高考文科数学练习测试题基本不等式含答案解析
高三数学基本不等式试题答案及解析
高三数学基本不等式试题答案及解析1.实数x，y满足x＋2y＝2，则3x＋9y的最小值是________________.【答案】6【解析】3x＋9y＝3x＋32y≥2考点:基本不等式2.（5分）（2011•重庆）若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是．3【答案】2﹣log2【解析】由基本不等式得2a+2b≥，可求出2a+b的范围，再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c，2c可用2a+b表达，利用不等式的性质求范围即可．解：由基本不等式得2a+2b≥，即2a+b≥，所以2a+b≥4，令t=2a+b，由2a+2b+2c=2a+b+c可得2a+b+2c=2a+b2c，所以2c=因为t≥4，所以，即，所以3故答案为：2﹣log2点评：本题考查指数的运算法则，基本不等式求最值、不等式的性质等问题，综合性较强．3.证明以下不等式：(1)已知，，求证：；（2）若，，求证：.【答案】见解析【解析】（1）构造函数因为对一切xÎR，恒有≥0，所以≤0,从而得(另解：利用重要不等式)（2）构造函数因为对一切xÎR，都有≥0，所以△=≤0,从而证得：.4.在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为 (m).【答案】20【解析】利用均值不等式解决应用问题。
设矩形高为y, 由三角形相似得:.5.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5D．6【答案】C【解析】∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴=1∴3x+4y=（）（3x+4y）=+++≥+2=5当且仅当=时取等号∴3x+4y≥5即3x+4y的最小值是5故选C6.已知且,则存在,使得的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】可行域是一个三角形,面积为2;又直线系与圆相切,故该三角形不被该直线系扫到的部分是一个半径为圆心角为的扇形,面积为,从而被直线系扫到部分的面积为,故所求概率为.【考点】1、不等式组表示的平面区域；2、几何概型.7.设是半径为的球面上的四个不同点，且满足，，，用分别表示△、△、△的面积，则的最大值是 .【答案】2【解析】设则有即的最大值为2.【考点】基本不等式8.若正实数满足，且恒成立，则的最大值为.【答案】1【解析】,恒成立，那么,即,所以的最大值为1.【考点】基本不等式求最值9.已知，且，则的最小值是.【答案】【解析】∵，∴==≥=，当且仅当=取等号，故最小值为.【考点】1.利用基本不等式求最值；2.转化与化归思想.10.函数y＝x＋(x≠0)的值域是________．【答案】(－∞，－4]∪[4，＋∞)【解析】当x>0时，y＝x＋≥2＝4，当x<0时，y＝x＋＝－≤－2＝－4.11.设a+b=2,b>0,则+的最小值为.【答案】【解析】由a+b=2,b>0.则+=+=++,由a≠0,若a>0,则原式=++≥+2=.当且仅当b=2a=时,等号成立.若a<0,则原式=---≥-+2=.当且仅当b=-2a即a=-2,b=4时等号成立.综上得当a=-2,b=4时,+取最小值.12.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是.【答案】【解析】∵xy≤(x+y)2,∴1=x2+y2+xy=(x+y)2-xy≥(x+y)2-(x+y)2=(x+y)2,∴(x+y)2≤,∴-≤x+y≤,当x=y=时,x+y取得最大值.13.若a>0,b>0,且a+b=2,则下列不等式恒成立的是()A．>1B．+≤2C．≥1D．a2+b2≥2【答案】D【解析】由2=a+b≥2得≤1,ab≤1,所以选项A、C不恒成立,+==≥2,选项B也不恒成立,a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2恒成立.故选D.14.设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值.【答案】-2【解析】因为＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1≥－＋1＝，当且仅当＝，a＜0，即a＝－2，b＝4时取等号，故＋取最小值时，a＝－2.15.若向量a＝(x－1，2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为()A．4B．6C．9D．12【答案】B【解析】由a＝(x－1，2)，b＝(4，y)垂直得2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥2 ＝2×3＝6.16.设P是函数y＝ (x＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．【答案】【解析】因为y′＝x－ (x＋1)＋＝＋≥2＝，(当且仅当x＝时，“＝”成立)设点P(x，y)(x＞0)，则在点P处的切线的斜率k≥，所以tan θ≥，又θ∈[0，π)，故θ∈.17.若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．【答案】9【解析】依题意知f′(x)＝12x2－2ax－2b，∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，∴ab的最大值为918.已知，且是常数，又的最小值是，则________.【答案】7【解析】法一、,所以.又的最小值是，所以.又，所以.法二、由柯西不等式得：.以下同法一.【考点】1、重要不等式；2、解方程组；3、柯西不等式.19.已知是关于的一元二次方程的两根，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】由韦达定理可得．．当时，当时，综上可得当时，．【考点】应用不等式性质及重要不等式处理一元二次方程根的分布问题．20.设为实常数,是定义在R上的奇函数,当时,, 若对一切成立,则的取值范围为________.【答案】【解析】设，则，所以，当时，，要使对一切成立，当时，成立；当时，，成立，综上可知.【考点】函数奇偶性、基本不等式.21.下列命题错误的是()A．若，，则B．若，则，C．若，，且，则D．若，且，则，【答案】D【解析】A选项为基本不等式，故正确；若，说明为正数且可以取0，故B正确；若，，且，则，因为基本不等式中等号成立的条件是两数相等，故C正确；基本不等式中，等号成立的条件是，既然等号不成立，定有，D选项将结论作为了条件，故错误，选D.【考点】基本不等式.22.设满足约束条件，若目标函数的最大值为4，则的最小值为 .【答案】【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分．当直线过直线与直线的交点时，目标函数取得最大值4，即，即．所以．【考点】1.线性规划；2.基本不等式.23.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为 ( )A．35m B．30m C．25m D．20m【答案】D【解析】如图所示，设另一边长为，则，所以，所以面积，当且仅当时等号成立，即当时面积最大.24.已知，则的最小值是（）A．2B．C．4D．5【答案】C【解析】，，，当且仅当，即当且时，上式取等号，故的最小值为.【考点】基本不等式25.已知，，则的最小值为____________.【答案】【解析】由得，当且仅当时取等号；两边平方得，，当且仅当时取等号.【考点】基本不等式求最值.26.已知函数，对于满足的任意实数，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是 .【答案】④【解析】①.因为函数是上的增函数,所以所以①不正确.②. 为上的减函数，即为上的减函数，而时，为增函数，或者取代入得,显然所以②不正确.③. ,即说明函数是上的增函数,而在区间上,所以③不正确.④. ,又,所以,即.【考点】对数运算,对数函数的单调性判断,导数运算及应用,均值不等式.27.已知函数，若，则的最大值为________.【答案】【解析】，，，当且仅当时，上式取等号，由于，即当时，取最大值，，即的最大值为.【考点】基本不等式、对数运算28.已知正数满足，，则的取值范围是______．【答案】【解析】由，,又，得，所以，故.【考点】不等式性质，基本不等式的应用.29.设、满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为 .【答案】【解析】根据题意，由于、满足约束条件，围成了封闭的三角形区域，并且当目标函数平移到点（2,4）的最大值为，.故可知2，故答案为2.【考点】线性规划的运用点评：主要是考查了线性规划的最优解的运用，属于基础题。
基本不等式题型练习含答案
基本不等式题型练习含答案题目1：解不等式2x + 5 > 9。
解答1： 2x + 5 > 9 首先，将不等式两边都减去5。
2x > 4 然后，将不等式两边都除以2。
x > 2 所以，不等式的解集为x > 2。
题目2：解不等式3 - 2x ≤ 7。
解答2： 3 - 2x ≤ 7 首先，将不等式两边都减去3。
-2x ≤ 4 然后，将不等式两边都除以-2。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x ≥ -2 所以，不等式的解集为x ≥ -2。
题目3：解不等式4x + 3 < 19。
解答3： 4x + 3 < 19 首先，将不等式两边都减去3。
4x < 16 然后，将不等式两边都除以4。
x < 4 所以，不等式的解集为x < 4。
题目4：解不等式5 - 3x > 8。
解答4： 5 - 3x > 8 首先，将不等式两边都减去5。
-3x > 3 然后，将不等式两边都除以-3。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x < -1 所以，不等式的解集为x < -1。
题目5：解不等式2x - 1 ≤ 5x + 3。
解答5： 2x - 1 ≤ 5x + 3 首先，将不等式两边都减去2x。
-1 ≤ 3x + 3 然后，将不等式两边都减去3。
-4 ≤ 3x 最后，将不等式两边都除以3。
-4/3 ≤ x 所以，不等式的解集为x ≥ -4/3。
题目6：解不等式4 - 2x ≥ 10 - 3x。
解答6： 4 - 2x ≥ 10 - 3x 首先，将不等式两边都加上3x。
4 + x ≥ 10 然后，将不等式两边都减去4。
x ≥ 6 所以，不等式的解集为x ≥ 6。
题目7：解不等式2(3x + 1) > 4x + 6。
解答7： 2(3x + 1) > 4x + 6 首先，将不等式两边都展开。
高三数学基本不等式试题答案及解析
高三数学基本不等式试题答案及解析1.若且（I）求的最小值；（II）是否存在，使得？并说明理由.【答案】（1）最小值为;（2）不存在a，b，使得.【解析】（1）根据题意由基本不等式可得：，得，且当时等号成立，则可得：，且当时等号成立.所以的最小值为;（2）由（1）知，，而事实上，从而不存在a，b，使得.试题解析：（1）由，得，且当时等号成立.故，且当时等号成立.所以的最小值为.（2）由（1）知，.由于，从而不存在a，b，使得.【考点】1.基本不等式的应用;2.代数式的处理2.已知点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，则2m＋4n的最小值为________．【答案】2【解析】因为点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，所以有m＋2n＝1；2m＋4n＝2m＋22n≥2＝2＝2，当且仅当m＝2n时“＝”成立．3.已知,且,成等比数列,则xy( )A．有最大值e B．有最大值C．有最小值e D．有最小值【答案】C【解析】解:因为，所以又,成等比数列，所以（当且仅当即时等号成立）所以，故选C．【考点】1、基本不等式的应用；2、对数函数的性质．4.设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）A．0B．C．2D．【答案】C【解析】∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故选C．5.若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A．[0，2]B．[﹣2，0]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]【答案】D【解析】∵1=2x+2y≥2•（2x2y），变形为2x+y≤，即x+y≤﹣2，当且仅当x=y时取等号．则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故选D．6.设是半径为的球面上的四个不同点，且满足，，，用分别表示△、△、△的面积，则的最大值是 .【答案】2【解析】设则有即的最大值为2.【考点】基本不等式7.若（其中，)，则的最小值等于.【答案】.【解析】，因此的最小值等于.【考点】基本不等式8.已知正数满足，则的最小值为．【答案】9【解析】由，得，当且仅当，即，也即时等号成立，故最小值是9．【考点】基本不等式．9.若正实数满足，且恒成立，则的最大值为.【答案】1【解析】,恒成立，那么,即,所以的最大值为1.【考点】基本不等式求最值10.已知，且，则的最小值是.【答案】【解析】∵，∴==≥=，当且仅当=取等号，故最小值为.【考点】1.利用基本不等式求最值；2.转化与化归思想.11.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()A．B．C．5D．6【答案】C【解析】因为x>0,y>0,x+3y=5xy,所以+=1,所以（+）(3x+4y)=++++≥+2×=5,当且仅当=时,等号成立,所以选C.12.设，，若，则的最小值为A．B．6C．D．【答案】A【解析】因为，，，所以，；所以，当且仅当时，“=”成立，故答案为A.【考点】基本不等式13.在平面直角坐标系xoy中，过坐标原点的一条直线与函数的图像交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是＿＿＿＿【答案】【解析】因为过坐标原点的一条直线与函数的图像交于P、Q两点，则线段PQ长，由对称性只要研究部分，设，所以,所以当且仅当时取等号.所以的最小值为.故填.【考点】1.直线与双曲线的关系.2.两点间的距离.3.基本不等式的应用.14.在实数集中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，；（2）对任意，.则函数的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意可得，当且仅当时“=”成立，所以函数的最小值为，选.【考点】基本不等式，新定义问题.15.已知函数f(x)＝.(1)若f(x)>k的解集为{x|x<－3，或x>－2}，求k的值；(2)对任意x>0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围．【答案】（1）k＝－（2）【解析】(1)f(x)>k⇔kx2－2x＋6k<0.