2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题5 平面向量 第33练含解析
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积课件文
题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 求向量的模
例2 (1)(2016· 南京、盐城调研)在△ABC 中，A＝120° ，AB＝4.若点 D 在
2 7 → → 3 边 BC 上，且BD＝2DC，AD＝ 3 ，则 AC 的长为____.
答案 解析
(2)(2016· 江苏启东中学阶段测试 )已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a
③(Байду номын сангаас－b)2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2；
④若a· b＝0，则a＝0，b＝0.
1 个. 其中正确的有____
答案 解析
→ → －16 2.(教材改编)已知△ABC 中， BC＝4， AC＝8， ∠C＝60° ， 则BC· CA＝_______.
答案 解析
→ → 画图可知向量BC与CA夹角为角 C 的补角(图略)，
跟踪训练 1
→ 3 1 3 1 → (1)(2016· 全国丙卷改编)已知向量BA＝ ， BC ＝ ， ， ， 2 2 2 2
30° 则∠ABC＝________.
答案 解析
→ → ∵|BA|＝1，|BC|＝1，
→ → BA· BC 3 cos∠ABC＝ ＝2， → → |BA|· |BC|
1 → → 故BC· CA＝BC×ACcos(π－C)＝4×8×(－2)＝－16.
π 3.(教材改编)已知向量 a＝(1， 3)，b＝(3，m).若向量 a，b 的夹角为6，则
3 实数 m＝_____.
答案 解析
∵a· b＝(1， 3)· (3，m)＝3＋ 3m，
π 又 a· b＝ 1 ＋ 3 × 3 ＋m ×cos 6，
→ → → → → ∴|BC|min＝ 6. ≥2|AB|· |AC|－2AB· AC＝6，
(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题5.3_平面向量的数量积(测)(有解析)
专题5.3 平面向量的数量积一、填空题1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝【解析】因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD ·AC ＝【解析】由四边形ABCD 是平行四边形，知AC ＝AB ＋AD ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故AD ·AC ＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为 【解析】由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则－λ2＋λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)，4．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为5．(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ·BC 的值为【解析】如图所示，AF ＝AD ＋DF .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD ＝12AB ，DF＝12AC ＋14AC ＝34AC ，所以AF ＝12AB ＋34AC .又BC ＝AC －AB ，则AF ·BC ＝12AB ＋34AC ·(AC －AB )＝12AB ·AC －12AB 2＋34AC 2－34AC ·AB ＝34AC 2－12AB 2－14AC ·AB .又|AB |＝|AC |＝1，∠BAC ＝60°，故AF ·BC ＝34－12－14×1×1×12＝18.6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R ，若BQ ·CP ＝－32，则λ＝7．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝________.【解析】由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－2＝8 2.8．已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．【解析】∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3. 9．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．【解析】a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.10.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ·AN 的最大值为________．【解析】设AN ＝λAB ＋μAD ，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.AM ＝AD ＋12DC＝12AB ＋AD .所以AM ·AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AB ＋AD ·(λAB ＋μAD )＝λ2AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AB ·AD ＋μAD 2＝λ2×4＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ2×2×2×12＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤AM ·AN ≤9，所以当λ＝μ＝1时，AM ·AN 有最大值9，此时，N 位于C 点．二、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA ·(AB －AC )＝18，求边c 的长． 解：(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )， 对于△ABC ，A ＋B ＝π－C,0＜C ＜π， ∴sin(A ＋B )＝sin C ， ∴m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，∴sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b . ∵CA ·(AB －AC )＝18， ∴CA ·CB ＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， ∴c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，∴c ＝6.。
2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义教师版文档第
1.向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]. 2.平面向量的数量积3.平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角.则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (4)cos θ＝a ·b |a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.4.平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝a ·(λb )＝λ(a·b )＝λa·b (λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离AB ＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 【知识拓展】1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b >0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b <0且a ，b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.( × )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × )(4)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形.( × ) (5)两个向量的夹角的范围是[0，π2].( × )1.设a ，b ，c 为平面向量，有下面几个命题： ①a ·(b －c )＝a·b －a·c ； ②(a·b )·c ＝a·(b·c )；③(a －b )2＝|a|2－2|a||b |＋|b |2； ④若a·b ＝0，则a ＝0，b ＝0. 其中正确的有________个. 答案 1解析 由向量的数量积的性质知①正确；由向量的数量积的运算不满足结合律知②不正确；由(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝|a |2－2|a||b |cos θ＋|b |2知③不正确；对于④，∵a·b ＝|a||b |·cos θ＝0，∴|a |＝0或|b |＝0或cos θ＝0.∴a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，故④不正确.2.(教材改编)已知△ABC 中，BC ＝4，AC ＝8，∠C ＝60°，则BC →·CA →＝________. 答案 －16解析 画图可知向量BC →与CA →夹角为角C 的补角(图略)，故BC →·CA →＝BC ×AC cos(π－C )＝4×8×(－12)＝－16.3.(教材改编)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m ).若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝________.答案3解析 ∵a·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ， 又a·b ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴3＋3m ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴m ＝ 3.4.(教材改编)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(1，1)，若向量b ⊥(a ＋λb )，则实数λ的值是________. 答案 －3解析 b ·(a ＋λb )＝b·a ＋λb·b ＝2×1＋4×1＋2λ＝0⇒λ＝－3.5.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点M ，AB ＝2，AD ＝1，且MA →·MB →＝－16，则AB →·AD →＝________.答案 34解析 因为AM →＝23AE →＝23(AD →＋12AB →)＝23AD →＋13AB →， MB →＝23DB →＝23(AB →－AD →)，所以AM →·MB →＝(23AD →＋13AB →)·23(AB →－AD →)＝16，所以AB →·AD →＝34.题型一 平面向量数量积的运算例1 (1)(2016·江苏南京开学测试)已知在▱ABCD 中，AD ＝2，∠BAD ＝60°.若E 为DC 的中点，且AE →·BD →＝1，则BD →·BE →的值为________.(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________. 答案 (1)3 (2)1 1解析 (1)设AB ＝m (m >0)，以向量AB →，AD →为基底，在▱ABCD 中，AB ＝m ，AD ＝2，∠BAD ＝60°，则AE →·BD →＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AB →·AD →－12AB →2＝4－12m －12m 2，因为AE →·BD →＝1，得m 2＋m －6＝0，因为m >0，所以m ＝2，所以BD →·BE →＝BD →·(BC →＋CE →)＝(AD →－AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－32AB →·AD →＋12AB →2＝4－3＋2＝3，故BD →·BE →＝3.(2)方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，设E (t ，0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1，0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1，0)＝t ≤1， 故DE →·DC →的最大值为1.方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， ∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.思维升华 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解.(1)(2016·全国丙卷改编)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝________.(2)(2015·天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________.答案 (1)30° (2)2918解析 (1)∵|BA →|＝1，|BC →|＝1， cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32，又∵0°≤∠ABC ≤180°，∴∠ABC ＝30°.(2)在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1， ∠ABC ＝60°，∴CD ＝1，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16DC →，∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋23BC →·⎝⎛⎭⎫AD ，→＋16DC →＝AB →·AD →＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos 60°＋2×16＋23×12×cos 60°＋23×16×12×cos 120°＝2918.题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 求向量的模例2 (1)(2016·南京、盐城调研)在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝4.若点D 在边BC 上，且BD →＝2DC →，AD ＝273，则AC 的长为________.答案 3解析 令AC ＝b ，由题意得 AB →·AC →＝4b cos 120°＝－2b ， 因为点D 在边BC 上， 且BD →＝2DC →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，从而AD →2＝(13AB →＋23AC →)2，又因为AD ＝273，所以289＝169＋4b 29－8b9，整理得b 2－2b －3＝0，解之得b ＝3(b ＝－1舍去)，即AC 的长为3.(2)(2016·江苏启东中学阶段测试)已知向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a 与b 的夹角等于150°，b 与c 的夹角等于120°，|c |＝2，求|a |，|b |. 解 由a ＋b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－c ，b ＋c ＝－a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋2a·b ＝c 2，b 2＋c 2＋2b·c ＝a 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|a |2＋|b |2＋2|a||b |cos 150°＝4，|b |2＋4＋2·2·|b |cos 120°＝|a |2， 解之得|a |＝23，|b |＝4. 命题点2 求向量的夹角例3 (1)(2016·南京、盐城调研)已知向量a ，b 满足a ＝(4，－3)，|b |＝1，|a －b |＝21，则向量a ，b 的夹角为________.(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是____________.答案 (1)π3(2)⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3 解析 (1)设向量a ，b 的夹角为θ，由|a －b |＝21得， 21＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝25＋1－10cos θ， 即cos θ＝12，所以向量a ，b 的夹角为π3.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c ＜0，即(2k －3，－6)·(2，1)＜0， ∴4k －6－6＜0， ∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3. 思维升华 平面向量数量积求解问题的策略 (1)求两向量的夹角：cos θ＝a·b|a||b |，要注意θ∈[0，π]. (2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a·a ＝|a |2或|a |＝a·a . ②|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a·b ＋b 2. ③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.(1)(2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是________. 答案 (1)9 (2) 6解析 (1)因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.(2)∵AB →·AC →＝－1， ∴|AB →|·|AC →|·cos 120°＝－1， 即|AB →|·|AC →|＝2，∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2 ≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6， ∴|BC →|min ＝ 6.题型三 平面向量与三角函数例4 (2016·南通调研)已知△ABC 是锐角三角形，向量m ＝(cos(A ＋π3)，sin(A ＋π3))，n ＝(cos B ，sin B )，且m ⊥n . (1)求A －B 的值；(2)若cos B ＝35，AC ＝8，求BC 的长.