高中数学希望杯典型例题100道(31-40)

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历届“希望杯”全国数学邀请赛100题精选(高二)

历届“希望杯”全国数学邀请赛100题精选（高二）题一、已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 .（第十一届高二第一试第11题）题二、设c b a >>N n ∈,，且11n a b b c a c+≥---恒成立，那么n 的最大值为（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 （第十一届高二第一试第7题）题3、设实数y x n m ,,,知足a n m =+22，b y x =+22，那么ny mx +的最大值为（） A 、21()b a + B 、2122b a + C 、222b a + D 、ab （第十一届高二培训题第5题）题4、关于1≤m 的一切实数m ，使不等式221(1)x m x ->-都成立的实数x 的取值范围是 . （第十三届高二培训题第63题）题5、当0x a <<时,不等式2)(1122≥-+x a x 恒成立,那么a 的最大值是________. (第十一届高二培训题第45题)题6、已知()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=2,0,log sin πθθx x f ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos sin θθf a ，()θθcos sin ⋅=f b ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θθθcos sin 2sin f c ，那么c b a 、、的大小关系是（） A 、b c a ≤≤ B 、a c b ≤≤ C 、a b c ≤≤ D 、c b a ≤≤（第八届高二第一试第10题）题7、已知21=a ，不等式49321log <⎪⎭⎫⎝⎛-x a 的解是 .（第三届高二第二试第13题）题8、不等式t x x +≥-21 的解集是∅ ,实数t 的取值范围(用区间形式)是 .(第一届高二第一试第18题)题9、不等式03422≥+---x x x 的解集是（）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-255,253 C 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-,255253, D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-253,255 （第十三届高二第二试第8题）题10、不等式199920003224>-+-x x 的解集是 . （第十一届高二培训题第41题）题11、使不等式x a x arccos 2>-的解是121≤<-x 的实数a 的取值范围是（） A 、21π- B 、3222π- C 、6522π- D 、π-21 （第十一届高二第一试第6题）题12、已知b a ,是正数，而且1996199619981998b a b a +=+，求证222≤+b a .(第十届高一培训题第74题)题13、设1x ，2x ，3x ，1y ，2y ，3y 是实数，且知足1232221≤++x x x ，证明不等式)1)(1()1(2322212322212332211-++-++≥-++y y y x x x y x y x y x .（第十届高二第二试第22题）题14、已知0x y z >、、，而且2222222111x y z x y z ++=+++，求证：2111222≤+++++z z y y x x . （第一届备选题）题15、求所有的正实数a ，使得对任意实数x 都有22sin 22cos ≤+x x a a（第十一届高二第二试第23题）题16、函数()()122222>-+-=x x x x x f 的最小值为 ( ) A 、-1 B 、1 C 、-2 D 、2 （第七届高一培训题第2题）题17、已知,,x y z R +∈，且1231x y z ++=，那么23y z x ++的最小值是（） A 、5 B 、6 C 、8 D 、9（第十一届高二第二试第9题、高二培训题第14题）题18、设b a y x ,,,为正实数，b a ,为常数，且1=+yb x a ,那么y x +的最小值为_______. （第十一届高二培训题第36题）题19、若是1=++c b a_______．（第八届高二第一试第19题）题20、若10<<c b a 、、，而且2=++c b a ，那么222c b a ++的取值范围是（） A 、43⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B 、423⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C 、423⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D 、4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ （第九届高二第一试第10题）题21、假设0,>y x ，且12=+y x ，那么⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y y x x u 411的最小值是 . （第一届高二第一试第20题）题22、已知+∈R b a ,，且1=+b a ，那么1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 . (第八届高二培训填空题第6题) 题23、设R y x ∈,，且221x y +≤，那么xy y x ++的最大值是，最小值是．（第六届高二培训解答题第2题、第八届高二第一试第23题）题24、假设223x xy 3y 20-+=，那么228x 23y +的最大值是．（第十三届高二培训题第68题）题25、函数xx x y sin 1cos sin ++=的最大值是＿＿＿＿．（第九届高二培训题第43题）题26、函数1212y sin x cos x =+的值域是 . （第十一届高二培训题第46题）题27、设+∈N n ，那么|2001||1950||1949|-+⋯+-+-n n n 的最小值是．（第九届高二培训题第53题）题28、6110s =+++，那么s 的整数部份是（）A 、１９９７Ｂ、１９９８ C 、１９９９ D 、２０００（第八届高二第二试第１０题）题 29、求函数4803224+++-=x x x y 的最小值和取最小值时x 的值（第十三届高二培训题第81题）题30、函数223223x x x x y -+++-=的最大值是 ,最小值是 .(第十四届高二第二试第16题) 题31、已知+∈R z y x 、、，求函数()222,,xy yz u x y z x y z +=++的最大值. （第九届高二培训题第61题）题32、已知a,b R ∈，且a b 10++=，那么()()2223a b -+-的最小值是 .（第十届高二培训题第44题）题33、实数x ，y 知足方程94622--=+y x y x ，那么y x 32-的最大值与最小值的和等于_______. （第十届高二第二试第17题）题34、线段AB 的端点坐标是A （-1，2），B （2，-2），直线y=kx+3与线段AB 相交的充要条件是（） A 、125≤≤-k B 、251≤≤k C 、125≤≤-k 且k ≠0 D 、125≥-≤k k 或（第八届高二培训题第2题）题35、过点()1,1P 且与两条坐标轴围成面积为2的三角形的直线的条数是 .(第十届高二第一试第18题)题36、某工厂安排甲、乙两种产品的生产.已知每生产1吨甲产品需要原材料A 、B 、C 、D 的数量别离为1吨、2吨、2吨、7吨；每生产1吨乙产品需要原材料A 、B 、D 的数量别离为1吨、4吨、1吨.由于原材料的限制，每一个生产周期只能供给A 、B 、C 、D 四种原材料别离为80吨、80吨、60吨、70吨.假设甲、乙产品每吨的利润别离为2百万元和3百万元.要想取得最大利润，应该在每一个生产周期安排生产甲产品吨，期望的最大利润是百万元.（第十三届高二第一试第25题）题37、点M ()00,y x 是圆()0222>=+r r y x 内圆心之外的一点，那么直线200r y y x x =+与该圆的位置关系是（）（A ）相切（B ）相交（C ）相离（D ）相切或相交（第七届高二第一试第5题）题38、过圆016222=+-++y x y x 与圆0176622=+--+y x y x 的交点的直线方程是 . （第二届高二第二试第15题）题39、假设实数x 、y 适合方程014222=+--+y x y x ，那么代数式2+x y 的取值范围是 . （第九届高二第一试第17题）题40、圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ,都使不等式0≥++c y x 成立，那么C 的取值范围是（）A 、(]0,∞-B 、)+∞C 、1,)+∞D 、[1)+∞ （第七届高二第一试第10题）题41、E 、F 是椭圆22x y 142+=的左、右核心，l 是椭圆的准线，点P l ∈，那么EPF ∠的最大值是（）A 、15°B 、30°C 、45°D 、60° （第十三届高二培训题第21题）题42、椭圆()012222>>=+b a by a x 的两核心是1F 、2F ，M 为椭圆上与1F 、2F 不共线的任意一点，I 为21F MF ∆的内心，延长MI 交线段1F 2F 于点N ，那么IN MI :的值等于 ( )A 、b aB 、c aC 、c bD 、a c （第十三届高二培训题第19题）题43、过椭圆左核心F 作直线交椭圆于B A 、两点，假设3:2:=BF AF ，且直线与长轴的夹角为4π，那么椭圆的离心率为（） A 、51 B 、52 C 、53 D 、52 （第十一届高二第一试第8题）题44、若是点A 的坐标为(1,1)，1F 是椭圆459522=+y x 的左核心，点P 是椭圆上的动点，那么1PF PA +的最小值为_________________.（第十一届高二培训题第66题）题45、设1F 、2F 是椭圆的两个核心，假设椭圆上存在点P ，使oPF F 12021=∠，那么椭圆离心率e 的范围是______. （第十二届高二第一试第20题）题46、1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个核心， P 是椭圆上任意一点，那么21PF PF ⋅的最小值是＿＿＿＿. （第七届高二第一试第19题）题47、21,F F 是椭圆()012222>>=+b a by a x 的核心，P 是椭圆上的一点，且︒=∠9021PF F ，那么21PF F ∆的面积是 . （第四届高二第一试第30题）题48、椭圆12222=+by a x 的内接三角形的最大面积是＿＿＿. （第九届高二第二试第20题）题49、Rt △ABC 中，AB=AC ，以C 点为一个核心作一个椭圆，使那个椭圆的另一个核心在边AB 上，且椭圆过A ，B 两点.求那个椭圆的离心率. （第二届高二第二试第21题）题50、设点1F 是椭圆12322=+y x 的左核心，弦AB 过该圆的右核心2F ，试求AB F 1∆的面积的最大值. （第六届高二第二试`第21题）题51、Let point M move along the ellipse 18922=+y x ,and point F be its right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of M is . (ellipse 椭圆；focus 核心；coordinate 坐标)（第十四届高二第二试第18题）题52、已知双曲线k y x =-22关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，那么k 的值等于（）A 、32B 、34C 、45D 54 （第十五届高二培训题第19题）题53、21,F F 是双曲线3322=-y x 的左、右核心，B A ,两点在右支上，且与2F 在同一条直线上，那么11F A F B +的最小值是____________. （第四届高二第二试第15题）题54、方程()()|3|2222+-=-+-y x y x 表示的曲线是 ( ) A 、直线 B 、椭圆 C 、双曲线 D 、抛物线（第十二届高二培训题第23题）题 55、已知1≥x ，那么动点A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x 1,1与点B （1，0）的距离的最小值是_________.（第七届高二第一试第23题）题56、抛物线2x y =上到直线02=++y x 的距离最小的点的坐标是________．（第九届高二培训题第27题）题57、在抛物线x y 42=上恒有两点关于直线3+=kx y 对称,那么k 的取值范围是 .(第十五届高二培训题第71题)题58、抛物线x y 42=的一条弦的倾斜角是α,弦长是α2csc 4,那么这种弦都通过必然点,该定点是．（第十三届高二培训题第73题）题59、长为)1(<l l 的线段AB 的两头在抛物线2x y =上滑动，那么线段AB 的中点M 到x 轴的最短距离等于 . （第13届高二第二试第20题）题60、动圆M 过定点A 且与定圆O 相切，那么动圆M 的中心的轨迹是（）A 、圆B 、圆，或椭圆C 、圆，或椭圆，或双曲线D 、圆，或椭圆，或双曲线，或直线（第三届高二第二试第10题）题61、设直线n m ,都是平面直角坐标系中椭圆72x +32y =1的切线，且n m ⊥，m 、n 交于点P ，那么点P 的轨迹方程是．（第十二届高二培训题第47题）题62、已知曲线C 上任意一点到定点A （1，0）与定直线4=x 的距离之和等于5.关于给定的点()0,b B ，在曲线上恰有三对不同的点关于点B 对称，求b 的取值范围.（第十二届高二第二试第23题）题63、已知k ∈R ，关于x,y 的方程y 4+4y 3+(2x+2kx-kx 2)y 2+8xy+(4kx 2-2kx 3)=0表示一组曲线，其中有一条是固定的抛物线，试讨论k 值与曲线形状的关系. （第三届高二第二试第21题）题64、已知点)0,1(A 和直线3:=x l ，动点M 到A 的距离与到l 的距离之和为4.(1)求M 点的轨迹T ;(2)过A 作倾斜角为α的直线与T 交于P ，Q 两点,设||PQ d =，求)(αf d =的解析式.（第十二届高二培训题第78题）题65、已知定点M （-3,0），P 和Q 别离是y 轴及x 轴上的动点，且使MP ⊥PQ ，点N 在直线PQ 上，分有向线段的比为23-. （1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）过点T （-1,0）作直线l 与轨迹C 交于两点A ，B ，问在x 轴上是不是存在一点D ，使△ABD 为等边三角形；假设存在，求点的坐标；假设不存在，请说明理由.（第十五届高二培训题第80题）D ABE C FG P 题66、已知异面直线a 与b 所成角为θ，P 为空间一点，过点P 作直线l 使l 和a ，b 所成角相等，此等角记为(()0,90⎤ββ∈⎦，那么直线l 的条数组成的集合为 .（第十五届高二培训题第38题）题67、空间给定不共面的D C B A ,,,四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：D C B A ,,,中有三个点到α的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，如此的平面α的个数是（）A 、15B 、23C 、26D 、32 （第三届高一第二试第6题）题68、O 为空间一点，射线OA 、OB 、OC 交于点O ，∠AOB=∠BOC=60︒，∠COA=90︒，那么二面角A-OB-C 的平面角的余弦函数值是________. （第五届高一第一试第15题）题69、在四面体ABCD 中，面BAC 、CAD 、DAB 都是以A 为极点的等腰直角三角形，且腰长为a .过D 作截面DEF 交面ABC 于EF ，假设EF ∥BC ，且将四面体的体积二等分，那么面DEF 与面BCD 的夹角等于________. （第十三届高二第二试第19题）题70、如图，四边形ABCD 是矩形，⊥PA 面ABCD ，其中4,3==PA AB .假设在PD 上存在一点E ，使得CE BE ⊥.试求AD 的范围，及有且只有一个知足条件的点时，二面角A BC E --的大小. (第十四届高二培训题第78题) 题71、△ABC 是边长为1的正三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA=46，A 点关于平面PBC 的对称点为A ’，求直线A ’C 与AB 所成角的余弦值. （第九届高一第二试第22题）题72、已知正方体的棱长为a ，它的体对角线和与它不共面的面对角线之间的最小距离等于________. (第十五届高二培训题第49题) 题73、点P 在ABC ∆所在的平面α外，,PA PB PC α⊥==3tan ,2PBC ∠=则A 到平面PBC 的距离的最大值是_________.（第二届高一第一试第30题）题74、如图，ABCD-EFGH 是单位正方体，P 是AF 上的动点，那么GP+PB 的最小值是．（第十二届高一第一试第20题）题75、以四个全等的正三角形为面拼合成的空间图形叫正四面体.正三角形边长叫正四面体的棱长.设正四面体棱长为1. 求互为异面的正三角形的中线（所在直线）间的距离. （可利用下面的结论：正四面体ABCD 中，A 到面BCD 的A B CD EF GH P距离为d ，面BCD 的面积为S ，那么四面体ABCD 的体积V=sd 31）（第八届高一培训解答题第3题）题76、四面体ABCD 中，R Q P ,,别离在棱DA CD BC ,,上，且,2,2QD CQ PC BP ==,RA DR =则B A ,两点到过R Q P ,,的平面的距离之比为_____.（第十届高一培训题第38题）题77、在棱长为2的正四面体内任取一点P ，P 到四面体四个面的距离别离记为1PP ，2PP ，3PP ，4PP ，那么=+++4321PP PP PP PP ＿＿＿＿. （第三届高二第一试第16题）题78、某水准仪是封锁的正四面体,体内装有水,当正四面体的一个面放置于水平地面时, 体内水面高度为体高的12，现将它倒置，现在水的高度是体高的．（第十一届高一第一试第20题）题79、正四面体SABC ，点M 、E 、F 别离在棱SA ，AB ，BC 上，且2===FCBF EA BE MA SM .过M 、E 、F 三点的平面将四面体分成两部份，这两部份的体积比为＿＿＿＿（取较小部份与较大部份的体积之比）（第十三届高二培训题第75题）题80、正四面体的侧面三角形的高线中，其“垂足”不在同一侧面上的任意两条所成角的余弦值是（）31)(A 21)(B 32)(C 43)(D （第十二届高二第二试第3题）题81、过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 的中点E 、F 作一个截面，使截面与底面ABCD 所成的角为450，那么此截面的形状为（）A 、三角形或五边形B 、三角形或六边形C 、六边形D 、三角形或四边形（第六届高一第二试第5题）题82、正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 的中点，F 为1CC 的中点，异面直线EF 与1AC 所成角的余弦值是（）A 、32B 、322 C 、43 D 、63 (第十五届高二第二试第9题) 题83、多面体表面上三个或三个以上平面的公共点称为多面体的极点，用一个平面截一个n 棱柱，()N n n ∈≥,3截去一个三棱锥，剩下的多面体极点的数量是（）A 、12,12+-n nB 、22,12,2,12++-n n n nC 、22,12,12++-n n nD 、22,12++n n （第四届高一第二试第10题）题84、在长方体1111D C B A ABCD --中，1,,()AB a BC b CC c a b c ===>>, 过1BD 的截面的面积为S ，求S 的最小值，并指出当S 取最小值时截面的位置（即指出截面与有关棱的交点的位置）. （第五届高一第二试第22题）题85、从凸四边形ABCD 的对角线交点O 作该四边形所在平面的垂线段SO ，使3SO =，假设22,S AOD S BOC V a V b --==.当S ABCD V -最小时，ABCD 的形状是＿＿＿＿.（第十四届高二培训题第67题）题86、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1底面的边长和高都是2cm ，过AB 作一个截面，截面与底面ABC 成600角，那么截面的面积是 .（第六届高一第一试第30题）题87、如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是AA 1的中点，那么BC 1与CD 所成的角是，面BCD 与面CDB 1所成二面角等于 .（第十一届高二第一试第22题）题88、如图，设111C B A ABC -是直三棱柱，AC AB =，090=∠BAC ，Q M ,别离是1CC ，BC 的中点.P 点在11B A 上且2:1:11=PB P A .若是AB AA =1，那么AM 与PQ 所成的角等于（） A 、090 B 、31arccos C 、060 D 、030（第十三届高二第一试第５题）题89、在三棱锥ABC S -中，SA ，SB ，SC 两两垂直，那么BAC ∠（）A 、必然是锐角B 、必然不是锐角C 、必然是钝角D 、必然是直角（第八届高二培训题第3题）题90、图1是以4个腰长为1的等腰直角三角形为侧面的棱锥，其中的四个直角是,,,PBC APB APD ∠∠∠ PDC ∠，求棱锥的高. （第十届高一第二试第22题）题91、三棱锥P ABC -中，90APB BPC CPA D ∠=∠=∠=︒，为底面ABC 内的一点， A C BE D B 1 A 1C 1 A B CAB 1C 1PQ M45,60APD BPD ∠=︒∠=︒，那么CPD ∠的余弦值为______.（第九届高一第二试第20题）题92、有一个侧棱都是l 的三棱锥，极点处的三个面角中，有两个都是α，另一个是x .将该棱锥的体积V 表示成x 的函数并求出当x 取什么值时，V 达到最大或最小.（第二届高一第二试第21题）题93、设M 为正三棱锥S ABC -的底面ABC 内的任意一点，过M 引底面的垂线与这棱锥的三个侧面所在平面别离交于P,Q,R 三点，假设正三棱锥的高为2.试求MP MQ MR ++的长.（第十二届高一培训题第81题）题94、There are two travel projects from Beijing to Santiago, Chile: (A)Flying westward(向西) to New York, then flying southward to Santiago; (B) Flying southward from Beijing to Friemander, Australia , then flying westward to Santiago. The geographic positions of these four cities may be approximately considered as: Beijing (1200 east longitude, 400 north latitude ), New York (700 west longitude , 400 north latitude ), Friemander (1200 east longitude, 300 south latitude) , Santiago(700 west longitude , 300 south latitude ).Suppose that the air lines go along the spherical distance , then the project of the shorter distance is ________. （第十三届高二第一试第20题）题95、如下图，矩形ABCD 中，P b AD a AB ,,==为CD 上的任一点，以AB 所在直线为轴，将PAB ∆旋转而成一个旋转体，求旋转体表面积的最大值，并指出当表面积最大时P 点位置. （第十一届高一培训题第79题）题96、ABCD 是一个正方形，M 为AB 上一点，N 为BC 上一点，且AM=BN.连DM 、DN 别离交对角线AC 于点P 、Q ，剪掉△MNB.求证：①以DM 、DN 为折痕，将DA 与DC 重合，能够组成一个三棱锥的侧面.②以线段AP 、PQ 、QC 为边恰可组成一个内角为600的三角形.（第一届高一第二试第五题）题97、正ABC ∆的边长为a ，用任意直线l 截ABC ∆与两边交于F E 、，将ABC ∆沿l 折起作成二面角，由此可形成四棱锥ABEF C -，求此四棱锥的最大体积，并证明之.（第十二届高二培训题第77题）题98、给定一个三角形纸片（如图），你可否用它为原料剪拼成一个正三棱柱（正三棱柱的全面积等于原三角形的面积）？说明你的方式.那个地址“剪拼”的意思是：依直线剪裁，边对边拼接. （第十四届高二第二试第22题）题99 设在空间给出了20个点.其中某些点涂黄色，其余点涂红色.已知在任何一个平面上的同种颜色的点可不能超过三个.求证：存在一个四面体，它的四个极点同色，而且至少有一个侧面内不含另一种颜色的点. （第一届高一第二试第四题）题100、用四个边长别离为 a ， b ， c (a>b>c>0)的锐角三角形能够拼成一个四面体.把拼成的任何一个四面体的各棱用红、黄、蓝三色染色，每条棱染一色，每种色染两条棱，考A BC D P虑一切通过如此染色的四面体，若是通过适当转动，两个染色四面体完全重合，而且重合的对应棱同色时，称如此的两个四面体是同一染色类.问：所有如此的染色四面体可分为几种染色类？（第四届高一第2试第22题）参考答案：1、y x < 2、C 3、D 4、)2,13(- 五、2 六、D 7、11<<-x 或31<<x 八、()+∞,2 九、A 10、[21，3] 1一、B 12－14、略 1五、1215≤≤-a 1六、B17、D 1八、ab b a 2++ 1九、23 20、C 2一、825 2二、9 23、1-，221+ 24、1602五、1 2六、1,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 27、702 28、B 2九、1x =时, y 取得最小值12 30、22，2 3一、22 3二、18 33、24 34、D 3五、3 3六、13830,13100 37、C 3八、()()032=-+-y x μλ，其中μλ,为参数 3九、⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0 40、C 4一、B 4二、B 43、B 44、26- 4五、123<≤e 4六、1 47、2b 4八、ab 433 4九、36- 50、334 5一、译文：点M 是椭圆18922=+y x 上一点，点F 是椭圆的右核心，点P （6，2），那么3|MF|-|MP|的最大值是3，现在点M 的坐标是（223±，2）. 5二、B 53、3314 54、C 5五、1 5六、()11,24- 57、01<<-k5八、（1，0） 5九、24l 60、D 6一、1022=+y x 6二、425<<b 63－65、略 6六、}{1,2,3,4 67、D 6八、13- 6九、7625arctan - 70、34≥AD ，21arctan 7一、0 7二、a 6673 74、22+ 7五、1010或35 7六、4:1 77、332 7八、273 7九、20:780、C 8一、B 8二、B 83、B 84、22222c b a c b bc +++ 8五、当22a b =时，ABCD 是平行四边形，当22a b ≠时，ABCD 是梯形 8六、)(93162cm 87、900，410arcsin8八、A 8九、A 90、215-=h 9一、12 9二、当2sin arcsin 2α=x 时，V 最大 93、694、译文:从北京前去智利的圣地亚哥,有两种旅行方案可供选择.方案(A):由北京向西飞抵纽约，再向南飞抵圣地亚哥; 方案(B):由北京向南飞抵澳大利亚的弗里曼特尔,再向西飞抵圣地亚哥.上述4个城市的地理位置可近似看做:北京(东经1200,北纬400),纽约(西经700,北纬400), 弗里曼特尔(东经1200,南纬300), 圣地亚哥(西经700,南纬300). 假设飞机航线都是球面距离,那么飞行距离较短的方案是A.9五、)(222b a b b ++π，现在P 与D 或C 重合 9六、略 97、3363a 98－99、略 100、考虑到a,b,c 按逆时针方向排布的四面体，共有9+⨯(6+12)2=54种.。

第十五届“希望杯”数学竞赛第一试试题及答案整理

A. log3 x -1
-x
B. 2 - 3
C. 3-2+x
D. 2 - log3 x
A
4பைடு நூலகம்
40
二、组填空题（每题分，共分） 11 ．已知函数
f (x)
=
ì í
1,
x为有理数，
g(
x)
=
ì í
0,
x为有理数，
当
xÎR 时，
î0，x为无理数.
î1，x为无理数.
f (g (x)) = _______, g ( f( )x) = _ _ _ _ _ _ _ .
B. 减法 D. 除法
{ } 9．等比数列
an
中，“
a 1
<
a 3
”是“
a 7
<
a 9
”的（
）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
10．已知函数 f (x) 的图象与函数 g(x) = 3x 的图象关于点 (0,1) 对称，则 f (x) =（）
4. 等差数列
{an
}
、
{bn}
的前
n
项的和分别为
Sn
、
Tn
，且
Sn Tn
=
3n - 3 ，则 a6 2n + 3 b6
=（
）
A. 3 2
B. 1
6
C.
5
27
D.
23
5. 如图，EF 是梯形 ABCD 的中位线，则在向量 1 ( AD + BC) 、
2
A
1 ( AC + BD) 、 1 (2AD - AB - CD) 中，与 EF 相等的向量的个 E

历届希望杯高中试题及答案

历届希望杯高中试题及答案希望杯数学竞赛是一项在中国高中生中广泛参与的数学竞赛，它旨在激发学生对数学的兴趣，提高他们的数学素养。

以下是历届希望杯高中数学竞赛的一些试题及答案的示例：试题一：已知函数$ f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + b $，当$ x = 1 $时，$ f(x) $取得最大值4。

