湖北省松滋市高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法导学案新人教A版选修2-2教案
2019_2020学年高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法讲义新人教A版
2.2.2 反证法1．反证法是□01间接证明的一种基本方法．假设原命题□02不成立，经过正确的推理，最后得出□03矛盾，因此说明假设□04错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法． 2．用反证法证明命题的步骤，大体上分为：(1)反设：假设命题的结论□05不成立，即假设结论的反面成立； (2)归谬：从□06假设出发，通过推理论证，得出矛盾； (3)结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 3．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与□07已知条件矛盾，或与□08假设矛盾，或与□09定义、定理、公理、事实矛盾等．反证法中的“反设”和“归谬”(1)反证法中的“反设”，这是应用反证法的第一步，也是关键一步．“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件．“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明．做好“反设”应注意：①正确分清题设和结论；②对结论实施正确否定；③对结论否定后，找出其所有情况．(2)反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从命题结论的题设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法．( )(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( ) (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ 2．做一做(1)已知a ≠0，证明关于x 的方程ax ＝b 有且只有一解，适宜用________证明． (2)用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有一个能被5整除”，则假设的内容是________．(3)用反证法证明命题“如果a >b ，则3a >3b ”时，假设的内容是________． 答案 (1)反证法 (2)a ，b 都不能被5整除 (3)3a ≤3b探究1 用反证法证明否定性命题 例1 已知f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负数根． [证明] 假设x 0是f (x )＝0的负数根， 则x 0<0，x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1， 由0<ax 0<1可知0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12<x 0<2， 这与x 0<0矛盾，故假设不成立． 即方程f (x )＝0没有负数根． 拓展提升反证法属于逻辑方法范畴，它的本质体现在“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属于“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．【跟踪训练1】 已知a ，b ，c ，d ∈R ，且ad －bc ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ≠1. 证明 假设a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＝1. 因为ad －bc ＝1，所以a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＝ad －bc . 所以a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＋bc －ad ＝0. 所以2a 2＋2b 2＋2c 2＋2d 2＋2ab ＋2cd ＋2bc －2ad ＝0. 所以(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋d )2＋(a －d )2＝0. 所以a ＋b ＝0，b ＋c ＝0，c ＋d ＝0，a －d ＝0， 所以a ＝b ＝c ＝d ＝0，所以ad －bc ＝0，这与ab －bc ＝1矛盾，从而假设不成立，原命题成立， 即a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ≠1.探究2 用反证法证明“至多”“至少”型命题例2 已知a ，b ，c 是互不相等且均不为0的实数，求证：由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．[证明] 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点． 由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b ，得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0，且Δ2＝(2c )2－4ab ≤0，且Δ3＝(2a )2－4bc ≤0.同向不等式求和得4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0， ∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0， ∴(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≤0，∴a ＝b ＝c . 这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾， 因此假设不成立，从而命题得证． 拓展提升常见结论词与反设词列表如下：【跟踪训练2】 求证下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax－2a ＝0至少有一个方程有实根时实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥－1或a ≤－32. 证明 若方程没有一个有实根，则⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－－4a ，a －2－4a 2<0，4a 2＋8a <0.解得－32<a <－1.所以若三个方程至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥－1或a ≤－32.探究3 用反证法证明唯一性命题例3 用反证法证明：过已知直线a 外一点A 有且只有一条直线b 与已知直线a 平行． [证明] 由两条直线平行的定义可知，过点A 至少有一条直线与直线a 平行． 假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a .因为b ∥a ，由平行公理知b ′∥b ，这与假设b ∩b ′＝A 矛盾，所以假设错误，原命题成立．拓展提升证明“唯一性”命题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．【跟踪训练3】已知直线m与直线a和b分别交于A，B且a∥b，求证：过a，b，m有且只有一个平面．证明∵如图，a∥b，∴过a，b有一个平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.又A∈m，B∈m，∴m⊂α.即过a，b，m有一个平面α.假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面相矛盾．因此，过a，b，m有且只有一个平面．1.“否定结论”是反证法的第一步，它的正确与否直接影响能否正确使用反证法．否定结论的步骤是：弄清结论本身的情况；找出结论的全部相反情况；正确否定上述结论.2.反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是开始假定“结论的反面是正确的”是错误的.3.在反证法证题的过程中，经常画出某些不合常理的图形，甚至是不可能存在的图形，这样做的目的是为了能清楚地说明问题．在证明过程中，每一步推理所得结论的正确性，完全由它所依据的理由来保证，而不能借助图形的直观，这与用直接法通过图形找到证题的途径是完全不一样的.1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A ．假设三个内角都不大于60°B ．假设三个内角都大于60°C ．