材料力学03章 扭转概要
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材料力学-3-扭转(包含连接件)
3.5 圆轴扭转时的强度条件
3.5 圆轴扭转时的强度条件
为了让杆件正常工作，要对杆中的最大切应力加以限制
强度条件：
max
M x max [ ] （[ ]——许用切应力） Wp
危险截面在哪儿？
危险点在哪儿？
三类强度计算问题 强度校核 截面尺寸设计 确定许可荷载
M x max max [ ] Wp M x max Wp [ ] M x max Wp [ ]
D 2 d 2
32 D 4 (1 4 ) 32
(D4 d 4 )
(
d ) D
3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力
（4）应力分布
M x IP
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重 量轻，结构轻便，应用广泛。
3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力
（3）尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。 对于实心圆截面：
I p A 2 dA 2 2 d
D 2 0
D 4
32
3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力
对于空心圆截面：
I p A 2 dA 2 2 d
3.5 圆轴扭转时的强度条件
例题3
√
解：
圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者 形成一个整体，同时产生扭转变形。因此，在里、外层交 界处二者具有相同的切应变。 剪切弹性模量（G1＝2G2）
G
3.5 圆轴扭转时的强度条件
例题4
3
如图所示的传动机构中，功率从轮B输入，通过锥形齿轮将一 半传递给铅垂C轴，另一半传递给水平H轴。已知输入功率P1＝ 14kW, 水平轴（E和H）转速n1= n2= 120 r/min；锥齿轮A和D的齿数 分别为z1=36, z3=12；各轴的直径分别为d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm。 求：各轴横截面上的最大切应力。
材料力学扭转第三章
在材料受到外力作用发生形变时，会储存弹性势能。在扭转过程中，弹 性势能会转化为动能或热能。
03
能量转换
在材料受到扭矩作用发生扭转变形时，弹性势能与动能之间会发生相互
转换。这种能量转换关系对于分析材料的动态行为和稳定性非常重要。
弹性基础的概念
弹性基础定义
弹性基础是指材料在受到外力作 用时，能够发生弹性形变并保持
扭转变形的特点
描述材料在扭转变形过程中应力和应变的特点，如应力分布、应变 分布等。
扭转变形的能量关系
分析扭转变形过程中的能量转换关系，如弹性势能和动能等。
材料的扭力极限
扭力极限的定义
01
材料在剪切应力作用下所能承受的最大极限值，是衡量材料抗
扭性能的重要指标。
扭力极限的确定方法
02
介绍确定材料扭力极限的实验方法和标准，如扭转实验、弯曲
实验步骤和实验结果分析
02
01
03
实验步骤
1. 准备材料试样，确保其尺寸、形状和质量符合实验 要求。 2. 将试样固定在扭力计上，确保牢固稳定。
实验步骤和实验结果分析
3. 对扭力计施加扭矩， 记录扭力计的读数和 扭矩值。
5. 重复实验，获取多 组数据。
4. 观察并记录材料试 样的变形情况。
实验步骤和实验结果分析
通过学习这一章，学生将掌握 材料在扭转载荷下的应力分布 、变形规律和破坏机制，为工 程实践中的结构设计和安全评 估提供理论基础。
学习目标
掌握扭矩和剪切应力的 计算方法。
了解扭转变形的实验方 法和结果分析。
能够运用所学知识解决 实际工程中的扭转问题 。
理解扭转变形的概念和 基本原理。
02
材料力学扭转的基本概念
03
能量转换
在材料受到扭矩作用发生扭转变形时，弹性势能与动能之间会发生相互
转换。这种能量转换关系对于分析材料的动态行为和稳定性非常重要。
弹性基础的概念
弹性基础定义
弹性基础是指材料在受到外力作 用时，能够发生弹性形变并保持
扭转变形的特点
描述材料在扭转变形过程中应力和应变的特点，如应力分布、应变 分布等。
扭转变形的能量关系
分析扭转变形过程中的能量转换关系，如弹性势能和动能等。
材料的扭力极限
扭力极限的定义
01
材料在剪切应力作用下所能承受的最大极限值，是衡量材料抗
扭性能的重要指标。
扭力极限的确定方法
02
介绍确定材料扭力极限的实验方法和标准，如扭转实验、弯曲
实验步骤和实验结果分析
02
01
03
实验步骤
1. 准备材料试样，确保其尺寸、形状和质量符合实验 要求。 2. 将试样固定在扭力计上，确保牢固稳定。
实验步骤和实验结果分析
3. 对扭力计施加扭矩， 记录扭力计的读数和 扭矩值。
5. 重复实验，获取多 组数据。
4. 观察并记录材料试 样的变形情况。
实验步骤和实验结果分析
通过学习这一章，学生将掌握 材料在扭转载荷下的应力分布 、变形规律和破坏机制，为工 程实践中的结构设计和安全评 估提供理论基础。
学习目标
掌握扭矩和剪切应力的 计算方法。
了解扭转变形的实验方 法和结果分析。
能够运用所学知识解决 实际工程中的扭转问题 。
理解扭转变形的概念和 基本原理。
02
材料力学扭转的基本概念
材料力学3-扭转详解
a
'
d
b
'
c
§3-4 圆轴扭转时横截面上的应力
一、圆轴扭转时横截面上的应力 一）、几何关系：由实验找出变形规律→应变的变化规律 1、实验：
观察变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
A
D
T1 4.78kN m T2 9.56kN m
T3 6.37kN m
4.78
T 图(kN· m)
9.56 Tmax = 9.56 kN· m 在BC段内
§3-3 关于切应力的若干重要性质
薄壁圆筒轴的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力 (壁厚 1、实验：
t
1 r0 , r0：为平均半径） 10
2
d
T dA.r0 r0 td r0 t 2
2 A 0
2
T 2 2r0 t
薄壁圆筒横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质 1、剪切虎克定律 l
为扭转角
r0 l
r0 l
即
做薄壁圆筒的扭转试验可得
T T—— 2 2r0 t r0 l
3
C
二、分别计算各段的扭矩
M2 A M2 A
1 1
1 1
M3
B T1 x M3 B
2 2
M1 C
3
3
M4
D
T1 M 2 4.78kN m
2 2
M2
T2
