河北省二十冶综合学校高考数学总复习 (选修44)直线的参数方程学案
人教版高中数学选修(4-4)-2.3《直线的参数方程(第2课时)》教学设计
第二讲 参数方程直线的参数方程（第二课时）(谷杨华)一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解直线参数方程的其它形式、灵活应用参数的几何意义，学会选择适当的参数方程，在逻辑推理、数学抽象中感受参数方程的优越性． （二）学习目标1．根据实际问题选择适当的直线参数方程．2．掌握直线标准参数方程中参数的几何意义，通过参数几何意义，树立数形结合的思想． 3．灵活利用直线参数方程解决有关几何问题，体会参数方程的优越性． （三）学习重点1．直线参数方程的应用．2．直线参数方程中参数的几何意义． （四）学习难点1．对直线标准参数方程与其它形式的参数方程之间联系的理解． 2．对直线标准参数方程中参数的几何意义的灵活应用． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务读一读：阅读教材第36页至第39页，填空：直线l 的参数方程为)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα与曲线0),(=y x f 交于21,M M 两点，对应的参数分别为21,t t ，则：（1）曲线的弦长=21M M -（2）线段21M M 的中点M 对应的参数t =221t t + 2．预习自测（1）下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是( )A.⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)B.⎩⎨⎧x ＝1－t ，y ＝5－2t (t 为参数)C.⎩⎨⎧x ＝1－t ，y ＝3－2t (t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋255t ，y ＝5＋55t (t 为参数) 【知识点】直线的参数方程【解题过程】将选项中的参数方程消去参数化为普通方程，选项A 对应的普通方程为：02=+-y x ，选项B ：032=+-y x ；选项C ：2x －y ＋1＝0【思路点拨】将参数方程化为普通方程验证可得 【答案】C（2）已知直线),(3443为参数t t y tx ⎩⎨⎧+-=+=，下列说法错误的是( )A ．直线过点)1,7(-B ．直线的斜率为43 C ．直线不过第二象限 D ．t 是定点)4,3(0-M 到该直线上对应点M 的距离【知识点】直线的参数方程【解题过程】将参数方程化为普通方程得：)3(434-=+x y ，验证可知A,B,C 正确，而选项D 只有在标准参数方程下才具有上述几何意义，显然所给的参数方程不是标准参数方程 【思路点拨】熟记直线标准的参数方程及参数的几何意义 【答案】D（3）曲线5()122x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数与曲线5()2x t y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩为参数表示的 同一曲线。
河北省二十冶综合学校高考数学总复习 (选修44)综合测
河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习 （选修4-4)综合测试（1） 一、选择题1、曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标为（ ）。
A.4)2(22=++y xB.4)2(22=-+y xC.4)2(22=+-y xD.4)2(22=++y x 2、若直线的参数方程为12()23x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ） A 23 B 23- C 32 D 32- 3、将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A 2y x =- B 2y x =+ C 2(23)y x x =-≤≤ D 2(01)y x y =+≤≤4、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心二、填空题5、点()22-，的极坐标为 。
6、参数方程cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)化成普通方程为 .7、已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧=+=ϕϕsin cos 1y x （ϕ为参数，πϕ20<≤），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是 。
8、已知圆的极坐标方程为ρ=2cos θ,则该圆的圆心到直线ρsin θ+2ρcos θ=1的距离是 .9、在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y t x 241（参数），若以O 为极点，X 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为p=4sinθ，则直线l 被曲线C 所截得的弦长为______.三、解答题10、求直线11:()53x t l t y t=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数和直线2:230l x y --=的交点P 的坐标，及点P 与(1,5)Q -的距离11、已知直线l 经过点)1,1(P ，倾斜角6πα=。
高考数学一轮复习 坐标系与参数方程第2讲 参数方程教案 理 选修44
高考数学一轮复习 坐标系与参数方程第2讲 参数方程教案理 选修44【2013年高考会这样考】考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题． 【复习指导】复习本讲时，应紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.基础梳理1．参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝ft ，并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量．(2)圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．(3)圆锥曲线的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a sec φ，y ＝tan φ(φ为参数)．抛物线y2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)．双基自测1． 极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( )． A ．直线、直线 B ．直线、圆 C ．圆、圆D ．圆、直线解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝xρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝x ρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆．又∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线．答案 D2．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t(t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线4x ＋ky ＝1垂直可得－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案 －63．二次曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________．解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 29＝1左焦点为(－4,0)．答案 (－4,0)4．(2011·广州调研)已知直线l的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为________．解析 将直线l的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t 化为普通方程得，y ＝1＋2x ，圆ρ＝22sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝2，圆心(0，2)到直线y ＝1＋2x 的距离为2－11＋4，因为该距离小于圆的半径，所以直线l 与圆C 相交． 答案 相交5．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．解析 由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)得，x 25＋y 2＝1(y ≥0)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )得，x＝54y 2，∴5y 4＋16y 2－16＝0. 解得：y 2＝45或y 2＝－4(舍去)．则x ＝54y 2＝1又θ≥0，得交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，255考向一 参数方程与普通方程的互化【例1】►把下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t .[审题视点] (1)利用平方关系消参数θ； (2)代入消元法消去t .解 (1)由已知⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x －3，sin θ＝2－y ，由三角恒等式cos 2 θ＋sin 2θ＝1,可知(x －3)2＋(y －2)2＝1，这就是它的普通方程． (2)由已知t ＝2x －2，代入y ＝5＋32t 中， 得y ＝5＋32(2x －2)，即3x －y ＋5－3＝0就是它的普通方程． 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．【训练1】 (2010·陕西)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α， ①y －1＝sin α， ②①2＋②2得：x 2＋(y －1)2＝1. 答案 x 2＋(y －1)2＝1考向二 直线与圆的参数方程的应用【例2】►已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(其中t为参数，α为直线l 的倾斜角)．(1)当α＝2π3时，求圆上的点到直线l 距离的最小值；(2)当直线l 与圆C 有公共点时，求α的取值范围．[审题视点] (1)求圆心到直线l 的距离，这个距离减去圆的半径即为所求；(2)把圆的参数方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程代入得关于参数t 的一元二次方程，这个方程的Δ≥0.解 (1)当α＝2π3时，直线l 的直角坐标方程为3x ＋y －33＝0，圆C 的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d ＝232＝3，圆的半径为1，故圆上的点到直线l 距离的最小值为3－1.(2)圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α＋3sin α)t ＋3＝0，这个关于t 的一元二次方程有解，故Δ＝4(cos α＋3sin α)2－12≥0，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥34，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32或sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≤－32.又0≤α＜π，故只能sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32，即π3≤α＋π6≤2π3，即π6≤α≤π2. 如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．