职校数学-数学函数-函数三要素

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第8讲函数的三要素

第8讲函数的三要素函数的三要素是指函数的定义、函数的参数和函数的返回值。

这三个要素是函数的基本组成部分，决定了函数的行为和功能。

1.函数的定义：函数是一段封装了特定功能的代码块，用于实现特定的任务。

函数的定义包括函数名、参数列表、返回类型和函数体。

函数名是用来唯一标识函数的名称，可以根据函数的功能来命名函数名，通常使用驼峰命名法。

参数列表是函数用来接收外部传入数据的部分。

参数可以是0个或多个，每个参数都有自己的类型和名称。

返回类型是函数执行完任务后返回的数据类型。

返回类型可以是任意有效数据类型，可以是基本数据类型、数组、结构体等。

函数体是函数的具体实现逻辑。

函数体中包含了一组语句，用来实现函数的功能。

函数的定义示例：```int add(int a, int b)int sum = a + b;return sum;```上述示例定义了一个函数名为add的函数，该函数有两个参数a和b，返回类型为int。

函数的功能是计算a和b的和，并将结果返回。

2.函数的参数：函数的参数是函数定义中的一部分，用来接收外部传入的数据。

函数的参数可以是0个或多个，每个参数都有自己的类型和名称。

函数可以通过参数来获取外部传入的数据，并在函数体中使用这些数据进行计算或逻辑操作。

函数的参数可以分为两种类型：值传递和引用传递。

值传递是指将参数的值复制给函数内部的局部变量，函数内部对参数的修改不会影响外部变量的值。

引用传递是指将参数的地址传递给函数内部的指针变量，函数内部可以通过指针修改外部变量的值。

函数的参数示例：```int add(int a, int b)int sum = a + b;return sum;```上述示例中的add函数有两个参数a和b，都是int类型的。

在函数体内，使用a和b进行计算，并将结果返回。

3.函数的返回值：函数的返回值是函数执行完任务后返回的数据。

函数可以根据实际需要选择是否返回值，以及返回的数据类型。

1函数三要素

（Ⅰ）求集合A，B；
解：（Ⅰ）A=
= = ，
B= ．
二、值域
（一）选择、填空题
1.（2013，西城期末，13）已知函数，其中．当时，的值域是______；若的值域是，则的取值范围是______．
答案：，
2.（2014，朝阳二模，14）若存在正实数，对于任意，都有，则称函数在上是有界函数．下列函数
已知的定义域为，求的定义域的方法: ，求的取值范围即可.
4、相同函数：函数的三要素一致
判断两个函数是否为同一函数：①判断定义域是否相同；
②化简解析式是否相同.
三、函数的值域：
1.函数的值域是指在定义域的范围内函数的取值范围。（是指y的取值范围。）
2.函数值域的求法：
（1）直接法；
（2）二次函数；
解：（Ⅱ）
.
因为，所以，
所以 .
所以函数在上的取值范围是[ ].
3.（2013，丰台一模，15）已知函数
（Ⅱ）求函数在上的值域.
解：（Ⅱ），
，
，
在上的值域是 .
4.（2013，丰台期末，15）函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B．
（Ⅰ）求集合A，B；
解：（Ⅰ）A=
= = ，
B= ．
二、函数的定义域：
1.函数的定义域是指使得函数有意义的自变量x的取值。（注：专指x的取值范围。）
2.具体函数的定义域：
（1）分式的分母不等于0；
（2）偶次根式的根号内（被开方数）的式子大于或等于0；
（3）对数函数的真数要大于0；
（4）中不等于0。
（5）指数函数与对数函数的底大于0且不等于1.
（6）y=tanx中，x≠kπ+ ，k Z.

函数的三要素精讲

函数三要素一．函数的定义域 1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零 (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （7）复合函数定义域例1：求下列函数的定义域（1） 8|3x |15x 2x y 2-+--=（2） 2|1|)43(432-+--=x x x y（3） )103(log 22327---=x x y（4） y=xx x -+||)1(0; (5) y=232531x x -+-;(6) y=1·1-+x x .2：复合函数定义域：已知函数()f x 的定义域为(,)a b ,函数()g x 的定义域为(,)m n ,则函数[()]f g x 的定义域为()(,)(,)g x a b x m n ∈⎧⎨∈⎩，解不等式得结果。

例2：1.函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：（1）y=f(3x); (2)y=f(x1); (3)y=f()31()31-++x f x2.函数(2)x f 的定义域为[1,2],求2(log )f x 的定义域3．已知()f x 的定义域为［－2，2］，求2(1)f x -的定义域。

4．已知(21)f x +的定义域为［1，2］，求()f x 的定义域。

5．已知()f x 的定义域为［0，1］，求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的定义域。

6．已知函数1()1xf x x+=-的定义域为A ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B ，则 ()A A B B = ()B A B ≠⊂ ()C A B = ()D A B B =二．函数的值域1观察法：对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