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学第3章 扭转
第3章 扭转
第一节 概 述 扭转是杆件变形的基本形式之一。在日常生活 和工程中，以扭转变形为主的杆件比较常见，如钥 匙、汽车转向轴、螺丝刀、钻头、皮带传动轴或齿 轮传动轴、门洞上方的雨篷梁、主梁等。
1
图3.1
图3.2
2
图3.3
3
第二节 外力偶矩计算 扭矩与扭矩图 一、外力偶矩计算 作用在扭转杆件上的外力偶矩Me，常可以由 外力向杆的轴线简化而得。但是，对于传动轴，通 常知道它所传递的功率P（常用单位为kW）和转 速n（常用单位为r/min）。由理论力学知识
11
图3.9
图3.10
12
三、剪切胡克定律 对于线弹性材料，试验表明，当切应力不超过 材料的剪切比例极限τp时，切应力τ与切应变γ保持 线性关系。如图3.10所示为低碳钢试件测得的τγ图， 可得
13
第四节 圆轴扭转时横截面上的切应力 对于实心圆轴和空心圆轴（非薄壁圆筒），扭 转时不能再假设切应力沿半径方向为均匀分布。这 时需要从圆轴的变形入手，综合考虑几何、物理、 静力学3个方面，推导圆轴扭转时横截面上切应力 的计算公式。
14
一、扭转试验及假设 取一等截面圆轴，在其表面等间距地画上纵向 线和圆周线，形成大小相同的矩形网格，如图3.11 (a)所示。在两端施加力偶Me后，从试验中观察到 的现象与薄壁圆筒相同。根据这些试验现象，由表 及里，可以推断：横截面上无正应力；横截面上必 有切应力存在，其方向垂直于半径。
15
图3.11
若圆轴的扭矩和抗扭刚度分段为常数，则
27
二、刚度条件 机械工程中某些受力较大的主轴，除了满足扭 转强度条件以外，还需要对其扭转变形加以限制， 这就是扭转刚度条件。工程中常限制轴的单位长度 扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
第一节 概 述 扭转是杆件变形的基本形式之一。在日常生活 和工程中，以扭转变形为主的杆件比较常见，如钥 匙、汽车转向轴、螺丝刀、钻头、皮带传动轴或齿 轮传动轴、门洞上方的雨篷梁、主梁等。
1
图3.1
图3.2
2
图3.3
3
第二节 外力偶矩计算 扭矩与扭矩图 一、外力偶矩计算 作用在扭转杆件上的外力偶矩Me，常可以由 外力向杆的轴线简化而得。但是，对于传动轴，通 常知道它所传递的功率P（常用单位为kW）和转 速n（常用单位为r/min）。由理论力学知识
11
图3.9
图3.10
12
三、剪切胡克定律 对于线弹性材料，试验表明，当切应力不超过 材料的剪切比例极限τp时，切应力τ与切应变γ保持 线性关系。如图3.10所示为低碳钢试件测得的τγ图， 可得
13
第四节 圆轴扭转时横截面上的切应力 对于实心圆轴和空心圆轴（非薄壁圆筒），扭 转时不能再假设切应力沿半径方向为均匀分布。这 时需要从圆轴的变形入手，综合考虑几何、物理、 静力学3个方面，推导圆轴扭转时横截面上切应力 的计算公式。
14
一、扭转试验及假设 取一等截面圆轴，在其表面等间距地画上纵向 线和圆周线，形成大小相同的矩形网格，如图3.11 (a)所示。在两端施加力偶Me后，从试验中观察到 的现象与薄壁圆筒相同。根据这些试验现象，由表 及里，可以推断：横截面上无正应力；横截面上必 有切应力存在，其方向垂直于半径。
15
图3.11
若圆轴的扭矩和抗扭刚度分段为常数，则
27
二、刚度条件 机械工程中某些受力较大的主轴，除了满足扭 转强度条件以外，还需要对其扭转变形加以限制， 这就是扭转刚度条件。工程中常限制轴的单位长度 扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
材料力学-第三章
21
第三章 扭转
3.5 圆轴扭转强度计算
22
扭转失效与扭转极限应力
扭转屈服应力：s 扭转强度极限：b 扭转强度极限：b 扭转屈服应力（s ）和扭转强度极限（b ），统 称为材料的扭转极限应力u。
23
圆轴扭转强度条件
材料的扭转许用应力为：
u
n
n为安全系数。
强度条件为：
max
（2) 若将轮1与轮2的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
（3) 若将轮1与轮3的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
33
提高圆轴扭转时强度和刚度的措施
• 提高轴的转速 • 合理布局主动轮和被动轮的位置 • 采用空心轴 • 选用优质材料，提高剪切模量
34
例3-8：图示圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向载荷F作用。 所谓密圈螺旋弹簧，是指螺旋升角α很小（例如小于5º ）的 弹簧。设弹簧的平均直径D，弹簧丝的直径d，试分析弹簧 丝横截面上的应力并建立相应的强度条件。
第三章 扭转
3.1 扭转的概念
1
扭转的概念
以横截面绕轴 线作相对旋转为 主要特征的变形 形式，称为扭转。
2
受力特点： 变形特点：
受到垂直于构件轴线的外力偶 矩的作用。
构件的轴线保持不变，各横截面绕 轴线相对转动 截面间绕轴线的相对角位移，称为扭转角
使杆发生扭转变形的外力偶，称为扭力偶，其矩 称为扭力偶矩。 凡是以扭转为主要变形的直杆，称为轴。
公式的适用条件：以平面假设为基础；适用胡克定律。
18
圆轴截面的极惯性矩和抗扭截面模量
IP
d4
32
WP
d3
16
19
空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
材料力学第3章-扭转
Me
AD BC
Me
薄壁圆筒的扭转实验曲线
由前述推导可知
r0 / l
t
T
2πr02
即t
t
时
p
t G
这就是剪切胡克定律
其中：G——材料的切变模量
t p——剪切屈服极限
钢材的切变模量值约为：
G 80GPa
§3-4 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
Ⅰ、横截面上的应力 几何方面——表面变形情况
(a)
Me
AD BC
Me
表面正方格子倾斜的角度—
直角的改变量
圆筒两端截面之间相对转过
的圆心角
A1 A
D D'
D1 D1'
B
B1 C
C1 C1'
C'
切应变
相对扭转角
r l tan l 即 r / l
表面变形特点及分析： Me
AD BC
Me
圆周线只是绕圆筒轴线转动，其形状、大小、间距 不变；
1分钟输入功： W 60 P1000 60000P
Me
转速：n(转/分)
1分钟me作功
W ' M e M e (2n 1) 2nMe
W W'
Me
9550
P n
N m
Me2
Me1
n
Me3
从动轮
主动轮 从动轮
主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同 从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。