假设三个内角至多有一个大于60°D ．假设三个内角至多有两个大于60° 答案 B解析 “至少有一个不大于”的否定为“都大于”，所以选B. 2．如果两个实数之和为正数，则这两个数( ) A ．一个是正数，一个是负数 B ．两个都是正数 C ．至少有一个是正数 D ．两个都是负数答案 C解析 假设两个数都不是正数，则其和必为负数或零．所以选C.3．命题“关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的”的结论的否定是________． 答案 无解或至少两解解析 方程解的情况有：①无解；②唯一解；③两个或两个以上的解．4．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是________．答案 {a |a ≤－2或a ≥－1}解析 假设两个一元二次方程均无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝a －2－4a 2<0，Δ2＝a2－－2a，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋2a －1>0，a 2＋2a <0，解得a 的取值集合为：{a |－2<a <－1}，所以其补集为{a |a ≤－2或a ≥－1}，即为所求的a 的取值范围．5．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c ，求证：2b ＝1a ＋1c不成立．证明 假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2bac.故b 2＝ac . 又b ＝a ＋c2，所以⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝ac ，即(a －c )2＝0，所以a ＝c ，这与a ，b ，c 两两不相等矛盾，因此2b ＝1a ＋1c不成立．。
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课件 新人教B版选修2-2.pptx
10 证明
反思与感悟
对某些结论为肯定形式或者否定命题的证明，从正面突破较困难时， 可用反证法.通过反设将肯定命题转化为否定命题或否定命题转化为肯 定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达 到证题的目的.
13
跟踪训练1 已知正整数，a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可 能都是奇数. 证明 假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数. 左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数，得偶数＝奇数，矛盾. ∴假设不成立，∴a，b，c不可能都是奇数.
原结论词 至少有一个 至多有一个 至少有n个
至多有n个
反设词
一个也没有 至少有两个 至多有n－1个
(不存在)
至少有n＋1个
17
跟踪训练2 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c， y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴 有两个不同的交点.
思考1
本故事中王戎运用了什么论证思想？ 答案 运用了反证法思想.
5 答案
思考2
反证法解题的实质是什么？ 答案 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.
6 答案
梳理
(1)反证法的概念 一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个 真命题 矛盾，从而判定 綈q 为假，推出q 为真的方法，叫做反证法. (2)反证法常见的几种矛盾 ①与假设矛盾； ②与 数学公理 、定理、公式、定义或 已被证明了的结论 矛盾； ③与 公认的简单事实 矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾).
22 证明
当堂训练
23
1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设 A.三角形中至少有一个直角或钝角
高中数学《第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法...》730PPT课件
§2.2.2 反证法
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的 条件下，结论不成立），经过正确的推理， 最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证 明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证 法。
这种不是直接从原命题的条件逐步推得 命题成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法。
探究反证法的证明过程
反证法
意溪中学
温故迎新
1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法: 已知条件 结论 由因导果
分析法: 结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路， 再由综合法书写过程.
道 旁 苦 李
王戎的结论：李子是苦的
反证法的思维方法：正难则反
例题：
c
已知：如图，直线a,b被直线c所截，
a
∠1 ≠ ∠2
1
b
求证：a∥
2
证明：（反设） 假设结论不成立，则a∥b
（归缪） ∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等)
这与已知的∠1≠∠2矛盾 ∴假设不成立
（存真） ∴a∥b
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 否定必须要全面
∴ ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2）= 0
∵a ≠ 0
∴x 1
-x 2
0,即x1
=
x 2
与x 1
x 矛盾 2
故假设不成立，结论成立。
注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,
是唯一性问题,常用反证法
总结回顾:
1、反证法的一般步骤:
与假设、已知、 定义、定理、 公理或者事实 矛盾等
或等于６０度.
高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法b12b高二12数学
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(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤 ①分清_命__题__(m_ìn_g_tí_)的__条_件__和__结_论_； ②做出_与__命__题__结_论__(_jié_lù_n)_相_矛__盾_的假定； ③由_假__定_出__发__，_应__用__(y_ìn_gy_ò_ng_)正__确__的_推__理__方_法__，推出矛盾的结果； ④断定产生矛盾结果的原因，在于_开__始__所_做__的__假__定_不__真_____，于
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2．用反证法证明命题“设 a、b 为实数，则方程 x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A．方程 x3＋ax＋b＝0 没有实根 B．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有一个实根 C．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根 D．方程 x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根 解析：选 A．“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故选 A．
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内容(nèiróng)总结
第二章 推理(tuīlǐ)与证明
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设 a＞0，b＞0，且 a＋b＝1a＋1b，求证：a2＋a＜
2 与 b2＋b＜2 至多有一个成立． 证明：因为 a＋b＝1a＋1b＝a＋ abb，
因为 a＞0，b＞0，所以 ab＝1.
