2.5.4三角形内切圆

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圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系

【2020中考数学专项复习】：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中． 7.圆内接四边形（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．考点二、与圆有关的位置关系1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.（5）三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：(1)离相等，即外心不一定在三角形内部(1)(2)OABAC心在三角形内部3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“R-r”时，要特别注意，R＞r．考点三、与圆有关的规律探究1．和圆有关的最长线段和最短线段了解和圆有关的最长线段与最短线段，对有关圆的性质的了解极为重要，下面对有关问题进行简单论述． (1)圆中最长的弦是直径．如图①，AB是⊙O的直径，CD为非直径的弦，则AB＞CD，即直径AB是最长的弦．过圆内一点最短的弦，是与过该点的直径垂直的弦，如图②，P是⊙O内任意一点，过点P作⊙O的直径AB，过P作弦CD⊥AB于P，则CD是过点P的最短的弦．(2)圆外一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段都在过圆心的直线上．如图所示，P 在⊙O 外，连接PO 交⊙O 于A ，延长PO 交⊙O 于B ，则在点P 与⊙O 上各点连接的线段中，PB 最长，PA 最短．(3)圆内一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段也都在过圆心的直线上．如图所示，P 为⊙O 内一点，直径过点P ，交⊙O 于A 、B 两点，则PB 最长、PA 最短． 2．与三角形内心有关的角(1)如图所示，I 是△ABC 的内心，则∠BIC=90°+A ∠21．(2)如图所示，E 是△ABC 的两外角平分线的交点，A BEC ∠21-°90=∠．(3)如图所示，E 是△ABC 内角与外角的平分线的交点，∠E=A ∠21．(4) 如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别为切点，则∠DOE ＝180°－∠A ．(5)如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点，A DFE ∠21-°90=∠．(5) 如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点，P 为DE 上一点，则A DPE ∠21+=°90=∠．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用1．已知：如图所示，⊙O 中，半径OA ＝4，弦BC 经过半径OA 的中点P ，∠OPC ＝60°，求弦BC 的长．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．2．如图所示，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点M ，AD BC =，连接AC ． (1)求证：△MAC 是等腰三角形；(2)若AC 为⊙O 直径，求证：AC 2＝2AM ·AB ．【总结升华】本题考查的是圆周角定理，涉及到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，涉及面较广，难度适中．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 中，AB ＝2CD ，则( )A ．2AB CD > B ．2AB CD <C ．2AB CD = D ．AB 与2CD 的大小关系无法确定3．已知：如图所示，△ABC内接于⊙O，BD⊥半径AO于D．(1)求证：∠C＝∠ABD；(2)若BD＝4.8，sinC＝45，求⊙O的半径．【总结升华】解决圆周角的问题中常用的方法有两种：一是把圆周角转化为同弧所对圆心角的一半的角；二是将圆周角的顶点移动到使其一边经过圆心．类型二、圆的切线判定与性质的应用4．已知：如图所示，AB是⊙O的直径，∠BAC＝30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF＝∠E．(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)设⊙O的半径为1，且AC＝CE，求MO的长．【总结升华】有关切线的判定，主要有两种类型，若题目已经给出了直线与圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法(此题就如此)；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法，简称“作垂直证半径”．举一反三：【变式】如图所示，△ABC中，AB＝C，BC＝a，CA＝b，面积为S．⊙O是△ABC的内切圆，求内切圆半径r．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F．(1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且21-3=OF，求证△DCE≌△OCB．【总结升华】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明△AOC是正三角形．举一反三：【变式】如图所示，PQ＝3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB＝________．6．如图所示，⊙O的直径AB＝4，点P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，连接AC．PM平分∠APC交AC于M．(1)若∠CPA＝30°，求CP的长及∠CMP的度数；(2)若点P在AB的延长线上运动，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，请求出∠CMP的度数；(3)若点P在直径BA的延长线上，PC切⊙O于点C，则∠CMP的大小是否变化？【总结升华】解第(2)小题时，引用“设∠CPA＝α”这一方法，用代数方法计算得出结论，降低了解题的难度．举一反三：【变式】如图所示，AB是⊙O的直径，C是EA的中点，CD⊥AB于D，CD与AE相交于F．(1)求证：AC2＝AF·AE；(2)求证：AF＝CF．中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是（）A.相交B.外切C.外离D.内含2．如图，AB 为⊙ O 的直径，CD 为弦，AB⊥CD ，如果∠BOC=70°，那么∠A 的度数为（）A. 70°B.35°C. 30°D. 20°3．已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC 于点D ，则∠CDP 等于（）A.30°B.60°C.45°D.50°第2题第3题第4题第5题4．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点,则线段OM 长的最小值为（）A. 5B. 4C. 3D. 25．如图所示，四边形ABCD 中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD 的长为（）A.B.C.D.6. 如图，O为原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），⊙D过A、B、O三点，点C为上一点（不与O、A两点重合），则cosC的值为（）A． B． C．D．二、填空题7．已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB长度的最小值为 .8．如图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC于点B．若OB=5，则BC的长等于 .9．如图所示，已知⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，则AB的长为________．第8题第9题第10 题10．如图所示，在边长为3 cm的正方形中，与相外切，且分别与边相切，分别与边相切，则圆心距= cm．11．如图所示，是的两条切线，是切点，是上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°那么∠A的度数是 .12．在圆的内接等腰三角形ABC（三角形ABC三个顶点均在圆周上）中，圆心到底边BC的距离为3cm，圆的半径为7cm，则腰AB的长为 .AB34354345ABCD1O2O1O,DA DC 2O,BA BC12O O,EB EC O,B C,A D O三、解答题13．如图所示，AC 为⊙O 的直径且PA⊥AC，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，32==DO DC DP DB ．（1）求证：直线PB 是⊙O 的切线；（2）求cos∠BCA 的值．14．如图所示，点A 、B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A 、⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r ＝1+t(t ≥0)．(1)试写出点A 、B 之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数关系式；(2)问点A 出发后多少秒两圆相切?15. 如图所示，半径为2.5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P ．已知BC:CA ＝4:3，点P 在AB 上运动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ．(1)当点P 运动到与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长；(2)当点P 运动到AB 的中点时，求CQ 的长；(3)当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值，并求此时CQ 的长．16. 如图1至图4中，两平行线AB 、CD 间的距离均为6，点M 为AB 上一定点．思考如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB ，CD 之间（包括AB ，CD ），其直径MN 在AB 上，MN=8，点P 为半圆上一点，设∠MOP=α．当α= 度时，点P 到CD 的距离最小，最小值为．探究一在图1的基础上，以点M 为旋转中心，在AB ，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO= 度，此时点N 到CD 的距离是．探究二将如图1中的扇形纸片NOP 按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP 绕点M 在AB ，CD 之间顺时针旋转．（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P 到CD 的最小距离，并请指出旋转角∠BMO 的最大值；（2）如图4，在扇形纸片MOP 旋转过程中，要保证点P 能落在直线CD 上，请确定α的取值范围．（参考数椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=．）343434。

2020—2021年浙教版九年级数学下册《三角形的内切圆》单元考点练习及答案解析五.docx

2．3 三角形的内切圆1. 等边三角形内切圆的半径r 与它外接圆的半径R 的比值为12．2．直角三角形的两条直角边长分别为3 cm 和4 cm ，则它的外接圆的半径是__2.5__ cm ，内切圆的半径是__1__ cm.3．如果一个三角形的周长为10，面积为S ，内切圆的半径为r ，那么r ∶S ＝__1∶5__． 4．三角形的内心具有的性质是(B) A ．内心到三个顶点的距离相等 B ．内心到三边的距离相等C ．内心是三角形三条垂直平分线的交点D．内心有可能在内切圆的外部(第5题)5．如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则(C) A．EF>AE＋BFB．EF<AE＋BFC．EF＝AE＋BFD．EF≤AE＋BF6．已知⊙O是△ABC的内切圆，若∠ACB＝90°，∠BOC＝105°，BC＝20cm，则AC的长为(C)A．40cm B．35cmC．20 3cm D．18 3cm7．已知等腰直角三角形的外接圆半径为5，则内切圆半径为(C)A．5 2＋5 B．12 2－5C．5 2－5 D．10 2－108．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是点D，E，F，且∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4.求∠DEF∶∠EDF∶∠EFD.(第8题)【解】连结OE ，OF ，则∠BEO ＝∠BFO ＝90°， ∴∠EOF ＝360°－90°×2－180°×39＝120°，∴∠EDF ＝60°.同理，∠DEF ＝70°，∠EFD ＝50°. ∴∠DEF ∶∠EDF ∶∠EFD ＝70°∶60°∶50° ＝7∶6∶5.9．如图，等边△ABC 的内切圆⊙O 面积为9π，求△ABC 的周长l.(第9题)【解】设等边△ABC 与内切圆⊙O 的切点分别为E ，F ，G ，如图所示，连结OB ，OF. ∵⊙O 的面积为9π，∴OF ＝3.∵△ABC 为等边三角形， ∴AB ＝BC ＝CA ，∠ABC ＝60°. ∵BE ，BF 都是⊙O 的切线， ∴BE ＝BF ，∠OBF ＝12∠ABC ＝30°.∵OF ⊥BC ，∴BF ＝3 3.同理，CF ＝33，即BC ＝63.∴△ABC 的周长l ＝3×6 3＝183.10．如图，已知点E 是△ABC 的内心，∠A 的平分线交BC 于点F ，且与△ABC 的外接圆交于点D.(1)求证：DE ＝DB ＝DC ；(2)若AD ＝8 cm ，DF ∶FA ＝1∶3，求DE 的长．(第10题)【解】 (1)∵点E 是△ABC 的内心， ∴∠4＝∠5，∠2＝∠3. 又∵∠1＝∠5，∠4＝∠6， ∴∠1＝∠6，∴BD ＝CD. ∵∠DBE ＝∠1＋∠2， ∠DEB ＝∠3＋∠4， ∴∠DBE ＝∠DEB ， ∴DB ＝DE. ∴DE ＝DB ＝CD.(2)∵DF ∶FA ＝1∶3，∴DF ∶AD ＝1∶4. ∴DF 8＝14，∴DF ＝2. ∵∠BDF ＝∠ADB ，∠1＝∠5＝∠4， ∴△DBF ∽△DAB ， ∴DB DA ＝DF DB，∴DB 2＝DA ·DF. ∴DB 2＝8×2＝16，∴DE ＝DB ＝4 cm.(第11题)11．如图，四边形ABCD 是矩形，AB ＝12cm ，BC ＝16cm.⊙O 1，⊙O 2分别为△ABC ，△ADC 的内切圆，点E ，F 为切点，则EF 的长是__4__cm. 【解】由勾股定理可求得AC ＝20.由r ＝a ＋b －c 2可得O 1E ＝4.由AE ＝AB －r ，得AE ＝8.同理，FC ＝8. ∴EF ＝AC －AE －FC ＝4.(第12题)12．如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6.经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA ，CB 分别交于点P ，Q ，则线段PQ 的长度的最小值为(B) A ．4.75 B ．4.8 C ．5 D ．4.2 【解】设AB 与动圆切于点D.∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴∠ACB ＝90°，∴PQ 为动圆直径．∴当CD 为动圆直径时，动圆直径最小，而此时CD ＝6×810＝4.8，∴PQ ＝CD ＝4.8.(第13题)13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交⊙O于点D，连结BD，DC.(1)求证：BD＝DC＝DI；(2)若⊙O的半径为10 cm，∠BAC＝120°，求△BDC的面积．【解】(1)∵AI和BI分别是∠BAC和∠ABC的平分线，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∴BD＝CD，∠DBC＝∠2＝∠1.∵∠DBI＝∠DBC＋∠4，∠DIB＝∠3＋∠1.又∵∠3＝∠4，∠DBC＝∠1，∴∠DBI＝∠DIB.∴BD＝DI.∴DB＝DC＝DI.(2)∵∠BAC＝120°，∴∠1＝∠2＝∠BCD＝60°.∵BD＝DC，∴△DBC是正三角形．∵⊙O的半径为10 cm，即BO＝DO＝CO＝10 cm，∴BD＝10 3cm.∴S△BDC＝34×(10 3)2＝75 3(cm2)．14．如图，在锐角△ABC 中，BC ＝5，sin ∠BAC ＝45，点I 为三角形ABC 的内心，AB ＝BC ，求AI 的长．(第14题)【解】连结CI ，BI ，且延长BI 交AC 于点F ，过点I 作IG ⊥BC 于点G ，IE ⊥AB 于点E. ∵AB ＝BC ＝5，点I 为△ABC 的内心， ∴BF ⊥AC ，AF ＝CF.在Rt △ABF 中， ∵sin ∠BAC ＝45＝BFAB，∴BF ＝4.∴AF ＝BA 2－BF 2＝3， ∴AC ＝6.∵点I 是△ABC 的内心，IE ⊥AB ，IF ⊥AC ，IG ⊥BC ， ∴IE ＝IF ＝IG.∴S △ABC ＝12(AB ＋AC ＋BC)·IF ＝12AC ·BF ，∴IF ＝AC ·BF AB ＋AC ＋BC ＝6×45＋5＋6＝32，∴AI ＝AF 2＋IF 2＝325.。

