高等数学微分方程复习[1]

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高数第七章微分方程知识点

高数第七章微分方程知识点
高数第七章微分方程的知识点主要包括：
1. 微分方程的基本概念：微分方程是包含导数或微分的方程，一般形式为
f(x, y', ..., y^{(n)}) = 0。

微分方程的阶数是指微分方程中所含导数或微分的最高阶数。

微分方程的解是指使微分方程成立的函数，不含任意常数的解称为特解，若微分方程的解中所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，称这个解为通解。

2. 高阶微分方程：高阶微分方程是阶数大于一的微分方程。

例如，二阶常系数齐次线性微分方程，形如 y'' + py' + q = 0 (p, q为常数)的方程。

3. 齐次方程：齐次方程是一种特殊的微分方程，可以通过变量代换化为另一种形式的一阶微分方程。

一阶齐次方程的形式为dydx=φ(yx)，或者可化为这种形式的方程。

4. 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次幂的方程，形式为 dydx+P(x)y=Q(x)。

如果Q(x)=0，则方程为齐次的，反之为非齐次的。

以上内容仅供参考，建议查阅高数教材或咨询专业人士以获取更准确的信息。

微分方程复习要点

Cy6
．
第十九页，共六十一页。
例4
求解微分方程
y
xy2 2x2y 3y3
．
解法1 此方程为齐次方程，作代换 y ux ，则有
u
x
d d
u x
u 3u2
2பைடு நூலகம்
，
分离(fēnlí)变量，得
3u2 2 d u 3 d x，
u(u2 1)
x
两边(liǎngbiān)积分，得
第二十页，共六十一页。
第三十页，共六十一页。
一、第七章要点(yàodiǎn)
1．一阶微分方程 2．可降阶的二阶微分方程
3．二阶线性微分方程的解的结构(jiégòu)
4．二阶常系数线性微分方程
第三十一页，共六十一页。
1．一阶微分方程(wēi fēn fānɡ chénɡ)
1)可分离变量(biànliàng)的微分方程
类型
3u2 u(u 2
2 1)
d
u
3
ln
|
x
|
ln
C
，
3u2 2
2u
由于
(yóuyú)
u(u2 1) d u
( u
u2
) 1
d
u
2
ln
|
u
|
1 2
ln(
u
2
1)
C1
，
故方程(fāngchéng)的通解为
u2 u2 1 C ， x3
即
y2 x2 y2 C ．
第二十一页，共六十一页。
解法(jiě fǎ)2 方程变形为
第七页，共六十一页。
2)若 y*是方程⑴的特解，则方程⑴有通解 y C1y1 C2 y2 y* ．

微分方程复习要点

则方程有特解
y* xk e x[Rn1 (x) cos x Rn2 (x) sin x]，其中Rn1 (x), Rn2 (x)是n次的多项式，n max{ m, l}，而 k按 i 是否为特征方程的根而分别取1或0．
二、例题选讲
例1 求解方程 y d x (x2 4x) d y 0．
arctan p y C1 ，
即
y tan( y C1)，
分离变量后，再两边积分得
ln | sin( y C1) | x ln C2 ，
从而得方程的通解
sin( y C1) C2 ex ．
例6 求下列方程的通解
1. 4 y 20 y 25 y 0； 2. y 2 y x e2x ；
解原方程变形为
d x 3 x y3x1 ， dy y
即
d(x2 ) 6 (x2 ) 2 y3 ，
dy y
此是关于函数 x2 f ( y)的一阶线性非齐次线性微分方程，
由求解公式得
x2

e

6 y
d
y

2y3
e

6 y
d
y
d
y

C

y6 2
则方程有特解
y* e x xkQm (x)，其中Qm (x)是一个与 Pm (x)同次的多项式，而
k 10，，若若不是是特特征征方方程程的的单根根，， 2 ，若是特征方程的二重根．
②设方程
y py qy e x[Pl (x) cos x Pm (x) sin x]，
2 1)
d
u

高等数学-第七章-微分方程

即求 s = s (t) .
制动时
常微分方程
偏微分方程
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
(本章内容)
( n 阶显式微分方程)
微分方程的基本概念
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
的阶.
分类
或
— 使方程成为恒等式的函数.
通解
— 解中所含独立的任意常数的个数与方程
于是方程化为
(齐次方程)
顶到底的距离为 h ,
说明:
则将
这时旋转曲面方程为
若已知反射镜面的底面直径为 d ,
代入通解表达式得
一阶线性微分方程
第四节
一、一阶线性微分方程
*二、伯努利方程
第七章
一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式:
若 Q(x) 0,
若 Q(x) 0,
称为非齐次方程 .
第七章
一、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
令
代入原方程得
两边积分, 得
积分后再用
代替 u,
便得原方程的通解.
解法:
分离变量:
例1. 解微分方程
解:
代入原方程得
分离变量
两边积分
得
故原方程的通解为
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
( C 为任意常数 )
此处
例2. 解微分方程
例4
例5
例6
思考与练习
求下列方程的通解 :
提示:
(1) 分离变量
(2) 方程变形为
作业
P 298 5(1); 6 P 304 1 (1) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 6

高等数学第十二章微分方程

2
dy 1 dy y 2 y 2 。这是贝努利方程，解出 ? ，得 dx x dx
对于这些类型的方程，它们各自都有固定的解法。如
果所给的方程按上述思路不能转化为已知类型的方程，这时常用的方法和技巧如下： A.熟悉常用的微分公式； B.选取适当的变量代换，转化成上述可解类型的方程； C．变换自变量和因变量（即有时把 y看成自变量，而考虑
dx 的方程类型）。 dy
一阶微分方程的解题方法流程图如下。
解题方法流程图
求Pdx Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 No Yes
P Q y x
dy 解出 dx = f ( x, y )
No
可分离变量方程
全微分方程
齐次方程
dy y ( ) dx x
dy P ( x ) y Q( x ) dx
一阶线性方程
dy P ( x ) y Q( x ) y n dx
dy y （2）齐次方程： dx x
dy P ( x ) y Q( x ) （3）一阶线性微分方程： dx
dy n （4）伯努利方程： P ( x ) y Q( x ) y ( n 0,1) dx
（5）全微分方程：P ( x , y )dx Q( x , y )dy 满足 ,0
y dy du u x 解：令 u ,于是 y ux , ,上式可化为 x dx dx
du 1 u cos u u x sec u u dx cos u
du sec u , 为可分离变量的方程即x dx
分离变量积分得所以故原方程的通解为
dx cos udu x sin u ln x ln C

