高等数学习题：习题课2
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（1）求函数 z x yz 在点P 处沿 方向n 的 方向导数；
（2）当 x,y,z 为何值时，此方向导数取最大值。
4. 证明曲 面 z x f ( y ) 上任何一点处的切平面通过 x
一定点。
习题课
一、选择题
1．函数 z x3 y3 3 x2 3 y2 的极小值点是（ ）
（A）（0，0）；
（B）（2，2）；
（2）证明对任何正数 a, b, c ，有 abc3 27( abc )5 。 5
设f ( x , y )与( x , y )均为可微函数,且 y ( x , y ) 0 已知( x0 , y0 )是在约束条件( x , y ) 0下的一个极 值 点,下 列 选 项 正 确 的 是: ( A )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( B )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( C )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( D )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0. ( 2006年考研题)
（C）（0，2）；
（D）（2，0）。
2. 若函数 f ( x,y) 在点(0,0) 的某个邻域内连续，且满足
lim
x 0
x
2
f ( x, y) f (0,0) 1 xsinycos 2
y
3
则 f ( x,y) 在点(0,0) （
）
y0
（A）取极大值； （C）无极值；
（B）取极小值； （D）是否取极值不确定。
2.计算函数值及主值：
（1）（ 3）5 (3) （1 i ）1i 2
2i
(2) e 3
(4) Ln(3)
3. 解方程： （1）z2 - 4iz - (4 - 9i) 0
(2) ez 1 3i 0
4. 讨论下列函数的可导性与解析性：
（1）f
(z)
x
3
(1
i) x2
y y
3 2
(1
i)
二、填空题
1．曲面 ze z 2 xy3 点(1, 2, 0) 处的切平面方程
为
。
2．曲线 C:2zx2233xy22yz22 9 在点P(1,1,2) 处的
切线方程为 法平面方程为
， 。
3．设 u xy2z3 ， 则 u 在 点A(2, 1, 1) 沿方向
增加最快； u 在 点A(2, 1, 1)
（A） dz (0,0) 3dxdy ；
（B）曲面 z f ( x, y) 在点(0,0, f (0,0)) 的法向量为{3, 1, 1} ；
z f (x,y)
（C）曲线
y0
在点(0,0, f (0,0)) 的切向量为{1, 0, 3} ；
z f (x,y)
（D）曲线
y0
在点(0,0, f (0,0)) 的切向量为{3, 0, 1} 。
7.证明函数 f z ez2 在全平面（复平面）上是解析的， 并证明f z 2zez2 。
8.如f(z)=u+iv是z的解析函数,证明
x
f
z
2
y
f
z
2
f
z 2
9.由下列各个条件求出解析函数 f z ux, y ivx, y
(要求用复变量z表示）
（1） u(x,y)=x2 xy y2 , f i 1 i
沿 l {2, 1, 2} 的方向导数为
。
三、解答题
1．求曲线
x
2
y 2 z 2 3 x 0
在点P(1,1,1)
的切线方程。
2x3 y5z40
2．求曲面
z
x2
y
2
与直线
x2z1 y2z2
垂直的切平面方程。
3．设点 P( x, y,z ) 是球面 : x2 y2z2 1上的一点， n为在点P 的外侧法向量，
三、解答题
1．过曲线9 x2 4 y2 72 在第一象限部分中哪一点作
的切线与原曲线及坐标轴之间所围成的图形面积最小？
y
18 (a,b)
owk.baidu.com8x
2.求中心在原点的椭圆5 x2 4 xy8 y2 1 的长半轴
与短半轴的长度。
3．（1）求 f ( x, y,z)lnxln y3lnz 在球面 x2 y2 z2 5r2(r0) 上的最大值，
(2) u(x,y)+v(x,y)= x3 y3 3x2y 3xy2 2x 2y
0
(2) f(z) z2 , z 0
z 0 ,z0
z0
(3) f(z) 3x3 3y3i
(4)f (z)
x2
x y2
i
x2
y
y2
5. 设my3 nx2y i(x3 lxy2)为解析函数，试求l, m, n。
6. 已知u ex (x cosy y sin y),求解析函数f (z) u iv， 并满足f (0) 0.
一、选择题
习题课
1．曲面 2xy4zez 3 在点 (1,2,0) 处的法线与直线
x1 y z2 的夹角（ ） 1 1 2
（A） ； （B） ； （C） ； （D）0.