3第2课时切线长定理与三角形的内切圆

【学习目标】1. 知识技能(1)理解圆的切线的有关性质并能灵活运用.(2)理解切线长及切线长定理.(3)体验并理解三角形内切圆的性质.2. 解决问题通过例题的教学, 培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识．3. 数学思考(1)通过动手操作、合作交流, 经历圆的切线的性质定理的产生过程.(2)体验切线长定理, 并能正确、灵活地运用.(3)通过作图操作, 经历三角形内切圆的产生过程．4. 情感态度通过动手操作, 反复尝试, 合作交流, 培养探索精神和合作意识．【学习重难点】1. 重点: (1)切线的性质定理、切线长定理.(2)三角形的内切圆.2. 难点：切线性质的灵活运用.课前延伸切线的判定方法:(1)和圆________公共点的直线是圆的切线.(2)和圆心距离等于________的直线是圆的切线.(3)经过________且________的直线是圆的切线.课内探究一、课内探究:1. 如图27－2－131, AB为⊙O的直径, C为⊙O上一点, AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D.求证: AC平分∠DAB.2．如图27－2－132, △ABC的内切圆⊙O与BC, CA, AB分别相切于点D, E, F, 且AB ＝9 cm, BC＝14 cm, CA＝13 cm, 求AF、BD、CE的长．图27－2－131图27－2－132 图27－2－1333. 如图27－2－133所示, △ABC的内心为I, ∠A＝50°, O为△ABC的外心, 求∠BOC 和∠BIC的度数.二、课堂反馈训练1. 如图27－2－134, PA切⊙O于点A, 该圆的半径为3, PO＝5, 则PA的长等于________.2．如图27－2－135, ⊙O的半径为5, PA切⊙O于点A, ∠APO＝30°, 则切线长PA为________．(结果保留根号)图27－2－134图27－2－135 图27－2－1363．如图27－2－136所示, PA, PB, DE分别切⊙O于点A, B, C, 如果PA＝8 cm, 求△PDE的周长．。

2.5.4三角形的内切圆课件(共12张ppt)

点分别是D、E、F，求⊙O的半径。 C E
B
2.如图，△ABC中,∠C =90º,它的内切圆O分
别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F且
BD=12，AD=8，求⊙O的半径r.
3.△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB
B
A D
OF EC
分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，
BC=14cm，CA=13cm，
A
分线和△ABC的外接圆相交于点D,交BC于
12
E,求证：(1) DO＝DB (2) OD2=AD∙ED 分析：连接BO，∵ AD是∠BAC的平分线 ∴∠BOD=∠OBD. ∴ DO=DB.
3 ·O
4
B5 E
C
D
△DBE∽△DAB
例3、如图，直角三角形的两直角边分别 A
是a、b，斜边为c，求其内切圆的半径r
求AF、BD、CE的长.
4.已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA分别与⊙O相切于P、Q、M、N，求
D MC
证：AB+CD=AD+BC。
N
Q
O
5.三条公路AB、AC、BC两两相交与A、
B、C三点（如图所示）。已知AC⊥BC， A
PB
BC=3千米，AC=4千米。现想在△ABC A
内建一加油站M，使它到三条公路的距
湘教版SHUXUE九年级下
本节内容
2.5.4
1、确定圆的条件是什么？
(1).圆心与半径 (2).不在同一直线上的三点
2、下图中△ABC与⊙O的关系？
A
△ABC是⊙O的内接三角形；
⊙O是△ABC的外接圆
·O
圆心O点叫△ABC的外心
3、叙述角平分线的性质与判定

直线与圆的位置关系常见题型归纳

直线与圆的位置关系常见题型归纳（一）.直线与圆的位置关系判定： Eg1：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，以C 为圆心，R 为半径作⊙C 。

（1）若⊙C 与斜边AB 没有公共点，则R 的取值范围是；（2）若⊙C 与斜边AB 只有一个公共点，则R 的取值范围是；（3）若⊙C 与斜边AB 有两个公共点，则R 的取值范围是。

Eg2：如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径是1，直线AB 与x 轴交于点P （x ，0），且与x 轴正方向夹角为45°，若AB 与⊙O 有公共点，则x 值的范围是（）A ．﹣1≤x ≤1B ．22≤≤-x C ．22 x - D ．20≤≤xEg3：如图，两个同心圆，大圆半径为5 cm ，小圆的半径为3 cm ，若大圆的弦AB 与小圆有公共点，则弦AB 的取值范围是_______．Eg4：如图，P 为∠AOB 边OA 上一点，∠AOB =30∘，OP =10cm ，以P 为圆心，5cm 为半径的圆与直线OB 的位置关系是（）A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定（二）.切线性质：1. 有关角度问题：Eg1：如图，AB 为⊙O 的切线，切点为A ，BO 交⊙O 于点C ，点D 在⊙O 上，若∠ABO 的度数是32∘，则∠ADC 的度数是（）A.29∘ B.30∘ C.31∘ D.32∘Eg2：如图所示，线段AB 是⊙O 的直径，∠CDB ＝20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E 等于 ( )A ．50°B ．40°C ．60°D ．70°Eg3：如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25∘，则∠C=度．Eg4：如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C,点D、E、F是⊙O上三个点，EF∥AB，若EF=23，则∠EDC的度数为。