由已知{x|x<－3，或x>－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2，由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－.(2)∵x>0，f(x)＝＝≤＝.当且仅当x＝时取等号，由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立，故t≥.即t的取值范围是.16.(－6≤a≤3)的最大值为 ()．A．9B．C．3D．【答案】B【解析】由于－6≤a≤3，所以＝≤，当且仅当a＝－时等号成立．17.若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则＋的最小值为________．【答案】16【解析】直线平分圆，∴直线过圆心，又圆心坐标为(－4，－1)，∴－4a－b＋1＝0，∴4a＋b＝1，∴＋＝(4a＋b) ＝4＋＋＋4≥16，当且仅当b＝4a，即a＝，b＝时等号成立，∴＋的最小值为16.18.在直角坐标系中，定义两点之间的“直角距离”为，现给出四个命题：①已知，则为定值；②用表示两点间的“直线距离”，那么；③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为；④已知三点不共线，则必有.A．②③B．①④C．①②D．①②④【答案】C【解析】①；②【考点】1.基本不等式；2.三角函数的性质.19.设均为正数，且证明：（1）；（2）.【答案】（1）证明：见解析；（2）证明：见解析.【解析】（1）利用基本不等式，得到，，，利用，首先得到，得证；（2）为应用，结合求证式子的左端，应用基本不等式得到，，，同向不等式两边分别相加，即得证.试题解析：（1），，， 2分所以 4分所以 5分（2），， 7分10分【考点】基本不等式，不等式证明方法.20.已知，，则的最小值为____________.【答案】【解析】由得，当且仅当时取等号；两边平方得，，当且仅当时取等号.【考点】基本不等式求最值.21.已知函数的定义域为，则实数的取值范为 .【答案】【解析】由函数定义域可知为正数，根据均值不等式，恒成立即可.【考点】均值不等式求最值.22.在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系(如图所示)．若R、R′分别在线段0F、CF上，且.(Ⅰ)求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆：+=1上；(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为，求证：直线MN过定点；并求△GMN面积的最大值.【答案】详见解析；直线MN过定点(0,-3),△GMN面积的最大值.【解析】先计算出E、R、G、R′各点坐标，得出直线ER与GR′的方程，解得其交点坐标代入满足椭圆方程即可; 先讨论直线MN的斜率不存在时的情况；再讨论斜率存在时，用斜截式设出直线MN方程.与椭圆方程联立，用“设而不求”的方法通过韦达定理得出b为定值-3或1，又当b=1时，直线GM与直线GN的斜率之积为0，所以舍去.从而证明出MN过定点（0，-3）.最后算出点到直线的距离及MN的距离，得出△GMN面积是一个关于的代数式，由及知：，用换元法利用基本不等式求出△GMN面积的最大值是.试题解析：（Ⅰ）∵，∴， 1分又则直线的方程为① 2分又则直线的方程为②由①②得∵∴直线与的交点在椭圆上 4分（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，设不妨取∴ ,不合题意 5分②当直线的斜率存在时，设联立方程得则7分又即将代入上式得解得或（舍）∴直线过定点 10分∴，点到直线的距离为∴由及知：，令即∴当且仅当时， 13分【考点】1.直线的方程；2.解析几何；3.基本不等式.23.设,若直线与轴相交于点,与轴相交于点,且坐标原点到直线的距离为,则的面积的最小值为A．B．2C．3D．4【答案】C【解析】原点到直线的距离，，在直线的方程中，令可得，即直线与轴交于点，令可得，即直线与轴交于点，，当且仅当时上式取等号，由于，故当时，面积取最小值.【考点】原点到直线的距离，，在直线的方程中，令可得，即直线与轴交于点，令可得，即直线与轴交于点，，当且仅当时上式取等号，由于，故当时，面积取最小值.24.已知正数满足，，则的取值范围是______．【答案】【解析】由，,又，得，所以，故.【考点】不等式性质，基本不等式的应用.25.设若是与的等比中项，则的最小值【答案】4【解析】根据题意，由于若是与的等比中项，则可知，则，当a=b时等号成立故答案为4.【考点】不等式的运用点评：主要是考查了均值不等式来求解最值的运用，属于中档题。
高三数学基本不等式试题
高三数学基本不等式试题1.当x>3时，不等式x+≥恒成立，则实数的取值范围是（）A．（－∞，3]B．[3，+∞）C．[，+∞）D．（－∞，]【答案】D【解析】因为当x>3时，不等式x+≥恒成立，所以有，记，设x-1=t，则在上是增函数，所以得，故选Ｄ．【考点】函数的恒成立．2.实数x，y满足x＋2y＝2，则3x＋9y的最小值是________________.【答案】6【解析】3x＋9y＝3x＋32y≥2考点:基本不等式3.阅读：已知、，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、、，，求证：.【答案】（1）9；（2）18；（3）证明见解析.【解析】本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出. （1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2）， 7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分【考点】阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.4.（2011•浙江）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是_________．【答案】【解析】∵4x2+y2+xy=1∴（2x+y）2﹣3xy=1令t=2x+y则y=t﹣2x∴t2﹣3（t﹣2x）x=1即6x2﹣3tx+t2﹣1=0∴△=9t2﹣24（t2﹣1）=﹣15t2+24≥0解得∴2x+y的最大值是5.若函数f(x)＝（b≠1)在x＝1处有极值，则ab的最大值等于。
高三数学基本不等式试题答案及解析
高三数学基本不等式试题答案及解析1. [2014·兰州调研]设x、y、z>0，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a、b、c三数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2【答案】C【解析】假设a、b、c都小于2，则a＋b＋c<6.而事实上a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6与假设矛盾，∴a，b，c中至少有一个不小于2.2.若方程有实根,则实数的取值范围是___________.[【答案】【解析】原方程可变为：，【考点】方程及重要不等式.3.阅读：已知、，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、、，，求证：.【答案】（1）9；（2）18；（3）证明见解析.【解析】本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出. （1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2）， 7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分【考点】阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.4.在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为 (m).【答案】20【解析】利用均值不等式解决应用问题。
设矩形高为y, 由三角形相似得:.5.设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足，的最大值是 _______ ．【答案】8【解析】由已知得，，当且仅当时等号成立,因此最大值为8．【考点】球的性质．6.设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ca≤；(2)≥1【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即≥a＋b＋c.所以≥1.7.若,其中为虚数单位,则_________.【答案】【解析】，所以.【考点】复数基本运算.8.已知函数在时取得最小值，则____________.【答案】【解析】由题意得时取得最小值，所以.【考点】重要不等式.9.若（其中，)，则的最小值等于.【答案】.【解析】，因此的最小值等于.【考点】基本不等式10.设均为正实数，且，则的最小值为____________．【答案】16【解析】由，化为，整理为，∵均为正实数，∴，∴，解得，即，当且仅当时取等号，∴的最小值为16，故答案为：16．【考点】基本不等式．11.若a、b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是()A．a2+b2>2ab B．a+b≥2C．+>D．+≥2【答案】D【解析】对于选项A,a2+b2≥2ab,所以选项A错;对于选项B、C,虽然ab>0,只能说明a、b同号,若a、b都小于0时,选项B、C错;对选项D,∵ab>0,∴>0,>0,则+≥2.故选D.12.若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值为() A．B．C．+D．+2【答案】C【解析】圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,所以圆心坐标为(-1,2),半径为r=2.因为直线被圆截得的弦长为4,所以直线ax-by+2=0过圆心,所以-a-2b+2=0,即a+2b=2,所以+b=1,所以+=(+)(+b)=+1++≥+2=+.当且仅当=,a=b时取等号,所以+的最小值为+.故选C.13.在实数集中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，；（2）对任意，.则函数的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意可得，当且仅当时“=”成立，所以函数的最小值为，选.【考点】基本不等式，新定义问题.14.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a＋b≥2 B．>C．≥2D．a2＋b2>2ab【答案】C【解析】因为ab>0，所以>0，>0，即≥2 ＝2，所以选C.15.设x，y∈R，a>1，b>1，若a x＝b y＝3，a＋b＝2，则的最大值为() A．B．1C．D．2【答案】B【解析】由a x＝b y＝3得＝log3a，＝log3b，所以＝log3ab≤log3＝log3＝1.16.设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．【答案】－2【解析】因为＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1≥－＋1＝，当且仅当＝，a<0，即a＝－2，b＝4时取等号，故＋取得最小值时，a＝－2.17.已知函数f(x)＝4x＋ (x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.【答案】36【解析】∵x>0，a>0，∴f(x)＝4x＋≥2＝4 ，当且仅当4x＝(x>0)即x＝时f(x)取得最小值，由题意得＝3，∴a＝36.18.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)．则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元．【答案】58【解析】由题意知每台机器运转x年的年平均利润为＝18－(x＋)，而x>0，故≤18－＝8，当且仅当x＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．19.设，若，则的最大值为（）A．2B．3C．4D．【答案】B【解析】由得，，∴,又，∴，即，当且仅当，即时取等号，所以. 故.【考点】基本不等式.20.已知当取得最小值时，直线与曲线的交点个数为【答案】2【解析】∵，∴当且仅当，即时，取得最小值8，故曲线方程为时，方程化为；当时，方程化为，当时，方程化为，当时，无意义，由圆锥曲线可作出方程和直线与的图象，由图象可知，交点的个数为2.【考点】基本不等式，直线与圆锥曲线的位置关系.21.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积.【答案】当休闲广场的长为米，宽为米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为平方米.【解析】先将休闲广场的长度设为米，并将宽度也用进行表示，并将绿化区域的面积表示成的函数表达式，利用基本不等式来求出绿化区域面积的最大值，但是要注意基本不等式适用的三个条件.试题解析：设休闲广场的长为米，则宽为米，绿化区域的总面积为平方米，6分， 8分因为，所以，当且仅当，即时取等号 12分此时取得最大值，最大值为.答：当休闲广场的长为米，宽为米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为平方米.14分【考点】矩形的面积、基本不等式22.若，且，则下列不等式中，恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，则或，则排除与；由于恒成立，当且仅当时，取“=”，故错；由于，则，即，所以选.【考点】基本不等式.23.在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系(如图所示)．若R、R′分别在线段0F、CF上，且.(Ⅰ)求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆：+=1上；(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为，求证：直线MN过定点；并求△GMN面积的最大值.【答案】详见解析；直线MN过定点(0,-3),△GMN面积的最大值.【解析】先计算出E、R、G、R′各点坐标，得出直线ER与GR′的方程，解得其交点坐标代入满足椭圆方程即可; 先讨论直线MN的斜率不存在时的情况；再讨论斜率存在时，用斜截式设出直线MN方程.与椭圆方程联立，用“设而不求”的方法通过韦达定理得出b为定值-3或1，又当b=1时，直线GM与直线GN的斜率之积为0，所以舍去.从而证明出MN过定点（0，-3）.最后算出点到直线的距离及MN的距离，得出△GMN面积是一个关于的代数式，由及知：，用换元法利用基本不等式求出△GMN面积的最大值是.试题解析：（Ⅰ）∵，∴， 1分又则直线的方程为① 2分又则直线的方程为②由①②得∵∴直线与的交点在椭圆上 4分（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，设不妨取∴ ,不合题意 5分②当直线的斜率存在时，设联立方程得则7分又即将代入上式得解得或（舍）∴直线过定点 10分∴，点到直线的距离为∴由及知：，令即∴当且仅当时， 13分【考点】1.直线的方程；2.解析几何；3.基本不等式.24.已知不等式2｜x－3｜＋｜x－4｜＜2a．（Ⅰ）若a＝1，求不等式的解集；（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）先令，得，再分类去绝对值解不等式；（Ⅱ）设，去绝对值得，根据原不等式解集为空集得，从而求得.试题解析：（Ⅰ）当时，不等式即为，若，则，，舍去；若，则，；若，则，．综上，不等式的解集为．（5分）（Ⅱ）设，则，，，，即的取值范围为．（10分）【考点】含绝对值不等式的解法.25.已知，且满足，则的最小值为【答案】【解析】∵，且满足，∴，=，当且仅当时，的最小值为。