解 (1) 因为m ⊥n ，所以m·n ＝cos(A ＋π3)cos B ＋sin(A ＋π3)sin B＝cos(A ＋π3－B )＝0.又A ，B ∈(0，π2)，所以A ＋π3－B ∈(－π6，5π6)，所以A ＋π3－B ＝π2，即A －B ＝π6.(2)因为cos B ＝35，B ∈(0，π2)，所以sin B ＝45.所以sin A ＝sin(B ＋π6)＝sin B cos π6＋cos B sin π6＝45×32＋35×12＝43＋310.由正弦定理，得BC ＝sin Asin B ·AC ＝43＋31045×8＝43＋3.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.在△ABC 中，已知C ＝π6，m ＝(sin A ，1)，n ＝(1，cos B )，且m ⊥n .(1)求A 的值；(2)若点D 在边BC 上，且3BD →＝BC →，AD ＝13，求△ABC 的面积. 解 (1)由题意知m·n ＝sin A ＋cos B ＝0， 因为C ＝π6，A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＋cos(5π6－A )＝0，即sin A －32cos A ＋12sin A ＝0， 即3sin(A －π6)＝0.又0<A <5π6，所以A －π6∈(－π6，2π3)，所以A －π6＝0，即A ＝π6.(2)设|BD →|＝x ，由3BD →＝BC →，得|BC →|＝3x ， 由(1)知A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝3x ，B ＝2π3.在△ABD 中，由余弦定理，得(13)2＝(3x )2＋x 2－2·3x ·x cos 2π3，解得x ＝1(舍负)，所以AB ＝BC ＝3.所以S △ABC ＝12BA ·BC sin B＝12×3×3×sin 2π3＝934.5.利用数量积求向量夹角典例 已知直线y ＝2x 上一点P 的横坐标为a ，直线外有两个点A (－1，1)，B (3，3).求使向量P A →与PB →夹角为钝角的充要条件. 错解展示现场纠错解 错解中，cos θ<0包含了θ＝π， 即P A →，PB →反向的情况，此时a ＝1，故P A →，PB →夹角为钝角的充要条件是0<a <2且a ≠1.纠错心得 利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况.1.(2016·苏州期末)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x ＝________. 答案 9解析 先由a ⊥(a －b )，得a·(a －b )＝0，即a 2＝a·b ，再代入数据. 把a ＝(1，2)，b ＝(x ，－2)，代入a 2＝a·b ，得5＝x －4，所以x ＝9. 2.若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝________. 答案 2 3解析 |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 60° ＝4＋4＋2×2×2×12＝12，|a ＋b |＝2 3.3.已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 夹角的正弦值为________. 答案32解析 ∵a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝22＋2×1×cos 〈a ，b 〉＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝32. 4.(2016·常州期末)已知平面向量a ＝(4x ，2x)，b ＝(1，2x －22x )，x ∈R ，若a ⊥b ，则|a －b |＝________.答案 2解析 因为a ⊥b ，所以4x＋2x×2x －22x ＝4x ＋2x－2＝0，解得2x ＝－2(舍)或2x ＝1，故a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)， 故a －b ＝(0，2)，故|a －b |＝2.5.(2017·江苏扬州中学质检)在△ABC 中，若AB ＝1，BC ＝2，CA ＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是________. 答案 －5解析 AB →＋BC →＋CA →＝0两边平方得AB →2＋BC →2＋CA →2＋2AB →·BC →＋2BC →·CA →＋2CA →·AB →＝0， 又AB ＝1，BC ＝2，CA ＝5，从而有2AB →·BC →＋2BC →·CA →＋2CA →·AB →＝－10， 故AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－5.6.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________.答案2解析 依题意得AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(AF →－AB →)＝AB →·AF →－AB →2＋BE →·AF →－BE →·AB →＝2－2＋2－0＝ 2.7.(2016·南京调研)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝______.答案 32解析 方法一 设AB →＝4a ，AD →＝3b ，其中|a |＝|b |＝1，则DC →＝2a ，AM →＝2b . 由AC →·BM →＝－3得(3b ＋2a )·(2b －4a )＝－3， 化简得a·b ＝18，所以AB →·AD →＝12a·b ＝32.方法二 建立平面直角坐标系，使得A (0，0)，B (4，0)，设D (3cos α，3sin α)，则C (3cos α＋2，3sin α)，M (2cos α，2sin α).由AC →·BM →＝－3，得(3cos α＋2，3sin α)·(2cos α－4，2sin α)＝－3，化简得cos α＝18.所以AB →·AD →＝12cos α＝32.8.(2016·南通调研)已知边长为6的正三角形ABC ，BD →＝12BC →，AE →＝13AC →，AD 与BE 交于点P ，则PB →·PD →的值为________. 答案274解析 如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (－3，0)，C (3，0)，则D (0，0)，A (0，33)，E (1， 23)，P (0，332)，所以PB →·PD →＝274.9.已知在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的中点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝________. 答案 4解析 由题意可建立如图所示的坐标系，可得A (2，0)，B (0，2)，P (1，1)，C (0，0)，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝CP →·(CB →＋CA →)＝2CP →2＝4.10.(2016·南京、盐城调研)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos ∠BAC ＝13，DC →＝2BD →，则AD →·BC→的值为________.答案 －2解析 AD →·BC →＝(AC →＋CD →)·BC →＝(AC →＋23CB →)·BC →＝[AC →＋23(AB →－AC →)]·BC →＝(23AB →＋13AC →)·(AC →－AB →)＝－23|AB →|2＋13AB →·AC →＋13|AC →|2＝－6＋1＋3＝－2.11.(2016·苏锡常镇调研)在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数f (x )＝x 2＋4x (x >0)的图象上任意一点，过M 点向直线y ＝x 和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA →·MB →＝________. 答案 －2解析 设M (x 0，y 0)为函数f (x )＝x 2＋4x (x >0)的图象上任意一点，由题设知B (0，y 0)，A (x 0＋y 02，x 0＋y 02)，从而MA →＝(y 0－x 02，x 0－y 02)，MB →＝(－x 0，0)，故MA →·MB →＝x 20－x 0y 02，因为M (x 0，y 0)为函数f (x )＝x 2＋4x (x >0)的图象上任意一点，所以x 0y 0＝x 20＋4，从而有MA →·MB →＝x 20－x 0y 02＝－42＝－2.*12.(2016·苏北四市调研)已知|OA →|＝|OB →|＝2，且OA →·OB →＝1，若点C 满足|OA →＋CB →|＝1，则|OC →|的取值范围是____________. 答案 [6－1，6＋1]解析 因为OA →·OB →＝|OA →|×|OB →|×cos 〈OA →，OB →〉＝1，|OA →|＝|OB →|＝2，所以cos 〈OA →，OB →〉＝12，所以〈OA →，OB →〉＝π3，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则O (0，0)，A (2，0)，B (22，62). 令OP →＝OA →＋OB →＝(322，62)，则|OP →|＝6，因为|OA →＋CB →|＝|OA →＋OB →－OC →|＝|OP →－OC →|＝1，所以点C 的运动轨迹是以点P 为圆心，1为半径的圆，而|OP →|＝6，则|OC →|的取值范围为[6－1，6＋1].13.设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析 设Q (c ，d )，由新的运算可得 OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2x ，12sin x )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12sin x )，由⎩⎨⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin(12c －π6)，所以y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)，易知y ＝f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12. 14.(2016·江苏如东中学质检)在△ABC 中，B ＝π4，D 是边BC 上一点，AD ＝5，CD ＝3，AC ＝7.(1)求∠ADC 的值； (2)求BA →·DA →的值.解 (1)在△ADC 中，由余弦定理得 AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos ∠ADC ＝AC 2， 52＋32－2×5×3×cos ∠ADC ＝72， 所以cos ∠ADC ＝－12.又因为0<∠ADC <π，所以∠ADC ＝2π3.(2)由(1)得∠ADB ＝π3.在△ABD 中，由正弦定理AD sin ∠ABD ＝ABsin ∠ADB ，得AB ＝AD sin ∠ABD×sin ∠ADB ＝562.所以BA →·DA →＝562×5×cos(π－π4－π3)＝25(3－3)4.15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影.解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0＜A ＜π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B， 则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a ＞b ，所以A ＞B ，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1，故向量BA →在BC →方向上的投影为 |BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.。
2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义教师版文档第
1.向量的有关概念2.向量的线性运算3.向量共线定理对于两个向量a (a ≠0)，b ，如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa . 【知识拓展】1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ―――→＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →).3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关.( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( √ )1.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是________. 答案 ①解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误.2.(教材改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝______________. 答案 －BC →＋12BA →解析 如图，CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.3.(教材改编)若2(y －13a )－12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量y ＝________. 答案421a －17b ＋17c 解析 由2(y －13a )－12(c ＋b －3y )＋b ＝0，得2y －23a －12c －12b ＋32y ＋b ＝0，即72y －23a －12c ＋12b ＝0， 所以y ＝421a －17b ＋17c .4.(教材改编)已知实数m ，n 和向量a ，b ，给出下列命题： ①m (a －b )＝m a －m b ； ②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ； ④若m a ＝n a (a ≠0)，则m ＝n . 其中正确的命题是________. 答案 ①②④解析 若m ＝0，则m a ＝m b ＝0，但a 与b 不一定相等，故③不正确.5.(2016·江苏徐州四校联考)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝______. 答案 23解析 由AD →＝2DB →，得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，结合CD →＝13CA →＋λCB →，知λ＝23.题型一 平面向量的概念 例1 给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________. 答案 ②③解析 ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. ②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，∴AB →＝DC →.③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③. 思维升华 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线.设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0. 上述命题中，假命题的个数是________. 答案 3解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3. 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算例2 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝__________. (2)(2015·课标全国Ⅰ改编)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则AD →＝____________. 答案 (1)23b ＋13c (2)－13AB →＋43AC →解析 (1)∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋A B →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .(2)∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.命题点2 根据向量线性运算求参数例3 (1)(2017·江苏昆山中学月考)如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝________.(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是______________. 答案 (1)－2 (2)⎝⎛⎭⎫－13，0 解析 (1)直接利用向量共线定理，得BC →＝3DC →，则AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋3DC →＝AB →＋3(AC →－AD →) ＝AB →＋3AC →－3AD →， AC →＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n ＝32，那么m －n ＝－12－32＝－2.(2)设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →， ∴x ＝－y ，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0. 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为________.答案 29解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →， ∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →) ＝λ⎝⎛⎭⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝29.题型三 共线定理的应用例4 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线.又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线. (2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线.设两个向量a 与b 不共线.(1)试证：起点相同的三个向量a ，b,3a －2b 的终点在同一条直线上(a ≠b )； (2)求实数k ，使得k a ＋b 与2a ＋k b 共线. (1)证明 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝3a －2b . 因为AC →＝OC →－OA →＝(3a －2b )－a ＝2(a －b )，AB →＝OB →－OA →＝b －a ，所以AC →＝－2AB →，故AC →，AB →共线.