−2) ．12．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-3，0），B （0，3），C （1，0），∴{9a −3b +c =0c =3a +b +c =0 ，解得： {a =−1b =−2c =3 ， 所以，抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3； （2）解：∵A （-3，0），B （0，3），∴OA=OB=3，∴∠AOB 是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°， ∵PF∠x 轴，∴∠AEF=90°-45°=45°，又∵PD∠AB ，∴∠PDE 是等腰直角三角形，∴PD 越大，∠PDE 的周长越大，易得直线AB 的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，联立{y=x+my=−x2−2x+3，消掉y得，x2+3x+m-3=0，当∠=9-4（m-3）=0，即m= 214时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，此时x=- 32，y=154，∴点（- 32，154），∠PDE的周长最大；（3）解：设直线x=-2与x轴交于点E，作点A关于直线x=-2的对称点D，则D（-1，0），连接MA，MD，MC.∴MA=MD，∠MAC=∠MDA=2∠MCA，∴∠CMD=∠DCM∴MD=CD=2 ，∴ME= √3∴点M（-2，√3）或（-2，- √3）.13．【答案】（1）解：∵点B、C在直线为y=x+n上，∴B(−n，0)、C(0，n)，∵点A(1，0)在抛物线上，∴{a+b−7=0an2−bn−7=0n=−7，∴a=−1，b=8，∴抛物线解析式：y=−x2+8x−7（2）解：5√2（3）解：由题意，得，PB=6−t，BE=2t，由OB=OC，∠BOC=90°，得∠OBC=45°，∴点P 到BC 的高h 为BP ·sin45°=√22(6−t)，∴S ΔPBE =12BE ⋅ℎ=12×√22(6−t)×2t =−√22t 2+3√2t =−√22(t −3)2+9√22，当t ＝3时，面积最大，最大值为9√22；（4）解：6或7+√732或7−√73214．【答案】（1）解：令 y =0 ，则 12x 2−32x −2=0 ，解得 x 1=−1 ， x 2=4 ，∴A(−1,0) ， B(4,0) ，根据题意设抛物线L 2的解析式为： y =a(x +1)(x −4) ， 把点 (2,−12) 代入，得 −6a =−12 ，解得 x =2 ， ∴y =2(x +1)(x −4)=2x 2−6x −8 ；（2）解：∵抛物线L 2与L 1是“共根抛物线”， A(−1,0) ， B(4,0) ，∴它们的对称轴都是直线 x =32 ，∴点P 在直线 x =32上，如图，当A 、C 、P 共线时， BP −CP 的值最大，∵PA =PB ，∴BP −CP =AP −CP =AC ，此时点P 是直线AC 与直线 x =32的交点，∵A(−1,0) ， C(0,−2) ，∴直线AC 的解析式为： y =−2x −2 ，∴P(32,−5) ；（3）解：∵A(−1,0) ， B(4,0) ， C(0,−2) ，∴AB =5 ， CB =2√5 ， CA =√5 ，∴AB 2=CB 2+CA 2 ，∴∠ACB =90° ， CB =2CA ，∵y =12x 2−32x −2=12(x −32)2−258， ∴D(32,258) ， 根据题意， ∠PDQ 不可能是直角，第一种情况，当 ∠DPQ =90° 时，①如图，当 △QDP ∼△ABC 时， QP DP =AC BC =12设 Q(x,12x 2−32x −2) ，则 P(32,12x 2−32x −2) ， ∴DP =12x 2−32x −2−(−258)=12x 2−32x +98， QP =x −32 ， ∵DP =2QP ，∴12x 2−32x +98=2(x −32) ，解得 x 1=112 ， x 2=32（舍去）， ∴P(32,398) ； ②如图，当 △DQP ∼△ABC 时，则 PQ =2PD ，∴x −32=2(12x 2−32x +98) ，解得 x 1=52 ， x 2=32 （舍去）， ∴P(32,−218) ； 第二种情况：当 ∠DQP =90° 时，①如图，当 △PDQ ∼△ABC 时， PQ DQ =AC BC =12 ，过点Q 作 QM ⊥PD 于点M ，则 △QDM ∼△PDQ ，∴QM MD =PQ DQ =12 ，由图知， M(32,398) ， Q(112,398) ， ∴MD =8 ， MQ =4 ，∴DQ =4√5 ，由 DQ DM =PD DQ ，得 PD =10 ，∵D(32,−258) ， ∴P(32,558) ； ②如图，当 △DPQ ∼△ABC 时，过点Q 作 QM ⊥PD 于点M ，同理得 M(32,−218) ， Q(52,−218) ，∴DM =12 ， QM =1 ， QD =√52 ，由 QD DM =PD DQ ，得 PD =52 ，∴P(32,−58) ；综上：点P 的坐标是 (32,398) 或 (32,−218) 或 (32,558) 或 (32,−58) ．15．【答案】（1）解：∵二次函数 y =ax 2+bx +2 的图象与x 轴交于 A(−3,0) ，B(1,0) 两点， ∴{9a −3b +2=0a +b +2=0 ，解得： {a =−23b =−43∴这个二次函数的解析式为 y =−23x 2−43x +2 ；∵二次函数 y =−23x 2−43x +2 与y 轴交于点C ，∴点C 的坐标为 (0,2)设直线 AC 的解析式为 y =kx +2 ，∵直线 AC 经过点 A(−3,0)∴0=−3k +2解得 k =23 ，∴直线 AC 的解析式为 y =23x +2 ；（2）解：由（1）得 y =−23x 2−43x +2 ，设点 P(m,−23m 2−43m +2) ，则 D(m,23m +2) ，∴PD =−23m 2−43m +2−(23m +2) =−23m 2−2m =−23(m +32)2+32 ∴当 m =−32时， PD 最大，最大值是 32 ． （3）存在， Q 1(−5,0) ， Q 2(−1,0) ， Q 3(2+√7,0) ， Q 4(2−√7,0)16．【答案】（1）解：由于抛物线y= 34x 2+bx+c 与y 轴交于点B （0，3），则 c=3； ∵抛物线的对称轴 x=﹣ b 2a =﹣ 52， ∴b=5a= 154； 即抛物线的解析式：y= 34 x 2+ 154x+3． （2）解：∵A （4，0）、B （0，3），∴OA=4，OB=3，AB= √OA 2+OB 2 =5；若四边形ABCD 是菱形，则BC=AD=AB=5，∴C （﹣5，3）、D （﹣1，0）．将C （﹣5，3）代入y= 34 x 2+ 154 x+3中，得： 34 ×（﹣5）2+ 154×（﹣5）+3=3，所以点C 在抛物线上；同理可证：点D 也在抛物线上．（3）解：设直线CD 的解析式为：y=kx+b ，依题意，有：{−5k +b =3−k +b =0 ，解得 {k =−34b =−34∴直线CD ：y=﹣ 34 x ﹣ 34． 由于MN∠y 轴，设 M （t ， 34 t 2+ 154t+3），则 N （t ，﹣ 34 t ﹣ 34 ）； ② t ＜﹣5或t ＞﹣1时，l=MN=（ 34 t 2+ 154 t+3）﹣（﹣ 34 t ﹣ 34 ）= 34 t 2+ 92 t+ 154 ； ②﹣5＜t ＜﹣1时，l=MN=（﹣ 34 t ﹣ 34 ）﹣（ 34 t 2+ 154 t+3）=﹣ 34 t 2﹣ 92 t ﹣ 154； 若以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形，由于MN∠CE ，则MN=CE=3，则有： 34 t 2+ 92 t+ 154=3，解得：t 1=﹣3+2 √2 ，t 2=﹣3﹣2 √2 ；﹣ 34 t 2﹣ 92 t ﹣ 154=3，解得：t=﹣3； 综上，l= {34t 2+92t +154(t <−5或t >−1)34t 2−92t −154(−5<t <−1)且当t=﹣3+2 √2 ，t=﹣3﹣2 √2 或﹣3时，以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形．。
中考数学复习专题训练精选试题及答案
中考数学复习专题训练精选试题及答案一、选择题1. 以下哪一个数是最小的无理数？A. √2B. πC. 3.14D. √9答案：A2. 若一个等差数列的首项是2，公差是3，则第8项是多少？A. 17B. 18C. 19D. 20答案：A3. 一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为（3，-4），则该二次函数的一般式为：A. y = x² + 6x - 13B. y = x² - 6x + 13C. y = -x² + 6x - 13D. y = -x² - 6x + 13答案：B4. 在三角形ABC中，a = 5，b = 7，C = 60°，则边c 的长度等于：A. 6B. 8C. 10D. 12答案：C二、填空题1. 已知a = 3，b = 4，则a² + b² = _______。
答案：252. 已知一个等差数列的前5项和为35，首项为7，求公差d = _______。
答案：23. 在梯形ABCD中，AB // CD，AB = 6，CD = 8，AD = BC = 5，求梯形的高h = _______。
答案：34. 若函数f(x) = x² - 2x + 1的最小值为m，求m =_______。
答案：0三、解答题1. 已知一元二次方程x² - 4x - 12 = 0，求解该方程。
解：首先，将方程因式分解为(x - 6)(x + 2) = 0。
然后，解得x = 6或x = -2。
答案：x = 6或x = -22. 已知一个长方体的长为a，宽为b，高为c，且a、b、c成等差数列。
若长方体的体积为V，求V的表达式。
解：由题意可知，a + c = 2b，所以c = 2b - a。
长方体的体积V = abc = ab(2b - a)。
答案：V = ab(2b - a)3. 已知三角形ABC，AB = AC，∠BAC = 40°，BC = 6，求三角形ABC的周长。
中考数学复习之线与角、平行线的性质及判定,考点过关与基础练习题
第二部分图形与几何19.线段、角、相交线与平行线知识过关1.直线、射线、线段(1)直线上一点和它____的部分叫做射线；直线上两点和它们____的部分叫做线段，这两点叫做线段的_______.(2)两点_____一条直线，两点之间线段最短，两点之间_____的长度，叫做两点间的距离.(3)线段的中点把线段_______等分.2.角(1)角：有_____端点的两条射线组成的图形叫做角，角也可以看作由一条_____绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)余角：如果两个角的和等于_____，那么就说这两个角互为余角._____或等角的余角相等.(3)补角：如果两个角的和等于_____，那么就说这两个角互为补角._____或等角的补角相等.(4)一条射线把一个角分成两个______的角，这条射线叫做这个角的平分线.3.相交线(1)对顶角：如果一个角的两边分别是另一个角的两边的_____延长线，则称这两个角是对顶角，对顶角______.(2)垂直：在同一平面内，两条直线相交成90，叫做两条直线相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线.(3)垂直的性质：同一平面内，过一点_____一条直线与已知直线垂直，直线外一点和直线上所有点的连接中，_______最短.(4)点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的_____的长度，叫做点到直线的距离.4.平行线(1)平行线：平面内，_______的两条直线叫做平行线.(2)平面内两条直线的位置关系:_________和_________.(3)平行公理：过直线外一点，有且______一条直线与已知直线平行.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相______.(4)平行线的性质：如果两条直线平行，那么同位角相等，_____相等，同旁内角_______.(5)平行线的判定：如果同位角相等，或______或______互补，那么两直线平行.5.命题的概念(1)命题：______的语句叫做命题.(2)命题的组成：命题由______和______两部分组成.(3)命题的形成：命题可以写成“如果.......,那么.......”的形式，以如果开头的部分是_____,以那么开头的部分是________.(4)命题的真假：_______的命题叫做真命题,______的命题叫做假命题.6.尺规作图(1)在几何里，把用没有刻度的____和____这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图.(2)常见的五种基本作图：①作一条线段等于已知线段；①作一个角等于已知角；①作一个角的平分线；①过一个点作已知直线的垂线；①作线段的垂直平分线.➢考点过关考点1 线段长度的有关计算例1已知线段AB＝10cm，点D是线段AB的中点，直线AB上有一点C，并且BC＝2cm，则线段DC＝．考点2对顶角、邻补角的相关计算如图，点O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD＝3∠BOE，若∠AOC＝α，则∠COE 的度数为（）A．3αB．120°−43αC．90°D．120°−13α考点3平行线的性质例3如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1＝54°，则∠2等于（）A．108°B．117°C．126°D．54°考点4平行线的判定与性质综合例4如图1，直线HD∥GE，点A是直线HD上一点，点C是直线GE上一点，点B是直线HD、GE之间的一点．（1）过点B作BF∥GE，试说明：∠ABC＝∠HAB+∠BCG；（2）如图2，RC平分∠BCG，BM∥CR，BN平分∠ABC，当∠HAB＝40°时，点C在直线AB右侧运动的过程中，∠NBM的度数是否不变，若是，求出该度数；若不是，请说明理由．考点5命题的真假例5下列结论中，正确的有①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③面积相等的两个三角形全等；④有两边和一个角分别对应相等的两个三角形全等；⑤钝角三角形三条高所在的直线交于一点，且这点在钝角三角形外部．（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点6尺规作图例6如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，观察图中尺规作图的痕迹，则AD的长是．➢真题演练1.如图，OC在∠AOB外部，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线．∠AOB＝110°，∠BOC＝60°，则∠MON的度数为（）A．50°B．75°C．60°D．55°2．如图，OC、OD为∠AOB内的两条射线，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠COD，若∠COD ＝10°，则∠AOB的度数是（）A．30°B．40°C．60°D．80°3．如图，已知ON，OM分别平分∠AOC和∠BON．若∠MON＝20°，∠AOM＝35°，则∠AOB的度数为（）A．15°B．35°C．40°D．55°4．如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．③连接OE交CD于点M．下列结论中不正确的是（）A．∠CEO＝∠DEO B．CM＝MDC．∠OCD＝∠ECD D．S四边形OCED=12CD•OE5．下列说法正确的是（）A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角B．内错角相等C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D．一个角的补角一定是钝角6．下列说法错误的是（）A．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行D．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线7.如图所示，C为线段AB的中点，D在线段CB上，DA＝6cm，DB＝4cm，则CD的长度为______cm．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，观察图中尺规作图的痕迹，则AD的长是．9．如图，C是线段AB上一点，D，E分别是线段AC，BC的中点，若AB＝10，则DE＝．10．如图，C，D为线段AB上两点，AB＝7cm，AD＝1.5cm，D为线段AC的中点，则线段CB＝cm．11．（1）已知：如图1，AB∥CD，求证：∠B+∠D＝∠BED；（2）已知：如图2，AB∥CD，试探求∠B、∠D与∠E之间的数量关系，并说明理由．拓展提升：如图3，已知AB∥DE，BF，EF分别平分∠ABC与∠CED，若∠BCE＝140°，求∠BFE的度数．12．如图，AB∥CD，点P为平面内一点．（1）如图①，当点P在AB与CD之间时，若∠A＝20°，∠C＝45°，则∠P＝°；（2）如图②，当点P在点B右上方时，∠ABP、∠CDP、∠BPD之间存在怎样的数量关系？请给出证明；（不需要写出推理依据）（3）如图③，EB平分∠PEG，FP平分∠GFD，若∠PFD＝40°，则∠G+∠P＝°．➢课后练习1．如图，已知AB∥DF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（）A．22°B．33°C．44°D．55°2．如图，直线CE∥DF，∠CAB＝135°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（）A．30°B．35°C．36°D．40°3．如图，已知a∥b，则∠ACD的度数是（）A．45°B．60°C．73°D．90°4．如图所示，直线a∥b，∠2＝31°，∠A＝28°，则∠1＝（）A．61°B．60°C．59°D．58°5．下列说法正确的是（）A．延长射线AB到CB．若AM＝BM，则M是线段AB的中点C ．两点确定一条直线D ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行6．下列说法正确的是（ ）A ．垂直于同一条直线的两直线互相垂直B ．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等D ．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离7．下列说法中错误的是（ ）A ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C ．两条直线相交，有且只有一个交点D ．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直8．下列说法正确的是（ ）A ．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线平行B ．不相交的两条直线叫做平行线C ．直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短D ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行9．如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ．若△CDB 的面积为12，△ADE 的面积为9，则四边形EDBC 的面积为（ ）A ．15B ．16C ．18D ．2010．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD ＝∠DAB 的依据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS11．如图，点A 、B 、C 在同一条直线上，点D 为BC 的中点，点P 为AC 延长线上一动点（AD ≠DP ），点E 为AP 的中点，则AC−BP DE 的值是 ．12．如图，点D是线段AB上一点，点C是线段BD的中点，AB＝8，CD＝3，则线段AD长为．13.如图1，已知∠BOC＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若AO⊥BO，则∠EOF是多少度？（2）如图2，若角平分线OE的位置在射线OB和射线OF之间（包括重合），请说明∠AOC的度数应控制在什么范围．14．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．（1）求证：AC∥DF；（2）如果∠DEC＝105°，求∠C的度数．15．如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°．（1）请你判断CF与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）若∠1＝70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数．➢冲击A+在半径为5的⊙O中，AB是直径，点C是直径AB上方半圆上一动点，连接AC、BC．（1）如图1，则△ABC面积的最大值是；（2）如图2，如果AC＝8，①则BC＝；②作∠ACB的平分线CP交⊙O于点P，求长CP的长．（3）如图3，连接AP并保持CP平分∠ACB，D为线段BC的中点，过点D作DH⊥AP，在C点运动过程中，请直接写出DH长的最大值．。
中考数学专题知识点题型复习训练及答案解析(经典珍藏版)：26 应用题
备考中考一轮复习点对点必考题型题型26 应用题考点解析1．一元二次方程的应用（1）列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．（2）列一元二次方程解应用题中常见问题：①数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．②增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．③形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．④运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”a．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．b．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．c．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．d．解：准确求出方程的解．e．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．f．答：写出答案．2．分式方程的应用（1）列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．（2）要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．3．一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．4．一元一次不等式组的应用对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．5．一次函数的应用（1）分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．（2）函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．（3）概括整合①简单的一次函数问题：a建立函数模型的方法；b分段函数思想的应用．②理清题意是采用分段函数解决问题的关键．6．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．五年中考1．（2019•成都）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x之间的关系式；（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可以用p x来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？2．（2018•成都）为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．（1）直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式；（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？3．（2017•成都）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：地铁站A B C D Ex（千米）8 9 10 11.5 13y1（分钟）18 20 22 25 28（1）求y1关于x的函数表达式；（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y2x2﹣11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．4．（2016•成都）某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？5．（2015•成都）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？一年模拟6．（2019•成华区模拟）随着人们生活水平的提高，对饮水品质的需求也越来越高，某商场购进甲、乙两种型号的净水器，每台甲型净水器比每台乙型净水器进价多200元，已知用5万元购进甲型净水器与用4.5万元购进乙型净水器的数量相等．（1）求每台甲型，乙型净水器的进价各是多少元？（2）该商场计划花费不超过9.8万元购进两种型号的净水器共50台进行销售，甲型净水器每台销售2500元，乙型净水器每台售价2200元，商场还将从销售甲型净水器的利润中按每台a元（70＜a＜80）捐献给贫困地区作为饮水改造扶贫资金．设该公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W元，求W的最大值．7．（2019•邛崃市模拟）某健身馆普通票价为40元/张，6﹣9月为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价1200元/张，每次凭卡不再收费．②银卡售价300元/张，每次凭卡另收10元．普通票正常出售，两种优惠卡仅限6﹣9月使用，不限次数．设健身x次时，所需总费用为y元．（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出A、B、C的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．8．（2019•武侯区模拟）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m 时，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是，求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．9．（2019•锦江区模拟）十三五”以来，党中央，国务院不断加大脱贫攻坚的支持决策力度，并出台配套文件，国家机关各部门也出台多项政策文件或实施方案．某单位认真分析被帮扶人各种情况后，建议被帮扶人大力推进特色产业，大量栽种甜橙；同时搭建电商运营服务平台，开设网店销售农产品橙．丰收后，将一批甜橙采取现场销售和网络销售相结合进行试销，统计后发现：同样多的甜橙，现场销售可获利800元，网络销售则可获利1000元，网络销售比现场销售每件多获利5元（1）现场销售和网络销售每件分别多少元？（2）根据甜橙试销情况分析，现场销售量a（件）和网络销售量b（件）满足如下关系式：b a2+12a ﹣200．求a为何值时，农户销售甜橙获得的总利润最大？最大利润是多少？10．（2019•武侯区模拟）成都市某商场购进甲、乙两种商品，甲商品的购进总价y（元）与购进数量x（件）之间的函数关系如图l1所示，乙商品的购进总价y（元）与购进数量x（件）之间的函数关系如图l2所示．（1）请分别求出直线l1，l2的函数表达式，并直接写出甲、乙两种商品的购进单价各是多少元？（2）现该商场购进甲、乙两种商品各100件，甲、乙商品的销售单价均为70元，销售一段时间后，商场对甲商品搞促销活动，打八折继续销售剩余甲商品，乙商品的销售单价始终保持不变．若商场规定甲商品打折前的销售数量不得多于甲商品打折后的销售数量的，那么甲商品应接原销售单价销售多少件，才能使得甲、乙两种商品全部销售完后商场获得最大利润？最大利润为多少元？11．（2019•双流区模拟）某文具店出售一种文具，每个进价为2元，根据长期的销售情况发现：这种文具每个售价为3元时，每天能卖出500个，如果售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个．物价局规定售价不能超过进价的240%．（1）如果这种文具要实现每天800元的销售利润，每个文具的售价应是多少？（2）该如何定价，才能使这种文具每天的利润最大？最大利润是多少？12．（2016•荆州）为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．（1）求y与x的函数关系式；（2）若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．13．（2019•郫都区模拟）某商店准备购进一批电冰箱和空调，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商店用8000元购进电冰箱的数量与用6400元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）已知电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元．若商店准备购进这两种家电共100台，其中购进电冰箱x台（33≤x≤40），那么该商店要获得最大利润应如何进货？14．（2019•郫都区模拟）某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．（1）求果园增种橙子树x（棵）与果园橙子总产量y（个）的函数关系式；（2）多种多少棵橙子，可以使橙子的总产量在60420个以上？15．（2019•成都模拟）某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．（1）求销售量y件与销售单价x（x＞10）元之间的关系式；（2）当销售单价x定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？精准预测1．天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？2．八（1）班为了配合学校体育文化月活动的开展，同学们从捐助的班费中拿出一部分钱来购买羽毛球拍和跳绳．已知购买一副羽毛球拍比购买一根跳绳多20元．若用200元购买羽毛球拍和用80元购买跳绳，则购买羽毛球拍的副数是购买跳绳根数的一半．（1）求购买一副羽毛球拍、一根跳绳各需多少元？（2）双11期间，商店老板给予优惠，购买一副羽毛球拍赠送一根跳绳，如果八（1）班需要的跳绳根数比羽毛球拍的副数的2倍还多10，且该班购买羽毛球拍和跳绳的总费用不超过350元，那么八（1）班最多可购买多少副羽毛球拍？3．已知A、B两地相距2.4km，甲骑车匀速从A地前往B地，如图表示甲骑车过程中离A地的路程y（km）与他行驶所用的时间x（min）之间的关系．根据图象解答下列问题：（1）甲骑车的速度是km/min；（2）若在甲出发时，乙在甲前方0.6km处，两人均沿同一路线同时出发匀速前往B地，在第3分钟甲追上了乙，两人到达B地后停止．请在下面同一平面直角坐标系中画出乙离A地的距离y乙（km）与所用时间x（min）的关系的大致图象；（3）乙在第几分钟到达B地？（4）两人在整个行驶过程中，何时相距0.2km？4．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地如图，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；请根据图象解答下到问题：（1）货车离甲地距离y（干米）与时间x（小时）之间的函数式为；（2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值；（3）在两车行驶过程中，当辆车与货年相距20千米时，求x的值．5．某水果店经销一种高档水果，售价为每千克60元（1）连续两次降价后售价为每千克48.6元，若每次下降的百分率相同．