三大抽样分布的理解与具体性质
6教育统计学第六章
n
（3）总体非正态分布条件下平均数的显著性检验
① 当 n≥30 时，尽管总体分布非正态，对于平均数的显 著性检验仍可用Z 检验。
Z
X
0（σ
已知）或
Z
X 0（ σ 未知）
S
n
n
② 当 n＜30 时，若总体分布非正态，对于平均数的显著 性检验不符合近似 Z 检验的条件，严格讲此时也不符合t 检验 的条件。
计算其置信区间：
X t SX （其X 中 t SX
2
2
）
SX
S n
小样本的情况
例如，从某小学二年级随机抽取12名学生，其阅读能 力得分为28、32、36、22、34、30、33、25、31、33、 29、26.试估计该校二年级阅读能力总体平均数95%和 99%的置信区间。
X 29.917 , S 4.100 , X 3.926
三、样本平均数与总体平均数离差统计量的形态
从正态总体中随机抽取样本容量为n的一切可 能样本平均数以总体平均数为中心呈正态分布。
当总体标准差已知时：
Z
X
X
X
n
当总体标准差未知时：
N (0,1)
总体标准差 的无偏估计量为
S (X X )2 n 1
S S X
X 2 ( X )2 / n
抽样分布是统计推断的理论依据。实际中只能抽取一个 随机样本根据一定的概率来推断总体的参数。即使是抽取一 切可能样本，计算出的某种统计量与总体相应参数的真值， 大多也是不相同的，这是由于抽样误差的缘故。抽样误差用 抽样分布的标准差来表示。因此，某种统计量在抽样分布上 的标准差称为该种统计量的标准误。
标准误越小，表明样本统计量与总体参数的值越接近， 样本对总体越有代表性，用样本统计量推断总体参数的可靠 度越大，所以标准误是统计推断可靠性的指标。
三大抽样分布
三大抽样分布众所周知，在概率论中有二项分布、正态分布、泊松分布着三大分布，而统计学中也有三大抽样分布，分别是x2分布、t布和F分布。
这三大抽样分布的发现正好是现代统计学的形成时期，对于以参数统计推断为主要内容的现代统计学理论的形成有着重要意义。
X2分布的发现来源于Kad Pears0n创立X2拟合优度理论的过程，而t分布的发现来源于Gosset小样本理论的创立过程，F分布则是来源于Fisher创立方差分析理论的过程。
三大抽样分布的研究意义c．R．Rao曾经说过“在终极的分析中，一切知识都是历史，在抽象的意义下，一切科学都是数学，在理性的基础上，所有的判断都是统计学。
”这句话一语道破统计学的重要性。
三大抽样分布在统计学理论中占据着重要地位，由此可见，研究三大抽样分布对于科学研究有着重要意义。
在实际工作中，统计工作者对于三大抽样分布的研究必不可少，通过研究三大抽样分布的产生、发展和完善，能够充分了解三大抽样分布理论的重要性。
具体到统计学三大分布，对于三大分布理论的研究，能够在充分吸收前人研究成果的基础上不断进行理论创新，从而推动科学技术的进步。
纵观所有的科技进步，无一不是在充分研究前人成果的基础上发展而来的研究统计学三大抽样分布，对于我国社会经济发展有着重要的推动作用。
三大抽样分布产生于19世纪末20世纪初，在统计学的发展过程中，每一次新的分析统计数据概率模型的发现，统计学理论都会发生一次重大飞跃。
为此，要想研究三大抽样分布，就应该对其发展过程进行研究。
统计量是样本的函数，是随机变量，有其概率分布，统计量的分布称为抽样分布。
X2分布x2的早期发展由于受到中心极限定理和正态误差理论的影响，正态分布一直在统计学中占据重要地位。
在很多数学家和哲学家心目中，正态分布是唯一可用的分析和解释统计数据的方法。
但是随着时代的发展，一些学者开始对正态性提出了质疑，随后，在多位科学家的试验验证下，正态分布与实际数据拟合不好的情况日渐凸显出来，科学家纷纷开始研究比正态分布范围更广的分布类型，波那个人产生了偏态分布，其中，x2就是最早的偏态分布最早引入偏态分布的是JamesClerk Maxwel，他在研究气体分子运动的过程中引入了X2分布。
三大抽样分布课件
差异。
04
CATALOGUE
卡方分布
卡方分布的定义
定义
卡方分布是一种连续概率分布，描述 了随机变量的取值与自由度的平方之 间的比例关系。
公式
若随机变量X符合卡方分布，则X的概 率密度函数为f(x)=x^(n/2-1)e^(x/2)/2^(n/2)Γ(n/2)，其中n为自由度 ，Γ为伽玛函数。
正态分布
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布， 其概率密度函数呈钟形，对称轴 为均值所在直线，形状由标准差 决定。
02
正态分布是自然界中最常见的分 布形态，许多随机变量都服从或 近似服从正态分布。
正态分布的性质