【训练2】 已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝4－2t 消参数后得普通方程为2x ＋y －6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ消参数后得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x ＋y －6＝0的距离为d ＝|2×2＋0－6|22＋1＝255，所以所求弦长为222－⎝⎛⎭⎪⎫2552＝855. 考向三 圆锥曲线的参数方程的应用【例3】►求经过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截椭圆x 24＋y 2＝1所得的弦长．[审题视点] 把直线方程用参数表示，直接与椭圆联立，利用根与系数的关系及弦长公式可解决．解由条件可知直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，代入椭圆方程可得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t 24＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋22t 2＝1， 即52t 2＋32t ＋1＝0.设方程的两实根分别为t 1、t 2，则由二次方程的根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－625，t 1t 2＝25，则直线截椭圆的弦长是|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6252－4×25＝ 425.普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系x ＝f (t )(或y ＝φ(t ))，再代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝φ(t )(或x ＝f (t ))．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．【训练3】 (2011·南京模拟)过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t (t 为参数)相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．解 直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32s ，y ＝12s (s 为参数)，又曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t (t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4，将直线的参数方程代入上式，得s2－63s ＋10＝0，设A 、B 对应的参数分别为s 1，s 2.∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10.∴|AB |＝|s 1－s 2|＝s 1＋s 22－4s 1s 2＝217.如何解决极坐标方程与参数方程的综合问题从近两年的新课标高考试题可以看出，对参数方程的考查重点是直线的参数方程、圆的参数方程和圆锥曲线的参数方程的简单应用，特别是利用参数方程解决弦长和最值等问题，题型为填空题和解答题．【示例】► (本题满分10分)(2011·新课标全国)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.第(1)问：利用代入法；第(2)问把曲线C 1、曲线C 2均用极坐标表示，再求射线θ＝π3与曲线C 1、C 2的交点A 、B 的极径即可． [解答示范] (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2. 由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(5分)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(10分)很多自主命题的省份在选考坐标系与参数方程中的命题多以综合题的形式命题，而且通常将极坐标方程、参数方程相结合，以考查考生的转化与化归的能力．【试一试】 (2011·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．[尝试解答] 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从 而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.。
高考数学总复习(人教A版)配套教案：选修4-4 坐标系与参数方程 第二讲 参数方程
第二讲 参数方程1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上__________的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在____________，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称______．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做__________． 2．几种常见曲线的参数方程(1)直线：经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是____________(t 为参数)． (2)圆：以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是____________，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α.(3)椭圆：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况： 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是____________，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a2＝1(a >b >0)的参数方程是____________，其中φ是参数．(4)抛物线：抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt .(t 为参数)．1．(课本习题改编)若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为________．2．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)的离心率为________．3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |＝________.4．(课本习题改编)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t sin 40°，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________．5．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________.题型一 参数方程与普通方程的互化例1 已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．思维升华 (1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin 2θ＋cos 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ等．(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．(2013·广东)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos ty ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．题型二 参数方程的应用例2 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (2,2)，倾斜角α＝π3.(1)写出圆的标准方程和直线l 的参数方程； (2)设l 与圆C 相交于A 、B 两点，求|P A |·|PB |的值．思维升华 根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： (1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2|； (2)定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；(3)设弦M 1M 2中点为M ，则点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 22(由此可求|M 2M |及中点坐标)．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长．题型三 极坐标、参数方程的综合应用例3 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，M ，N分别为曲线C 、直线l 上的动点，则|MN |的最小值为________．思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用．(2013·湖北)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π4)＝22m (m为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．参数的几何意义不明致误典例：(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |.易错分析 不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误． 规范解答解 (1)直线的参数方程可以化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 60°，y ＝22＋t sin 60°，[2分] 根据直线参数方程的意义，直线l 经过点(0，22)， 倾斜角为60°.[4分](2)直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋22，[6分] ρ＝2cos(θ－π4)的直角坐标方程为(x －22)2＋(y －22)2＝1，[8分]所以圆心(22，22)到直线l 的距离d ＝64. 所以|AB |＝102.[10分] 温馨提醒 对于直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)来说，要注意t 是参数，而α则是直线的倾斜角．与此类似，椭圆参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ的参数φ有特别的几何意义，它表示离心角．方法与技巧1．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ.2．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法．3．经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：①t 0＝t 1＋t 22；②|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22；③|AB |＝|t 2－t 1|；④|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|. 失误与防范在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅要把其中的参数消去，还要注意其中的x ，y 的取值范围．也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．A 组 专项基础训练1．若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－3t(t 为参数)，则直线的倾斜角为________．2．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(0≤t ≤5)化为普通方程为________________． 3．(2013·湖南)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．4．