求平均下降的百分率；（2）已知这种水果的进价为每千克48元，每天可售出80千克，经市场调查发现，若售价每涨价1元，日销售量将减少4千克，设每千克涨价t元，每天获得的利润为w元．①当售价为多少元时，每天获得的利润为最大？最大为多少元？②水果店老板为保证每天的利润不低于988元，请直接写出t的取值范围是．6．某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120．（1）第40天，该厂生产该产品的利润是元；（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？7．我国为了实现到达到全面小康社会的目标，近几年加大了扶贫工作的力度，合肥市某知名企业为了帮助某小型企业脱贫，投产一种书包，每个书包制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万个）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，据统计当售价定为30元/个时，每月销售40万个，当售价定为35元/个时，每月销售30万个．（1）请求出k、b的值．（2）写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数解析式．（3）该小型企业在经营中，每月销售单价始终保持在25≤x≤36元之间，求该小型企业每月获得利润w （万元）的范围．8．合肥享有“中国淡水龙虾之都”的美称，甲、乙两家小龙虾美食店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾．“龙虾节”期间，甲、乙两家店都让利酬宾，在人数不超过20人的前提下，付款金额y甲、y乙（单位：元）与人数之间的函数关系如图所示．（1）直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式；（2）小王公司想在“龙虾节”期间组织团建，在甲、乙两家店就餐，如何选择甲、乙两家美食店吃小龙虾更省钱？9．某公司生产的一种商品其售价是成本的1.5倍，当售价降低5元时商品的利润率为25%．若不进行任何推广年销售量为1万件．为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做推广，根据经验，每年投入的推广费x万元时销售量y（万件）是x的二次函数：当x为1万元时，y是1.5（万件）．当x为2万元时，y是1.8（万件）．（1）求该商品每件的的成本与售价分别是多少元？（2）求出年利润与年推广费x的函数关系式；（3）如果投入的年推广告费为1万到3万元（包括1万和3万元），问推广费在什么范同内，公司获得的年利润随推广费的增大而增大？10．永农化工厂以每吨800元的价格购进一批化工原料，加工成化工产品进行销售，已知每1吨化工原料可以加工成化工产品0.8吨，该厂预计销售化工产品不超过50吨时每吨售价为1600元，超过50吨时，每超过1吨产品，销售所有的化工产品每吨价格均会降低4元，设该化工厂生产并销售了x吨化工产品．（1）用x的代数式表示该厂购进化工原料吨；（2）当x＞50时，设该厂销售完化工产品的总利润为y，求y关于x的函数关系式；（3）如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在什么范围？11．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少？（2）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（3）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）12．为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？13．潮州旅游文化节开幕前，某凤凰茶叶公司预测今年凤凰茶叶能够畅销，就用32000元购进了一批凤凰茶叶，上市后很快脱销，茶叶公司又用68000元购进第二批凤凰茶叶，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每千克凤凰茶叶进价多了10元．（1）该凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶多少千克？（2）如果这两批茶叶每千克的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每千克售价至少是多少元？14．某运动品商场欲购进篮球和足球共100个，两种球进价和售价如下表所示，设购进篮球x个（x为正整数），且所购进的两种球能全部卖出，获得的总利润为w元．（1）求总利润W关于x的函数关系式．（2）如果购进两种球的总费用不低于5800元且不超过6000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．（3）在（2）的条件下，若每个篮球的售价降低a元，请分析如何进货才能获得最大利润．篮球足球进价（元/个）62 54售价（元/个）76 6015．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．（1）今年A型车每辆售价多少元？（列方程解答）（2）该车行计划今年新进一批A型车和B型车共60辆，A型车的进货价为每辆1100元，销售价与（1）相同；B型车的进货价为每辆1400元，销售价为每辆2000元，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？备考中考一轮复习点对点必考题型题型26 应用题考点解析1．一元二次方程的应用（1）列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．（2）列一元二次方程解应用题中常见问题：①数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．②增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．③形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．④运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”a．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．b．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．c．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．d．解：准确求出方程的解．e．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．f．答：写出答案．2．分式方程的应用（1）列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．（2）要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作。
2023年中考数学高频考点训练——锐角三角函数(有答案)
2023年中考数学高频考点训练——锐角三角函数一、综合题1．如图， AB 是O 的直径，点C 、G 为圆上的两点，当点C 是弧 BG 的中点时， CD 垂直直线AG ，垂足为D ，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点P ，弦 CE 平分 ACB ∠ ，交 AB 于点F ，连接BE .（1）求证： DC 与 O 相切；（2）求证： PC PF = ； （3）若 1tan 3E =， 5BE =，求线段 PF 的长. 2．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，点E 时弧AD 的中点，BE 交AC 于点F ，BC ＝FC.（1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若BF ＝3EF ，求tan⊙ACE 的值.3．如图，ABC 内接于,O D 是O 的直径 AB 的延长线上一点， DCB OAC ∠=∠ .过圆心 O作 BC 的平行线交 DC 的延长线于点 E .（1）求证： CD 是 O 的切线；（2）若 4,6CD CE == ，求O 的半径及 tan OCB ∠ 的值；4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 是AC 的中点，连接OD ，交AC 于点E ，作BFCD ，交DO 的延长线于点F.（1）求证：四边形BCDF 是平行四边形. （2）若AC=8，连接BD ，tan⊙DBF=34，求直径AB 的长及四边形ABCD 的周长. 5．如图，已知 AB 是O 的直径，弦 CD AB ⊥ 于点 E ， 42AC =， 2BC = ．（1）求 sin ABC ∠ ； （2）求CD 的长．6．如图，点 O 在 ABC ∆ 的 BC 边上，O 经过点 A 、 C ，且与 BC 相交于点 D .点 E 是下半圆弧的中点，连接 AE 交 BC 于点 F ，已知 AB BF = .（1）求证： AB 是O 的切线；（2）若 3OC = ， 1OF = ，求 cos B 的值.7．如图，在Rt ΔABC 中，9068C AC BC ∠=︒==，，，AD平分ABC 的外角BAM ∠，AD BD ⊥于点D ，过D 点作DE 平行BC 交AM 于点E.点P 在线段AB 上，点Q 在直线AC 上，且22CQ BP t ==，连接PQ ，作P 点关于直线DE 的对称点P '，连接PP P Q ''，.（1）当P 在AB 中点时，t = ；连接DP ，则此时DP 与EC 位置关系为 （2）①求线段AD 的长：②将线段AD 绕着平面上某个点旋转180︒后，使AD 的两个对应点A '、D '落在Rt ABC 的边上，求点A 到对应点A '的距离；（3）如图，当PP Q '的一边与ABD 的AD 或BD 边平行时，求所有满足条件的t 的值.8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3过点A(﹣3，0)，B(1，0)，与y 轴交于点C ，顶点为点D ，连接AC ，BC.（1）求抛物线的解析式；（2）在直线CD 上是否存在点P ，使⊙PBC ＝⊙BCO ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M 为抛物线对称轴l 上一点，点N 为抛物线上一点，当直线AC 垂直平分线段MN 时，请直接写出点M 和点N 的坐标.9．如图，点F 是正方形ABCD 边AB 上一点，过F 作FG⊙BC ，交CD 于G ，连接FC ，H 是FC 的中点，过H 作EH⊙FC 交BD 于点E ．（1）连接EF ，EA ，求证：EF ＝AE ．（2）若BFk BA= ， ①若CD ＝2， 13k = ，求HE 的长；②连接CE ，求tan⊙DCE 的值．（用含k 的代数式表示）10．如图，在 Rt ABC 中， 90,6,8ACB BC AC ∠=︒== ，D 是边AB 的中点，动点P 在线段BA 上且不与点A ，B ，D 重合，以PD 为边构造 Rt PDQ ，使 PDQ A ∠=∠ ， 90DPQ ∠=︒ ，且点Q 与点C 在直线AB 同侧，设 BP x = ，PDQ 与 ABC 重叠部分图形的面积为S ．（1）当点Q 在边BC 上时，求BP 的长； （2）当 7x ≤ 时，求S 关于x 的函数关系式.11．如图，在⊙ABC中，⊙ABC ＝90°，过点B 作BD⊙AC 于点D ．（1）尺规作图，作边BC 的垂直平分线，交边AC 于点E ． （2）若AD ：BD ＝3：4，求sinC 的值．（3）已知BC ＝10，BD ＝6．若点P 为平面内任意一动点，且保持⊙BPC ＝90°，求线段AP 的最大值．12．【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线.（1）【理解运用】如图1，对余四边形中，AB = 5，BC = 6，CD = 4，连接AC ，若AC = AB ，则cos⊙ABC= ， sin⊙CAD= .（2）如图2，凸四边形中，AD = BD ，AD⊙BD ，当2CD 2 + CB 2 = CA 2时，判断四边形ABCD 是否为对余四边形，证明你的结论.（3）【拓展提升】在平面直角坐标中，A （－1，0），B （3，0），C （1，2），四边形ABCD 是对余四边形，点E 在对余线BD 上，且位于⊙ABC 内部，⊙AEC = 90° + ⊙ABC.设AEBE= u ，点D 的纵坐标为t ，请在下方横线上直接写出u 与t 的函数表达，并注明t 的取值范围 .13．如图，在梯形ABCD 中，AD⊙BC ，BC ＝18，DB ＝DC ＝15，点E 、F 分别在线段BD 、CD 上，DE ＝DF＝5．AE 的延长线交边BC 于点G ，AF 交BD 于点N 、其延长线交BC 的延长线于点H ．（1）求证：BG ＝CH ；（2）设AD ＝x ，⊙ADN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FG ，当⊙HFG 与⊙ADN 相似时，求AD 的长．14．（1）【问题提出】如图1，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ADC ∠=∠=︒，点E 为AB 延长线上一点，连接EC 并延长，交AD 的延长线于点F ，则BCE DCF ∠+∠的度数为 °；（2）【问题探究】如图2，在Rt⊙ABC 中，90ABC ∠=︒，点D 、E 在直线BC 上，连接AD 、AE ，若60DAE ∠=︒，6AB =，求⊙ADE 面积的最小值；（3）【问题解决】近日，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》，此次修订中增加的跨学科主题学习活动，突破学科边界，鼓励教师开展跨学科教研，设计出主题鲜明、问题真实的跨学科学习活动.为此，某校欲将校园内一片三角形空地ABC （如图3所示）进行扩建后作为跨学科主题学习活动中心，在AB 的延长线上取一点D ，连接DC 并延长到点E ，连接AE ，已知AE BC ，40AB BC ==米，90ABC ∠=︒，为节约修建成本，需使修建后⊙ADE 的面积尽可能小，问⊙ADE 的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小面积；若不存在，请说明理由.15．抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且B （﹣1，0），C （0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2） 如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，且DD'＝2CD ，点M 是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，连结CN.当5D'N+CN 的值最小时16．在 Rt ABC 中， 90ACB ∠=︒ ， 3AC = ， 4BC = .将 Rt ABC 绕点B 顺时针旋转()060αα︒<<︒ 得到 Rt DEB ，直线DE ， AC 交于点P.（1）如图1，当 BD BC ⊥ 时，连接BP. ①求BDP 的面积；②求 tan CBP ∠ 的值；（2）如图2，连接AD ，若F 为AD 中点，求证；C ，E ，F 三点共线.17．如图，抛物线与x 轴交于A （5，0），B （ 1- ，0），与y 轴的正半轴交于点C ，连接BC ，AC ，已知2sin 2BAC ∠=.（1）求抛物线的解析式；（2）直线 y kx = （ 0k > ）交线段AC 于点M ，当以A 、O 、M 为顶点的三角形与⊙ABC 相似时，求k 的值，并求出此时点M 的坐标；（3）P 为第一象限内抛物线上一点，连接BP 交AC 于点Q ，请判断： PQQB是否有最大值，如有请求出这个最大值，如没有请说明理由.18．如图1，已知 Rt ABC ∆ 中， 90ACB ∠= ， 2AC = ， 23BC = ，它在平面直角坐标系中位置如图所示，点 ,A C 在 x 轴的负半轴上（点 C 在点 A 的右侧），顶点 B 在第二象限，将 ABC ∆ 沿AB 所在的直线翻折，点 C 落在点 D 位置（1）若点 C 坐标为 ()1,0- 时，求点 D 的坐标；（2）若点 B 和点 D 在同一个反比例函数的图象上，求点 C 坐标；（3）如图2，将四边形 BCAD 向左平移，平移后的四边形记作四边形 1111B C A D ，过点 1D 的反比例函数 (0)ky k x=≠ 的图象与 CB 的延长线交于点 E ，则在平移过程中，是否存在这样的 k ，使得以点 1,,E B D 为顶点的三角形是直角三角形且点 11,,D BE 在同一条直线上？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由答案解析部分1．【答案】（1）证明：CD AD ⊥，90D ∴∠=︒ ，∴⊙DAC+⊙DCA=90°， 点c 是弧 BG 的中点， ∴CG BC =DAC BAC ∴∠=∠ ， OA OC = ， OCA BAC ∴∠=∠ ， OCA DAC ∴∠=∠ ， //AD OC ∴ ，∴⊙D=⊙OCP=90°，OC 是圆O 的半径， DC ∴ 与O 相切，（2）证明：AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒ ，90PCB ACD ∴∠+∠=︒ ，由（1）得： 90DAC DCA ∠+∠=︒ ，PCB DAC ∴∠=∠ ， DAC BAC ∠=∠ ， PCB BAC ∴∠=∠ ， CE 平分 ACB ∠ ， ACF BCF ∴∠=∠ ，∵⊙PFC=⊙BAC+⊙ACF ，⊙PCF=⊙PCB+⊙BCF ，PFC PCF ∴∠=∠ ， PC PF ∴= ；（3）解：连接 AE ，CE 平分 ACB ∠ ，∴ AE BE = ，AE BE ∴= ， AB 是O 的直径，90AEB ∴∠=︒ ，AEB ∴∆ 为等腰直角三角形，∵AB=210BE = ，∴OB=OC= 10∵1tan 3E =∴1tan 3BC CAB AC ∠== ， ∵⊙PCB=⊙BAC ，⊙P=⊙P ， ∴⊙PCB⊙⊙PAC ， ∴13BC PB AC PC == ， ∴ 设 PB x = ， 3PC x = ，在 Rt OCP ∆ 中， 222OC PC OP += ， ∴2221010(3))22x x +=+ ， ∴10x =或x=0(舍去)， ∴PC=310，∴PF=310.2．【答案】（1）证明：连接AE ，如图，∵AB 是⊙O 的直径， ∴⊙AEB ＝90°.∴⊙EAF+⊙AFE ＝⊙EAB+⊙ABE ＝90°. ∵点E 是弧AD 的中点， ∴AE DE = . ∴⊙EAD ＝⊙ABE. ∴⊙AFE+⊙ABE ＝90°. ∵⊙AFE ＝⊙BFC ，∴⊙ABE+⊙CFB ＝90°. ∵BC ＝FC ， ∴⊙CFB ＝⊙CBF. ∴⊙CBF+⊙ABE ＝90°. ∴⊙ABC ＝90°， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴BC 是⊙O 的切线. （2）解：连接OE ，BD ，∵点E 是弧AD 的中点，∴OH⊙AD ，AH ＝HD ＝ 12AD . ∵AB 是⊙O 的直径， ∴BD⊙AD.∴BD⊙OE. ∴EH EFBD BF = . ∵BF ＝3EF ，∴13EH BD = . 设EH ＝2a ，则BD ＝6a. ∵OE⊙BD ，OA ＝OB ， ∴OF ＝12BD ＝3a. ∴OA ＝OE ＝OH+HE ＝5a. ∴AB ＝2OA ＝10a. ∴AD ＝228AB BD a -= .∴HD ＝12AD ＝4a. ∵⊙ABC ＝90°，BD⊙AC ， ∴⊙ABD⊙⊙BCD. ∴AD BDBD CD= . ∴CD ＝ 292BD a AD = .∴CH ＝HD+CD ＝172a . 在Rt⊙EHC 中，tan⊙ACE ＝ 2417172EH a CH a ==.3．【答案】（1）证明：如图，,OA OC =OAC OCA ∴∠=∠ ，DCB OAC ∠=∠ ， OCA DCB ∴∠=∠ ，AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒ ，90OCA OCB ∴∠+∠=︒ ，90DCB OCB ∴∠+∠=︒ ，即 90OCD ∠=︒ ， OC DC ∴⊥ ，又OC 是 O 的半径，CD ∴ 是O 的切线.（2）解：,BC OEBD CD OB CE ∴= ，即 4263BD OB == ， ∴设 2BD x = ，则 3,5OB OC x OD OB BD x ===+= ，,OC DC ⊥222OC CD OD ∴+=222(3)4(5)x x ∴+= ，解得， 1x = ，33OC x ∴== .即O 的半径为3，,BC OEOCB EOC ∴∠=∠ ，在 Rt OCE 中， 6tan 23EC EOC OC ∠=== ， tan tan 2OCB EOC ∴∠=∠=4．【答案】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴⊙C=90°，∵点D 是AC 的中点，∴DO 垂直平分AC ，且AD=DC ， ∴CA⊙DF ，AE=EC ， ∴⊙AEO=90°，∴BC DF ， ∵BF CD ，∴四边形BCDE 是平行四边形； （2）∵BC DF ， ∴⊙DBF=⊙CDB ，又∵根据圆周角定理有⊙CDB=⊙BAC ， ∴⊙DBF=⊙BAC ， 即tan⊙BAC=34， ∵AC=8， ∴CB=6，则在Rt⊙ACB 中，利用勾股定理可得AB=10，即AO=5=OD ， ∵AE=EC=12AC ， ∴AE=EC=4，在Rt⊙AEO 中，利用勾股定理得OE=3，∴DE=OD-OE=5-3=2，在Rt⊙AED 中，利用勾股定理，得55 ∴四边形ABCD 的周长5555．【答案】（1）解：∵AB 是O 的直径， 42AC =， 2BC = ，∴90ACB ∠=︒ ， 22236AB AC BC =+= ， ∴6AB = ， 2sin 3ABC ∠=（2）解：∵CD AB ⊥ ，∴CE DE = ， 由三角形的面积公式得:1122AC BC AB CE ⨯⨯=⨯⨯ , ∴423CE =， ∴822CD CE ==． 6．【答案】（1）证明：连接 OA 、 OE ，∵点 E 是下半圆弧的中点， OE 过 O ， ∴OE DC ⊥ ， ∴90FOE ∠=︒ ， ∴90E OFE ∠+∠=︒ ， ∵OA OE = ， AB BF = ，∴BAF BFA ∠=∠ ， E OAE ∠=∠ ， ∵AFB OFE ∠=∠ ， ∴90OAE BAF ∠+∠=︒ ， 即 OA AB ⊥ ， ∵OA 为半径， ∴AB 是O 的切线（2）解：设 AB x = ，则 BF x = ， 1OB x =+ ， ∵3OA OC == ，由勾股定理得： 222OB AB OA =+ ， ∴()22213x x +=+ ， 解得： 4x = ，∴4cos 5AB B OB == 7．【答案】（1）5；平行（2）解：①P 在AB 中点时，连接DP 并延长交BC 于点F ，由（1）：DP CE ，∴1BF BPFC AP==， ∴142BF FC BC ===，∴132PF AC ==，11822DF DP PF AB AC =+=+=，∵90DEA BCE PDE ∠=∠=∠=︒， ∴四边形DECF 是矩形， ∴84CE DF DE CF ====，， ∴2AE CE AC =-=， ∴22222425AD AE DE =+=+=②将线段AD 绕着平面上某个点旋转180︒后，使AD 的两个对应点A '、D '落在Rt ABC 的边上， ∴AA '与DD '垂直平分，两条线段的交点O 即为旋转中心，如图所示：则：OD AB ⊥，∵902510ADB AD AB ∠=︒==，，， ∴()2222102545BD AB AD =-=-=∵1122ABD S AD BD AB DO ∆=⋅=⋅， ∴254510DO =， ∴4OD =， ∴222AO AD OD =-=，∴24AA OA '==；（3）解：当P Q AD '时；如图：延长P P '交BC 于点G ，过点P P '，分别作PH AC P T CQ '⊥⊥，，垂足为：H T ，，则：四边形CGP T '为矩形，∵3455AC BC sin ABC cos ABC AB AB ∠==∠==，， ∴3455PG BP sin ABC t BG BP cos ABC t =⋅∠==⋅∠=，，∴34855CH PG t P T CG BC BG t ====-=-'，，∴385HE CE CH t =-=-，∵P ，P '关于直线DE 对称 ∴385ET EH t ==-，∴3138821655t QT CT CQ CE ET CQ t t =-=+-=+--=-，∵P Q AD '， ∴P QT DAE ∠=∠'，∴2DEtan P QT tan DAE AE∠='∠==， ∴2P T TQ '=，即：413821655t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 解得：6011t =； 当PQ BD 时，延长BD 交CQ 于点K ，∵PQ BD ，∴APQ ABD AQP AKB ∠=∠∠=∠，，∵90ADB ADK DAB KAD ∠=∠=︒∠=∠，（角平分线）， ∴ABD AKB ∠=∠， ∴APQ AQP ∠=∠， ∴AP AQ =，∵1026AP AB BP t AQ CQ AC t =-=-=-=-，， ∴1026t t -=-， 解得：163t =； 当P Q BD '时，如图：延长P P '交BC 于点G ，过点P P '，分别作PO AC P R CQ '⊥⊥，，垂足为：OR，，延长BD ，交CM 于点S ，则：四边形CNP R '为矩形，∵3455AC BC sin ABC cos ABC AB AB ∠==∠==，， ∴3455PN BP sin ABC t BN BP cos ABC t =⋅∠==⋅∠=，，∴34855CO PN t P R CN BC BN t ====-=-'，，∴385OE CE CO t =-=-，∵P ，P '关于直线DE 对称 ∴385ER OE t ==-，∴3132881655t QR CQ CR CQ CE ER t t =-=-+=--+=-； ∵AD BD ⊥，90AED ∠=︒，∴90ADE EDS ADE DAE ∠+∠=∠+∠=︒ ∴EDS DAE ∠=∠， ∵P Q BD '，∴QP R EDS DAE ∠=∠=∠'， ∴2DEtan QP R tan DAE AE∠='∠==， ∴2QR P R ='， 即：413281655t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得：8011t =； 综上：当PP Q '的一边与ABD 的AD 或BD 边平行时，6011t =或163t =或8011t =. 8．【答案】（1）解：根据二次函数交点式为 ()()()120y a x x x x a =--≠ ，抛物线过A(﹣3，0)，B(1，0)两点，∴设 ()()2331y ax bx a x x =+-=+- ，∵x=0时，y ＝ax 2+bx ﹣3=-3，∴将 ()0,3- 代入 ()()31y a x x =+- ∴﹣3a ＝﹣3， ∴a ＝1，故抛物线的表达式为：y ＝x 2+2x ﹣3.（2）解：由抛物线的表达式知，点C 、D 的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4）， 由点C 、D 的坐标知，直线CD 的表达式为：y ＝x ﹣3①，1tan 3BCO ∠= ，则 cos 10BCO ∠= ，当点P （P′）在点C 的右侧时，如图所示：∵⊙P'BC ＝⊙BCO ，故P′B⊙y 轴，则点P′（1，﹣2）， 当点P 在点C 的左侧时，设直线PB 交y 轴于点H ，过点H 作HN⊙BC 于点N ， ∵⊙P'BC ＝⊙BCO ， ∴⊙BCH 为等腰三角形，则 222cos 23110BC CH BCO CH =⋅∠=⨯=+， 解得： 53CH =，则 433OH CH =-= ，故点 4(0,)3H = ， 由点B 、H 的坐标得，直线BH的表达式为： 4433y x =-②，联立①②并解得：58xy=-⎧⎨=-⎩，故点P的坐标为（﹣5，﹣8），综上所述，满足条件的点P坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）.（3）M(﹣1，2﹣2)，N(﹣1﹣2，﹣2)或M'(﹣1，﹣2﹣2)，N'(﹣1+ 2，﹣2) 9．【答案】（1）证明：如图，连接EF，EA，EC，∵ EH⊙FC，H是FC的中点，∴EF=EC，∵AD=CD，⊙ADE=⊙CDE=45°，DE=DE，∴⊙ADE⊙⊙CDE，∴AE=EC，∴EF＝AE；（2）解：如图，①∵CD=2，13 BFBA=，∴BF=23，AF=43，∴FC=22210 3BC BF+=，过点E作EM⊙AB于点M，∵EF=AE，∴EM垂直平分FA，∴FM=AM=23，∴BM=ME=43，∴2253FM ME+=，∵H是FC的中点，∴10，∴2210EF FH-=②设AB=2a，∵BFkBA=，∴BF=2ak，∴FM=MA=a-ka，BM=a+ak=ME，∵⊙ADE⊙⊙CDE，∴⊙DCE=⊙DAE=⊙FEM，∴tan⊙DCE=tan⊙FEM=11FM kME k-=+. 10．【答案】（1）解：在Rt ABC中，90,6,8 ACB BC AC∠=︒==，22226810 AB AC BC∴+=+=．4tan3ACBBC==，3tan4BCAAC==, ∵D是边AB的中点，∴5BD=如图，当点Q落在BC上时，BP x = ，4tan 3PQ BP B x ==， ∵PDQ A ∠=∠ ， 90DPQ ∠=︒ ，16tan 9QP PD x A == ， 5BD PD BP =+= ，1659xx += ， 解得， 95x = ，95BP ∴= ；（2）解：如图，当 905x < 时，设PQ 、DQ 与BC 交于点M 、N ，∵D 是边AB 的中点，∴5BD = ， 4ND = ， 3BN = ，4tan 3PM BP B x == ， 211423462233BNDPBMS SSx x x =-=⨯⨯-⨯=- ； 当955x << 时， 5PD x =- ， 3tan (5)4PQ DP A x ==- ， 21331575(5)(5)24848PDQS Sx x x x ==⨯--=-+ ； 当 57x <≤ 时， 5PD x =- ， 3tan (5)4PQ DP A x ==- ， 21331575(5)(5)24848PDQS Sx x x x ==⨯--=-+ ； 故 PDQ 与 ABC 重叠部分图形的面积关系式为： 2222960353157595848531575(57)848x x S x x x x x x ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+<⎪⎩ ． 11．【答案】（1）解：作图如下：（2）解：∵⊙ABC=⊙BDC=90°， ∴⊙ABD ＋⊙CBD=90°，⊙CBD ＋⊙C=90°，∴⊙ABD=⊙C ，在Rt⊙ABD 中，AD ：BD ＝3：4， ∴AB⊙AD=3⊙5，∴sinC=sin⊙ABD=35AD AB =． （3）解：如图，点P 在BC 为直径的圆上，O 为圆心，当A 、P 、O 三点共线时，AP 最大，∵BC ＝10，BD ＝6，∴CD=8，∵⊙ABD⊙⊙BCD ，∴2BD AD CD =⋅，26=8AD ，解得9=2AD ， 在Rt⊙ABD 中，AB=152，∵BC=10， ∴BO=OP=5， 在Rt⊙ABO 中，22513AO AB OB =+=， ∴AP=AO ＋513， 故答案为：5132．． 12．【答案】（1）35；1225（2）解：如图②中，结论：四边形ABCD 是对余四边形.理由：过点D 作DM⊙DC ，使得DM ＝DC ，连接CM. ∵四边形ABCD 中，AD ＝BD ，AD⊙BD ，∴⊙DAB ＝⊙DBA ＝45°， ∵⊙DCM ＝⊙DMC ＝45°， ∴⊙CDM ＝⊙ADB ＝90°， ∴⊙ADC ＝⊙BDM ， ∵AD ＝DB ，CD ＝DM ， ∴⊙ADC⊙⊙BDM （SAS ）， ∴AC ＝BM ，∵2CD 2+CB 2＝CA 2，CM 2＝DM 2+CD 2＝2CD 2，∴CM 2+CB 2＝BM 2， ∴⊙BCM ＝90°，∴⊙DCB ＝45°， ∴⊙DAB+⊙DCB ＝90°， ∴四边形ABCD 是对余四边形. （3）4)2tu t =<< 13．【答案】（1）解：∵AD⊙BC ，∴AD DE BG EB = ， AD DFCH FC= ． ∵DB ＝DC ＝15，DE ＝DF ＝5，∴12DE DF EB FC == ， ∴AD ADBG CH= ． ∴BG ＝CH ．（2）解：过点D 作DP⊙BC ，过点N 作NQ⊙AD ，垂足分别为点P 、Q ．∵DB ＝DC ＝15，BC ＝18，∴BP ＝CP ＝9，DP ＝12．∵12AD DE BG EB == ， ∴BG ＝CH ＝2x ， ∴BH ＝18+2x ． ∵AD⊙BC ，∴AD DNBH NB = ， ∴182x DNx NB=+ ， ∴18215xDN DNx x NB DN ==+++ ，∴56xDNx=+．∵AD⊙BC，∴⊙ADN＝⊙DBC，∴sin⊙ADN＝sin⊙DBC，∴NQ PD DN BD=，∴46xNQx=+．