北师大版八年级下册 5.4《分式方程(一)》 教案
新北师大版八年级数学下册第5章《分式与分式方程》教案
新北师大版八年级数学下册第5章《分式与分式方程》教案教学目标学习分式及分式的概念、性质和运算法则，并掌握简单分式的变形和分式方程的解法。
教学重难点重点•分式的概念、性质和运算法则•分式的变形•分式方程的解法难点•分式方程的解法教学过程导入（10分钟）1.调查课前练习，询问学生对分式的了解和学习情况。
2.引入分式的概念，让学生举例说明分式的实际应用。
提高课堂参与度（10分钟）1.通过多项式的例子，引入分式。
2.分小组讨论分式与多项式的联系和区别，并展示讨论成果。
理论课（30分钟）1.分式的定义和性质。
2.分式的约分、通分和加减法。
3.分式与整式的加减法。
实践课（50分钟）1.分式的变形：分解、合并及简化。
2.分式方程的概念及解法。
3.通过实例让学生掌握分式方程的解法。
课堂总结（10分钟）1.小结本节课的重点内容。
2.引导学生对本节课的学习成果进行分享。
作业布置1.抄写本节课的重点内容以及实例。
2.完成课后练习。
教学方法1.演示法2.分组讨论3.实践操作4.个别指导教学资源1.教材：新北师大版八年级数学下册2.PPT：分式与分式方程参考文献1.《初中数学》2.《分式与分式方程教育同行》教学反思本节课通过实例和讨论等方式，激发了学生的学习兴趣，真正意义上实现了知识与实践相结合。
在教学过程中，我进一步提高了自己的教学能力，尤其是关注学生的理解进程，帮助学生掌握分式方程的解法，提高其数学素养。
北师大版数学八年级下册5.4《分式方程》教学设计1
北师大版数学八年级下册5.4《分式方程》教学设计1一. 教材分析北师大版数学八年级下册5.4《分式方程》是学生在学习了分式、分式运算、函数等知识的基础上学习的。
本节课主要让学生掌握分式方程的定义、解法以及应用。
通过本节课的学习，学生能够理解和掌握分式方程的概念，熟练运用解法求解分式方程，并能够将分式方程应用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了分式的基本知识，对分式运算有一定的了解。
但部分学生对分式的理解不够深入，解题思路不够清晰，需要在解题过程中进行引导。
此外，学生在解决实际问题时，往往不能将数学知识与实际问题有效结合，需要通过实例进行启发。
三. 教学目标1.理解分式方程的定义，掌握分式方程的解法。
2.能够将分式方程应用到实际问题中，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.分式方程的定义及解法。
2.将分式方程应用到实际问题中。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.准备相关的学习材料，如教材、课件、练习题等。
2.准备实际问题案例，用于引导学生应用分式方程解决实际问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出分式方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解分式方程的定义，演示解法，让学生理解并掌握分式方程的基本知识。
3.操练（10分钟）让学生独立解决一些简单的分式方程，检验学生对知识点的掌握情况。
4.巩固（10分钟）针对学生在操练过程中遇到的问题，进行讲解和辅导，使学生进一步巩固知识点。
5.拓展（10分钟）让学生尝试解决一些较复杂的分式方程，提高学生的解题能力。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调分式方程的解法和应用。
7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，巩固所学知识。
8.板书（5分钟）整理本节课的主要知识点和解题方法，方便学生复习。
北师大版八年级数学下册54.《分式方程》教学设计
3.强化学生的问题意识，引导学生善于发现、提出和解决问题。
4.突出学生的主体地位，教师扮演引导者、组织者和合作者的角色，促进师生互动、生生互动。
5.注重培养学生的综合素质，将分式方程知识与实际生活相结合，提高学生的应用能力。
四、教学内容与过程
4.小组成果展示：每组选派一名代表进行成果展示，分享解题过程和经验。
（四）课堂练习
1.练习题设计：设计难易程度不同的练习题，涵盖分式方程的各种类型，使学生在练习中巩固所学知识。
2.学生独立完成：要求学生在规定时间内独立完成练习题，提高学生的解题能力。
3.解题指导：针对学生练习中出现的共性问题，进行集中讲解，帮助学生突破难点。
（一）导入新课
1.教学活动设计：以学生熟悉的生活场景为背景，提出一个关于速度的问题。例如：“小明和小华同时从同一地点出发，小明以4千米/小时的速度跑步，小华以5千米/小时的速度骑自行车，问他们分别在多长时间后相遇？”
2.引导学生思考：这个问题中涉及到哪些数学知识？能否用我们学过的方程来解决这个问题？
7.课后作业与反思：布置适量的课后作业，要求学生独立完成，并进行自我反思，总结解题过程中的优点和不足。
8.教学评价：采用多元化评价方式，关注学生的知识掌握程度、解题能力、合作意识等方面，全面评估学生的学习效果。
在教学过程中，教师应注重以下方面：
1.关注学生个体差异，因材施教，使每位学生都能在原有基础上得到提高。
4.布置课后作业：布置适量的课后作业，要求学生独立完成，并进行自我反思。
五、作业布置
为了巩固学生对分式方程知识的掌握，培养其运用所学解决实际问题的能力，特布置以下作业：
北师大版数学八年级下册5.4《分式方程(一)》教案设计
第五章分式与分式方程4．分式方程（一）学习目标：1.经历分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示。
2.经历“实际问题——分式方程模型”的过程，发展分析解决问题的能力。
重点：理解分式方程的概念难点：将实际问题中的等量关系用分式方程表示第一环节：复习引入1、什么样的方程叫一元一次方程？只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程。
2、列方程解应用问题的一般步骤有哪些？（1）审题，找已知量、未知量和等量关系;（2）设未知数;（3）列方程;（4）解方程;（5）检验;（6）作答。
第二个环节：探究新知活动一：面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成计划任务。
原计划每月固沙造林多少公顷？分析：这一问题中有哪些已知量和未知量？已知量：造林总面积2400公顷实际每月造林面积比原计划多30公顷提前4个月完成原任务未知量：原计划每月固沙造林多少公顷这一问题中有哪些等量关系？实际每月固沙造林的面积=计划每月固沙造林的面积+30公顷原计划完成的时间—完成实际的时间=4个月我们设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要＿＿＿个月，实际完成一期工程用了＿＿＿＿个月，根据题意，可得方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
活动二：甲、乙两地相距 1400 km ，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 9 h ，已 知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的 2.8 倍．（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？（2）如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h ，那么 x 满足怎样的方程？（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h ，那么 y 满足怎样的方程？ 活动三：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知七年级同学捐款总额为4800 元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多 20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等．如果设七年级捐款人数为 x 人，那么 x 满足怎样的方程？第三环节 感悟升华活动内容：回顾刚才我们得出的 4个方程：（1）24002400430x x -=+ （2）1400140092.8x x -= （3）140014002.89y y =⨯+ （4）4800500020x x =+ 它们和我们以前所碰到的方程一样吗？有什么不一样的地方？上面所得到的方程有什么共同特点？方程中的未知数都含在分母中，不是一元一次方程。
八年级数学下册 5.4.2 分式方程教案1 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中八年级下册数学教案