(2013·陕西)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为______________．5．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )经过点(m ，12)，则m ＝________.6．(2013·重庆)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.7．(2012·天津)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.8．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋b (t 为参数，b 为实数)，若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b ＝________.9．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.10．若直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝32，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为________．B 组 专项能力提升1．已知抛物线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t2y ＝8t (t 为参数)，圆C 2的极坐标方程为ρ＝r (r >0)，若斜率为1的直线经过抛物线C 1的焦点，且与圆C 2相切，则r ＝________.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 4．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2 (t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．5．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的任意一点，则点P 到直线l 的距离的最大值为________．6．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α (α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________________．7．(2013·辽宁改编)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)C 1与C 2交点的极坐标为________；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，则a ，b 的值分别为________．答案基础知识自主学习 要点梳理1．任意一点 这条曲线上 参数 普通方程2．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α(3)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φ，y ＝b sin φ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ夯基释疑1．－32 2.215 3.4 4.50° 5.M 1题型分类深度剖析 例1 ⎝⎛⎭⎫1，255解析 将两曲线的参数方程化为普通方程分别为x 25＋y 2＝1 (0≤y ≤1，－5<x ≤5)和y 2＝45x ，联立解得交点为⎝⎛⎭⎫1，255.跟踪训练1 ρcos θ＋ρsin θ－2＝0解析 由⎩⎨⎧x ＝2cos ty ＝2sin t(t 为参数)，得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2.则在点(1,1)处的切线l的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0.例2 解 (1)由圆C 的参数方程可得其标准方程为x 2＋y 2＝16.因为直线l 过点P (2,2)，倾斜角α＝π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3，即⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t代入圆C ：x 2＋y 2＝16中，得(2＋12t )2＋(2＋32t )2＝16，t 2＋2(3＋1)t －8＝0，设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则t 1t 2＝－8，即|P A |·|PB |＝8. 跟踪训练2 解 (1)x 2＋y 2＝16.(2)将⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t 代入x 2＋y 2＝16，并整理得t 2＋33t －9＝0.设A 、B 对应的参数为t 1、t 2，则t 1＋t 2＝－33，t 1t 2＝－9. |AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝37. 例3 12解析 化极坐标方程ρ＝4cos θ为直角坐标方程x 2＋y 2－4x ＝0，所以曲线C 是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．化参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)为普通方程x －3y ＋3＝0.圆心到直线l 的距离d＝|2＋3|1＋3＝52，此时，直线与圆相离，所以|MN |的最小值为52－2＝12.跟踪训练363解析 椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，直线l 的标准方程为x ＋y ＝m ，圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|m |2＝ba 2－b 2＝|m |，∴a 2－b 2＝2b 2，a 2＝3b 2，∴e ＝c 2a 2＝3b 2－b 23b 2＝23＝63. 练出高分 A 组 1．150°解析 由直线的参数方程知，斜率k ＝y －2x －1＝－3t 3t ＝－33＝tan θ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°. 2．x －3y －5＝0，x ∈[2,77]解析 化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2，即x －3y －5＝0，由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]，故曲线为线段． 3．3解析 椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)，则0＝3－a ，∴a ＝3.4.⎩⎨⎧x ＝12＋12cos 2θ，y ＝12sin 2θ0≤θ<π解析 由题意得圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝⎝⎛⎭⎫122，设圆与x 轴的另一交点为Q ，则Q (1,0)，设点P 的坐标为(x ，y )，则OP ＝OQ cos θ＝cos θ.∴⎩⎨⎧x ＝OP cos θ＝cos 2θ＝12＋12cos 2θ，y ＝OP sin θ＝cos θ·sin θ＝12sin 2θ0≤θ<π.5．±154解析 将曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )化为普通方程为x 2＋y 24＝1，将点(m ，12)代入该椭圆方程，得m 2＋144＝1，即m 2＝1516，所以m ＝±154.6．16解析 将极坐标方程ρcos θ＝4化为直角坐标方程得x ＝4，将x ＝4代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t3得t ＝±2，从而y ＝±8.所以A (4,8)，B (4，－8)．所以|AB |＝|8－(－8)|＝16. 7．2解析 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E ⎝⎛⎭⎫－p 2，±6p ，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0， 所以p2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．8．±2解析 将曲线C 和直线l 的参数方程分别化为普通方程为x 2＋y 2＝4和y ＝x ＋b ，依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b |2＝1，解得b ＝±2. 9.32解析 将曲线C 1与C 2的方程化为普通方程求解．∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0. 又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将⎝⎛⎭⎫32，0代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1.又a >0，∴a ＝32. 10．32＋1解析 ρcos(θ－π4)＝32，∴ρcos θ＋ρsin θ＝6，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝6.由圆C 的参数方程知圆C 的圆心为C (0,0)，半径r ＝1. 圆心C (0,0)到直线l 的距离为62＝3 2.∴d min ＝32＋1. B 组 1. 2解析 抛物线C 1的普通方程为y 2＝8x ，其焦点坐标是(2,0)，过该点且斜率为1的直线方程是y ＝x －2，即x －y －2＝0.圆ρ＝r 的圆心是极点、半径为r ，直线x －y －2＝0与该圆相切，则r ＝|0－0－2|2＝ 2.2．2解析 将参数方程化为普通方程求解．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0； 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．3．(1,1)解析 化参数方程为普通方程然后解方程组求解．C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，x ≥0，y ≥0，x 2＋y 2＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1)．4.⎝⎛⎭⎫52，52解析 化射线的极坐标方程为普通方程，代入曲线方程求t 值．射线θ＝π4的普通方程为y ＝x (x ≥0)，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2，得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3. 当t ＝0时，x ＝1，y ＝1，即A (1,1)；当t ＝3时，x ＝4，y ＝4，即B (4,4)．所以AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫52，52. 5.2105解析 由于直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)， 故直线l 的普通方程为x ＋2y ＝0. 因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上的任意一点， 故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈R .因此点P 到直线l 的距离是d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22 ＝22⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π45. 所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2105. 6．(－1,1)和(1,1)解析 ∵y ＝ρsin θ，∴直线l 的直角坐标方程为y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α得x 2＋(y －1)2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，x 2＋(y －1)2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(－1,1)和(1,1)．7．(1)⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4 (2)－1,2 解析 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1，所以⎩⎨⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2， 解得a ＝－1，b ＝2.。
