空间中的垂直关系教案

空间中的垂直关系教案
本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址空间中的垂直关系一.教学内容：空间中的垂直关系二、学习目标1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。

三、知识要点1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。

2、直线与平面垂直的判定：常用方法有：①判定定理：
.②b⊥α,a∥ba⊥α；（线面垂直性质定理）③α∥β,a ⊥βa⊥α（面面平行性质定理）④α⊥β，α∩β=l，a⊥l，aβa⊥α（面面垂直性质定理）3、直线与平面垂直的性质定理：①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

（a⊥α，b⊥α⇒a∥b）②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（）4、点到平面的距离的定义：从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。

特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂
线，再证明此垂足即为面的垂足。

5、平面与平面垂直的定义及判定定理：（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就说这两个平面互相垂直。

记作：平面α⊥平面β（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

（简称：线面垂直，面面垂直）6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

（简称：面面垂直，线面垂直。

）思维方式：判定两相交平面垂直的常用方法是：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种办法。

【典型例题】例1、（1）对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（）A、m⊥n，m∥α，n∥β
B、m⊥n，α∩β=m，nαc、m∥n，n⊥β，mα
D、m∥n，n⊥β，m⊥α（2）设a、b是异面直线，给出下列命题：①经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b；
②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；③存在分别经过直线a和b的两个平行平面；④存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直。

其中错误的命题为（）A、①与②
B、②与③
c、③与④
D、仅②（3）已知平面α⊥平面β，m是α内一条直线，
n是β内一条直线，且m⊥n，那么，甲：m⊥β；乙：n⊥α丙：m⊥β或n⊥α；丁：m⊥β且n⊥α。

这四个结论中，不正确的三个是（
）解：（1）对于A，平面α与β可以平行，也可以相交，但不垂直。

对B，平面α内直线n垂直于两个平面的交线m，直线n与平面β不一定垂直，平面α、β也不一定垂直。

对D，m⊥α，m∥n则n⊥α，又n⊥β，所以α∥β。

只有c 正确，m∥n，n⊥β则m⊥β又mα，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β。

故选c。

（2）①正确，过a上任一点作b 的平行线b′，则ab′确定唯一平面。

②错误，假设成立则b⊥该平面，而a该平面，∴a⊥b，但a、b异面却不一定垂直。

③正确，分别过a、b上的任一点作b、a的平行线，由各自相交直线所确定的平面即为所求。

④正确，换角度思考两个垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式，综上所述：仅②错误选D（3）丙正确。

举反例：在任一平面中作平行于交线的直线m（或n），在另一平面作交线的垂线n（或m）即可推翻甲、乙、丁三项。

思维点拨：解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内。

例2、如图，ABcD为直角梯形，∠DAB=∠ABc=90°，AB=Bc=a，AD=2a，PA⊥平面ABcD。

PA=a。

（1）求证：Pc⊥cD。

（2）求点B到直线Pc的距离。

（1）证明：取AD的中点E，连Ac、cE，则ABcE为正方形，ΔcED 为等腰直角三角形，
∴Ac⊥cD，∵PA⊥平面ABcD，∴Ac为Pc在平面ABcD 上的射影，
∴Pc⊥cD（2）解：连BE，交Ac于o，则BE⊥Ac，又BE⊥PA，Ac∩PA=A，∴BE⊥平面PAc过o作oH⊥Pc于H，则BH⊥Pc，∵PA=a，Ac=a,Pc=a，∴oH=，∵Bo=a，∴BH=即为所求。

例3、在斜三棱柱A1B1c1—ABc中，底面是等腰三角形，AB=Ac，侧面BB1c1c⊥底面ABc（1）若D是Bc的中点，求证
AD⊥cc1；（2）过侧面BB1c1c的对角线Bc1的平面交侧棱于m，若Am=mA1，求证
截面mBc1⊥侧面BB1c1c；（3）Am=mA1是截面mBc1⊥平面BB1c1c的充要条件吗？请你叙述判断理由。