3.1函数的定义及三要素

例5 若函数的定义域是R，求实数的取值范围
解：∵定义域是R,∴
∴
例6 若函数的定义域为[1，1]，求函数的定义域
解：要使函数有意义，必须：
∴函数的定义域为：
例7 已知的定义域为[－1，1]，求的定义域。
分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在[－1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。
另解：要使函数有意义，必须：
例4 求下列函数的定义域：
① ②
③ ④ ⑤
解：①要使函数有意义，必须：即：
∴函数的定义域为：[ ]
②要使函数有意义，必须：
∴定义域为：{ x| }
③要使函数有意义，必须：
∴函数的定义域为：
④要使函数有意义，必须：
∴定义域为：
⑤要使函数有意义，必须：
即x< 或x> ∴定义域为：
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．
点评：判断所给对应是否是函数，首先观察两个集合A，B是否是非空集合(数集)，其次验证对应关系下，集合A中数x的任意性，集合B中数y的唯一性．
巩固若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函数f：A→B的是()
当a＝b时，{x|a≤x≤b}＝{a}是单元素集：当a＞b时，{x|a≤x≤b}＝∅，这两种情况均不能用区间[a，b]表示．
题型一函数概念的理解

1、函数的定义、表示及三要素(最新 )

1. 函数的定义设A 、B 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使得对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()x f 与之对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：()x f y =，A x ∈.其中x 叫自变量，它的取值范围叫做函数的定义域；如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()a f y =或a x y =，所有函数值构成的集合{}|(),y y f x x A =∈叫做这个函数的值域．☆ 函数的三要素：定义域、对应关系和值域;其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系一确定，则值域也就确定了.2. 映射设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射．这时，称y 是x 在映射f 的作用下的象，记作()x f ，于是y =()x f ，x 称作y 的原象．映射f 也可以记为B A f →:，→x ()x f ，其中A 叫做映射f 的定义域（函数定义域的推广），由所有象()x f 构成的集合叫做映射f 的值域，通常记作()A f ．3．一一映射：如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射．4．函数与映射：对定义域内每个自变量的值，根据确定的法则对应唯一的函数值，函数值也在一个数集内变化．于是函数也就是数集到数集的映射．映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射．这里要注意：在映射中，要求元素的对应形式是“多对一”或“一对一”，一一映射中元素的对应形式必须是“一一对应关系”．5．函数的表示方法：表示函数常用的方法有列表法、解析法和图象法三种．列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．图象法：对于函数()x f y =（A x ∈）定义域内的每一个x 值，都有唯一的y 值与它对应．把这两个对应的数构成有序实数对()y x ,作为点P 的坐标，即P ()y x ,，则所有这些点的集合F 叫做函数()x f y =的图象，即{}(,)|(),F P x y y f x x A ==∈．这就是说，如果F 是函数()x f y =的图像，则图像上的任一点的坐标()y x ,都满足函数关系()x f y =；反之，满足函数关系()x f y =的点()y x ,都在图象F 上．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．解析法：如果在函数()x f y =, A x ∈中，()x f 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法（也称为公式法）．6．分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如⎩⎨⎧≤+>-=0,230,12x x x x y 、423-+=x y 等．7．求函数定义域：在中学阶段，所研究的函数大都是能用解析式表示的，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使函数解析式有意义的所有实数x 的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量x 所代表的具体量的允许范围．①分母不为零；②偶次方根下非负；③对数函数真数大于零；④0x y =，0≠x . 研究函数时常会用到区间的概念：定义名称符号数轴表示{}b x a x ≤≤ 闭区间 []b a ,{}b x a x << 开区间 ()b a ,{}b x a x <≤ 半开半闭区间 )[b a ,{}b x a x ≤<半开半闭区间](b a ,例题1：求下列函数的定义域（1）()43-=x xx f （2）()2x x f =（3）()2362+-=x x x f （4）()14--=x x x f☆ 如何判断两个函数是否为同一个函数：①看定义域是否相同，如果相同再看对应关系（解析式）是否一样.例题2：下列哪一组中的函数()x f 与()x g 相等？（1）()1-=x x f ， ()12-=xx x g （2）()2x x f =， ()()4x x g =（3）()2x x f = ， ()36x x g =例题3:画出下列函数的图象，并写出函数的定义域和值域.（1）x y 3= （2）xy 8=（3）54+-=x y （4）762+-=x x y例题4：已知函数()62-+=x x x f . （1）点（3，14）在()x f 的图象上吗？（2）当4=x 时，求()x f 的值；（3）当()2=x f 时，求x 的值.例题5：已知()12+=x x f ，则()()1-f f 的值等于（） A.2 B.3 C.4 D.5例题6:已知函数()x f 的定义域为()0,1-，则函数()12+x f 的定义域为（）A.()1,1-B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,1 C.()0,1- D.⎪⎭⎫⎝⎛1,21例题7:用区间表示下列数集：（1）{}=≥1x x （2）{}=≤<42x x （3）{}=≠->21x x x 且例题8:求下列函数的值域.（1）()1123≤≤-+=x x y ；（2）()x x f -+=42（3）x x y 422+--=例题9:已知函数()2211x x x f -+=.（1）求()x f 的定义域；（2）若()2=a f ，求a 的值；（3）求证：()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1求函数解析式(1) 配凑法求函数解析式：形如()[]x g f y =的函数解析式，一般也可以用换元法；例题1：已知函数()x x x f 21+=+，求()x f ；例题2：已知函数2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f ；(2) 换元法求函数解析式：形如()[]x g f y =的函数解析式；例题3：已知()x x f 2sin cos 1=-，求()x f 的解析式.(3) 待定系数法求函数解析式:已知所求函数类型；例题4：已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ，求()x f .(4) 方程组法求函数解析式：已知()x f 和⎪⎭⎫⎝⎛x f 1的关系式或者()x f 和()x f -的关系式.例题5：已知函数()x f 的定义域为()∞+，0，且()112-⎪⎭⎫⎝⎛=x x f x f ，求()x f ；函数的单调性与最值1、函数单调性定义：设函数()x f 在区间I 上有定义，如果对于这个区间上任意两个点和，当21x x <时，恒有()()21x f x f <，则称函数()x f 在区间I 上单调递增；如果对于这个区间上任意两个点和，当21x x <时，恒有()()21x f x f >，则称函数()x f 在区间I 上单调递减；单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数.如果函数()x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做()x f y =的单调区间.2、最值：对于任意的I x ∈,都有()M x f ≤或者()N x f ≥,这个N M 和便是函数()x f 在区间I 上的最大值和最小值. 用定义法判断函数的单调性例题1：已知函数()12-=x x f []()6,2∈x ，求函数的最大值和最小值.例题2：用定义法判断函数()12++=x x x f 在区间)(∞+-,1上的单调性.函数单调性的等价定义对于定义在D 上的函数()x f ，设1x ，D x ∈2，21x x <，则有：（1）()()()x f x x x f x f ⇔>--02121是D 上的单调递增函数；（2）()()[]()()x f x x x f x f ⇔>-⋅-02121是D 上的单调递增函数；（3）()()()x f x x x f x f ⇔<--02121是D 上的单调递减函数；（4）()()[]()()x f x x x f x f ⇔<-⋅-02121是D 上的单调递减函数.2x 1x 1x 2x函数的奇偶性一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么函数()x f 就叫做偶函数.（偶函数的图象一定是关于对称）一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么函数()x f 就叫做奇函数.（奇函数的图象一定是关于对称）判断函数的奇偶性方法：1.不对称：函数()x f 为非奇非偶函数；2.对称例题8:判断下列函数的奇偶性.（1）()4x x f = （2）()5x x f = （3）()xx x f 1+= （4）()21xx f = （5）()1122-+-=x x x f （6）()2433xx x f -+-=()x f y =求出定义域判断定义域是否关于原点对称 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧①()()x f x f =-，则()x f 为偶函数 ②()()x f x f -=-，则()x f 为奇函数③若以上两个式子都不满足，则()x f 为非奇非偶函数④若以上两个式子都满足，则()x f 既是奇函数又是偶函数函数。

