《圆锥曲线中的三角形面积问题》课件

位置代数化：由yx＝2＝2－x－2y2 ，得 x2＋4x－4＝0。
第三步，代数运算。
此时点
P
到直线
l
|2·－2－－2－2|
的距离为
＝
22＋－12
4 5＝
45 5 .∴|AB| ＝
1＋k2 · x1＋x22－4x1x2 ＝
1＋22· －42－4－4＝4 10，故△ABP 面积的最大值
4 为
10×4 2
2
2.利用共同的底边，拆分三角形为面积和（或差），
常化为
S
1 2
|
公共底边长
||
x1
x2
|
或S
1 2
|
公共底边长
||
y1
y2
|
“联立方程+韦达定理+ ”是前提，最值问题常化为
函数、不等式最值等。
问题 2
如图，已知直线 l：
y＝2x－2 与抛物线 C： x2＝－2y 交于 A、B 两
点，O 为坐标原点．若
k
y kx 2
位置关系代数化：由
x2 2
y2
，消去
1
y
得关于
x
的
方程：(1 2k2)x2 8kx 6 0 。由直线 l 与椭圆相交于 A、
B 两点， 0 64k 2 24(1 2k 2 ) 0 解得 k2 3 。
2
问题目标代数化：
方法
1：
S SAAOOBB
1 2
| OD | |
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的离心率
为
6 3
，右焦点为
(2
2,0)。斜率为 1 的直线l与
椭圆 G 交于 A, B 两点，以 AB 为底边作等腰
三角形，顶点为 P(3,2) 。
（Ⅰ）求椭圆 G 的方程；
（Ⅱ）求△ABP 的面积。
x1
x2
6 9
| AB | 1 k 2 | x1 x2 | 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
10 2 。 原 点 O 到 直 线 l 的 距 离 9
d
2 55 。SAOB
1 2
|
AB
|
d
2
10 9
.
典例导入
问题
1
已知椭圆 C:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的离心
率为 2 ，短轴长为 2。过点 P(0, 2) 的直线 l 与 2
问题 1
已知椭圆 C:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的离心率
为 2 ，短轴长为 2。过点 P(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C
2
交于 A 、 B 两点，
（Ⅰ）当直线 l 的斜率为 2 时，求 AOB 的面积。
（Ⅰ）第一步，分析几何对象几何特征，理解题意，并画出图像。
本问题中，直线 l 与椭圆相交于 A 、 B 。
问题目标代数化： S 1 | AB | d
2
第三步，代数运算。 ∴|AB| ＝ 1＋k2 · x1＋x22－4x1x2 ＝ 1＋22 · －42－4·－4 ＝ 4 10.∵|AB|为定值。∴当点 P 到直线 l 的距离 d 最大时，△ABP
的面积最大．而 d＝ |22t＋2＋12t2－－12|2＝|12t＋252－4|，又－2－2 2<t<－2
(x1 x2 )2 4x1x2
1 k2 1 2k 2
16k 2 24
原点 O 到直线 l 的距离 d 2
1 k2
SAOB
11||AABB| |dd 22
16k 2 24 2 1 2k 2
2 1
2k 2 2k 2
3
.
m
2k2 3(m 0) ，
2k 2
m2 3 S
2 m2
2m 4
2k 2
m2 3 S
2 2m m2 4
22 m 4
2 2
m
当且仅当 m
4 m
即m
2 时，
Smax
2 此时 k 2
14 .所以，所求 2
直线方程为 14 2 y 4 0
由题悟法
圆锥曲线中三角形面积表示的方法有：
1. S 1 | AB | d （弦长公式求| AB | ，点到直线距离求 d ）
a2
b
1.
可得 c2 a2
a2 b2 a2
a2 1 a2
1 ,即a2 =2. 所以 椭圆
2
C
的方程为
x2 y2 1. 由题意知直线 l 的斜率存在且不为零.设直线 l
2
的方程为 y kx 2, A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，则直线 l 与 x 轴的交点
D( 2 , 0) .
椭圆 C 交于 A 、 B 两点，
（Ⅱ）当 AOB 面积取得最大值时，求直线
l 的方程。
（Ⅱ）解法一：第一步，分析几何对象几何特征，理解题意，并画出图像。本问题中，直
线 l 与椭圆相交于 A 、 B 。
第二步，进行代数化。
元 素 代 数 化 ： 由 已 知 得 e c 2 , 2b 2. 解 得 a2
＋2 2，∴当 t＝－2 时，dmax＝4 5 5.∴当 P 点坐标为(－2，－2)时，
4 △ABP 面积的最大值为
10×4 2
5
5 ＝8
2.
