2017-2018年福建省福州市闽侯一中高三上学期期末数学试卷(文科)和答案
2017-2018年福建省福州市闽侯一中高三(上)期中数学试卷及参考答案(文科)
2017-2018学年福建省福州市闽侯一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．（5分）已知集合A={x∈R|log（x﹣2）≥﹣1}，B={x∈R|≥1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3）B．[﹣1，3]C．∅D．（2，3）2．（5分）已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．（5分）方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）4．（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（）A． B．C．D．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣ B．C．1 D．6．（5分）张苍是战国末期曾在荀子的门下学习，与李斯、韩非等人是同门师兄弟．他在《九章算术》卷中“盈不足”中有如下问题（改编）：“今有垣厚卅尺，两鼠对穿．小鼠日一尺，大鼠日八尺．小鼠日自倍，大鼠日自半，问几何日相逢？”其大意是：今有墙厚30尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．小老鼠第一天打1尺，以后每天加倍；大老鼠第一天打8尺，以后每天减半，问几天后两只老鼠相遇？（）A．2B．3 C．2 D．47．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．180 B．200 C．220 D．2408．（5分）已知sinα=﹣（α∈[，2π]），若=2，则tan（α+β）=（）A．B．C．﹣D．﹣9．（5分）已知定义域为R的函数y=f（x）在[0，7]上有1和6两个零点，且y=f （x+2）与y=f（x+7）都是偶函数，则y=f（x）在[0，2017]上的零点个数至少有（）个．A．403 B．807 C．806 D．40210．（5分）已知定义在R上的函数满足：f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣7，3]上的所有实数根之和为（）A．﹣9 B．﹣10 C．﹣11 D．﹣1211．（5分）已知命题p：∀x∈R，不等式ax2+2x+1＜0的解集为空集，命题q：f（x）=（2a﹣5）x在R上满足f′（x）＜0，若命题p∧¬q是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[，3]B．[3，+∞）C．[2，3]D．[2，]∪[3，+∞）12．（5分）已知O是平面上一定点，动点P满足：=+λ（），λ∈[0，+∞），则P一定经过△ABC的（）A．重心B．内心C．垂心D．外心二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．），y0）处的切线方程为y=2x+1，则13．（5分）曲线y=f（x）在点（x=．14．（5分）如果实数x、y满足，若直线y=k（x﹣1）将可行域分成面积相等的两部分，则实数k的值为．15．（5分）已知四面体S﹣ABC中，SA=SB=2，且SA⊥SB，BC=，AC=，则该四面体的外接球的表面积为．16．（5分）给出下列四个关于数列命题：（1）若{a n}是等差数列，则三点（10，）、（100，）、（110，）共线；（2）若{a n}是等比数列，则S m、S2m﹣S m、S3m﹣S2m（m∈N*）也是等比数列；（3）等比数列{a n}的前项n和为S n，若对任意的n∈N*，点（n，S n）均在函数的图象y=b x+r（b≠0，b≠1，b，r均为常数）上，则r的值为1．﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=2，{a n}（4）对于数列{a n}，定义数列{a n+1的“差数列”的通项为2n，则数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2其中正确命题的有．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}的首项为a1=1，且a n+1=2（a n+1）（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列的前n项和T n．18．（12分）△ABC中，D是BC边的中点，AB=3，AC=，AD=（1）求BC边的长；（2）求△ABC的面积．19．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）将函数f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后再向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，c=4，且g（B）=0，求b的值．20．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中．（Ⅰ）求证：PF⊥平面ABED；（Ⅱ）在线段PA上是否存在点Q使得FQ∥平面PBE？若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）求点A到平面PBE的距离．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣1﹣lnx，其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥x对x∈（1，+∞）成立，求实数a的取值范围．