2.3《等差数列前n项和》(第1课时)
《等差数列的前n项和》人教版高二数学下册PPT课件
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
[跟踪训练] 2．植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距 10 米， 开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的 路程总和最小，此最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ 米.
解得 a 1＝－5 ，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2 d ＝1 0 ＋2×3 ＝1 6 ，
1 0 ×9 S 10＝1 0 a 1＋ 2 d ＝1 0 ×(－5 )＋5 ×9 ×3 ＝8 5 .
1 7 × a 1＋a 17
1 7 × a 3＋a 15
1 7 ×4 0
(2 )S 17＝
2
＝
2
＝
＝3 4 0 .
S 1，n ＝1 ，
项公式，那么数列{a n
}的通项公式要分段表示为
a
n
＝
S
n －S
n －1，n
≥2 .
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
等差数列前 n 项和公式的实际应用
例 3、某抗洪指挥部接到预报，24 小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来 之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用 20 台同 型号翻斗车，平均每辆车工作 24 小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用， 每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集 25 辆，那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线？
3，n ＝1，
∴a
n
＝ 2
n
，n
≥2
.
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
2 ．(变条件变结论)将本例中的条件“S n ＝2 n 2－3 0 n ”变为“正数数列{b n }的前 n 项和 S n
等差数列的前n项和(1)说课稿
《2.2.3等差数列的前n项和（1）》说课稿江苏省清浦中学时坤明【教材分析】数列在高中数学中占据非常重要的位置，主要以等差数列与等比数列为核心内容展开。
本节课是在学习了等差数列通项公式及简单性质的基础上进行了进一步研究，该内容也为日后学习各种数列的求和作出了引领与铺垫。
等差数列的前n项和公式是数列求和的最基本公式。
不论是公式的获取过程，还是公式推导及方法的发现过程，都是数学家们发现数学结论和数学方法的重要过程。
苏教版必修五旧教材中本课内容是以计算一堆钢管总数为例，从身边的生活实际出发，运用从特殊到一般的方法，进一步发现等差数列的前n项和公式的推导方法。
此法虽然比较实用，导向性比较明确，但个人认为其方式给予学生的思考空间比较狭隘、思维路径比较简短、思维方式过于单一。
参考2019年新出版的人教版高中数学必修五新教材中本课内容开头直接给出问题“?+++ ”，对学生的思维方法没有++4100321=作出任何限定，给了学生广阔的想象空间。
教师可以根据学情因地制宜的安排导入新课的方式，便于让学生更好的掌握本课内容。
除此而外，在例题及习题的编排上，新教材比旧教材更加注重了实用，题目也变得更加灵活，这也是新课程理念和思想在课标教材中的又一体现。
【学情分析】本课之前，学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质。
大部分学生对高斯算法有一定的认识，甚至有些同学对此算法原理比较熟练，然而熟练的只是高斯算法中的“?++++ ”这样一种特殊数列的求和，对于一般等差数列的求和方法+1001=423和公式，学生却没有详细了解。
江苏省常州高级中学是江苏省一所名校，学生的知识面、动脑能力、动手能力等各方面综合素质较高。
针对这一情况，教师所设置教学内容应具有一定的梯度性、关联性、灵活性及发散性。
教师应给予学生足够的展示平台和发挥空间，要处理好预设与生成的关系。
把握本质、紧扣主题，在达成目标的情况下适度外延，丰富知识内涵，体现数学的科学价值、人文价值及审美价值。
2.3 等差数列的前n项和(一)
教学目标
1.体会等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列前n项和公式，并应用其解决实际问题. 3.熟练掌握等差数列五个量a1，d，n，an，Sn间的关系.
自学检测
1.若等差数列{an}前5项和S5=10，则a3=( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】选A.S5= 5a1 a5 =10，即a1+a5=4，
2.3 等差数列的前n项和（1）
复习引入
1.等差数列的定义:
an an1 d n 2
2.等差数列的通项公式：an a1 n 1d,可以变形为an am n md
或者an nd (a1 d ) （可以看成n的一次函
数）
3.下标和性质：
若m n p q, 则am an ap aq
作业布置
P46. 习题2.3 A组第4题或B组第2题
答案：①500； ②2550；
练习二
n s (2004.全国文)等差数列an的前 项
和记为 n .已知 a10 30 , a20 50 .
(1)求通项 an ;
(2)令 sn 242,求 n .
例1. 2000年11月14日教育部下发了《关于在 中小学实施“校校通”的工程通知》.某市据 此提出了实施“校校通”小学工程校园网.据 测算,2001年该市用于“校校通”的总目标:从 2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不 同标准的校园网。据测算，2001年该市用于 “校校通”工程的经费为500万元.为了保证工 程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一 年增加 50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在 “校校通”工程中的总投入是多少?
公式1
高中数学课件：第二章 2.3 等差数列的前n项和 第一课时 等差数列的前n项和
n＝1 n≥2.
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在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，
1010－1 d＝100， 10a1＋ 2 公差为 d，则 100a ＋100100－1d＝10. 1 2
2
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1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
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nn－1 解：(1)因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d， 又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， 所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022. ① ②
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[研一题] [例1] 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝
35，求a1和n.
