信号与系统的时域和频域特性
第六章信号与系统的时域和频域特性
x(t)e j0t X ( j( 0 )) ——移频特性
7. Parseval 定理:
若 x(t) X ( j) 则
x(t) 2 dt 1 X ( j) 2d
2
这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以
在频域求得。由于 X ( j) 2表示了信号能量在频域的 分布，因而称其为“能量谱密度”函数。
yt由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过lti系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的频率响应
4.5 周期信号的傅里叶变换：
（ The Fourier Transform for periodic signals ） 至此，周期信号用傅里叶级数、非周期信号用傅里
若 x(t) X ( j) 则
dx(t) jX ( j) (可将微分运算转变为代数运算) dt
t (将 x(t) 1 X ( j)e jtd 两边对 微分即可证明)
2
t x( )d 1 X ( j) X (0) ()
j
——时域积分特性
cos 0t
1 [e j0t 2
e
j0t
]
X ( j) [ ( 0 ) ( 0 )]
X ( j)
0 0 0
例3： x(t) (t nT ) n
x(t)
X ( j)
(1)
t
2T T 0 T 2T
( 2 ) T
根据卷积特性，在频域有: Y ( j) X ( j)H ( j) • 频域分析的步骤：
信号与系统分析实验信号的频谱分析
实验三信号的频谱分析1方波信号的分解与合成实验1实验目的1. 了解方波的傅立叶级数展开和频谱特性。
2. 掌握方波信号在时域上进行分解与合成的方法。
3. 掌握方波谐波分量的幅值和相位对信号合成的影响。
2 实验设备PC机一台，TD－SAS系列教学实验系统一套。
3 实验原理及内容1. 信号的傅立叶级数展开与频谱分析信号的时域特性和频域特性是对信号的两种不同的描述方式。
对于一个时域的周期信号f(t)，只要满足狄利克莱条件，就可以将其展开成傅立叶级数：如果将式中同频率项合并，可以写成如下形式：从式中可以看出，信号f(t)是由直流分量和许多余弦（或正弦）分量组成。
其中第一项A0/2是常数项，它是周期信号中所包含的直流分量；式中第二项A1cos(Ωt+φ1)称为基波，它的角频率与原周期信号相同，A1是基波振幅，φ1是基波初相角；式中第三项A2cos(Ωt+φ2)称为二次谐波，它的频率是基波的二倍，A2是基波振幅，φ2是基波初相角。
依此类推，还有三次、四次等高次谐波分量。
2. 方波信号的频谱将方波信号展开成傅立叶级数为：n=1，3，5…此公式说明，方波信号中只含有一、三、五等奇次谐波分量，并且其各奇次谐波分量的幅值逐渐减小，初相角为零。
图3-1-1为一个周期方波信号的组成情况，由图可见，当它包含的分量越多时，波形越接近于原来的方波信号，还可以看出频率较低的谐波分量振幅较大，它们组成方波的主体，而频率较高的谐波分量振幅较小，它们主要影响波形的细节。
（a）基波（b）基波＋三次谐波（c）基波＋三次谐波＋五次谐波（d）基波＋三次谐波＋五次谐波＋七次谐波（e）基波＋三次谐波＋五次谐波＋七次谐波＋九次谐波图3-1-1方波的合成3. 方波信号的分解方波信号的分解的基本工作原理是采用多个带通滤波器，把它们的中心频率分别调到被测信号的各个频率分量上，当被测信号同时加到多路滤波器上，中心频率与信号所包含的某次谐波分量频率一致的滤波器便有输出。
信号与系统的时域和频域特性
6.3 理想频率选择性滤波器
The Ideal Frequency-Selective Filters 一. 滤波
通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相 位，甚至完全去除某些频率分量的过程称为滤波。
滤波器可分为两大类：
率成形滤波器（改变各分量的幅度与相位） 2.频率选择性滤波器（去除某些频率分量）
三. 群时延（Group Delay） 对线性相位系统，系统的相位特性表明了信号的
各个频率分量在通过系统时，系统对它所产生的附 加相移。相位特性的斜率就是该频率分量在时域产 生的时延。
对非线性相位系统，定义群时延为
() d H ( j) d
群时延代表了在以0为中心的一个很窄的频带或
很少的一组频率上信号所受到的有效公共延时。
在工程实际中，不同的应用场合，对幅度失真 和相位失真有不同的敏感程度，也会有不同的 技术指标要求。
例.swf（幅度失真和相位失真的影响）
6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
The Magnitude-Phase Representation of the Frequency Response of LTI Systems
考察一个中心频率为 的窄0 带输入信号，一个非