选修4-4数学直线的参数方程
课 时 作 业
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第二讲
学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课 前 预 习
【解析】根据直线的普通方程可知斜率是 2， 设直线的倾斜角为 α，
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自 主 演 练
课 时 作 业
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故选 C.
[答案] C
第二讲
学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课 前 预 习
4． 若直线
x＝s， y＝1－2s，
x＝1－2t， l1： y＝2＋kt
(t 为参数)与直线 l2：
课 内 巩 固
自 主 演 练
(s 为参数)垂直，则 k＝__________.
自 主 演 练
[答案]
C
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学案3 直线的参数方程
数学
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课 前 预 习
x＝－2－ 3．直线 y＝3＋ 2t
2t
(t 为参数)上与点 P(－2,3) ) B．(－3,4) D．(－4,5)或(0,1)
课 内 巩 固
自 主 演 练
的距离等于 2的点的坐标是( A．(－4,5) C．(－3,4)或(－1,2)
课 时 作 业
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第二讲
学案3 直线的参数方程
数学
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课 前 预 习
[解析] 直线 l1 的普通方程为 kx＋2y－4－k＝ 0，直线 l2 的普通方程为 2x＋y－1＝0.
高中数学选修4-4： 直线的参数方程 (新课)
2．3 直线的参数方程 ►知识梳理1．过定点M 0(x 0，y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程为____________，这一形式称为直线参数方程的标准形式，直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值．当t ＞0时，M 0M →的方向向上；当t ＜0时，M 0M →的方向向下；当点M 与点M 0重合时，t ＝0.2．若直线的参数方程为一般形式为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)，可把它化为标准形式：__________________________．其中α是直线的________，tan α＝________，此时参数t ′才有如前所说的几何意义．一层练习1．以t 为参数的直线方程⎩⎨⎧x ＝－1＋t2，y ＝2＋32t ，M 0(－1，2)，M (x ，y )是曲线上的定点和动点，则t 的几何意义是( )A ．M 0MB ．MM 0C ．|M 0M |D ．2 22．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10 D ．2 23．下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝5－2t (t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝3－2t (t 为参数) D.⎩⎨⎧x ＝2＋255t ，y ＝5＋55t (t 为参数)4．直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t (t为参数)，则它的斜截式方程为__________________二层练习5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 30°，y ＝3－t sin 60°(t 为参数)的倾斜角α等于 ( )A ．30°B ．60°C ．－45°D ．135°6．直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)7．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝2－4t (t 为参数)，则点(3，6)到该直线的距离是________．8．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t (t 为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则直线l 和曲线C 的公共点有________个． 三层练习9．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝ _10．若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝________．11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为____________．12．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，则直线l 被曲线C 所截得的弦长为________．14．如图，在极坐标系中，过点M (2，0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6，若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝____________．15．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4sin θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，点P 是曲线C 上的动点，点Q 是直线l 上的动点，求|PQ |的最小值．16．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)和圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．1．直线的参数方程的形式有多种，其中参数t 不都具有明确的几何意义．2．经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程一般写为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 是参数)． 其中参数t 具有明确的意义，在解题中注意应用． 3．直线参数方程的应用．直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离．它可以避免求交点时解方程组的繁琐运算，但应用直线的参数方程时，需先判别是否是标准形式再考虑t 的几何意义．4．一般涉及弦长问题，均可把直线设为参数方程的标准形式，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)只要满足a 2＋b 2＝1，也是标准形式．【习题2.3】1．解析：(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程中的x ，y 代入x －y －23＝0得t ＝－(10＋63)．所以直线l 与直线x －y －23＝0的交点到点M 0的距离为|t |＝10＋6 3.(3)将直线l 的参数方程中的x ，y 代入x 2＋y 2＝16得t 2＋(1＋53)t ＋10＝0.设上述方程的两根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－(1＋53)，t 1t 2＝10.可知t 1，t 2均为负值，所以|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1＋5 3.所以两个交点到点M 0的距离的和为1＋53，积为10.2．解析：设过点P (2，0)的直线AB 的倾斜角为α，由已知可得cos α＝35，sin α＝45.所以直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t为参数)，代入y 2＝2x ，整理得8t 2－15t －50＝0.中点M 的相应参数是t ＝t 1＋t 22＝1516，所以点M 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫4116，34.3．解析：设过点M (2，1)的直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t为参数)，代入双曲线方程，整理得(cos 2 α－sin 2 α)t 2＋2(2cos α－sinα)·t ＋2＝0.设t 1，t 2为上述方程的两个根，则t 1＋t 2＝－4cos α－2sin αcos 2 α－sin 2 α.因为点M 是线段AB 的中点，由t 的几何意义可知t 1＋t 2＝0，所以4cos α－2sin α＝0.于是得到k ＝tan α＝2.因此，所求直线的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.4．解析：直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t(t 为参数)，代入y 2＝2px得到t 2－22(4＋p )t ＋8(4＋p )＝0.由根与系数的关系得到t 1＋t 2＝22(4＋p )，t 1t 2＝8(4＋p )．因为|M 1M 2|2＝|AM 1|·|AM 2|，所以(t 1－t 2)2＝|t 1|·|t 2|＝t 1t 2，即(t 1＋t 2)2＝5t 1t 2，所以[22(4＋p )]2＝5×8(4＋p )，即4＋p ＝5，即p ＝1.。
选修44参数方程直线的参数方程教案
教学目标：掌握直线的参数方程，理解参数t的几何意义；会应用直线的参数方程解决有关线段长度问题及直线与二次曲线相交的弦长、中点、最值等问题。
教学重点、难点：用直线的参数方程解决有关距离问题；参数方法与普通方法之甄别。
直线的参数方程
经过点M0(x0,y0)，倾斜角为的直线l的普通方程为
y-y0=tanα(x-x0)
分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1+t2=0。
解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是 (t是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2θ−sin2θ)t2+2(2x0cosθ−y0sinθ)t+ (2x02−y02−2) = 0，
由题意t1+t2=0，即2x0cosθ−y0sinθ=0，得 。
例1.已知直线l: x+y-1=0与抛物线y=x2交于A, B两点，求线段AB的长度和点M(-1, 2)到A, B两点的距离之积．
解法一：由 ，得 ．
设 ， ,由韦达定理得： ．
．
由（*）解得 ， ．
所以 ．
则
．
解法二、因为直线 过定点M，且 的倾斜角为 ，所以它的参数方程是
（ 为参数），即 （ 为参数）．
怎样建立直线l的参数方程呢？
如图，在直线l上任取一点M(x, y)，则
直线的方向向量 ， ；
，所以存在实数 ，使得 ，即
．
于是 ， ，即 ， ．
因此，经过定点M0(x0,y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为
（t为参数）．
问题：由 ，直线参数方程中的参数t有什么几何意义？
因为 ，所以 ，由 ，所以 ，因此|t|即为直线上的动点Mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx,y)到定点M0(x0,y0)的距离；
《参数方程》教案(新人教选修44)
参数方程考点要求1 了解参数方程的定义。
2 分析直线，圆，圆锥曲线的几何性质。
会选择适当的参数，写出他们的参数方程。
并理解直线参数方程标准形式中参数的意义。
3掌握曲线的参数方程与普通方程的互化。
考点与导学1参数方程的定义：在取定的坐标系中。
如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变量t 的函数⎩⎨⎧==)()(t g y t f x (t ∈T) （1） 这里T 是)(),(t g t f 的公共定义域。
