2018届高考数学(理)专题复习：第一部分 专题二 函数、不等式、导数 1-2-3 含答案
2018年高考数学二轮复习专题二函数与导数2.3.2利用导数解不等式及参数范围课件
利用导数解与不等式恒成立有关的问题
【思考】 求解不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题的基本
方法有哪些?
例 2 已知函数 f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).
(1)设 a=2,b= .
1 2
①求方程 f(x)=2 的根; ②若对于任意 x∈R,不等式 f(2x)≥mf(x)-6 恒成立,求实数 m 的
②由条件知 f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.
因为 f(2x)≥mf(x)-6 对于 x∈R 恒成立,且 f(x)>0, 所以
(������(������)) +4 m≤ 对于 ������(������)
2
x∈R 恒成立.
4 (������(0))2 +4 ������(������)· =4,且 =4, ������(������) ������(0)
-4-
(1)解 由题意可知点 A(0,1). 由 f(x)=ex-ax,得 f'(x)=ex-a. 所以 f'(0)=1-a=-1,得 a=2. 所以 f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2. 令 f'(x)=0,得 x=ln 2, 当 x<ln 2 时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当 x>ln 2 时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以当 x=ln 2 时,f(x)取得极小值,极小值为 f(ln 2)=2-2ln 2=2-ln 4.f(x) 无极大值. (2)证明 令 g(x)=ex-x2,则 g'(x)=ex-2x. 由(1)得 g'(x)=f(x)≥f(ln 2)=2-ln 4>0, 则 g(x)在 R 上单调递增. 因为 g(0)=1>0,所以当 x>0 时,g(x)>g(0)>0,即 x2<ex.
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第二章 函数、导数及其应用 2.4 精品
y=b的图象如图所示.由图象可得
|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则
b应满足的条件是b∈[-1,1].
答案:[-1,1]
考向三 指数函数的性质及应用
【典例3】(1)(2016·威海模拟)下列各式比较大小正
确的是 ( )
A.1.72.5>1.73
B.0.6-1>0.62
C.0.8-0.1>1.250.2
第四节 指数函数
【知识梳理】 1.根式 (1)根式的概念 ①若_x_n=_a_,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*.式子 n a 叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
②a的n次方根的表示: n a (当n为奇数且n∈N*时),
xn=a⇒x= __n_a_(当n为偶数且n∈N*时).
(2)①f(x)的定义域是R,
【规范解答】(1)选A.函数f(x)=21-x=2×( 1)x,单调
2
递减且过点(0,2),选项A中的图象符合要求.
【一题多解】解答本题,你知道几种解法? 解答本题,还有以下解法: 选A.(采用平移法)因为函数f(x)=21-x=2-(x-1),所以先画 出函数y=2-x的图象,再将y=2-x图象的所有点的横坐标 向右平移1个单位,只有选项A符合.
(2)
(
5
1
a 3b2 )
(3a
1 2
b
1
)
2
1
(4a 3b3) 2
ab.
6
【解析】(1)原式= (
27
1
)3
72
( 25
1
)2
1
10 000
9
10 49 5 1 45.
2018届高考数学(理)二轮复习 名师讲义：专题一 函数与导数、不等式 第1讲
第1讲 函数图象与性质高考定位 1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象性质解决简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅲ卷)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )2.(2017·山东卷)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A.2B.4C.6D.83.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[－2，2]B.[－1，1]C.[0，4]D.[1，3]4.(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi =1x i ＝( )A.0B.mC.2mD.4m考 点 整 合1.函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.(2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x ). ②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0.③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.(3)周期性：①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x ＋2a )＝f (x )(a >0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数.②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数.③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数.④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数.易错提醒 错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接. 2.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.(数形结合)(3)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称.热点一 函数及其表示【例1】 (1)(2017·邯郸调研)函数y ＝lg （1－x 2）2x 2－3x －2的定义域为( )A.(－∞，1]B.[－1，1]C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 (2)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A.－74 B.－54 C.－34 D.－14【训练1】 (1)(2017·郑州二模)函数y ＝a －a x (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A.1B.2C.3D.4(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a ·2x，x ≥0，2－x ，x <0(a ∈R )，若f (f (－1))＝1，则a ＝( )A.14B.12C.1D.2热点二 函数的图象及应用 命题角度1 函数图象的识别【例2－1】 (2017·汉中模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x 的图象大致形状为( )命题角度2 函数图象的应用【例2－2】 (1)(2017·历城冲刺)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( ) A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值(2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1探究提高 1.已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【训练2】 (1)(2017·长沙二模)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|log 3x |的图象是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0.若|f (x )|≥ax ，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，0]B.(－∞，1]C.[－2，1]D.[－2，0]热点三 函数的性质与应用【例3】 (1)(2017·山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2).若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.(2)(2017·天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x ).若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <b <c B.c <b <a C.b <a <cD.b <c <a探究提高 1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.2.函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.【训练3】 (1)(2017·淄博诊断)已知奇函数f (x )＝⎩⎨⎧3x－a （x ≥0），g （x ）（x <0），则f (－2)的值等于________.(2)(2017·西安质检)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2e x ＋1，则( ) A.f (－3)<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3)<f (2) C.f (2)<f (－3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52D.f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3)1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f (x )＝1x ln x 的定义域时，只考虑x >0，忽视ln x ≠0的限制.2.如果一个奇函数f (x )在原点处有意义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0；若f (x )为偶函数，则f (|x |)＝f (x ).3.三种作函数图象的基本思想方法(1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图；(2)对函数解析式进行恒等变换，转化为已知方程对应的曲线； (3)通过研究函数的性质，明确函数图象的位置和形状.4.函数是中学数学的核心，函数思想是重要的思想方法，利用函数思想研究方程(不等式)才能抓住问题的本质，对于给定的函数若不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，数形结合直观求解.一、选择题1.(2017·唐山一模)若函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －1，x ≤1，5－x 2，x >1，则f (f (2))＝( ) A.1 B.4 C.0D.5－e 22.(2017·衡阳二模)已知函数g (x )的定义域为{x |x ≠0}，且g (x )≠0，设p ：函数f (x )＝g (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫11－2x －12是偶函数；q ：函数g (x )是奇函数，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.(2017·全国Ⅰ卷)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )4.已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a5.(2016·天津卷改编)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 二、填空题6.(2017·成都诊断)函数f (x )＝2x －12＋3x ＋1的定义域为________.7.(2017·郴州二模)已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，且f (log 124)＝－3，则a 的值为________.8.(2015·全国Ⅰ卷改编)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是________. 三、解答题9.已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)求函数f (x )的极值；(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围.10.(2017·贵阳质检)已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax1－x(a >0). (1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若－1<x <1时，均有f (x )≤0成立，求正实数a 的取值范围.。
高考数学(理)：专题02 函数与导数(含解析)
点睛：函数奇偶性与周期性相结合问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将 所求函数值自变量转化到已知解析式函数定义域内求解.