01
02
03
集中性
正态分布曲线以均值为中 心，两侧分布对称。
均匀性
正态分布曲线是关于标准 差对称的，形状由标准差 决定。
t分布
t分布的定义
定义
t分布（也称为学生t分布）是一种 连续概率分布，其形状由自由度 参数决定。
描述
当数据来自正态分布的总体，且样 本量较小（通常n<30）时，t分布 近似于正态分布。
公式
t分布的密度函数和分布函数可以用 一系列复杂的数学公式来描述。
t分布的性质
形状
峰度
随着自由度的增加，t分布的形状逐渐 接近正态分布。
t分布的峰度大于正态分布的峰度，且 随着自由度的增加而减小。
偏度
t分布通常是偏态的，其偏度随着自由 度的增加而减小。
t分布在统计学中的应用
假设检验
在样本量较小时，t分布在假设 检验中常用作正态分布的替代，
用于检验统计假设。
概率论与数理统计 7.2 数理统计中的三大分布
7.2 数理统计中的三大抽样分布
在数理统计中，以标准正态变量为基石而构 造的三个著名统计量有着广泛的应用，这是因为 这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布 的密度函数有明显的数学表达式，它们被称为统 计中的“ 三大抽样分布 ” 。
1. 2 分布
数理统计
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
t1 (n) t (n)
o t (n)
x
t分布的上分位点t (n)可查表
求得，例t0.025(15) 2.1315.
当n 45时，对于常用的的值，可用正态近似 t (n) z
例3：X ~ t(15)
（1）求 0.01的上侧分位数； （2） P( X ) 0.05，求 ； （3）P( X ) 0.95 ，求 .
记为 t ~ t(n). t分布概率密度函数为：
f (t)
[(n 1)
2]
(1
t
2
)
n1 2
,
t
(n 2) n n
t 分布的图像
y N (0,1) 数理统计
t(n)
t分布的性质： 1. 设t ~ t(n),则E(t) 0, D(t) n (n 2) (n 2)
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
F分布的上分位点的性质：
F1 (n1, n2 )
1 F (n2 , n1 )
F分布的上分位点可查表求得.例,
F0.95 (12,9)
1 F0.05 (9,12)
1 2.80
0.357
例4. F ~ F (24,15)，求 1,2 使 P(F 2 ) 0.025 P(F 1) 0.025
§5.4三大抽样分布
所以 Y ( y1 ,, yn )T 的各分量相互独立.
n 1 由于 x y1 , ( n 1) s 2 yi2 . x与s 2相互独立. n i 2
1 n 1 21 1 A 3 2 1 n( n 1)
n
( n 1) s 2 yi2，
i2
yi N (0, ), i 2,3, , n.
2
y2 ,, yn相互独立.
( n 1)
2
yi 2 s ~ (n 1). i 2
n
2
2
15
定理2：设( X 1 , X 2 ,, X n )是来自正态总体N ( , )的
1 n 1 21 1 3 2 1 n( n 1)
1 n 0
1 3 2 1 n( n 1)
0 0 1 n( n 1) 1 n
14
(3)
( n 1)
2
s 2 ~ 2 ( n 1).
2 i 1 2 i 2 1 2 2 n 2 n
服从自由度为n的 2分布， 记作 2 ~ 2 (n) . 注：服从 2分布的随机变量取值非负，其密度函数为 n x 1 1 x2 e 2 , x 0 n 2 n 2 ( x; n) 2 ( ) Γ ( s ) x s1e x dx , s 0, 2 0 0, x0
4
n=4
2 分布的性质：
n=6 n=10
1、随n的增大，其偏度越来越小。
2、 2分布表——P425 附表三
2
即是分布函数数值表.
2
n 1 3、 分布是Ga分布的特例，即有 ( n) Ga( , ) . 2 2 4、 2分布具有可加性：
5-4三大抽样分布
三、t 分布 设X1～N(0,1) , X2～ (n ) , 且X1与X2相 X1 互独立，则称变量 t
1、定义:
2
X2 n
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
例2:
若总体X ~ N ( 0,1)，从此总体中取一个容量为
6的样本X 1 , X 2 ，X 6 , 设 Y ( X1 X 2 X 3 ) ( X 4 X 5 X 6 )
2 2 2
试决定常数C，使随机变量CY服从 分布 .