函数的三要素(定义域、值域、对应法则)

函数的三要素函数的三要素是指定义域、值域、对应法则，每个要素里掌握的方向不一样。

定义域从具体函数和抽象函数两个方向去把握，值域掌握求值域的方法有哪些，对应法则也掌握的是方法有哪些。

下面一一介绍。

一、定义域1、具体函数定义域：主要从以下几个方面去掌握：(1)整式函数的定义域是全体实数。

(2)分式函数的定义域是使得分母不为0的自变量的取值。

(3)含有偶次根式是被开放数大于等于0(4)对数函数是真数大于0(5)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；2、抽象函数的定义域：此部分只需记住2句话即可：（1）、凡是出现定义域三个字，统统是指的取值范围。

（2）、相同准则条件下，相同位置取值范围一样。

通俗一句话就是括号里的取值范围一样。

3、实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．命题点1 求具体函数的定义域例1 求下列函数的定义域.(1)y ＝3－12x ； (2)y ＝2x －1－7x ；(3)y ＝(x ＋1)0x ＋2； (4)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x. 考点函数的定义域题点求具体函数的定义域解 (1)函数y ＝3－12x 的定义域为R . (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－7x ≥0，得0≤x ≤17，所以函数y ＝2x －1－7x 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，17. (3)由于0的零次幂无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1.又x ＋2>0，即x >－2，所以x >－2且x ≠－1.所以函数y ＝(x ＋1)0x ＋2的定义域为{}x | x >－2且x ≠－1.(4)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0，解得－32≤x ＜2，且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －32≤x ＜2，且x ≠0.例2 (1)、(2018·江苏)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．答案 {x |x ≥2}解析由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2，满足x >0，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．(2)、函数f (x )＝1xln x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4的定义域为________________．答案 [－4,0)∪(0,1)解析由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，x 2－3x ＋2>0，－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x <0或0<x <1，故函数f (x )的定义域为[－4,0)∪(0,1)．（3）、函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．答案 (0,1]解析函数的定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，1＋1x >0，1－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >0或x <－1，－1≤x ≤1，∴0<x ≤1.命题点2 求抽象函数的定义域1、设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________．答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a,1＋a ]∩[－a,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域； ②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．2、若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1) 答案 A解析函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，要使函数g (x )有意义，可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，故选A.命题点3 已知定义域求参数的值或范围例2 (1)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．答案－92解析函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92. (2)设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________．答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a,1＋a ]∩[－a,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. (4)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,4]解析由题意知，mx 2＋mx ＋1≥0对x ∈R 恒成立．当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－4m ≤0，得0<m ≤4，综上，m 的取值范围是[0,4]．二、对应法则函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法（例如一次函数、二次函数）；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法（构造方程组法）：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．命题角度1 待定系数法求函数解析式例1 已知f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝2x －1，求f (x )的解析式.解由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b＝a 2x ＋ab ＋b ＝2x －1，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，ab ＋b ＝－1， ∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1＋ 2.∴所求函数解析式为f (x )＝2x ＋1－2或f (x )＝－2x ＋1＋ 2.反思感悟适合用待定系数法求解析式的函数类型，通常为已知的函数类型，如一次函数，二次函数等.跟踪训练 f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )的解析式.考点求函数的解析式题点待定系数法求函数解析式解由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9， ∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.命题角度2 换元法(或配凑法)求函数解析式例2 (1)设函数f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( ) A.1＋x 1－x(x ≠1) B.1＋x x －1(x ≠1) C.1－x 1＋x(x ≠－1) D.2x x ＋1(x ≠－1) 答案 C解析令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t 1＋t(t ≠－1)， ∴f (t )＝1－t 1＋t (t ≠－1)，即f (x )＝1－x 1＋x(x ≠－1). (2)若f (2x ＋1)＝6x ＋5，求f (x )的表达式.考点求函数的解析式题点换元法求函数解析式解方法一设2x ＋1＝t ，则x ＝t －12， ∴f (t )＝6·t －12＋5＝3t ＋2. ∴f (x )＝3x ＋2.方法二 f (2x ＋1)＝6x ＋5＝3(2x ＋1)＋2，∴f (x )＝3x ＋2.反思感悟对于形如y ＝f (g (x ))的函数，求y ＝f (x )的解析式，通常用换元法，令t ＝g (x )，从中求出(x ＝φ(t ))，然后代入表达式，求出f (t )即得f (x )的表达式.特别注意：换元法要注意新元的范围.跟踪训练 (1)若g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2，则f (x )等于( ) A.4(1－x )2＋1(x ≠1) B.4(1－x )2－1(x ≠1) C.4(1－x )2(x ≠1) D.2(1－x )2－1(x ≠1)答案 B解析令g (x )＝1－2x ＝t ，则x ＝1－t 2(t ≠1)，代入得f (t )＝4(1－t )2－1(t ≠1)， ∴f (x )＝4(1－x )2－1(x ≠1). (2)若f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的表达式.考点求函数的解析式题点换元法求函数解析式解方法一设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数解析式为f (x )＝x 2＋2x －2.方法二 f (x ＋1)＝(x ＋1－1)2＋4(x ＋1－1)＋1＝(x ＋1)2＋2(x ＋1)－2，∴f (x )＝x 2＋2x －2.命题角度3 构造方程组求函数解析式例3 若f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的表达式.考点求函数的解析式题点方程组法求函数解析式解 ∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ，∴联立以上两式消去f (－x )，得3f (x )＝x 2－6x ，∴f (x )＝13x 2－2x . 反思感悟已知关于f (x )与f (－x )的表达式或f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).跟踪训练已知2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )的表达式.考点求函数的解析式题点方程组法求函数解析式解 ∵f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，将原式中的x 与1x互换，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x.于是得关于f (x )的方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x，解得f (x )＝23x －x 3(x ≠0). 三、求值域：求值域的方法：（1）分离常数法：适合分子分母都是一次函数（2）反解法（3）配方法（4）不等式法（5）单调性法（6）换元法（7）数形结合法（8）导数法例求下列函数的值域：(1)y ＝3x 2－x ＋2，x ∈[1,3]；(2)y ＝3x ＋1x －2；(3)y ＝x ＋41－x ；(4)y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝⎛⎭⎫x >12.解 (1)(配方法)因为y ＝3x 2－x ＋2＝3⎝⎛⎭⎫x －162＋2312，所以函数y ＝3x 2－x ＋2在[1,3]上单调递增．当x ＝1时，原函数取得最小值4；当x ＝3时，原函数取得最大值26.所以函数y ＝3x 2－x ＋2(x ∈[1,3])的值域为[4,26]．(2)(分离常数法)y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ≠3}．(3)(换元法)设t ＝1－x ，t ≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t ≥0)，所以y ≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]．(4)(均值不等式法)y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x (2x －1)＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12，因为x >12，所以x －12>0，所以x －12＋12x －12≥2⎝⎛⎭⎫x －12·12⎝⎛⎭⎫x －12＝2，当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号．所以y ≥2＋12，即原函数的值域为⎣⎡⎭⎫2＋12，＋∞.思维升华配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制．换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解．二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用基本不等式求解．。

函数的概念-三要素的求法(整理版)