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[自主解答]
an＝a1＋n－1d， 由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d，
பைடு நூலகம்
a1＋2n－1＝11， 得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35，
n＝5， 解方程组得 a1＝3， n＝7， 或 a1＝－1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第 二 章 数 列
等 差 数 列 的 前
第一 课时 等差 数列 的前 n项 和
名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关
考点一 考点二 考点三
n
项 和
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
返回
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2.3等差数列的前n项和第一课时
解法3： 解法 ：
设：∵S= 1+2+···+99+100 ,
S=100+99+···+2+1 , ∴2S=(1+100)+(2+99)+ ···+(99+2)+(100+1) =100× =100×101 s=100× s=100×(1+100)/2 ∴S=5050 .
算术法
解法1与解法2 解法1与解法2的比较
课
题
等差数列的前n 等差数列的前n项和 第一课时
三门中学
辛颖
2007 03 19
星期一
问题1 问题1
1+2+3+4+5+···+100=？
解法1: 解法1:
∵1+100=101， 2+99=101， 3+98=101 ， 4+97=101， ··· ， ··· ， 49+52=101，50+51=101. ∴1+2+3+4+5+···+100 =50×101 =5050.
公式的应用
例1.求和： 1.求和： 求和 （1） 101 + 100 + 99 + 98 + 97 + ⋯ + 64 ； （2） 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + (2n + 4)（结果用
n表示） 表示）
中前多少项的和是9900 9900？ 例2.等差数列 2, 4, 6,⋯ 中前多少项的和是9900？ 2.等差数列
高斯 德国著名数学家高斯 （Carl Friedrich Causs 1777年~1855 年 ），10岁时曾很快 年）， 岁时曾很快 求出它的结果！ 求出它的结果！
等差数列前n项和公式(第1课时).ppt
计算 1＋ 2＋3 ＋… +98＋ 99 ＋ 100 = ?
1+100 =101 2+99 =101 3+98 =101
101
50个等式
…
＋ 50+51 =101
设计意图
1.学生叙述高斯首尾配 对的方法 2.学生对高斯的算法是 熟悉的，知道采用首尾 配对的方法来求和，但 是他们对这种方法的认 识可能处于模仿、记忆 的阶段 . 3.为了促进学生对这种 算法的进一步理解，设 计了下面问题.
S100= 50×101 = 5050
高斯求和法
计算 1+ 2 + 3 +...... +100
S=1 + 2 + 3 +… + 98+99+100
倒序相加法
S=100+99+98+…+ 3 + 2 + 1 101
类比联想，解决问题
问题2：Sn= 1+2+3+…+n = ?（
Sn= 1 + 2 + 3 + … + n ① Sn= n+(n-1)+(n-2) +…+1 ② 由①+②，得： 2Sn = (1+n)+(2+n-1)+…+(n+1)
= n(1+n)
倒序相加法
）
讨论交流，延伸拓展
倒序相加法
问题3：已知等差数列｛an｝中,首项为a1,
第n项为an ,求它的前n项和Sn .
等差数列的前n项和(课时一)
§2.3 等差数列的前n项和（一）一、教材地位与作用数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型。
人们往往通过离散现象认识连续现象，因此就有必要研究数列。
高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。
本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。
在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：1.从特殊到一般的研究方法；2.等差数列的基本元表示；3.逆序相加求和。
不仅得出了等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。
等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。
二、三维目标1、知识与技能：（1）掌握等差数列的前n项和公式的推导方法；（2）掌握公式的运用2、方法与过程：（1）通过公式的探究、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、分析、联想、归纳、综合和逻辑推理的能力；（2）利用以退求进的思维策略、遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法，导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。
3、情感态度价值观：（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶；（2）通过公式的运用，树立学生“大众数学”的思想意识。
三、教学重点与难点1、重点：（1）探索并掌握等数列的前n项和公式；（2）学会用公式解决一些实际问题；（3）体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系。
2、难点：等差数列的前n项和公式推导思路的获得。
四、学情简介：高一年级、普通班五、教学方法：讲授法六、教学过程教师活动教学内容学生活动（一）引入1、例：1+2+3+...+99+100=？的高斯的算法1+2+3+...+99+100=（1+100）+（2+99）+...（50+51）=101×50=5050规律：任意的地k项与倒数的第k项的和等于首项与末项的和（＊）解决了数列{n}的前100项的和口述等差数列{a n }的前n项定义2、猜想（1）：可以用此方法求数列{n}的前n项和1+2+3+...+（n-1）+n=(1+n)+(2+(n-1))+...+( ? ）最后一项是什么？是两项之和，还是单独一项？即需要考虑项数n的奇偶性但如果把此求和式子反过来写，就可以发现这两个式子对应的每项相加之和刚好都为n+1,记s=1+2+3+...+（n-1）+ns= 1 + 2 + 3 + ... +（n-1）+ n ©倒序s= n +（n-1）+（n-2）+ ... + 2 + 1 ®相加（n+1）（n+1）（n+1）... （n+1）（n+1）→n个（n+1）由©+®得2s=（n+1）n即s=1+2+3+...+（n-1）+n=2)1(nn+求和方法：倒序相加法分析：仅用到规律（＊），并且巧妙地避免了对项数奇偶性的讨论又一般等差数列{a n }有性质若m+n=p+q，则aaaa qpnm+=+从而aaaaaa k nkn n1112+-+-=+==+3、猜想（2）：可以用“倒序相加法”求一般等差数列的前n项和（二）讲解新知1、定义：对数列{a n}，记S n＝a1＋a2＋…＋a n－1＋a n 为数列{a n }的前n项和.2、公式（等差数列{a n}，公差为d）S n＝n（a1＋a n）2①＝na1＋n（n－1）2 d ②（1）公式推导S n＝a1 ＋a2 ＋…＋a n－1 ＋a n ③S n＝a n ＋a n－1＋…＋a2 ＋a1 ④(a1＋a n) (a1＋a n) …(a1＋a n) (a1＋a n) →n个(a1＋a n) 由③＋④得2S n＝个nnnnaaaaaa)()()(111++⋅⋅⋅++++＝n(a1＋a n)即S n＝n（a1＋a n）2＝()2下底上底高+⨯（1）（2）只需说出应用公式几＝()21aa k nkn+-+⨯又a n与a1和d有关系，()dnaa n11-+=所以，()()()dnnndnnaaas n2121111-+=-++=（2）公式①与公式②的区别与联系区别：i）公式①反映了等差数列的任意的第k项与与倒数的第k项的和等于首项与末项的和这个性质；ii）公式②反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的联系，而且是关系n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。
课时作业37：§2.3 第1课时 等差数列的前n项和公式