命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质。

知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质。

错解分析：（3）的结论在证必要性时，辅助线要重新作出。

技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙地作辅助线。

（1）证明：∵AB=Ac，D是Bc的中点，∴AD⊥Bc∵底面ABc ⊥侧面BB1c1c，∴AD⊥侧面BB1c1c∴AD⊥cc1（2）证明：延长B1A1与Bm交于N，连结c1N∵Am=mA1，∴NA1=A1B1∵A1B1=A1c1，∴A1c1=A1N=A1B1∴c1N⊥c1B1∵底面NB1c1⊥侧面BB1c1c，∴c1N⊥侧面BB1c1c∴截面c1NB⊥侧面BB1c1c
∴截面mBc1⊥侧面BB1c1c（3）解：结论是肯定的，充分性已由（2）证明，下面证必要性。

过m作mE⊥Bc1于E，∵截面mBc1⊥侧面BB1c1c∴mE⊥侧面BB1c1c，又∵AD⊥侧面BB1c1c∴mE∥AD，∴m、E、D、A共面∵Am∥侧面BB1c1c，∴Am∥DE∵cc1⊥AD，∴DE∥cc1∵D是Bc的中点，∴E是Bc1的中点∴Am=DE=AA1，∴Am=mA1即是截面的充要条件例4、如图，在正三棱锥A—BcD中，∠BAc=30°，AB=a,平行于AD、Bc的截面EFGH分别交AB、BD、Dc、cA于点E、F、G、H（1）判定四边形EFGH的形状，并说明理由（2）设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBc⊥平面EFGH，请给出证明（1）证明：∵AD//面EFGH,面AcD∩面EFGH＝HG，AD面AcD ∴AD//HG.同理EF∥HG，∴EFGH是平行四边形∵A—BcD 是正三棱锥，∴A在底面上的射影o是△BcD的中心，∴Do ⊥Bc，∴AD⊥Bc，∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形（2）作cP ⊥AD于P点，连结BP，∵AD⊥Bc，∴AD⊥面BcP∵HG∥AD，∴HG⊥面BcP，HG面EFGH
面BcP⊥面EFGH，在Rt△APc中，∠cAP=30°，Ac=AB=a,∴AP=a例5、如图，在直三棱柱ABc-A1B1c1中，底面ΔABc 是直角三角形，∠ABc=90°，2AB=Bc=BB1=a，且A1c∩Ac1=D，Bc1∩B1c=E，截面ABc1与截面A1B1c交于DE。

求证：（1）A1B1⊥平面BB1c1c；（2）A1c⊥Bc1；（3）DE⊥平面BB1c1c。

证明：（1）∵三棱柱ABc-A1B1c1是直三棱柱，∴侧面与底
面垂直，即平面A1B1c1⊥平面BB1c1c，又∵AB⊥Bc，∴A1B1⊥B1c1从而A1B1⊥平面BB1c1c。

（2）由题设可知四边形BB1c1c为正方形，∴Bc1⊥B1c，而A1B1⊥平面BB1c1c，∴A1c在平面BB1c1c上的射影是B1c，由三垂线定理得A1c⊥Bc1（3）∵直三棱柱的侧面均为矩形，而D、E分别为所在侧面对角线的交点，∴D为A1c的中点，E为B1c的中点，∴DE∥A1B1，而由（1）知A1B1⊥平面BB1c1c，∴DE⊥平面BB1c1c。

思维点拨：选择恰当的方法证明线面垂直。

本讲涉及的主要数学思想方法1、直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用。

2、注意线面垂直与线线垂直的关系和转化。

3、距离离不开垂直，因此求距离问题的过程实质上是论证线面关系（平行与垂直）与解三角形的过程，值得注意的是“作、证、算、答”是立体几何计算题不可缺少的步骤。

4、在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明，不能随意添加。

在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直。

解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”，“面面垂直”间的转化条件和转化应用。