函数的概念,三要素的求法一、函数的概念：1．函数的概念：函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数记作：y = f (x )，x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x ) | x ∈A }叫做函数的值域. 显然，值域是集合B 的子集.（2）函数的表示方法1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.（3）典型例题：1. 函数y = f (x )表示（） A ．y 等于f 与x 的乘积 B ．f (x )一定是解析式 C ．y 是x 的函数 D ．对于不同的x ，y 值也不同2.下列各图中，可表示函数y =f (x )的图象的只可能是A B C D3. 下列四种说法中，不正确的是（）A ．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素4. 已知f (x ) = x 2 + 4x + 5，则f (2) = __ ，f (–1) = __ .5. 已知f (x ) = x 2 (x ∈R )，表明的“对应关系”是______，它是____→_____的函数.2.映射x y o x y o x y o xy o映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.看下面的例子：设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可；映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y ∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).例以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？（1）集合A = {P | P是数轴上的点}，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x是三角形}，集合B = {x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x是新华中学的班级}，集合B = {x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有惟一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有惟一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B 不是从集合A到B的一上映射.1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则,是不是映射？图1-2-2-21“一对一”或“多对一”的对应,即集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.例1，已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射？并说明理由：⑴ A=N，B=Z，对应法则：“取相反数”；⑵A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”；⑶A={1，2，3，4，5}，B=R ，对应法则：“求平方根”； ⑷A={α|00≤α≤900}，B={x|0≤x ≤1}，对应法则：“取正弦”.二、函数的三要素——定义域、值域、对应法则（a ）函数定义的理解.由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域. 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.(b) 区间的概念（1）不等式a ≤x ≤b ，用闭区间[a ，b ]表示；（2）不等式a ＜x ＜b ，用开区间(a , b )表示；（3）不等式a ≤x ＜b (或a ＜x ≤b )用半开半闭区间[a ，b ](或(a ，b ])表示；（4）x ≥a ，x ＞a ，x ≤b ，x ＜b 分别表示为[a ，+∞)，(a , +∞)，(–∞, b ]，(–∞, b ).1.定义域的求法：例1：列函数中哪个与函数y = x 相等？（1）1()2f x x =-；（2）()32f x x =+；（3）1()12f x x x =++-.（4）3212+=x y（5）1||142-+-=x x y（6）||13x x x y +-=求函数的定义域的类型：一、含分式的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。

函数三要素

知识脉络梳理●函数三要素
【求函数定义域】
具体函数（有解析式的）
0)x ≥；1(0)x x
≠；log (0)a x x >等.
抽象函数（无解析式的） ①函数的定义域仅指x 的取值范围；
②同一法则下，所有f 后“（）”里的式子的取值范围相同.
【求函数解析式】
介绍4中方法如下：
1、配方法，如：已知22
11()f x x x x +=+
，求()f x 的解析式 2、换元法，如：已知1()31x f x x -=+，求()f x 的解析式 3、待定系数法，如：已知()f x 为一次函数，且[()]49f f x x =+，求()f x 的解析式
4、函数方程法，如：已知2()2()f x f x x +-=，求()f x 的解析式
【求函数值域】
1、一次函数类型
如：求函数13y x =-，[1,5]x ∈的值域
2、二次函数类型（关键：求对称轴）
如：求函数245y x x =-+，[1,7]x ∈的值域
求其它可转化为二次函数的函数的值域（换元）
如：①求函数y x =-
②求函数4321x x y =-•+，[0,2]x ∈的值域
③求函数1
124(log )(log )24
x x y =•的值域 3、cx d y ax b
+=+型（图象可由反比例函数图象平移得到）一般可用2种方法求解：①常数分离法 ②反解法
4、双钩函数类型
如：求函数1y x x
=+的值域。

函数的三要素

函数一、定义域求函数()y f x =的定义域时通常有以下几种情况：①如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；②如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；③如果()f x 为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； ④如果()f x 是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合。

例1：求下列函数的定义域：（1）；24)(++=x x x f（2）()f x =131-+--x x ；（3）1()2f x x =-，求()y f x =，(1)y f x =+的定义域例2．简单的抽象函数的定义域的求法解题思想：①求定义域就是求x 的范围 ②放在括号里的范围相同1．已知函数f （x ）的定义域为(0，1)，求f （x -2）的定义域.2．若函数(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________3．已知函数f （2x ＋1）的定义域为(0，1)，求f （x ）的定义域.二、函数的解析式例3．（1）已知ƒ (x+1)= x 2+x 求ƒ (x)（2）已知ƒ (x -x 1) = (x +x 1)2 求ƒ (x)( 3 ) 已知2ƒ (x) + ƒ (x 1)= x 求函数ƒ (x)（4）已知ƒ[ ƒ (x) ]= 2x – 1, 求一次函数ƒ (x)练习：1. 已知2()43f x x x =-+，求(1)f x +；2. 已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．3．已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式；4. 已知3311()f x x x x +=+，求()f x例4．若函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域为R ，求实数k 的取值范围．三、函数的值域例5: 求函数541x y x +=-的值域。