∴211422266x xy AD NQ xx x=⋅=⋅=++（0<x≤9）．（3）解：∵AD⊙BC，∴⊙DAN＝⊙FHG．（i）当⊙ADN＝⊙FGH时，∵⊙ADN＝⊙DBC，∴⊙DBC＝⊙FGH，∴BD⊙FG，∴BG DF BC DC=，∴5 1815 BG=，∴BG＝6，∴AD＝3．（ii）当⊙ADN＝⊙GFH时，∵⊙ADN＝⊙DBC＝⊙DCB，又∵⊙AND＝⊙FGH，∴⊙ADN⊙⊙FCG．∴AD FC DN CG=，∴5(182)106xx xx⋅-=⨯+，整理得x2﹣3x﹣29＝0，解得3552x+=，或3552x-=（舍去）．综上所述，当⊙HFG与⊙ADN相似时，AD的长为3或3552x+=．14．【答案】（1）60（2）解：S⊙ADE=12DE·AB=3DE，∴当DE取最小值时，⊙ADE面积取最小值.作⊙ADE的外接圆，圆心为O，连接OD、OE、OA，过O作OH⊙DE于H，则⊙DOE=2⊙DAE=120°，由OD=OE知，⊙ODH=30°，∴OD=2OH，∵OA+OH≥AB，∴OA+12OA≥6，即OA≥4，OH≥2，由垂径定理得：3OH≥3此时，A、O、H共线，AD=AE，∴⊙ADE面积的最小值为：3×433（3）解：过C作CH⊙AE于H，如图所示，设BD=x，EF=y，∵⊙ABC=90°，AE⊙BC，∴四边形ABCF 为矩形， ∵AB=BC=40∴四边形ABCF 为正方形， 由tan⊙E=tan⊙BCD 知，CF BDEF BC=， 即4040x y =， ∴y=1600x， 即xy=1600， ∵22220x x y y x y-+=≥，∴2x y xy +≥，当x=y 时取等号，即x+y 的最小值为80，又⊙ADE 的面积=正方形ABCF 面积+三角形BCD 面积+三角形CEF 面积， 即⊙ADE 的面积=1600+20（x+y ）≥1600+20×80=3200， 综上所述，⊙ADE 的面积的最小值为3200 m 2.15．【答案】（1）解：∵y ＝﹣x 2+bx+c 经过B （﹣1，6），3），∴340c b c =⎧⎨-++=⎩ ， 解得 25b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x+7（2）解：如图1中，过点B 作BT⊙y 轴交AC 于T.设P(m ，﹣m 2+2m+3)，对于抛物线y ＝﹣x 2+5x+3，令y ＝0，∴A(2，0)， ∵C(0，8)，∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x+3， ∵B(﹣1，2)， ∴T(﹣1，4)， ∴BT ＝3， ∵PQ⊙OC ， ∴Q(m ，﹣m+3)，∴PQ ＝﹣m 2+2m+3﹣(﹣m+3)＝﹣m 3+3m ， ∵PQ⊙BT ， ∴PQ BT ＝ PE BC ＝ 15， ∴﹣m 2+3m ＝4，解得m ＝1或2，∴P(4，4)或2.（3）解：如图8中，连接AD ，过点C 作CT⊙AD 于T.∵抛物线y＝﹣x2+2x+6＝﹣(x﹣1)2+3，∴顶点D(1，4)，∵C(8，3)，∴直线CD的解析式为y＝x+3，CD＝7，∵DD′＝2CD，∵DD′＝2 4，CD′＝3 2，∴D′(4，6)，∵A(3，2)，∴AD′⊙x轴，∴OD′＝22OA D A+'＝2256+＝3 5，∴sin⊙OD′A＝OAOD'＝45，∵CT⊙AD′，∴CT＝3，∵NJ⊙AD′，∴NJ＝ND′•sin⊙OD′A＝7D′N，5D'N+CN＝CN+NJ，∵CN+NJ≥CT，∴55D'N+CN≥7，5D'N+CN的最小值为8.16．【答案】（1）解：①过点P作PH BD⊥于H.BD BC⊥，PH BD⊥，90CBH PHB C∴∠=∠=∠=︒，∴四边形BCPH 是矩形，4PH BC∴==，在Rt ACB中，2222345AB AC BC++=，由旋转的旋转可知，5BD BA==，11541022PBDS BD PH∆∴=⋅⋅=⨯⨯=.②由旋转的性质可知，4BE BC==，12PBDS PD BE∆=⋅⋅，2054PD∴==，90PHD∠=︒，2222543DH PD PH∴=-=-=，2PC BH∴==，90C∠=︒，21tan42PCPBCBC∴∠===.（2）证明：如图2中，连接BF，取BD的中点T，连接FT，ET.BC BE = ， BA BD = ，BCE BEC ∴∠=∠ ， BAD BDA ∠=∠ ，BDE ∆ 是由 BAC ∆ 旋转得到， BCE ABD ∴∠=∠ ， BEC ADB ∴∠=∠ ，BA BD = ， AF DF = ， BF AD ∴⊥ ， 90AFD ∴∠=︒ ，90BED AFD ∠=∠=︒ ， DT TB = ，12ET BD ∴=， 12FT BD = ， ET FT DT TB ∴=== ， E ∴ ，F ，D ，B 四点共圆， 1DBF ∴∠=∠ ，90DBF BDF ∠+∠=︒ ， 190BEC ∴∠+∠=︒ ，1180BEC BED ∴∠+∠+∠=︒ ， C ∴ 、E 、F 三点共线.17．【答案】（1）解：由 ()50A ，可知 5OA = ， 在Rt⊙AOC 中， 2sin 2BAC ∠= ， ∴45BAC ∠=︒ ，∴5OA OC == ，即点C （0，5），由题意可设 ()()51y a x x =-+ ，把点C 代入得： 55a -= ， 解得： 1a =- ，∴抛物线解析式为 ()()25145y x x x x =--+=-++ ；（2）解：由（1）可得：C （0，5）， ()50A ，，设直线AC 的解析式为 1y k x b =+ ，把点A 、C 坐标代入得：{b =55k 1+b =0 ，解得： {b =5k 1=−1， ∴直线AC 的解析式为 5y x =-+ ，∵直线 y kx = （ 0k > ）交线段AC 于点M ，则设 ()5M m m -+，， ∴5m k m-+=， 由（1）可知 5OA OC == ， 1OB = ， ∴()()22055052AC =-+-=， 6AB = ，由题意可分：①当 AOM ABC ∽ 时，∴56AO AM AB AC == ， ∴525266AM AC ==， ∴由两点距离公式可得： ()()226255518m m -+-= ， 解得： 1255566m m ==， ， ∵05m ≤≤ ， ∴56m =， ∴55525655666M k -+⎛⎫== ⎪⎝⎭，， ； ②当 AOM ACB ∽ 时，∴2252AO AM AC AB ===，∴232AM AB ==，∴由两点距离公式可得： ()()225518m m -+-= ， 解得： 1228m m ==， （不符合题意，舍去），∴()2532322M k -+==，， ； （3）解：过点B 作BF⊙x 轴，交AC 的延长线于点F ，过点P 作PD⊙x 轴于点D ，交AC 于点H ，如图所示：∴BF⊙PH ，∴BQF PQH ∽ ，∴PQ PHBQ BF= ， 由（2）知，直线AC 的解析式为 5y x =-+ ，点 ()10B -， ， ∴点 ()16F -， ，即 6BF = ， 设点 ()245P a a a -++，，则有 ()5H a a -+， ， ∴()224555PH a a a a a =-++--+=-+ ，∴225152566224PQ a a a BQ -+⎛⎫==--+⎪⎝⎭ ， ∵106-< ， ∴当 52a =时， PQ BQ 的值最大，最大值为 2524.18．【答案】（1）解：如图，过点 D 作 DM x ⊥ 轴于点 M∵90ACB ∠=︒ ， ∴3tan 32BC CAB AC ∠===∴60CAB ∠=由题意可知 2DA AC == ， 60DAB CAB ∠=∠=︒ . ∴180180606060DAM DAB CAB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ . ∴906030ADM ∠=︒-︒=︒ 在 Rt ADM ∆ 中， 2DA = ， ∴1AM = ， 3DM =.∵点 C 坐标为 (10)-，， ∴1214OM OC AC AM =++=++= . ∴点 D 的坐标是 (3)-（2）解：设点 C 坐标为 (,0)a （ 0a < ），则点 B 的坐标是 (,3)a ， 由（1）可知：点 D 的坐标是 (3)a - ∵点 B 和点 D 在同一个反比例函数的图象上， ∴33(3)a a =- .解得 3a =- . ∴点 C 坐标为 (3,0)-（3）解：存在这样的 k ，使得以点 E， 1B ， D 为顶点的三角形是直角三角形①当 190EDB ∠= 时.如图所示，连接 ED ， 1B B ， 1B D ， 1B B 与 ED 相交于点 N .则 190EBN NDB ∠=∠=︒ ， 1BNE DNB ∠=∠ ， 130DBN NB E ∠=∠= .∴BNE ∆ ⊙ 1DNB ∆∴1BN ENDN B N= ∴1BN DNEN B N= 又∵1BND ENB ∠=∠ ， ∴BND ∆ ⊙ 1ENB ∆ .∴130NEB NBD ∠=∠= ， 130NDB NB E ∠=∠= ， ∴30BED BDE ∠=∠=︒ . ∴23BE BD == ， 16tan 30BEBB ==设 (43)E m ， （ 0m < ），则 1(3)D m - ， ∵E ， 1D 在同一反比例函数图象上， ∴433(9)m m =- .解得： 3m =- . ∴(343)E -，∴343123k =-⨯=-②当 190EB D ∠= 时.如图所示，连接 ED ， 1B B ， 1B D ，∵1//BD ED ，∴1118090BDB EB D ∠=︒-∠=︒ .在 1Rt BDB ∆ 中，∵130DBB ∠=︒ ， 3BD =， ∴14cos30BDBB == .在 1Rt EBB ∆ 中， ∵130BB E ∠=︒ ，∴143tan 30EB BB =︒=. ∴1033EC BC EB =+=设 3(,)3E m （ 0m < ），则 1(13)D m - ∵E ， 1D 在同一反比例函数图象上，1033(7)m=-.解得：3m=-，∴103 (3,3 E-∴3333k=-⨯=-21/ 21。
中考数学复习之与圆有关的位置关系,考点过关与基础练习题
34.与圆有关的位置关系➢知识过关1.点和圆的位置关系2.直线与圆的位置关系3.切线的判定与性质切线的定义：直线与圆有_____公共点时，这条直线是圆的切线.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的______切线的判定：经过半径的外端并且______这条半径的直线是圆的切线.到圆心距离等于______的直线是圆的切线.➢考点分类考点1直线与圆的位置关系的判定例1如图所示，在Rt△ABC中，△C=90°，AC=3cm，BC=3cm，若OA=x cm,△O的半径为1cm，请问当x在什么范围内取值时，AC与△O相交、相切、相离？D考点2切线的判定例2 如图所示，AB是△O的直径，C是O上一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN 的垂线，垂足为点D，且△BAC=△CAD.(1)求证：直线MN是△O的切线；(2)若CD=3，△CAD=30°，求△O的半径.考点3 切线的性质 例3 如图所示，在△O 中，点C 是直径AB 延长线上一点，过点C 作△O 的切线，切点为D ，连接BD.(1)求证：△A=△BDC(2)若CM 平分△ACD ，且分别交AD 、BD 于点M 、N ，当DM=1时，求MN 的长.➢ 真题演练1.如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC ＝∠BPC ＝60°，P A ＝2，PC ＝4，则△ABC 的面积为（ ）A ．43√3B ．32√3C ．2√3D ．3√32．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B ＝90°，∠BCD ＝120°，AB ＝4，BC ＝2，则AD 的长为（ ）A ．2√3B ．4−√3C ．√3+1D ．2+√33．如图，P A 、PB 、CE 分别与⊙O 相切于点A 、B 、D 点，若圆O 的半径为6，OP ＝10，则△PCE 的周长为（ ）A ．10B ．12C ．16D ．204．如图所示，点P 是⊙O 的半径OC 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为A ，AB 是⊙O 的弦，连接AC ，BC ，若∠P AB ＝70°，则∠ACB 的大小为（ ）A ．70°B ．110°C ．120°D ．140°5．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝12，若⊙O 与△ABC 的三边分别相切于点D ，E ，F ，且△ABC 的周长为32，则DF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．66．如图，已知DC 是⊙O 的直径，点B 为CD 延长线上一点，AB 是⊙O 的切线，点A 为切点，且∠BAD ＝35°，则∠ADC ＝（ ）A ．75°B ．65°C ．55°D ．50°7．如图，PC 、PB 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，延长PC ，与BA 的延长线交于点E ，过C 点作弦CD ，且CD ∥AB ，连接DO 并延长与圆交于点F ，连接CF ，若AE ＝2，CE ＝4，则CD 的长度为（ ）A ．3B ．4C ．185D ．2458．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB ，交CB 的延长线于点E ．若BA 平分∠DBE ，AD ＝7，CE =√13，则AE 的长度为 ．9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，AD ＝CD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连接AC 交DE 于点F ．若sin ∠CAB =35，DF ＝5，则AB 的长为 ．10．如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，C为⊙O上一点连接AC、BC，若∠C＝55°，则∠P的度数是°．11.如图，AB为圆O直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与圆O相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，若AD＝2，BC＝6．（1）求CD的长度．（2）求EG的长度．（3）求FB的长度．12．如图，P A、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．（1）如果△PCD的周长为10，求P A的长；（2）如果∠P＝40°，①求∠COD；②连AE，BE，求∠AEB．13．如图，P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA．（1）求证：∠POA＝2∠PCB；（2）若OA＝3，P A＝4，求tan∠PCB的值．➢ 课后练习1．如图，P A ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 是切点，过半径OB 的中点C 作CD ⊥OB 交P A 于点D ，若PD ＝3，AD ＝5，则⊙O 的半径长为（ ）A ．2√7B ．4√2C ．3√3D ．2√52．如图，等边三角形ABC 的边长为4，⊙C 的半径为√3，P 为AB 边上一动点，过点P 作⊙C 的切线PQ ，切点为Q ，则PQ 的最小值为（ ）A ．12B ．√3C ．2√3D ．33．如图，点O 是矩形ABCD 对角线BD 上的一点，⊙O 经过点C ，且与AB 边相切于点E ，若AB ＝4，BC ＝5，则⊙O 的半径长为（ ）A ．165B ．258C ．5√419D ．44．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC =√2，点D 是AB 边上一个动点，以点D 为圆心r 为半径作⊙D ，直线BC 与⊙D 切于点E ，若点E 关于CD 的对称点F 恰好落在AB 边上，则r 的值是（ ）A ．√2−1B ．1C ．√2D ．√2+15．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，如果∠D＝30°，AB＝4，那么线段CD的长是．6．如图，△ABD内接于⊙O，AD为直径，CD为⊙O的切线，连接BC，若CD＝AD，AB ＝2，BC=2√13，则BD＝．7．已知菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，M是线段AD的中点，点P是对角线AC 上的动点，连接PM，以P为圆心，PM长为半径作⊙P，当⊙P与菱形ABCD的边相切时，AP的长为．8．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，且BD＝CD，DF ⊥AC于点F．给出以下四个结论：̂=DÊ；④∠A＝2∠FDC．①DF是⊙O的切线；②CF＝EF；③AE其中正确结论的序号是．9．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝6，点O为边BC上一动点，连接OA．以O为圆心，OB为半径作圆，交OA于D，过D作⊙O的切线，交AC于点E．当⊙O与边AC相切时，CE的长为．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ=12∠DOQ．若AQ＝AC，AD＝4时，写出BP的长为．11．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D．（1）如图1，连接DB，求证：DB＝DE；（2）如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB+AC=√3AD．12．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，求∠BOC的度数；（2）若AB＝13，BC＝11，AC＝10，求AF的长．➢冲击A+。
2024届中考数学高频考点专项练习：专题四 一次方程(组)综合训练(B)及答案
2024届中考数学高频考点专项练习：专题四一次方程（组）综合训练（B）1.已知是关于x的一元一次方程，则( )A.3或1B.1C.3D.02.若，，则的值为( )A.4B.C.D.3.端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有( )A.2种B.3种C.4种D.5种4.如果的值与的值互为相反数，那么x等于( )A. B.0 C.1 D.5.定义：使等式成立的一对有理数a，b称为“伴随数对”，记为，如：数对，都是“伴随数对”，若5是“伴随数对”中的一个有理数，则这个“伴随数对”是( )A. B.C.或D.或6.有这样一首关于周瑜年龄的诗：“而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符”.大意为：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的六倍正好等于这个两位数.若设周瑜年龄的个位数为x，十位数为y，则可列出方程组为( )A. B. C. D.7.如图，电子蚂蚁P，Q在边长为1个单位长度的正方形的边上运动，电子蚂蚁P从点A出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形作顺时针运动，电子蚂蚁Q从点A出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形作逆时针运动，则它们第2019次相遇在( )A.点AB.点BC.点CD.点D8.中国减贫方案和减贫成就是史无前例的人类奇迹，联合国秘书长古特雷斯表示，“精准扶贫”方略帮助贫困人口实现2030年可持续发展议程设定的宏伟目标的唯一途径，中国的经验可以为其他发展中国家提供有益借鉴，为了加大“精准扶贫”力度，某单位将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有( )A.6种B.5种C.4种D.30种9.对x,y定义一种新运算T,规定:（其中a,b均为非零常数）,这里等式右边是通常的四则运算,例如:,若,,则结论正确的个数为( )（1）,;（2）若,则;（3）若,m,n均取整数,则或或;（4）若,当n取s,t时,m对应的值为c,d,当时,;（5）若对任意有理数x,y都成立(这里和T均有意义),则A.2个B.3个C.4个D.5个10.已知关于x，y的二元一次方程组则的值是__________.11.记，则方程所有解的和为_________.12.为进一步改善生态环境，村委会决定将一块土地分成甲，乙，丙三个区域来种树.村委会将三个区域的占地面积划分完毕后，发现将原甲区域的面积错划分给了乙区域，而原乙区域30%的面积错划分给了甲区域，丙区域面积未出错，造成现乙区域的面积占甲，乙两区域面积和的.为了协调三个区域的面积占比，村委会重新调整三个区域的面积，将丙区域面积的分两部分划分给现在的甲区域和乙区域.如果调整结束后，甲，乙，丙三个区域的面积比变为，那么村委会调整时从丙区域划分给甲区域的面积与三个区域总面积的比为_________.13.为了同学们的身体健康，学校初、高中部分别购买了A、B、C三种健身器材.已知初中部购买A、B、C的数量之比为，A、B、C的单价之比为；高中部购买A种器材比初中部购买A种器材多出的费用占高中部购买三种器材总费用的，高中部购买A种工具的单价比初中部少，高中部购买B种工具超出初中部B种工具的费用与高中部购买C种工具超出初中部购买C种工具的费用之比为；高中部购买A种工具的费用与购买B种工具的费用之比为；那么初中部购买A种工具的数量与高中部购买的A种工具的数量之比为_______________.14.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源.某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如图.（1）若某户居民1月份用水，则水费__________元；（2）若某户居民某月用水，则用含x的代数式表示水费；（3）若某户居民3、4月份共用水，（4月份用水量超过3月份），共交水费44元，则该户居民3、4月份各用水多少立方米？15.某市有甲、乙两个有名的乐团，这两个乐团决定向某服装厂购买演出服，已知甲乐团购买的演出服每套70元，乙乐团购买的演出服每套80元，两个乐团共75人，购买演出服的总价钱为5600元.（1）甲、乙两个乐团各有多少人？（2）现从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人，去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”，甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友，这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖.请写出所有的抽调方案，并说明理由.答案以及解析1.答案：B解析：是关于x的一元一次方程，且，解得：或3，且，.故选B.2.答案：A解析：因为，所以，因为，所以，联立方程组可得解方程组可得，所以，故选A.3.答案：C解析：设使用A食品盒x个，使用B食品盒y个，根据题意得，，x、y都为正整数，解得，，，，一共有4种分装方式；故选C.4.答案：A解析：的值与的值互为相反数，，即，解得：.故选：A.5.答案：C解析：当时，，解得，此时“伴随数对”是，当时，，解得，此时“伴随数对”是，“伴随数对”是或，故选：C.6.答案：C解析：其十位上的数字比个位上的数字小3，可得方程：；根据个位上的数字的六倍正好等于这个两位数，可得方程：，可列出方程组为，故选：C.7.答案：D解析：设两只电子蚂蚁每隔x秒相遇一次，根据题意得：，解得：.电子蚂蚁P从点A出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形作顺时针运动，它们第1次相遇电子蚂蚁P走了个单位长度，相遇在B点，同理，第2次相遇在C点，第3次相遇在D点，第4次相遇在A点，第5次相遇在B 点，第6次相遇在C点，….又，第2019次相遇和第3次相遇地点相同，即第2019次相遇在点D.故选：D.8.答案：B解析：设甲组有x名干部，乙组有y名干部，则丙组有名干部，由题意得，化简得，，当，时，，即甲组有1名干部，乙组有14名干部，则乙组有4名干部，当，时，，即甲组有3名干部，乙组有11名干部，则乙组有5名干部，当，时，，即甲组有5名干部，乙组有8名干部，则乙组有6名干部，当，时，，即甲组有7名干部，乙组有5名干部，则乙组有7名干部，当，时，，即甲组有9名干部，乙组有2名干部，则乙组有8名干部，综上，有5种方案，故选：B.9.答案：C解析:由题意可知,,,即,解得,故（1）正确;,;,,则;故（2）正确m,n均取整数,,的取值为,,,1,2,4;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;故（3）不正确,,,,当时,;故（4）正确;,,,,,,对任意有理数x,y都成立(这里和均有意义),则故（5）正确故选C10.答案：1解析：①-②×2，得，解得，把代入②，得，解得，故.11.答案：/解析：当时，，当时，，当时，，当时，，令，方程可化为，①；②；③；④；解得：或；或；或；或；或，解得：或或；所有解的和为，故答案为：.12.答案：解析：设甲，乙，丙三个区域原来的面积分别为x，y，z，，解得则此时，甲区域：，乙区域：，将丙区域面积的分两部分划分给现在的甲区域和乙区域，甲，乙，丙三个区域的面积比变为，则解得：，设最后从丙区域面积的分两部分划分给现在的甲区域面积为，则，解得，村委会调整时从丙区域划分给甲区域的面积与三个区域总面积的比为，故答案为：.13.答案：解析：设初中部购买A、B、C的数量分别为、、，A、B、C的单价分别为、y、y，则初中部购买A、B、C的费用分别为、、，高中部购买三种工具的总费用为a元，高中部购买B种工具超出初中部B种工具的费用，高中部购买C种工具超出初中部购买C种工具的费用分别为，，根据题意得：，解得：，高中部购买的A种工具的数量为：，初中部购买A种工具的数量与高中部购买的A种工具的数量之比为.故答案为：.14.答案：（1）20（2）水费为（元）（3）该户居民3月份的用水量为，4月份的用水量为解析：（1）（元）.故答案为：20.（2）当时，水费为元；当时，水费为元；当时，水费为元.综上所述，水费为（元）.（3）设3月份的用水量为，则4月份的用水量为，当时，，解得：，；当时，，解得：（不合题意，舍去）；当时，，该情况不符合题意.答：该户居民3月份的用水量为，4月份的用水量为.15.答案：（1）甲乐团有40人，乙乐团有35人（2）共有两种方案：从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人；或者从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调7人；见解析解析：（1）设甲乐团有x人，乙乐团有y人，根据题意，得，解得，答：甲乐团有40人，乙乐团有35人；（2）由题意，得，变形得，因为，，且a，b均为整数，所以或，所以共有两种方案：从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人；或者从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调7人.。
2022中考数学复习考点专项训练——一次函数
2022中考数学复习考点专项训练——一次函数一、选择题1. 设路程s，速度v，时间t，在关系式s=vt中，说法正确的是（）A.当s一定时，v是常量，t是变量B.当v一定时，t是常量，s是变量C.当t一定时，t是常量，s，v是变量D.当t一定时，s是常量，v是变量2. 小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（）A．12分钟B．15分钟C．25分钟D．27分钟3.将函数y=2x的图象向下平移3个单位，则得到的图象相应的函数表达式为( )A.y=2x+3B.y=2x−3C.y=2x+6D.y=2x−64.直线l:m(2x−y−5)+(3x−8y−14)=0被以A(1, 0)为圆心，2为半径的⊙A所截得的最短弦的长为（）A.√2B.√3C.2√2D.2√35.已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（）A ．2y x =-B ．2(10)y x x =--<<C ．12y x =- D ．1(10)2y x x =--<<6.在地球某地，地表以下岩层的温度y(∘C)与所处深度x(km)之间的关系可以近似地用表达式y =35x +20来表示，当自变量x 每增加1km 时，因变量y 的变化情况是（）A.减少35∘CB.增加35∘CC.减少55∘CD.增加55∘C7.如图所示，△ABC 中，已知BC =16，高AD =10，动点Q 由C 点沿CB 向B 移动（不与点B 重合）．设CQ 长为x ，△ACQ 的面积为S ，则S 与x 之间的函数关系式为（）A.S =80−5xB.S =5xC.S =10xD.S =5x +808. 下列图形中，表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 为常数且0mn ≠）的图像是下图中的（）9. 一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后分别按原速同时驶往甲地，两车之间的距离S(km)与慢车行驶时间t(h)之间的函数图象如图所示，下列说法：①甲、乙两地之间的距离为560km ；②快车速度是慢车速度的1.5倍；③快车到达甲地时，慢车距离甲地60km ；④相遇时，快车距甲地320km其中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个10. 已知函数y =√x 2−1，当x =−2时，函数值为（）A.√3B.±√3C.3D.±311. 已知点()()1242y y -，，，都在直线122y x =-+上，则12y y ，大小关系是（） A ．12y y > B ．12y y = C ．12y y < D ．不能比较12. 已知梯形ABCD 的四个顶点的坐标分別为A(−1, 0)，B(5, 0)，C(2, 2)，D(0, 2)，直线y ＝kx +2将梯形分成面积相等的两部分，则k 的值为（）A.−23B.−29C.−47D.−27 13.汽车由A 地驶往相距120km 的B 地，它的平均速度是30km/h ，则汽车距B 地路程s (km)与行驶时间t(h)的函数关系式及自变量t 的取值范围是（）A.S =120−30t (0≤t ≤4)B.S =120−30t (t >0)C.S =30t (0≤t ≤40)D.S =30t (t <4)14. 如果等腰三角形的周长为16，那么它的底边长y 与腰长x 之间的函数图像为（）15.小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y 表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x 表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（）A. B.C.D.二、填空题 16.已知函数y =−4x −3，当x =________时，函数值为0．17. 已知3a y ax -=，若y 是x 的正比例函数，则a 的值是．18. 已知函数y ＝(m −1)x |m|+3是一次函数，则m ＝________．19.已知关于x 的函数y =(k +3)x +|k|−3是正比例函数，则k 的值是________．20. 若一次函数12(1)12y k x k =-+-的图像不过第一象限，则k 的取值范围是___________． 21.小华用500元去购买单价为3元的一种商品，剩余的钱y （元）与购买这种商品的件数x （件）之间的函数关系是________．22. 重庆出租车夜间收费（单位：元）与行驶路程（单位：千米）之间的关系如图所示，如果勇勇乘出租车最远能到10公里，那么他恰有________元．23. 已知一次函数y kx b =+中，0kb <，则这样的一次函数的图像必经过的公共象限有个，即第象限．24. 某工人生产一种零件，完成定额20个，每天收入28元，如果超额生产一个零件，增加收入1.5元．写出该工人一天的收入y （元）与他生产的零件x （个）的函数关系式________．25.小明放学后步行回家，他离家的路程s （米）与步行时间t （分钟）的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是________米/分钟．26. 已知y 是x 一次函数，表给出了部分对应值，m 的值是．27.元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载:“今有良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日,问良马几何日追及之.”如图是两匹马行走路程s 关于行走时间t 的函数图象,则两图象交点P 的坐标是____.28．在如图所示的平面直角坐标系中，点P 是直线y x =上的动点，()0A 1，，B(2，0)是x 轴上的两点，则PA PB +的最小值为______．29.