《微分方程复习》课件

02
详细描述：通过寻找全微分，并利用积分因子将其转化为可分离变量的微分方程，进而求解。
03
二阶及高阶微分方程
Chapter
二阶常系数线性微分方程
解的性质
01
二阶常系数线性微分方程的解具有特定的性质，这些性质包括
解的稳定性、周期性和振荡性等。
解的公式
02
二阶常系数线性微分方程的解可以使用公式法求解，其解的公
04
微分方程的应用
Chapter
物理问题中的应用
总结词
物理问题中，微分方程被广泛用于描述各种动态现象，如物体运动、波动、热传导等。
详细描述
在物理学中，微分方程被用来描述各种动态现象，如物体运动的速度和加速度，波动传播的速度和形状，以及热传导的热量分布等。这些微分方程可以帮助我们理解自然界的
规律，预测未来的变化，并优化设计。
高阶微分方程可以使用多种方法求解，如分离变量法、降阶法等。
欧拉方程
欧拉方程的定义
欧拉方程是一种特殊的常微分方程，其形式为y''(x) + f(x)y(x) = 0。
欧拉方程的解法
欧拉方程可以使用多种方法求解，如变量代换法、积分因子法等。
欧拉方程的应用
欧拉方程在许多领域都有应用，如物理学、工程学等。
在实际应用中，可以通过误差估计和收敛性分析来确定步长和迭代步数，以确保数值解的精度和可靠性。
06
复习题与答案
Chapter
复习题
A. 一阶线性微分方程可化为伯努利方程
1. 关于微分方程，下列说法错误的是
一、选择题
01
03 02
复习题
B. 高阶微分方程一定不是一阶微分方程 C. 伯努利方程是一阶线性微分方程 D. 欧拉方程是常系数线性微分方程

高等数学微分方程复习

(9) ( y4 − 3x2 ) dy +xydx = 0
提示: 提示可化为贝努里方程令 z = x2
机动目录上页下页返回结束
(10) y′ + x = x2 + y
提示: 提示令 u = x2 + y − x , 即 y = 2 xu + u2 , 则 du du dy = 2u + 2x + 2u dx dx dx 原方程化为
2x
= e−2x [ ∫ 4e4x d x + C ]
= e2x + Ce−2x 将 F(0) = f (0)g(0) = 0 代上， C = −1 入式得
于是
F(x) = e
2x
−e
−2x
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练习题: 练习题
P353 题1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10) ，， (题3只考虑方法及步骤)
先求齐次通解，再常数变易
转为z的一阶线性转为的一阶线性
或公式 y = e ∫
− P ( x ) dx
∫ P ( x )dx dx + C ] [ ∫ Q( x )e
1− n
Bernoulli y′ + P ( x ) y = Q( x ) y n (n ≠ 0,1) 令 z = y
全微分方程 P ( xy )dx + Q( xy )dy = 0 = dU ( xy )
1.折线积分折线积分 2.凑全微分凑全微分 3.定积分定积分
∂P ∂Q = ∂y ∂x
二阶线性方程 a0 (x) y′′ + a1(x) y′ + a2 (x) y = 0

微分方程复习资料

常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用一、基本概念1、常微分方程和阶2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、 0)(()()(≠=y Q y Q x p dx dy )2、齐次方程：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 三、一阶线性方程及其推广1、)()(x Q y x P dxdy =+ 2、)1,0()()(≠=+ααy x Q y x P dx dy 二、线性微分方程解的性质与结构二阶齐次线性方程 0)()(=+'+''y x q y x p y （1）二阶非齐次线性方程 )()()(x f y x q y x p y =+'+'' （2）1、若)(),(21x y x y 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合)()(2211x y C x y C +（21,C C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当)()()(21为常数λλx y x y ≠，也即)()(21x y x y 与线性无关时，则方程的通解为)()(2211x y C x y C y +=。

2、若()y x 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而)()(2211x y C x y C +为对应的二阶齐次线性方程的通解（21,C C 为独立的任意常数）则1122()()()y y x C y x C y x =++是此二阶非齐次线性方程的通解。

3、设)()(21x y x y 与分别是与)()()(1x f y x q y x p y =+'+'')()()(2x f y x q y x p y =+'+''的特解，则是)()(21x y x y + )()()()(21x f x f y x q y x p y +=+'+''的特解三、二阶常系数齐次线性方程q p qy y p y ,,0=+'+''为常数特征方程 20p q λλ++=特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式（1）当,042>-=∆q p 特征方程有两个不同的实根21,λλ则方程的通解为 x x e C e C y 2121λλ+=（2）当,042=-=∆q p 特征方程有而重根21λλ=，则方程的通解为x e x C C y 1)(21λ+= （3）当,042<-=∆q p 特征方程有共轭复根βαi ±,则方程的通解为 )sin cos (21x C x C e y x ββα+=四、二阶常系数非齐次线性方程方程为常数其中q p x f qy y p y ,)(=+'+''通解 1122()()y y C y x C y x =++ 其中)()(2211x y C x y C +为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。