高中试卷-2.2 基本不等式 练习(1)(含答案)
第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2等式性质与不等式性质（共2课时）（第1课时）一、选择题1．（2019·内蒙古集宁一中高一期末）下列不等式一定成立的是（ ）A ．a b2B ．a b 2≤C ．x +1x ≥2D ．x 2+1x 2≥2【答案】D【解析】当a ,b ,x 都为负数时，A,C 选项不正确.当a ,b 为正数时，B 选项不正确.根据基本不等式，有x 2+1x 2≥=2，故选D.2．（2019山东师范大学附中高一期中）已知x ＞0，函数9y x x=+的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】∵x ＞0，∴函数96y x x =+³=，当且仅当x=3时取等号，∴y 的最小值是6．故选：C ．3.（2019广东高一期末）若正实数a ，b 满足a +b =1，则下列说法正确的是( )A ．ab 有最小值14BC ．1a +1b 有最小值4D ．a 2+b 2【答案】C【解析】∵a >0，b >0，且a +b =1；∴1=a +b ≥∴ab ≤14；∴ab 有最大值14，∴选项A 错误；=a +b =1+1+=2，∴B 项错误.1a+1b ==1ab ≥4，∴1a +1b 有最小值4，∴C 正确；a 2+b 2=(a +b )2―2ab =1―2ab ≥1―2×14=12,∴a 2+b 2的最小值是12，不是∴D 错误．4．（2019·柳州市第二中学高一期末）若x >―5，则x +4x 5的最小值为（ ）A ．-1B ．3C ．-3D ．1【解析】x +4x5=x +5+4x 5―5≥2×2―5=―1，当且仅当x =―3时等号成立，故选A.5．（2019吉林高一月考）若()12f x x x =+- (2)x >在x n =处取得最小值，则n =（ ）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】B 【解析】：当且仅当时,等号成立;所以,故选B.6．（2019·广西桂林中学高一期中）已知5x 2³,则f(x)= 24524x x x -+-有A ．最大值B ．最小值C ．最大值1D ．最小值1【答案】D【解析】()()()2211112122222x f x x x x -+éù==-+³=ê--ëû当122x x -=-即3x =或1（舍去）时， ()f x 取得最小值1二、填空题7．（2019·宁夏银川一中高一期末）当1x £-时，1()1f x x x =++的最大值为__________.【答案】-3.【解析】当1x £-时，()11[(1)111f x x x x x =+=--+--++又1(1)21x x -+-³+，()11[(1)1311f x x x x x =+=--+--£-++,故答案为：-38．（2019·上海市北虹高级中学高一期末）若0m >，0n >，1m n +=，且41m n+的最小值是___.【答案】9【解析】∵0m >，0n >，1m n +=，4()5414519n m m n m n m n m n æö\+=++=+++=ç÷èø…,当且仅当12,33n m == 时“=”成立，故答案为9.9．（2019·浙江高一期末）已知0a >，0b >，若不等式212ma b a b+³+恒成立，则m 的最大值为【答案】9.【解析】由212m a b a b +³+得()212m a b a b æö£++ç÷èø恒成立，而()212225a b a b a b b a æö++=++ç÷èø5549³+=+=，故9m £，所以m 的最大值为9.10．（2019·浙江高一月考）设函数24()(2)(0)f x x x x x=-++>．若()4f x =，则x =________．【答案】2【解析】因为2(2)0y x =-³，当2x =时，取最小值；又0x >时，44y x x=+³=，当且仅当06（，），即2x =时，取最小值；所以当且仅当2x =时，24()(2)f x x x x=-++取最小值(2)4f =.即()4f x =时，2x =.故答案为2三、解答题11．（2016·江苏高一期中）已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值；（2）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值；（3）已知x ＜54，求f （x ）＝4x －2＋145x -的最大值；【答案】（1）的最大值；（2）的最小值为5；（3）函数的最大值为【解析】（1）,当且仅当,时取等号，故的最大值为（2），当且仅当即时取等号（3）当且仅当,即时,上式成立,故当时,函数的最大值为.12．（2019·福建高一期中）设0,0,1a b a b >>+= 求证：1118a b ab++³ 【答案】可以运用多种方法。
高考数学《基本不等式》真题练习含答案
高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。
高考数学解不等式基本训练题及参考答案
高考数学解不等式基本训练题及参考答案一、选择题(1)不等式6x 2+5x <4的解集为（ ） A (-∞,-34)∪(21,+∞) B (- 34,21) C (- 21,43) D (-∞,-21)∪(34,+∞) (2)a >0,b >0,不等式a >x1>-b 的解集为（ ） A -b 1 <x <0或0<x <a 1 B - a 1<x <b1 C x <-b 1或x >a 1 D - a 1<x <0或0<x <b 1 (3)不等式11+x (x -1)(x -2)2(x -3)<0的解集是（ ） A (-1,1)∪(2,3) B (-∞,-1)∪(1,3)C (-∞,-1)∪(2,3)D R(4)若a >0,且不等式ax 2+bx +c <0无解,则左边的二次三项式的判别式（）A Δ<0B Δ=0C Δ≤0D Δ>0(5)A={x |x 2+(p +2)x +1=0,x ∈R },且R *∩A=∅,则有（ ）A p >-2B p ≥0C -4<p <0D p >-4(6)θ在第二象限,cos θ=524+-m m ,sin θ=53-+m m ,则m 满足（ ） A m <-5或m >3 B 3<m <9 C m =0或m =8 D m =8(7)已知不等式l o g a (x 2-x -2)>l o g a (-x 2+2x +3)在x =49时成立,则不等式的解集为 A {x |1<x <2} B {x |2<x <25} C {x |1<x <25} D {x |2<x <5} (8)设0<b <21,下列不等式恒成立的是（ ） A b 3>b 21B l o g b (1-b )>1 C cos(1+b )>cos(1-b ) D (1-b )n <b n ,n ∈N (9)若不等式x 2-l o g a x <0在(0,21)内恒成立,则a 满足（ ） A 16≤a <1 B 16<a <1 C 0<a ≤161 D 0<a <161 (10)不等式112+<-x x 的解集是（ ）A ［0,1］B ［0,+∞］C (1,+∞)D -1,1］ (11)不等式112)21(--<x x 的解集是（ ） A B (1,2) C (2,+∞) D (1,+∞) (12)不等式(x -1)2+x ≥0的解集是（ ） A {x |x >1} B {x |x ≥1或x =-2} C {x |x ≥1} D {x |x ≥-2且x ≠1}(13)函数f (x )=822--x x 的定义域为A ,函数g(x )=a x --11的定义域为B ,则使A ∩B=∅,实数a 的取值范围是（ ） A {a |-1<a <3} B {a |-2<a <4}C {a -2≤a ≤4}D {a |-1≤a ≤3}(14)关于x 的不等式22x a -<2x +a (a >0)的解集为（ ） A (0,a ) B (0,a ］ C ∞)∪(-∞,-54 a ) D ∅ 二．填空题(15)不等式1≤|x -2|≤7的解集是(16)不等式x1>a 的解集是 (17)不等式lg|x -4|<-1的解集是(18)不等式xb c -<a (a >0,b >0,c >0)的解集是 (19)若不等式43)1(22+++--x x a ax x <0的解为-1<x <5,则a = (20)不等式1lg -x <3-lg x 的解集是(21)函数f (x )=l o g 2(x 2-4),g(x )=2k x 2-(k <-1),则f (x )g(x )的定义域为 三、解答题（22）解下列不等式(1)(x +4)(x +5)2>(3x -2)(x +5)2；(2)1)3()4)(1(2+---x x x x ≤0；(3)45820422+-+-x x x x ≥3（23）设不等式(2x -1)>m (x 2-1)对满足|m |≤2的一切实数m 的值都成立,求x 的取值范围解不等式练习题参考答案：1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．D 7．B8．C 9．A 10．A 11．D 12．B 13．D 14．B15．［-5,1］∪［3,9］16．a =0时x >0;a >0时,0<x <a 1;a <0时,x <a 1或x >0 17．{x |4<x <1041或1039<x <4} 18．{x |x <b 或x >b -ac } 19．4 20．10≤x <100 21．［2k -2)∪(2,+∞) 22．解:(1)当x ≠-5时,(x +5)2>0,两边同除以(x +5)2得x +4>3x -2, 即x <3且x ≠-5；∴x ∈(-∞,-5)∪(-5,3)(2)当x ≠4时,原不等式⇔(x -1)(x -3)(x +1)≤0(x ≠-1) ⇔1≤x ≤3或x <-1,当x =4时,显然左边=0,不等式成立故原不等式的解集为{x |1≤x ≤3或x <-1或x =4}(3)原不等式可化为451820422+-+-x x x x -3≥00456522≥+-+-⇔x x x x 0)4)(1()3)(2(≥----⇔x x x x ∴x ∈(-∞,1)∪［2,3］∪(4,+∞) 23．解:①若x 2-1=0,即x =±1,且2x -1>0,即x >21时,此时x =1,原不等式对|m |≤2恒成立;②若x 2-1>0,要使1122--x x >m ,对|m |≤2恒成立,只要1122--x x >2,即 ⎩⎨⎧->->-22120122x x x 得1<x 23 ③若x 2-1<0时,要使1122--x x <m ,对|m |≤2恒成立,只要1122--x x <-2,即 ⎩⎨⎧+->-<-22120122x x x 得271+-<x <1 综合①②③得,所求x 的范围为271+-<x 23。
基本不等式-高考文科数学专题练习
一、填空题1．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．解析：∵0<x <1，∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3[x ＋(1－x )2]2＝34， 此时x ＝1－x ，∴x ＝12.答案：122．已知x ，y 为正数，则x 2x ＋y ＋y x ＋2y的最大值为________． 解析：依题意，得x 2x ＋y ＋y x ＋2y ＝x 2＋4xy ＋y 22x 2＋5xy ＋2y 2＝x 2＋52xy ＋y 2＋32xy2x 2＋5xy ＋2y 2＝12＋32xy 2x 2＋5xy ＋2y 2＝12＋32·12x 2＋5xy ＋2y 2xy＝12＋32·12x y ＋2y x ＋5≤12＋32×19＝12＋16＝23，当且仅当x ＝y 时取等号．答案：233．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是________．解析：1a ＋1b ＋2ab ≥2 1ab ＋2ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝1时取“＝”．答案：44．不等式4x ＋a ·2x ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由题可得a ≥－12x －2x 恒成立，由基本不等式可知－12x －2x ≤－2，所以a ≥－2.答案：[－2，＋∞)5．当x 2－2x <8时，函数y ＝x 2－x －5x ＋2的最小值是________． 解析：由x 2－2x <8，得－2<x <4.设x ＋2＝t ，则t ∈(0,6)．y ＝(t －2)2－(t －2)－5t ＝t 2－5t ＋1t ＝t ＋1t －5≥2 t ·1t －5＝－3.当且仅当t ＝1时取“＝”．答案：－36．x ，y ，z ∈R ＋，x －2y ＋3z ＝0，y 2xz 的最小值是________． 解析：由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z 2，将其代入y 2xz ，得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．答案：37．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于________． 解析：由1a ＋1b ＋k a ＋b≥0得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋a b ＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－(a ＋b )2ab ≤－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.答案：－48．已知m 、n 、s 、t ∈R ＋，m ＋n ＝2，m s ＋n t ＝9，其中m 、n 是常数，且s ＋t 的最小值是49，满足条件的点(m ，n )是圆(x －2)2＋(y －2)2＝4中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为________．解析：因(s ＋t )(m s ＋n t )＝m ＋n ＋tm s ＋sn t ≥m ＋n ＋2mn ，所以m ＋n ＋2mn ＝4，从而mn ＝1，得m ＝n ＝1，即点( 1,1)，而已知圆的圆心为(2,2)，所求弦的斜率为－1，从而此弦的方程为x ＋y －2＝0.