t r0
x
3、对于薄壁圆筒，可认为切
应力沿壁厚也均匀分布。
n
薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：
静力学条件 A t d A r0 T Me
AD BC
Me
薄壁圆筒的扭转实验曲线
由前述推导可知
r0 / l
t
T
2πr02
即t
t
时
p
t G
这就是剪切胡克定律
其中：G——材料的切变模量
t p——剪切屈服极限
钢材的切变模量值约为：
G 80GPa
§3-4 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
Ⅰ、横截面上的应力 几何方面——表面变形情况
(a)
Me
AD BC
Me
表面正方格子倾斜的角度—
直角的改变量
圆筒两端截面之间相对转过
的圆心角
A1 A
D D'
D1 D1'
B
B1 C
C1 C1'
C'
切应变
相对扭转角
r l tan l 即 r / l
表面变形特点及分析： Me
AD BC
Me
圆周线只是绕圆筒轴线转动，其形状、大小、间距 不变；
1分钟输入功： W 60 P1000 60000P
Me
转速：n(转/分)
1分钟me作功
W ' M e M e (2n 1) 2nMe
W W'
Me
9550
P n
N m
Me2
Me1
n
Me3
从动轮
主动轮 从动轮
主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同 从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。
t r0
x
3、对于薄壁圆筒，可认为切
应力沿壁厚也均匀分布。
n
薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：
静力学条件 A t d A r0 T Me
材料力学 第 三 章 扭转
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
《材料力学》第三章 扭转
Tmax = 1146( Nm )
可见，传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同， 可见，传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同， 轴所承受的最大扭矩也就不同。当然，前者较合理。 轴所承受的最大扭矩也就不同。当然，前者较合理。
§3.3 纯剪切
一、薄壁筒扭转 纯剪切、 二、纯剪切、切应力互等定理 切应变、 三、切应变、剪切胡克定律 四、剪切应变能
γρ应与该点所在圆周 的半径ρ成正比 成正比， 的半径 成正比，而且 在同一半径ρ的圆周上 的圆周上， 在同一半径 的圆周上， 各点处的剪应变相同 相同， 各点处的剪应变相同， 最外层薄壁筒（ 最外层薄壁筒（即ρ ＝R时）的剪应变达最 大值γ 大值γmax
(二) 物理关系
在圆轴的横截面上只存在与半径垂直的切应力。 根据剪切虎克定律，横截面上距圆心为ρ的任意 点处的切应力与该点处的剪应变成正比，即
运用截面法：
设δ为薄壁圆筒的厚度，r为平均半径。若外力偶 距为Me，由q-q截面左部分圆筒的平衡条件得：
∑M
x
=0
M e= 2πrδ ⋅ τ ⋅ r = 2πr 2 δτ
故求得：
Me τ = 2π r 2δ
微小六面体各对面上只作用有切应力的情形称为纯剪切。 微小六面体各对面上只作用有切应力的情形称为纯剪切。
1.变形几何关系 1.变形几何关系
组成微段轴的无数薄壁筒的筒长均为dx； 此段中各薄壁筒扭转角相同，均为dφ， 所不同者只是各筒半径不同。设其中任 一筒的半径为ρ，剪应变为γρ
γ ρ ＝ρ ⋅
dϕ = ρ ⋅ϕ′ dx (a)
dϕ = ϕ ′ 扭转角 沿轴线 扭转角φ沿轴线 dx
的变化率，称为单 的变化率，称为单 位长度扭转角。 位长度扭转角。
材料力学第三章知识点总结
直升机的旋转轴
电机每秒输入功：外力偶作功完成：
×
=P W
M W
e
⋅
=
形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。
倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
τdα
τ
l
ϕ
做薄壁圆筒的扭转试验可得
l
是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，G的量纲各向同性材料，三个弹性常数之间的关系：
ρργγtg ≈x
d d d ′=x d d ϕρ⋅=O 1O 2ABCD 为研究对象
D’
微段扭转变形d dx Rd dx DD tg ϕγγ==≈'d ϕ/ d x －扭转角沿x 轴的变化率
扭转变形计算式
O d A ρTρ⋅
（实心截面）
1、横截面上角点处，切应力为零；
2、横截面边缘各点处，切应力
3、切应力沿横截面周边形成与
4、横截面周边长边中点处，切应力最大。
有关，见教材P93 之表3.2。
材料力学第3章-扭转
第3章 扭转1、扭转的概念：杆件的两端个作用一个力偶，其力偶矩大小相等、转向相反且作用平面垂直于杆件轴线，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，即为扭转变形。
2、外力偶矩的计算{}{}{}min /95491000602r KW m N e e n P M P M n=⇒⨯=⨯⨯⋅π 式中，e M 为外力偶矩。
又由截面法：e e M T M T =⇒=-0 T 称为n n -截面上的扭矩。
规定：若按右手螺旋法则把T 表示为矢量，当矢量方向与研究部分中截面的外法线的方向一致时，T 为正；反之为负。
3、纯剪切（1）薄壁圆筒扭转时的切应力 δπττδπ222r M r r M ee =⇒••=（2）切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于平面的交线，方向则共同指向或背离这一交线。
（3）切应变 剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变γ与切应力τ成正比。
γτG = G 为比例常数，称为材料的切变模量。
弹性模量E 、泊松比μ和切变模量G 存在关系：)1(2μ+=EG 4、圆轴扭转时的应力（1）变形几何关系：距圆心为ρ处的切应变为dxd ϕργρ=（2）物理关系：ρτ为横截面上距圆心为ρ处的切应力。