微分方程复习要点

微分方程复习要点微分方程是数学中重要的分支之一，它是研究描述变量之间关系的方程。

微分方程在自然科学、工程技术、经济学等领域中有广泛的应用。

下面是微分方程的复习要点：1.微分方程的基本概念-求解微分方程即找到满足方程的函数表达式。

-通解是包含未知常数的解，可以通过给定的初始条件确定常数值得到特解。

-初值问题是给定初始条件的微分方程求解问题。

2.微分方程的分类-一阶微分方程：方程中最高阶导数为一阶。

-二阶微分方程：方程中最高阶导数为二阶。

-高阶微分方程：方程中最高阶导数为大于二阶的正整数。

3.常见类型的微分方程-分离变量型微分方程：方程中将变量分离后，两边可以分别积分得到解。

-齐次型微分方程：方程中将变量替换后，可以化为分离变量型微分方程。

-线性微分方程：方程中改写成导数形式后，可以通过积分因子或公式求得通解。

- Bernoulli微分方程：方程中通过变形后可以化为线性微分方程。

-恰当微分方程：方程中通过判断系数矩阵的偏导数可以判断是否为恰当微分方程。

4.高阶线性微分方程- 高阶线性微分方程的标准形式为$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_ny=f(x)$。

-特征方程的解给出了对应齐次线性微分方程的解的形式。

-利用特解的方法可以得到非齐次线性微分方程的通解。

5.常用的求解微分方程的方法-变量分离法：通过对方程中的变量进行分离积分得到解。

-齐次型微分方程的解法：通过变量变换将方程化为分离变量型微分方程。

-线性微分方程的解法：通过积分因子或公式求解。

-分步求解法：将高阶微分方程转化为一系列的一阶微分方程求解。

-变参数法：通过适当的参数选择将微分方程化为可解的形式。

6.常见的微分方程应用-弹簧振动方程：通过微分方程描述弹簧振动的行为。

-温度分布方程：通过微分方程描述材料的温度传导和热流。

-人口增长方程：通过微分方程描述人口数量的变化。

(完整版)高等数学期末复习考试之常微分方程部分

第11章常微分方程习题课一. 内容提要1.基本概念含有一元未知函数)(x y (即待求函数)的导数或微分的方程,称为常微分方程;其中出现的)(x y 的最高阶导数的阶数称为此微分方程的阶;使微分方程在区间I 上成为恒等式的函数=y )(x ϕ称为此微分方程在I 上的解;显然一个微分方程若有解,则必有无穷多解;若n 阶微分方程的解中含有n 个不可合并的任意常数,则称其为此微分方程的通解;利用n 个独立的附加条件(称为定解条件)定出了所有任意常数的解称为特解;微分方程连同定解条件一起,合称为一个定解问题;当定解条件是初始条件(给出)1(,,,-'n y y y Λ在同一点0x 处的值)时,称为初值问题.2.一阶微分方程),(y x f y ='的解法(1)对于可分离变量方程)()(d d y x xy ψϕ=, 先分离变量(当0)(≠y ψ时)得x x y ψy d )()(d ϕ=, 再两边积分即得通解 C x x y y +=⎰⎰d )()(d ϕψ.(2)对于齐次方程d d y y f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 作变量代换x y u =,即xu y =,可将其化为可分离变量的方程,分离变量后,积分得C x x u u f u +=-⎰⎰d )(d ,再以xy 代替u 便得到齐次方程的通解.(3)形如)(111d d c y b x a c by ax f x y ++++=的方程, ①若1,c c 均为零,则是齐次方程;②若1,c c 不全为零,则不是齐次方程,但当k b b a a ==11时,只要作变换y b x a v 11+=,即可化为可分离变量的方程111)(d d a c v c kv f b x v +++=; 当11b b a a ≠时,只要作平移变换⎩⎨⎧-=-=00y y Y x x X ,即⎩⎨⎧+=+=00y Y y x X x (其中),(00y x 是线性方程组⎩⎨⎧=++=++0 0111c y b x a c by ax 的惟一解),便可化为齐次方程)(d d 11Yb X a bY aX f X Y ++=. (4)全微分方程若方程0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P 之左端是某个二元函数),(y x u u =的全微分,则称其为全微分方程,显然C y x u =),(即为通解,而原函数),(y x u 可用曲线积分法、不定积分法或观察法求得. 通常用充要条件xQ y P ∂∂=∂∂来判定0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P 是否为全微分方程.对于某些不是全微分方程的0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P ,可乘上一个函数),(,y x μ使之成为全微分方程0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P μμ(注意到当0),(≠y x μ时0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P μμ与原方程同解),并称),(,y x μ为积分因子;一般说来,求积分因子比较困难,但有时可通过观察得到.(5)一阶线性微分方程)()(x Q y x p y =+'的通解公式当)(x Q 不恒为零时,称其为一阶线性非齐次微分方程;当)(x Q 恒为零,时,即0)(=+'y x p y 称为一阶线性齐次微分方程,这是一个可分离变量的方程,易知其通解为⎰=-x x p C Y d )(e ;由此用“常数变易法”即可得到非齐次微分方程的通解)(d e )(e d )(d )(⎰⎰+⎰=-x x Q C y x x p x x p .(6)对于Bernoulli 方程n y x Q y x p y )()(=+' (1,0≠n ),只需作变换n y z -=1,即可化为一阶线性方程)()1()()1(d d x Q n z x p n xz -=-+. 3.高阶方程的降阶解法以下三种方程可通过变量代换降成一阶方程再求解:(1)对于方程)()(x f y n =,令)1(-=n y z 化为)(x f z =';在实际求解中,只要对方程连续积分n 次,即得其通解n n n n C x C x C x x f x y ++++=--⎰⎰111d )(d Λ4434421Λ次. (2)对于),(y x f y '=''(不显含y ),作变换y P '=,则P y '='',于是化一阶方程),(P x f P =';显然对),()1()(-=n n y x f y 可作类似处理.(3)对于),(y y f y '=''(不显含x ),作变换y P '=,则y P P y d d ='',于是可化为一阶方程),(d d P y f yP P =.4.线性微分方程解的结构(1)线性齐次微分方程解的性质对于线性齐次微分方程来说,解的线性组合仍然是解.(2)线性齐次微分方程解的结构若n y y y ,,,21Λ是n 阶线性齐次微分方程的线性无关的解,则其通解为n n y c y c y c Y +++=Λ2211.(3)线性非齐次微分方程解的结构线性非齐次微分方程的通解y ,等于其对应的齐次方程的通解Y 与其自身的一个特解*y 之和,即*+=y Y y .(4)线性非齐次微分方程的叠加原理1ο设*k y (m k ,,2,1Λ=)是方程)()()()(1)1(1)(x f y x p y x p y x p y k n n n n =+'+++--Λ的解,则∑=*mk k y 1是方程∑=--=+'+++mk k n n n n x f y x p y x p y x p y11)1(1)()()()()(Λ 的解. 2ο若实变量的复值函数)(i )(x v x u +是方程=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n )()()(1)1(1)(Λ)(i )(21x f x f + 的解,则此解的实部)(x u 是方程)()()()(11)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++--Λ的解;虚部)(x v 是方程)()()()(21)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++--Λ的解.