某公司推销一种产品，公司付给推酬员的月报销有两种方案如图所示．设推销员推销产品的数量为x (件)，付给推销员的月报酬为y (元)．若公司决定改进“方案二”，保持基本工资不变，每件报酬增加m 元，使得当销售员销售产品达到40件时，两种方案的报酬差额不超过100元，则m 的取值范围是________．30．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步600米，先到终点的人原地休息.已知甲先出发2秒.在跑步过程中，甲、乙两人的距离y （米）与乙出发的时间t （秒）之间的关系如图所示，则b=_____.三、解答题31. 函数已知28(3)1my m x -=-+，当m 为何值时，y 是x 的一次函数？32.已知一次函数y =−2x +3．（1）求这个函数图象与x 轴的交点坐标；（2）当这个函数图象在x轴下方时，求自变量x的取值范围；（3）当这个函数图象在第一象限时，求自变量x的取值范围．33.已知函数y=(8-2m)x+m-2.(1)若函数图象经过原点，求m的值.(2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围.(3)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围.34. 直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，-2).(1)求直线AB的表达式.(2)若直线AB上一点C在第一象限且点C的坐标为(2，2)，求△BOC的面积.35．在甲药店购买口罩，一次性购买数量不超过100个时，价格为3.5元/个；一次性购买数量超过100个时，其中100个的价格仍为3.5元/个，超过100个的部分价格为2.5元/个．（1）设在甲药店购买x个口罩，总费用为y元，请写出y与x的函数解析式；（2）乙药店销售同一种口罩，不论一次购买数量是多少，价格均为3元/个．若某单位需购买300个口罩，选择在哪个药店购买更便宜？36. 为了加强公民的节水意识，某地规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6m3时，水费按每立方米1.1元收费，超过6m3时，超过部分每立方米按1.6元收费，设每户每月用水量为xm3，应缴水费为y元．(1)写出y与x之间的函数表达式；(2)如果有两户家庭某月份需缴纳水费为5.5元和9.8元时，求这两户家庭这个月的用水量分别是多少？37. 平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(m+1, m−1)．（1）试判断点P是否在一次函数y＝x−2的图象上，并说明理由；（2）如图，一次函数y＝-x+3的图象与x轴、y轴分别相交于A，B，若点P在△AOB的内部，求m的取值范围．38. 图1,某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯.甲、乙两人从二楼同时下行,甲乘自x+6,动扶梯,乙走步行楼梯,甲离一楼地面的高度h(单位:m)与下行时间x(单位:s)之间具有函数关系h=-310乙离一楼地面的高度y(单位:m)与下行时间x(单位:s)的函数关系如图2所示.(1)求y关于x的函数表达式.(2)请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面.39.A市和B市分别有库存的某联合收割机12台和6台，现决定开往C市10台和D市8台，已知从A市开往C市、D市的油料费分别为每台400元和800元，从B市开往C市和D市的油料费分别为每台300元和500元．(1)设B市运往C市的联合收割机为x台，求运费w关于x的函数关系式．(2)若总运费不超过9 000元，问有几种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案，并求出最低运费．40. 如图，根据函数y=kx+b(k，b是常数，且k≠0)的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=−3的解．41. 某企业有甲、乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以每小时6m3的速度注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y(m)与注水时间x(h)之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：(1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式.(2)求注水多长时间甲、乙两个蓄水池中水的深度相同.(3)求注水多长时间甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同.x的图象上运动（不与O重合），连接AP．过42.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y=√33点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．（1）求线段AP长度的取值范围；（2）试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．。
2023年中考数学高频考点训练——因式分解的应用
2023年中考数学高频考点训练——因式分解的应用一、综合题1．阅读下列材料：①关于x 的方程2310(0)x x x -+=≠方程两边同时乘以1x 得：1x 30x -+=，即1x 3x +=，故222221111x x 2x x 2x x x x ⎛⎫+=+⋅⋅+=++ ⎪⎝⎭，所以222211x x 2327x x ⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭．②()()3322a b a b a ab b +=+-+；()()3322a b a b a ab b -=-++．根据以上材料，解答下列问题：（1）2410(0)x x x -+=≠，则1x x +=；221x x +=；441x x +=；（2）22720x x -+=，求331x x +的值．2．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．（1）图1中大正方形的面积用两种方法可分别表示为、；（2）你得到的因式分解等式是：；（3）观察图2，可以发现代数式2a 2+5ab+2b 2可以因式分解为；（4）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图3是棱长为（a+b ）的正方体，被如图所示的分割线分成8块．①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个因式分解的等式，这个等式是：；②已知a+b ＝5，ab ＝2，利用上面的规律求a 3+b 3的值．3．如图，将一张矩形纸板按照图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n 的小正方形，五块是长为m ，宽为n 的全等小矩形，且m>n ，(以上长度单位：cm)（1）观察图形，可以发现代数式2m 2＋5mn ＋2n 2可以因式分解为；（2）若每块小矩形的面积为10cm 2，四个正方形的面积和为58cm 2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和．4．仔细阅读下面的例题：例题：已知二次三项式25x x m ++有一个因式是2x +，求另一个因式及m 的值．解：设另一个因式为x n +，得25(2)()x x m x x n ++=++，则225(2)2x x m x n x n ++=+++，25n ∴+=，2m n =，解得3n =，6m =，∴另一个因式为3x +，m 的值为6．依照以上方法解答下列问题：（1）若二次三项式254x x -+可分解为(1)()x x a -+，则a =；（2）若二次三项式226x bx +-可分解为(23)(2)x x +-，则b =；（3）已知二次三项式229x x k +-有一个因式是21x -，求另一个因式以及k 的值．5．解答下列问题：（1）一正方形的面积是()22690,0a ab b a b ++>>，则表示该正方形的边长的代数式是．（2）求证：当n 为正整数时，()()222121n n +--能被8整除．6．回答下列问题：（1）填空：22211(x x x x +=+-21(x x =-+；（2）填空：若15a a +=，则221a a +=；（3）若2310a a -+=，0a ≠，求221a a +的值.7．已知8x y +=，6xy =.求：（1）22x y xy +的值；（2）22x y +的值.8．解下列各题：（1）分解因式：()()263a b a b -+-；（2）利用因式分解简便计算：224959909595-⨯+．9．下面是多项式x 3+y 3因式分解的部分过程，．解：原式＝x 3+x 2y ﹣x 2y +y 3（第一步）＝（x 3+x 2y ）﹣（x 2y ﹣y 3）（第二步）＝x 2（x +y ）﹣y （x 2﹣y 2）（第三步）＝x 2（x +y ）﹣y （x +y ）（x ﹣y ）（第四步）＝．阅读以上解题过程，解答下列问题：（1）在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有．（至少写出两种方法）（2）在横线继续完成对本题的因式分解．（3）请你尝试用以上方法对多项式8x 3﹣1进行因式分解．10．已知4a b +=，2225a b +=.求下列各式的值.（1）ab ；（2）32231a a b ab b ++++.11．阅读图中的材料：利用分组分解法解决下面的问题：（1）分解因式：x 2﹣2xy+y 2﹣4；（2）已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足a 2﹣ab ﹣ac+bc ＝0，判断△ABC 的形状并说明理由．12．已知x+y=3，xy=54，求下列各式的值：（1）（x 2-2）（y 2-2）；（2）x 2y-xy 2.13．我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式.类似地，我们可以借助一个棱长为a 的大正方体进行以下探索：（1）在大正方体一角截去一个棱长为()b b a <的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为；（2）将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，∵BC a =，AB a b =-，CF b =，∴长方体①的体积为()ab a b -.类似地，长方体②的体积为，长方体③的体积为；（结果不需要化简）（3）将表示长方体①、②、③的体积相加，并将得到的多项式分解因式的结果为；（4）用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为.（5）已知4a b -=，2ab =，求33a b -的值.14．n 是正整数．（1）请用n 表示两个连续的奇数为、．（2）这两个连续奇数的平方差是8的倍数吗？给出理由．15．请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；（3）如果图中的a ，()b a b >满足2253a b +=，14ab =，求：①a b +的值；②44a b -的值.16．若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，完全平方数是非负数.例如：0＝02，1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，121＝112….（1）若28+210+2n 是完全平方数，求n 的值.（2）若一个正整数，它加上61是一个完全平方数，当减去11是另一个完全平方数，写出所有符合的正整数.17．阅读：因为（x+3）（x-2）=x 2+x-6，说明x 2+x-6有一个因式是x-2；当因式x-2=0，那么多项式x 2+x-6的值也为0，利用上面的结果求解：（1）多项式A 有一个因式为x+m （m 为常数），当x=，A=0；（2）长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为x-2，面积为x 2+kx-14，求k 的值；（3）若有一个长方体容器的长为（x+2），宽为（x-1），体积为4x 3+ax 2-7x+b ，试求a ，b 的值．18．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题.2(1)(1)(1)(1)[1x x x x x x x +++++=+++23(1)](1)(1)(1).x x x x x +=++=+（1）上述分解因式的方法是，共应用了次（2）若分解2(1)(1)(1)x x x x x +++++++ 2001(1)x x +，则需应用上述方法次.结果是.（3）分解因式：2(1)(1)(1)x x x x x +++++++ (1)(n x x n +为正整数).19．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A 可以用来解释2222()a ab b a b ++=+，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解.（1）图B 可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片，如图C ：①若要拼出一个面积为（3a+b ）（a+2b ）的矩形，则需要1号卡片张，2号卡片张，3号卡片张；②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为6a 2+7ab+2b 2，并利用你画的图形面积对6a 2+7ab+2b 2进行因式分解.20．对任意一个四位正整数数m ，若其千位与百位上的数字之和为9，十位与个位上的数字之和也为9，那么称m 为“重九数”，如：1827、3663.将“重九数”m 的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，得到一个新的四位正整数数n ，如：m ＝2718，则n ＝1827，记D （m ，n ）＝m+n.（1）请写出两个四位“重九数”：，.（2）求证：对于任意一个四位“重九数”m ，其D （m ，n ）可被101整除.（3）对于任意一个四位“重九数”m ，记f （m ，n ）＝D(m,n)101，当f （m ，n ）是一个完全平方数时，且满足m ＞n ，求满足条件的m 的值.21．如图①是由边长为a 的大正方形纸片剪去一个边长为b 的小正方形后余下的图形.我们把纸片剪开后，拼成一个长方形（如图②）.（1）探究：上述操作能验证的等式的序号是.①a 2＋ab ＝a （a+b ）②a 2－2ab ＋b 2＝（a －b ）2③a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）（2）应用：利用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：①已知4x 2－9y 2＝12，2x ＋3y ＝4，求2x －3y 的值；②计算22222111111-1-1-1-1-2345100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a 厘米的大正方形，2块是边长都为b 厘米的小正方形，5块是长为a 厘米，宽为b 厘米的相同的小长方形，且a ＞b ．（1）观察图形，可以发现代数式2a 2+5ab +2b 2可以因式分解为．（2）若图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米，求图中空白部分的面积．答案解析部分1．【答案】（1）4；14；194（2）解：∵22720x x -+=，∴172x x +=，2221141()24x x x x +=+-=，3232111741259(1)(1)248x x x x x x +=+-+=⨯-=．【解析】【解答】解：（1）∵2410x x -+=，∴14x x +=，222111()216214x x x x x x +=+-⋅=-=，4222422111()2194x x x x x x +=+-⋅=；故答案为：4；14；194；【分析】(1)模仿例题利用完全平方公式即可求解；(2)模仿例题利用完全平方公式和立方和公式即可求解。
中考数学专题复习分考点归纳练习规律探究之数式(一)
中考数学专题复习分考点归纳练习规律探究之数式（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．122．一列数1，5，11，19…按此规律排列，第7个数是（）A．37B．41C．55D．713．观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10,12，…；若最后三个数之和是3000，则n等于（）A．499B．500C．501D．10024．根据图中数字的规律，若第n个图中的143q ，则p的值为（）A．100B．121C．144D．1695．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第①个图案中有3个黑色三角形，第①个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第①个图案中黑色三角形的个数为（）A．10B．15C．18D．216．观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣27．已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a=-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（ ） A ．23-B ．13C ．12-D ．238．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）A ．2025B ．2023C ．2021D ．2019评卷人 得分二、填空题 9．观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．10．将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．11．如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n 个图形需要___________根火柴棍．12．如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．13．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形按此规律摆下去，第n 个图案有_______个三角形（用含n 的代数式表示）．14．观察下列等式： 2+22=23﹣2； 2+22+23=24﹣2； 2+22+23+24=25﹣2； 2+22+23+24+25=26﹣2； …已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220=m ，则220+221+222+223+224+…+238+239+240=_____(结果用含m 的代数式表示)． 15．观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．16．观察下列等式：22110=-，22321=-，22532=-，…按此规律，则第n 个等式为21n -=__________________．17．按一定规律排列的一列数：3，32，3﹣1，33，3-4，37，3﹣11，318，…，若a ，b ，c 表示这列数中的连续三个数，猜想a ，b ，c 满足的关系式是______．18．把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：按此规律，可知第n行有_________个正整数19．如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第____行第________列．20．将正整数按如图所示的规律排列．若用有序数对(a，b)表示第a排，从左至右第b 个数．例如(4，3)表示的数是9，则(7，2)表示的数是_________.21．下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．22．观察下面的变化规律：212112112111,,,133353557577979=-=-=-=-⨯⨯⨯⨯，……222213355720192021++++=⨯⨯⨯⨯__________．23．观察下列各式的规律：①2132341⨯-=-=-；①2243891⨯-=-=-；①235415161⨯-=-=-．请按以上规律写出第4个算式________．用含有字母的式子表示第n个算式为________．24．有一列数，按一定的规律排列成13，1-，3，9-，27，－81，…．若其中某三个相邻数的和是567-，则这三个数中第一个数是______．25．观察下列各式：1234523101526,,,,,357911a a a a a=====，根据其中的规律可得na=________（用含n的式子表示）．26．下面各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，……，按此规律，第10个图中黑点的个数是________．27．如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第①个图形中一共有7个菱形，第①个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第①个图形中菱形的个数为________．28．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为______．-1-610a-4-52-329．一组按规律排列的代数式：2335472,2,2,2a b a b a b a b+-+-，…，则第n个式子是30．将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．评卷人 得分三、解答题 31．阅读解答：（1）填空：1022==_____()2=；2122-=_____()2=；3222-=_____()2=…… （2）探索（1）中式子的规律，试写出第n 个等式_________； （3）根据上述规律，计算：012342021222222++++++．参考答案：1．D 【解析】 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案． 【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+ 当3n =时的分子为5，分母为23110+= ∴这个数为51102= 故选：D ． 【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键． 2．C 【解析】 【分析】根据题意得出已知数组的规律，得到第n 个数的表示方法，从而得出结果. 【详解】 解：1=1×2-1， 5=2×3-1， 11=3×4-1， 19=4×5-1， ...第n 个数为n （n+1）-1， 则第7个数是：55 故选C. 【点睛】本题考查了数字型规律，解题的关键是总结出第n 个数为n （n+1）-1. 3．C【解析】 【分析】根据题意列出方程求出最后一个数,除去一半即为n 的值． 【详解】设最后三位数为x －4,x －2,x ． 由题意得: x －4+x －2+x =3000, 解得x =1002． n =1002÷2=501． 故选C ． 【点睛】本题考查找规律的题型,关键在于列出方程简化步骤． 4．B 【解析】 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可． 【详解】解：根据图中数据可知： 1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-， ①第n 个图中的143q =， ①2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去) ①2=121p n =， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．5．B【解析】【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第①个图案中黑色三角形的个数．【详解】解：①第①个图案中黑色三角形的个数为1，第①个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第①个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，……①第①个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n．6．A【解析】【分析】根据已知条件和2100=S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【详解】解：①2100=S，①2100+2101+2102+…+2199+2200=S+2S+22S+…+299S+2100S=S（1+2+22+…+299+2100）=S（1+2100-2+2100）=S（2S-1）=2S2-S．故选：A．【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类、列代数式，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 7．D 【解析】 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值． 【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+，2021223a a ∴==， 故选：D ． 【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答． 8．B 【解析】 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n (n -1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可． 【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第n 行，第n 列的数据为：2n (n -1)+1， ①第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985， 根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2， ①第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023， 故选：B ． 【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9．12nn + 【解析】【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+， 第二项：2112242=+， 第三项：3113382=+， 第四项：41144162=+， … 则第n 项是12nn +； 故答案为：12n n +． 【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键． 10．1275【解析】【分析】首先得到前n 个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n 个图形中的黑色圆点的个数为()12n n +，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第①个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第①个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第①个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，...第n个图形中的黑色圆点的个数为()12n n+，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=16...1，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275，故答案为：1275．【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．11．2n+1【解析】【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．【详解】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，...拼成第n个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案为：2n+1．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．12．20【解析】【分析】根据已知图形得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n =()12n n +，列一元二次方程求解可得．【详解】解：①第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，……①第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n =()12n n +，当共有210个小球时，()12102n n +=， 解得：20n =或21-(不合题意，舍去)，①第20个图形共有210个小球．故答案为：20．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n ．13．()31n +【解析】【分析】由图形可知第1个图案有3+1=4个三角形，第2个图案有3×2+ 1=7个三角形，第3个图案有3×3+ 1=10个三角形...依此类推即可解答．【详解】解：由图形可知：第1个图案有3+1=4个三角形，第2个图案有3×2+ 1=7个三角形，第3个图案有3×3+ 1=10个三角形，...第n 个图案有3×n+ 1=（3n+1）个三角形．故答案为（3n+1）．【点睛】本题考查图形的变化规律，根据图形的排列、归纳图形的变化规律是解答本题的关键．14．()21m m﹣． 【解析】【分析】由题意可得220+221+222+223+224+…+238+239+240=220(1+2+22+…+219+220)=220(1+221﹣2)=220(220×2﹣1)，再将220=m 代入即可求解．【详解】①220=m ，①220+221+222+223+224+…+238+239+240=220(1+2+22+…+219+220)=220(1+221﹣2)=m(2m ﹣1)．故答案为：m(2m ﹣1)．【点睛】本题考查了规律型问题：数字变化，列代数式等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．15．2m m -【解析】【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++的和，即可计算1001011011992222++++的和． 【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=-．①1002=m①23991000222222=2m m +++++==， ①22991001012222222+++++=-，①10123991002222222=++++++12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++3248=2m m m m m m =+++=． ……①1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++． 令012992222S ++++=① 12310022222S ++++=②①-①，得10021S -=①10010110110199992222222m m m ++++=+++=()100221m m m -=- 故答案为：2m m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键． 16．()221n n --． 【解析】【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可．【详解】解：①22110=-，22321=-，22532=-，…①第n 个等式为：()22211n n n -=-- 故答案是：()221n n --．