答案：x ＋y －2＝09．从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．解析：设两个正方形边长分别为a ，b ，则由题意可得a ＋b ＝1，且13≤a ，b ≤23，S ＝a 2＋b 2≥2×(a ＋b 2)2＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号． 答案：12二、解答题10．已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)．(1)求xy 的最小值；(2)求x ＋y 的最小值．解析：由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，得⎩⎨⎧ x >0，y >0，3xy ＝x ＋y ＋1，(1)∵x >0，y >0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1，∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0，∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0，∴xy ≥1，∴xy ≥1，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．∴xy 的最小值为1.(2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·(x ＋y 2)2，∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0，∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0，∴x ＋y ≥2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2.11．在锐角△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin(A ＋C )，3)，n ＝(cos 2B ，2cos 2 B 2－1)，且向量m 、n 共线．(1)求角B 的大小；(2)如果b ＝1，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．解析：(1)∵m ∥n ，∴2sin (A ＋C )(2cos 2 B 2－1)－3cos 2B ＝0. 又∵A ＋C ＝π－B ，∴2sin B cos B ＝3cos 2B ，即sin 2B ＝3cos 2B .∴tan 2B ＝3，又∵△ABC 是锐角三角形，∴0<B <π2，∴0＜2B ＜π，∴2B ＝π3，故B ＝π6.(2)由(1)知：B ＝π6，且b ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－3ac ＝1.∴1＋3ac ＝a 2＋c 2≥2ac ，即(2－3)ac ≤1，∴ac ≤12－3＝2＋3，当且仅当a ＝c ＝6＋22时，等号成立． ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝14ac ≤2＋34.∴△ABC 的面积最大值为2＋34.12．为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体．假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①保护罩的容积大于0.5立方米，罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体的费用为1千元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元．(1)求博物馆支付的总费用y (单位：千元)与保护罩的容积V (单位：立方米)之间的函数关系式；(2)求博物馆支付的总费用y (单位：千元)的最小值；(3)如果要求保护罩为正四棱柱形状，且保护罩的底面(不计厚度)正方形的边长不得少于1. 1米，高规定为2米．当博物馆需支付的总费用不超过8千元时，求保护罩的底面积的最小值(可能用到的数据：8.25≈2.87，结果保留一位小数)．解析：(1)依据题意，当保护罩的容积等于V 时，需支付的保险费用为k V (其中k为比例系数，k >0)，且当V ＝2时，k V ＝8，所以k ＝16，所以y ＝1·(V －0.5)＋16V ＝V ＋16V －0.5(V >0.5)．(2)y ＝V ＋16V －0.5≥7.5，并且仅当V ＝16V ，即V ＝4时等号成立，所以，博物馆支付的总费用的最小值为7.5千元．(3)设S (单位：平方米)为底面正方形的面积，由题意得不等式：V ＋16V －0.5≤8，V ＝2S ，代入整理得4S 2－17S ＋16≤0，解得1.41≈8.5－8.254≤S ≤8.5＋8.254≈2.84. 又底面正方形的面积最小不得少于1.1×1.1＝1.21，所以，保护罩的底面积的最小值是1.4平方米．。
高考真题与模拟训练 专题14 基本不等式(解析版)
专题14 基本不等式第一部分真题分类1．（2021·江苏高考真题）已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若正实数a ，()()240f a f b +-=则11a +A 3B C ．2D ．4【答案】B0，所以因为奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，，所以24a b =-，即24a b +=，6，即⎭⎦⎦=，即1,32a b ==时取等号，故选：B2．（2021·C 的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．6【答案】C4，则123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．3．（2021·γ是互不相同的锐角，则在A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】法1故sin cos sin cos sin cos αββγγα++≤α不可能均大于62，故选：C.法2，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<，由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，α不可能均大于取6α=，3πβ=，γ=2，故选：C.4．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（）A 4B CD ．4ln ln y x x=+【答案】C【解析】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=2x =时取等号，等号取不到，所以B 不符合题意；对于C20x >，即1x =时取C 符合题意；对于D ，ln y x =()()0,11,+∞ ，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当5y =-，D 不符合题意．故选：C ．5．（2019·北京高考真题（理））数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C 就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A ．①B ．②C ．①②D ．①②③【答案】Cy 2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭……,x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++…,所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -,ABCD 很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.6．（2020·海南高考真题）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A ．2212a b +≥BC 2D 【答案】ABD【解析】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，A 正确；对于B 1122a b-->=B 正确；对于C 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D2D 正确；故选：ABD7．（2021·天津高考真题）若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________．2a212a b b a b b b ∴++≥=+≥=的最小值为.8．（2020·01ab =182b a b++的最小值为_________．【答案】4842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b+=4时取等号，结合1ab =,.49．（2020·)，则22x y +的最小值是_______．5102x5.∴22x y +.10．（2019·天津高考真题（文））设0x >，0y >(1)(21)x y xy ++的最小值为__________.4，得24x y +=≥，得2xy ≤等号当且仅当2x y =，即2,1x y ==时成立．11．（2021·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.【解析】（12000245x x=+-=时，即100x =取“=”，符合题意；∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.（2110，∴当答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.12．（2020·全国高考真题（文））设a ，b ，，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】（1，0()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<；（2）不妨设max{,,}a b c a =，1可知，0,0,0a b c ><<，bc 当且仅当b c =时，取等号，4，即第二部分模拟训练一、单选题1()142f x x x '≥+--，则不A B ．()()1,0,e -⋃+∞C ．()()0,2,e ⋃+∞D ．()()1,02,-⋃+∞【答案】D3是定义在的图像关于点()2,3时，20x ->，时取等号，()2,+∞上单调递增，的图像关于点()2,3中心对称，在()()30ln10f xx⎧->⎪⎨+>⎪⎩，即，解得2x>，，解得10x-<<，，故选：D2，,A B是上､下顶点，P大值为120°，若((,0,M N4PN+的最小值为（）A．9B．3C3D．32【答案】D【解析】由题可得，椭圆焦点在y轴上，且当P 为左右顶点时，APB∠取最大值为120°，，又3b=为椭圆焦点，则()441141566PN PMPM PNPN PM PN PM PN⎛⎫⎛⎫+=++=++⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭32.故选：D.3．已知正数m ，n 2则32m n +的最小值为（）A ．24B ．18C ．16D ．12【答案】A2()233232m n m n m n ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，6n =时取等号.故选：A42F 1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于A ，B 两点，若△2ABF 为等边三角形，则221b a +的最小值为（）AB C ．6+D 【答案】Da ，又2BA BF =由双曲线定义知212AF AF a -=，得24AF a =，2，6.故选：D.5．已知平面向量a ，b·1a b =A ．1BC ．2D 【答案】D【解析】平面向量a ，b∴，时取等号，|的最小值为故选：D ．6的图象在1x =A ．1BC ．3-D ．3+【答案】D可得函数()f x 的图象在1x =处的切线斜率为2+a b ，0垂直，可得(0,0)a b >>，即1a ==-时，取得等号，的最小值为3+，．7．已知ABC cos sin 0A a C +=，若角A 的平分线交点，且1AD =，则( )AB 3C D 【答案】C0及正弦定理，得因为(0,180)C ∈︒0，所以，即tan A =，)，所以120A =︒.如图，ABC ABD ACD S S S =+ ，c∴()11224b c b c b c c b ⎛⎫+⋅+=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当c b =，bc b c =+，即2c b ==时，等号成立，c 的最小值为4.故选：C.8中，//AB CD ，ADB ∠的最大值为（）A B C D ．23π【答案】Ba ，则的中点M ，延长AB 到N 点，使BN a =，由平面几何知识MC ，m ，MBC 中，在NBC 中，222)2cos()n a a MBC π=+-⨯⋅-∠，，在ABD △中，又∵22228mn m n a +=…，∴222441cos 282a a ADB mn a ∠==…，ADB故选：B二、填空题9l ，若l 的倾斜角的取值范围是,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则实数a =______.8【解析】 ，0x >，2ax x=时等号成立，l的倾斜角的取值范10．对于任意的正实数a ，b，则范围为___________.【答案】,12⎫⎪⎪⎣⎭【解析】法一：转化为斜率先看作3Aab⎛⨯⎝⎭A在故ABk 最小值为相切时取得，5)联0舍）极限思想）范法二：0)当且仅当1x=时取等号，再令22m=+＞1，又x→+∞范故答案为：,12⎫⎪⎪⎣⎭11．已知向量||||||1a b c===2c xa yb=+，则x y+的最大值为____.|a与的夹角为60︒，设(1,0)a =，，∴221122x y y ⎛⎫⎛⎫++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得221x xy y ++=，∴22()()14x y x y xy ++-=…12．在正项等比数列{}n a 1，前三项的和为7，若存使__________.3【解析】依依题意存在*,m n ∈N ，使14a =，16，即1122241112162m n m n m n a qa q a q --+-+-⋅=⋅===，，.n三、解答题131．（1）求不等式()2f x x m +->的解集﹔（2【答案】（12）3．【解析】解：（133x x m x x m m -+-≥-+-=-，当且仅当()()30x x m --≥时，的最小值为12，∴∴()2f x x m +->，等价于3242x x -+->．