假设 a2＋a＜2 与 b2＋b＜2 同时成立，
则由 a2＋a＜2 及 a＞0
得 0＜a＜1；同理 0＜b＜1，
从而 ab＜1，这与 ab＝1 矛盾，
4．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是______． 解析：至少有两个的否定是至多有一个． 答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课件新人教B版选修22
2 -2
1 -2
−
2 +1 1 +1
> 0.
故函数 f(x)在(-1,+∞)内为增函数.
(2)假设存在 x0<0(x0≠-1),满足 f(x0)=0,则
0 = −
0 -2
, 且0<
0 +1
0 -2
∴0<−
0 +1
<
0 < 1,
1
1, 即
2
< 0 < 2, 与假设x0<0 矛盾,故方程 f(x)=0
2.2.2
反证法
第一页，共21页。
1.掌握间接证明的常见(chánɡ jiàn)方法(反证法)的推理特点.
2.学会写出命题的否定,并以此作条件推出矛盾结论,即学习用反证法证
明简单题目.
第二页，共21页。
反证法
一般地,由证明p⇒q转向证明:¬ q⇒r⇒…⇒t,t与假设矛盾,或与某个真
命题矛盾.从而判定¬ q为假,推出q为真的(zhēn de)方法,叫做反证法.
处是“假设”易错写成“设”.
反证法不是直接证明结论,而是先否定结论,在否定结论的基础上运用演
绎推理,导出矛盾,从而肯定结论的正确性.
第八页，共21页。
题型一
题型二
题型三
题型四
命题的结论(jiélùn)是否定型
【例题 1】 已知函数 f(x)=a
x
-2
+ +1 (
> 1).
(1)证明函数f(x)在(-1,+∞)内为增函数;
答案：D
第十九页，共21页。
1
2
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高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法检测新人教A版选修1-2(2021
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2 反证法A级基础巩固一、选择题1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（)A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根．”答案：A2．用反证法证明命题“若直线AB,CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线"的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB,CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的顺序为( ）A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知,其正确步骤为③①②。
答案：B3．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为（)A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：假设c∥b，由a∥c，从而得a∥b,这与a与b是异面直线矛盾,故直线c与b不可能是平行直线．答案：C4．否定结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数"时,正确的反设为（)A．a，b,c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a,b，c中至少有两个偶数D．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a,b，c中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数,恰有两个偶数，全为偶数．除去结论即为反设,应选D.答案:D5．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a,b，c中至少有一个数不小于( )A．0 B.错误!C.错误!D．1解析：假设a，b，c都小于错误!，则a＋b＋c<1，与a＋b＋c＝1矛盾，选项B正确．答案：B二、填空题6．已知平面α∩平面β＝直线a,直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线,若利用反证法证明，则应假设________．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．答案：b与c平行或相交7．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列,求证：乘积p ＝(a1－1)（a2－2)…(a7－7）为偶数．证明：假设p为奇数,则a1－1，a2－2，…,a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数＝________＝0。
高中数学《第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法...》718PPT课件
B. abc≠0(D) NhomakorabeaC. a≠0，b≠0，c≠0
D. a≠0或b≠0或c≠0
课堂练习
2. 在△ABC中，若∠C是直角，则 ∠B 一定是锐角.
3. 求证： 2 ， 3 ， 5 不可能成 等差数列.
课堂练习
4. 已知a，b，c均为实数，且
a x2 2 y ，b y2 2z ，
2
3
c z2 2x .
例题讲解
例1. 已知a 0，证明x的方程ax b 有且只有一个根.
例题讲解
例2. 已知直线a，b 和平面，如果 a ，b ，且a // b，求证a // .
a
b
新课讲授
注 意：
反证法的关键是在正确的推理下得 出矛盾. 这个矛盾可以是与已知条件矛 盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、 公理、事实矛盾等.
6
求证：a，b，c中至少有一个大于0.
课堂小结
1.“反证法”的解题步骤： (1)提出反设（否定结论）； (2)推出矛盾（与已知、假设、定义、 定理、公理、事实矛盾，这是关键 的一步）； (3)否定假设，肯定结论.