又AC →，AB →有公共起点A ，所以A ，B ，C 在同一条直线上. (2)解 因为k a ＋b 与2a ＋k b 共线，所以设k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )，λ∈R ，即k a ＋b ＝2λa ＋kλb ，又a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2λ，1＝kλ，所以k ＝±2.4.容易忽视的零向量典例 下列叙述错误的是________. ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .②若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同. ③|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同.④向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . ⑤AB →＋BA →＝0. ⑥若λa ＝λb ，则a ＝b . 错解展示解析 ⑤中两个向量的和仍是一个向量，∴AB →＋BA →＝0. 答案 ⑤ 现场纠错解析 对于①，当b ＝0时，a 不一定与c 平行.对于②，当a ＋b ＝0时，其方向任意，它与a ，b 的方向都 不相同. 对于③，当a ，b 之一为零向量时结论不成立.对于④，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b ≠0或a ≠0但b ＝0时，λ不存在. 对于⑤，由于两个向量之和仍是一个向量， 所以AB →＋BA →＝0.对于⑥，当λ＝0时，不管a 与b 的大小与方向如何，都有λa ＝λb ，此时不一定有a ＝b . 故①②③④⑤⑥均错. 答案 ①②③④⑤⑥纠错心得 在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量.1.(2016·徐州模拟)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是________. ①a ＋b ＝0 ②a ＝b③a 与b 共线反向 ④存在正实数λ，使a ＝λb 答案 ④解析 因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线同向，故D 正确. 2.(教材改编)对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0成立”的____________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 必要不充分解析 由a ＋b ＝0，可得a ＝－b ，即得a ∥b ，但a ∥b ，不一定有a ＝－b ，所以“a ∥b ”是“a ＋b ＝0成立”的必要不充分条件.3.已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝________. 答案 0解析 依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.4.(教材改编)已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题： ①AD →＝－12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的命题是________.(填序号) 答案 ①②③④解析 AD →＝AC →＋CD →＝－CA →－DC →＝－12a －b ，BE →＝BC →＋CE →＝a ＋12b ，CF →＝12(CB →＋CA →)＝－12a ＋12b ，所以AD →＋BE →＋CF →＝0.5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________.答案 2解析 ∵O 为BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2.6.设P 为锐角△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)，AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，若cos ∠BAC ＝25，则k ＝________. 答案514解析 取BC 的中点D ，连结PD ，AD ， 则PD ⊥BC ，AB →＋AC →＝2AD →， ∵AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，∴AP →＝2kAD →，∴A ，P ，D 三点共线， ∴AB ＝AC ，∴cos ∠BAC ＝cos ∠DPC ＝DP PC ＝DP P A ＝25，∴AP ＝57AD ，∴2k ＝57，解得k ＝514.7.(2016·江苏无锡一中质检)在△ABC 中，D 在线段BC 上，BD →＝2DC →.若AD →＝mAB →＋nAC →，则mn ＝________. 答案 12解析 因为AD →＝AB →＋BD →，AD →＝AC →＋CD →，BD →＝2DC →，所以AD →＝13AB →＋23AC →＝mAB →＋nAC →，所以m ＝13，n ＝23，所以m n ＝12.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.答案 135解析 如图，取单位向量i ，j ，则：a ＝i ＋2j ，b ＝2i －j ，c ＝3i ＋4j .∴c ＝x a ＋y b ＝x (i ＋2j )＋y (2i －j )＝(x ＋2y )i ＋(2x －y )j ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝3，2x －y ＝4， ∴⎩⎨⎧ x ＝115，y ＝25，∴x ＋y ＝135. 9.设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p的值是________.答案 －1解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线.设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.*10.设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则角B 的大小为________.答案 60°解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0.又GB →，GC →不共线，∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C .根据正弦定理知b ＝a ＝c ，∴△ABC 是等边三角形，则角B ＝60°.11.如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________.答案 3解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ， 从而⎩⎨⎧ －m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1m＝3. *12.已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ).(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明 (1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线.又∵BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线.(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →).又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。
江苏专版2018高考数学大一轮复习第六章平面向量与复数33平面向量的概念与线性运算课件文
0 b∥c，则a∥c.其中正确的个数是________ ． 【解析】对于①，a与b的长度可能不相同，故①错；对于
②，a与b的模相等，但方向不一定相同，故②错；对于③，向 量不能比较大小，故③错；对于④，若b＝0，则a与c不一定平 行，故④错．
3. ( 必修 4P57 习题 2 改编 ) 对于非零向量 a ， b ，“ a∥b”是 必要不充分 “a＋b＝0”成立的_________________( 从“充分不必要”“必 要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个 ) 条 件．
【备考策略】 1. 高考中以考查向量的概念与运算为主，其中共线向量、 垂直向量的充要条件，向量的模与夹角的计算尤为重要．解答 题会以向量为背景，与直线、圆、三角函数、不等式甚至与数 列交汇出现综合题．应突出向量的工具性． 2. 复数的考查以复数的基本概念、四则运算为主，一般以 小题形式出现，都为基础题．
变式
→ → → → → →＝ →＋ →＋ →＋ → .. 所以 所以 2 2CD CD ＝CA CA ＋CB CB ＋AD AD ＋BD BD → → →＝ →， 又因为 又因为AD AD ＝2 2DB DB ，
2. 几个特殊的向量 (1) 零向量： ________________ 长度为零的向量 ，记作 0 ，其方向是任意 的．
长度等于1个单位长度的向量． (2) 单位向量：__________________________
方向相同或相反的非零向量 (3) 平行向量：____________________________ ，平行向量 又称为共线向量，规定0与任一向量共线．
长度相等且方向相同的向量 ． (4) 相等向量：____________________________
【加练半小时】2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题5 平面向量 第31练 Word版含解析
1．(2016·佛山期中)已知点M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP→＝12MN →，则点P 的坐标是______________．2．(2016·南京一模)在△ABC 中，BD →＝2DC →.若AD →＝λ1AB →＋λ2AC →，则λ1λ2的值为______________．3．(2016·山西大学附中期中)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k 的值为________．4．(2016·哈尔滨三模)已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足OA →＋λOB →＋(1＋λ)OC →＝0，若△OAB 的面积与△OAC 的面积比值为3，则λ的值为________．5.如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λμ的值为________．6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 7．(2016·湖北七校联考)在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD →＝2DC →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)．若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是________．8．(2016·常州一模)在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于点G ，设AB→＝a ，AC →＝b ，则AG →＝______________.(用a ，b 表示) 9．(2016·南京二模)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若BE→＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.10．(2016·苏北四市一模)在△ABC 中，已知AC ＝3，∠A ＝45°，点D 满足CD →＝2DB →，且AD ＝13，则BC 的长为________．11．若P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝______________.12．已知向量OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是__________．13．(2016·厦门适应性考试)如图，在△ABC 中，AD →·BC →＝0，BC →＝3BD →，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N .若AM →＝λAB →，AN →＝μAC →(λ＞0，μ＞0)，则λ＋2μ的最小值是______________．14.(2016·沈阳期中)在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动(如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是______________．答案精析1．(－1，－32) 2.29 3.－13 4.12 5．3解析 ∵AP→＝AB →＋BP →，BP →＝13BD →＝13AD →－13AB →＝13×23AC →－13AB →＝29AC →－13AB →，∴AP→＝AB →＋29AC →－13AB →＝23AB →＋29AC →. 又AP→＝λAB →＋μAC →，∴λ＝23，μ＝29，∴λμ＝23×92＝3. 6.12解析 如图，DE→＝BE →－BD →＝23BC →－12BA → ＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝(12－23)AB →＋23AC →，又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，且AB →与AC →不共线， 所以λ1＝12－23，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12. 7．(0，13)解析 因为O 在线段CD 上，且BD→＝2DC →，设BO →＝λBC →，且23＜λ＜1，则AO →－AB →＝λ(AC →－AB →)，即AO →＝(1－λ)AB →＋λAC →.又AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x ＝1－λ∈(0，13)． 8.13a ＋13b解析 AG→＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB→＋λ2(BA →＋BC →)＝(1－λ2)AB →＋λ2(AC →－AB →) ＝(1－λ)AB→＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b ，又AG→＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m 2)AC →＋m 2(AB →－AC →) ＝(1－m )AC→＋m 2AB →＝m 2a ＋(1－m )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m 2，1－m ＝λ2，所以λ＝m ＝23，所以AG→＝13a ＋13b. 9.34解析 根据向量加法的平行四边形法则可知BE→＝12(BA →＋BO →)＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋14BD→，所以λ＝12，μ＝14，所以λ＋μ＝34.10．3解析 以A 为坐标原点，AC→的方向为x 轴的正方向建立直角坐标系，则C (3,0)，设B (x ，x )(x ＞0)，则由CD→＝2DB →，得D (2x ＋33，2x 3)，由AD ＝13，得x ＝3，所以BC＝(x －3)2＋x 2＝3. 11．{(－13，－23)}解析 P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )， Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎨⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n ，解得⎩⎨⎧m ＝－12，n ＝－7. 此时a ＝b ＝(－13，－23)． 12．k ＝1解析 若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB→，AC →共线，因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，所以1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1. 13.83解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB→＋13(AC →－AB →) ＝23AB →＋13AC →.设AD→＝xAM →＋yAN →(x ＋y ＝1)，则AD →＝xλAB →＋yμAC →， 则⎩⎪⎨⎪⎧xλ＝23，yμ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23x ，μ＝13y ，故λ＋2μ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y x ＋x y ＋1≥ 23⎝⎛⎭⎪⎫2＋2y x ·x y ＝83. 当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．14．－1,1]解析 设∠P AE ＝α，建立如图所示的直角坐标系，则A (0,0)，E (1,0)，D (0,1)， F (1.5,0.5)，P (cos α，sin α)(0°≤α≤90°)． ∵AP→＝λED →＋μAF →， ∴(cos α，sin α)＝λ(－1,1)＋μ(1.5,0.5)， ∴cos α＝－λ＋1.5μ，sin α＝λ＋0.5μ， ∴λ＝14(3sin α－cos α)，μ＝12(cos α＋sin α)， ∴2λ－μ＝sin α－cos α＝2sin(α－45°)． ∵0°≤α≤90°，∴－45°≤α－45°≤45°， ∴－22≤sin(α－45°)≤22， ∴－1≤2sin(α－45°)≤1. ∴2λ－μ的取值范围是－1,1]．。
2018年高考数学(江苏省专用)复习专题测试课件：第五章 平面向量 §5.2 平面向量的数量积
(江苏省专用)
§5.2 平面向量的数量积
五年高考
A组
自主命题·江苏卷题组
OA OB OC OC 1.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量 , , 的模分别为1,1, , 2 与OA 的夹角
OB OC OC 为α,且tan α=7, 与 的夹角为45°.若 = m +OA n (mOB ,n∈R),则m+n=
5sin θ),
因为 =3 ,所以P(5cos θ+2,5sin θ), PD CP
从而 =(5cos θ+2,5sin θ), =(5cos θ-6,5sin θ), AP BP 因为 · =2, AP BP 所以(5cos θ+2,5sin θ)· (5cos θ-6,5sin θ)=2,
7 2 10
2 10
∴| OM |=
又 OC =m OA +n OB = OM + ON ,| OA |=| OB |=1,
∴m= ,n= , ∴m+n=3.