(5)线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系线性非齐次方程任意两个解的差是对应的齐次方程的解.5.常系数线性微分方程的解法(1)求常系数线性齐次微分方程通解的“特征根法”1ο写出01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n Λ的特征方程0111=++++--n n n n p r p r p r Λ，并求特征根；2ο根据特征根是实根还是复根以及重数写出通解中对应的项(见(2)下列两种情况可用“待定系数法”求常系数线性非齐次方程的特解ο1对于x m x P x f λe )()(=,应设特解x m k x Q x y λe )(=*x m m m m k a x a x a x a x λ)e (1110++++=--Λ, 其中k 等于λ为特征根的重数(n k ≤≤0),01,,,m a a a L 是待定系数.将*y 代入原方程,可定出01,,,m a a a L ,从而求得*y .ο2对于()e [()cos sin ]x l s f x P x x P x λωω=+ (0≠ω),应设特解 ]sin )(cos )([e x x T x x R x y m m x k ωωλ+=*,其中k 等于i μλω=+为特征根的重数(20n k ≤≤),)(),(x T x R m m 是待定的},max{s l m =次多项式.将*y 代原方程,即可定出)(),(x T x R m m ,从而求得*y .或因为()e [()cos ()sin ]x l s f x P x x P x x λωω=+Re e (()i ())(cos isin )x l s Px P x x x λωω⎡⎤=-+⎣⎦ (i )Re ()e x m Q x λω+⎡⎤=⎣⎦（其中()m Q x ()i ()l s P x P x =-是max{,}m l s =次的复系数多项式）.对于方程()(1)11n n n n y p y p y p y --'++++=L (i )()e x m Q x λω+可设其特解 (i )()e k x m Y x Z x λω*+=，（()m Z x 是m 次待定复系数多项式，k 等于i μλω=+为特征根的重数），将(i )()e k x m Y x Z x λω*+=代入方程()(1)11n n n n y p y p y p y --'++++=L (i )()e x m Q x λω+中，可定出()m Z x ，于是(i )()e k x m Y x Z x λω*+=，从而原方程的特解Re y Y **=.3o 特例(i )()(1)(i )11()e ()cos ()e ()sin ()e ,()e x x l l x l n n x n n l f x P x x f x P x x Y Z x y p y p y p y P x λλλωλωωω*+-+-==='++++=L 当或时,设将其代入,求得,Re Im .Y y Y y Y *****==则原方程的一个特解或6.Euler 方程的解法(1) 形如)(1)1(11)(x f y p y x p y x p y x n n n n n n =+'+++---Λ的线性变系数微分方程称为Euler 方程,是一种可化为常系数的变系数微分方程.(2) 解法只需作变换 t x e =,即x t ln =,即可将其化为常系数线性微分方程.若引入微分算子td d D =,则 y y x D =',y y x )1D(D 2-='',,Λy n y x n n )1(D )1D(D )(+--=Λ, 于是很容易写出对应的齐次方程的特征方程.7. 应用常微分方程解决实际问题的一般步骤(1) 在适当的坐标系下,设出未知函数)(x y y =,据已知条件写出相关的量;(2) 根据几何、物理、经济及其它学科的规律（往往是瞬时规律或局部近似规律）建立微分方程;(3) 提出定解条件;(4) 求定解问题的解;(5) 分析解的性质，用实践检验解的正确性.二.课堂练习(除补充题外,均选自复习题12)1.填空题(1)已知2e 1x y =及2e 2x x y =是方程0)24(42=-+'-''y x y x y 的解,则其通解为 )(e 212x C C x +.解:因2e 1x y =,2e 2x x y =都是解,且线性无关,故)(e 212x C C x +是通解.(2)设一质量为m 的物体,在空气中由静止开始下落 .若空气阻力为v k R =,则其下落的距离s 所满足的微分方程是s g m ''=, 初始条件是 (0)0,(0)0 s s '==. 解:因为ma F =,而v k mg F -=,s v '=,s a ''=,故得方程s m s k mg ''='-,化简得g s mk ='+''s ; 在如图所示的坐标系下,初始条件为 0)0(,0)0(='=s s . (3)微分方程x x y y y e 62=+'-''的特解*y 的形式为 )e ( 2x b ax x +.解: 因为特征方程为0122=+-r r ,121==r r ,而1=λ是二重特征根,故应设x b ax x y )e (2+=*.(4)若x x x x y x y x y 522322221e e ,e ,++=+==都是线性非齐次微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解,则其通解为25212 e e x x C C x ++.解:由线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系可O s (0)s ()s t知,x y y Y 2121e =-=, x y y Y 5232e =-=都是对应的齐次方程的解,且线性无关,故对应的齐次方程的通解为x x C C Y C Y C Y 52212211e e +=+=;由非齐次方程解的结构得其通解252211e e x C C y Y y x x ++=+=.(5)(补充)已知)(x f 满足⎰+=x t t f t x xf 0 2d )(1)(,则221() e x f x x =.解:两边对x 求导得)()()(2x f x x f x x f ='+,整理得()1()()f x x f x x'=-, 分离变量后积分得c x x x f ln ln 2)(ln 2+-=,即22e )(x x c x f =,0≠x ; 又当1=x 时,)1e (1d e 1)1(211 0 222-+=+=⎰c t t c t f t ,即c c c -+=2121e 1e 故1=c ,所以22e 1)(x xx f =. (6)(补充)设)(x f 有连续导数,且1)0(=f .若曲线积分⎰-+L y x x f x x yf 2d ])([d )(与路径无关,则 22e 3 )(--=x x f x .解: 记2)(),(x x f Q x yf P -==.因为积分与路径无关,故有xQ y P ∂∂=∂∂,即x x f x f 2)()(-'=,亦即x x f x f 2)()(=-'.它的通解为 ]d e 2[e ]d e 2[e )(d d c x x c x x x f x x x x +=+⎰⎰=⎰⎰--x c x e 22+--=. 由1)0(=f 得3=c ,于是22e 3)(--=x x f x .2π4(),=()1(0)π,(1) πe .y x y y x x y o x x y y αα∆=∆=+∆+==(7)(补充)已知在任意点处的增量其中，则解：由题设知，2d .d 1y y x x =+ arctan 12π4d d ln arctan ,e .1(0)ππ,(1)πe .x y xy x C y C y xy C y ==+=+===分离变量得，积分得即由得故2.选择题(1)函数221e c x c y +=(21,c c 为任意常数)是微分方程02=-'-''y y y 的(A) 通解. (B)特解.(C)不是解. (D)解,但不是通解,也不是特解.答( D )解:因为221e c x c y +=x c 2e =,经检验是解,但含有任意常数,故不是特解,又因为只含一个独立的任意常数,故也不是通解.(2)微分方程x y y 2sin 222='-'',其特解形式为=*y(A)x C x B A 4sin 4cos ++. (B)x Cx x Bx A 4sin 4cos ++.(C)x C x B Ax 4sin 4cos ++. (D)x Cx x Bx Ax 4sin 4cos ++. 