【点睛】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键．17．bc =a##a=bc【解析】【分析】首先判断出这列数中，3的指数各项依次为 1，2，﹣1，3，﹣4，7，﹣11，18…，从第三个数起，前两数相除等于第三个数，可得这列数中的连续三个数，满足a ÷b ＝c ，据此解答即可．【详解】①3，32，3﹣1，33，3﹣4，37，3﹣11，318，…，121333-÷=，213333-÷=，134333--÷=，347333-÷=，4711333--÷=，71118333-÷=，…， ①a ，b ，c 满足的关系式是a ÷b ＝c ，即bc =a ．故答案为：bc =a ．【点睛】此题考查了实数的规律问题，同底数幂的除法运算，负整数指数幂等知识，解题的关键是正确分析出题目中指数之间的规律．18．12n -【解析】【分析】仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有1102=2=1-个数字，第二行有2112=2=2-个数字，第三行有3122=2=4-4个数字，第四行有4132=2=8-个数字，由此得出规律求解即可．【详解】解：仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有1102=2=1-个数字，第二行有2112=2=2-个数字，第三行有3122=2=4-4个数字，第四行有4132=2=8-个数字，①可以推出第n 行有12n -个数字，故答案为：12n -．【点睛】本题主要考查了数字类的规律型问题，解题的关键在于准确理解题意得到规律．19． 64 5【解析】【分析】找到第n 行第n 列的数字，找到规律，代入2021即可求解【详解】通过观察发现：1=13=1+26=1+2+310=1+2+3+4……故第n 行第n 列数字为：1(1)2n n +， 则第n 行第1列数字为：1(1)(1)2n n n +--，即1(1)2n n -+1 设2021是第n 行第m 列的数字，则：1(1)2021()2m m n n n +=<- 即24421)0(n n m +=-,可以看作两个连续的整数的乘积，2263=396964=4096,,m n ，为正整数， 64n ∴=当64n =时，=5m故答案为：64，5【点睛】本题考查了规律探索，通过观察发现特殊位置的数字之间的关系，找到规律，通过计算确定行数，再根据方程求得列数，能正确发现规律是解题的关键．20．23【解析】【详解】根据图中所揭示的规律可知，1+2+3+4+5+6=21，所以第7排；应从左到右由小到大，从22开始数，第二个应是23，所以（7，2）表示的数是23．故答案是：23.21．3【解析】【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．22．2020 2021【解析】【分析】本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．【详解】由题干信息可抽象出一般规律：211a b a b=-•（,a b均为奇数，且2b a=+）．故222213355720192021++++=⨯⨯⨯⨯111111111111111202011()()()1 3355720192021335520192019202120212021 -+-+-++-=+-+-++--=-=．故答案：20202021． 【点睛】本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．23． 246524251⨯-=-=- ()()2211n n n ⨯+-+=- 【解析】【分析】（1）按照前三个算式的规律书写即可；（2）观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1，根据此规律写出即可；【详解】（1）2132341⨯-=-=-，①2243891⨯-=-=-，①235415161⨯-=-=-，①246524251⨯-=-=-；故答案为246524251⨯-=-=-． （2）第n 个式子为：()()2211n n n ⨯+-+=-．故答案为()()2211n n n ⨯+-+=-． 【点睛】本题主要考查了规律性数字变化类知识点，准确分析是做题的关键．24．81-【解析】【分析】题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是567-，可设三个数为n ，-3n ，9n ，据题意列式即可求解．【详解】题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是567-，可设第一个数是n ，则三个数为n ，-3 n ，9n由题意：()n 3n 9n 567+-+=-，解得：n=-81，故答案为：-81．【点睛】此题主要考查数列的规律探索与运用，一元一次方程与数字的应用，熟悉并会用代数式表示常见的数列，列出方程是解题的关键．25．()12121n n n ++-+【解析】【分析】 观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n 项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n 2+1，偶数项的分子是n 2-1，即第n 项的分子是n 2+（-1）n+1；依此即可求解．【详解】解：由分析得21(1)21n n n a n ++-=+， 故答案为：21(1)21n n n a n ++-=+【点睛】 本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．26．119【解析】【分析】根据题意，找出图形的规律，得到第n 个图形的黑点数为2(1)2n +-，即可求出答案．【详解】解：根据题意，第1个图有2个黑点；第2个图有7个黑点；第3个图有14个黑点；……第n 个图有2(1)2n +-个黑点；①当n=10时，有2(101)21212119+-=-=（个）；故答案为：119．【点睛】本题考查了图形的变化规律，找出图形的摆放规律，得出数字之间的运算方法，利用计算规律解决问题．27．57【解析】【分析】根据题意得出第n 个图形中菱形的个数为21n n ++；由此代入求得第①个图形中菱形的个数．【详解】解：第①个图形中一共有3个菱形，2312=+；第①个图形中共有7个菱形，2723=+； 第①个图形中共有13个菱形，21334=+；…，第n 个图形中菱形的个数为：21n n ++；则第①个图形中菱形的个数为277157++=．故答案为：57．【点睛】本题考查了整式加减的探究规律—图形类找规律，其关键是根据已知图形找出规律． 28．-2【解析】【分析】先通过计算第一行数字之和得到各行、各列及各条对角线上的三个数字之和，再利用第二列三个数之和得到a 的值．【详解】解：由表第一行可知，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均为1616--+=-，①626a -++=-，①2a =-，故答案为：2-．【点睛】本题考查了数字之间的关系，解决本题的关键是读懂题意，正确提取表中数据，找到它们之间的关系等，该题对学生的观察分析能力有一定的要求，同时也考查了学生对有理数的和差计算的基本功．29．()12112n n n a b +-+-⋅ 【解析】【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a 的次数是式子的序号；第二项中b 的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号．【详解】解：①当n 为奇数时，()111n +-=； 当n 为偶数时，()111n +-=-，①第n 个式子是：()1211?2n n n a b +-+-．故答案为：()1211?2n n n a b +-+- 【点睛】本题考查了多项式的知识点，认真观察式子的规律是解题的关键．30．875【解析】【分析】设第n 个“龟图”中有an 个“〇”（n 为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“an ＝n 2−n ＋5（n 为正整数）”，再代入n ＝30即可得出结论．【详解】解：设第n 个“龟图”中有an 个“〇”（n 为正整数）．观察图形，可知：a 1＝1＋2＋2＝5，a 2＝1＋3＋12＋2＝7，a 3＝1＋4＋22＋2＝11，a 4＝1＋5＋32＋2＝17，…，①an ＝1＋（n ＋1）＋（n −1）2＋2＝n 2−n ＋5（n 为正整数），①a 30＝302−30＋5＝875．故答案是：875．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“〇”个数的变化找出变化规律“an ＝n 2−n ＋5（n 为正整数）”是解题的关键．31．（1）1，0；2，1；4，2；（2）2n -2n -1=2n -1；（3）202221-【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解；（2）根据（1）中式子的规律，可得结果；（3）设S =20+21+22+23+24+…+22021，然后表示出2S ，再相减计算即可得解．【详解】解：（1）21-20=1=20，22-21=2=21，23-22=4=22；（2）由题意可得：2n -2n -1=2n -1；（3）设012342021222222S =++++++， ①12342022222222S =+++++， ①2S S S =-=()()1234202201234202122222222222+++++++++++- =202221-．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，主要利用了有理数的乘方的计算，难点在于（3）利用整体思想求解．。
2023年中考九年级数学高频考点提升练习--切线的证明(含解析)
2023年中考九年级数学高频考点提升练习--切线的证明1．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，O是BC边上的点，⊙O与AB相切，切点为D，AC与⊙O相交于点E，且AD=AE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）如果F为DE弧上的一个动点（不与D、E重合），过点F作⊙O的切线分别与边AB、AC相交于G、H，连接OG、OH，有两个结论：①四边形BCHG的周长不变，②∠GOH的度数不变．已知这两个结论只有一个符合题意，找出正确的结论并证明；（3）探究：在（2）的条件下，设BG=x，CH=y，试问y与x之间满足怎样的函数关系，写出你的探究过程并确定变量x的取值范围，并说明当x=y时F点的位置．2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且CD平分⊙ACB，过点D作DE∥AB交CB延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC＝4，tan∠BAC=12，求DE的长．3．如图，以BC为直径的⊙O交⊙CFB的边CF于点A，BM平分⊙ABC交AC于点M，AD⊙BC于点D，AD交BM于点N，ME⊙BC于点E，AB2=AF·AC，cos⊙ABD=35，AD=12．（1）求证：⊙ABF⊙⊙ACB；（2）求证：FB是⊙O的切线；（3）证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．4．如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O上一点，连接AD、OC，若AD//OC.（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB=3AE=12，求BF的长.5．如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，⊙CBO=45°，CD⊙AB．⊙CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．（1）求点C 的坐标；（2）当⊙BCP=15°时，求t 的值；（3）以点P 为圆心，PC 为半径的⊙P 随点P 的运动而变化，当⊙P 与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t 的值．6．如图，A 为⊙O 外一点，AO⊙BC ，直径BC ＝12，AO ＝10，BD 的长为π，点P 是BC 上一动点，⊙DPM ＝90°，点M 在⊙O 上，且⊙DPM 在DP 的下方．（1）当sinA ＝35时，求证：AM 是⊙O 的切线； （2）求AM 的最大长度．7．如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 的坐标分别为（0，8）、（6，0），以AC 为直径作⊙O ，交坐标轴于点B ，点D 是⊙O 上一点，且 BD =AD ，过点D 作DE⊙BC ，垂足为E.（1）求证：CD 平分⊙ACE ；（2）判断直线ED 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（3）求线段CE 的长.8．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦（不是直径），OD ⊙AC 垂足为G 交⊙O 于D ，E 为⊙O 上一点（异于A 、B ），连接ED 交AC 于点F ，过点E 的直线交BA 、CA 的延长线分别于点P 、M ，且ME ＝MF ．（1）求证：PE是⊙O的切线．（2）若DF＝2，EF＝8，求AD的长．（3）若PE＝6 √2，sin⊙P＝13，求AE的长．9．如图，已知等边⊙ABC，AB＝12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D 作DF⊙AC，垂足为F，过点F作FG⊙AB，垂足为G，连结GD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求FG的长；（3）求tan⊙FGD的值．10．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，圆心O在AB上，且⊙B=2⊙A，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，EF=FC．（1）求证：CF是⊙O的切线（2）设⊙O的半径为2，且AC=CE，求AM的长11．如图，⊙ O是⊙ ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E，求证：（1）∠ECB=∠BAD；（2）BE是⊙ O的切线．12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）若BC=6，cosC=35，求DN的长．13．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊙OF于点F，交⊙O于点D，AC与BD交于点G，点E为OC的延长线上一点，且⊙OEB=⊙ACD.（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为52，BG的长为154，求tan⊙CAB.14．如图，⊙ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF⊙BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF.（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为6，AF＝2√3，求AC的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积.15．如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与⊙O交于点F，延长BA到点G，使得∠BGF=∠GBC，连接FG.备用图（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4.①当OD=3，求AD的长度；②当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积.16．如图1，在矩形ABCD中，AB=9,BC=12，点P是线段AD上的一个动点，以点P为圆心，PD为半径作⊙P，连接CP.（1）当⊙P经过PC的中点时，PC的长为；（2）当CP平分∠ACD时，判断AC与⊙P的位置关系.说明理由，并求出PD的长；（3）如图2，当⊙P与AC交于E,F两点，且EF=9.6时，求点P到AC 的距离．答案解析部分1．【答案】（1）解：如图，连接OA，OD，OE，∵AB是⊙O的切线，点D为切点，∴⊙ADO=90°，∵AD=AE，OD=0E，AO=AO，∴⊙AOD⊙⊙AOE，∴⊙ADO=⊙AEO=90°，∴AC是⊙O的切线，点E为切点；（2）解：根据题意，四边形BCHG的周长为BC+CH+BG+HG，∵∠A=90°，AB=AC=4，∴⊙B=⊙C=45°，BC=4 √2，∵⊙ADO=⊙AEO=90°，OD=0E，∴⊙DOB=⊙EOC=45°，⊙BOD⊙⊙COE，∴OB=OC，BD=CE，∴⊙EOD=90°，⊙AOB=90°，⊙BAO=45°，∴BD=OD=DA=CE= 12AB=2，∵AB，AC，GH都是⊙O的切线，∴HF=HE，GD=GF，∴四边形BCHG的周长为BC+CE+EH+GH+BD+GD=BC+CE+BD+GH+HF+FG= BC+CE+BD+2GH=4+4 √2+2GH，∵GH是变量，∴四边形BCHG的周长不是定值，这个结论不符合题意；∵AB，AC，GH都是⊙O的切线，根据切线长定理，得GO平分⊙DOF，HO平分⊙EOF，∴⊙GOH=⊙GOF+⊙HOF= 12⊙DOF+12⊙EOF=12（⊙DOF+⊙EO）= 12⊙EOD，∵⊙EOD=90°，∴⊙GOH=45°，是个定值，故该结论符合题意（3）解：根据题意，GD=GF=x-2，HE=HF=y-2，∴GH=x+y-4，AG=4-x，AH=4-y，在直角三角形AGH中，AG2+AH2=GH2，∴(x−2)2+(y−2)2=(x+y−4）2，整理，得y= 8x，且2＜x＜4，当x=y时，∴AG=AH，∴AG：AB=AH：AC，∴GH⊙BC，∴OF⊙GH，∵BG=CH，⊙B=⊙C，BO=CO，∴⊙BOG⊙⊙COH，∴GO=HO，∴GF=FH，∴A，F，O三点一线，∴⊙DOF=⊙EOF，∴弧DF=弧EF，故点F是弧DE的中点．2．【答案】（1）解：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴⊙ACB＝90°，∵CD平分⊙ACB，∴⊙ACD＝45°，∴⊙AOD＝2⊙ACD＝90°，∵AB∥DE，∴⊙ODE＝⊙AOD＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过点B作BG⊙DE于点G，∴⊙BGD＝⊙BGE＝90°，∵⊙AOD＝90°，∴⊙DOB＝90°，∵⊙ODE=90°，∴四边形ODGB是矩形，∵OD＝OB，∴四边形ODGB是正方形，∴OB＝OD＝DG＝BG，∵AC＝4，∴tan∠BAC=1 2，∴BC＝2，∴AB=√AC2+BC2=2√5，∴BG=DG=OB=√5，∵AB∥DE，∴⊙ABC＝⊙E，∴⊙EBG＝⊙BAC，∴tan∠EBG=tan∠BAC=1 2，∴EG=12BG=√5 2，∴DE=DG+EG=3√52．3．【答案】（1）证明：∵BC为⊙O的直径∴⊙BAC=90°∴⊙BAF=⊙BAC=90°又∵AB2=AF·AC∴ABAC=AF AB∴⊙ABF⊙⊙ACB（2）证明：∵⊙ABF⊙⊙ACB∴⊙ABF=⊙C又∵⊙ABC+⊙C=90°∴⊙FBC=⊙ABC+⊙ABF=90°∴BF是⊙O的切线（3）证明：∵ME⊙BC，MA⊙AB，BM平分⊙ABC ∴MA=ME∴⊙AMN=90°－⊙ABM=90°－⊙EBM=⊙EMN∴AB=BE∵NM=NM∴⊙AMN⊙⊙EMN∴AN=NE又∵AD⊙BC，ME⊙BC，∴ME⊙AD，∴⊙ANM=⊙EMN，∴⊙ANM=⊙AMN∴AN=AM∴AN=NE=EM=MA，∴四边形AMEN是菱形．∵cos⊙ABD= 35，⊙ADB=90°∴BDAB=3 5设BD=3x，则AB=5x，AD= √(5x)2−(3x)2=4x 又∵AD=12，∴x=3，∴BD=9，AB=15，∴BE=BA=15∴DE=BE-BD=6∵ND⊙ME，∴⊙BND⊙⊙BME∴NDME=BD BE设ME=y，则ND=12-y，12−y y=9 15，解得y= 15 2∴S= ME⋅DE=152×6=454．【答案】（1）证明：连接OD∵CB与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC∵AD//OC，∴∠A=∠COB，∠ADO=∠DOC∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=∠COB=∠DOC，∴△DOC≌△BOC(SAS)，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥DC又OD为⊙O半径，∴CD为⊙O的切线（2）解：设CB=x∵AE⊥EB，∴AE为⊙O的切线，∴CD、CB为⊙O的切线，∴ED=AE= 4，CD=CB=x，∠DOC=∠BCO，∴BD⊥OC过点E作EM⊥BC于M，则EM=12，CM=x−4，∴(4+x)2=122+(x−4)2解得x=9，∴CB=9，∴OC=√62+92=3√13，∵AB是直径，且AD⊙OC∴⊙OFB=⊙ADB=⊙OBC=90°又∵⊙COB=⊙BOF∴OB BF =OC BC∴BF =OB⋅BC OC =6×93√13=1813√13 5．【答案】（1）解：∵⊙BCO=⊙CBO=45°，∴OC=OB=3，又∵点C 在y 轴的正半轴上，∴点C 的坐标为（0，3）（2）解：分两种情况考虑：①当点P 在点B 右侧时，如图2，若⊙BCP=15°，得⊙PCO=30°，故PO=CO•tan30°= √3 ，此时t=4+ √3 ；②当点P 在点B 左侧时，如图3，由⊙BCP=15°，得⊙PCO=60°，故OP=COtan60°=3 √3 ，此时，t=4+3 √3 ，∴t 的值为4+ √3 或4+3 √3（3）解：由题意知，若⊙P 与四边形ABCD 的边相切时，有以下三种情况： ①当⊙P 与BC 相切于点C 时，有⊙BCP=90°，从而⊙OCP=45°，得到OP=3，此时t=1；②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊙CD，即点P与点O重合，此时t=4；③当⊙P与AD相切时，由题意，得⊙DAO=90°，∴点A为切点，如图4，PC2=PA2=（9-t）2，PO2=（t-4）2，于是（9-t）2=（t-4）2+32，即81-18t+t2=t2-8t+16+9，解得：t=5.6，∴t的值为1或4或5.6．6．【答案】（1）证明：如图①，过点O作OE⊙AM于点E，∵在Rt⊙AOE 中，当sinA ＝35，OA ＝10， ∴OE ＝6∵直径BC ＝12，∴OM ＝6＝OE ，∴点E 与点M 重合，OM⊙AM ，∴AM 是⊙O 的切线．（2）解：如图②，当点P 与点B 重合时，AM 取得最大值．AM 的最大长度可以通过勾股定理求得．延长AO 交⊙O 于点F ，作MG⊙AF 于点G ，连接OD 、OM ，DM ，∵BD 的长为π，∴π＝∠BOD⋅π⋅6180， ∴⊙BOD ＝30°，∵⊙DBM ＝90°，∴DM 是⊙O 的直径，即DM 过点O ，∴⊙COM ＝30°，∵AO⊙BC ，∴⊙MOG ＝60°，在Rt⊙GOM 中，⊙MOG ＝60°，OM ＝6，∴OG＝3，GM＝3√3，在Rt⊙GAM中，AM＝√AG2+GM2＝14，∴AM的最大长度：14．7．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴⊙BAD+⊙BCD=180°，又∵⊙BCD+⊙DCE=180°，∴⊙DCE=⊙BAD，∵＝，∴⊙BAD=⊙ACD，∴⊙DCE=⊙ACD，∴CD平分⊙ACE.（2）解：直线ED与⊙O相切.连接OD.∵OC=OD，∴⊙ODC=⊙OCD，又∵⊙DCE=⊙ACD，∴⊙DCE=⊙ODC，∴OD⊙BE，∴⊙ODE=⊙DEC，又∵DE⊙BC，∴⊙DEC=90°，∴⊙ODE=90°∴OD⊙DE，∴ED与⊙O相切（3）解：延长DO交AB于点H.∵OD⊙BE，O是AC的中点，∴H是AB的中点，∴HO是⊙ABC的中位线，∴HO= 12BC=3，又∵AC为直径，∴⊙ADC=90°，又∵O是AC的中点∴OD= 12AC=12× √62+82=5，∴HD=3+5=8，∵⊙ABC=⊙DEC=⊙ODE=90°，∴四边形BEDH是矩形，∴BE=HD=8，∴CE=8﹣6=28．【答案】（1）证明：连接OE，∵OD⊙AC，∴⊙DGF＝90°，∴⊙D+⊙DFG＝⊙D+⊙AFE＝90°，∴⊙DFG＝⊙AFE，∵ME＝MF，∴⊙MEF＝⊙MFE，∵OE＝OD，∴⊙D＝⊙OED，∴⊙OED+⊙MEF＝90°，∴OE⊙PE，∴PE是⊙O的切线（2）解：∵OD⊙AC，∴CD=AD，∴⊙FAD＝⊙AED，∵⊙ADF＝⊙EDA，∴⊙DFA ～⊙DAE ， ∴AD DE =DF AD， ∴AD 2＝DF•DE ＝2×10＝20， ∴AD ＝2 √5（3）解：设OE ＝x ， ∵sin⊙P ＝ OE OP =13， ∴OP ＝3x ，∴x 2+（6 √2 ）2＝（3x ）2，解得：x ＝3，过E 作EH 垂直AB 于H ，sin⊙P ＝ EH PE =6√2=13 ， ∴EH ＝2 √2 ，∵OH 2+EH 2＝OE 2，∴OH ＝1，∴AH ＝2，∵AE 2＝HE 2+AH 2，∴AE ＝2 √3 ．9．【答案】（1）解：连结OD ，如图，∵⊙ABC 为等边三角形，∴⊙C ＝⊙A ＝⊙B ＝60°，而OD ＝OB ，∴⊙ODB 是等边三角形，⊙ODB ＝60°，∴⊙ODB ＝⊙C ，∴OD⊙AC ，∵DF⊙AC ，∴OD⊙DF ，∴DF 是⊙O 的切线；（2）解：∵OD⊙AC ，点O 为AB 的中点，∴OD 为⊙ABC 的中位线，∴BD ＝CD ＝6．在Rt⊙CDF中，⊙C＝60°，∴⊙CDF＝30°，∴CF＝12CD＝3，∴AF＝AC﹣CF＝12﹣3＝9，在Rt⊙AFG中，∵⊙A＝60°，∴FG＝AF×sinA＝9× √32＝9√32（3）解：过D作DH⊙AB于H．∵FG⊙AB，DH⊙AB，∴FG⊙DH，∴⊙FGD＝⊙GDH．在Rt⊙BDH中，⊙B＝60°，∴⊙BDH＝30°，∴BH＝12BD＝3，DH＝√3BH＝3√3，在Rt⊙AFG中，∵⊙AFG＝30°，∴AG＝12AF＝92，∵GH＝AB﹣AG﹣BH＝12﹣92﹣3＝92，∴tan⊙GDH＝GHDH=923√3=√32，∴tan⊙FGD＝tan⊙GDH＝√32．10．【答案】（1）证明：连接OC，如图，∵⊙O是⊙ABC的外接圆，圆心O在AB上，∴AB是⊙O的直径，∴⊙ACB=90°，又∵⊙B=2⊙A，∴⊙B=60°，⊙A=30°，∵EM⊙AB ，∴⊙EMB=90°，在Rt⊙EMB 中，⊙B=60°，∴⊙E=30°，又∵EF=FC ，∴⊙ECF=⊙E=30°，又∵⊙ECA=90°，∴⊙FCA=60°，∵OA=OC ，∴⊙OCA=⊙A=30°，∴⊙FCO=⊙FCA+⊙ACO=90°，∴OC⊙CF ，∴FC 是⊙O 的切线（2）解：在Rt⊙ABC 中，∵⊙ACB=90°，⊙A=30°，AB=4， ∴BC=12AB=2，AC=√3BC=2√3， ∵AC=CE ，∴CE=2√3，∴BE=BC+CE=2+2√3，在Rt⊙BEM 中，⊙BME=90°，⊙E=30°∴BM=12BE=1+√3， ∴AM=AB ﹣BM=4﹣1﹣√3=3﹣√311．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴⊙ECB=⊙BAD ．（2）证明：连结OB，OD，在⊙ABO和⊙DBO中，{AB=BD BO=BOOA=OD，∴⊙ABO⊙⊙DBO （SSS），∴⊙DBO=⊙ABO，∵⊙ABO=⊙OAB=⊙BDC，∴⊙DBO=⊙BDC，∴OB⊙ED，∵BE⊙ED，∴EB⊙BO，∴BE是⊙O的切线12．【答案】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°；又∵AB=AC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，∵AO=DO，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD//AC；∵DM⊥AC，∴∠AMD=90°，∴∠ODN=∠AMD=90°，∴OD⊥MN；又∵OD是⊙O半径，∴MN是⊙O的切线；（2）∵BC=6，BD=CD，∴BD=CD=3；在Rt△ADC中，cosC=CD AC，∵cosC=35，∴AC=5；又∵AB=AC，∴AB=5；在Rt△ADB中，根据勾股定理AD=√AB2−BD2=4，∵∠ODN=90°，∴∠NDB+∠BDO=90°；又∵∠ADB=90°，∴∠BDO+∠ODA=90°，∠OAD=∠ODA，∴∠NDB=∠OAD；又∵∠N=∠N，∴△BDN∽△DAN，∴BNDN=DNAN=BDDA=34，∴BN=34DN，DN=34AN，∴BN=34(34AN)=916AN，∵BN+AB=AN，∴916AN+5=AN，∴AN=80 7，∴DN=34AN=607．13．【答案】（1）证明：∵∠OEB=∠ACD，∠ACD=∠ABD，∴∠OEB=∠ABD，∵OF⊥BD，∴∠BFE=90°，∴∠OEB+∠EBF=90°，∴∠ABD+∠EBF=90°，即∠OBE=90°，∴BE⊥OB，∴BE是⊙O的切线；（2）解：∵OA=OB，∴∠CAO=∠ACO，∵∠CDB =∠CAO ，∴∠ACO =∠CDB ，∵∠CFD =∠GFC ，∴△CDF ∼△GCF ，∴GF CF =CG CD， ∵∠CDB =∠CAB ， ∠DCA =∠DBA ， ∴△DCG ∼△ABG ，∴CG CD =BG AB， ∴GF CF =BG AB， ∵r =52 ， BG =154， ∴AB =2r =5 ，∴tan∠CAB =tan∠ACO =GF CF =BG AB =34. 14．【答案】（1）解：直线AF 与⊙O 相切. 理由如下：连接OC ，∵PC 为圆O 切线，∴CP⊙OC ，∴⊙OCP ＝90°，∵OF⊙BC ，∴⊙AOF ＝⊙B ，⊙COF ＝⊙OCB ，∵OC ＝OB ，∴⊙OCB ＝⊙B ，∴⊙AOF ＝⊙COF ，∵在⊙AOF 和⊙COF 中，{OA =OC ∠AOF =∠COF OF =OF，∴⊙AOF⊙⊙COF（SAS），∴⊙OAF＝⊙OCF＝90°，∴AF⊙OA，又∵OA为圆O的半径，∴AF为圆O的切线；（2）解：∵⊙AOF⊙⊙COF，∴⊙AOF＝⊙COF，∵OA＝OC，∴E为AC中点，即AE=CE=12AC，OE⊥AC，∵⊙OAF=90°，OA=6，AF=2√3，∴tan∠AOF=AFOA=2√36=√33，∴⊙AOF＝30°，∴AE=12OA=3，∴AC=2AE=6；（3）解：∵AC＝OA＝6，OC＝OA，∴⊙AOC是等边三角形，∴⊙AOC＝60°，OC＝6，∵⊙OCP＝90°，∴CP=√3OC=6√3，∴S⊙OCP＝12OC⋅CP=12×6×6√3=18√3，S扇形AOC=60⋅π×62360=6π，∴阴影部分的面积=S⊙OCP﹣S扇形AOC＝18√3−6π. 15．【答案】（1）证明：连接AF，∵BF为⊙O的直径，∴∠BAF =90° ， ∠FAG =90° ， ∴∠BGF +∠AFG =90° ，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ， ∵∠ACB =∠AFB ， ∠BGF =∠ABC ， ∴∠BGF =∠AFB ，∴∠AFB +∠AFG =90° ，即 ∠OFG =90° . 又∵OF 为半径，∴FG 是 ⊙O 的切线.（2）解：①连接CF ，则 ∠ACF =∠ABF ，∵AB=AC ，OB=OC ，OA=OA ，∴△ABO ≅△ACO ，∴∠ABO =∠BAO =∠CAO =∠ACO ， ∴∠CAO =∠ACF ，∴AO ∥CF ，∴AD CD =OD DF. ∵半径是4， OD =3 ，∴DF =1 ， BD =7 ， ∴AD CD =3 ，即 CD =13AD ， 又由相交弦定理可得： AD ⋅CD =BD ⋅DF ， ∴AD ⋅CD =7 ，即 13AD 2=7 ， ∴AD =√21 （舍负）；②∵△ODC 为直角三角形， ∠ODC =90° 不可能等于 90° . ∴（i ）当 ∠ODC =90° 时，则 AD =CD ， 由于 ∠ACO =∠ACF ，∴OD =DF =2 ， BD =6 ， ∴AD ⋅CD =AD 2=6×2=12 ，∴AD=2√3，AC=4√3，∴S△ABC=12×4√3×6=12√3；（ii）当∠COD=90°时，∵OB=OC=4，∴△OBC是等腰直角三角形，∴BC=4√2，延长AO交BC于点M，∵AB=AC，∴弧AB=弧AC，∴AM⊥BC，∴MO=sin45∘⋅BO=2√2，∴AM=4+2√2，∴S△ABC=12×4√2×(4+2√2)=8√2+8.16．【答案】（1）6√3（2）⊙P与AC相切，理由如下：如图1，过点P作PH⊥AC于点H．∵CP平分∠ACD，∴PH=PD，∴⊙P与AC相切于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90∘在Rt△ADC中，CD=9,AD=12，∴AC=15，∴sin∠DAC=3 5设⊙P半径为x，则PH=PD=x，AP=12−x．在 Rt △AHP 中， sin∠PAH =PH AP =x 12−x∴x 12−x =35 ∴x =4.5 ，即 PD 的长为 4.5 ． （3）如图2，过点 P 作 PH ⊥AC 于 H ，连接 PF ．由（2）可知：在 Rt △AHP 中， sin∠PAH =PH AP =35设 ⊙P 半径为 x ，则 PF =PD =x,AP =12−x ．∴PH =35(12−x). 在 ⊙P 中， PH ⊥AC,EF =9.6∴HF =245在 Rt △PHF 中， [35(12−x)]2+(245)2=x 2 ∴x 1=6,x 2=−392 (舍)．∴PD =6 ，∴PH =35(12−x)=185 ，即点 P 到 AC 的距离为 185 ．。