解:
因为
X 1 X 2 X 3 ~ N (0, 3), 所以
2
( y 0)
F
( y1 ym ) / m ( x1 xn ) / n
2 2
p( y )
( m2 n )
m
m 2
1
( ) ( )
m 2 n 2
( ) 2 ( y)
m n
1
m n
y
n n 2
m (n 2) (n 4)
2
( y 0)
1
1 2 2 3 43 5 4 6 5 6
2. F分布的性质
(1).F分布的数学期望
E(F )
n n2
(n>2)
即它的数学期望并不依赖于第一自由度m. (2).F分布的分位数
对于给定的 (0 1), 称满足条件
P F F1 (m, n)
F ( m , n ) 1
p( y )dy 1
的点F1 (m, n)为F (m, n)分布的1- 分位数. 如图所示.
关于对统计推断中抽样分布的总结及判别
关于对统计推断中抽样分布的总结及判别统计推断是统计学的重要分支，用于从一个样本中推断总体的性质。
在进行统计推断时，我们需要对样本进行抽样，并利用抽样数据来进行分析。
抽样分布是统计推断的基础，它是由样本数据的一个统计量构成的分布。
本文将对抽样分布的概念、属性以及判别进行总结，并阐述其在统计推断中的作用。
抽样分布的概念：抽样分布是由样本统计量的取值构成的概率分布。
在统计推断中，我们往往无法获得总体的全部数据，而只能通过抽样来获取一部分数据。
我们需要对样本数据进行抽样，得到一个样本统计量，如均值、方差等。
样本统计量的分布即为抽样分布。
抽样分布的属性：1. 中心性质：抽样分布的中心通常与总体相同或近似相同。
当样本容量足够大时，抽样分布的均值接近总体均值。
2. 精确性质：抽样分布的方差通常比总体方差小。
样本容量越大，抽样分布越接近总体分布。
3. 形态性质：抽样分布的形态通常与总体分布有关。
当总体分布近似于正态分布时，抽样分布也近似于正态分布。
抽样分布的判别：在进行统计推断时，我们通常需要判断一个样本统计量是否来自某个已知分布。
为此，我们可以利用分布的特征进行判别。
1. 直方图：可以通过绘制样本统计量的直方图来观察其分布情况。
如果直方图呈现对称分布且近似于正态分布，那么我们可以判定样本统计量来自正态分布。
2. 正态概率图：正态概率图是一种用于判断数据是否来自正态分布的图形方法。
如果数据点近似位于一条直线上，那么可以判定数据来自正态分布。
3. 假设检验：通过设立假设并进行统计检验，可以判断样本统计量是否来自某个特定的分布。
常用的假设检验方法包括Z检验、t检验等。
抽样分布在统计推断中的作用：抽样分布在统计推断中起着重要的作用，它为我们提供了从样本推断总体性质的基础。
1. 参数估计：通过样本的抽样分布，可以进行总体参数的点估计和区间估计。
通过样本均值的抽样分布，可以推断总体的平均值。
2. 假设检验：抽样分布是进行假设检验的基础。
三大抽样分布
F(n1, n2)为F(n1, n2)的上侧分位点；
1 注： F1 (n1 , n2 ) F (n2 , n1 )
F (n1 , n2 )
若X 1 , Y1 ,
, X n1 来自正态总体X, X ~ N ( 1 , 12 ),
2 , Yn2 来自正态总体Y, Y ~ N ( 2 , 2 ), 且两样本独立.
当
2 ( n)
2.t 分布
关于t分布的早期理论工作，是英国统计学家威廉· 西利· 戈塞 特（Willam Sealy Gosset）在1990年进行的。 t分布是小样本分布，小样本一般是指n＜30。t分布适用于 当总体标准差未知时用样本标准差s代替总体标准差σ，由
样本平均数推断总体平均数及两个小样本之间差异的显著性
χ2 分布是海尔墨特（Hermert）和卡· 皮尔生（K· Pearson） 分别于1875年和1890年导出的。它主要适用于对拟合优度检 验和独立性检验，以及对总体方差的估计和检验。 χ2 分布是一种抽样分布。当我们对正态随机变量随机地重 复抽取个数值，将每一个值变换成标准正态变量，并对这个 新的变量分别取平方再求和之后，就得到一个服从χ2分布的 变量，即
F分布的主要性质有： ①F分布是一种非对称的分布，呈右偏态； ② F分布两个自由度：n1-1和n2-1，相应的分布记作F(n1-1,n2-
1)。通常n1-1称为分子自由度， n2-1称为分母自由度。
③随n1,n2的不断增大，F分布的右偏程度逐渐减弱，但不会趋向 正态；
④具有倒数性质即若X～F(n1,n2)，则1/X～F(n1,n2)；
(4) t 分布是一个分布族，对于不同的样本容量对应不同的 分布，且均值都为0；随着自由度的增大，分布也逐渐趋 于标准正态分布。
三大抽样分布
U ~ 2(n1 ),
F ( n2 , n1 )
V
~
2 (n2 ) , 使F
U / n1 V / n2
(2) 若 t ~ t(n), 则 t 2 ~ F (1, n) (P130-习8)
简证: t : t(n) X : N (0,1), Y : 2(n),使t X
Y /n t 2 X 2 , X 2 : 2(1), Y : 2(n), F分布定义
第四节 抽样分布（重点）
主要内容（2学时）
一、卡方分布( 2分布)。
二、t分布。 三、F分布。 四、正态总体的样本均值、样本方差的分布。
说明： 统计量是样本的函数，是随机变量，有其概率
分布，统计量的分布称为抽样分布.
