2015解步步高大一轮讲义(理)5.4
(2015届步步高大一轮复习物理Word文档)第一章 第1课时
注：各考点要求中罗马数字Ⅰ、Ⅱ的含义如下：Ⅰ.对所列知识要知道其内容及含义，并能在有关问题中识别和直接使用它们． Ⅱ.对所列知识要理解其确切含义及与其他知识的联系，能够进行叙述和解释，并能在实际问题的分析、综合、推理和判断等过程中运用．第1课时 运动的描述考纲解读 1.知道参考系、质点、位移的概念，理解物体看成质点的条件和位移的矢量性.2.知道速度与加速度、平均速度和瞬时速度的区别，并理解二者间的关系．1． [对质点和参考系的理解]关于质点和参考系，下列说法正确的是( )A ．AK －47步枪子弹速度很快，杀伤力大，什么时候都能认为是质点B ．研究男子3米板跳水运动员何冲在空中的跳水动作时，不能把他看成质点C ．研究物体的运动时不一定要选择参考系D ．歼－15在“辽宁号”航母上的起飞速度大约为300 km/h ，是相对航母甲板来说的 答案 B2． [平均速度和瞬时速度的区别]关于瞬时速度和平均速度，以下说法正确的是( )A ．一般讲平均速度时，必须讲清楚是哪段时间(或哪段位移)内的平均速度B ．对于匀速直线运动，其平均速度跟哪段时间(或哪段位移)无关C ．瞬时速度和平均速度都可以精确描述变速运动D ．瞬时速度是某时刻的速度，只有瞬时速度才能精确描述变速运动的物体运动的快慢 答案 ABD解析 一般情况下，物体在不同时间(或不同位移)内的平均速度不同，但对于匀速直线运动，物体的速度不变，所以平均速度与哪段时间(或哪段位移)无关，故A 、B 均正确；平均速度只能粗略描述变速运动，只有瞬时速度才能精确描述变速运动的物体运动的快慢，故C 错，D 正确．3． [加速度和速度关系的理解]有下列几种情景，请根据所学知识选择对情景的分析和判断正确的说法( )A ．点火后即将升空的火箭，因火箭还没运动，所以加速度一定为零B ．高速公路上沿直线高速行驶的轿车为避免事故紧急刹车．因轿车紧急刹车，速度变化很快，所以加速度很大C ．高速行驶的磁悬浮列车，因速度很大，所以加速度也一定很大D ．太空中的“天宫一号”绕地球匀速转动，其加速度为零 答案 B1． 质点用来代替物体的有质量的点叫做质点，研究一个物体的运动时，如果物体的形状和大小对问题的影响可以忽略，就可以看做质点． 2． 参考系(1)为了研究物体的运动而假定不动的物体，叫做参考系．(2)对同一物体的运动，所选择的参考系不同，对它的运动的描述可能会不同．通常以地球为参考系．3． 位移是位置的变化量，是从初位置指向末位置的有向线段．是矢量．(填“矢”或“标”) 4． 速度物理学中用位移与发生这个位移所用时间的比值表示物体运动的快慢，即v ＝ΔxΔt，其是描述物体运动快慢的物理量．(1)平均速度：在变速运动中，物体在某段时间内的位移与发生这段位移所用时间的比值叫做这段时间内的平均速度，即v ＝xt ，其方向与位移的方向相同．(2)瞬时速度：运动物体在某一时刻(或某一位置)的速度，方向沿轨迹上物体所在点的切线方向指向前进的一侧，是矢量．瞬时速度的大小叫速率，是标量．考点一对质点和参考系的理解1．质点(1)质点是一种理想化模型，实际并不存在．(2)物体可看做质点的条件：研究物体的运动时，物体的大小和形状对研究结果的影响可以忽略．2．参考系(1)参考系可以是运动的物体，也可以是静止的物体，但被选为参考系的物体，我们都假定它是静止的．(2)比较两物体的运动情况时，必须选同一参考系．(3)选取不同的物体作为参考系，对同一物体运动的描述可能不同．例1下列情况下的物体可以看做质点的是() A．研究轨道上正在与“神州十号”对接的“天宫一号”飞船时B．研究“八一”飞行队飞行表演的飞机时C．放在地面上的木箱，在上面的箱角处用水平推力推它，木箱可绕下面的箱角转动时D．研究“蛟龙号”下潜到7 000 m深度过程中的速度时答案 D对“理想化模型”的理解(1)理想化模型是分析、解决物理问题常用的方法，它是对实际问题的科学抽象，可以使一些复杂的物理问题简单化．(2)物理学中理想化的模型有很多，如“质点”、“轻杆”、“光滑平面”、“自由落体运动”、“点电荷”、“纯电阻电路”等，都是突出主要因素，忽略次要因素而建立的物理模型．突破训练12013年6月11日17时38分，“神舟十号”飞船在酒泉卫星发射中心发射升空.2013年6月13日13时18分与“天宫一号”实施了自动交会对接.20日上午，女航天员王亚平在聂海胜、张晓光协助下进行中国的首次太空授课.2013年6月26日08时，“神舟十号”安全返回．关于以上消息，下列说法正确的是() A．“神舟十号”飞船绕地球飞行一周，位移和路程都为零B．“11日17时38分”表示时刻C．在“神舟十号”与“天宫一号”实施自动交会对接的过程中，不可以把“神舟十号”看成质点D．对接后的“神舟十号”与“天宫一号”绕地球运动时，不能看做质点答案BC例2一只猴子静止在悬挂于天花板的细棒上，现使悬挂棒的绳子断开，猴子和细棒一起向下运动，甲说此棒是静止的，乙说猴子是向下运动的，甲、乙两人所选的参考系分别是() A．甲选的参考系是地球，乙选的参考系也是地球B．甲选的参考系是地球，乙选的参考系是猴子C．甲选的参考系是猴子，乙选的参考系是地球D．甲选的参考系是猴子，乙选的参考系也是猴子答案 C突破训练2中国是掌握空中加油技术的少数国家之一．如图1所示是我国自行研制的第三代战斗机“歼－10”在空中加油的情景，以下列的哪个物体为参考系，可以认为加油机是运动的()图1A．“歼－10”战斗机B．地面上的房屋C．加油机中的飞行员D．“歼－10”战斗机里的飞行员答案 B解析空中加油时两飞机保持相对静止，以“歼－10”战斗机、加油机中的飞行员、“歼－10”战斗机里的飞行员为参考系，加油机都是静止的；以地面上的房屋为参考系，加油机是运动的，本题选B.考点二平均速度和瞬时速度的关系1．平均速度反映一段时间内物体运动的平均快慢程度，它与一段时间或一段位移相对应．瞬时速度能精确描述物体运动的快慢，它是在运动时间Δt→0时的平均速度，与某一时刻或某一位置相对应．2．瞬时速度的大小叫速率，但平均速度的大小不能称为平均速率，因为平均速率是路程与时间的比值，它与平均速度的大小没有对应关系．例3如图2所示，物体沿曲线轨迹的箭头方向运动，在AB、ABC、ABCD、ABCDE四段轨迹上运动所用的时间分别是：1 s、2 s、3 s、4 s．下列说法正确的是()图2A ．物体在AB 段的平均速度为1 m/sB ．物体在ABC 段的平均速度为52m/sC ．AB 段的平均速度比ABC 段的平均速度更能反映物体处于A 点时的瞬时速度D ．物体在B 点的速度等于ABC 段的平均速度解析 由v ＝x t 可得：v AB ＝11m /s ＝1 m/s ，vAC ＝52m/s ，故A 、B 均正确；所选取的过程离A 点越近，其阶段的平均速度越接近A 点的瞬时速度，故C 正确；由A 经B 到C 的过程不是匀变速直线运动过程，故B点虽为中间时刻，但其速度不等于ABC 段的平均速度，D 错误． 答案 ABC1．本题应该用平均速度的定义式v ＝xt求解．2．由v ＝xt可知t →0时的平均速度可看做某一时刻的瞬时速度．突破训练3 2012年8月6日在伦敦举行的奥运会100米决赛中，牙买加选手博尔特以9秒63获得金牌．在8月6日举行的110米栏决赛中，美国选手梅里特以12秒92的成绩夺得冠军，刘翔因伤退赛；8月10日，博尔特又以19秒32的成绩，夺得男子200米金牌．关于这三次比赛中的运动员的运动情况，下列说法正确的是 ( )A ．200米比赛的位移是100米比赛位移的两倍B ．200米比赛的平均速率约为10.35 m/sC ．110米栏比赛的平均速度约为8.51 m/sD ．100米比赛的最大速度约为20.70 m/s 答案 BC解析 200米赛道是弯道，100米赛道是直道，所以运动员跑200米路程时的位移小于200米，A 项错.200米比赛的平均速率为v ＝20019.32 m /s ≈10.35 m/s ，B 项对；同理C项对．在100米比赛中，由于运动员在全程中并非做匀加速直线运动，故最大速度不等于平均速度的2倍，D 项错误．例4 2013年8月，我国新研制的隐形战机歼－20，开始挂弹试飞．在某次试飞中，由静止开始加速，当加速度a 不断减小至零时，飞机刚好起飞，则此过程中飞机的 ( ) A ．速度不断增大，位移不断减小 B ．速度不断增大，位移不断增大 C ．速度增加越来越慢，位移增加越来越快 D ．速度增加越来越慢，位移增加越来越慢解析 飞机的加速度不断变小，但速度不断变大，只是增加变慢而已，速度变大时，位移增加变快，选项B 、C 正确． 答案 BC根据a 与v 方向间的关系判断物体是在加速还是在减速 (1)当a 与v 同向或夹角为锐角时，物体速度大小变大． (2)当a 与v 垂直时，物体速度大小不变．(3)当a 与v 反向或夹角为钝角时，物体速度大小变小． 突破训练4 关于物体的运动，不可能发生的是( )A ．加速度大小逐渐减小，速度也逐渐减小B ．加速度方向不变，而速度方向改变C ．加速度和速度都在变化，加速度最大时，速度最小D ．加速度为零时，速度的变化率最大 答案 D解析 加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，当加速度为零时，物体的速度不再变化，速度的变化率为零，故D 不可能发生；速度增大还是减小，是由速度与加速度同向还是反向决定的，与加速度的大小及变化无关，故A 、B 、C 均有可能发生．1．“匀速运动”模型的实际应用“匀速运动”是一种理想化模型，是最基本、最简单的运动，且应用广泛．例如：声、光的传播都可以看成匀速，而实际生活中的运动估算，也经常用到这一模型，如计算飞行时间，在这类问题中位移的计算是关键，有时要巧用几何关系(如光波、声波反射、折射问题如图3)，有时要估算长度(如高速摄影见图4)，有时要求相对位移(如动态测速)等．这类问题的核心方程只有一个：v ＝xt.图3 图4例5 如图5所示，一艘海轮用船上天线D 向海岸边的信号接收器A 发送电磁波脉冲信号．信号接收器和船上天线的海拔高度分别为AB ＝H 和CD ＝h .船上天线某时刻发出一个电磁波脉冲信号，接收器接收到一个较强和一个较弱的脉冲，前者是直接到达的信号，后者是经海平面反射后再到达的信号，两个脉冲信号到达的时间间隔为Δt ，电磁波的传播速度为c ，求船上天线发出此信号时海轮与海岸的距离L .图5解析 如图所示，从船上天线D 向接收器A 发出的电磁波脉冲信号，一方面沿直线DA 直接传播到A ，另一方面经过海面E 点反射沿折线DEA 传播到A ，前者较强，后者较弱。
2015解步步高大一轮讲义(理)专题六
专题六 高考中的概率与统计问题1．(2013·安徽)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 ( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 答案 C 解析 x 男＝15(86＋94＋88＋92＋90)＝90， x女＝15(88＋93＋93＋88＋93)＝91， s 2男＝15[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8， s 2女＝15[(88－91)2＋(93－91)2＋(93－91)2＋(88－91)2＋(93－91)2]＝6. 2．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3D ．0.2答案 C解析 ∵P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ>4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x ＝2， P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6.∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3.3．(2012·上海)设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104，x 5＝105.随机变量ξ1取值x 1、x 2、x 3、x 4、x 5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x 1＋x 22、x 2＋x 32、x 3＋x 42、x 4＋x 52、x 5＋x 12的概率也均为0.2.若记D (ξ1)、D (ξ2)分别为ξ1、ξ2的方差，则( )A ．D (ξ1)>D (ξ2)B ．D (ξ1)＝D (ξ2)C ．D (ξ1)<D (ξ2)D ．D (ξ1)与D (ξ2)的大小关系与x 1、x 2、x 3、x 4的取值有关 答案 A解析 E (ξ1)＝0.2x 1＋0.2x 2＋0.2x 3＋0.2x 4＋0.2x 5 ＝0.2(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)．E (ξ2)＝0.2×x 1＋x 22＋0.2×x 2＋x 32＋…＋0.2×x 5＋x 12＝0.2(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)． ∴E (ξ1)＝E (ξ2)，记作x ，∴D (ξ1)＝0.2[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 5－x )2]＝0.2[x 21＋x 22＋…＋x 25＋5x 2－2(x 1＋x 2＋…＋x 5)x ] ＝0.2(x 21＋x 22＋…＋x 25－5x 2)．同理D (ξ2)＝0．2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5＋x 122－5x 2.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222<x 21＋x 222，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5＋x 122<x 25＋x 212. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5＋x 122<x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 25. ∴D (ξ1)>D ( ξ2)．4．(2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 ( )A.14B.12C.34D.78 答案 C解析 设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x 、y ，x 、y 相互独立，由题意可知⎩⎨⎧0≤x ≤40≤y ≤4|x －y |≤2，如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABC S 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.5．(2012·重庆)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．答案 35解析 6节课随机安排，共有A 66＝720(种)方法．课表上相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课，分三类： 第1类：文化课之间没有艺术课，有A 33·A 44＝6×24＝144(种)．第2类：文化课之间有1节艺术课，有A 33·C 13·A 12·A 33＝6×3×2×6＝216(种)． 第3类：文化课之间有2节艺术课，有A 33·A 23·A 22＝6×6×2＝72(种)． 共有144＋216＋72＝432(种)．由古典概型概率公式得P ＝432720＝35.题型一 求事件的概率例1 某项专业技术认证考试按科目A 和科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书，现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B 每次考试成绩合格的概率均为12，假设各次考试成绩合格与否互不影响．(1)求他不需要补考就可获得证书的概率．(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他分别参加2次、3次、4次考试的概率．思维启迪 准确地分析事件类型，正确地运用概率公式，是解决这类问题的关键． 解 设“科目A 第一次考试合格”为事件A 1，“科目A 补考合格”为事件A 2，“科目B 第一次考试合格”为事件B 1，“科目B 补考合格”为事件B 2，则A 1，A 2，B 1，B 2相互独立．(1)设“不需要补考就可获得证书”为事件M ，则P (M )＝P (A 1B 1)＝P (A 1)P (B 1)＝23×12＝13.(2)设“参加考试次数为2次、3次、4次” 分别为事件E ，C ，D .则P (E )＝P (A 1B 1＋A 1 A 2)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (A 2)＝23×12＋13×13＝49，P (C )＝P (A 1B 1B 2＋A 1B 1 B 2＋A 1A 2B 1)＝P (A 1)P (B 1)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (B 2)＋P (A 1)P (A 2)·P (B 1) ＝23×12×12＋23×12×12＋13×23×12＝49， P (D )＝P (A 1A 2B 1B 2＋A 1A 2B 1 B 2)＝P (A 1)P (A 2)P (B 1)P (B 2)＋P (A 1)P (A 2)P (B 1)P (B 2) ＝13×23×12×12＋13×23×12×12＝19.(另解：P (D )＝1－P (E ∪C )＝1－P (E )－P (C )＝1－49－49＝19)．思维升华 (1)一个复杂事件若正面情况较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解．尤其是涉及到“至多”、“至少”等问题时常常用这种方法求解．(2)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件是能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题连续两次答错的概率为19(已知甲回答每个问题的正确率相同，并且相互之间没有影响)．(1)求选手甲回答一个问题的正确率； (2)求选手甲可进入决赛的概率．解 (1)设选手甲答对一个问题的正确率为P 1，则(1－P 1)2＝19，故选手甲答对一个问题的正确率P 1＝23.(2)选手甲答了3道题目进入决赛的概率为(23)3＝827；选手甲答了4道题目进入决赛的概率为C 23(23)2·13·23＝827； 选手甲答了5道题目进入决赛的概率为C 24(23)2·(13)2·23＝1681. ∴选手甲可以进入决赛的概率P ＝827＋827＋1681＝6481.题型二 求离散型随机变量的均值与方差例2 李先生家在H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条路线(如图)，路线L 1上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；路线L 2上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走路线L 1，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走路线L 2，求遇到红灯次数X 的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由．思维启迪 走L 1或L 2遇到红灯的次数都是独立重复试验问题，可结合二项分布求其概率，选何条路线是要利用均值的大小判定．注意三个转化：(1)转化为P 3(1)＋P 3(0)的值；(2)X 可取0,1,2转化为独立事件的积事件的概率； (3)转化为比较E (X )、E (Y )的大小．解 (1)设“走路线L 1最多遇到1次红灯”为事件A ，则P (A )＝C 03×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×12×⎝⎛⎭⎫122＝12. 所以走路线L 1最多遇到1次红灯的概率为12.(2)依题意，知X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－35＝110， P (X ＝1)＝34×⎝⎛⎭⎫1－35＋⎝⎛⎭⎫1－34×35＝920， P (X ＝2)＝34×35＝920.随机变量X 的分布列为所以E (X )＝110×0＋920×1＋920×2＝2720.(3)设选择路线L 1遇到红灯的次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，即Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，12，所以E (Y )＝3×12＝32.因为E (X )<E (Y )，所以选择路线L 2上班更好．思维升华 注意此题中独立重复试验与独立事件的区别，如走L 1是独立重复试验，而走L 2是一般地独立事件问题，不可按二项分布求均值．解决此类题目的关键是将实际问题转化为数学问题，正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率．(2012·福建)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率． (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列．(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110.(2)依题意得，X 1的分布列为X 2的分布列为(3)由(2)得E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)， E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)>E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车． 题型三 概率与统计的综合应用例3 (2013·课标全国Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位： t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)．求T 的数学期望．思维启迪 利润T 是由两部分构成的，一个是获得利润，另一个是亏损，是否亏损与x 的取值范围有关，因此，T 关于x 的函数要用分段函数表示． 解 (1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000.