并且对于t 的每一个允许值。
由方程（1）所确定的点 ),(y x M 。
都在这条曲线上；那么（1）叫做这条曲线的参数方程，辅助变数t 叫做参数。
2过点),,(000y x p 倾斜角为α的直线l 的参数方程（I ）⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数） （i ）通常称（I ）为直线l 的参数方程的标准形式。
其中t 表示),,(000y x p 到l 上一点),(y x p 的有向线段p 0的数量。
t>0时，p 在0p 上方或右方；t<0时，p 在0p 下方或左方，t=0时，p 与0p 重合。
（ii ）直线的参数方程的一般形式是：⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00（t 为参数） 这里直线l 的倾斜角α的正切ba =αtan （00900==αα或时例外）。
当且仅当122=+b a 且b>0时. （1）中的t 才具有（I ）中的t 所具有的几何意义。
2 圆的参数方程。
圆心在点),,(00'y x o 半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）3 椭圆12222=+b y a x 的参数方程。
⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数） 4 双曲线12222=-b y a x 的参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）5 抛物线px y 22=的参数方程。
高中数学选修4-4北师大版 直线的参数方程学案 Word版
§2 直线和圆锥曲线的参数方程2.1 直线的参数方程1．掌握直线参数方程的标准形式，理解参数t 的几何意义．2．能依据直线的几何性质，写出它的两种形式的参数方程，体会参数的几何意义． 3．能利用直线的参数方程解决简单的实际问题．1．经过点P (x 0，y 0)、倾斜角是α的直线的参数方程经过点P (x 0，y 0)、倾斜角是α的直线的参数方程为________________．其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是______________，可以用有向线段PM →的数量来表示．【做一做1－1】经过点M (－2,3)，倾斜角为3π4的直线l 的参数方程是__________．【做一做1－2】直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 30°，y ＝3－t sin 60°(t 为参数)的倾斜角α等于( )．A ．30°B ．60°C ．－45°D ．135°2．经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程 经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程为_________________．其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是动点M 分有向线段QP →的数量比QM MP.当______时，M 为内分点；当λ＜0且λ≠－1时，M 为外分点； 当λ＝0时，____________.直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λ(λ为参数，λ≠－1)可以表示点Q (x 1，y 1)(λ＝0时)，但不能表示点P (x 2，y 2)．如果遇到与点P (x 2，y 2)有关的问题时，可对点P 进行单独检验．【做一做2】经过点Q (1,2)，P (3,7)的直线的参数方程为( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋3λ1＋λ，y ＝1＋7λ1＋λ(λ为参数，λ≠－1)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3λ1＋λ，y ＝2＋7λ1＋λ(λ为参数，λ≠－1)C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋3λ1＋λ，y ＝－2＋7λ1＋λ(λ为参数，λ≠－1)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－3λ1＋λ，y ＝2－7λ1＋λ(λ为参数，λ≠－1)由直线的参数方程求直线的倾斜角剖析：如果直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θ，y ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)的形式，由方程直接可得出倾斜角，即方程中的角θ，例如，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 15°，y ＝1＋t sin 15°，则直线的倾斜角为15°.如果不是上述形式，例如直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin 15°，y ＝1＋t cos 15°(t 为参数)的倾斜角就不能直接判断了．第一种方法：把参数方程改写为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t sin 15°，y －1＝t cos 15°，消去t ，有y －1＝1tan 15°(x －1)，即y －1＝tan 75°(x －1)，故倾斜角为75°.第二种方法：把原方程化为标准形式，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos75°，y ＝1＋t sin 75°，可以看出直线的倾斜角为75°. 答案： 1．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 从点P 到M 的位移 【做一做1－1】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－22t ，y ＝3＋22t (t 为参数) 根据互化关系，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos3π4，y ＝3＋t sin 3π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－22t ，y ＝3＋22t (t 为参数)．【做一做1－2】D 由参数方程知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋32t ，y ＝3－32t ，两式相加，得直线的普通方程x ＋y ＝1，倾斜角为α，则tan α＝－1，∴α＝135°.2．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λ(λ为参数，λ≠－1) λ＞0 点M 与Q 重合【做一做2】B 设直线PQ 上动点M (x ，y )，参数λ＝QMMP，则直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3λ1＋λ，y ＝2＋7λ1＋λ(λ为参数，λ≠－1)．题型一 参数方程与普通方程互化【例1】把下面直线的参数方程化为普通方程式，普通方程化为参数方程． (1)化l 1：x ＋3y －1＝0为参数方程；(2)化l 2：⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)为普通方程．分析：利用直线方程转化公式求解．反思：在(1)(2)中t 的几何意义是不同的．在(1)中，t 的几何意义是有向线段M 0M →(其中M 0为(1,0)，M (x ，y )为直线l 1上任意一点)的长．(2)中t 的几何意义是M 0M →(其中M 0为(－3,1)，M (x ，y )为直线l 2上任意一点)长的一半．题型二 直线的参数方程与倾斜角【例2】直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t sin 20°，y ＝－t cos 20°(t 为参数)的倾斜角是( )．A ．20°B ．70°C ．110°D ．160°反思：只有在⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θ，y ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)中，θ才表示直线的倾斜角．如果不是这种形式，则需要进行转化．题型三 直线参数方程的应用【例3】已知直线l ：x ＋y －1＝0与抛物线y ＝x 2交于A ，B 两点，求线段AB 的长和点M (－1,2)到A ，B 两点的距离之积．反思：本题涉及普通方程和参数方程的互化，在解题过程中，注意参数t 的几何意义的应用．答案：【例1】解：(1)令y ＝0，得x ＝1.∴直线l 1过定点(1,0)，k ＝－13＝－33.设倾斜角为α，则tan α＝－33，α＝5π6，cos α＝－32，sin α＝12. ∴l 1参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－32t ，y ＝12t(t 为参数)．(2)原方程可化为⎩⎨⎧ x ＋3＝t ，y －1＝3t ，①②把①代入②得y －1＝3(x ＋3)，即l 2普通方程为3x －y ＋33＋1＝0. 【例2】C 方法一：将原方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝t sin 20°，－y ＝t cos 20°，消去t ，得y ＝tan 110°(x －3)，所以直线的倾斜角为110°. 方法二：将原参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋ －t cos 110°，y ＝ －t sin 110°，令－t ＝t ′，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ′cos 110°，y ＝t ′sin 110°，所以直线的倾斜角为110°.【例3】解：∵l 过定点M ，且l 的倾斜角为3π4，所以它的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝2＋t sin 3π4(t 为参数)．即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)．①把①代入抛物线方程，得t 2＋2t －2＝0.解得t 1＝－2＋102，t 2＝－2－102.由参数t 的几何意义，得|AB |＝|t 1－t 2|＝10，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝2.1已知直线l 的参数方程是1sin ,2cos x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，其中角θ的范围是π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则直线l 的倾斜角是( )．A ．3π2θ- B ．θ C ．π2θ- D ．π－θ 2直线2x －y ＋1＝0的参数方程为( )．A．1,53x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数) B．1,3x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)C ．2,32x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)D．1,33x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数) 3一条直线的参数方程是124x ty t =-+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，则点(3,6)到这条直线的距离是__________．4已知两点A (2,1)，B (－1,2)和直线l ：x ＋2y －5＝0.求过点A ，B 的直线的参数方程，并求它与直线l 的交点的坐标．答案：1．A 将原参数方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t sin θ，y ＋2＝t cos θ，消去参数t ，得y ＋2＝(x －1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π和倾斜角的范围可知直线l 的倾斜角为3π2－θ. 2．A 根据直线的普通方程可知斜率是2，设直线的倾斜角为α，则tan α＝2，sin α＝255，cos α＝55，所以直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋55t ，y ＝3＋255t (t 为参数)．3．201717 根据参数方程可得4x ＋y ＋2＝0，则d ＝|4×3＋6＋2|42＋12＝2017＝201717. 4．解：设直线AB 上动点P (x ，y )，选取参数λ＝APPB，则直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－λ1＋λ，y ＝1＋2λ1＋λ(λ为参数)．①把①代入x ＋2y －5＝0得λ＝－12.把λ＝－12代入①得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0，即交点坐标为(5,0)．。