5 4
7 4
2.(2014江苏,12,5分,0.49)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5, CP =3 PD, AP· BP =2,则
FD BE BF 由②③可得 · = · +3 =-1+ = . CE CF
2 1 = 2 ( 1 ( 1 1, 5 = + =DE 1 + + )= - DA AD )AB AC AB AB CE CD CB = CB AC AC 2 3 2 3 2 3 6 6 1 1 = BD + = BF DF + DA BC 2 3
(江苏版)备战2018高考数学模拟试卷分项 专题05 平面向量
第五章 平面向量1. 【南京市多校2017-2018学年高三上学期第一次段考】如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=，2DC BD =，则AD BC ⋅的值为 ．【答案】2- 【解析】 试题分析：2()()3221[()]()()333AD BC AC CD BC AC CB BCAC AB AC BC AB AC AC AB ⋅=+⋅=+⋅=+-⋅=+⋅-222116132333AB AB AC AC =-+⋅+=-++=-考点：向量数量积2.【常州北郊华罗庚江阴高中三校2018届高三联考】如图，正方形ABCD 中， E 为DC 的中点，若AD AC AE λμ=+，则λμ-的值为________【答案】-33．【徐州市2018届高三上学期期中】如图，在半径为2的扇形中，，为上的一点，若，则的值为______．【答案】点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.4．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】如图所示，在平行四边形ABCD 中， ,AP BD P ⊥为垂足，且1AP =，则AP AC ⋅=______________.【答案】2【解析】如图，延长AP ，过C 作延长线的垂线CE ，- 3 -所以AC 在AP 的方向投影为AE ，又1,2AP AE ==， 所以2AP AC AP AE ⋅=⋅=。
点睛：本题中采用向量数量积的几何意义解题，作出AC 在AP 的方向投影AE ，由O 为AC 中点，可知1,2AP AE ==，所以根据数量积的几何意义可知， 2AP AC AP AE ⋅=⋅=。
5．【南京市2018届高三数学上学期期初学情调研】在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120，BM BC λ=．若17·3AM BC =-，则实数λ的值为______． 【答案】136．【溧阳市2017-2018高三上调研测试（文）】已知2,3a b ==， ,a b 的夹角为120°，则a b +=________________．【答案】7【解析】由题意可得： 23cos1203a b ⋅=⨯⨯=-， 则：()2222423a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯=7．【溧阳市2017-2018高三上调研测试（文）】如图，在直角梯形ABCD 中，0//,90,4,AB CD ADC AB AD E ∠===为BC 中点，若·4A B A C =，则·A E B C =_______________．【答案】132-【解析】以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设()0CD m m =>，结合题意可得：()()((0,0,4,0,,,A B C m C则： ()(4,0,AB AC m ==， 故： 44,1AB AC m m ⋅==∴=，即： ()1,2C ，则： 5,22E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，据此有： ()521513,,3,2,12222AE BC AE BC ⎛⎫==-⋅=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭.8．【高邮市2018届高三期初文科】已知,i j 是夹角为3π的两个单位向量， 3,,a i j b ki j =-=+ 若2a b ⋅=，则k 的值为_______． 【答案】-99．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|2a －b|的值为____．- 5 -【答案】2【解析】因为1a =， 2b =， a 与b 的夹角为60，所以22212444412442a b a a b b -=-⋅+=-⨯⨯⨯+=，故22a b -=，故答案为2.点睛：本题主要考查了数量积的应用之求向量的模长，属于基础题；求向量模长常用的方法：利用公式22a a =，将模的运算转化为向量数量积的运算，同时须注意展开以后是含有a b ⋅，而不是a b ⋅.10．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】如图，在四边形ABCD 中， ABAD ⋅＝5，BD ＝4，O 为BD 的中点，且AO ＝3OC ，则CB CD ⋅＝__________．【答案】3-11．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】如图，在ABC ∆中， D 是BC 的中点， ,E F 是AD 上两个三等分点， ·2BE CE =， ·1BF CF =-，则·BACA =__________．【答案】7 【解析】,·BE CE =222242ED BD FD BD -=-=,·BF CF =222211,2FD BD FD BD -=-∴==,因此·BACA= 222297AD BD FD BD -=-= 12．【泰州中学2018届高三上学期开学考试】在ABC ∆中， 2,3AB BC AC ===，设O 是ABC ∆的内心，若AO p AB q AC =+，则pq的值为__________． 【答案】32-7 -考点：1、向量的线性运算；2、三角形内角平分线定理． 13．【泰州中学2018届高三上学期开学考试】矩形中，为矩形所在平面内一点，且满足，矩形对角线，则__________．【答案】14．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】如图所示的梯形中，如果=______.【答案】【解析】以,AB AD 为一组基底向量，则12AC AD DC AD AB =+=+， 23BM BA AM AD AB =+=-， 221221223323AC BM AD AB AD AB AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅-=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2129163323AB AD =⨯-⨯-⋅=- 32AB AD ∴⋅=15．【南通中学2018届高三10月月考】在中，，，，则的值为__________． 【答案】【解析】根据余弦定理得：，，.16．【南师附中2017届高三模拟一】如图所示的梯形ABCD 中，,4,3,2,2AB CD AB AD CD AM MD ====，如果·3AC BM =-，则·A B A D =__________.【答案】32考点：向量数量积- 9 -17．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】已知4a =， 3b =， a 与b 的夹角为120．则a b +=__________． 13【解析】因为22222||243243cos12013a b a b a b +=++⋅=++⨯⨯⨯︒=，所以 13a b +=。
2018年高考题和高考模拟题数学(理)——专题05立体几何分类汇编(解析版)
5．立体几何1．【2018年XX卷】已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ1【答案】D从而因为，所以即，选D.点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.2．【2018年XX卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.3．【2018年理新课标I卷】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D.【答案】A详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.学/科-网+4．【2018年理新课标I卷】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A. B.C. D. 2【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.详解：根据圆柱的三视图以与其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.5．【2018年全国卷Ⅲ理】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A. B. C. D.【答案】B详解：如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大，此时，，，,点M为三角形ABC的重心，，中，有，，，故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型。
江苏版2018年高考数学一轮复习专题5.2平面向量的基本定理及坐标表示测20171129376
专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示一、填空题1．已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(2，m)，若a∥b，则3a＋2b＝【解析】∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，∴b＝(2，－4)，∴3a＋2b＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．2．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是【解析】因为a与b方向相反，所以b＝ma，m<0，则有(4，x)＝m(x,1)，∴Error!解得m＝±2.又m<0，∴m＝－2，x＝m＝－2.3．已知在平行四边形ABCD中，AD＝(2,8)，AB＝(－3,4)，对角线AC与BD相交于点M，则AM＝1 1【解析】因为在平行四边形ABCD中，有AC＝AB＋AD，AM＝AC，所以AM＝(AB2 21 1 1＋AD)＝[(－3,4)＋(2,8)]＝×(－1,12)＝2 22 (－，6)4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝5．已知平行四边形ABCD中，AD＝(3,7)，AB＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则CO 的坐标为1 1【解析】AC＝AB＋AD＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC＝AC＝.∴CO＝2 (，5 )21.(－，－5)26．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC π＝，|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ＝4π【解析】因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C( ，)，又OC＝λOA＋μOB，所以2 24( 2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.7．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC＝________.1【解析】AQ＝PQ－PA＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC＝2AQ＝2(－3,2)＝(－6,4)．PC＝PA＋AC＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC＝3PC＝3(－2,7)＝(－6,21)．8．已知向量AC，AD和AB在正方形网格中的位置如图所示，若AC＝λAB＋μAD，则λμ＝________.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则AC＝(2，－2)，AB＝(1,2)，AD＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1,0)，即Error!解得Error!所以λμ＝－3.9．P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于________．【解析】P中，a＝(－1＋m,1＋2m)，Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．则Error!得Error!此时a＝b＝(－13，－23)．10．在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若AB＝λAM＋μAN，则λ＋μ＝________.二、解答题111．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设BA3＝a，BC＝b，试用a，b为基底表示向量EF，DF，CD.1 1 1解：EF＝EA＋AB＋BF＝－b－a＋b＝b－a，6 2 321 1 1DF＝DE＋EF＝－b＋＝b－a，6 (b－a)3 61 1 2CD＝CF＋FD＝－b－＝a－b.6 32 (b－a)2π12.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆3心的圆弧AB上运动．若OC＝x OA＋y OB，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．3。
(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示(练)
专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示【基础巩固】1． (必修4P73习题1)下列各组向量中，可以作为基底的是________(填序号)． ①e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)； ②e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)； ③e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)； ④e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34.【答案】②【解析】两个不共线的非零向量构成一组基底．2．(2017·无锡期末)已知在▱ABCD 中，AD →＝(2,8)，AB →＝(－3,4)，则AC →＝________. 【答案】(－1,12)【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →＝(－1, 12)．3．如下图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 可用基底e 1，e 2表示为________．【答案】－2e 1＋e 24．(2017·广州综测)已知向量a ＝(x,1)，b ＝(2，y )，若a ＋b ＝(1，－1)，则x ＋y ＝________. 【答案】－3【解析】因为(x,1)＋(2，y )＝(1，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝1，y ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，所以x ＋y＝－3.5．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．【答案】12【解析】AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.6．(2017·衡水中学月考)在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s ＝________. 【答案】0【解析】因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0.7．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________. 【答案】(－6,21)8．(2017·苏北四市期末)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)． 【答案】充要【解析】由题意得a ＋b ＝(2,2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件．9．(2017·四川十校联考改编)与向量a ＝(12,5)平行的单位向量为________． 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513【解析】设e 为所求的单位向量，则e ＝a |a |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513或e ＝－a |a |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513.10．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝________(用AB →，AC →表示)．【答案】16AC →＋12AB →【解析】如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →. 11．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ， v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________． 【答案】1212．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________(用e 1，e 2表示)．【答案】－23e 1＋512e 2【解析】如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.【能力提升】13．(2017·南通调研)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且B P →＝2 P A →，则x ＝________，y ＝________.【答案】23 13【解析】由题意知O P →＝O B →＋B P →，又B P →＝2P A →，所以O P →＝O B →＋23B A →＝O B →＋23(O A →－O B →)＝23O A →＋13O B →，所以x ＝23，y ＝13. 14．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC→＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n的值为________．【答案】3【解析】∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →， 以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系， OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3nm＝33， ∴m ＝3n ，即mn＝3.15．已知点A (－1,2)，B (2,8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________．【答案】(－2，－4)16．(2016·四川卷改编)已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________． 【答案】494。