§2.3 等差数列的前n 项和第1课时 等差数列的前n 项和公式1．在－20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( )A ．200B ．100C ．90D ．70答案 B解析 S 10＝10×(－20＋40)2＝100. 2．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( )A ．18B ．27C ．36D ．45答案 C解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36. 3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝n 2＋n ，则a 8等于( )A ．72B ．36C ．18D ．16答案 D解析 由a n ＝S n －S n －1(n ≥2且n ∈N *)得a 8＝S 8－S 7＝82＋8－72－7＝16.4．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( )A ．10 000B ．8 000C ．9 000D ．11 000答案 A解析 由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝100[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2＝50×(25＋75＋100)＝10 000.5．如果一个数列由有限个连续的正整数按从小到大的顺序组成(数列的项数大于2)，且所有项数之和为N ，那么称该数列为“N 型标准数列”，例如，数列3,4,5,6,7为“25型标准数列”，则“5336型标准数列”的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由题意知d ＝1，na 1＋n (n －1)2＝5 336， ∴n (2a 1＋n －1)＝10 672＝24×23×29，∵n ＜2a 1＋n －1，且一奇一偶，∴(n ,2a 1＋n －1)＝(16,667)＝(23,464)＝(29,368)共三组．6．(2020·全国Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝________. 答案 25解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＋a 6＝2a 1＋6d ＝2.因为a 1＝－2，所以d ＝1.所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25. 7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝________. 答案 5解析 因为S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，所以k ＝5.8．在等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d＝________. 答案 12解析 设公差为d ，由题意得10a 1＋12×10×9d ＝4⎝⎛⎭⎫5a 1＋12×5×4d ，所以10a 1＋45d ＝ 20a 1＋40d ，所以10a 1＝5d ，所以a 1d ＝12. 9．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5.(1)若a 3＝4，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．解 (1)设数列{a n }的公差为d .由S 9＝－a 5，即9a 5＝－a 5，所以a 5＝0，得a 1＋4d ＝0.由a 3＝4得a 1＋2d ＝4.于是a 1＝8，d ＝－2.因此数列{a n }的通项公式为a n ＝10－2n ，n ∈N *.(2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n (n －9)d 2. 由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n (n －9)d 2≥(n －5)d ， 化简得n 2－11n ＋10≤0，由二次函数y ＝n 2－11n ＋10的图象得1≤n ≤10，所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N *}．10．已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S 7＝7，S 15＝75，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和T n .解 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1，∴S nn ＝a 1＋n －12d ＝－2＋n －12，∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，且其首项为－2，公差为12.∴T n ＝14n 2－94n ，n ∈N *.11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6答案 B解析 当k ＝1时，a 1＝－8，不满足题意；当k ≥2，k ∈N *时，a k ＝S k －S k －1＝k 2－9k －(k －1)2＋9(k －1)＝2k －10.由5<2k －10<8，得152<k <9，又k ∈N *，故k ＝8.12．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 021等于() A ．－4 042 B ．－2 021 C ．2 021 D ．4 042答案 D解析 在等差数列{a n }中，S 1212－S 1010＝2，所以12×(a 1＋a 12)212－10×(a 1＋a 10)210＝2，化简得a 12－a 10＝2d ＝4，解得d ＝2，所以S 2 021＝2 021×(－2 018)＋12×2 021×2 020×2＝4 042. 13．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，且a n ∶b n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，则S 9T 9＝________. 答案 1113解析 ∵{a n }，{b n }均为等差数列，∴S 9T 9＝9a 59b 5＝2×5＋13×5－2＝1113. 14．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为________． 答案 四尺五寸解析 从冬至日起，日影长构成数列{a n }，则数列{a n }是等差数列，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝32，S 7＝73.5，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d ＝16，7a 1＋21d ＝73.5，解得a 1＝272，d ＝－1. 故a 10＝272－9＝4.5， 即立夏日影长为四尺五寸．15．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( )A ．12B ．16C ．9D ．16或9答案 C解析 a n ＝120°＋5°(n －1)＝5°n ＋115°，a n <180°，所以n <13，n ∈N *，由n 边形内角和定理得(n －2)×180°＝120°n ＋n (n －1)2×5°，解得n ＝16或n ＝9，又n <13，n ∈N *，所以n ＝9. 16．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0.∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根． 又公差d >0，∴a 3<a 4， ∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝4， ∴a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ， ∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c .∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c . ∵数列{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12 (c ＝0舍去)．经检验，c ＝－12符合题意，∴c ＝－12.。
高中数学：第二章 2.3 第1课时 等差数列的前n项和公式