当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝⎩⎪⎨⎪⎧800X －39 000，100≤X <130，65 000，130≤X ≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T 的分布列为所以E (T )＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.思维升华 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望．(注：方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)解 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8,8,9,10，所以平均数 x ＝8＋8＋9＋104＝354；方差 s 2＝14[(8－354)2＋(8－354)2＋(9－354)2＋(10－354)2]＝1116.(2)当X ＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16(种)可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P (Y ＝17)＝216＝18. 同理可得P (Y ＝18)＝14，P (Y ＝19)＝14，P (Y ＝20)＝14，P (Y ＝21)＝18.所以随机变量Y 的分布列为E (Y )＝17×18＋18×14＋19×14＋20×14＋21×18＝19.1．(2013·广东)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.1 7 92 0 123(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率． 解 (1)样本平均值为17＋19＋20＋21＋25＋306＝1326＝22.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为26＝13，故推断该车间12名工人中有12×13＝4名优秀工人．(3)设事件A ：“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”，则P (A )＝C 14C 18C 212＝1633. 2．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望； (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解 (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k 7(k ＝0,1,2,3)，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列是X 的数学期望E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3，由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340.P (A 2)＝P (X ＝2)＝740.P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120.3．甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列．解 (1)设甲、乙闯关成功分别为事件A ，B ，则P (A )＝C 14C 22C 36＝420＝15，P (B )＝(1－23)3＋C 23(1－23)2(23)1＝127＋29＝727， 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝1－15×727＝128135.(2)由题意知ξ的可能取值是1,2.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12＋C 34C 36＝45， 则ξ的分布列为4.如图，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x 的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看做有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望．解 (1)依题意及频率分布直方图知1×(0.02＋0.1＋x ＋0.37＋0.39)＝1，解得x ＝0.12. (2)由题意知，X ～B (3,0.1)．因此P (X ＝0)＝C 03×0.93＝0.729，P (X ＝1)＝C 13×0.1×0.92＝0.243，P (X ＝2)＝C 23×0.12×0.9＝0.027，P (X ＝3)＝C 33×0.13＝0.001.故随机变量X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝3×0.1＝0.3.5．某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： (1)恰有2人申请A 片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．解 (1)方法一 所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式有C 24·22种，从而恰有2人申请A 片区房源的概率为C 24·2234＝827.方法二 设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验．记“申请A 片区房源”为事件A ，则P (A )＝13.从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人申请A 片区房源的概率为P 4(2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827.(2)ξ的所有可能值为1,2,3.又P (ξ＝1)＝334＝127，P (ξ＝2)＝C 23(C 12C 34＋C 24C 22)34＝1427⎝⎛⎭⎪⎫或P (ξ＝2)＝C 23(24－2)34＝1427，P (ξ＝3)＝C 13C 24C 1234＝49⎝⎛⎭⎫或P (ξ＝3)＝C 24A 3334＝49. 综上知，ξ的分布列为从而有E (ξ)＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527.6．一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生： (1)得60分的概率；(2)所得分数ξ的分布列和数学期望．解 (1)设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为事件A ，“有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件B ，“有一道题不理解题意”选对为事件C ，∴P (A )＝12，P (B )＝13，P (C )＝14，∴得60分的概率为P ＝12×12×13×14＝148.(2)ξ可能的取值为40,45,50,55,60.P (ξ＝40)＝12×12×23×34＝18；P (ξ＝45)＝C 12×12×12×23×34＋12×12×13×34＋12×12×23×14＝1748； P (ξ＝50)＝12×12×23×34＋C 12×12×12×13×34＋C 12×12×12×23×14＋12×12×13×14＝1748； P (ξ＝55)＝C 12×12×12×13×14＋12×12×23×14＋12×12×13×34＝748； P (ξ＝60)＝12×12×13×14＝148.ξ的分布列为E(ξ)＝40×18＋45×1748＋50×1748＋55×748＋60×148＝57512.中档题目强化练——概率与统计(理)A 组 专项基础训练一、选择题1．从5张100元，3张200元，2张300元的奥运会门票中任选3张，则选取的3张中至少有2张价格相同的概率为 ( )A.14B.79120C.34D.2324答案 C解析 基本事件的总数是C 310，在三种门票中各自选取一张的方法是C 15C 13C 12，故随机事件“选取的3张中价格互不相同”的概率是C 15C 13C 12C 310＝5×3×2120＝14，故其对立事件“选取的3张中至少有2张价格相同”的概率是1－14＝34.2．已知ξ的分布列如下表，若 ( )A.－13B.59C.109D.209答案 D解析 E (ξ)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎫0＋132×13＋⎝⎛⎭⎫1＋132×16＝59， ∴D (η)＝D (2ξ＋2)＝4D (ξ)＝209，故选D.3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( )A ．0.216B ．0.36C ．0.432D ．0.648答案 D解析 由题意知，甲获胜有两种情况， 一是甲以2∶0获胜，此时P 1＝0.62＝0.36； 二是甲以2∶1获胜，此时P 2＝C 12×0.6×0.4×0.6＝0.288， 故甲获胜的概率P ＝P 1＋P 2＝0.648.4．已知x ∈[－1,1]，y ∈[0,2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0x ＋y －2≤0内的概率为( )A.316B.38C.34D.32答案 B解析 不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为12×3×2－12×3×1＝32，则所求概率为38. 5．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p (0<p <1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为( )A ．(1－p )nB ．1－p nC ．p nD ．1－(1－p )n答案 D解析 显然n 位同学参加某项选拔测试可看做n 次独立重复试验，其中没有一位同学能通过测试的概率为(1－p )n ，故至少有一位同学能通过测试的概率为1－(1－p )n . 二、填空题6．在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V 3的概率是________．答案 23解析 由题意可知V S －APCV S －ABC >13，如图所示，三棱锥S －ABC 与三棱锥S －APC 的高相同， 因此V S －APC V S －ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN＝AP AB >13(PM ，BN 为其高线)，故所求概率为23. 7．两封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝________.答案 23解析 两封信投入A ，B ，C 三个空邮箱，投法种数是32＝9，A 中没有信的投法种数是2×2＝4，概率为49，A 中仅有一封信的投法种数是C 12×2＝4，概率为49， A 中有两封信的投法种数是1，概率为19，故A 邮箱的信件数ξ的数学期望是 49×0＋49×1＋19×2＝23. 8．随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，如果P (ξ<1)＝0.841 3，则P (－1<ξ<0)＝________. 答案 0.341 3 解析 ∵ξ～N (0,1)，∴P (－1<ξ<0)＝P (0<ξ<1)＝1－2[1－P (ξ<1)]2＝0.341 3. 三、解答题9．已知集合A ＝{x |x 2＋3x －4<0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋2x －4<0. (1)在区间(－4,5)上任取一个实数x ，求“x ∈A ∩B ”的概率；(2)设(a ，b )为有序实数对，其中a ，b 分别是集合A ，B 中任取的一个整数，求“a －b ∈A ∪B ”的概率．解 (1)由已知得A ＝{x |x 2＋3x －4<0} ＝{x |－4<x <1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋2x －4<0＝{x |－2<x <4}，显然A ∩B ＝{x |－2<x <1}． 设事件“x ∈A ∩B ”的概率为P 1，由几何概型的概率公式得P 1＝39＝13.(2)依题意，(a ，b )的所有可能的结果一共有以下20种：(－3，－1)，(－3,0)，(－3,1)，(－3,2)，(－3,3)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，又A ∪B ＝{x |－4<x <4}，因此“a －b ∈A ∪B ”的所有可能的结果一共有以下14种：(－3，－1)，(－3,0)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)．所以“a －b ∈A ∪B ”的概率P 2＝1420＝710.10．随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受到市民重视，为此某市建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡借车，初次办卡时卡内预先赠送20分，当诚信积分为0时，借车卡将自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分收费，具体扣分标准如下： ①租用时间不超过1小时，免费；②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分； ③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；④租用时间超过3小时，按每小时扣2分收费(不足1小时的部分按1小时计算)．甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5和0.6；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4和0.2.(1)求甲、乙两人所扣积分相同的概率；(2)设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望． 解 (1)设甲、乙所扣积分分别为x 1，x 2，由题意可知， P (x 1＝0)＝0.5，P (x 1＝1)＝0.4，P (x 1＝2)＝1－0.5－0.4＝0.1， P (x 2＝0)＝0.6，P (x 2＝1)＝0.2，P (x 2＝2)＝1－0.6－0.2＝0.2，所以P (x 1＝x 2)＝P (x 1＝x 2＝0)＋P (x 1＝x 2＝1)＋P (x 1＝x 2＝2)＝0.5×0.6＋0.4×0.2＋0.1×0.2＝0.4.(2)由题意得，变量ξ的所有取值为0,1,2,3,4. P (ξ＝0)＝0.5×0.6＝0.3，P (ξ＝1)＝0.5×0.2＋0.6×0.4＝0.34，P (ξ＝2)＝0.5×0.2＋0.6×0.1＋0.4×0.2＝0.24， P (ξ＝3)＝0.4×0.2＋0.2×0.1＝0.1， P (ξ＝4)＝0.1×0.2＝0.02， 所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×0.3＋1×0.34＋2×0.24＋3×0.1＋4×0.02＝1.2.B 组 专项能力提升1．三人独立破译同一个密码．已知三人各自破译出密码的概率分别为15、14、13，且他们是否破译出密码互不影响，设“密码被破译”的概率为P 1，“密码未被破译”的概率为P 2，则P 1，P 2的大小关系为 ( )A ．P 1>P 2B ．P 1＝P 2C ．P 1<P 2D ．无法判断答案 A解析 记“第i 个人破译出密码”为事件A i (i ＝1,2,3)，依题意有P (A 1)＝15，P (A 2)＝14，P (A 3)＝13，且A 1，A 2，A 3相互独立． 设“密码未被破译”为事件B ， 则B ＝A1A2A 3，且A 1，A 2，A 3互相独立，故P 2＝P (B )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝45×34×23＝25，而P 1＝1－P (B )＝35，故P 1>P 2.2．一名学生通过某种外语听力测试的概率为13，他连续测试3次，那么，其中恰有一次通过的概率是( )A.49B.427C.29D.23答案 A解析 该名学生测试一次有两种结果：要么通过，要么不通过，他连续测试三次，相当于做了3次独立重复试验，那么，根据n 次独立重复试验事件A 发生k 次的概率公式知，连续测试3次恰有一次获得通过的概率为P ＝C 13⎝⎛⎭⎫131·⎝⎛⎭⎫1－132＝49. 3．某人随机地将编号为1,2,3,4的四个小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子中放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则就叫放错了．设放对的个数为ξ，则ξ的期望E (ξ)＝________. 答案 1解析 因为P (ξ＝0)＝3×324＝924，P (ξ＝1)＝C 14×224＝824，P (ξ＝2)＝C 24×124＝624，P (ξ＝4)＝124，所以E (ξ)＝1×824＋2×624＋4×124＝1.4．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N (100,102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________． 答案 10解析 由题意知，P (ξ>110)＝1－2P (90≤ξ≤100)2＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.5．在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是每场投6个球，至少投进4个球，且最后2个球都投进者获奖，否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是23.(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率；(3)已知教师乙在一场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在一场比赛中获奖的概率；教师乙在一场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？解 (1)由题意，知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.依条件可知X ～B ⎝⎛⎭⎫6，23. P (X ＝k )＝C k 6⎝⎛⎭⎫23k ·⎝⎛⎭⎫136－k (k ＝0,1,2,3,4,5,6)．所以X 的分布列为所以X 的数学期望E (X )＝1729×(0×1＋1×12＋2×60＋3×160＋4×240＋5×192＋6×64)＝2 916729＝4. (2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则P (A )＝C 24×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫234＋C 14×13×⎝⎛⎭⎫235＋⎝⎛⎭⎫236＝3281. 故教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281.(3)设教师乙在一场比赛中获奖为事件B ，则P (B )＝C 24C 46＝25，即教师乙在一场比赛中获奖的概率为25.显然25≠3281，所以教师乙在一场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．。
物理步步高大一轮复习讲义答案