3时，所求不等式等价于3112x -+>，解得4时，所求不等式等价于，解得3x <，与条件矛盾；当4x ≥133x >，符合题意．综（2422232362a b c m ++==．∴()()2222222623222a b c a c b c ac bc =++=+++≥+．．当且仅当1a b c ===±时，3．14x 的不等式（1）若存，使不等式()002f x x m -≥范围；（2有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.【答案】（1⎦2【解析】解：（10的解集为∴121,3x x =-=是方程2210ax x b -++=的两个根，14a b =⎧⎨=-⎩，∴存，使不等式()002f x x m -≥成立，[]1,3x ∈上有解，x∴m 的取值范围为(,2⎤-∞--⎦；（2，1xt -=，则12,t t ，其中1201,1t t <<>，或，32k >，或()()023********2h k h k k ⎧⎪=->⎪=--=⎨⎪+⎪<<⎩②，不等式组②无实数解，∴实数k的取值范15．已知()34f x x x =-++．（1的解集；（2k 【答案】（1）{}54x x -≤≤；（2）1.【解析】（1，解得，此时54x -≤≤-；3时，当3x ≥，解得4x ≤，此时34x ≤≤.综上所述9的解集为（2）由绝，的最小值为()22222222216191619161 916251494949b a a b b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝21，1.16，其中常（1）判断偶性，并说明理由；（2a 的取值范围；（3定义域内的任意x ，都有，则函数()y h x =的图利用以上结论探究()y f x =是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标()；若不是，证明你的结论.【答案】（1）答案见解析；（23【解析】（10时，)，.0时，，所以不是奇函数也不是偶函数.（2）原问x1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，则min 122a x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，52a >，所以a 的取值范围是5(,)2+∞.（3）假设存)，则成立，成立3。
基本不等式--历年高考题汇编-含详细解析
基本不等式--历年高考题汇编-含详细解析基本不等式--历年高考题汇编一、选择题（本大题共3小题，共15.0分）1.已知过点(1,3)的直线l的倾斜角为135°，设点(x,y)是直线l在第一象限内的部分上的一点，则1x +4y的最小值是()A. 92B. 2 C. 94D. 42.已知正数x，y满足x+4y=2，则x+40y+43xy的最小值为()A. 852B. 24C. 20D. 183.设x>0、y>0、z>0，则三个数1x +4y、1y+4z、1z+4x()A. 都大于4B. 至少有一个大于4C. 至少有一个不小于4D. 至少有一个不大于4二、填空题（本大题共13小题，共65.0分）4.设x，y∈R+且1x +4y=2，则x+y的最小值为______．5.若2a+b=2(a>0,b>0)，则1a +1b的最小值是______．6.函数y=x2+6x2+1的最小值是______．7.已知x>0，y>0，x+2y=1，则2x +1y的最小值为______．8.已知a>3，则4a?3+a?316的最小值为______．9.已知m+n=2，其中mn>0，则1m +1n的最小值为______．10.若正数a，b满足ab?2a?b=0，则ab的最小值为______．11.已知a+b=4，则2a+2b的最小值为______．12.设a+b=2，b>0，则14|a|+2|a|b的最小值为______．13.已知x>0，y>0，x+2y+2xy=3，则x+2y的最小值为______．14.已知x，y∈R+，求z=(x+2y)(2x +4y)的最值．甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：甲：z=(x+2y)(2x+4y)=2+4x y+4y x+8≥18乙：z=(x+2y)(2x +4y)≥2√2xy?2√8xy=16①你认为甲、乙两人解法正确的是______．②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确．15.已知a，b∈R，且a?2b+8=0，则2a+14b的最小值为______．16.若a，b均为正实数，则ab+ba2+b2+1的最大值为______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17.已知a，b为正整数，且a+b=1，求证：1a +1b≥4．18.已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：θ=m?2t+21?t(t≥0，并且m>0)．(1)如果m=2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．19.已知函数f(x)=m?|2?x|，且f(x+2)>0的解集为(?1,1)．(1)求m的值；(2)若正实数a、b，满足a+2b=m.求1a +12b的最小值．20.已知函数f(x)=|x?1|?|x+a|(a∈N?)，f(x)≤2恒成立．(1)求a的值；(2)若正数x，y满足1x +2y=a.证明：1xy+x+12y≥√2答案和解析1.【答案】C【解析】解：过点(1,3)的直线l 的倾斜角为135°，可得直线方程：y ?3=?(x ?1)，化为：x +y =4．设点(x,y)是直线l 在第一象限内的部分上的一点，∴x +y =4，且x ，y >0．则1x +4y =14(x +y)(1x +4y )=14(5+y x +4x y )≥14(5+2√y x ?4x y )=94，当且仅当y =2x =83时取等号．故选：C ．过点(1,3)的直线l 的倾斜角为135°，可得直线方程：x +y =4.再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了直线方程、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵正数x ，y 满足x +4y =2，12x +2y =1，∴x+40y+43xy=x+40y+2x+8y 3xy =3x+48y 3xy =x+16y xy =1y +16x ，∴1y +16x =(1y +16x )(12x +2y)=10+x 2y +32y x ≥10+2√x 2y ?32y x =10+8=18，当且仅当x 2y =32y x 时，x =43，y =16 故x+40y+43xy 的最小值为18，故选：D ．由题意可得x+40y+43xy =1y +16x ，再利用乘“1”法，根据基本不等式即可求出本题主要考查了基本不等式的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：假设三个数1x +4y <4且1y +4z <4且1z +4x <4，相加得：1x+4x +1y +4y +1z +4z <12，由基本不等式得： 1x+4x ≥4；1y +4y ≥4；1z +4z ≥4；相加得：1x +4x +1y +4y +1z +4z ≥12，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数1x +4y 、1y +4z 、1z +4x 至少有一个不小于4．故选：C ．由题意知利用反证法推出矛盾，即可得正确答案．本题考查反证法和基本不等式的应用，属于简单题．4.【答案】92【解析】解：∵x ，y ∈R +且1x +4y =2，∴x +y =12(x +y)(1x +4y) =52+2x y +y 2x ≥52+2√2x y ?y 2x =92 当且仅当2x y =y 2x 即x =32且y =3时取等号，∴x +y 的最小值为92故答案为：92由题意可得x +y =12(x +y)(1x +4y )=52+2x y +y 2x ，下面由基本不等式可得．本题考查基本不等式，变形为基本不等式的情形是解决问题的关键，属基础题．5.【答案】32+√2【解析】解：2a +b =2(a >0,b >0)，则1a +1b =(1a +1b )(a +b 2)=1+12+b 2a +a b ≥32+2√b 2a ?a b =32+√2，当且仅当b 2a =a b 时，即a =2?√2，b =2√2?2时取等号，故1a +1b 的最小值是32+√2，故答案为：32+√2利用乘“1”法，可得1a +1b =(1a +1b )(a +b 2)=1+12+b 2a +a b ，再根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，考查了转化与划归思想，属于基础题 6.【答案】2√6?1【解析】解：y =x 2+6x 2+1=x 2+1+6x 2+1?1≥2√(x 2+1)?6 x 2+1?1=2√6?1，当且仅当x 2=√6+1时取等号，故答案为：2√6?1．由y =x 2+6x 2+1=x 2+1+6x 2+1?1，根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．7.【答案】8【解析】解：∵2x +1y=(x+2y)(2x+1y)=4+4y+xy≥4+2√4yxxy=8(当且仅当x=12，y=14时取等)故答案为：8先变形：2x +1y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy，然后根据基本不等式可求得最小值．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．8.【答案】1 【解析】解：∵a>3，∴a?3>0，∴4a?3+a?3≥2√4a?3a?316=1，当且仅当4a?3=a?316，即a=11时取等号，故答案为：1根据基本不等式即可求出最小值．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．9.【答案】2 【解析】解：∵m+n=2，其中mn>0，则1m +1n=12(m+n)(1m+1n)=12(2+nm+mn)≥1(2+2)=2当且仅当m=n=1时取得最小值2．故答案为：2．由已知可得，1m +1n=12(m+n)(1m+1n)，利用基本不等式即可求解本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题关键是对应用条件的配凑，1的代换是求解条件配凑的关键10.【答案】8【解析】解：∵正数a，b满足ab?2a?b=0，∴ab=2a+b≥2√2ab，∴a2b2≥8ab，∴ab≥8．∴ab的最小值为8．故答案为：8．推导出ab=2a+b≥2√2ab，从而a2b2≥8ab，由此能求出ab的最小值．本题考查两数积的最小值的求法，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】8【解析】解：∵a+b=4，∴2a+2b≥2√2a+b=2√24=8，当且仅当a=b=2时取等号，∴2a+2b的最小值为8．故答案为：8．利用基本不等式直接求解．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．12.【答案】78【解析】解：a+b=2，b>0，则14|a|+2|a|b=a+b8a|+2|a|b=a8|a|+b8|a|+2|a|b≥a8|a|+2√b8|a|2|a|b=a8|a|+1≥?18+1=78．当且仅当b8|a|=2|a|b，a<0且a+b=2即a=?2 3，b=83时取等号．故答案为：78．由已知可得，14|a|+2|a|b=a+b8a|+2|a|b=a8|a|+b8|a|+2|a|b，利用基本不等式即可求解本题主要考查了基本不等式在求解最值的应用，基本不等式条件的配凑是求解本题的难点．13.【答案】2【解析】解：考察基本不等式：x+2y=3?x?(2y)≥3?(x+2y2)2(当且仅当x=2y时取等号)，整理得：(x+2y)2+4(x+2y)?12≥0，即：(x+2y?2)(x+2y+6)≥0，又：x+2y>0，所以：x+2y≥2(当且仅当x=2y时取等号)，则：x+2y的最小值是2．故答案为：2．首先分析题目由已知x >0，y >0，x +2y +2xy =3，求x +2y 的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a +b ≥2√ab 代入已知条件，化简为函数求最值．此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a +b ≥2√ab 在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．14.【答案】甲【解析】解：①甲正确，乙解法中两次不等式中取等的条件不相同；②已知x ，y ∈R +，求z =(a +b)(1a +1b )的最小值．甲：z =(a +b)(1a +1b )=1+b a +a b +1≥4，乙：z =(a +b)(1a +1b )≥2√ab ?2√1a ?1b=4．故填甲．乙解法中两次不等式取等条件不同，故乙错误．本题考查了基本不等式及其应用，属中档题． 15.【答案】18【解析】解：∵a ?2b +8=0，则2a +14b ≥2√2a ?14b =2√2a?2b =2√2?8=18 当且仅当a =?2b 即b =2，a =?4时取等号，故答案为：18．由基本不等式可得，2a +14b ≥2√2a ?14b ，结合已知即可求解．本题主要考查了指数的运算性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．16.【答案】√22【解析】解：∵a 2+12b 2≥2√a 2?b 22=√2ab ，当且仅当a =√22b 时取等号，12b 2+1≥2√12b 2=√2b ，当且当且仅当b =√2时取等号，∴ab+b a 2+b 2+1= ab+b a 2+b 22+b 22+12≤2ab+2b =2=√22，当且仅当a =1，b =√2时取等号，故ab+b a 2+b 2+1的最大值为√22，故答案为：√22由：a2+12b2≥2√a2?b22=√2ab，当且仅当a=√22b时取等号，12b2+1≥2√12b2=√2b，当且当且仅当b=√2时取等号，即可求出答案．本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属于中档题．17.【答案】证明：∵a，b为正整数，且a+b=1，∴1a+1b=(a+1b)(a+b)=2+ba +ab≥2+2√baab=4，当且仅当ba =ab即a=b=12时取等号．【解析】由题意可得1 a +1b=(1a+1b)(a+b)=2+ba+a，由基本不等式可得．本题考查不等式的证明，涉及基本不等式求最值问题，属基础题．18.【答案】解：(1)依题意可得5=2?2t+21?t，即2?(2t)2?5?2t+2=0．亦即(2?2t?1)(2t?2)=0，又∵t≥0，得2t=2，∴t=1．故经过1分钟该物体的温度为5摄氏度．(2)问题等价于m?2t+21?t≥2(t≥0)恒成立．∵m?2t+21?t=m?2t+2?2?t≥2√2m，①∴只需2√2m≥2，即m≥12．当且仅当122t=2?2?t，即t=1时，①式等号成立，∴m的取值范围是[12,+∞)．【解析】(1)将m=2，θ=5代入θ=m?2t+21?t(t≥0)解指数方程即可求出t的值；(2)问题等价于m?2t+21?t≥2(t≥0)恒成立，求出m?2t+21?t的最小值，只需最小值恒大于等于2建立关系，解之即可求出m的范围．本题主要考查了不等式的实际应用，以及恒成立问题，同时考查了转化与划归的思想，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵f(x+2)=m?|x|∴由f(x+2)>0得|x|<m．< p="">由|x|0，且其解集为(?m,m)又不等式f(x+2)>0解集为(?1,1)，故m=1；(2)由(1)知a+2b=1，又a，b是正实数，由基本不等式得1a +12b=(1a+12b)(a+2b)=1+1+2ba+a2b≥4当且仅当a=12,b=14时取等号，故1a +12b的最小值为4．【解析】(1)由f(x+2)>0得|x|<m.由|x|0，且其解集为(?m,m)，根据解集为(?1,1)可得m；</m.由|x|(2)由(1)知a+2b=1，则1a +12b=(1a2b)(a+2b)然后利用基本不等式求解即可．本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式，属基础题．20.【答案】解：(1)由f(x)=|x?1|?|x+a|≤|x?1?x?a|=|a+1|，又f(x)≤2恒成立，∴|a+1|≤2，∴?3≤a≤1，∵a∈N?，∴a=1；(2)由(1)知1x +2y=1，∴2x+y=xy，∴1xy +x+12y=1xy+12xy≥2√1xy12xy=√2．【解析】(1)由f(x)=|x?1|?|x+a|≤|x?1?x?a|=|a+1|，结合已知可求a，(2)由(1)知1y=1，从而有2x+y=xy，然后利用基本不等式可证．本题主要看考查了绝对值不等式的性质及基本不等式的应用，属于基础试题</m．<>。