人教课标版高中数学选修4-4《直线的参数方程(第1课时)》教案-新版
第二讲参数方程2.3直线的参数方程（第一课时）一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解直线参数方程的推导过程、掌握参数的几何意义，体会参数方程的优越性，在逻辑推理、数学抽象中感受参数方程的特点．（二）学习目标1．利用向量，推导直线的参数方程，体会直线的普通方程与参数方程的联系．2．掌握并理解直线参数方程中参数的几何意义．3．能初步利用直线参数方程解决一些几何问题，体会参数方程的优越性．（三）学习重点1．直线参数方程的推导．2．直线参数方程中参数的几何意义．3．直线参数方程中参数的几何意义的初步应用．（四）学习难点1．对直线参数方程的几何意义的理解．2．对直线参数方程中参数的几何意义的初步应用．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务读一读：阅读教材第35页至第36页，填空：过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα，这种形式称为直线参数方程的标准形式．其中参数t 的几何意义是：直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 绝对值，即|M 0M |＝|t |.若_0>t ，则0M M 的方向向上； 若_0<t _____，则0M M 的方向向下； 若___0=t ___，则M 与M 0重合．2．预习自测 （1）直线)(60sin 360cos 2为参数t t y t x ⎩⎨⎧+=+-=的倾斜角α等于( ) A ．30° B ．60° C ．－45°D ．135°【知识点】直线的参数方程【数学思想】【解题思路】根据直线标准的参数方程可知直线的倾斜角【思路点拨】熟记直线的标准参数方程【答案】B ．（2）直线)0,(sin 2cos 1πααα<≤⎩⎨⎧+-=+=为参数t t y t x 必过点( ) A ．(1，－2) B ．(－1,2) C ．(－2,1)D ．(2，－1)【知识点】直线的参数方程 【数学思想】【解题过程】消去参数得到直线的普通方程为)1(tan 2-=+x y α，所以恒过定点 (1，－2)．【思路点拨】消去参数化为普通方程 【答案】A ．（3）．下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的标准参数方程的是( )A.)(223221为参数t ty t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+= B.)(5525551为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-= C.)(552155为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+== D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋255t ，y ＝5＋55t (t 为参数)【知识点】直线的参数方程 【数学思想】【解题过程】由直线的标准参数方程形式易得选C 【思路点拨】熟记直线的标准的参数方程形式 【答案】C ．（4）已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23212(t 为参数)与曲线C ：y 2＝8x . 交于A ，B 两点，求弦长|AB |.【知识点】直线的标准参数方程、直线与抛物线的位置关系 【数学思想】【解题过程】将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝32t .代入y 2＝8x ，并整理得3t 2－16t －64＝0，t 1＋t 2＝163，t 1t 2＝－643.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝323.【思路点拨】充分理解直线标准参数方程中参数的几何意义 【答案】323.(二)课堂设计 1．问题探究探究一 结合实例，认识直线参数方程★ ●活动① 温故知新在必修2我们学习了直线及其方程，在平面直角坐标系中，两点或一点和直线的倾斜角确定一条直线，直线的方程形式主要有：1.点斜式： )(tan 00x x y y -=-α ,其中α为直线的倾斜角，定点),(00y x M ；2.斜截式：b kx y += ， 其中k 为直线的斜率，b 为直线在y 轴上的截距 ；3.两点式：010010x x x x y y y y --=-- ，其中直线经过两点的坐标为),(),,(112001y x P y x P4.截距式：1=+bya x ， 其中b a ,分别为直线在x 轴、y 轴上的截距 5.一般式：0=++C By Ax ，其中B A ,不同时为0【设计意图】简要回顾直线的有关内容，为得到直线的参数方程作铺垫． ●活动② 利用旧知、推导新概念 已知直线l 的倾斜角)2(παα≠和定点),(000y x M ，如何建立直线l 的参数方程？在直线l 上任取一点),(y x M ，则M M 0),(),(),(0000y y x x y x y x --=-=取直线l 的一个单位向量[)),0(),sin ,(cos πααα∈=由e∥M 0,根据向量共线基本定理，存在实数R t ∈使t M =0，即)sin ,(cos ),(00ααt y y x x =-- 于是 ,cos 0αt x x =- αsin 0t y y =- 整理得 ,cos 0αt x x += αsin 0t y y +=当倾斜角2πα=时，即直线l 的方程：0x x =时，也满足上式．因此，经过点),(000y x M ，倾斜角为)2(παα≠的直线l 直线的标准参数方程为)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα【设计意图】利用向量的知识，推导得出直线的参数方程，培养学生严谨的思维和逻辑推理能力． 探究二 探究直线标准参数方程中参数的几何意义★▲ ●活动① 巩固理解，加深认识在上述直线的标准参数方程中，参数t 是否和圆中参数类似，具有一定的几何意义呢？因为)sin ,(cos αα=e ，而e t M M =0t 的几何意义为：t 等于直线上动点M 到定点0M 【设计意图】通过对推导过程分析，得出参数t 几何意义，培养学生解析问题的能力．●活动② 升华认识、理解提升当πα<<0时，0sin >α，所以直线l 的单位向量e 的方向是向上的，于是的可得： 若0>t ，则0M M 的方向向上；若0<t ，则0M M 的方向向下； 若0=t ，则M 与M 0重合．【设计意图 加深对参数t 的认识，对直线参数方程进一步的了解．探究三 理论实践，探究直线参数方程的简单应用★▲活动① 巩固基础，检查反馈例 1 在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)的普通方程为________．【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】【解题过程】由x ＝2＋22t ，且y ＝1＋22t ，消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0. 【思路点拨】通过参数方程与普通方程互化求解． 【答案】x －y －1＝0．同类训练 求直线2x －y ＋1＝0的参数方程的标准形式， 【知识点】直线普通方程化为参数方程．【数学思想】【解题过程】根据直线的普通方程可知斜率是2，设直线的倾斜角为α，则tan α＝2，sin α＝255，cos α＝55，所以直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋55t ，y ＝3＋255t (t 为参数)．．【思路点拨】通过直线确定斜率和定点，从而得到直线倾斜角α的ααcos ,sin 的值．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋55t ，y ＝3＋255t(t 为参数)．【设计意图】巩固检查直线参数方程与普通方程互化，熟悉直线的参数方程． 例2 已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t ，(t 为参数)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)若点M (－33，0)在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义．【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】【解题过程】(1)由于直线l ： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率为tan π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.(2)由(1)知，直线l 的单位方向向量e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6，sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.∵M 0(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12＝－4e ，∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方)．【思路点拨】 将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t .【答案】（1）α＝π6；（2）|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方)同类训练 已知直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 231213(t 为参数) （1）求直线l 的普通方程，并求倾斜角； （2）若点)33,33(-M 在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义．【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】【解题过程】 （1）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 231213消去参数t ，得 直线l 的普通方程为3x －y ＋33＋1＝0.故k ＝3＝tan α，即α＝π3，因此直线l 的倾斜角为π3. （2）令33231=+t ，解得3326-=t ，所以M 对应的参数03326>-=t几何意义为|M 0M →|＝3326-，且M 0M →与e 方向相同(即点M 在直线l 上点M 0的右上方)．【思路点拨】将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t .【答案】（1）倾斜角为π3；（2）几何意义为|M 0M →|＝3326-，且M 0M →与e 方向相同(即点M在直线l 上点M 0的右上方)． 【设计意图】巩固检查直线参数方程与普通方程互化、参数的几何意义的理解．●活动② 强化提升、灵活应用例3 已知直线l ：01=-+y x 与抛物线2x y =交于B A ,两点，求线段AB 的长和点)2,1(-M 到两点B A ,的距离之积．【知识点】直线参数方程的应用．【数学思想】【解题过程】因为直线l 定点M ，且l 的倾斜角为43π，所以参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=)(222221为参数t t y tx 代入抛物线的方程，得0222=-+t t设B A ,两点对应的参数分别为21,t t ，由根与系数的关系得⎩⎨⎧-=∙-=+122121t t t t ． 所以，由t 的几何意义得 104)(2122121=-+=-=t t t t t t AB 22121==∙=∙t t t t MB MA 【思路点拨】求出直线的标准参数方程，再利用参数的几何意义． 【答案】（1）10=AB ；（2）2=∙MB MA ．