(中考冲刺)中考数学考点解答题限时训练
中考数学考点解答题限时训练1【有理数】1．有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．（1）计算：1+2﹣6﹣9；（2）若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；（3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．2．我们常用的数是十进制数，如4657＝4×103+6×102+5×101+7×100，数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中110＝1×22+1×21+0×20等于十进制的数6，110101＝1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20等于十进制的数53．那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？3．观察下列等式，，，将以上三个等式两边分别相加得：．（1）猜想并写出：＝．（2）直接写出下列各式的计算结果：①＝；②＝．（3）探究并计算：．4．小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：（单位：元）星期一二三四五每股涨跌（元）+2﹣0.5+1.5﹣1.8+0.8根据上表回答问题：（1）星期二收盘时，该股票每股多少元？（2）本周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？（3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费．若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？5．先阅读下面的材料，再解答后面的各题：现代社会对保密要求越来越高，密码正在成：为人们生活的一部分．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q、W、E、…、N、M这26个字母依次对应1，2，3…25，26这26个自然数（见下表）：Q W E R T Y U I O P A S D12345678910111213F G H J K L Z X C V B N M14151617181920212223242526给出一个变换公式：将明文转换成密文，如：4⇒，即R变为L．11⇒，即A变为S．将密文转换成明文，如：21⇒3×（21﹣17）﹣2＝10，即X变为P13⇒3×（13﹣8）﹣1＝14，即D变为F．（1）按上述方法将明文NET译为密文；（2）若按上述方法将明文译成的密文为DWN，请找出它的明文．【无理数与实数】6．计算：2sin30°﹣（π﹣）0+|﹣1|+（）﹣17．计算：2﹣1+tan45°﹣|2﹣|+÷．8．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．（1）求m的值；（2）求|m﹣1|+（m+6）0的值．9．设a，b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“⊕”为：a⊕b＝，例如：1⊕（﹣3）＝＝﹣3，（﹣3）⊕2＝（﹣3）﹣2＝﹣5，（x2+1）⊕（x﹣1）＝（因为x2+1＞0）参照上面材料，解答下列问题：（1）2⊕4＝，（﹣2）⊕4＝；（2）若x＞，且满足（2x﹣1）⊕（4x2﹣1）＝（﹣4）⊕（1﹣4x），求x的值．10．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）＝．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1；（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．【代数式】11．观察下列各个等式的规律：第一个等式：＝1，第二个等式：＝2，第三个等式：＝3…请用上述等式反映出的规律解决下列问题：（1）直接写出第四个等式；（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．12．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．尝试（1）求前4个台阶上数的和是多少？（2）求第5个台阶上的数x是多少？应用求从下到上前31个台阶上数的和．发现试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．13．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．……（1）计算＝；（2）探究＝；（用含有n的式子表示）（3）若的值为，求n的值．14．观察下列等式：第1个等式：a1＝＝×（1﹣）；第2个等式：a2＝＝×（﹣）；第3个等式：a3＝＝×（﹣）；第4个等式：a4＝＝×（﹣）；…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a n＝＝（n为正整数）；（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．15．观察下列等式：12×231＝132×21，13×341＝143×31，23×352＝253×32，34×473＝374×43，62×286＝682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×＝×25；②×396＝693×．（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．【整式】16．先化简，再求值：（a+3）2﹣2（3a+4），其中a＝﹣2．17．某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下：原式＝a2+2ab﹣（a2﹣b2）（第一步）＝a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步）＝2ab﹣b2（第三步）（1）该同学解答过程从第步开始出错，错误原因是；（2）写出此题正确的解答过程．18．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．方案二：方案三：19．如果10b＝n，那么b为n的劳格数，记为b＝d（n），由定义可知：10b＝n与b＝d（n）所表示的b、n 两个量之间的同一关系．（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）＝，d（10﹣2）＝；（2）劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），d（）＝d（m）﹣d（n）．根据运算性质，填空：＝（a为正数），若d（2）＝0.3010，则d（4）＝，d（5）＝，d（0.08）＝；（3）如表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．x 1.5356891227 d（x）3a﹣b+c2a﹣b a+c1+a﹣b﹣c3﹣3a﹣3c4a﹣2b3﹣b﹣2c6a﹣3b20．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014将下式减去上式得2S﹣S＝22014﹣1即S＝22014﹣1即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．【因式分解】21．因式分解：mx2﹣my2．22．阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4（A）∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2）（B）∴c2＝a2+b2（C）∴△ABC是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为：；（3）本题正确的结论为：．23．已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．24．如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再如22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．25．在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．【分式】26．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中m＝2+．27．先化简，再求值：（﹣）÷，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数代入求值．28．化简•﹣，并求值，其中a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数．29．先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x满足x2﹣x﹣1＝0．30．在解题目：“当x＝1949时，求代数式的值”时，聪聪认为x只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说的有理吗？请说明理由．【二次根式】31．先化简，再求值：，其中．32．已知：x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值．（1）x2+2xy+y2；（2）x2﹣y2．33．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a ＝，b＝；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+＝（+）2；（3）若a+4＝，且a、m、n均为正整数，求a的值？34．先化简，后求值：，其中，．35．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）＝＝（二）＝＝＝﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1（四）（1）请用不同的方法化简．参照（三）式得＝；参照（四）式得＝．（2）化简：+++…+．【一元一次方程】36．解方程：﹣＝1．37．为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨．该市小明家5月份用水12吨，交水费20元．请问：该市规定的每户月用水标准量是多少吨？38．如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．（1）请直接写出第5节套管的长度；（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．39．盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示．（1）a＝，b＝；（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？40．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？中考数学考点解答题限时训练2【二元一次方程组】1．解方程组．2．根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的高度．3．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣，求出满足条件的m的所有正整数值．4．某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐．（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由．5．本学期学校开展以“感受中华传统美德”为主题的研学活动，组织150名学生参观历史博物馆和民俗展览馆，每一名学生只能参加其中一项活动，共支付票款2000元，票价信息如下：地点票价历史博物馆10元/人民俗展览馆20元/人（1）请问参观历史博物馆和民俗展览馆的人数各是多少人？（2）若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款多少元？【一元二次方程】6．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两不相等的实数根．①求m的取值范围．②设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17＝0，求m的值．7．若关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．8．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？9．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22＝31+|x1x2|，求实数m的值．【分式方程】11．解方程：＝．12．某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求软件升级后每小时生产多少个零件？13．某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？14．某商场用24000元购入一批空调，然后以每台3000元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完，商场又以52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元，每台的售价也上调了200元．（1）商场第一次购入的空调每台进价是多少元？（2）商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于22%，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？15．甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？【不等式（组）】16．解不等式+1＞x﹣3．17．如图，在数轴上，点A、B分别表示数1、﹣2x+3．（1）求x的取值范围；（2）数轴上表示数﹣x+2的点应落在．A．点A的左边B．线段AB上C．点B的右边18．某校团委为了教育学生，开展了以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学颁发奖品．小红与小明去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，共用110元；且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元．（1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？（2）若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购进两种笔记本的总数量不少于80本，总金额不超过320元．请你设计出本次购进甲、乙两种笔记本的所有方案．19．小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：次数购买数量（件）购买总费用（元）A B第一次2155第二次1365根据以上信息解答下列问题：（1）求A，B两种商品的单价；（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．20．某职业高中机电班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人．（1）该班男生和女生各有多少人？（2）某工厂决定到该班招录30名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少要招录多少名男学生？【平面直角坐标系】21．某市有A，B，C，D四个大型超市，分别位于一条东西走向的平安大路两侧，如图所示，请建立适当的直角坐标系，并写出四个超市相应的坐标．22．如图，已知▱ABCD的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1D（1）若m＝3，试求四边形CC1B1B面积S的最大值；（2）若点B1恰好落在y轴上，试求的值．23．已知：如图，矩形AOBC，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A坐标为（0，3），∠OAB＝60°，以AB为轴对折后，使C点落在D点处，求D点坐标．24．常用的确定物体位置的方法有两种．如图，在4×4个边长为1的正方形组成的方格中，标有A，B两点．请你用两种不同方法表述点B相对点A的位置．25．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C为y轴上一动点，连接AC，过点C作CB⊥AC，交x轴于B．（1）当点B坐标为（1，0）时，求点C的坐标；（2）如果sin A和cos A是关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的两个实数根，过原点O作OD⊥AC，垂足为D，且点D的纵坐标为a2，求b的值．【函数基本知识】26．小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？（2）结合图象回答：①当t＝0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义．②秋千摆动第一个来回需多少时间？27．某校机器人兴趣小组在如图①所示的矩形场地上开展训练．机器人从点A出发，在矩形ABCD边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，到达点D时停止移动．已知机器人的速度为1个单位长度/s，移动至拐角处调整方向需要1s（即在B、C处拐弯时分别用时1s）．设机器人所用时间为t（s）时，其所在位置用点P表示，P到对角线BD的距离（即垂线段PQ的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图象如图②所示．（1）求AB、BC的长；（2）如图②，点M、N分别在线段EF、GH上，线段MN平行于横轴，M、N的横坐标分别为t1、t2．设机器人用了t1（s）到达点P1处，用了t2（s）到达点P2处（见图①）．若CP1+CP2＝7，求t1、t2的值．28．已知y是x的函数，自变量x的取值范围x＞0，下表是y与x的几组对应值：x…123579…y… 1.98 3.95 2.63 1.58 1.130.88…小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（2）根据画出的函数图象，写出：①x＝4对应的函数值y约为；②该函数的一条性质：．29．星期天，小明从家里出发到图书馆去看书，再回到家．他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示．根据图象回答下列问题：（1）小明家离图书馆的距离是千米；（2）小明在图书馆看书的时间为小时；（3）小明去图书馆时的速度是千米/小时．30．如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD＝4cm，AB＝dcm．动点E、F分别从点D、B出发，点E 以1cm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以1cm/s的速度沿边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动．以EF为边作正方形EFGH，点F出发xs时，正方形EFGH的面积为ycm2．已知y 与x的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示．请根据图中信息，解答下列问题：（1）自变量x的取值范围是；（2）d＝，m＝，n＝；（3）F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为16cm2？【一次函数】31．“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游．周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发0.5小时后到达甲地，玩一段时间后按原速前往乙地，刚到达乙地，接到妈妈电话，快速返回家中．小红从家出发到返回家中，行进路程y（km）随时间x（h）变化的函数图象大致如图所示．（1）小红从甲地到乙地骑车的速度为km/h；（2）当1.5≤x≤2.5时，求出路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式；并求乙地离小红家多少千米？32．如图，过点A（2，0）的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB＝．（1）求点B的坐标；（2）若△ABC的面积为4，求直线l2的解析式．33．如图，直线y＝2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP＝2OA，求△ABP的面积．34．某企业开展献爱心扶贫活动，将购买的60吨大米运往贫困地区帮扶贫困居民，现有甲、乙两种货车可以租用．已知一辆甲种货车和3辆乙种货车一次可运送29吨大米，2辆甲种货车和3辆乙种货车一次可运送37吨大米．（1）求每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能装运多少吨大米？（2）已知甲种货车每辆租金为500元，乙种货车每辆租金为450元，该企业共租用8辆货车．请求出租用货车的总费用w（元）与租用甲种货车的数量x（辆）之间的函数关系式．（3）在（2）的条件下，请你为该企业设计如何租车费用最少？并求出最少费用是多少元？35．在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C 港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为y1、y2（km），y1、y2与x的函数关系如图所示．（1）填空：A、C两港口间的距离为km，a＝；（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两船的距离不超过10km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围．【反比例函数】36．如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．37．已知一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B 的纵坐标都是﹣2，求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积．38．如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y＝﹣x+4的图象交于A和B（6，n）两点．（1）求k和n的值；（2）若点C（x，y）也在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围．39．如图，已知直线AB与x轴交于点C，与双曲线交于A（3，）、B（﹣5，a）两点．AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E．（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；（2）判断四边形CBED的形状，并说明理由．40．（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：①如图2，点M，N在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F，试证明：MN∥EF；②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行．中考数学考点解答题限时训练3【二次函数】1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n 的值．2．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？3．如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．4．抛物线y＝x2﹣x+2与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，+的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．。
2024年初中数学中考高频考点解答题测试卷 (52)
一、解答题1. 在平面直角坐标系xOy中，如图，已知Rt△DOE，∠DOE=90°，OD=3，点D在y轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴上，AC=5．∠ACB+∠ODE=180°，∠ABC=∠OED，BC=DE．按下列要求画图（保留作图痕迹）：（1）将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN（其中点D的对应点为点M，点E的对应点为点N），画出△OMN；（2）将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′（其中点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′），使得B′C′与（1）中的△OMN的边NM重合；（3）求OE的长．2. 如图所示，请用尺规作图法在上找一点，使点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）3. 如图，四边形是矩形，对角线与相交于点．（1）尺规作图：作的角平分线，交于点，不写作法，保留作图痕迹，标明字母；（2）与交于点F，若，求的度数．4. 如图是一个由1×1的正方形点阵组成的点阵图，请用无刻度的直尺按要求作图．（1）如图1，点A，B是点阵中的两个点，请作出线段AB的两个三等分点．（保留作图痕迹）（2）如图2，点A，B是点阵中的两个点，请作出线段AB的两个三等分点．（保留作图痕迹）5. 某校为了解九年级全体学生物理实验操作的情况，随机抽取了30名学生的物理实验操作考核成绩，并将数据进行整理，分析如下（说明：考核成绩均取整数，A级：10分，B级：9分，C级：8分，D级：7分及以下）：收集数据：10，8，10，9，5，10，9，9，10，8，9，10，9，9，8，9，8，10，6，9，8，10，9，6，9，10，9，10，8，10整理数据，并绘制统计表如下：成绩等级A B C D人数（名）10m n3根据表中信息，解答下列问题：(1)______，______．(2)计算这30名学生的平均成绩．(3)若成绩不低于9分为优秀，该校九年级参加物理实验操作考核成绩达到优秀的有560名，试估计该校有多少名学生参加物理实验操作？6. 在图中按要求作出点P：（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）如图：已知和两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即，且P到，两条公路的距离相等．7. 在中，，，点D是所在直线上的点，，．（1）根据题意画出图形，求的长；（2）若点E是边上的动点，连接，求线段的最小值（结果精确到0.1）．（参考数据：，，）8. 如图，在直角坐标系中，三角形的顶点都在网格上，其中C点坐标为．(1)写出点A、B的坐标：A（______，______）、B（______，______）；(2)将三角形先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形，请你画出平移后的三角形；(3)求三角形的面积．9. 如图，已知．（1）画出关于轴对称的；（2）写出关于轴对称的各顶点的坐标．10. 2022年2月4日冬奥会开幕式在北京举行。
数学初三必考试题及答案
数学初三必考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是无理数？A. 0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次增加）B. 22/7C. πD. √2答案：C2. 若等腰三角形的两边长分别为3和4，则其周长为：A. 10B. 11C. 12D. 13答案：C3. 函数y=2x+3的图象不经过第几象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：C4. 一个数的平方根是2和-2，这个数是：A. 4B. -4C. 2D. -2答案：A5. 以下哪个图形不是轴对称图形？A. 圆B. 正方形C. 等边三角形D. 菱形答案：D6. 一个角的补角比它的余角大：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：D7. 一个数的立方根是-2，则这个数是：A. 8B. -8C. 2D. -2答案：B8. 一个数的绝对值是5，这个数可以是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不对答案：C9. 一个数的相反数是-3，则这个数是：A. 3B. -3C. 0D. 无法确定答案：A10. 以下哪个选项是二次根式？A. √9B. √(-1)C. √(2x+3)D. √(x²)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个角的度数是45°，它的补角是______。
答案：135°12. 一个数的绝对值是4，这个数可以是______。
答案：±413. 一个数的立方是-27，则这个数是______。
答案：-314. 函数y=3x-2与x轴的交点坐标是______。
答案：(2/3, 0)15. 一个等腰三角形的顶角是100°，则它的底角是______。
答案：40°三、解答题（每题10分，共50分）16. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，求斜边的长度。
答案：根据勾股定理，斜边的长度为√(6²+8²)=√(36+64)=√100=10。
2022年人教版中考数学考点必刷题《三角函数类应用题》