2.反证法一般应用于证明“结论含有否定词、 至多、至少、唯一性”的问题.
课后作业
《学案》与《习案》.
课堂练习
1. 用反证法证明命题“若a2＋b2＋c2＝0，
则a＝b＝c＝0”时，第一步应假设
(
)
A. a≠b≠c≠0
B. abc≠0
C. a≠0，b≠0，c≠0
D. a≠0或b≠0或c≠0
课堂练习
1. 用反证法证明命题“若a2＋b2＋c2＝0，
则a＝b＝c＝0”时，第一步应假设
A. a≠b≠c≠0
2.2.2 反证法
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法212数学
2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些
作为条件使用( )
①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、
定理、定义等；④原命题的结论．
A．①②
B．①②④
C．①②③
D．②③
解析：由反证法的定义，可将①②③作为条件使用，
而④(原命题的结论)不能作为条件使用．
答案：C
第七页，共二十八页。
第二章 推理(tuīlǐ)与证明
第一页，共二十八页。
2.2 直接证明与间接证明 2．2.2 反证法
[学习目标] 1.了解反证法是间接证明的一种基本方 法(重点).2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学 问题(重点、难点)．
第二页，共二十八页。
1．反证法 (1)反证法是间接证明的一种基本方法． (2)一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下， 结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说 明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫作 反证法．
归纳升华 1．反证法证明唯一性命题的适用类型：当证明结论 是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时， 由于从假设的结论中易于导出矛盾，所以用反证法证明 唯一性比较简单． 2．证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方 面，即存在性问题和唯一性问题两个方面．
第十八页，共二十八页。
[变式训练] 用反证法证明：过已知直线 a 外一点 A 只有一条直线 b 与已知直线 a 平行．
第二十一页，共二十八页。
[迁移探究 1] (变换条件)已知 a，b，c∈(0，2)，求 证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a 不能都大于 1.
证明：假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a 都大于 1. 因为 a，b，c∈(0，2) 所以 2－a>0，2－b>0，2－c>0. 所以（2－2a）＋b≥ （2－a）b>1. 同理（2－2b）＋c≥ （2－b） c>1.
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法a22a高二22数学
当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，
可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：
结论词
反设词
结论词
反设词
至少有一个 至多有一个
一个也没有 至少有两个
对所有 x 成立 存在某个 x0 不成立 对任意 x 不成立 存在某个 x0 成立
12/13/2021
2．(2014·高考山东卷)用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A．方程 x3＋ax＋b＝0 没有实根 B．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有一个实根 C．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根 D．方程 x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根 解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程 x3＋ax＋b＝0 没有实根”． 答案：A
因为 x>0 且 y>0，
所以 1＋x≥2y 且 1＋y≥2x，
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两式相加，得 2＋x＋y≥2x＋2y， 所以 x＋y≤2，这与已知条件 x＋y>2 矛盾， 因此1＋y x<2 和1＋x y<2 中至少有一个成立．
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探究三 用反证法证明唯一性命题
[典例 3] 求证：两条相交直线有且只有一个交点． [证明] 已知：a与b是两条相交直线， 求证：a与b有且只有一个交点． 证明：假设结论不正确，则有两种可能：a与b无交点，或不止有一个交点． 若直线a，b无交点， 则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾． 若直线a，b不止有一个交点， 则至少有两个交点A和B，
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[随堂训练] 1．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于 60°”时，应假设( ) A．三个内角都不大于 60° B．三个内角都大于 60° C．三个内角至多有一个大于 60° D．三个内角至多有两个大于 60°
高中数学《第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法...》685PPT课件
二、归纳总结，提炼新知
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的 条件下，结论不成立），经过正确的推理，最 后得出矛盾.因此说明假设错误，从而证明了原 命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
与假设、已知、定 义、定理、公理或 者事实矛盾等
反证法证明的一般步骤：
假设
归谬假Βιβλιοθήκη 设 命从假设引 出
题 不
出发
矛 盾
四、课堂自我小结
五、课后作业
1、求证：正弦函数没有比 2 小的正周期.
