第六章 电磁感应

6、导线回路中的洛仑兹力 、
× × × × × × × × × × × × ×
如图当ab段出现动生电动势时，分析 ab段内的任意一个电子，其运动速度可 以分解为两个分量：
v ①随导线向右的速度 v v ②向下运动的速度 v ′ v v v vs = v + v ′ 电子的总速度是：
I
×v × × × ×
源
v E C = −∇U
场的性质 保守场 非保守场
时变的分布电荷 时变的磁场
v v ∂A EI = − ∂ t
考虑时变电场的环路积分
E= ∫l
v v v E ⋅ dl = ∫ (−∇U ) ⋅ dl + ∫
l
l
v v v v ∂ A (− ) ⋅ dl = ∫lE I ⋅ dl ∂t
可见，对感应电动势E 有贡献的只是电场的非保守部分， 而保守部分对回路的感应电动势无贡献。
r f
动生电动势
r f′
安培磁力
v v v v v v v v v v 洛伦兹力的总功为 f ⋅ v ′ + f ′ ⋅ v = (−e)v × B ⋅ v ′ + (−e)v ′ × B ⋅ v = 0
在产生动生电动势的过程中，洛伦兹力起着能量转换者的作用， 在接受外力做功的同时，将其转换为推动电荷运动的动生电动势。
U ca = 0 R = 4 Rac
（2）在bc 段应用含源电路的欧姆定律 ，有 Ebc = −U bc + IRbc 计算可得
c 3 3 = −ω B ∫ xdy = ω B tan α x c2 = E Ebc b 8 4 ac
再利用I = E /R= Eac/Rac 和 Rac = 2 Rbc 可得
v v ∂B v v v ⋅ ds + ∫ (v × B) ⋅ dl 方法一：利用 E = − ∫ s ∂t v l ∂B v = −∫ ⋅ ds 其中感生部分为 Ea s ∂ t
动生部分为
v 2 4 c c v v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (v × B) ⋅ dl = ∫ (n ω ) × ( yB0 sin ω t ) ⋅ (− x)dx + ∫ (−n ω ) × ( yB0 sin ω t ) ⋅ xdx ∫l 1 3 2 2 = ω B0 S sin ω t sin α
图6－5 动生电动势的能量转换
另一方面，导体棒在磁场中运动要受到磁场力的作用，即
r r 为保持导体棒匀速向右运动，必须使用外力外 F外 = − Fm 来克服 磁力，此外力做功的功率为
P外 = F外v = IB0 lab v
l ab
ˆ ˆ ˆ Idlz × yB0 = − xIB0 l ab
★动生电动势做功的能量是由外力克服磁力所做的机械功转换而来的。
Ψ =LI
L 称为该线圈的自感系数 自感系数（简称自感 自感），单位是亨利（H） 自感系数 自感 通常规定电流 I 与自感磁通正方向成右手螺旋关系，故L > 0 。
2、自感电动势 、 由线圈电流时变在自身回路产生的感应电动势称为自感电动势 自感电动势。 自感电动势 dΦ m =− 根据法拉第定律，单匝线圈的电动势为 E′
l ab
×
×
× × ×
× × ×
m
×
× ×
z
× × × × × ×
b
× × × × ×
I
× × ×
I
v v
×
v B
×F × × × ×
E a
× F外 × ×
ˆ ˆ ˆ (vx × yB0 ) ⋅ zdl = vB0 l ab
o
×
×
x
动生电动势的做功功率为 P = I E = IvB0 l ab
v Fm = ∫
Eb = −
dΦ m = −ω B0 S cos 2ω t dt
例6.2 一菱形均匀线圈在均匀恒定 r 磁场 B 中以匀角速度ω绕其对角线 r 转动，转轴与 B 垂直，线圈平面转 至与平行时，问： （1） a、c 两点中哪点电位高? （2）设 b 为 ac 的中点，b、c 两点 中哪点电位高？
y
ω
v ∂B v ˆ ˆ ⋅ ds = (− B0ω cos ω t y ⋅ n)bc ∂t
b
v B
ω
v
4
1
I
α
R 2
z
ˆ n
3
y
c
图6－7 例6.1用图 6 7 6.1
= −ω B0 S cos ω t cos α
串接电阻R 时
I = Ea / R = −
ωB0 S
R
cos ω t cos α
(b) 线圈以角速度ω旋转时
a y o
v
a E
R
U ab
b
b
α
x
I c x
v B