重庆市2019届中考一轮《6.2与圆有关的位置关系》讲解含答案

第二节与圆有关的位置关系课标呈现指引方向1．知道三角形的内心和外心．2．了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线．3．探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．考点梳理夯实基础1．与圆有关的位置关系(1)点与圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：①点在圆外 d ＞ r；②点在圆上 d = r；③点在圆内 d ＜ r．(2)直线与圆的位置关系设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：①直线与圆相交 d<r：②直线与圆相切 d=r；③直线与圆相离 d>r．2．圆的切线(1)切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(2)切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必过该圆的圆心．(3)切线判定方法：①定义法：②设d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径，若d=r ，则直线与圆相切：③经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(4)切线长定理：从圆外一点向圆引的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．(5)三角形的内切圆：三角形内切圆的圆心是三角形三个角平分线的交点，叫做三角形的内心，它到三角形的三边的距离相等．2·1·c·n·j·y(6)三角形的外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．锐角三角形外心在三角形的内部，直角三角形外心在三角形的斜边中点处，钝角三角形外心在三角形的外部．考点精析专项突破考点一与圆相关的位置关系【例1】(1)（2019湘西州）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA= 3cm．则点A与圆O的位置关系为( )A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定【答案】 B(2)（2019西宁）⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R、d是方程x 2 -4x+m=0的两根，当直线l 与⊙O相切时，m的值为．解题点拨：此类题主要考查点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，需要将圆心到点或线的距离与圆的半径进行大小比较．【答案】 4考点二圆的切线【例2】(1)（2019重庆巴蜀）如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点曰的⊙O的切线于点C．如果∠ABO=25°，则∠C的度数是 ( )A．65° B．50° C．40° D．20°【答案】C(2)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是 ( )．A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交【答案】B解题点拨：见到切线的已知条件，要想到连接经过切点的半径．构造直角三角形来帮助我们解题，这也是切线问题中最常见的辅助线添法．证明直线与圆相切时，首先判断直线与国有没有明确的公共点，若有，用判定方法③经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；若没有，用判定方法②，定义法一般不用．考点三三角形的内切圆与外接圆【例3】(1)（2019咸宁）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠CBD= 32°，则∠BEC的度数为．【答案】122°(2)（2019重庆育才）如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为．【答案】3 3解题点拨：熟练掌握三角形内切圆和外接圆的定义以及内心和外心的有关性质，是解决此类问题的关键．1．（2019海南）如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A．PO交⊙O于点C．连接BC．若∠P= 40°，则∠ABC的度数为 ( B )A．20° B．25° C．40° D．50°【答案】B2．（2019宜昌）在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为．A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F【答案】A3．（2019齐齐哈尔）如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D．则∠C= 度．【答案】454．（2019包头）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A= 30°,PC =3．则BP的长为．【答案】3A组基础训练一、选择题1．（2019重庆一中）如图，AB是圆O的直径，点D在AB的延长线上，射线DC切圆D于点C，若∠A= 25°，则∠D等于 ( )A．60° B．50° C．40° D．45°【答案】C2．（2019重庆一中）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=50°，则∠ACB的大小是 ( )A.60°B.65°C.70°D.75°【答案】B3．（2019西大附中）如图，P是⊙O外一点，PA 、PB是⊙O 的切线，∠APB= 50°，点C在⊙O上，则∠ACB=( )A.50°B.65°C.75°D.130°【答案】B4．（2019重庆南开）如图，已知PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点．AC 是⊙O 的直径．∠P= 40°，则∠BAC 的大小是 ( )A ．70°B ．40°C ．50°D ．20°【答案】D5．如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB 、BC 分别相切于点D ，E ，过劣弧DE （不包括端点D ，E ）上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB ，BC 分别交于点M ，N ，若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为 ( )A.rB.rC.2rD.52r【答案】C二、填空题6．（2019盐城）如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，以顶点D 为圆心作半径为r 的圆，若要求另外三个顶点A 、B 、C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r 的取值范围是．【答案】3<r<57．（2019镇江）如图，AB 是⊙O 的直径，OA =1,AC 是⊙O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ．若BD=2-1，则∠ACD= ．【答案】112.5°8．（2019哈尔滨）如图，AB 为⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点C ．AD ⊥l ．垂足为D,AD 交⊙O 于点E ，连接OC、BE．若AE=6，OA =5，则线段DC的长为．【答案】49．（2019泰安）如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C．连接CD交直线OA 于点E．若∠B= 30°，则线段AE的长为．【答案】3B组提高练习10．（2019荆州）如图，过⊙O外一点P引⊙O 的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧ABC上不与点A、点C重合的一个动点，连接 AD、CD，若∠APB= 80°，则∠ADC的度数是( ) A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】C（提示：根据切线的性质，连接OA、OB．易得∠AOB =100°．由切线长定理可得PA =PB，△POB≌△POA.则∠AOP=50°，∠ADC=25°）11．（2019常州）如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2,…，半圆O n与直线y=33x相切，设半圆O1，半圆O2,…，半圆O n的半径分别是r1，r2，…，r n，则当r1 =1时，r2019= ．【答案】32019（提示：根据一次函数解析式易得直线与x轴的夹角为30°．分别连接圆心与相应切点，构造直角三角形．根据30°角所对的直角边等于斜边一半，可依次求出半径依次为1，3，9--找规律即可得到答案．）12．（2019攀枝花）如图，△ABC中，∠C = 90°,AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O 和AB、BC均相切，则OO的半径为．【答案】12 72019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若x 2+在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ． 2．预备知识：线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设点M 为线段AB 的中点，则点M 的坐标为（122x x +，122y y +）应用：设线段CD 的中点为点N ，其坐标为（3，2），若端点C 的坐标为（7，3），则端点D 的坐标为（） A ．（﹣1，1） B ．（﹣2，4）C ．（﹣2，1）D ．（﹣1，4） 3．一个不透明的袋中，装有2个黄球、3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是红球的概率是（）A. B. C. D.4．小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．165．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(1,1)A ，(4,3)B ，(4,1)C ，如果将Rt ABC ∆绕点C 按顺时针方向旋转90︒得到''Rt A B C ∆，那么点A 的对应点'A 的坐标是（）A ．(3,3)B ．(3,4)C ．(4,3)D ．(4,4)6．若一个多边形的外角和是其内角和的12，则这个多边形的边数为（） A.2 B.4 C.6 D.87．已知a ，b ，c 为三角形的三边，则关于代数式a 2﹣2ab+b 2﹣c 2的值，下列判断正确的是（）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．以上均有可能8．小带和小路两个人开车从A 城出发匀速行驶至B 城．在整个行驶过程中，小带和小路两人车离开A 城的距离y(km)与行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示．有下列结论；①A ，B 两城相距300 km ；②小路的车比小带的车晚出发1 h，却早到1 h；③小路的车出发后2.5 h追上小带的车；④当小带和小路的车相距50 km时，t＝54或t＝154.其中正确的结论有( )A．①②③④B．①②④C．①②D．②③④9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A'BC’，连接A'C，则A'C的长为（）A．6 B．4+23C．4+33D．2+3310．在平面直角坐标系中，将直线y1：y＝2x﹣2平移后，得到直线y2：y＝2x+4，则下列平移作法正确的是（）A．将y1向上平移2个单位长度B．将y1向上平移4个单位长度C．将y1向左平移3个单位长度D．将y2向右平移6个单位长度11．已知一个正六边形的边心距为3，则它的外接圆的面积为（）A．πB．3πC．4πD．12π12．如图，AB＝12，C是线段AB上一点，分别以AC、CB为边在A的同侧作等边△ACP和等边△CBQ，连接PQ，则PQ的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，1），直线l与x轴，y轴分别交于点B（﹣3，0），C （0，3），当x轴上的动点P到直线l的距离PE与到点A的距离PA之和最小时，则点E的坐标是_____．14．一个扇形的弧长为4π，半径长为4，则该扇形的面积为___________.15．如图，正方形ABCD的边长是2，点E是CD边的中点，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把∠C沿直线EF折叠，使点C落在点C′处．当△ADC′为等腰三角形时，FC的长为_____.16．如图,△ ABC 中,∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点 D 是 BC 的中点，将△ ABD 沿 AD 翻折得到△ AED，连 CE,则线段 CE 的长等于_____17．如图，在⊙O中，C为优弧AB上一点，若∠ACB＝40°，则∠AOB＝___度．18．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为__________．三、解答题19．游泳池应定期换水，打开排水孔排水时，池内的存水量Q(立方米)与排水时间t小时的函数关系如图所示．(1)根据图象直接写出排水前游泳池的存水量，并计算出排水的速度．(2)求Q关于t的函数表达式，并计算排水多久后，游泳池内还剩水156立方米．20．计算：（1）（12）﹣1+3+（7）0﹣2cos60°﹣|3﹣π|；（2）解不等式组：273(1)15(4)2x x x x --⎧⎪⎨-+≥⎪⎩①② 21．在平面直角坐标系xOy 中. 已知抛物线22y ax bx a =++-的对称轴是直线x=1.（1）用含a 的式子表示b ，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点()0,4A -，()2,3B -，若抛物线与线段AB 没有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；（3）若抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），且当m x n ≤≤时，y 的取值范围是6m y ≤≤，结合函数图象，直接写出满足条件的m ，n 的值.22．在国务院办公厅发布《中国足球发展改革总体方案》之后，某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度，随机抽取了部分学生进行一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如图的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题：（1）本次接受问卷调查的学生总人数是________ ；（2）补全折线统计图．（3）扇形统计图中，“了解”所对应扇形的圆心角的度数为________，m 的值为________（4）若该校共有学生3000名，请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数．23．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，点Q 是线段OB 上一动点，当△BPQ 与△BAC 相似时，求点Q 的坐标．24．如图，BC 是半⊙O 的直径，A 是⊙O 上一点，过点的切线交CB 的延长线于点P ，过点B 的切线交CA 的延长线于点E ，AP 与BE 相交于点F ．（1）求证：BF ＝EF ；（2）若AF ＝32，半⊙O 的半径为2，求PA 的长度．25．如图，V ABC 中，AB AC = ，以AB 为直径的O 与BC 相交于点D ，与CA 的延长线相交于点E ，O 的切线DF 交EC 于点F .（Ⅰ）求DFC ∠的度数；（Ⅱ）若3AC AE =，12BC = ，求O 的直径AB .【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C D D C C C C C C D 二、填空题13．15,22⎛⎫-⎪⎝⎭14．8π15．12或1.16．7 517．80 18．三、解答题19．(1)排水前游泳池的存水量为936立方米，排水孔排水速度为297立方米/时；(2)排水26099小时后，游泳池内还剩水156立方米．【解析】【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以解答本题；（2）根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式．【详解】（1）由图可得，排水前游泳池的存水量为936立方米，排水孔排水速度为：(936﹣342)÷2＝297(立方米/时)；（2）设Q关于t的函数表达式为Q＝kt+936，根据题意得2k+936＝342，解得k＝﹣297，∴Q关于t的函数表达式为Q＝﹣297x+936；当游泳池内还剩水156立方米时，﹣297x+936＝156，解得x＝260 99，即排水26099小时后，游泳池内还剩水156立方米．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．20．(1)53π+-；（2）﹣4＜x≤2．【解析】【分析】（1）原式利用二次根式性质，指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的性质以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【详解】（1）原式＝1231232π++-⨯+- ＝53π+-；（2）273(1)15(4)2x x x x -<-⎧⎪⎨-+≥⎪⎩①② 解不等式①，得x ＞﹣4，解不等式②，得x≤2，∴不等式组的解集为﹣4＜x≤2．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．21．（1）2b a =-，抛物线的顶点为()1,2-；（2）10a -<<或0a >；（3）25m n =-⎧⎨=⎩或27,5.m n ⎧=+⎪⎨=⎪⎩ 【解析】【分析】（1）由12b a-=，则2b a =-.得到抛物线方程.则当1x =时，抛物线的顶点为()1,2-. （2）分条件讨论0a > ，0a <，将点B 代入方程得3442a a a -=-+-，解得1a =-.由于抛物线与线段AB 没有公共点，则10a -<<或0a >.（3）根据题意抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），且当m x n ≤≤时，y 的取值范围是6m y ≤≤，作出图象，即可得出答.【详解】解：（1）∵12b a -=， ∴2b a =-.∴抛物线为222y ax ax a =-+-.当1x =时，222y a a a =-+-=-，∴抛物线的顶点为()1,2-.（2）若0a >，抛物线与线段AB 没有公共点；若0a <，当抛物线经过点()2,3B -时，它与线段AB 恰有一个公共点，此时3442a a a -=-+-，解得1a =-.∵抛物线与线段AB 没有公共点，∴结合函数图像可知，10a -<<或0a >.（3）根据题意作抛物线与x 轴交点图，通过图象即可得出25m n =-⎧⎨=⎩或27,5.m n ⎧=+⎪⎨=⎪⎩【点睛】本题考查二元一次函数和一元一次函数的综合，解题的关键是熟练掌握二元一次函数和一元一次函数的性质和求解.22．（1）120；（2）补图见解析；（3）30°，25；（4）500人【解析】【分析】（1）利用了解很少为60人，了解很少所占百分比为50%，用60÷50%计算即得.（2）不了解人数=总人数-了解很少人数-基本了解人数-了解人数，计算出结果后进行补图即可.（3）直接用360°乘以“了解”所占百分比即得.（4）直接用3600乘以 “不了解”的人数所占百分比即得.【详解】解：（1）60÷50%=120（人）.故答案为：120.（2）不了解人数：120-60-30-10=20（人），据此补充折线统计图.（3）“了解”所对应扇形的圆心角的度数 360×10120=30°， m%=30120 =25%， ∴m=25.故答案为：30° ；25。

考点20 与圆有关的位置关系及计算(精讲)(解析版)

考点20.与圆有关的位置关系及计算（精讲）【命题趋势】与圆相关的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。

关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。

【知识清单】1：点、直线与圆的位置关系类（☆☆）1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：图1图2(1)d<r⇔点在⊙O内，如图1；(2)d=r⇔点在⊙O上，如图2；(3)d>r⇔点在⊙O外，如图3．解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。

2）直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：图1图2图3(1)d>r⇔相离，如图1；(2)d=r⇔相切，如图2；(3)d<r⇔相交，如图3。

2：切线的性质与判定（☆☆☆）1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。

解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。

2）切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）；（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）；（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。

切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。

3）切线长定理定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

2.5直线与圆的位置关系内切圆课件

A
2 1
I
3
B
4 5
D
E
C
练习：
1、如图，已知 ABC内心为O,且 BOC=110, 40°. 则 A=
2、已知三角形ABC的外心为O，且∠BOC=110°则 55或125 ∠A=____ __度。 3、三角形ABC中， ∠A= 50°,I是三角形的内心， 115° O是三角形的外心，则∠ BIC=______ ∠ BOC=________ 100°
思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？
(菱形，正方形一定有内切圆)
2.5 直线与圆的位置关系（3）
例1
典型例题
如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D
E、F，∠B＝60°，∠C＝70°，
求∠EDF的度数．拓展：∠A与∠EDF有什么关系？
变式：若G点是圆上任意点（不与E,F重合）求∠EGF度数变式：连接BO,CO,求∠BOC度数变式：（1）若∠A=80 °,则∠BOC= （2）若∠BOC=100 °，则∠A= 度。度。
试探讨∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
变式：如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于A，B，在AB 上任取一点C 作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E
连结OD，OE，若∠P=400，则∠DOE=_____; 若∠P=n° ,则∠DOE=_______ 连结OA，OB，若∠P=400，则∠AOB=_____; D P C E
D
C
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心
①三角形的内心是三角形角平分线的交点 ②三角形的内心到三边的距离相等 ③三角形的内心一定在三角形的内部
三角形内心的性质