答( C)解:x y y 2sin 222='-''1cos 4x =-,特解为***+=21y y y .因为022=-r r ,2,021==r r ,而0=λ是特征方程的单根,故应设Ax y =*1;而i 4i =+ωλ不是特征方程根,故应设x C x B y 4sin 4cos 2+=*,因此***+=21y y y x C x B Ax 4sin 4cos ++=.(3)微分方程x y x y y x d )45(d )2(+=-是(A)一阶线性齐次方程. (B)一阶线性非齐次方程.(C)齐次方程. (D)可分离变量方程.答( C )解:原方程可化为x yx y yx y x x y -⋅+=-+=245245d d .(4)(补充)具有特解x y -=e 1,x x y -=e 22, x y e 33=的三阶常系数线性齐次微分方程是(A)0=+'-''-'''y y y y . (B)0=-'-''+'''y y y y . (C)0=-'+''-'''y y y y . (D)0=+'-''+'''y y y y .答( B )解: 由方程的特解可知,其特征根为1,1321=-==r r r ,于是特征方程为0)1()1(2=-+r r 即0123=--+r r r ,故方程为0=-'-''+'''y y y y .(5)(补充)方程09=+''y y 通过点)1,(-π且在该点处与直线1πy x +=-相切的积分曲线为(A)x C x C y 3sin 3cos 21+=. (B)x C x y 3sin 3cos 2+=. (C)x y 3cos =. (D)x x y 3sin 313cos -=.答( D) 解:因为092=+r ,i 32,1±=r ,故通解为x C x C y 3sin 3cos 21+=.由初始条件1)(,1)(='-=ππy y 得31,121-==C C ,所以所求积分曲线为 x x y 3sin 313cos -=.(6)(补充) 方程x y y x sin 3e )4(+=-的特解应设为 (A)x B A x sin e +.(B)x C x B A x sin cos e ++.(C)x C x B Ax x sin cos e ++. (D))sin cos e (x C x B A x x ++.答(D)解:对应的齐次方程的特征方程为014=-r ,特征根为 i ,i ,1 ,14321-==-==r r r r .令)()(sin 3e )(21x f x f x x f x +=+=.对于x x f e )(1=,因1=λ是单特征根,故设x Ax y e 1=*;对于x x f sin 3)(2=,因i i μλω=+=是单特征根,故设)sin cos (2x C x B x y +=*；从而)sin cos e (21x C x B A x y y y x ++=+=***. (7)(06考研)函数212e e e x x x y C C x -=++满足的一个微分方程是 (A)23e x y y y x '''--=. (B) 23e x y y y '''--=. (C) 23e x y y y x '''+-=. (D) 23e x y y y '''+-=.答(D)解:因为121,2r r ==-，即特征方程为220r r +-=，故排除（A ）、（B ）.由1λ=是特征方程的单根，知()e x f x A =，故排除（C ）. 3.求下列方程的通解(2) ()x y y x y -=ln 2d d ; 解:方程化为y yx y y x ln 22d d =+,是一阶线性方程.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C y y y x y y yyd e ln 2e d 2d 12⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅=⎰C y y y y y d ln 2122 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛-=C y y y y 22241ln 2121221ln -+-=Cy y .(5)0d d d d 22=+-++y x yx x y y y x x ;解:原方程可化为()()0arctan d 21d 21d 22=⎪⎭⎫⎝⎛++y x y x ,故通解为C yx y x =++arctan 212122. (10) y x x y +=+'2.解:设y x u +=2,即y x u +=22,则x xu u x y2d d 2d d -=.代入原方程得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=121d d u x x u .此为齐次方程,再设xu v =,则x v x v x u d d d d +=,故方程化为v v x v x v 21d d +=+.分离变量为 x x v v v v d 112d 22-=--，两边积分得 ()()()12ln ln 1ln 3112ln 3112ln 21C x v v v v +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++---.代回原变量并整理得 ()C xy x y x ++=+23332.4.求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1)()0d 2d 223=-+y xy x x y ,11==x y;解:原方程化为()2232d d x xy y x y -=,即2322d d x yx y y x -=-.令1-=x Z ,得322d d yZ y y Z =+.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C y y Z y yyyd e 2ed 23 d 2()C y y +=ln 212,即 ()C y y x +=ln 2112,故通解为()C y x y +=ln 22.由11==x y,得1=C ,所以特解为 ()1ln 22+=y x y . (3)02sin 2=-''y y ,()20π=y ,()10='y ;解:令y P '=,则y P P y d d ='',原方程化为 y y yP P cos sin 2d d 2=,即y y P P sin d sin 2d 2=.积分得 C y P +=22sin .由()20π=y ,()10='y ,得0=C ,故y P y sin =='.解之得C x y+=2tan ln .由()20π=y ,0=C .故特解为 x y e arctan 2=.5(补充).设x y e =是微分方程x y x p y x =+')(的一个解,求此微分方程满足条件0)2(ln =y 的特解.解:将x y e =代入微分方程得)(e x p x x +x x =e ,解之得x x x p x -=-e )(,于是此微分方程为x y x x y x x =-+'-)e (,即1)1e (=-+'-y y x .其对应的齐次方程的通解为xxC Y +-=ee ,于是此微分方程的通解为xxx C y e ee +=+-.由0)2(ln =y 得21e--=C ,故特解为21e ee -+--=x xx y .6(补充).设)(:x y y L =是一条向上凸的连续曲线,其上任意一点),(y x 处的曲率为211y '+,且此曲线上点)1,0(处的切线方程为1+=x y ,求该曲线的方程.解:因为曲线向上凸,故0<''y ,于是有='+''-32)1(y y 211y '+,化简得二阶方程)1(2y y '+-=''.令y P '=,则P y '='',故方程化为)1(2P P +-='.分离变量后积分得x C P -=1arctan .由题设有1)0()0(='=y P ,于是可定出41π=C ,所以πtan()4y P x '==-,再积分得2πln cos()4y x C =-+.由1)0(=y 得2ln 2112+=C ,因此该曲线:L π1ln cos()1ln 242y x =-++. 7(补充).某湖泊的水量为V ,每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为6V ,流入湖泊内不含A 的水量为6V ,流出湖泊的水量为3V .已知1999年底湖中A 的含量为05m ,超过国家规定指标.