第十章代数语义学ppt课件

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定义10-4 (单射，满射，双射) 若有态射函子f: A→B，对于任意两对象a1，a2∈A，且a1≠a2，都有f(a1)≠f(a2)， (f(a1)，f(a2)∈B)，则f称为单射(injective)函子。 对于任意b∈B都可以找到一个a∈A，使得b|| =|| f (a)，则f称为满射(surjective) 函 子。 若 f:A→B 的 f 既是单射又是满射，则 f 是可逆的，即存在 f -1 :B→A 。 f 称为双射 (bijective) 函子。 定义10-5(同态映射homomorphism) 若态射函子f: A→B是从代数(A，OP)到(B，OP，)的映射。如果对任意op∈OP，a1， a2，…an∈A有: f (op (a1，a2，…an)) = op' (f(a1)，f(a2)，…f(an)) (10-1)
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更为抽象的是泛代数(universal algebra) 它把具体代数看作是具有某种操作性质的“对象”去研究各“对象”的“关系”。 这些“关系”被抽象为态射(morphism)。 • 定义10-2(子代数) 设(A，OP)是一个代数 ，(B，OP)也是一代数且(A，OP)，则称(B，OP)是(A，OP) 的子代数，写为(B，OP)≤(A，OP)。 • 定义10-3 (范畴category) 范畴C是(ob(C)，morp(C))的二元组。其中ob(C)为集合对象X，Y，Z，…等的象 元集合，morp(C)为C(X,Y)，C(Y,Z)，C(X,Z)，…组成的态射集合。C(X,Y)为X到Y 的态射(morphism)集合，也可以写作f:X→Y，f∈C(X,Y)。X为态射函子f（function） 的域(domain)，Y为f的协域(codomain)。公理保证这种映射总是有效。 对于每个态射函数的对偶(f，g)，若一态射函数的域是另一态射函数的协域，即f:X→Y; g: Y→Z，则可利用组合算子o形成新的态射f o g: X→Z。组合算子服从结合律。若f: X→Y，g:Y→Z，h:Z→W，则有: (h o g) o f = h o (g o f): X→W 对于范畴每一对象X均存在着恒等(identity)态射idx: X→X。因此，对任何态射有: idx o f : (X→X) o (X→Y) = X→Y: f g o idy f : (Y→Z) o (Y→Y) = Y→Z: g 态射是表达两代数的结构相似性的有力工具。
第十章 代数语义学
• 代数语义学是用代数的方法来处理满足一计算逻辑的各种模型。把模型 的集合看作是代数结构。代数语义学公理规定算子的组合规则和约束。 算子集和域上值集的关系正好是代数系统研究的范畴。 • 代数规格说明成为语法、语义一体化描述的形式基础。 • 10.1 代数基础 • 定义10.1 代数是形如(A，OP)的对偶，其中A是承载子(carrier)集合，OP 代表了操作符的有限集。 OPi(a1，a2，…an) = as: A→A(ai，as ∈A，i = 1‥n) • 具体代数 ({true，false}，{∧，∨， }) //布尔代数 (N，{+，*}) //整数代数 (S，{gcd，lcm}) //S-代数
• 抽象代数 只给出一抽象的A集合和(组合)算子{o}，以及在构造中某些必需满足的 公理、定理。 • 抽象代数从更高的层次上研究构造子和承载子之间的关系，它不规定具体 的值集和操作集，只给出一抽象的A集合和(组合)算子{o}，以及在构造中 某些必需满足的公理、定理。《抽象代数》中对构造子不同的约定(即应满 足的性质)得到不同的抽象代数: • 群: (A，{o}) //o不满足任何定理 • 半群: (A，{o}) // o必需满足结合律: x o (y o z) = (x o y) o z 独导半群满足恒等定律: x o (i(a)) = x = (i(a)) o x
同态保持两代数结构的相似性，同构即两代数结构相等，仅管其中值集不相同。 BOOLEAN = ({true，false}，not) not(true) = false not(false) = true A = ({0,1}，flip) flip(0) = 1 flip(1) = 0 B({yes,no, maybe}，change) change(yes) = no change(no) = yes change(maybe) = maybe C({any}，same) same(any) = any 若有态射函子h: BOOLEAN→A。具体定义是: h(true) = 1，h(false) = 0 我们验证(10-1)式，先看右侧: h(not(true) = h(flase) = 0 再看右侧: flip(h(true)) = flip(1) = 0 因此，代数 BOOLEAN 和代数 A 是同态的，且对于 0 ， 1 均有映射 ( 满射且直射 ) ，故 BOOLEAN和A同构。h -1(1) = true，h-1(0) = false成立。
//其中(A，{o})是一个半群, i是恒等操作(函数)
i(a)为A的单位元。若o是+，A是整数集，i((a) = 0。同样若o是*，i(a) = 1。 单位元是相对o而言的。 每一群(A，{o , i })中都有一逆操作i-1的独异(A，{o，i-1})满足逆定律: x o i-1 = i(a) = i-1 o x
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其中op'∈OP'，f(a1)，f(a2)，…f(an)∈B，n = 0，1 … k。意即代数A中某k目操作 op，若将其k个变元先映射到代数B中，总可以找到同目的操作op'，以映射后的变元 作变元，其结果和op运算后再映射的结果一致。(A，OP)，(B，OP，)是同态的。 同理。若f: A→B中f是单射的且满足(10-1)，则称单同态(monomorphism)。 若f是满射的且满足式(10-1)，则称满同态(epimorphism)。 若f是双射的且满足式(10-1)，则称同构(isomorphism)。