dxd G G ϕρτγτρρρ=⇒= （3）静力关系：内力系对圆心的力矩就是横截面的扭矩：dA d d GdA T AxA⎰⎰==2ρρτϕρ 以p I 表示上式右端的积分式：dA I Ap ⎰=2ρ p I 称为横截面对圆心O 点的极惯性矩（截面二次极矩）横截面上距圆心为ρ的任意点的切应力：pI T ρτρ=ρ最大时为R ，得最大切应力：pI TR =max τ引用记号RI W p t =t W 称为抗扭截面系数。
则tW T =max τp I 和t W 的计算（1）实心轴：3224420032D R d d dA I RAp ππθρρρπ====⎰⎰⎰16233D R RI W p t ππ===（2）空心轴：)1(32)(324444202/2/32αππθρρρπ-=-===⎰⎰⎰D d D d d dA I D d Ap)1(16)(164344αππ-=-==D d D DRI W p t5、圆轴扭转时的变形pGI Tl =ϕ ϕ为扭转角，l 为两横截面间的距离。
材料力学3-第三章扭转
第三章扭转目录第三章扭转 3§3－1 扭转的概念 3一、定义 3二、基本概念 3三、实例 3§3－2 外力偶矩计算、扭矩和扭矩图 3一、外力偶矩计算 3二、扭矩和扭矩图 3§3－3 纯剪切 5一、薄壁圆筒扭转时的剪应力 5二、剪应力互等定理 5三、剪应变、剪切胡克定律 6§3－4 圆轴扭转时的应力 6一、圆轴扭转时的应力计算公式 6二、极惯性矩计算 7三、圆轴扭转强度条件 7§3－5 圆周扭转时的变形 9一、相邻截面扭转角计算公式 9第三章扭转§3－1 扭转的概念一、定义在杆两端作用两大小相等、方向相反、且作用面垂直于杆件轴线的力偶，使杆的任意两个截面发生绕轴的相对转动。
杆件的这种变形形式称为扭转。
二、基本概念轴：工程中一般将发生扭转变形的直杆称为轴扭转角：扭转时杆的任意两个横截面的相对角位移三、实例搅拌机轴、汽车传动轴等1、螺丝刀杆工作时受扭2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭3、机器中的传动轴工作时受扭。
§3－2 外力偶矩计算、扭矩和扭矩图一、外力偶矩计算在工程实际中，作用于轴上的外力偶矩往往上未知的，已知的往往是轴的转速以及轴上各轮所传送的功率。
以下图所示的齿轮轴简图为例，主动轮B的输入功率经轴的传递，由从动轮A、C输出给其它构件。
1. 外力偶矩与功率、角速度关系2. 外力偶矩与功率、转速关系(1马力=735.5N?m/s)二、扭转杆件的内力——扭矩和扭矩图1、扭转杆件的内力（截面法）由平衡方程，，称为截面m-m上的扭矩。
按右手螺旋法则把表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线的方向一致时，为正；反之，为负。
2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。
以横轴表示横截面的位置，纵轴表示相应截面上的扭矩，绘成的图形称为扭矩图。
材料力学 第三章-扭转
1.受力特点： 1.受力特点：承受的外力或其合力均是绕轴线转动 受力特点 的外力偶。或外力偶作用平面和杆件横截面平行。 的外力偶。或外力偶作用平面和杆件横截面平行。 2.变形特点 相邻截面绕轴相对转动。 变形特点： 2.变形特点： 相邻截面绕轴相对转动。
Me
A
扭转
Me
ϕ
B
B'
ϕ：相对扭转角 工程上称发生扭转变形的杆件称为轴。 工程上称发生扭转变形的杆件称为轴。
τ
(τdydz)dx= (τ′dxdz)dy
x
τ =τ ′
z
4.切应力互等定理 4.切应力互等定理 Reciprocal theorem of shear stresses
y
τ′
A dy B dx D dz C
τ
x
τ =τ ′
切应力互等定理
单元体上两个互垂面上切 应力的大小相等、 应力的大小相等、方向相 反，共同指向截面交线或 背离截面交线。 背离截面交线。
扭转
三、强度条件Strength condition
Tmax = ≤ [τ ] ，[τ]—许用切应力； 许用切应力； τ 许用切应力 Wp
强度条件： 强度条件：τ max
τ max --最大工作切应力 最大工作切应力
根据强度条件可进行： 根据强度条件可进行： 强度校核; 选择截面; 强度校核 选择截面 计算许可荷载。 计算许可荷载。
y
τ′
A dy D dz C
τ
怎样才能平衡？ 微元能不能平衡？ 怎样才能平衡？ 微元能不能平衡 哪些力互相平衡？？ 哪些力互相平衡？
x
B dx
z
4.切应力互等定理 4.切应力互等定理 Reciprocal theorem of shear stresses
Me
A
扭转
Me
ϕ
B
B'
ϕ：相对扭转角 工程上称发生扭转变形的杆件称为轴。 工程上称发生扭转变形的杆件称为轴。
τ
(τdydz)dx= (τ′dxdz)dy
x
τ =τ ′
z
4.切应力互等定理 4.切应力互等定理 Reciprocal theorem of shear stresses
y
τ′
A dy B dx D dz C
τ
x
τ =τ ′
切应力互等定理
单元体上两个互垂面上切 应力的大小相等、 应力的大小相等、方向相 反，共同指向截面交线或 背离截面交线。 背离截面交线。
扭转
三、强度条件Strength condition
Tmax = ≤ [τ ] ，[τ]—许用切应力； 许用切应力； τ 许用切应力 Wp
强度条件： 强度条件：τ max
τ max --最大工作切应力 最大工作切应力
根据强度条件可进行： 根据强度条件可进行： 强度校核; 选择截面; 强度校核 选择截面 计算许可荷载。 计算许可荷载。
y
τ′
A dy D dz C
τ
怎样才能平衡？ 微元能不能平衡？ 怎样才能平衡？ 微元能不能平衡 哪些力互相平衡？？ 哪些力互相平衡？
x
B dx
z
4.切应力互等定理 4.切应力互等定理 Reciprocal theorem of shear stresses
材料力学03章 扭转
t dA T
A
d T • 积分后得到： dx GI p 其中I p 2 dA是圆截面对其中心的极惯性矩。
A
• GIp 称为圆轴的扭转刚度。
32
4、 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
–将
d T 。 dx GI p
d – 代入 t G G dx
t G
29
3. 静力学方程
d • 将变形协调方程 带入剪切胡克定律 t G dx 得到：
d • G dx 对于确定的横截面是一个不变的量。
d t G G dx
• 上式表明：横截面上各点的剪应力与点到横截面中 心的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性 分布。方向如图所示。
13
315
1 1
315 B
2 2
1116 C
3 3
486 D
图a
A
315
1 1
315 B
图c
A
2 T2 2
T3
3 3
486 D
图d
由平衡方程：∑M=0 得：T2+315+315=0 T2=-630N.m 由平衡方程：∑M=0 得：T3-486=0 T3=486N.m