7.【2018 年理数全国卷 II】函数
图像大致为
A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解：
10.【2018 年理数天津卷】已知 ，函数 2 个互异实数解，则 取值范围是______________.
【答案】
若关于 方程
恰有
，
，原问题等价于函数 与函数 有两个不同
交点，求 取值范围.结合对勾函数和函数图象平移规律绘制函数 图象，同时绘制函数 图 象如图所示，考查临界条件，结合 观察可得，实数 取值范围是 .
点睛：本题核心在考查函数零点问题，函数零点求解与判断方法包括： (1)直接求零点：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点. (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断曲线，且 f(a)·f(b)＜ 0，还必须结合函数图象与性质(如单调性.奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁.母.雏各几何？”设鸡
翁，鸡母，鸡雏个数分别为 ， ， ，则 ___________.
【答案】 8 11 【解析】分析:将 z 代入解方程组可得 x,y 值.
当 时， ___________，
详解： 点睛：实际问题数学化，利用所学知识将陌生性质转化为我们熟悉性质，是解决这类问题突破 口.
4.【2018 年理新课标 I 卷】设函数
，若 为奇函数，则曲线
在
点 处切线方程为
A.
B.
【高考数学】2018届高三数学(理)二轮复习课件：专题二 函数、不等式、导数2.1(高频考点汇总PPT课件)
用哪一段求解.
◎ 变式训练 1．(2017· 石家庄市教学质量检测(一))设函数 ＝2，则实数 n 为( 5 A．－4 1 C.4 ) 1 B．－3 5 D．2
2x＋n，x<1， f(x)＝ log2x，x≥1
，若
3 ff4
解析： 因为
3 3 3 3 f 4 ＝2×4＋n＝2＋n，当2＋n<1，即
1 1 x 当 0＜x≤2时，原不等式为 2 ＋x＋2＞1，显然成立． 1 1 x 当 x＞2时，原不等式为 2 ＋2x－2＞1，显然成立． 1 综上可知，x＞－4. 答案： (1)B
1 (2)－4，＋∞
1.求函数值时的三个关注点 (1)形如 f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则． (2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段 求解． (3)对于利用函数性质的求值问题，必须依据条件找到函数满足的性质，利用该 性质求解． 2．[警示] 对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利
第一部分 专题突破——破译命题密码
专题二 函数、不等式、导数 第 1 课时 函数的图象与性质
高考对本部分考查主要从以下方面进行： (1)对于函数性质的考查往往综合多个性质，一般借助的载 体为二次函数、 指数函数、 对数函数或者由基本的初等函数 复合而成， 尤其在函数单调性、 奇偶性和周期性等性质的综 合问题上应重点加强训练．
解析： 排除选项 B.
sin x sin x (1)当 x→＋∞时， x2 →0,1＋x→＋∞，y＝1＋x＋ x2 →＋∞，故
π sin x 当 0＜x＜2时，y＝1＋x＋ x2 ＞0，故排除选项 A，C.故选 D. (2)由题意得，利用平移变换的知识画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图， 而
2018届高考数学(理)专题复习课件：第一部分 专题二 函数、不等式、导数 1-2-3
1 2 ∴a＝0 或 x0＝－ ，又 ax2 ＋ ( a ＋ 2) x ＋ 1 ＝ 2 x － 1 ，即 ax 0 0 0 0＋ax0＋2 2 1 ＝0，当 a＝0 时，显然不满足此方程，∴x0＝－2，此时 a＝8.
优解：求出 y＝x＋ln x 在(1,1)处的切线为 y＝2x－1
y＝2x－1， 由 2 y ＝ ax ＋a＋2x＋1，
1 1 ∴曲线 y＝x (x＞0)在点 P 处的切线的斜率 k2＝－x2， 0 由题意知 k1k2＝－1，即
得 ax2＋ax＋2＝0，
∴Δ＝a2－8a＝0， ∴a＝8 或 a＝0(显然不成立)．
答案：8
[母题变式] 将本例(3)改为已知函数 f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点(1，f(1)) 处的切线过点(2,7)，则 a＝________.
解析：通解：由题意可得 f′(x)＝3ax2＋1， ∴f′(1)＝3a＋1， 又 f(1)＝a＋2，∴f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点(1，f(1))处的切 线方程为 y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，又此切线过点(2,7)， ∴7－(a＋2)＝(3a＋1)(2－1)，解得 a＝1.
5－a 优解：∵f(1)＝2＋a，由(1，f(1))和(2,7)连线斜率 k＝ 1 ＝5 －a，f′(x)＝3ax2＋1，∴5－a＝3a＋1，∴a＝1.
答案：1
1．求曲线 y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点 P(x0，y0)，求 y＝f(x)过点 P 的切线方程：可先求 出切线的斜率 f′(x0)，由点斜式写出方程； (2)已知切线的斜率 k，求 y＝f(x)的切线方程： 设切点 P(x0，y0)，通过方程 k＝f′(x0)解得 x0，再由点斜式写出 方程；
2018届高考数学(理)二轮复习命题热点课件 专题 2.3.2 利用导数解不等式及参数的取值范围
时,h'(x)>0.