新旧版青岛版初中数学教材(总目录)对照

新旧版青岛版初中数学教材（总目录）对照旧版青岛版初中数学教材七年级上册第1章基本的几何图形1.1我们身边的图形世界1.2几何图形1.3线段、射线和直线1.4线段的比较与作法第2章有理数2.1有理数2.2数轴2.3相反数与绝对值第3章有理数的运算3.1有理数的加法与减法3.2有理数的乘法与除法3.3有理数的乘方3.4有理数的混合运算3.5利用计算器进行有理数的运算第4章数据的收集、整理与描述4.1普查和抽样调查4.2简单随机抽样4.3数据的整理4.4扇形统计图第5章代数式与函数的初步认识5.1用字母表示数5.2代数式5.3代数式的值5.4生活中的常量与变量5.5函数的初步认识第6章整式的加减6.1单项式与多项式6.2同类项6.3去括号6.4整式的加减第7章数值的估算7.1生活中的数值估算7.2近似数和有效数字7.3估算的应用与调整第8章一元一次方程7.1等式的基本性质7.2一元一次方程7.3一元一次方程的解法7.4一元一次方程的应用2022新版青岛版初中数学教材七（上）（60课时）第1章基本的几何图形（8课时）1.1我们身边的图形世界1课时1.2几何图形2课时1.3线段、射线和直线2课时1.4线段的比较和作法2课时回顾与总结1课时第2章有理数（5课时）2.1有理数1课时2.2数轴2课时2.3相反数与绝对值1课时回顾与总结1课时第3章有理数的运算（13课时）3.1有理数的加法与减法4课时3.2有理数的乘法与除法3课时3.3有理数的乘方2课时3.4有理数的混合运算1课时3.5用计算器进行有理数运算1课时回顾与总结2课时第4章数据的收集、整理与描述（6课时）4.1普查与抽样调查1课时4.2简单随机抽样1课时4.3数据的整理1课时4.4扇形统计图2课时回顾与总结1课时第5章代数式与函数的初步认识（8课时）5.1用字母表示数1课时5.2代数式2课时5.3代数式的值1课时5.4生活中的常量与变量2课时5.5函数的初步认识1课时回顾与总结1课时综合与实践你知道的数学公式2课时第6章整式的加减（6课时）6.1单项式与多项式1课时6.2同类项2课时6.3去括号1课时6.4整式的加减1课时回顾与总结1课时第7章一元一次方程（12课时）7.1等式的基本性质1课时7.2一元一次方程1课时7.3一元一次方程的解法2课时7.4一元一次方程的应用6课时回顾与总结2课时七年级下册第9章角9.1角的表示9.2角的比较9.3角的度量9.4对顶角9.5垂直第10章平行线10.1同位角10.2平行线和它的画法10.3平行线的性质10.4平行线的判定第11章图形与坐标11.1怎样确定平面内点的位置11.2平面直角坐标系11.3直角坐标系中的图形11.4函数与图象11.5一次函数和它的图象第12章二元一次方程组12.1认识二元一次方程组12.2向一元一次方程转化12.3图象的妙用12.4列方程组解应用题第13章走进概率13.1天有不测风云13.2确定事件与不确定事件13.3可能性的大小13.4概率的简单计算课题学习掷币中的思考第14章整式的乘法14.1同底数幂的乘法与除法14.2指数可以是零和负整数吗14.3科学记数法14.4积的乘方与幂的乘方14.5单项式的乘法14.6多项式乘多项式第15章平面图形的认识15.1三角形15.2多边形15.3多边形的密铺15.4圆的初步认识15.5用直尺和圆规作图七（下）（61课时）第8章角（7课时）8.1角的表示1课时8.2角的比较1课时8.3角的度量2课时8.4对顶角1课时8.5垂直1课时回顾与总结1课时第9章平行线（6课时）9.1同位角、内错角、同旁内角1课时9.2平行线和它的画法1课时9.3平行线的性质1课时9.4平行线的判定2课时回顾与总结1课时第10章一次方程组（9课时）10.1认识二元一次方程组1课时10.2二元一次方程组的解法2课时某10.3三元一次方程组2课时10.4列方程组解应用题3课时回顾与总结1课时第11章整式的乘除（14课时）11.1同底数幂的乘法1课时11.2积的乘方与幂的乘方2课时11.3单项式的乘法2课时11.4多项式的乘法2课时11.5同底数幂的除法1课时11.6零指数幂和负整数指数幂4课时回顾与总结2课时第12章乘法公式和因式分解（7课时）12.1平方差公式1课时12.2完全平方公式2课时12.3用提公因式法进行因式分解1课时12.4用公式法进行因式分解2课时回顾与总结1课时第13章平面图形的认识（10课时）13.1三角形4课时13.2多边形2课时13.3圆2课时回顾与总结2课时综合与实践多边形的密铺2课时第14章位置与坐标（6课时）14.1用有序数对表示位置1课时14.2平面直角坐标系1课时14.3直角坐标系中的简单图形2课时14.4用方向和距离描述两个物体的相对位置1课时回顾与总结1课时八年级上册第1章轴对称与轴对称图形1.1我们身边的轴对称图形1.2线段的垂直平分线1.3角的平分线1.4等腰三角形1.5成轴对称的图形的性质1.6镜面对称1.7简单的图案设计第2章乘法公式与因式分解2.1平方差公式2.2完全平方公式2.3用提公因式法进行因式分解2.4用公式法进行因式分解第3章分式3.1分式的基本性质3.2分式的约分3.3分式的乘法与除法3.4分式的通分3.5分式的加法与减法3.6比和比例3.7分式方程第4章样本与估计4.1普查与抽样调查4.2样本的选取4.3加权平均数4.4中位数4.5众数4.6用计算器求平均数课题学习学生课外生活情况的调查第5章实数5.1算术平方根5.2勾股定理5.32是有理数吗5.4由边长判定直角三角形5.5平方根5.6立方根5.7方根的估算5.8用计算器求平方根和立方根5.9实数第6章一元一次不等式6.1不等关系和不等式6.2一元一次不等式6.3一元一次不等式组八（上）(59课时)第1章全等三角形（9课时）1.1全等三角形1课时1.2怎样判定三角形全等4课时1.3尺规作图3课时回顾与总结1课时第2章图形的轴对称（12课时）2.1图形的轴对称1课时2.2轴对称的基本性质2课时2.3轴对称图形1课时2.4线段的垂直平分线2课时2.5角的平分线1课时2.6等腰三角形3课时回顾与总结2课时第3章分式（15课时）3.1分式和它的基本性质2课时3.2分式的约分1课时3.3分式的乘法和除法1课时3.4分式的通分1课时3.5分式的加法与减法2课时3.6比和比例3课时3.7分式方程3课时回顾与总结2课时第4章数据分析（9课时）4.1加权平均数2课时4.2中位数1课时4.3众数1课时4.4数据的离散程度1课时4.5方差2课时4.6用计算器求平均数及方差1课时回顾与总结1课时综合与实践统计开放日模拟现场会（暂定）2课时第5章几何证明初步（12课时）5.1定义与命题1课时5.2为什么要证明1课时5.3什么是几何证明1课时5.4平行线的性质定理和判定定理1课时5.5三角形内角和定理2课时5.6几何证明举例4课时回顾与总结2课时八年级下册第7章二次根式7.1二次根式及其性质7.2二次根式的加减法7.3二次根式的乘除法第8章平面图形的全等与相似8.1全等形与相似形8.2全等三角形8.3怎样判定三角形全等8.4相似三角形8.5怎样判定三角形相似8.6相似多边形课题学习有趣的分形图第9章解直角三角形9.1锐角三角比9.230，45，60角的三角比9.3用计算器求锐角三角比9.4解直角三角形9.5解直角三角形的应用第10章数据离散程度的度量10.1数据的离散程度10.2极差10.3方差与标准差10.4用科学计算器计算方差和标准差第11章几何证明初步11.1定义与命题11.2为什么要证明11.3什么是几何证明11.4三角形内角和定理11.5几何证明举例11.6反证法八（下）(61课时)第6章平行四边形（11课时）10.1平行四边形及其性质2课时10.2平行四边形的判定2课时10.3特殊的平行四边形4课时10.4三角形中位线定理1课时回顾与总结2课时第7章实数（15课时）6.1算术平方根1课时6.2勾股定理1课时6.32是有理数吗2课时6.4由边长判定直角三角形2课时6.5平方根1课时6.6立方根1课时6.7用计算器求平方根与立方根2课时6.8实数3课时回顾与总结2课时第8章一元一次不等式（8课时）7.1不等式的基本性质2课时7.2一元一次不等式2课时7.3列一元一次不等式解应用题1课时7.4一元一次不等式组2课时回顾与总结1课时第9章二次根式（7课时）8.1二次根式和它的性质3课时8.2二次根式的加减法1课时8.3二次根式的乘法和除法2课时回顾与总结1课时第10章一次函数（9课时）9.1函数的图象2课时9.2一次函数和它的图象2课时9.3一次函数的性质1课时9.4一次函数与二元一次方程1课时9.5一次函数与一元一次不等式2课时回顾与总结1课时综合与实践从函数图象中获取信息2课时第11章图形的平移和旋转（9课时）11.1图形的平移3课时11.2图形的旋转3课时11.3图形的中心对称2课时回顾与总结1课时综合与实践哪条路径最短九年级上册第1章特殊四边形1.1平行四边形及其性质1.2平行四边形的判定1.3特殊的平行四边形1.4图形的中心对称1.5梯形1.6中位线定理第2章图形变换2.1图形的平移2.2图形的旋转2.3图形的位似第3章一元二次方程3.1一元二次方程3.2用配方法解一元二次方程3.3用公式法解一元二次方程3.4用因式分解法解一元二次方程3.5一元二次方程的应用第4章对圆的进一步认识4.1圆的对称性4.2确定圆的条件4.3圆周角4.4直线与圆的位置关系4.5三角形的内切圆4.6圆与圆的位置关系4.7弧长及扇形面积的计算九（上）（62课时）第1章相似多边形（12课时）1.1相似多边形1课时1.2相似三角形的判定5课时1.3相似三角形的性质1课时1.4图形的位似2课时回顾与总结2课时第2章解直角三角形（11课时）2.1锐角三角比1课时2.230°，45°，60°角的三角比1课时2.3用计算器求锐角三角比2课时2.4解直角三角形2课时2.5解直角三角形的应用3课时回顾与总结2课时第3章对圆的进一步认识（18课时）3.1圆的对称性3课时3.2确定圆的条件2课时3.3圆周角3课时3.4直线与圆的位置关系4课时3.5三角形的内切圆1课时3.6弧长与扇形面积计算1课时3.7正多边形与圆2课时回顾与总结2课时综合与实践图形变化与图案设计2课时第4章一元二次方程（13课时）4.1一元二次方程2课时4.2用因式分解法解一元二次方程1课时4.3用配方法解一元二次方程2课时4.4用公式法解一元二次方程3课时某4.5一元二次方程根与系数的关系1课时4.6一元二次方程的应用2课时回顾与总结2课时第5章走进概率（7课时）5.1随机事件1课时5.2概率的意义1课时5.3概率的简单计算2课时5.4用列举法计算概率2课时回顾与总结1课时九年级下册第5章对函数的再探索5.1函数与它的表示法5.2一次函数与一元一次不等式5.3反比例函数5.4二次函数5.5二次函数ya某2的图象和性质5.6二次函数ya某2b某c的图象和性质5.7确定二次函数的解析式5.8二次函数的应用5.9用图象法解一元二次方程第6章频率与概率6.1频数与频率6.2频数分布直方图6.3用频率估计概率6.4用树状图计算概率课题学习质数的分布第7章空间图形的初步认识7.1几种常见的几何体7.2棱柱的侧面展开图7.3圆柱、圆锥的侧面展开图第8章投影与识图8.1从不同的方向看物体8.2盲区8.3影子和投影8.4正投影8.5物体的三视图九（下）（41课时）第6章对函数的再探索（17课时）6.1函数与它的表示法3课时6.2反比例函数3课时6.3二次函数1课时6.4二次函数y=a某2的图象和性质1课时6.5二次函数y=a某2+b某+c的图象和性质3课时某6.6确定二次函数的解析式1课时6.7二次函数与一元二次方程1课时6.8二次函数的应用2课时回顾与总结2课时第7章频率与概率（7课时）7.1频数与频率1课时7.2频数直方图2课时7.3用频率估计概率2课时7.4随机现象的发展趋势1课时回顾与总结1课时综合与实践质数的分布2课时第8章几种简单的几何体（8课时）8.1几种常见的几何体1课时8.2直棱柱的侧面展开图2课时8.3圆柱的侧面展开图2课时8.4圆锥的侧面展开图2课时回顾与总结1课时第9章投影与视图（7课时）9.1中心投影1课时9.2平行投影3课时9.3物体的三视图2课时回顾与总结1课时青岛版数学教材在课程内容上的调整本次修订时需要增加或加强的内容共23条，分别落实在各册的有关章节：“数与代数”部分：（1）“知道|a|的含义”，在原实验教科书七（上）第2.3节已经体现,修订稿仍在七（上）第2.3节中出现。