14
3. 建立T-x坐标系，画出扭矩图，如图e。
第三章
扭 转
1
§3-1、概述
传动轴
一、概 述
2
§3-1、概述
汽车方向盘
3
§3-1、概述
丝锥攻丝
4
§3-1、概述
Me Me
受力特点： 圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面 垂直于杆的轴线的外力偶作用 变形特点： 1.圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动； 2.杆表面上的纵向线变成螺旋线。
材料力学课件第3章扭转
扭转外力及变 形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
第3章-扭 转
圆轴扭转的内力
3-2 圆轴扭转的内力
1.外力偶矩 直接计算
3-2 圆轴扭转的内力
dx
也发生在垂直于
半径的平面内。
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
2.物理关系
根据剪切胡克定律
G
距圆心为
处的切应力：
G
G
d
dx
垂直于半径
横截面上任意点的切应力 与该点到圆心的距离 成正比。
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
3.静力学关系
T A dA
T A dA
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
在圆截面边缘上，有最 大切应力
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
I
与
p
Wt
的计算
实心轴
T
Ip
max
T Wt
Wt I p / R 1 D3
16
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
空心轴
则
令
Wt I p /(D / 2)
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
m1=1000Nm，m2=600Nm，m3=200Nm，m4=200Nm，G=79GPa，试求：
（1）各段轴内的最大切应力 （2）若将外力偶m1和m2的位置互换一下，问轴的直径可否减小
3-4 圆轴扭转的强度条件和强度计算
4.强度条件及应用
B
C
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
第3章-扭 转
圆轴扭转的内力
3-2 圆轴扭转的内力
1.外力偶矩 直接计算
3-2 圆轴扭转的内力
dx
也发生在垂直于
半径的平面内。
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
2.物理关系
根据剪切胡克定律
G
距圆心为
处的切应力：
G
G
d
dx
垂直于半径
横截面上任意点的切应力 与该点到圆心的距离 成正比。
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
3.静力学关系
T A dA
T A dA
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
在圆截面边缘上，有最 大切应力
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
I
与
p
Wt
的计算
实心轴
T
Ip
max
T Wt
Wt I p / R 1 D3
16
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
空心轴
则
令
Wt I p /(D / 2)
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
m1=1000Nm，m2=600Nm，m3=200Nm，m4=200Nm，G=79GPa，试求：
（1）各段轴内的最大切应力 （2）若将外力偶m1和m2的位置互换一下，问轴的直径可否减小
3-4 圆轴扭转的强度条件和强度计算
4.强度条件及应用
B
C
材料力学工科3#第三章扭转
*§3-8 开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转 (Free torsion of open and closed thin-walled
members)
§3-1 扭转的概念及实例 (Concepts and example problem of torsion )
一、工程实例（Example problems)
x
dx
Me
② 各纵向线均倾斜了同一微小角度 ；
③ 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.
3、推论（Inference) 1) 横截面上无正应力，只
Me
Me
有切应力；
2) 切应力方向垂直半径或与
圆周相切.
圆周各点处切应力的方向于圆周相切，
A
D
且数值相等，近似的认为沿壁厚方向
各点处切应力的数值无变化.
负。
m
T
T
正
m
(a)
m
负
T
T
m
(b)
无论保留左段还是右段，得到的扭矩大小、符号均相同
3、扭矩图（ Torque diagram)
用平行于杆轴线的坐标 x 表示横截面的位置；用 垂直于杆轴线的坐标 T 表示横截面上的扭矩，正 的扭矩画在 x 轴上方，负的扭矩画在 x 轴下方.
T
+
_
x
例题1 一传动轴如图所示，其转速 n = 300 r/min ，主动轮A输 入的功率为P1 = 500 kW . 若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从 动轮输出的功率分别为P2 = 150 kW 、P3 = 150 kW 及 P4 = 200 kW. 试做扭矩图.
薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶 Me 在某一范围内时，与 Me （在数值上等于 T ）成正比.
members)
§3-1 扭转的概念及实例 (Concepts and example problem of torsion )
一、工程实例（Example problems)
x
dx
Me
② 各纵向线均倾斜了同一微小角度 ；
③ 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.
3、推论（Inference) 1) 横截面上无正应力，只
Me
Me
有切应力；
2) 切应力方向垂直半径或与
圆周相切.
圆周各点处切应力的方向于圆周相切，
A
D
且数值相等，近似的认为沿壁厚方向
各点处切应力的数值无变化.