高考数学专题复习 专题5 平面向量 第33练 平面向量综合练练习 文
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题5 平面向量 第33练 平面向量综合练练习 文1122＝－6，则x 1＋y 1x 2＋y 2＝________. 2．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为________．3．(2016·南通、连云港、扬州、淮安三模)在平行四边形ABCD 中，若AC →·AD →＝AC →·BD →＝3，则线段AC 的长为________．4．已知不共线向量OA →、OB →，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若PA →＝λAB →(λ∈R )，则点(x ，y )的轨迹方程是____________．5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为边BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF→＝2，则AE →·BF →的值是________________．6．若向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|a ＋b |≤2a·b ，则cos(α－β)的值是________．7．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，则当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．8．(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1,3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是________．9．定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论： ①a ⊗b ＝b ⊗a ；②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )；③(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗c ；④若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1.以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)10．已知m ，x ∈R ，向量a ＝(x ，－m )，b ＝((m ＋1)x ，x )．(1)当m ＞0时，若|a |＜|b |，求x 的取值范围；(2)若a ·b ＞1－m 对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．答案精析1．－232.43. 34.x ＋y －2＝05. 2解析 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则AB →＝(2，0)，AD →＝(0,2)，AE →＝(2，1)，设AF →＝(x,2)，0≤x ≤2，则AB →·AF →＝2x ＝2，解得x ＝1，所以F (1,2)，BF →＝(1－2，2)，于是AE →·BF →＝ 2.6．1解析 由|a ＋b |≤2a·b 可得a·b ≥0，两边平方得2＋2a·b ≤4(a·b )2，即(2a·b ＋1)(a·b －1)≥0，所以a·b ＝cos(α－β)≥1，又由余弦函数的值域可得cos(α－β)＝1. 7.16解析 已知A ＝π6， 由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6， 则|AB →||AC →|＝23， 所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|·sin π6＝12×23×12＝16. 8.214解析 设P 为BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AP →，从而由|AB →＋AC →|＝5得|AP →|＝52，又AB →·AC →＝(AP →＋PB →)·(AP →＋PC →)＝AP →2－PB →2＝254－PB →2，因为|BC →|≥2，所以PB →2≥1，故AB →·AC →≤254－1＝214，当且仅当|BC →|＝2时等号成立．9．①④解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a·b ＝b·a ＝b ⊗a ，故①是正确的；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故②是错误的；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a·c ＋b·c ，显然|a ＋b －c |≠a·c ＋b·c ，故③是错误的；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a·e |＜|a |·|e |＜|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故④是正确的．综上，结论一定正确的是①④.10．解 (1)由题意得|a |2＝x 2＋m 2，|b |2＝(m ＋1)2x 2＋x 2.因为|a |＜|b |，所以|a |2＜|b |2，从而x 2＋m 2＜(m ＋1)2x 2＋x 2.因为m ＞0，所以(m m ＋1)2＜x 2， 解得x ＜－m m ＋1或x ＞mm ＋1. 即x 的取值范围是(－∞，－m m ＋1)∪(mm ＋1，＋∞)．(2)a ·b ＝(m ＋1)x 2－mx .由题意，得(m ＋1)x 2－mx ＞1－m 对任意的实数x 恒成立，即(m ＋1)x 2－mx ＋m －1＞0对任意的实数x 恒成立．当m ＋1＝0，即m ＝－1时，显然不成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＞0，m 2－m ＋m －＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞－1，m ＞233或m ＜－233 ，所以m ＞233. 即m 的取值范围是(233，＋∞)．。
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习专题5 平面向量 第33练含解析
1．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝2(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．2．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为________．3．(2016·南通、连云港、扬州、淮安三模)在平行四边形ABCD 中，若AC →·AD →＝AC →·BD →＝3，则线段AC 的长为________．4．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，cos θ2，θ∈(0，π)，并且满足a ∥b ，则θ的值为________．5．(2016·安徽六安一中月考)已知△ABC 是边长为1的正三角形，动点M 在平面ABC 内，若AM →·AB →＜0，|CM →|＝1，则CM →·AB →的取值范围是________．6．在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (1,0)，P 是x 轴上任意一点，平面上点M 满足：PM →·PB →≥CM →·CB →对任意P 恒成立，则点M 的轨迹方程为______． 7．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，则当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．8．(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1,3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是________．9．定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论： ①a ⊗b ＝b ⊗a ；②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )； ③(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗c ；④若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1.以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号) 10．已知m ，x ∈R ，向量a ＝(x ，－m )，b ＝((m ＋1)x ，x )． (1)当m ＞0时，若|a |＜|b |，求x 的取值范围；(2)若a ·b ＞1－m 对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．答案精析1．90° 2.4 3. 3 4.π35．－1，－12)解析 如图，以A 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系，则B (1,0)，C (12，32)，设M (x ，y )，AM →·AB →＝(x ，y )·(1,0)＝x ＜0，由|CM →|＝1得(x －12)2＋(y －32)2＝1，所以－12≤x ＜0，所以CM →·AB →＝(x －12，y －32)·(1,0)＝x －12∈－1，－12)．6．x ＝0解析 设P (x 0,0)，M (x ，y )，则由PM →·PB →≥CM →·CB →可得(x －x 0)(2－x 0)≥x －1，x 0∈R 恒成立，即x 20－(x ＋2)x 0＋x ＋1≥0，x 0∈R 恒成立，所以Δ＝(x ＋2)2－4(x＋1)≤0，化简得x 2≤0，则x ＝0，即x ＝0为点M 的轨迹方程． 7.16解析 已知A ＝π6， 由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，则|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|·sin π6＝12×23×12＝16.8.214解析 设P 为BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AP →，从而由|AB →＋AC →|＝5得|AP →|＝52，又AB →·AC →＝(AP →＋PB →)·(AP →＋PC →)＝AP →2－PB →2＝254－PB →2，因为|BC →|≥2，所以PB →2≥1，故AB →·AC →≤254－1＝214，当且仅当|BC →|＝2时等号成立．9．①④解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b|＝|b －a|＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a·b＝b·a＝b ⊗a ，故①是正确的； 当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b)＝0，(λa)⊗b ＝|0－b|≠0，故②是错误的； 当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b)⊗c ＝|a ＋b －c|，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a·c＋b·c，显然|a ＋b －c|≠a·c＋b·c，故③是错误的；当e 与a 不共线时，|a ⊗e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e|＝|a －e|＝|u e －e| ＝|u －1|≤|u |＋1，故④是正确的． 综上，结论一定正确的是①④. 10．解 (1)由题意得|a|2＝x 2＋m 2， |b|2＝(m ＋1)2x 2＋x 2.因为|a|＜|b|，所以|a|2＜|b|2， 从而x 2＋m 2＜(m ＋1)2x 2＋x 2. 因为m ＞0，所以(m m ＋1)2＜x 2，解得x ＜－m m ＋1或x ＞m m ＋1.即x 的取值范围是 (－∞，－mm ＋1)∪(m m ＋1，＋∞)．(2)a·b＝(m ＋1)x 2－mx .由题意，得(m ＋1)x 2－mx ＞1－m 对任意的实数x 恒成立，即(m ＋1)x 2－mx ＋m －1＞0对任意的实数x 恒成立．当m ＋1＝0，即m ＝－1时，显然不成立，所以 ⎩⎨⎧m ＋1＞0，m 2－4(m ＋1)(m －1)＜0，解得⎩⎨⎧m ＞－1，m ＞233或m ＜－233 ，所以m ＞233.23 3，＋∞)．即m的取值范围是(。
2018版数学(理)大复习讲义第五章平面向量5
1。
平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2。
平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2,y2)，则a＋b＝（x1＋x2,y1＋y2)，a－b＝（x1－x2，y1－y2）,λa＝（λx1，λy1），|a｜＝错误!.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A（x1，y1)，B（x2，y2），则错误!＝（x2－x1,y2－y1),|错误!|＝错误!。
3.平面向量共线的坐标表示设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）(a≠0），如果a∥b,那么x1y2－x2y1＝0；反过来,如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b。
【知识拓展】1.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0。
2.设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），如果x2≠0,y2≠0，则a∥b⇔错误!＝错误!.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1）平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.（×）（2）若a，b不共线,且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2。
（√) (3）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.（√）(4)若a＝(x1，y1）,b＝（x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成错误!＝错误!.（×）（5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标。
(√)1。
(教材改编）如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则下列说法中正确的有______.(填序号)①若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0;②对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对;③线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；④当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量。
(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题5.3_平面向量的数量积(练)(有解析)
－1)．∴ · ＝2×3＋(－1)×1＝5.