课题：(2)教学目标：1.探索分式方程的解法，体会解分式方程的必要步骤，会解可化为一元一次方程的分式方程.2.知道增根的意义，知道增产生的原因，会检验方程的根是不是增.3．运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力，从而获得一种成就感和学习数学的自信心.教学重点与难点：重点：分式方程的解法．难点：分式方程的增根．课前准备：教师准备多媒体课件．教学过程：一、复习回顾，引入新课问题1：什么叫分式方程？问题2：下列方程中，哪些是分式方程？并给出理由．（1）223x x-=；（2）12105xx-+=；（3）32x xπ-=；（4）132x x=-．问题3：解一元一次方程有哪些步骤？如何解一元一次方程211 324x x++=？处理方式：出示问题，引导学生讨论回答，对于问题3要求学生说出步骤及依据，教师略作点评．预设学生回答．1.分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.（4），分母中含有未知数．3.去分母、去括号、移向、合并同类项、系数化为1.解：211 121212324x x+⨯+⨯=⨯8x+6=3(x+1)8x-3x=3-65x=-335x=-设计意图：简单回顾上节课知识及解一元一次方程的方法步骤,强调去分母的方法和注意事项，为学生过渡到解分式方程做好铺垫．二、合作探究，获取新知（一）解分式方程的基本思想问题：什么是方程的解？你能设法求出分式方程1400140092.8x x-=的解吗？处理方式：引导学生结合已有知识展开小组讨论，并适当提示学生利用分式的基本性质，等式的基本性质等尝试解方程，教师巡视指导，展示学生合作成果（说出解题思路），对学生的不同回答给予点评，总结解分式方程的基本思想．预设学生回答．解法1:140050090099=100xx x x-==，，．（1400与2.8约分后，变成同分母，在根据分式的基本性质求解．解法2:1400 2.81400 2.892.891400 1.8100x x x⨯-=⨯⨯=⨯=，，．（根据分式基本性质，两边同时乘以x，去分母后变成一元一次方程，然后求解．解分式方程的基本思想：把分式方程化为整式方程求解．设计意图: 通过学生的小组学习，引导学生仔细观察，采用类比的方法找出解分式方程的关键――去分母，把分式方程转化为整式方程即一元一次方程．在解决问题的过程中对学生的不同见解要及时鼓励，做好引导，顺利的展开教学．（二）例题解析例1：解方程132x x=-．处理方式：引导学生讨论，自主解题，1生黑板板演，其余学生独立完成后同位交流点评，教师适时提醒学生注意最间公分母的确定及解题的步骤和格式．（多媒体展示解题过程）．解：方程两边都乘以x(x-2)，得x=3(x-2) ．解这个方程，得x=3．检验：将x=3带入原方程，得左边=1，右边=1，左边=右边．所以，x=3是原方程的根．设计意图：通过例题的练习，进一步引导学生体会采用类比的方法找出解分式方程的关键――去分母，把分式方程转化为整式方程即一元一次方程．在解决问题的过程中注重对学生解题步骤和格式的要求．（三）议一议：在解分式方程11222xx x-=---时，小亮的解法如下：你认为x=2是原方程的根吗？为什么？与同伴交流．处理方式：让学生先观察小亮的解题过程，然后结合自己解分式方程的初步经验，小组间讨论、交流.由学生展示讨论结果，教师对学生的回答点评，总结得出分式方程的增根，及增根产生的原因.在讨论过程中，教师注意引导学生所求未知数的值要满足分母的值不为零，因此解分式方程时，验根是必要的步骤.预设学生回答.1.x=2不是原方程的根.2.因为它使得原分式方程的分母值为零，相应的分式无意义.总结：1.增根：使原分式方程的分母为零的未知数的值，我们称它为原方程的增根.2.增根产生的原因：去分母时，我们在方程的两边同时乘了一个使分母为零的整式.3.注意：解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须验根；增根不是计算过程中的失误造成的，而是在从分式方程转化为整式方程过程中产生的；验根只需把求的根带入最简公分母中，看其是否为零.设计意图：有交流才会发现问题，有问题才能引起思维冲突，才能有思考与分析.通过交流，让学生理解解分式方程与整式方程的不同，得到的未知数的值未必是原方程的根，不仅得出增根的意义，也引入对增根产生原因的讨论，由于增根产生的原因目前学生接受起来尚有一定困难，在此不做深究.经过对解分式方程过程的探究不仅培养了学生提出问题、分析解决问题能力还提高了逻辑推理能力和严谨的求学态度.（四）例题解析例2 解方程：480600452x x-=．处理方式：学生观察、分析、小组讨论，学生代表口述解题思路，师生共同完成解题过程，教师多媒体展示步骤，.解:方程两边都乘以2x，得960-600=90 x.解这个方程，得x=4.经检验，x=4是原方程的解.注意：去分母时，不要漏乘整式项.设计意图：进一步体会如何解分式方程，增强学生的认知能力，提高学生的解决问题能力.(五)想一想解分式方程一般需要经过那几个步骤？处理方式：引导学生结合例题的解题步骤，展开讨论，小组总结回答，教师多媒体出示.解分式方程步骤：1. 去分母，把分式方程转化为整式方程；2. 解这个整式方程；3. 检验：将未知数的值代入原方程，检验方程左右两边是否相等或代入最简公分母，检验最简公分母是否为0．4.写出分式方程的根.设计意图：使学生进一步体会并熟悉分式方程的解法，并强调检验方程的解．由于可能产生增根，因此检验非常必要．通过对不同解法的简繁程度的切身体会，总结出解分式方程的基本步骤，有利于学生对基本解法的接受与理解.三、强化基础，技能提升1.解分程:（1）341x x=-；（2）3542332xx x-+=--．2.若关于x方程322x mx x-=--有增根，求m的值.处理方式：32题，学生可能会有困难，教师适时提示方程有增根，则最简公分母必须为零，展示第2题解答过程.1.(1)x=4；(2)x=1.2.解：方程两边都乘以（x-2），得x-3=m.因为方程322x mx x-=--有增根，所以x-2=0，即x=2，所以x=2是整式方程x-3=m的解，所以2-3=m，解得m=−1．注意：增根不是分式方程的根，是分式方程去分母后转化成的整式方程的根.设计意图：分式方程是本节课的一个重点，也是学生应该掌握的一项基本技能.习题设置在学生对解分式方程的基本步骤及增根产生的原因后，不仅加强基础技能的训练，也加强对知识的应用和拓展．让学生结合具体练习，进一步提高学生的运算能力.四、课堂小结，畅谈收获通过本节课的学习，你有哪些收获？说出来大家共享.处理方式：让学生先思考，然后归纳总结，教师适当补充.预设学生回答.1.解分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程.2.什么是增根，增根产生的原因.3.解分式方程的步骤.4.去分母时漏乘不含分母的项.……设计意图：使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识，能抓住重点进行课后复习．.以及通过对学习过程的反思，掌握学习与研究的方法，学会学习，学会思考．五、知识反馈，达标检测A组：1. 要把分式方程45242x x=-化为整式方程，方程两边需同时乘最简分式（ ） A.2x B.2x -4C.2x (2x -4)D.2x (x -2) 2．已知x =1是分式方程131kx x=+的根，则实数k =_____． 3．若关于x 的方程1101ax x +-=-有增根,则a 的值为_______． 4.解分式方程：11222x x x -+=--．B 组：5. 解分式方程：243111xx x -+=---． 6.若关于x 的方程11mx =+的解是负数，求m 的取值X 围.处理方式：学生练习，教师出示答案并适当点拨，学生矫正.答案：1. D. 2.16． 3.a =-1. 4.x =4. 5.x =-3. 6.10m m <≠且.设计意图：通过学生的反馈练习，使老师能全面了解学生对分式方程解法的掌握程度，以及对增根的理解，以便老师能及时进行查漏补缺． 六、布置作业，落实目标必做题：课本128页 第1、2题． 选做题：课本128页 第3、4题. 板书设计：。
八年级数学下册 5.4.1 分式方程教案 (新版)北师大版
第五章 分式与分式方程5.4.1 分式方程【教学内容】【教学目标】知识与技能能找出现实情景中的等量关系；会通过设适当的未知数根据等量关系列出分式方程； 过程与方法通过列出的方程归纳出它们的共同特点，得出分式方程的概念.了解分式的概念，明确分式和整式的区别；情感、态度与价值观通过列出的方程归纳出它们的共同特点，得出分式方程的概念.了解分式的概念，明确分式和整式的区别；让学生经历实验、发现、确认等数学活动，体会数学观点，培养学生的数学意识。
【教学重难点】重点：理解分式方程的定义、找出问题中的等量关系列出方程；难点：如何找出等量关系，如何把等量关系转化为分式方程。
【导学过程】【知识回顾】回忆一元一次方程的解法，并且解方程163242=--+x x【情景导入】乙两地相距1400km ，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h ，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍。
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？（2）如果设特快列车的平均速度为xkm/h ，那么x 满足怎样的方程？（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh ，那么y 满足怎样的方程？【新知探究】探究一、做一做为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。