函数三要素

一、函数的三要素：定义域、值域、对应法则。

判断两个函数是否相同需要判断哪两个要素：例1：下列四组函数中，是同一组函数的是（） A ．()f x x =，()g x =()f x =()2gx =C.()211x f x x -=-，()1g x x =+ D. ()f x =()g x =二、求函数定义域1.具体函数的定义域：1）分式函数：()()f x yg x =，定义域要求()0g x ≠。

2）偶次根式)*2,y n k k N ==∈的定义域要求()0f x ≥。

3）()0y f x =⎡⎤⎣⎦的定义域要求()0f x ≠。

4）对数函数的复合函数()()log 0,1a y f x a a =>≠的定义域要求()0f x >。

例2：求下列函数的定义域1)())1f x x =- 2)()1111f x x=++3) ()()22log 32f x x x =--- 4）()f x =2.抽象函数的定义域：如果一个函数没有给出具体的解析式，那么这个函数就叫做抽象函数。

1）已知()f x 的定义域为[],a b ，则求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域时，我们令()a g x b ≤≤，解出来的x 的范围就是()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域。

2）已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，则求()f x 的定义域时，我们求出()g x 在[],a b 上的值域就是()f x 的定义域。

3）已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，则求()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域时，先根据()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域按照2）中的方法求出()f x 的定义域，再根据()f x 的定义域按照1）中的方法求出()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域。