基本不等式练习题及答案解析
1．若xy ＞0，则对x y ＋y x 说法正确的是()A ．有最大值－2B ．有最小值2C ．无最大值和最小值D ．无法确定2．设x ，y 满足x ＋y ＝40且x ，y 都是正整数，则xy 的最大值是()A ．400B ．100C ．40D ．203．已知x ≥2，则当x ＝____时，x ＋4x 有最小值____．4．已知f (x )＝12x ＋4x .(1)当x ＞0时，求f (x )的最小值；(2)当x ＜0时，求f (x )的最大值．一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()A ．x ＋12x B ．x 2－1＋1x 2－1C ．2x ＋2－xD ．x (1－x )2．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是()A ．32－3B ．－3C ．62D ．62－33．已知m 、n ∈R ，mn ＝100，则m 2＋n 2的最小值是()A ．200B ．100C ．50D ．204．给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b＝2；②∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ；③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4；④∵x ，y ∈R ，，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x )]≤－2?－x y ??－y x?＝－2.其中正确的推导过程为()A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是()A ．2B ．22C ．4D ．56．已知x 、y 均为正数，xy ＝8x ＋2y ，则xy 有()A ．最大值64B ．最大值164C ．最小值64D ．最小值164二、填空题7．函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为________．8．若x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝1，则xy 有最________值，其值为________．9．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．三、解答题10．(1)设x ＞－1，求函数y ＝x ＋4x ＋1＋6的最小值；(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)·(1b－1)·(1c－1)≥8.12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．答案：1.答案：B2.答案：A3.答案：244.解：(1)∵x ＞0，∴12x ，4x ＞0.∴12x ＋4x ≥212x ·4x ＝83.当且仅当12x＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x ＞0时，f (x )的最小值为8 3.(2)∵x ＜0，∴－x ＞0.则－f (x )＝12－x ＋(－4x )≥212－x ·?－4x ?＝83，当且仅当12－x＝－4x 时，即x ＝－3时取等号．∴当x ＜0时，f (x )的最大值为－8 3.一、选择题1.答案：C2.解析：选D.y ＝3(x 2＋2x 2＋1)＝3(x 2＋1＋2x 2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3.3.解析：选A.m 2＋n 2≥2mn ＝200，当且仅当m ＝n 时等号成立．4.解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ，a b∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x ，y ∈(0，＋∞)，但当x ∈(0,1)时，lg x 是负数，y ∈(0,1)时，lg y 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a ∈R ，不符合基本不等式的条件，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的；④由xy ＜0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将全体x y ＋y x 提出负号后，(－x y)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5.解析：选C.∵1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22×2＝4.1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，不等式取得最小值4.6.解析：选C.∵x 、y 均为正数，∴xy ＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy ，当且仅当8x ＝2y 时等号成立．∴xy ≥64.二、填空题7.答案：18.解析：1＝x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy ，∴xy ≤116.答案：大1169.解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4时取等号．答案：3三、解答题10.解：(1)∵x ＞－1，∴x ＋1＞0.∴y ＝x ＋4x ＋1＋6＝x ＋1＋4x ＋1＋5≥2?x ＋1?·4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号．∴x ＝1时，函数的最小值是9.(2)y ＝x 2＋8x －1＝x 2－1＋9x －1＝(x ＋1)＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2.∵x ＞1，∴x －1＞0.∴(x －1)＋9x －1＋2≥2?x －1?·9x －1＋2＝8.当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时等号成立，∴y 有最小值8.11.证明：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bc a ，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c，以上三个不等式两边分别相乘得(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．12.解：设污水处理池的长为x 米，则宽为200x 米．总造价f (x )＝400×(2x ＋2×200x )＋100×200x ＋60×200＝800×(x ＋225x )＋12000≥1600x ·225x＋12000＝36000(元)当且仅当x ＝225x(x ＞0)，即x ＝15时等号成立．。
高考数学专题《基本不等式及其应用》习题含答案解析
专题2.2 基本不等式及其应用1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=的（ ） AB C D ．最小值是3【答案】B 【解析】 由题意得32a cb +=，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案； 【详解】因为320a b c -+=，所以32a cb +=， =≤3a c =. 故选：B.2．（2021·山东高三其他模拟）已知a b ，均为正实数，则“2aba b≤+”是“16ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】取100,2a b ==可得由2ab a b ≤+推不出16ab ≤，反过来，由基本不等式可得由16ab ≤能推出2aba b≤+，然后可选出答案. 【详解】取100,2a b ==，则2002102ab a b =<+，但20016ab =>，所以由2ab a b≤+推不出16ab ≤， 练基础反过来，若16ab ≤，则2ab a b ≤=≤+，当且仅当4a b ==时取等号， 所以由16ab ≤能推出2ab a b ≤+，所以“2ab a b≤+”是“16ab ≤”的必要不充分条件， 故选：C3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积是()2214S b c =+ ，则ABC 的三个内角大小为（ ） A ．60A B C === B ．90,45A B C === C ．120,30A B C === D ．90,30,60A B C ===【答案】B 【解析】由ABC 的面积是()2214S b c =+，利用面积公式及基本不等式判断出90A =︒，由b=c 得45B C ==. 【详解】因为222b c bc +≥，所以()221142S b c bc =+≥（当且仅当b=c 时取等号）. 而ABC 的面积是1sin 2S bc A =, 所以11sin 22S bc A bc =≥，即sin 1A ≥，所以sin =1A ， 因为A 为三角形内角，所以90A =︒. 又因为b=c ，所以90,45A B C ===. 故选：B4．（2021·浙江高三月考）已知实数x ，y 满足2244x y +=，则xy 的最小值是（ ）A ．2-B ．C ．D ．1-【答案】D 【解析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】由22224414x x y y +=⇒+=，令2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩， 因此2cos sin sin 2xy θθθ==，因为1sin 21θ-≤≤，所以11xy -≤≤， 因此xy 的最小值是1-， 故选：D5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s (万元)与机器运转时间t (年数，*t ∈N )的关系为22364s t t =-+-，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t 为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】根据题意求出年平均利润函数。
基本不等式练习题及答案
基本不等式练习题及答案1.函数y＝x＋x/(x>0)的值域是什么？正确答案：B．(0，＋∞)解析：当x>0时，x/x=1，所以函数可以简化为y=2x。
因为x>0，所以函数的值域为(0，＋∞)。
2.下列不等式中正确的个数是多少？正确答案：C．1解析：只有第一组不等式a^2+1>2a成立，其他两个不等式都不成立。
3.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为多少？正确答案：B．1解析：将a＋2b－2＝0变形得到2b=2－a，所以b=1－a/2.因为a>0，所以1－a/2<1，所以b<1.所以ab的最大值为a(1－a/2)=a－a^2/2，当a=1时取得最大值为1/2.4.若函数f(x)＝x＋1/(x－2)在x＝a处取最小值，则a等于多少？正确答案：C．3解析：f(x)可以写成x+1/(x－2)=x－2+3+1/(x－2)，所以f(x)的最小值在x=3时取得，此时f(3)=3+1=4.5.已知t＞0，则函数y＝(t^2－4t＋1)/t的最小值为多少？正确答案：1解析：将分子t^2－4t＋1写成(t－2)^2－3，所以y=(t－2)^2/t－3/t。
因为t>0，所以y的最小值为3/t－(t－2)^2/t，当t=2时取得最小值1.某单位要建造一间背面靠墙的矩形小房，地面面积为12平方米，房子侧面的长度x不得超过5米。
房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，墙高为3米，不计房屋背面的费用。
求侧面的长度为多少时，总造价最低。
去年，XXX年产量为10万件，每件产品的销售价格为100元，固定成本为80元。
今年起，工厂投入100万元科技成本，每年递增100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。
每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=80.若水晶产品的销售价格不变，求第n次投入后的年利润f(n)。
基本不等式30题解析