要求： 了解 2 分布、t 分布、F 分布的定义，及来自
正态总体X的样本均值的分布等常见统计量的分布。
(50)
:
n 50 45
z0.05 1.645
2 0.05
(50)
1 2
(z0.05
2 * 50
1)
1 2
(1.645
99) 67.221
(2) P( X A) 1 0.025 0.975
A
2 0.975
(6)
1.237
例2 设X1 , X 2 , ..., X10为总体N (0, 0.32 )的一个样本,
会查 2 分布、t 分布、F 分布的上分位数。
一、卡方分布（ 2 分布 ）
1、定义（重点）
设 X1 , X 2 , L , Xn 是来自标准正态总体 N (0 , 1)
的一 个样本，令 2
X 12
X
2 2
L
X
2 n
三大抽样分布知识点一览
三大抽样分布知识点一览抽样分布的概念抽样分布：从已知的总体中以一定的样本容量进行随机抽样，由样本的统计数所对应的概率分布称为抽样分布。
抽样分布是统计推断的理论基础。
如果从容量为N的有限总体抽样，若每次抽取容量为n的样本，那么一共可以得到N取n的组合个样本(所有可能的样本个数)。
抽样所得到的每一个样本可以计算一个平均数，全部可能的样本都被抽取后可以得到许多平均数。
如果将抽样所得到的所有可能的样本平均数集合起来便构成一个新的总体，平均数就成为这个新总体的变量。
由平均数构成的新总体的分布，称为平均数的抽样分布。
随机样本的任何一种统计数都可以是一个变量，这种变量的分布称为统计数的抽样分布。
三大抽样分布1. 卡方分布χ2(n)定义：若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn,均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。
2. t分布定义：设X1服从标准正态分布N(0,1)，X2服从自由度为n的χ2分布，且X1、X2相互独立，则称变量t=X1(X2/n)1/2所服从的分布为自由度为n的t分布。
3. F分布定义:设X1服从自由度为m的χ2分布，X2服从自由度为n的χ2分布，且X1、X2相互独立，则称变量F=(X1/m)/(X2/n)所服从的分布为F分布，其中第一自由度为m，第二自由度为n。
与正态分布一同构成数理统计中的四大分布。
由标准正态总体样本的适当组合构成的统计量形成数理统计中的其他三大基础分布。
所以，数理统计中总是以正态总体作为研究对象展开。
在数理统计中，"总体"、"抽样"、"样本"是三个基本概念,分位点是"小概率事件"发生的临界点，置信区间是参数估计和假设检验的核心计算问题。
抽样分布的名词解释
4.F分布：F分布是指F统计量的分布情况。F分布常用于F检验，用于比较两组样本的方差差异是否显著。
抽样分布的类型和使用场景不同，但都在统计学中扮演着重要的角色。通过对抽样分布的了解，可以帮助我们更加准确地进行统计分析，更好地掌握数据的分布情况。
抽样分布是指根据总体数据的抽样结果的分布情况。在统计学中，通过对样本的观察，可以推断出总体的分布情况。
常见的抽样分布包括正态分布、t分布、卡方分布、F分布等。
1.正态分布：正态分布是指数据呈现出高峰在中间，两侧逐渐递减的分布形态。正态分布常用于表示自然界中许多变量的分布情况，例如人群身高、体重等。
2.t分布：t分布是指在总体方差未知的情况下，样本方差的分布情况。t分布常用于统计分析中的t检验，用于比较两组样本的差异是否显著。
统计量的分布——抽样分布及其性质
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,l%很显然该概率密度服从指数分布 因此) 分布为参 数7$ 的指数分布从而指数分布是作为一种特殊的)
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根据函数的性质可得 槡 即自由
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科技风 年 月
统计量的分布
抽样分布及其性质
赵红妮
西安思源学院基础部!陕西西安!+#""""
摘4要数理统计是以概率论为基础的一个数学分支它从实际观测的数据出发研究随机现象的规律性 本文基于 正态分布的基础上研究三大抽样分布) 分布'分布和<分布的概念及性质图像结合例题对抽样分布做出更深一层的 理解与应用