已知七年级同学捐款总额为4800元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等。
如果设七年级捐款人数为x 人，那么x 满足怎样的方程？探究二、1、分式方程的概念： 中含有未知数的方程叫做分式方程；2、判断分式方程的条件：①方程；②分母中含有未知数；3、与整式方程的区别：分母中是否含有______________；4、列分式方程解应用题。
探究三、进一步理解分式方程例 2,143,032,64,0523==-=-+==-+πx x x x x x x 在方程中是分式方程的有（ ） A ．2个 B.3个 C.4个 D.5个【知识梳理】 1、分式方程的概念： 中含有未知数的方程叫做分式方程； 2、判断分式方程的条件：___________________________________. 【随堂练习】1、A 、352x +=； B 、302x x -=+ ；C 、21x π=中，（ ）是分式方程,（ ）是整式方程。
北师大版八年级下册数学5.4.1分式方程(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是含有分母的方程，它的特点是分母不为零。分式方程在解决实际问题时具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。例如，计算甲、乙两人合作完成工作的效率问题，将这个问题转化为分式方程，并求解。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调分式方程的求解步骤和去分母的方法这两个重点。对于难点部分，如处理最小公倍数和.培养学生掌握分式方程的求解方法，增强逻辑思维和运算能力；
3.培养学生将数学知识应用于实际生活中的意识，提高数学在实际问题中的应用能力；
4.培养学生在解决分式方程问题时，形成合作、探究的学习习惯，增强团队协作能力；
5.培养学生具备严谨的数学态度和良好的数学审美观念，提高数学素养。
三、教学难点与重点
此外，我也意识到，在讲解分式方程的求解步骤时，我可能过于注重解题技巧，而忽略了让学生去探索解题背后的数学原理。在未来的教学中，我应该更多地引导学生去理解数学知识背后的逻辑和原理，这样他们才能在遇到新问题时，运用已学的知识去解决。
2.教学难点
-理解分式方程中分母不为零的条件，避免在解题过程中出现错误；
-在去分母的过程中，正确处理不同分母的最小公倍数，避免在运算过程中出现错误；
-移项时符号的变化，尤其是在处理负数和分数时的符号变化；
-对于复杂的分式方程，如何进行有效分解和简化，以便于求解；
北师大版八年级下册数学5.4 分式方程教案设计
5.4.2 分式方程
教学目标：
1．经历探索分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验根的合理性;
2.经历“求解－解释解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识。
3.在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。
教学重点：
1.解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决.
2.明确解分式方程验根的必要性.
教学难点：明确分式方程验根的必要性.
教学过程：
教学补充 一、复习引入：
同学们你认识下面的方程吗? 会对它们求解吗?
3x －2y = 6
2x + y = 8
6
22213--=-x x
二、讲授新课
解方程6
22213--=-x x 解：方程两边都乘以6，得 6*)622(6*213--=-x x
3（3x-1）=12-(x-2)
解这个方程，得x=
1017 仿上例完成 例1.解方程：452600480=-x
x 解：方程两边都乘以2x ，得x x x
x 2*452)2600480(=- 960－600=90 x
解这个方程，得x = 4
检验：将x=4代入原方程，得 左边=45=右边
所以，x=4是原方程的根。
解分式的关键：把分式方程化为整式方程。
()x x -=-11432{
3129+=x x。
北师大版八年级数学下册教案 5-4 第1课时 分式方程及其解法
5.4分式方程第1课时分式方程及其解法教学目标【知识与技能】1.理解并能够说出分式方程的意义;2.理解并掌握分式方程的解法步骤,掌握验根的方法.【过程与方法】经历探索分式方程的解法的过程,经历解分式方程产生增根和将分式方程转化为整式方程的过程,体会数学中的化归思想.【情感、态度与价值观】在建立分式方程的数学模型的过程中培养克服困难的勇气,并从中获得成就感,提高解决问题的能力.教学重难点【教学重点】理解并掌握分式方程的解法.【教学难点】解分式方程产生增根的原因.教学过程一、情境导入在这一章的第一节《分式》中,我们曾研究过一个“固沙造林,绿化家园”的问题.当时,我们设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成一期工程需要2400x 个月,实际完成一期工程用了2400x+30个月.根据题意,可得方程2400 x −2400x+30=4.像2400x,2400x+30这种分母中含有字母的代数式是分式.而像2400x−2400x+30=4这样的方程我们是第一次遇到,它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界中的数量关系,是一种反映现实世界的数学模型.二、合作探究探究点1分式方程的意义典例1下列方程是分式方程的是()A.12−x3=0 B.4x=-2C.x2-1=3D.2x+1=3x[解析]观察知B项符合题意.[答案]B【技巧点拨】分母中含有未知数的方程叫做分式方程,可见,判断一个方程是否为分式方程,关键看分母里是否有未知数.下列方程:①x−35=1;②3x+1=2;③1+x5+x =12;④x 2+2x 2+1=5;⑤x π+x 2π=4.其中是分式方程的有 ( )A.①②B.②③C.③④D.②③④[答案] D探究点2 分式方程的解法典例2 解下列分式方程:(1)xx−1−2x−1x 2−1=1; (2)2+x 2−x +16x 2−4=-1.[解析] (1)去分母,得x (x +1)-(2x -1)=x 2-1,解得x =2.检验:当x =2时,x 2-1≠0,故分式方程的解为x =2.(2)去分母,得-(x +2)2+16=4-x 2,解得x =2.检验:当x =2时,2-x =0,故分式方程无解.探究点3 分式方程的增根典例3若分式方程3x−a x 2−2x +1x−2=2x 有增根,则实数a 的取值是 ( )A.0或2B.4C.8D.4或8[解析] 去分母,得3x -a +x =2(x -2),由题意得,分式方程的增根为0或2.当x =0时,-a =-4,解得a =4;当x =2时,8-a =0,解得a =8,故a 的值为4或8.[答案] D在将分式方程化为整式方程的过程中,若整式方程的根使分式方程的分母为零,那么这个根叫做分式方程的增根.产生增根的原因是在方程两边同乘了一个使分母为0的整式,因为解分式方程可能产生增根,所以解分式方程必须检验.检验的方法是检验所得的根是否使分式方程中分母的值等于0.若关于x 的分式方程m x 2−4−1x+2=0无解,则m = .[答案] 0或-4三、板书设计分式方程及其解法分式方程及其解法{ 分式方程的意义分式方程的解法步骤{ 转化解整检验结论增根及其产生的原因教学反思本节课中,让学生自己通过观察、类比的方法找到分式方程的解法,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验.。
北师大版数学八年级下册5.4《分式方程的概念及列分式方程》(第1课时)教学设计
北师大版数学八年级下册5.4《分式方程的概念及列分式方程》（第1课时）教学设计一. 教材分析北师大版数学八年级下册5.4《分式方程的概念及列分式方程》（第1课时）的内容包括分式方程的定义、性质和列分式方程的方法。
本节课内容是在学生已经掌握了分式的概念、性质、运算的基础上进行的，是初中数学的重要内容，也是解决实际问题的重要工具。
分式方程在实际生活中的应用非常广泛，如解决利润问题、浓度问题等。
通过本节课的学习，使学生掌握分式方程的基本概念和列方程的方法，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了分式的基本概念、性质和运算，具备了一定的数学基础。
但是，对于分式方程的概念和列方程的方法，学生可能还比较陌生，需要通过实例来理解和掌握。
此外，学生可能对解决实际问题中的方程有一定的恐惧心理，需要教师通过引导和鼓励来激发学生的学习兴趣和自信心。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握分式方程的定义、性质，学会列分式方程的方法。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生的自信心，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：分式方程的定义、性质和列分式方程的方法。
2.难点：理解分式方程的实际意义，学会解决实际问题。
五. 教学方法1.自主学习：引导学生通过自主学习，掌握分式方程的基本概念和性质。
2.合作交流：学生进行小组讨论，分享彼此的学习心得和解决问题的方法。