解：方法二 第一步，几何特征分析，理解题意。
直线与抛物线相交于 A、B 两点，抛 物线上动点 P 从 A 到 B 运动。
第二步，进行代数化。
元素代y数化kx：设2, A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，P(x0，y0)，依题 意，知当抛物线在点 P 处的切线与 l 平行时，△ABP 的面积最大．∵y′＝－x，∴x0＝－2，y0＝－21x20＝－2， P(－2，－2)．
5
5 ＝8
2.
回顾梳理
1.选择合理的方法求圆锥曲线 中三角形面积。 2.能利用方程思想、数形结合、 转化与化归思想解决圆锥曲线 中的三角形面积问题。
课后作业
1.椭圆
C:
x2 4
y2 3
1，过点 M (
3,0) 的直
线 l 交椭圆 C 于 A、B两点，求 AOB 面积 S
的最大值。
2.已知椭圆 G :
b
1.
可得 c2 a2
a2 b2 a2
a2 1 a2
1 ,即a2 =2.所以椭圆 C 的方程为 x2
2
2
y2
1. 由题
意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y kx 2, A(x1, y1), B(x2, y2 ) 。
位置关系代数化：由
y kx 2
x2 2
y2
，消去
1
立足基础，提升时效
圆锥曲线中的三角形 面积问题
思考
解法回顾
解析几何有哪些解题步骤 ？
(1)分析几何对象的几何特征。理解题 意，并画出图像。
(2)进行代数化。包括几何元素的代数 化、位置关系代数化、问题目标代数化。
(3)进行代数运算。包括联立方程组、消 参、运用函数性质等。
(4)得出几何结论。
典例导入
y
得关于
x
的方程：(1
2k
2 )x2
8kx
6
0
。
由直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点， 00 64k 2 24(1 2k 2 ) 0 解得 k2 3 。
2
问题目
AB
|
d
第三步，代数运算。 由韦达定理得
x1
x2
8k 1 2k 2
x1
x2
6 1 2k 2
| AB | 1 k 2 | x1 x2 | 1 k 2
第二步，进行代数化。
元 素 代 数 化 ： 由 已 知 得 e c 2 , 2b 2. 解 得 a2
b 1.
可得 c2 a2
a2 b2 a2
a2 1 a2
1 2
,即a2
=2.
所
以
椭
圆
C
的方程为
x2 y2 1. 由 题 意 知 直 线 l 的 斜 率 存 在 ， 设 直 线 l 的 方 程 为 2
y1
y2
|
1 2
|
2 k
||
kx1
2
kx2
2|
=| x1 x2 |
16k 2 24 2 2 2k 2 3 .
1 2k 2
1 2k 2
方法
2： SAOB
SPOB SPOA
1 2
2 ||
x2
|
|
x1
||
|
x2
x1
|
=
2 2 2k 2 3 。 1 2k 2
第三步，代数运算。
m 2k2 3(m 0) ，
22 m 4
2 2
m
当且仅当 m
4 m
即
m
2
时，
Smax
2 此时 k
2
14 .
2
所以，所求直线方程为 14 2y 4 0
解法二： 第一步，分析几何对象几何特征，理解题意，并画出图像。 本问题中，直线 l 与椭圆相交于 A 、 B 。 第二步，进行代数化。
元 素 代 数 化 ： 由 已 知 得 e c 2 , 2b 2. 解 得
抛物线上一动点 P 从 A
到 B 运动时，求△ABP
面积的最大值．
以题试法
解：方法一 第一步，几何特征分析，理解题意。
直线与抛物线相交于 A、B 两点， 抛物线上动点 P 从 A 到 B 运动。
第二步，进行代数化。
元素代y数化kx：设2, A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，P(t，－12t2) (－2－2 2<t<－2＋2 2) 位置关系代数化：由yx＝ 2＝2－x－2y2 ，得 x2＋4x－4＝0
yy2kxx22,, A(x1, y1), B(x2, y2 ) 。
y 2x 2
位置关系代数化：由
x
2
2
y2
，消去
1
y
得关于
x
的方程：9 x 2
16 x
6
0.
由直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点。
问题目标代数化： SAOB
1 2
|
AB
|d
第三步，代数运算。 由韦达定理得
x1
x2
16 9