2022中考考点必杀500题 专练12（三角函数类应用题）（30道）1．（2021·江西九年级其他模拟）图1是小辉家一款家用落地式取暖器，如图2是其竖直放置在水平地面上时的侧面示意图，其中矩形ABCD 是取暖器的主体，四边形BEFC 是底座．已知//BC EF ，30∠=∠=︒BEF CFE ，且BE CF =，烘干架连杆GH 可绕边CD 上一点H 旋转，以调节角度．已知52cm =CD ，8cm BC =，20cm EF =，12cm DH =，16cm =GH ．（1）求BE 的长；（精确到0.1cm 1.73≈）（2）当53GHD ∠=︒时，求点G 到地面EF 的距离．（精确到0.1cm ，参考数据：sin530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33︒≈）2．（2021·江西赣州市·九年级一模）图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B ，E ，D 均为可转动点．现测得14cm AB BE ED CD ====，经多次调试发现当点B ，E 所在直线垂直径过CD 的中点F 时（如图3所示）放置较平稳．（1）求平稳放置时灯座DC 与灯杆DE 的夹角的大小；（2）为保护视力，写字时眼睛离桌面的距离应保持在30cm ，为防止台灯刺眼，点A 离桌面的距离应不超过30cm ，求台灯平稳放置时ABE ∠的最大值．（结果精确到0.01︒ 1.732≈，sin16.070.2768︒≈，cos73.930.2768︒≈，tan15.470.2768︒≈）3．（2021·江西九年级一模）如图1是一款升降电脑桌，它的升降范围是0~40cm ，图2是它的示意图，已知//EF MN ，点A 、B 在MN 上滑动，点D 、C 在EF 上滑动，AC 、BD 相交于点O ，30cm OA OB OC OD ====．（结果精确到0.1）（1）已知电脑桌从O 开始升到如图2.当30OAB ∠=︒时，求这款电脑桌升高了多少cm ？ （2）当电脑桌从图2位置升到最大高度（如图3）时，求OAB ∠的大小及点A 滑动的距离．1.73≈，sin 42.10.67︒≈，sin 47.90.74︒≈，cos47.90.67︒≈）4．（2021·江西九年级二模）图1为台灯实物图，图2是其侧面示意图，台灯底座ABCD 是矩形，点E 在AB 上，,EF AB OP ⊥可绕着点O 旋转，且1cm,5cm,28cm,150AD EF OP OF OFE ====∠=︒．（结果保留根号）（1）当OP 与桌面平行时，求点P 到桌面的距离．（2）为了减少光线对眼睛的影响，小明旋转OP ，使得90O ∠=︒，求此时点P 到桌面的距离．5．（2021·江西九年级一模）如图1，这是一款升降电脑桌，它的升降范围在0～40cm ，图2是它的示意图．已知EF ∥MN ，点A ，B 在MN 上滑动，点D ，C 在EF 上滑动，AC ，BD 相交于点O ，OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝30cm ． （1）如图2，当∥OAB ＝30°时，求这款电脑桌当前的高度．（2）当电脑桌从图2位置升到最大高度（如图3）时，求∥OAB 的大小及点A 滑动的距离．（结果精确到0.1≈1.73，sin42.1°≈0.67，cos42.1°≈0.74，sin47.9°≈0.74，cos47.9°≈0.67）6．（2021·江西九年级其他模拟）某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB 被刮倾斜7°（∥BAB ′＝7°）后在C 处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D 处（如图），测得∥ADC ＝37°，AD ＝5米． （1）填空：∥ACD 的度数为 ．（2）求这棵大树AB 的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75≈1.73）7．（2021·江西赣州市·九年级一模）如今，不少人在购买家具时追求简约大气的风格，图1所示的是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图2所示的是其侧面示意图，其中OD 为镜面，EF 为放置物品的收纳架，,AB AC 为等长的支架，BC 为水平地面，已知4412040OA cm OD cm BD cm ===，，，75ABC ∠=︒．(结果精确到1cm ．参考数据：750.97750.2675 3.73 1.73sin cos tan ︒≈︒≈︒≈≈≈，，)（1）求支架顶点A 到地面BC 的距离．（2）如图3，将镜面顺时针旋转15,︒求此时收纳镜顶部端点O 到地面BC 的距离．8．（2021·江西吉安市·九年级一模）如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接.图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN 安装在窗框上，托悬臂DE 安装在窗扇上，交点A 处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B ，C ，D 始终在一直线上，延长DE 交MN 于点F .已知20AC DE cm ==，10AE CD cm ==，40BD cm =.（1）窗扇完全打开，张角85CAB ∠=，求此时窗扇与窗框的夹角DFB ∠的度数. （2）窗扇部分打开，张角60CAB ∠=，求此时点A ，B 之间的距离（精确到0.1cm ）.1.732≈2.449≈）9．（2021·江西上饶市·九年级期末）如图1是一辆在平地上滑行的滑板车，如图2是其示意图．车杆BC 固定，车杆AB 可伸缩，车杆BC 长92cm ，车杆与脚踏板所成的角70BCD ∠=︒，前后轮子的半径均为6cm ．（1）求固定车杆BC 的上端B 离地面的高度（结果保留小数点后一位）（2）小明站在滑板车上，双手放在把手A 处最舒适，此时把手A 离地面的高度为120cm ，求伸缩杆AB 的长度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin 700.94,cos700.34,tan 70 2.75︒≈︒≈︒≈）10．（2021·江西吉安市·九年级期末）如图1是某公园的一个五角星标志，图2是它的示意图，已知A ，B ，D ，E 四点共线，A ，J ，H ，G 四点共线，C ，B ，J ，I 四点共线，C ，D ，F ，G 四点共线，E ，F ，H ，I 四点共线，且//CI MN ，36∠=∠=∠=∠=∠=︒A C DEF FGH I ，且五个角的两边（如=AB AJ ）都是1m 长，36∠=∠=︒FEG FGE ．（1）求BJ 的长；（2）求标志的高度，即点A 到地面MN 的距离．（参考数据：sin360.59,cos360.81,sin180.31,cos180.95︒≈︒≈︒≈︒≈，结果保留两位小数．）11．（2021·江西九年级专题练习）目前，各大城市都在积极推进公共自行车建设，努力为人们绿色出行带来方便．图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是自行车的车架示意图．30CE cm =，20DE cm =，25AD cm =，DE AC ⊥于点E ，座杆CF 的长为15cm ，点,,,A E C F 在同一直线上，且75CAB ∠=︒，公共自行车车轮的半径约为30cm ，且AB 与地面平行． （1）求车架中AE 的长；（2）求车座点F 到地面的距离．（结果精确到1cm ．参考数据：sin750.97︒≈，cos750.26︒≈，tan75 3.73︒≈）．12．（2021·江西抚州市·九年级期末）为倡导“绿色出行，低碳生活”的号召，今年春天，安庆市的街头出现了一道道绿色的风景线--“共享单车”. 图（1）所示的是一辆共享单车的实物图. 图（2）是这辆共享单车的部分几何示意图，其中车架档AC 长为40cm ，座杆CE 的长为18cm. 点A 、C 、E 在同一条直线上，且∥CAB =60°，∥ACB =75°（1）求车座点E 到车架档AB 的距离； （2）求车架档AB 的长．13．（2021·江西吉安市·九年级期末）如图1是一种折叠台灯，将其放置在水平桌面上，图2是其简化示意图，测得其灯臂AB 长为28,cm 灯翠BC 长为15cm ,底座AD 厚度为3,cm 根据使用习惯，灯臂AB 的倾斜角DAB ∠固定为60，(1)当BC 转动到与桌面平行时,求点C 到桌面的距离；(2)在使用过程中发现，当BC 转到至145ABC ∠=时，光线效果最好，求此时灯罩顶端C 到桌面的高度(参考数据250.4, 250.9, 250. 5sin cos tan ≈≈≈，结果精确到个位).14．（2020·江西省南丰县教育局教学研究室九年级一模）如图①所示的旅行箱的箱盖和箱底两部分的厚度相同，四边形ABCD 为形如矩形的旅行箱一侧的示意图，F 为AD 的中点，EF ∥CD ．现将放置在地面上的箱子打开，使箱盖的一端点D 靠在墙上，O 为墙角，图②为箱子打开后的示意图．箱子厚度30AD cm =，宽度50AB cm =．（1）图②中，EC =_________cm ，当点D 与点O 重合时，AO 的长为_________cm ； （2）若53CDO ∠=︒，求AO 的长（结果取整数值，参考数据：sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈）15．（2020·江西新余市·九年级一模）如图是一种电脑桌，其实物图如图1所示，此电脑桌的桌面可调节，图2和图3是其可调节桌面的侧面示意图，在点C 处固定安装了一根长度一定的支撑臂CB ．点B 可在AD 上滑动，AC ＝25cm ．（其中（2），（3）两问结果保留小数点后一位）（1）在图2中，当BC ∥AC 时，测得∥BAC ＝45°，求支撑臂CB 的长； （2）在图3中，当BC 与AC 不垂直时，测得∥BAC ＝22°，求此时AB 的长； （3）从图2到图3过程中，求点C 在此运动过程中的路径长． （参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，π≈3.14）16．（2020·江西南昌市·九年级其他模拟）如图所示的是--款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂12AB cm =，中臂8BC cm =，底座4.CD cm =（1）若上臂AB 与水平面平行，60ABC ︒∠=．计算点A 到地面的距离．（2）在一次操作中，中臂与底座成135︒夹角，上臂与中臂夹角为105︒，如图2，计算这时点A 到地面的距离．与图1状态相比，这时点A 向前伸长了多少?17．（2020·江西）如图1，是一种卡通创意台灯的实物图，忽略其部件的厚度，将它简化为平面图2，测得灯架10OB cm =，20OE cm =，灯管20OA cm =，支撑架CD 垂直于灯架OE 于点F ，OA 平行于桌面DE ，130AOB ∠=︒，120AOE ∠=︒． （1）若12OF cm =，求D ，E 两点之间的距离；（2）求台灯的高（点B 到桌面DE 的距离）．（参考数据：sin500.76︒≈，cos500.64︒≈，tan50 1.19︒≈ 1.73≈，结果精确到1cm ）图1 图218．（2020·江西宜春市·九年级二模）如图1，是一款常见的海绵拖把，图2是其平面示意图，EH 是拖把把手，F 是把手的一个固定点，海绵安装在两片活动骨架PA ，PB 上，骨架的端点P 只能在线段FH 上移动，当海绵完全张开时，PA ，PB 分别与HMHN 重合；当海绵闭合时，PA ，PB 与FH 重合．已知直杆EH=120cm ，FH=20cm ．(1)若∥APB=90°，求EP 的长(结果保留根号)(2)若∥APB=26°，求MA 的长(结果保留小数点后一位)(3)海绵从完全张开到闭合的过程中，直接写出PA 的中点Q 运动的路径长．(参考数据：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，π取3.14)19．（2020·江西萍乡市·九年级二模）如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形.若显示屏AO 与键盘BO 长均为24cm ，点P 为眼睛所在位置，D 为AO 的中点，连接PD ，且PD∥AO （此时点P 为最佳视角），点C 在OB 的延长线上，PC∥BC ，BC ＝12cm.（1）当PA ＝45cm 时，求PC 的长；（2）当∥AOC ＝115°时，线段PC 的长比（1）中线段PC 的长是增大还是减小？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm ，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）.20．（2020·江西宜春市·九年级一模）如图1所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后，然后再慢慢回收．图2为示意图，已知,DE DC 在初始位置，60DE DC cm ==, 点B C G 、、在同一直线上，4695AB BG A DCG ︒︒⊥∠=∠=，，．（1）当,DE DC 在初始位置时，求点D 到AC 的距离；（2）当双腿伸直后，如图3，点,E D 分别从初始位置运动到点','E D ， 假设''E D C 、、三点共线，求此时点E 上升的竖直高度． ( 结果精确到个位) (参考数据:410.66,sin ︒≈410.75,410.87,cos tan ︒︒≈≈440.72,440.69440.97cos sin tan ︒︒︒≈≈≈，)21．（2020·江西吉安市·九年级其他模拟）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任一角.其抽象示意图如图2所示，由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动.C 点固定，5cm OC CD DE ===，点D ，E 可在槽中滑动，（1）求证：3BDE BOE ∠=∠.（2）若8cm OD =，①求BDE ∠的度数；②求点D 到OA 的距离.（参考数据：sin360.60︒≈，cos360.80︒≈，tan360.75︒≈，sin660.92︒≈，cos660.40︒≈，tan66 2.24︒≈）22．（2020·江西九年级二模）图1是一种手机自拍杆，杆体从上至下分别由手机夹架、多节套管和可升降支架脚连接而成．使用时通过自由伸缩套管调节自拍杆的长度，同时可以通过调节支架脚使拍摄时更灵活安全．图2是其正面简化示意图，手机ABCD （为矩形）与其下方套管EF 连接于点E ，E 为BC 的中点，26cm EF =，支架脚13cm FG FH ==，BC 与地面GH 平行，EF BC ⊥．（1）当120GFH ∠=︒时，求点E 到地面的高度；（2）若在某环境中拍摄时，调节支架脚使40FGH ∠=︒，若16cm BC =，求点G 到直线AB 与GF 交点的距离．（参考数据：sin 400.64,cos 400.77,tan 40 1.73︒≈︒≈︒≈≈，结果精确到0.1cm ）23．（2020·江西赣州市·九年级一模）如图()1是一个晾衣架的实物图，支架的基本图形是菱形，MN 是晾衣架的一个滑槽，点P 在滑槽MN 上、下移动时，晾衣架可以伸缩，其示意图如图()2所示，已知每个菱形的边长均为20cm ，且AB CD CP DM 20cm ====．()1当点P 向下滑至点N 处时，测得DCE 60∠=时①求滑槽MN 的长度；②此时点A 到直线DP 的距离是多少？()2当点P 向上滑至点M 处时，点A 在相对于()1的情况下向左移动的距离是多少？(结果精确到001cm ． 1.414 1.732)≈≈24．（2020·江西抚州市·金溪一中九年级一模）图1是一台用保护套套好的带键盘的平板电脑实物图，图2是它的示意图，忽略平板电脑的厚度，支架BE 分别固定在平板电脑AD 背面中点B 处，桌面E 处，EB 可以绕点E 转动，当点D 在线段EF 上滑动时，可调节平板电脑AD 的倾斜角ADC ∠，经测量，24cm CE =，9cm CF =，支架110.5cm 2BE AD ==． （1）连接AE ，求证：AE CE ⊥；（2）当120ADC =∠︒时，求A ，E 两点间的距离；（3）当点D 滑到距离F 点1cm 处时，视觉效果最好，求此时倾斜角ADC ∠的度数．1.73≈，sin 48.190.75︒≈，cos48.190.67︒≈，tan 48.19 1.12︒≈，结果保留一位小数）25．（2020·江西九江市·九年级其他模拟）把长为2、宽为1的矩形如图依次摆放，恰使一个矩形的宽在另一个矩形的长的对称轴上，点A 是格点（矩形的顶点为格点）．请在网格中完成下列画图（要求：①仅用无刻度的直尺：②保留必要的画图痕迹）．（1）在图1中，画出Rt ABC ∆，使90A ∠=︒，点B 、C 在格点上；（2）在图2中，画出BAC ∠使1tan 2BAC ∠=，点B 、C 在格点上．26．（2020·江西南昌市·九年级其他模拟）如图1，是某保温杯的实物图和平面抽象示意图．点A ，B 是保温杯上两个固定点，与两活动环相连，把手CD 与两个活动环AD ，BC 相连，现测得 2.6cm AD BC ==，17cm AB =，如图2，当A ，D ，C 三点共线时，恰好AC BC ⊥．（1）请求把手CD 的长；（2）如图3，当//CD AB 时，求ADC ∠的度数．（参考数据：sin57.50.843︒=，cos57.50.538︒=，tan57.5 1.570︒=）27．（2020·江西）图①是一个演讲台，图②是演讲台的侧面示意图，支架BC 是一段圆弧，台面与两支架的连接点A ，B 间的距离为30cm ，CD 为水平地面，∥ADC ＝75°，∥DAB ＝60°，BD ∥CD ．（1）求BD 的长（结果保留整数，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26）；（2）如图③，若圆弧BC 所在圆的圆心O 在CD 的延长线上，且OD ＝CD ，求支架BC 的长（结果保留根号）．28．（2020·江西）如图1，一扇门ABCD，宽度AB＝1m，A到墙角E的距离AE＝0.5m，设E，A，B在一条直线上，门打开后被与门所在墙面垂直的墙阻挡（EA∥EB′），边BC靠在墙B'C'的位置．（1）求∥BAB'的度数；（2）打开门后，门角上的点B在地面扫过的痕迹为弧BB'，设弧BB'与两墙角线围成区域（如图2）的面积为S（m2），求S的值（π≈3.14，精确到0.1）．29．（2020·江西赣州市·九年级月考）如图1所示的是一种折叠门，已知门框的宽度AD=2米，两扇门的大小相同(即AB=CD)，且AB+CD=AD，现将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转67°（如图2）．（1）求点C到AD的距离．（2）将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向外面旋转，设旋转角为α（如图3），问α为多少时，点B，C之间的距离最短？（参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan29.6°≈0.57，tan19.6°≈0.36，sin29.6°≈0.49）30．（2020·南昌市第十九中学九年级月考）如图1是一种纸巾盒，由盒身和圆弧盖组成，通过圆弧盖的旋转来开关纸巾盒．如图2是其侧面简化示意图，已知矩形ABCD 的长16cm AB =，宽12cm AD =，圆弧盖板侧面DC 所在圆的圆心O 是矩形ABCD 的中心，绕点D 旋转开关（所有结果保留小数点后一位）．（1）求DC 所在O 的半径长及DC 所对的圆心角度数；（2）如图3，当圆弧盖板侧面DC 从起始位置DC 绕点D 旋转90︒时，求DC 在这个旋转过程中扫过的的面积．参考数据：tan36.870.75︒≈，tan53.06 1.33︒≈，π取3.14．。
河南中考数学专项练习-----化简求职
河南中考数学专项练习-----化简求职LT化简求职〔必拿分项〕题型一、整式化简求职考点、1、乘法公式：〔1〕完全平方公式：()y x ±2=y xy 222x +± 口诀：首平方，尾平方，首尾2倍在中央，符号跟着中间走。
（2）平方差公式：()y x y x y 22)(x -=-+口诀：首方减尾方注：这里的首和尾可以是一个字母，可以是一个数字，亦可以使一个单项式或多项式。
做题时要注意。
比方：()()y x y x y xy y x 2222244)2(22x 2++=++=+ ()()()()y x y x x x x 23239234y 2222-+=-=- 1、多项式的乘法：单项式×多项式 ()ac ab c b ⨯=+⨯a多项式×多项式 ()()bd bc ad ac d c b +++=++a例、先化简，在求职：()()()()y x y x y x y x --+-++x 522，其中x=12+,y=1-2对应练习：1、先化简，在求职：()()()()1412122x 2+--+++x x x x ，其中，2x -=题型二、分式化简考点1、分式通分：单独的一个数字或字母进行通分时，通常把它看做1分之几，再分子分母同事乘以需要通分的的分母就可以；例；a 和b 1 1a 和b 1 b1⨯⨯b a 和b 1 b ab 和b1 2、让自己代数时，一定要注意分母不能为0！！除号后面的分子分母均不为0！ 实在不确定选择一个数代入原式子进行验证。
例1、先化简，再求职。
1211222x ++-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x x ，其中x 的值从不等式组 -x ≦1 的整数解中选取。
2x-1<4例2、先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-+-a b b a ab b 1122222a，其中，a=5+1,b=5-1这类题中，因为x ≠0，例3、先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷--x 121222x x x x ，其中x=2-1例4、和方程的综合〔1〕先化简，再求值： 1-a a a a +-÷-224a 2，其中a 是方程06a 2=--a 的一个根。
【最新】中考数学99个考点对照练习及解析
常见的99个中考考点以及考试要求附参考答案一、数与运算（10个考点）杨浦1：两个连续的正整数的积一定是（ ▲ ）（Ａ）素数； （Ｂ）合数； （Ｃ）偶数； （Ｄ）奇数；黄浦7：8与12的最大公因数是_______________；黄浦14：14. 小明左边口袋中放有三张卡片，上面分别写着1、2、3，他右边口袋中也放有三张卡片，上面分别写着4、5、6，他任意地从两个口袋中各取出一张卡片，则所得两张卡片上写的数之和为偶数的概率是_______________； 考点2：分数的有关概念、基本性质和运算（1）掌握分数与小数的互化，初步体会转化思想；（2）掌握异分母分数的加减运算以及分数的乘除运算.考点3：比、比例和百分比的有关概念及比例的性质（1）理解比、比例、百分比的有关概念；（2）比例的基本性质.对合分比定理、等比定理不作教学要求.考点4：有关比、比例、百分比的简单问题（1) 考查比、比例的实际应用，结合实际掌握求合格率、出勤率、及格率、盈利率、利率的方法；（2）会解决有关比、比例、百分比的简单问题，了解百分比在经济、生活中的一些基本常识及简单应用.考点5：有理数以及相反数、倒数、绝对值等有关概念，有理数在数轴上的考核要求：（1）理解相反数、倒数、绝对值等概念；（2）会用数轴上的点表示有理数.注意：（1）去掉绝对值符号后的正负号的确定，（2）0没有倒数.【样题】杨浦2：已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列等式成立的是 （ ▲ ） （Ａ）a b a b +=+； （Ｂ）a b a b +=-；（Ｃ）11b b +=+； （Ｄ）11a a +=+；卢湾1：下列各数中与213-相等的是（A ）3 （B ）3- （C ）33 （D ）33-； 考点6：平方根、立方根、n 次方根的概念(1) 理解平方根、立方根、n 次方根的概念；（2）理解开方与方根的意义，注意平方根和算术平方根的联系和区别.【样题】浦东7：2)3(-的平方根等于 ▲ ； O 1考点7：实数的概念.注意：判断无理数不看形式，要看实质. 考点8：数轴上的点与实数的一一对应掌握实数与数轴上的点的一一对应关系.解题关键是判断实数的大小.考点9：实数的运算（1）掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算的法则、性质（交换律、结合律、分配律、互逆性、数0和数1的特征）、运算顺序，明确有关运算性质的推广和运用；（2）会用计算器进行实数的运算.注意：（1）利用运算定律，力求简便计算和巧算，（2）运算要稳中求快，准确无误.【样题】卢湾191-︒-+黄浦19：计算：(()01142011tan 6012-⎛⎫⨯--+︒- ⎪⎝⎭； 长宁19：计算:()12011211245tan 36-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-︒-+；宝山19：计算：1312)23(6)8()13(-+--+-； 考点10：科学记数法1）理解科学记数法的意义；（2）会用科学记数法表示较大的数.【样题】奉贤7：截止到2010年10月31日，上海世博园共接待游客73 080 000人，用科学记数法表示是 ▲ 人；第二部分 方程与代数（27个考点） 考点11：代数式的有关概念（1）掌握代数式的概念，会判别代数式与方程、不等式的区别；（2）知道代数式的分类及各组成部分的概念，如整式、单项式、多项式；（3）知道代数式的书写格式.注意单项式与多项式次数的区别.考点12：列代数式和求代数式的值1）会用代数式表示常见的数量，会用代数式表示含有字母的简单应用题的结果；（2）通过列代数式，掌握文字语言与数学式子表述之间的转换；（3）在求代数式的值的过程中，进行有理数的运算.【样题】杨浦7：用代数式表示“a 的相反数与b 的倒数的和的平方”： ▲ ；考点13：整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则（1）掌握整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则；（2）会用同底数幂的运算性质进行单项式的乘、除、乘方及简单混合运算；（3）会求多项式乘以或除以单项式的积或商；（4）会求两个或三个多项式的积.注意：要灵活理解同类项的概念. 【样题】杨浦8：将11032,8,(2)a b c π-=-==-从小到大排列，并用不等号连接： ▲ ； 考点14：乘法公式（平方差、两数和、差的平方公式）及其简单运用（1）掌握平方差、两数和（差）的平方公式；（2）会用乘法公式简化多项式的乘法运算；（3）能够运用整体思想将一些比较复杂的多项式运算转化为乘法公式的形式.【样题】长宁8：计算:()()21+-m m = ▲ ； 考点15：因式分解的意义考核要求：（1）知道因式分解的意义和它与整式乘法的区别；（2）会鉴别一个式子的变形过程是因式分解还是整式乘法.考点16：因式分解的基本方法（提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系数为1的十字相乘法）考核要求：掌握提取公因式法、分组分解法和二次项系数为1时的十字相乘法等因式分解的基本方法.【样题】静安10：将二元二次方程0562=+-x xy x 化为二个一次方程为 ▲ ； 卢湾8：分解因式：24x y y -= ▲ ；黄浦8分解因式：=+-652x x _______________；闵行8：分解因式：32x x -= ▲ ；宝山9：在实数范围内分解因式：222--x x = ▲ ；考点17：分式的有关概念及其基本性质1）会求分式有无意义或分式为0的条件；（2）理解分式的有关概念及其基本性质；（3）能熟练地进行通分、约分.考点18：分式的加、减、乘、除运算法则考核要求：（1）掌握分式的运算法则；（2）能熟练进行分式的运算、分式的化简.【样题】杨浦19：先化简，再求值：223222x x x x x x x x -----+ ，其中x =奉贤20：先化简再求值：25624322+-+-÷+-a a a a a ，选一个使原代数式有意义的数带入求值；浦东20：先化简，再求值：x x x x x x x x ÷+---+--2321212222，其中2=x ； 静安8：化简：=+-a a a 1▲ ； 黄浦2：计算1x x÷的结果是（ ）. （A ）1x （B ）x （C ）2x （D ）21x；闵行19：先化简，再求值：11()x x x x-÷-，其中2x =； 松江19：先化简，再求值：11123213222-+++--÷--x x x x x x x ，12+=x ； 宝山8计算：=---112m m m m ▲ ； 考点19：正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂、分数指数幂的概念 （1）理解正整数指数、零指数、负整数指数的幂的概念；（2）知道分数指数幂的意义；（3）能够运用零指数的条件进行式子取值范围的讨论. 【样题】黄浦19：计算：(()01142011tan 6012-⎛⎫⨯--+︒- ⎪⎝⎭； 考点20：整数指数幂，分数指数幂的运算考核要求：（1）掌握幂的运算法则；（2）会用整数指数幂及负整数指数幂进行运算；（3）掌握负整数指数式与分式的互化；（4）知道分数指数式与根式的互化。
2024年初中数学中考高频考点解答题测试卷 (195)
一、解答题1. 【定义】如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段称为这个三角形的“分割线”；如果2条段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段称为这个三角形的“黄金分割钱”．【理解】(1)如图1，在中，，，请你在这个三角形中画出它的“分割线”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数；如图2，已知是等腰直角三角形，，请你在这个三角形中画出它的“黄金分割线”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数．(2)填空：等边三角形____________（填“存在”或“不存在”）“分割线”；顶角为钝角的等腰三角形____________（填“存在”或“不存在”）“黄金分割线”．(3)【应用】在中，，为钝角，若这个三角形存在“分割线”，直接写出的所有可能值：__________________________________．2. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，点O，A，B都在格点上，△OAB绕点O顺时针旋转180°，得到△OA1B1．(1)画出△OA1B1；(2)求出线段OA旋转过程中扫过的面积．3. 如图，已知．(1)用尺规作图方法作的垂直平分线，交于点，交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法）(2)若，周长为13，求的周长．4. 如图，在下列6×6的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如A（0，3）、B（5，3）、C（1，5）都是格点，在网格中仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．(1)画出以AB 为斜边的等腰Rt △ABD （D 在AB 下方）；(2)连接CD 交AB 于点E ，则∠ACE ＝ ；(3)由上述作图直接写出点E 到直线BC 的距离为 ；(4)在直线AB 下方和x 轴上方之间找一个格点F ，连接CF ，使∠ACF ＝∠AEC ，则F 点的坐标为 ．5. 如图，中，．(1)用直尺和圆规在的内部作射线，使（不要求写作法，保留作图痕迹）；(2)若（1）中的射线交于点，，，求的长．6. 如图1，抛物线y = ax 2+bx-3经过A 、B 、C 三点，已知点A(-3，0)、C (1，0)．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点(不与A 、B 重合)．①过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，交直线AB 于点E ，动点P 在什么位置时，PE 最大，求出此时P 点的坐标；②如图2，连接AP ，以AP 为边作图示一侧的正方形APMN ，当它恰好有一个顶点落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．7. 正方形的周长为，面积为．(1)求与之间的解析式．(2)画出此函数的图象．(3)根据图象，求当时，正方形的周长．(4)根据图象，求时，的取值范围．8. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点，，，均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出以为一边的矩形，点，都在小正方形的顶点上，且矩形的周长为；（2）在方格纸中画出以为边的菱形，点，都在小正方形的顶点上，且菱形的面积为4；连接，请直接写出的长．9. 如图，O是AB上一点，过点O作射线OC．（1）利用尺规作图分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD，OE（保留作图痕迹，不写作法）．（2）试判断OD与OE的位置关系，并说明理由．10. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2) 写出A1、B1、C1三点的坐标，并求△A1B1C1的面积．11. 在平面直角坐标系中，已知点，，．（1）画出；（2）画出关于轴对称的．连接，请直接写出线段的长．12. 如图，已知不在同一条直线上的三点，，．按下面的要求用尺规作图（不必写出结论）：连接，，作射线；在射线上取一点，使．13. 在平面直角坐标系中，已知点及两个图形和，若对于图形上任意一点，在图形上总存在点，使得点是线段的中点，则称点是点关于点的关联点，图形是图形关于点的关联图形，此时三个点的坐标满足，．(1)点是点关于原点的关联点，则点的坐标是 ；(2)已知，点，，，以及点①画出正方形关于点的关联图形；②在轴上是否存在点，使得正方形关于点的关联图形恰好被直线分成面积相等的两部分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．14. 某市建设森林城市需要大量的树苗，某生态示范园负责对甲、乙、丙、丁四个品种的树苗共500株进行树苗成活率试验，从中选择成活率高的品种进行推广．通过实验得知：丙种树苗的成活率为89.6%，把实验数据绘制成下面两幅统计图(部分信息未给出)．(1)实验所用的乙种树苗的数量是________株．(2)求出丙种树苗的成活数，并把图2补充完整．(3)你认为应选哪种树苗进行推广？(4)请通过计算说明理由．15. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．