3.实例分析：通过具体的实例，使学生理解和掌握分式方程的列法。
4.实践操作：让学生亲自动手解方程，提高学生的操作能力。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示分式方程的定义、性质和列方程的方法。
2.实例：准备一些实际问题，用于引导学生解决实际问题。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生对分式方程的理解和掌握。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入一些实际问题，如利润问题、浓度问题等，引导学生思考如何用数学方法解决这些问题。
【最新北师大版精选】北师大初中数学八下《5.4.分式方程》word教案 (4).doc
《分式方程》第1课时教学目标1．使学生理解分式方程的意义．2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．3．了解解分式方程解的检验方法．教学重难点教学重点：可化为一元一次方程的分式方程的解法．教学难点：检验分式方程解的原因．教学过程（一）复习及引入新课1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？答：含有未知数的等式叫做方程．使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解．（二）新课分式方程的定义．分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．练习：判断下列各式哪个是分式方程．在同学讨论的基础上分析：由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母．（三）应用一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v 千米/时，则轮船顺流航行的速度为（20＋v ）千米/时，逆流航行的速度为（20－v ）千米/时，顺流航行100千米所用的时间为v+20100小时，逆流航行60千米所用的时间为v-2060小时． 可列方程v +20100=v-2060， 方程两边同乘（20+v ）（20－v ），得100（20－v ）= 60（20＋v ），解得v =5．检验：将v =5代入方程，左边=右边，所以v ＝5为方程的解．所以水流速度为5千米/时．（四）总结解分式方程的一般步骤：1．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．2．解这个方程．3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零；使最简公分母为零的根不是原方程的解，必须舍去．第2课时教学目标1．使学生更加深入理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程．2．使学生检验解的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法．教学重难点1．了解分式方程必须验根的原因．2．培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力．教学过程（一）复习引入解方程：思考：上面两个分式方程中，为什么（1）去分母后所得整式方程的解就是（1）的解，而（2）去分母后所得整式的解却不是（2）的解呢？学生活动：小组讨论后总结（二）新课（1）为什么要检验根？在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根）．对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求．如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，则不是原方程的解．（2）验根的方法：一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．（三）应用例1：解方程32-x =x3 解：方程两边同乘x （x －3），得2x ＝3x －9；解得x ＝9，检验：x ＝9时，x （x －3）≠0，9是原分式方程的解．例2：解方程1-x x －1=)2)(1(3+-x x 解：方程两边同乘（x －1）（x ＋2），得x （x ＋2）－（x －1）（x ＋2）＝3；化简，得x ＋2＝3；解得x ＝1，检验：x ＝1时（x －1）（x ＋2）＝0，1不是原分式方程的解，原分式方程无解．（四）课时小结：解分式方程的一般步骤．第3课时教学目标1．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．2．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．教学重点和难点教学重点：（1）可化为一元一次方程的分式方程的解法．（2）分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．教学难点：理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程．教学过程（一）复习提问1．解分式方程的步骤（1）能化简的先化简；（2）方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程；（3）解整式方程；（4）验根．2．列方程应用题的步骤是什么？（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）答．3．由学生讨论，我们现在所学过的应用题有几种类型？每种类型题的基本公式是什么？ 在学生讨论的基础上，教师归纳总结基本上有五种：（1）行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．（2）数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法．（3）工程问题基本公式：工作量=工时×工效．（4）顺水逆水问题v 顺水=v 静水＋v 水．v 逆水=v 静水－v 水．（二）新课例1．两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？ 分析：甲队一个月完成总工程的31，设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的x1，那么甲队半个月完成总工程的61，乙队半个月完成总工程的x 21，两队半个月完成总工程的61＋x21． 等量关系为：甲、乙两个工程总量＝总工程量，则有31＋61＋x21＝1 例2：从2004年5月起某列列车平均提速v 千米/时，用相同的时间，列车提速前行驶s 千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是多少？分析：这里的字母v ，s 表示已知数据，设提速前的平均速度为x 千米/时，则提速前列车行驶s 千米所用的时间为xs 小时，提速后列车的平均速度为（x ＋v ）千米/时，提速后列车行驶（s ＋50）千米所用的时间为v x s ++50小时． 等量关系：提速前行驶50千米所用的时间＝提速后行驶（s ＋50）千米所用的时间； 列方程得：xs ＝v x s ++50 （三）小结对于列方程解应用题，一定要善于把生活语言转化为数学语言，从中找出等量关系．对于我们常见的几种类型题，我们要熟悉它们的基本关系式．。
北师大版数学八年级下册5.4《分式方程的解法》(第2课时)说课稿
北师大版数学八年级下册5.4《分式方程的解法》（第2课时）说课稿一. 教材分析《分式方程的解法》是北师大版数学八年级下册第五章第四节的内容，本节内容是在学生已经掌握了分式方程的概念和性质的基础上进行讲授的。
分式方程是初中数学中的重要内容，也是学生学习高中数学的基础。
本节课主要让学生掌握分式方程的解法，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了分式方程的基本概念和性质，对分式方程有一定的认识。
但是，学生在解分式方程时，往往因为对运算法则掌握不熟练，导致解题过程中出现错误。
此外，学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为分式方程，从而解决问题。
因此，在教学过程中，教师需要帮助学生巩固分式方程的基本概念和性质，引导学生掌握解分式方程的方法，并培养学生将实际问题转化为分式方程的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握分式方程的解法，能够熟练运用解法解分式方程。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：分式方程的解法。
2.教学难点：如何将实际问题转化为分式方程，以及解分式方程时的运算技巧。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解相结合的方法。
2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，引导学生直观地理解分式方程的解法。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习分式方程的基本概念和性质，为学生学习本节课的内容做好铺垫。
