四川省乐山一中2015届高中数学11月月考试题理

乐山一中2015届第五学期11月月考理科数学试题第I 卷 选择题一、选择题（10个小题，每题5分，共50分） 1.已知}1{+==x y x A ,}1,log {5.0＞x x y y B ==,那么=⋂B A （ ）A.∅B.),1(+∞C.)1,1[-D.)0,1[- 2．已知复数z 满足3(12)12i z i +=+，则z =（ ）3.在复数集C 中，命题:p C x ∈∃，使0120=+x 成立，命题R x Q ∈∀:，均有i x x +≤+1cos sin ，那么下列命题为真命题的是（ ）A.Q P ∧⌝B.Q P ⌝∧C.Q P ∧D.Q P ⌝∧⌝ 4、函数211log y x=+的定义域为（ ）。

1)(,2]22||,0πϕ<6.设是△ABC 内一点，且230OA OB OC ++=，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比值是 （ ）A ．32 B ．53C ．2D ．37．函数f(x)=1nx-212x 的图像大致是（ ）9． f (x )的定义域为R ，且21,0()(1),0x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若方程f (x )＝x ＋a 有两不同实根，则a 的取值范围为（ )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)10．定义域为[],a b 的函数()y f x =的图象的两个端点为A,B,M ()(),x y x 是f 图象上任意一点,其中()()()1,1x a b R ON OA OBλλλλλ=+-∈=+-向量,若不等式MN k ≤恒成立,则称函数()[],f x a b 在上“k 阶线性近似”.若函数[]112y x x=+在，上“k 阶线性近似”,则实数k 的取值范围为（ ）A ．[)0+∞，B ．[)1+∞，C ．32⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．32⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭第II 卷 非选择题二、填空题（每题5分，共25分） 11.已知幂函数)(x f y =的图像经过点)22,21(，则=+)5(lg )2(lg f f _________. 13．已知θ为锐角,4sin(15)5θ+=,则cos(215)θ-=_________. 14．O 是锐角ABC ∆的外心，则222sin AOA sin BOB sin COC ++= 12．设}{n a 是公比为q 的等比数列,首项6411=a ,对于*∈N n ,n n ab 21log =,当且仅当4=n 时,数列{}n b 的前n 项和取得最大值,则q 的取值范围为________.15．对于函数lg |3|y x =-和sin 2xy π=(410)x -≤≤,下列说法正确的是__________. (1)函数lg |3|y x =-的图像关于直线3x =-对称;(2)sin2xy π=(410)x -≤≤的图像关于直线3x =对称;(3)两函数的图像一共有10个交点;(4)两函数图像的所有交点的横坐标之和等于30;(5)两函数图像的所有交点的横坐标之和等于24.三、解答题（16至19题，每题12分。

20题13分，21题14分，共75分）16.已知ABC ∆ 的内角A 、B 、C 所对的边为,,a b c ， (sin ,cos )m b A a a B =-, (2,0)n =，且m 与n 所成角为3π. （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）求C A sin sin +的取值范围.18.已知数列{}n a 满足)2(121,111≥+==-n a a a n n . （1）求证：数列{}2-n a 是等比数列； （2）设112()21n n C a n λ+=--+，若数列{}n C 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．19．已知向量)1,(sin -=x m ,)21,cos 3(-=x ,函数2)(2-⋅+=x f .(Ⅰ)求)(x f 的最大值,并求取最大值时x 的取值集合;(Ⅱ)已知a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边,且a ,b ,c 成等比数列,角B 为锐角,且()1f B =,求CA tan 1tan 1+的值.20.设函数()(3),xf x m e =-x b ax xg ln 12)(++=，其中,,,m a b R ∈曲线)(x g 在1=x 处的切线方程为3.y x =(1)求函数)(x g 的解析式;（2）讨论关于x 的方程)()(x g x f =根的个数.21.已知函数()()x a x x f -+=ln 有且只有一个零点，其中a ＞0. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的()+∞∈,0x ，有()2kx x f ≥成立，求实数k 的最大值；（III ）设()()x x f x h +=，对任意()()2121,1,x x x x ≠+∞-∈，证明：不等式()()121212121+++--x x x x x h x h x x ＞恒成立.乐山一中2015届第五学期11月月考理科数学试题参考答案1.D 2． B 3. C 4、D. 5.B 6. C 7 B 8.B 9.A .10. C11.12 12、)4,22( 13． 5014、 15． (2)(3)(4); 16.(本小题满分12分)17．解：解答一：（1）在菱形ABCD 中，连接,DB 则BCD ∆是等边三角形。