求$ a $和$ b $的值。

答案：首先，我们对函数$ f(x) $求导得到$ f'(x) = 6x^2 - 6x + a $。

由于函数在$ x = 1 $时取得最大值，这意味着$ f'(1) = 0 $。

将$ x = 1 $代入导数中，我们得到：\[ 6(1)^2 - 6(1) + a = 0 \]\[ 6 - 6 + a = 0 \]\[ a = 0 \]接下来，我们需要找到$ b $的值。

由于$ f(1) = 4 $，我们将$ x = 1 $代入原函数中：\[ f(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 0(1) + b = 4 \]\[ 2 - 3 + b = 4 \]\[ b = 5 \]所以，$ a = 0 $和$ b = 5 $。

试题二：在平面直角坐标系中，点A(-1, 2)和点B(4, -1)，求直线AB的方程。

答案：首先，我们计算线段AB的斜率$ m $：\[ m = \frac{-1 - 2}{4 - (-1)} = \frac{-3}{5} \]然后，使用点斜式方程，以点A为例，写出直线AB的方程：\[ y - 2 = -\frac{3}{5}(x + 1) \]将方程化简，得到：\[ y = -\frac{3}{5}x - \frac{3}{5} + 2 \]\[ y = -\frac{3}{5}x + \frac{7}{5} \]这就是直线AB的方程。

试题三：已知三角形ABC的三个内角A、B、C的度数分别为40°、70°和70°，求三角形ABC的外接圆半径。

希望杯竞赛数学试题详解(31-40题)

题31 已知+∈R z y x 、、，求函数()222,,xy yzu x y z x y z+=++的最大值. （第九届高二培训题第61题）题32 已知a,b R ∈，且a b 10++=，则()()2223a b -+-的最小值是 .（第十届高二培训题第44题）题33 实数x ，y 满足方程94622--=+y x y x ，则y x 32-的最大值与最小值的和等于_______.（第十届高二第二试第17题）题34 线段AB 的端点坐标是A （-1，2），B （2，-2），直线y=kx+3与线段AB 相交的充要条件是（）A 、125≤≤-k B 、251≤≤k C 、125≤≤-k 且k ≠0 D 、125≥-≤k k 或（第八届高二培训题第2题）题35 过点()1,1P 且与两条坐标轴围成面积为2的三角形的直线的条数是 .(第十届高二第一试第18题) 题36 某工厂安排甲、乙两种产品的生产.已知每生产1吨甲产品需要原材料A 、B 、C 、D 的数量分别为1吨、2吨、2吨、7吨；每生产1吨乙产品需要原材料A 、B 、D 的数量分别为1吨、4吨、1吨.由于原材料的限制，每个生产周期只能供应A 、B 、C 、D 四种原材料分别为80吨、80吨、60吨、70吨.若甲、乙产品每吨的利润分别为2百万元和3百万元.要想获得最大利润，应该在每个生产周期安排生产甲产品吨，期望的最大利润是百万元.（第十三届高二第一试第25题）题37 点M ()00,y x 是圆()0222>=+r r y x 内圆心以外的一点，则直线200r y y x x =+与该圆的位置关系是（）（A ）相切（B ）相交（C ）相离（D ）相切或相交（第七届高二第一试第5题）题38 过圆016222=+-++y x y x 与圆0176622=+--+y x y x 的交点的直线方程是 .（第二届高二第二试第15题）题39 若实数x 、y 适合方程014222=+--+y x y x ，那么代数式2+x y的取值范围是——. （第九届高二第一试第17题）题40 圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ,都使不等式0≥++c y x 成立，则C 的取值范围是（）A 、(]0,∞-B 、[2,)+∞ C 、[21,)-+∞ D 、[12,)-+∞(第七届高二第一试第10题)31.解法1 取待定正数βα、，由均值不等式得()()11xy yz x y y z αβαβ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222222222222111111,22x y y z x y z αβαβαβαβ⎛⎫⎡⎤⎛⎫≤+++=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令,112222ββαα=+=则.21,2,2,244422==∴==βαααα于是()()2222222222z y x z y xyz xy ++=++≤+α ()222,,xy yzu x y z x y z+∴=++ ()222222222,2x y z x y z ++≤=++当1,2,1===z y x 时取等号..22max =∴u 解法2 (),1,,,22222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+++=∈+y z y x y zy x zy x yzxy z y x u R y 可化为,01122=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛u y z y x y z y x 配方，得.1212121222-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-u u y z u y x 由上式可得,01212≥-u 即,,,.2222+∈≤≤-R z y x u 由已知，显然有20,0.2u u >∴<≤ max 22u ∴=（当22==y z y x 时，u 取得最大值）.解法3 由已知，得(),,,.222+∈+++=R z y x z y x yz x u 且,22222z x z x +≤⎪⎭⎫⎝⎛+ ()()222222222222.22x z yy x z u xz y y x z +⋅+∴≤≤=+++当且仅当z x =且,222y z x =+即 y z x 22==时取等号..22max =∴u 解法4 ,,,x y z R +∈ 22222221122x y z x y y z ∴++=+++ 22122x y ≥⋅22122y z +⋅()2,xy yz =+当且仅当y z x 22==时取等号. ()222,,xy yzu x y z x y z +∴=++ ()2.22xy yz xy yz +≤=+∴当且仅当y z x 22==时，u 取得最大值.22A D BC1A 1D 1B 1C 解法5 222222211122x y y z x y z u xy yz xy yz ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==++ 112222xy yz xy yz +≥+()22,xy yz xy yz+==+,22≤∴u 当且仅当,21222z y x ==即y z x 22==时取等号，.22max =∴u 解法6 (),2,222222y x yx xy y x +≥+≥+ ()222222xy yz xy yzu x y z x z y ++∴=≤++++ ()()()()()22222.2222xy yz x z y x z yx z y++=≤=+++当且仅当∴y z x 22==时，.22max =u 解法7 构造如图长方体1AC ，设对角线11,AC d AC =与交于点1C 的三个面所成的锐角分别为γβα,,，长方体的三条棱分别为.,,z y x 则有.s i n ,s i n ,s i n .2222dzd y d x z y x d ===++=γβα ()1sin sin sin222=++γβα于是2222sin sin sin sin xy yz xy yz x y y z u x y z d d d d dαββγ++===⋅+⋅=+++222222211sin sin sin sin sin sin sin 222.2222αβγβαβγ++++≤+==,sin 2sin sin γβα==∴当且仅当即y z x 22==时，.22max =u 解法8 由,222zy x yz xy u +++=得()()2220uy x z y u x z -+++=（1）,0,,,>∈+u R z y x ∴关于y 的一元二次方程（1）的判别式()()042222≥+-+=∆z x u z x ，解得()().2144222222222222=++++≤+++≤z x z x z x z x xz z x u 当且仅当z x =时取得等号. 2max1,2u ∴= max 2.2u ∴=把z x =代入（1）可得x y 2=,.2222m ax ===∴u y z x 时，当且仅当评析 222,xy yzu x y z+=∴++ 若()222xy yz k x y z +≤++，则u k ≤，这就是说，只要xy yz +与222x y z ++的倍数之间建立了不大于的关系，则u 的最大值就求出了.因而解决问题的关键就在于找出这样的关系.解法1通过引入正参数α、β，并运用,222b a ab +≤解法3运用公式22222b a b a +≤⎪⎭⎫⎝⎛+，解法4、解法5运用ab b a 2≥+，解法6运用()2222222y x yx xy y x +≥+≥+及，圆满解决了这一关键问题.解法2通过将u 的分子、分母同除以2y ，巧妙地通过配平方，得到2110,2u-≥进而得202u <≤，很富新意.解法7通过构造长方体（若三条棱分别为z y x ,,的长方体的对角线长为l ，则有,2222z y x l ++=而222z y x ++恰好是u 的分母，且长方体中有1s in s in s in 222=++γβα）解决问题.解法8则把222xy yz u x y z+=++变为()()2220uy x z y u x z -+++=，看作关于y 的一元二次方程，利用其有正根的条件得到22≤u ，是方程思想的典型运用. 拓展设,x y R +∈，显然有()22,xy u x y x y =+的最大值为12，即c o s 3π；设,,x y z R +∈，已解出()222,,xy yz u x y z x y z +=++的最大值为22，即cos .4π我们不妨猜想：命题若()01,2,,2,k a k n >=≥ 则1223122212n n n n a a a a a a f a a a -++⋯+=++⋯+的最大值是.1cos +n π证明取正参数有,,,,21n λλλ⋯()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⋯++----n n n n n n a a a a a a a a a a a a 1113222211113221111λλλλλλ 22222221122112221211111.2n n n n n a a a a λλλλλλ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤+++⋯+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦令222121222121111n n n λλλλλλ---=+=⋯=+=（1），因求最大值，故还必须有,1,,1,111132222111n n n n a a a a a a ---=⋯==λλλλλλ此即,1221a a =λ.,,1212322--=⋯=n n n a a a a λλ将上式代入（1），得nn n n n a a a a a a a a a a 11223112---=+=⋯=+= （2），令21,r λ=则21132211,,,,.n n n n n a ra a a ra a a ra a ra ---=+=⋯+==观察（2）的形式，考虑作代换(),1.,1112---+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==+∈∈+=k k k k a q q ra a a R r C q q q r q qa a k k 11=-∴-()()123,k k a qa k n ---≤≤故数列{}1k k a qa --是公比为1q 的等比数列， ()112111221111.k k k k k a a qa a qa q a qa q q q q----⎡⎤⎛⎫∴-=-=+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦于是111k k k k q a q a a ---= （3）.再令则,1k k k a qb -=（3）为()11112a b b b q b k k =+=-注意，上式变形为.11211221⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=---q b b q q b b k k 这样，又得到一个公比为2q 的等比数列()12211212111,1-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧--k k k q q b b q b b q b b ，即22112211,11k kk q q b b a q q --==-- ()()211121,1k kk k k q a b a q q q ---∴==-故有()()2211221,1n n n q a a q q ----=-()()211211q q a q a n n n --=-.而 11,n n n a ra q a q -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭故有()()()()22211221211111n nn n q a q a q q q q q q-----⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭，整理得()2221n q q -- ()()2211,n q q =-+化简得22 1.cossin 11n m m q q i n n ππ+=∴=+++(),021m Z m n ∈≤≤+. n f 的最大值唯一，∴应能求出m 的一个确定的值，对于这个m 的值，我们有()().1cos 2112121max+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==n m q q q q r f n π12231122212n n n n na a a a a a a a f a a a -++⋯++<++⋯+ ()()()()()222222221223111223112n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a --⎡⎤=++⋯++÷++++⋯++++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()122311max 12231121,1,2n n n n n n n a a a a a a a a f a a a a a a a a --++⋯++≤=∴<++⋯++从而0.m ≠又（1）和（2）是n f 取最大值的充要条件，由（1）（2）可推得()()211211kk k q a a q q --=-（3）.将cos sin 11m m q i n n ππ=+++代入（3），化简得1sin1,sin1k km n a a m n ππ+=+ 对任意1,,k n k Z ≤≤∈都有0,k a >∴应取1m =.至此，已推知()max cos.1n f n π=+32.解法1 (),a b 是直线10x y ++=上的动点，点()2,3A 到此直线上各点距离的最小值是点A 到该直线的距离231322d ++==，()()222min 2318a b d ⎡⎤∴-+-==⎣⎦.解法2 ()()()()()2222211232232322a b a b a b ⎡⎤-+-=⋅-+-≥-+-⎣⎦()()221116061822a b =++-=-=.当23a b -=-，即1,0a b =-=时取等号.∴所求最小值为18. 解法3 ()()()()()()()222222211a 2b 3a 2b 311a 21b 3122⎡⎤-+-=-+-+≥-⋅+-⋅⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22112361822a b =-+-=-=.当2311a b --=，即1,0a b =-=时取等号.∴所求最小值为18. 解法4 ()()()()()()()222222a 2b 3a 2b 3a 2b 3a b 5⎡⎤-+-=-+-+---=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()21a b +-+，()()()()()22222111123515(2222a b a b a b a b a b ∴-+-=+-+-+≥+-=+ ()22116)6182+-=⋅-=．当10,a b -+=即1,0a b =-=时取等号()()22,23a b ∴-+-的最小值为18.解法5 ()()()()2222210,1,23242a b b a a b a a a ++=∴=--∴-+-=-+--=+()24202118.a a +=++∴当1a =-时，()()2223a b -+-有最小值18.解法6 设()()22230,a b t -+-=>又设2cos ,3sin ,a t b t θθ-=-=则a =cos 2,sin 3,t b t θθ+=+由10,a b ++=得cos sin 60,t t θθ++=即2sin()4t πθ+60.22sin()2,262sin()626,44t t t t t t ππθθ+=-≤+≤∴-+≤++≤+ 即2t -6026,t +≤≤+解得()()2218.23t a b ≥∴-+-的最小值为18.解法7 构造向量()221,1,(2,3),cos ,x y a b x y x y x y x y θ==--⋅=⋅⋅≤⋅∴⋅2,x y ≥⋅ 即()()()()()()222222112312135a b a b a b ⎡⎤+⋅-+-≥⋅-+⋅-=+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()2221636,2318.a b a b =++-=∴-+-≥∴当且仅当1,0a b =-=时， ()()2223a b -+-取得最小值18.评析因为已知10,a b ++= 所以要求()()2223a b -+-的最小值，关键就是得到()()2223a b -+-与关于a b +的式子之间的大于等于关系.解法2利用()()2222,a b a b +≥+解法3利用柯西不等式()()()22222,ab c d ac bd ++≥+解法4巧妙地利用配方法，都顺利地解决了这一关键问题.解法5则是把1b a =--代入所求式，使之变为关于a 的二次函数，再求其最小值，是函数思想的具体运用.解法6设()()2223a b t -+-=后，运用三角代换，最终转化成解关于t 的不等式，是等价转化思想在解题中的一次妙用.解法7通过构造向量，利用x y x ⋅≤⋅,y即222x y x y ⋅≥⋅ 使问题获解，充分发挥了新教材中向量这一工具在求代数最值中的作用.应当指出，许多最值问题都可以通过构造向量，利用向量的上述性质得到解决.而解法1则是将()()2223a b -+-看作定点()2,3A 与直线10x y ++=上的动点的距离的平方，故能直观地知道点()2,3到直线10x y ++=的距离的平方就是所求的最小值，简洁明了，充分显示了等价转化与数形结合思想的威力.拓展将此赛题一般化，便得下面的定理若x,y 满足0Ax By C ++=（A 、B 、C 是实常数，A 、B 不全为零），m ，n 是实常数，则()()22x m y n -+-的最小值是()222Am Bn C A B+++.证明 ()()()()22222x m y n x m y n ⎡⎤-+-=-+-⎢⎥⎣⎦，表示定点(),m n 与直线Ax By ++ 0C =上的动点之间的距离d 的平方.()()2222,Am Bn C d x m y n A B++=∴-+-+ 的最小值是()222Am Bn C A B +++.运用该定理解本赛题：1,2,3,A B C m n =====∴ 所求最小值是222(12131)1811⨯+⨯+=+. 下面的题目供读者练习：1.已知x ，y 满足x 2y 40+-=，求()()22x 3y 2-++的最小值. 2.已知p,q R ∈，且2p 3q 60++=，求()()22p 1q 3++-的最小值. 3.已知m,n R ∈，且3m 2n 120--=，求()()22m 2n 3++-的最小值.答案 241.52.133.131333.解法1 题设方程就是()22(3)24x y -++=，设⎩⎨⎧=+=-θθs i n 22c o s 23y x ，即⎩⎨⎧+-=+=θθs i n 22c o s 23y x ,则232(32cos )3(22sin )x y θθ-=+--+4cos 6sin 12θθ=-+ 213cos()12θψ=++(3tan 2ψ=)，13212)32(max +=-∴y x ， 13212)32(m in -=-y x .24)32()32(m in m ax =-+-∴y x y x .解法2 题设方程就是()22(3)24x y -++=，根据柯西不等式，22222[2(3)(3)(2)][2(3)][(3)(2)]13452x y x y -+-+≤+--++=⨯=，即52)1232(2≤--y x ,52123252≤--≤-∴y x ,5212325212+≤-≤-y x , 24)5212()5212()32()32(m in m ax =-++=-+-∴y x y x .解法3 题设方程就是()22(3)24x y -++=，结合23u x y =-，又配方2222)523()1232(])2()3[(13-++--=++-y x y x y x ，于是2)1232(413--≥⨯y x ，即5212325212+≤-≤-y x .m in m ax )32()32(y x y x -+-∴24)5212()5212(=-++=.解法4 设23u x y =-，则233uy x =-，代入94622--=+y x y x ，整理得2213(430)12810x u x u u -++-+=，R x ∈ ， 22(430)413(u u ∴∆=+-⨯⨯-1281)0u +≥，即224920u u -+≤，解之得12521252u -≤≤+. 24)5212()5212()32()32(m in m ax =-++=-+-∴y x y x .解法5 已知等式()22(3)24x y -++=表示一个圆，令t y x =-32，即y x 32-0=-t ，表示一直线，若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离应小于等于圆的半径，即2)2(3|)2(332|22≤-+--⨯-⨯t ，即132|12|≤-t ，解得52125212+≤≤-t ，24)5212()5212()32()32(m in m ax =-++=-+-∴y x y x .解法6 已知方程就是()22(3)24x y -++=，构造向量)3,2(-=→a ，)2,3(+-=→y x b . |||||||cos |||||a b a b a b θ→→→→→→⋅=⋅≤⋅ ，222||||||→→→→⋅≤⋅∴b a b a ，即[]()()22222222(3)3(2)2(3)(3)(2)13452x y x y --+≤+-⋅-++=⨯=.即2(2312)52x y --≤,于是,5212-521232+≤-≤y x ，24)5212()5212()32()32(m in m ax =-++=-+-∴y x y x .评析因为已知方程就是()22(3)24x y -++=，而要求的是一次式y x 32-的最大值与最小值的和，所以解法1运用三角换元，将问题转化为求三角函数的值域，这是解决这类问题的通法，已知方程表示椭圆时，此法仍然适用.解法2运用柯西不等式求解，之所以凑成2)]2()3()3(2[+⨯-+-⨯y x ，是因为这样才会出现y x 32-，并可利用()22(3)24x y -++=.解法3运用的是配方法，请读者思考为什么如此配方：2222)523()1232(])2()3[(13-++--=++-y x y x y x ?解法4运用的是待定参数法及方程思想，也是解决这类问题的通法.解法5运用数形结合思想，将抽象的代数问题转化成直观的几何问题，轻松解决问题.解法6通过已知方程()22(3)24x y -++=联想到向量模的平方，从而通过构造向量，运用222||||||a b a b →→→→⋅≤⋅解决问题，思路清晰，体现了向量在解题中的工具作用.拓展将此赛题一般化，便得命题1 实数y x ,满足()),0()(222>=-+-r r n y m x ，实数q p ,不全为零，则m ax )(qy px +min ()2()px qy pm qn ++=+.证明设px qy u +=，即0px qy u +-=①，又已知()222)(r n y m x =-+-②，由题意，直线①与圆②有公共点，故圆心),(n m 到直线①的距离小于等于圆的半径r ，即22||pm qn u r p q +-≤+，即22|()|u pm qn r p q -+≤+，22()r p q u pm qn ∴-+≤-+22,r p q ≤+即qn pm q p r +++-22u ≤≤qn pm q p r +++22，∴m ax )(qy px + qn pm q p r qy px +++-=++22min )()(222qn pm qn pm q p r +=++++.将命题1中的圆改为椭圆，又得命题2 实数y x ,满足),0,(1)()(2222b a b a b n y a m x ≠>=-+-，q p ,不全为零，则m ax )(qy px +min ()2()px qy pm qn ++=+.证明设θcos a m x =-，θsin b n y =-即θcos a m x +=,θsin b n y +=,qy px +∴(cos )(sin )cos sin p m a q n b pa qb pm qn θθθθ=+++=+++ 2222cos()p a q b θϕ=+-2222[,pm qn p a q b pm qn ++∈-+++]2222qn pm b q a p +++，（其中paqb=ϕtan ）. ∴m ax )(qy px +min ()2()px qy pm qn ++=+.34.解法1 线段AB 的方程为212222---=++x y ，即4x+3y-2=0(-1≤x ≤2),由⎩⎨⎧=-++=02343y x kx y ，得k x 347+-=，令-1≤k347+-≤2，解得125≥-≤k k 或，选D.解法2 如图1所示，y=kx+3是过定点M （0，3）的直线系方程，易求得直线MA 、MB 的斜率分别是25,1-==MBMA k k ,当直线MA绕点M 逆时针旋转与线段AB 相交时，其斜率由1增加到+∞；当直线MB 绕点M 顺时针旋转与线段AB 相交时，其斜率由25-减小到-∞，所以125≥-≤k k 或，故选D.解法3 如图2，设直线MA 与MB 分别与x 轴交于点A ’，B ’，易求得直0），B ’（-56，线MA 、MB 的方程分别为y=x+3,y=25-x+3,从而可求得A ’（-3，0），在△MA ’B ’ 中，过M 任作一条直线y=kx+3交边A ’B ’于点N ，则直线也必与线段AB 相交，反之亦然.OM ⊥A ’B ’，|OM|=3，k=tan ∠MNO （N 在OA ’上）或k=tan （π-∠MNO ）（N 在OB ’上）两种情形，但都有ON OM k -=，所以k ON 3-=，由5633≤-≤-k ，解得125≥-≤k k 或，故选D.解法4 设直线3y k x =+与线段AB 交于点xy 图1O ABM -332 -2xy 图2O ABM-332 -2A ’B ’Ny=kx+300(,3)N x kx +,点N 内分AB 所成的比为λ,则001212231x kx λλλλ-+⎧=⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩,消去0x ,得1025k k λ-=>+，得52k <-或1k >.又当直线3y kx =+过点A 、B 时，k 的值分别为51,2-，所以所求充要条件为125≥-≤k k 或.故选D. 解法5 当k=0时，直线y=kx+3即y=3与线段AB 显然不相交，所以排除含0的A 、B ，又当k=-1时，直线y=kx+3即y=-x+3与线段AB 也不相交，所以又排除含-1的C,故选D.评析解法1运用的是方程思想，若运用这个思想，先求出直线MA 、MB 与x 轴的交点A ’，B ’的横坐标A x ’，B x ’,并求出直线y=kx+3与x 轴的交点N 的横坐标N x ，再解A x ’≤ N x ≤B x ’，同样可以解决问题.解法2直接通过观察图象，看直线y=kx+3与线段AB 相交时的k 与MB MA k k 、之间的关系而选D ，显得直观明了.解法3运用平面几何知识求N x ，别具一格.解法4运用定比分点知识求解,也是解此类问题的通法之一.解法5运用了特殊值法，显得最为简捷.值得注意的是，如果取k=1，发现直线y=kx+3与线段AB 相交，此时就选A 那就错了，请读者想想这是什么原因.拓展已知直线:(,)10l f x y x y =--=,显然点A （0，1）、B （1，3）与点C （1，-1）、D （3，1）都在l 的同侧，点A 、C 与点B 、D 都在l 的异侧，∵f (0,1)=-2<0，f (1,3)=-3<0，f (1,-1)=1>0，f (3,1)=1>0∴f (0,1)与f (1,3)同号，f (1,-1)与f (3,1)同号，f (0,1)与f (1,-1)异号，f (1,3)与f (3,1)异号，是否对于任意直线l 的同侧或异侧的任意两点都有此结论呢？经研究，我们有下面的定理1 已知两点M （x 1,y 1）、N(x 2,y 2)及直线:(,)0l f x y Ax By C =++= (1) 若点M 、N 在l 的同侧，则f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0; (2) 若点M 、N 在l 的异侧，则f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0.证明（1）10当B ≠0时，不妨设点M 、N 都在l 的上方，则,,2211BC x B A y B C x B A y -->--> 所以当B>0时，有0,02211>++>++C By Ax C By Ax ，即f （x 1,y 1）>0，f (x 2,y 2)>0；当B<0时，有0,02211<++<++C By Ax C By Ax ，即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)<0,所以当B ≠0时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0；20当A ≠0，B=0时，l 的方程为(,)0f x y Ax c =+=，此时l ⊥x 轴，不妨设设点M 、N 都在l 的右侧，则ACx A C x ->->21,，所以当A>0时，0,021>+>+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）>0，f (x 2,y 2)>0；当A<0时，0,021<+<+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)<0，所以当A ≠0，B=0时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0.综上可知，当点M 、N 在l 的同侧时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0. （2）10当B ≠0时，不妨设点M 、N 分别在l 的上、下方，则1122,A C A Cy x y x B B B B>--<--，故当B>0时，有11220,0Ax By C Ax By C ++>++<, 即f （x 1,y 1）>0， f (x 2,y 2)<0; 当B<0时，有0,02211>++<++C By Ax C By Ax , 即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)>0；所以当B ≠0时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0；20当A ≠0，B=0时，l 的方程为f(x,y)=Ax+c=0，此时l ⊥x 轴，不妨设设点M 、N 分别在l 的左、右侧，则ACx A C x ->-<21,.所以当A>0时，0,021>+<+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)>0；当A<0时，0,021<+>+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）>0，f (x 2,y 2)<0，所以当A ≠0，B=0时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0.综上可知，当点M 、N 在l 的异侧时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0. 根据定理1，不难得到定理2 直线Ax+By+C=0与以点P 1（x 1,y 1）、P 2 (x 2,y 2)为端点的线段相交的充要条件是0))((2211≤++++C By Ax C By Ax .运用定理2，可得本赛题的如下解法：直线y=kx+3即kx-y+3=0，由定理2，可知（-k-2+3）（2k+2+3）≤0，即125≥-≤k k 或为所求的充要条件，故选D.35.解法 1 记过点()1,1P 的动直线为l ,()O Q ,1,0为坐标原点(如图),则当直线l 从OP 的位置绕点P 顺时针转动到直线PQ 的位置时,它和坐标轴在第二象限内围成的三角形的面积从零增加到∞+,故围成的三角形在第二象限时,满足条件的直线l 有且只有一条,同理,围成的三角形在第四象限时,满足条件的直线l 也有且只有一条,并且,满足条件的三角形在第三象限不存在.当围成的三角形在第一象限时,显然l 存在斜率k ,设l 的方程为l k x k y ),0(),1(1<-=-与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A 、B ，则1(1,0),(0,1).A B k k --111(1)(1)22S OA OB k k∴=⋅=-- ()()∴≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=,21211k k 当1-=k 时,S 的最小值为2,故当围成的三角形在第一象限时,满足题设的直线也只有一条.综上,所求的直线为3条. 下面的解法中,对“围成的三角形在第二、四象限时,满足题设的直线l 都只有一条,且满足题设的三角形在第三象限不存在”不再一一叙述,仅对围成的三角形在第一象限时加以解答.解法 2 设直线l 与x 轴,y 轴的正半轴分别交于点),0,0(),,0(),0,(>>b a b B a A 则直线l 的方程为.1=+b y a x 直线l 过点.111),1,1(=+∴b a P 故设θθ22s i n 1,c o s 1==b a (其中20πθ<<),则θθ22sin 1,cos 1==b a ,故θθθθ2222cos sin 42cos sin 2121===ab S 2122sin 22=≥=θ (当4πθ=时取等号),即2m in =S .故所求的直线共有3条. 解法3 同解法2,得4,2111,111≥∴≥+=∴=+ab abb a b a ,(当且仅当2111==b a ,即 2==b a 时取等号), 114222S ab ∴=≥⨯=,即2m in =S .故所求的直线共有3条.解法 4 设直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点),0(),0,(b B a A ,点)1,1(P 分AB所成的比为λ,则110,11a b λλλλ⎧=⎪⎪+>⎨⎪=⎪+⎩,即)0(111>⎪⎩⎪⎨⎧+=+=a b a λλ.故xO 1 AP1 y B Q211)1(211)11)(1(212121=+≥++=++==⋅=λλλλab OB OA S 1.=λ时，.2m in =S 故所求直线共有3条. 评析上述解法都是用运动变化的观点与数形结合的思想方法分析答案的可能性.围成的三角形在第二、四象限时,l 只有一条,围成的三角形在第三象限不可能,这些是容易看到的,关键是围成的三角形在第一象限时，满足题设的直线l 有几条.直观地看,可能性有三个:0条,1条,2条.那么到底有多少条?四种解法分别用不同的方法求出了三角形面积的最小值为2,故此时的l 只有一条,从而解决了问题.此题也可直接求解:不论围成的三角形在第几象限, l 的斜率总是存在的.设l 的方程为)1(1-=-x k y .则l与x轴,y轴的交点分别为)1,0(),0,11(k B kA --.故k k kk k k S 4)1(,2)1(211112122=-=-=-⋅-=①.当0>k 时,①就是016,4)1(22=+-=-k k k k ,有两个不等的正数解；当0<k 时,①就是,4)1(2k k -=-1,0)1(2-==+k k .故所求直线为3条.拓展将此题内容拓广,可得定理 1 动直线l 过定点)0)(,(≠mn n m P ,则直线和坐标轴在点P 所在象限内围成三角形的面积的最小值是.2mn证明设直线l 与x 轴,y 轴分别交于点OAB b B a A ∆ ),,0(),0,(在点),(n m P 所在象限,0,0>>∴bn am ,直线l 的方程为.1=+bya x 直线l 过点ab mn b n a m b n a m n m P 21,1),,(≥+=∴=+∴,即mn ab 4≥,当且仅当n b m a 2,2==时取等号..221mn ab S OAB ≥=∴∆ 定理2 直线l 过定点)0)(,(≠mn n m P 且和坐标轴围成的三角形的面积为S ,则 ⑴当mn S 20<<时,满足条件的直线l 有且仅有两条. ⑵当mn S 2=时,满足条件的直线l 有且仅有三条. ⑶当mn S 2>时,满足条件的直线l 有且仅有四条.根据定理1的结论及图象不难知道定理2的正确性.证明从略. 题意可知求36.解设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x 、y .则根据函数23z x y =+的最大值，限制条件为80,2480,260,770,0,0.x y x y x x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪+≤⎪≥≥⎪⎩如图，上述不等式组约束区域即图中的阴影部分.区域的顶点坐标为M （0，20），N （10，0），R ⎪⎭⎫⎝⎛13210,13100，O （0，0）,直线k y x =+32的斜率x+y =807x+y =70X=302x+3y =k2x+4y =80yxOMRN321-=k .直线8042=+y x 的斜率212-=k .由图可知，y x 32+在点R 处取得最大值，最大值为13830132103131002=⨯+⨯（百万元）. 故填13830;13100. 评析可用若干不等式表示的限制条件下某二元一次函数的最大（小）值的应用题，通常可用线性规划知识求解，其步骤如下：1、设变量（如y x ,），建立目标函数()y x f z ,=（如y x z 32+=）.2、根据约束条件列出不等式组.3、画出不等式组表示的平面区域.4、作出直线()0,=y x f ，并将其向上或向下平移确定最优解.5、将最优解代入()y x f z ,=便得所求最值. 37.解法1 圆222ry x =+的圆心是O()0,0，它到直线200ry y x x =+的距离220222020000y x r y x r y x d +=+-⋅+⋅=，点M ()00,y x 在圆222ry x =+的内部且不在圆心，∴r d r y x >∴<+<,02020.可知直线200r y y x x =+与圆222r y x =+相离.故选C.解法2 令1,200===y x r ，满足题设.此时，直线4=+y x 与圆422=+y x 相离.由正确选择支的唯一性，选C.评析解析几何中，判断直线与圆的位置关系就看圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系： ⇔>r d 直线与圆相离； ⇔=r d 直线与圆相切；⇔<r d 直线与圆相交.对于二次曲线()0,:=y x f C 与点M ()00,y x 的位置关系，有下面的结论：点M 在曲线C 上()0,00=⇔y x f ；点M 在曲线C 内()0,00<⇔y x f ；点M 在曲线C 外()0,00>⇔y x f .所谓二次曲线内是指曲线把平面分成的两（或三）部分中含有焦点（或圆心）的部分. 以上这些就是解法1的依据.由于是选择题，解法2运用特殊化思想求解，显得更简捷.应当指出，特殊值法（包括适当选取特殊点、特殊角、特殊函数、特殊曲线、特殊位置等）通常应是解选择题时首先考虑的方法，一旦用上，简单快捷，可以大量节省时间.此题来源于课本上的一道习题：“已知圆的方程是222r y x =+，求经过圆上一点M ()00,y x 的切线方程.”答案是200r y y x x =+.拓展给定圆C ：222r y x =+与定点M ()00,y x ，（02020≠+y x ），则直线200:r y y x x l =+就是存在且确定的，它与定圆到底是什么样的位置关系呢？经研究，有下面的结论.结论1 若点,C M ∈则l 与C 切于点M.（这是显然的，证明略）结论2 若点M 在圆外，过点M 引圆C 的两条切线1MT 与2MT ，则200r y y x x =+为过两切点的直线方程，因而l 与C 相交.证明设()111,y x T 和()222,y x T 是两个切点，由结论1，直线1MT 与2MT 的方程分别是211r y y x x =+与222r y y x x =+.因为它们相交于点M ()00,y x ，于是20101r y y x x =+与20202r y y x x =+同时成立.于是得200r y y x x =+表示直线21T T 的方程.l 与C 显然相交.结论3 若点M 在圆C 内且不是圆心，以M 为中点的圆的弦为AB ，过A 、B 的两条切线相交于点N ，则200r y y x x =+表示过点N 且平行于AB 的直线方程，因而l 与C 相离.证明令N ()n m ,，由结论2，直线AB 的方程一定是2r ny mx =+.因为M 是AB 的中点，所以200r ny mx =+，这说明点N 在直线200:r y y x x l =+上.下面证明AB ∥l .①当000≠y x 时，由于O 、M 、N 三点共线，可知0≠mn ，过M 、N 引同一坐标轴的垂线，由点的坐标定义及直角三角形的相似关系，易知22001r r y n x m --=≠=，故AB ∥l .②当000=y x 时，由于02020≠+y x ，则有0,00==m x 或0,00==n y .无论哪种情况，两直线都同时垂直于同一坐标轴，并且在该坐标轴上截距不等.故AB ∥l .此时l 与C 显然相离.38.解解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--+=+-++0176601622222y x y x y x y x ，得⎩⎨⎧==32y x ，故两圆相切于点（2，3），所以所求直线方程是()()032=-+-y x μλ，其中μλ,为参数.评析先通过解方程组求出两圆的交点坐标，如果交点有两个：()()2211,,,y x y x ，则所求直线方程为()()()()112112x x y y y y x x --=--.但此题中的两圆只有一个交点()3,2，过点()3,2的所有直线该如何表达呢？有人表述为()23-=-x k y （k 为参数），这就错了，因为方程()23-=-x k y 表示的所有直线中并不包括直线2=x （即过点()3,2且垂直于x 轴，亦即过点()3,2且斜率不存在的那一条）.而()()032=-+-y x μλ（μλ,为参数）才能表示过点()3,2的所有直线.当0≠λ且0=μ时，该直线方程就是2=x .一般地，过点()00,y x 的所有直线组成的直线系方程为()()000=-+-y y x x μλ（其中μλ,为参数）.拓展我们先看下面的问题：求过两圆074422=+--+y x y x 与03661222=+--+y x y x 的交点的直线方程.分析：按上面评析中的思路，先解方程组得两交点坐标，再求出过这两点的直线方程为02928=-+y x . 如果将两圆方程相减，也得02928=-+y x ，恰好就是过两圆交点的直线方程.这是否是一种巧合呢？非也.设两圆交于A 、B 两点，则A 、B 的坐标既是方程组⎩⎨⎧=-+=+--+02928074422y x y x y x 的解，也是方程组⎩⎨⎧=-+=+--+0292803661222y x y x y x 的解，即A 、B 的坐标都适合方程02928=-+y x ，故02928=-+y x 就是直线AB 的方程.那么，当两圆外切时，两圆方程相减所得方程又表示什么样的直线呢？就拿此赛题为例，016222=+-++y x y x 与0176622=+--+y x y x 两边相减，得2=x .由图形，可知直线2=x 恰好是过两圆切点的公切线.这也不是偶然的，道理与两圆相交时一样.当两圆内切时，此结论也成立.于是，我们有下面的定理已知两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C ,则⑴当两圆相切时，过切点的公切线方程是()()0212121=-+-+-F F y E E x D D ； ⑵当两圆相交时，公共弦所在的直线方程是()()0212121=-+-+-F F y E E x D D . 39.解法1 已知方程就是()()42122=-+-y x ，()202---=+x y x y ，所以题意就是求圆()()42122=-+-y x 上的点()y x ,与定点A ()0,2-的连线的斜率的取值范围.如图,，只须求切线AN 的斜率k .易知20.1(AM k -==--tAN k NAx ∴=∠()2222123tan 2.41519AM AMk MAx k ⋅=∠===-- 120,.25y x ⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦注：切线AN 的斜率k 的另一种求法：设AN 的方程是(),20+=-x k y 即02=+-k y kx ，则圆心M 到切线AN 的距离等于圆M 的半径,即212212=++-⋅k kk ，解得0=k （舍去），512=k . 解法 2 已知方程就是()()42122=-+-y x ，故设,s i n 22,c o s 21θθ=-=-y x 即,sin 22,cos 21θθ+=+=y x 则.cos 23sin 222θθ++=+x y 令k =++θθcos 23sin 22，得,23c o s 2s i n 2-=-k k θθ即()()223244sin 32,sin .44k k k k θϕθϕ-++=-+=+ ()232sin 1,1,44k k θϕ-+≤∴≤+ 解得,5120≤≤k 即.512,02⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+x y 解法3 设k x y=+2，则,2k kx y +=代入014222=+--+y x y x 并整理，得x1-2OA NMy()().018424412222=+-+--++k k x k kx k 由()22442k k ∆=--()()22414810,k k k -+-+≥得1205k ≤≤.由,014222=+--+y x y x 即()()42122=-+-y x 可知,212≤-≤-x 即.31≤≤-x 经验证，当5120≤≤k 时，(1)0,(f f -≥≥且对称轴()[]224421,3.21k k x k --=-∈-+故.512,02⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+x y 评析解法1将2+x y 看作()20---x y ，进而看作圆()()42122=-+-y x 上的动点()y x ,与定点()0,2-的连线的斜率，将问题转化为求此斜率的范围；解法2 通过换元，将问题转化为求三角函数的值域；解法3 通过整体换元并消去y 后，利用二次方程在某区间内有解的条件求出所求范围.都体现了化归转换的思想.由于椭圆()012222>>=+b a by a x 有性质22b a y x +≤+（请读者自证），故本赛题又有如下解法：设t x y =+2，则02=+-t y tx .已知方程就是()()12122=-+-y x ，则()()1424222=-+-y t t tx ，由上面的性质，得4422+≤+--t y t tx ，即44322+≤-t t ，解得120,5t ≤≤∴.512,02⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+x y 拓展让我们进一步思考下面的问题：1、若将题中的条件方程改为()(),1429122=-+-y x 则答案是什么？2、若将题中的条件方程改为()(),42122=---y x 则答案是什么？与本赛题同样的思考方法，不难得到上面两题的答案分别是[).,,0R +∞若将原题中的2+x y 改为y x 2+或632+x y ，结果又怎样？事实上，用同样的方法还可以求()0≠++ac bax dcx 的取值范围.解法1 ()∴=-+,1122y x 可设.sin 1,cos θθ=-=y x 于是0≥++c y x 化为01sin cos ≥+++c θθ，即,14sin 2--≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+c πθ1sin .42c πθ--⎛⎫∴+≥⎪⎝⎭ 1sin 14πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ .∴由题意得121-≤--c ，解得12-≥c ，故选C.解法2 图1、图2、图3依次表示0≥++c y x ，()1122=-+y x ，及1-c y -c-c l2 0y xM 1 2 0y xM 1 x+y+c ≥0图 1 图 2 图3()⎩⎨⎧=-+≥++11022y x c y x 的图象.在图3中，直线0:=++c y x l 过Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限，切圆M 于N ，这时圆M 上所有的点（N 点除外）都在l 的上方，因而圆M 上N 点以外的点的坐标()y x ,都使0>++c y x 成立，而N 点坐标使0=++c y x 成立，结合题意，易求得此时的12,21-=-=-c c ，故当21-≤-c ，即12-≥c 时，圆M 都在l 的上方（含相切），因而圆M 上的点的坐标()y x ,可使不等式0≥++c y x 成立，故选C.解法3 21,23=-=y x 满足()1122=-+y x ，此时，若0=c ，则0≥++c y x 不成立，故排除含0的A 、D ；若1=c ，则0≥++c y x 成立，又排除不含1的B ，故选C.评析从代数角度看，0≥++c y x ，即()y x c +-≥恒成立，有()[]m ax y x c +-≥，因此问题的关键就是如何求()[]m ax y x +-.由于()y x ,满足()1122=-+y x ，故解法1运用三角代换将问题转化成求三角函数的最大值问题，通过三角函数的有界性使问题获解.从几何角度看，原问题的实质就是c 在什么范围内时，才能保证圆()1122=-+y x 在直线0=++c y x 的上方（相离或相切）.解法2便是运用数形结合思想，直观地解决问题的.由于是选择题，解法3运用特殊值排除干扰支，从而选出正确答案，这种抓住题目本质特征，避开常规思路的创新解法更值得提倡.拓展按照上面所说的思想方法，请读者思考并解决下列问题：⒈ 圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ,都使不等式0178222≥+++-+c y x y x 成立，求c 的取值范围.（答案：22627c ≥-）⒉ 圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ,都使不等式2222120x y x y c +-++->成立，求c 的取值范围.（答案：552c <-）--c 0x N。