物理步步高大一轮复习讲义答案(共21页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--实验基础知识一、螺旋测微器的使用1．构造：如图1所示，B为固定刻度，E为可动刻度．图12．原理：测微螺杆F与固定刻度B之间的精密螺纹的螺距为 mm，即旋钮D每旋转一周，F前进或后退mm，而可动刻度E上的刻度为50等份，每转动一小格，F前进或后退mm，即螺旋测微器的精确度为mm.读数时估读到毫米的千分位上，因此，螺旋测微器又叫千分尺．3．读数：测量值(mm)＝固定刻度数(mm)(注意半毫米刻度线是否露出)＋可动刻度数(估读一位)×(mm)．如图2所示，固定刻度示数为mm，半毫米刻度线未露出，而从可动刻度上读的示数为，最后的读数为： mm＋× mm＝ mm.图2二、游标卡尺1．构造：主尺、游标尺(主尺和游标尺上各有一个内、外测量爪)、游标卡尺上还有一个深度尺．(如图3所示)图32．用途：测量厚度、长度、深度、内径、外径．3．原理：利用主尺的最小分度与游标尺的最小分度的差值制成．不管游标尺上有多少个小等分刻度，它的刻度部分的总长度比主尺上的同样多的小等分刻度少1 mm.常见的游标卡尺的游标尺上小等分刻度有10个的、20个的、50个的，其规格见下表：刻度格数(分度)刻度总长度每小格与1 mm的差值精确度(可精确到) 109 mm mm mm2019 mm mm mm5049 mm mm mm4.读数：若用x表示从主尺上读出的整毫米数，K表示从游标尺上读出与主尺上某一刻度线对齐的游标的格数，则记录结果表示为(x＋K×精确度)mm.三、常用电表的读数对于电压表和电流表的读数问题，首先要弄清电表量程，即指针指到最大刻度时电表允许通过的最大电压或电流，然后根据表盘总的刻度数确定精确度，按照指针的实际位置进行读数即可．(1)0～3 V的电压表和0～3 A的电流表的读数方法相同，此量程下的精确度分别是V和A，看清楚指针的实际位置，读到小数点后面两位．(2)对于0～15 V量程的电压表，精确度是V，在读数时只要求读到小数点后面一位，即读到 V.(3)对于0～A量程的电流表，精确度是A，在读数时只要求读到小数点后面两位，这时要求“半格估读”，即读到最小刻度的一半 A.基本实验要求1．实验原理根据电阻定律公式知道只要测出金属丝的长度和它的直径d ，计算出横截面积S ，并用伏安法测出电阻R x ，即可计算出金属丝的电阻率． 2．实验器材被测金属丝，直流电源(4 V)，电流表(0～ A)，电压表(0～3 V)，滑动变阻器(50 Ω)，开关，导线若干，螺旋测微器，毫米刻度尺． 3．实验步骤(1)用螺旋测微器在被测金属丝上的三个不同位置各测一次直径，求出其平均值d . (2)连接好用伏安法测电阻的实验电路．(3)用毫米刻度尺测量接入电路中的被测金属丝的有效长度，反复测量三次，求出其平均值l .(4)把滑动变阻器的滑片调节到使接入电路中的电阻值最大的位置．(5)闭合开关，改变滑动变阻器滑片的位置，读出几组相应的电流表、电压表的示数I 和U 的值，填入记录表格内．(6)将测得的R x 、l 、d 值，代入公式R ＝ρl S 和S ＝πd 24中，计算出金属丝的电阻率．4．电流表、电压表测电阻两种方法的比较电流表内接法电流表外接法电路图误差原因电流表分压 U 测＝U x ＋U A 电压表分流 I 测＝I x ＋I V 电阻测量值R 测＝U 测I 测＝R x ＋R A >R xR 测＝U 测I 测＝R x R VR x ＋R V <R x测量值大于真实值测量值小于真实值适用条件R A≪R x R V≫R x规律方法总结1．伏安法测电阻的电路选择(1)阻值比较法：先将待测电阻的估计值与电压表、电流表内阻进行比较，若R x较小，宜采用电流表外接法；若R x较大，宜采用电流表内接法．(2)临界值计算法R x<R V R A时，用电流表外接法；R x>R V R A时，用电流表内接法．(3)实验试探法：按图4接好电路，让电压表的一根接线柱P先后与a、b处接触一下，如果电压表的示数有较大的变化，而电流表的示数变化不大，则可采用电流表外接法；如果电流表的示数有较大的变化，而电压表的示数变化不大，则可采用电流表内接法．图42．注意事项(1)先测直径，再连电路：为了方便，测量直径应在金属丝连入电路之前测量．(2)电流表外接法：本实验中被测金属丝的阻值较小，故采用电流表外接法．(3)电流控制：电流不宜过大，通电时间不宜过长，以免金属丝温度过高，导致电阻率在实验过程中变大．3．误差分析(1)若为内接法，电流表分压．(2)若为外接法，电压表分流．(3)长度和直径的测量．考点一测量仪器、仪表的读数1．游标卡尺的读数(1)10分度的游标尺的读数：主尺上读出整毫米数＋游标尺上与主尺上某一刻度线对齐的游标的格数×1 10.(2)20分度的游标尺的读数：主尺上读出整毫米数＋游标尺上与主尺上某一刻度线对齐的游标的格数×1 20.2．螺旋测微器的读数方法：固定刻度数mm＋可动刻度数(估读一位)× mm.3．电流表和电压表的读数(1)若刻度盘上每一小格为：1,,，…时，需估读到最小刻度值的下一位．(2)若刻度盘上每一小格为：2,,,5,,，…时，只需估读到最小刻度值的位数．1．[直尺和游标卡尺的读数](2014·福建理综·19(1))某同学测定一金属杆的长度和直径，示数如图5甲、乙所示，则该金属杆的长度和直径分别为________ cm和________ mm.图5答案解析刻度尺的分度值为1 mm，要估读到 mm.游标卡尺读数＝4 mm＋10× mm＝ mm. 2．[螺旋测微器的读数]完成下列读数(如图6所示)图6a．____________mm b．____________mmc．____________mm d．____________mm答案a．～b．～c．～d．～3．[电压表、电流表和电阻箱的读数](1)①如图7所示的电流表使用A量程时，对应刻度盘上每一小格代表________A，图中表针示数是________A；当使用3 A量程时，对应刻度盘上每一小格代表________ A，图中表针示数为________A.图7②如图8所示的电表使用较小量程时，每小格表示____________V，图中指针的示数为________ V．若使用的是较大量程，则这时表盘刻度每小格表示________V，图中表针指示的是________V.图8(2)旋钮式电阻箱如图9所示，电流从接线柱A流入，从B流出，则接入电路的电阻为____ Ω.今欲将接入电路的电阻改为2 087 Ω，最简单的操作方法是________．若用两个这样的电阻箱，则可得到的电阻值范围为_________．图9答案(1)①2．20②(2)1 987将“×1 k”旋钮调到2，再将“×100”旋钮调到00～19 998 Ω解析(1)①电流表使用A量程时，刻度盘上的每一小格为A，指针的示数为A；当换用3 A量程时，每一小格为 A，指针示数为 A.②电压表使用3 V量程时，每小格表示V，指针示数为V；使用15 V量程时，每小格为V，指针示数为 V.(2)电阻为1 987 Ω.最简单的操作方法是将“×1 k”旋钮调到2，再将“×100”旋钮调到0.每个电阻箱的最大阻值是9 999 Ω，用这样两个电阻箱串联可得到的最大电阻2×9 999 Ω＝19 998 Ω.故两个这样的电阻箱，则可得到的电阻值范围为0～19 998 Ω.考点二实验操作及数据处理4．[实验操作](2014·江苏单科·10)某同学通过实验测量一种合金的电阻率．(1)用螺旋测微器测量合金丝的直径．为防止读数时测微螺杆发生转动，读数前应先旋紧图10所示的部件__________(选填“A”、“B”、“C”或“D”)．从图中的示数可读出合金丝的直径为________ mm.图10(2)图11所示是测量合金丝电阻的电路，相关器材的规格已在图中标出．合上开关，将滑动变阻器的滑片移到最左端的过程中，发现电压表和电流表的指针只在图示位置发生很小的变化．由此可以推断：电路中______(选填图中表示接线柱的数字)之间出现了________(选填“短路”或“断路”)．图11(3)在电路故障被排除后，调节滑动变阻器，读出电压表和电流表的示数分别为V和38 mA，由此，该同学算出接入电路部分的合金丝的阻值为Ω.为了更准确地测出合金丝的阻值，在不更换实验器材的条件下，对实验应作怎样的改进请写出两条建议．答案(1)B(2)7、8、9断路(3)电流表改为内接；测量多组电流和电压值，计算出电阻的平均值．(或测量多组电流和电压值，用图象法求电阻值)解析(1)螺旋测微器读数时应先将锁紧装置锁紧，即旋紧B.螺旋测微器的示数为(0＋×mm＝ mm.(2)电压表的示数不为0，电流表的示数几乎为0，说明连接两电表的电路是导通的．而滑动变阻器几乎不起作用，说明线路电阻很大，故可判断7、8、9间断路．(3)由题知R AR x≈<R xR V ≈，说明电流表的分压作用不显著，故可将电流表改为内接，并测出多组U 、I 值，求出R x 后，再取平均值作为实验结果．5．[实验操作及数据处理]用伏安法测定电阻约为5 Ω的均匀电阻丝的电阻率，电源是两节干电池．如图12甲所示，将电阻丝拉直后两端固定在带有刻度尺的绝缘底座的接线柱上，底座的中间有一个可沿电阻丝滑动的金属触头P ，触头上固定了接线柱，按下P 时，触头才与电阻丝接触，触头的位置可从刻度尺上读出．实验采用的电路原理图如图乙所示，测量电阻丝直径所用螺旋测微器如图丙所示．图12(1)用螺旋测微器测电阻丝的直径时，先转动________使测微螺杆F 接近被测电阻丝，再转动________夹住被测物，直到棘轮发出声音为止，拨动________使F 固定后读数．(填仪器部件的字母符号)(2)根据电路原理图乙，用笔画线代替导线，将实物图丁连接成实验电路．(3)闭合开关后，滑动变阻器触头调至一合适位置后不动，多次改变P 的位置，得到几组U 、I 、L 的数据，用R ＝UI计算出相应的电阻值后作出R －L 图线如图13所示．取图线上两个点间数据之差ΔL 和ΔR ，若电阻丝直径为d ，则电阻率ρ＝________.图13答案 (1)D H G (2)如图所示 (3)πΔRd 24ΔL解析 (1)在用螺旋测微器测电阻丝的直径时，先转动粗调旋钮D ，使测微螺杆F 接近被测电阻丝，再转动微调旋钮H 夹住被测物，直到棘轮发出声音为止，拨动止动旋钮G 使F 固定后读数．(3)根据R ＝ρl S ，得ΔR ＝ρΔL S ，而S ＝πd 24，代入得ρ＝πΔRd 24ΔL.6．[实验原理及数据处理]为测定一段金属丝的电阻率ρ，某同学设计了如图14甲所示的电路．ab 是一段电阻率较大的粗细均匀的电阻丝，电路中的保护电阻R 0＝ Ω，电源的电动势E ＝ V ，电流表内阻忽略不计，滑片P 与电阻丝始终接触良好．(1)实验中用螺旋测微器测得电阻丝的直径如图乙所示，其示数为d ＝________ mm.图14(2)实验时闭合开关，调节滑片P 的位置，分别测量出每次实验中aP 长度x 及对应的电流值I ，实验数据如下表所示：x (m) I (A) 1I(A －1)①将表中数据描在1I －x 坐标纸中，如图15所示．试作出其关系图线，图象中直线的斜率的表达式k ＝________(用题中字母表示)，由图线求得电阻丝的电阻率ρ为________ Ω·m (保留两位有效数字)．图15②根据1I －x 关系图线纵轴截距的物理意义，可求得电源的内阻为________ Ω(保留两位有效数字)．答案 (1) (2)①图线见解析图4ρπEd2 ×10－6 ② 解析 (1)由题图乙所示螺旋测微器可知，其示数为0 mm ＋× mm ＝ mm. (2)①如图所示．根据图象由电阻定律可得R ＝ρx S ，由欧姆定律可得：R ＝E I ，则图象斜率k ＝1I x ，S ＝πd 24联立解得：k ＝4ρπEd 2＝Δ1I Δx代入数据得： k ＝错误!＝3联立解得电阻率为： ρ＝k πEd 24代入数据得： ρ≈×10－6 Ω·m ；②根据1I －x 关系图线纵轴截距为，此时待测电阻丝的电阻为0，由闭合电路欧姆定律得：E＝I (r ＋R 0) 即：3＝错误!(r ＋ 得：r ＝ Ω计算电阻率的两种方法1．根据电阻定律得ρ＝RSl；2．通过有关图象来求电阻率．图象法处理实验数据是最常用的方法之一，要从物理规律出发，写出图象的函数关系式，弄清斜率、截距等的物理意义，从而求出相关物理量．考点三 电阻的测量电阻测量的六种方法 1．伏安法电路图⎩⎪⎨⎪⎧外接法：内接法：特点：大内小外(内接法测量值偏大，测大电阻时应用内接法测量，测小电阻时应采用外接法测量) 2．安安法若电流表内阻已知，则可将其当做电流表、电压表以及定值电阻来使用． (1)如图16甲所示，当两电流表所能测得的最大电压接近时，如果已知的内阻R 1，则可测得的内阻R 2＝I 1R 1I 2.(2)如图乙所示，当两电流表的满偏电压U A2≫U A1时，如果已知的内阻R 1，串联一定值电阻R 0后，同样可测得的电阻R 2＝I 1(R 1＋R 0)I 2.图163．伏伏法若电压表内阻已知，则可将其当做电流表、电压表和定值电阻来使用． (1)如图17甲所示，两电压表的满偏电流接近时，若已知的内阻R 1，则可测出的内阻R 2＝U 2U 1R 1.(2)如图乙所示，两电压表的满偏电流I V1≪I V2时，若已知的内阻R 1，并联一定值电阻R 0后，同样可得的内阻R 2＝U 2U 1R 1＋U 1R 0.图174．等效法测电阻如图18所示，先让待测电阻与一电流表串联后接到电动势恒定的电源上，读出电流表示数I ；然后将电阻箱与电流表串联后接到同一电源上，调节电阻箱的阻值，使电流表的示数仍为I ，则电阻箱的读数即等于待测电阻的阻值．图185．比较法测电阻如图19所示，读得电阻箱R 1的阻值及、的示数I 1、I 2，可得R x ＝I 2R 1I 1.如果考虑电流表内阻的影响，则I 1(R x ＋R A1)＝I 2(R 1＋R A2)．图196．半偏法测电流表内阻电路图如图20所示图20步骤：(1)断开S2，闭合S1，调节R0，使的示数满偏为I g；(2)保持R0不变，闭合S2，调节电阻箱R，使的示数为I g 2；(3)由上可得R A＝R.特别提醒当R0≫R A时，测量误差小，此方法比较适合测小阻值的电流表的内阻，且测量值偏小；电源电动势应选大些的，这样表满偏时R0才足够大，闭合S2时总电流变化才足够小，误差才小．7．[伏安法测电阻](2014·浙江理综·22)小明对2B铅笔芯的导电性能感兴趣，于是用伏安法测量其电阻值．(1)图21是部分连接好的实物电路图，请用电流表外接法完成接线并在图中画出．图21图22(2)小明用电流表内接法和外接法分别测量了一段2B 铅笔芯的伏安特性，并将得到的电流、电压数据描到U －I 图上，如图22所示．在图中，由电流表外接法得到的数据点是用________(填“○”或“×”)表示的．(3)请你选择一组数据点，在图上用作图法作图，并求出这段铅笔芯的电阻为_______ Ω. 答案 (1)见解析图甲 (2)× (3)见解析图乙 用“×”表示的数据连线时，～均可)，用“○”表示的数据连线时，～均可) 解析 (1)连线如图甲所示．甲乙(2)U －I 图象如图乙所示，U －I 图象的斜率反映了电阻的大小，而用电流表内接法时测得的电阻偏大，外接法时测得的电阻偏小，所以外接法的数据点是用“×”表示的． (3)在U －I 图象上，选用外接法所得的“×”连线，则R ＝ΔUΔI＝ Ω，选用内接法所得的“○”连线，则R ＝ΔUΔI＝ Ω.8．[电表改装和电阻测量]现要测量电流表G 1的内阻，给出下列器材：电流表G 1(量程5 mA ，内阻r 1约为150 Ω)电流表G 2(量程10 mA ，内阻r 2约为100 Ω) 定值电阻R 1＝100 Ω 定值电阻R 2＝10 Ω 滑动变阻器R 3(0～200 Ω) 干电池E V ，内阻未知)单刀单掷开关S 导线若干 (1)定值电阻选________________；(2)如图23所示，在虚线框中已画出部分实验电路设计图，请补充完整，并标明所用器材的代号；图23(3)若选测量数据中的一组计算r 1，所用的表达式为r 1＝____________________，式中各符号的意义是__________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 答案 (1)R 1 (2)电路图如图所示(3)R 1(I 2－I 1)I 1 I 1、I 2分别表示电流表G 1、G 2的读数，R 1表示定值电阻R 1的阻值．解析 (1)若选R 2，则其阻值太小，电流过大，而R 1与G 1内阻相当，故选R 1. (2)电路图如图所示．G 2的示数－G 1的示数为通过R 1的电流值．(3)由并联电路特点得：I 1r 1＝R 1(I 2－I 1) r 1＝R 1(I 2－I 1)I 1I 1、I 2分别表示电流表G 1、G 2的读数，R 1表示定值电阻R 1的阻值． 9．[等效替代法测电阻]电学实验中经常需要测量电阻的阻值．(1)测电阻的方法有很多种，现在提供一只标有“220 V 40 W ”的灯泡，它正常工作时的电阻为________ Ω.若用多用电表欧姆挡来测量这只灯泡的电阻，则测出的电阻值________(填“大于”“等于”或“小于”)灯泡正常工作时的电阻值． (2)用下列器材设计一个实验，测量该灯泡正常工作时的电阻值．A ．220 V 交流电源B ．单刀双掷开关一个C ．电阻箱一个(0～ Ω，额定电流 A)D ．定值电阻一个 kΩ，额定电流 A)E ．交流电流表一个(0～ A) 请在虚线框内画出电路原理图．答案 (1)1 210 小于 (2)见解析图解析 (1)正常工作时电压为额定电压，故有P ＝U 2R ，所以R ＝U 2P ＝1 210 Ω；灯泡在正常工作时发热，灯丝电阻率增大，电阻增大，因而用欧姆挡测量时阻值应小于正常工作时的电阻值．(2)应用替代法．因电阻箱的最大阻值小于灯泡正常工作的电阻值，故应串联一定值电阻，电路原理图如图所示．10．[半偏法测电阻](2015·新课标Ⅱ·23)电压表满偏时通过该表的电流是半偏时通过该表电流的两倍．某同学利用这一事实测量电压表的内阻(半偏法)，实验室提供的器材如下： 待测电压表(量程3 V ，内阻约为3 000 Ω)，电阻箱R 0(最大阻值为99 Ω)，滑动变阻器R 1(最大阻值100 Ω，额定电流2 A)，电源E (电动势6 V ，内阻不计)，开关2个，导线若干．(1)虚线框内为该同学设计的测量电压表内阻的电路图的一部分，将电路图补充完整(如图24)．图24(2)根据设计的电路，写出实验步骤：________________________________________________________________________________________________________________________________________________.(3)将这种方法测出的电压表内阻记为R V′，与电压表内阻的真实值R V相比，R V′________R V(填“＞”、“＝”或“＜”)，主要理由是____________________．答案(1)见解析图(2)见解析(3)＞理由见解析解析(1)实验电路图如图所示．(2)移动滑动变阻器的滑片，以保证通电后电压表所在支路分压最小；闭合开关S1、S2，调节R1，使电压表的指针满偏；保持滑动变阻器滑片的位置不变，断开S2，调节电阻箱R0，使电压表的指针半偏，读取电阻箱的电阻值，此即为测得的电压表内阻．(3)断开S2，调节电阻箱R0使电压表成半偏状态，电压表所在支路总电阻增大，分得的电压也增大，此时R0两端的电压大于电压表的半偏电压，故R V′＞R V.考点四实验拓展与创新11．[实验器材的创新]有一根细长且均匀的空心金属管线，长约30 cm，电阻约为5 Ω，已知这种金属的电阻率为ρ，现在要尽可能精确测定它的内径d.(1)用螺旋测微器测量金属管线外径D时刻度的位置如图25a所示，从图中读出外径为________ mm，应用________(选填“厘米刻度尺”或“毫米刻度尺”)测金属管线的长度L；图25(2)测量金属管线的电阻R，为此取来两节新的干电池、开关和若干导线及下列器材：A．电压表0～3 V，内阻约10 kΩB．电压表0～15 V，内阻约50 kΩC ．电流表0～ A ，内阻约 ΩD ．电流表0～3 A ，内阻约 ΩE ．滑动变阻器，0～10 ΩF ．滑动变阻器，0～100 Ω要求较准确地测出其阻值，电压表应选____________，电流表应选__________，滑动变阻器应选__________；(填序号)(3)实验中他的实物接线如图b 所示，请指出接线中的两处明显错误．错误1：___________________________________________________________________ 错误2：___________________________________________________________________ (4)用已知的物理常数和应直接测量的物理量(均用符号表示)，推导出计算金属管线内径的表达式d ＝______________；(5)在实验中，下列说法正确的是________． A ．为使电流表读数明显，应使电流尽可能大些B ．为操作方便，中间过程可保持开关S 一直处于闭合状态C ．千分尺的精确度是千分之一毫米D ．用千分尺测量直径时必须估读一位答案 (1) 毫米刻度尺 (2)A C E (3)导线连接在滑动变阻器的滑片上 采用了电流表内接法 (4)D 2－4ρIL πU(5)D解析 (1)螺旋测微器的读数为： D ＝5 mm ＋× mm ＝ mm ；测量30 cm 金属管长度时应用毫米刻度尺来测量．(2)由于两节干电池的电动势为3 V ，所以电压表应选A ；由于通过金属管的最大电流为I m ＝U R x ＝35A ＝ A ，所以电流表应选C.为了较准确地测出其阻值，滑动变阻器应选E. (3)由于待测金属管阻值远小于电压表内阻，所以电流表应用外接法，连线图中的两处明显错误分别是：错误1：导线连接在滑动变阻器的滑片上； 错误2：采用了电流表内接法．(4)设金属管线内径为d ，根据电阻定律应有：R ＝ρL14πD 2－14πd 2，又R ＝U I ，联立可得：d ＝D 2－4ρIL πU(5)由金属的电阻率随温度的升高而增大可知，通过待测金属管线的电流不能太大，所以A 错误；为减小温度的影响，中间过程应断开开关，所以B 错误；千分尺的精确度是 mm ，即应精确到1100毫米，所以C 错误；千分尺读数时必须估读一位，即估读到 mm ，所以D 正确．12．[液体电阻率的测量]如图26是一同学测量某导电液体电阻率的实物连线图．图中均匀的长直玻璃管内径为d ，里面充满待测导电液体，玻璃管两端各装有一电极，电极距离为L .图26(1)根据实物连线图在虚线框内画出实验的电路原理图，其中导电液体用电阻R x 表示．(2)在接通电路前，为保证器材安全滑动变阻器的滑片P 应移到最________端(填“左”或“右”)．在电路调试时，该同学发现：闭合开关S 1后，单刀双掷开关S 2接到a 接点时电压表示数为 V 、电流表示数为180 μA ；单刀双掷开关S 2接到b 接点时电压表示数为 V 、电流表示数为164 μA.正式测量时，为减小实验误差，单刀双掷开关S 2应接到________点(填“a ”或“b ”)．(3)该同学正确完成实验，测得该段液体的电阻R 0，则该导电液体的电阻率的表达式为ρ＝______________(用R 0、L 、d 等表示)． 答案 (1)如图所示(2)右 b (3)πR 0d 24L解析 (1)电路原理图如图所示(2)接通电路前为保证电路的安全，应使滑动变阻器接入电路中的电阻最大，即滑片应移到最右端．分别使用内接法和外接法时电流表示数变化大，电压表示数变化小，说明电流表对示数影响较小，即电流表内阻远小于被测电阻，为减小误差应当采用电流表内接法，故接b 点．(3)根据欧姆定律R ＝U I 、电阻定律ρ＝RS L 及S ＝π(d 2)2可得电阻率ρ＝πR 0d 24L. 13．[实验拓展]某些固体材料受到外力后除了产生形变外，其电阻率也要发生变化，这种由于外力的作用而使材料电阻率发生变化的现象称为“压阻效应”．现用如图27所示的电路研究某长薄板电阻R x 的压阻效应，已知R x 的阻值变化范围为几欧到几十欧，实验室中有下列器材：图27A ．电源E (3 V ，内阻约为1 Ω)B ．电流表A 1 A ，内阻r 1＝5 Ω)C ．电流表A 2(6 A ，内阻r 2约为1 Ω)D ．开关S ，定值电阻R 0(1)为了比较准确地测量电阻R x 的阻值，根据虚线框内电路图的设计，甲表选用________(选填“A 1”或“A 2”)，乙表选用________(选填“A 1”或“A 2”)．(2)在电阻R x上加一个竖直向下的力F(设竖直向下为正方向)，闭合开关S，记下电表读数，A1的读数为I1，A2的读数为I2，得R x＝________(用字母表示)．(3)改变力的大小，得到不同的R x值，然后让力反向从下向上挤压电阻，并改变力的大小，得到不同的R x值，最后绘成的图象如图28所示．当F竖直向下(设竖直向下为正方向)时，可得R x与所受压力F的数值关系是R x＝________________.(各物理量单位均为国际单位)图28(4)定值电阻R0的阻值应该选用________________．A．1 Ω B．5 Ω C．10 Ω D．20 Ω答案(1)A1A2(2)I1r1I2－I1(3)16－2F(4)B解析(1)由于A1内阻确定，并且与待测电阻接近，与待测电阻并联，用来测出待测电阻R x两端的电压，用A2测得的电流减去A1测得的电流就是流过待测电阻的电流，根据欧姆定律就可求出待测电阻的阻值，电路连接如图所示．(2)待测电阻两端的电压U＝I1r1，流过待测电阻的电流I＝I2－I1，因此待测电阻的阻值为R x＝I1r1I2－I1.(3)由图象的对称性可知，加上相反的压力时，电阻值大小相等；图象与纵坐标的交点为16 Ω，当R＝7 Ω时，对应的力为 N，因此函数表达式R x＝16－2F.(4)整个回路总电流不能大于 A，而电动势为3 V，因此总电阻应略大于5 Ω，而电源内阻约为1 Ω，因此定值电阻R0的阻值应选5 Ω，即可保证电流不超过量程，也保证电流不太小，两块电流表读数准确．。
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16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
步步高2015届高考物理(新课标)大一轮复习配套文档第五章第2课时动能定理(共计19页,含答案解析)全国通