解：（1） 在ac 段应用含源电路的欧姆定律 ，有 Eac= −U ac + IRac 总电动势为 E = 4Eac 故线圈的感应电流为 所以a、c 两点电位是 即 a、c 两点电位相等。 电流之所以能从 a 流向 c ，关键在于 ac 段内有电动势。 总电阻为 I = E /R= Eac/Rac
§6.3 电感
一. 自感
1、自感系数 、 （第 i 匝）自感磁通 ： Φ m i = ∫Si
N i=1
i
r r Bi ⋅ dS i
图6－9 线圈的自感
（线圈的）自感磁链 ： Ψ = ∑Φ m i
r 自感系数 ： ∝ Φ m ∝ B ∝ I ⇒ Ψ ∝ I Ψ
记
若各匝线圈自感磁通相等，则 Ψ
= NΦ m
dΦ m >0 dt
ˆ n
v B
dΦ m <0 dt
ˆ n
l
v B
l
E
E
图6－3 感应电动势的方向
楞次定律表明，感应电动势对回路的磁通量变化起着一个 “负反馈”的作用，既产生于磁通量的变化，又抑制着磁通 量的变化，这实际上正是能量守恒定律的体现。
3、法拉第定律的数学表达式 、 根据法拉第实验与楞次定律，可得 E =−
E=−
v v dΦm ∆Φ m 1 v v = − lim = − lim [∫ B(t + ∆t ) ⋅ ds (t + ∆t ) − ∫ B (t ) ⋅ ds (t )] ∆ t →0 ∆ t s ( t +∆t ) s (t ) ∆ t →0 ∆ t dt
分析可知：
v v v v B (t + ∆ t ) ⋅ ds (t + ∆ t ) − ∫ B(t ) ⋅ ds (t ) ∫ s (t + ∆t ) s (t ) v v ∂B(t ) v v v = ∆ t {∫ ⋅ ds (t ) + ∫ [v × B(t )] ⋅ dl } s (t ) ∂ t l
x
例6.1 一个长、宽分别为 b 和 c 的单匝矩形线 圈放在时变磁场 B = yB0 sin ω t 内，开始时线圈 ˆ 平面的法矢 n 与 y 轴成角，如图所示。 ˆ 求： (a) 线圈静止时的感应电动势和线圈上串接 电阻R时的感应电流； (b) 线圈绕 x 轴旋转时的感应电动势。 解： (a) 线圈静止时，只有感生电动势，即 Ea= − ∫ s
dt
若线圈有 N 匝，则总的感应电动势为
2、磁场高斯方程 、 ①微分形式 对推广的法拉第定律两边取散度得 v v v ∂B ∂ ∇ ⋅ ∇ × E = ∇ ⋅ (− ) = − ∇⋅B ∂t ∂t v v ∂ 考虑矢量恒等式 ∇ ⋅ ∇ × E ≡ 0 ，有 ∇⋅B ≡ 0 ∂t v 可见 ∇ ⋅ B 与 t 无关的常量C。由于恒定磁场是时变磁场的特例， 并且对恒定磁场有 ∇ ⋅ B = 0 ，所以C = 0。对时变磁场仍然有 ②积分形式
第六章 电磁感应
§6.1 法拉第电磁感应定律
1、电磁感应现象 、 ①奥斯特实验： ②法拉第实验：
S N
电流
磁场
v v V0 K
图6－1 磁铁与线圈有相对运动 图6－2 有源线圈的电流变化
结论：闭合导线回路包围的磁通量变化时，回路中就会产生电流。
2、楞次定律 、 表述：感应电流所产生的磁通总是力图补偿原来磁通量的变化。
dΦ m dt
E 的正方向规定为回路平面法线的右手螺旋方向。 v v v v d 也可以表示为 ∫l E ⋅ dl = − d t ∫s B ⋅ ds ★感应电动势的分类： r r ① B 变， S 不变 r r ② B 不变， S 变 r r ③ B 变， S 变
感生电动势 动生电动势 感生电动势与动生电动势的叠加
1 2 U bc = − ω B tan α xc < 0 8
Ubc 之所以不为零，关键在于ab 段与bc 段的电动势不相等 即Ebc ≠ E / 8，但 Rbc = R / 8，故Ebc ≠ IRbc Ubc 说明 b 点电位低于 c 点，但电流却从 b 点流向 c 点， 这是由于 bc 段内有感应电动势的缘故
§6.2 法拉第电磁感应定律的推广
1、法拉第电磁感应定律的推广 法拉第电磁感应定律的推广 ①积分形式 任意空间回路 导线回路 任取一个空间回路 l，根据法拉第定律得
∫
l
v v d E ⋅ dl = − dt
∫
s
v v B ⋅ ds
若回路对于电磁场是不运动的，则求导就变成对 t 的偏导，即 v v v ∂B v ∫ l E ⋅ dl = ∫s − ∂ t ⋅ ds ②微分形式 v v v ∂B v ⋅ ds 应用斯托克斯定理得 ∫s ∇ × E ⋅ ds = ∫s v ∂t v ∂B 所以 ∇× E = − ∂t 表明：时变的磁场可以产生电场，并且这个电场是非保守场。
省略上式中的时间变量 t ，则有