[课时作业]页[A 组 基础巩固]1．等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于( )A ．5或7B ．3或5C ．7或－1D ．3或－1解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝11，S n ＝35，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35.解得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1. ★答案★：D2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 为( )A ．7B ．6C ．3D ．2解析：由S 2＝4，S 4＝20，得2a 1＋d ＝4,4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.★答案★：C3．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10等于( )A ．138B ．135C ．95D ．23解析：由a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，可知d ＝3，a 1＝－4.∴S 10＝－40＋10×92×3＝95. ★答案★：C4．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：由S 5＝5a 3＝25，∴a 3＝5.∴d ＝a 3－a 2＝5－3＝2.∴a 7＝a 2＋5d ＝3＋10＝13.★答案★：B5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－8；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－9n )－[(n －1) 2－9(n －1)]＝2n －10.综上可得数列{a n }的通项公式a n ＝2n －10.所以a k ＝2k －10.令5＜2k －10＜8，解得k ＝8.★答案★：B6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________． 解析：∵n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，且a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列，所以S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27. ★答案★：277．等差数列{a n }中，若a 10＝10，a 19＝100，前n 项和S n ＝0，则n ＝________.解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10a 1＋18d ＝100，∴d ＝10，a 1＝－80. ∴S n ＝－80n ＋n (n －1)2×10＝0， ∴－80n ＋5n (n －1)＝0，n ＝17.★答案★：178．等差数列{a n }中，a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝________.解析：因为a 1＋a 13＝a 2＋a 12＝2a 7，又a 2＋a 7＋a 12＝24，所以a 7＝8.所以S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13×8＝104. ★答案★：1049．在等差数列{a n }中：(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10；(2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n .解析：(1)由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58，a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4. ∴S 10＝10a 1＋10×(10－1)2d ＝10×3＋10×92×4＝210. (2)S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝42， ∴a 4＝6.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 4＋a n －3)2＝n (6＋45)2＝510.∴n ＝20.10．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．解析：(1)设{a n }的首项，公差分别为a 1，d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15， 解得a 1＝－9，d ＝3，∴a n ＝3n －12.(2)S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n ) ＝32⎝⎛⎭⎫n －722－1478， ∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值为－18.[B 组 能力提升]1．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 3＋a 6＋a 12为一个常数，则下列也是常数的是( )A ．S 17B ．S 15C ．S 13D ．S 7 解析：∵a 3＋a 6＋a 12为常数，∴a 2＋a 7＋a 12＝3a 7为常数，∴a 7为常数．又S 13＝13a 7，∴S 13为常数．★答案★：C2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，∴d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S m ＝(a 1＋a m )m 2＝0， 知a 1＝－a m ＝－2，a m ＝－2＋(m －1)＝2，解得m ＝5.★答案★：C3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于________． 解析：由等差数列的性质，a 5a 3＝2a 52a 3＝a 1＋a 9a 1＋a 5＝59，∴S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝95×59＝1. ★答案★：14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项和为180，S n ＝324(n >6)，则数列的项数n ＝________，a 9＋a 10＝________.解析：由题意，可知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36 ①，a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180 ②，由①＋②，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36.又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18，∴a 1＋a 18＝36，∴a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36. ★答案★：18 365．等差数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解析：a 1＝S 1＝101，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－32n 2＋2052n －⎣⎡ －32(n －1)2＋ ⎦⎤2052(n －1)＝－3n ＋104，a 1＝S 1＝101也适合上式，所以a n ＝－3n ＋104，令a n ＝0，n ＝3423，故n ≥35时，a n <0，n ≤34时，a n >0，所以对数列{|a n |}，n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－32n 2＋2052n ， 当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 34－a 35－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2S 34－S n ＝32n 2－2052n ＋3 502， 所以T n＝⎩⎨⎧ －32n 2＋2052n (n ≤34)，32n 2－2052n ＋3 502(n ≥35).6．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ， ∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12， ∴T n ＝n ×(－2)＋n ·(n －1)2×12＝14n 2－94n .。
2.3等差数列的前n项和(1)
2
变式练习
一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面 一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面 上铺了19层，共铺瓦片多少块？ 解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数 构成等差数列{an}，且a1=21，d=1，n=19. 于是，屋顶斜面共铺瓦片：
19 19 1 S19 19 21 1 570 块 2
3/30/2015
想 一 想
3/30/2015
在等差数列 {an} 中，如果已知五个 量 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?
（ n n 1) d S n na1 2 an a1 (n 1) d
结论：知 三 求 二
3/30/2015
复习引入
数列的通项公式能够反映数列的基 本特性，而在实际问题中，常常需要求 数列的前n项和.对于等差数列，为了方 便运算，我们希望有一个求和公式，这 就是本节课我们需要探究的课题.
3/30/2015
3/30/2015
高斯(Gauss,1777—1855), 德国著名数学家，他研究的内 容涉及数学的各个领域，被称 为历史上最伟大的三位数学家 之一，他与阿基米德、牛顿齐 名，是数学史上一颗光芒四射 的巨星，被誉为“数学王子”.
环县二中
梁万聪
复习引入
1. 等差数列定义：
即an－an－1 ＝d (n≥2).
2. 等差数列通项公式：
(1) an＝a1＋(n－1)d .