线性相位的系统在此窄带范围内，可将其相位的变 化近似看成线性的。因此，
Y ( j) X ( j) | H ( j) | e je j
该系统对窄带输入信号产生的近似效果就是：
1. 由| H( j) |引起的幅度成形；
2. 对应系统在0的恒定相位 的因子 e j 的影响；
本章主要内容
1. 傅立叶变换的模与相位。 2. LTI系统的幅频特性与相频特性，系统的失真。 3. 系统的不失真传输条件。 4. 理想滤波器的频域、时域特性及其不可实现性。 5. 非理想滤波器的特性及其逼近方式。 6. 一阶与二阶系统的分析方法，Bode图。
时域离散信号和系统的频域分析
序列的傅里叶变换的定义和性质
周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号的傅里叶变换之间 的关系 序列的Z变换 利用Z变换分析信号和系统的频域特性
2.1 引言
信号和系统的两种分析方法： 时域分析方法和频率分析方法 (1)模拟信号和系统 信号用连续变量时间t的函数表示； 系统则用微分方程描述；
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 2.2.2 序列傅里叶变换的性质
1. FT的周期性 在FT定义式中， n取整数， 因此下式成立
X (e j )
结论：
n
x( n)e j ( 2 M ) n , M为整数
(1) 序列的傅里叶变换是频率ω的连续周期函数，周期是2π。 (2) X(ejω)可展成傅里叶级数， x(n)是其系数。 X(ejω)表示了信 号在频域中的分布规律。 (3) 在ω＝0,〒2π,〒4π…表示信号的直流分量，在ω＝(2M＋1)π
j j
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质
(5) 研究FT的对称性 (a) 将序列x(n)表示成实部xr(n)与虚部xi(n)的形式
x(n)=xr(n)+jxi(n)
将上式进行FT， 得到: X(e jω)=Xe(e jω)+Xo(e jω)
j j j jjj n j n n j n n n
1 1 [ X (e jj ) X (e jj )] X e (e ) [ X (e ) X (e )] X e (e ) 2 2 1 j j ) 1 [ X ( e j ) X ( e j )] X o (e ) [ X (e j ) X (e j )] X o (e 2 2
时域和频域的关系
信号的频域在电子学、控制系统及统计学中，频域是指在对函数或信号进行分析时，分析其和频率有关部份，而不是和时间有关的部份，和时域一词相对。
函数或信号可以透过一对数学的运算子在时域及频域之间转换。
例如傅里叶变换可以将一个时域信号转换成在不同频率下对应的振幅及相位，其频谱就是时域信号在频域下的表现，而反傅里叶变换可以将频谱再转换回时域的信号。
以信号为例，信号在时域下的图形可以显示信号如何随着时间变化，而信号在频域下的图形（一般称为频谱）可以显示信号分布在哪些频率及其比例。
频域的表示法除了有各个频率下的大小外，也会有各个频率的相位，利用大小及相位的资讯可以将各频率的弦波给予不同的大小及相位，相加以后可以还原成原始的信号。
在频域的分析中，常会用频谱分析仪来将实际的信号转换为频域下的频谱。
频域，尤其在射频和通信系统中运用较多，在高速数字应用中也会遇到频域。
频域最重要的性质是：它不是真实的，而是一个数学构造。
时域是惟一客观存在的域，而频域是一个遵循特定规则的数学范畴。
正弦波是频域中唯一存在的波形，这是频域中最重要的规则，即正弦波是对频域的描述，因为时域中的任何波形都可用正弦波合成。
这是正弦波的一个非常重要的性质。
然而，它并不是正弦波的独有特性，还有许多其他的波形也有这样的性质。
正弦波有四个性质使它可以有效地描述其他任一波形：（1）时域中的任何波形都可以由正弦波的组合完全且惟一地描述。
（2）任何两个频率不同的正弦波都是正交的。
如果将两个正弦波相乘并在整个时间轴上求积分，则积分值为零。
这说明可以将不同的频率分量相互分离开。
（3）正弦波有精确的数学定义。
（4）正弦波及其微分值处处存在，没有上下边界。
使用正弦波作为频域中的函数形式有它特别的地方。
若使用正弦波，则与互连线的电气效应相关的一些问题将变得更容易理解和解决。
如果变换到频域并使用正弦波描述，有时会比仅仅在时域中能更快地得到答案。
而在实际中，首先建立包含电阻，电感和电容的电路，并输入任意波形。
第六章 信号与系统的时域和频域特性
1 x(t ) 2
1 X ( j )e e d 2
3.单位冲激信号
0
1 e σ α e dt α s 0 α s
α s t
L t t e std t 1
0
全s域平面收敛
L t t0 t t0 e std t e st0
1 st t de s 0
n! 所以 L t n1 s
n
9.6 常用拉氏变换对,注意收敛域 Some Laplace Transform Pairs
第பைடு நூலகம்
4
页
u(t )
e u(t )
