应力状态分析

由切应力互等定理和三角变换，可得：
b

x y
2

x y
2
cos 2 x sin 2
x

n


x y
2
x
a y
y
sin 2 x cos 2
c
x
t
符号规定：1 )“”正负号同“”； 2) “ ”正负号同“” ； 3) “a”为斜面的外法线与 x 轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针 为负。注意：用公式计算时代入相应的正负号。
（1）、主平面与主应力： 主平面：切应力为零的平面。 主应力：作用于主平面上的正应力。
x
y
y
x
x
y
过一点总存在唯一存在三对相互垂直的主平面，对应三个 主应力 主应力排列规定：按代数值由大到小。 1 2 3 10
50 单位：MPa
1 50; 30 2 10; 3 30;
大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当
的强度条件。
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态， 可对一个包围该点的微小正 六面体——单元体进行分析
各边边长 在单元体各面上标上应力—— 应力单元体
dx , dy , dz
z
x
zx zy xz yz
xy yx
y
4、应力状态的分类
这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆
圆心：
y
(
x y
2
,0)
半径：
R (
x y
2
) xy
2
2
应力圆：
x y 2 2 x y 2 2 ( ) ( ) xy 2 2

R C
x y 2
x y 2 2 R ( ) xy 2
与σ2平行的斜截面上的应力可在σ1、σ3 应力圆的圆周上找到对应的点。 与σ1平行的斜截面上的应力可在σ2、σ3 应力圆的圆周上找到对应的点。

2
max

1
o
图a
3
结论 —— 1).弹性理论证明，图a单元体内任意截面上的应力都对 应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。 2).整个单元体内的最大切应力为： 13
sin 2 xy cos2
2、求主应力、主平面
主应力： max
min
x y
2
(
x y
2
) 2 xy
2
80.7( MPa) 40 60 40 60 2 2 ( ) (50) 2 2 60.7( MPa)
图b
1 3
2
max
3)：整个单元体内的最大切应力所在的平面： 3
y
2
1 1
2
13
13
1 3
2
max
x
2
( 1 , 3 , 13 ) 2
2
23 2 3
2
z
23
3
3
,
12
1 2
2
1
2 0 F
60
80
D’
A2
A1
2、量出所求的物理量
σ
30 OF ; 30 EF.
0 0
1 OA1 ; 2 0; 3 OA2 .
DCA1 0 . 2
D
§8 -4 空间应力的应力状态分析 — 一点的最大应力

o
y y
3
2

1
x
z
与σ3平行的斜截面上的应力可在σ1、σ2 应力圆的圆周上找到对应的点。

3＝
2×45º

a (0, )
A
e
c o
2×45º
b

1＝
B
3＝
E
主应力单元体
d (0,- )
例：求 1）图示单元体α=300 斜截面上的应力 2）主应力、主平面（单位：MPa）。
40
解：1、按比例画此单元体对应的应力圆
0
20
τ E ( , ) 30 30 60 O C
第八章
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 §8-5
应力状态分析
强度理论
应力状态的概念 平面应力状态分析——解析法 平面应力状态分析——图解法（应力圆） 空间应力的应力状态分析——一点的最大应力 广义胡克定律
§8-6
强度理论概念
§8-1
应力状态的概念
1、问题的提出 问题1：同一点处不同方位截面上的应力不相同；
10
30
1 10; 2 0; 3 30;
（2)、应力状态的分类 a、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力状态。 b、二向应力状态：有两个主应力不等于零 ，另一个主应力 等于零的应力状态。 c、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。
平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。
) 2 xy
2
——最大切应力 所在的位置
x y
2
——xy 面内的最大切应力
tan 2 0 tan 21 1
(1 0 45 0 )
将 max 与 max , min 画在原单元体上。
tan 2 0 2 xy
x y
——主平面的位置 ( 0 ; ——最大切应力 所在的位置 1 0 450
x
x
单向应力状态
纯剪应力状态
取单元体示例一
FP
S 截面
l/2
l/2
5
4
3 2 1
FP 2
S截面
5
FP l Mz 4
4 3 2
1
5 4
3 2 1
FP 2
S 截面
5 4 3 2
FP l Mz 4
1
2
1
x
1
2
2
x
3
2
3
取单元体示例二
l
y
1
S 截面
S截面
FP
a
4
z
2
3
x
忽略弯曲切应力

50
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 40 60 40 60 cos(60 0 ) 2 2 (50 ) sin(60 0 ) 58.3( MPa)


x y
2 40 60 sin(60 0 ) (50) cos(60 0 ) 2 18.3( MPa)
o
x
y
n
x
o

x
y
x
x

-- 逆时针转为正。
y
x
b
y
x
b

n

单元体各面面积
a
c
y
x
x
x
a y
y
c
x bc : dA
ab : dA cos
t
ac : dA sin
设：斜截面面积为ｄA，由分离体平衡得：
F
n
0 ;
dA ( x dA cos ) cos ( x dAcos ) sin
tg 2 0 2 xy
d d
0,
0
即 0 0
x y
( 0 ;
可以确定出两个相互垂直的 平面——主平面，分别为最大正 应力和最小正应力所在平面。
主平面的方位
0 0 90 0 )
) 2 xy
2
max
min
x y
y
(1 ;
0 0 90 0 )
1 1 90 0 )
x y tan 21 2 xy
min
x
max
x
max min
min
y
max
0
例：如图所示单元体，求 斜面的应力及主应力、主平面
60 解：1、求斜面的应力 x 40, y 60, x 50, 30 40 300 （单位：MPa）
2
xy x x
c
D (x ,xy)
(y ,yx)
D’

x y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
x
B
x' y

b
A
2×45º
45º x
D
d o
y'

a
c
2×45º
E
x
e
D

B E
1＝
( y dAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
bc : dA ; ab : dA cos ; ac : dA sin
F
t
0, dA ( x dA cos ) sin ( x dA cos ) cos ( y dA sin ) cos ( y dA sin ) sin 0
轴向拉伸杆件
F 横截面应力： A
F
n
F
p
x
斜截面应力：
F
cos2 sin(2 )
2

F
p

问题2
B点处应力该如何校核？
梁弯曲的强度条件：
max
* M max Fs S max , max . Wz Iz b