7．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为________．
【答案】
【解析】因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝0，得到a·b＝－2|a|2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝ ＝ ＝－ ，又0≤θ≤π，所以θ＝ .
(1)若m＝n＝ ，求| |；
(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
解(1)∵m＝n＝ ， ＝(1,2)， ＝(2,1)，
8．已知向量 ＝(3，－4)， ＝(6，－3)， ＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是________．
【答案】 ∪
二、解答题
9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若 ＝a， ＝b，求△ABC的面积．
专题5.3平面向量的数量积
【基础巩固】
一、填空题
1．设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________.
【答案】－
【解析】由题意，得a·b＝0⇒x＋2(x＋1)＝0⇒x＝－ .
2．已知向量a＝(1， )，b＝( ，1)，则a与b夹角的大小为________．
【答案】
3．(2017·镇江期末)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝________.
解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
10．(2017·德州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－ .
2018江苏高考数学试题及答案解析(K12教育文档)
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2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷）数学Ⅰ一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=⋂B A ．2．若复数z 满足i z i 21+=⋅,其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 ．7．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-+=222sin ππϕx x y 的图象关于直线3π=x 对称，则ϕ的值是 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为c 23,则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4,且在区间]2,2(-上，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x xx f π， 则()()15f f 的值为 ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()+∞,0内有且只有一个零点,则()x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点，()0,5B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0=⋅,则点A 的横坐标为 ．13．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、， 120=∠ABC ，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1=BD ，则c a +4的最小值为 ．14．已知集合{}*∈-==N n n x x A ,12|，{}*∈==N n x x B n ,2|．将B A ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112+>n n a S 成立的n 的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证:(1)11AB A B C 平面∥； (2）111ABB A A BC ⊥平面平面．16．（本小题满分14分)已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=． （1）求cos2α的值； (2）求tan()αβ-的值．17．(本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ． （1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；(2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．(本小题满分16分）焦如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，点12(3,0),(3,0)F F -,圆O 的直径为12F F ． (1)求椭圆C 及圆O 的方程；（2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △,求直线l 的方程．19．(本小题满分16分)记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； (2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点"，求实数a 的值;(3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >,判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由．20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．(1)设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；(2）若*110,,a b m q =>∈∈N ,证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示)．数学Ⅱ(附加题）21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．［选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 的半径为2,AB 为圆O 的直径,P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线,切点为C ．若23PC =，求 BC 的长．B ．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分）已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2)若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．[选修4—4:坐标系与参数方程］(本小题满分10分)在极坐标系中,直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．[选修4—5:不等式选讲］(本小题满分10分）若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6,求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科＃网22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AA1=2,点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．23．（本小题满分10分)设*n ∈N ,对1,2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s 〈t 时，有s t i i >,则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2,3的一个排列231，只有两个逆序（2,1)，(3，1），则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式（用n 表示）．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．1．{1，8} 2．2 3．90 4．85．[2，+∞）6．3107．π6-8．29．2210．4311．–3 12．313．9 14．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明:（1）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数,考查运算求解能力．满分14分．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=,所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为5cos()αβ+=-，所以225sin()1cos ()αβαβ+=-+=， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分． 解：(1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ,则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ(40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ)=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ,分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0,则sin θ0=14,θ0∈(0,π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[14，1）．答:矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ+cos θ）平方米,△CDP 的面积为 1600(cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是［14,1)． （2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600(cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ),θ∈［θ0，π2）． 设f (θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈［θ0，π2)，则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 令()=0f θ′,得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ)为增函数； 当θ∈（π6，π2)时，()<0f θ′,所以f (θ)为减函数, 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解:（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此,椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ,所以其方程为223x y +=．（2)①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>,则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ,得 222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==． 因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为26，所以21 26AB OP ⋅=,从而42AB =． 设1122,,()(),A x y B x y , 由(*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去）,则2012y =，因此P 的坐标为102(,)2． 综上，直线l 的方程为532y x =-+．19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f (x ）=x ,g (x )=x 2+2x —2,则f ′（x )=1，g ′（x )=2x +2． 由f （x ）=g (x ）且f ′（x ）= g ′(x ），得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解, 因此，f （x ）与g （x )不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =， 则12f x ax g x x'='=（），（）．设x 0为f (x ）与g （x )的“S ”点，由f (x 0）与g （x 0）且f ′（x 0)与g ′(x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（＊） 得01ln 2x =-,即120e x -=,则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时，120e x -=满足方程组（＊），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此,a 的值为e2．（3）对任意a 〉0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，,且h (x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′． 由f （x ）与g （x ）且f ′（x )与g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**) 此时，0x 满足方程组（*＊），即0x 是函数f （x )与g （x ）在区间（0,1）内的一个“S 点"． 因此，对任意a >0，存在b >0,使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）由条件知：112(,)n n n a n d b -=-=． 因为1||n n a b b -≤对n =1，2,3,4均成立， 即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立， 即1≤1,1≤d ≤3，3≤2d ≤5,7≤3d ≤9，得7532d ≤≤． 因此,d 的取值范围为75[,]32．（2）由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···,m +1）成立，即1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+， 即当2,3,,1n m =+时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值(2,3,,1n m =+）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---， 当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此,当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<， 所以()f x 单调递减，从而()f x 〈f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-， 因此，当21n m ≤≤+时,数列1{}1n q n --单调递减,故数列1{}1n q n --的最小值为mq m ． 