at
1 S
1 sa
t u(t )
n
n! s n 1
1
(t )
对上式两边做拉氏变换：
1 1 1 (n) X ( s) x(0 ) 2 x(0 ) n 1 x (0 ) s s s
x
n 0
(n)
(0 )
1 s n 1
lim sX ( s) x(0 )
s
第
如果 x(t )是因果信号，且在 t 0 不包含奇异
第
10. 初值与终值定理: （The Initial- and Final- Value Theorems) 如果 x(t ) 是因果信号，且在 t 0不包含奇异
18
页
函数，则 x(0 ) lim sX ( s) ——初值定理
s
Proof:
t 0 时 x(t ) 0 ，且在 t 0 不包含奇异函数。
信号与系统的时域和频域特性
信号与系统的时域和频域特性6. 信号与系统的时域和频域特性⽬录6.1 傅⾥叶变换的模和相位表⽰连续时间傅⾥叶变换X(jω)的模-相表⽰为X(jω)=|X(jω)|e j∡X(jω)6.2 线性时不变系统频率响应的模和相位表⽰Y(jω)=H(jω)X(jω)所以|Y(jω)|=|H(jω)||X(jω)|∡Y(jω)=∡H(jω)+∡X(jω)所以|H(jω)|⼀般称为系统的增益(gain)，∡H(jω)⼀般称为系统的时移(phase shift)。
6.2.1 线性与⾮线性相位具有整数斜率的线性相位的系统所产⽣的输出就是输⼊的简单移位。
如果输⼊信号受到的是⼀个ω的⾮线性函数的相移，那么在输⼊中各不同频率的复指数分量都将以某种⽅式移位，从⽽在它们的相对相位上发⽣变化。
6.2.2 群时延如果系统对所有的频率分量都有相同的相位延时，那么信号经过该系统后，波形形状将之前完全相同，只是有⼀定的延时，但如果不同频率分量有不同的相位延时，那么信号经过该系统后将产⽣形变。
群时延(group delay)代表的就是某个频率及其周边频率的差异程度。
τ(ω)=−ddω{∡H(jω)}6.2.3 对数模和相位图通过取对数的⽅式可以将两个模的相乘转换为两个对数模的相加。
在⼀个对数标尺上展现傅⾥叶变换的模可以在⼀个较宽的动态范围内将细节显⽰出来。
⼀般所采⽤的对数标尺的单位：分贝。
采⽤20log10为单位的称为分贝(decibels)，20dB就对应于10倍的增益，6dB就近似对应于2倍增益。
20log10|H(jω)|和∡H(jω)对于log10(ω)的图称为伯德图(Bode)。
6.3 理想频率选择性滤波器的时域特性6.4 ⾮理想滤波器的时域和频域特性讨论由于理想滤波器物理上是不可实现的，所以在滤波器的通带和阻带之间允许存在⼀个过渡带。
由于理想低通滤波器的阶跃响应问题，在连续时间和离散时间的两种情况下，在跳变点附近呈现过冲和振荡的现象。
信号与系统分析第四章 连续时间系统的频域分析
(4.5)
Y(j)
H(j) F(j)
()y()f()
第四章 连续时间系统的频域分析
可见, |H(jω)|是角频率为ω的输出与输入信号幅度之 比, 称为系统的[HTH]幅频响应; φ(ω)是角频率为ω的输 出与输入信号的相位差, 称为系统的相频响应。 由于 H(jω)是h(t)的傅里叶变换, 因而当h(t)为实函数时, 由傅 里叶变换的性质可知, |H(jω)|关于ω偶对称, φ(ω) 关于ω 奇对称。
(4.1)
第四章 连续时间系统的频域分析
设系统的初始状态为零, 则y(t)为系统的零状态响应, 对上式两边取傅里叶变换, 并令 Yzs (jω)=F［y(t)］, F(jω)=F［f(t)］, 由时域微分性质, 可
[ j) ( n a n 1 ( j) n 1 a 1 ( j) a 0 ] Y z ( j s ) [ b m ( j) m b m 1 ( j) m 1 b 1 ( j) b 0 ] F ( j)
第四章 连续时间系统的频域分析
本章将讨论连续时间系统的频域分析。 系统的频 域分析就是把系统的激励和响应的关系应用傅里 叶变换从时域变换到频域, 在频域中求系统的响应或 分析系统的特性。 利用频域分析法求系统响应, 是 通过运用傅里叶级数或傅里叶变换, 将信号分解为一 系列正弦分量或虚指数信号(ejωt)之和或积分, 并将这 些单元信号作用于系统所得的响应进行叠加, 从而得 到完整的系统响应。
系统函数表征了系统的频域特性, 是频域分析的关 键。 系统函数的求解方法有如下几种:
第四章 连续时间系统的频域分析
(1) 若系统由微分方程给出, 则可以对微分方程两边 取傅里叶变换, 按照式(4.3)直接求取;
(2) 若给定系统的冲激响应, 则可以对其做傅里叶变 换来求取;
时域与频域概念总结
时域与频域概念总结最近在上数字图像处理，时域和频域的概念我没有直观的概念，搜索一下，归纳如下：1.最简单的解释频域就是频率域，平常我们用的是时域，是和时间有关的，这里只和频率有关，是时间域的倒数。
时域中，X轴是时间，频域中是频率。