负。
m
T
T
正
m
(a)
m
负
T
T
m
(b)
无论保留左段还是右段，得到的扭矩大小、符号均相同
3、扭矩图（ Torque diagram)
用平行于杆轴线的坐标 x 表示横截面的位置；用 垂直于杆轴线的坐标 T 表示横截面上的扭矩，正 的扭矩画在 x 轴上方，负的扭矩画在 x 轴下方.
T
+
_
x
例题1 一传动轴如图所示，其转速 n = 300 r/min ，主动轮A输 入的功率为P1 = 500 kW . 若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从 动轮输出的功率分别为P2 = 150 kW 、P3 = 150 kW 及 P4 = 200 kW. 试做扭矩图.
薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶 Me 在某一范围内时，与 Me （在数值上等于 T ）成正比.
材料力学 3扭转
Gπ 2 [ ]
4
32 4580180 80109 π 2 1
76103 m
76mm
d2 76mm
5.选同一直径时 d d1 86.4mm
45
圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算
6.将主动轮按装在 两从动轮之间
受力合理
d1
C d2
A
B
M e1
M e2
22.69MPa
max
C
T3 WP3
16 185.7 π 353 10-9
Pa
21.98MPa
38
圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
39
圆轴扭转时的强 刚度设计
圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算
关系可知，横截面上的应力只能是切应力。
mn
(a) nl
m
m
n
T
(b)
n
20
2、求横截面上的切应力
m
m
薄壁圆筒扭转试验
预先在圆筒的表面画上等间距 的纵向线和圆周线，从而形成 一系列的正方格子。
观察到的现象
(c)
圆周线保持不变；纵向线发生倾斜
设想 薄壁圆筒扭转后，横截面保持为形状，大小均无改变的平面， 相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。
(1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d；
(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
d1
C d2
A
B
M e1
M e2
M e3
解：1.外力
4
32 4580180 80109 π 2 1
76103 m
76mm
d2 76mm
5.选同一直径时 d d1 86.4mm
45
圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算
6.将主动轮按装在 两从动轮之间
受力合理
d1
C d2
A
B
M e1
M e2
22.69MPa
max
C
T3 WP3
16 185.7 π 353 10-9
Pa
21.98MPa
38
圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
39
圆轴扭转时的强 刚度设计
圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算
关系可知，横截面上的应力只能是切应力。
mn
(a) nl
m
m
n
T
(b)
n
20
2、求横截面上的切应力
m
m
薄壁圆筒扭转试验
预先在圆筒的表面画上等间距 的纵向线和圆周线，从而形成 一系列的正方格子。
观察到的现象
(c)
圆周线保持不变；纵向线发生倾斜
设想 薄壁圆筒扭转后，横截面保持为形状，大小均无改变的平面， 相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。
(1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d；
(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
d1
C d2
A
B
M e1
M e2
M e3
解：1.外力
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A
• GIp 称为圆轴的扭转刚度。
32
4、 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
–将
d T 。 dx GI p
d – 代入 t G G dx
T – 得到： t Ip
– 这就是圆轴扭转时横截面上任意点的剪应力表 达式。
33
T • 对于 t T由平衡条件确定。 Ip
13
315
1 1
315 B
2 2
1116 C
3 3
486 D
图a
A
315
1 1
315 B
图c
A
2 T2 2
T3
3 3
486 D
图d
由平衡方程：∑M=0 得：T2+315+315=0 T2=-630N.m 由平衡方程：∑M=0 得：T3-486=0 T3=486N.m
14
3. 建立T-x坐标系，画出扭矩图，如图e。
T 16T 16 716.2 N .m 6 t 实 max 3 4 10 Pa 4MPa 3 3 Wp d1 (45m m10 )
τ(ρ)
T τ (ρ )
t dA T
A
• 即静力学方程。
31
• 将 • 代入
d t G G dx
t dA T
A
d T • 积分后得到： dx GI p 其中I p 2 dA是圆截面对其中心的极惯性矩。
G1 G2
2d d
O
O
O
O
O
A
B
C
D
40
例题3-3
• 实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相联，并传递 功率，如图所示，已知轴的转速n=100r/min，传递的 功率P=7.5kW。实心圆轴直径d1=45mm；空心圆轴内、 外直径之比（d2/D2）=a=0.5，D2=46mm。试确定实 心轴与空心圆轴横截面上的最大剪应力。 解：由题知二传动轴转速与 功率相等，故承受的外加扭 转力偶距也相等，横截面上 的扭矩因而也相等。 扭矩T=Me=（9549*7.5/100）=716.2N.m
315 A 1 1 315 B 2 2 1116 C 3 3 486 D
11
315 A
1 1
315 B
2 2
1116 C
3 3
486 D
解： 1. 确定控制面 – 从圆轴所受的外加力偶分布可用确定出A、B、C、 D均为控制面。 – 在AB、BC、CD段内任意选取一横截面，如1-1， 2-2，3-3截面。
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
直接计算
6
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me 电机每秒输入功： W P 1000( N.m)
n 外力偶每秒作功： W M e 2 60
Mx/(N.m)
+
350
446
_
B C 700 A
18
x
D
3.3 纯剪切
一、 薄壁圆筒扭转时的切应力 薄壁圆筒 ——通常指 Me
r0 的圆筒，可假定其 10
应力沿壁厚方向均匀分布 Me n r0 n n n l 内力偶矩——扭矩T
Me
T Me
19
• 圆周扭转变形后各个 横截面仍为平面，而 且其大小、形状以及 相邻两截面之间的距 离保持不变，横截面 半径仍为直线。 推断结论：
轴线方向所有横截面上的扭矩都是相同的，并且都 等于作用在轴上的外力偶矩；
当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，