因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．数学Ⅱ（附加题）参考答案21．【选做题】A ．［选修4—1:几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识,考查推理论证能力．满分10分． 证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ． 又因为PC =OC =2，所以OP ．又因为OB =2,从而B 为Rt△OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．[选修4—2：矩阵与变换］本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识,考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆，从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． (2）设P (x ，y ），则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A , 因此，点P 的坐标为（3，–1)． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力．满分10分． 解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 的圆心为（2,0）,直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=， 则直线l 过A （4,0）,倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2, 所以π4cos 236AB ==．因此,直线l 被曲线C 截得的弦长为23． D ．［选修4-5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：由柯西不等式,得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122xy z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，, 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识,考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．学科％网解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,设AC ，A 1C 1的中点分别为O ,O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31(,2)2P -，从而131(,,2)(0,2,22),BP AC ==--,故111|||cos ,|||||5BP AC BP AC BP AC ⋅===⋅． 因此,异面直线BP 与AC 1 (2）因为Q 为BC 的中点，所以1,0)2Q ， 因此33(,0)2AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==． 设n =（x ，y ,z ）为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即30,2220.x y y z +=⎪+=⎩不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ， 则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅==n n n 所以直线CC 1与平面AQC 1． 23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，,所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1,2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．(2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =． 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以2018江苏高考数学试题及答案解析(word 版可编辑修改)牛人数学助力高考数学 (1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， 因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．。
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习专题5 平面向量 第32练含解析
AC DBAD BCAM AOAB ACBC训练目标(1)平面向量数量积的概念；(2)数量积的应用．训练题型(1)向量数量积的运算；(2)求向量的夹角；(3)求向量的模．(1)数量积计算的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义；解题策略(2)求两向量的夹角时，要注意夹角θ为锐角和cosθ＞0的区别，不能漏解或增解；(3)求向量的模的基本思想是利用|a|2＝a·a，灵活运用数量积的运算律.1．(2017·玉溪月考)若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为________．2．(2016·淄博期中)已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，则→·→＝________. 3．(2016·镇江模拟)在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，AB＝4，AC＝3，则→·→＝________.4．(2017·吉林东北师大附中三校联考)如图，已知△ABC外接圆的圆心为O，AB＝23，AC＝22，A为钝角，M是BC边的中点，则→·→＝________.5．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________．6．(2015·安徽改编)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足→＝2a，→＝2a＋b，则下列正确结论的个数为________．①|b|＝1；②a⊥b；③a·b＝1；④(4a＋b)⊥→.7．(2015·福建改编)已知→⊥→，|→|＝，|→|＝t，若点P是△ABC所在平面t→＝AB＋4AC，则→·→的最大值等于________．→→|b|＝λBC，DF＝μDC.若→·→＝1，→·→＝－，则λ＋μ＝________.11．(2016·开封冲刺模拟)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足→＝→＋CA，则→·→＝________.1→OA OB OA OB→→→OPBC AOAM AN14．已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，当2x＋y＝t(t＞0)时，|xAB＋yAC|≥→PB PC1AB AC AB AC→→内的一点，且AP PB PC|AB||AC|8．(2016·吉林长春质检)已知向量a＝(1，3)，b＝(0，t2＋1)，则当t∈－3，2]时，|a－tb|的取值范围是________．9．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE2AE AF CE CF310．(2016·浙江余姚中学期中)已知→与→的夹角为60°，|→|＝2，|→|＝23，OP＝λOA＋μOB，若λ＋3μ＝2，则|→|的最小值为________．1CM CB3MA MB212．(2016·盐城模拟)设O是△ABC的三边中垂线的交点，且AC2－2AC＋AB2＝0，则→·→的取值范围是____________．13．(2016·徐州质检)如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M，N分别为半径OP，OQ的中点，A为弧PQ上任意一点，则→·→的取值范围是________．→→22t恒成立，则△ABC的面积为____，在上述条件下，对于△ABC内一点P，PA·(→＋→)的最小值是________．1.3π 42＝2cos θ＋ ，＝π8－BC AC A B建立如图所示的平面直角坐标系，则 B ，0 ，C (0，t )，→＝tt AB 4→AC 1 4AC ＝(0，t )，AP ＝ ＋ ＝t ，0 ＋ (0，t )＝(1,4)，→| |AC→|t t∴P (1,4)，→·→＝ －1，－4 ·(－1，t －4) tBC BC＝17－ ＋4t ≤17－2 答案精析72.13.－4.55．4解析 由题意可得 a·b ＝ 3cos θ－sin θπ 6则|2a －b|＝ (2a －b)2＝ 4|a|2＋|b|2－4a·b6∈0,4]，所以|2a －b|的最大值与最小值的和为 4.6．1解析 如图，在△ABC 中，由→＝→－→＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b|＝2.又|a|＝1，所以 a·b ＝|a||b|cos120°＝－1，所以(4a ＋b)·→＝(4a ＋b)·b ＝4a·b ＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b)⊥→，故正确结论只有④.7．13解析1AB1，0 ，→ → →|AB1PB PC1t1 t·4t ＝13，当且仅当 ＝4t ，即 t ＝ 时取等号．解析由题意， b 即|a －t b9.5BE → DF →CE ·→＝(λ－1， 3(λ－1))·(μ－1， 3(1－μ))＝－2，②AE AF1 1t 28．1， 13]b |b| ＝(0,1)，∴|a －t |b||＝|(1， 3)－t (0,1)|＝|(1， 3－t )|＝ 1＋( 3－t )2＝ (t － 3)2＋1.∵t ∈－ 3，2]，∴ (t － 3)2＋1∈1， 13]，|b||的取值范围是 1， 13]．6解析建立如图所示的平面直角坐标系，则 A (－1,0)，B (0，－ 3)，C (1,0)，D (0， 3)．设 E (x ，y )，11F (x ，y )．由→＝λBC ，得(x ，y ＋ 3)＝λ(1， 3)，解得22 1 1x ＝λ，1 y ＝ 3(λ－1)，1即点 E (λ， 3(λ－1))．由→＝μDC ，得(x ，y － 3)＝μ(1，－ 3)，22解得x ＝μ，2 y ＝ 3(1－μ).2即点 F (μ， 3(1－μ))．又→·→＝(λ＋1， 3(λ－1))·(μ＋1， 3(1－μ))＝1，①35OA OB OP → → OP → → → →→ OBOPOP 9 解析由于→＝→－→＝－ →＋ →，→＝→－→＝ →－ →，故→·→＝ － →＋ → · →－ → ＝－ →2－ →2＋ →·→＝－ ×22－ ×22＋ ×2×2 9 4 BC AO AD DOBC AD BC＝ (→＋→)·(－→＋→) ＝ (|→|2－|→|2)． 设|AC |＝b ，|AB |＝c ，则 b 2－2b ＋c 2＝0， 所以→·→＝ (b 2＋b 2－2b )＝b 2－b .所以→·→∈－ ，2)．2 210．2 3解析 由题意得→·→＝2 3.因为→＝λOA ＋μOB ，所以→2＝(λOA ＋μOB )2＝λ2OA 2＋μ2OB 2＋2λμOA ·→＝4λ2＋12μ2＋4 3λμ.又因为 λ＋ 3μ＝2，所以 λ＝2－ 3μ，所以→2＝4(2－ 3μ)2＋12μ2＋4 3(2－ 3μ)μ＝4( 3μ－1)2＋12，所以当 3μ－1＝0，即 μ＝33 时，|→| ＝2 3. min811．－1 12 1 MA CA CM CB CA MB CB CM CB CA MA MB3 2 3 21 12 1 2 1 1 2 1 1 CB CA CB CA CB CA CB CA3 2 3 2 94 2 9 4 28 ×cos60°＝－ .112．－ ，2)解析如图．设 BC 的中点为 D ，则→·→＝(→＋→)·→＝→·→1AB AC AB AC 21AC AB2→→1 BC AO 2又 b 2－2b ＝－c 2＜0，所以 0＜b ＜2.1BC AO 43 513． ， ]由已知得 M (－ ， 3 则→＝(－ －2cos θ， 3 2 －2sin θ)， 所以→·→＝(－ －2cos θ)(1－2cos θ)＋( 32 －2sin θ)·(－2sin θ)＝ －故 ≤sin(θ＋30°)≤1，所以 ≤→·→≤ . 14．1－5解析 因为|xAB ＋yAC | ＝ x 2→2＋y 2→2＋2xyAB ·→AC AB AC ＝ 4x 2＋y 2＋4xy cos A ≥ 2得 x 2→2＋y 2→2＋2xyAB ·→≥ t 2， → 则 cos A (cos A －1)≤0，则 cos A ≥0，A 的最大值为π→解析 建立如图所示的平面直角坐标系，连结 AO ，设∠AOQ ＝θ，则 A (2cos θ，2sin θ)(0°≤θ≤120°)．12 2 )，N (1,0)，1AM 2AN ＝(1－2cos θ，－2sin θ)，17AM AN 222sin(θ＋30°)，因为 0°≤θ≤120°，所以 30°≤θ＋30°≤150°，123 5AM AN2 28→ →→2 t 恒成立，则由两边平方，1 AB AC AC2又 t ＝2x ＋y ，则 4x 2＋y 2＋4xy (2cos A －1)≥0，则 Δ＝16y 2(2cos A －1)2－16y 2≤0，2 .当 cos A ＝0 时，|xAB ＋yAC |＝ 4x 2＋y 2≥ 当 A ，P ，D 三点共线时，→·→＜0，又此时 AD ＝ BC ＝ ，即有 2→·→＝－2|→PA →|≥－2× |PA |＋|PD | 2＝－5，即有最小值为－5.||PD2PB PC PD PA PB PC PA PD1 2·AB ·AC ＝1； → →2 2(2x ＋y )满足题意，所以此时 △S ABC ＝在 Rt △ABC 中，取 BC 的中点 D ，连结 PD ，则→＋→＝2→，即→·(→＋→)＝2→·→，1 5 PA PD PA PD2 2→ →88。
(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示(测)
专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示一、填空题1．已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，m )，若a ∥b ，则3a ＋2b ＝【解析】∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(2，－4)，∴3a ＋2b ＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．2．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是【解析】因为a 与b 方向相反，所以b ＝ma ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0， ∴m ＝－2，x ＝m ＝－2.3．已知在平行四边形ABCD 中，AD ＝(2,8)，AB ＝(－3,4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM ＝中，有AC ＝AB ＋AD ，AM ＝12AC ，所以AM ＝(AB ＋AD )的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝5．已知平行四边形ABCD 中，AD ＝(3,7)，AB ＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO 的坐标为 AC ＝AB ＋AD ＝．∴OC ＝12AC ＝∴CO|OC |，若OC ＝OA ＋OB ，则|OC |，又OC ＝OA ＋OB ，所以7．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若 PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.【解析】AQ ＝PQ －PA ＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC ＝2AQ ＝2(－3,2)＝(－6,4)．PC ＝PA ＋AC ＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC ＝3PC ＝3(－2,7)＝(－6,21)．8．已知向量AC ，AD 和AB 在正方形网格中的位置如图所示，若AC ＝λAB ＋μAD ，则λμ＝________.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC ＝(2，－2)，AB ＝(1,2)，AD ＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.9．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R}，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．【解析】P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．10．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ＝λAM ＋μAN ，则λ＋μ＝________.设BA，BC ＝为基底表示向量EF ，DF ，CD .解：EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－CD ＝CF ＋FD ＝－的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为上运动．若OC ＝x OA ＋y OB ，其中。