希望杯高中试题

希望杯高中试题### 希望杯高中试题#### 数学部分一、选择题1. 题目：如果一个数的平方等于其本身，那么这个数可能是：- A. 0- B. 1- C. -1- D. 以上都是答案：D2. 题目：若函数$ f(x) = ax^2 + bx + c $的图像与x轴有两个不同的交点，那么：- A. $ a \neq 0 $- B. $ b^2 - 4ac > 0 $- C. $ c \neq 0 $- D. $ a + b + c = 0 $答案：B二、填空题1. 题目：若$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $，那么\( \sin(\alpha + \beta) =________ 。

答案：$ \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $2. 题目：设$ a $，$ b $为方程$ x^2 + 2x - 3 = 0 $的两个实数根，则$ a^2 + 2a - 3 $的值为______。

答案：6#### 物理部分一、选择题1. 题目：当一个物体受到的合外力为零时，它的加速度：- A. 一定为零- B. 可能不为零- C. 一定为正数- D. 一定为负数答案：A2. 题目：根据牛顿第三定律，作用力和反作用力：- A. 总是相等的- B. 总是相反的- C. 总是同时出现- D. 总是作用在同一个物体上答案：A二、实验题题目：设计一个实验来测量一个物体的加速度，使用以下设备：尺子、秒表、斜面、小车。

答案：首先，将斜面固定在水平面上，确保其稳定。

然后，将小车放置在斜面的顶端，并使用尺子测量小车从顶端到底部的距离。

接着，使用秒表记录小车从顶端滑到底部所需的时间。

通过距离和时间的比值，计算出小车的加速度。

注意，为了减小误差，可以多次测量并取平均值。

希望杯竞赛数学试题详解(31-40题)

yz 2z
2 的最大值为
2 ，即 cos .
2
4
我们不妨猜想：
命题
若 ak
0 k 1,2,
,n 2 , 则 fn
a1a2 a2a3 a12 a2 2
证明取正参数 1, 2 , , n ,有
an 1 an 的最大值是
a
2 n
cos n
. 1
a1 a2 a 2a 3
an 1an
1
1a1
a2
1
1
2 a2
sin 1
B1
于是 u
xy yz x2 y2 z2
xy yz x y y z
d2
sin sin d d dd
sin sin
C
A1
D1
C1
sin 2
1 sin 2
sin 2
1 sin 2
2
2
2
2
sin2 sin 2 sin 2 2
2 . 当且仅当 sin
2
sin sin , 即
2
2
2
xz
y 时， u max
题 31 已知 x、 y、 z R ，求函数 u x, y, z
xy yz 的最大值 . x2 y 2 z2
2
2
题 32 已知 a, b R ，且 a b 1 0 ，则 a 2 b 3 的最小值是
（第九届高二培训题第 61 题） .
题 33
实数 x ， y 满足方程 x2
（第十届高二培训题第 44 题）
.
2
2
解法 8 由 u
x2
xy y2
yz z2
,
得
uy 2
x z y u x2 z2

希望杯数学竞赛试题

希望杯数学竞赛试题一、选择题1.下列哪个数是2的倍数？ A. 3 B. 4 C. 5 D. 62.请计算：$(3 + 4) \\times 2 - 5 = ?$ A. 4 B. 9 C. 11 D. 143.三个数相加等于18，如果其中一个数是6，另一个数是8，那么第三个数是？ A. 4 B. 8 C. 10 D. 124.若x=2，则下列哪个等式是正确的？ A. 2x=4 B. x+2=4 C. x−2=0 D. 2x+5=9二、填空题1.一年有\_\_个月。

2.一个直角三角形的两条直角边分别为\\和\\。

3.根据费马小定理：对于任意整数a和质数p，若p不能整除a，则$a^{p-1} \\equiv \\_\\_ \\, \\, (\\text{mod} \\, p)$。

三、解答题1.计算：1+2+3+4+5=?解答：将这些数字相加，得到15。

2.解方程：2x+3=7解答：首先将方程中的常数项移到等号的另一边：2x=7−3然后计算：2x=4最后将x的系数化为1：$x = \\frac{4}{2}$所以x=2。

四、应用题小明有16块巧克力，想要将它们平均分给4个朋友，每人可以分到几块？解答：由于小明有16块巧克力，而要分给4个朋友，所以每人可以分到的巧克力数量为：$\\frac{16}{4} = 4$所以，每人可以分到4块巧克力。

五、思考题某班级有30个学生，其中有5个学生同时喜欢数学和语文，7个学生只喜欢数学，8个学生只喜欢语文，剩下的学生都不喜欢数学和语文。

问有多少个学生既不喜欢数学也不喜欢语文？解答：首先计算喜欢数学或语文的学生数量：喜欢数学的学生：7+5=12喜欢语文的学生：5+8=13然后计算不喜欢数学和语文的学生数量：总学生数：30不喜欢数学和语文的学生数量：30−12−13=5所以，有5个学生既不喜欢数学也不喜欢语文。

以上是希望杯数学竞赛的试题，包括选择题、填空题、解答题、应用题和思考题。

数学希望杯试题及答案

数学希望杯试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 一个数的平方等于9，这个数是多少？A. 3B. -3C. 3或-3D. 9答案：C3. 计算下列表达式的结果：(2x - 3) + (4x + 5) = ?A. 6x + 2B. 6x - 8C. 6x + 7D. 2x + 2答案：C4. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，那么第三边的长度x满足的条件是：A. 1 < x < 7B. 0 < x < 7C. 1 < x < 5D. 0 < x < 7答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个圆的半径是5，那么它的周长是______。

答案：10π2. 一个等差数列的前三项分别是1，4，7，那么它的第10项是______。

答案：263. 如果一个矩形的长是10，宽是6，那么它的面积是______。

答案：604. 一个数的平方根是4，那么这个数是______。

答案：16三、解答题（每题10分，共30分）1. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边的长度。