为了治理污染,从2000年初起,限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过Vm 0.问至少需经过多少年,湖泊中污物A 的含量降至0m 以内?(注:设湖水中A 的浓度是均匀的.)解:设2000年初(记此时0=t )开始,第t 年湖泊中污物A 的总量为m ,浓度为V m ,则在时间间隔]d ,[t t t +内,排入湖泊中污染物A 的量为t mt V V m d 6d 600=⋅,流出湖泊的水中A 的量为t m t V V m d 3d 3=⋅,因而在此间隔内湖泊中污染物A 的改变量为t m mm d )36(d 0-=,005m m t ==.分离变量解得30e 2t C m m --=,由005m m t ==得029m C -=,故)e 91(230t m m -+=.令0m m =,解得 3ln 6=t ,即至少需经过3ln 6年湖泊中污物A 的含量降至0m 以内.8.求下列Euler 方程的通解(2)x y y x y x =+'-''642.解:设tx e =,方程化为 t y t yty e 6d d 5d d 22=+-.………………….（*）0652=+-r r ⇒21=r ,32=r . t t C C y 32 21e e +=. 设t a y e =*,代入方程（*），得 ()t t a a a e 65e =+-.由此定出21=a ,故ty e 21=*.从而原方程的通解为 x x C x C y 213221++=.9.设对于半空间0>x 内任意的光滑有向封闭曲面S , 都有0d d e d d )(d d )(2=--⎰⎰y x z x z x xyf z y x xf xS，其中()x f 在()+∞,0内具有连续的一阶导数,且()1lim 0=+→x f x ,求()x f .解:由曲面积分与曲面无关的条件0=∂∂+∂∂+∂∂zRy Q x P ,有 ()()()0e 2=--+'x x xf x f x f x ,即()()x x x f x x f 2e 111=⎪⎭⎫ ⎝⎛--'.所以 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-C x x x f x x x x x d e e 1e d 112d 11⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅=⎰-C x x x x x x x d e e 11e 2()C xx x +=e e 1.由()1lim 0=+→x f x ,即()1e e 1lim 0=++→C xx x x ,可求出1-=C ,故 ()()1e e 1-=x x xx f .10(补充).设函数)0)((≥x x y 二阶可导且1)0(,0)(=>'y x y .过曲线)(x y y =上任意一点),(y x P ,作该曲线的切线及Ox 轴的垂线,上述二直线与Ox 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间] ,0[x 上以)(x y y =为曲边的曲边梯形面积记为2S ,并设212S S -恒为1,求此曲线)(x y y =的方程.解:曲线)(x y y =上点),(y x P 处的切线方程为))((x X x y y Y -'=-.切线与Ox 轴的交点为)(0 ,)()(x y x y x '-.由1)0(,0)(=>'y x y ,知0)(>x y ,于是211()()()2()2()y x y x S y x x x y x y x ⎛⎫=--= ⎪''⎝⎭;而⎰=x t t y S 0 2d )( (0≥x );故由条件1221≡-S S 得1d )( 02=-'⎰x t t y y y ,由此还可得1)0(='y .将1d )( 02=-'⎰x t t y y y 两边对x 求导并整理得2)(y y y '=''.令P y =',则y P P y d d ='',于是方程化为P yP y =d d ,解之得y C P y 1==',由1)0(='y 和1)0(=y 得11=C ,于是y y =',从而x C y e 2=.再由1)0(=y 得12=C ,故所求曲线方程为x y e =.11(06考研).设函数()f u 在(0, )+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式22220zz x y ∂∂+=∂∂. （1）验证()()0f u f u u'''+=；（2）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式. 解: （1）由(),z f u u ==()2222223222()()()y z z x f u f u f u x x x y x y ∂∂''''==⋅+⋅∂∂++，()2222223222()()()y z z x f u f u f u y y x y x y ∂∂''''==⋅+⋅∂∂++. 因为22220z z x y ∂∂+=∂∂，所以有()0f u ''+=，即 ()()0f u f u u'''+=. （2）由（1）得11()f u C u '=+，由(1)1f '=知10C =，即1()f u u'=；于是得2()ln f u u C =+，由(1)0f =，得20C =，所以()ln f u u =.12(07考研).解初值问题2(),(1)1,(1) 1.y x y y y y ''''⎧+=⎨'==⎩解：令2,,(),y P y P P x P P '''''==+=则原方程化为即d 1.d x x P P P-=于是()11d d 111e e d d ().PPPP x C P P P C P P C P ---⎡⎤⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰由11d (1)1,0,d x yP y C P x='=====得且即解得322221,(1)1,33y x C y C =+==又由得故3221.33y x =+12（07考研）. 设幂级数0n n n a x ∞=∑在(, )-∞+∞内收敛，其和函数()y x 满足 240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--=== （I ）证明22,1,2,;1n n a a n n +==+L（II ）求()y x 的表达式.解：（I ）对0n n n y a x ∞==∑求一、二阶导数，得1212,(1),n n n n n n y na xy n n a x ∞∞--=='''==-∑∑代入240y xy y '''--=并整理得201(1)(2)240.nnnn n nn n n n n ax na x a x ∞∞∞+===++--=∑∑∑ 于是 202240,(1)(2)2(2)0,1,2,,n n a a n n a n a n +-=⎧⎨++-+==⎩L从而有 22,1,2,.1n n a a n n +==+L（II ）因为01(0)0,(0)1,y a y a '====故 20,0,1,2;k a k ==L212121*********,0,1,2,.21!!k k k k a a a a a k k k k k k k +---=======-L L所以22212121000()e ,(, ).!!k k nk x n k n k k k x x y a x a xx x x k k ∞∞∞∞+++=========∈-∞+∞∑∑∑∑213().()()3()6,()1().f x xf x f x x y f x x x D x f x '-=-==补充设满足且由曲线与直线及轴所围的平面图形绕轴旋转一周得到的旋转体的体积最小,求33d d 3232.()36,1()e6e d 6d 6.xx xx f x y y x x y f x C x x x C x x Cx x ---⎰⎰'-=-⎡⎤⎡⎤==+-=-⎰⎰⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+满足的方程解可写为其通解：()112322001265402()π()d π(6)d π(1236)d 36 π2.75V C f x x Cx x x C x Cx x xC C ==+⎰⎰=++⎰=++旋转体的体积为()2322π()π207,()0,777.()67.C V C C V C C f x x x '''=+==-=>=-=-令，得惟一驻点且故是极小值点，也是最小值点于是。