同类训练 直线l 1过点P (4,3)且倾斜角的正切值为23， (1)求l 1的参数方程；(2)若l 1和直线l 2：x ＋y －2＝0交于点Q ，求|PQ |.【知识点】直线参数方程的应用． 【数学思想】【解题过程】(1)l 1的倾斜角为α，满足tan α＝23. ∴sin α＝213，cos α＝313. ∴l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋313 t ，y ＝3＋213 t (t 为参数)．(2)将上式代入x ＋y －2＝0，得 4＋313 t ＋3＋213t －2＝0， ∴t ＝－13. ∴|PQ |＝|t |＝13.【思路点拨】求出直线的标准参数方程，再利用参数的几何意义．【答案】（1）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋313 t ，y ＝3＋213t (t 为参数)；（2）|PQ |=13.【设计意图】巩固检查直线的参数方程中参数几何意义的应用．2. 课堂总结知识梳理（1）过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα，这种形式称为直线参数方程的标准形式．（2）参数t 的几何意义是：直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 绝对值，即|M 0M |＝|t |.若0>t ，则0M M 的方向向上； 若0<t ，则0M M 的方向向下； 若0=t ，则M 与M 0重合． 重难点归纳（1）在直线的参数方程中，00,,y x α都是常数，其中α为直线的倾斜角，00,y x 是直线上一定点0M 的坐标),(00y x ，t 为参数．（2）利用直线参数方程中参数的几何意义解决问题时，必须先将直线化为标准的参数方程形式．（三）课后作业 基础型 自主突破1．直线)6(sin 2cos 3πααα=⎩⎨⎧+=+-=为参数，t t y t x 不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【知识点】直线的参数方程．【数学思想】【解题过程】直线⎩⎨⎧+=+-=ααsin 2tan 3t y t x 经过点(-3,2),倾斜角α=6π,所以不经过第四象限.【思路点拨】转化为普通方程求解．【答案】D ．2．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t2，y ＝2－32t (t 为参数)，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则|t |的几何意义是( )A ．M 0M →B ．MM 0→C ．||M 0M →D ．以上都不是【知识点】直线的参数方程中参数的几何意义．【数学思想】【解题过程】由参数t 的几何意义及向量模的定义知选C ．【思路点拨】理解参数t 的几何意义．【答案】C ．3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22ty ＝2＋22t (t 为参数)，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1 C.22D ．－22【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】【解题过程】消去参数t ，得方程x ＋y －1＝0，∴直线l 的斜率k ＝－1.【思路点拨】转化为直线的普通方程求解．【答案】B ．4．一条直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t(t 为参数)，另一条直线的方程是x －y －23＝0，则两条直线的交点与点(1，－5)之间的距离是( )A ．2 3B ．32C ．4 3D ．34【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】【解题过程】由题意可知，点(1，－5)在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t(t 为参数)上．将参数方程代入x －y －23＝0，得6＋)2321(-t ＝23，所以t ＝23－612－32＝43，根据t 的几何意义，得两直线的交点与点(1，－5)之间的距离是43． 【思路点拨】直线参数方程中参数几何意义的应用． 【答案】C ．5．经过点M 0(1,5)，倾斜角是π3的直线l 的参数方程为_______________． 【知识点】直线的参数方程．【解题过程】代入直线的参数方程中可得．【数学思想】【思路点拨】熟记直线的参数方程．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)6．过点P ()－3，0且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 长为________．【知识点】参数方程中参数的几何意义． 【数学思想】【解题过程】直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32s ，y ＝12s (s 为参数)，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4.将直线的参数方程代入上式，得s 2－63s ＋10＝0，设A ，B 对应的参数分别为s 1，s 2， ∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10，|AB |＝|s 1－s 2|＝212214)(s s s s -+＝217. 【思路点拨】利用直线的参数方程中参数的几何意义求解． 【答案】217．能力型 师生共研7．若直线⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角α为( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π6或5π6【知识点】参数方程、直线与圆的关系． 【数学思想】【解题过程】直线化为yx ＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4，∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13，∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 【思路点拨】将直线和圆化为普通方程后求解． 【答案】D ．8．已知直线l 过点A(-2,3),倾斜角为135°,求直线l 的参数方程,并且求直线上与点A 距离为32的点的坐标. 【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】分类讨论的思想【解题过程】直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=135sin 3135cos 2t y t x (t 为参数) 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y tx 223222(t 为参数) ① 设直线上与点A 距离为32的点为B,且点B 对应的参数为t,则|AB|=|t|=32. 所以t=±32.把t=±32代入①,得当t=32时,点B 在点A 的上方,点B 的坐标为(-5,6); 当t=-32时,点B 在点A 的下方,点B 的坐标为(1,0).【思路点拨】直接根据直线的参数方程公式求解．【答案】 直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y tx 223222(t 为参数)；B 点的坐标(-5,6)或(1,0)．探究型 多维突破9．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |.【知识点】直线的参数方程、圆的极坐标方程． 【数学思想】【解题过程】 (1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得22)22()223(+-t ＝5，即t 2－32t ＋4＝0. 由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0， 故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.【思路点拨】运用直线参数方程中参数t 的几何意义，简化了计算． 【答案】（1）x 2＋(y －5)2＝5；（2）3 2.10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin )4(πθ-＝ 2.(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角； (2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求PBPA 11+.【知识点】参数方程、直线与椭圆的位置关系． 【数学思想】【解题过程】(1)由⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.由ρsin )4(πθ-＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2， 所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知，点P (0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0， Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1825＜0，t 1t 2＝275＞0，所以t 1＜0，t 2＜0， 所以21212121211111t t t t t t t t t t PB PA +=+=+=+=322. 【思路点拨】把握直线参数方程中参数的几何意义．【答案】（1）C 的普通方程为x 29＋y 2＝1，l 的倾斜角为π4；（2）PB PA 11+=322． 自助餐1．直线)(222221:为参数t t y tx l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=与圆)(sin 21cos 22为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=y x C 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心【知识点】参数方程、直线与圆的位置关系．【数学思想】【解题过程】直线l 化为普通方程为01=+-y x ，圆C 化为普通方程为4)1()2(22=-+-y x ，圆心为)1,2(，半径为2，圆心到直线的距离r d <=+-=22112，但圆心不在直线上，故选D【思路点拨】转化为普通方程求解．【答案】D ．2．若直线的参数方程为)(131332131321为参数t ty t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=，则直线的斜率为（ ）A ．32B ．32-C ．23-D ．23 【知识点】直线的参数方程．【数学思想】【解题过程】将直线消去参数化为普通方程为0723=-+y x ，所以斜率为23-．【思路点拨】直线消去参数化为普通方程求解．【答案】C ．3．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，则它的斜截式方程为______________．【知识点】直线的参数方程与普通方程互化．【数学思想】【解题过程】将t x 212+=整理得42-=x t 代入t y 233+=中消去t ，整理可得．【思路点拨】将直线的参数方程中参数t 消去． 【答案】y ＝3x ＋3－23．4．在直角坐标系xOy 中，直线l(t 为参数).在极坐标系 （与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，若直线l 平分圆C 的周长，则a = ． 【知识点】直线的参数方程、圆的极坐标方程．【数学思想】【解题过程】直线的普通方程为043=++a y x ，圆的方程为1)1(22=+-y x ，依题意，直线经过圆心)0,1(代入直线得3-=a ． 【思路点拨】转化为普通方程求解．【答案】-3．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【知识点】参数方程、弦长公式． 【数学思想】【解题过程】椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得14)23()211(22=++t t ，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167，所以AB ＝|t 1－t 2|＝167 【思路点拨】利用直线的参数方程中参数的几何意义求解．【答案】AB ＝167．6．过点)0,1(-P 作倾斜角为α的直线与曲线12322=+y x 相交于M,N 两点.(1)写出直线MN 的参数方程. (2)求PN PM ∙的最小值. 【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】【解题过程】(1)因为直线MN 过点P(-1,0)且倾斜角为α,所以直线MN 的参数方程为:⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x (t 为参数). (2)将直线MN 的参数方程代入曲线12322=+y x ,得2(-1+tcosα)2+3(tsinα)2=6, 整理得(3-cos 2α)·t 2-4cosα·t -4=0, 设M,N 对应的参数分别为t 1,t 2, 则|PM|·|PN|=|t 1·t 2|=α2cos 34-,当cosα=0时,|PM|·|PN|取得最小值为34． 【思路点拨】利用直线的参数方程中参数的几何意义求解．【答案】（1）⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x (t 为参数)；（2）34．。
