广东省深圳市耀华实验学校2018届高三上学期期中考试数学(文)试题(实验班)+Word版含答案

2017－2018学年第一学期期中考试 高三年级实验班(文科数学)试题卷本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生先检查试卷与答题卷是否整洁无缺损，并用黑色字迹的签字笔在答题卷指定位置填写自己的班级、姓名、学号和座位号。

2．选择题每小题选出答案后，请将答案填写在答题卷上对应的题目序号后，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

不按要求填涂的，答案无效。

3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分． 1．设0a b <<，则下列不等式中不成立的是A ．11a b > B. 11a b a>- C ．||||a b > D.22a b > 2．不等式(21)(31)0x x -+>的解集是A ．1|3x x ⎧<-⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭B ．}2131|{<<-x xC ．}21|{>x xD ．}31|{->x x3．若曲线4()f x x x =-在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,0)D ．(1,0)-4．若()1sin π3α-=，且ππ2α≤≤，则sin 2α的值为A ．9-B ．9-C ．9D ．95．为了得到函数πsin(2)6y x =-的图象,可以将函数πsin(2)6y x =+的图象A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度6．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若45A a b =︒==，，则B 等于A ．30︒B ．60︒C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒ 7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为 A ．100101B ．99101C ．99100 D ．1011008．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. 34B. 38C ． 4D ．89．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是A ．6∶5B ．5∶4C ．4∶3D ．3∶210．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c ，成等比数列，且2c a =，则cos B =A ．14 B ．34 C．4 D．3左视图2211．已知变量 x y ,满足约束条件23033010x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-≤⎩，若目标函数z y ax =-仅．在点(3,0)-处取到最大值，则实数a 的取值范围为 A ．(3,5)B ．1(,)2+∞C ．(1,2) -D ．1(,1)312．已知函数()ln af x x x=-，若2()f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是 A ．[)1,-+∞B ．[)1,1-C ． 1,)-+∞(D ．(1,1)-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知向量(2)m =a ，，(,2)m =b ，若//a b ，则实数m 等于___________．14．等差数列}{n a 不是常数列，它的第2，3，6项顺次成等比数列，这个等比数列的公比是________．15．如图，在矩形ABCD中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上，若AB AF ⋅= AE BF ⋅的值是 .16．若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分． 17．（本小题满分10分）设向量,a b 满足1==a b及32-=a b （Ⅰ）求向量,a b 的夹角的大小； （Ⅱ）求3+a b 的值.（第15题图）18．（本小题满分12分）ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，3cos 4B =． （Ⅰ）求11tan tan A C +的值； （Ⅱ）设32BA BC ⋅= ，求a c +的值.19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2=n S n ,*n ∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）已知2n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和记为n T ．20.（本题满分12分）本公司计划2018年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？21．(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知24,111+==+n n a S a (*)n N ∈. （Ⅰ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式．22．(本小题满分12分)设函数()ln ,R mf x x m x=+∈ （Ⅰ）当e m =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的极小值； （Ⅱ）若函数()()3xg x f x '=-存在唯一零点，求m 的取值范围．2017—2018学年第一学期期中考试 高三年级实验班(文科数学)试题参考答案一、选择题：本大题每小题5分，满分60分．二、填空题：本大题每小题5分；满分20分．13．2±. 14．3. 15 16． 三、解答题：17．（本小题满分10分）设向量,a b 满足1==a b 及32-=a b （Ⅰ）求向量,a b 的夹角的大小； （Ⅱ）求3+a b 的值.解：（Ⅰ）设,a b 所成角为θ，由32-=a b2291247-⋅+=a a b b ，将1==a b 代入得：12⋅=a b ， ……………3分 所以1||||cos cos 2θθ⋅===a b a b ， ……………4分又[0,π]θ∈，故π3θ=，即,a b 所成角的大小为π3． ……………6分（Ⅱ）因为22222|3|969||6||13+=+⋅+=+⋅+=a b a a b b a a b b ……………9分所以3+=a b ……………10分 18．（本小题满分12分）ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，3cos 4B =．（Ⅰ）求11tan tan A C +的值； （Ⅱ）设32BA BC ⋅= ，求a c +的值.