1 1
所以 h(x)在区间 0, 2 内单调递减,在区间 2 , + ∞ 内单调递增. 又 h(e-2)>0,h 2 <0,h(1)=0,所以 h(x)在区间 0, 2 内有唯一零点 x0,在区间 2 , + ∞ 内有唯一零点 1,且当 x∈(0,x0)时,h(x)>0;当 x∈ (x0,1)时,h(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,h(x)>0.
1 ������ 1
高频考点 命题热点一 命题热点二 命题热点三
-3-
(2)证明:由(1)知 f(x)=x2-x-xln x,f'(x)=2x-2-ln x. 设 h(x)=2x-2-ln x,则 当 x∈
1 0, 2 1 h'(x)=2-������. 1 ,+∞ 2
时,h'(x)<0;当 x∈
a≥3.
-������- ������2 -3������ 3 -������+ ������2 -3������ 3
当 a=3 时,f'(x)>0(x≠-1),故 f(x)在 R 上是增函数,f(x)没有极值; 当 a>3 时,f'(x)=0 有两个相异的实根 x1= ,x2= .
高频考点 命题热点一 命题热点二 命题热点三
设 g(x)=ax-a-ln x,则 f(x)=xg(x),f(x)≥0 等价于 g(x)≥0. 因为 g(1)=0,g(x)≥0,故 g'(1)=0,而 g'(x)=a-������,g'(1)=a-1,得 a=1. 若 a=1,则 g'(x)=1- .当 0<x<1 时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当 x>1 时,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以 x=1 是 g(x)的极小值点,故 g(x)≥g(1)=0. 综上,a=1.
2018届高考数学理二轮复习全国通用课件 专题一 函数与导数、不等式 第5讲 精品
即 1＋ln(x0＋1)＝x0，
又函数 h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以当 x∈(0，x0)时，h(x)＜h(x0)＝0；
当 x∈(x0，＋∞)时，h(x)＞h(x0)＝0. 从而当 x∈(0，x0)时，g′(x)＝h（xx2）＜0； 当 x∈(x0，＋∞)时，g′(x)＝h（xx2）＞0， 所以 g(x)在(0，＋∞)上的最小值为 g(x0)＝（x0＋1）[1＋x0ln（x0＋1）]＝x0＋1. 因此 f(x)＞x＋kx1－x2 在(0，＋∞)上恒成立等价于 k＜g(x)min＝x0 ＋1.由 x0∈(2，3)，知 x0＋1∈(3，4)，所以 k 的最大值为 3.
【训练1】 (2016·武汉模拟)设函数f(x)＝1－x2＋ln(x＋1).
(1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若不等式 f(x)＞x＋kx1－x2(k∈N*)在(0，＋∞)上恒成立， 求 k 的最大值.
解 (1)函数 f(x)的定义域为(－1，＋∞)， f′(x)＝x＋1 1－2x，由 f′(x)＞0，得－1＜x＜ 32－1； 由 f′(x)＜0，得 x＞ 32－1.所以函数 f(x)的单调递增区间为 －1， 32－1，单调递减区间为 32－1，＋∞.
设 g(x)＝ln x－mx－1x， 即∀x∈[1，＋∞)，g(x)≤0 恒成立， 等价于函数 g(x)在[1，＋∞)上的最大值 g(x)max≤0. g′(x)＝1x－m1＋x12＝－mx2x＋2 x－m. ①若 m≤0，g′(x)＞0，g(x)在[1，＋∞)上单调递增， 即 g(x)≥g(1)＝0，这与要求的 g(x)≤0 矛盾. ②若 m＞0，方程－mx2＋x－m＝0 的判别式 Δ＝1－4m2.
2018届高考数学(理)二轮专题复习：第一部分 专题二 函数、不等式、导数 1-2-4
限时规范训练七 导数的综合应用限时45分钟，实际用时分值81分，实际得分一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )取极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )取极大值．则上述判断中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④⑤D ．③解析：选D.当x ∈(－3，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，①错；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(2,3)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，②错；当x ＝2时，函数y ＝f (x )取极大值，④错；当x ＝－12时，函数y ＝f (x )无极值，⑤错．故选D.2．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析：选C.f ′(x )＝4x －1x ＝2x －12x ＋1x，∵x ＞0，由f ′(x )＝0得x ＝12.∴令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1≥0，k －1＜12＜k ＋1⇒1≤k ＜32.故C 正确．3．已知函数f (x )(x ∈R )满足f ′(x )＞f (x )，则( ) A ．f (2)＜e 2f (0) B ．f (2)≤e 2f (0) C ．f (2)＝e 2f (0)D ．f (2)＞e 2f (0)解析：选D.由题意构造函数g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x －f xex＞0，则g (x )＝f xex在R 上单调递增，则有g (2)＞g (0)，故f (2)＞e 2f (0)．4．不等式e x－x ＞ax 的解集为P ，且[0,2]⊆P ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，e －1) B ．(e －1，＋∞) C ．(－∞，e ＋1)D ．(e ＋1，＋∞)解析：选A.由题意知不等式e x－x ＞ax 在区间[0,2]上恒成立，当x ＝0时，不等式显然成立，当x ≠0时，只需a ＜e xx －1恒成立，令f (x )＝e xx－1，f ′(x )＝e xx －1x 2，显然函数在区间(0,1]上单调递减，在区间[1,2]上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值e －1，则a ＜e －1，故选A.5．设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋b x，它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线，则当x ＞1时，f (x )与g (x )的大小关系是( )A ．f (x )＞g (x )B ．f (x )＜g (x )C ．f (x )＝g (x )D ．f (x )与g (x )的大小关系不确定解析：选B.由题意得f (x )与x 轴的交点(1,0)在g (x )上，所以a ＋b ＝0，因为函数f (x )，g (x )的图象在此公共点处有公切线，所以f (x )，g (x )在此公共点处的导数相等，f ′(x )＝1x，g ′(x )＝a －b x 2，以上两式在x ＝1时相等，即1＝a －b ，又a ＋b ＝0，所以a ＝12，b ＝－12，即g (x )＝x 2－12x ，f (x )＝ln x ，令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －x 2＋12x ，则h ′(x )＝1x －12－12x 2＝2x －x 2－12x2＝－x －122x2，因为x ＞1，所以h ′(x )＜0，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以h (x )＜h (1)＝0，所以f (x )＜g (x )．故选B.6．设函数f (x )＝ax 3－x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]都有f (x )≥0，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2]B ．[0，＋∞)C ．[0,2]D ．[1,2]解析：选C.∵f (x )＝ax 3－x ＋1，∴f ′(x )＝3ax 2－1，当a ＜0时，f ′(x )＝3ax 2－1＜0，f (x )在[－1,1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)＝a ＜0，不符合题意．当a ＝0时，f (x )＝－x ＋1，f (x )在[－1,1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)＝0，符合题意． 当a ＞0时，由f ′(x )＝3ax 2－1≥0，得x ≥13a 或x ≤－13a ，当0＜13a ＜1，即a ＞13时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13a，13a 上单调递减，在⎝⎛⎦⎥⎤13a ，1上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝－a ＋1＋1＝2－a ≥0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 3－13a ＋1≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2a ≥427a ＞13，∴13＜a ≤2； 当13a ≥1，即0＜a ≤13时，f (x )在[－1,1]上单调递减， f (x )min ＝f (1)＝a ＞0，符合题意．综上可得，0≤a ≤2.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，且xf ′(x )＋f (x )＞0，则函数g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)的零点个数为________．解析：因为g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)，g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (0)＝1，y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，所以g (x )为(0，＋∞)上的连续可导函数，又g (x )＞g (0)＝1，所以g (x )在(0，＋∞)上无零点．