初三-数学-圆的常见考点

圆的常见考点考点1：圆的有关概念和性质一、考点讲解：1．圆的圆的有关概念：（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径．（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．（5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．2．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．3．三角形的内心和外心（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心二、经典例题剖析：【例题1－1】如图1－3－l，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60○，AC＝3，则△ABC的周长是____________.【例题1－2】如图1－3－2，在⊙O中，弦AB=1．8cm，圆周角∠ACB=30○，则⊙O的直径等于=_________cm．三、针对性训练：1．如图l－3－3，MN所在的直线垂直平分弦AB，利用这样的工具最少使用__________次，就可找到圆形工件的圆心．2．如图1－3－4，A、B、C是⊙O上三个点，当BC平分∠ABO时，能得出结论_______（任写一个）．3．在△ABC 中，∠A=62°，点I 是外接圆圆心，则∠BIC=___________4．下列命题正确的是（）A ．相等的圆心角所对的弦相等B ．等弦所对的弧相等C ．等弧所对的弦相等D ．垂直于弦的直线平分弦5．“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述为如图1－3－5，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，CE ＝1寸，AB=10寸，则直径CD 的长为（）A ．12．5寸B ．13寸C ．25寸D ．26寸6．如图1－3－6，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 和BC 相交于点P ，那么CD AB等于（） A ．sin ∠BPDB ．cos ∠BPDC ．tan ∠BPDD ．cot ∠BPD7．⊙O 的半径是5，AB 、CD 为⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，AB=6，CD=8，求AB 与CD 之间的距离．8．在半径为1的圆中，弦AB 、AC，则∠BAC 的度数为多少？考点2：与圆有关的角一、考点讲解：1．圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的度数等于它所对的弧的度数．2．圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角．圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．3．圆心角与圆周角的关系．同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一半．4．弦切角：圆的切线与圆的弦组成的顶点在圆上的角．弦切角的度数等于它所夹得弧的度数的一半．弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角．5．圆内接四边形顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．二、经典例题剖析：【例题2－1】如图1－3－7，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°则∠BOC的大小是（）A．60○B．45○C．30○D．15○【例题2－2】如图1－3－8，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C 在⊙O上．如果∠P＝50○，那么∠ACB等于（）A．40○B．50○C．65○D．130○三、针对性训练：1．如图1－3－9，已知AB 是⊙O 的直径，AD ∥OC,∠ADB 的度数为80°，则∠BOC=_________.2．如图1－3-10，⊙O 内接四边形ABCD 中，AB=CD 则图中和∠1相等的角有______3．如图1－3－l ，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在上，则∠C 的度数是________-.4．如图l －3－12，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD=100°，则∠DAB 的度数为（）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130°5．如图1－3－13是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A 、B 、C 、D 、E 五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数是（）A ．180°B ．150°C ．135°D ．120°6．如图1－3－14所示，直线AB 交圆于点A ，B ，点M 的圆上，点P 在圆外，且点M ，P 在AB 的同侧，∠AMB=50°．设∠APB=x °，当点P 移动时，求x 的变化范围，并说明理由.考点3：点与圆，直线与圆的位置关系一、考点讲解：1．点和圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内，设圆的半AMB径为r ，点到圆心的距离为d ，则点在圆外d ＞r ．点在圆上d=r ．点在圆内d ＜r ．2．直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相高．设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则直线与圆相交d ＜r ，直线与圆相切d=r ，直线与圆相离d ＞r二、经典例题剖析【例题3－1】Rt △ABC 中，∠C=90°，∠AC=3cm ，BC ＝4cm ，给出下列三个结论：①以点C 为圆心1．3cm 长为半径的圆与AB 相离；②以点C 为圆心，2．4cm 长为半径的圆与AB 相切；③以点C 为圆心，2．5cm 长为半径的圆与AB 相交．上述结论中正确的个数是（）A ．0个B ．l 个C ．2个D ．3个【例题3－2】已知半径为3cm ，4cm 的两圆外切，那么半径为6cm 且与这两圆都外切的圆共有______个．三、针对性训练：1．两个同心圆的半径分别为1cm 和2cm ，大圆的弦AB 与小圆相切，那么AB=（）A ． 3B ．2 3C ．3D ．42．在△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，CM 是中线，以C 为圆心，以3cm 长为半径画圆，则对A 、B 、C 、M 四点，在圆外的有_________，在圆上的有________，在圆内的有________.考点4：圆与圆的位置关系一、考点讲解：⇔⇔⇔⇔⇔⇔1．同一平面内两圆的位置关系：（1）相离．如果两个圆所包含的区域没有公共部分，那么就说这两个圆相离．（2）内含：如果一个圆在另外一个圆的里面，那么就说这两个圆内含。

高中数学 2.5.1直线与圆的位置关系课后练习、课时练习

一、单选题1. 若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是( )A．B．C．D．2. 直线与圆相交于不同的，两点其中，是实数，且是坐标原点，则点与点距离的取值范围为（）A．B．C．D．3. 已知动直线与圆相交于A，B两点，圆下列说法：①与有且只有一个公共点；②线段AB的长度为定值；③线段AB的中点轨迹为.其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34. 在中，，，，点在该三角形的内切圆上运动，当最大时，则的值为（）A．B．C．D．5. 过点且与圆相切的直线方程为（）A．B．C．D．6. 与圆相切，且在轴上的截距相等的直线有A．3条B．4条C．5条D．6条二、多选题7. 已知直线与直线平行，且与圆相切，则直线的方程是（）A．B．C．D．8. 设圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆与直线相交的弦长为，则圆的方程为（）A．B．C．D．三、填空题9. 当直线：（）被圆：截得的弦最短时，实数的值为______．10. 直线与圆的位置关系是_______．11. 已知直线，若直线与圆在第一象限内的部分有公共点，则的取值范围是__________.12. 直线被圆截得的弦长为，则_______四、解答题13. 已知直线和圆，(1)当为何值时，截得的弦长为2；(2)若直线和圆交于两点，此时，求的值.14. 已知圆和定点，动点､在圆上.(1)过点作圆的切线，求切线方程；(2)若满足，设直线与直线相交于点.①求证：直线过定点；②求证：.15. 已知圆心在x轴上的圆C与直线切于点，圆.（1）求圆C的标准方程；（2）已知，圆P与x轴相交于两点（点M在点N的右侧），过点M任作一条倾斜角不为0的直线与圆C相交于两点.问：是否存在实数a，使得若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由.16. 已知圆O：与直线相切．（1）求圆O的方程；（2）若过点作两条斜率分别为，的直线交圆O于B、C两点，且，求证：直线BC恒过定点．并求出该定点的坐标．。

湘教版九年级下册数学课件三角形的内切圆

r

a
2S b
c
；r

a

b 2

c
只适合于直角三角形
A 方案一
√A
方案二
B
C
B
C
A
A
方案三
方案四
B
C
B
C
一三角形的内切圆
合作探究
猜想：方案二中的这个圆应当与三角形的三条边都相___切_____.
A 方案二
O
∟
B
C
画一个圆关键是定圆心和半径，如何画一个圆与三角形
的三条边都相切？
如果这个圆与△ABC的三条边都相切，那么圆心O到三条边的距离都等于__半__径__，从而这些距离相等.
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三条角平分线的交点
B
A
1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别
平分∠BAC、∠ABC、
O ∠ACB
C 3.内心在三角形内部．
典例精析
例1 △ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，∠ A=70°，
求∠ BOC的度数。 A
解：∵∠ A=70°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠ A=110°
(2)若AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3.求DE的长．
(2)解：∵AD＝8cm＝2(cm)．
4
4
∵∠CBD＝∠BAD，∠D＝∠D，
∴△BDF∽△ADB，∴ BD DF ,
AD BD
∴BD2＝AD·DF＝8×2＝16，
∴BD＝4cm，
又∵BD＝DE，
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
4.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点. A

三角形内切圆

年级：初三科目：数学课题三角形内切圆外接圆问题教学目的切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

三角形的内切圆：和三角形三条边都相切的圆，叫三角形的内切圆。

内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫三角形的内心。

三角形的外接圆：过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点的交点，叫做三角形的外心。

1对于图形问题深化分析2学会从简单到复杂图形的分析教学内容例1.如图，已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线BC，连结CO．若AD∥OC交⊙O于D．求证：CD是⊙O的切线．例2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．（1）当圆心O与C重合时，⊙O与AB的位置关系怎样？（2）若点O沿CA移动时，当OC为多少时，⊙C与AB相切？例3.已知：如图，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠FDE=70°，求∠A的度数．例4. 如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）A ．2B ．3C ．3D ．23例5. △ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求△ABC 的内切圆的半径长。

例6. 任意△ABC 中内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F. 求证：△DEF 是锐角三角形。

例7. 如图，已知ABC ∆内接于⊙O ，AE 切⊙O 于点A ，BC ∥AE ，求证：ABC ∆是等腰三角形.·ABCOEP9.如图所示．P是⊙O外一点．P A是⊙O的切线．A是切点．B是⊙O上一点．且P A=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线P A相交于点Q．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：AQ·PQ= OQ·BQ。