(2) an＝am＋(n－m)d .
3/30/2015
复习引入
3. 等差中项
ab A a , A, b 2
*
成等差数列.
4. 等差数列的性质 m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq. (m，n，p，q∈N*)
等差数列的前n项和(第一课时)
(1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)， 这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错． (2)在书写{an}的通项公式时，务必验证 n＝1 是否满足
an(n≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用 an＝
S1 n＝1 Sn－Sn－1n≥2
表示．
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【变式】 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n，求an. 解 a1＝S1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋ 3(n－1)]＝4n＋1， 当n＝1时也适合，∴an＝4n＋1.
答：屋顶斜面共铺瓦片570块.
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【变式4】一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10， 求前110项之和． [思路探索] 解答本题可利用前n项和公式求出a1和d，即可 求出S110，或利用等差数列前n项和的性质求解．
解 法一 设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn， 则 Sn＝na1＋nn2－1d.
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n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1 ②
分析：这
其实是求 21 2 3 (n 1) n n (n 1)
一个具体
的等差数 列前n项
和.
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2
那么，对一般的等差数列，如何求它的
前n项和呢？
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问题分析 如何才能将
已 是知n，等第差n数项列为｛an，an求｝前的n首项项和等为S式化na. 1的简，右？项边数 Q Sn a1 a2 a3 L an ①
于是，ad1
4 6
所以
Sn
n4
n(n 1) 2
6＝3n2
n
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第二章 2.3 第1课时 等差数列的前n项和公式
§2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和公式学习目标 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，a n，S n的关系，能够由其中三个求另外两个.3.能用a n与S n的关系求a n.知识点一等差数列的前n项和1．定义：对于数列{a n}，一般地，称a1＋a2＋a3＋…＋a n为数列{a n}的前n项和．2．表示：常用符号S n表示，即S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n.知识点二等差数列的前n项和公式知识点三 a 1，d ，n ，a n ，S n 知三求二1．在等差数列{a n }中，a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 两个公式共涉及a 1，d ，n ，a n 及S n 五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n 项和．2．依据方程的思想，在等差数列前n 项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”． 知识点四 数列中a n 与S n 的关系对于一般数列{a n }，设其前n 项和为S n ，则有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 特别提醒：(1)这一关系对任何数列都适用．(2)若在由a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求得的通项公式中，令n ＝1求得a 1与利用a 1＝S 1求得的a 1相同，则说明a n ＝S n －S n －1(n ≥2)所得通项公式也适合n ＝1的情况，数列的通项公式用a n ＝S n －S n －1表示．若在由a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求得的通项公式中，令n ＝1求得的a 1与利用a 1＝S 1求得的a 1不相同，则说明a n ＝S n －S n －1(n ≥2)所得通项公式不适合n ＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式．1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 1＝a 1.( )2．若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝S n －S n －1，n ∈N *.( )3．等差数列前n 项和公式的推导方法是倒序相加．( )4．1＋2＋3＋…＋100＝100×(1＋100)2.( )题型一 等差数列前n 项和公式的基本运算例1 在等差数列{a n }中：(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10；(2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n .反思感悟 (1)在解决与等差数列前n 项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用．(2)构成等差数列前n 项和公式的元素有a 1，d ，n ，a n ，S n ，知其三能求其二．跟踪训练1 在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .题型二 由S n 与a n 的关系求a n例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？引申探究若将本例中前n 项和改为S n ＝n 2＋12n ＋1，求通项公式．反思感悟 已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求得a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示，不符合则分段表示．跟踪训练2 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ，求a n .题型三 等差数列在实际生活中的应用例3 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？反思感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．跟踪训练3 甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？1．已知等差数列{a n}满足a1＝1，a m＝99，d＝2，则其前m项和S m等于() A．2 300 B．2 400 C．2 600 D．2 5002．记等差数列的前n项和为S n，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于() A．2 B．3 C．6 D．73．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝.4．已知数列{a n}是等差数列，S n是它的前n项和．若S4＝20，a4＝8，则S8＝. 5．已知数列{a n}满足a1＋2a2＋…＋na n＝n(n＋1)(n＋2)，则a n＝.1．求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量．若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)；若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p (m ，n ，p ∈N *)．3．由S n 与a n 的关系求a n 主要使用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.一、选择题1．在－20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( )A ．200B ．100C ．90D ．702．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( )A ．18B ．27C ．36D ．453．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的前9项和等于( )A ．27 B.632 C ．45 D ．－94．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为() A ．10 000 B ．8 000C ．9 000D ．11 0005．在等差数列{a n }中，若S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A.12 B ．2 C.14 D ．46．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．6637．在等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10等于( )A ．－9B ．－11C ．－13D ．－158．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18等于( )A ．36B ．35C ．34D ．33二、填空题9．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为 ．10．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为 ．11．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200·OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 200＝ .三、解答题12．在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8；(2)已知a 2＋a 4＝485，求S 5.13．已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S 7＝7，S 15＝75，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和T n .14．(2018·烟台检测)一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于()A．12 B．16 C．9 D．16或915．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若数列{b n}是等差数列，且b n＝S nn＋c，求非零常数c.。
高中数学第二章数列2.3等差数列前n项和(第1课时)课件新人教A版必修5
时，易忽略验证第一项．
[活学活用] 已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前 k 项和 Sk＝－35，求 k 的值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d. 由 a1＝1，a3＝－3 可得 1＋2d＝－3.解得 d＝－2. 从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知 an＝3－2n.所以 Sn＝n1＋23－2n＝2n－ n2.进而由 Sk＝－35，可得 2k－k2＝－35. 又 k∈N*，故 k＝7 为所求．
归纳小结
等差数列的前 n 项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
选用 公式
Sn＝na12＋an
Sn＝na1＋nn2－1d
[化解疑难] 等差数列前 n 项和公式的特点
(1)两个公式共涉及到 a1，d，n，an 及 Sn 五个基本量，它 们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前 n 项和．
[答案] B
(2)[解] ∵数列{an}为等差数列， ∴S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100 也成等差数列． 设其公差为 D，则 S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋…＋(S100 －S90)＝S100，
即 10S10＋10×2 9×D＝S100＝10. 又∵S10＝100，代入上式，得 D＝－22， ∴S110－S100＝S10＋(11－1)×D＝100＋10×(－ 22)＝－120， ∴S110＝－120＋S100＝－110.