轴各段横截面上的扭矩是不相等的，这时需用截面 法确定各段横截面上的扭矩。
扭矩图：扭矩沿杆轴线方向变化的图形。
10
例3-1
• 如图所示，圆轴受有四个绕轴线转动的外加 力偶，各力偶的力偶矩大小和方向均示于图 中，单位为N.m，轴的尺寸单位为mm。试画 出圆轴的扭矩图。
第三章
扭 转
1
§3-1、概述
传动轴
一、概 述
2
§3-1、概述
汽车方向盘
3
§3-1、概述
丝锥攻丝
4
§3-1、概述
Me Me
受力特点： 圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面 垂直于杆的轴线的外力偶作用 变形特点： 1.圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动； 2.杆表面上的纵向线变成螺旋线。
实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉 压等其他变形。 5
T max T Ip Wp
Wp Ip
τ(ρ)
– 称为圆截面的扭转截面系数。 – 对于直径为d的实心圆截面，
max
Wp
d
M x t Ip 3
16
– 对于内外直径分别为d和D的空心截面圆轴，
Wp
D 3
16
1
4
d ， D
35
§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
微元上与横截面对应的一对面上存在
的剪应力τ 与其作用面的面积相乘后组 成一绕z轴的力偶，其力偶矩为(τdydz)dx。 为了保持微元平衡，与纵截面对应的 一对面上必然存在剪应力τ’也组成一个 力偶矩为(τ’ dxdz) dy的力偶。 这两个力偶矩大小相等、方向相反， 微元才能平衡。
M z 0 (tdydz)dx (t ' dxdz)dy 0 t t '
12
2. 应用截面法确定各段圆轴内的扭矩 • 用1-1，2-2，3-3截面将圆轴断开，作出断开横截面 上的扭矩，假设扭矩为正方向，分别如图b、c、d 所示。
315 1 1 315 B 2 2 1116 C 3 3 486 D
图a
A
315
图b
A
1 T1 1
由平衡方程：∑M=0 得：T1+315=0 T1=-315N.m
315 1
1
315
B
2
2
1116
C
3
3
486
D
图a
A
T/(N.m) 480
图e _
315 630
+
x
T1=-315N.m
T2=-630N.m
T3=486N.m
15
例题3-2
解: (1)计算外力偶矩 由公式
Pk/n
16
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩
M 0 M 0 M 0
横截面上各点无轴向变形，故横截面上没有正应力。 横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，故横截面上有剪 应力存在。 各横截面半径不变，所以剪应力方向与截面径向垂直。 20
薄壁圆筒受扭时变形情况： Me
A B D C
Me
A1 A B1 B
D1 D D1' D'
C
表面正方格子倾斜的角度— 直角的改变量
d • G dx 对于确定的横截面是一个不变的量。
d t G G dx
• 上式表明：横截面上各点的剪应力与点到横截面中 心的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性 分布。方向如图所示。
30
T
• 作用在横截面上的剪应 力形成一分布力系，这 一力系向截面中心简化 结果为一力偶，其力偶 距即为该截面上的扭矩。 于是有：
2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩， 即为BC,CA,AD段轴的扭矩（内力）如图 a)、b)、c);均有∑Mx=0 得： T1+MB=0 T1=-MB= -350N.m MB+MC+T2=0 T2=-MB-MC=-700N.m MD-T3=0 T3=MD=446N.m 3)画出扭矩图如 d)
41
• 实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相联，并传递 功率，如图所示，已知轴的转速n=100r/min，传递的 功率P=7.5kW。实心圆轴直径d1=45mm；空心圆轴内、 外直径之比（d2/D2）=a=0.5，D2=46mm。试确定实 心轴与空心圆轴横截面上的最大切应力。
实心圆轴横截面上最 大切应力：
• Ip 由 I p
dA 积分求得。
2 A
• 对于直径为d的实心截面圆轴：I p
d
4
32
• 对于内、外直径分别为d和D的空心截面圆轴，极 惯性矩为： D 4 d
Ip
32
1
4
，
D
34
• 最大剪应力：
– 发生在横截面边沿上各点，其值为：
Mx
t max
– 其中，
P P
7
2.扭矩和扭矩图 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩， 用符号T表示。 扭矩大小可利用截面法来确定。 Me 1 Me A
1 1
Me
B
T
1 1
A
x
T Me
Me B
8
T
1
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
பைடு நூலகம்右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
9
当只在轴的两个端截面上作用有外力偶矩，则沿
T1 M B 0
T2 M B M C 0
T3 M D 0
(3) 扭矩图
17
练习
– 如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功 率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试画 出传动轴的扭矩图。
解：1)由扭矩、功率、转速关系式求得 MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.m MB=MC=350N.m； MD=446N.m
• GIp 称为圆轴的扭转刚度。
32
4、 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
–将
d T 。 dx GI p
d – 代入 t G G dx
T – 得到： t Ip
– 这就是圆轴扭转时横截面上任意点的剪应力表 达式。
33
T • 对于 t T由平衡条件确定。 Ip
13
315
1 1
315 B
2 2
1116 C
3 3
486 D
图a
A
315
1 1
315 B
图c
A
2 T2 2
T3
3 3
486 D
图d
由平衡方程：∑M=0 得：T2+315+315=0 T2=-630N.m 由平衡方程：∑M=0 得：T3-486=0 T3=486N.m
14
3. 建立T-x坐标系，画出扭矩图，如图e。
T 16T 16 716.2 N .m 6 t 实 max 3 4 10 Pa 4MPa 3 3 Wp d1 (45m m10 )
τ(ρ)
T τ (ρ )
t dA T
A
• 即静力学方程。
31
• 将 • 代入
d t G G dx
t dA T
A
d T • 积分后得到： dx GI p 其中I p 2 dA是圆截面对其中心的极惯性矩。
G1 G2
2d d
O
O
O
O
O
A
B
C
D
40
例题3-3
• 实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相联，并传递 功率，如图所示，已知轴的转速n=100r/min，传递的 功率P=7.5kW。实心圆轴直径d1=45mm；空心圆轴内、 外直径之比（d2/D2）=a=0.5，D2=46mm。试确定实 心轴与空心圆轴横截面上的最大剪应力。 解：由题知二传动轴转速与 功率相等，故承受的外加扭 转力偶距也相等，横截面上 的扭矩因而也相等。 扭矩T=Me=（9549*7.5/100）=716.2N.m