_Q_A_O_P_B课后作业1．如图1，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，•连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（）A．40° B．55° C．65° D．70°图1 图2 图32．如图2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，•则∠DOE=（）A．70° B．110° C．120° D．130°3．如图3，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=（）A．112.5° B．112° C．125° D．55°4．下列命题正确的是（）A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B．三角形的内心不一定在三角形的内部C．等边三角形的内心，外心重合D．一个圆一定有唯一一个外切三角形5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（）A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.56．如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F．（1）求证：BF=CE；（2）若∠C=30°，CE=23，求AC的长．7．如图，⊙I切△ABC的边分别为D，E，F，∠B=70°，∠C=60°，M是DEF上的动点（与D，E不重合），∠DMF 的大小一定吗？若一定，求出∠DMF的大小；若不一定，请说明理由．8．如图，△ABC中，∠A=m°．（1）如图（1），当O是△ABC的内心时，求∠BOC的度数；（2）如图（2），当O是△ABC的外心时，求∠BOC的度数；（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数．提高训练9．如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，•然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（）A．（22）n R B．（12）n R C．（12）n－1R D．（22）n－1R10．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，•DC=1，则⊙O的半径等于（）A．45B．54C．34D．5611．如图，已知正三角形ABC的边长为2a．（1）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；（2）根据计算结果，要求圆环的面积，•只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积；（3）将条件中的“正三角形”改为“正方形”“正六边形”，你能得出怎样的结论？（4）已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环面积．12．如图，已知△ABC的内切圆⊙O分别和边BC，AC，AB切于D，E，F，•如果AF=2，BD=7，CE=4．（1）求△ABC的三边长；（2）如果P为DF上一点，过P作⊙O的切线，交AB于M，交BC于N，求△BMN的周长．13．阅读材料：如图（1），△ABC的周长为L，内切圆O的半径为r，连结OA，OB，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．∵S△ABC =S△OAB +S△OBC +S△OCA又∵S△OAB =12AB·r，S△OBC =12BC·r，S△OCA =12AC·r∴S△ABC =12AB·r+12BC·r+12CA·r=12L·r（可作为三角形内切圆半径公式）（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5，12，13的三角形内切圆半径；（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（2）•且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，…a n，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．14．如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O 之间的距离．。

新版数学教材各册目录(参考)

七（上）（60课时）第1章基本的几何图形（8课时）1.1 我们身边的图形世界1课时1.2 几何图形2课时1.3 线段、射线和直线2课时1.4 线段的比较和作法2课时回顾与总结1课时第2章有理数（5课时）2.1 有理数1课时2.2 数轴2课时2.3 相反数与绝对值1课时回顾与总结1课时第3章有理数的运算（13课时）3.1 有理数的加法与减法4课时3.2 有理数的乘法与除法3课时3.3 有理数的乘方2课时3.4 有理数的混合运算1课时3.5 用计算器进行有理数运算1课时回顾与总结2课时第4章数据的收集、整理与描述（6课时）4.1 普查与抽样调查1课时4.2 简单随机抽样1课时4.3 数据的整理1课时4.4 扇形统计图2课时回顾与总结1课时第5章代数式与函数的初步认识（8课时）5.1 用字母表示数1课时5.2 代数式2课时5.3 代数式的值1课时5.4 生活中的常量与变量2课时5.5 函数的初步认识1课时回顾与总结1课时综合与实践你知道的数学公式2课时第6章整式的加减（6课时）6.1 单项式与多项式1课时6.2 同类项2课时6.3 去括号1课时6.4 整式的加减1课时回顾与总结1课时第7章一元一次方程（12课时）7.1 等式的基本性质1课时7.2 一元一次方程1课时7.3 一元一次方程的解法2课时7.4 一元一次方程的应用6课时回顾与总结2课时七（下）（61课时）第8章角（7课时）8.1 角的表示1课时8.2 角的比较1课时8.3 角的度量2课时8.4 对顶角1课时8.5 垂直1课时回顾与总结1课时第9章平行线（6课时）9.1 同位角、内错角、同旁内角1课时9.2 平行线和它的画法1课时9.3 平行线的性质1课时9.4 平行线的判定2课时回顾与总结1课时第10章一次方程组（9课时）10.1 认识二元一次方程组1课时10.2 二元一次方程组的解法2课时*10.3 三元一次方程组2课时10.4 列方程组解应用题3课时回顾与总结1课时第11章整式的乘除（14课时）11.1 同底数幂的乘法1课时11.2 积的乘方与幂的乘方2课时11.3 单项式的乘法2课时11.4 多项式的乘法2课时11.5 同底数幂的除法1课时11.6 零指数幂和负整数指数幂4课时回顾与总结2课时第12章乘法公式和因式分解（7课时）12.1 平方差公式1课时12.2 完全平方公式2课时12.3 用提公因式法进行因式分解1课时12.4 用公式法进行因式分解2课时回顾与总结1课时综合与实践多边形的密铺2课时第13章平面图形的认识（10课时）13.1 三角形4课时13.2 多边形2课时13.3 圆2课时综合与实践多边形的密铺2课时第14章位置与坐标（6课时）14.1 用有序数对表示位置1课时14.2 平面直角坐标系1课时14.3 直角坐标系中的简单图形2课时14.4 用方向和距离描述两个物体的相对位置1课时八（上）(59课时)第1章全等三角形（9课时）1.1 全等三角形1课时1.2 怎样判定三角形全等4课时1.3 尺规作图3课时回顾与总结1课时第2章图形的轴对称（12课时）2.1 图形的轴对称1课时2.2 轴对称的基本性质2课时2.3 轴对称图形1课时2.4 线段的垂直平分线2课时2.5 角的平分线1课时2.6 等腰三角形3课时第3章分式（15课时）3.1 分式和它的基本性质2课时3.2 分式的约分1课时3.3 分式的乘法和除法1课时3.4 分式的通分1课时3.5 分式的加法与减法2课时3.6 比和比例3课时3.7 分式方程3课时回顾与总结2课时第4章数据分析（9课时）4.1 加权平均数2课时4.2 中位数1课时4.3 众数1课时4.4 数据的离散程度1课时4.5 方差2课时4.6 用计算器求平均数及方差1课时回顾与总结1课时第5章几何证明初步（12课时）5.1 定义与命题1课时5.2 为什么要证明1课时5.3 什么是几何证明1课时5.4 平行线的性质定理和判定定理1课时5.5 三角形内角和定理2课时5.6 几何证明举例4课时回顾与总结2课时八（下）(61课时)第6章实数（15课时）6.1 算术平方根1课时6.2 勾股定理1课时6.3 2是有理数吗2课时6.4 由边长判定直角三角形2课时6.5 平方根1课时6.6 立方根1课时6.7 用计算器求平方根与立方根2课时6.8 实数3课时回顾与总结2课时第7章一元一次不等式（8课时）7.1 不等式的基本性质2课时7.2 一元一次不等式2课时7.3 列一元一次不等式解应用题1课时7.4 一元一次不等式组2课时回顾与总结1课时第8章二次根式（7课时）8.1 二次根式和它的性质3课时8.2 二次根式的加减法1课时8.3 二次根式的乘法和除法2课时回顾与总结1课时第9章一次函数（9课时）9.1 函数的图象2课时9.2 一次函数和它的图象2课时9.3 一次函数的性质1课时9.4 一次函数与二元一次方程1课时9.5 一次函数与一元一次不等式2课时回顾与总结1课时综合与实践从函数图象中获取信息2课时第10章平行四边形（11课时）10.1 平行四边形及其性质2课时10.2 平行四边形的判定2课时10.3 特殊的平行四边形4课时10.4 三角形中位线定理1课时回顾与总结2课时第11章图形的平移和旋转（9课时）11.1 图形的平移3课时11.2 图形的旋转3课时11.3 图形的中心对称2课时回顾与总结1课时九（上）（62课时）第1章相似多边形（12课时）1.1 相似多边形1课时1.2 相似三角形的判定5课时1.3 相似三角形的性质1课时1.4 图形的位似2课时回顾与总结2课时第2章解直角三角形（11课时）2.1 锐角三角比1课时2.2 30°，45°，60°角的三角比1课时2.3 用计算器求锐角三角比2课时2.4 解直角三角形2课时2.5 解直角三角形的应用3课时回顾与总结2课时第3章对圆的进一步认识（18课时）3.1 圆的对称性3课时3.2 确定圆的条件2课时3.3 圆周角3课时3.4 直线与圆的位置关系4课时3.5 三角形的内切圆1课时3.6 弧长与扇形面积计算1课时3.7 正多边形与圆2课时回顾与总结2课时综合与实践图形变化与图案设计2课时第4章一元二次方程（13课时）4.1 一元二次方程2课时4.2 用因式分解法解一元二次方程1课时4.3 用配方法解一元二次方程2课时4.4 用公式法解一元二次方程3课时*4.5 一元二次方程根与系数的关系1课时4.6一元二次方程的应用2课时回顾与总结2课时第5章走进概率（7课时）5.1 随机事件1课时5.2 概率的意义1课时5.3 概率的简单计算2课时5.4 用列举法计算概率2课时回顾与总结1课时九（下）（41课时）第6章对函数的再探索（17课时）6.1 函数与它的表示法3课时6.2 反比例函数3课时6.3 二次函数1课时6.4 二次函数y=ax2的图象和性质1课时6.5 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质3课时*6.6 确定二次函数的解析式1课时6.7 二次函数与一元二次方程1课时6.8 二次函数的应用2课时回顾与总结2课时第7章频率与概率（7课时）7.1 频数与频率1课时7.2 频数直方图2课时7.3 用频率估计概率2课时7.4 随机现象的发展趋势1课时回顾与总结1课时综合与实践质数的分布2课时第9章投影与视图（7课时）9.1 中心投影1课时9.2 平行投影3课时9.3 物体的三视图2课时回顾与总结1课时。

2025年中考数学考点分类专题归纳之圆

2025年中考数学考点分类专题归纳圆知识点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.备注：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.备注：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.4．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.备注：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.知识点二、与圆有关的位置关系1．判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O 外；点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.备注：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点A1，A2……A n在同一个圆上的方法当A1O=A2O=……=A n O=R时，A1，A2……A n在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为.(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4．切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.知识点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.备注：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.知识点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.备注：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.1．（2024•贺州）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB，BD＝5，则AH的长为（）A．B．C．D．2．（2024•张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm3．（2024•襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（）A．4 B．2C．D．24．（2024•衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm5．（2024•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（）A．B．2C．2D．86．（2024•安顺）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm7．（2024•临安区）如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（）A．B．C．D．8．（2024•乐山）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸9．（2024•日照）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED 的正切值等于（）A．B．C．2 D．10．（2024•巴中）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝4，则半径OB 等于（）A．B．2 C．2D．311．（2024•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD＝130°，则∠C的度数是（）A．50°B．60°C．25°D．30°12．（2024•盘锦）如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC＝50°，则∠ADB的度数为（）A．15°B．25°C．30°D．50°13．（2024•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（）A．15°B．35°C．25°D．45°14．（2024•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C的度数为（）A．84°B．60°C．36°D．24°15．（2024•铜仁市）如图，已知圆心角∠AOB＝110°，则圆周角∠ACB＝（）A．55°B．110°C．120°D．125°16．（2024•通辽）已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°17．（2024•咸宁）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（）A．6 B．8 C．5D．518．（2024•陇南）如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°19．（2024•盐城）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°20．（2024•邵阳）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）A．80°B．120°C．100°D．90°21．（2024•泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．822．（2024•牡丹江）如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC，BC＝2，则⊙O的半径为（）A．3B．6C．4D．223．（2024•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．24．（2024•湘西州）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定25．（2024•湘西州）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为（）A．10 B．8 C．4D．426．（2024•福建）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB＝50°，则∠BOD等于（）A．40°B．50°C．60°D．80°27．（2024•宜昌）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°28．（2024•重庆）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（）A．4 B．2C．3 D．2.529．（2024•海南）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D 在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为_______．30．（2024•烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_________．31．（2024•孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是______cm．32．（2024•广元）如图是一块圆环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB＝8cm、点C 与的中点D的距离CD＝2cm．则此圆环形玉片的外圆半径为___cm．33．（2024•舟山）如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝10cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为________cm．34．（2024•毕节市）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为_____．35．（2024•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝____度．36．（2024•黑龙江）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝_____．37．（2024•吉林）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，，若∠AOB＝58°，则∠BDC＝____度．38．（2024•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝_____．39．（2024•绥化）如图，△ABC是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是________（结果用含π的式子表示）．40．（2024•常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°，的长是，则⊙O的半径是___．41．（2024•新疆）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是__．42．（2024•临沂）如图．在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是______cm．43．（2024•内江）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28＝410b，则△ABC的外接圆半径＝_．44．（2024•益阳）如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝____度．45．（2024•枣庄）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．（1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．46．（2024•徐州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；（2）若∠CDB＝60°，AB＝6，求的长．。