高数A(Ⅱ)总复习一 (微分方程、级数)

1 x

x ( x 1) e dx c

1 x x c ( xe c) e x x
f (1) = e 代入，得 c = 0
∴ f (x) = ex
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高等数学（A）I
2. 二阶常系数非齐次线性微分方程 y"- 4y' + 3y= 4xe3x 的
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1. 解微分方程 xf ( x) f ( x) （x 1)e x , f (1) e.
解:
1 x 1 x P( x) , Q( x) e x x
∴ 通解为
f ( x)
1 dx e x
1 dx x 1 x x e e d x c x
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6. 任意项级数的比值判别法和根值判别法
un 1 ∑un为任意项级数， lim ( 或 lim n | un | ) n un n
① ρ< 1 ，级数绝对收敛 ② ρ> 1 或为+∞，级数发散 ③ ρ= 1 ，另行判定
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n 1
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*例. 级数 A. 收敛;
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n2
(1) n n (1)
n
的收敛性为【 A 】 C．不确定； D. A, B, C 都不对
( n 2, 3,...)
B. 发散 ;
1 1 1 解： S2n-1 = 1 3 4 56 (2n 1) (2n)

《高等数学》第十二章复习要点

第十二章微分方程复习要点：一、了解微分方程的基本概念微分方程：表示未知函数﹑未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。

微分方程的阶：方程中未知函数的导数或微分的最高阶数。

微分方程的解：满足微分方程的函数。

通解: 含有与微分方程阶数相同个数的任意常数微分方程的解。

特解：满足初始条件的微分方程的解。

二、会解一阶微分方程1.可分离变量的微分方程定义：若一阶微分方程可整理成：dx x f dy y g )()(=，则称该微分方程为可分离变量的微分方程。

解法：方程两端同时求积分，即⎰⎰=dx x f dy y g )()(2.齐次微分方程定义：若一阶微分方程可整理成：)(xy y ϕ='，则称其为齐次微分方程。

解法：做变量代换，令xy u =，即ux y =，则u x u y '+=' 将原方程化为可分离变量的微分方程：dx xdu u u 1)(1=-ϕ ，求得其通解后再把x y u =代回即可得原微分方程的通解。

3.一阶线性微分方程定义：形如)()(x Q y x P y =+'的方程称一阶线性微分方程。

求解公式：])([)()(⎰+⎰⎰=-C dx e x Q e y dx x P dx x P4.全微分方程定义：若微分方程0),(),(=+dy y x Q dx y x P 的左端恰好是某二元函数),(y x u 的全微分，即),(),(),(y x du dy y x Q dx y x P =+,则称该微分方程为全微分方程。