2、设函数 f (x) 2x2 mx n ,求证： f 1 , f 2 , f 3
中至少有一个不小于 1. 3、求证： tan3 是无理数（北大博雅考试题）
成
立
结论
求
假
证
设 得出
不 成
结论
的 命 题
立
正
确
三、例题讲解，运用新知
例 1、求证：在三角形中至少有一个角
不大于 3
方法归纳：当命题中结论一般是含有“至少”、 “至多”、“有无穷多个”、“不可能”、“任 意”、“唯一”等字样的命题。
三、例题讲解，运用新知
例2、在一次球类比赛中有8支球队参加， 每两队要进行一场比赛。胜一场得2分， 平一场得1分，负一场得0分，一个队要 确保进入前四名（积分至少超过其他四 个队），则他的积分至少是多少分？
反证法
树德中学数学组 张世军
一、情境设置、探索新知
2 是无理数的证明过程： 证明：假设 2 不是无理数，即 2 是有理数， 那么它就可以表示成两个整数之比，设 2 q , p 0 ，
p
且 p, q 互素，则 p 2 q .所以， 2 p2 q2 .① 故 q2 是偶数， q 也必然为偶数. 不妨设 q 2k ，带入①式，则有 2 p2 4k 2 ，即 p2 2k 2 ， 所以， p 也为偶数. p 和 q 都是偶数，它们有公约数 2 ， 这与 p, q 互素相矛盾. 这样， 2 不是有理数，而是无理数.
湖北省松滋市高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法导学案 新人教A版选修22
2.2.2 反证法【学习目标】1.了解反证法的基本原理；2.掌握运用反证法的一般步骤；3.学会用反证法证明一些典型问题.【重点难点】重点：反证法的实质.难点：如何产生矛盾.【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P89-91内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.【问题导学】1. 反证法?反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.2.反证法常见矛盾类型?反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾或与假设矛盾或与定义、定理、公理、事实矛盾等.3.反证法的实质是什么?反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的.4. 反证法属于直接证明还是间接证明？其证明过程属合情推理还是演绎推理？反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严格的演绎推理.【合作探究】问题1：用反证法证明否定性命题1.设,,,a b c d R∈，且1ad bc-=，求证：22221a b c d ab cd+++++≠.证明：假设22221a b c d ab cd+++++=因为1ad bc-=，所以22220a b c d ab cd bc ad++++++-=即()()()()22220a b c d a d b c++++-++=即0,0,0,0a b c d a d b c+=+=-=+=.所以0a b c d====，这与已知1ad bc-=矛盾.故假设不成立，所以22221a b c d ab cd+++++≠.2.已知()()211xxf x a ax-=+>+，证明方程()0f x=没有负实数根.证明：假设x是()0f x=的负数根，则x<且1x≠-且002,1xxax-=-+由0020101,1xxax-<<⇒<-<+解得12,2x<<这与x<矛盾，所以假设不成立，故方程()0f x=没有负实数根.3.已知三个正数,,a b c成等比数列，但不成等差.,4b==即. 又,,a b c成等比数列，所以2b ac =即b =所以a c ++=所以0a c +-=，即20.==a b c ==，所以,,a b c 可以成等差数列，这与已知条件,,a b c 不成等差数列矛盾，故假设不成立，.问题2：用反证法证明“至少”“至多”等存在性问题1.已知,,a b c 是互不相等的实数，求证：由222,2,y ax bx c y bx cx a =++=++ 22y cx ax b =++确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点.证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点.由222,2,y ax bx c y bx cx a =++=++22y cx ax b =++得()21240,b ac =-≤()()2223240,240.c ab a bc =-≤=-≤()()()2222224444440,0,.b c a ac bc ab a b b c a c a b c ∴++---≤∴-+-+-≤∴==这,,a b c 是互不相等矛盾， 因此假设不成立，从而命题的证. 2.关于x 的方程24430x ax a +-+=，()2210x a x a +-+=，2220x ax a +-=，当32a ≤-或1a ≥-时，至少有一个方程有实数根.证明：假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零得()()()()()212222344430,140,2420,a a a a a a ⎧=+-<⎪⎪=--<⎨⎪=--<⎪⎩ 则31,2211,320,a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪><-⎨⎪-<<⎪⎪⎩或解得31,2a -<<-与312a a ≤-≥-或矛盾，故原命题成立. 3.已知1234100a a a a +++>，求证：1234,,,a a a a 中至少有一个数大于25 证明：假设1234,,,a a a a 均不大于25， 即123425,25,25,25,a a a a ≤≤≤≤则123425252525100a a a a +++≤+++=这与已知条件1234100a a a a +++>矛盾 故假设不成立，从而命题的证.问题3：用反证法证明唯一性命题1.求证：过已知直线a 外一点A 有且只有一条直线b 与已知直线a 平行.证明：假设过点A 还有一条直线'b 与已知直线a 平行，即'b b A =，'b ∥a .因为b ∥a ，由平行公理知'b ∥b ，这与假设'b b A =矛盾，故假设不成立，从而命题的证.2.