例3： 1）已知()f x 的定义域为()1,2，求()12f x -的定义域。

2）已知()12f x -的定义域为()1,2，求()f x 的定义域。

函数的概念三要素的求法

函数的概念三要素的求法函数是数学中的一个重要概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。

函数有许多不同的定义方式，但最常见和最基本的定义是：函数是一个集合，它把一个给定的输入（称为自变量）映射到一个特定的输出（称为因变量）。

函数在数学中有广泛的应用，在几乎所有的数学分支中都起着重要的作用。

一个函数通常用一个方程式或者一段描述来表示。

例如，y=f(x)表示了一个函数，其中y是x的函数，并且通过方程式y=f(x)可以计算出y的值。

这里的f表示函数的名称或者函数符号。

一个函数由三个要素组成，它们分别是定义域、值域和对应关系。

首先是定义域。

定义域是函数的自变量（一般用x表示）的所有可能取值的集合。

换句话说，定义域是使得函数有意义的自变量的值。

在实际问题中，定义域可以是各种各样的数集，例如实数集、整数集、有理数集等等。

有时候，由于特定的限制条件，定义域可能只是一个特定的子集，而不是整个数集。

需要注意的是，对于一些函数，定义域可能有一些特殊的限制，例如分母不能为零或者不能取负数等等。

其次是值域。

值域是函数的因变量（一般用y表示）的所有可能取值的集合。

换句话说，值域是函数所能达到的所有值的集合。

值域可以是实数集、整数集、有理数集等等，根据具体问题的要求而定。

需要注意的是，对于有些函数，值域可能有一些特殊的限制，例如函数值只能取正数或者只能取整数等等。

最后是对应关系。

对应关系指的是自变量和因变量之间的一一对应关系。

换句话说，对于定义域中的每一个自变量值，函数有唯一确定的因变量值与之对应。

这个对应关系可以用函数图像、函数表等方式表示，以形象直观地展示函数的特点。

需要注意的是，函数的对应关系是唯一的，不会有两个不同的自变量值对应同一个因变量值的情况发生。

在求解一个函数的三要素时，首先要确定函数的定义域。

根据具体的问题，分析自变量可能的取值范围，排除那些使得函数无意义的自变量值。

然后要确定函数的值域。

根据具体问题的要求，分析因变量可能的取值范围，找出函数所能达到的所有值。

函数的三个基本要素

函数的三个基本要素函数是计算机编程中非常重要的概念，它可以将一组输入映射到一组输出。

在编程中，函数具有三个基本要素，分别是函数名、参数和返回值。

1.函数名：函数名是函数的唯一标识符，它用于在程序中调用函数。

函数名需要符合一定的命名规则，通常要求具有描述性和易于理解。

函数名一般由字母、数字和下划线组成，并且不能以数字开头。

一个良好的函数名能够清晰地表达函数的功能和用途，使代码更易于理解和维护。

2.参数：参数是函数中用来接收输入的变量。

参数可以有零个或多个，也可以有默认值。

参数的作用是将外界传入的数据传递给函数内部进行处理。

参数可以是基本类型（如整数、浮点数、布尔值等），也可以是对象或其他函数。

函数可以根据需要接收不同类型和数量的参数，从而具有更高的灵活性和适用性。

参数可以分为位置参数和关键字参数。

位置参数是按照参数在函数定义时的顺序进行传递的，而关键字参数是使用参数名进行传递的，可以不按顺序传递。

使用关键字参数可以提高代码的可读性和可维护性。

参数还可以设置默认值，当调用函数时没有显式传递该参数时，就会使用默认值。

默认值可以有效地简化函数调用，使代码更加简洁。

但需要注意的是，默认值的参数应该放在参数列表的最后，以避免造成调用时的歧义。

3.返回值：返回值是函数执行完毕后将结果返回给外界的值。

函数可以根据需要返回不同类型和数量的值，也可以没有返回值。

返回值使得函数的结果可以被其他代码使用，从而实现了代码的重用和模块化。

返回值的作用是将函数内部的计算结果传递给外界，以便进行后续的处理。

返回值可以是基本类型（如整数、浮点数、字符串等），也可以是对象或其他函数。

在函数中，使用关键字“return”来指定函数的返回值。

当执行到“return”语句时，函数将会立即停止执行，并将指定的值作为返回值返回给调用者。