答案：08．在函数f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2(x ＞0)的图象上任取两个不同点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，总能使得f (x 1)－f (x 2)≥4(x 1－x 2)，则实数a 的取值范围为________．解析：不妨设x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，∵f (x 1)－f (x 2)≥4(x 1－x 2)，∴f x 1－f x 2x 1－x 2≥4，∵f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2(x ＞0)∴f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)，∴a x ＋2(x ＋1)≥4，∴a ≥－2x 2＋2x ，又－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12≤12，∴a ≥12. 答案：a ≥129．设函数y ＝f (x )图象上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0)(x －x 0)，且f (3)＝0，则不等式x －1f x≥0的解集为________． 解析：∵函数y ＝f (x )图象上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0)(x －x 0)，∴f ′(x 0)＝3x 20－6x 0，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，设f (x )＝x 3－3x 2＋c ，又f (3)＝0，∴33－3×32＋c ＝0，解得c ＝0，∴f (x )＝x 3－3x 2，∴x －1f x ≥0可化为x －1x 3－3x 2≥0，解得0＜x ≤1或x ＜0或x ＞3. 答案：(－∞，0)∪(0,1]∪(3，＋∞)三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分) 10．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <m ，求m 的最小值．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，①若a ≤0，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意．②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，＋∞)单调递增． 故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点． 因为f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0， 故a ＝1.(2)由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0. 令x ＝1＋12n ，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12n ，从而ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <e.而⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋123>2，所以m 的最小值为3. 11．设函数f (x )＝e mx＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围． 解：(1)证明：f ′(x )＝m (e mx－1)＋2x .若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1≤0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1≥0，f ′(x )＞0.若m ＜0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1＞0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1＜0，f ′(x )＞0.所以，f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1,0]单调递减，在[0,1]单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f 1－f 0≤e－1，f－1－f0≤e－1，即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e－1，e －m＋m ≤e－1.①设函数g (t )＝e t－t －e ＋1，则g ′(t )＝e t－1. 当t ＜0时，g ′(t )＜0；当t ＞0时，g ′(t )＞0. 故g (t )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e ＜0，故当t ∈[－1,1]时，g (t )≤0. 当m ∈[－1,1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立； 当m ＞1时，由g (t )的单调性，g (m )＞0，即e m－m ＞e －1； 当m ＜－1时，g (－m )＞0，即e －m＋m ＞e －1. 综上，m 的取值范围是[－1,1]．12．已知函数f (x )＝mx 4x 2＋16，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －m |，其中m ∈R 且m ≠0. (1)判断函数f (x )的单调性；(2)当m ＜－2时，求函数F (x )＝f (x )＋g (x )在区间[－2,2]上的最值；(3)设函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x ≥2，g x ，x ＜2，当m ≥2时，若对于任意的x 1∈[2，＋∞)，总存在唯一的x 2∈(－∞，2)，使得h (x 1)＝h (x 2)成立，试求m 的取值范围．解：(1)依题意，f ′(x )＝m 4－x 24x 2＋42＝m 2－x 2＋x4x 2＋42， ①当m ≥0时，解f ′(x )≥0得－2≤x ≤2，解f ′(x )＜0得x ＜－2或x ＞2；所以f (x )在[－2,2]上单调递增，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减． ②当m ＜0时，解f ′(x )≤0得－2≤x ≤2，f ′(x )＞0得x ＜－2或x ＞2； 所以f (x )在[－2,2]上单调递减；在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增． (2)当m ＜－2，－2≤x ≤2时，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －m |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ＝2m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在[－2,2]上单调递减，由(1)知，f (x )在[－2,2]上单调递减，所以F (x )＝f (x )＋g (x )＝mx 4x 2＋16＋2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在[－2,2]上单调递减；∴F (x )max ＝F (－2)＝4×2m－m16＝2m ＋2－m16；F (x )min ＝F (2)＝2m －2＋m16.(3)当m ≥2，x 1∈[2，＋∞)时，h (x 1)＝f (x 1)＝mx 14x 21＋16，由(1)知h (x 1)在[2，＋∞)上单调递减， 从而h (x 1)∈(0，f (2)]，即h (x 1)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，m 16；当m ≥2，x 2＜2时，h (x 2)＝g (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x 2－m |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ·2x 2在(－∞，2)上单调递增， 从而h (x 2)∈(0，g (2))，即h (x 2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2；对于任意的x 1∈[2，＋∞)，总存在唯一的x 2∈(－∞，2)，使得h (x 1)＝h (x 2)成立，只需m16＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2，即m 16－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2＜0成立即可．记函数H (m )＝m16－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2，易知H (m )＝m16－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2在[2，＋∞)上单调递增，且H (4)＝0. 所以m 的取值范围为[2,4)．。
2018届高考数学(理)专题复习：第一部分 专题二 函数、不等式、导数 1-2-3含答案