（1）将△ABC向右平移4个单位得到的△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，请画出△A2B2C2；（3）求出△A2B2C2的面积．16. 如图，在中，，．(1)求作：线段，使点在线段上，且．（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；(2)若，求的长．17. 尺规作图并完成证明．如图，点，、点在外，连接、、，且，，．(1)用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）；(2)根据（1）中作图，求证：；请完善下面的证明过程．证明：∵平分，∴______．∵，∴______，∴．∴______．在和中，∵∴（）∴．18. 某校数学兴趣小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．通讯；B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；（2）求扇形统计图中的的值及话题所在扇形的圆心角的度数；（3）该兴趣组决定从这五个话题中随机抽取两个话题，然后收集相关知识进行深度学习，请用列表法或树状图求恰好抽中“话题”和“话题”的概率．19. 如图，用（0，0）表示A点的位置，用（3，1）表示B点的位置，那么：（1）画出直角坐标系；（2）写出△DEF的三个顶点的坐标；（3）在图中表示出点M（6，2），N（4，4）的位置．20. 下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：已知：△ABC．求作：点D，使得点D在BC边上，且到AB，AC边的距离相等．作法：如图，作∠BAC的平分线，交BC于点D．则点D即为所求．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形 (保留作图痕迹)；（2）完成下面的证明．证明：作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，∵AD平分∠BAC，∴ = ( ) (填推理的依据) ．21. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，画出线段；在内部找一点，使，连接、；(2)在图2中，为线段的中点，作关于的对称点，再以为旋转中心，将顺时针旋转得到△，画出△（点、、分别对应点、、；若的度数为，则的度数为_____（直接用含的式子写出答案）．22. 已知：如图，在中，(1)作的角平分线（用尺规作图，保留作图痕迹）(2)作的高（用尺规作图，保留作图痕迹），交于点F(3)图中的与相等吗？证明你的结论．23. 如图在边长为1的正方形网格中，点A的坐标为（1，7），点B坐标为（5，5），点C的坐标为（7，5），点P的坐标为（5，4）．(1)如图1，将线段AB绕点P逆时针旋转90°，得到对应线段A′B′，画出线段A′B′，并直接写出线段AB扫过的面积；(2)如图2，作出点C关于直线AB的对称点C′；(3)如图3，点D坐标为（5，1），将线段AB绕着某一点旋转一个角度得到线段CD，找出这个旋转中心并写出旋转中心的坐标．24. 某校为了调查学生对卫生健康知识，特别是疫情防控下的卫生常识的了解，现从九年级名学生中随机抽取了部分学生参加测试，并根据测试成绩绘制了如下频数分布表和扇形统计图(尚不完整)．组别成绩/分人数第组第组第组第组第组请结合图表信息完成下列各题．（1）表中a的值为_____，b的值为______；在扇形统计图中，第组所在扇形的圆心角度数为______°；（2）若测试成绩不低于分为优秀，请你估计从该校九年级学生中随机抽查一个学生，成绩为优秀的概率．（3）若测试成绩在分以上(含分)均为合格，其他为不合格，请你估计该校九年级学生中成绩不合格的有多少人．25. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．平面直角坐标系的原点O在格点上，x轴、y轴都在网格线上，二、解答题点A 、B在格点上．(1)将线段绕点O 顺时针旋转得到线段，在图中画出线段．(2)线段与线段关于原点O 成中心对称，在图中画出线段．(3)连接和，请直接写出四边形的面积为______．26. 在某节日前夕，几位同学到学校附近文具店调查一种进价为2元的节日贺卡的销售情况，每张定价3元，每天能卖出500张，每张售价每上涨0.1元，其每天销售量就减少10个．另外，物价局规定，售价不得超过商品进价的240%．据此，请你解答下面问题：（1）要实现每天800元的利润，应如何定价？（2）800元的利润是否最大？如何定价，才能获得最大利润？27. 电信部门推出两种电话计费方式如表：AB月租费元月通话费元分钟当通话时间是多少分钟时两种方式收费一样多？28. 如图，在一个长方形操场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆形的花坛，若圆形的半径为米，广场的长为米，宽为米．(1)请列式表示操场空地的面积；(2)若休闲广场的长为米，宽为米，圆形花坛的半径为米，求操场空地的面积．(取，计算结果保留)29. 某花店采购了一批康乃馨，进价是每枝8元，当每枝售价为12元时，可销售30枝；当每枝售价为10元时，可销售40枝．在销售过程中，发现这种康乃馨的销售量y （枝）是每枝售价x （元）的一次函数（）．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)根据题意，当销售单价为多少元时，商家获得的利润最大？30. 为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表：甲、乙射击成绩统计表平均数中位数方差命中10环的次数甲70乙 5.41（1）请补全上述图表（请直接在表中填空和补全折线图）；（2）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出?说明你的理由；（3）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则?为什么?31. 某汽车出租公司有50辆汽车对外出租，下面是该公司经理租车的方案：公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加40元，那么每月将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．若该公司月出租的汽车是辆，月利润为元．(1)求与的函数关系式；(2)该公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出10元给慈善机构，该公司捐款后的月利润为元，求与的函数关系式；并求出该公司某月租出30辆汽车，捐款后剩余的月利润是多少？32. 某演讲比赛中只有甲、乙、丙三位同学进行决赛，他们通过抽签决定演讲顺序，用列表法或画树状图法求：(1)第二个出场为甲的概率；(2)丙在乙前面出场的概率．33. 为预防新冠病毒，口罩成了生活必需品，某药店销售一种口罩，每包进价为6元，日均销售量y（包）与每包售价x（元）满足y＝﹣5x+80，且10≤x≤16．(1)每包售价定为多少元时，药店的日均利润最大？最大为多少元？(2)当进价提高了a元，且每包售价为13元时，日均利润达到最大，求a的值．34. 五人制足球是足球的一个变种，比赛通常在室内进行，在五人制足球中，一场比赛由两队参加，每队只有5名队员上场，其中必须有1人为守门员，为了进一步普及足球知识，传播足球文化，某市举行了中小学“五人制足球”比赛活动．为了选拔参赛队员，其学校从七、八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试，测试结果分为“优秀”、“良好”、“及格”“不及格”四个等级，并将测试结果绘制成统计表和统计图，请根据统计图、表中的信息回答下列问题：级别分数人数优秀85分以上（含85分）m良好75≤x＜8518及格60≤x＜7516不及格60分以下6（1）求出表中的m值；（2）若该校七、八年级共有2000名学生，请你估计这所学校中，测试等级为“良好”（含“良好”）以上的学生共有多少名？（3）学校决定，从等级为“优秀”的七年级学生中，选拔出2名参赛队员，七年级有A、B、C、D四位学生符合条件，若从这四位学生中随机选出两名队员，请用树状图或列表的方法，求出恰好选中A、C二人的概率．35. 小李在一网上购物平台购物，恰逢周年庆，平台推出优惠活动，如图广告所示：(1)请写出小李的实付金额y（元）关方购物的商品总价x（元）的函数解析式及其定义域；(2)小李和好朋友小方拼单购物，小李和小方所购商品的总价分别为60元和40元，那么小李和小方应如何分配实付金额？请写出你的理由．36. 某物流总公司新购进的甲、乙两条自动分拣线，经测试甲分拣线每小时分拣件数是乙分拣线每小时分拣件数的1.5倍，甲分拣线分拣30000件商品比乙分拣线分拣28000件商品还少用1小时．(1)问两条分拣线的分拣速度分别是多少？(2)若物流公司每名分拣员每小时分拣200件商品．请你计算这两条分拣线同时工作1小时相当于多少名分拣员的工作？37. 某商场销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，每月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．销售价定为多少元时，每月获得最大利润？求出最大利润．38. 在11月，榕榕利用某手机软件投资“纸黄金”，其中10天的收益情况如下表所示．（上涨为正，下跌为负，每天的数据均是相对于前一天而言）日期20日21日22日23日24日收益情况（元）日期225日26日27日28日29日收益情况（元）00(1)观察表格，在这段时间内．收益为上涨的有___________天．(2)表格中的25日、26日为休息日，这两天交易暂停．除这两天外，收益变动最小的日期是_______．(3)假如榕榕在11月29日全部卖出，结束投资，试求她的收益是盈利还是亏损？盈利（或亏损）了多少钱？39. 组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？40. 新农村建设有效促进了乡村旅游业的发展．某镇2018年实现旅游收入1500万元，到2020年该项收入达到2160万元，且从2018年到2020年，每年旅游收入的年增长率相同．（1）该镇旅游收入的年增长率；（2）若该镇旅游收入的年增长率保持不变，预计2021年旅游收入达到多少万元？41. 某商场经销一种商品，已知其每件进价为40元．现在每件售价为70元，每星期可卖出500件．该商场通过市场调查发现；若每件涨价1元，则每星期少卖出10件；若每件降价1元，则每星期多卖出m（m为正整数）件．设调查价格后每星期的销售利润为W元．(1)设该商品每件涨价x（x为正整数）元，①若，则每星期可卖出______件，每星期的销售利润为______元；②当x为何值时，W最大，W的最大值是多少？(2)设该商品每件降价y（y为正整数）元，写出W与y的函数关系式，并通过计算判断；当时每星期销售利润能否达到（1）中W的最大值；(3)若每件降价5元时的每星期销售利润，不低于每件涨价15元时的每星期销售利润，求m的取值范围．42. 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为m的正方形，两块试验田收获了相同数量的小麦．(1)哪种小麦的单位面积产量高？请说明理由．(2)若“丰收1号”与“丰收2号”小麦单位面积产量之比为10∶11，求a的值．43. 随着全国人民环保意识的增强，春节期间烟花爆竹的销售量逐年下降．为了解某市2022年烟花销售量情况，某环境保护局随机抽取该市部分地区进行烟花爆竹销量调查，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．抽测市区频数/频率A区12bB区a0.45C区cD区3合计1根据以上信息，回答下列问题：(1)填空：_____，_______，________．(2)A区对应的圆心角度数为__________；(3)若该市所对应的省有5个市，每个市有4个区，请你估计销售烟花总量的区数．44. 中国科技发展日新月异，有些电子产品会随着科技发展而降价，某电脑经销店2022年开始销售A款电脑，第一季度售价为万元/台，利润为4万元；第二季度售价为万元/台，利润为3万元．(1)如果两个季度销售A款电脑的数最相同，则A款电脑的进价为多少万元？(2)为增加收入，电脑经销店决定再经销B款电脑，若B款电脑的进价为万元/台，经销店预计用不多于万元且不少于万元的资金购进两种电脑共台，有几种进货方案？(3)如果两种电脑的进价不变，A款电脑的售价为万元/台，B款电脑的售价为万元/台，为了打开B款电脑的销路，经销店决定每一台B款电脑降价a万元销售，要使（2）中的所有方案获利相同，a值应是多少？45. 学校计划种植一块草坪，形状为如图所示的四边形，其中，，，，．若每种植1平方米草坪成本为元，求学校种植该草坪的成本为多少．46. 一辆出租车一天上午以某商场为出发地在东西大街上运行，规定向东为正，向西为负，出租车的行驶里程(单位：)如下：．(1)将最后一名乘客送到目的地，相对于商场出租车的位置在哪里？(2)这天上午出租车总共行驶了 千米．(3)已知出租车每行驶1千米耗油，每升汽油的售价为元，如果不计其它成本，出租车司机每千米收费元，那么这半天出租车盈利(或亏损)了多少元？47. 寿宁“金丝粉扣”是地方名优特产，深受消费者喜爱，某超市购进一批“金丝粉扣”，进价为每千克24元，调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克．(1)设每千克降价x元，用含x的代数式表示实际销售单价和销售数量；(2)若超市要使这种“金丝粉扣”的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？48. 为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了m名学生，将一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如下的统计图和统计表：等级次数频数不合格4合格三、解答题良好12优秀10请结合上述信息完成下列问题：(1)_________，_________；(2)请补全频数分布直方图；(3)在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是_________；(4)若该校有1600名学生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名学生一分钟跳绳次数达到合格及以上．49. 2023年4月16日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国队共收获9金2银，位列奖牌榜第一．赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人赞叹不已．在10米跳台跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．某跳水运动员进行了两次训练．(1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离竖直高度①根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；②运动员必须在距水面前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误．在这次训练中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为，判断此次跳水会不会出现失误，并说明理由；(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．如图，记该运动员第一次训练的入水点为A，若运动员在区域内（含A ，B ）入水能达到压水花的要求，则第二次训练__________达到要求（填“能”或“不能”）．50. 某共享单车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划生产量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：星期一二三四五六日增减产量（辆）(1)根据记录的数据可知该厂星期三生产自行车多少辆？(2)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车多少辆？(3)该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得70元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该厂这一周的工资总额是多少元？51. 如图，把矩形ABCD 沿AC 折叠，使点D 与点E 重合，AE 交BC 于点F ，过点E 作EG //CD 交AC 于点G ，交CF 于点H ，连接DG ．（1）求证：四边形ECDG是菱形；（2）若cm，cm，求AC的长．52. 综合与实践：问题情境：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N．猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长；53. 已知，四点在⊙上，延长交于点，且．（1）若①求证：；②当时，求的度数；（2）若⊙的半径为，求的最大值．54. 已知：如图，在△ABC中，点D是BC的中点，过点D作直线交AB，CA的延长线于点E，F．当BE=CF时，求证：AE=AF．55. 如图，是的直径，点D，E在上，，点C在的延长线上，．(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径长．56. 如图, 平行四边形 的周长为36，BD =12，点是对角线AC 、BD 的交点，点是边的中点，点交的延长线于．(1)求证：四边形OCFE 是平行四边形；(2)求△DOE 的周长．57.如图，是的直径，点C 、D 在圆上，，过点C 作，交的延长线于点E ．求证：是的切线．58.定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．（1）求证：等腰三角形底边的中点是它的准内心；（2）如图，在△ABC 中，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线EF ，分别交AB 与AC 的延长线于点E ，F ，若点D 是△ABC 的准内心，AE ＝6，tan ∠CFD＝，求EB 的长．59. 已知：如图，E ，F分别是的边，上的点，且．求证：，．60. △ACB 和△ECD 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°.（1）如图1，点E 在BC 上，则线段AE 和BD 有怎样的关系？请直接写出结论（不需证明）；（2）若将△DCE 绕点C 旋转一定的角度得图2，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）当△DCE 旋转到使∠ADC =90°时，若AC =5，CD =3，求BE 的长.61. 已知：如图，∠1=∠2，请添加一个条件，使得△ABD≌△CDB，然后再加以证明.62. 如图，的直径交弦(不是直径)于点P，且．求证：．63. 如图，PA与⊙O相切于点A，AB是直径，点C在⊙O上，连接CB，CP，2∠B+∠P＝180°．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)过O作OD∥PC，交AP于点D，若AB＝8，∠AOD＝30°．求由线段PA，PC及弧AC所围成阴影部分的面积．64. 已知关于x的一元二次方程．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为，，且，求m的值．65. 已知，．(1)求证的值；(2)求的值．66. 如图，四边形的对角线交于点O，且，E是上一点，连接．(1)求证：．(2)若，试判断四边形的形状，并说明理由．67. 综合与实践如图1所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线m经过点C，过A、B两点分别作直线m的垂线，垂足分别为E、F．（1）如图1，当直线m在A、B两点同侧时，直接写出EF与AE、BF之间的数量关系；（2）若直线m绕点C旋转到图2所示的位置时（BF＜AE），其余条件不变，猜想EF与AE，BF有什么数量关系？并证明你的猜想；（3）若直线m绕点C旋转到图3所示的位置时（BF＞AE）其余条件不变，问EF与AE，BF的数量关系如何？直接写出猜想结论，不需证明．68. 如图，是的直径，点E为线段上一点（不与O，B重合），作，交于点C，作直径，过点C的切线交的延长线于点P，作于点F，连接．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)当且时，求劣弧的长度．69. 已知：如图，在中，于点D，E为AC上一点，且，．求证：．70. 已知：如图，∠BAC=∠DAM，AB=AN，AD=AM，求证：∠B=∠ANM．71. 如图，在中，平分交于点D，交于点是中点．。
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常见的99个中考考点以及考试要求 一、数与运算（10个考点）考点1：数的整除性以及有关概念（本考点含整数和整除、分解素因数）考核要求：（1）知道数的整除性、奇数和偶数、质数和合数、倍数和因数、公倍数和公因数等的意义；（2）知道能被2或3、5、9整除的正整数的特征；（3）会分解素因数；（4）会求两个正整数的最小公倍数和最大公因数.具体问题讨论涉及的正整数一般不大于100.【样题】杨浦1：两个连续的正整数的积一定是（ ▲ ）（Ａ）素数； （Ｂ）合数； （Ｃ）偶数； （Ｄ）奇数；黄浦7：8与12的最大公因数是_______________；黄浦14：14. 小明左边口袋中放有三张卡片，上面分别写着1、2、3，他右边口袋中也放有三张卡片，上面分别写着4、5、6，他任意地从两个口袋中各取出一张卡片，则所得两张卡片上写的数之和为偶数的概率是_______________；考点2：分数的有关概念、基本性质和运算考核要求：（1）掌握分数与小数的互化，初步体会转化思想；（2）掌握异分母分数的加减运算以及分数的乘除运算.考点3：比、比例和百分比的有关概念及比例的性质考核要求：（1）理解比、比例、百分比的有关概念；（2）比例的基本性质.对合分比定理、等比定理不作教学要求.考点4：有关比、比例、百分比的简单问题考核要求：（1) 考查比、比例的实际应用，结合实际掌握求合格率、出勤率、及格率、盈利率、利率的方法；（2）会解决有关比、比例、百分比的简单问题，了解百分比在经济、生活中的一些基本常识及简单应用.考点5：有理数以及相反数、倒数、绝对值等有关概念，有理数在数轴上的表示考核要求：（1）理解相反数、倒数、绝对值等概念；（2）会用数轴上的点表示有理数.注意：（1）去掉绝对值符号后的正负号的确定，（2）0没有倒数. 【样题】杨浦2：已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列等式成立的是 （ ▲ ） （Ａ）a b a b +=+； （Ｂ）a b a b +=-；（Ｃ）11b b +=+； （Ｄ）11a a +=+；卢湾1：下列各数中与213-相等的是（A ）3 （B ）3- （C ）33 （D ）33-； 考点6：平方根、立方根、n 次方根的概念O a b 1考核要求：(1) 理解平方根、立方根、n 次方根的概念；（2）理解开方与方根的意义，注意平方根和算术平方根的联系和区别.【样题】浦东7：2)3(-的平方根等于 ▲ ； 考点7：实数的概念考核要求：理解实数的有关概念.注意：判断无理数不看形式，要看实质. 考点8：数轴上的点与实数的一一对应考核要求：掌握实数与数轴上的点的一一对应关系.解题关键是判断实数的大小.考点9：实数的运算考核要求：（1）掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算的法则、性质（交换律、结合律、分配律、互逆性、数0和数1的特征）、运算顺序，明确有关运算性质的推广和运用；（2）会用计算器进行实数的运算.注意：（1）利用运算定律，力求简便计算和巧算，（2）运算要稳中求快，准确无误.【样题】卢湾19：化简：()111328212-︒⎛⎫-++- ⎪-⎝⎭； 黄浦19：计算：()()011420112010tan 6012-⎛⎫⨯---+︒- ⎪⎝⎭； 长宁19：计算:()12011211245tan 36-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-︒-+；宝山19：计算：1312)23(6)8()13(-+--+-； 考点10：科学记数法考核要求：（1）理解科学记数法的意义；（2）会用科学记数法表示较大的数.【样题】奉贤7：截止到2010年10月31日，上海世博园共接待游客73 080 000人， 用科学记数法表示是 ▲ 人；第二部分 方程与代数（27个考点） 考点11：代数式的有关概念考核要求：（1）掌握代数式的概念，会判别代数式与方程、不等式的区别；（2）知道代数式的分类及各组成部分的概念，如整式、单项式、多项式；（3）知道代数式的书写格式.注意单项式与多项式次数的区别.考点12：列代数式和求代数式的值考核要求：（1）会用代数式表示常见的数量，会用代数式表示含有字母的简单应用题的结果；（2）通过列代数式，掌握文字语言与数学式子表述之间的转换；（3）在求代数式的值的过程中，进行有理数的运算.【样题】杨浦7：用代数式表示“a 的相反数与b 的倒数的和的平方”： ▲ ；考点13：整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则考核要求：（1）掌握整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则；（2）会用同底数幂的运算性质进行单项式的乘、除、乘方及简单混合运算；（3）会求多项式乘以或除以单项式的积或商；（4）会求两个或三个多项式的积.注意：要灵活理解同类项的概念.【样题】杨浦8：将11032,8,(2)a b c π-=-==-从小到大排列，并用不等号连接： ▲ ； 考点14：乘法公式（平方差、两数和、差的平方公式）及其简单运用考核要求：（1）掌握平方差、两数和（差）的平方公式；（2）会用乘法公式简化多项式的乘法运算；（3）能够运用整体思想将一些比较复杂的多项式运算转化为乘法公式的形式.【样题】长宁8：计算:()()21+-m m = ▲ ； 考点15：因式分解的意义考核要求：（1）知道因式分解的意义和它与整式乘法的区别；（2）会鉴别一个式子的变形过程是因式分解还是整式乘法.考点16：因式分解的基本方法（提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系数为1的十字相乘法）考核要求：掌握提取公因式法、分组分解法和二次项系数为1时的十字相乘法等因式分解的基本方法.【样题】 静安10：将二元二次方程0562=+-x xy x 化为二个一次方程为 ▲ ； 卢湾8：分解因式：24x y y -= ▲ ；黄浦8分解因式：=+-652x x _______________；闵行8：分解因式：32x x -= ▲ ；宝山9：在实数范围内分解因式：222--x x = ▲ ；考点17：分式的有关概念及其基本性质考核要求：（1）会求分式有无意义或分式为0的条件；（2）理解分式的有关概念及其基本性质；（3）能熟练地进行通分、约分.考点18：分式的加、减、乘、除运算法则考核要求：（1）掌握分式的运算法则；（2）能熟练进行分式的运算、分式的化简.【样题】杨浦19：先化简，再求值：223222x x x x x x x x -----+ ，其中3x =； 奉贤20：先化简再求值：25624322+-+-÷+-a a a a a ，选一个使原代数式有意义的数带入求值；浦东20：先化简，再求值：x x x x x x x x ÷+---+--2321212222，其中2=x ； 静安8：化简：=+-a a a 1▲ ； 黄浦2：计算1x x÷的结果是（ ）. （A ）1x （B ）x （C ）2x （D ）21x； 闵行19：先化简，再求值：11()x x x x-÷-，其中22x =-； 松江19：先化简，再求值：11123213222-+++--÷--x x x x x x x ，12+=x ； 宝山8计算：=---112m m m m ▲ ； 考点19：正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂、分数指数幂的概念 考核要求：（1）理解正整数指数、零指数、负整数指数的幂的概念；（2）知道分数指数幂的意义；（3）能够运用零指数的条件进行式子取值范围的讨论. 【样题】黄浦19：计算：()()011420112010tan 6012-⎛⎫⨯---+︒- ⎪⎝⎭； 考点20：整数指数幂，分数指数幂的运算考核要求：（1）掌握幂的运算法则；（2）会用整数指数幂及负整数指数幂进行运算；（3）掌握负整数指数式与分式的互化；（4）知道分数指数式与根式的互化。
【样题】奉贤1：计算32a a ⋅的结果是（ ▲ ）A ．5a ；B ．6a ；C ．8a ；D ．9a ．； 浦东1：下列各式中，正确的是（A ）1266a a a =+； （B ）1644a a a =⋅；（C ）2332)()(a a -=-； （D ）22)()(a b b a -=-；卢湾2：对于非零实数m ，下列式子运算正确的是（ ）A ．923)(m m =；B ．623m m m =⋅；C ．532m m m =+；D ．426m m m =÷； 松江1下列计算中，正确的是（A ）842x x x =⋅； （B ）842)(x x =；（C ）2532x x x =+； （D ）326x x x =÷；宝山7：计算：=⋅-a a 2)( ▲ ； 考点21：二次根式的有关概念考核要求：（1）理解根式及有关概念，包括最简二次根式、同类二次根式等；（2）理解二次根式与非负数的非负平方根的实质联系，掌握二次根式的性质；（3）能利用公式a a =2对二次根式进行化简.【样题】杨浦9：若最简二次根式22x -与21x +是同类二次根式，则x = ▲ ； 浦东2：下列根式中，属于最简二次根式的是（A ）x 1； （B ）y x 2； （C ）x 8； （D ）22y x +； 卢湾7：如果二次根式3x -有意义，那么x 的取值范围是 ▲ ； 长宁2：若1<a ，化简()21-a =( ▼ )A ．()1-±aB ．a -1C ．1-aD ．()21-a ；松江2：下列各式中，最简二次根式是 （A ）a 8； （B ）2a ； （C ））2a ； （D ）42-a ； 宝山1：下列根式中，与2为同类二次根式的是（▲）（A ）21； （B ）a 2； （C ）2.0； （D ）12； 考点22：二次根式的性质和运算考核要求：（1）会利用二次根式的性质进行二次根式的变形、简化、求值；（2）会进行二次公式的运算；（3）会利用二次根式的性质及运算解方程或解不等式.掌握与二次根式的性质是解二次根式有关问题的关键，在解二次根式的有关问题时，要注意：（1）关注被开方数字中字母的符号；（2）理解有关二次根式的简化的实质就是二次根式的运算；（3）二次根式的运算或简化的结果必须化为最简二次根式。
【样题】奉贤2：下列运算不正确的是（ ▲ ）A ．2(2)2-=；B ．236⨯=；C ．623÷=；D ．235+=；静安19：化简：y x y y x x -++，并求当y x 3=时的值； 考点23：一元一次方程的解法考核要求：（1）理解方程、方程的解、解方程和一元一次方程等概念；（2）掌握用移项法则、解一元一次方程的一般步骤，能熟练地解一元一次方程.【样题】黄浦3：下列方程中，2是其解的是（ ）.（A ）240x -= （B ）121=-x （C ）111=-+x x （D ）20x +=； 考点24：二元一次方程和它的解以及一次方程组和它的解的概念考核要求：（1）理解二元一次方程和它的解及一次方程组和它的解的概念；（2）理解一个二元一次程都有无数个解，会求它的某些特殊解；（3）能够利用方程的解求方程中的字母的值.【样题】卢湾13：若方程2250x kx --=的一个根是1-，则k = ▲ ；考点25：二元一次方程组的解法、三元一次方程组的解法（连续三年几乎没考）考核要求：（1）掌握用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的方法；（2）会通过条件列出方程组进行求解；（3）理解多于二元的一次方程组可以利用逐步消元转化为一元方程来求解；（4）会用消元法解简单的三元一次方程组.考点26：不等式及其基本性质，一元一次不等式（组）及其解的概念考核要求：理解不等式及其基本性质，理解一元一次不等式（组）及其解的有关概念. 【考点27：一元一次不等式（组）的解法，数轴表示不等式的解集考核要求：（1）熟练解一元一次不等式及一元一次不等式组；（2）会求某些一元一次不等式及一元一次不等式组的特殊解（如正整数解）；（3）会利用数轴表示不等式及不等式组的解集.【样题】杨浦10：如果一个关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，那么该不等式组的解集是 ▲ ；奉贤19：解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧≤-+<-x x x x 132)1(315 ，并把它的解集在数轴上表示出来。