基本不等式30题解析一、多选题1．（23-24高一下·山东济宁·阶段练习）已知正实数,x y 满足2x y xy +=，则（）A ．16xy ≥B ．29x y +≥C ．6x y +>D ．1831x y+≥-2．（21-22高一下·全国·开学考试）下列不等式一定成立的是（）A ．()21lg lg 04x x x ⎛⎫+≥> ⎝⎭B ．()lgeln 21lg x x x+>>C ．()21012x x x ≥>+D ．()1121x x <∈+R 【答案】AD【分析】结合对数函数的单调性利用基本不等式判断A ，举反例判断BC ，根据指数函数的有界性判断D.3．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知,a b 均为实数，则()222a b a b ab+++的可能值为（）A ．43B ．34C ．1D ．24．（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）若62,63a b ==，则下列不等关系正确的有（）A2B ．114a b+>C ．2212a b +>D ．14ab <【答案】BCD【分析】根据题意分析可知()1,,0,1a b a b +=∈，结合不等式性质以及基本不等式逐项5．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知位于第一象限的点(),a b 在曲线1x y+=上，则（）A ．()()111a b --=-B ．4ab ≥C ．49a b +≤D ．221223a b +≥6．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知p q ､为函数()lg f x x t =-的两个不相同的零点，则下列式子一定正确的是（）A ．222p q +<B ．228p q +>C ．33log log 0p q ⋅<D ．1pq =由图可知，当0t >时，直线设p q <，则01p q <<<，由由()lg 0f q q t =-=，可得lg 对于A 选项，222p q pq +>=对于B 选项，2222p q p ++>对于C 选项，33log log 1p <=对于D 选项，由上可知1pq =故选：CD.7．（2024高三·全国·专题练习）已知x ≥1，则下列函数的最小值为2的有（）A ．22x y x =+B ．2y =C ．13y x x=-D ．411y x x =-++【答案】ACD 【详解】因为x ≥1，所以＋≥2(当且仅当x ＝2时取等号)；y ＝＝＋＞2，等号取不到；因为函数y ＝3x －在[1，＋∞)上单调递增，所以3x －≥2；因为x ≥1，所以y ＝x －1＋＝x ＋1＋－2≥4－2＝2(当且仅当x ＝1时取等号).故选ACD.8．（2024高三·全国·专题练习）(多选)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b ＝1，且a 2－c 2＝2，则下列结论正确的是（）A ．a ＜32B ．tan A ＋3tanC ＝0C ．角B 的最大值为3πD ．△ABC 的外接圆面积的最小值为π9．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图所示，在ABC 中,4BC =，且M 点为BC 边的中点，则下列结论正确的有（）A ．设G 是AM 的中点，则0GA GB GC ++=B ．sin sin BAM ACCAM AB∠=∠C ．若π3BAC ∠=，则AM的最小值为D ．若π6BAM ∠=，则AC 边的最小值为2【详解】对于B ，分别在ABM 和ACM △中由正弦定理可得sin sin sin sin AMB BAMAC CM AMC CAM ⎧=⎪⎪∠∠⎨⎪=⎪∠∠⎩，因为2πBM CM AMB AMC ==⎧⎨∠+∠=⎩，则sinsin AB CAMAC BAM ∠=∠，正确；对于C ，在ABC 中，由余弦定理可得2216b c bc +-=，所以22162b c bc bc +=+≥，则16bc ≤，当且仅当4bc ==时取等，又2AB AC AM +=，所以AM AM ===，当且仅当4b c ==时取等，故AM 最大值为对于D ，在ABM 中，由正弦定理可得242πsin 6R==，故ABM 的外接圆圆O 的半径为2R =，则点A 在优弧 BM上运动，则AC 的最小值为2OC R R -=-=-，正确.故选：BD10．（2024·贵州毕节·二模）已知252100a b ==，则下列式子中正确的有（）A ．211a b+=B ．121a b+=C ．8ab >D ．29a b +>【答案】BCD 【分析】由指对互化得到25log 100a =，2log 100b =，进而结合对数运算性质和基本不等式的应用即可求解.【详解】11．（2024·江苏·一模）已知,x y ∈R ，且123x =，124y =，则()A ．y x >B ．1x y +>C ．14xy <D <【答案】ACD 【分析】用对数表示x ，y ，利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计算得到答案．【详解】12．（23-24高一下·安徽宿州·开学考试）若正实数,a b 满足1a b +=，则下列选项中正确的是（）A ．ab 有最大值14B ．122a b->C ．14a b+的最小值是10D【答案】AB 【分析】利用均值不等式和“1”的妙用判断ACD ，由12a b b -=-讨论b 的范围判断B 即可.【详解】选项A ：因为,a b 为正实数，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立，所以ab 有最大值14，A 说法正确；选项B ：由1a b +=可得12a b b -=-，因为,a b 为正实数，所以01b <<，1121b -<-<，所以1212222a b b --<=<，B 说法正确；选项C ：由题意可得()14144559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a bb a =，即13a =，23b =时等号成立，所以14a b +的最小值是9，C 说法错误；选项D ：由A 得212a b =++=+≤，当且仅当12a b ==，不存在最小值，D 说法错误；故选：AB13．（23-24高一上·江苏连云港·期末）下列各函数中，最小值为2的是（）A ．2610y x x =-+B ．3y x =-+C ．1y xx=+D ．2y =14．（23-24高三下·广东·阶段练习）若0a >，0b >，8a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A 4≤B 4+≥C ．2232a b +≥D ．1498a b +≥【详解】15．（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）已知0x >，0y >，且24x y +=，则（）A ．ln ln ln2x y +≤B ．248x y +<C ．1294x y +≥D ．324e e x x y-≥16．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）下列函数中，最小值是4的有（）A ．()134x f x x=++B ．()f x =C ．()()31011f x x x x=+<<D ．()f x =17．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）设正实数0x >，0y >，且满足3x y xy ++=，则（）A ．413x y +≥B ．9xy ≤C ．2218x y +≤D ．1123x y +≥18．（2024·贵州贵阳·一模）已知0,0a b >>，且2a b +=，则（）A ．22a b+≥B ．112a b+≥C ．22log log 1a b +≤D ．222a b +≥【答案】ABCD【分析】首先结合选项变形，再根据基本不等式，即可判断选项.19．（2024·河南信阳·一模）已知正数,m n 满足322m n+=，则（）A ．12mn ≥B ．222m n +≥C ．32m n +≥D ．2,(0,),()2m n m n mn mn-∃∈+∞≥20．（23-24高一上·广东茂名·期中）下面命题正确的是（）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件B ．命题“x ∃∈R ，使20x ax a ++<”是假命题，则实数a 的取值范围为04a ≤≤C ．不等式21x>的解集是(),2-∞D ．设a +∈R ，则24a a+的最小值为4.21．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a ba b >++B ．2ab a b +C ．()ln 2a b ab ++>D ．111ln 1ln a b<22．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知0a b >>，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是（）A ．22()(1)a b b +>+B ．11b b a a ->-2223．（23-24高一上·浙江·期末）设正实数,a b满足2a b+=，则（）A．11a b+的最小值为2B．1122a b a b+++的最大值为23C2D．3ab b-的最大值为1424．（23-24高三下·河北·阶段练习）已知正数,a b 满足()()111a b --=，则下列选项正确的是（）A ．111a b+=B ．25ab b+³C ．4a b +≥D ．228a b +≥25．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知3824a b ==，则a ，b 满足的关系是（）A ．111a b+=B ．112a b+=C ．()()22112a b -+-<D ．()()22112a b -+->26．（23-24高一上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．44ππcos sin 882-=27．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）若,m n 均为正数，且满足22m n +=，则（）A ．mn的最大值为12B ．11m n+的最小值为3+C ．24m n +的最小值为4D ．2mm n+的最小值为1+28．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知0a b >>，下列说法正确的是（）A ．11a b b a+>+B ．2b a a b+>C ．若0c >，则b b ca a c+<+D ．若c d >，则a c b d->-【答案】ABC29．（23-24高三上·海南·期末）已知0,0a b >>，且4a b ab +-=，则（）A ．3a b +≥B ．104ab <≤或94ab ≥C ．221(1)(1)2a b -+-≤D ．11413a b <+≤或114a b+≥试卷第21页，共21页30．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A ．41ab >B ．2728a b +≥C ．41912a b +≥D 2≤。
高中试卷-2.2 基本不等式(含答案)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！2.2 基本不等式1. 利用基本不等式比较大小；2. 变形技巧：“1”的代换；3. 证明不等式；4. 不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法；5. 求参数的取值范围问题；6.求最大（小）值；7.均值不等式在实际问题中的应用一、单选题1．（2021·浙江高一单元测试）若0a <b <，则下列结论中不恒成立的是（ ）A ．a b >B ．11a b>C ．222a b ab +>D ．a b +>-【答案】D 【解析】因为0a <b <，所以0->->a b 所以a b >，11a b -<-即11a b>，故A ，B 正确.因为()20a b -³，所以222a b ab +³，所以222a b ab +>故C 正确.当 2,1a b =-=-时， +<-a b D 错误.故选：D2．（2021·全国高一课时练习）若0a b << ，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2a ba b +>>>B ．2a bb a +>>>C ．2a bb a +>>>D ．2a bb a +>>>【答案】C 【解析】因为0a b <<，所以2b a b >+，又由基本不等式可得：2a b +>，所以2a bb +>>，又2ab a >a >，因此2a bb a +>>>.故选：C.3．（2021·黑龙江南岗·哈师大附中高一期末）已知x ，y ＞0且x+4y=1，则11x y+的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B 【解析】0x y Q ，＞ 且41x y += ，∴111144 1459x y x y x y x y y x +=++=+++³+（）（）．当且仅当1136x y ，==时，等号成立．∴11x y+的最小值为9．故选：B ．4．（2021·浙江高一单元测试）如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y （单位：10万元）与营运年数x （x ∈N ）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年【答案】C 【解析】可设y=a(x －6)2+11，又曲线过(4，7)，∴7=a(4－6)2+11 ∴a=－1．即y=－x 2+12x －25，∴=12－(x+)≤12－2=2，当且仅当x=5时取等号. 故选C ．5．（2021·浙江鄞州·宁波华茂外国语学校高三一模）已知实数0a >，0b >，11111a b +=++，则2+a b 的最小值是（ ）A ．B ．C ．3D ．2【答案】B 【解析】∵0a >，0b >，11111a b +=++∴112(1)12(1)2(1)3[(1)2(1)](3[12]31111b a a b a b a b a b a b +++=+++-=+++×+-=+++-++++³-当且仅当2(1)111b a a b ++=++，即a =，b =.故选B6．（2021·全国高三课时练习（理））已知关于x 的不等式227x x a+³-在(,)x a Î+¥上恒成立，则实数a 的最小值为 （ ）A ．1B ．52C ．2D ．32【答案】D 【解析】设2()2f x x x a=+-，,0x a x a >\->Q ， 227x x a+³-在(,)x a Î+¥上恒成立，需min ()7f x ³，22()22()222242f x x x a a a a x a x a=+=-++³´+=+--，当且仅当11x a x a -==-，即1x a =+时等号成立，3427,2a a \+³³.故选：D.7．（2021·广西兴宁·南宁三中高一期末）已知0a >，0b >，1ab =，且1m b a =+，1n a b=+，则m n +的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】由1ab =知，12m b b a =+=，12n a a b=+=，\()24m n a b +=+³=，当且仅当1a b ==时取等号.故m n +的最小值为4故选：B8．（2021·皇姑·辽宁实验中学高三其他（文））已知实数,x y 满足221x xy y -+=，则x y +的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】原式可化为：22()1313(2x y x y xy ++=+£+，解得22x y -£+£，当且仅当1x y ==时成立．