第2课时 动能定理考纲解读 1.掌握动能的概念，知道动能是标量，会求动能的变化量.2.掌握动能定理，能运用动能定理解答实际问题．1．[对动能定理的理解]关于动能定理的表达式W ＝E k2－E k1，下列说法正确的是 ( )A ．公式中的W 为不包含重力的其他力做的总功B ．公式中的W 为包含重力在内的所有力做的功，也可通过以下两种方式计算：先求每个力的功再求功的代数和或先求合外力再求合外力的功C ．公式中的E k2－E k1为动能的增量，当W >0时动能增加，当W <0时，动能减少D ．动能定理适用于直线运动，但不适用于曲线运动，适用于恒力做功，但不适用于变力做功 答案 BC2．[动能定理的应用]甲、乙两物体质量之比m 1∶m 2＝1∶2，它们与水平桌面间的动摩擦因数相同，在水平桌面上运动时，因受摩擦力作用而停止． (1)若它们的初速度相同，则运动位移之比为________； (2)若它们的初动能相同，则运动位移之比为________． 答案 (1)1∶1 (2)2∶1解析 设两物体与水平桌面间的动摩擦因数为μ. (1)它们的初速度相同，设为v 0，由动能定理得： －μm 1gl 1＝0－12m 1v 20 －μm 2gl 2＝0－12m 2v 20 所以l 1∶l 2＝1∶1. 学科网ZXXK] (2)它们的初动能相同，设为E k ，由动能定理得： －μm 1gl 1＝0－E k －μm 2gl 2＝0－E k所以l 1∶l 2＝m 2∶m 1＝2∶1.3．[利用动能定理求变力的功]假定地球、月球都静止不动，用火箭从地球沿地月连线向月球发射一探测器．假定探测器在地球表面附近脱离火箭．用W 表示探测器从脱离火箭处飞到月球的过程中克服地球引力做的功，用E k 表示探测器脱 离火箭时的动能，若不计空气阻力(地球质量约为月球的6倍)．则( )A ．E k 必须大于或等于W ，探测器才能到达月球B ．E k 小于W ，探测器也可能到达月球C ．E k ＝12W ，探测器一定能到达月球D ．E k ＝12W ，探测器一定不能到达月球答案 BD解析 因为探测器从脱离火箭到飞到月球的过程中，探测器不但受到地球对它的引力，而且还受到月球对它的引力，地球引力对探测器做负功，月球引力对探测器做正功，利用动能定理得－W 地＋W 月＝E k 末－E k (假设恰好到达月球，此时末动能E k 末＝0)，对上式变形可得：E k ＝W 地－W 月<W 地＝W ，可见，E k 小于W ，探测器也能到达月球，故选项A 错误，B 正确；又由地球质量约为月球质量的6倍，故地球对探测器产生的平均作用力比月球的大，做的功满足关系式：E k ＝W 地－W 月＝56W 地>12W ，可知当E k 等于12W 时，探测器不可能到达月球，故选项C 错误，D 正确．动能定理1．内容：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化． 2．表达式：W ＝12m v 22－12m v 21＝E k2－E k1. 3．物理意义：合外力的功是物体动能变化的量度． 4．适用条件(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动． (2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功．(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用.考点一 动能定理及其应用1．动能定理公式中等号表明了合外力做功与物体动能的变化具有等量代换关系．合外力的功是引起物体动能变化的原因．2．动能定理中涉及的物理量有F 、l 、m 、v 、W 、E k 等，在处理含有上述物理量的问题时，优先考虑使用动能定理．3．若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可以分段考虑，也可以整个过程考虑．但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同的情况分别对待求出总功，计算时要把各力的功连同正负号一同代入公式．例1 我国第一艘航空母舰“辽宁号”已经投入使用．为使战斗机更容易起飞，“辽宁号”使用了跃习技术，其甲板可简化为如图1所示的模型：AB 部分水平，BC 部分倾斜，倾角为θ.战机从A 点开始滑跑，从C 点离舰，此过程中发动机的推力和飞机所受甲板和空气阻力的合力大小恒为F ，ABC 甲板总长度为L ，战斗机质量为m ，离舰时的速度为v m ，不计飞机在B 处的机械能损失．求AB 部分的长度．图1解析 设AB 段长为s ，从A 到C ，根据动能定理得： W F ＋W G ＝12m v 2m即FL －mgh ＝12m v 2mh ＝(L －x )sin θ综合以上各式解得：x ＝L －2FL －m v 2m2mg sin θ答案 L －2FL －m v 2m2mg sin θ应用动能定理解题的基本思路 (1)选取研究对象，明确它的运动过程； (2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况：(3)明确研究对象在过程的初末状态的动能E k1和E k2；(4)列动能定理的方程W 合＝E k2－E k1及其他必要的解题方程，进行求解．突破训练1 小孩玩冰壶游戏，如图2所示，将静止于O 点的冰壶(视为质点)沿直线OB 用水平恒力推到A 点放手，此后冰壶沿直线滑行，最后停在B 点．已知冰面与冰壶的动摩擦因数为μ，冰壶质量为m ，OA ＝x ，AB ＝L .重力加速度为g .求：图2(1)冰壶在A 点的速率v A ；(2)冰壶从O 点运动到A 点的过程中受到小孩施加的水平推力F . 答案 (1)2μgL (2)μmg (x ＋L )x解析 (1)冰壶从A 点运动至B 点的过程中，只有滑动摩擦力对其做负功，由动能定理得－μmgL ＝0－12m v 2A解得v A ＝2μgL(2)冰壶从O 点运动至A 点的过程中，水平推力F 和滑动摩擦力同时对其做功，由动能定理得(F －μmg )x ＝12m v 2A解得F ＝μmg (x ＋L )x考点二 利用动能定理求变力的功例2 如图3所示，质量为m 的小球用长为L 的轻质细线悬于O 点，与O 点处于同一水平线上的P 点处有一个光滑的细钉，已知OP ＝L2，在A 点给小球一个水平向左的初速度v 0，发现小球恰能到达跟P 点在同一竖直线上的最高点B .求：图3(1)小球到达B 点时的速率；(2)若不计空气阻力，则初速度v 0为多少；(3)若初速度v 0＝3gL ，则小球在从A 到B 的过程中克服空气阻力做了多少功． 解析 (1)小球恰能到达最高点B ， 有mg ＝m v 2BL 2，得v B ＝gL 2. (2)若不计空气阻力，从A →B 由动能定理得 －mg (L ＋L 2)＝12m v 2B －12m v 20 解得v 0＝7gL2.(3)由动能定理得－mg (L ＋L 2)－W f ＝12m v 2B －12m v 20 解得W f ＝114mgL .答案 (1)gL2(2) 7gL 2 (3)114mgL Z*xx*k应用动能定理求变力做功时应注意的问题 (1)所求的变力的功不一定为总功，故所求的变力的功不一定等于ΔE k .(2)若有多个力做功时，必须明确各力做功的正负，待求的变力的功若为负功，可以设克服该力做功为W ，则表达式中应用－W ；也可以设变力的功为W ，则字母W 本身含有负号．突破训练2 如图4所示，在竖直平面内有一半径为R 的圆弧轨道，半径OA 水平、OB 竖直，一个质量为m 的小球自A 的正上方P 点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B 时恰好对轨道没有压力．已知AP ＝2R ，重力加速度为g ，则小球从P 到B 的运动过程中( )Z|xx|k图4A ．重力做功2mgRB ．机械能减少mgRC ．合外力做功mgRD ．克服摩擦力做功12mgR答案 D解析 小球到达B 点时，恰好对轨道没有压力，故只受重力作用，根据mg ＝m v 2R 得，小球在B 点的速度v ＝gR .小球从P 点到B 点的过程中，重力做功W ＝mgR ，故选项A 错误；减少的机械能ΔE 减＝mgR －12m v 2＝12mgR ，故选项B 错误；合外力做功W 合＝12m v 2＝12mgR ，故选项C 错误；根据动能定理得，mgR －W f ＝12m v 2－0，所以W f ＝mgR －12m v 2＝12mgR，故选项D正确．考点三动能定理与图象结合的问题例3小军看到打桩机，对打桩机的工作原理产生了兴趣．他构建了一个打桩机的简易模型，如图5甲所示．他设想，用恒定大小的拉力F拉动绳端B，使物体从A点(与钉子接触处)由静止开始运动，上升一段高度后撤去F，物体运动到最高点后自由下落并撞击钉子，将钉子打入一定深度．按此模型分析，若物体质量m＝1 kg，上升了1 m高度时撤去拉力，撤去拉力前物体的动能E k与上升高度h的关系图象如图乙所示．(g取10 m/s2，不计空气阻力)图5(1)求物体上升到0.4 m高度处F的瞬时功率．(2)若物体撞击钉子后瞬间弹起，且使其不再落下，钉子获得20 J的动能向下运动．钉子总长为10 cm.撞击前插入部分可以忽略，不计钉子重力．已知钉子在插入过程中所受阻力F f与深度x的关系图象如图丙所示，求钉子能够插入的最大深度．审题突破①E k－h图象中斜率表示物体所受合外力．②计算瞬时功率用公式P＝F v，其中v为瞬时速度．③当力随位移均匀变化时可用W＝F x计算变力的功．解析(1)撤去F前，根据动能定理，有(F－mg)h＝E k－0由题图乙得，斜率为k＝F－mg＝20 N得F＝30 N又由题图乙得，h＝0.4 m时，E k＝8 J，则v＝4 m/sP＝F v＝120 W(2)碰撞后，对钉子，有－F f x′＝0－E k′已知E k′＝20 JF f＝k′x′2又由题图丙得k′＝105 N/m 解得：x′＝0.02 m答案(1)120 W(2)0.02 m突破训练3 随着中国首艘航母“辽宁号”的下水，同学们对舰载机的起降产生了浓厚的兴趣．下面是小聪编制的一道舰载机降落的题目，请你阅读后求解．图6(1)假设质量为m 的舰载机关闭发动机后在水平地面跑道上降落，触地瞬间的速度为v 0(水平)，在跑道上滑行的v －t 图象如图6所示．求舰载机滑行的最大距离和滑行时受到的平均阻力大小；(2)航母可以通过设置阻拦索来增大对舰载机的阻力．现让该舰载机关闭发动机后在静止于海面上的航母水平甲板上降落，若它接触甲板瞬间的速度仍为v 0(水平)，在甲板上的运动可以看做匀变速直线运动，在甲板上滑行的最大距离是在水平地面跑道上滑行的最大距离的14.求该舰载机在航母上滑行时受到的平均阻力大小(结果用m 、v 0、t 0表示)．答案 (1)12v 0t 0 m v 0t 0 (2)4m v 0t 0解析 (1)由题图，根据匀变速运动规律可得 最大距离为x ＝12v 0t 0由动能定理有－F f x ＝0－12m v 20解得阻力F f ＝m v 0t 0(2)最大距离x ′＝14x ＝18v 0t 0由动能定理有－F f ′x ′＝0－12m v 20联立解得F f ′＝4m v 0t 022.利用动能定理分析多过程问题例4 如图7所示，倾角为37°的粗糙斜面AB 底端与半径R ＝0.4 m 的光滑半圆轨道BC 平滑相连，O 点为轨道圆心，BC 为圆轨道直径且处于竖直方向，A 、C 两点等高．质量m ＝1 kg 的滑块从A 点由静止开始下滑，恰能滑到与O 点等高的D 点，g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.图7(1)求滑块与斜面间的动摩擦因数μ；(2)若使滑块能到达C 点，求滑块从A 点沿斜面滑下时的初速度v 0的最小值； (3)若滑块离开C 点的速度大小为4 m/s ，求滑块从C 点飞出至落到斜面上所经历的时间t .审题与关联解析 (1)滑块从A 点到D 点的过程中，根据动能定理有mg (2R －R )－μmg cos 37°·2R sin 37°＝0－0解得：μ＝12tan 37°＝0.375(2)若使滑块能到达C 点，根据牛顿第二定律有mg ＋F N ＝m v 2CR由F N ≥0得v C ≥Rg ＝2 m/s滑块从A 点到C 点的过程中，根据动能定理有 －μmg cos 37°·2R sin 37°＝12m v 2C －12m v 2则v 0＝v 2C ＋4μgR cot 37°≥2 3 m/s ，故v 0的最小值为2 3 m/s (3)滑块离开C 点后做平抛运动，有x ＝v C ′t ，y ＝12g t 2由几何知识得tan 37°＝2R －yx，整理得：5t 2＋3t －0.8＝0，解得t ＝0.2 s(t ＝－0.8 s 舍去) 答案 (1)0.375 (2)2 3 m/s (3)0.2 s1．运用动能定理解决问题时，选择合适的研究过程能使问题得以简化．当物体的运动过程包含几个运动性质不同的子过程时，可以选择一个、几个或全部子过程作为研究过程． 2．当选择全部子过程作为研究过程，涉及重力、大小恒定的阻力或摩擦力做功时，要注意运用它们的功能特点：(1)重力的功取决于物体的初、末位置，与路径无关；(2)大小恒定的阻力或摩擦力的功等于力的大小与路程的乘积．突破训练4 一轻质细绳一端系一质量为m ＝120kg 的小球A ，另一端挂在光滑水平轴O 上，O 到小球的距离为L ＝0.1 m ，小球跟水平面接触，但无相互作用，在球的两侧等距离处分别固定一个光滑的斜面和一个挡板，如图8所示，水平距离s 为2 m ，动摩擦因数为0.25.现有一小滑块B ，质量也为m ，从斜面上滑下，与小球碰撞时交换速度，与挡板碰撞不损失机械能．若不计空气阻力，并将滑块和小球都视为质点，g 取10 m/s 2，试问：图8(1)若滑块B 从斜面某一高度h 处滑下与小球第一次碰撞后，使小球恰好在竖直平面内做圆周运动，求此高度h .(2)若滑块B 从h ′＝5 m 处滑下，求滑块B 与小球第一次碰后瞬间绳子对小球的拉力． (3)若滑块B 从h ′＝5 m 处滑下与小球碰撞后，小球在竖直平面内做圆周运动，求小球做完整圆周运动的次数n . 答案 (1)0.5 m (2)48 N (3)10解析 (1)碰后，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，设运动到最高点的速度为v 0，此时仅由重力充当向心力， 则有mg ＝m v 20L，解得v 0＝1 m/s在滑块从h 处运动到小球到达最高点的过程中，由动能定理 mg (h －2L )－μmg s 2＝12m v 20解得h ＝0.5 m(2)若滑块从h ′＝5 m 处下滑到将要与小球碰撞时速度为v 1，则有mgh ′－μmg s 2＝12m v 21滑块与小球碰后的瞬间，滑块静止，小球以v 1的速度开始做圆周运动，绳的拉力F T 和重力的合力充当向心力，则有F T －mg ＝m v 21L解得F T ＝48 N(3)滑块和小球第一次碰撞后，每在水平面上经过路程s 后就会再次碰撞，则mgh ′－μmg s 2－12m v 20－2mgLμmgs＋1≥n解得n ≤10，故小球最多做10次完整的圆周运动．高考题组1．(2013·海南·13)一质量m ＝0.6 kg 的物体以v 0＝20 m/s 的初速度从倾角α＝30°的斜坡底端沿斜坡向上运动．当物体向上滑到某一位置时，其动能减少了ΔE k ＝18 J ，机械能减少了ΔE ＝3 J ，不计空气阻力，重力加速度g ＝10 m/s 2，求：(1)物体向上运动时加速度的大小； Zxxk (2)物体返回斜坡底端时的动能． 答案 (1)6 m/s 2 (2)80 J解析 (1)设物体在运动过程中所受的摩擦力大小为f ，向上运动的加速度大小为a ，由牛顿第二定律有 a ＝mg sin α＋fm①设物体动能减少ΔE k 时，在斜坡上运动的距离为s ，由功能关系得 ΔE k ＝(mg sin α＋f )s ② ΔE ＝fs③联立①②③式并代入数据可得 a ＝6 m/s 2④(2)设物体沿斜坡向上运动的最大距离为s m ，由运动学规律可得s m ＝v 202a⑤设物体返回底端时的动能为E k ，由动能定理有 E k ＝(mg sin α－f )s m⑥联立①④⑤⑥式并代入数据可得 E k ＝80 J 模拟题组2．光滑水平面上静止的物体，受到一个水平拉力作用开始运动，拉力F 随时间t 变化的图象如图9所示，用E k 、v 、x 、P 分别表示物体的动能、速度、位移和拉力F 的功率，下列四个图象分别定性描述了这些物理量随时间变化的情况，其中正确的是 ( )图9答案 BD解析 由于拉力F 恒定，所以物体有恒定的加速度a ，则v ＝at ，即v 与t 成正比，选项B 正确；由P ＝F v ＝Fat 可知，P 与t 成正比，选项D 正确；由x ＝12at 2可知x 与t 2成正比，选项C 错误；由动能定理可知E k ＝Fx ＝12Fat 2，E k 与t 2成正比，选项A 错误．3．如图10所示，光滑的14圆弧AB ，半径R ＝0.8 m ，固定在竖直平面内．一辆质量为M ＝2kg 的小车处在光滑水平平面上，小车的上表面CD 与圆弧在B 点的切线重合，初始时B 与C 紧挨着，小车长L ＝1 m ．现有一个质量为m ＝1 kg 的滑块(可视为质点)，自圆弧上的A 点由静止开始释放，滑块运动到B 点后冲上小车，带动小车向右运动，当滑块与小车分离时，小车运动了x ＝0.2 m ，此时小车的速度为v ＝1 m/s.求：图10(1)滑块到达B 点时对圆弧轨道的压力； 学|科| (2)滑块与小车间的动摩擦因数； (3)滑块与小车分离时的速度．答案 (1)30 N ，方向竖直向下 (2)0.5 (3)2 m/s 解析 (1)滑块从A 到B 的过程，由动能定理得 mgR ＝12m v 2B滑块在B 点，由牛顿第二定律得F N －mg ＝m v 2BR代入数据解得F N ＝30 N由牛顿第三定律知，滑块在B 点对轨道的压力为30 N ，方向竖直向下 (2)对小车，由动能定理得μmgx ＝12M v 2代入数据解得μ＝0.5(3)对滑块，在小车上运动的过程中，由动能定理得－μmg (x ＋L )＝12m v 2D －12m v 2B 代入数据解得v D ＝2 m/s4．如图11所示，固定在水平面上的斜面与水平面的连接处为一极小的光滑圆弧(物块经过Q 点时不损失机械能)，斜面与地面是用同种材料制成的．斜面的最高点为P ，P 距离水平面的高度为h ＝5 m ．在P 点先后由静止释放两个可视为质点的小物块A 和B ，A 、B 的质量均为m ＝1 kg ，A 与斜面及水平面的动摩擦因数为μ1＝0.5，B 与斜面及水平面的动摩擦因数为μ2＝0.3.A 物块从P 点由静止释放后沿斜面滑下，停在了水平面上的某处．求：图11(1)A 物块停止运动的位置距离斜面的直角顶端O 点的距离是多少；(2)当A 物块停止运动后准备再释放B 物块时发现它们可能会发生碰撞，为了避免A 、B 碰撞，此时对A 另外施加了一个水平向右的外力F ，把A 物体推到了安全的位置，之后再释放B 就避免了A 、B 碰撞．求外力F 至少要做多少功，可使A 、B 不相撞．(g 取10 m/s 2，此问结果保留三位有效数字) 答案 见解析解析 (1)设斜面倾角为θ，物块所停位置到Q 点距离为s . 斜面长L ＝hsin θ摩擦力F f ＝μF N ＝μmg cos θ由动能定理得：mgh －μmg cos θhsin θ－μmgs ＝0停止的位置到O 点距离x ＝htan θ＋s 由以上各式得x ＝hμA 物块x A ＝hμ1＝10m(2)若只释放B 后同理得 x B ＝hμ2≈16.7mΔx ＝x B －x A ＝6.7m若不相碰应将A 至少向右推出Δx ， 依动能定理W F －μ1mg Δx ＝E K A当E K A ＝0时W F 最小故至少做功W F ＝μ1mgΔx ＝33.5 J.(限时：45分钟)►题组1 动能定理的简单应用1．一人乘竖直电梯从1楼到12楼，在此过程中经历了先加速，后匀速，再减速的运动过程，则下列说法正确的是( )A ．电梯对人做功情况是：加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功B ．电梯对人做功情况是：加速和匀速时做正功，减速时做负功C ．电梯对人做的功等于人动能的增加量D ．电梯对人做的功和重力对人做的功的代数和等于人动能的增加量 答案 D解析 电梯向上加速、匀速、再减速运动的过程中，电梯对人的作用力始终向上，故电梯始终对人做正功，A 、B 均错误；由动能定理可知，电梯对人做的功和重力对人做的功的代数和等于人动能的增加量，故C 错误，D 正确．2．一辆汽车以v 1＝6 m/s 的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行x 1＝3.6 m ，如果以v 2＝8 m/s 的速度行驶，在同样路面上急刹车后滑行的距离x 2应为(不计空气阻力的影响)( )A ．6.4 mB ．5.6 mC ．7.2 mD ．10.8 m答案 A解析 急刹车后，车只受摩擦阻力F f 的作用，且两种情况下摩擦力大小是相同的，汽车的末速度皆为零．则有 －F f x 1＝0－12m v 21① －F f x 2＝0－12m v 22②②式除以①式得x 2x 1＝v 22v 21.故汽车滑行距离：x 2＝v 22v 21x 1＝(86)2×3.6 m ＝6.4 m3．质量为10 kg 的物体，在变力F 作用下沿x 轴做直线运动，力随坐标x 的变化情况如图1所示．物体在x ＝0处，速度为1 m/s ，一切摩擦不计，则物体运动到x ＝16 m 处时，速度大小为( )图1A ．2 2 m/sB ．3 m/sC ．4 m/sD.17 m/s答案 B解析 F －x 图象与坐标轴围成的图形面积表示力F 做的功，图形位于x 轴上方表示力做正功，位于x 轴下方表示力做负功，面积大小表示功的大小，所以物体运动到x ＝16 m 处时，力F 对物体做的总功W ＝40 J ，由动能定理W ＝12m v 22－12m v 21，代入数据可得v 2＝3 m/s ，B 正确．4．在新疆旅游时，最刺激的莫过于滑沙运动．某人坐在滑沙板上从沙坡斜面的顶端由静止沿直线下滑到斜面底端时，速度为2v 0，设人下滑时所受阻力恒定不变，沙坡长度为L ，斜面倾角为α，人的质量为m ，滑沙板质量不计，重力加速度为g .则( )A ．若人在斜面顶端被其他人推了一把，沿斜面以v 0的初速度下滑，则人到达斜面底端时的速度大小为3v 0B ．若人在斜面顶端被其他人推了一把，沿斜面以v 0的初速度下滑，则人到达斜面底端时的速度大小为5v 0C ．人沿沙坡下滑时所受阻力F f ＝mg sin α－2m v 20/LD ．人在下滑过程中重力功率的最大值为2mg v 0 答案 BC解析 某人坐在滑沙板上从沙坡斜面的顶端由静止沿直线下滑到斜面底端时，速度为2v 0，由动能定理可得，mgL sin α－F f L ＝12m (2v 0)2.若人在斜面顶端被其他人推了一把，沿斜面以v 0的初速度下滑，由动能定理得，mgL sin α－F f L ＝12m v 2－12m v 20，联立解得v＝5v 0.选项A 错误，B 正确；由mgL sin α－F f L ＝12m (2v 0)2解得人沿沙坡下滑时所受阻力F f ＝mg sin α－2m v 20/L ，选项C 正确；人在下滑过程中重力功率的最大值为mg ·2v 0·sin α＝2mg v 0sin α，选项D 错误. ►题组2 应用动能定理求解变力的功5．如图2所示，光滑水平平台上有一个质量为m 的物块，站在地面上的人用跨过定滑轮的绳子向右拉动物块，不计绳和滑轮的质量及滑轮的摩擦，且平台边缘离人手作用点竖直高度始终为h .