过平面α内一点A 作直线a ，使得a α⊥，求证：直线a 是唯一的.证明：假设这样的直线a 不唯一，则过点A 至少还有一条直线b ，使得b α⊥，因为直线,a b 是相交直线，所以两直线,a b 可以确定一个平面.β设α和β相交于过点A 的直线.c 因为,,a b αα⊥⊥ 所以,.a c b c ⊥⊥这样在β平面内，过点A 就有两条直线,a b 垂直于直线.c 这与平面内过直线上一点只能做一条该直线的垂线矛盾，故假设不成立，所以直线a 是唯一的.3.求证方程23x=有且只有一个根.证明：因为23x=，所以32log .x =这说明方程有一个根.下面用反证法证明方程的根是唯一的.假设方程23x=有两个根()1212,x x x x ≠，则1223,23xx ==，两式相除，得122 1.x x -=若120x x ->，则1221x x ->，这与1221x x-=矛盾；若120x x -<，则1221x x -<，这也与1221x x -=矛盾，因此只能120x x -=，这与12x x ≠矛盾. 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾. 故23x=有且只有一个跟. 【深化提高】证明直线:1l y kx =+，不存在这样的实数k ，使得直线l 与双曲线22:31C x y -=的交点,A B 关于直线()y ax a =常数对称.证明：假设存在实数k ，使得,A B 关于直线y ax =对称，设()()1122,,,A x y B x y ，则有（1）直线:1l y kx =+与直线y ax =垂直；（2）点,A B 在直线:1l y kx =+上；（3）线段AB 的中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭在直线y ax =上，所以()121212121,2,.22ka y y k x x y y x x a ⎧⎪=-⎪+=++⎨⎪++⎪=⎩ ① 由()22221,3220.31y kx k x kx y x =+⎧---=⎨=-⎩得② 当23k =时，l 与双曲线仅有一个交点，不合题意.由①得()()12122a x x k x x +=++，③ 由②得12223kx x k +=-代入③整理得：3ak =，这与1ak =-矛盾.所以假设不成立，故不存在实数k ， 使得,A B 关于直线()y ax a =常数对称. 【学习评价】●自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ●当堂检测A 组（你一定行）：1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c ，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ B ）Ａ．假设a b c ，，都是偶数 Ｂ．假设a b c ，，都不是偶数 Ｃ．假设a b c ，，至多有一个是偶数 Ｄ．假设a b c ，，至多有两个是偶数2．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥，（2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是 （ D ）Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确3．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是 （ C ） Ａ．有两个内角是钝角 Ｂ．有三个内角是钝 Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角 B 组（你坚信你能行）：4．.三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 至少有1个大于或等于60的反面为__∠A ，∠B ，∠C 都小于60_____．5. 已知A 为平面BCD 外的一点，则AB 、CD 是异面直线的反面为___,AB CD 共面____． C 组（我对你很有吸引力哟）：6．设0 1, 01, 0 1a b c <<<<<<，求证：()(1, 1, 1,)()a b b c c a ---不可能同时大于41证明：假设三个式子同时大于14，即()(1111, 1, 1,444)()a b b c c a ->->->三式相乘得：3()a ()b 1111c 4()a b c --->① 又因为0 1, 01, 0 1a b c <<<<<<，所以，()2110()a 241a a a +-⎡⎤<≤=⎢⎥⎦-⎣， 同理10()b ,0(111)4c 4b c <-≤<≤-， 所以3()a ()b 1111c 4()a b c --≤- ②，①与②矛盾，即假设不成立，故原命题成立.【小结与反思】。
高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 反证法方法总结素材 新人教A版选修1-2(
高中数学第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明反证法方法总结素材新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明反证法方法总结素材新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明反证法方法总结素材新人教A版选修1-2的全部内容。
反证法方法总结1．反证法属逻辑方法范畴,它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”，第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设"易错写成“设”．2．适合用反证法证明的命题：(1）否定性命题；(2)唯一性命题；（3)至多、至少型命题；(4)明显成立的问题；(5)直接证明有困难的命题．3．使用反证法证明问题时,准确地作出反设（即否定结论）是正确运用反证法的前提,常见的“结论词”与“反设词”列表如下：4。