(浙教版)九年级数学下册同步备课系列专题2.3 三角形的内切圆(作业)

第2章直线与圆的位置关系2.3 三角形的内切圆一、单选题1．如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值是（）A．4B．4C．4D．4【答案】B【分析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD＋PG转化为D′G找到最小值．【详解】取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆．连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG．连CG并延长交AB于点E．由以上作图可知，BG⊥EC于G．PD＋PG＝PD′＋PG＝D′G由两点之间线段最短可知，此时PD＋PG最小．∵D′C′＝8，OC′＝12∴D′O=∴D′G＝4∴PD＋PG的最小值为4故选B．【点睛】本题考查与圆有关的线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短． 2．如图，在O 中，AB 是直径，点D 是O 上一点，点C 是弧AD 的中点，CE AB ⊥于点E ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE ，CB 于点PQ ．连接AC ，关于下列结论：①BAD ∠= ABC ∠；②GP GD =；③点P 是ACQ ∆的外心，其中正确结论是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】C【分析】由于AC 与BD 不一定相等，根据圆周角定理可知①错误；连接OD ，利用切线的性质，可得出∠GPD ＝∠GDP ，利用等角对等边可得出GP ＝GD ，可知②正确；先由垂径定理得到A 为CF 的中点，再由C 为AD 的中点，得到CD AF =，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP ＝∠ACP ，利用等角对等边可得出AP ＝CP ，又AB 为直径得到∠ACQ 为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ ＝∠PQC ，得出CP ＝PQ ，即P 为直角三角形ACQ 斜边上的中点，即为直角三角形ACQ 的外心，可知③正确；【详解】∵在⊙O 中，AB 是直径，点D 是⊙O 上一点，点C 是弧AD 的中点，∴AC ＝CD ≠BD ，∴∠BAD ≠∠ABC ，故①错误；连接OD ，则OD ⊥GD ，∠OAD ＝∠ODA ，∵∠ODA ＋∠GDP ＝90︒，∠EPA ＋∠EAP ＝∠EAP ＋∠GPD ＝90︒，∴∠GPD ＝∠GDP ；∴GP ＝GD ，故②正确；∵弦CF ⊥AB 于点E ，∴A 为CF 的中点，即AF AC =，又∵C 为AD 的中点，∴AC CD =，∴CD AF =，∴∠CAP ＝∠ACP ，∴AP ＝CP ．∵AB 为圆O 的直径，∴∠ACQ ＝90︒，∴∠PCQ ＝∠PQC ，∴PC ＝PQ ，∴AP ＝PQ ，即P 为Rt △ACQ 斜边AQ 的中点，∴P 为Rt △ACQ 的外心，故③正确；故选C ．【点睛】此题是圆的综合题，其中涉及到切线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，平行线的判定，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．3．如图，把ABC ∆剪成三部分，边AB ，BC ，AC 放在同一直线l 上，点O 都落在直线MN 上，直线//MN l .在ABC ∆中，若130BOC ∠=︒，则BAC ∠的度数为（）A ．70︒B ．75︒C ．80︒D ．85︒【答案】C【分析】首先利用平行线间的距离处处相等，得到点O 是△ABC 的内心，点O 为三个内角平分线的交点，从而容易得到∠BOC=90°+12∠BAC ，通过计算即可得到答案．【详解】解：如图，过点O 分别作OD ⊥AC 于D ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥BC 于F ，∵直线MN ∥l ，∴OD=OE=OF ，∴点O 是△ABC 的内心，点O 为三个内角平分线的交点，∴∠BOC=180-12（180-∠BAC ）=90°+12∠BAC=130°， ∴∠BAC=80°.故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形内心的性质及判定，利用平行线间的距离处处相等判定点O 是△ABC 的内心是解题的关键．4．一个等腰直角三角形的内切圆与外接圆的半径之比为（）A B ．2 C 1 D 1【分析】设等腰直角三角形的直角边是1．根据直角三角形的内切圆半径是两条直角边的和与斜边的差的一半，得其内切圆半径是22-；其外接圆半径是斜边的一半，得其外接圆半径是2．所以它们21．【详解】解：设等腰直角三角形的直角边是1；∵内切圆半径是22-，外接圆半径是2，1．故选：D ．【点睛】本题考查三角形的内切圆与外接圆的知识，解题的关键是熟记直角三角形外接圆的半径和内切圆的半径公式：直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半；直角三角形外接圆的半径是斜边的一半．5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？“其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，求直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径”则该圆的直径为（）A ．6步B ．5步C ．4步D ．3步【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，可确定出内切圆半径，即可求得直径．【详解】=17，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r=815172+-=3（步），即直径为6步，故选：A ．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，掌握Rt △ABC 中，三边长为a ，b ，c （斜边），其内切圆半径r=2a b c +-是解题的关键．6．下列关于三角形的内心说法正确的是（）A ．内心是三角形三条角平分线的交点B ．内心是三角形三边中垂线的交点C ．内心到三角形三个顶点的距离相等D ．钝角三角形的内心在三角形外【答案】A【分析】根据三角形内心定义即可得到答案.【详解】∵内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，∴A 正确，B 、C 、D 均错误，故选：A.【点睛】此题考查三角形的内心，熟记定义是解题的关键.7．如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ，连接BD ，BE ，CE ，若∠CBD=32°，则∠BEC 的度数为（）A ．128°B ．126°C ．122°D ．120°【答案】C【分析】根据圆周角定理推论可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC ，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB ，再根据三角形内角和定理可求∠BEC 的度数．【详解】在⊙O 中，∵∠CBD=32°，∵∠CAD=32°，∵点E 是△ABC 的内心，∴∠BAC=64°，∴∠EBC+∠ECB=（180°-64°）÷2=58°，∴∠BEC=180°-58°=122°．故选：C ．【点睛】考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理推论，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB 的度数． 8．如图，O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE OB =，84AOC ∠=，则E ∠＝( )A ．28B ．42C ．21D ．20【答案】A【分析】根据示意图结合已知条件可得出,2E DOE OCD ODC E ∠=∠∠=∠=∠，因此，1804COD E ∠=︒-∠，即可得出180(18044)8E E =︒-∠-︒-∠，计算即可得出答案．【详解】解：∵DE OB =∴DE OD =∴,2E DOE OCD ODC E ∠=∠∠=∠=∠∴1804COD E ∠=︒-∠∴180(18044)8E E =︒-∠-︒-∠∴28E ∠=︒故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是圆的综合题目，根据示意图得出,2E DOE OCD ODC E ∠=∠∠=∠=∠是解此题的关键．二、填空题9．阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：已知：ABC.求作：ABC 的内切圆．小明的作法如下：如图2，()1作ABC ∠，ACB ∠的平分线BE 和CF ，两线相交于点O ；()2过点O 作OD BC ⊥，垂足为点D ；()3点O 为圆心，OD 长为半径作O.所以，O 即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是______．【答案】到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【分析】根据三角形的内切圆，三角形的内心的定义，角平分线的性质即可解答.【详解】解：该尺规作图的依据是到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故答案为到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点睛】此题主要考查了复杂作图，三角形的内切圆与内心，关键是掌握角平分线的性质．10．边长分别为3、4、5的三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为________.【答案】1:2.5【解析】设三角形为△ABC，∵32+42=52，∴△ABC为直角三角形，∴外接圆的直径为5，∴外接圆的半径为2.5，设内切圆的半径为r，∵S△ABC=12，AB+BC+CA，•r，即12×3×4=12×，3+4+5，r，解得r=1，∴该三角形内切圆半径与外接圆半径之比为1，2.5，故答案是，1，2.5，11．已知等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，则△ABC的内切圆半径为cm．【答案】r=103【解析】试题分析：如图，设，ABC的内切圆半径为r，由勾股定理得AD=12，再由切线长定理得AE=8，根据勾股定理求得r 即可．试题解析：如图，，AB=AC=13cm ，BC=10cm ，，BD=5cm ，，AD=12cm ，根据切线长定理，AE=AB -BE=AB -BD=13-5=8，设，ABC 的内切圆半径为r ，，AO=12-r ，，（12-r ）2-r 2=64，解得r=103．考点：1．三角形的内切圆与内心；2．等腰三角形的性质．12．如图，已知点O 是ABC ∆的内心，若120BOC ∠=，则A ∠=__________．【答案】60【分析】先利用120BOC ∠=，可求出∠OBC ＋∠OCB ，再利用三角形的内心即为三个内角角平分线的交点，可求出∠ABC ＋∠ACB ，然后就可求出∠A.【详解】∵120BOC ∠=∴∠OBC ＋∠OCB=180°－∠BOC=60°又∵点O 是ABC ∆的内心∴BO、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB∴∠ABC ＋∠ACB=2（∠OBC ＋∠OCB ）=120°∴∠A=180°－（∠ABC ＋∠ACB ）=60°故答案为：60【点睛】此题考查的是三角形内心的定义和三角形内角和定理.13．如图，在O 中，弦4AB =，点C 在AB 上移动，连结OC ，过点C 作CD OC ⊥交O 于点D ，则CD 的最大值为__________．【答案】2【分析】连接OD ，根据勾股定理求出CD ，利用垂线段最短得到当OC ⊥AB 时，OC 最小，根据垂径定理计算即可；【详解】如图，连接OD ，∵CD ⊥OC ，∴∠DCO=90︒，∴CD当OC 的值最小时，CD 的值最大，OC ⊥AB 时，OC 最小，此时D 、B 两点重合，∴CD=CB=12AB=2，即CD 的最大值为2；故答案为：2.【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键.14．在ABC ∆中，70A ∠=︒，若O 为ABC ∆的外心，则BOC ∠=______度；若O 为ABC ∆的内心，则BOC ∠=______度.【答案】140 125【分析】若O 为ABC ∆的外心，根据圆周角定理，即可求解；若O 为ABC ∆的内心，根据内心是角平分线的交点，再结合三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：如图一，点O 是三角形的外心．根据圆周角定理，得∠BOC=2∠A=140°；如图二，点O 是三角形的内心．∴BO 、CO 平分∠ABC 、∠ACB ，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-12（∠ABC+∠ACB ） =180°-12（180°-∠A ） =90°+12∠A=125°．故答案为140，125．【点睛】本题考查三角形外心和内心的定义，熟练掌握圆周角定理，熟记内心为三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．三、解答题15．如图，点D 是ABC 外接圆的圆心，点O 是ABC 内切圆的圆心，已知110A ∠=︒，求BOC ∠和BDC ∠的度数．【答案】145BOC ∠=︒，140BDC ∠=︒【分析】如图，在D 上取点H ，连接,,BH CH 由圆的内接四边形的性质求解H ∠，再利用圆周角定理求解,BDC ∠ O 为ABC 的内心，可得,OB OC 分别平分,,ABC ACB ∠∠结合三角形的内角和定理可得()()1118022OBC OCB ABC ACB A ∠+∠=∠+∠=︒-∠，再利用内角和定理可得BOC ∠的大小．【详解】解：如图，在D 上取点H ，连接,,BH CH四边形ABHC 为D 的内接四边形，110A ∠=︒，18011070H ∴∠=︒-︒=︒，2140,BDC H ∴∠=∠=︒O 为ABC 的内心，,OB OC ∴分别平分,,ABC ACB ∠∠11,,22OBC ABC OCB ACB ∴∠=∠∠=∠ ()()1118022OBC OCB ABC ACB A ∴∠+∠=∠+∠=︒-∠ ()1180110352=⨯︒-︒=︒， ()180********.BOC OBC OCB ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，圆周角定理的应用，三角形内心的含义，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．16．如图所示,AB 为☉O 的直径,CD 是☉O 的弦,AB ,CD 的延长线交于点E ,已知AB=2DE ,∠AEC=20°.求∠AOC 的度数.【答案】∠AOC=60°.【分析】连接OD ，如图，由AB，2DE，AB，2OD 得到OD，DE ，根据等腰三角形的性质得∠DOE，∠E，20°，再利用三角形外角性质得到∠CDO，40°，加上∠C，∠ODC，40°，然后再利用三角形外角性质即可计算出∠AOC，【详解】解:连接OD.∵AB=2DE ,AB=2OD ,∴OD=DE ,∴∠DOE=∠E=20°,∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°,∵OC=OD ,∴∠C=∠ODC=40°,∴∠AOC=∠C+∠E=60°.【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．17．如图，AB 是O 的直径，点D 是O 上一点，DC AB ⊥于点C .（1）如图①，连接,OD BD ，若点C 是AO 的中点，求ODB ∠的大小；（2）如图②，过点D 作O 的切线，交AB 的延长线于点E ，DF OE 交O 于点F ，且DF OE =.若O 的半径为2，求CE 的长.【答案】（1）30°；（2【分析】（1）连接AD ，根据已知条件可得出AD=OD=OA ，因此，AOD 是等边三角形，得出DAO 60∠=︒，继而得出30ODB OBD ∠=∠=︒；（2）连接, OF OD ，可得四边形OFDE 为平行四边形，有2OF OD DE ===，DE 为圆的切线，90ODE ∠=︒，因此，ODE 为等腰直角三角形，可求出OE 的值，进一步求出CE 的长．【详解】解：（I ）如图，连接AD ，∵点C 是AO 的中点，∴AC OC =，∵DC AB ⊥，∴AD OD =，∵OA OD =，∴OA OD AD ==，∴AOD △为等边三角形，∴60AOD ∠=︒，∴30OBD ∠=︒，∵OB OD =，∴30ODB OBD ∠=∠=︒．（2）如图，连接, OF OD ，∵DE 为O 的切线，∴90ODE ∠=︒，∵,DF OE DF OE =，∴四边形OFDE 为平行四边形，∴2OF OD DE ===，∴ODE 为等腰直角三角形，∴OE =∵DC AB ⊥，∴12CE OE == 【点睛】本题是一道关于圆的综合题目，涉及到的知识点有圆的切线的性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理等，属于容易题，失分原因：（1）不能根据AC OC =判断出AOD △是等边三角形；（2）不能正确的作出辅助线证明四边形OFDE 是平行四边形；未能掌握等腰直角三角形的性质． 18．如图：在三角形ABC 中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径．【分析】作AD BC ⊥，根据勾股定理求解ABC S，再结合内切圆的性质，利用等面积转换的方法求解即可．【详解】如图，作AD BC ⊥，设BD x =，则8CD x =-，由勾股定理可知：2222AB BD AC CD -=-，则()2225498x x -=--，解得52x =，则2AD =，故11822ABC S BC AD ==⨯=△ 由三角形的内切圆性质，可得：()12ABC S r AB BC AC =++△2578ABC S r AB BC AC ∴===++++△．【点睛】本题考查了勾股定理计算以及三角形的内切圆性质，能够灵活利用三角形的面积转换是解决问题的关键． 19．在同一平面直角坐标系中有6个点：A （1，1），B （−3，−1），C （−3，1），D （−2，−2），E （−2，−3），F （0，−4）．（1）画出△ABC 的外接圆P ，则点D 与P 的位置关系___；（2）△ABC 的外接圆的半径=___，△ABC 的内切圆的半径=___．（3）若将直线EF 沿y 轴向上平移，当它经过点D 时，设此时的直线为1l ，则直线1l 与⊙P 的位置关系____【答案】（1）见解析，在圆上；（2）△ABC ABC 的内切圆的半径：3（3）直线与圆相交【分析】（1）分别找出AC 与BC 的垂直平分线，交于点P ，即为圆心，求出AP 的长即为圆的半径，画出圆P ，如图所示，求出D 到圆心P 的距离，与半径比较即可做出判断；（2）求出三角形ABC 的外接圆半径，内切圆半径即可；（3）根据图形及直线与圆的位置关系即可判断．【详解】（1）画出△ABC 的外接圆P ，如图所示，∵DP r ===，∴点D 与P 的位置关系是点在圆上；故答案为：在圆上；（2）△ABC 的外接圆的半径AP ABC 的内切圆的半径为242+-3=3（3）画图之后由网格图得，直线与圆相交故答案为：相交．【点睛】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，两点间的距离公式，点与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．20．如图，在ABC 中，8AB =，6AC =，O 是其内部一点，AO 平分BAC ∠，连接OC ，在AB 上取一点D ，使6AD =，连接OD ．（1）求证：ADO △△ACO △；（2）若130AOD ∠=︒，连接CD ，求OCD ∠的度数；（3）若O 是ABC 的内心，过O 作OM BC ⊥于M ，求CM 的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）40︒；（3）06CM <<．【分析】（1）由SAS 证明三角形全等；（2）根据全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，解得100DOC ∠=︒，再由等腰三角形等边对等角的性质解题即可；（3）过O 作ON AC ⊥于N ，OQ AB ⊥于Q ，由于三角形内心是三角形三个内角平分线的交点，可知OCN OCM ∠=∠，再由ASA 证明OCN ，OCM ，最后有全等三角形对应边相等的性质，解得CN CM =，同理解得BM BQ =，AN AQ =，根据三角形三边关系解出答案即可．【详解】解：（1）证明：，6AD AC ==，DAO CAO ∠=∠，AO AO =，，ADO △，ACO △．（2），ADO △，ACO △，，OD OC =，130AOD AOC ∠=∠=︒，，100DOC ∠=︒，，OD OC =，，40OCD ODC ∠=∠=︒．（3）过O 作ON AC ⊥于N ，OQ AB ⊥于Q ，，O 是ABC 的内心，，OCN OCM ∠=∠，，OC OC =，90ONC OMC ∠=∠=︒，，OCN ，OCM ，，CN CM =．同理可得BM BQ =，AN AQ =，，AN CN CM BM BQ AQ AB BC AC +++++=++，，22CM AB AB AC BC +=++，，22BC CM =+，，214BC <<，，22214CM <+<，，06CM <<【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内心的性质、等腰三角形的性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．。