答案：根据勾股定理，斜边的长度为√(3² + 4²) = √(9 + 16) =√25 = 5。

2. 计算下列方程的解：2x - 5 = 3x + 2答案：将方程整理得 -x = 7，所以 x = -7。

3. 一个数的3倍加上4等于20，求这个数。

答案：设这个数为x，则有3x + 4 = 20，解得 x = (20 - 4) / 3 =16 / 3。

四、证明题（每题10分，共30分）1. 证明：如果一个三角形的两边长分别为a和b，且a > b，那么这个三角形的第三边c满足b - a < c < a + b。

答案：根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

数学难题“希望杯”竞赛试题.doc

1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S1，S2，S3满足关系式S3=13S1=13S2,求S．3.求方程11156x y z++=的正整数解.1.有一百名小运动员所穿运动服的号码恰是从1到100这一百个自然数，问从这100名运动员中至少要选出多少人，才能使在被选出的人中必有两人，他们运动服的号码数相差9？请说明你的理由．2．少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示|x1-x2|的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算，现小明将从1到1991这一千九百九十一个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为p．试求出p的最大值，并说明理由．4.若P=a2+3ab+b2，Q=a2-3ab+b2，则代入到代数式P-[Q-2P-(-P-Q)]中，化简后，是______．7．小华写出四个有理数，其中每三数之和分别为2，17，-1，-3，那么小华写出的四个有理数的乘积等于______．10．在下图所示的每个小方格中都填入一个整数：并且任意三个相邻格子中所填数之和都等于5,则x y zxyz++=__________.1．将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片排成一排，发现恰是一个能被11整除的最大的九位数．请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程．2．一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b．如果a恰是b的3倍，我们称a是一个“希望数”．(1)请你举例说明：“希望数”一定存在．(2)请你证明：如果a，b都是“希望数”，则ab一定是729的倍数．若a＞0，在-a与a之间恰有1993个整数，则a的取值范围是______．甲、乙两个火车站相距189公里，一列快车和一列慢车分别从甲、乙两个车站同时出发，相向而行，经过1.5小时，两车相遇，又相距21公里，若快车比慢车每小时多行12公里，则慢车每小时行______公里．有人问一位老师：他教的班有多少学生．老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足六位学生正在操场踢足球．”则这个“特长班”共有学生______人．设a=1÷2÷3÷4，b=1÷(2÷3÷4)，c=1÷(2÷3)÷4，d=1÷2÷(3÷4)，则(b÷a)÷(c÷d)=______．某次竞赛满分为100分，有六个学生的得分彼此不等，依次按高分到低分排列名次．他们六个人的平均分为91分，第六名的得分是65分．则第三名的得分至少是______分．有甲、乙、丙、丁四位同学去林中采蘑菇．平均每个采得蘑菇的个数约是一个十位数字为3的两位数,又知甲采的数量是乙的45,乙采的数量是丙的32倍,丁比甲多采了3个蘑菇,则丁采蘑菇______ 个.1．如图28，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．2．你能找到三个整数a，b，c，使得关系式(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(b+c-a)=3388成立吗？如果能找到，请举一例，如果找不到，请说明理由．在自然数中，从小到大地数，第15个质数是N,N的数字和是a，数字积是b,则22 a bN的值是________.已知a,b是互为相反数，c,d是互为负倒数，x的绝对值等于它的相反数的2倍，则x3+abcdx+a-bcd的值是______．某缝纫师做成一件衬衣、一条裤子、一件上衣所用的时间之比为1∶2∶3．他用十个工时能做成2件衬衣、3条裤子和4件上衣．那么他要做成14件衬衣、10条裤子和2件上衣，共需______工时．若p,q都是质数,以x为未知数的方程px+5q=97的根是1,则p2-q=______．1．在矩形ABCD中,放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图9所示．试求图中阴影部分的总面积(写出分步求解的简明过程)2．(1)现有一个19°的“模板”（图10），请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来．(2)现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上面画出一个1°的角来？(3)用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？对(2)、(3)两问，如果能，请你简述画法步骤，如果不能，请你说明理由．某市举行环城自行车比赛，跑的路线一圈是6千米,甲车速是乙车速的,在出发后1小时10分钟时,甲、乙二人恰在行进中第二次相遇,则乙车比甲车每分钟多走_____千米．如图8，两条线段AB、CD将大长方形分成四个小长方形，其中S1面积是8，S2的面积是6，S3的面积是5．则阴影三角形的面积是_____．1．某班参加校运动会的19名运动员的运动服号码恰是1~19号，这些运动员随意地站成一个圆圈，则一定有顺次相邻的某3名运动员，他们运动服号码数之和不小于32，请你说明理由．2．已知ax+by=7，ax2+by2=49，ax3+by3=133，ax4+by4=406，试求1995(x+y)+6xy-17(a+b )的值.2如图3，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分为四个部分，△AOB的面积是1平方千米，△BOC的面积是2平方千米，△COD的面积是3平方千米，公园陆地的总面积是6.92平方千米，那么人工湖的面积是______平方千米．快慢两列火车的长分别是150米和200米，相向行驶在平行轨道上．若坐在慢车上的人见快车驶过窗口的时间是6秒，那么坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间是______秒．一次数学测验满分是100分，全班38名学生平均分是67分．如果去掉A、B、C、D、E五人的成绩，其余人的平均分是62分，那么在这次测验中，C的成绩是______分．21．（1）请你写出不超过30的自然数中的质数之和．（2）请回答，千位数是1的四位偶自然数共有多少个？（3）一个四位偶自然数的千位数字是1，当它分别被四个不同的质数去除时，余数也都是1，试求出满足这些条件的所有自然数，其中最大的一个是多少？22．（1）用1×1，2×2，3×3三种型号的正方形地板砖铺设23×23的正方形地面，请你设计一种辅设方案，使得1×1的地板砖只用一块．（2）请你证明：只用2×2，3×3两种型号的地板砖，无论如何铺设都不能铺满23×23的正方形地面而不留空隙．初一“数学晚会”上，有10个同学藏在10个大盾牌后面．男同学的盾牌前面写的是一个正数，女同学的盾牌前面写的是一个负数，这10个盾牌如下所示．则盾牌后面的同学中有女同学______人；男同学______人．83023(5)(1)83(30),,0.1,,,8,2,,4(2),51,(25)19971997(3)a ---+---⨯-⨯---- 《数理天地》（初中版）月刊，全年共出12期，每期定价2.50元，某中学初一年级组织集体订阅，有些学生订半年而另一些学生订全年，共需订费1320元，若订全年的同学都改订半年，而订半年的同学均改订全年时，共需订费1245元，则该中学初一年级订阅《数理天地》（初中版）的学生共有______人．21．已知一个七位自然数62xy427是99的倍数（其中x 、y 是阿拉伯数字），试求950x ＋24y ＋1之值，简写出求解过程．22．用24个面积为1的单位正三角形拼成如图5所示的正六边形，我们把面积为4的正三角形称为“希望形”．（1）请你回答，图中共可数出多少个不同的“希望形”？（2）将1～24这24个自然数填入24个单位正三角形中（每个里只填1个数）．我们依次对所有“希望形”中的4个单位正三角形中填的数同时加上一个相同的自然数称为一次操作，问能否经过有限次操作员后，使图中24个单位正三角形中都变为相同的自然数？如果能，请给出一种填法，如果不能，请简述理由．甲、乙两列客车的长分别为150米和200米，它们相向行驶在平行的轨道上，已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒，那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是_________秒.某人以4千米／时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米／时的速度从乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是______千米／时.21．23个不同的正整数的和是4845，问：这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少？写出你的结论，并说明理由.22．（a ）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另三条直线相交，并简单说明画法.（b ）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交？如果能，请画出一例，如果不能，请简述理由.A 、B 两个港口相距300公里.若甲船顺水自A 驶向B,乙船同时自B 逆水驶向A,两船在C 处相遇.若乙船顺水自A 驶向B,甲船同时自B 逆水驶向A,则两船于D 处相遇,C 、D 相距30公里.已知甲船速度为27公里/小时,则乙船速度是______公里/ 小时.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛,通过抽签决定出赛顺序. 在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测.甲猜:乙第三,丙第五;乙猜: 戊第四,丁第五;丙猜:甲第一,戊第四;丁猜:丙第一,乙第二;戊猜:甲第三,丁第四. 老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中,则出赛顺序中,第一是______, 第三是______,第五是_______.21.一个长方形如图所示恰分成六个正方形,其中最小的正方形面积是1 平方厘米.求这个长方形的面积.22.已知一组两两不等的四位数,它们的最大公约数是42, 最小公倍数是90090.问这组四位数最多能有多少个?它们的和是多少?某种出租汽车的车费是这样计算的：路程在4公里以内（含4公里）为10元4角，达到4公里以后，每增加1公里加1元6角；达到15公里后，每增加1公里加2元4角，增加不足1公里时按四舍五入计算，则乘坐15公里该种出租车应交车费________元，某乘客乘坐该种出租车交了车费95元2角，则这个乘客乘该出租车行驶的路程为________公里。

希望杯高中组试题及答案

希望杯高中组试题及答案一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列哪项是光合作用的主要产物？A. 氧气B. 二氧化碳C. 水D. 葡萄糖答案：D2. 欧姆定律描述了电压、电流和电阻之间的关系，其公式为：A. V = IRB. V = RIC. I = VRD. I = R/V答案：A3. 地球的大气层中，最外层的层是：A. 对流层B. 平流层C. 热层D. 电离层答案：C4. 在数学中，一个数的平方根是：A. 一个数的两倍B. 一个数的一半C. 一个数的倒数D. 一个数的相反数答案：C5. 以下哪个选项是描述细胞核功能的？A. 细胞核是细胞的能量工厂B. 细胞核是细胞的控制中心C. 细胞核是细胞的废物处理中心D. 细胞核是细胞的保护屏障答案：B6. 以下哪项是描述DNA的？A. 双螺旋结构B. 单螺旋结构C. 线性结构D. 三螺旋结构答案：A7. 以下哪个选项是描述元素周期表的？A. 按照原子序数排列的元素列表B. 按照原子质量排列的元素列表C. 按照元素颜色排列的元素列表D. 按照元素的化学性质排列的元素列表答案：A8. 以下哪个选项是描述牛顿第一定律的？A. 物体在没有外力作用下会保持静止或匀速直线运动B. 物体在受到外力作用下会加速C. 物体在受到外力作用下会减速D. 物体在没有外力作用下会不断加速答案：A9. 以下哪个选项是描述生态系统中能量流动的？A. 能量在生态系统中是循环的B. 能量在生态系统中是单向流动的C. 能量在生态系统中是双向流动的D. 能量在生态系统中是随机流动的答案：B10. 以下哪个选项是描述光的波粒二象性的？A. 光同时具有波动性和粒子性B. 光只具有波动性C. 光只具有粒子性D. 光既不是波也不是粒子答案：A二、填空题（每小题4分，共20分）1. 地球的自转周期是________小时。

答案：242. 牛顿的第二定律公式为________。

答案：F = ma3. 人体中最大的细胞是________。

历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析(一)

历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析题 1 已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 .（第十一届高二第一试第11题）解法1 b b a a b b a x ++=-+=，ab b aa b b y -+=--=.y x a b b b b a b a <∴-+>++∴<<,,0 .解法2bb a ab b a b b b b a y x ++-+=---+=，y x y x a b b a <∴<∴->+,1, . 解法3a ab b a b b a ab b b b a y x -+-++=----+=-1111 =y x yx a a b b a <∴>-∴>--+,011,0.解法4 原问题等价于比较a b b a -++与b 2的大小.由,2)(222y x y x +≥+得b a b b a a b b a 4)(2)2=-++≤-++（，b a b b a 2≤-++∴. y x b a b b a a b b a <∴<-++∴-≠+,2, .解法5 如图1，在函数x y =的图象上取三个不同的点A （a b -，a b -）、B （b ，b ）、C （b a +，b a +）.由图象，显然有AB BCk k <，即)()(a b b ab b b b a b b a ----<-+-+，即a b b b b a --<-+，亦即y x <.解法6 令()f t =tt a at f ++=)( 单调递减，而a b b ->，)()(a b f b f -<∴，即a b b b b a --<-+，y x <∴.解法7 考虑等轴双曲线)0(22>=-x a y x .图1如图2，其渐近线为x y =.在双曲线上取两点 A （b ，a b -）、B （a b +，b ）. 由图形，显然有1>ABk ，即1>-+--bb a ab b ，从而y x <.解法8 如图3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，BC=a ，AC=b ，BD=b ，则AB=b a +，DC=a b -. 在△ABD 中，AB-AD<BD ，即-+b a AD b <，从而-+b a AD-DC<-b DC ，即a b b b b a --<-+，故y x <.评析比较大小是中学代数中的常见内容.其最基本的方法是作差比较法、作商比较法、利用函数的单调性.解法1通过分子有理化（处理无理式常用此法）将问题转化成比较两个分母的大小.解法2直接作商与1比较大小，顺理成章，也很简洁.要注意的是：0,>b a 时，1a a b b >⇔>；0,<b a 时，1aa b b>⇔<.此题直接作差难以确定差与0的大小，解法3对y x ,的倒数作差再与0比较大小，使得问题顺利获解，反映了思维的灵活性.解法6运用函数的单调性解题，构造一个什么样的函数是关键.我们认为构造的函数应使得y x ,恰为其两个函数值，且该函数还应是单调的（最起码在包含y x ,对应的自变量值的某区间上是单调的）.解法5与解法7分别构造函数与解几模型，将y x ,的大小关系问题转化成斜率问题加以解决，充分沟通了代数与几何之间的内在联系，可谓创新解法.解法8充分挖掘代数式的几何背景，构造平面图形，直观地使问题得到解决，这也是解决大小关系问题和证明不等式的常用方法.有人对此题作出如下解答：取,2,1==b a 则12112,23123+=-=+=-=y x，32+>10+>，.,121231y x <∴+<+可再取两组特殊值验证，都有y x <.故答案为y x <. 从逻辑上讲，取2,1==b a ，得y x <.即使再取无论多少组值（也只能是有限组值）验证，都得y x <，也只能说明y x >或y x ≥作为答案是错误的，而不能说明y x <一定是正确的,因为这不能排除x y =的可能性.因此答案虽然正确，但解法是没有根据的.当然，如果将题目改为选择题：已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是图2图3（）A 、y x >B 、y x ≥C 、y x =D 、y x <此时用上述解法，且不用再取特殊值验证就可选D ，并且方法简单，答案一定正确. 总而言之，特殊值法在解许多选择题时显得特别简捷，那是因为选择支中的正确答案是唯一的，从而通过特殊值排除干扰支，进而选出正确答案.但特殊值法只能排除错误结论，而不能直接肯定正确答案，因此，用此法解填空题（少数特例除外）与解答题是没有根据的.当然，利用特殊值指明解题方向还是十分可取的.题 2 设c b a >>N n ∈,，且11na b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值为（）A 、2B 、3C 、4D 、5（第十一届高二第一试第7题）解法1 原式n c b c a b a c a ≥--+--⇔．mina c a c n ab bc --⎡⎤∴≤+⎢⎥--⎣⎦．而b a c a --+c b c a -- =b ac b b a --+-+b c a b b c -+--=2+b a c b --+c b b a --≥4，且当b ac b --=cb ba --，即bc a 2=+时取等号．mina c a c ab bc --⎡⎤∴+⎢⎥--⎣⎦4=．4n ∴≤．故选C ．解法2 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ，已知不等式化为()()()2a c n a b b c -≤--．由()()()()22242a c a c ab bc a b b c --≥=---+-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()()4min2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---c b b a c a ，故由已知得4≤n ，选C ．解法3由cb a >>，知,0,0>->->-c a c b b a ，有()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11．又()()()[]()41111112=+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c b b a c b b a c a ，即()411min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a ，由题意，4≤n ．故选C ．解法4 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ．∴已知不等式可变形为()()()2a c n a b b c -≤--．记()()()2a c k ab bc -=--，则()()[]()()()()[]()()4222=----≥---+-=c b b a c b b a c b b a c b b a k ．由题意，4≤n ．故选C ．解法5 c b a >>110,0.a b b c∴>>--于是 ()()ca cb b ac b b a -=-+-≥-+-4411．比较得4≤n ．故选C ．评析由已知，可得()⎪⎭⎫⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11恒成立．根据常识“若()a f x ≤恒成立，则()min x f a ≤；若()x f a ≥恒成立，则()max a f x ≥,”()⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值就是所求n 的最大值，故问题转化为求()⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值，上述各种解法都是围绕这一中心的，不过采用了不同的变形技巧，使用了不同的基本不等式而已．解法1运用了2,,b a a b R a b ++≥∈“”；解法2运用了”“22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ；解法3运用了()”“411≥⎪⎭⎫⎝⎛++b a b a ；解法4运用了()”“+∈≥+R b a ab b a ,2；解法5运用了()”“+∈+≥+R b a ba b a ,411．虽解法异彩纷呈，但却殊途同归．此题使我们联想到最新高中数学第二册（上）P 30第8题：已知c b a >>，求证：0111>-+-+-ac c b b a ．证：令()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．()22111111x y xya b b c c a x y x y xy x y ++∴++=+-=---++．0,0x y >>， 0111>-+-+-∴ac c b b a ．此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式，使得推证更简单了．运用这一思路，又可得本赛题如下解法：设()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．ca nc b b a -≥-+-11恒成立，就是y x ny x +≥+11恒成立．也就是()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤y x y x n 11恒成立．()411≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x y x 恒成立，∴由题意得4≤n ．故选C ．再看一个运用这一思想解题的例子．例设+∈R c b a ,,，求证：2222cb a b ac a c b c b a ++≥+++++．（第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）证明设,,,z b a y a c x c b =+=+=+则()()0,,21>++=++z y x z y x c b a ． ()()()02222≥+-=++-+y x xy bx ay y x b a y b x a ，()222a b a b x y x y +∴+≥+ ①， ()()()()222222222a b a b c a b c a b c c a b c x y z x y z x y z a b c +++++++∴++≥+≥==+++++,即 2222c b a z c y b x a ++≥++，2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++∴．本赛题还可直接由下面的命题得解．命题若021>>>>n a a a ，则()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+--12132211111 ．证明 021>>>>n a a a ，n n a a a a a a ---∴-13221,,, 都大于0．反复运用①式，可得: “若,(1,2,,)i i x y R i n +∈=,则22111n i ni i n i iii x x y y ===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑,当且仅当1212n nx x x y y y ===时取等号”.故有()()22122311223111111111n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a --+++-+++≥=----+-++--．也可以这样证明：021>>>>n a a a ，12231,,,0n n a a a a a a -∴--->．故由柯西不等式，得()()()1223112231111()n n n na a a a a a a a a a a a --+++-+-++-⎡⎤⎣⎦---()()211111n -≥+++个()21n =-，即()()21132211)111(-≥--++-+--n a a a a a a a a n nn ．01>-n a a ，()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+-∴-12132211111 ．由此可得本赛题的如下解法：cb a >>，,0,0>->->-∴c a c b b a ，()ca cb b ac b b a -=-+-+≥-+-∴411112．由题意，4≤n ．故选C ．由此命题还可直接解决第七届高二培训题第8题：设12320002001a a a a a >>>>>，并且122320002001111m a a a a a a =+++---，200116104a a n -⨯=，则m 与n 的大小关系是 ( )A 、n m <B 、n m >C 、n m ≥D 、n m ≤解12320002a a a a a >>>>>，2001162001121042000a a a a m -⨯=-≥∴．故选C ．题 3 设实数y x n m ,,,满足a n m =+22，b y x =+22，则ny mx +的最大值为( )A 、21()b a + B 、2122b a + C 、222b a + D 、ab（第十一届高二培训题第5题）解法1 设,sin ,cos ααa n a m ==,sin ,cos ββb y b x ==则,)cos(sin sin cos cos ab ab ab ab ny mx ≤-=+=+βαβαβα即)(ny mx +max =ab .故选D ．解法2b n ab m a b a n m =+⇒=+2222,又b y x =+22,+=+∴mx abny mx ab)(≤ny ab 2222()()2b m n x y a +++==.2b b a a b=+⋅ny mx +∴,ab ab b =≤当且仅当x =且,y =即my nx =时取等号，max )ny mx +∴（.ab =解法3 2222222222222()2mx ny m x mxny n y m x m y n x n y +=++≤+++()()2222,m n x y ab =++=mx ny ∴+≤当且仅当m y n x =时取等号，故()max mx ny +.解法4设()(),,,,p m n q x y →→==则cos ,p q p q p q θ→→→→→→⋅=⋅⋅≤⋅222,p q p q →→→→∴⋅≤⋅()()222mx ny m n +≤+即()22,xyab +=当且仅当,p q →→共线，即my nx =时取等号，故()max mx ny +.解法5 若设mx ny k +=，则直线mx ny k +=与圆22x y b +=有公共点，于是≤()max k mx ny mx ny =+≤∴+=解法6设12,z m ni z x yi=+=-,则()()()()12,z z m ni x yi mx ny nx my i =+⋅-=++-∴1212,z z mx ny mx ny mx ny z z ⋅=≥=+≥+∴+≤12z z =⋅==当且仅当m y n x =时取等号，故()m a mx n y a b+．解法7 构造函数()()()222222f X m nXmx ny X x y =+++++，则()()()220.f X mX x nX y =+++≥故()()()2222244mx ny m nxy ∆=+-++()2440,mx ny ab =+-≤即()max mx ny mx ny +≤∴+.ab =解法8 由2222,m n a x y b +=+=还可构造图形（如图），其中90,ACB ADB ︒∠=∠=,AC =,BC =,,BD x AD y AB ===为圆的直径，由托勒密定理,AD BC BD AC ⋅+⋅2,AB CD AB =⋅≤得,x y b ⋅+⋅≤，从而得m x n a b +≤my nx =且0mx >时取等号．()max mx ny ∴+=评析解法1抓住已知条件式的结构特征，运用三角代换法，合情合理，自然流畅，也是解决此类型问题的通法之一．解法2运用基本不等式222b a ab +≤将ny mx +放大为关于22n m +与22y x +的式子，再利用条件求出最大值．值得注意的是，稍不注意，就会得出下面的错误解法：()()()22222222max ,22222m n x y m x n y a b a bmx ny mx ny ++++++++≤+==∴+=．故选A ．错误的原因就在于用基本不等式求最值时未考虑等号能否取到．上述不等式取等号的条件是x a =①且y b =②，而若①，②式同时取得，则2222m n x y +=+，即,a b =这与题设矛盾！即当a b ≠时，mx ny +取不到2a b+．解法2是避免这种错误的有效方法．由于向量与复数的模的平方是平方和形式，与已知形式一致，故解法4与解法6分别运用了构造向量与构造复数的方法，新颖而简洁．解法5设k ny mx =+后，将其看作动直线，利用该直线与定圆b y x =+22有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，得ab ny mx k ≤+=，充分体现了等价转化的解题功能．解法7运用的是构造函数法．为什么构造函数()()()2222f X m n X mx ny X =+++2x +2y +呢？主要基于两点：①()f X 为非负式（值大于等于0），②由于()0≥X f ，故有0≤∆，而∆沟通了已知与未知的关系，故使问题得到解决．解法8抓住已知两条件式的特征，构造了两个有公共边的直角三角形，利用托勒密定理及圆的弦小于等于半径使问题获解，充分揭示了这一代数问题的几何背景．拓展此题可作如下推广若2222221212,,n n a a a p b b b q +++=+++=则()1122max n n a b a b a b +++=()1,2,,i i b i n ==时取得最大值）.证明 2222221212n n q q q a a a p a a a p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⇒+++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.q = 1122a b a b ∴+++1122n n n nqa bb b a b p ⎫=⋅⋅++⋅⎪⎪⎭≤p ⎝++⎢⎥⎢⎥⎣⎦=(),22222222122221pq qp p q q p b b b a a a pq q p n n=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++ 当且仅当()().,,2,1max 2211pq b a b a b a n i b a pqn n i i =+++∴== 时取等号，本推广实际就是由著名的Cauchy （柯西）不等式()()()222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a +++⋅+++≤+++ （当且仅当nn b a b a b a === 2211时取等号）直接得到的一个结论．推广有十分广泛的应用，现举一例：例已知123,,,,,,234,8.a b c x y zR a bc x y z +∈++=++=且求最大值．解2221232344,8a b c b cx y z ++==++=22⇒+2+＝8．由推广知=≤=当且仅当===即12ax by cz===时取等号．max∴=.24题4对于1≤m的一切实数m，使不等式221(1)x m x->-都成立的实数x的取值范围是＿＿＿＿（第十三届高二培训题第63题）解法1题设等价于⎪⎩⎪⎨⎧--<>-112122xxmx或⎪⎩⎪⎨⎧--><-112122xxmx或⎩⎨⎧>-=-1212xx，即⎪⎩⎪⎨⎧--<>-1121122xxx或⎪⎩⎪⎨⎧-->-<-1121122xxx或⎩⎨⎧>-=-1212xx,所以21<<x或113<<-x或1=x，即)2,13(-∈x.解法2 已知不等式即()()01212<---xmx，令()()121)(2---=xmxmf，则当012≠-x，即1±≠x时，)(mf是m的一次函数，因为1≤m，即11≤≤-m时不等式恒成立，所以)(mf在[]1,1-上的图象恒在m轴的下方，故有⎩⎨⎧<+--=<+-+-=-121)1(121)1(22xxfxxf，即⎩⎨⎧<->-+22222xxxx，解得213<<-x)1(≠x.又当1=x时，1)(-=mf，适合题意，当1-=x时，()3f m=不合题意.故x的取值范围是213<<-x.评析解决本题的关键是如何根据条件构建关于x的不等式或不等式组.解法1运用分离参数法，为了达到分离参数的目的，又对12-x分大于0、小于0、等于0三类情形分别构建关于x的不等式组，从而通过解不等式组解决了问题.解法2则转换思维角度，把已知不等式看成关于m的不等式，从而将原问题转化为函数()()121)(2---=xmxmf在[]1,1-上的图象恒在m轴下方的问题.这种方法称为变更主元法.用此方法，使得此题的解决显得既简捷，又直观易懂.题5 当0x a <<时,不等式2)(1122≥-+x a x 恒成立,则a 的最大值是________. (第十一届高二培训题第45题)解法 1 当0x a <<时, 2≥-+-x a x x x a ①,又有2)()(2222≥-+-x a x x x a ②,②+①×2,得6)(222222≥--+-x a x ax x x a ,6)()(122222≥---+-x a x a a x a ,8)(2222≥-+x a a x a ,即2228)(11a x a x ≥-+.由282≥a,得02a <≤,2max =∴a . 解法 2 2222)11()11()(112x a x x a x x a x--+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+ , 又 =-+x a x 11 +a 4(1a2)x a x x x a ---, 222)4()(112a x a x≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∴, 即2228)(11a x a x ≥-+, 当且仅当x a x x x a -=- 且 x a x -=11, 即 2ax = 时取等号. 2)(1122≥-+x a x 恒成立, ∴282,02a a ≥<≤. 于是2max =a . 解法 3 原不等式等价于12)(1122≥-+x a x ,由 0x a <<,可知10,x >10a x >-. 由 “两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”, 可知只需1)(2≥-+x a x , 即2≤a 即可, 故02a <≤, 于是2max =a .解法 422)(11x a x -+2≥ 即 2)(112222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++x x a x x ①成立，又2122≥+x x恒成立， ∴a 只要满足22)(1x x a --0≥②就能使①恒成立.由②式，得2x 2)(x a -1≤，1)(≤-x a x ，012≤-+-ax x ③.由于对称轴),0(2a ax ∈=，由二次函数的性质，当),0(a x ∈时，要③式恒成立，则24002a a ∆=-≤∴<≤ 2max =∴a .解法5 设αα22sin ,cos =-=a x a a x （0x a <<），则22)(11x a x -+=α42cos 1a + α42sin 1a ==+⋅αααα44442cos sin cos sin 1a =-⋅αα2sin 1612sin 2111422aαα2sin 2sin 28422-⋅a .)22(sin 2+αα2(sin 2－1）0≤，即2－αα2sin 2sin 42≥，则αα2s i n 2s i n 242-1≥)12s i n (2时取等号当=α，于是2228)(11ax a x ≥-+，由已知，得282,02,a a≥∴<≤2max =∴a . 解法6 设11,(0,0),X Y X Y x a x==>>-则222X Y +≥表示在XOY 坐标系第一象限内以原点为圆心，2为半径的圆及其外部.由11,,X Y x a x==-得,aXY X Y =+又aXY X Y =+,4,22aXY XY ≥∴≥它表示双曲线24a XY =位于第一象限内的一支及其上方部分.依题意，双曲线2224(0)200XY X X Y X Y a=>+=>>与圆弧（，）相切或相离，从而282≥a，即02a <≤ 2max =∴a .解法7 运用结论“如果),,2,1(,n i R y x i i =∈+，则≥+++nn y x y x y x 2222121),()(21221*++++++nn y y y x x x 当且仅当k y x y x y x n n ==== 2211（常数）时取等号.”0x a<<，∴0.a x ->由柯西不等式，有22222)11())(11)(11(x a x x a x -+≥-++①，由)(*得xa x -+11a4≥②.故O2 xO,)4())(11(2222a x a x ≥-+得2228)(11a x a x ≥-+，当且仅当2a x =时取等号，由282≥a，得02a <≤ 2max =∴a .解法8运用结论“212122311111(1),,n n n nn a a a a a a a a a a a -->>>+++≥----若则当且仅当n a a a ,,,21 成等差数列时取等号.”2222111122()(0)()x a x x a x ⎡⎤⎡⎤+=+≥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦2110x a x ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭222160)13(a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≥.∴2228)(11a x a x ≥-+，当且仅当x a x -=，即2a x =时取等号.令282≥a，得02a <≤ 2max =∴a . 评析2)(1122≥-+x a x 恒成立，∴2)(11min22≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x a x .故问题的实质就是求22)(11x a x -+的最小值（关于a 的式子）大于等于2的解.因而在0x a <<的条件下，如何求22)(11x a x -+的最小值成了问题的关键.解法1运用“两个互为倒数的正数的和大于等于2”, 解法2运用配方再放缩, 解法3运用均值不等式及“两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”,解法5运用三角代换，解决了这一关键问题.解法4巧妙地将原问题转化为一个含参（a ）一元二次不等式恒成立，求参数的范围问题，从而运用二次函数的性质解决问题.解法6将原问题转化为解析几何问题处理.解法7、8则是运用一些现成的结论（读者可自己证明），各种解法异彩纷呈，都值得细细品味.拓展此题可作如下推广：推广1 若1210n x x x a -<<<<<，则≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x 23a n ，当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号.证明由已知，1210n x x x a -<<<<<，则12x x -0>，23x x -0>，, 1--n x a 0>.根据柯西不等式及解法7运用的不等式（*）,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x n≥21211111n x x x a x -⎛⎫+++≥ ⎪--⎝⎭2242,n n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭故≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x 23a n . 当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号.推广2 若1210n x x x a -<<<<<，,),,,2,1(++∈=∈N k n i R b i 则++kk x b 111kk n k n k n k k ab b b x a b x x b 121111212)()()(+-+++++≥-++- ，当且仅当∑==n i ii i b ab a 1时取等号. 证明不妨设112211,,,--=-==n n x a a x x a x a ，=M ,)(11+=∑k ni i b 由已知得i a 0>且),,2,1(n i =,1a a ni i =∑=令a a c i i =，则∑=ni i c 1=111=∑=ni i a a .由均值不等式，++k i k i c b 1≥+++个k i i i Mc Mc Mc ,)1(11+++k k ik b M k 即k ik ic b 1+kn i b b b k kMc ))(1(21++++≥+ ib ⋅，则11111(1)()k nnn k i i iki i i i b kM c k bc ++===+≥+∴∑∑∑1111()k nn k i i k i i i b b c ++==≥∑∑，即11k nki k i ib a a +=≥∑11()n k i i b +=∑，11111()nk k i ni i k k ni ii i b b a a ++===≥⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑，当且仅当=i a ∑∑∑====⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n i i i i n i i n i i b ab b b a 111时取等号. ∴++kk x b 111++kk x b 212kn kn x a b )(1--+ k k n a b b b 121)(++++≥ . 题6 已知()⎪⎭⎫⎝⎛∈=2,0,log sin πθθx x f ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos sin θθf a ，()θθcos sin ⋅=fb ，⎪⎭⎫⎝⎛+=θθθcos sin 2sin f c ，那么c b a 、、的大小关系是（）A 、b c a ≤≤B 、a c b ≤≤C 、a b c ≤≤D 、c b a ≤≤（第八届高二第一试第10题）解法1 设p =θsin ，q =θcos .pq qp ≥+2，而()x f 是减函数，()pq fq p f ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴2，即b a ≤.2qp pq +≤，()2pq q p pq +≤∴，pq qp pq≤+2.()pq fq p pq f ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∴2，即b c ≥.故c b a ≤≤.选D.解法2 由题意，令6πθ=，则21sin =θ，cos θ=，4312cos sin +=+θθ ，23cos sin 4=θθ，233cos sin cos sin 2cos sin 2sin -=+=+θθθθθθθ，()1,021sin ∈=θ ，()x f ∴是减函数，又233234314->>+，()⎪⎭⎫⎝⎛+<<⎪⎭⎫⎝⎛+∴θθθθθθθcos sin 2sin cos sin 2cos sin f ff ，即c b a <<.故选D.评析这是一个比较函数值大小的问题，通常利用函数的单调性.若函数()x f 单调递增（减），则当21x x <时，()()()()()2121x f x f x f x f ><，当21x x >时，()()21x f x f >()()()21x f x f <.因此解决问题的关键有两个：一是确定函数的单调性，二是确定自变量的大小关系.解法1就是这样解决问题的.因为正确答案应对一切⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ都正确，故又可以运用特殊值法.对⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内的某个角不正确的选择支都是错误的，由正确选择支的唯一性，也可选出正确答案.解法2便是取特殊值6πθ=，排除了A 、B 、C 、而选D 的.当然，此题也可用作差比较法来解：⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ ，()1,0sin ∈∴θ，()x f ∴是单调减函数，0sin >θ，0cos >θ.=⋅-+=-∴θθθθθθcos sin log 2cos sin log sin sin b a01log cos sin 2cos sin log sin sin =≤⋅+θθθθθθ，b a ≤∴.又-⋅=-θθθcos sin log sin c b 01log cos sin 2cos sin log cos sin cos sin 2cos sin log cos sin 2sin log sin sin sin sin =≤+=+⋅=+θθθθθθθθθθθθθθθθθ，即c b ≤，c b a ≤≤∴.选D.题7 已知21=a ，不等式49321log <⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a的解是 . （第三届高二第二试第13题）解原不等式即2log 32321-⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛-x a. 指数函数x⎪⎭⎫⎝⎛32是减函数，21=a ，∴原不等式化为2log 121->-x ，即22121121loglog -⎪⎪⎭⎫⎝⎛->x .又对数函数log x 是减函数，2211-⎪⎭⎫⎝⎛<-∴x ，即21<-x ，解得31<<-x . 对数函数121log-x 的定义域是1≠x 的实数，∴原不等式的解是11<<-x 或31<<x .评析此题涉及到指数不等式、对数不等式、绝对值不等式的解法.解指数不等式与对数不等式的基本方法是同底法，即先将不等式两边的指数式或对数式化成底数相同的指数式或对数式，然后根据底数所属区间是()1,0或()+∞,1，确定以该底数为底的指数函数或对数函数的单调性，再去掉底数或对数符号，转化成别的不等式.主要依据如下：⑴若01a <<,则()()()()f x g x a af xg x <⇔>；⑵若1a >,则()()()()f x g x aaf xg x <⇔<； ⑶若01a <<,则()()()()log log 0f x g x a af xg x <⇔>>；⑷若1a >,则()()()()log log 0f x g x aaf xg x <⇔<<.有时需要将常数化为指数式或对数式，其化法如下： ⑴ac ca log =（,0,0>>c a 且1≠c ）；（化为指数式）⑵log ac a c =（,0>c 且1≠c ）.（化为对数式）例如，23log 32=将常数2化为3为底的指数式，233log 2=将常数2化为3为底的对数式.解指数不等式不需检验，但解对数不等式必须保证解使得对数式有意义，这点常被忽略. 若一个指数不等式的指数部分是对数式，常常采用取对数法求解. 例不等式()x x x>lg的解集是 .（第十一届高二培训题第40题）解两边取常用对数，得()x xlg lg2>，即0lg ,0lg 4lg ,0lg lg 4122<>->-x x x x x 或10,4lg <<∴>x x 或410>x .故所求解集是()()+∞,101,04.应当指出，两边取对数后，不等号的方向变不变，关键看取的是什么底数.如果底数大于1，则不等号方向不变，如果底数大于0且小于1，则不等号方向改变.关于绝对值不等式，主要是根据绝对值的几何意义求解.下列结论应当理解并熟记（a 为常数）.⑴()0≤<a a x 的解集是φ； ⑵()0><a a x 的解集是()a a ,-； ⑶()0<>a a x 的解集是R ；⑷()0x a a >>的解集是()()+∞-∞-,,a a . 下列题目供练习：⑴已知常数⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πθ，则不等式()()8103cot tan 2--->x x x θθ的解集是 .（第八届高二第一试第16题）⑵若函数()⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=4222log log x x x f 的定义域是不等式211222log 7log 30x x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭的解集，则()x f 的最小值= ；最大值= .（第十届高二第一试第23题）⑶不等式22222log 2log x x x x x x ++>的解集是 .（第九届高二培训题第23题）⑷不等式1323>--x 的解是（）（A ）6>x 或232<≤x （B ）6>x 或2<x （C ）6>x （D ）2<x答案 ⑴(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∞-1374,52, ⑵43 ；2 ⑶⎪⎭⎫⎝⎛2,21 ⑷A题8 不等式t x x +≥-21 的解集是∅ ,实数t 的取值范围(用区间形式)是 .(第一届高二第一试第18题)解法1 由t x x +=-21两边平方并整理得012222=-++t tx x ,此方程无实根,故()084184222<+-=--=∆t t t ,22>t .又0>t ,2>∴t .故填()+∞,2.解法2 作出函数21x y -=的图象(即图中的半圆)及函数t x y +=的图象(即图中斜率为1的直线系).由题意,直线应在半圆的上方,由图象可知直线t x y +=在y 轴上的截距2>t .故填()+∞,2.解法3 由012≥-x ,得11≤≤-x .故设θc o s =x ,[]πθ,0∈,则已知不等式就是t +≥θθcos sin ,即θθcos sin -≤t .⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-4sin 2cos sin πθθθ ,又⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,44πππθ,()sin cos [1θθ∴-∈-.由题意得2>t . 故填()+∞,2.评析这是一道蕴含着丰富数学思想方法的好题.解法1﹑2﹑3分别运用方程思想﹑数形结合思想﹑化归转换思想,从不同的角度解决了问题,体现了这道题的丰富内涵.解法2揭示了本题的几何背景.解法3的依据是:不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21恒成立.有人认为不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21有解,这种观点是错误的.事实上,21=t 时,不等式x x t -->21就有解(比如53=x 就是其一个解),而21=t 时,不等式t x x +≥-21即2112+≥-x x 的解集却不是∅ (比如0就是它的一个解).拓展通过上面的分析,并作进一步的研究,我们便有下面的结论已知t 为参数, ()f x 的值域是[],a b . (1) 若()t f x ≤恒成立,则t a ≤. (2) 若()t f x ≥恒成立,则t b ≥.(3) 若()t f x ≤的解集是∅,则t b >. (4) 若()t f x ≥的解集是∅,则t a <. (5) 若()t f x ≤有解,则t b ≤. (6) 若()t f x ≥有解,则t a ≥.若将()f x 的值域改为[),a b 、(],a b 、(),a b 等，也会有相应的结论，限于篇幅，不再一一列出．根据这一结论，请回答下列问题：1.t +的解集是∅，则实数t 的取值范围是． 2.t +的解集是∅，则实数t 的取值范围是． 3.t +有解，则实数t 的取值范围是． 4.t +有解，则实数t 的取值范围是． 5.t >+恒成立，则实数t 的取值范围是． 6.t +恒成立，则实数t 的取值范围是．答案 1. ()2,+∞2.(,-∞3.)⎡+∞⎣4.(],2-∞5.(,-∞6.()2,+∞题9不等式3422≥+---x x x 的解集是（）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-255,253 C 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-,255253,D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-253,255 （第十三届高二第二试第8题）解法1 当0342≥+-x x ，即1≤x 或3≥x 时，原不等式就是,03422≥-+--x x x 即0552≤+-x x ，解得2553.255255+≤≤∴+≤≤-x x . 当2430,13x x x -+<即<<时，原不等式就是，03422≥+-+-x x x 即，0132≥+-x x 解得253-≤x或3x x ≥≤<.综上，所求解集为355,33,,22⎡⎫⎡+⎪⎢⎢⎪⎣⎭⎣⎦即⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253.故选A. 解法2 如图，作函数2-=x y 和342+-=x x y 的图象.要求的解集就是21y y ≥，即1y 在2y 上方时x 的区间，即图中线段AB 上的点所对应的横坐标所组成的区间[]B A x x ,.又(),1234222--=+-=x x x y 当32<<x 时，().2122--=x y 由()2212-=--x x 可解得253+=A x .当3>x 时，(),1222--=x y 由()2122-=--x x 可解得255+=Bx ，∴所求不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253，故选A.解法 3 同解法2画出图形后，可知解集为一个闭区间[]b a ,，且()3,2∈a ，对照选择支.可知选A.解法4 当5.1=x 时，03422<+---x x x 时，故1.5不是原不等式的解，从而排除含1.5的B 、C 、D ，故选A.评析解含绝对值的不等式，一般是先去掉绝对值符号，然后再求解.解法1正是运用分类讨论思想这样解决问题的，也是一种通法.我们知道，方程()()x g x f =的解就是函数()x f y =与()x g y =的图象交点的横坐标；若图象无交点，则方程无解.而不等式()()x g x f >的解集则是函数()x f y =的图象在()x g y =的图象上方部分的点的横坐标的集合；若()x f y =的图象都不在()x g y =的图象的上方，则不等式无解.解法2正是运用这种数形结合思想解决问题的.许多超越不等式的近似解或解的所属范围也都运用此法解决.选择题的正确答案就在选择支中，只是要求我们把它选出来而已.因此,不是非要求出答案再对照选择支选择答案不可的.基于此，解法3运用估算的方法选出了正确答案(注意：估算能力是高考明确要求要考查的能力之一).而解法4则运用特殊值排除了干扰支，进而选出了正确答案.类似这种不等式（方程）的解集是什么的选择题几乎都可用这种方法解，而且1 A B十分方便.值得注意的是，特殊值只能否定错误结论，根据正确选择支的唯一性才能肯定正确答案.另外，如何选取特殊值也是很有讲究的，读者可在解题实践中体会并加以总结.题10 不等式199920003224>-+-x x 的解集是 . （第十一届高二培训题第41题）解设y=x x -+-3224 ，由⎩⎨⎧≥-≥-03024x x ，得定义域为[21，3]. 1999200010,106144410)3)(24(4)3(42422>≥∴≥-+-+=--+-+-=y x x x x x x y 即原不等式在定义域内恒成立，故所求解集为[21，3].评析解无理不等式，通常是通过乘方去掉根号，化为有理不等式后再解.但从此题中不等式右边的数可以想象该有多么复杂，若将题目改为“276.571623.93224+>-+-πx x 的解集是 ”，还会有谁想通过平方化为有理不等式去解呢？显然，常规方法已难以解决问题，怎么办呢？考虑到不等式中的x ∈[21，3]，从而左边1999200010>≥，故解集就是定义域，这就启示我们，当常规思维受阻或难以奏效时，就应积极开展非常规思维，另辟蹊径，寻求解决问题的新方法.拓展根据上面的分析，并加以拓广，我们可得结论设a,b,c 是常数，若[,],()[,],()[,]x a b f x m n g x p q ∈∈∈,则当m c >时,不等式()f x c >的解集是[,],()a b f x c ≤的解集是φ；当n c <时, 不等式()f x c ≥的解集是φ,()f x c <的解集是[,]a b ;当n p >时, 不等式()()f x g x ≥的解集是φ, ()()f x g x <的解集是[,]a b ;当m q >时，不等式()()f x g x >的解集是[,]a b ，()()f x g x ≤的解集是φ.根据这一结论，不难求得下列不等式的解集：1、2、 2sinx+3cosx>4;3、 322163-->-x x ;4、 x x x -<-+-433)1(log 4;5、 sinx-cosx<32+x .答案：1、φ2、[2，+∞)3、φ4、R。