关键词随机变量抽样分布正态分布
44概率论中假定随机变量的分布是在已知的基础上研 究随机变量的性质以及数字特征&而在现实生活中要研究
三大抽样分布(F、t、X2)
(三)三大抽样分布(l)t分布首先，我们应把注意力放在服从t分布的t变量的构造上。
设百，叼，…，凝是来自正态总体您)的一个样本.则有：对样本均值x施行标准化变换，则有：公=与=向〜)〜秋o,D当用样本标准差S代替上式中的总体标准差b，则上式U变量改为t变量，标准正态分布N①，1)也随之改为''自由度为n-1的t分布” .记为.即：――G-〃) -.［修一V尾部概率产(x>3) =0.00155. F(r >3) >0,02自由度为n-1的t分布的概率密度函数与标准正态分布N(0, 1)的概率密度函数的图形大致类似，均为对称分布，但它的峰比N(0, 1)的峰略低一些，而两侧尾部要比N①，1)的两侧尾部略粗一点，参见图1.3-8。
当自由度超过3。
后，两者区别已很小，这时可用N9, 1)代替1号-1)・(2) /分布设百，叼，…，演是来自正态总体从(人〃)的一个样本，则其样本方差一的n-l倍(也即离差M平方和2：(々- 3)2除以总体方差的分布是自由度为n-1的Z?分布，记为才 2 (% 一1),即：2-1♦一？S - = £ - 2)2 / /〜F 伽-1)自由度为n-1的1？分布的概率密度函数在正半轴上呈偏态分布，参见图1.3-9o（3）F 分布设有两个独立的正态总体N （〃i ，/）和4），它们的方差相等。
又设x P 叼，…，/是来自N （〃i ，〃）的一个样本；Xp -一，是来自》（外，〃）的一个样 本 > 两个样本相互独立。
它f 门的样本方差比的分布是自由度为n-1和的F 分布：其中n-1称为分子自由度或第1自由度；m-1称为分母自由度或第2自由度■ F 分布的概率密度函数在正半轴上呈偏态分布，参见图l.3-10o阳131。
尸储加-1）的IK 率密度函数 n-X _次（演-五）2 1 2-1〜F （力一 L W-1）。
抽样与抽样分布
抽样与抽样分布抽样是统计学中一种重要的数据收集方法，通过从总体中选择一部分样本来代表整体，可以更方便、更经济地进行数据分析和推断。
而抽样分布则是与抽样密切相关的概念，指的是样本统计量的概率分布。
本文将从抽样的定义和目的、抽样方法和抽样分布的性质等方面进行探讨。
一、抽样的定义和目的抽样是统计学中利用一定的方法和技术从总体中选取一部分个体作为样本，以了解总体特征或者对总体进行推断的过程。
抽样的目的在于通过对样本的观测和研究来推断总体的特征，而无需对整个总体进行调查。
抽样可以减少调查或实验的成本、节约时间，并且在一定程度上能够保证结果的可靠性和精确度。
二、抽样方法1. 简单随机抽样：简单随机抽样是指从总体中随机选择样本，使每一个样本都有相同的概率被选中。
简单随机抽样通常需要使用随机数表、随机数发生器或者抽签等方法来实现。
2. 系统抽样：系统抽样是按照一定的规则和系统性地从总体中选择样本，例如每隔一个固定的间隔选取一个样本。
系统抽样的优点在于操作简单，但是如果总体中存在某种周期性或者规律性的分布，可能会导致抽样结果的偏差。
3. 整群抽样：整群抽样是将总体根据某些特征进行分类，然后从每个分类中随机选择一定数量的群体作为样本。
整群抽样适用于总体中存在明显的群体结构的情况，可以提高样本的代表性。
4. 分层抽样：分层抽样是按照某种特征将总体分为若干层，然后从每一层中随机选择一定数量的样本。
分层抽样可以更好地体现总体的结构和差异，提高样本的代表性和准确性。
三、抽样分布的性质抽样分布是样本统计量的概率分布，其具有以下几个重要性质：1. 无偏性：如果样本统计量的期望值等于总体参数的真值，那么称该统计量是无偏的。
即样本统计量是对总体参数的无偏估计。
无偏性是抽样分布的重要性质，保证了样本统计量的可靠性和准确性。
2. 一致性：当样本数量趋向无穷大时，样本统计量的值趋向于总体参数的真值。
即样本统计量在大样本情况下能够接近总体参数，具有一致性。
第六章 抽样分布及总体平均数的估计
• 对总体参数的一种看法 总体参数包括总体均值、比例、方差等 分析之前必需陈述
三 假设检验的基本原理
2、什么是假设检验？
