三大抽样分布课件

§5.4 三大抽样分布
▪ 本次课教学目的： 掌握三大抽样分布的构造性定义并熟悉一些重要结论
▪ 重点难点: 三大抽样分布的构造及其抽样分布 一些重要结论
▪ 教学基本内容及其时间分配 三大抽样分布的构造性定义——————30分钟 定理及其三个推论以及证明——————70分钟
根据本节课的特点所采取的教学方法和手段: 启发式讲授，图文结合加深对三大分布的印象
n
22
n 2
n 1 y
y2 e 2,
数字特征：
y0
E 2 n, Var( 2 ) 2n
图像： 密度函数的图像是一个只取非负值的偏态分布
n4 n6
n 10
n4 n6
n 10
n 20
当随机变量 2～ 2 (n) 时，对给定的 (0 1) ，称满足
P(
2
2 1
(n))
1
的
2 1
y
m 2
11
m
n
mn
y 2
2 2
这就是自由度为m与n的F分布的密度函数。
n 40 n 10
n4 n 1
若F ~ F (m, n), 对给定的 (0 1), 称满足
PF F1 m, n 1
的F1 (m, n)是自由度为m与n的F分布的1 分位数.
F (4,10)
引言
▪ 有许多统计推断是基于正态分布的假设的，以标准正态 变量为基石而构造的三个著名统计量在实际中有广泛的 应用，这是因为这三个统计量不仅有明确背景，而且其 抽样分布的密度函数有明显表达式，他们被称为统计中 的“三大抽样分布”.
▪ 若设 x1, x2 xn , y1, y2,, ym 是来自标准正态分布的两个
0 1
P
1 F
F
n,
m
P F
F
1
n,
m
，
P F
F
1
n,
m
1
PF F1 m, n 1
F n, m
1
F1 m, n
例5.4.1 若取m=10,n=5, =0.05,那么从附表5上查得
F10,05 10，5 F0.9510，5 4.74
由F n, m
F1
1
m, n
F0.05 10,5
相互独立的样本，则此三个统计量的构造及其抽样分布 如表5.4.1所示.
5.4.1 2分布(卡方分布)
问题：如何确定 2 的分布？
Xi
~
N (0,1)
Xi2
~
Ga
1 2
,
1 2
伽玛分布的可加性
2
n i 1
Xi2
~ Ga n , 1 2 2
2n
于是 2 n分布的密度函数为
p( y)
1
(n)是自由度为n的卡方分布的
1－
分位数.
12－0.0（5 10）＝ 02.9（5 10）＝18.31
2 (10)
5.4.2 F分布
定义5.4.2 设 X1 ~ 2 m, X 2 ~ 2 n, X1 与X 2 独立，则称
F＝ X1 m 的分布是自由度为m与n的F分布,记为
X2 n
F ~ F m,n
1
从而t与-t有相同分布。
P(0 t y) P(0 t y) P( y t 0)
P(0 t y) 1 P(t2 y2) 2
由于t 2
X
2 1
X
2 2
/
n
~
F (1, n)
所以在上式两边同时关于y求导得t分布的密度函数为：
pt ( y)
ypF ( y2 )
(1
n
)(
1
)
1 2
pX c X~N(0,1)
c=2 0.0455
c=2.5 0.0124
c=3
c=3.5
0.0027 0.000465
X~t(4) 0.1161 0.0668 0.0399 0.0249
当随机变量 t ~ t(n) 时称满足 P(t t1 (n)) 1 的 t1 (n) 是自由度为ｎ的ｔ分布的1-ａ分位数。
1
F0.95 5,10
1 3.33
0.3
5.4.3 t 分布
▪ 定义5.4.3 设随机变量X1与X2 独立且 X1 ~ N 0，1，X 2 ~ 2 n
则称 t X1 的分布为自由度为n的t分布，记为 t ~ tn
X2 /n
问题：如何确定 t 的分布？
由标准正态密度函数的对称性知，X1与
X
有相同分布，
2
n
x2
e n 1
2
x2 2
,
2
x1 0 x2 0
Z的密度函数为
pZ (z)
x2 p1 zx2 p2
0
做变换令u
x2 dx2
x2 1 z
2
m 1
z2
m 2
n 2
2
mn 2
x e dx
mn 1 22
x2 1z
2
2
0
m n
于是
pz
z
m 1
z2
1
PF F1 m, n 1
给定 0.05, m 4, n 10,查表知
PF (4,10) 3.48 0.95
于是F0.95(4,10) 3.48即是自由度为(4,10)的 F分布的0.95分位数
问题：当比较大(1 比较小)的时候，如何确定分位数？
有F分布的构造知，若F~F(m,n),则有1/F~ F(n,m),故对给定
N (0,1)
t(4)
t(1)
●自由度为1的ｔ分布就是标准柯西分布，它的均值不存在； ●ｎ>1时,ｔ分布的数学期望存在且为0。 ●ｎ<1时,ｔ分布的方差存在，且为ｎ/(ｎ-2)； ●当自由度较大比如n 30 时，ｔ分布可以用Ｎ(0,1)分布近似 (见下页图)
N (0,1)
t(40)
N(0，1)和t(4)的尾部概率比较
2n
(1)( n )
(
y
2
)
1 2
1
(1
1 n
y
2
1n
)2
y
22
( n 1)
n
2 (
n
)
(1
y2
n1
)2
,
n
2
y .
这就是自由度为ｎ的ｔ分布的密度函数。
ｔ分布的密度函数的图象是一个关于纵轴对称的分布 与标准正态分布的密度函数形状类似，只是峰比标准正态
分布低一些，尾部的概率比标准正态分布的大一些。
其中m称为分子自由度，n称为分母自由度.
问题：如何确定 F 的分布？
首先，我们导出 Z X1 的密度函数
X2
第二步，我们导出 F
n
Z
的密度函数
m
首先，我们导出 Z X1 的密度函数
X2 m
12
X1
~
2(m)
p1( x1)
2
m
m
x1 2
1e
x1 2
,
2
n
1 2
X2
~
2(n)
p2 ( x2 )
z
mn 2m n u来自mn 21e
u
du
0
2
2 2
m
2
n
m1
z2
1
z
mn 2
m n
2 2
z0
第二步，我们导出 F n Z 的密度函数 m
pF y
pZ
m n
y •
m n
m
2
n
m
n
m n
m 1
y 2 1
m n
mn
y 2
•
m n
2 2
）
m
m n m 2 2 n m n