所以选B.9．（2021·河南高二期末（理））设,,a b c 为任意正数．则111,,a b c b c a+++这三个数（ ）A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2【答案】C 【解析】假设三个数均小于2，即1112,2,2a b c b c a +<+<+<，故1116a b c a b c+++++<，而1116a b c a b c +++++³++=，当1a b c ===时等号成立，这与1116a b c a b c+++++<矛盾，故假设不成立，故至少有一个不小于2，C 正确；取2a b c ===，计算排除BD ；取1a b c ===，计算排除A.故选：C.10．（2021·浙江金华·高一期末）已知x ，0y >，则41x y x y+++的最小值为（ ）A ．B ．6C ．D ．【答案】B 【解析】因为x ，0y >，由基本不等式可得，416x y x y +++³=，当且仅当2,1x y ==时等号成立．故选：B ．二、多选题11．（2021·浙江高一单元测试）已知函数11(0)y x x x=++<，则该函数的（ ）．A ．最小值为3B ．最大值为3C ．没有最小值D ．最大值为1-【答案】CD 【解析】0x <Q ，\函数111()111()y x x x x éù=++=--++-+=-êú-ëû…，当且仅当1x =-时取等号，\该函数有最大值1-．无最小值．故选：CD ．12．（2021·海南高二期末）已知实数a 、b 满足0a b >>，则下列不等式一定成立的有（ ）A ．22a b <B ．a b -<-C ．2b aa b+>D ．a b ab+>【答案】BC 【解析】因为0a b >>，于是22a b >，A 项不成立；由0a b >>得a b -<-，B 项正确；由基本不等式可知2b a a b +³=，因为a b ¹，所以等号取不到，所以C 项正确；当3a =，2b =时，D 项不成立.故选：BC.13．（2021·山东德州·高三二模）若正实数a ，b 满足1a b +=则下列说法正确的是（ ）A ．ab 有最大值14BC ．11a b+有最小值2D ．22a b +有最大值12【答案】AB 【解析】对A,2211224a b ab +æöæö£==ç÷ç÷èøèø,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确.对B,22a b a b a b =++£+++=,+£,当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确.对C,()1111224b a a b a b a b a b æö+=++=++³+è=ç÷ø.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b +有最小值4.故C 错误.对D, ()()2222222121a b a ab b a a bb+=Þ++=£+++,即2212a b +³,故22a b +有最小值12.故D 错误.故选：AB14．（2021·山东泰山·泰安一中高一期中）设0a >，0b >，给出下列不等式恒成立的是（ ）.A ．21a a+>B ．296a a+>C ．()114a b a b æö++³ç÷èøD ．114a b a b æöæö++³ç÷ç÷èøèø【答案】ACD 【解析】设0a >，0b >，22131024a a a æö+-=++>ç÷èø，A 成立，2296(3)0a a a +-=-…，B 不成立()111124b a a b a b a b æö++=+++³+=ç÷èø，当且仅当b a a b =即a b =时取等号，故C 成立，12a a +…，12b b +…，114a b a b æöæö\++³ç÷ç÷èøèø，当且仅当1a a =，1b b =即1a b ==时取等号，故D 成立，故选：ACD ．三、填空题15．（2021·浙江高一单元测试）已知04x <<，则414x x+-的最小值为______．【答案】94．【解析】用“1”的代换法配凑出定值，然后用基本不等式得最小值．4144114(4)95444444x x x x x x x x x x +--æöæöæö+=+=++ç÷ç÷ç÷---èøèøèø…，当且仅当4(4)4x x x x -=-，解得1288,3x x ==，又因为04x <<，所以83x =时等号成立．故答案为：94．16．（2021·全国高一）若0, 0a >b >，则“4a b +£”是 “4ab £”的_____条件【答案】充分不必要【解析】当0,0a b >>时，由基本不等式，可得a b +³，当4a b +£时，有4a b £+£，解得4ab £，充分性是成立的；例如：当1,4a b ==时，满足4ab £，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +£”是“4ab £”的充分不必要条件.故答案为充分不必要条件.17．（2021·全国高一）若实数x ，y 满足xy=1，则x 2+4y 2的最小值为______．【答案】4【解析】若实数,x y 满足1xy=,则2242244x y x y xy +³××==,当且仅当2x y ==,上式取得最小值4故答案为：4四、双空题18．（2021·全国高一课时练习）若1x >，则1141x x ++-的最小值是______，此时x =______.【答案】9 32【解析】因为1x >，即10x ->所以1114=4(1)545911x x x x ++-++³+=--当且仅当14(1)1x x -=-即32x =时取等号．故第一空填9，第二空填3219．（2021·浙江鄞州·宁波诺丁汉附中高一期中）用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为________m ；高为________m .【答案】323 【解析】设窗户的宽为x ，则其高为62x -，要使阳光充足，只要面积最大，()()()23962232[]22x x S x x x x +-=-=-£´=，当且仅当32x =时等号成立，这时高为3m .故答案为：(1).32(2). 3用基本不等式求最值问题:已知0,0x y >>，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x y =时，x y +有最小值是 .(简记：积定和最小)(2)如果和x y +是定值p ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24p.(简记：和定积最大)20．（2021·浙江金华·高一期中）已知正数a ，b 满足a+b=1，则1b a b+的最小值等于__________ ，此时a=____________.【答案】3 12【解析】根据题意，正数a 、b 满足1a b +=，则1113b b a b b a a b a b a b ++=+=++³=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故1b a b+的最小值为3，此时12a =.故答案为：3；12.21．（2017·北京人大附中高一期中）已知正数x 、y 满足1x y +=，则：（1）22xy +的最小值为________．（2）若14a x y+>恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】12(),9-¥ 【解析】(1)因为正数x ､y 满足1x y +=,所以21()24x y xy +£=,当且仅当12x y ==时取等号,所以2221()2122x y x y xy xy =+-=-³+;(2)因为正数x ､y 满足1x y +=,14144()1459x y x y x y x y y x\+=++=+++³+=,当且仅当4x y y x =,即12,33x y ==时取等号,所以9a <;故答案为:()1;,92-¥五、解答题22．（2021·全国高一课时练习）已知a ，b ，c 为任意实数，求证：222a b c ab bc ca ++++…．【答案】见解析【解析】∵222a b ab +…，22222,2b c bc c a ca ++……，∴()22222()a b c ab bc ca ++++…．即222a b c ab bc ca ++++…．当且仅当a b c ==时，等号成立．23．（2021·全国）设a ，b ，c 都是正数，求证：bc ca ab a b c a b c++++…．【答案】详见解析【解析】证明：∵a ，b ，c 都是正数，∴由重要不等式可得：2bc ca c a b +³①，当且仅当bc ac a b =时等号成立，即a b =；2bc ab b a c +³②，当且仅当bc ab a c =时等号成立，即a c =；2ac ab a b c +³=③，当且仅当ac ab b c =时等号成立，即b c =；∴①+②+③得：22()bc ca ab a b c a b c æö++³++ç÷èø∴bc ca ab a b c a b c++++…；当且仅当a b c ==时等号成立.24．（2021·全国高一课时练习）已知a>0，b>0，a ＋b ＝1，求证：11119a b æöæö++³ç÷ç÷èøèø.【答案】证明见解析【解析】证明：法一：因为a>0，b>0，a ＋b ＝1，所以1＋1a ＝1＋a b a +＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋a b，故11112252549b a b a a b a b a b æöæöæöæöæö++=++=++³+=ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèø.所以11119a b æöæö++³ç÷ç÷èøèø（当且仅当12a b ==时取等号）.法二：111111211111a b a b a b ab ab ab ab +æöæö++=+++=++=+ç÷ç÷èøèø，因为a ，b 为正数，a ＋b ＝1，所以ab≤2124a b +æö=ç÷èø，于是14ab ³，28ab ³，因此1111189a b æöæö++³+=ç÷ç÷èøèø（当且仅当12a b ==时取等号）.25．（2021·全国高一课时练习）用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？【答案】矩形的长、宽都为10m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m .【解析】设矩形菜园的长为m x ，宽为m y ，则100xy =，篱笆的长为()2x y m +.由基本不等式可得()2240x y +³´=，当且仅当10x y ==时，等号成立，因此，这个矩形的长、宽都为10m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m .26．（2021·浙江高一单元测试）(1)已知x >3，求y =x +4x 3的最小值，并求取到最小值时x 的值；(2)已知x >0，y >0，x 2+y 3=2，求xy 的最大值，并求取到最大值时x 、y 的值．【答案】(1)当x =5时，y 的最小值为7．(2) x =2，y =3时，xy 的最大值为6．【解析】(1)已知x >3，则：x ―3>0，故：y =x +4x 3=x ―3+4x 3+3≥3=7，当且仅当：x ―3=4x3，解得：x =5，即：当x =5时，y 的最小值为7．(2)已知x >0，y >0，x 2+y 3=2，则：x 2+y 3≥解得：xy ≤6，即：x 2=y 3=1，解得：x =2，y =3时，xy 的最大值为6．27．（2021·浙江高一单元测试）已知0,0x y >>且191x y +=，求使不等式x y m +³恒成立的实数m 的取值范围．【答案】16m ….【解析】由191x y +=，则19()x y x y x y æö+=++ç÷èø910x y y x =++1016+=…．当且仅当169x y x y y x +=ìïí=ïî即412x y =ìí=î时取到最小值16．若x y m +…恒成立，则16m …．。
考点48 基本不等式(练习)(解析版)-2021年高考数学复习一轮复习笔记
考点48 基本不等式(练习)【题组一 直接型】1．若a ，b 都是正数，且2a b +=，则()()11a b ++的最大值为 。
【答案】4【解析】由题意，可知：2211(1)(1)421122a b a b +++⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++，当且仅当11a b +=+即1a b ==时取等号；2．已知数列{}n a 是等差数列，且0n a >，若12100500a a a ++⋯+=，则5051a a ⋅的最大值_____. 【答案】25 【解析】()505112100505110050010,2a a a a a a a +++⋯+==⇒+=n a >，∴2505110252a a ⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当50515a a ==时取等号.故答案为：25.3．若102a <<，则()12a a -的最大值是 。
【答案】1 8【解析】102a <<，故120a ->，则()()()()221211112212?2228a a a a a a ⎛⎫+--=-≤= ⎪⎝⎭，当14a =时取“=”【题组二 换1型】1．正实数,x y 满足：21x y +=，则21x y+的最小值为_____. 【答案】9【解析】()21212225559y x x y xy x y x y +=++=++⎛⎫≥+≥+ ⎝⎭=⎪，当且仅当13x y == 时取等号．故答案为：9． 2．已知0,0a b >>，122a b+=，则a b +的最小值为_______________；【答案】32+【解析】采用常数1的替换，()1121213332222b a a b a b a b a b ⎛+⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当2b a a b =即1222a b ==时等号成立，所以答案为32+． 3.若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c的最小值是________． 【答案】 3【解析】 ∵a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，∴a ＋b ＋c ＋1＝3，且a ＋1>0，b ＋c >0.∴4a ＋1＋1b ＋c ＝13·(a ＋1＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫4a ＋1＋1b ＋c ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4(b ＋c )a ＋1＋a ＋1b ＋c ≥13(5＋4)＝3. 当且仅当a ＋1＝2(b ＋c )，即a ＝1，b ＋c ＝1时，等号成立． 4．已知1,0,2a b a b >>+=，则1112a b+-的最小值为 。