数学希望杯试题及答案

数学希望杯试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C2. 如果a和b是两个非零的自然数，且a > b，则下列哪个不等式是正确的？A. a + b > bB. a - b > bC. a × b < bD. a ÷ b > 1答案：D3. 一个直角三角形的两个直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A4. 圆的周长是2πr，其中r是半径。

如果一个圆的周长是12.56厘米，那么这个圆的半径是多少？A. 2厘米B. 4厘米C. 6厘米D. 8厘米答案：A5. 以下哪个是偶数？A. 1B. 2C. 3D. 5答案：B6. 一个数的平方等于16，这个数是多少？A. 2B. 4C. ±4D. ±2答案：D7. 一个数的立方等于-8，这个数是多少？A. -2B. -4C. 2D. 4答案：A8. 一个数的绝对值是5，这个数可以是多少？A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C9. 如果x = 2y + 3，y = 3x - 4，那么x + y的值是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：C10. 一个数列的前三项是2, 4, 6，这是一个等差数列。

第10项是多少？A. 20B. 22C. 24D. 26答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。

答案：162. 如果一个数的立方根是2，那么这个数是________。

答案：83. 一个数除以10，得到的结果再乘以10，这个数是________。

答案：不变4. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是________。

答案：25. 一个数的相反数是-5，那么这个数是________。

答案：56. 如果一个数的1/3等于10，那么这个数是________。

历届希望杯高中试题及答案

历届希望杯高中试题及答案尊敬的教师和同学们，以下是历届希望杯高中数学竞赛的部分试题及答案，供参考和练习。

# 历届希望杯高中试题及答案一、选择题1. 题目：若函数$ f(x) = x^2 - 4x + 3 $，求$ f(x) $在区间[1,3]上的最大值。

答案：首先求导$ f'(x) = 2x - 4 $，令$ f'(x) = 0 $得$ x = 2 $，为极值点。

计算$ f(1) = 0 $，$ f(3) = 2 $，$ f(2) = -1 $。

由于$ f(x) $在[1,3]上开口向上，所以最大值为$ f(3) = 2 $。

2. 题目：设$ a, b $为实数，若$ a^2 + b^2 = 1 $，求$ a +b $的最大值。

答案：根据柯西-施瓦茨不等式，有$ (a^2 + b^2)(1 + 1) \geq (a + b)^2 $，即$ 2 \geq (a + b)^2 $。

因此，$ a + b $的最大值为$ \sqrt{2} $。

二、填空题1. 题目：若$ x $为实数，求$ \sqrt{x^2 + 4} - \sqrt{x^2 - 4} $的最小值。

答案：当$ x \geq 2 $时，$ \sqrt{x^2 + 4} - \sqrt{x^2 - 4} = \frac{x^2 + 4 - (x^2 - 4)}{\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{x^2 - 4}} = \frac{8}{\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{x^2 - 4}} $。

由于分母随着$ x $的增大而增大，所以该表达式随着$ x $的增大而减小，其最小值为$ 2 $。

2. 题目：若$ a, b $为正整数，且$ a^2 + b^2 = 10 $，求$ a $和$ b $的所有可能值。

希望杯试题及答案高一

希望杯试题及答案高一一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。

A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∩B。

A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 4}D. {1, 2, 3, 4}答案：B3. 直线y=2x+1与x轴的交点坐标是：A. (0, 1)B. (-1/2, 0)C. (1/2, 0)D. (0, -1)答案：B4. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求a5的值。

A. 11B. 13C. 15D. 17答案：A5. 函数y=x^3-3x^2+4x-5的极大值点是：A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4答案：A6. 已知复数z=1+2i，求z的共轭复数。

A. 1-2iB. 1+2iC. -1+2iD. -1-2i答案：A7. 函数f(x)=x/(x^2+1)的最大值是：A. 1/2B. 1C. √2/2D. 2答案：B8. 已知向量a=(3, -4)，向量b=(-6, 8)，求向量a与向量b的夹角。

A. 0°B. 90°C. 180°D. 45°答案：B9. 函数y=ln(x)的定义域是：A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. (-∞, 1)答案：A10. 圆的方程x^2+y^2-6x-8y+24=0，求圆心坐标。

A. (3, 4)B. (-3, -4)C. (3, -4)D. (-3, 4)答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 已知数列{an}满足an = 2an-1 + 1，若a1=1，则a3=________。