常见的矛盾主要有:（1）与假设矛盾；(2)与公认的事实矛盾;(3）与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾．1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（C）①结论相反的判断,即假设;②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论A．①② B．①②④C．①②③ D．②③2．用反证法证明命题“一个三角形不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，所以∠A ＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角;③假设∠A,∠B，∠C中有两个直角,不妨设∠A＝∠B＝90°。
高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法a22a高二22数学
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[课标要求] 1．了解反证法是间接(jiàn jiē)证明的一种基本方法．( 难点) 2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学 问题．(重点、易错点)
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第二页，共三十二页。
课前预习案·素养养成
基础知识整合
1．反证法 假设原命题____不__成__立__(c_hé(n即glì) 在原命题的条件下，结论 不成立)，经过正确的推理，最后(zuìhòu)得出矛盾，因此说 明假__设__(ji_ǎs_hè_)错__误___ ， 从 而 证 明 了原__命__题_成__立_____ ， 这 种 证 明 方法叫做反证法．
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●规律方法 用反证法证明唯一性命题的关注点
(1)当证明结论是以“有且只有”“当且仅当”“唯 一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结 论易于推出矛盾，故常用反证法证明．
(2)用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理， 否则就不是反证法．如果欲证明的命题的反面情况(qíngkuàng) 只有一种，那么只要将这种情况驳倒就可以；若结论的反 面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能 推断结论成立．
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典题试解
已知实数 p 满足不等式2xx＋＋21＜0，用反证法证明关于 x 的方程 x2－2x＋5－p2＝0 无实根．
证明 假设方程 x2－2x＋5－p2＝0 有实根，则该方程 根的判别式Δ＝4－4(5－p2)≥0，解之得 p≥2 或 p≤ －2， 而由已知条件实数 p 满足不等式2xx＋＋21＜0，得－2＜p＜－12， 二者无公共部分，说明假设不成立，从而关于 x 的方程 x2 －2x＋5－p2＝0 无实根．
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2.2.2 反证法【学习目标】1.了解反证法的基本原理；2.掌握运用反证法的一般步骤；3.学会用反证法证明一些典型问题.【重点难点】重点：反证法的实质.难点：如何产生矛盾.【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P89-91内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.【问题导学】1. 反证法?反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.2.反证法常见矛盾类型?反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾或与假设矛盾或与定义、定理、公理、事实矛盾等.3.反证法的实质是什么?反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的.4. 反证法属于直接证明还是间接证明？其证明过程属合情推理还是演绎推理？反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严格的演绎推理.【合作探究】问题1：用反证法证明否定性命题1.设,,,a b c d R∈，且1ad bc-=，求证：22221a b c d ab cd+++++≠.证明：假设22221a b c d ab cd+++++=因为1ad bc-=，所以22220a b c d ab cd bc ad++++++-=即()()()()22220a b c d a d b c++++-++=即0,0,0,0a b c d a d b c+=+=-=+=.所以0a b c d====，这与已知1ad bc-=矛盾.故假设不成立，所以22221a b c d ab cd+++++≠.2.已知()()211xxf x a ax-=+>+，证明方程()0f x=没有负实数根.证明：假设x是()0f x=的负数根，则x<且1x≠-且002,1xxax-=-+由0020101,1xxax-<<⇒<-<+解得12,2x<<这与x<矛盾，所以假设不成立，故方程()0f x=没有负实数根.3.已知三个正数,,a b c成等比数列，但不成等差.,4b==即. 又,,a b c成等比数列，所以2b ac =即b =所以a c ++=所以0a c +-=，即20.==a b c ==，所以,,a b c 可以成等差数列，这与已知条件,,a b c 不成等差数列矛盾，故假设不成立，.问题2：用反证法证明“至少”“至多”等存在性问题1.已知,,a b c 是互不相等的实数，求证：由222,2,y ax bx c y bx cx a =++=++ 22y cx ax b =++确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点.证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点.由222,2,y ax bx c y bx cx a =++=++22y cx ax b =++得()21240,b ac =-≤()()2223240,240.c ab a bc =-≤=-≤()()()2222224444440,0,.b c a ac bc ab a b b c a c a b c ∴++---≤∴-+-+-≤∴==这,,a b c 是互不相等矛盾， 因此假设不成立，从而命题的证. 