答案：104
2.3(1)等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和
1+2+3+„+98+99+100=？ 高斯10岁时曾很快算出这一结 果，如何算的呢？ 高斯 我们先看下面的问题.
(1777—1855）
德国著名数学家
1+2+3+· · · +100=?
带着这个问题，我们进入本节课的学习！
1. 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路； (重 点） 2. 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的 与前n项和有关的问题．（难点）
2
当n = 1时， 1 3 a1 = S1 = 1 + ×1 = ，也满足上式. 2 2 1 所以数列an 的通项公式为an = 2n - . 2 3 由此可知，数列an 是一个首项为 ，公差为2的等差数列. 2
2
【规律总结】 这个例题给出了等差数列通项公式的另一个求法. （ , S 1 n=1） 已知前n项和S n，可求出通项an （ . 1 n 2） S n S n 这种用数列S n的公式来确定an的方法对于任何数列 都是可行的，而且还要注意a1不一定满足由 S n S n1 an 求出的通项表达式，所以最后要验证 首项a1是否满足已求出的an .
多少个 (a ? 共有n个 (a 1+a n) 1+a n)
n(a1 an ) Sn . 因此， 2
这种求和的 方法叫倒序 相加法！
【即时练习】
根据下列条件，求相应的等差数列an 的前n项和S n . a1 5, a10 95, n 10.
10× (5 + 95) 【解析】S10 = = 500. 2
a1＝2，S3＝12，则 a6 等于( C )
等差数列的前n项和公式(第一课时)(教案)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
等差数列的前n项和公式第一课时1.课时教学内容等差数列前n项和公式2.课时学习目标(1)会推导等差数列前n项和公式；(2)会用等差数列的前n项和公式解决简单问题。
3.教学重点与难点重点∶等差数列的前n项和的应用。
难点∶等差数列前n项和公式的推导方法。
4.教学过程设计环节一情景引入200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…＋100=？你准备怎么算呢？高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一。
他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献。
问题1：为什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？这是巧合吗？试从数列角度给出解释。
高斯的算法：（1+100）+（2+99）+…+(50+51)=101×50=5050高斯的算法实际上解决了求等差数列：1，2，3，…，n，…前100项的和问题。
等差数列中，下标和相等的两项和相等。
设a n=n,则a1=1，a2=2，a3=3，…如果数列{a n}是等差数列，p,q,s,t∈N∗且 p +q =s +t,则a p +a q =a s +a t可得：a 1+a 100=a 2+a 99=⋯=a 50+a 51问题2：你能用上述方法计算1＋2＋3＋… ＋101吗？ 解：原式=(1+101)+(2+100)+⋯+(50+52)+52 =102×50+51 =5151解法2：原式=(1+2+⋯+100)+101=[(1+100)+(2+99)+⋯+(50+51)]+101=101×50+101 =5151解法3：原式=0+1+2+⋯+100+101=(0+101)+(1+100)+⋯+(50+51)=101×51 =5151问题3：你能计算1＋2＋3＋… ＋n 吗？ 需要对项数的奇偶进行分类讨论.当n 为偶数时， S n =(1+n )+[(2+(n −1)]+⋯+[(n2+(n2−1)] =(1+n )+(1+n )…+(1+n ) =n2(1+n ) =n(1+n)2当n 为奇数数时， n －1为偶数S n =(1+n )+[(2+(n −1)]+⋯+[(n +12−1)+(n +12+1)]+ n +12=(1+n )+(1+n )…+(1+n )+ n+12=n−12(1+n )+n+12=n(1+n)2对于任意正整数n ，都有1＋2＋3＋… ＋n =n(1+n)2问题4：不分类讨论能否得到最终的结论呢？ S n = 1+ 2 + 3 +⋯+nS n = n +(n −1)+(n −2)+⋯+1 将上述两式相加，得2S n=(n+1)+[(n−1)2]+[(n−2)+3]+⋯+(1+n)=(1+n)+(1+n)+⋯+(1+n)=n(1+n)所以S n=1+2+3+⋯+n=n(1+n)2问题5:上述方法的妙处在哪里？倒序求和法S n=a1+a2+a3+⋯+a n−2+a n−1+a nS n=a n+a n−2+a n−1+⋯+a3+a2+a1 2S n=(a1+a n)+(a2+a n−1)+⋯+(a n+a1)因为：a1+a n=a2+a n−1=…=a n+a1所以：2S n=(a1+a n)+(a1+a n)+⋯+(a1+a n)=n(a1+a n)即：S n=n(1+n)2问题6:这种方法能够推广到求等差数列{a n}的前n项和吗？S n=a1+a2+a3+⋯+a n−2+a n−1+a n,S n=a n+a n−2+a n−1+⋯+a3+a2+a1.2S n=(a1+a n)+(a2+a n−1)+⋯+(a n+a1)因为：a1+a n=a2+a n−1=…=a n+a1所以：2S n=(a1+a n)+(a1+a n)+⋯+(a1+a n)=n(a1+a n)所以S n=n( a1+a n)2得到等差数列前n项和公式：S n=n( a1+a n)2追问1：你能用文字语言表达这个公式吗？