315 A 1 1 315 B 2 2 1116 C 3 3 486 D
11
315 A
1 1
315 B
2 2
1116 C
3 3
486 D
解： 1. 确定控制面 – 从圆轴所受的外加力偶分布可用确定出A、B、C、 D均为控制面。 – 在AB、BC、CD段内任意选取一横截面，如1-1， 2-2，3-3截面。
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
直接计算
6
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me 电机每秒输入功： W P 1000( N.m)
n 外力偶每秒作功： W M e 2 60
Mx/(N.m)
+
350
446
_
B C 700 A
18
x
D
3.3 纯剪切
一、 薄壁圆筒扭转时的切应力 薄壁圆筒 ——通常指 Me
r0 的圆筒，可假定其 10
应力沿壁厚方向均匀分布 Me n r0 n n n l 内力偶矩——扭矩T
Me
T Me
19
• 圆周扭转变形后各个 横截面仍为平面，而 且其大小、形状以及 相邻两截面之间的距 离保持不变，横截面 半径仍为直线。 推断结论：
轴线方向所有横截面上的扭矩都是相同的，并且都 等于作用在轴上的外力偶矩；
当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，
轴各段横截面上的扭矩是不相等的，这时需用截面 法确定各段横截面上的扭矩。
扭矩图：扭矩沿杆轴线方向变化的图形。
10
例3-1
• 如图所示，圆轴受有四个绕轴线转动的外加 力偶，各力偶的力偶矩大小和方向均示于图 中，单位为N.m，轴的尺寸单位为mm。试画 出圆轴的扭矩图。
第三章
扭 转
1
§3-1、概述
传动轴
一、概 述
2
§3-1、概述
汽车方向盘
3
§3-1、概述
丝锥攻丝
4
§3-1、概述
Me Me
受力特点： 圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面 垂直于杆的轴线的外力偶作用 变形特点： 1.圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动； 2.杆表面上的纵向线变成螺旋线。
实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉 压等其他变形。 5
T max T Ip Wp
Wp Ip
τ(ρ)
– 称为圆截面的扭转截面系数。 – 对于直径为d的实心圆截面，
max
Wp
d
M x t Ip 3
16
– 对于内外直径分别为d和D的空心截面圆轴，
Wp
D 3
16
1
4
d ， D
35
§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
微元上与横截面对应的一对面上存在
的剪应力τ 与其作用面的面积相乘后组 成一绕z轴的力偶，其力偶矩为(τdydz)dx。 为了保持微元平衡，与纵截面对应的 一对面上必然存在剪应力τ’也组成一个 力偶矩为(τ’ dxdz) dy的力偶。 这两个力偶矩大小相等、方向相反， 微元才能平衡。
M z 0 (tdydz)dx (t ' dxdz)dy 0 t t '
12
2. 应用截面法确定各段圆轴内的扭矩 • 用1-1，2-2，3-3截面将圆轴断开，作出断开横截面 上的扭矩，假设扭矩为正方向，分别如图b、c、d 所示。
315 1 1 315 B 2 2 1116 C 3 3 486 D
图a
A
315
图b
A
1 T1 1
由平衡方程：∑M=0 得：T1+315=0 T1=-315N.m
315 1
1
315
B
2
2
1116
C
3
3
486
D
图a
A
T/(N.m) 480
图e _
315 630
+
x
T1=-315N.m
T2=-630N.m
T3=486N.m
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例题3-2
解: (1)计算外力偶矩 由公式
Pk/n
16
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩
M 0 M 0 M 0
横截面上各点无轴向变形，故横截面上没有正应力。 横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，故横截面上有剪 应力存在。 各横截面半径不变，所以剪应力方向与截面径向垂直。 20
薄壁圆筒受扭时变形情况： Me
A B D C
Me
A1 A B1 B
D1 D D1' D'
C
表面正方格子倾斜的角度— 直角的改变量
d • G dx 对于确定的横截面是一个不变的量。
d t G G dx
• 上式表明：横截面上各点的剪应力与点到横截面中 心的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性 分布。方向如图所示。
30
T
• 作用在横截面上的剪应 力形成一分布力系，这 一力系向截面中心简化 结果为一力偶，其力偶 距即为该截面上的扭矩。 于是有：
2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩， 即为BC,CA,AD段轴的扭矩（内力）如图 a)、b)、c);均有∑Mx=0 得： T1+MB=0 T1=-MB= -350N.m MB+MC+T2=0 T2=-MB-MC=-700N.m MD-T3=0 T3=MD=446N.m 3)画出扭矩图如 d)
41
• 实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相联，并传递 功率，如图所示，已知轴的转速n=100r/min，传递的 功率P=7.5kW。实心圆轴直径d1=45mm；空心圆轴内、 外直径之比（d2/D2）=a=0.5，D2=46mm。试确定实 心轴与空心圆轴横截面上的最大切应力。
实心圆轴横截面上最 大切应力：
• Ip 由 I p
dA 积分求得。
2 A
• 对于直径为d的实心截面圆轴：I p
d
4
32
• 对于内、外直径分别为d和D的空心截面圆轴，极 惯性矩为： D 4 d
Ip
32
1
4
，
D
34
• 最大剪应力：
– 发生在横截面边沿上各点，其值为：
Mx
t max
– 其中，
P P
7
2.扭矩和扭矩图 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩， 用符号T表示。 扭矩大小可利用截面法来确定。 Me 1 Me A
1 1
Me
B
T
1 1
A
x
T Me
Me B
8
T
1
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
பைடு நூலகம்右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
9
当只在轴的两个端截面上作用有外力偶矩，则沿
T1 M B 0
T2 M B M C 0
T3 M D 0
(3) 扭矩图
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练习
– 如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功 率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试画 出传动轴的扭矩图。
解：1)由扭矩、功率、转速关系式求得 MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.m MB=MC=350N.m； MD=446N.m