2.关于x 的方程24430x ax a +-+=，()2210x a x a +-+=，2220x ax a +-=，当32a ≤-或1a ≥-时，至少有一个方程有实数根.证明：假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零得()()()()()212222344430,140,2420,a a a a a a ⎧=+-<⎪⎪=--<⎨⎪=--<⎪⎩ 则31,2211,320,a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪><-⎨⎪-<<⎪⎪⎩或解得31,2a -<<-与312a a ≤-≥-或矛盾，故原命题成立. 3.已知1234100a a a a +++>，求证：1234,,,a a a a 中至少有一个数大于25 证明：假设1234,,,a a a a 均不大于25， 即123425,25,25,25,a a a a ≤≤≤≤则123425252525100a a a a +++≤+++=这与已知条件1234100a a a a +++>矛盾 故假设不成立，从而命题的证.问题3：用反证法证明唯一性命题1.求证：过已知直线a 外一点A 有且只有一条直线b 与已知直线a 平行.证明：假设过点A 还有一条直线'b 与已知直线a 平行，即'b b A = ，'b ∥a .因为b ∥a ，由平行公理知'b ∥b ，这与假设'b b A = 矛盾，故假设不成立，从而命题的证.2.过平面α内一点A 作直线a ，使得a α⊥，求证：直线a 是唯一的.证明：假设这样的直线a 不唯一，则过点A 至少还有一条直线b ，使得b α⊥，因为直线,a b 是相交直线，所以两直线,a b 可以确定一个平面.β设α和β相交于过点A 的直线.c 因为,,a b αα⊥⊥ 所以,.a c b c ⊥⊥这样在β平面内，过点A 就有两条直线,a b 垂直于直线.c 这与平面内过直线上一点只能做一条该直线的垂线矛盾，故假设不成立，所以直线a 是唯一的.3.求证方程23x=有且只有一个根.证明：因为23x=，所以32log .x =这说明方程有一个根.下面用反证法证明方程的根是唯一的.假设方程23x =有两个根()1212,x x x x ≠，则1223,23xx ==，两式相除，得122 1.x x -=若120x x ->，则1221x x ->，这与1221x x -=矛盾；若120x x -<，则1221x x -<，这也与1221x x -=矛盾，因此只能120x x -=，这与12x x ≠矛盾. 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾. 故23x=有且只有一个跟. 【深化提高】证明直线:1l y kx =+，不存在这样的实数k ，使得直线l 与双曲线22:31C x y -=的交点,A B 关于直线()y ax a =常数对称.证明：假设存在实数k ，使得,A B 关于直线y ax =对称，设()()1122,,,A x y B x y ，则有（1）直线:1l y kx =+与直线y ax =垂直；（2）点,A B 在直线:1l y kx =+上；（3）线段AB 的中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭在直线y ax =上，所以()121212121,2,.22ka y y k x x y y x x a ⎧⎪=-⎪+=++⎨⎪++⎪=⎩ ① 由()22221,3220.31y kx k x kx y x =+⎧---=⎨=-⎩得② 当23k =时，l 与双曲线仅有一个交点，不合题意.由①得()()12122a x x k x x +=++，③ 由②得12223kx x k +=-代入③整理得：3ak =，这与1ak =-矛盾.所以假设不成立，故不存在实数k ， 使得,A B 关于直线()y ax a =常数对称. 【学习评价】●自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ●当堂检测A 组（你一定行）：1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c ，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ B ）Ａ．假设a b c ，，都是偶数 Ｂ．假设a b c ，，都不是偶数 Ｃ．假设a b c ，，至多有一个是偶数 Ｄ．假设a b c ，，至多有两个是偶数2．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥，（2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是 （ D ）Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确3．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是 （ C ） Ａ．有两个内角是钝角 Ｂ．有三个内角是钝 Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角 B 组（你坚信你能行）：4．.三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 至少有1个大于或等于60的反面为__∠A ，∠B ，∠C 都小于60_____．5. 已知A 为平面BCD 外的一点，则AB 、CD 是异面直线的反面为___,AB CD 共面____． C 组（我对你很有吸引力哟）：6．设0 1, 01, 0 1a b c <<<<<<，求证：()(1, 1, 1,)()a b b c c a ---不可能同时大于41证明：假设三个式子同时大于14，即()(1111, 1, 1,444)()a b b c c a ->->->三式相乘得：3()a ()b 1111c 4()a b c --->① 又因为0 1, 01, 0 1a b c <<<<<<，所以，()2110()a 241a a a +-⎡⎤<≤=⎢⎥⎦-⎣， 同理10()b ,0(111)4c 4b c <-≤<≤-， 所以3()a ()b 1111c 4()a b c --≤-②， ①与②矛盾，即假设不成立，故原命题成立.【小结与反思】。