4
3
2
2． 设函数 f ( x, y) 在点(0, 0) 附近有定义，且 f x (0,0)3 ， f y (0,0)1 ，则（ ）
求函数f ( x , y ) x2 2 y2 x2 y2在区域 D { ( x , y ) x2 y2 4, y 0 }上的最大值 和最小值.( 2007年考研题)
1. 求下列各题中点z的集合，并作图： (1) z 1 z 1 (2) z i 2 (3) z 2i z 2 (4) Im(i z) 4
（2）当 x,y,z 为何值时，此方向导数取最大值。
4. 证明曲 面 z x f ( y ) 上任何一点处的切平面通过 x
一定点。
习题课
一、选择题
1．函数 z x3 y3 3 x2 3 y2 的极小值点是（ ）
（A）（0，0）；
（B）（2，2）；
（2）证明对任何正数 a, b, c ，有 abc3 27( abc )5 。 5
设f ( x , y )与( x , y )均为可微函数,且 y ( x , y ) 0 已知( x0 , y0 )是在约束条件( x , y ) 0下的一个极 值 点,下 列 选 项 正 确 的 是: ( A )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( B )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( C )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( D )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0. ( 2006年考研题)
（C）（0，2）；
（D）（2，0）。
2. 若函数 f ( x,y) 在点(0,0) 的某个邻域内连续，且满足
lim
x 0
x
2
f ( x, y) f (0,0) 1 xsinycos 2
y
3
则 f ( x,y) 在点(0,0) （
）
y0
（A）取极大值； （C）无极值；
（B）取极小值； （D）是否取极值不确定。
2.计算函数值及主值：
（1）（ 3）5 (3) （1 i ）1i 2
2i
(2) e 3
(4) Ln(3)
3. 解方程： （1）z2 - 4iz - (4 - 9i) 0
(2) ez 1 3i 0
4. 讨论下列函数的可导性与解析性：
（1）f
(z)
x
3
(1
i) x2
y y
3 2
(1
i)
二、填空题
1．曲面 ze z 2 xy3 点(1, 2, 0) 处的切平面方程
为
。
2．曲线 C:2zx2233xy22yz22 9 在点P(1,1,2) 处的
切线方程为 法平面方程为
， 。
3．设 u xy2z3 ， 则 u 在 点A(2, 1, 1) 沿方向
增加最快； u 在 点A(2, 1, 1)
（A） dz (0,0) 3dxdy ；
（B）曲面 z f ( x, y) 在点(0,0, f (0,0)) 的法向量为{3, 1, 1} ；
z f (x,y)
（C）曲线
y0
在点(0,0, f (0,0)) 的切向量为{1, 0, 3} ；
z f (x,y)
（D）曲线
y0
在点(0,0, f (0,0)) 的切向量为{3, 0, 1} 。
7.证明函数 f z ez2 在全平面（复平面）上是解析的， 并证明f z 2zez2 。
8.如f(z)=u+iv是z的解析函数,证明
x
f
z
2
y
f
z
2
f
z 2
9.由下列各个条件求出解析函数 f z ux, y ivx, y
(要求用复变量z表示）
（1） u(x,y)=x2 xy y2 , f i 1 i
沿 l {2, 1, 2} 的方向导数为
。
三、解答题
1．求曲线
x
2
y 2 z 2 3 x 0
在点P(1,1,1)
的切线方程。
2x3 y5z40
2．求曲面
z
x2
y
2
与直线
x2z1 y2z2
垂直的切平面方程。
3．设点 P( x, y,z ) 是球面 : x2 y2z2 1上的一点， n为在点P 的外侧法向量，
三、解答题
1．过曲线9 x2 4 y2 72 在第一象限部分中哪一点作
的切线与原曲线及坐标轴之间所围成的图形面积最小？
y
18 (a,b)
owk.baidu.com8x
2.求中心在原点的椭圆5 x2 4 xy8 y2 1 的长半轴
与短半轴的长度。
3．（1）求 f ( x, y,z)lnxln y3lnz 在球面 x2 y2 z2 5r2(r0) 上的最大值，
(2) u(x,y)+v(x,y)= x3 y3 3x2y 3xy2 2x 2y
0
(2) f(z) z2 , z 0
z 0 ,z0
z0
(3) f(z) 3x3 3y3i
(4)f (z)
x2
x y2
i
x2
y
y2
5. 设my3 nx2y i(x3 lxy2)为解析函数，试求l, m, n。
6. 已知u ex (x cosy y sin y),求解析函数f (z) u iv， 并满足f (0) 0.
一、选择题
习题课
1．曲面 2xy4zez 3 在点 (1,2,0) 处的法线与直线
x1 y z2 的夹角（ ） 1 1 2
（A） ； （B） ； （C） ； （D）0.
4
3
2
2． 设函数 f ( x, y) 在点(0, 0) 附近有定义，且 f x (0,0)3 ， f y (0,0)1 ，则（ ）
求函数f ( x , y ) x2 2 y2 x2 y2在区域 D { ( x , y ) x2 y2 4, y 0 }上的最大值 和最小值.( 2007年考研题)
1. 求下列各题中点z的集合，并作图： (1) z 1 z 1 (2) z i 2 (3) z 2i z 2 (4) Im(i z) 4