答案：52. 函数f(x)=x^2-2x+2的对称轴方程是x=________。

答案：13. 等比数列{bn}的前三项依次为1，2，4，则b4=________。

希望杯试题31-40

题31 已知+∈R z y x 、、，求函数()222,,xy yz u x y z x y z+=++的最大值.（第九届高二培训题第61题）解法1 取待定正数βα、，由均值不等式得()()11xy yz x y y z αβαβ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222222222222111111,22x y y z x y z αβαβαβαβ⎛⎫⎡⎤⎛⎫≤+++=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令,112222ββαα=+=则.21,2,2,244422==∴==βαααα于是()()2222222222zy xzy xyz xy ++=++≤+α()222,,xy yz u x y z x y z+∴=++()22222222xy zx y z++≤=++当1,2,1===z y x 时取等号..22max =∴u解法2 (),1,,,22222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+++=∈+y z y x yz yxzy x yz xy z y x u R y 可化为,01122=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛u y z y x y z y x 配方，得.1212121222-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-u u y z u y x 由上式可得,01212≥-u即,,,.2222+∈≤≤-R z y x u由已知，显然有0,02u u >∴<≤m ax 2u ∴=22==yz yx 时，u 取得最大值）.解法3 由已知，得(),,,.222+∈+++=R z y x z y x yz x u 且,22222z x z x +≤⎪⎭⎫⎝⎛+2222u xzy∴≤≤=++当且仅当z x =且,222y zx =+即B 1D B y z x 22==时取等号..22max =∴u解法4 ,,,x y z R +∈ 22222221122x y z x y y z ∴++=+++≥+),xy yz =+当且仅当y z x 22==时取等号. ()222,,xy yz u x y z x y z+∴=++2≤=∴当且仅当y z x 22==时，u 取得最大值.22解法5 222222211122x y y z x y z u xy yz xy yz ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==++xy yz ≥+)xy yz xy yz+==+,22≤∴u 当且仅当,21222z yx==即y z x 22==时取等号，.22max =∴u解法6 (),2,222222y x y x xy y x +≥+≥+ ()222222xy yz xy yzu x y zx z y++∴=≤++++()())22222xy yz x z y x z ++=≤=++当且仅当∴y z x 22==时，.22max =u解法7 构造如图长方体1AC ，设对角线11,AC d AC =与交于点三个面所成的锐角分别为γβα,,，长方体的三条棱分别为.,,z y x 则有.sin ,sin ,sin .2222dz dy dx z y x d===++=γβα()1sin sinsin222=++γβα于是2222sin sin sin sin xy yz xy yz xyyzu x y zdd dd dαββγ++===⋅+⋅=+++222222211sin sin sin sin2αβγβ++≤==,sin2sinsinγβα==∴当且仅当即yzx22==时，.22max=u解法8由,222zyxyzxyu+++=得()()2220uy x z y u x z-+++=（1）,0,,,>∈+uRzyx∴关于y的一元二次方程（1）的判别式()()042222≥+-+=∆zxuzx，解得()().2144222222222222=++++≤+++≤zxzxzxzxxzzxu当且仅当zx=时取得等号.2m ax1,2u∴=m ax2u∴=把zx=代入（1）可得xy2=,.2222max===∴uyzx时，当且仅当评析222,xy yzux y z+=∴++若()222xy yz k x y z+≤++，则u k≤，这就是说，只要xy yz+与222x y z++的倍数之间建立了不大于的关系，则u的最大值就求出了.因而解决问题的关键就在于找出这样的关系.解法1通过引入正参数α、β，并运用,222baab+≤解法3运用公式22222baba+≤⎪⎭⎫⎝⎛+，解法4、解法5运用abba2≥+，解法6运用()2222222yxyxxyyx+≥+≥+及，圆满解决了这一关键问题.解法2通过将u的分子、分母同除以2y，巧妙地通过配平方，得到2110,2u-≥进而得02u<≤，很富新意.解法7通过构造长方体（若三条棱分别为zyx,,的长方体的对角线长为l，则有,2222zyxl++=而222zyx++恰好是u的分母，且长方体中有1sinsinsin222=++γβα）解决问题.解法8则把222xy yzux y z+=++变为()()2220uy x z y u x z-+++=，看作关于y的一元二次方程，利用其有正根的条件得到22≤u ，是方程思想的典型运用.拓展设,x y R +∈，显然有()22,xy u x y x y=+的最大值为12，即cos3π；设,,x y z R +∈，已解出()222,,xy yz u x y z x y z+=++2，即cos.4π我们不妨猜想：命题若()01,2,,2,k a k n >=≥ 则1223122212n nn na a a a a a f a a a -++⋯+=++⋯+的最大值是.1cos+n π证明取正参数有,,,,21n λλλ⋯()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⋯++----n n n n n n a a a a a a a a a a a a 1113222211113221111λλλλλλ 22222221122112221211111.2n n n n n a a a a λλλλλλ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤+++⋯+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦令222121222121111n n n λλλλλλ---=+=⋯=+=（1），因求最大值，故还必须有,1,,1,111132222111n n n n a a a a a a ---=⋯==λλλλλλ此即,1221a a =λ.,,1212322--=⋯=n n n a a a a λλ将上式代入（1），得nn n nn a a a a a a a a a a 11223112---=+=⋯=+=（2），令21,r λ=则21132211,,,,.n n n n n a ra a a ra a a ra a ra ---=+=⋯+==观察（2）的形式，考虑作代换(),1.,1112---+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==+∈∈+=k k k k a q q ra a aR r C q qq r qqa a k k 11=-∴-()()123,k k a qa kn ---≤≤故数列{}1k k a qa --是公比为1q的等比数列，()112111221111.k k k k k a a qa a qa q a qa qqq q----⎡⎤⎛⎫∴-=-=+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦于是111k kk k q a q a a ---= （3）.再令则,1k k k a q b -=（3）为()11112a b b b q b k k =+=-注意，上式变形为 .11211221⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=---q b b q qb b k k 这样，又得到一个公比为2q 的等比数列()12211212111,1-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧--k k k q q b b q b b q b b ，即22112211,11k kk q q b b a q q --==-- ()()211121,1kk k k k q ab a qq q ---∴==-故有()()2211221,1n n n q a aq q ----=-()()211211q q a q a n nn--=-.而11,n n n a ra q a q -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭故有()()()()22211221211111n nn n q a q a q q q q q q -----⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭，整理得()2221n q q -- ()()2211,nqq =-+化简得221.cossin11n m m qq i n n ππ+=∴=+++(),021m Z m n ∈≤≤+.n f 的最大值唯一，∴应能求出m 的一个确定的值，对于这个m 的值，我们有()().1c o s 2112121m a x +=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==n m q q q q r f n π12231122212n nn n na a a a a a a a f a a a -++⋯++<++⋯+ ()()()()()222222221223111223112n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a --⎡⎤=++⋯++÷++++⋯++++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()122311max 12231121,1,2n n n n n n n a a a a a a a a f a a a a a a a a --++⋯++≤=∴<++⋯++从而0.m ≠又（1）和（2）是n f 取最大值的充要条件，由（1）（2）可推得()()211211kk k q a a q q --=-（3）.将cos sin 11m m q i n n ππ=+++代入（3），化简得1s i n1,s i n1k km n a a m n ππ+=+ 对任意1,,k n k Z ≤≤∈都有0,ka >∴应取1m =.至此，已推知()m a x c o s.1n f n π=+题32 已知a,b R ∈，且a b 10++=，则()()2223a b -+-的最小值是 .（第十届高二培训题第44题）解法1 (),a b 是直线10x y ++=上的动点，点()2,3A 到此直线上各点距离的最小值是点A 到该直线的距离d ==()()222min2318a b d ⎡⎤∴-+-==⎣⎦. 解法2 ()()()()()2222211232232322a b a b a b ⎡⎤-+-=⋅-+-≥-+-⎣⎦ ()()221116061822a b =++-=-=.当23a b -=-，即1,0a b =-=时取等号.∴所求最小值为18.解法3 ()()()()()()()222222211a 2b 3a 2b 311a 21b 3122⎡⎤-+-=-+-+≥-⋅+-⋅⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22112361822a b =-+-=-=.当2311a b --=，即1,0a b =-=时取等号.∴所求最小值为18.解法4 ()()()()()()()222222a 2b 3a 2b 3a 2b 3a b 5⎡⎤-+-=-+-+---=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()21a b +-+，()()()()()22222111123515(2222a b a b a b a b a b ∴-+-=+-+-+≥+-=+()22116)6182+-=⋅-=．当10,a b -+=即1,0a b =-=时取等号()()22,23a b ∴-+-的最小值为18.解法5 ()()()()2222210,1,23242a b b a a b a a a ++=∴=--∴-+-=-+--=+()24202118.a a +=++∴当1a =-时，()()2223a b -+-有最小值18.解法6 设()()22230,a b t -+-=>又设2,3,a b θθ-=-=则a =2,3,b θθ+=+由10,a b ++=60,θθ++=)4πθ+60.)6)66,44ππθθ+=≤+≤∴≤++≤ 即606,+≤≤解得()()2218.23t a b ≥∴-+-的最小值为18.解法7 构造向量()221,1,(2,3),cos ,x y a b x y x y x y x y θ==--⋅=⋅⋅≤⋅∴⋅2,x y ≥⋅ 即()()()()()()222222112312135a b a b a b ⎡⎤+⋅-+-≥⋅-+⋅-=+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()2221636,2318.a b a b =++-=∴-+-≥∴当且仅当1,a b =-=时，()()2223a b -+-取得最小值18.评析因为已知10,a b ++= 所以要求()()2223a b -+-的最小值，关键就是得到()()2223a b -+-与关于a b +的式子之间的大于等于关系.解法2利用()()2222,a b a b +≥+解法3利用柯西不等式()()()22222,a b c d ac bd ++≥+解法4巧妙地利用配方法，都顺利地解决了这一关键问题.解法5则是把1b a =--代入所求式，使之变为关于a 的二次函数，再求其最小值，是函数思想的具体运用.解法6设()()2223a b t -+-=后，运用三角代换，最终转化成解关于t 的不等式，是等价转化思想在解题中的一次妙用.解法7通过构造向量，利用x y x ⋅≤⋅,y 即222x yx y ⋅≥⋅ 使问题获解，充分发挥了新教材中向量这一工具在求代数最值中的作用.应当指出，许多最值问题都可以通过构造向量，利用向量的上述性质得到解决.而解法1则是将()()2223a b -+-看作定点()2,3A 与直线10x y ++=上的动点的距离的平方，故能直观地知道点()2,3到直线10x y ++=的距离的平方就是所求的最小值，简洁明了，充分显示了等价转化与数形结合思想的威力.拓展将此赛题一般化，便得下面的定理若x,y 满足0Ax By C ++=（A 、B 、C 是实常数，A 、B 不全为零），m ，n 是实常数，则()()22x m y n -+-的最小值是()222Am Bn C A B+++.证明 ()()222x m y n -+-=，表示定点(),m n 与直线Ax By ++ 0C =上的动点之间的距离d的平方.()()22d x m y n =∴-+- 的最小值是()222Am Bn C A B+++.运用该定理解本赛题：1,2,3,A B C m n =====∴ 所求最小值是222(12131)1811⨯+⨯+=+.下面的题目供读者练习：1.已知x ，y 满足x 2y 40+-=，求()()22x 3y 2-++的最小值.2.已知p,q R ∈，且2p 3q 60++=，求()()22p 1q 3++-的最小值.3.已知m,n R ∈，且3m 2n 120--=.答案 1.52.133.题33 实数x ，y 满足方程94622--=+y x y x ，则y x 32-的最大值与最小值的和等于_______.（第十届高二第二试第17题）解法1 题设方程就是()22(3)24x y -++=，设⎩⎨⎧=+=-θθsin 22cos 23y x ，即⎩⎨⎧+-=+=θθsin 22cos 23y x ,则232(32cos )3(22sin )x y θθ-=+--+4cos 6sin 12θθ=-+)12θψ=++(3tan 2ψ=)，13212)32(max +=-∴y x ，13212)32(min -=-y x .24)32()32(min max =-+-∴y x y x .解法2 题设方程就是()22(3)24x y -++=，根据柯西不等式，22222[2(3)(3)(2)][2(3)][(3)(2)]13452x y x y -+-+≤+--++=⨯=，即 52)1232(2≤--y x ,52123252≤--≤-∴y x ,5212325212+≤-≤-y x ,24)5212()5212()32()32(min max =-++=-+-∴y x y x .解法3 题设方程就是()22(3)24x y -++=，结合23u x y =-，又配方2222)523()1232(])2()3[(13-++--=++-y x y x y x ，于是2)1232(413--≥⨯y x ，即5212325212+≤-≤-y x .min max )32()32(y x y x -+-∴24)5212()5212(=-++=.解法4 设23u x y =-，则233u y x =-，代入94622--=+y x y x ，整理得2213(430)12810x u x u u -++-+=，R x ∈ ， 22(430)413(u u ∴∆=+-⨯⨯-1281)0u +≥，即224920u u -+≤，解之得1212u -≤≤+24)5212()5212()32()32(min max =-++=-+-∴y x y x .解法5 已知等式()22(3)24x y -++=表示一个圆，令t y x =-32，即y x 32-0=-t ，表示一直线，若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离应小于等于圆的半径，即2)2(3|)2(332|22≤-+--⨯-⨯t ，即132|12|≤-t ，解得52125212+≤≤-t ，24)5212()5212()32()32(min max =-++=-+-∴y x y x .解法6 已知方程就是()22(3)24x y -++=，构造向量)3,2(-=→a ，)2,3(+-=→y x b .|||||||cos |||||a b a b a b θ→→→→→→⋅=⋅≤⋅ ，222||||||→→→→⋅≤⋅∴b a b a ，即[]2222(3)3(2)13452x y --+≤⋅=⨯=.即 2(2312)52x y --≤,于是,5212-521232+≤-≤y x ，24)5212()5212()32()32(min max =-++=-+-∴y x y x .评析因为已知方程就是()22(3)24x y -++=，而要求的是一次式y x 32-的最大值与最小值的和，所以解法1运用三角换元，将问题转化为求三角函数的值域，这是解决这类问题的通法，已知方程表示椭圆时，此法仍然适用.解法2运用柯西不等式求解，之所以凑成2)]2()3()3(2[+⨯-+-⨯y x ，是因为这样才会出现y x 32-，并可利用()22(3)24x y -++=.解法3运用的是配方法，请读者思考为什么如此配方：2222)523()1232(])2()3[(13-++--=++-y x y x y x ?解法4运用的是待定参数法及方程思想，也是解决这类问题的通法.解法5运用数形结合思想，将抽象的代数问题转化成直观的几何问题，轻松解决问题.解法6通过已知方程()22(3)24x y -++=联想到向量模的平方，从而通过构造向量，运用222||||||a b a b →→→→⋅≤⋅解决问题，思路清晰，体现了向量在解题中的工具作用.拓展将此赛题一般化，便得命题1 实数y x ,满足()),0()(222>=-+-r r n y m x ，实数q p ,不全为零，则m a x )(qy px +m i n ()2()p x q y p m q n++=+. 证明设px qy u +=，即0px qy u +-=①，又已知()222)(r n y m x =-+-②，由题意，直线①与圆②有公共点，故圆心),(nm到直线①的距离小于等于圆的半径r，即r≤，即|()|u pm qn-+≤，()u pm qn∴-≤-+≤即qnpmqpr+++-22u≤≤qnpmqpr+++22，∴max)(qypx+qnpmqprqypx+++-=++22min)()(222qnpmqnpmqpr+=++++.将命题1中的圆改为椭圆，又得命题2实数yx,满足),0,(1)()(2222bababnyamx≠>=-+-，qp,不全为零，则max)(qypx+min()2()px qy pm qn++=+.证明设θcosamx=-，θsinbny=-即θcosamx+=,θsinbny+=,qypx+∴(cos)(sin)cos sinp m a q n b pa qb pm qnθθθθ=+++=+++)θϕ=-[,pm qn pm qn++∈+]2222qnpmbqap+++，（其中paqb=ϕtan）.∴max)(qypx+min()2()px qy pm qn++=+.题34线段AB的端点坐标是A（-1，2），B（2，-2），直线y=kx+3与线段AB相交的充要条件是（）A、125≤≤-k B、251≤≤k C、125≤≤-k且k≠0 D、125≥-≤kk或（第八届高二培训题第2题）解法1线段AB的方程为212222---=++xy，即4x+3y-2=0(-1≤x≤2),由⎩⎨⎧=-++=2343yxkxy，得kx347+-=，令-1≤k347+-≤2，解得125≥-≤kk或，选D.解法2 如图1所示，y=kx+3是过定点M（0，3）的直线系方程，易求得直线MA、MB的斜率分别是25,1-==MBMAkk,当直线MA绕点M逆时针旋转与线段AB相交时，其斜率由1增加到+∞；当直线MB绕点M顺时针旋转与线段AB相交时，图1其斜率由25-减小到-∞，所以125≥-≤k k 或，故选D.解法3 如图2，设直线MA 与MB 分别与x 轴交于点A ’，B ’，易求得直线MA 、MB 的方程分别为y=x+3,y=25-x+3,从而可求得A ’（-3，0），B ’（-56，0），在△MA ’B ’ 中，过M 任作一条直线y=kx+3交边A ’B ’于点N ，则直线也必与线段AB 相交，反之亦然.OM ⊥A ’B ’，|OM|=3，k=tan ∠MNO （N 在OA ’上）或k=tan （π-∠MNO ）（N 在OB ’上）两种情形，但都有ONOMk -=，所以kON 3-=，由5633≤-≤-k，解得125≥-≤k k 或，故选D.解法4 设直线3y kx =+与线段AB 交于点00(,3)N x kx +,点N 内分AB所成的比为λ,则001212231x kx λλλλ-+⎧=⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩,消去0x ,得1025k k λ-=>+，得52k <-或1k >.又当直线3y kx =+过点A 、B 时，k 的值分别为51,2-，所以所求充要条件为125≥-≤k k 或.故选D.解法5 当k=0时，直线y=kx+3即y=3与线段AB 显然不相交，所以排除含0的A 、B ，又当k=-1时，直线y=kx+3即y=-x+3与线段AB 也不相交，所以又排除含-1的C,故选D.评析解法1运用的是方程思想，若运用这个思想，先求出直线MA 、MB 与x 轴的交点A ’，B ’的横坐标A x ’，B x ’,并求出直线y=kx+3与x 轴的交点N 的横坐标N x ，再解A x ’≤ N x ≤B x ’，同样可以解决问题.解法2直接通过观察图象，看直线y=kx+3与线段AB 相交时的k 与MB MA k k 、之间的关系而选D ，显得直观明了.解法3运用平面几何知识求N x ，别具一格.解法4运用定比分点知识求解,也是解此类问题的通法之一.解法5运用了特殊值法，显得最为简捷.值得注意的是，如果取k=1，发现直线y=kx+3与线段AB 相交，此时就选A 那就错了，请读者想想这是什么原因.拓展已知直线:(,)10l f x y x y =--=,显然点A （0，1）、B （1，3）与点C （1，-1）、D （3，1）都在l 的同侧，点A 、C 与点B 、D 都在l 的异侧，∵f (0,1)=-2<0，f (1,3)=-3<0，f (1,-1)=1>0，f (3,1)=1>0∴f (0,1)与f (1,3)同号，f (1,-1)与f (3,1)同号，f (0,1)与f (1,-1)异号，f (1,3)与f (3,1)异号，是否对于任意直线l 的同侧或异侧的任意两点都有此结论呢？经研究，我们有下面的定理1 已知两点M （x 1,y 1）、N(x 2,y 2)及直线:(,)0l f x y Ax By C =++= (1) 若点M 、N 在l 的同侧，则f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0;(2) 若点M 、N 在l 的异侧，则f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0.图2证明（1）10当B ≠0时，不妨设点M 、N 都在l 的上方，则,,2211BC x BA y BC x BA y -->-->所以当B>0时，有0,02211>++>++C By Ax C By Ax ，即f （x 1,y 1）>0，f (x 2,y 2)>0；当B<0时，有0,02211<++<++C By Ax C By Ax ，即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)<0,所以当B ≠0时， f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0；20当A ≠0，B=0时，l 的方程为(,)0f x y Ax c =+=，此时l ⊥x 轴，不妨设设点M 、N 都在l 的右侧，则AC x A C x ->->21,，所以当A>0时，0,021>+>+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）>0，f (x 2,y 2)>0；当A<0时，0,021<+<+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)<0，所以当A ≠0，B=0时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0.综上可知，当点M 、N 在l 的同侧时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0. （2）10当B ≠0时，不妨设点M 、N 分别在l 的上、下方，则1122,A C A C y x y x B B B B>--<--，故当B>0时，有11220,0Ax By C Ax By C ++>++<, 即f （x 1,y 1）>0，f (x 2,y 2)<0; 当B<0时，有0,02211>++<++C By Ax C By Ax , 即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)>0；所以当B ≠0时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0；20当A ≠0，B=0时，l 的方程为f(x,y)=Ax+c=0，此时l ⊥x 轴，不妨设设点M 、N 分别在l 的左、右侧，则AC x A C x ->-<21,.所以当A>0时，0,021>+<+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)>0；当A<0时，0,021<+>+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）>0，f (x 2,y 2)<0，所以当A ≠0，B=0时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0.综上可知，当点M 、N 在l 的异侧时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0. 根据定理1，不难得到定理2 直线Ax+By+C=0与以点P 1（x 1,y 1）、P 2 (x 2,y 2)为端点的线段相交的充要条件是0))((2211≤++++C By Ax C By Ax .运用定理2，可得本赛题的如下解法：直线y=kx+3即kx-y+3=0，由定理2，可知（-k-2+3）（2k+2+3）≤0，即125≥-≤k k 或为所求的充要条件，故选D.题35 过点()1,1P 且与两条坐标轴围成面积为2的三角形的直线的条数是 .(第十届高二第一试第18题)解法 1 记过点()1,1P 的动直线为l ,()O Q ,1,0为坐标原点(如图),则当直线l 从OP 的位置绕点P 顺时针转动到直线PQ 的位置时,它和坐标轴在第二象限内围成的三角形的面积从零增加到∞+,故围成的三角形在第二象限时,满足条件的直线l 有且只有一条,同理,围成的三角形在第四象限时,满足条件的直线l 也有且只有一条,并且,满足条件的三角形在第三象限不存在.当围成的三角形在第一象限时,显然l 存在斜率k ,设l 的方程为l k x k y ),0(),1(1<-=-与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A 、B ，则1(1,0),(0,1).A B k k--111(1)(1)22S O A O B k k∴=⋅=--()()∴≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=,21211k k 当1-=k 时,S 的最小值为2,故当围成的三角形在第一象限时,满足题设的直线也只有一条.综上,所求的直线为3条.下面的解法中,对“围成的三角形在第二、四象限时,满足题设的直线l 都只有一条,且满足题设的三角形在第三象限不存在”不再一一叙述,仅对围成的三角形在第一象限时加以解答.解法 2 设直线l 与x 轴,y 轴的正半轴分别交于点),0,0(),,0(),0,(>>b a b B a A 则直线l 的方程为.1=+by ax 直线l 过点.111),1,1(=+∴ba P 故设θθ22s i n 1,c o s 1==ba(其中20πθ<<),则θθ22sin 1,cos 1==b a ,故θθθθ2222cos sin 42cos sin 2121===ab S2122sin22=≥=θ(当4πθ=时取等号),即2min =S .故所求的直线共有3条. 解法3 同解法2,得4,2111,111≥∴≥+=∴=+ab abbaba,(当且仅当2111==ba,即2==b a 时取等号), 114222S ab ∴=≥⨯=,即2min =S .故所求的直线共有3条.解法4 设直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点),0(),0,(b B a A ,点)1,1(P 分AB所成的比为λ,则110,11a b λλλλ⎧=⎪⎪+>⎨⎪=⎪+⎩,即)0(111>⎪⎩⎪⎨⎧+=+=a b a λλ.故211)1(211)11)(1(212121=+≥++=++==⋅=λλλλab OB OA S 1.=λ时，.2min =S 故所求直线共有3条.评析上述解法都是用运动变化的观点与数形结合的思想方法分析答案的可能性.围成的三角形在第二、四象限时,l 只有一条,围成的三角形在第三象限不可能,这些是容易看到的,关键是围成的三角形在第一象限时，满足题设的直线l 有几条.直观地看,可能性有三个:0条,1条,2条.那么到底有多少条?四种解法分别用不同的方法求出了三角形面积的最小值为2,故此时的l 只有一条,从而解决了问题.此题也可直接求解:不论围成的三角形在第几象限, l 的斜率总是存在的.设l 的方程为)1(1-=-x k y .则l 与x 轴,y 轴的交点分别为)1,0(),0,11(k B kA --.故kk kk k kS 4)1(,2)1(211112122=-=-=-⋅-=①.当0>k 时,①就是016,4)1(22=+-=-k kk k ,有两个不等的正数解；当0<k 时,①就是,4)1(2k k -=-1,0)1(2-==+k k .故所求直线为3条.拓展将此题内容拓广,可得定理1 动直线l 过定点)0)(,(≠mn n m P ,则直线和坐标轴在点P 所在象限内围成三角形的面积的最小值是.2mn证明设直线l 与x 轴,y 轴分别交于点OAB b B a A ∆ ),,0(),0,(在点),(n m P 所在象限,,0>>∴bn am ,直线l 的方程为.1=+by ax 直线l 过点abmn bn am bn am n m P 21,1),,(≥+=∴=+∴,即mn ab 4≥,当且仅当n b m a 2,2==时取等号..221mn ab S OAB ≥=∴∆定理2 直线l 过定点)0)(,(≠mn n m P 且和坐标轴围成的三角形的面积为S ,则 ⑴当mn S 20<<时,满足条件的直线l 有且仅有两条. ⑵当mn S 2=时,满足条件的直线l 有且仅有三条. ⑶当mn S 2>时,满足条件的直线l 有且仅有四条.根据定理1的结论及图象不难知道定理2的正确性.证明从略.题36 某工厂安排甲、乙两种产品的生产.已知每生产1吨甲产品需要原材料A 、B 、C 、D 的数量分别为1吨、2吨、2吨、7吨；每生产1吨乙产品需要原材料A 、B 、D 的数量分别为1吨、4吨、1吨.由于原材料的限制，每个生产周期只能供应A 、B 、C 、D 四种原材料分别为80吨、80吨、60吨、70吨.若甲、乙产品每吨的利润分别为2百万元和3百万元.要想获得最大利润，应该在每个生产周期安排生产甲产品吨，期望的最大利润是百万元.（第十三届高二第一试第25题）解设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x 、y .则根据题意可知求函数23z x y =+的最大值，限制条件为80,2480,260,770,0,0.x y x y x x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪+≤⎪≥≥⎪⎩ 如图，上述不等式组约束区域即图中的阴影部分.区域的顶点坐标为M （0，20），N （10，0），R ⎪⎭⎫⎝⎛13210,13100，O （0，0）,直线k y x =+32的斜率321-=k .直线8042=+y x 的斜率212-=k . 由图可知，y x 32+在点R 处取得最大值，最大值为13830132103131002=⨯+⨯（百万元）.故填13830;13100.评析可用若干不等式表示的限制条件下某二元一次函数的最大（小）值的应用题，通常可用线性规划知识求解，其步骤如下：1、设变量（如y x ,），建立目标函数()y x f z ,=（如y x z 32+=）.2、根据约束条件列出不等式组.3、画出不等式组表示的平面区域.4、作出直线()0,=y x f ，并将其向上或向下平移确定最优解.5、将最优解代入()y x f z ,=便得所求最值. 题37 点M ()00,y x 是圆()0222>=+rry x 内圆心以外的一点，则直线200r y y x x =+与该圆的位置关系是（）（A ）相切（B ）相交（C ）相离（D ）相切或相交（第七届高二第一试第5题）解法1 圆222r y x =+的圆心是O ()0,0，它到直线200r y y x x =+的距离220222020000y x ry x ry x d +=+-⋅+⋅=，点M ()00,y x 在圆222r y x =+的内部且不在圆心，∴r d r y x >∴<+<,0220.可知直线200r y y x x =+与圆222r y x =+相离.故选C.解法2 令1,200===y x r ，满足题设.此时，直线4=+y x 与圆422=+y x 相离.由正确选择支的唯一性，选C.评析解析几何中，判断直线与圆的位置关系就看圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系：⇔>r d 直线与圆相离； ⇔=r d 直线与圆相切；⇔<r d 直线与圆相交.对于二次曲线()0,:=y x f C 与点M ()00,y x 的位置关系，有下面的结论：点M 在曲线C 上()0,00=⇔y x f ；点M 在曲线C 内()0,00<⇔y x f ；点M 在曲线C 外()0,00>⇔y x f .所谓二次曲线内是指曲线把平面分成的两（或三）部分中含有焦点（或圆心）的部分. 以上这些就是解法1的依据.由于是选择题，解法2运用特殊化思想求解，显得更简捷.应当指出，特殊值法（包括适当选取特殊点、特殊角、特殊函数、特殊曲线、特殊位置等）通常应是解选择题时首先考虑的方法，一旦用上，简单快捷，可以大量节省时间.此题来源于课本上的一道习题：“已知圆的方程是222r y x =+，求经过圆上一点M ()00,y x 的切线方程.”答案是200r y y x x =+.拓展给定圆C ：222r y x =+与定点M ()00,y x ，（02020≠+y x ），则直线200:r y y x x l =+就是存在且确定的，它与定圆到底是什么样的位置关系呢？经研究，有下面的结论.结论1 若点,C M ∈则l 与C 切于点M.（这是显然的，证明略）结论2 若点M 在圆外，过点M 引圆C 的两条切线1MT 与2MT ，则200r y y x x =+为过两切点的直线方程，因而l 与C 相交.证明设()111,y x T 和()222,y x T 是两个切点，由结论1，直线1MT 与2MT 的方程分别是211r y y x x =+与222r y y x x =+.因为它们相交于点M ()00,y x ，于是20101r y y x x =+与20202r y y x x =+同时成立.于是得200r y y x x =+表示直线21T T 的方程.l 与C 显然相交.结论3 若点M 在圆C 内且不是圆心，以M 为中点的圆的弦为AB ，过A 、B 的两条切线相交于点N ，则200r y y x x =+表示过点N 且平行于AB 的直线方程，因而l 与C 相离.证明令N ()n m ,，由结论2，直线AB 的方程一定是2r ny mx =+.因为M 是AB 的中点，所以200r ny mx =+，这说明点N 在直线200:r y y x x l =+上.下面证明AB ∥l .①当000≠y x 时，由于O 、M 、N 三点共线，可知0≠mn ，过M 、N 引同一坐标轴的垂线，由点的坐标定义及直角三角形的相似关系，易知2201rr y n x m --=≠=，故AB ∥l .②当000=y x 时，由于02020≠+y x ，则有0,00==m x 或0,00==n y .无论哪种情况，两直线都同时垂直于同一坐标轴，并且在该坐标轴上截距不等.故AB ∥l .此时l 与C 显然相离.题38 过圆016222=+-++y x y x 与圆0176622=+--+y x y x 的交点的直线方程是 .（第二届高二第二试第15题）解解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--+=+-++0176601622222y x y x y x y x ，得⎩⎨⎧==32y x ，故两圆相切于点（2，3），所以所求直线方程是()()032=-+-y x μλ，其中μλ,为参数.评析先通过解方程组求出两圆的交点坐标，如果交点有两个：()()2211,,,y x y x ，则所求直线方程为()()()()112112x x y y y y x x --=--.但此题中的两圆只有一个交点()3,2，过点()3,2的所有直线该如何表达呢？有人表述为()23-=-x k y （k 为参数），这就错了，因为方程()23-=-x k y 表示的所有直线中并不包括直线2=x （即过点()3,2且垂直于x 轴，亦即过点()3,2且斜率不存在的那一条）.而()()032=-+-y x μλ（μλ,为参数）才能表示过点()3,2的所有直线.当0≠λ且0=μ时，该直线方程就是2=x .一般地，过点()00,y x 的所有直线组成的直线系方程为()()000=-+-y y x x μλ（其中μλ,为参数）.拓展我们先看下面的问题：求过两圆074422=+--+y x y x 与03661222=+--+y x y x 的交点的直线方程. 分析：按上面评析中的思路，先解方程组得两交点坐标，再求出过这两点的直线方程为02928=-+y x .如果将两圆方程相减，也得02928=-+y x ，恰好就是过两圆交点的直线方程.这是否是一种巧合呢？非也.设两圆交于A 、B 两点，则A 、B 的坐标既是方程组⎩⎨⎧=-+=+--+02928074422y x y x y x 的解，也是方程组⎩⎨⎧=-+=+--+0292803661222y x y x y x 的解，即A 、B 的坐标都适合方程02928=-+y x ，故02928=-+y x 就是直线AB 的方程.那么，当两圆外切时，两圆方程相减所得方程又表示什么样的直线呢？就拿此赛题为例，016222=+-++y x y x 与0176622=+--+y x y x 两边相减，得2=x .由图形，可知直线2=x 恰好是过两圆切点的公切线.这也不是偶然的，道理与两圆相交时一样.当两圆内切时，此结论也成立.于是，我们有下面的定理已知两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C ,则⑴当两圆相切时，过切点的公切线方程是()()0212121=-+-+-F F y E E x D D ； ⑵当两圆相交时，公共弦所在的直线方程是()()0212121=-+-+-F F y E E x D D . 题39 若实数x 、y 适合方程014222=+--+y x y x ，那么代数式2+x y 的取值范围是——.（第九届高二第一试第17题）解法1 已知方程就是()()42122=-+-y x ，()202---=+x y x y ，所以题意就是求圆()()42122=-+-y x 上的点()y x ,与定点A ()0,2-的连线的斜率的取值范围.如图,，只须求切线AN 的斜率k .易知202.1(2)3AM k -==--t a n AN k N Ax ∴=∠()2222123tan 2.41519AM AMk M Ax k⋅=∠===--120,.25yx ⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦注：切线AN 的斜率k 的另一种求法：设AN 的方程是(),20+=-x k y 即02=+-k y kx ，则圆心M 到切线AN 的距离等于圆M 的半径,即212212=++-⋅k kk ，解得0=k （舍去），512=k .解法 2 已知方程就是()()42122=-+-y x ，故设,sin 22,cos 21θθ=-=-y x 即,sin 22,cos 21θθ+=+=y x 则.cos 23sin 222θθ++=+x y 令k =++θθcos 23sin 22，得,23c o s 2s i n 2-=-k k θθ即()()32,sin k θϕθϕ+=-+=()sin 1,1,θϕ+≤∴≤ 解得,5120≤≤k 即.512,02⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+x y解法3 设k x y =+2，则,2k kx y +=代入014222=+--+y x y x 并整理，得()().018424412222=+-+--++k kx k kxk 由()22442k k ∆=--()()22414810,kk k -+-+≥得1205k ≤≤.由,014222=+--+y x y x 即()()42122=-+-y x 可知,212≤-≤-x 即.31≤≤-x 经验证，当5120≤≤k 时，(1)0,(3)f f -≥≥且对称轴()[]224421,3.21k k x k--=-∈-+故.512,02⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+x y评析解法1将2+x y 看作()20---x y ，进而看作圆()()42122=-+-y x 上的动点()y x ,与定点()0,2-的连线的斜率，将问题转化为求此斜率的范围；解法2 通过换元，将问题转化为求三角函数的值域；解法3 通过整体换元并消去y 后，利用二次方程在某区间内有解的条件求出所求范围.都体现了化归转换的思想.由于椭圆()012222>>=+b a by ax 有性质22b a y x +≤+（请读者自证），故本赛题又有如下解法：设t x y =+2，则02=+-t y tx .已知方程就是()()12122=-+-y x ，则()()1424222=-+-y tt tx ，由上面的性质，得4422+≤+--t y t tx ，即44322+≤-t t ，解得120,5t ≤≤∴.512,02⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+x y拓展让我们进一步思考下面的问题： 1、若将题中的条件方程改为()(),1429122=-+-y x 则答案是什么？2、若将题中的条件方程改为()(),42122=---y x 则答案是什么？与本赛题同样的思考方法，不难得到上面两题的答案分别是[).,,0R +∞ 若将原题中的2+x y 改为yx 2+或632+x y ，结果又怎样？事实上，用同样的方法还可以求()0≠++ac bax d cx 的取值范围.题40 圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ,都使不等式0≥++c y x 成立，则C 的取值范围是（）A 、(]0,∞- B、)+∞ C、1,)+∞ D、[1)-+∞(第七届高二第一试第10题) 解法1 ()∴=-+,1122y x 可设.sin 1,cos θθ=-=y x 于是0≥++c y x 化为01sin cos ≥+++c θθ，即,14sin 2--≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+c πθsin 4πθ⎛⎫∴+≥ ⎪⎝⎭1sin 14πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.∴由题意得121-≤--c ，解得12-≥c ，故选C.2221 ()⎩⎨⎧=-+≥++11022y x c y x 的图象.在图3中，直线0:=++c y x l 过Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限，切圆M 于N ，这时圆M 上所有的点（N 点除外）都在l 的上方，因而圆M 上N 点以外的点的坐标()y x ,都使0>++c y x 成立，而N 点坐标使0=++c y x 成立，结合题意，易求得此时的12,21-=-=-c c ，故当21-≤-c ，即12-≥c 时，圆M 都在l 的上方（含相切），因而圆M 上的点的坐标()y x ,可使不等式0≥++c y x 成立，故选C.解法3 21,23=-=y x 满足()1122=-+y x ，此时，若0=c ，则0≥++c y x 不成立，故排除含0的A 、D ；若1=c ，则0≥++c y x 成立，又排除不含1的B ，故选C.评析从代数角度看，0≥++c y x ，即()y x c +-≥恒成立，有()[]max y x c +-≥，因此问题的关键就是如何求()[]max y x +-.由于()y x ,满足()1122=-+y x ，故解法1运用三角代换将问题转化成求三角函数的最大值问题，通过三角函数的有界性使问题获解.从几何角度看，原问题的实质就是c 在什么范围内时，才能保证圆()1122=-+y x 在直线0=++c y x 的上方（相离或相切）.解法2便是运用数形结合思想，直观地解决问题的.由于是选择题，解法3运用特殊值排除干扰支，从而选出正确答案，这种抓住题目本质特征，避开常规思路的创新解法更值得提倡.拓展按照上面所说的思想方法，请读者思考并解决下列问题：⒈ 圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ,都使不等式0178222≥+++-+c y x y x 成立，求c 的取值范围.（答案：27c ≥）⒉ 圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ,都使不等式2222120x y x y c +-++->成立，求c 的取值范围.（答案：52c <-）。