解：（Ⅰ）由3cos 4B =，0πB <<得sin B ==，∵a 、b 、c 成等比数列， ∴2b ac =， 由正弦定理可得2sin sin sin a b cR A B C===， ∴2sin sin sin B A C =， 于是11tan tan A C +cos cos sin sin A C A C =+sin cos cos sin sin sin C A C A A C +=2sin()sin A C B+=2sin 1sin sin B B B ===. ……………6分 （Ⅱ）由.2,2,43cos ,23cos 232====⋅=⋅b ca B B ca BC BA 即可得由得 由32BA BC ⋅= 得3cos 2ca B =，而3cos 4B =，∴22b ac ==，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，∴225a c +=，∴2()529a c ac +=+=，∴3a c +=. ……………12分 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2=n S n ,*n ∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）已知2n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和记为n T ．解：（Ⅰ）当1n =时，111a S ==；…………………………………………………………………2分当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-.…………………………………………4分21n a n ∴=-，*n N ∈ ………………………………………………………………………………6分()212nn b n ∴=-⋅，*n N ∈…………………………………………………………………………8分（Ⅱ）123n n T b b b b =++++即()123123252212nn T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅------------①① ⨯2得 2()2341123252212n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅ ----------------②①-②：()12312222222212nn n T n +-=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--()()123122222212n n n +=+++⋅⋅⋅+--()()114122221212n n n -+-=+---()6426nn =--,()4626n n T n ∴=-+. ……………………………………………………12分20．（本小题满分12分）本公司计划2018年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得3005002009000000.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，，，目标函数为30002000z x y =+．二元一次不等式组等价于3005290000.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，，，……………………………………………6分作出二元一次不等式组所表示的平面区域， 即可行域． 如图： 作直线:300020000l x y +=， 即320x y +=．平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时， 目标函数取得最大值．联立30052900.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得100200x y ==，．∴点M 的坐标为(100200)，． …………………………………………10分 max 30002000700000z x y ∴=+=（元）. ……………………………………11分答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元． ……………………………………………………12分 21．设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知24,111+==+n n a S a (*)n N ∈. （Ⅰ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式． 18．解：（Ⅰ）由11,a =及142n n S a +=+，有1242,a a a +=+2112325,23a a b aa =+=∴=-=∵ 142n n S a +=+(*)n N ∈. ①∴142n n S a -=+(2,*)n n N ≥∈. ② ②－①得1144n n n a a a +-=-，∴ )2(2211-+-=-n n n n a a a a ， 设12n n n b a a +=-，则)2(21≥=-n b b n n ．且3232112121=+=-=-=a a S a a b ．∴数列}{n b 是首项为3，公比为2的等比数列．……………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得123-⋅=n n b ，∴ 11232-+⋅=-n n n a a ，∴113422n n n n a a ++-=， 设2n n na c =，则134n nc c +-=, ∴21211==a c ． ∴ {n c }是以21为首项，公差为43的等差数列．∴ 4143-=n c n ，∴ 22(31)2n n n n a c n -==-⋅． ……………………………………12分 22．（本小题满分12分）设函数()ln ,R mf x x m x=+∈ （Ⅰ）当m e =（e 为自然对数的底数）时，()f x 的极小值； （Ⅱ）若函数()()3xg x f x '=-存在唯一零点，求m 的范围． 解：（Ⅰ）由题设，当m e =时，()ln ef x x x=+，则()2x ef x x-'=，由()0f x '=，得x e =．∴当()0,x e ∈，()0f x '<，()f x 在()0,e 上单调递减， 当(),x e ∈+∞，()0f x '>，()f x 在(),e +∞上单调递增，- 11 - ∴当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2e f e e e=+=， ∴()f x 的极小值为2. ……………………………………6分 （Ⅱ）由题设()()()21033x m x g x f x x x x '=-=-->， 令()0g x =，得()3103m x x x =-+>． 设()()3103x x x x ϕ=-+≥，则()()()2111x x x x ϕ'=-+=--+， 当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ在()0,1上单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ在()1,+∞上单调递减．∴1x =是()x ϕ的唯一极值点，且是极大值点，因此1x =也是()x ϕ的最大值点． ∴()x ϕ的最大值为()213ϕ=． 又()00ϕ=，结合()y x ϕ=的图象（如图），可知当23m =时，函数()g x 有且只有一个零点； 当0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点． 所以，当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点.……………………………………12分。