2.自主学习：让学生自主探究分式方程的解法，引导学生发现解题规律。
3.合作交流：学生之间相互讨论，分享解题心得，教师巡回指导。
4.教师讲解：针对学生普遍存在的问题，进行讲解和辅导。
5.应用拓展：出示实际问题，让学生运用所学知识解决问题。
6.总结归纳：对本节课的内容进行总结，使学生形成知识体系。
七. 说板书设计板书设计如下：1.分式方程的概念和性质2.分式方程的解法–方法一：（去分母）–方法二：（去分母）3.实际问题与分式方程的转化八. 说教学评价本节课的评价主要从学生的知识掌握、能力培养和情感态度三个方面进行。
北师大版八年级数学下册优秀教学案例5.4分式方程
3.学生对数学学科的兴趣、自信心及科学态度的培养。
六、教学反思
在教学过程中，要关注学生的个体差异，针对不同学生制定合适的教学策略，使每位学生都能在课堂上得到充分发展。同时，注重培养学生的数学思维，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。在教学评价方面，要关注学生的全面发展，既要关注学生的知识与技能，也要关注过程与方法、情感态度与价值观的培养。不断反思教学，调整教学策略，提高教学质量。
（三）小组合作
1.小组讨论：将学生分成若干小组，针对问题进行讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.分工合作：在解决分式方程的过程中，让学生分工合作，每个人都有明确的任务，提高工作效率。
3.分享与交流：小组成员将各自的研究成果进行分享，互相学习，共同提高。
（四）反思与评价
1.自我反思：让学生在课后对所学内容进行反思，总结自己的学习心得，发现自身不足，为下一步学习做好准备。
3.实际应用：让学生运用分式方程解决实际问题，培养学生的应用能力。
五、教学拓展
1.开展数学活动：组织数学竞赛、讲座等活动，激发学生学习兴趣，提高学生的数学素养。
2.家庭作业设计：结合学生实际情况，设计富有挑战性的家庭作业，让学生在课后进行思考和探索。
3.学科交叉：与其他学科相结合，如科学、信息技术等，让学生感受到数学的广泛应用。
2.同伴评价：学生之间相互评价，给出建设性意见，促进共同进步。
Hale Waihona Puke 3.教师评价：教师要对学生的学习情况进行评价，关注学生的知识掌握程度、思维发展水平、情感态度等方面，为下一步教学提供参考。
四、教学实践
1.课堂讲解：结合具体案例，讲解分式方程的解法，引导学生主动思考。
北师大版数学八年级下册5.4《分式方程》教学设计2
北师大版数学八年级下册5.4《分式方程》教学设计2一. 教材分析《分式方程》是北师大版数学八年级下册第5章第4节的内容。
本节课的主要任务是让学生掌握分式方程的解法，理解分式方程的解法在实际问题中的应用。
教材通过引入实际问题，让学生感受分式方程的重要性，进而学习分式方程的解法。
教材内容由浅入深，循序渐进，符合学生的认知规律。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了分式的概念、性质和运算。
他们具备了一定的数学基础，能够理解和掌握分式方程的基本概念和解法。
但是，学生对分式方程在实际问题中的应用可能还不够清晰，需要通过实例让学生感受和理解。
三. 教学目标1.知识与技能：学生会解分式方程，理解解分式方程的思路和方法。
2.过程与方法：学生通过自主学习、合作交流，培养解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生感受数学与生活的紧密联系，提高学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：分式方程的解法。
2.难点：理解分式方程的解法在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.启发式教学：通过提问、引导，激发学生的思考，培养学生的解决问题的能力。
2.案例教学：通过实际问题的引入，让学生感受分式方程的重要性，提高学生的学习兴趣。
3.合作学习：学生分组讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示分式方程的解法及实际问题。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生学习分式方程的解法。
3.黑板：用于板书 key points 和解题步骤。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问，回顾分式的概念和性质，为学生学习分式方程做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决这些问题。
学生通过讨论，发现这些问题可以用分式方程来表示。
3.操练（10分钟）教师引导学生学习分式方程的解法，让学生通过自主学习、合作交流，掌握解分式方程的方法。
教师在这个过程中给予学生适当的指导，帮助学生克服解题过程中的困难。
北师大版数学八下5.4《分式方程(一)》教案
回顾刚才我们得出的 4 个方程：
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知识像烛光，能照亮一个 3) = x 2
（2） 1 = 1 2x
（3） x − 3 = 1 x −1 2− x
（4） x − x = 1 23
2. 某食堂有煤a吨，原计划每天用煤x吨，实际每天用煤量是计划的2倍，这样食堂的煤
比原计划少用了4天，则所列方程为：
划在一定期限内固沙造林 2400 公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多 30 公顷，结 果提前 4 个月完成计划任务。原计划每月固沙造林多少公顷？
分析：这一问题中有哪些已知量和未知量？ 已知量：造林总面积 2400 公顷实际每月造林面积比原计划多 30 公顷提前 4 个月完 成原任务 未知量：原计划每月固沙造林多少公顷 这一问题中有哪些等量关系？ 实际每月固沙造林的面积=计划每月固沙造林的面积+30 公顷 原计划完成的时间—完成实际的时间=4 个月 我们设原计划每月固沙造林 x 公顷，那么原计划完成一期工程需要＿＿＿个月，实
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
际完成一期工程用了＿＿＿＿个月，根据题意，可得方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 活动二：
甲、乙两地相距 1400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 9 h，已 知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的 2.8 倍． （1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？ （2）如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h，那么 x 满足怎样的方程？ （3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h，那么 y 满足怎样的方程？ 活动三：
【最新北师大版精选】北师大初中数学八下《5.4.分式方程》word教案 (1).doc
《分式方程》第1课时教学目标（一）教学知识点1．通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义．2．通过观察，归纳分式方程的概念．（二）能力训练要求体会到分式方程作为实际问题的模型，能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义．（三）情感与价值观要求在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力．教学重难点教学重点：能根据实际问题的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义．教学难点：能根据实际问题中的等量关系列出分式方程．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课［师］在这一章的第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题．当时，我们设原计划每月固沙造林x 公顷，那么原计划完成一期工程需要x 2400个月，实际完成一期工程用了302400+x 个月．根据题意，可得方程x 2400－302400+x =4．（1） 我们说x 2400，302400+x 分母中含有字母，我们现在知道它们是不同于整式的代数式——分式．可是，我们也是第一次遇到这样的方程，它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型．接下来，我们再来看几个这样的例子．Ⅱ．讲授新课列出刻画现实世界的数学模型——方程．［小麦实验田问题］有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg 和15000kg ．