结构力学 虚功道理最小势能道理解题示例

最小势能原理、虚功原理解题示例
最小势能原理：在给定外载荷的作用下，对于稳定平衡系统，在满足位移
边界条件的所有各组位移中，实际位移使弹性系统的总势能最小。

例2.1
如图2.1所示桁架结构，各杆的横截面积均为A ，弹性模量均为
E ，在节点1处作用水平集中力P ，试用最小势能原理求各杆的内力。

图2.1
解：令在外力作用下，节点1在x 向的位移为，在y 向的位移为。

x u y u 则有：
杆号
杆长杆变形
1-2
2.5a
cos sin 0.60.8x y x y u u u u αα-=-1-3
2.236a
0.4470.894x y u u -1-4
2.236a
0.4470.894x y u u --杆应变能的表达式为：
2
2EA U L L
=
∆则系统的总势能为：
()()()(
)
222220.60.80.4470.8942 2.52 2.2360.4470.8942 2.2360.1610.1920.486i x
x y x y x y x x x y y x
U Pu EA EA
u u u u a a
EA
u u Pu a EA u u u u Pu a
∏=-=
-+-⨯⨯+---⨯=-+-∑由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有：
0;0x y
u u ∂∏∂∏
==∂∂即：
()()0.3230.19200.1920.9720x y x y EA
u u P a EA
u u a
--=-+=解得：
3.510.694x y Pa u EA Pa u EA
=
=
杆的内力可由公式：求得，故各杆的内力为：EA
N L L
=
∆1213140.620.4250.979N P
N P
N P
---===-例2.2
如图2.2所示的梁，其上作用有均布载荷q ，试用最小势能原理求
其挠度曲线。

图2.2
解：令梁的挠度函数为，它必须满足以下几个条件：
()x ω
1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；
2、由于有均布载荷q 的作用，故应为x 的4次多项式。

()x ω故，考虑到梁左侧为固支，可设：
()()
22012x x a a x a x ω=--梁右侧需满足：
()|0
x L x ω==且梁右侧没承受弯矩，有：
（力的边界条件）
()
220x L
d x dx ω==代入边界条件，有：
()342
120.60.4x x L a L x L L ω⎛⎫=-+ ⎪
⎝
⎭等截面梁的弯曲应变能表达式为：2
2201
2L z d U EJ dx dx ω⎛⎫= ⎪⎝⎭
⎰
【根据平面假设，梁在受弯曲变形后，其横截面仍保持为平面，它一方面
有挠度，一方面横截面在梁变形过程中旋转了一个角度
，由于该转角()x ωd dx
ω
的存在，使得距离中性轴为y 处的x 方向的位移为，应变d u y
dx
ω
=-，弯曲应力为，因此，等截面梁的弯曲应变能为：
22x d y dx ωε=-22x d yE dx
ω
σ=-】
2
2
2222
220011112222L L x x x z V V A
d d U dV E dV E dx y dA EJ dx dx dx ωωσεε⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰则系统的总势能为：
()()()2220
012L
L d x EJ dx q x x dx dx ωω⎧⎫⎡⎤⎪⎪
∏=-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭
⎰
⎰由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有：
δ∏=又：
()()()()()()()()222
20044
0034342211122009.60.60.40.60.40
L
L
L L L L d x d EJ x dx q x x dx dx dx d x EJ x dx q x x dx dx a x x x x EJ L x a dx qL x a dx L L L L L ωδδωδωωδωδωδδ⎡⎤∏=-⎢⎥⎣⎦
=-⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰【】()231231.2 1.6x x x L x a L L δωδ⎛⎫
=-+ ⎪⎝
⎭由于变分可取任意值，故有：
119.69.6qL EJa qL
a EJ
=⇒
=
所以：
()2
342
20.60.49.6qL x x x x EJ
L L ω⎛⎫=
-+ ⎪
⎝
⎭虚功原理：当弹性体在外载荷作用下处于平衡状态时，对任意为约束所容
许的虚位移，外力虚功等于内力虚功。

虚功原理又称为虚位移原理。

例2.3 试用虚功原理求如图2.3所示梁的位移。

P
图2.3
解：令在外载荷P 作用下，梁的转角为，则各杆的变形为：
α12323L L L L L L α
α
α
∆=∆=∆=给梁施加一个虚位移：δα
则外力虚功为：
72
W PL δδα
=虚应变能为：
()()()123231223314EA EA EA U L L L L L L L L L EAL EAL δδαδαδααδααδα
=
∆+∆+∆=+⨯+⨯=由虚功原理，有：，即：
W U δδ=7
142
4P
PL EAL EA
δααδαα=⇒=
故梁的位移为：
4Px d x EA
α==
图2.4
【虚功原理的其它例题可参见理论力学（静力学）第四章第7节】
例2.2 若用虚功原理求解，其步骤如下：
解：令梁的挠度函数为，它必须满足以下几个条件：
()x ω1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；
2、由于有均布载荷q 的作用，故应为x 的4次多项式。

()x ω故，考虑到梁左侧为固支，可设：
()()
22012x x a a x a x ω=--梁右侧需满足：
()|0
x L x ω==且梁右侧没承受弯矩，有：
()
22
0x L
d x dx ω==代入边界条件，有：
()342
120.60.4x x L a L x L L ω⎛⎫=-+ ⎪
⎝
⎭等截面梁的弯曲应变能表达式为：2
220
1
2L
z d U EJ dx dx ω⎛⎫= ⎪⎝⎭
⎰
给梁施加一个虚位移：()342
120.60.4x x x a L x L L δωδ⎛⎫=-+ ⎪
⎝
⎭则其外力虚功为：
()()0L
W q x x dx
δδω=⎰虚应变能为：
()()222
2
0L
d x d U EJ x dx dx dx ωδδω⎡⎤
=⎢⎥⎣
⎦⎰
由虚功原理，有：，即：
W U δδ=()
()()()4400343422
11122009.60.60.40.60.4L
L L L d x EJ x dx q x x dx dx a x x x x EJ L x a dx qL x a dx L L L L L ωδωδωδδ=⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎰⎰⎰⎰由于虚位移是任意的，故：
119.69.6qL
EJa qL
a EJ
=⇒
=
所以：
()2
342
20.60.49.6qL x x x x EJ
L L ω⎛⎫=
-+ ⎪
⎝
⎭【由此可以看出，虚位移原理和最小势能原理是一致的，都是从能量的角
度来阐述超静定结构在平衡状态所需满足的条件，即用能量方程来替代变形协
调条件。

在做题时，个人觉得最小势能原理具有更好的操作性。

】。