限时规范训练六 导数的简单应用限时45分钟，实际用时分值81分，实际得分一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．设函数f(x)＝x 24－aln x ，若f ′(2)＝3，则实数a 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2解析：选B.f ′(x)＝x 2－a x ，故f ′(2)＝22－a2＝3，因此a ＝－4.2．曲线y ＝e x在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1) B ．(0,1) C ．(1，e)D ．(0,2)解析：选B.设A(x 0，e x 0)，y ′＝e x，∴y ′|x ＝x 0＝e x 0.由导数的几何意义可知切线的斜率k ＝e x 0.由切线与直线x －y ＋3＝0平行可得切线的斜率k ＝1. ∴e x 0＝1，∴x 0＝0，∴A(0,1)．故选B.3．若函数f(x)＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞解析：选D.若函数f(x)＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x)＝3x 2－4cx ＋1＝0有两根，故Δ＝(－4c)2－12＞0，从而c ＞32或c ＜－32. 4．已知f(x)＝aln x ＋12x 2(a ＞0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f x 1 －f x 2x 1－x 2≥2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1]解析：选A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2，所以函数的导数f ′(x)＝ax＋x ≥2.可得x ＝a 时，f ′(x)有最小值2.∴a ≥1.5．若定义在R 上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f ′(x)满足f ′(x)＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＜1kB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＞1k －1C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＜1k －1D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －1解析：选C.构造函数g(x)＝f(x)－kx ＋1，则g ′(x)＝f ′(x)－k ＞0，∴g(x)在R 上为增函数． ∵k ＞1，∴1k －1＞0，则g ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞g(0)． 而g(0)＝f(0)＋1＝0，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k k －1＋1＞0， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －1－1＝1k －1，所以选项C 错误，故选C.6．由曲线y ＝x 2，y ＝x 围成的封闭图形的面积为( ) A.16 B.13 C.23D ．1解析：选B.由题意可知所求面积(如图中阴影部分的面积)为⎠⎛01(x －x 2)dx ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎫23x 32－13x 310＝13.所以选B.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.解析：直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2，y＝ln(x＋1)均相切，设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝ln x＋2得y′＝1x，由y＝ln(x＋1)得y′＝1x＋1，∴k＝1x1＝1x2＋1，∴x1＝1k，x2＝1k－1，∴y1＝－ln k＋2，y2＝－ln k.即A⎝⎛⎭⎪⎫1k，－ln k＋2，B⎝⎛⎭⎪⎫1k－1，－ln k，∵A、B在直线y＝kx＋b上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－ln k＝k·1k＋b，－ln k＝k·⎝⎛⎭⎪⎫1k－1＋b解得⎩⎨⎧b＝1－ln 2，k＝2.答案：1－ln 28．已知函数f(x)＝－12x2－3x＋4ln x在(t，t＋1)上不单调，则实数t的取值范围是________．解析：由题意得，f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴t＞0，∴f′(x)＝－x－3＋4x＝0在(t，t＋1)上有解，∴x2＋3x－4x＝0在(t，t＋1)上有解，∴x2＋3x－4＝0在(t，t＋1)上有解，由x2＋3x－4＝0得x＝1或x＝－4(舍去)，。
2018版高考数学文二轮专题复习配套文档：专题一 函数
第2讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2xD.3y <2x <5z解析 令t ＝2x ＝3y ＝5z ， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t lg 5. ∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t （2lg 3－3lg 2）lg 2×lg 3＝lg t （lg 9－lg 8）lg 2×lg 3>0，∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t （2lg 5－5lg 2）lg 2×lg 5＝lg t （lg 25－lg 32）lg 2×lg 5<0，∴2x <5z ，∴3y <2x <5z . 答案 D2.(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A.－12B.13C.12D.1解析 f (x )＝(x －1)2＋a (e x －1＋e 1－x )－1，令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1.∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t ＋e t )－1＝g (t )， ∴函数g (t )为偶函数.∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点.又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12. 答案 C3.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________.解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥2 3 600x ×4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240. 答案 304.(2015·湖北卷)函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________.解析 f (x )＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，函数f (x )的零点个数可转化为函数y 1＝sin 2x 与y 2＝x 2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y 1＝sin 2x 与y 2＝x 2的图象如图所示：由图可知两函数图象有2个交点，则f (x )的零点个数为2. 答案 2考 点 整 合1.指数与对数式的七个运算公式 (1)a m ·a n ＝a m ＋n ；(2)(a m )n ＝a mn ；(3)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (4)log a MN ＝log a M －log a N ； (5)log a M n ＝n log a M ； (6)a log a N ＝N ；(7)log a N ＝log b Nlog ba (注：a ，b >0且a ，b ≠1，M >0，N >0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数. 3.函数的零点问题(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解. 4.应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.热点一 基本初等函数的图象与性质【例1】 (1)(2017·郑州一模)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x解析 (1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称. 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.(2)若f (x )具有性质M ，则[e x f (x )]′＝e x [f (x )＋f ′(x )]>0在f (x )的定义域上恒成立，即f (x )＋f ′(x )>0在f (x )的定义域上恒成立.对于选项A ，f (x )＋f ′(x )＝2－x －2－x ln 2＝2－x (1－ln 2)>0，符合题意. 经验证，选项B ，C ，D 均不符合题意. 答案 (1)B (2)A探究提高 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围.2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如求f (x )＝ln(x 2－3x ＋2)的单调区间，只考虑t ＝x 2－3x ＋2与函数y ＝ln t 的单调性，忽视t >0的限制条件. 【训练1】 (1)(2017·长沙一模)函数y ＝ln |x |－x 2的图象大致为( )(2)(2017·成都冲刺)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧34x ＋54，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (t ))＝2f (t )的t 的取值范围是________.