在函数中，可以根据需要多次使用“return”语句，但只有第一个“return”语句执行后，函数才会结束并返回对应的值。

职教高考数学函数知识点

职教高考数学函数知识点函数是数学中一个重要的概念，它在职教高考的数学考试中占据着重要的地位。

掌握函数的相关知识点，对于考试的顺利通过至关重要。

本文将介绍职教高考数学中与函数相关的知识点，帮助考生更好地准备考试。

一、函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，它把一个集合的每个元素都对应到另一个集合的唯一元素上。

函数的定义包括定义域、值域和对应关系。

在考试中，考生需要注意函数的定义域和值域的确定方法，以及如何根据函数的定义来判断其为单调递增或单调递减函数。

二、基本函数1. 线性函数线性函数是函数中的一种基本类型，其表达式为y = kx + b，其中k和b为常数。

考生需要熟练掌握线性函数的图像特征、性质以及相关计算方法。

2. 幂函数幂函数的表达式为y = ax^n，其中a和n为常数。

考生需要了解幂函数的图像特征、性质，以及如何根据幂函数的图像进行求解和分析。

3. 指数函数指数函数的表达式为y = a^x，其中a为大于0且不等于1的常数。

考生需要掌握指数函数的图像特征、性质，以及指数函数与对数函数的互逆关系。

4. 对数函数对数函数的表达式为y = loga(x)，其中a为大于0且不等于1的常数。

考生需要了解对数函数的图像特征、性质，以及对数函数与指数函数的互逆关系。

三、复合函数与反函数1. 复合函数复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

考生需要了解复合函数的定义与计算方法，以及复合函数的性质。

2. 反函数反函数是指一个函数与其逆函数互为对方的对应关系。

考生需要了解反函数的定义与计算方法，以及如何判断函数是否存在反函数。

四、函数的极限与连续性1. 函数的极限函数的极限是指当自变量趋于某个值时，函数的取值趋于的一个确定值。

考生需要了解函数的极限的定义与计算方法，以及函数极限的性质和相关定理。

2. 函数的连续性函数的连续性是指函数在某点处的函数值与点处的极限值相等。

考生需要了解函数连续性的定义与判定方法，以及连续函数的性质与相关定理。

职中高三数学函数知识点

职中高三数学函数知识点高三是学生们人生中最关键的一段时期，他们将面临重要的考试和决策。

在这个阶段，数学是其中最重要的科目之一。

函数是数学中的一个重要概念，是高三数学的重点内容之一。

接下来，我将为大家介绍职中高三数学函数的知识点。

一、函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，它将一个变量映射到另一个变量上。

在数学中，可以用符号y=f(x)来表示函数。

其中，x称为自变量，y称为因变量，f(x)表示函数的取值。

函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

函数具有唯一性，即每个自变量对应一个确定的因变量。

二、函数的图像和性质函数的图像是函数在坐标系中的表示。

函数的图像可以通过绘制关联点来得到。

函数的性质包括奇偶性、单调性和周期性。

奇偶函数是指满足f(x)=f(-x)的函数，关于y轴对称；单调函数是指函数在定义域上递增或递减；周期函数是指存在正数T，使得f(x+T)=f(x)。

三、函数的常见类型与图像1. 常数函数：f(x)=c，表示函数的值始终为常数c。

其图像为水平直线。

2. 线性函数：f(x)=mx+b，其中m和b为常数，m表示斜率，b表示截距。

其图像为一条直线。

3. 平方函数：f(x)=x^2，其图像为一个开口向上的抛物线。

4. 立方函数：f(x)=x^3，其图像为一个开口向上的曲线。

5. 绝对值函数：f(x)=|x|，其图像为以原点为中心的V字形曲线。

四、函数的运算函数之间可以进行加减乘除等运算。

例如，对于函数f(x)和g(x)，可以定义如下运算：1. 求和：(f+g)(x)=f(x)+g(x)2. 差：(f-g)(x)=f(x)-g(x)3. 积：(f*g)(x)=f(x)*g(x)4. 商：(f/g)(x)=f(x)/g(x)，其中g(x)≠0五、复合函数复合函数是两个或多个函数的组合。