希望杯高中试题

希望杯高中试题高中数学希望杯试题一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数$ f(x) = ax^2 + bx + c $的图象关于直线$ x = 1 $对称，则下列哪个选项是正确的？A. $ a + b + c = 0 $B. $ a = -\frac{1}{4}b $C. $ b = 0 $D. $ c = 0 $2. 已知$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 $，若$ x $和$ y $都为正整数，求$ x + y $的最小值。

3. 某工厂生产的产品，若每件产品售价为$ p $元，则每天可售出$ 100 - 10p $件。

求使利润最大化的$ p $值。

4. 若$ \sin A + \sin B = \frac{1}{2} $，$ \cos A + \cos B= \frac{1}{2} $，求$ \sin (A + B) $的值。

5. 已知圆$ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25 $与直线$ 2x + 3y -12 = 0 $相切，求圆心到直线的距离。

6. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

7. 若$ \log_2 3 = a $，求$ \log_{\frac{1}{2}} 3 $的值。

8. 已知$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 $，且$ a > b > 0 $，求$ a - b $的取值范围。

9. 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，第1秒内的平均速度是2米/秒，求第2秒内的平均速度。

10. 已知$ \sin x = \frac{3}{5} $，$ \cos x = -\frac{4}{5} $，求$ \tan x $的值。

二、填空题（每题3分，共15分）11. 若$ x^2 - 5x + 6 $可以分解为$ (x - a)(x - b) $，求$ a + b $的值。

希望杯高一数学竞赛试题

希望杯高一数学竞赛试题希望杯数学竞赛是一项旨在激发学生学习数学兴趣和提高数学素养的竞赛活动。

以下是一份模拟的高一数学竞赛试题，供参赛学生练习使用。

一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数$ f(x) = 2x^2 - 3x + 1 $，求$ f(-1) $的值为：A. 6B. 4C. 2D. 02. 已知$ a $，$ b $，$ c $是三角形ABC的三边长，且满足$ a^2 + b^2 = c^2 $，则三角形ABC是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定3. 集合$ A = \{ x | x^2 - 5x + 6 = 0 \} $，求集合$ A $的元素个数：A. 1B. 2C. 3D. 44. 若$ \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} $，求$ \sin\theta \cdot \cos \theta $的值为：A. 1B. $ \frac{\sqrt{2}}{2} $C. $ \frac{1}{2} $D. $ \frac{\sqrt{2}}{4} $二、填空题（每题4分，共16分）5. 已知等差数列的首项$ a_1 = 3 $，公差$ d = 2 $，求第10项$ a_{10} $的值为：________。

6. 若$ x $，$ y $满足$ 2x - 3y = 7 $，求$ 4x + 6y - 14 $的值为：________。

7. 已知圆的半径为5，圆心到直线$ x + y - 7 = 0 $的距离为4，则该直线与圆的位置关系是：________。

8. 若$ \log_2 3 = a $，求$ \log_{\frac{1}{2}} 3 $的值为：________。

三、解答题（每题14分，共56分）9. 已知函数$ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 $，求证：对于任意实数$ x $，都有$ f(x) \geq -1 $。