频域分析就是分析它的频率特性！2. 图像处理中：空间域，频域，变换域，压缩域等概念！只是说要将图像变换到另一种域中，然后有利于进行处理和计算比如说：图像经过一定的变换（Fourier变换，离散yuxua DCT 变换），图像的频谱函数统计特性：图像的大部分能量集中在低，中频，高频部分的分量很弱，仅仅体现了图像的某些细节。
2.离散傅立叶变换一般有离散傅立叶变换和其逆变换3.DCT变换示波器用来看时域内容，频普仪用来看频域内容时域是信号在时间轴随时间变化的总体概括。
频域是把时域波形的表达式做傅立叶变化得到复频域的表达式，所画出的波形就是频谱图。
是描述频率变化和幅度变化的关系。
时域做频谱分析变换到频域;空间域做频谱分析变换到波数域;信号通过系统，在时域中表现为卷积，而在频域中表现为相乘。
无论是傅立叶变换还是小波变换，其实质都是一样的，既：将信号在时间域和频率域之间相互转换，从看似复杂的数据中找出一些直观的信息，再对它进行分析。
由于信号往往在频域比有在时域更加简单和直观的特性，所以，大部分信号分析的工作是在频域中进行的。
音乐——其实就是时/频分析的一个极好例子，乐谱就是音乐在频域的信号分布，而音乐就是将乐谱变换到时域之后的函数。
从音乐到乐谱，是一次傅立叶或小波变换；从乐谱到音乐，就是一次傅立叶或小波逆变换。
时域（时间域）——自变量是时间,即横轴是时间,纵轴是信号的变化。
其动态信号x（t）是描述信号在不同时刻取值的函数。
频域（频率域）——自变量是频率,即横轴是频率,纵轴是该频率信号的幅度,也就是通常说的频谱图。
频谱图描述了信号的频率结构及频率与该频率信号幅度的关系。
对信号进行时域分析时，有时一些信号的时域参数相同，但并不能说明信号就完全相同。
6信号与系统的时域和频域特性汇总
6.2.1 线性和非线性相位 一、线性与非线性相位 信号在传输过程中，相位特性或幅度特性发生改变都会引起信号 波形的改变，即发生失真。 当相位特性仅仅是附加一个线性相移时，则只是信号在时间 上的平移。
若连续时间LTI系统:
则
这种失真并没有丢失信号所携带的任何信息，只是发生时间上的 延迟，因而在工程应用中是允许的。 如果系统的相位特性是非线性的，不同频率分量受相位特性影响 产生的时移不同叠加起来一定会变成一个与原信号很不相同的信 号波形。 对离散时间LTI系统，也有同样的结论。但对线性相位系统，当 相位特性的斜率是整数时只引起信号的时间平移。
增加时延
| X ( j ) | e
j X ( j )
| X ( j ) | e
时移特性 time
j[ X ( j )t0 ]
X ( j )e x(t ) X ( j ) shifting
F 1
j t0
x(t t0 )
F 1
实函数
X ( j )
d X ( j ) Delay : 时延 d
1 2 x(t ) 1 cos(2 t 1 ) cos(4 t 2 ) cos(6 t 3 ) 2 3
x(t )
k
xk e jk 2 t
1 jφ1 1 jφ2 1 jφ3 a 0 =1; a1 = e ; a 2 = e ; a 3 = e 4 2 3 1 -jφ1 1 -jφ2 1 -jφ3 a -1 = e ; a -2 = e ; a -3 = e 4 2 3
1、改变输入信号各频率分量的幅度；
2、改变输入信号各频率分量的相对相位。 LTI系统频率响应的模和相位表示：
离散信号与系统的时域和频域分析
h(k n) an1h(k n 1) an2h(k n 2) ... a0h(k ) 0 K>0时， n 齐次差分方程解： k
h(k ) [ ci ( ) ] (k )
离散信号与系统分析
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本章说明
与连续信号与系统相比较，离散系统的数学描述是激励响应的差分方 程，其系统分析求响应实质是求解描述离散系统的差分方程。离散系 统的零状态响应可以用卷积和来求取。 时域分析： 1.掌握离散信号与系统的基本概念。 2.熟悉并掌握常用基本信号的描述、特性、运算与变换。 3.深刻理解采样定理的意义、内容及应用。 4.掌握离散系统的数学描述方法—差分方程及模拟图 5.掌握离散系统的时域分析—经典法求零输入响应、零状态响应。 6.熟悉卷积和法及其主要性质并会应用卷积和法求零状态响应。
4、图解法卷积
①变量代换 f1(n) 变成f1(k) f2(n) 变成f2( ②反折其中之一信号 ③将反折信号移位 m f2(-k) f2(m-k) 以k代n
④e将平移后的f2(m-k)与对应的f1(k)相乘 ⑤将各乘积值相加可画出全部y(m) ⑥重复步骤③到⑤可画出全部y(n) 5、系统零状态响应为
5、序列的运算
④差分：离散信号的差分运算 f (k ) f (k 1) f (k ) 前向差分： f (k ) f (k ) f (k 1) 后向差分： ⑤反折：将离散信号以纵轴为对称轴反折（转） ⑥压扩：将离散信号中f（k）的自变量k置换为ak得到的过程称为信号的尺 度变换 注意：不存在非整数ak的值！ ⑦求和：离散信号的求和运算是对某一离散信号进行历史推演的求和过程。
第六章信号与系统的时域和频域特性
§6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示 主要内容