首项加末项乘以项数除以2.追问2：这个公式还有什么含义？等式两边同除以n,S nn =(a1+a n)2，即a1+a2+a3+⋯+a nn =(a1+a n)2前n项平均数等于首项与第n项的平均数问题7：能不能用a1和d来表示S n呢？将a n=a1+(n−1)d代入公式整理得S n ＝na1+n(n−1)2d追问：如果不利用前面结论，你还有其他方法得到上述公式吗？S n=a1+a2+a3+⋯+a n,=a1+(a1+d)+(a1+2d)+⋯+[a1+(n−1)d]=na1+[1+2+3+(n−1)d]=na1+n(n−1)2d等差数列的前n项和公式公式S n＝n(a1+a n)2功能1：已知a1,a n,n 求S n功能2：已知S n a1,a n,n中任意3个，求第4个。
高中2.3.1等差数列的前n项和听课记录
此公式要求 必须已知三个条件： （有时比较有用）
总之：两个公式都表明要求 必须已知 中三个
公式二又可化成式子：
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
教学点评：上一课时已经回顾了知识与方法，这节课将题型归好类，对例题的讲解，充分体现了以学生为主体，教师为
引导者的教学理念。该老师做到了效率和时间有机结合，能力和容量相兼容。
5．等差数列的性质：m+n=p+q (m, n, p, q∈N )
6．数列的前n项和：
数列 中， 称为数列 的前n项和，记为 .
二、公式推导
1．等差数列的前 项和公式1：
证明： ①
②
①+②：
∵
∴ 由此得：
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
2．等差数列的前 项和公式2：
用上述公式要求 必须具备三个条件：
给予学生自主探索的时间和空间，让学生在自主探索中，获得知识，体验知识的形成过程，获得学习的主动权。在课堂中，教师花了充足的时间让学生多次进行合作学习，在合作探索中得出结论。不过该老师对时间的把握还有所欠缺，语言方面也有待提高。
课题
2.3.1等差数列的前n项和
（第1课时）
课型：复习课，习题课
一、复习引入：
首先回忆一下前几节课所学主要内容：
1．等差数列的定义： － =d，（n≥2，n∈N ）
2．等差数列的通项公式：
( 或 =pn+q (p、q是常数))
3．几种计算公差d的方Байду номын сангаас：
①d= － ②d= ③d=
4．等差中项： 成等差数列
2.3等差数列前n项和公式(1)
当a1<0，d>0时，Sn有最小值， 此时可由an≤0 、an+1 ≥ 0求出n的值；
注意：当数列中有数值为0时，n应有两解.
第32页，共33页。
第33页，共33页。
返回
第14页，共33页。
2.3等差数列前n项和 (第二课时）
第15页，共33页。
1.等差数列前n项和Sn公式的推导
2.等差数列前n项和Sn公式：
-------倒序相加法
an=a1+(n-1)d
说明：两个等差数列的求和公式及通项公式， 一共涉及到5个量，通常已知其中3个，可求另
外2个。
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3. 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.S16=
144
第13页，共33页。
课堂小结
等差数列前n项和公式
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
公式的推证用的是倒序相加法
在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个 元素,结合通项公式就可求出另两个元素.(运用了 方程 思想）
第25页，共33页。
例3：已知数列an 是等差数列，sn 是其前n项的和。
求证：s6 , (s12 s6 ),(s18 s12 )也成等差数列。
解：设等差数列首项为 a1, 公差为d，则有 :
s6 6a1 15d s12 12a1 66d s18 18a1 153d
s12 s6 6a1 51d s18 s12 6a1 87d
3. 若数列{an}为等差数列：
2.3 第1课时 等差数列的前n项和课件人教新课标
等差数列的前n项和
-1-
第1课时
等差数列的前n项和
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
课标阐释
思维脉络
1.掌握等差数列前 n 项和公式的
等差数列的前 n 项和
推导方法.
2.掌握等差数列的前 n 项和公式, 前 n 项和公式 推导
能够运用公式解决相关问题.
应用
3.理解 Sn 与 an 的关系,并能运用 由S 求a
)
答案:①× ②×
(2)①若数列{an}的前 n 项和
1
6
1
5
)
1
Sn=+1,则 a5=
②若数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+n,则 an=
课堂篇探究学习
.
.
1
30
解析:①a5=S5-S4= − =- .
②当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.当 n=1
(2)①在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,a3=7,公差d=2,则
S20=
.
②已知数列{an}为等差数列,a1=2,an=10,Sn=72,则n=
.
20×19
解析:①由 a3=7,d=2,得 a1=3,故 S20=20×3+ 2 ×2=440.
( + )
(2+10)
②∵Sn= 12 ,∴ 2 =72,解得 n=12.