E BC DE BCPO ABCDOD PD ABCD PD BC∴⊥⊥∴∴⊥点是边的中点平面是斜线在底面内的射影（2）DE BC ⊥由（1）知12263323ABCD DE PD ABCD PD ADPDO P AD C ABCD AD DE BCD BDC DO DE BC ∴⊥⊥∴⊥∴∠--⊥∆∴∆∆==⋅==菱形ABCD 中，AD//BC DE AD又PO 平面，是在平面的射影为二面角的平面角在菱形中，，由（）知，为等边三角形点E 是BC 边的中点，AC 与BD 互相平分点O 是BCD 重心AB=63又在等边中，6666tan 164--OC OD PC PO PO Rt POD PDO DO PDO P AD C ππ∴===∴=∴∆∠===∴∠=∴在中，二面角的大小为(0,6,0),(630060(0.(0D PAD PAD PD AD a m a ns OP --∴=-==--+=-==的不妨取,0,6,s OP<18.解：（1）212)2(2121212211111=--=--=-------n n n n n n a a a a a a ，又121-=-a ， ……3分 ∴数列{}2-n a 是以1-为首项，21为公比的等比数列. ……5分 （注：文字叙述不全扣1分）.（2）由（2）得11)21(2,)21(12---=⨯-=-n n n n a a 则 , 1122()2()211n n n C a n n λλ+=-=--++,使数列是单调递增数列。

……6分19．解:(Ⅰ)2)()(-⋅+=x f 221cos sin 31sin 2-+++=x x x )62sin(2cos 212sin 23212sin 2322cos 1π-=-=-+-=x x x x x 故1)(max =x f ,此时Z k k x ∈+=-,2262πππ,得Z k k x ∈+=,3ππ,∴取最大值时x 的取值集合为},3|{Z k k x x ∈+=ππ(Ⅱ)()sin(2)16f B B π=-=,20π<<B ,65626πππ<-<-∴B , 262B ππ∴-=,3B π=由ac b =2及正弦定理得C A B sin sin sin 2=于是CA AC A C C C A A C A sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1+=+=+2sin()1sin sin A C B B +===20.解：（1）'()2,bg x a x=+则'(1)23,g a b =+=又(1)213,g a =+= 解得1,1,a b ==所以()21ln .g x x x =++ ………… （4分）(2)由题意，原方程等价于分离参数后的方程3ln 12+++=xexx m ， 令3ln 12)(+++=x e xx x h ，则xex x x x h ln 211)(--+='， ……（6分） 令x x x x t ln 211)(--+=，探根：令1=x ，则0)1(=t ，又0121)(2<---='x xx t ，说明函数)(x t 过点（1，0），且在（0，+∞）上单调递减，其大致图像如图.观察图像即知，当∈x （0，1）时，0)(>x t ；当∈x （1，+∞）时，0)(<x t 。

又易知)(x h '与)(x t 同号，所以)(x h 在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，……（9分） 又当+→0x 时，-∞→)(x h ；当+∞→x 时，3)(→x h ，即直线0=x （y 轴）和3=y 是函数)(x h 图像的两条渐近线，所以)(x h 的大致图像如图2， ………… （11分） 观察图像即知： 当33+=em 或]3,(-∞∈m 时，方程)()(x g x f =根的个数为1； 当⎪⎭⎫⎝⎛+∈33,3e m 时，)()(x g x f =根的个数为2； 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∞++∈,33em 时，)()(x g x f =根的个数为0. ………… （13分）21. 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()a -+∞，，ax a x a x x f +-+-=-+='111)(． 由()0f x '=，得a a x ->-=1.∵ 当a x a -<<-1时，()0f x '>；当a x ->1时，()0f x '<，∴ ()f x 在区间(1]a a --，上是增函数，在区间[1+)a -∞，上是减函数， ∴ )(x f 在1x a =-处取得最大值．由题意知(1)10f a a -=-+=，解得1a =．…………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知)(x f =ln(x +1)-x ，当k ≥0时，取x =1得，012ln )1(<-=f ，知k ≥0不合题意. 当0<k 时，设22()()ln(1)g x f x kx x x kx =-=+--.则1)122(2111)(+++-=+-+='x k kx x kx x x g . 令0)(='x g ，得01=x ，12112122->--=+-=k k k x .①若2212k x k+=-≤0，即k ≤-12时，0)(>'x g 在(0)x ∈+∞，上恒成立， ∴ )(x g 在[0)+∞，上是增函数，从而总有0)0()(=≥g x g ， 即()f x ≥2kx 在[0)+∞，上恒成立. ②若02122>+-=k k x ，即021<<-k 时，对于21(0)2k x k+∈-，，0)(<'x g ， ∴ )(x g 在21(0)2k k+-，上单调递减.于是，当取021(0)2k x k+∈-，时，0)0()(0=<g x g ，即0()f x ≥20kx 不成立.故021<<-k 不合题意.综上，k 的最大值为21-. ……………………………………………………………8分（Ⅲ） 由()()ln(1)h x f x x x =+=+．不妨设121x x >>-，则要证明1212()()x x h x h x ->-只需证明1212(1)(1)ln(1)ln(1)x x x x +-+>+-+121ln 1x x +>+，121ln 1x x +>+． 设121(1)1x t t x +=>+ln (1)t t >>ln t >．设()ln t t ϕ=，则2()0t ϕ'>， ∴ ()t ϕ在(1)+∞，上单调递增，∴ ()(1)0t ϕϕ>=．ln t >，得证． 故原不等式恒成立．………………………………………………………14分。