频率响应的模和相位表示; 线性与非线性相位; 群时延; 对数模与Bode图
5
一、频率响应的模和相位表示
一个信号特征，可以完全由它的模和相位来表示，
而要改变一个信号，从根本上来讲，就是改变它的这两
个方面。 一个LTI系统，对输入信号的改变，包括： 1.改变输入信号各频率分量的幅度 2.改变输入信号各频率分量的相对相位
15
H j ~
20 lg H j ~
单位分贝（dB） decibels 横坐标为频率的指数增长
例如：任意一阶系统的波特图 dy (t ) y (t ) x (t ) dt 1. 时域特性
h(t ) e u (t )
1
t
s (t ) h (t ) u (t ) (1 e )u(t )
带宽范围内，满足不失真条件，则认为该
系统对这一信号是不失真系统。
11
三、群时延 jX j j H j Y ( j ) X j e H j e
线性相位系统可以这样来描述: 它是一个时移系统，它的相位特性 t 0的斜率，就是
该频率分量在时域产生的时移 t 0（或者说延时 t ）。 0 那么，信号通过此类系统时，谐波的相移必须与其频
它是一个时移系统它的相位特性的斜率就是该频率分量在时域产生的时移或者说延时那么信号通过此类系统时谐波的相移必须与其频率成正比也即系统的相位特性是一条通过原点的直线
第六章 信号与系统的时域和频域特性 主要内容
傅里叶变换的模和相位表示； LTI系统的模和相位表示； 理想选频滤波器的时域特性；
非理想滤波器的时域和频域特性讨论；
信号与系统实验指导书
信号与系统实验指导书实验一：信号与系统实验指导书实验目的：本实验旨在通过对信号与系统的实际应用，加深对信号与系统理论知识的理解和掌握程度。
具体实验目标如下：1. 学习使用示波器和信号发生器进行信号的产生与观测；2. 熟悉信号与系统实验中常用的信号类型，如正弦信号、方波信号等；3. 掌握信号的频谱分析方法，如傅里叶变换和功率谱估计；4. 理解系统的时域和频域特性，如冲激响应、单位脉冲响应和传递函数。
实验器材：1. 示波器（型号：XXXX）2. 信号发生器（型号：XXXX）3. 实验信号源（型号：XXXX）4. 电缆、连接线等实验辅助器材实验步骤：注意：在进行实验之前，请确保所有仪器设备连接正确，且电源线接地良好。
第一步：信号发生与观测1. 将信号发生器的输出端与示波器的输入端连接，在信号发生器上选择合适的信号类型和频率进行输出。
2. 调节示波器的触发模式和水平控制，使得信号在示波器屏幕上显示清晰。
3. 改变信号发生器的输出参数，观察示波器上信号的变化，并记录观测结果。
第二步：信号频谱分析1. 使用信号发生器产生一个频率为f的正弦信号，并将信号输入示波器。
2. 切换示波器的测量模式为频谱分析模式，选择傅里叶变换作为频谱分析方法。
3. 记录示波器上显示的频谱图像，并分析频谱图像中各谐波分量的相对强度和频率。
第三步：系统时域特性测量1. 使用信号发生器产生一个单位冲激信号，并将信号输入系统。
2. 通过示波器观测系统的响应信号，并记录系统对单位冲激信号的响应情况。
3. 切换示波器的触发模式，选择单次触发模式，以便更好地观察系统的响应。
第四步：系统频域特性测量1. 使用信号发生器产生一个频率为f的正弦信号，并将信号输入系统。
2. 通过示波器观测系统的输出信号，并记录观测结果。
3. 将示波器的触发模式设置为频谱分析模式，进行系统输出信号的频谱分析。
4. 根据频谱分析结果，分析系统在不同频率下的增益特性和相位特性。
《信号与系统》第3章
信号与系统讲稿
• 这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一 些特殊情形下应用的三角级数方法发展 成内容丰富的一般理论，三角级数后来 就以傅里叶的名字命名。 • 《热的解析理论》影响了整个19世纪分 析严格化的进程。
信号与系统讲稿
3.1
周期性信号的频域分析
教学目标：掌握周期性信号频谱的概念， 会用傅里叶级数表示周期信号。
或 E 2 E f (t ) T1 T1 n1 Sa 2 n 1
Cos( n1t )
若将展开指数形式的傅里叶级数，由式（8）可得：
1 Fn T1
T1 2 T 1 2
Ee
ห้องสมุดไป่ตู้
jn1t
E n1 dt Sa T1 2
幅度谱cn和相位谱 见书P104页。
特别注意：书P103 1． 2． 3． P105 “对称方波信号有两个特点： （1）它是正负交替的信号，其直流分量（a0 等于零。 （2） 它的脉宽等于周期的一半，即 ”
信号与系统讲稿 第三章
）
信号与系统讲稿
二． 三． 四． 五．
周期锯齿脉冲信号（书P106，自学） 周期三角脉冲信号（书P106，自学） 周期半波余弦信号（书P108，自学） 周期全波余弦信号（书P108，自学）
n 1
a0 d0 2 dn
2 2 an bn 1
n tg
an bn
n次谐波的初相角
信号与系统讲稿
三． 频谱的概念