解析 (1)令f (x )＝y ＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln|－x |－(－x )2＝ln |x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln|x |－x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B ，D ；当x >0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x －2x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22时，y ′＝1x －2x >0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.A 项满足.(2)若f (t )≥1，显然成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧t <1，34t ＋54≥1或⎩⎨⎧t ≥1，2t ≥1，解得t ≥－13.若f (t )<1，由f (f (t ))＝2f (t )，可知f (t )＝－1， 所以34t ＋54＝－1，得t ＝－3. 综上，实数t 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪⎪t ＝－3或t ≥－13. 答案 (1)A(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪⎪t ＝－3或t ≥－13 热点二 函数的零点与方程命题角度1 确定函数零点个数或其存在范围【例2－1】 (1)函数f (x )＝log 2x －1x 的零点所在的区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.(1，2)D.(2，3)(2)(2017·武汉二模)函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________.解析 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212－112＝－1－2＝－3＜0， f (1)＝log 21－11＝0－1＜0，f (2)＝log 22－12＝1－12＝12＞0，f (3)＝log 23－13＞1－13＝23＞0，即f (1)·f (2)＜0，∴函数f (x )＝log 2x －1x 的零点在区间(1，2)内.(2)f (x )＝4cos 2x 2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点. 答案 (1)C (2)2探究提高 1.函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.2.判断函数零点个数的主要方法：(1)解方程f (x )＝0，直接求零点；(2)利用零点存在定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.命题角度2 根据函数的零点求参数的取值或范围 【例2－2】 (2017·历城冲刺)已知函数f (x )＝ln 1＋x 1－x＋x 3，若函数y ＝f (x )＋f (k －x 2)有两个零点，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2 解析 因为f (x )＝ln1＋x 1－x＋x 3在区间(－1，1)上单增，且是奇函数，令y ＝f (x )＋ f (k －x 2)＝0，则f (x )＝－f (k －x 2)＝f (x 2－k )；由函数y ＝f (x )＋f (k －x 2)有两个零点，等价于方程x 2－x －k ＝0在区间(－1，1)上有两个根，令g (x )＝x 2－x －k ，则满足⎩⎨⎧Δ>0，g （－1）>0，g （1）>0，解得－14<k <0.答案 B探究提高 1.本题求解的关键是利用函数的性质，转化为一元二次方程x 2－x －k ＝0在区间(－1，1)内有两个零点，进而利用数形结合思想转化为不等式组求解. 2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.【训练2】 若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.解析 当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1. 因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点， 令f (x )＝0得a ＝2x ，因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1， 所以实数a 的取值范围是(0，1]. 答案 (0，1]热点三 函数的实际应用【例3】 (1)(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A.2018年 B.2019年 C.2020年D.2021年(2)(2017·河南省实验中学期中)为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. ①求k 的值及f (x )的表达式；②隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值.(1)解析 设2015年后的第n 年该公司投入的研发资金为y 万元，则y ＝130(1＋12%)n .依题意130(1＋12%)n >200，得1.12n >2013. 两边取对数，得n ·lg1.12>lg 2－lg 1.3， ∴n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元. 答案 B(2)解 ①当x ＝0时，C ＝8，∴k ＝40， ∴C (x )＝403x ＋5(0≤x ≤10)， ∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10).②由①得f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10. 令3x ＋5＝t ，t ∈[5，35]，则y ＝2t ＋800t －10，∴y ′＝2－800t 2，当5≤t <20时，y ′<0，y ＝2t ＋800t －10为减函数；当20<t ≤35时，y ′>0，y ＝2t ＋800t －10为增函数.∴函数y ＝2t ＋800t －10在t ＝20时取得最小值，此时x ＝5， 因此f (x )的最小值为70.∴隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元. 探究提高 解决函数实际应用题的两个关键点(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题.(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解.【训练3】 (2017·成都调研)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时. 解析 由已知条件，得192＝e b ， 又48＝e 22k ＋b ＝e b ·(e 11k )2， ∴e 11k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12，设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e33k ＋b＝192 e 33k＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.答案 241.指数函数与对数函数的图象和性质受底数a (a >0，且a ≠1)的取值影响，解题时一定要注意讨论，并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约.2.(1)忽略概念致误：函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与x 轴交点的横坐标.(2)零点存在性定理注意两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点. 3.利用函数的零点求参数范围的主要方法： (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解. 4.构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解. (2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.(3)构建f (x )＝x ＋ax (a >0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解.一、选择题1.(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093解析 M ≈3361，N ≈1080，M N ≈33611080，则lg M N ≈lg 33611080＝lg 3361－lg1080＝361lg 3－80≈93.∴MN ≈1093.答案 D2.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B.－2，0 C.12D.0解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0. 当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解.综上函数f (x )的零点只有0. 答案 D3.(2017·西安调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减. 答案 B4.(2017·长郡中学二模)函数f (x )＝ln x ＋e x (e 为自然对数的底数)的零点所在的区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1 C.(1，e)D.(e ，＋∞)解析 函数f (x )＝ln x ＋e x 在(0，＋∞)上单调递增，因此函数f (x )最多只有一个零点.当x →0＋时，f (x )→－∞；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln 1e ＋e 1e ＝e 1e －1>0， ∴函数f (x )＝ln x ＋e x (e 为自然对数的底数)的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .答案 A5.