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg ，分别求这两块试验田每公顷的产量．你能找出这一问题中所有的等量关系吗？如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg ，那么，第二块试验田每公顷的产量是____________kg ．根据题意，可得方程____________．［师］在这个问题中涉及到了哪几个基本量？它们的关系如何？［生］涉及到三个基本量：总产量，每公顷试验田的产量，试验田的面积．其中总产量=每公顷试验田的产量×试验田的面积．［师］你能找出这一问题的所有等量关系吗？［生］第一块试验田的面积=第二块试验田的面积．（a ）［生］还有一个等量关系是：第一块试验田每公顷的产量+3000kg =第二块试验田每公顷的产量（b ）［师］我们接着回答下面的问题：如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg ，那么第二块试验田每公倾的产量是多少kg 呢？［生］根据等量关系（b ），可知第二块试验田每公顷的产量是（x +3000）kg ．［生］根据题意，利用等量关系（a ），可得方程：x 9000=300015000+x ．（2） ［师］x 9000，300015000+x 的实际意义是什么呢？ ［生］它们分别表示第一块试验田和第二块试验田的面积．［师］有没有别的方法列出方程呢？同学们可以以小组为单位讨论，交流，我们看哪一个组思维最敏捷．［生］根据等量关系（a ），我们可以设两块试验田的面积都为x 公顷，那么x 9000表示第一块试验田每公顷的产量，x15000表示第二块试验田每公顷的产量，根据等量关系（b ）可列出方程： x 9000+3000=x15000（3） ［师］接下来，我们再来看一个问题［电脑网络培训问题］王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元．后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元．原定的人数是多少？这一问题中有哪些等量关系？如果设原定是x 人，那么每人平均分摊____________元；人数增加到原定人数的2倍后，每人平均分摊____________元．根据题意，可得方程____________．［师］我们先来审题，找到题中的等量关系．［生］由题意，可知：实际参加活动的人数=原定人数×2倍．（c ）［生］还有一个等量关系为：原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4元．（d ）［师］同学们已经过审题，找到了题中的等量关系，接下来该干什么呢？［生］设出未知数，列出方程，将具体实际的问题转化为数学模型．［师］你很棒！下面同学们就分组来完成刚才这位同学所说的，你有几种列方程的方法呢？ 讨论后，各小组可选代表回答上面的问题．［生］我代表第一小组回答．我们设未知数的方法采用中方法：设原定是x 人，那么每人平均分摊x 300元；人数增加到原来人数的2倍后，每人平均分摊x2480元，根据题意，利用等量关系（d ），得方程：x 300－4=x 2480（4） ［生］我们组没有按照投影片上的设法，而是设原定每人平摊y 元，那么原定人数为y300人；实际参加活动的每个同学平摊（y －4）元，那么实际参加活动的人数为4480-y 人，根据题意，利用等量关系（c ），得方程：2×y 300=4480-y ．（5） ［师］上面两个组的回答都很精彩，祝贺他们．（鼓掌）从同学们的表现不难看出，用方程这样的数学模型刻画现实世界的情境，同学们掌握得很好．下面我们再来用方程来解决一个几何问题，刻画一个几何模型．如上图，在等腰三角形ABC 中，底边BC =2a ，高AD =h ，求内接正方形PQRS 的边长．［师生共析］由于SPQR 是正方形，SR ∥BC ，AE ⊥SR ，所以AE 是△ASR 的高且ED =SR =正方形SPQR 的边长，△ASR 的高AE 可表示为AD 与正方形边长的差．由SR ∥BC ，可得△ASR ∽△ABC ，于是有：BC SR =ADAE （相似三角形对应高的比等于相似比）．所以可设正方形的边长为x ，由BC SR = AD AE 得：a x 2=h x h -．（其中a 、h 为常数）（6） ［师］你还能找出图中的相似三角形吗？你还能用它的性质列出方程吗？同学们可以在小组内讨论、交流．［生］从上图中可知SPQR 是正方形，所以RQ ⊥BC ，又因为AD ⊥BC ，所以AD ∥RQ ，△ADC ∽△RQC ．可得RQ AD =CQCD ． 即RQ AD =RQ CD BC 2121-． 所以，设内接正方形的边长为2x ，根据题意，得x h 2=x a a -．（a 、h 为常数）．（7） ［师］你们表现得真棒！ 观察方程：x 2400－302400+x =4 （1） x 9000=300015000+x （2） x 9000+3000=x15000 （3） x 300－4=x2480 （4） 2×y 300=4480-y （5）a x 2=hx h -．（其中a 、h 为常数） （6） x h 2=xa a -（其中a 、h 是常数） （7） 上面所得到的方程有什么共同特点？［生］不难发现方程中的未知数都含在分母中，不是一元一次方程．［师］是的．这就是我们今天要认识的一种新的方程——分式方程即分母中含有未知数的方程．方程（6）是什么方程？［生］方程（6）中，分母不含未知数，它是一元一次方程．Ⅲ．随堂练习1．已知鱼塘中有x 千克鱼，每千克鱼的捕捞费用是x +102000元．现从鱼塘中捕捞101千克鱼花了捕捞费用200元，求x 满足的方程．分析：题中的等量关系是：101千克鱼×每千克鱼的捕捞费用=200元．解：x 满足的方程是：101×x +102000=200． 2．补充练习某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1∶4，那么应抽调的管理人员数x 满足怎样的方程？解：抽调管理人员x 人后，管理人员有（40－x ）人，销售人员有（80+x ）人，则 x x +-8040=41． Ⅳ．课时小结这节课我们从现实情境问题中建立方程这一重要的数学模型，认识了一种新的方程——分式方程．第2课时教学目标（一）教学知识点1．解分式方程的一般步骤．2．了解解分式方程验根的必要性．（二）能力训练要求1．通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤．2．使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径．（三）情感与价值观要求1．培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度．2．运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信．教学重难点教学重点：1．解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决．2．明确解分式方程验根的必要性．教学难点：明确解分式方程验根的必要性．教学过程Ⅰ．提出问题，引入新课［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——分式方程．但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程．这节课，我们就来学习分式方程的解法．我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法，也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程的方法． 解方程213-x +325+x =2－624-x ［师生共解］（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得3（3x －1）+2（5x +2）=6×2－（4x －2）．（2）去括号，得9x －3+10x +4=12－4x +2，（3）移项，得9x +10x +4x =12+2+3－4，（4）合并同类项，得23x =13，（5）使x 的系数化为1，两边同除以23，x =2313． Ⅱ．讲解新课，探索分式方程的解法［师］刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤．下面我们来看一个分式方程．［例1］解方程：21-x =x3． （1） ［生］解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？［师］同学们说他的想法可取吗？［生］可取．［师］同学们可以接着讨论，方程两边同乘以什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？ ［生］乘以分式方程中所有分母的公分母．［生］解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘以分母的最小公倍数，比较简单．解分式方程时，我认为方程两边同乘以分母的最简公分母，去分母也比较简单．［师］我觉得这两位同学的想法都非常好．那么这个分式方程的最简公分母是什么呢？ ［生］x （x －2）．