本题有（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任一点，求A，B 两点的极坐标和△PAB面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|的最小值为4．（1）求a+b的值；（2）求的最小值．2017-2018学年福建省福州市闽侯一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．（5分）已知集合A={x∈R|log（x﹣2）≥﹣1}，B={x∈R|≥1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3）B．[﹣1，3]C．∅D．（2，3）【解答】解：由A中不等式变形得：log（x﹣2）≥﹣1=log2，即0＜x﹣2＜2，解得2＜x＜4，∴A=（﹣2，4），由B中不等式变形得：≥1，即≥0，即（x+1）（x﹣3）≤0，且x﹣3≠0，解得﹣1≤x≤3，即B=[﹣1，3），则A∩B=（2，3），故选：D．2．（5分）已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选：B．3．（5分）方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）【解答】解：由题意设函数f（x）=ln（x+1）﹣，并且f（0）→﹣∞，f（1）=ln2﹣2＜0；f（2）=ln3﹣1＞0，f（e）=ln（e+1）﹣＞0，f（3）=ln4﹣＞0，f（4）=ln5﹣＞0，根据方程根的存在性定理可知，方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（1，2）；故选：B．4．（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（）A． B．C．D．【解答】解：函数y=1+x+，可知：f（x）=x+是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数y=1+x+的图象关于（0，1）对称，当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，当x=π时，y=1+π，排除B．故选：D．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣ B．C．1 D．【解答】解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．6．（5分）张苍是战国末期曾在荀子的门下学习，与李斯、韩非等人是同门师兄弟．他在《九章算术》卷中“盈不足”中有如下问题（改编）：“今有垣厚卅尺，两鼠对穿．小鼠日一尺，大鼠日八尺．小鼠日自倍，大鼠日自半，问几何日相逢？”其大意是：今有墙厚30尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．小老鼠第一天打1尺，以后每天加倍；大老鼠第一天打8尺，以后每天减半，问几天后两只老鼠相遇？（）A．2B．3 C．2 D．4【解答】解：根据题意，设大老鼠每天打洞的尺寸为数列{a n}，小老鼠每天打洞的尺寸为数列{b n}，设第n天后，两只老鼠相遇，又由小老鼠第一天打1尺，以后每天加倍；则数列{b n}为首项为1，公比为2的等比数列，大老鼠第一天打8尺，以后每天减半，数列{a n}为首项为8，公比为的等比数列，则有+≥30，（n∈N）解可得：n≥4，故选：D．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．180 B．200 C．220 D．240【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4．=2××（2+8）×4+2×5×10+2×10+8×10=240．∴S表面积故选：D．8．（5分）已知sinα=﹣（α∈[，2π]），若=2，则tan（α+β）=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵sinα=﹣（α∈[，2π]），∴cosα==，∴tanα==﹣，∵==sinα+cosα•tanβ═﹣+tanβ=2，∴tanβ=，则tan（α+β）===，故选：A．9．（5分）已知定义域为R的函数y=f（x）在[0，7]上有1和6两个零点，且y=f （x+2）与y=f（x+7）都是偶函数，则y=f（x）在[0，2017]上的零点个数至少有（）个．A．403 B．807 C．806 D．402【解答】解：∵y=f（x+2）与y=f（x+7）都是偶函数，f（x）关于x=2和x=7对称．∴f（x+2）=f（7+x），即5是函数f（x）的一个周期．∴定义域为R的函数y=f（x）在[0，7]上有1和6两个零点，可知3也是函数的零点，f（x）=0的根为5n+1或5n+3的形式．∴0≤5n+1≤2017，解得﹣0.2≤n≤403.2，共404个0≤5n+3≤2017，解得﹣0.6≤n≤402.8，共403个故函数y=f（x）在[0，2017]上的零点个数为807个，故选：B．10．（5分）已知定义在R上的函数满足：f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣7，3]上的所有实数根之和为（）A．﹣9 B．﹣10 C．﹣11 D．