(2017·德阳一诊)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4 L ，则m 的值为( ) A.5 B.8 C.9D.10解析 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ， 可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t5， 因此，当k min 后甲桶中的水只有a4 L 时， f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14， ∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5. 答案 A 二、填空题6.(2016·浙江卷)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.解析 设log b a ＝t ，则t ＞1，因为t ＋1t ＝52，解得t ＝2，所以a ＝b 2，因此a b ＝(b 2)b ＝b 2b ＝b a ，∴a ＝2b ，b 2＝2b ，又b ＞1，解得b ＝2，a ＝4. 答案 4 27.(2017·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是________.解析 令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78. 答案 －788.(2017·北京燕博园研究中心)函数f (x )＝⎩⎨⎧ln （－x －1），x <－1，2x ＋1，x ≥－1，若函数g (x )＝f (f (x ))－a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.解析 设t ＝f (x )，令f (f (x ))－a ＝0，则a ＝f (t ).在同一坐标系内作y ＝a ，y ＝f (t )的图象(如图).当a ≥－1时，y ＝a 与y ＝f (t )的图象有两个交点.设交点的横坐标为t 1，t 2(不妨设t 2>t 1)且t 1<－1，t 2≥－1，当t 1<－1时，t 1＝f (x )有一解；当t 2≥－1时，t 2＝f (x )有两解.综合当a ≥－1时，函数g (x )＝f [f (x )]－a 有三个不同的零点. 答案 [－1，＋∞) 三、解答题9.(2017·天津期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数). (1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由. 解 (1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )在R 上是增函数.又∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数.(2)存在.由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立，⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立， ⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12. ∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立.10.(2017·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0， 即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故有a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1. 解方程组⎩⎨⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2， 即－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位.11.(2017·山东卷改编)已知当x ∈[0，1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，求正实数m 的取值范围.解 y ＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2，相当于y ＝x 2向右平移1m 个单位，再将函数值放大m 2倍得到的；y ＝x ＋m 相当于y ＝x 向上平移m 个单位.①若0＜m ≤1，两函数的图象如图1所示，可知两函数在x ∈[0，1]上有且只有1个交点，符合题意.②若m ＞1，两函数的大致图象如图2所示.为使两函数在x ∈[0，1]上有且只有1个交点，只需(m －1)2≥1＋m ，得m ≥3或m ≤0(舍去).综上，正实数m 的取值范围是m ∈(0，1]∪[3，＋∞).。
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第二章 函数、导数及其应用 2.3 精品
【规律方法】判断函数奇偶性的两种重要方法 (1)定义法:
(2)图象法:
易错提醒:对函数奇偶性的判断,不能用特殊值法,如存 在x0使f(-x0)=-f(x0),不能判断函数f(x)是奇函数.
【变式训练】(2015·广东高考)下列函数中,既不是奇
函数,也不是偶函数的是 ( )
A.y=x+ex C.y=2x+ 1
.
【解题导引】(1)利用周期为2得 f (3) f再( 求1)，值即
2
2
可.
(2)先求出函数的周期,然后利用周期的性质代入求解.
【规范解答】(1) f ( 3) f ( 1 2) f ( 1) 4 ( 1)2 2 1.
2
2
2
2
答案:1
(2)因为f(x+4)=f(x),所以周期T=4. 又f(1)=1,所以f(2017)=f(1+4×504)=f(1)=1. 答案:1
考向二 函数的周期性及其应用
【典例2】(1)(2016·青岛模拟)设f(x)是定义在R上的
周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=
4x 2
2, 1
x
0,
x,0 x 1,
则 f(3)=
.
2
(2)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有 f(x+4)=f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,则f(2017)=
所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(x)=f(x-4) =(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 故x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.
x
x
2018届高考数学理二轮复习全国通用课件 专题一 函数与导数、不等式 第1讲 精品
热点二 函数图象的问题 [微题型1] 函数图象的变换与识别 【例2－1】 (1)(2016·成都诊断)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，
规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝ －g(x)，则h(x)( )
A.有最小值－1，最大值1 B.有最大值1，无最小值 C.有最小值－1，无最大值 D.有最大值－1，无最小值
第1讲 函数图象与性质及函数与方程
高考定位 1.以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载 体，考查函数的定义域、最值与值域、奇偶性、单调性；2.利用 图象研究函数性质、方程及不等式的解，综合性强；3.以基本初 等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理. 数形结合思想是高考考查函数零点或方程的根的基本方式.
若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则实数a的取值范围是( )
A.－23e，1 C.23e，34
B.－23e，34 D.23e，1
解析 (1)函数y＝|f(x)|的图象如图.y＝ax为过原点的一条直线， 当a＞0时，与y＝|f(x)|在y轴右侧总有交点，不合题意；当a＝0 时成立；当a＜0时，找与y＝|－x2＋2x|(x≤0)相切的情况，即 y′＝2x－2，切线方程为y＝(2x0－2)(x－x0)，由分析可知x0＝0， 所以a＝－2，综上，a∈[－2，0].
D.4m
解析 (1)由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，
所以f(x)＝2|x|－1.
所以a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2， b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4， c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c<a<b.
2018年高考数学二轮复习专题二函数与导数2.3.2利用导数解不等式及参数范围课件
-7-
(1)解 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2e2x- (x>0).当 a≤0 时,f'(x)>0,f'(x) 没有零点, 当 a>0 时,因为 e2x 单调递增,- 单调递增, 所以 f'(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
������ 1 又 f'(a)>0,当 b 满足 0<b< ,且 b< 时,f'(b)<0,故当 a>0 时,f'(x)存在唯 4 4 ������ ������
������ ������
一零点.
-8-
(2)证明 由(1),可设 f'(x)在区间(0,+∞)内的唯一零点为 x0,当 x∈(0,x0) 时,f'(x)<0;当 x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0.故 f(x)在区间(0,x0)内单调递减,在 区间(x0,+∞)内单调递增,所以当 x=x0 时,f(x)取得最小值,最小值为 f(x0). 由于 2e
利用导数解与不等式恒成立有关的问题
【思考】 求解不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题的基本
方法有哪些?
例 2 已知函数 f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).
(1)设 a=2,b= .