f ( t )为时间函数，而c0、cn、n为频率函数， 所以，信号从用时间函数来表达过渡到用频率函 数来表达。 1. 幅度频谱：cn 随频率变化的情况用图 来表示就叫幅度频谱。 2. 相位频谱：n随频率变化的情况用图 来表示就叫相位频谱。
信号与系统中时域频域的对称性
信号与系统中时域频域的对称性【摘要】时域分析和频域分析是信号与系统中两个十分重要的分析角度，两者紧密联系，有着严格而又奇妙的对称性。
本文在介绍时域、频域基本概念的基础上，总结了其几点对称性：时域频域波形变化的快慢趋势是相反的；时域频域波形的宽度成反比；一个域的卷积对应的是另外一个域的乘积，一个域的离散化对应的是另外一个域的周期延拓。
点明了这些对称性研究的意义，并举例进行了说明。
【关键词】信号与系统；时域；频域；对称性引言信号与系统的是一个十分普遍的概念，广泛出现在各种领域中，与这些概念有关的思想和方法在很多科学和技术领域起着十分重要的作用，例如在通信、航天航空、电路设计、地震学、生物工程、语音处理等方面。
信号与系统这门课程是电气工程类的专业基础课程，是后续诸如通信原理、自动控制原理等课程的基础。
作为该课程核心的一些基本概念和方法，对于所有工程类的专业来说都很重要，其在复杂过程分析方面潜在的和实际的应用都在一直在扩大。
因此信号与系统方面的课程不仅是工程教学中一门最基本的课程，而且也能够成为工程类学生在大学阶段所修课程中最有得益而又引人入胜和最有用处的一门课[1]。
信号与系统这门课程的核心内容是信号、系统、及信号作用于系统的响应，在内容体系上具有很强的逻辑性。
一般情况下是先介绍信号，然后介绍系统特性，接下来是研究信号作用系统的响应，分别从时域、频域、复频域和Z域等角度对离散和连续的信号、系统进行研究。
这些不同的领域之间并非是独立的，而是有着密切的联系，有着很严格、很奇妙的对称性。
本文就其中的时域和频域之间的对称性进行简单的总结和说明。
1 信号与系统时域的基本概念信号与系统的时域分析，主要是从时域的角度出发，研究信号与系统的变化规律。
对于具体的信号而言就是以时间t为变量，研究信号的幅值随时间变化的规律，例如最常见的三角信号、指数信号、及冲激信号等。
对于系统的时域特性分析，主要是通过研究系统的单位冲激响应h（t）时域特性，来研究系统的特性。
信号与系统重要知识总结
基本概念一维信号：信号是一个独立变量的函数时，称为一维信号。
多维信号：如果信号是n 个独立变量的函数，就称为n 维信号。
归一化能量或功率：信号（电压或电流）在单位电阻上的能量或功率。
能量信号：若信号的能量有界，则称其为能量有限信号，简称为能量信号。
功率信号：若信号的功率有界，则称其为功率有限信号，简称为功率信号。
门函数：()g t τ常称为门函数，其宽度为τ，幅度为1因果性：响应（零状态响应）不出现于激励之前的系统称为因果系统。
因果信号：把t=0时接入的信号（即在t<0时，f(t)=0的信号）称为因果信号，或有始信号。
卷积公式：1212()()*()()()f t f t f t f f t d τττ∞-∞==-⎰梳妆函数：相关函数：又称为相关积分。
意义：衡量某信号与另一延时信号之间的相似程度。
延时为0时相似程度是最好的。
1212()()()R f t f t dt ττ∞-∞==-⎰前向差分： ()(1)()f k f k f k ∆=+-后向差分：()()(1)f k f k f k ∇=--单位序列：()k δ单位阶跃序列：()k ε基本信号：时间域：连续时间系统以冲激函数为基本信号，离散时间系统以单位序列为基本信号。
任意输入信号可分解为一系列冲积函数（连续）或单位序列（离散）的加权和。
频率域：连续时间系统以正弦函数或虚指数函数jwt e 为基本信号，将任意连续时间信号表示为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和（对于周期信号）或积分（对于非周期信号）。
DTFT ：离散时间信号，以虚指数函数2j kn N e π或j k e θ为基本信号，将任意离散时间信号表示为N 个不同频率的虚指数之和（对于周期信号）或积分（对于非周期信号）。
系统响应：()j t j t Ye H j Fe ωωω=正交函数集：n 个函数构成一函数集，如在区间 内满足正交特性。
复变函数的正交性均方误差：误差的均方值2ε帕斯瓦尔方程：j j j t t K C dt t f ∑⎰∞==12221)( 含义：)(t f 在区间),(21t t 信号所含能量恒等于此信号在完备正交函数集中各正交分量能量的总和。
频域和时域的物理意义
频域和时域的物理意义
频域和时域是数字信号处理中非常重要的概念，它们可以帮助我们更好地理解信号的特性和行为。
频域描述的是信号在不同频率下的表现，而时域描述的是信号在时间上的变化。
在频域中，我们可以通过傅里叶变换将时域信号转换成频域信号，得到信号的频率成分和相应的幅度。
这可以帮助我们分析信号的频率特性，比如它的主要频率、频带宽度等等。
在实际应用中，频域分析被广泛应用于音频信号处理、图像处理等领域。
在时域中，我们可以通过观察信号的时间响应来了解信号的行为。