1）概念 事先对总体参数或分布形式作出某种假设， 然后利用样本 信息来判断原假设是否成立。 2） 类型 参数假设检验 非参数假设检验 3）特点 采用逻辑上的反证法 依据统计上的小概率原理
二 总体平均数的估计
（3）区间估计（interval estimation)
根据估计量以一定可靠程度推断总体参数所在的区间 范围，用数轴上一段距离表示未知参数可能落入的范围， 虽不具体指出总体参数等于什么，但能指出未知总体参数 落入某一区间的概率有多大。
（4）置信区间（confidence interval）
一 抽样分布与平均数抽样分布
3、样本平均数与总体平均数离差的形态
（2）总体方差未知 总体正态，样本平均数与总体平均数的离差统 计量呈 t 分布； 总体非正态，但满足n>30这一条件，样本平均 数与总体平均数的离差统计量 近似t 分布。
t分布
t 分布（t-distribution)是统计分析中应用较多 的一种随机变量函数的分布，是统计学者高赛特 1908年以笔名“Student”发表的论文中推导出来 的一种分布，又叫学生氏分布。这种分布是一种 左右对称，峰态比较高狭，分布形状随样本容量 n-1的变化而变化的一组分布。
二 总体平均数的估计
4 总体方差σ2未知时，总体平均数μ的估计 用样本的无偏方差作为总体方差的估计值，样本 平均数的分布为t分布，应查t值表，包括以下两 种情况：
（1）总体的分布为正态时，可不管n值大小。 （2）总体分布为非正态，只有n>30，才能用概率对其样本 分布进行解释。
三大抽样分布的定义及应用
三大抽样分布的定义及应用三大抽样分布是指正态分布、t分布和卡方分布。
它们在统计学中具有重要的应用，并且广泛地被用于估计和推断总体参数。
正态分布是指具有钟形曲线的连续概率分布，其概率密度函数的形状由均值和标准差决定。
在实际应用中，正态分布广泛用于描述许多自然现象，例如人的智力分布、心脏跳动的间隔时间等等。
对于大样本量的情况下，根据中心极限定理，样本均值的分布可以近似服从正态分布。
因此，正态分布在统计推断中起到了至关重要的作用，例如用于构建置信区间、假设检验、回归分析等。
t分布是由英国统计学家威廉·戴韦提出的，是用来处理小样本量情况下的统计推断问题的一种概率分布。
t分布与正态分布相似，但是其概率密度函数的形状更加平坦，有更宽的尾部。
t分布的自由度是影响其形状的一个参数，自由度越小，尾部越厚重。
在小样本量的情况下，使用t分布进行统计推断可以更准确地估计总体参数。
例如，当样本量较小时，使用t分布来计算置信区间或进行假设检验，可以避免过度自信导致错误的推断结果。
卡方分布是由皮尔逊提出的，是应用在统计推断中的一种概率分布。
卡方分布常用于分析分类数据的相关性以及拟合度。
在这两个统计问题中，卡方分布提供了一个用于检验观察值与期望值之间的差异程度的方法。
卡方分布的自由度取决于数据的维度。
在统计推断中，卡方分布被广泛用于拟合度检验，例如用于检验样本的观察频数与理论频数是否有显著差异。
正态分布、t分布和卡方分布的应用在各个领域和学科中都非常广泛。
在医学研究中，这些分布被用于分析临床试验的数据，进行数据建模以及推断总体参数。
在市场研究中，这些分布被用于对市场数据进行概率分析和预测。
在财务管理中，这些分布被用于分析股价的波动性和风险评估。
在工程领域中，这些分布被用于分析产品的可靠性和质量控制。
总之，正态分布、t分布和卡方分布是统计学中的三大抽样分布，它们在统计推断中具有重要的应用价值。
通过使用这些分布进行数据分析和推断，我们可以准确地估计总体参数，进行假设检验，以及进行优化和决策制定等重要统计任务。
5.4三大抽样分布
X 1 ~ χ 2 (n1 )
X 2 ~ χ 2 (n2 )
X1,X2 相互独立，则X1+X2 ~χ2(n1+n2) 相互独立， 例1
X ~ N (µ ,σ 2 )
2
(X1,X2,X3)为X的一个样本 为 的一个样本
2 2
求 X 1 − µ + X 2 − µ + X 3 − µ 的分布。 的分布。
1-α α α
t1−α (n)
tα (n) t1−α (n)
（2）对称性
t1−α (n) = −tα (n)
求t 0.05 (10)
三、 F—分布 分布
问题：1/F服从什么分布？
1、定义 若X~χ2(n1)，Y~χ2(n2) ，X,Y独立，则 、 独立， ， 独立
X n1 F= ~ F (n1 , n2 ) Y n2