1 2
①求方程 f(x)=2 的根; ②若对于任意 x∈R,不等式 f(2x)≥mf(x)-6 恒成立,求实数 m 的
-4-
(1)解 由题意可知点 A(0,1). 由 f(x)=ex-ax,得 f'(x)=ex-a. 所以 f'(0)=1-a=-1,得 a=2. 所以 f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2. 令 f'(x)=0,得 x=ln 2, 当 x<ln 2 时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当 x>ln 2 时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以当 x=ln 2 时,f(x)取得极小值,极小值为 f(ln 2)=2-2ln 2=2-ln 4.f(x) 无极大值. (2)证明 令 g(x)=ex-x2,则 g'(x)=ex-2x. 由(1)得 g'(x)=f(x)≥f(ln 2)=2-ln 4>0, 则 g(x)在 R 上单调递增. 因为 g(0)=1>0,所以当 x>0 时,g(x)>g(0)>0,即 x2<ex.
2018届高考数学二轮复习(理)专题二 函数与导数 2.3.1 导数与函数的单调性、极值、最值 新课标 课件
1 ,+∞ 4
↗
所以,g(x)的单调递增区间是(-∞,-1), 4 , + ∞ ,单调递减区间是 1 -1, 4 .
-7-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
(2)证明: 由h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),得h(m)=g(m)(m-x0)f(m),h(x0)=g(x0)(m-x0)-f(m). 令函数H1(x)=g(x)(x-x0)-f(x),则H'1(x)=g'(x)(x-x0). 由(1)知,当x∈[1,2]时,g'(x)>0, 故当x∈[1,x0)时,H'1(x)<0,H1(x)单调递减; 当x∈(x0,2]时,H'1(x)>0,H1(x)单调递增. 因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H1(x)>H1(x0)=-f(x0)=0,可得H1(m)>0, 即h(m)>0. 令函数H2(x)=g(x0)(x-x0)-f(x),则H'2(x)=g(x0)-g(x). 由(1)知g(x)在区间[1,2]上单调递增, 故当x∈[1,x0)时,H'2(x)>0,H2(x)单调递增; 当x∈(x0,2]时,H'2(x)<0,H2(x)单调递减. 因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H2(x)<H2(x0)=0,可得H2(m)<0,即 h(x0)<0.所以,h(m)h(x0)<0.
������ -������ ������ 0 ������ ������ ������ ������
≠0.
又因为 p,q,a 均为整数,所以|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|是正整
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第二章 函数、导数及其应用 2.9 精品
【规律方法】一次函数、二次函数模型问题的常见类 型及解题策略 (1)单一考查一次函数或二次函数模型.解决此类问题 应注意三点: ①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解 决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错;
②确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常 用待定系数法; ③解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.
(2)牧场中羊群的最大蓄养量为m只,为保证羊群的生长 空间,实际蓄养量不能达到最大蓄养量,必须留出适当 的空闲量.已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与 空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).
①写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域; ②求羊群年增长量的最大值; ③当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.
y=logax(a>1) 单调_递__增__ 越来越_慢__
y=xn(n>0) 单调递增 相对平稳
函数 y=ax(a>1)
性质
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
图象的 变化
随x的增大 随x的增大逐渐 随n值变化
逐渐表现为 表现为与_x_轴__平 而各有不
与_y_轴__平行 行
同
值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax
【特别提醒】
“f(x)=x+ a (a>0)”型函数模型
x
形如f(x)=x+ a (a>0)的函数模型称为“对勾”函
x
数模型:(1)该函数在(-∞,- a ]和[ a ,+∞)上单调递
增,在[- a ,0)和(0, a ]上单调递减.
(2)当x>0时,x= a 时取最小值2 a ,
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限时规范训练六 导数的简单应用
限时45分钟，实际用时
分值81分，实际得分
一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1．设函数f(x)＝x 2
4－aln x ，若f ′(2)＝3，则实数a 的值为( )
A ．4
B ．－4
C ．2
D ．－2
解析：选B.f ′(x)＝x 2－a x ，故f ′(2)＝22－a
2
＝3，因此a ＝－4.
2．曲线y ＝e x
在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1) B ．(0,1) C ．(1，e)
D ．(0,2)
解析：选B.设A(x 0，e x 0
)，y ′＝e x
，∴y ′|
x ＝x 0
＝e x 0
.由导数的几何意义可知切线的斜率k ＝e x 0
.
由切线与直线x －y ＋3＝0平行可得切线的斜率k ＝1. ∴e x 0
＝1，∴x 0＝0，∴A(0,1)．故选B.
3．若函数f(x)＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3
2，＋∞
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
2，＋∞
解析：选D.若函数f(x)＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x)＝3x 2－4cx ＋1＝0有两根，故Δ＝(－4c)2－12＞0，从而c ＞
32或c ＜－3
2
. 4．已知f(x)＝aln x ＋1
2
x 2(a ＞0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有
f x 1 －f x 2
x 1－x 2
≥2恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞)
B ．(1，＋∞)
C ．(0,1)
D ．(0,1]
解析：选A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2，所以函数的导数f ′(x)＝a
x
＋x ≥2.可得x ＝a 时，f ′(x)有最小值2.∴a ≥1.
5．若定义在R 上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f ′(x)满足f ′(x)＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是( )
A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＜1k
B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1k ＞1k －1
C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＜1k －1
D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －1
解析：选C.构造函数g(x)＝f(x)－kx ＋1，
则g ′(x)＝f ′(x)－k ＞0，∴g(x)在R 上为增函数． ∵k ＞1，∴
1k －1＞0，则g ⎝
⎛⎭
⎪⎫
1k －1＞g(0)． 而g(0)＝f(0)＋1＝0，
∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k k －1＋1＞0， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1k －1＞k k －1－1＝1k －1，
所以选项C 错误，故选C.
6．由曲线y ＝x 2，y ＝x 围成的封闭图形的面积为( ) A.1
6 B.13 C.23
D ．1
解析：选B.由题意可知所求面积(如图中阴影部分的面积)为⎠⎛0
1(x －x 2)dx ＝
⎝
⎛⎪
⎪⎪
⎭⎪
⎪⎫23x 32－13x 310
＝13.所以选B.。