﹣12【解答】解：∵f（x）=，且f（x+2）=f（x），∴f（x﹣2）﹣2=又g（x）=，则g（x）=2，∴，当x≠2k﹣1，k∈Z时，上述两个函数都是关于（﹣2，2）对称，；由图象可得：方程f（x）=g（x）在区间[﹣7，3]上的实根有5个，x1满足﹣7＜x1＜﹣6，x2满足﹣5＜x2＜﹣4，x3=﹣3，x4满足0＜x4＜1，x2+x4=﹣4，x5满足2＜x5＜3，x1+x5=﹣4∴方程f（x）=g（x）在区间[﹣7，3]上的所有实根之和为﹣11．故选：C．11．（5分）已知命题p：∀x∈R，不等式ax2+2x+1＜0的解集为空集，命题q：f（x）=（2a﹣5）x在R上满足f′（x）＜0，若命题p∧¬q是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[，3]B．[3，+∞）C．[2，3]D．[2，]∪[3，+∞）【解答】解：命题p：∀x∈R，不等式ax2+2x+1＜0的解集为空集，a=0时，不满足题意．a≠0，必须满足：，解得a≥2．命题q：f（x）=（2a﹣5）x在R上满足f′（x）＜0，可得函数f（x）在R上单调递减，∴0＜2a﹣5＜1，解得．若命题p∧¬q是真命题，∴p为真命题，q为假命题．∴．解得或a≥3．则实数a的取值范围是[3，+∞）∪．故选：D．12．（5分）已知O是平面上一定点，动点P满足：=+λ（），λ∈[0，+∞），则P一定经过△ABC的（）A．重心B．内心C．垂心D．外心【解答】解：根据正弦定理可得|AB|•sinB=|AC|•sinC，∵=﹣=λ（），∴•=λ（）•=λ（+）=λ（﹣+）=0，∴⊥，即点P在BC边的高上，即点P的轨迹经过△ABC的垂心．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．），y0）处的切线方程为y=2x+1，则13．（5分）曲线y=f（x）在点（x=4．【解答】解：∵曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的切线方程为y=2x+1，∴k=f′（x0）=2，∴=2=2f′（x 0）=2×2=4，故答案为：414．（5分）如果实数x、y满足，若直线y=k（x﹣1）将可行域分成面积相等的两部分，则实数k的值为﹣3．【解答】解：作出不等式组对应平面区如图（三角形ABC部分）：∵直线y=k（x﹣1）过定点C（1，0），∴C点也在平面区域ABC内，要使直线y=k（x﹣1）将可行域分成面积相等的两部分，则直线y=k（x﹣1）必过线段AB的中点D．由，解得，即B（1，4），由，解得，即A（﹣1，2），∴AB的中点D（），即D（0，3），将D的坐标代入直线y=k（x﹣1）得3=﹣k，解得k=﹣3，故答案为：﹣315．（5分）已知四面体S﹣ABC中，SA=SB=2，且SA⊥SB，BC=，AC=，则该四面体的外接球的表面积为8π．【解答】解：由于SA=SB=2，且SA⊥SB，BC=，AC=，则AB=SA=2，由AB2=AC2+BC2，则AC⊥BC，取AB的中点O，连接OS，OC，则OA=OB=OC=OS=，则该四面体的外接球的球心为O，则球的表面积为S=4πr2=4π×（）2=8π．故答案为：8π．16．（5分）给出下列四个关于数列命题：（1）若{a n}是等差数列，则三点（10，）、（100，）、（110，）共线；（2）若{a n}是等比数列，则S m、S2m﹣S m、S3m﹣S2m（m∈N*）也是等比数列；（3）等比数列{a n}的前项n和为S n，若对任意的n∈N*，点（n，S n）均在函数的图象y=b x+r（b≠0，b≠1，b，r均为常数）上，则r的值为1．﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=2，{a n}（4）对于数列{a n}，定义数列{a n+1的“差数列”的通项为2n，则数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2其中正确命题的有（1）（4）．【解答】解：（1）若{a n}是等差数列，则其前n项和为S n=An2+Bn，=An+B，则数列为等差数列，因此三点（10，）、（100，）、（110，）共线，正确；（2）若{a n}是等比数列，则S m、S2m﹣S m、S3m﹣S2m（m∈N*）也是等比数列，不正确，例如等比数列{（﹣1）n}，取m=2，则S2=0；（3）等比数列{a n}的前项n和为S n，若对任意的n∈N*，点（n，S n）均在函数的图象y=b x+r（b≠0，b≠1，b，r均为常数）上，∴S n=b n+r，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=b n+r﹣（b n﹣1+r=b n﹣1（b﹣1）≠0．n=1时，a1=S1=b+r，对于上式也成立，则b+r=b﹣1，解得r=﹣1，因此不正确．﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=2，{a n}（4）对于数列{a n}，定义数列{a n+1的“差数列”的通项为2n，则a n﹣a n=2n，则n≥2时，a n=2n﹣1+2n﹣2+…+2+2=+1+1=2n，n=1时也成立．数列{a n}的前n项和S n==2n+1﹣2，因此正确．其中正确命题的有（1）（4）．故答案为：（1）（4）．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}的首项为a1=1，且a n+1=2（a n+1）（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）数列{a n}的首项为a1=1，且a n+1=2（a n+1）（n∈N*）．+2=2（a n+2），则：a n+1所以：{a n+2}是以3为首项，2为公比的等比数列．则：，解得：．（2）由于=n，则：=，所以：+…+，解得：．18．