称为第一自由度为n1 ，第二自由度为 2的F—分布， 第二自由度为n 分布， 称为第一自由度为 分布 其概率密度为
n1 −1 n1 + n 2 n1 / 2 2 )(n1 / n2 ) y Γ( 2 , h( y ) = n1 n2 n1 ( n1 + n2 ) / 2 Γ( 2 )Γ( 2 )(1 + n y ) 2 0, y≤0
解：a=1/20, b=1/100
2.设t 1−α (n)为t分布的1 − α分位数 P (T < t 1−α (n)) = P (| T |> t 1−α (n)) =
1-α 2α
P(T < − t 1−α (n)) =
α
三、有关正态总体的几个主要结果
X −µ X 1 , X 2 ,⋯, X n ~ N ( µ , σ 2 ) 则 U = ~ N (0, 1) 1、若 、
统计学中的抽样分布理论
统计学中的抽样分布理论统计学是一门深奥而又广泛应用的学科，其中抽样分布理论是其中一个重要支柱。
本文将从抽样、样本统计量和抽样分布三个方面进行论述，以便更好的理解其理论和应用。
一、抽样与样本统计量统计学的基本任务之一是推断总体特征。
但由于总体数据规模庞大，难以全面观察和分析，因此我们通常采用小样本的方式来代表总体。
这就是抽样的概念。
抽样是指从总体中随机抽取一部分数据，用这一部分数据代表总体，以此估计总体的特征。
常用的抽样包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样等。
在抽样中，一个样本统计量的重要性凸显出来，因为它可以帮助我们更好的估计总体的特征。
比如，一个数据集的均值和标准差就是两个重要的样本统计量。
二、抽样分布抽样分布是指在所有可能的样本中，某个样本统计量的分布情况。
这里需要区分参数（population）和统计量（sample statistic）之间的关系。
参数是总体参数，是我们想要研究的总体特征，比如总体均值、总体方差等。
统计量是在样本中计算出来的数值，比如样本均值、样本方差等。
样本统计量是对总体参数的估计，不同的样本统计量可能对总体参数的估计存在一定的差异。
抽样分布不同于总体分布。
总体分布是指总体中所有变量的分布，而抽样分布是指在所有可能的样本中，某个样本统计量的分布。
抽样分布是一个特殊的概率分布，其形状和参数取决于总体分布和样本大小。
这是因为在计算样本统计量时，会受到样本数量和样本变异的影响。
在实际使用中，我们通过抽样分布来推断总体参数。
具体方法是：首先，通过采样方法得到一个样本，计算该样本统计量的值。
然后，通过数学公式推算样本统计量的抽样分布，从而得到一个概率区间。
若该样本统计量恰好位于这个区间内，则认为该样本统计量的估计值与总体参数的差异可以用统计学上的概率来表示。
这个概率就是所谓的显著性水平（signicance level）。
三、中心极限定理中心极限定理是抽样分布理论中最为重要的定理之一。
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数学学习与研究 2019. 12
பைடு நூலகம்
( ) 还有一个实用的结论，Γ
1 2
= 槡π．
若 X ～ Γ（ α，β） ，我 们 可 以 计 算 出 它 的 矩 母 函 数 为
MX （ t） = （ 1 － βt） －α ，下面的分布就与这个矩母函数有关． 三、三大分布的性质
（ 一） 卡方分布
1． 定义
如果 Z ～ N（ 0，1） ，且 X = Z2 ，我们就说 X 服从自由度为
1 的卡方分布，记作 X ～ χ21 ． 证明如下：
FX （ x） = P（ X ≤ x） = P（ Z2 ≤ x） = P（ － 槡x ≤ Z ≤槡x） ，
FX （ x） = FZ （ 槡x） － FZ （ － 槡x） ，
求导可得，fX （ x） =
1
1
x－
1 2
e
－
x 2
，
2 2 槡π
( ) 或者 fX（ x）
二、预备知识
如果一个随机变量 X 服从形状参数为 α，尺度参数为 β
的伽马分布，我们记 X ～ Γ（ α，β） ，那么其概率密度函数为
f（ x）
=
x
α
－1
e
－
x β
βαΓ（ α）
，α，β
＞
0，x ≥ 0，则 E（
X）
= αβ，Var（ X）
=
∫∞
αβ2 ，其中 Γ（ α） 为伽马函数，且 Γ（ α） = xα－1 e －x dx，另外 0