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高中数学希望杯典型例题100道（31-40）题31 已知+∈R z y x 、、，求函数()222,,xy yzu x y z x y z +=++的最大值.（第九届高二培训题第61题）题32 已知a,b R ∈，且a b 10++=，则()()2223a b -+-的最小值是 .（第十届高二培训题第44题）题33 实数x ，y 满足方程94622--=+y x y x ，则y x 32-的最大值与最小值的和等于_______.（第十届高二第二试第17题）题34 线段AB 的端点坐标是A （-1，2），B （2，-2），直线y=kx+3与线段AB 相交的充要条件是（）A 、125≤≤-k B 、251≤≤k C 、125≤≤-k 且k≠0 D 、125≥-≤k k 或（第八届高二培训题第2题）题35 过点()1,1P 且与两条坐标轴围成面积为2的三角形的直线的条数是 . (第十届高二第一试第18题) 题36 某工厂安排甲、乙两种产品的生产.已知每生产1吨甲产品需要原材料A 、B 、C 、D 的数量分别为1吨、2吨、2吨、7吨；每生产1吨乙产品需要原材料A 、B 、D 的数量分别为1吨、4吨、1吨.由于原材料的限制，每个生产周期只能供应A 、B 、C 、D 四种原材料分别为80吨、80吨、60吨、70吨.若甲、乙产品每吨的利润分别为2百万元和3百万元.要想获得最大利润，应该在每个生产周期安排生产甲产品吨，期望的最大利润是百万元.（第十三届高二第一试第25题）题37 点M ()00,y x 是圆()0222>=+r r y x 内圆心以外的一点，则直线200r y y x x =+与该圆的位置关系是（）（A ）相切（B ）相交（C ）相离（D ）相切或相交（第七届高二第一试第5题）题38 过圆016222=+-++y x y x 与圆0176622=+--+y x y x 的交点的直线方程是 .（第二届高二第二试第15题）题39 若实数x 、y 适合方程014222=+--+y x y x ，那么代数式2+x y的取值范围是——.（第九届高二第一试第17题）题40 圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ,都使不等式0≥++c y x 成立，则C 的取值范围是（）A 、(]0,∞- B、)+∞ C、1,)+∞ D、[1)+∞ (第七届高二第一试第10题)31.解法1 取待定正数βα、，由均值不等式得()()11xy yz x y y z αβαβ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222222222222111111,22x y y z x y z αβαβαβαβ⎛⎫⎡⎤⎛⎫≤+++=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令,112222ββαα=+=则.21,2,2,244422==∴==βαααα于是()()2222222222z y x z y xyz xy ++=++≤+α ()222,,xy yz u x y z x y z +∴=++)2222222x y z x y z ++≤=++当1,2,1===z y x 时取等号..22max=∴u 解法2 (),1,,,22222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+++=∈+y z y x y z y x zy x yzxy z y x u R y 可化为,01122=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛u y z y x y z y x 配方，得.1212121222-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-u u y z u y x 由上式可得,01212≥-u 即,,,.2222+∈≤≤-R z y x u由已知，显然有0,0u u >∴<≤max 2u ∴=22==y z y x 时，u 取得最大值）. 解法3 由已知，得(),,,.222+∈+++=R z y x z y x yz x u 且,22222z x z x +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+B 1B2u xz y ∴≤≤=++当且仅当z x =且,222y z x =+即 y z x 22==时取等号..22max =∴u 解法4 ,,,x y z R +∈ 22222221122x y z x y y z ∴++=+++≥+),xy yz =+当且仅当y z x 22==时取等号.()222,,xy yzu x y z x y z+∴=++2≤=∴当且仅当y z x 22==时，u 取得最大值.22解法5 222222211122x y y z x y z u xy yz xy yz ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==++≥)xy yz xy yz+==+,22≤∴u 当且仅当,21222z y x ==即y z x 22==时取等号，.22max =∴u 解法6 (),2,222222y x yx xy y x +≥+≥+ ()222222xy yz xy yzu x y z x z y ++∴=≤++++()())2222xy yz x z y x z ++=≤=++当且仅当∴y z x 22==时，.22max =u 解法7 构造如图长方体1AC ，设对角线11,AC d AC =与交于点三个面所成的锐角分别为γβα,,，长方体的三条棱分别为.,,z y x 则有.sin ,sin ,sin .2222dzd y d x z y x d ===++=γβα ()1sin sin sin222=++γβα于是2222sin sin sin sinxy yz xy yz x y y z ux y z d d d d d αββγ++===⋅+⋅=+ ++222222211sin sin sin sin2αβγβ++≤==,sin2sinsinγβα==∴当且仅当即yzx22==时，.22max=u解法8由,222zyxyzxyu+++=得()()2220uy x z y u x z-+++=（1）,0,,,>∈+uRzyx∴关于y的一元二次方程（1）的判别式()()042222≥+-+=∆zxuzx，解得()().2144222222222222=++++≤+++≤zxzxzxzxxzzxu当且仅当zx=时取得等号.2max1,2u∴=maxu∴=把zx=代入（1）可得xy2=,.2222max===∴uyzx时，当且仅当评析222,x y y zux y z+=∴++若()222xy yz k x y z+≤++，则u k≤，这就是说，只要xy yz+与222x y z++的倍数之间建立了不大于的关系，则u的最大值就求出了.因而解决问题的关键就在于找出这样的关系.解法1通过引入正参数α、β，并运用,222baab+≤解法3运用公式22222baba+≤⎪⎭⎫⎝⎛+，解法4、解法5运用abba2≥+，解法6运用()2222222yxyxxyyx+≥+≥+及，圆满解决了这一关键问题.解法2通过将u的分子、分母同除以2y，巧妙地通过配平方，得到2110,2u-≥进而得0u<≤，很富新意.解法7通过构造长方体（若三条棱分别为zyx,,的长方体的对角线长为l，则有,2222z y x l ++=而222z y x ++恰好是u 的分母，且长方体中有1sin sin sin 222=++γβα）解决问题.解法8则把222x y y zu x y z +=++变为()()2220u y x z y u x z -+++=，看作关于y 的一元二次方程，利用其有正根的条件得到22≤u ，是方程思想的典型运用. 拓展设,x y R +∈，显然有()22,xyu x y x y =+的最大值为12，即c o s 3π；设,,x y z R +∈，已解出()222,,xy yz u x y z x y z +=++cos .4π 我们不妨猜想：命题若()01,2,,2,k a k n >=≥ 则1223122212n nn na a a a a a f a a a -++⋯+=++⋯+的最大值是.1cos+n π证明取正参数有,,,,21n λλλ⋯()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⋯++----n n n n n n a a a a a a a a a a a a 1113222211113221111λλλλλλ 22222221122112221211111.2n n n n n a a a a λλλλλλ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤+++⋯+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦令222121222121111n n n λλλλλλ---=+=⋯=+=（1），因求最大值，故还必须有,1,,1,111132222111n n n n a a a a a a ---=⋯==λλλλλλ此即,1221a a =λ.,,1212322--=⋯=n n n a a a a λλ将上式代入（1），得nn n n n a a a a a a a a a a 11223112---=+=⋯=+=（2），令21,r λ=则21132211,,,,.n n n n n a ra a a ra a a ra a ra ---=+=⋯+==观察（2）的形式，考虑作代换(),1.,1112---+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==+∈∈+=k k k k a q q ra a a R r C q q q r qqa a k k 11=-∴-()()123,k k a qa k n ---≤≤故数列{}1k k a qa --是公比为1q的等比数列， ()112111221111.k k k k k a a qa a qa q a qa q q q q----⎡⎤⎛⎫∴-=-=+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦于是111k k k k q a q a a ---=（3）.再令则,1k k k a q b -=（3）为()11112a b b b q b k k =+=-注意，上式变形为.11211221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---q b b q q b b k k 这样，又得到一个公比为2q 的等比数列()12211212111,1-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧--k k k q q b b q b b q b b ，即22112211,11k kk q q b b a q q --==-- ()()211121,1k kk k k q a b a q q q ---∴==-故有()()2211221,1n n n q a a q q ----=-()()211211q q a q a n n n --=-.而 11,n n n a ra q a q -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭故有()()()()22211221211111n nn n q a q a q q q q q q -----⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭，整理得()2221n q q -- ()()2211,n q q =-+化简得22 1.cossin 11n m m q q i n n ππ+=∴=+++(),021m Z m n ∈≤≤+. n f 的最大值唯一，∴应能求出m 的一个确定的值，对于这个m 的值，我们有()().1cos 2112121max +=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==n m q q q q r f n π12231122212n n n n na a a a a a a a f a a a -++⋯++<++⋯+ ()()()()()222222221223111223112n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a --⎡⎤=++⋯++÷++++⋯++++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()122311max 12231121,1,2n n n n n n n a a a a a a a a f a a a a a a a a --++⋯++≤=∴<++⋯++从而0.m ≠又（1）和（2）是nf 取最大值的充要条件，由（1）（2）可推得()()211211kkk q a a q q --=-（3）.将cossin 11m m q i n n ππ=+++代入（3），化简得1sin1,sin1k km n a a n ππ+=+ 对任意1,,k n k Z ≤≤∈都有0,k a >∴应取1m =.至此，已推知()max cos.1n f n π=+32.解法1 (),a b 是直线10x y ++=上的动点，点()2,3A 到此直线上各点距离的最小值是点A 到该直线的距离d ==，()()222min2318a b d ⎡⎤∴-+-==⎣⎦.解法2 ()()()()()2222211232232322a b a b a b ⎡⎤-+-=⋅-+-≥-+-⎣⎦()()221116061822a b =++-=-=.当23a b -=-，即1,0a b =-=时取等号.∴所求最小值为18. 解法3()()()()()()()222222211a 2b 3a 2b 311a 21b 3122⎡⎤-+-=-+-+≥-⋅+-⋅⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()22112361822a b =-+-=-=.当2311a b --=，即1,0a b =-=时取等号.∴所求最小值为18. 解法 4()()()()()()()222222a 2b 3a 2b 3a 2b 3a b 5⎡⎤-+-=-+-+---=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()21a b +-+，()()()()()22222111123515(2222a b a b a b a b a b ∴-+-=+-+-+≥+-=+ ()22116)6182+-=⋅-=．当10,a b -+=即1,0a b =-=时取等号()()22,23a b ∴-+-的最小值为18.解法5()()()()2222210,1,23242a b b a a b a a a ++=∴=--∴-+-=-+--=+ ()24202118.a a +=++∴当1a =-时，()()2223a b -+-有最小值18.解法6 设()()22230,a b t -+-=>又设2,3,a b θθ-=-=则a =2,3,b θθ+=+由10,a b ++=得60,θθ+=即)4πθ+60.)6)66,44ππθθ+=+≤≤++≤ 即606,+≤≤解得()()2218.23t a b ≥∴-+-的最小值为18.解法7 构造向量()221,1,(2,3),cos ,x y a b x y x y x y x y θ==--⋅=⋅⋅≤⋅∴⋅2,x y ≥⋅ 即()()()()()()222222112312135a b a b a b ⎡⎤+⋅-+-≥⋅-+⋅-=+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()2221636,2318.a b a b =++-=∴-+-≥∴当且仅当1,0a b =-=时， ()()2223a b -+-取得最小值18.评析因为已知10,a b ++= 所以要求()()2223a b -+-的最小值，关键就是得到()()2223a b -+-与关于a b +的式子之间的大于等于关系.解法2利用()()2222,a b a b +≥+解法3利用柯西不等式()()()22222,a b c d ac bd ++≥+解法4巧妙地利用配方法，都顺利地解决了这一关键问题.解法5则是把1b a =--代入所求式，使之变为关于a 的二次函数，再求其最小值，是函数思想的具体运用.解法6设()()2223a b t -+-=后，运用三角代换，最终转化成解关于t 的不等式，是等价转化思想在解题中的一次妙用.解法7通过构造向量，利用x y x ⋅≤⋅,y即222x y x y ⋅≥⋅ 使问题获解，充分发挥了新教材中向量这一工具在求代数最值中的作用.应当指出，许多最值问题都可以通过构造向量，利用向量的上述性质得到解决.而解法1则是将()()2223a b -+-看作定点()2,3A 与直线10x y ++=上的动点的距离的平方，故能直观地知道点()2,3到直线10x y ++=的距离的平方就是所求的最小值，简洁明了，充分显示了等价转化与数形结合思想的威力.拓展将此赛题一般化，便得下面的定理若x,y 满足0Ax By C ++=（A 、B 、C 是实常数，A 、B 不全为零），m ，n 是实常数，则()()22x m y n -+-的最小值是()222Am Bn C A B +++.证明()()2222x m yn n -+-=，表示定点(),m n 与直线A x B y ++0C =上的动点之间的距离d的平方.()()22d x m y n =∴-+- 的最小值是()222Am Bn C A B +++.运用该定理解本赛题：1,2,3,A B C m n =====∴ 所求最小值是222(12131)1811⨯+⨯+=+. 下面的题目供读者练习：1.已知x ，y 满足x 2y 40+-=，求()()22x 3y 2-++的最小值. 2.已知p,q R ∈，且2p 3q 60++=，求()()22p 1q 3++-的最小值.3.已知m,n R ∈，且3m 2n 120--=的最小值.答案 1.52.13 33.解法1 题设方程就是()22(3)24x y -++=，设⎩⎨⎧=+=-θθs i n 22c o s 23y x ，即⎩⎨⎧+-=+=θθs i n22c o s 23y x ,则232(32cos )3(22sin )x y θθ-=+--+4cos 6sin 12θθ=-+)12θψ=++(3tan 2ψ=)，13212)32(max +=-∴y x ， 13212)32(min -=-y x .24)32()32(min max =-+-∴y x y x .解法2 题设方程就是()22(3)24x y -++=，根据柯西不等式，22222[2(3)(3)(2)][2(3)][(3)(2)]13452x y x y -+-+≤+--++=⨯=，即52)1232(2≤--y x ,52123252≤--≤-∴y x ,5212325212+≤-≤-y x ,24)5212()5212()32()32(min max =-++=-+-∴y x y x .解法3 题设方程就是()22(3)24x y -++=，结合23u x y =-，又配方2222)523()1232(])2()3[(13-++--=++-y x y x y x ，于是2)1232(413--≥⨯y x ，即5212325212+≤-≤-y x .min max )32()32(y x y x -+-∴24)5212()5212(=-++=.解法4 设23u x y =-，则233uy x =-，代入94622--=+y x y x ，整理得 2213(430)12810x u x u u -++-+=，R x ∈ ， 22(430)413(u u ∴∆=+-⨯⨯-1281)0u +≥，即224920u u -+≤，解之得1212u ≤≤24)5212()5212()32()32(min max =-++=-+-∴y x y x .解法5 已知等式()22(3)24x y -++=表示一个圆，令t y x =-32，即y x 32-0=-t ，表示一直线，若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离应小于等于圆的半径，即2)2(3|)2(332|22≤-+--⨯-⨯t ，即132|12|≤-t ，解得52125212+≤≤-t ，24)5212()5212()32()32(min max =-++=-+-∴y x y x .解法6 已知方程就是()22(3)24x y -++=，构造向量)3,2(-=→a ，)2,3(+-=→y x b . |||||||cos |||||a b a b a b θ→→→→→→⋅=⋅≤⋅ ，222||||||→→→→⋅≤⋅∴b a b a ，即[]2222(3)3(2)13452x y --+≤⋅=⨯=.即2(2312)52x y --≤,于是,5212-521232+≤-≤y x ，24)5212()5212()32()32(min max =-++=-+-∴y x y x .评析因为已知方程就是()22(3)24x y -++=，而要求的是一次式y x 32-的最大值与最小值的和，所以解法1运用三角换元，将问题转化为求三角函数的值域，这是解决这类问题的通法，已知方程表示椭圆时，此法仍然适用.解法2运用柯西不等式求解，之所以凑成2)]2()3()3(2[+⨯-+-⨯y x ，是因为这样才会出现y x 32-，并可利用()22(3)24x y -++=.解法3运用的是配方法，请读者思考为什么如此配方： 2222)523()1232(])2()3[(13-++--=++-y x y x y x ?解法4运用的是待定参数法及方程思想，也是解决这类问题的通法.解法5运用数形结合思想，将抽象的代数问题转化成直观的几何问题，轻松解决问题.解法6通过已知方程()22(3)24x y -++=联想到向量模的平方，从而通过构造向量，运用222||||||a b a b →→→→⋅≤⋅解决问题，思路清晰，体现了向量在解题中的工具作用.拓展将此赛题一般化，便得命题1 实数y x ,满足()),0()(222>=-+-r r n y m x ，实数q p ,不全为零，则max )(qy px +min ()2()px qy pm qn ++=+.证明设px qy u +=，即0px qy u +-=①，又已知()222)(r n y m x =-+-②，由题意，直线①与圆②有公共点，故圆心),(n m 到直线①的距离小于等于圆的半径r ，即r ≤，即|()|u pm qn -+≤()u pm qn ∴-≤-+≤即qn pm q p r +++-22u ≤≤qn pm q p r +++22，∴max )(qy px + qn pm q p r qy px +++-=++22min )()(222qn pm qn pm q p r +=++++.将命题1中的圆改为椭圆，又得命题2 实数y x ,满足),0,(1)()(2222b a b a bn y a m x ≠>=-+-，q p ,不全为零，则 max )(qy px +min ()2()px qy pm qn ++=+.证明设θcos a m x =-，θsin b n y =-即θcos a m x +=,θsin b n y +=,qy px +∴(cos )(sin )cos sin p m a q n b pa qb pm qn θθθθ=+++=+++)θϕ=-[,pm qn pm qn ++∈+]2222qn pm b q a p +++，（其中paqb=ϕtan ）. ∴max )(qy px +min ()2()px qy pm qn ++=+.34.解法1 线段AB 的方程为212222---=++x y ，即4x+3y-2=0 (-1≤x≤2),由⎩⎨⎧=-++=02343y x kx y ，得k x 347+-=，令-1≤k 347+-≤2，解得125≥-≤k k 或，选D.解法2 如图1所示，y=kx+3是过定点M （0，3）的直线系方程，易求得直线MA 、MB 的斜率分别是25,1-==MBMA k k ,当直线MA 绕点M 逆时针旋转与线段AB 相交时，其斜率由1增加到+∞；当直线MB 绕点M 顺时针旋转与线段AB 相交时，其斜率由25-减小到-∞，所以125≥-≤k k 或，故选D. 解法3 如图2，设直线MA 与MB 分别与x 轴交于点A’，B’，易求得直线MA 、MB 的方程分别为y=x+3,y=25-x+3,从而可求得A’（-3，0），B’（-56，0），在△MA’B’ 中，过M 任作一条直线y=kx+3交边A ’B’于点N ，则直线也必与线段AB 相交，反之亦然.OM ⊥A’B’，|OM|=3，k=tan ∠MNO （N 在OA’上）或k=tan （π-∠MNO ）（N 在OB’上）两种情形，但都有ON OM k -=，所以k ON 3-=，由5633≤-≤-k ，解得125≥-≤k k 或，故选D.解法4 设直线3y kx =+与线段AB 交于点00(,3)N x kx +,点N 内分AB所成的比为λ,则001212231x kx λλλλ-+⎧=⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩,消去0x ,得1025k k λ-=>+，得52k <-或1k >.又当直线3y kx =+过点A 、B 时，k 的值分别为51,2-，所以所求充要条件为125≥-≤k k 或.故选D.解法5 当k=0时，直线y=kx+3即y=3与线段AB 显然不相交，所以排除含0的A 、B ，又当k=-1时，直线y=kx+3即y=-x+3与线段AB 也不相交，所以又排除含-1的C,故选D.评析解法1运用的是方程思想，若运用这个思想，先求出直线MA 、MB 与x 轴的交点A’，B’的横坐标A x ’，B x ’,并求出直线y=kx+3与x 轴的交点N 的横坐标N x ，再解A x ’≤ N x ≤B x ’，同样可以解决问题.解法2直接通过观察图象，看直线y=kx+3与线段AB 相交时的k 与MB MA k k 、之间的关系而选D ，显得直观明了.解法3运用平面几何知识求N x ，别具一格.解法4运用定比分点知识求解,也是解此类问题的通法之一.解法5运用了特殊值法，显得最为简捷.值得注意的是，如果取k=1，发现直线y=kx+3与线段AB 相交，此时就选A 那就错了，请读者想想这是什么原因.拓展已知直线:(,)10l f x y x y =--=,显然点A （0，1）、B （1，3）与点C （1，-1）、D （3，1）都在l 的同侧，点A 、C 与点B 、D 都在l 的异侧，∵f (0,1)=-2<0，f (1,3)=-3<0，f (1,-1)=1>0，f (3,1)=1>0∴f (0,1)与f (1,3)同号，f (1,-1)与f (3,1)同号，f (0,1)与f (1,-1)异号，f (1,3)与f (3,1)异号，是否对于任意直线l 的同侧或异侧的任意两点都有此结论呢？经研究，我们有下面的定理1 已知两点M （x 1,y 1）、N(x 2,y 2)及直线:(,)0l f x y Ax By C =++=图2(1) 若点M 、N 在l 的同侧，则f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0; (2) 若点M 、N 在l 的异侧，则f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0.证明（1）10当B≠0时，不妨设点M 、N 都在l 的上方，则,,2211BC x B A y B C x B A y -->--> 所以当B>0时，有0,02211>++>++C By Ax C By Ax ，即f （x 1,y 1）>0，f (x 2,y 2)>0；当B<0时，有0,02211<++<++C By Ax C By Ax ，即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)<0,所以当B≠0时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0；20当A≠0，B=0时，l 的方程为(,)0f x y Ax c =+=，此时l ⊥x 轴，不妨设设点M 、N 都在l 的右侧，则ACx A C x ->->21,，所以当A>0时，0,021>+>+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）>0，f (x 2,y 2)>0；当A<0时，0,021<+<+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)<0，所以当A≠0，B=0时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0.综上可知，当点M 、N 在l 的同侧时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0.（2）10当B≠0时，不妨设点M 、N 分别在l 的上、下方，则1122,A C A Cy x y x B B B B>--<--，故当B>0时，有11220,0Ax By C Ax By C ++>++<, 即f （x 1,y 1）>0，f (x 2,y 2)<0; 当B<0时，有0,02211>++<++C By Ax C By Ax , 即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)>0；所以当B≠0时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0；20当A≠0，B=0时，l 的方程为f(x,y)=Ax+c=0，此时l ⊥x 轴，不妨设设点M 、N 分别在l 的左、右侧，则ACx A C x ->-<21,.所以当A>0时，0,021>+<+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)>0；当A<0时，0,021<+>+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）>0，f (x 2,y 2)<0，所以当A≠0，B=0时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0.综上可知，当点M 、N 在l 的异侧时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0. 根据定理1，不难得到定理2 直线Ax+By+C=0与以点P 1（x 1,y 1）、P 2 (x 2,y 2)为端点的线段相交的充要条件是0))((2211≤++++C By Ax C By Ax .运用定理2，可得本赛题的如下解法：直线y=kx+3即kx-y+3=0，由定理2，可知（-k-2+3）（2k+2+3）≤0，即125≥-≤k k 或为所求的充要条件，故选D.35.解法1 记过点()1,1P 的动直线为l ,()O Q ,1,0为坐标原点(如图),则当直线l 从OP 的位置绕点P 顺时针转动到直线PQ的位置时,它和坐标轴在第二象限内围成的三角形的面积从零增加到∞+,故围成的三角形在第二象限时,满足条件的直线l 有且只有一条,同理,围成的三角形在第四象限时,满足条件的直线l 也有且只有一条,并且,满足条件的三角形在第三象限不存在.当围成的三角形在第一象限时,显然l 存在斜率k ,设l 的方程为l k x k y ),0(),1(1<-=-与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A 、B ，则1(1,0),(0,1).A B k k --111(1)(1)22S OA OB k k∴=⋅=-- ()()∴≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=,21211k k 当1-=k 时,S 的最小值为2,故当围成的三角形在第一象限时,满足题设的直线也只有一条.综上,所求的直线为3条.下面的解法中,对“围成的三角形在第二、四象限时,满足题设的直线l 都只有一条,且满足题设的三角形在第三象限不存在”不再一一叙述,仅对围成的三角形在第一象限时加以解答.解法 2 设直线l 与x 轴,y 轴的正半轴分别交于点),0,0(),,0(),0,(>>b a b B a A 则直线l 的方程为.1=+b y a x 直线l 过点.111),1,1(=+∴b a P 故设θθ22sin 1,cos 1==b a (其中20πθ<<),则θθ22sin 1,cos 1==b a ,故θθθθ2222cos sin 42cos sin 2121===ab S2122sin 22=≥=θ (当4πθ=时取等号),即2min =S .故所求的直线共有3条.解法3 同解法2,得4,2111,111≥∴≥+=∴=+ab abb a b a ,(当且仅当2111==b a ,即2==b a 时取等号), 114222S ab ∴=≥⨯=,即2min =S .故所求的直线共有3条. 解法4 设直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点),0(),0,(b B a A ,点)1,1(P 分AB所成的比为λ,则110,11a b λλλλ⎧=⎪⎪+>⎨⎪=⎪+⎩,即)0(111>⎪⎩⎪⎨⎧+=+=a b a λλ.故211)1(211)11)(1(212121=+≥++=++==⋅=λλλλab OB OA S 1.=λ时，.2min =S 故所求直线共有3条.评析上述解法都是用运动变化的观点与数形结合的思想方法分析答案的可能性.围成的三角形在第二、四象限时,l 只有一条,围成的三角形在第三象限不可能,这些是容易看到的,关键是围成的三角形在第一象限时，满足题设的直线l 有几条.直观地看,可能性有三个:0条,1条,2条.那么到底有多少条?四种解法分别用不同的方法求出了三角形面积的最小值为2,故此时的l 只有一条,从而解决了问题.此题也可直接求解:不论围成的三角形在第几象限, l 的斜率总是存在的.设l 的方程为)1(1-=-x k y .则l 与x 轴,y 轴的交点分别为)1,0(),0,11(k B kA --.故kk kk k k S 4)1(,2)1(211112122=-=-=-⋅-=①.当>k 时,①就是016,4)1(22=+-=-k k k k ,有两个不等的正数解；当0<k 时,①就是,4)1(2k k -=- 1,0)1(2-==+k k .故所求直线为3条.拓展将此题内容拓广,可得定理1 动直线l 过定点)0)(,(≠mn n m P ,则直线和坐标轴在点P 所在象限内围成三角形的面积的最小值是.2mn证明设直线l 与x 轴,y 轴分别交于点OAB b B a A ∆ ),,0(),0,(在点),(n m P 所在象限,,0>>∴bn am ,直线l的方程为.1=+bya x 直线l过点abmnb n a m b n a m n m P 21,1),,(≥+=∴=+∴,即mn ab 4≥,当且仅当n b m a 2,2==时取等号..221mn ab S OAB ≥=∴∆ 定理2 直线l 过定点)0)(,(≠mn n m P 且和坐标轴围成的三角形的面积为S ,则 ⑴当mn S 20<<时,满足条件的直线l 有且仅有两条. ⑵当mn S 2=时,满足条件的直线l 有且仅有三条. ⑶当mn S 2>时,满足条件的直线l 有且仅有四条.根据定理1的结论及图象不难知道定理2的正确性.证明从略. 36.解设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x 、y .则根据题意可知求函数23z x y =+的最大值，限制条件为80,2480,260,770,0,0.x y x y x x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪+≤⎪≥≥⎪⎩ 如图，上述不等式组约束区域即图中的阴影部分.区域的顶点坐标为M （0，20），N （10，0），R ⎪⎭⎫⎝⎛13210,13100，O （0，0）,直线k y x =+32的斜率321-=k .直线8042=+y x 的斜率212-=k . 由图可知，y x 32+在点R 处取得最大值，最大值为13830132103131002=⨯+⨯（百万元）. 故填13830;13100. 评析可用若干不等式表示的限制条件下某二元一次函数的最大（小）值的应用题，通常可用线性规划知识求解，其步骤如下：1、设变量（如y x ,），建立目标函数()y x f z ,=（如y x z 32+=）.2、根据约束条件列出不等式组.3、画出不等式组表示的平面区域.4、作出直线()0,=y x f ，并将其向上或向下平移确定最优解.5、将最优解代入()y x f z ,=便得所求最值.37.解法1 圆222r y x =+的圆心是O ()0,0，它到直线200r y y x x =+的距离220222020000y x r y x r y x d +=+-⋅+⋅=，点M ()00,y x 在圆222r y x =+的内部且不在圆心，∴r d r y x >∴<+<,02020.可知直线200r y y x x =+与圆222r y x =+相离.故选C.解法2 令1,200===y x r ，满足题设.此时，直线4=+y x 与圆422=+y x 相离.由正确选择支的唯一性，选C.评析解析几何中，判断直线与圆的位置关系就看圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系：⇔>r d 直线与圆相离； ⇔=r d 直线与圆相切；⇔<r d 直线与圆相交.对于二次曲线()0,:=y x f C 与点M ()00,y x 的位置关系，有下面的结论：点M 在曲线C 上()0,00=⇔y x f ；点M 在曲线C 内()0,00<⇔y x f ；点M 在曲线C 外()0,00>⇔y x f .所谓二次曲线内是指曲线把平面分成的两（或三）部分中含有焦点（或圆心）的部分. 以上这些就是解法1的依据.由于是选择题，解法2运用特殊化思想求解，显得更简捷.应当指出，特殊值法（包括适当选取特殊点、特殊角、特殊函数、特殊曲线、特殊位置等）通常应是解选择题时首先考虑的方法，一旦用上，简单快捷，可以大量节省时间.此题来源于课本上的一道习题：“已知圆的方程是222r y x =+，求经过圆上一点M ()00,y x 的切线方程.”答案是200r y y x x =+.拓展给定圆C ：222r y x =+与定点M ()00,y x ，（02020≠+y x ），则直线200:r y y x x l =+就是存在且确定的，它与定圆到底是什么样的位置关系呢？经研究，有下面的结论.结论1 若点,C M ∈则l 与C 切于点M.（这是显然的，证明略）结论2 若点M 在圆外，过点M 引圆C 的两条切线1MT 与2MT ，则200r y y x x =+为过两切点的直线方程，因而l 与C 相交.证明设()111,y x T 和()222,y x T 是两个切点，由结论1，直线1MT 与2MT 的方程分别是211r y y x x =+与222r y y x x =+.因为它们相交于点M ()00,y x ，于是20101r y y x x =+与20202r y y x x =+同时成立.于是得200r y y x x =+表示直线21T T 的方程.l 与C 显然相交.结论3 若点M 在圆C 内且不是圆心，以M 为中点的圆的弦为AB ，过A 、B 的两条切线相交于点N ，则200r y y x x =+表示过点N 且平行于AB 的直线方程，因而l 与C 相离.证明令N ()n m ,，由结论2，直线AB 的方程一定是2r ny mx =+.因为M 是AB 的中点，所以200r ny mx =+，这说明点N 在直线200:r y y x x l =+上.下面证明AB ∥l .①当000≠y x 时，由于O 、M 、N 三点共线，可知0≠mn ，过M 、N 引同一坐标轴的垂线，由点的坐标定义及直角三角形的相似关系，易知22001r r y n x m --=≠=，故AB ∥l .②当000=y x 时，由于02020≠+y x ，则有0,00==m x 或0,00==n y .无论哪种情况，两直线都同时垂直于同一坐标轴，并且在该坐标轴上截距不等.故AB ∥l .此时l 与C 显然相离.38.解解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--+=+-++0176601622222y x y x y x y x ，得⎩⎨⎧==32y x ，故两圆相切于点（2，3），所以所求直线方程是()()032=-+-y x μλ，其中μλ,为参数.评析先通过解方程组求出两圆的交点坐标，如果交点有两个：()()2211,,,y x y x ，则所求直线方程为()()()()112112x x y y y y x x --=--.但此题中的两圆只有一个交点()3,2，过点()3,2的所有直线该如何表达呢？有人表述为()23-=-x k y （k 为参数），这就错了，因为方程()23-=-x k y 表示的所有直线中并不包括直线2=x （即过点()3,2且垂直于x 轴，亦即过点()3,2且斜率不存在的那一条）.而()()032=-+-y x μλ（μλ,为参数）才能表示过点()3,2的所有直线.当0≠λ且0=μ时，该直线方程就是2=x .一般地，过点()00,y x 的所有直线组成的直线系方程为()()000=-+-y y x x μλ（其中μλ,为参数）.拓展我们先看下面的问题：求过两圆074422=+--+y x y x 与03661222=+--+y x y x 的交点的直线方程.分析：按上面评析中的思路，先解方程组得两交点坐标，再求出过这两点的直线方程为02928=-+y x .如果将两圆方程相减，也得02928=-+y x ，恰好就是过两圆交点的直线方程.这是否是一种巧合呢？非也.设两圆交于A 、B 两点，则A 、B 的坐标既是方程组⎩⎨⎧=-+=+--+029********y x y x y x 的解，也是方程组⎩⎨⎧=-+=+--+0292803661222y x y x y x 的解，即A 、B 的坐标都适合方程02928=-+y x ，故02928=-+y x 就是直线AB 的方程.那么，当两圆外切时，两圆方程相减所得方程又表示什么样的直线呢？就拿此赛题为例，016222=+-++y x y x 与0176622=+--+y x y x 两边相减，得2=x .由图形，可知直线2=x 恰好是过两圆切点的公切线.这也不是偶然的，道理与两圆相交时一样.当两圆内切时，此结论也成立.于是，我们有下面的定理已知两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C ,则⑴当两圆相切时，过切点的公切线方程是()()0212121=-+-+-F F y E E x D D ； ⑵当两圆相交时，公共弦所在的直线方程是()()0212121=-+-+-F F y E E x D D . 39.解法1 已知方程就是()()42122=-+-y x ，()202---=+x y x y ，所以题意就是求圆()()42122=-+-y x 上的点()y x ,与定点A ()0,2-的连线的斜率的取值范围.如图,，只须求切线AN 的斜率k .易知202.1(2)3AM k -==--t a n AN k NAx ∴=∠()2222123tan 2.41519AMAMk MAx k ⋅=∠===--120,.25y x ⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦注：切线AN 的斜率k 的另一种求法：设AN 的方程是(),20+=-x k y 即02=+-k y kx ，则圆心M 到切线AN 的距离等于圆M 的半径,即212212=++-⋅k kk ，解得0=k （舍去），512=k . 解法2 已知方程就是()()42122=-+-y x ，故设,sin 22,cos 21θθ=-=-y x 即,sin 22,cos 21θθ+=+=y x 则.cos 23sin 222θθ++=+x y 令k =++θθcos 23sin 22，得,23c o s 2s i n 2-=-k k θθ即()()32,sin k θϕθϕ+=-+=()sin 1,1,θϕ+≤≤ 解得,5120≤≤k 即.512,02⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+x y 解法3 设k x y=+2，则,2k kx y +=代入014222=+--+y x y x 并整理，得()().018424412222=+-+--++k k x k kx k 由()22442k k ∆=--()()22414810,k k k -+-+≥得1205k ≤≤.由,014222=+--+y x y x 即()()42122=-+-y x 可知,212≤-≤-x 即.31≤≤-x 经验证，当5120≤≤k 时，(1)0,(3)0,f f -≥≥且对称轴()[]224421,3.21k k x k --=-∈-+故.512,02⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+x y 评析解法1将2+x y 看作()20---x y ，进而看作圆()()42122=-+-y x 上的动点()y x ,与定点()0,2-的连线的斜率，将问题转化为求此斜率的范围；解法2 通过换元，将问题转化为求三角函数的值域；解法3 通过整体换元并消去y 后，利用二次方程在某区间内有解的条件求出所求范围.都体现了化归转换的思想.由于椭圆()012222>>=+b a by a x 有性质22b a y x +≤+（请读者自证），故本赛题又有如下解法：设t x y=+2，则02=+-t y tx .已知方程就是()()12122=-+-y x ，则()()1424222=-+-y t t tx ，由上面的性质，得4422+≤+--t y t tx ，即44322+≤-t t ，解得120,5t ≤≤∴.512,02⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+x y 拓展让我们进一步思考下面的问题：1、若将题中的条件方程改为()(),1429122=-+-y x 则答案是什么？2、若将题中的条件方程改为()(),42122=---y x 则答案是什么？与本赛题同样的思考方法，不难得到上面两题的答案分别是[).,,0R +∞若将原题中的2+x y 改为yx 2+或632+x y ，结果又怎样？事实上，用同样的方法还可以求()0≠++ac bax dcx 的取值范围. 解法1 ()∴=-+,1122y x 可设.sin 1,cos θθ=-=y x 于是0≥++c y x 化为01sin cos ≥+++c θθ，即,14sin 2--≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+c πθsin 4πθ⎛⎫∴+≥ ⎪⎝⎭1sin 14πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.∴由题意得121-≤--c ，解得12-≥c ，故选C.2221 ()⎩⎨⎧=-+≥++11022y x c y x 的图象.在图3中，直线0:=++c y x l 过Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限，切圆M 于N ，这时圆M 上所有的点（N 点除外）都在l 的上方，因而圆M 上N 点以外的点的坐标()y x ,都使0>++c y x 成立，而N 点坐标使0=++c y x 成立，结合题意，易求得此时的12,21-=-=-c c ，故当21-≤-c ，即12-≥c 时，圆M 都在l 的上方（含相切），因而圆M 上的点的坐标()y x ,可使不等式0≥++c y x 成立，故选C.解法3 21,23=-=y x 满足()1122=-+y x ，此时，若0=c ，则0≥++c y x 不成立，故排除含0的A 、D ；若1=c ，则0≥++c y x 成立，又排除不含1的B ，故选C.评析从代数角度看，0≥++c y x ，即()y x c +-≥恒成立，有()[]max y x c +-≥，因此问题的关键就是如何求()[]max y x +-.由于()y x ,满足()1122=-+y x ，故解法1运用三角代换将问题转化成求三角函数的最大值问题，通过三角函数的有界性使问题获解.从几何角度看，原问题的实质就是c 在什么范围内时，才能保证圆()1122=-+y x 在直线0=++c y x 的上方（相离或相切）.解法2便是运用数形结合思想，直观地解决问题的.由于是选择题，解法3运用特殊值排除干扰支，从而选出正确答案，这种抓住题目本质特征，避开常规思路的创新解法更值得提倡.拓展按照上面所说的思想方法，请读者思考并解决下列问题：⒈ 圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ,都使不等式0178222≥+++-+c y x y x 成立，求c 的取值范围.（答案：27c ≥）⒉ 圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ,都使不等式2222120x y x y c +-++->成立，求c 的取值范围.（答案：52c <。