当人以速度v 从平台的边缘处向右匀速前进位移x 时，则( )图2A ．在该过程中，物块的运动可能是匀速的B ．在该过程中，人对物块做的功为m v 2x 22(h 2＋x 2)C ．在该过程中，人对物块做的功为12m v 2D ．人前进x 时，物块的运动速率为v hh 2＋x 2答案 B解析 设绳子与水平方向的夹角为θ，则物块运动的速度v物＝v cos θ，而cos θ＝xh 2＋x 2，故v 物＝v x h 2＋x 2，可见物块的速度随x 的增大而增大，A 、D 均错误；人对物块的拉力为变力，变力的功可应用动能定理求解，即W ＝12m v 2物＝m v 2x 22(h 2＋x 2)，B 正确，C错误．6．如图3所示，一质量为m 的质点在半径为R 的半球形容器中(容器固定)由静止开始自边缘上的A 点滑下，到达最低点B 时，它对容器的正压力为F N .重力加速度为g ，则质点自A 滑到B 的过程中，摩擦力对其所做的功为( )图3A.12R (F N －3mg ) B.12R (3mg －F N ) C.12R (F N －mg )D.12R (F N －2mg ) 答案 A解析 质点到达最低点B 时，它对容器的正压力为F N ，根据牛顿第二定律有F N －mg ＝m v 2R ，根据动能定理，质点自A 滑到B 的过程中有W f ＋mgR ＝12m v 2，故摩擦力对其所做的功W f ＝12RF N －32mgR ，故A 项正确． Z_xx_k7．质量为m 的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，如图4所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg ，在此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是( )图4A.14mgR B.13mgR C.12mgRD ．mgR答案 C解析 小球通过最低点时，绳的张力为F ＝7mg ① 由牛顿第二定律可知：F －mg ＝m v 21R②小球恰好能通过最高点，则在最高点时绳子拉力为零，由牛顿第二定律可知：mg ＝m v 22R③小球由最低点运动到最高点的过程中，由动能定理得： －2mgR ＋W f ＝12m v 22－12m v 21④由①②③④可得W f ＝－12mgR ，所以小球克服空气阻力所做的功为12mgR ，故C 正确，A 、B 、D 错误．►题组3 应用动能定理分析多过程问题8．如图5所示，QB 段为一半径为R ＝1 m 的光滑圆弧轨道，AQ 段为一长度为L ＝1 m 的粗糙水平轨道，两轨道相切于Q 点，Q 在圆心O 的正下方，整个轨道位于同一竖直平面内．物块P 的质量为m ＝1 kg(可视为质点)，P 与AQ 间的动摩擦因数μ＝0.1，若物块P 以速度v 0从A 点滑上水平轨道，到C 点后又返回A 点时恰好静止．(取g ＝10 m/s 2)求：图5(1)v 0的大小；(2)物块P 第一次刚通过Q 点时对圆弧轨道的压力． 答案 (1)2 m/s (2)12 N ，方向竖直向下解析 (1)物块P 从A 到C 又返回A 的过程中，由动能定理有 －μmg ·2L ＝0－12m v 2解得v 0＝4μgL ＝2 m/s 学+科+网Z+X+X+K](2)设物块P 第一次刚通过Q 点时的速度为v ，在Q 点轨道对P 的支持力为F N ，由动能定理和牛顿第二定律有 －μmgL ＝12m v 2－12m v 20F N －mg ＝m v 2R解得F N ＝12 N由牛顿第三定律可知，物块P 第一次刚通过Q 点时对圆弧轨道的压力大小也为12 N ，方向竖直向下9．如图6甲所示，在倾角为30°的足够长的光滑斜面AB 的A 处连接一粗糙水平面OA ，OA长为4 m ．有一质量为m 的滑块，从O 处由静止开始受一水平向右的力F 作用．F 只在水平面上按图乙所示的规律变化．滑块与OA 间的动摩擦因数μ＝0.25，g 取10 m/s 2，试求：图6(1)滑块运动到A 处的速度大小．(2)不计滑块在A 处的速率变化，滑块冲上斜面AB 的长度是多少？ 答案 (1)5 2 m/s (2)5 m解析 (1)由题图乙知，在前2 m 内，F 1＝2mg ，做正功，在第3 m 内，F 2＝－0.5mg ，做负功，在第4 m 内，F 3＝0，滑动摩擦力F f ＝－μmg ＝－0.25mg ，始终做负功，对于滑块在OA 上运动的全过程，由动能定理得： F 1x 1＋F 2x 2＋F f x ＝12m v 2A－0即2mg ×2－0.5mg ×1－0.25mg ×4＝12m v 2A解得v A ＝5 2 m/s(2)对于滑块冲上斜面的过程，由动能定理得 －mgL sin 30°＝0－12m v 2A解得：L ＝5 m所以滑块冲上AB 的长度L ＝5 m10．如图7所示，粗糙水平地面AB 与半径R ＝0.4 m 的光滑半圆轨道BCD 相连接，且在同一竖直平面内，O 是BCD 的圆心，BOD 在同一竖直线上．质量m ＝2 kg 的小物块在9 N 的水平恒力F 的作用下，从A 点由静止开始做匀加速直线运动．已知x AB ＝5 m ，小物块与水平地面间的动摩擦因数为μ＝0.2.当小物块运动到B 点时撤去力F .取重力加速度g ＝10 m/s 2.求：图7(1)小物块到达B 点时速度的大小；(2)小物块运动到D 点时，轨道对小物块作用力的大小； (3)小物块离开D 点落到水平地面上的点与B 点之间的距离． 答案 (1)5 m/s (2)25 N (3)1.2 m 解析 (1)从A 到B ，根据动能定理有 (F －μmg )x AB ＝12m v 2B得v B ＝2(F －μmg )x ABm＝5 m/s(2)从B 到D ，根据动能定理有 －mg ·2R ＝12m v 2D －12m v 2B 得v D ＝v 2B －4Rg ＝3 m/s在D 点，根据牛顿运动定律有F N ＋mg ＝m v 2D R得F N ＝m v 2DR－mg ＝25 N(3)由D 点到落点小物块做平抛运动，在竖直方向上有 2R ＝12gt 2，得t ＝4R g＝ 4×0.410s ＝0.4 s 水平地面上落点与B 点之间的距离为 x ＝v D t ＝3×0.4 m ＝1.2 m。
【步步高】2015届高考数学第一轮复习精讲(课前准备+课堂活动小结+课后练习)集合的概念与运算导学案
第一章集合与常用逻辑用语学案1集合的概念与运算导学目标：1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．自主梳理1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．4．集合间的基本关系对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则A B(或B A)．若A⊆B且B⊆A，则A＝B.5．集合的运算及性质设集合A，B，则A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．设全集为U，则∁U A＝{x|x∈U且x∉A}．A∩∅＝∅，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩B＝A⇔A⊆B.A∪∅＝A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪B＝B⇔A⊆B.A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U.自我检测1．(2011·长沙模拟)下列集合表示同一集合的是()A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}C ．M ＝{4,5}，N ＝{5,4}D ．M ＝{1,2}，N ＝{(1,2)} 答案 C2．(2009·辽宁)已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |－5<x <5}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |－5<x <5} B ．{x |－3<x <5} C ．{x |－5<x ≤5} D ．{x |－3<x ≤5} 答案 B解析 画数轴，找出两个区间的公共部分即得M ∩N ＝{x |－3<x <5}．3．(2010·湖北)设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A解析 易知椭圆x 24＋y 216＝1与函数y ＝3x 的图象有两个交点，所以A ∩B 包含两个元素，故A ∩B 的子集个数是4个．4．(2010·潍坊五校联考)集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，集合N ＝{x |y ＝9－x 2，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．{t |0≤t ≤3}B ．{t |－1≤t ≤3}C ．{(－2，1)，(2，1)}D ．∅ 答案 B解析 ∵y ＝x 2－1≥－1，∴M ＝[－1，＋∞)． 又∵y ＝9－x 2，∴9－x 2≥0.∴N ＝[－3,3]．∴M ∩N ＝[－1,3]．5．(2011·福州模拟)已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝________. 答案 －1或2解析 由a 2－a ＋1＝3，∴a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a ＝－1或2.探究点一 集合的基本概念例1 (2011·沈阳模拟)若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，ba ，b }，求b －a 的值．解题导引 解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．解 由{1，a ＋b ，a }＝{0，ba ，b }可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应关系：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，ba ＝a ，b ＝1①或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解．∴b －a ＝2.变式迁移1 设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b . 解 由元素的互异性知， a ≠1，b ≠1，a ≠0，又由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b ，ab ＝1，解得a ＝－1，b ＝0.探究点二 集合间的关系例2 设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }，则下列关系中正确的是( )A ．M ＝NB ．M NC ．MN D ．M ∈N解题导引 一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系．答案 A解析 集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }＝{x |x ＝(a －2)2＋1，a ∈R }＝{x |x ≥1}， N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }＝{y |y ＝(2b ＋1)2＋1，b ∈R }＝{y |y ≥1}．∴M ＝N . 变式迁移2 设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立，且m ∈R }，则下列关系中成立的是( )A ．PQ B ．QPC ．P ＝QD ．P ∩Q ＝∅ 答案 A解析 P ＝{m |－1<m <0}，Q ：⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16m 2＋16m <0，或m ＝0.∴－1<m ≤0.∴Q ＝{m |－1<m ≤0}． ∴PQ .探究点三 集合的运算例3 设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}． (1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解题导引 解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性．解 (1)A ＝{x |12≤x ≤3}．当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}， ∴A ∩B ＝{x |12≤x <2}，A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}． (2)∁R A ＝{x |x <12或x >3}．当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ， 即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ； ②当B ≠∅，即a <0时，B ＝{x |－－a <x <－a }，要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可得，a 的取值范围为a ≥－14.变式迁移3 (2011·阜阳模拟)已知A ＝{x ||x －a |<4}，B ＝{x ||x －2|>3}． (1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时， A ＝{x |－3<x <5}， B ＝{x |x <－1或x >5}． ∴A ∩B ＝{x |－3<x <－1}． (2)∵A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，B ＝{x |x <－1或x >5}，且A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4<－1a ＋4>5⇒1<a <3. ∴实数a 的取值范围是(1,3)．分类讨论思想在集合中的应用例 (12分)(1)若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可取值组成的集合；(2)若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，求由m 的可取值组成的集合．【答题模板】解 (1)P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ； [2分]当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a ，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a＝2，即a ＝13或a ＝－12. [4分]故所求集合为{0，13，－12}． [6分](2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ； [8分] 若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3. [10分]故m <2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}． [12分]【突破思维障碍】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．【易错点剖析】(1)容易忽略a ＝0时，S ＝∅这种情况．(2)想当然认为m ＋1<2m －1忽略“>”或“＝”两种情况．解答集合问题时应注意五点：1．注意集合中元素的性质——互异性的应用，解答时注意检验．2．注意描述法给出的集合的元素．如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合．3．注意∅的特殊性．在利用A⊆B解题时，应对A是否为∅进行讨论．4．注意数形结合思想的应用．在进行集合运算时要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍．5．注意补集思想的应用．在解决A∩B≠∅时，可以利用补集思想，先研究A∩B＝∅的情况，然后取补集．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．满足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是()A．2 B．3 C．4 D．8答案 B解析A＝{1}∪B，其中B为{2,3}的子集，且B非空，显然这样的集合A有3个，即A＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}．2．(2011·杭州模拟)设P、Q为两个非空集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是()A．9 B．8 C．7 D．6答案 B解析P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中元素的个数是8.3．(2010·北京)集合P＝{x∈Z|0≤x<3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，则P∩M等于()A．{1,2} B．{0,1,2} C．{1,2,3} D．{0,1,2,3}答案 B解析由题意知：P＝{0,1,2}，M＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P∩M＝{0,1,2}．4．(2010·天津)设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是()A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4}C．{a|a≤0或a≥6} D．{a|2≤a≤4}答案 C解析由|x－a|<1得－1<x－a<1，即a－1<x<a＋1.由图可知a＋1≤1或a－1≥5，所以a≤0或a≥6.5．设全集U是实数集R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|2x－1≥1}，则右图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}答案 C解析题图中阴影部分可表示为(∁U M)∩N，集合M为{x|x>2或x<－2}，集合N为{x|1<x≤3}，由集合的运算，知(∁U M)∩N＝{x|1<x≤2}．二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·绍兴模拟)设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是________．答案 4解析由题意知B的元素至少含有3，因此集合B可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}．7．(2009·天津)设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x<1}，若A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.答案 {2,4,6,8}解析 A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩(∁U B )＝{1,3,5,7,9}， ∴B ＝{2,4,6,8}．8．(2010·江苏)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝____. 答案 1解析 ∵3∈B ，由于a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，即a ＝1. 三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·烟台模拟)集合A ＝{x |x 2＋5x －6≤0}，B ＝{x |x 2＋3x >0}，求A ∪B 和A ∩B . 解 ∵A ＝{x |x 2＋5x －6≤0} ＝{x |－6≤x ≤1}．(3分)B ＝{x |x 2＋3x >0}＝{x |x <－3或x >0}．(6分) 如图所示，∴A ∪B ＝{x |－6≤x ≤1}∪{x |x <－3或x >0}＝R .(9分) A ∩B ＝{x |－6≤x ≤1}∩{x |x <－3或x >0} ＝{x |－6≤x <－3，或0<x ≤1}．(12分)10．(12分)已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，集合B ＝{x |－12<x ≤2}．若B ⊆A ，求实数a的取值范围．解 当a ＝0时，显然B ⊆A ；(2分)当a <0时， 若B ⊆A ，如图，则⎩⎨⎧4a ≤－12，－1a >2，(5分)∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－8，a >－12.∴－12<a <0；(7分) 当a >0时，如图，若B ⊆A ， 则⎩⎨⎧ －1a ≤－12，4a ≥2，(9分)∴⎩⎨⎧a ≤2，a ≤2.∴0<a ≤2.(11分) 综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.(12分) 11．(14分)(2011·岳阳模拟)已知集合A ＝{x |x －5x ＋1≤0}，B ＝{x |x 2－2x －m <0}， (1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解 由x －5x ＋1≤0， 所以－1<x ≤5，所以A ＝{x |－1<x ≤5}．(3分)(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，(6分)所以A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(10分)(2)因为A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，(12分)所以有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.(14分)。
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第五章54
＝2sin2B＋cos(2B－60°) ＝1－cos 2B＋cos(2B－60°)
＝1－cos 2B＋cos 2Bcos 60°＋
sin 2Bsin 60°
＝1－12cos
2B＋
3 2 sin
2B
＝1＋sin(2B－30°)，
最大值时，B 的大小．
当 2B－30°＝90°，即 B＝60°时，
函数取最大值 2.