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143
三大抽样分布的理解与具体性质
◎蔡则元 （ 甘肃省兰州市榆中县兰州大学榆中校区，甘肃 兰州 730107）
一、简 介
三大抽样分布分别指的是： 卡方分布、t 分布（ 也叫学生
t 分布） 、F 分布，在详细叙述这三大分布之前，我们需要对伽
马分布有清晰的认识，下面我们先简单探讨伽马分布．
=
x
－
1 2
1
22 Γ
e
－
x 2
1
2
． 证毕．
( ) 可以发现，这刚好是 Γ
1 2
，2
的概率密度函数，且服从
自由度为 1 的卡方分布，记作 X ～ χ21 ． 那么服从自由度为 1 的
卡方分布的矩母函数为 MX（ t）
=
（1
－ 2t）
－
1 2
．
如果 Z1，Z2，…，Zn 是独立的随机变量且 Zi ～ N（ 0，1） ，如
1． 定义
如果 Z ～ N（ 0，1） ，U ～ χ2df ，那么比率 Z 服从自由度 U
槡df
为 df 的 t 分布，记作 X ～ tdf ， 如果 自 由 度 df = n，则 概 率 密 度 函 数 为 f（ x） =
Γ n +1
( )2
( )( ) 槡πnΓ
n 2
1 + x2
－
n +1 2
，－
N（
μ，σ）
，我们知道（
n
－ 1） σ2
S2
～
χ2n－1 ，同时又有X
－ σ
μ
～
槡n X－μ
σ
N（ 0，1） ，利用 t 分布的定义，我们有
槡n （ n － 1） S2
=
X
－ s
μ，
σ2
槡n
槡n － 1
因此，X
－ s
μ
～
tn－1 ．
槡n （ 三） F 分布 1． 定义
U
如果 U
～
χ2n1 ，V
～
χ2n2
，那么 Y
～
χ2n ．
（ 2） 如果 X ～ Γ（ α，β） ，则 E（ X） = αβ，Var（ X） = αβ2 ，
因此，我们可以推出：
若 X ～ χ2n ，那么 E（ X） = n，Var（ X） = 2n． （ 3） 如果 X ～ χ2n ，Y ～ χ2m ，且 X 和 Y 独立，同样利用矩母 函数，可得 X + Y ～ χ2n+m ． （ 二） t 分布
∞
＜ x ＜ ∞．
n
若 X ～ tn ，有 E（ X）
= 0，Var（ X）
=
n
n －
2．
事实上，t 分布
的概率密度函数形状与卡方分布类似，但尾部稍粗，并且当
自由度 n 趋于无穷时，t 分布收敛到 N（ 0，1） ．
2． 性质
（ 1） 如果 X1 ，X2 ，…，Xn 是独立同分布的随机变量，且
Xi
～
n
∑ 果 Y = Z2i ，那么 Y 服从自由度为 n 的卡方分布，记 Y ～ χ2n．
i =1
证明如下： 利用矩母函数和独立性，我们有 MY （ t） =
MZ21 （
t） × M 而每个
ZZ22 （2i
t） × … × MZ2n （ t） ， 服从自由度为 1 的卡方分布，其矩母函数为
MZ2i （ t）
，如果
U
和
V
独立，那么比率
n1 V
服
n2
从 F 分布，其中分子的自由度为 n1 ，分母的自由度为 n2 ，记
作X ～ Fn1，n2 ，其概率密度函数为
f（ x）
Γ n1 + n2
( ) =
2
( ) ( ) Γ n1 Γ n2
( ) ( ) 2
2
n1
x n1
2
n2 2
－1
1 + n1 x
－
1 2
（
n1
+ n2）
，
n2
n2
－ ∞ ＜ x ＜ ∞．
同时，如果 X ～ Fn1，n2 ，
那么 E（ X）
=
n2 n2 －
2，Var（
X）
2． 性质
=
2n22 （ n1 （ n2
n1 + n2 － － 2） 2 （ n2
2） － 4）
．
我们可以用 Ｒ 模拟 F 分布，
得到
这是一种 非 对 称 分 布，有 两 个 自 由 度，且 位 置 不 可 互 换． F 分布有着广泛的应用，如在方差分析、回归方程的显著 性检验中都有着重要的地位．
=
（1
－
2t）
－
1 2
，
( ) 故 MY（ t）
=
（
1
－
2t）
－
n 2
，这是 Γ
n 2
，2
的矩母函数，因
此，我们称 Y 服从自由度为 n 的卡方分布．
2． 性质
（ 1） 如果 X1 ，X2 ，…，Xn 是独立同分布的随机变量，且
Xi ～ N（ μ，σ） ，
∑( ) n
令Y =
i =1
xi － σ
μ
2