时域信号可以用来描述信号的瞬时变化，比如信号的上升时间、下降时间、周期等等。
通过对时域信号进行分析，我们可以了解信号在时间上的特性，比如它的平稳性、周期性等等。
在实际应用中，时域分析被广泛应用于信号处理、控制系统等领域。
综合来看，频域和时域都具有非常重要的物理意义。
它们可以帮助我们更深入地了解信号的特性和行为，为我们解决实际问题提供了重要的工具和方法。
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❖ 本章的基本内容旨在建立对系统的时域和频域 特性进行综合分析的思想和方法。
6.1 傅里叶变换的模和相位表示
The Magnitude-Phase Representation of the Fourier Transform
2
e e • 离散傅立叶级数的基波成分为 j0n
jn N
k次谐波成分只有N个独立分量
2
jk
e
N
n
,k
0,1,, N
1
模拟信号 xa (t) 的一对傅立叶变换式为：
X a ( j)
xa
(t
)e
jt
dt
xa (t)
1
2
X
a
(
j)e
jt d
x(n) 的傅立叶变换式为：
X (e j ) x(n)e jn n
Y( j) X ( j)H( j)
Y( j) | X ( j) || H( j) |
Y ( j) H( j) X ( j)
6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示 一. 线性与非线性相位
信号在传输过程中，相位特性或幅度特性发生 改变都会引起信号波形的改变，即发生失真。
当相位特性仅仅是附加一个线性相移时，只引起 信号在时间上的平移。如连续时间LTI系统：
ln H( j) lg 单位：奈培（Np） 20lg H( j) lg 单位：分贝（dB） （decibel）
6.3 理想频率选择性滤波器
The Ideal Frequency-Selective Filters
一. 滤波 通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相 位，甚至完全去除某些频率分量的过程称为滤波。 滤波器可分为两大类： 1.频率成形滤波器（改变各分量的幅度与相位） 2.频率选择性滤波器（去除某些频率分量）
四. 对数模与Bode图
1.可以将模特性的相乘关系变为相加关系； 2.利用对数坐标的非线性，可展示更宽范围的频 率特性，并使低频端更详细而高频端相对粗略 3.对连续时间系统，可方便地建立模特性和相位 特性的直线型渐近线。
6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
四. 对数模与Bode图 工程中广泛应用的有两种对数模：
6.3 理想频率选择性滤波器
二. 理想频率选择性滤波器的频率特性 理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个（或
几个）频段内，频率响应为常数，而在其它频段内 频率响应等于零。
理想滤波器可分为低通、高通、带通、带阻。
滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的 通带（pass band ），完全不允许信号通过的频 段称为阻带（stop band）。
H ( j) e jt0 则 y(t) x(t t0 )
此时并未丢失信号所携带的任何信息，只是发 生时间上的延迟，因而在工程应用中是允许的。
6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
一. 线性与非线性相位
如果系统的相位特性是非线性的，由 于不同频率分量受相位特性影响所产生 的时移不同，叠加起来一定会变成一个 与原来信号很不相同的信号波形。
e j , | | c
H ( j)
0, | | c
则
h(t)
c
Sa
c
(t
)
sin c (t
(t )
)
h(t)
c /
t
三.理想滤波器的时域特性
h(t) c /
h(t)的波形：
t
不同于(t)的波形，产生了严重的失真。这是因为
理想低通滤波器是频带有限系统，而(t)的频带宽
度是无限的，经理想低通滤波器加工，必然对信号
的时延 。该时延就是系统在 0的群时延。
6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
四. 对数模与Bode图 在工程应用中，往往采用对数模特性（或称为
Bode图）来描述系统的频率特性。在对数坐标下， 采用对数模，可以给频率特性的表示带来一些方 便。这是因为:
N
H ( j)
bk ( j )k
k 0 N
三. 群时延（Group Delay）
群时延代表了在以0为中心的一个很窄的频带或
很少的一组频率上信号所受到的有效公共延时。
考察一个中心频率为 的窄0 带输入信号，一个非
线性相位的系统在此窄带范围内，可将其相位的变 化近似看成线性的。因此，