题型三
平面向量在解析几何中的应用
【例 3】 已知平面上一定点 C(2,0)
和直线 l：x＝8，P 为该平面上一 动点，作 PQ⊥l，垂足为 Q，且(P→C ＋12P→Q)·(P→C－12P→Q)＝0.
思维启迪 解析 思维升华
(2)∵P→E＝P→N＋N→E， P→F＝P→N＋N→F， 又N→E＋N→F＝0. ∴P→E·P→F＝P→N2－N→E2
所以∠BAC 的平分线垂直于 BC，所以 AB＝AC. 又 cos∠BAC＝|AA→ →BB|·|AA→ →CC|＝12，所以∠BAC＝3π.
所以△ABC 为等边三角形．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
平面向量在三角函数中的应用
【例 2】 已知在锐角△ABC 中，两 思维启迪 解析 思维升华
基础知识
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题型分类·深度剖析
题型三
平面向量在解析几何中的应用
【例 3】 已知平面上一定点 C(2,0) 思维启迪 解析 思维升华
和直线 l：x＝8，P 为该平面上一 动点，作 PQ⊥l，垂足为 Q，且(P→C ＋12P→Q)·(P→C－12P→Q)＝0.
(1)求动点 P 的轨迹方程；
步步高2015届高考物理一轮复习配套文档第五章专题五应用力学两大观点分析多过程问题(2014高考)Word版含答
专题五 应用力学两大观点分析多过程问题考纲解读 1.能熟练分析物体在各过程的受力情况和运动情况.2.会分析相邻过程的关联量，能找到解答问题的关键点.3.能够根据不同运动过程的特点，合理选择物理规律．考点一 应用牛顿运动定律和动能定理分析多过程问题若一个物体参与了多个运动过程，有的运动过程只涉及分析力或求解力而不涉及能量问题，则常常用牛顿运动定律求解；若该过程涉及能量转化问题，并且具有功能关系的特点，则往往用动能定理求解．例1 如图1所示为某游戏装置的示意图．高处的光滑水平平台上有一质量为m 的滑块(可视为质点)静止在A 点，平台的左端有一竖直固定的光滑半圆形细管BC ，其半径为2R ，与水平面相切于C 点，CD 为一段长度为5R 的粗糙水平轨道，在D 处有一竖直固定的半径为R 的光滑四分之一圆弧轨道DE ，E 点切线竖直，在E 点正上方有一离E 点高度也为R 的旋转平台，在旋转平台的一条直径上开有两个离轴心距离相等的小孔M 、N ，平台以恒定的角速度旋转时两孔均能经过E 点的正上方．某游戏者在A 点将滑块瞬间弹出，滑块第一次到达C 点时速度v 0＝3gR ，经过轨道CDE ，滑块第一次滑过E 点进入M 孔，又恰能从N 孔落下，已知滑块与CD 部分的动摩擦因数为μ＝0.1，重力加速度为g .求：图1(1)游戏者对滑块所做的功；(2)滑块第一次返回到C 点时对细管的压力； (3)平台转动的角速度ω.解析 (1)从A 点到C 点，由动能定理得 W ＋mg ·4R ＝12m v 20求得W ＝0.5mgR(2)从第一次经过C 点到第一次返回C 点整个过程，由动能定理得－2μmg ·5R ＝12m v 2C －12m v 20 在C 点，由牛顿第二定律得F N －mg ＝m v 2C 2R联立求得F N ＝4.5mg根据牛顿第三定律，滑块对细管的压力为F N ′＝4.5mg 方向竖直向下．(3)从第一次经过C 点到M 点，由动能定理得 －μmg ·5R －mg ·2R ＝12m v 2M －12m v 20 从点M 落回到点N 的时间为t ＝2v M g对转盘有t ＝(2n ＋1)πω(n ＝0、1、2……)(或t ＝(2n －1)πω(n ＝1、2、3……))联立求得ω＝(2n ＋1)πgR 4R (n ＝0、1、2……)(或ω＝(2n －1)πgR4R (n ＝1、2、3……))答案 见解析考点二 用动力学和能量观点分析多过程问题若一个物体参与了多个运动过程，有的运动过程只涉及分析力或求解力而不涉及能量问题，则常常用牛顿运动定律求解；若该过程涉及能量转化问题，并且具有功能关系的特点，则往往用动能定理或机械能守恒定律以及能量守恒定律求解．例2 如图2所示，半径R ＝1.0 m 的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O 的连线与水平面的夹角θ＝37°，另一端点C 为轨道的最低点．C 点右侧的水平路面上紧挨C 点放置一木板，木板质量M ＝1 kg ，上表面与C 点等高，将质量m ＝1 kg 的物块(可视为质点)从空中A 点以v 0＝1.2 m/s 的速度水平抛出，恰好从轨道的B 端沿切线方向进入轨道．已知物块与木板间的动摩擦因数μ1＝0.2，木板与路面间的动摩擦因数μ2＝0.05.sin 37°＝0.6，取g ＝10 m/s 2.试求：图2(1)物块经过轨道上的B 点时的速度的大小v B ； (2)A 、B 两点的高度差h ；(3)物块到达C 点时的速度大小v C ；(4)设木板受到的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，则木板至少多长才能使物块不从木板上滑下？解析 (1)设物块经过B 点时的速度为v B ，则： v B sin 37°＝v 0 v B ＝2 m/s(2)v B cos 37°＝2gh h ＝0.128 m(3)设物块经过C 点的速度为v C ，由动能定理得： mg (R ＋R sin 37°)＝12m v 2C －12m v 2B v C ＝6 m/s(4)物块在木板上滑动时，设物块和木板的加速度大小分别为a 1、a 2，则： μ1mg ＝ma 1μ1mg －μ2(M ＋m )g ＝Ma 2 解得：a 1＝2 m/s 2，a 2＝1 m/s 2设物块和木板经过时间t 达到共同速度为v ，其位移分别为x 1、x 2，则 对物块：v ＝v C －a 1t 对木板：v ＝a 2t 解得：t ＝2 s ，v ＝2 m/s设木板长度至少为L ，由题意得：L ≥x 1－x 2 其中：x 1＝v C ＋v 2t ＝8 mx 2＝v2t ＝2 m联立解得：L ≥6 m即木板长度至少6 m 才能使物块不从木板上滑下． 答案 (1)2 m/s (2)0.128 m (3)6 m/s (4)6 m突破训练 如图3所示，x 轴与水平传送带重合，坐标原点O 在传送带的左端，传送带长L ＝8 m ，匀速运动的速度v 0＝5 m/s.一质量m ＝1 kg 的小物块轻轻放在传送带上x P ＝2 m 的P 点．小物块随传送带运动到Q 点后恰好能冲上光滑圆弧轨道的最高点N 点．若小物块经过Q 处无机械能损失，小物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g ＝10 m/s 2.求：图3(1)N 点的纵坐标；(2)从P 点到Q 点，小物块在传送带上运动时，系统产生的热量；(3)若将小物块轻放在传送带上的某些位置，最终小物块均能沿光滑圆弧轨道运动(小物块始终在圆弧轨道运动不脱轨)到达纵坐标y M ＝0.25 m 的M 点，求这些位置的横坐标范围．答案 (1)1 m (2)12.5 J (3)7 m ≤x ≤7.5 m 和0≤x ≤5.5 m 解析 (1)小物块在传送带上匀加速运动的加速度a ＝μg ＝5 m/s 2 设小物块加速到与传送带速度相同时所用时间为t t ＝v 0a＝1 s 运动的位移Δx ＝v 022a ＝2.5 m ＜x PQ在N 点由牛顿第二定律mg ＝m v 2NR从Q 到N 的运动过程，由机械能守恒定律 12m v 20＝mgy N ＋12m v 2N 又R ＝y N2，解得y N ＝1 m(2)小物块在传送带上相对传送带滑动的位移 x ＝v 0t －Δx ＝2.5 m产生的热量Q ＝μmgx ＝12.5 J(3)设在坐标为x 1处将小物块轻放在传送带上，若刚能到达圆心右侧的M 点， 由能量守恒得：μmg (L －x 1)＝mgy M 代入数据解得x 1＝7.5 m当小物块恰好到达与圆心等高的右侧时 μmg (L －x 2)＝12mgy N代入数据解得x 2＝7 m若刚能到达圆心左侧的M 点，则必定恰好能通过最高点C ，μmg (L －x 3)＝mgy N ＋12m v 2Nmg ＝m v 2NR，可解得x 3＝5.5 m故小物块放在传送带上的位置坐标范围 7 m ≤x ≤7.5 m 和0≤x ≤5.5 m26．应用动力学和能量观点分析力学综合题例3 如图4所示，质量为m ＝1 kg 的小物块轻轻地放在水平匀速运动的传送带上的P 点，随传送带运动到A 点后水平抛出，小物块恰好无碰撞地从B 点沿圆弧切线进入竖直光滑的圆弧轨道．B 、C 为圆弧轨道的两端点，其连线水平，已知圆弧轨道的半径R ＝1.0 m ，圆弧轨道对应的圆心角θ＝106°，轨道最低点为O ，A 点距水平面的高度h ＝0.8 m ，小物块离开C 点后恰能无碰撞地沿固定斜面向上运动，0.8 s 后经过D 点，小物块与斜面间的动摩擦因数为μ1＝13.(g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37 °＝0.8)图4(1)求小物块离开A 点时的水平初速度v 1的大小； (2)求小物块经过O 点时对轨道的压力；(3)假设小物块与传送带间的动摩擦因数为μ2＝0.3，传送带的速度为5 m/s ，求P 、A 间的距离；(4)求斜面上C 、D 间的距离． 审题与关联解析 (1)对于小物块，由A 点到B 点，有v 2y ＝2gh 在B 点，有tan θ2＝v y v 1所以v 1＝3 m/s(2)对于小物块，从B 点到O 点，由动能定理知mgR (1－cos θ2)＝12m v 2O －12m v 2B 其中v B ＝v 21＋v 2y ＝32＋42 m/s ＝5 m/s由牛顿第二定律知，在O 点，有F N －mg ＝m v 2O R ，所以F N ＝43 N由牛顿第三定律知小物块对轨道的压力为F N ′＝43 N ，方向竖直向下 (3)对于小物块在传送带上加速的过程有μ2mg ＝ma 设P 、A 间的距离为x P A ，则x P A ＝v 212a ＝v 212μ2g＝1.5 m(4)小物块沿斜面上滑时，由牛顿第二定律有mg sin θ2＋μ1mg cos θ2＝ma 1解得a 1＝10 m/s 2小物块沿斜面下滑时有mg sin θ2－μ1mg cos θ2＝ma 2解得a 2＝6 m/s 2由机械能守恒定律可知v C ＝v B ＝5 m/s 小物块由C 点上升到最高点历时t 1＝v Ca 1＝0.5 s小物块由最高点回到D 点历时 t 2＝0.8 s －0.5 s ＝0.3 s故x CD ＝v C 2t 1－12a 2t 22，解得x CD ＝0.98 m答案 (1)3 m/s (2)43 N ，方向竖直向下 (3)1.5 m (4)0.98 m高考题组1．(2013·北京理综·23)蹦床比赛分成预备运动和比赛动作两个阶段．最初，运动员静止站在蹦床上；在预备运动阶段，他经过若干次蹦跳，逐渐增加上升高度，最终达到完成比赛动作所需的高度；此后，进入比赛动作阶段．把蹦床简化为一个竖直放置的轻弹簧，弹力大小F ＝kx (x 为床面下沉的距离，k 为常量)．质量m ＝50 kg 的运动员静止站在蹦床上，床面下沉x 0＝0.10 m ；在预备运动中，假定运动员所做的总功W 全部用于增加其机械能；在比赛动作中，把该运动员视作质点，其每次离开床面做竖直上抛运动的腾空时间均为Δt ＝2.0 s ，设运动员每次落下使床面压缩的最大深度均为x 1.取重力加速度g ＝10 m/s 2，忽略空气阻力的影响．图5(1)求常量k ，并在图5中画出弹力F 随x 变化的示意图； (2)求在比赛动作中，运动员离开床面后上升的最大高度h m ；(3)借助Fx 图象可以确定弹力做功的规律，在此基础上，求x 1和W 的值． 答案 (1)5000 N/m 见解析图 (2)5 m (3)W ＝12kx 2 1.1 m 2.5×103 J解析 (1)运动员静止在蹦床上时受力平衡，则mg ＝kx 0. 代入数据得：k ＝5000 N/m Fx 图象如图(2)运动员从x ＝0处离开床面，离开床后做竖直上抛运动，且腾空时间为2 s ，其上升、下落时间相等，h m ＝12g ⎝⎛⎭⎫Δt 22＝12×10×⎝⎛⎭⎫222 m ＝5 m (3)由图象可知弹簧弹力做功应为Fx 曲线下的面积，其规律为W ＝12kx 2.在运动员从最低点到最高点过程中，由动能定理得：12kx 21＝mg (h m ＋x 1)代入数据得：x 1＝1.1 m运动员所做的总功W ＝mg (h m ＋x 0)－12kx 20≈2.5×103J 模拟题组2．如图6所示，质量为2 kg 的小车在光滑水平面上处于静止状态．小车的上表面由水平面和斜面构成，斜面顶端和底端的高度差为1.8 m ．小车左边缘的正上方用长2.5 m 的细绳拴一质量为0.5 kg 的物块，将细绳拉离竖直方向60°角后由静止释放，当物块运动到悬点的正下方时悬线断开，物块从小车的左边缘滑上小车后，先在其表面上沿水平方向运动，经过1 s 时间物块离开小车，然后做曲线运动，某时刻恰好与斜面的底端相碰，已知小车与物块间的动摩擦因数为0.2，重力加速度g ＝10 m/s 2.求：图6(1)悬线断开前所受最大拉力的大小； (2)小车上表面水平部分的长度； (3)小车表面的斜面部分倾角的正切值． 答案 (1)10 N (2)3.75 m (3)1.2解析 (1)物块由静止摆动到悬点正下方的过程，由机械能守恒定律得mgl (1－cos 60°)＝12m v 2 解得v ＝5 m/s物块摆到悬点正下方时F －mg ＝m v 2l解得F ＝10 N(2)物块在小车上表面运动时加速度大小a 1＝μmgm ＝2 m/s 2位移x 1＝v t －12a 1t 2＝4 m小车的加速度a 2＝μmgM ＝0.5 m/s 2位移x 2＝12a 2t 2＝0.25 m小车上表面水平部分长度Δx ＝x 1－x 2＝3.75 m (3)物块脱离小车上表面时的速度v 1＝v －a 1t ＝3 m/s 小车的速度v 2＝a 2t ＝0.5 m/s设物块从离开小车到与斜面的底端相碰所用时间为t 1，物块在竖直方向上h ＝12gt 21，t1＝2hg＝0.6 s 斜面水平长度x ＝(v 1－v 2)t 1＝1.5 m设斜面倾角为θ，则斜面倾角的正切值tan θ＝hx＝1.23．为了研究过山车的原理，某物理小组提出了下列的设想，取一个与水平方向夹角为37°、长为L ＝2.0 m 的粗糙倾斜轨道AB ，通过水平轨道BC 与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE ，整个轨道除AB 段以外都是光滑的，其中AB 与BC 轨道以微小圆弧相接，如图7所示，一个小物块以初速度v 0＝4.0 m/s ，从某一个高度水平抛出，到A 点时速度方向恰沿AB 方向，并沿倾斜轨道滑下，已知物块与倾斜轨道间的动摩擦因数μ＝0.5，g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：图7(1)小物块的抛出点和A 点的高度差；(2)为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道AB ，则竖直圆轨道的半径R 应该满足什么条件；(3)要使小物块不离开轨道，并从水平轨道DE 滑出，求竖直圆轨道的半径R ′应该满足什么条件．答案 (1)0.45 m (2)R ≥1.65 m (3)R ′≤0.66 m解析 (1)设抛出点和A 点的高度差为h ，从抛出点到A 点时有： v y ＝2gh ，且v yv 0＝tan 37°联立以上两式并代入数据得h ＝0.45 m.(2)小物块到达A 点时的速度：v A ＝v 20＋v 2y ＝5 m/s从A 到B ，由动能定理：mgL sin 37°－μmg cos 37°·L ＝12m v 2B －12m v 2A要使小物块不离开轨道并且能够滑回倾斜轨道AB ，则小物块沿圆轨道上升的最大高度不能超过圆心，即： 12m v 2B≤mgR ，解得R ≥1.65 m (3)小物块从B 运动到轨道最高点机械能守恒：12m v 2B ＝12m v 2＋mg ×2R ′ 在最高点有：m v 2R ′≥mg由以上各式解得R ′≤0.66 m ，此时小物块不离开轨道，且能从水平轨道DE 滑出．(限时：45分钟)1．如图1所示，光滑坡道顶端距水平面高度为h ，质量为m 的小物块A 从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使A 制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M 处的墙上，另一端恰位于坡道的底端O 点．已知在OM 段，物块A 与水平面间的动摩擦因数均为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g ，求：图1(1)物块滑到O 点时的速度大小；(2)弹簧被压缩至最短，最大压缩量为d 时的弹性势能(设弹簧处于原长时弹性势能为零)；(3)若物块A 能够被弹回到坡道上，则它能够上升的最大高度是多少？ 答案 (1)2gh (2)mgh －μmgd (3)h －2μd 解析 (1)由机械能守恒定律得mgh ＝12m v 2解得v ＝2gh .(2)在水平滑道上物块A 克服摩擦力所做的功为W ＝μmgd 由能量守恒定律得12m v 2＝E p ＋μmgd以上各式联立得E p ＝mgh －μmgd .(3)物块A 被弹回的过程中，克服摩擦力所做的功仍为W ＝μmgd 由能量守恒定律得E p ＝μmgd ＋mgh ′所以物块A 能够上升的最大高度为h ′＝h －2μd .2．如图2所示，长l ＝1 m 、厚度h ＝0.2 m 的木板A 静止在水平面上，固定在水平面上、半径r ＝1.6 m 的四分之一光滑圆弧轨道PQ 的底端与木板A 相切于P 点，木板与圆弧轨道紧靠在一起但不粘连．现将小物块B 从圆弧上距P 点高度H ＝0.8 m 处由静止释放，已知A 、B 质量均为m ＝1 kg ，A 与B 间的动摩擦因数μ1＝0.4，A 与地面间的动摩擦因数μ2＝0.1，g 取10 m/s 2.求：图2(1)小物块刚滑到圆弧轨道最低点P 处时对圆弧轨道的压力大小； (2)小物块从刚滑上木板至滑到木板左端过程中对木板所做的功； (3)小物块刚落地时距木板左端的距离． 答案 (1)20 N (2)49J (3)0.42 m解析 (1)对B 下滑的过程由机械能守恒定律有mgH ＝12m v 2，解得 v ＝2gH ＝4 m/s小物块滑到最低点P 处时，由牛顿第二定律有F N －mg ＝m v 2r解得F N ＝mg ＋m v 2r＝20 N 由牛顿第三定律得F N ′＝20 N(2)从小物块刚滑上木板至滑到木板左端过程中，对B 受力分析，由牛顿第二定律有a 1＝μ1mg m＝μ1g ＝4 m/s 2 小物块B 做匀减速直线运动对A 受力分析，由牛顿第二定律有a 2＝μ1mg －μ2·2mg m＝2 m/s 2 木板A 做匀加速直线运动又由l ＝x B －x Ax B ＝v t －12a 1t 2 x A ＝12a 2t 2 代入数据解得t ＝13s(t ＝1 s 舍去) 对A 由动能定理得W ＝μ1mg ·12a 2t 2＝49J (3)B 离开木板后以v 1＝v －a 1t ＝83 m/s 的初速度做平抛运动，至落地所需时间由h ＝12gt ′2，得t ′＝ 2h g＝0.2 s 木板A 将以v 2＝a 2t ＝23 m/s 、加速度a 3＝μ2mg m＝μ2g ＝1 m/s 2做匀减速运动，物块B 落地时，两者相距Δx ＝v 1t ′－(v 2t ′－12a 3t ′2) 代入数据得Δx ＝0.42 m3．如图3甲所示，竖直平面内的坐标系xOy 内的光滑轨道由半圆轨道OBD 和抛物线轨道OA 组成，OBD 和OA 相切于坐标原点O 点，半圆轨道的半径为R ，一质量为m 的小球(可视为质点)从OA 轨道上高H 处的某点由静止滑下．图3(1)若小球从H ＝3R 的高度静止滑下，求小球刚过O 点时小球对轨道的压力；(2)若用力传感器测出滑块经过圆轨道最高点D 时对轨道的压力为F ，并得到如图乙所示的压力F 与高度H 的关系图象，取g ＝10 m/s 2.求滑块的质量m 和圆轨道的半径R . 答案 (1)7mg ，方向竖直向下 (2)0.1 kg 0.2 m解析 (1)由动能定理得mgH ＝12m v 20在O 点由牛顿第二定律得F N －mg ＝m v 20R解得F N ＝7mg由牛顿第三定律得，小球刚过O 点时对轨道的压力为7mg ，方向竖直向下(2)由题图乙可知，当H 大于0.5 m 时，小球才能通过D 点．当H 1＝0.5 m 时，有mg (H 1－2R )＝12m v 2D 1mg ＝m v 2D 1R解得R ＝0.2 m当H 2＝1 m 时，有mg (H 2－2R )＝12m v 2D 2F 2＋mg ＝m v 2D 2RF 2＝5 N解得m ＝0.1 kg4．如图4所示，AB 为一光滑固定轨道，AC 为动摩擦因数μ＝0.25的粗糙水平轨道，O 为水平地面上的一点，且B 、C 、O 在同一竖直线上，已知B 、C 两点的高度差为h ，C 、O 两点的高度差也为h ，AC 两点相距s ＝2h .若质量均为m 的两滑块P 、Q 从A 点以相同的初速度v 0分别沿两轨道滑行，到达B 点或C 点后分别水平抛出．求：图4(1)两滑块P 、Q 落地点到O 点的水平距离；(2)欲使两滑块的落地点相同，滑块的初速度v 0应满足的条件；(3)若滑块Q 的初速度v 0已满足(2)的条件，现将水平轨道AC 向右延伸一段L ，要使滑块Q 落地点距O 点的距离最远，L 应为多少？答案 (1)2v 20－2gh ·h g v 20－gh ·2h g (2)v 0＝3gh (3)154h 解析 (1)滑块P 从A 到B 过程机械能守恒：12m v 20＝12m v 2B ＋mgh 得v B ＝v 20－2gh 从B 点抛出后：x 1＝v B t P ,2h ＝12gt 2P得x 1＝2v 20－2gh · h g滑块Q 从A 到C 过程，由动能定理得：－μmgs ＝12m v 2C －12m v 20又μ＝0.25，s ＝2h ，得v C ＝v 20－gh从C 点抛出后：x 2＝v C t Q ，h ＝12gt 2Q 得x 2＝v 20－gh · 2h g(2)依题意有：x 1＝x 2，解得：v 0＝3gh所以滑块的初速度v 0应满足v 0＝3gh(3)由动能定理得：－μmg (s ＋L )＝12m v 2－12m v 20滑块Q 从水平轨道AC 向右延伸的最右端抛出后：x ＝v t Q ′，h ＝12gt Q ′2，距O 点的距离为d ＝L ＋x 从而得d ＝4h 2－hL ＋L ，当L ＝154h 时，d 取最大值为174h。
2015解步步高大一轮讲义(理)专题二
专题二 高考中的三角函数综合问题1．(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin 2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件． 2．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a·b 的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 答案 B解析 f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，T ＝2π2＝π. 3．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2答案 B解析 依题意，得f (x )＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，当0≤x <π2时，π6≤x ＋π6<2π3，f (x )的最大值是2. 4．已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎦⎤π4，512πC.⎣⎡⎦⎤512π，π2 D.⎣⎡⎦⎤π12，512π答案 D解析 由题意，得：OA →＝OC →＋CA →＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，所以点A 的轨迹是圆(x －2)2＋(y －2)2＝2，如图，当A 位于使向量OA →与圆相切时，向量OA →与向量OB →的夹角分别达到最大、最小值，故选D.5．如图， 正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC 、 ED ，则sin ∠CED ＝________________________________________.答案 1010解析 方法一 应用两角差的正弦公式求解． 由题意知，在Rt △ADE 中，∠AED ＝45°， 在Rt △BCE 中，BE ＝2，BC ＝1，∴CE ＝5，则sin ∠CEB ＝15，cos ∠CEB ＝25.而∠CED ＝45°－∠CEB ， ∴sin ∠CED ＝sin(45°－∠CEB ) ＝22(cos ∠CEB －sin ∠CEB ) ＝22×⎝⎛⎭⎫25－15＝1010. 方法二 利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解． 由题意得ED ＝2，EC ＝12＋22＝ 5.在△EDC 中，由余弦定理得cos ∠CED ＝CE 2＋DE 2－DC 22CE ·DE ＝31010，又0<∠CED <π， ∴sin ∠CED ＝1－cos 2∠CED＝1－⎝⎛⎭⎫310102＝1010.题型一 三角函数的图象和性质例1 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)＋sin(ωx －π6)－2cos 2ωx2，x ∈R (其中ω>0)．(1)求函数f (x )的值域；(2)若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数y ＝f (x )的单调增区间．思维启迪 对三角函数的性质的讨论，首先要化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (一角、一次、一函数)的形式；根据(2)中条件可确定ω.解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －12cos ωx －(cos ωx ＋1) ＝2(32sin ωx －12cos ωx )－1＝2sin(ωx －π6)－1.由－1≤sin(ωx －π6)≤1，得－3≤2sin(ωx －π6)－1≤1，所以函数f (x )的值域为[－3,1]．(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y ＝f (x )的周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2.所以f (x )＝2sin(2x －π6)－1，再由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以函数y ＝f (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．思维升华 三角函数的图象和性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后将t ＝ωx ＋φ视为一个整体，结合y ＝sin t 的图象求解．已知函数f (x )＝sin 2x －2sin x cos x ＋3cos 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[19π24，π]时，求函数f (x )的最大值和最小值．解 f (x )＝sin 2x －2sin x cos x ＋3cos 2x ＝1－sin 2x ＋2cos 2x ＝2＋cos 2x －sin 2x＝2＋2cos(2x ＋π4)．(1)函数f (x )的最小正周期T ＝π.(2)因为19π24≤x ≤π，所以116π≤2x ＋π4≤9π4.所以22≤cos(2x ＋π4)≤1.所以3≤2＋2cos(2x ＋π4)≤2＋2，即3≤f (x )≤2＋ 2.所以函数f (x )的最小值为3，最大值为2＋ 2. 题型二 三角函数和解三角形例2 (2013·重庆)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2. (1)求C ；(2)设cos A cos B ＝325，cos (α＋A )cos (α＋B )cos 2α＝25，求tan α的值． 思维启迪 (1)利用余弦定理求C ；(2)由(1)和cos A cos B ＝325可求得A ＋B ，代入求tan α.解 (1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22.又0<C <π，故C ＝3π4.(2)由题意得(sin αsin A －cos αcos A )(sin αsin B －cos αcos B )cos 2α＝25. 因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝25，tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝25， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝25.① 因为C ＝3π4，所以A ＋B ＝π4，所以sin(A ＋B )＝22，因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ， 即325－sin A sin B ＝22， 解得sin A sin B ＝325－22＝210.由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4.思维升华 三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．(2012·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cosA ＝sin A cos C ＋cos A sin C . (1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长． 解 (1)方法一 由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.方法二 由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)方法一 因为AD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →22＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →) ＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74， 所以|AD →|＝72.从而AD ＝72.方法二 因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝ 1＋34＝72.题型三 三角函数与平面向量的综合应用例3 已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．思维启迪 (1)由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值．(2)在△ABC 中，求出∠A 的范围，再求f (A )的取值范围．