如果函数g可以作为函数f的输入，则可以定义复合函数h(x)=f(g(x))。

复合函数从外到内进行运算，即先计算内层函数的值，再计算外层函数的值。

中职教育数学《函数--复习》课件

奇偶性奇
偶
奇
单调性增 [0,+∞)增增 (-∞,0]减
非奇非偶
增
公共点 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
y=x-1
{x|x≠0} {y|y≠0}
奇 (0,+∞)减 (-∞,0)减
(1,1)
使函数有意义的x的取值范围。
求 1、分式的分母不为零.
定 2、偶次方根的被开方数不小于零.
调增函数，求实数a 的取值范围。
2
a≥-1
例题2、证明：函数 f (x) x 1 在 1,0 上为增函数。
x
题型：由（1）（2）推出（3），运用定义
变式1、讨论函数 f (x) x 1 的单调性。 x
例题3、已知 y f (x)是定义在(1,1)上的减函数，
且 f (1 a) f (2a 1)，则 a 的取值范围是_0__, _23__
函数的单调性：
如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1 , x2 ,当x1 < x2 时，都有 f (x1)<f (x2) ,那么就说f (x)在这个区间上是增函数。
如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1< x2 时，都有 f(x1)>f(x2) ,那么就说f(x)在这个区间上是减函数。
变式1、已知y f (x) 是定义在 (1,1) 上的奇函数，
函数在[0,1)上单调递增，满足f (1 m) f (m2 1) 0 ，则实数m 的取值范围是__(_0_,1_)_
一、函数的奇偶性定义
前提条件：定义域关于数“0”对称。 1、奇函数 f (-x)= - f (x) 或 f (-x)+f (x) = 0 2、偶函数 f (-x) = f (x) 或f (-x) - f (x) = 0

职校数学-数学函数-函数三要素

1 例1：求函数 f ( x) 的定义域。 x 5
函数的取值范围函数的定义域
1 f(x) x 5
解：
要使函数有意义，必须 x-5=0 即 x≠5 原函数的定义域为 {x|x≠5}
把函数的取值范围用集合表示
1
例2：求函数f ( x) 3x 4的定义域。
解：要使函数有意义，必须有 3x 4 0 4 x 3 函数f ( x) 3x 4的定义域是: 4 {x | x } 3
第三章
函数
第3讲函数三要素
学习内容
• 1 函数的定义域
• 2 函数的对应关系 • 3 函数的值域
新课导入
• 一个任意的三角形3个角之和等于180o，如果知道其中的2个角的角度，能不能算出第3个角的角度？
角A等于60o
角B等于60o
三角形内角和关系：在三角形中，只要知道其中的任意2个角，就能够计算出第3个角
{x|x≥-3/2}
(2). f ( x) 2x 3
课后作业 P43 课后练习习题A 1.（1），（2），（3）
轻松一刻
• • 四舍五入法，据说这是武则天发明的——四则舍，五则添！商店的打折,买两条裤子打8.8折，不过最后的结果要四舍五入到整元。两条裤子的价格是179和159元，这里就出现了两种计算价格的方式，一种是每条裤子打折以后相加；另一种方式就是将原价相加以后再打折，其实就是我们所知道的乘法分配率，似乎不会出现什么问题，但是因为涉及到了四舍五入，这里面就有猫腻可循若按第一种方式计算价格：
例5：函数f ( x) 2 x, 其中x 1, 2, 3, 4 f ( x)的值是多少？
解 : 2, 4, 6, 8

04函数三要素与函数图像

函数三要素与函数图像函数三要素：定义域、法则、值域。

通常定义域和法则确定了，值域也确定了，也可以称为函数两要素。

只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

例1：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？(1).弘=S t )(x~~— y 2=X-5(2).y 1=Vx+1Vx-1 y 2=J(x+l)(x-1) x+3(3)/(χ)=%g(χ)=√？ (4)./(χ)=%F(x)=V?(5)./(X)=(J2x-5)2f 2(x)=2x-5(1)解：不是同一函数，定义域不同(2)解：不是同一函数，定义域不同(3)解：不是同一函数，值域不同(4)解：是同一函数(5)解：不是同一函数，定义域、值域都不同1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为(C)(D 必=(A +3)(A —52,y 2=X_5；⑵M=JR+1J--I,y 2=J(x+l)(x-l)；x+3 ⑶/(x)=x,g(x)=G^;(4)∕(χ)=χ,g(x)=底'；(5)∕1(χ)=(√2x -5)2,f 2(x)=2x-5O A 、⑴、(2) B 、(2)、(3) C 、(4) D 、⑶、(5)2.下列四组函数中，表示同一函数的是(D)a -y=χ-1与y=√(x -ι)2b ∙y=√7τT⅛3.下列各组表示同一函数的是(C)A.与y=(√^)2B.y=lgx 2⅛y=21gxC.y=l+l⅛y=l+1D.y=x 2-1(x ∈R)与y=x2-1(χ∈N)VXXt 4.下列各组函数f (X )与g (X )的图象相同的是(D)_ A.f(x)=(x-1)°与g(x)=1B.f(x)=X 与g(x)2-4fχ(χ≥0) C.f(x)=- .................. , g(x)=x÷2D.f(x)=∣x ∣,g (x)=1X-2mI-X(x <0) 例2根据所给定义域，画出函数y=χ2-2χ+2的图象。