Y ( j) X ( j) | H ( j) | e je j
滤波器是非因果系统，在物理上无法实现。
实际的滤波器是它的逼近。
6.3 理想频率选择性滤波器
三.理想滤波器的时域特性 理想低通滤波器的单位阶跃响应
s(t) h(t) *u(t)
t c sin ctdt 1 ct sin xdx
ct
x
1
0 sin x 1 dx
ct sin xdx
6.5 一阶连续时间系统
First-Order Continuous-Time Systems 对由LCCDE描述的连续时间LTI系统，其频率响应为：
N
H ( j )
bk ( j )k
k 0 N
ak ( j )k
N ( j ) D( j )
k 0
其中：ak、 bk均为实常数。
6.5 一阶连续时间系统
系统为全通系统。
6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
二. 信号的不失真传输条件 h(t) k (t t0 ) ——时域表征
H ( j) ke jt0 , ——频域表征
H( j) k, H( j) t0
| H( j) |
0
H ( j)
0
通常，系统若在被传输信号的带宽范围内满足不 失真条件，则认为该系统对此信号是不失真系统。
6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
二. 信号的不失真传输条件
如果系统响应与输入信号满足下列条件，可视
为在传输中未发生失真。
y(t) kx(t t0 ) y(n) kx(n n0 )
这就要求系统的频率特性为
H ( j ) ke jt0
H (e j ) ke jn0
如果一个系统的幅频特性是一个常数，称这种
6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
The Magnitude-Phase Representation of the Frequency Response of LTI Systems
• LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面:
• 1. 改变输入信号各频率分量的幅度；
• 2. 改变输入信号各频率分量的相对相位。
在以前的讨论中，已经看到
• 在时域，系统的特性由 h(或t) 描h(n述) ；
❖ 在频域，系统的特性由 H ( 或j) H描(e述j ) ； 工程中设计系统时，往往会对系统的特性从 时域角度或频域角度提出某些要求。
6.0 引言 Introduction
❖ 在LTI 系统分析中，由于时域中的微分（差分） 方程和卷积运算在频域都变成了代数运算，所以利 用频域分析往往特别方便。
6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
三. 群时延（Group Delay）
Y ( j) X ( j) | H ( j) | e je j
该系统对窄带输入信号产生的近似效果就是： 1. 由| H( j) |引起的幅度成形；
2. 对应系统在0的恒定相位 的因子 e j 的影响；
3. 对应系统在窄带内的近似线性相位 所产生
6.3 理想频率选择性滤波器
二. 理想频率选择性滤波器的频率特性
1
c
0
c
低通
1
c 0 c
高通
2 1
1
0 1 2
1
2 1
0 1 2
带通
带阻
连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性
数字滤波器的分类
低通
-2
-
0
高通
-2
-
0
带通
-2-0来自带阻-2-
0
2 2 2 2
6.3 理想频率选择性滤波器
三.理想滤波器的时域特性
波形产生影响：
凡是高于c的频率分量都衰减为零。
三.理想滤波器的时域特性 h(t)的波形： 1、 (t)在t=0时刻作用于系统，而系统响应h(t)在
t=td时刻才达到最大峰值，表明系统有延 时作用；
2、h(t) 比(t)的波形展宽了许多，表明(t)的 高频分量被滤波器衰减掉了；
3、冲激响应h(t)在t<0时，响应值已经存在， 即系统的响应超前于激励，所以：理想低通
6.1 傅里叶变换的模和相位表示
(a)黑白照片
(b) 图(a)的二维傅立叶变换的模
(c) 图(a)的二维傅立叶变换的相位
(d)傅立叶变换的模与(b)相同,而相位为零
6.1 傅里叶变换的模和相位表示
(e)傅立叶变换的模为1,相位与(c)相同
(f)相位与(c)同,模为图(g)的傅立叶变换的模
(g)黑白照片
以理想低通滤波器为例
1,
H ( j)
c
0, c
H ( j)
1
c
c
连续时间理想低通滤波器
6.3 理想频率选择性滤波器
三.理想滤波器的时域特性
由傅里叶变换可得:
h(t) 1
2
c c
e jtd
sin ct t
c
Sa(ct)
6.3 理想频率选择性滤波器
三.理想滤波器的时域特性
如果理想低通滤波器具有线性相位特性
6.5 一阶连续时间系统
一.一阶系统:
模型： dy(t) y(t) x(t)
H ( j) 1
dt