沪科版9数学下册第24章三角形的内切圆

知2－讲
方法二：如图，连接OD，OE，则OE⊥AC，OD⊥BC，又∵EC⊥CD，且OE＝OD＝r， ∴四边形OECD是正方形． ∴EC＝CD＝r . ∴AB＝AF＋BF＝AE＋BD
＝(AC－EC)＋(BC－CD) ＝3－r＋4－r＝7－2r .
又易知AB＝ AC 2 BC 2 32 42 5,
②AO平分∠BAC.
③∵点O为△ABC三个角的平分线的交
点，O到BC边的距离为2，
∴点O到三边的距离相等，均为2，
∵△ABC的周长为30，
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC
＝
1 2
(AB＋BC＋
AC)×2＝30.
总结
知2－讲
本题运用数形结合思想及面积法．求距离和差的最值问题，一般通过轴对称作图，化折线为直线，最终转化为利用两点之间线段最短求解的问题．高不离面积，出现垂线段时，可联想到利用面积法求解问题．
径是唯一确定的)，而任意多边形不一定有内切圆． (2)一个圆有无数个外切三角形． (3)一般地，若I是△ABC的内心，则有
∠BIC＝90°＋ 1∠A. 2
知1－讲
例1 如△ABC的内切圆⊙O和各边分别相切于D，E， F，则O是△DEF的( D ) A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
知识点 2 三角形内切圆的性质
知2－讲
三角形的内心的性质：
三角形的内心到三角形的三边距离相等．
拓展：
(1)若三角形的面积为S，周长为l，内切圆半径为r，
则S＝ 1 lr.
2
(2)直角角形内切圆的半径r＝
1
(直角边长a＋直角
2
边长b－斜边长c)．

2.5.4 三角形的内切圆

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第06讲切线长定理与弦切角定理(原卷版)-2024-2025学年九年级数学上册同步学与练(人教版

第06讲切线长定理与弦切角定理课程标准学习目标①切线长的定义与切线长定理②三角形的内切圆与内心③弦切角的定义与弦切角定理1.掌握切线长的定义与切线长定理，并能够熟练的运用切线长解决问题。

2.掌握并能够画三角形的内切圆，掌握三角形的内心极其性质，并能够运用其解决相关问题。

3.掌握弦切角的定义与定理并熟练运用。

知识点01 切线长定理1.切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

即如图，若PA与PB是圆的切线，切点分别是A与B，则PA 与PB的长度是切线长。

2.切线长定理：从圆外一点作圆的切线，可以作条，它们的长度。

圆心和这一点的连线两条切线的夹角。

即P A PB，∠APO∠BPO。

推广：有切线长定理的结论可得：①△APO△BPO⇒∠AOP∠B OP⇒AM⌒AM⌒⇒AB OP。

题型考点：①切线长定理的应用。

【即学即练1】1．如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为．【即学即练2】2．如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D 点，则DF的长为（）A．2B．3C．4D．6【即学即练3】3．如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D，若P A＝5，则△PCD的周长为（）A．5B．7C．8D．104．如图所示，P是⊙O外一点，P A，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交P A，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则P A的长为（）A．12B．6C．8D．4知识点02 三角形的内切圆与内心1.内切圆的定义：如图：与三角形各边都的圆叫三角形的。

三角形叫做圆的。

2.内心：三角形的的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角形三个内角的交点。

所以圆心到三角形三边的距离相等。