江苏专用2020版高考数学专题复习专题5平面向量第33练平面向量综合练练习理
（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题5平面向量第33练平面向量综合练练习理 训练目标 （1）向量知识的综合运用：（2）向量与其他知识的结合.训练题型（1）向量与三角函数；（2）向量与解三角形：（3）向量与平而解析几何：（4）与平 而向量有关的新建义问题.解题策略 （1）利用向量解决三角问题，可借助三角函数的图象、三角形中边角关系；（2） 解决向虽:与平面解析几何问题的基本方法是坐标法：（3）新泄义问题应对条件转化，化为学过的知识再求解.2. 设0在△磁的内部，。
为M 的中点，且N+厉+2疋=0,则△磁的而积与的面积的比值为 _______ .3. （2016 •南通、连云港、扬州、淮安三模）在平行四边形如?中，若花・AD=AC •丽3, 则线段川Q 的长为 ______ .0 sin —> co^/3sin|—J, cos ~\, 〃W （0, n ）,并且满足 a 〃b,则〃的值为 ___________________ •5. （2016 •安徽六安一中月考）已知△磁是边长为1的正三角形，动点M 在平而磁内， 若知・AB<0, ;3f|=l,则市•乔的取值范囤是 _______________ .6. 在平而直角坐标系中，已知乳一2,0）, 5（2,0）, C （l, 0）,尸是x 轴上任意一点，平面上 点"满足：莎•筋2万/•压对任意尸恒成立，则点“的轨迹方程为 __________ .7. 在△磁中，已知乔•庞二tan 月，则当A=^-时，△磁的而积为 ______________ . O8. （2016 •南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调）如图，在同一平而内，点月位于两平行直 线加"的同侧，且力到皿力的距离分别为1,3,点5 Q 分别在血力上，乔+庞1=5,则蔚•庞的最大值是 _________\a 当』&不共线时, I a-b ,当厶，b 共线时4.已知向量&=（ 9•泄义一种向量运算“列:或b=(* &是任意的两个向量).对于同一平而内的向量a，b、c, e,给出下列结论：①必6=戾&;②久(a®&)=(人a) ®b(人G R)；③(tf+2>)®c=a^c+£^c：④若e是单位向疑，贝IJI^e M al+1.以上结论一泄正确的是________ .(填上所有正确结论的序号)10.已知m xWR,向M a—(-Y»— m) ♦ b— ((zo+l)-¥> X)・(1)当也>0时，若a<\b ,求X的取值范围；⑵若d • b>l~m对任意实数x恒成立，求山的取值范用.答案精析1. 90°2.43.^34.y5.[-1, -*)解析如图，以川为原点，曲为x轴建立直角坐标系，则5(1,0),设M(x, y),而・AB=(x, y)・(l,0)=x<0,由市=1 得(AT-|)=+(y-^)3=l, 所以一扌Wx<0,所以赤~AB= (AT—|» y—穿)•(1, 0) =x—扣［―1, 一》.6.-v=0解析设P(-Yo.O), y),则由面•莎鼻万/•看可得G—及)(2—及)2%—1, A^GR恒成立,即轴一(x+2) xo+x+120, AO^R恒成立，所以4 = C Y+2)**—4C Y+D W0,化简得/W0, 则x=0,即x=0为点"的轨迹方程.17-6解析已知A=^.6由题意得AB AC cos — = tan —.则AB AC =扌,所以△/!證的面积S=* AB AC• sin y=|x|x|=i解析设尸为氏的中点，则AB+AC=2AP,从而由厉+花=5得菲=魯又AB*AC=(AP夕5 25+丽・(彷+花=乔一厉=〒一厉，因为反22,所以西故茜•花W -—1=亍，当且仅当BC\=2时等号成立.9.①④解析当a, b共线时，a®b= a—b=b —a =b®a,当a, b不共线时，a®b = a • b=b • a=b®a,故①是正确的；当4=0, bHO 时，/I (a®b)=0, (Aa)®b= 0—b|H0,故②是错误的；当a + b 与c 共线时，则存在a,b 与c 不共线，(a+b)®c= a+b —c ,a®c+b®c=a • c + b • c, 显然a+b —c [ Ha • c + b • c,故③是错误的；当e与a不共线时，a®e = a • e < a • e < a +1,当e与a共线时，设a=ue, uGR, a®e i = a—e = ue —e= \u~l +1,故④是正确的.综上，结论一泄正确的是①④.10.解(1)由题意得|a|==Y+^,b S=(zff+1):/+Z因为|a V b|,所以|a|=<)b =,从而¥+加V (血+1) "Y+x〔因为皿>0,所以(誥讦vf,解得x<或-Y>^7・即X的取值范用是一命M希'+8).(2)a • b=(2zr+l)x —/or.由题意，得(m-\~ 1) x—mx> 1 —m对任总的实数x恒成立，即(JW4- 1) x—mx-\~m—1>0对任意的实数x恒成立.当加+1=0,即也=一1时，显然不成立，所以也 > — ],解得2y/3 r2^3也〉或历V 2 >所以曲爭.即加的取值范围是（攀，+8）.。
2018高考(江苏专版)大一轮数学(文)复习检测：第33课 平面向量的概念与线性运算含答案
第33课平面向量的概念与线性运算A 应知应会1。
给出下列四个命题:①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a，b 之一方向相同；②在△ABC中，必有++=0;③若++=0,则A，B，C为三角形的三个顶点;④若a，b均为非零向量，则|a+b|与|a｜+｜b|一定相等.其中假命题是。
（填序号)2.若向量a，b不共线,且a+mb与-(b—2a）共线,则实数m的值为.3。
在△ABC中，M为边BC上一点，N为AM的中点.若=λ+μ，则λ+μ=.4。
在△ABC中，点M,N满足=3，=。
若=x+y，则x+y= 。
5.已知向量a=2e1—3e2，b=2e1+3e2,c=2e1—9e2,其中e1,e2不共线，问:是否存在这样的实数λ，μ，使得向量d=λa+μb与c共线?6.如图,四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M，N分别是DC,AB的中点.设=a，=b,=c，试用a，b,c表示,,+。
（第6题)B 巩固提升1.已知向量e1，e2不共线,=3（e1+e2),=e2—e1，=2e1+e2.给出下列四个结论:①A，B，C三点共线；②A，B，D三点共线；③B，C,D三点共线；④A,C，D三点共线.其中正确的结论为。
(填序号）2。
在平行四边形ABCD中，=a，=b,=3,M为BC的中点，则= 。
(用a，b表示)3。
若O是△ABC所在平面内的一点，且满足|—｜=|+—2|,则△ABC的形状为.4.(2016·如东期中）已知P是△ABC内一点，且+2+3=0.若Q为CP 的延长线与AB的交点，令=p,则= .（用p表示)5.已知a,b是不共线的两个非零向量.（1）若=2a-b,=3a+b,=a—3b,求证:A，B,C三点共线;（2）若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值;（3）设=ma,=nb，=αa+βb,其中m，n，α，β均为实数,m≠0，n≠0,若M,P，N三点共线，求证：+=1。
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1．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12
【AB →＋AC →】，则AB →与AC →的夹角为________． 2．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA
→＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为________．
3．【2016·南通、连云港、扬州、淮安三模】在平行四边形ABCD 中，若AC →·AD →＝AC →·BD
→＝3，则线段AC 的长为________．
4．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2
，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4， b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，cos θ2，θ∈【0，π】，并且满足a ∥b ，则θ的值为________． 5．【2016·安徽六安一中月考】已知△ABC 是边长为1的正三角形，动点M 在平面
ABC 内，若AM →·AB →＜0，|CM →|＝1，则CM →·AB
→的取值范围是________． 6．在平面直角坐标系中，已知A 【－2,0】，B 【2,0】，C 【1,0】，P 是x 轴上任意一
点，平面上点M 满足：PM →·PB →≥CM →·CB
→
对任意P 恒成立，则点M 的轨迹方程为______．
7．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，则当A ＝π6
时，△ABC 的面积为________． 8．【2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调】如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1,3，点B ，C 分别在m ，n
上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC
→的最大值是________．
9．定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩
⎨⎧
a·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时 【a ，b 是任意的两个向量】．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论： ①a ⊗b ＝b ⊗a ；
②λ【a ⊗b 】＝【λa 】⊗b 【λ∈R 】；
③【a ＋b 】⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗c ；
④若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1.
以上结论一定正确的是________．【填上所有正确结论的序号】
10．已知m ，x ∈R ，向量a ＝【x ，－m 】，b ＝【【m ＋1】x ，x 】．
【1】当m ＞0时，若|a |＜|b |，求x 的取值范围；
【2】若a ·b ＞1－m 对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．
答案精析
1．90° 2.4 3.3 4.π3
5．－1，－12】
解析 如图，以A 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系，则B 【1,0】，C 【12，32】，
设M 【x ，y 】，AM →·AB →＝【x ，y 】·【1,0】＝x ＜0，由|CM →|＝1得【x －12】2＋【y －32
】2＝1， 所以－12≤x ＜0，所以CM →·AB →＝【x －12，y －32】·【1,0】＝x －12∈－1，－12】
．
6．x ＝0
解析 设P 【x 0,0】，M 【x ，y 】，则由PM →·PB →≥CM →·CB →可得【x －x 0】【2－x 0】≥x －1，
x 0∈R 恒成立，即x 20－【x ＋2】x 0＋x ＋1≥0，x 0∈R 恒成立，所以Δ＝【x ＋2】2－4
【x ＋1】≤0，化简得x 2≤0，则x ＝0，即x ＝0为点M 的轨迹方程． 7.16
解析 已知A ＝π6，
由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6
， 则|AB →||AC →|＝23
， 所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|·sin π6＝12×23×12＝16. 8.214
解析 设P 为BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AP →，从而由|AB →＋AC →|＝5得|AP →|＝52
，又AB →·AC →＝【AP →＋PB →】·【AP →＋PC →】＝AP →2－PB →2＝254
－PB →2，因为|BC →|≥2，所以PB →2≥1，故AB →·AC →≤254－1＝214
，当且仅当|BC →|＝2时等号成立． 9．①④
解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b|
＝|b －a|＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a·b ＝b·a ＝b ⊗a ，故①是正确的；
当λ＝0，b ≠0时，λ【a ⊗b 】＝0，【λa 】⊗b ＝|0－b|≠0，故②是错误的；
当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，【a ＋b 】⊗c ＝|a ＋b －c|，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a·c ＋b·c ，显然|a ＋b －c|≠a·c ＋b·c ，故③是错误的；
当e 与a 不共线时，|a ⊗e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e|＝|a －e|＝|u e －e|
＝|u －1|≤|u |＋1，故④是正确的．
综上，结论一定正确的是①④.
10．解 【1】由题意得|a|2＝x 2＋m 2，
|b|2＝【m ＋1】2x 2＋x 2.
因为|a|＜|b|，所以|a|2＜|b|2，
从而x 2＋m 2＜【m ＋1】2x 2＋x 2.
因为m ＞0，所以【m m ＋1
】2＜x 2， 解得x ＜－m m ＋1或x ＞m m ＋1
. 即x 的取值范围是
【－∞，－m m ＋1】∪【m m ＋1
，＋∞】． 【2】a·b ＝【m ＋1】x 2－mx .
由题意，得【m ＋1】x 2－mx ＞1－m 对任意的实数x 恒成立，即【m ＋1】x 2－mx ＋m －1＞0对任意的实数x 恒成立．
当m ＋1＝0，即m ＝－1时，显然不成立，所以
⎩⎨⎧
m ＋1＞0，m 2－4(m ＋1)(m －1)＜0， 解得⎩⎨⎧ m ＞－1，
m ＞233或m ＜－233 ，
所以m ＞233. 即m 的取值范围是【233，＋∞】．。