［师生共析］方程两边同乘以x （x －2），得x （x －2）×21-x =x （x －2）·x3， 化简，得x =3（x －2）． （2）我们可以发现，采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程，而且是我们曾学过的一元一次方程．［生］再往下解，我们就可以像解一元一次方程一样，解出x ．即x =3x －6（去括号） 2x =6（移项，合并同类项）． x =3（x 的系数化为1）．［师］x =3是方程（2）的解吗？是方程（1）的解吗？为什么？同学们可以在小组内讨论． （教师可参与到学生的讨论中，倾听学生的说法）［生］x =3是由一元一次方程x =3（x －2） （2）解出来的，x =3一定是方程（2）的解．但是不是原分式方程（1）的解，需要检验．把x =3代入方程（1）的左边=231-=1，右边=33=1，左边=右边，所以x =3是方程（1）的解．［师］同学们表现得都很棒！相信同学们也能用同样的方法完成例2的解答．［例2］解方程：x 300－x2480=4 （由学生在练习本上试着完成，然后再共同解答）解：方程两边同乘以2x ，得600－480=8x解这个方程，得x =15检验：将x =15代入原方程，得左边=4，右边=4，左边=右边，所以x =15是原方程的根．［师］很好！同学们现在不仅解出了分式方程的解，还有了检验结果的好习惯．我这里还有一个题，我们再来一起解决一下（先隐藏小亮的解法）议一议 解方程32--x x =x-31－2． （可让学生在练习本上完成，发现有和小亮同样解法的同学，可用实物投影仪显示他的解法，并一块分析） ［师］我们来看小亮同学的解法：32--x x =x-31－2 解：方程两边同乘以x －3，得2－x =－1－2（x －3）解这个方程，得x =3．［生］小亮解完没检验x =3是不是原方程的解．［师］检验的结果如何呢？［生］把x =3代入原方程中，使方程的分母x －3和3－x 都为零，即x =3时，方程中的分式无意义，因此x =3不是原方程的根．［师］它是去分母后得到的整式方程的根吗？［生］x =3是去分母后的整式方程的根．［师］为什么x =3是整式方程的根，它使得最简公分母为零，而不是原分式方程的根呢？同学们可在小组内讨论．（教师可参与到学生的讨论中，倾听同学们的想法）［生］在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程．如果整式方程的根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘以零，不符合等式变形时的两个基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了．［师］很好！分析得很透彻，我们把这样的不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根． 在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根．那么，是不是就不要这样解？或采用什么方法补救？［生］还是要把分式方程转化成整式方程来解．解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解．［师］怎样检验较简单呢？还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗？［生］不用，产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的．因此最简单的检验方法是：把整式方程的根代入最简公分母．若使最简公分母为零，则是原方程的增根；若使最简公分母不为零，则是原方程的根．是增根，必舍去．［师］在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质，解出的根都应是原方程的根．但在解分式方程时，解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验．小亮就犯了没有检验的错误．Ⅲ．应用，升华1．解方程：（1）13-x =x 4；（2）1210-x +x215-=2． 2．回顾，总结想一想解分式方程一般需要经过哪几个步骤？［师］同学们可根据例题和练习题的步骤，讨论总结．［生］解分式方程分三大步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去．使最简公分母不为零的根才是原方程的根．3．补充练习解分式方程：（1）x 9000=300015000+x ； （2）x h 2=x a a -（a ，h 常数） Ⅳ．课时小结［师］同学们这节课的表现很活跃，一定收获不小．［生］我们学会了解分式方程，明白了解分式方程的三个步骤缺一不可．［生］我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根．［生］我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用，但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美”，必须经过检验，反思“转化”过程．Ⅴ．活动与探究若关于x 的方程31--x x =932-x m 有增根，则m 的值是____________． 第3课时教学目标（一）教学知识点1．用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题．2．用分式方程来解决现实情境中的问题．（二）能力训练要求1．经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力．2．认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型．（三）情感与价值观要求1．经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣．2．培养学生的创新精神，从中获得成功的体验．教学重难点教学重点：1．审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型．2．根据实际意义检验解的合理性．教学难点：寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法．教学过程Ⅰ．提出问题，引入新课［师］前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程． 接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题．Ⅱ．讲授新课做一做某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9．6万元，第二年为10．2万元．（1）你能找出这一情境的等量关系吗？（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？［师］现在我们一块来寻求这一情境中的等量关系．［生］第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元．（1） ［生］还有一个等量关系：第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数．［师］根据“做一做”的情境，你能提出哪些问题呢？在我们的数学学习中，提出问题比解决问题更重要．同学们尽管提出符合情境的问题．［生］问题可以是：每年各有多少间房屋出租？ ［生］问题也可以是：这两年每年房屋的租金各是多少？［师］下面我们就来先解决第一个问题：每年各有多少间房屋出租？ ［师生共析］解：设每年各有x 间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为x96000元，第二年每间房屋的租金为x 102000元，根据题意，得x 102000=x96000+500 解这个方程，得x =12经检验x =12是原方程的解，也符合题意． 所以每年各有12间房屋出租．［师］我们接着再来解决第二个问题：这两年每间房屋的租金各是多少？ ［生］根据第一问的答案可计算，得：第一年每间房屋的租金为1296000=8000（元）， 第二年每间房屋的租金为12102000=8500（元）．［师］如果没有第一问，该如何解答第二问？［生］解：设第一年每间房屋的租金为x 元，第二年每间房屋的租金为（x +500）元．第一年租出的房间为x 96000间，第二年租出的房间为500102000+x 间，根据题意，得 x 96000= 500102000+x 解，得x =8000x +500=8500（元）经检验：x =8000是原分式方程的解，也符合题意． 所以这两年每间房屋的租金分别为8000元，8500元．［师］我们利用分式方程解决了实际问题．现在我们再来看一个例题，我们可以从中感受到节约用水是每个公民应该关心的事情．［例3］某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5m 3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5m 3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用．1月份，张家用水量是李家用水量的32，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元．