河北省二十冶综合学校高考数学总复习 直线的一般式方程学案
河北省二十冶综合学校高考数学总复习 直线的一般式方程学案学习目标：（1）明确直线方程一般式的形式特征.（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距.（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.学习重点：直线方程的一般式和点斜式、斜截式、两点式、截距式之间互化的方法.学习难点：平面上的直线与x 、y 的一次方程的一一对应关系.预习内容：复习回顾1.几种方程：①点斜式： . ②斜截式： .③两点式： . ④截距式： .2.写出下列直线方程① 过点A(2,-1)、B(0,3)； .② 在x 、y 轴上截距分别是－4、3； .③ 过点(－1, )，倾斜角是135°； .④ 斜率是 ，y 轴上截距是－2； .⑤ 过点(3,-5)，平行于x 轴； . 学习探究：直线方程的一般形式：讨论1：是否所有直线都可写成y ＝kx ＋b 的形式？α＝90°时直线方程是怎样的？两种形式与Ax ＋By ＋C ＝0有何联系？结论： 。
讨论2：Ax ＋By ＋C ＝0能否都化成y ＝kx ＋b 的形式？B ＝0时表示什么图形？结论： 。
新知：直线的一般式方程的定义：把关于x ，y 的二元一次方程 （ ）叫做 ，简称 。
思考：在方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ，B ，C 为何值时，方程表示直线①平行于x 轴； 。
②平行于y 轴； 。
③与x 轴重合； 。
④与y 轴重合； 。
⑤过原点的直线； 。
例1、已知直线L 过点A(-6,4)，斜率为34，求直线的点斜式、一般式、截距式方程。
练习1、根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： ⑴ 斜率是12-，经过点(8,2)A -； . ⑵ 经过点(4,2)B ，平行于x 轴； .⑶ 在x 轴和y 轴上的截距分别是3,32-； . ⑷ 经过两点12(3,2),(5,4)P P --； .例2、把直线l 的一般式方程062=+-y x 化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形。
直线的参数方程 导学案——高二下学期数学人教A版选修4-4
导学案学习目标：1、推导直线的参数方程2、理解参数t的几何意义新课导入：1、已知直线x+y−1=0与抛物线y=x2交于A,B两点，求线段AB的长和点M（-1,2）到A，B两点的距离之积.要求：画图并用之前所学过的知识来解决这道题.2、已知一条直线l过点M0(x0,y0)倾斜角为α，求这条直线的参数方程.直线的方向向量：不妨规定直线向上的方向为正方向.问题1：根据直线的已知条件，你认为应该怎样选择参数？⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =_________(1)直线l过点M0(x0,y0)，在l上任取一个点M(x,y),则M0M(2)试用直线l的倾斜角α表示直线l的单位方向向量e，则e=_________⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与e的等量关系：________ .（3）M0M问题2：你能写出直线的参数方程吗？（4）通过坐标运算，用M0(x0,y0)的坐标，α，t把在直线上任取一点M(x,y)的坐标表示出来。
即为过定点M0(x0,y0)倾斜角为α的直线参数方程：__________________ .3、第36页“思考”.思考：参数t 的几何意义是什么？例题探究：例1 已知直线 x +y −1=0与抛物线 y =x 2 交于A,B 两点，求线段AB 的长和点M （-1,2）到A ，B 两点的距离之积.用直线的参数方程解答.4、探究（1）曲线的弦长|AB |是多少？ |AB |=_________________________（2）线段AB 的中点M 对应的参数t 的值是多少？ _____________________（3）M 0 到A,B 两点的距离之积是多少？ |M 0A ||M 0B |= _________________ （4）M 0 到A,B 两点的距离之和是多少？|M 0A |+|M 0B |=________________6、小结：1、本节课我们学习了哪些知识？2、本节课学习了哪些数学思想方法？7、作业布置必做：教材P39-1,3选做：教材P39-4思考题：直线方程还有其他形式的参数方程吗？ .,,,0),(210t t B A B A y x f l M 的参数分别为对应两点，交于与曲线的直线探究：已知过点。
名师《参数方程》学习教案新人教选修44
参数方程考点要求认识参数方程的定义。
剖析直线，圆，圆锥曲线的几何性质。
会选择适合的参数，写出他们的参数方程。
并理解直线参数方程标准形式中参数的意义。
掌握曲线的参数方程与一般方程的互化。
考点与导学1参数方程的定义：在取定的坐标系中。
假如曲线上随意一点的坐标x,y都是某个变量t的x f(t)函数(tT)〔1〕y g(t)这里T是f(t),g(t)的公共定义域。
并且关于t的每一个同意值。
由方程〔1〕所确立的点M(x,y)。
都在这条曲线上；那么〔1〕叫做这条曲线的参数方程，协助变数t叫做参数。
2过点p0(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程x x0tcos〔t为参数〕〔错误！未找到引用源。
〕y y0tsin〔错误！未找到引用源。
〕往常称〔错误！未找到引用源。
〕为直线l的参数方程的标准形式。
此中t表示p0(x0,y0),到l上一点p(x,y)的有向线段p0p的数目。
t>0时，p在p0上方或右方；t<0时，p在p0下方或左方，t=0时，p与p0重合。
x x0at 〔错误！未找到引用源。
〕直线的参数方程的一般形式是：y0〔t为参数〕y bt这里直线l的倾斜角的正切tan a〔00或900时例外〕。
当且仅当ba2b21且b>0时.〔1〕中的t才拥有〔错误！未找到引用源。
〕中的t所拥有的几何意义。
圆的参数方程。
圆心在点o'(x0,y0x x0rcos为参数〕),半径为r的圆的参数方程是y0〔y rsin3x2y2x acos为参数〕椭圆2b21的参数方程。
〔a y bsin4双曲线x2y2x asec为参数〕a2b21的参数方程：〔y btan5抛物线y22px 的参数方程。
x2pt2〔t 为参数〕2ptx12t例1 某曲线C 的参数方程为y at2〔此中t 是参数，aR 〕,点M 〔5，4〕在该曲线上。
〔1〕求常数a ；〔2〕求曲线C 的一般方程。
解：〔1〕由题意可知有12t 5t 2∴a 1at 2 4故a1〔2〕由及〔1〕可得，曲线C 的方程为x 1 2tx 1yt 2 由第一个方程得 t代入第二2个方程得：y(x1)2。
人教版高中选修4-4三直线的参数方程课程设计 (2)
人教版高中选修4-4三直线的参数方程课程设计一、背景三直线的参数方程是高中数学中的基础知识，也是学习解析几何的重要一步。
本文档旨在设计一份合适的课程，帮助学生掌握三直线的参数方程，深入了解直线的性质和应用。
二、课程目标通过本课程的学习，学生将会： - 掌握三直线的参数方程的定义和求解方法；- 了解直线和平面的基本性质，掌握直线与平面的交点计算方法； - 进一步认识直线和圆的关系，掌握圆与直线的交点计算方法； - 培养学生的逻辑思维能力和推理能力； - 提高学生对数学的兴趣和热爱，培养他们的综合素质。
三、教学内容1.三直线的参数方程定义和求解方法–直线的一般式和点向式–三直线的定义及特点–求三直线的参数方程方法2.直线和平面的交点计算方法–平面直角坐标系及点的坐标表示方法–平面直线方程的转化–直线与平面的位置关系及求交点方法3.圆与直线的交点计算方法–圆的标准方程–直线与圆的位置关系及求交点方法4.直线和圆的基本性质–切线的定义及性质–松氏定理及其应用–演化学的基本概念5.练习题和例题解析四、教学方法1.知识点讲解：采用教师授课的方式，讲解每个知识点的定义、性质、公式及求解方法，注重帮助学生理解概念和掌握方法；2.辅导练习：在课上安排一定量的例题和习题，帮助学生掌握知识点和解题方法；3.互动交流：课上充分利用互动交流的方式，鼓励学生提出问题、讨论和解答彼此疑惑，帮助学生培养逻辑思维能力和推理能力；4.课下自主学习：在课上分发学习材料，课下学生可以自主阅读参考书籍或网上资源，深入理解和掌握知识点。
五、课程评估1.日常测试：每堂课后布置一定量的课后习题，检测学生掌握情况，及时发现和解决问题；2.期中考试：对上课内容进行整体、系统、综合性的测试，考查学生对知识点的理解和掌握情况；3.期末考试：考查学生对整个学期所学知识点和解题方法的掌握情况及应用能力；4.课程质量评估：定期对学生进行课程质量反馈调查，不断完善和提高教学质量。
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河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习 （选修4-4)直线的参数方程学案 【学法指导】：认真自学，激情讨论，愉快收获。
●为必背知识 【学习目标】：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义.
【学习重点】：直线参数方程的应用。
【学习难点】：直线参数方程的应用。
【教学过程】：
一：回顾预习案
●1、经过点),(000y x M ,倾斜角α的直线l 的参数方程是 。
●2、设),(y x M 是直线l 上的任意一点，参数t 的几何意义是：
直线上的动点M 到定点0M 的距离等于参数t 的绝对值。
即t MM =0
●3、直线l 与曲线)(x f y =交于21,M M 两点，对应的参数分别为21,t t ，
(1)01M M = , 02M M = .
(2)曲线的弦长21M M = 。
(3)线段21M M 的中点M 对应的参数t 的值是 ，=0MM 。
二 讨论展示案 合作探究，展示点评
例1、已知直线l 经过点)1,1(P ，倾斜角6π
α=。
（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆C ：
⎩⎨⎧==θ
θsin 2cos 2 y x （θ为参数）相交于B A ,两点，求P 到B A ,两点的距离之积。
例2、极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位,以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴.已知直线l 的参数
方程为122,(32
x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数),曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos .ρθθ=
(I)求C 的直角坐标方程; (II)设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,求弦长|AB|.
例3、在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2(1
x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数),以该直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线P 的方程为24cos 30ρρθ-+=.
(1)求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程;
(2)设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B ,求||AB .。