解 (1)m·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x4＝32sin x2＋1＋cosx22＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12， ∵m·n ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.∵cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2，sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6∈⎝⎛⎭⎫12，1. 又∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12.∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，32. 思维升华 (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．(2013·北京延庆模拟)已知a ＝(53cos x ，cos x )，b ＝(sin x,2cos x )，设函数f (x )＝a ·b ＋|b |2＋32.(1)当x ∈[π6，π2]时，求函数f (x )的值域；(2)当x ∈[π6，π2]时，若f (x )＝8，求函数f (x －π12)的值；(3)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，再将得到的图象上各点的纵坐标向下平移5个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的表达式并判断奇偶性．解 (1)f (x )＝a ·b ＋|b |2＋32＝53sin x cos x ＋2cos 2x ＋4cos 2x ＋sin 2x ＋32＝53sin x cos x ＋5cos 2x ＋52＝532sin 2x ＋5×1＋cos 2x 2＋52＝5sin(2x ＋π6)＋5.由π6≤x ≤π2，得π2≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1，∴当π6≤x ≤π2时，函数f (x )的值域为[52，10]．(2)f (x )＝5sin(2x ＋π6)＋5＝8，则sin(2x ＋π6)＝35，所以cos(2x ＋π6)＝－45，f (x －π12)＝5sin 2x ＋5＝5sin(2x ＋π6－π6)＋5＝332＋7.(3)由题意知f (x )＝5sin(2x ＋π6)＋5→g (x )＝5sin[2(x －π12)＋π6]＋5－5＝5sin 2x ，即g (x )＝5sin 2x ，g (－x )＝5sin(－2x )＝－5sin 2x ＝－g (x )， 故g (x )为奇函数.1．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在同一个周期内，当x ＝π4时，y 取最大值1，当x ＝7π12时，y 取最小值－1.(1)求函数的解析式y ＝f (x )；(2)函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换可得到y ＝f (x )的图象；(3)若函数f (x )满足方程f (x )＝a (0<a <1)，求在[0,2π]内的所有实数根之和．解 (1)∵T ＝2(712π－π4)＝23π，∴ω＝3，又∵sin(34π＋φ)＝1，∴3π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .又|φ|<π2，得φ＝－π4，∴函数的解析式为f (x )＝sin(3x －π4)．(2)y ＝sin x 的图象向右移π4个单位，得到y ＝sin(x －π4)的图象，再由y ＝sin(x －π4)的图象上所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标不变，得到y ＝sin(3x －π4)的图象．(3)∵f (x )＝sin(3x －π4)的最小正周期为23π，∴f (x )＝sin(3x －π4)在[0,2π]内恰有3个周期，∴sin(3x －π4)＝a (0<a <1)在[0,2π]内有6个实数根且x 1＋x 2＝π2.同理，x 3＋x 4＝11π6，x 5＋x 6＝196π，故所有实数根之和为π2＋11π6＋19π6＝11π2.2．(2013·安徽)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋ 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0. 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4， 即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增， 在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上单调递减．3．(2013·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B 2cos B －sin(A－B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45，由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22.由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4，根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.4．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α ＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )．令t ＝sin x ＋cos x ⎝⎛⎭⎫π4<x <π，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2.则y ＝t 2＋2t －1＝⎝⎛⎭⎫t ＋222－32，－1<t <2，∴t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22，即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22，∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<54π， ∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0，∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0，∴tan 2α＝－35.5.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝[f (x －π12)]2，求函数g (x )在x ∈[－π6，π3]上的最大值，并确定此时x 的值．解 (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，∴ω＝32.又f (－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0，∴sin(φ－π4)＝0，∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4，∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )＝2sin(32x ＋π4)．(2)由(1)可得f (x －π12)＝2sin[32(x －π12)＋π4]＝2sin(32x ＋π8)，∴g (x )＝[f (x －π12)]2＝4×1－cos (3x ＋π4)2＝2－2cos(3x ＋π4)，∵x ∈[－π6，π3]，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，[g (x )]max ＝4.。
2015解步步高大一轮讲义(理)6.4
§6.4 数列求和1.求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .②等比数列的前n 项和公式 (Ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(Ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广. (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解.例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2.常见的裂项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；(2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1).( √ )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( × ) (4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋12n .( × )(5)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －12.( √ )(6)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ )2.(2012·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为 ( )A.100101B.99101C.99100D.101100答案 A解析 利用裂项相消法求和.设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.3.若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n 为 ( )A.2n ＋n 2－1B.2n ＋1＋n 2－1C.2n ＋1＋n 2－2D.2n ＋n 2－2答案 C解析 S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )＋(1＋3＋5＋…＋(2n －1)) ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.4.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A.200B.－200C.400D.－400答案 B解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.5.3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n ＋2)·2－n ＝________.答案 4－n ＋42n解析 设S ＝3×12＋4×122＋5×123＋…＋(n ＋2)×12n ，则12S ＝3×122＋4×123＋5×124＋…＋(n ＋2)×12n ＋1. 两式相减得12S ＝3×12＋(122＋123＋…＋12n )－n ＋22n ＋1.∴S ＝3＋(12＋122＋…＋12n －1)－n ＋22n＝3＋12[1－(12)n －1]1－12－n ＋22n ＝4－n ＋42n.题型一 分组转化求和例1 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和S n .思维启迪 先写出通项，然后对通项变形，分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求解. 解 由已知得，数列{a n }的通项公式为 a n ＝3n ＋2n －1＝3n －1＋2n ， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2＋5＋…＋3n －1)＋(2＋22＋…＋2n )＝n (2＋3n －1)2＋2(1－2n )1－2＝12n (3n ＋1)＋2n ＋1－2. 思维升华 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化.特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论.求和S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋12n －1. 解 和式中第k 项为 a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－⎝⎛⎭⎫12k1－12＝2⎝⎛⎭⎫1－12k . ∴S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－122＋…＋⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2[(1＋1＋…＋1)－(12＋122＋…＋12n )]n 个＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝12n －1＋2n －2. 题型二 错位相减法求和例2 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .思维启迪 (1)列方程组求{a n }的首项、公差，然后写出通项a n . (2)q ＝1时，b n 为等差数列，直接求和；q ≠1时，用错位相减法求和. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝68a 1＋28d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝－1.故a n ＝3＋(n －1)·(－1)＝4－n . (2)由(1)得，b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1.若q ≠1，将上式两边同乘以q 有 qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n .两式相减得到(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1＝nq n－q n －1q －1＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1q －1.于是，S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，q ＝1nqn ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2，q ≠1.思维升华 (1)错位相减法是求解由等差数列{b n }和等比数列{c n }对应项之积组成的数列{a n }，即a n ＝b n ×c n 的前n 项和的方法.这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练. (2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围.已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，① 故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n2n . 所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立.综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.题型三 裂项相消法求和例3 在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .思维启迪 第(1)问利用a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)后，再同除S n －1·S n 转化为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的等差数列即可求S n .第(2)问求出{b n }的通项公式，用裂项相消法求和. 解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12， a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12， 即2S n －1S n ＝S n －1－S n ， ①由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列.∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.思维升华 利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .(1)证明 ∵S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1(a 1＋1)2(a n >0)，∴a 1＝1.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n ，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1 得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1.即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2).所以数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列. (2)解 由(1)可得a n ＝n ，S n ＝n (n ＋1)2， b n ＝12S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.四审结构定方案典例：(12分)(2012·江西)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N *)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n .S n ＝－12n 2＋kn 及S n 最大值为8S n 是n 的二次函数n ＝k 时(S n )max ＝S k ＝8(根据S n 的结构特征确定k 值)k ＝4，S n ＝－12n 2＋4n利用a n 、S n 的关系a n ＝92－n9－2a n 2n ＝n2n －1 根据数列的结构特征，确定求和方法：错位相减法T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n 2n －1①①式两边同乘以22T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2②错位相减T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1.规范解答解 (1)当n ＝k ∈N *时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，k ＝4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72，[3分] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝92－n .[6分]当n ＝1时，上式也成立，综上，a n ＝92－n .(2)因为9－2a n 2n ＝n2n 1，所以T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，①[7分]所以2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2 ②②－①：2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1[11分]故T n ＝4－n ＋22n －1.[12分]温馨提醒 (1)根据数列前n 项和的结构特征和最值确定k 和S n ，求出a n 后再根据{9－2a n2n }的结构特征确定利用错位相减法求T n .在审题时，要审题目中数式的结构特征判定解题方案； (2)利用S n 求a n 时不要忽视n ＝1的情况；错位相减时不要漏项或算错项数.方法与技巧非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和. 失误与防范1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论.2.在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号.3.在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1.已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为 ( )A.n n ＋1B.4n n ＋1C.3n n ＋1D.5n n ＋1答案 B解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4(1n －1n ＋1)，∴S n ＝4[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝4(1－1n ＋1)＝4nn ＋1.2.已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于( )A.20B.17C.19D.21答案 C解析 由a 9＋3a 11<0，得2a 10＋2a 11<0， 即a 10＋a 11<0，又a 10·a 11<0，则a 10与a 11异号， 因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以数列{a n }是一个递减数列，则a 10>0，a 11<0， 所以S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10>0，S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0. 故使S n 取值最小正值的n 为19.3.已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2(当n 为奇数时)，－n 2(当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A.0B.100C.－100D.10 200答案 B解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－1＋101＝100.故选B.4.数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10的值为( )A.31B.120C.130D.185答案 C解析 a 1＋…＋a k ＋…＋a 10＝240－(2＋…＋2k ＋…＋20) ＝240－(2＋20)×102＝240－110＝130.5.数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A.－10B.－9C.10D.9答案 B解析 数列的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910， ∴n ＝9，∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0. 令x ＝0，得y ＝－9，∴在y 轴上的截距为－9. 二、填空题6.数列32，94，258，6516，…的前n 项和S n 为________.答案n (n ＋1)2＋1－12n 解析 ∵32＝1＋12，94＝2＋14，258＝3＋18，6516＝4＋116，… ∴S n ＝32＋94＋258＋6516＋…＋(n ＋12n )＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(12＋122＋123＋…＋12n )＝n (n ＋1)2＋12[1－(12)n ]1－12＝n (n ＋1)2＋1－12n .7.设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，则S ＝________.答案 1 007解析 ∵f (x )＝4x 4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x41x ＋2＝22＋4x，∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x ＝1.S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，① S ＝f (2 0142 015)＋f (2 0132 015)＋…＋f (12 015)，②①＋②得，2S ＝[f (12 015)＋f (2 0142 015)]＋[f (22 015)＋f (2 0132 015)]＋…＋[f (2 0142 015)＋f (12 015)]＝2 014，∴S ＝2 0142＝1 007.8.(2012·课标全国)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________. 答案 1 830解析 利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解. ∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝15×(10＋234)2＝1 830.三、解答题9.已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比为q ＝14的等比数列，设b n ＋2＝3log 14a n (n ∈N *)，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和S n . 解 (1)由题意，知a n ＝(14)n (n ∈N *)，又b n ＝3log 14a n －2，故b n ＝3n －2(n ∈N *).(2)由(1)，知a n ＝(14)n ，b n ＝3n －2(n ∈N *)，所以c n ＝(3n －2)×(14)n (n ∈N *).所以S n ＝1×14＋4×(14)2＋7×(14)3＋…＋(3n －5)×(14)n －1＋(3n －2)×(14)n ，于是14S n ＝1×(14)2＋4×(14)3＋7×(14)4＋…＋(3n －5)×(14)n ＋(3n －2)×(14)n ＋1.两式相减，得34S n ＝14＋3[(14)2＋(14)3＋…＋(14)n ]－(3n －2)×(14)n ＋1＝12－(3n ＋2)×(14)n ＋1. 所以S n ＝23－3n ＋23×(14)n (n ∈N *).10.若S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列. (1)求等比数列S 1，S 2，S 4的公比； (2)若S 2＝4，求数列{a n }的通项公式；(3)在(2)的条件下，设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .解 (1)因为{a n }为等差数列，设{a n }的公差为d (d ≠0)， 所以S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d . 因为S 1，S 2，S 4成等比数列且设其公比为q ，所以S 1·S 4＝S 22.所以a 1(4a 1＋6d )＝(2a 1＋d )2.所以2a 1d ＝d 2. 因为公差d ≠0.所以d ＝2a 1. 所以q ＝S 2S 1＝4a 1a 1＝4.(2)因为S 2＝4，所以2a 1＋d ＝4.又d ＝2a 1，所以a 1＝1，d ＝2.所以a n ＝2n －1. (3)因为b n ＝3(2n －1)(2n ＋1)＝32(12n －1－12n ＋1)，所以T n ＝32[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝32(1－12n ＋1)<32.要使T n <m20对所有n ∈N *都成立，则有m 20≥32，即m ≥30.因为m ∈N *，所以m 的最小值为30.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1.已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S 2 014等于( )A.2 008B.2 010C.1D.0答案 B解析 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008， －2 009，－1,2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0. ∵2 014＝6×335＋4，∴S 2 014＝S 4 ＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.2.(2013·课标全国Ⅰ)设△A n B n C n 的三边长分别为a n 、b n 、c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，…，若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( )A.{S n }为递减数列B.{S n }为递增数列C.{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D.{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 答案 B解析 因为b 1>c 1，不妨设b 1＝4a 13，c 1＝2a 13；故S 1＝3a 12·a 12·a 16·5a 16＝1512a 21； a 2＝a 1，b 2＝23a 1＋a 12＝56a 1，c 2＝43a 1＋a 12＝76a 1，S 2＝3a 12·a 12·2a 13·a 13＝66a 21. 显然S 2>S 1；a 3＝a 1，b 3＝76a 1＋a12＝1312a 1，c 3＝56a 1＋a 12＝1112a 1，S 3＝3a 12·a 12·5a 112·7a 112＝10524a 21，显然S 3>S 2. 3.(2013·湖南)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则：(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________. 