超出5 m 3的部分每立方米收费多少元？［师］解决实际情境问题，最关键的是什么呢？ ［生］审清题意，找出题中的等量关系．［师］很好．某自来水公司水费计算办法可用表格表示出来（如下表）你们找到题中的等量关系了吗？［生］此题主要的等量关系是：1月份张家用水量是李家用水量的32． ［师］怎样表示出张家1月份的用水量和李家1月份的用水量呢？［生］根据自来水公司水费计算的办法，用水量可以用水费除以单价得出，但计算时要将水费分成两部分：5m 3的水费与超出5m 3部分的水费． ［师］下面我们就来用等量关系列出方程．［师生共析］设超出5m 3部分的水，每立方米收费设为x 元，则1月份， 张家超出5m 3的部分水费为（17．5－1．5×5）元，超出5m 3的用水量为x55.15.17⨯-m 3，总用水量为5+x55.15.17⨯-；李家超出5m 3部分的水费为（27.5－1.5×5）元，超出5m 3的用水量为x55.15.27⨯-m 3，总用水量为（5+x55.15.27⨯-）m 3根据等量关系，得x 55.15.17⨯-+5=（x55.15.27⨯-+5）×32解这个方程，得x =2． 经检验x =2是所列方程的根．所以超出5m 3部分的水，每立方米收费2元． Ⅲ．随堂练习小芳带了15元钱去商店买笔记本．如果买一种软皮本，正好需付15元钱．但售货员建议她买一种质量好的硬皮本，这种本子的价格比软皮本高出一半，因此她只能少买一本笔记本．这种软皮本和硬皮本的价格各是多少？ ［师］我们先来找到题中的等量关系． ［生］题中的等量关系有两个：15元钱买的软皮本的本数=15元钱买的硬皮本的本数+1本． 硬皮本的价格=软皮本的价格×（1+21） ［师］我们找到了等量关系，接下来请同学们在练习本上完成第1题．［生］解：设软皮本的价格为x 元，则硬皮本的价格为（1+21）x 元，那么15元钱可买软皮本x 15本，硬皮本x )211(15+本．根据题意，得，x 15=x )211(15++1解，得x =5经检验x =5是原方程的根，也符合题意，所以（1+21）x =23×5=7.5（元） 故这种软皮本和硬皮本的价格各为5元、7.5元． Ⅳ．课时小结列方程解决实际情境中的具体问题，是数学实用性最直接的体现，而解决这一问题是如何将实际问题建立方程这样的数学模型，关键则在于审清题意，找出题中的等量关系，找到它就为列方程指明了方向． Ⅴ．活动与探究如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上．小明家到王老师家路程为3km ，王老师家到学校的路程为0.5km ，由于小明父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？。
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第五章分式与分式方程
4．分式方程（一）
一.本节课的具体教学目标为：
1．理解分式方程的概念；
2.能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义。
3．在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力。
二、教学过程分析
本节课设计了5个教学环节：引入新课——探索新知——感悟升华——课堂反馈——自我小结
第一环节引入新课
活动内容：
在这一章的第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题。
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成计划任务。
原计划每月固沙造林多少公顷？
分析：这一问题中有哪些已知量和未知量？
已知量：造林总面积2400公顷实际每月造林面积比原计划多30公顷提前4个月完成原任务
未知量：原计划每月固沙造林多少公顷
这一问题中有哪些等量关系？
实际每月固沙造林的面积=计划每月固沙造林的面积+30公顷
原计划完成的时间—完成实际的时间=4个月
我们设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要＿＿＿个月，实际完成一期工程用了＿＿＿＿个月，根据题意，可得方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
活动目的：为了让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型在解决实际生活问题中作用，利用第一节《分式》中一个熟悉的问题，
引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。
注意事项：要给学生一定的思考时间，让学生积极投身于问题情景中，根据学生的情况教师可以给予适当的提示和引导．
第二环节 探究新知
活动内容：
甲、乙两地相距 1400 km ，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 9 h ，已 知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的 2.8 倍．
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h ，那么 x 满足怎样的方程？
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h ，那么 y 满足怎样的方程？
活动目的：再次让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型作用，设置了这么一个例题，关键是引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。
注意事项：要给学生一定的思考时间，让学生积极投身于问题情景中，通过同学之间相互讨论，解决问题，同时要注意引导学生理解每一步的实际意义
活动内容：
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知七年级同学捐款总额为4800 元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多 20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等．如果设七年级捐款人数为 x 人，那么 x 满足怎样的方程？
活动目的：再次让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型作用。
注意事项：要给学生一定的思考时间，让学生积极投身于问题情景中，此时，每位同学都有了一定的找等量关系的感觉，先让他们自己完成，再小组讨论
第三环节 感悟升华
活动内容：
回顾刚才我们得出的 4个方程：
（1）24002400430x x -=+ （2）1400140092.8x x -= （3）140014002.89y y =⨯+ （4）4800500020
x x =+
它们和我们以前所碰到的方程一样吗？有什么不一样的地方？
上面所得到的方程有什么共同特点？
方程中的未知数都含在分母中，不是一元一次方程。
这就是我们今天要认识的一种新的方程——分式方程：分母中含有未知数得方程。
分式方程重要特征：
（1）含分母
（2）分母中含未知数
分式方程与整式方程的区别：分式方程中分母含有未知数，而整式方程中的分母不含有未知数。
活动目的：通过让学生通过观察、归纳、总结出整式方程与分式方程的异同，从而得出分式方程的概念
注意事项：注意引导学生理解分式方程重要特征，分清分式方程与整式方程的区别，第四环节课堂反馈
活动内容：
1.找找看,下列方程哪些是分式方程：
（1）1
(3)
2
x x
-=（2）
1
1
2x
=（3）
1
3
12
x
x x
-=
--
（4）1
23
x x
-=
2. “退耕还林还草”是在我国西部地区实施的一项重要生态工程．某地规划退耕面积共 69000 2
hm，退耕还林与退耕还草的面积比为5∶3．设退耕还林的面积为x2
hm，那么x满足怎样的分式方程?
活动目的：通过学生的反馈练习，考察学生对分式方程概念的理解．
注意事项：引导学生分析题目中的已知量、未知量、等量关系来解决问题，。
活动内容
王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元。
后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？如果设原定是x人，那么x满足怎样的分式方程?
活动目的：由浅入深，出了一道比上题难度大一点的问题。
还是为了训练学生找出问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。
注意事项：要给学生一定的思考时间，让学生积极投身于问题情景中，努力寻找问题中的所有等量关系。
第五环节自我小结
活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？
活动目的：通过学生的回顾与反思，让学生感受到在实际问题中，一定要找到它的等量关系，根据等量关系来列方程。
注意事项：小节最好由同学们讨论，教师只是顺势把学生的话进行一个归纳总结。
关注学生从现实生活中发现并提出数学问题的能力，关注学生能否尝试用不同方法寻求问题中数量关系，并用分式方程表示，能否表达自己解决问题的过程
课后作业：完成课本习题。