判断方法：0),(),(=+dy y x Q dx y x P 的是全微分方程⇔=∂∂x Q yP ∂∂ 全微分方程通解为：C y x u =),(二、会解高阶微分方程1.)()(x f y n =型的微分方程特点：该方程中不显含)1(,,,,-'''n y y y y解法：连续积分n 次，得其通解).,,,(21n C C C x y ϕ= 2.),(y x f y '=''型的微分方程特点：该方程中不显含未知函数y解法：令)(x p y ='，将方程化为：),(p x f p ='，这是一阶微分方程，解之得其通解),(1C x p ϕ=，代回)(x p y ='得),(1C x y ϕ='，又是一阶微分方程，方程两端同时求积分即可得原方程的通解3．),(y y f y '=''型的微分方程特点：该方程中不显含自变量x解法：令)(y p y ='，则dydp y p y )(=''，原方程化为：),(p y f dy dp p =，这是一阶微分方程，解之得其通解为),(1C y p ϕ=，代回)(y p y ='得),(1C y y ϕ='，这是一阶可分离变量的微分方程，再解之就可得原方程的通解。

高数微分方程总结(一)

高数微分方程总结(一)前言高等数学（高数）是大学数学的重要基础课程之一，微分方程则是高等数学中的一大难点。

本文将对高数微分方程进行总结，希望能够对学习高数微分方程的同学提供一些帮助和指导。

正文什么是微分方程•微分方程是描述函数变化率的方程。

•包含未知函数、函数的导数及自变量的关系。

微分方程的分类1.常微分方程：–只包含有限个未知函数及其导数的方程。

–常微分方程的阶数为未知函数导数的最高阶数。

2.偏微分方程：–包含多个未知函数及其偏导数的方程。

–偏微分方程的阶数为未知函数偏导数的最高阶数。

微分方程的解法1.可分离变量法：–将未知函数与自变量的各项分离，在两边同时积分得到解。

2.齐次方程法：–换元化为可分离变量方程。

3.一阶线性方程：–使用积分因子法进行求解。

4.变量分离法：–将微分方程转化为关于不同变量的可分离变量方程。

5.常数变易法：–猜测一个常数解，进行代入验证，得到通解。

6.特征方程法：–对常数系数线性齐次微分方程，使用特征方程法求解。

微分方程应用领域•物理学：描述物理系统的运动规律。

•工程学：分析工程问题中的变化过程。

•经济学：研究经济发展、增长和波动等问题。

•生物学：描述生物体内的各种动态过程。

结尾通过对高数微分方程的总结，我们了解了微分方程的定义、分类以及常见的解法。

微分方程在许多学科领域都有广泛的应用，对于深入研究这些学科具有重要意义。

希望本文对正在学习高数微分方程的同学们有所帮助，加油！继续常见的微分方程类型•一阶线性常微分方程•一阶非线性常微分方程•一阶高阶常微分方程•二阶常系数齐次线性微分方程•二阶常系数非齐次线性微分方程•高阶齐次线性微分方程•高阶非齐次线性微分方程•可降阶的高阶微分方程微分方程的应用示例1.挂钟摆动的微分方程：–使用二阶常系数齐次线性微分方程描述，可求得钟摆的运动规律。

2.放射性衰变的微分方程：–使用一阶非线性常微分方程描述，可得到放射性物质的衰变速率。

3.电路中的无源电报方程：–使用二阶常系数非齐次线性微分方程描述，可分析电路中电流和电压的变化。

《微分方程复习大纲》课件

《微分方程复习大纲》 PPT课件
欢迎来到我们的《微分方程复习大纲》PPT课件！在这个课件中，我们将一起探索微分方程的定义、分类，以及解决这些方程的方法。
微分方程的定义和概念
1 微分方程的含义
解决自然现象中变化和关系的数学方程。包含未知函数及其导数的方程。
2 微分方程的分类
分为常微分方程（ODEs）和偏微分方程（PDEs），根据未知函数的变量类型进行分类。
常微分方程的基本解法
分离变量法
将未知函数分为多个表达式并分别性代数问题，利用特征根求解。
常系数线性微分方程法
利用特征根解常系数线性微分方程，得到通解。
常微分方程的数值解法
1
欧拉法
使用差分代替微分，逐步逼近微分方程的解。
2
龙格-库塔法
通过多次计算，提高数值解的精确度。
将解函数表示为傅立叶级数，逐步逼近方程的数值解。
应用实例和习题练习
物理学
模拟物体的运动、热传导、波动等现象。
经济学
预测经济发展、市场价格波动等。
工程学
分析电路、热传导、结构稳定性等问题。
数学建模
挑战各种实际问题，加深对微分方程的理解。
3
改进的欧拉法
控制步长大小，并提供更精确的数值解。
偏微分方程的基本解法
热方程
描述物体温度分布随时间变化的方程。
波动方程
描述波的传播和震荡的方程。
拉普拉斯方程
描述势场的分布和形状的方程。
偏微分方程的数值解法
有限差分法有限元法谱方法
将偏微分方程转化为差分表达式，并逐步计算数值解。
将解域划分为有限个单元，利用逼近函数计算数值解。

高数-微分方程总结

[(C0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]ex
若是k重共轭复根 i
17
６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x )
二阶常系数非齐次线性方程
2 1 1 1 x x x x x y [ ( ) x ]e e e . e 6 2 e 6 2
35
3
2
例８设 y p( x ) y f ( x ) 有一特解为 1 ，对应 x 的齐次方程有一特解为 x 2，试求：
（１） p( x ), f ( x ) 的表达式；（２）此方程的通解.
x3 x x2 x 原方程的一个特解为 y* e e , 6 2 x3 x x2 x y (C1 C 2 x )e x e e . 故原方程的通解为 6 2 1 y(1) 1, (C1 C 2 )e 1, 3 3 x x y [ (C1 C 2 ) (C 2 1) x ]e , 6
32
例6
求特解 y 2 y y xe x e x , y(1) y(1) 1.
特征方程 r 2 2r 1 0, 特征根
r1 r2 1,
解
对应的齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x )e x . 设原方程的特解为 y x (ax b)e ,
3
(3) 一阶线性微分方程
形如
dy P ( x ) y Q( x ) dx
上方程称为齐次的．上方程称为非齐次的.
P ( x ) dx
当Q( x ) 0,
当Q( x ) 0,
解法齐次方程的通解为 y Ce