答案 (1)－116 (2)13⎝⎛⎭⎫12100－1 解析 ∵a n ＝S n －S n －1＝(－1)n a n －12n －(－1)n －1a n －1＋12n －1，∴a n ＝(－1)n a n －(－1)n －1a n －1＋12n .当n 为偶数时，a n －1＝－12n ，当n 为奇数时，2a n ＋a n －1＝12n ，∴当n ＝4时，a 3＝－124＝－116.根据以上{a n }的关系式及递推式可求. a 1＝－122，a 3＝－124，a 5＝－126，a 7＝－128，a 2＝122，a 4＝124，a 6＝126，a 8＝128.∴a 2－a 1＝12，a 4－a 3＝123，a 6－a 5＝125，…，∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 100－a 99)－⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋12100 ＝⎝⎛⎭⎫12＋123＋…＋1299－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12100 ＝13⎝⎛⎭⎫12100－1. 4.已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足：S n ＝2a n －2n (n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋2)，T n 为数列{b n a n ＋2}的前n 项和，求证：T n ≥12.(1)解 当n ∈N *时，S n ＝2a n －2n ， 则当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，即a n ＝2a n －1＋2， ∴a n ＋2＝2(a n －1＋2)，∴a n ＋2a n －1＋2＝2，当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，则a 1＝2，∴{a n ＋2}是以a 1＋2＝4为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＋2＝4·2n －1，∴a n ＝2n ＋1－2；(2)证明 b n ＝log 2(a n ＋2)＝log 22n ＋1＝n ＋1，∴b n a n ＋2＝n ＋12n ＋1，则T n ＝222＋323＋…＋n ＋12n ＋1，12T n ＝223＋324＋…＋n2n ＋1＋n ＋12n ＋2， 两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝14＋14(1－12n )1－12－n ＋12n ＋2 ＝14＋12－12n ＋1－n ＋12n ＋2＝34－n ＋32n ＋2， ∴T n ＝32－n ＋32n ＋1，当n ≥2时，T n －T n －1＝－n ＋32n ＋1＋n ＋22n ＝n ＋12n ＋1>0，∴{T n }为递增数列，∴T n ≥T 1＝12.5.直线l n ：y ＝x －2n 与圆C n ：x 2＋y 2＝2a n ＋n 交于不同的两点A n ，B n ，n ∈N *.数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝14|A n B n |2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1(n 为奇数)，a n (n 为偶数)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由题意，知圆C n 的圆心到直线l n 的距离d n ＝n ， 半径r n ＝2a n ＋n ，所以a n ＋1＝(12|A n B n |)2＝r 2n －d 2n ＝(2a n ＋n )－n ＝2a n . 又a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)当n 为偶数时，T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n ) ＝[1＋5＋…＋(2n －3)]＋(2＋23＋…＋2n －1)＝n (n －1)2＋2(1－2n )1－4＝n 2－n 2＋23(2n －1).当n 为奇数时，n ＋1为偶数， T n ＋1＝(n ＋1)2－(n ＋1)2＋23(2n ＋1－1)＝n 2＋n 2＋23(2n ＋1－1).而T n ＋1＝T n ＋b n ＋1＝T n ＋2n，所以T n ＝n 2＋n 2＋13(2n －2).所以T n＝⎩⎨⎧n 2－n 2＋23(2n－1)(n 为偶数)，n 2＋n 2＋13(2n－2)(n 为奇数).。
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§5.4 平面向量的应用1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式 cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22 (θ为a 与b 的夹角)．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移s 的数量积．即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ (θ为F 与s 的夹角)．3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ ) (2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决．( √ )(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．( √ ) (4)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形． ( × )(5)作用于同一点的两个力F 1和F 2的夹角为2π3，且|F 1|＝3，|F 2|＝5，则F 1＋F 2的大小为19.( √ )(6)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0,10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0. ( √ )2．(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为 ( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10答案 C解析 ∵AC →·BD →＝0， ∴AC ⊥BD .∴四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5. 3．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为 ( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3 答案 C解析 由m ⊥n 得m·n ＝0，即3cos A －sin A ＝0，即2cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝0， ∵π6<A ＋π6<7π6，∴A ＋π6＝π2，即A ＝π3. 又a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c ＝c sin C ，所以sin C ＝1，C ＝π2，所以B ＝π－π3－π2＝π6.4．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__________． 答案 y 2＝8x (x ≠0)解析 由题意得AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2， 又AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即⎝⎛⎭⎫2，－y 2·⎝⎛⎭⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)． 5．河水的流速为2 m /s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________． 答案 226 m/s解析 如图所示小船在静水中的速度为102＋22＝226 m/s.题型一 平面向量在平面几何中的应用例1 如图所示，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线DB 上的一点(不包括端点)，E ，F 分别在边BC ，DC 上，且四边形PFCE 是矩形，试用向量法证明：P A ＝EF .思维启迪 正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系，求出所求线段对应的向量，根据向量知识证明．证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP ＝λ(0<λ<2)，则A (0,1)，P (22λ，22λ)，E (1，22λ)，F (22λ，0)，∴P A →＝(－22λ，1－22λ)，EF →＝(22λ－1，－22λ)，∴|P A →|＝ (－22λ)2＋(1－22λ)2＝λ2－2λ＋1， |EF →|＝(22λ－1)2＋(－22λ)2＝λ2－2λ＋1， ∴|P A →|＝|EF →|，即P A ＝EF .思维升华 用向量方法解决平面几何问题可分三步：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．(1)平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于( )A.|a |2|b |2－(a ·b )2B.|a |2|b |2＋(a ·b )2C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2 (2)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为 ( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形答案 (1)C (2)A解析 (1)∵cos ∠BOA ＝a ·b|a ||b |，则sin ∠BOA ＝ 1－(a ·b )2|a |2|b |2，∴S △OAB ＝12|a ||b | 1－(a ·b )2|a |2|b |2＝12|a |2|b |2－(a ·b )2. (2)因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形． 题型二 平面向量在三角函数中的应用例2 已知在锐角△ABC 中，两向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，且p 与q 是共线向量． (1)求A 的大小； (2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫C －3B 2取最大值时，B 的大小．思维启迪 向量与三角函数的结合往往是简单的组合．如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一个等式．因此这种题目较为简单． 解 (1)∵p ∥q ，∴(2－2sin A )(1＋sin A )－(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )＝0，∴sin 2A ＝34，sin A ＝32，∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝60°.(2)y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫C －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫180°－B －A －3B 2 ＝2sin 2B ＋cos(2B －60°) ＝1－cos 2B ＋cos(2B －60°)＝1－cos 2B ＋cos 2B cos 60°＋sin 2B sin 60°＝1－12cos 2B ＋32sin 2B ＝1＋sin(2B －30°)，当2B －30°＝90°，即B ＝60°时，函数取最大值2.思维升华 解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sinC )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，若m ∥n ，则角B 的大小为________．答案 5π6解析 ∵m ∥n ，∴(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (3a ＋c )＝0，又∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ，则化简得a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－32，∵0<B <π，∴B ＝5π6.题型三 平面向量在解析几何中的应用例3 已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最值． 思维启迪 (1)直接利用数量积的坐标运算代入；(2)将PE →·PF →转化为关于y 的函数，求函数的最值． 解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )． 由(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y212＝1.所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)∵PE →＝PN →＋NE →，PF →＝PN →＋NF →， 又NE →＋NF →＝0.∴PE →·PF →＝PN →2－NE →2 ＝x 2＋(y －1)2－1＝16(1－y 212)＋(y －1)2－1＝－13y 2－2y ＋16＝－13(y ＋3)2＋19.∵－23≤y ≤2 3.∴当y ＝－3时，PE →·PF →的最大值为19，当y ＝23时，PE →·PF →的最小值为12－4 3.综上：PE →·PF →的最大值为19；PE →·PF →的最小值为12－4 3.思维升华 平面向量与平面解析几何交汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点， 设A (a,0)，Q (0，b )(b >0)， 则P A →＝(a,3)， AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.①由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝(32x ，32(y －b ))， ∴⎩⎨⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎨⎧a ＝－x 2，b ＝y 3.把a ＝－x 2代入①，得－x 2(x ＋x2)＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．题型四 平面向量在物理中的应用例4 在长江南岸渡口处，江水以252 km /h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．思维启迪 题中涉及的三个速度(向量)：江水速度、渡船的速度、船实际过江的速度，三个速度的关系是本题的核心． 答案 北偏西30°解析 如图所示，渡船速度为OB →，水流速度为OA →，船实际垂直过江的速度为OD →，依题意知|OA →|＝252，|OB →|＝25.∵OD →＝OB →＋OA →，∴OD →·OA →＝OB →·OA →＋OA →2， ∵OD →⊥OA →，∴OD →·OA →＝0，∴25×252cos(∠BOD ＋90°)＋(252)2＝0，∴cos(∠BOD ＋90°)＝－12，∴sin ∠BOD ＝12，∴∠BOD ＝30°，∴航向为北偏西30°.思维升华 在使用向量解决物理问题时要注意：(1)认真分析物理问题，深刻把握物理量之间的相互关系； (2)通过抽象、概括，把物理问题转化为与之相关的向量问题； (3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________． 答案 27解析 方法一 由已知条件F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－F 1－F 2，F 23＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos 60°＝28. 因此，|F 3|＝27.方法二 如图，|F 1F 2→|2＝|F 1|2＋ |F2|2－2|F 1||F 2|cos 60°＝12，则|OF 1→|2＋|F 1F 2→|2＝|OF 2→|2， 即∠OF 1F 2为直角，|F 3|＝2 F 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|F 1F 2→|22＝27.高考中以向量为背景的创新题典例：(1)(5分)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈(π4，π2)，且a ∘b 和b ∘a 都在集合{n2|n ∈Z }中，则a ∘b 等于( )A.52B.32 C ．1 D.12思维启迪 先根据定义表示出a ∘b 和b ∘a ，利用其属于集合{n2|n ∈Z }，将其表示成集合中元素的形式，两式相乘即可表示出cos θ，然后利用θ∈(π4，π2)确定cos θ的取值范围，结合集合中n ∈Z 的限制条件即可确定n 的值，从而求出a ∘b 的值．解析 根据新定义，得a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝|a ||b |cos θ，b ∘a ＝b ·a a ·a ＝|a ||b |cos θ|a |2＝|b ||a |cos θ. 又因为a ∘b 和b ∘a 都在集合{n 2|n ∈Z }中，设a ∘b ＝n 12，b ∘a ＝n 22(n 1，n 2∈Z )，那么(a ∘b )·(b ∘a )＝cos 2θ＝n 1n 24，又θ∈(π4，π2)，所以0<n 1n 2<2.所以n 1，n 2的值均为1.故a ∘b ＝n 12＝12.答案 D(2)(5分)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．思维启迪 根据定义先写出m ⊗OP →，进而求出OP →，确定函数y ＝f (x )的解析式． 解析 设Q (c ，d )，由新的运算可得OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2x ，12sin x )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12sin x )，由⎩⎨⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin(12c －π6)， 所以y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)，易知y ＝f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12. 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 温馨提醒 解答创新型问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义信息题难点的关键所在方法与技巧1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．3．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题． 失误与防范1．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价．2．注意向量共线和两直线平行的关系；两向量a ，b 夹角为锐角和a ·b >0不等价.A 组 专项基础训练一、选择题1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上答案 B解析 由题意知：CB →－PB →＝λP A →， 即CB →＋BP →＝λP A →，∴CP →＝λP A →，即CP →与P A →共线，∴点P 在AC 边所在直线上．2．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是 ( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0， 即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0,2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形．3．已知|a |＝2|b |，|b |≠0且关于x 的方程x 2＋|a |x －a·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是( )A ．－π6B ．－π3C.π3D.2π3答案 D解析 由已知可得Δ＝|a |2＋4a·b ＝0， 即4|b |2＋4·2|b |·|b |cos θ＝0，∴cos θ＝－12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.4．已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 D解析 P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )，∴P A →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2，∴y 2＝x ＋6.5. 若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0(O 为坐标原点)， 则A 等于( ) A.π6 B.712πC.76πD.73π答案 B解析 由题意知M (π12，A )，N (712π，－A )，又OM →·ON →＝π12×712π－A 2＝0，∴A ＝712π.二、填空题6．(2013·天津)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →， ∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. 7．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝________. 答案 (1,2)解析 由物理知识知：f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0， 故f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(1,2)．8．已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2,3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM→≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________． 答案 3解析 OP →＝(x ，y )，OM →＝(1,1)，ON →＝(0,1)， ∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，即在⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识，当x ＝0，y ＝1时，z max ＝3.三、解答题9．已知△ABC 中，∠C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .证明 建立如图所示的直角坐标系，设A (a,0)，则B (0，a )，E (x ，y )．∵D 是BC 的中点，∴D (0，a 2)． 又∵AE →＝2EB →，即(x －a ，y )＝2(－x ，a －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－2x ，y ＝2a －2y ，解得x ＝a 3，y ＝23a . ∵AD →＝(0，a 2)－(a,0)＝(－a ，a 2)， OE →＝CE →＝(a 3，23a )， ∴AD →·CE →＝－a ×a 3＋23a ×a 2＝－13a 2＋13a 2＝0. ∴AD →⊥CE →，即AD ⊥CE .10．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，其α∈(π2，3π2)． (1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值．(2)若AC →·BC →＝－1，求tan(α＋π4)的值． 解 (1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)，∴|AC →|＝(cos α－3)2＋sin 2α ＝10－6cos α，|BC →|＝10－6sin α.由|AC →|＝|BC →|得sin α＝cos α，又α∈(π2，3π2)，∴α＝54π. (2)由AC →·BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23，∴sin(α＋π4)＝23>0. 由于π2<α<3π2， ∴3π4<α＋π4<π，∴cos(α＋π4)＝－73.故tan(α＋π4)＝－147. B 组 专项能力提升1．(2013·浙江)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则 ( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC 答案 D解析 设BC 中点为M ，则PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PB →＋PC →22－⎝ ⎛⎭⎪⎫PB →－PC →22＝PM →2－14CB →2， 同理P 0B →·P 0C →＝P 0M →2－14CB →2， ∵PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →恒成立，∴|PM →|≥|P 0M →|恒成立．即P 0M ⊥AB ，取AB 的中点N ，又P 0B ＝14AB ， 则CN ⊥AB ，∴AC ＝BC .故选D.2．已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC ＝________. 答案 150°解析 ∵AB →·AC →<0，∴∠BAC 为钝角，又S △ABC ＝12|a||b |sin ∠BAC ＝154. ∴sin ∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝150°. 3．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．答案 5解析 方法一 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.方法二 设DP →＝xDC →(0<x <1)．∴PC →＝(1－x )DC →，P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →，PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →. ∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →， |P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2 ＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.4．已知点A (2,0)，B (0,2)，C (cos α，sin α)，且0<α<π.(1)若|OA →＋OC →|＝7，求OB →与OC →的夹角；(2)若AC →⊥BC →，求tan α的值．解 (1)因为|OA →＋OC →|＝7，所以(2＋cos α)2＋sin 2α＝7，所以cos α＝12. 又因为α∈(0，π)，所以α＝∠AOC ＝π3. 又因为∠AOB ＝π2，所以OB →与OC →的夹角为π6. (2)AC →＝(cos α－2，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－2)．因为AC →⊥BC →，所以AC →·BC →＝0，所以cos α＋sin α＝12，① 所以(cos α＋sin α)2＝14，所以2sin αcos α＝－34. 又因为α∈(0，π)，所以α∈(π2，π)． 因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝74，cos α－sin α<0， 所以cos α－sin α＝－72.② 由①②得cos α＝1－74，sin α＝1＋74， 所以tan α＝－4＋73. 5. 如图所示，已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的一动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点M .已知MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求λ1＋λ2的值．解 (1)设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又M (－1，－2m)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得 y 2－4my －4＝0，Δ＝(－4m )2＋16>0， 故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 由MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，得y 1＋2m ＝－λ1y 1，y 2＋2m＝－λ2y 2，整理，得 λ1＝－1－2my 1，λ2＝－1－2my 2， 所以λ1＋λ2＝－2－2m (1y 1＋1y 2)＝－2－2m ·y 1＋y 2y 1y 2＝－2－2m ·4m －4＝0.。