等差数列的前n项和
探究二
探究三
思维辨析
课堂篇探究学习
课堂篇探究学习
当堂检测
反思感悟已知数列{an}的前n项和Sn,求通项公式an的步骤
1.当n=1时,a1=S1.
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对于首项为 a1 、公差为 d 的等差数列 {an } ，我们有
sn a1 a2 a3 an
sn an an1 an2 a1
两式相加得：
2sn (a1 an ) (a2 an-1 ) (a3 an-2 ) (an a1 ) n(a1 an )
【历史插曲】
在我国南北朝时，张丘建始创等差数列求和的解法。在《张丘 建算经》里给出问题：
“今有女不善织，日减功迟。初日织五尺，末日织一尺， 今三十日织讫，问织几何?”
原书的解法是：“并初、末日织布数，半之，余以乘积 讫日数，即得．”这个解法相当于给出了等差数列的求 和公式。
《张丘建算经》成书于5 世纪，比《孙子算经》稍晚．作者 张丘建，河北清河人．该书共三卷92题，包括测量、纺织、 交换、纳税、冶炼、土木工程、利息等各方面的计算问题．
【形数理论】
在求三角形面积时，我们可以将三角形旋转倒 置，与原图首尾相接，构成一个平行四边形，这样 假设有 n 行小石子，那么每个图形中 每一个三角形的面积就等于平行四边形面积的一 小石子的总数为：1+2+· · ·+n 半。
左边是两个一模一样图形的拼合，所 以小石子总数为：2（1+2+· · · +n） 观察一下左边的图形，每一行小石子 的个数都是：n+1 总共有：n 行 所以小石子总数为：n（n+1） 所以 2（1+2+· · ·+n）= n（n+1） 所以
数列的前 n 项和： Sn a1 a2 an 如果等差数列 {an } 的首项 a1 、公差 d 均已知，怎么推导它的前 n 项 和公式呢？
等差数列的通项公式： an
a1 (n 1)d
写出各项后累加得：
a1 a2 an a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ]
【往事重提】
1+2+3+4+…+97+98+99+100=？ 5050 1+100=101 2+ 99=101 3+ 97=101 …… 50+ 51=101
101×50=5050
n(n 1) 1+2+3+4+…+(n-1)+n=？ 2
这个公式怎么来的呢？
【往事重提】
传说古希腊毕达哥拉斯（约公元前570年——约公元前 500年）学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他 们在沙滩上用小石子摆出了一个个精致的多边形，这 就是著名的形数——数与形的完美结合。
两种推导等差数列前n项和的方法； 等差数列前n项和的两种形式； 通过两个图形记忆等差数列前n项和。
“知三求二” ： a1, d , n, an , sn 知道其中三个，可以求出其他两个
1+2+3+4+…+100=？
heihei …看你 还嚣张
高斯，你这么 闲，罚你在放 学前算完这个 加法！！！
小case啦！
5050 xixi
高斯（Carl Friedrich Gauss 1777年~1855年）， 德国著名数学家。高斯一生成果丰硕，以他名字 “高斯”命名的成果达 110 个，属数学家中之最。
即 Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ]
整理得：
Sn na1 [1 2 3 (n 1)]d
1 2 3 (n 1) ?
好好学习，天天向上
上课讲话 高斯 毕达格拉斯 上课睡觉 斐波那契
所以，等差数列 {an } 的前 n 项和为：
n (a1 an ) sn 2
【公式记忆—数形结合】
a1
an
等差数列前n项和的几何意义： 平行四边形（补）的面积或梯形 （割）的面积
a1
n
n
an
a1
a1
(n 1)d
n(a1 an ) Sn 2
n(n 1)d Sn na1 2
1 2 n
n(n 1) 2
【回到开始，继续探究】
前面我们推导到Sn na1 [1 2 3 (n 1)]d
刚才用形数理论推导出：1 2 n 所以，1 2 (n 1)
n(n 1) 2
(n 1)[(n 1) 1] n(n 1) 2 2
代入前面推导的公式中得：
n( n 1) Sn na1 d 2
这就是等差数列前 n 项和公式
【公式推导，新知探索】
刚才讲的“形数理论”事实上就是将 1+2+· · · +n 倒过来与原式相加，我们知道，事实上 1,2,3， · · · ，n 是一个等差数列。我们自然会想，能不能用类似的方法——“倒一倒，加一加” 来解决一般情况下等差数列的求和问题呢？
【旧知温习】
提问：等差数列 {an } 中，若 a1 a10 47 ，则 a4 a7 ______
a3 a8 ________
， a5 a6 _________
等差数列 {an } 中， 若 p q m n, 则 ap aq am an
【公式推导，新知探索】
2, n 15, an 10, 求a1及Sn .
【实际应用】
练习 一条直线上有 30 个土豆，每个相邻的土豆间隔 3m ， 第一个土豆离篮子也是 3m 远，一人从篮子出发将土豆一 个个单独捡回篮子（每次捡一个放回篮子，再重新从篮 子处出发捡下一个），问全部捡回时他总共走了多远？
【小结—三个“2”与“知三求二”】
【应用迁移，巩固提高】
例 根据下列条件，求相应的等差数列{ an }的有关未知数．
（1） a1 （2） a1 （3） a1 （4） d
15, an 49, n 10, 求d 及Sn；
100, d 2, n 50，求an及Sn；
20, an 54, Sn 999, 求d 及n；