（12分）△ABC中，D是BC边的中点，AB=3，AC=，AD=（1）求BC边的长；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，D是BC边的中点，AB=3，AC=，AD=设BC=2x，则：BD=CD=x，利用余弦定理得：①，②①+②得：22=2x2+14，解得：x=2．所以：BC=4．（2）由（1）得：，所以：sinB=．=3．19．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）将函数f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后再向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，c=4，且g（B）=0，求b的值．【解答】解：（Ⅰ）函数=，令，解得，所以函数f（x）的对称轴方程为．（Ⅱ）函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，再向左平移个单位，得到函数的图象，所以函数．又△ABC中，g（B）=0，所以，又，所以，则．由余弦定理可知，，所以．20．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中．（Ⅰ）求证：PF⊥平面ABED；（Ⅱ）在线段PA上是否存在点Q使得FQ∥平面PBE？若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）求点A到平面PBE的距离．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）连结EF，由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，在△PBF中，PF2+BF2=20+16=36=PB2，所以PF⊥BF…（2分）在图1中，利用勾股定理，得，在△PEF中，EF2+PF2=61+20=81=PE2，∴PF⊥EF…（4分）又∵BF∩EF=F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，∴PF⊥平面ABED．…（6分）（Ⅱ）当Q为PA的三等分点（靠近P）时，FQ∥平面PBE．证明如下：∵，，∴FQ∥BP…（8分）又∵FQ不包含于平面PBE，PB⊂平面PBE，∴FQ∥平面PBE．…（10分）（Ⅲ）由（Ⅰ）知PF⊥平面ABED，∴PF为三棱锥P﹣ABE的高．…（11分）设点A到平面PBE的距离为h，=V P﹣ABE，…（12分）由等体积法得V A﹣PBE即，又，，∴，即点A到平面PBE的距离为．…（14分）21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣1﹣lnx，其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥x对x∈（1，+∞）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=ax2﹣1﹣lnx的导数为f′（x）=2ax﹣=，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）为减函数；当a＞0时，f′（x）=0可得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x＞时，f′（x）＞0．可得f（x）在（0，）为减函数，在（，+∞）为增函数，综上可得，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）为减函数；当a＞0时，f（x）在（0，）为减函数，在（，+∞）为增函数；（2）f（x）≥x对x∈（1，+∞）成立，可得ax2≥1+x+lnx，当x＞1时，a≥++，令g（x）=++，g′（x）=﹣﹣+=，当x≥1时，﹣1﹣x﹣2lnx＜0，即g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）递减，可得a≥g（1）=2，则a的取值范围是[2，+∞）．本题有（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任一点，求A，B 两点的极坐标和△PAB面积的最小值．【解答】解：（1）由消去参数t，得（x+5）2+（y﹣3）2=2，所以圆C的普通方程为（x+5）2+（y﹣3）2=2．由，得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，所以直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0；（2）直线l与x轴，y轴的交点为A（﹣2，0），B（0，2），化为极坐标为，设P点的坐标为，则P点到直线l的距离为，∴，又，所以△PAB 面积的最小值是．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|的最小值为4．（1）求a+b的值；（2）求的最小值．【解答】解：（1）因为|x+a|+|x﹣b|≥|x﹣b﹣x﹣a|=|﹣a﹣b|=|a+b|，所以f（x）≥|a+b|，当且仅当（x+a）（x﹣b）≤0时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b，所以a+b=4．（2）由（1）知a+b=4，b=4﹣a，，当且仅当时，的最小值为．第21页（共21页）。
2018年高三最新 福州市2018学年度高三第一学期期末质量检查数学(文)001 精品
⊂ ≠福州市2018—2018学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两分部.共150分，考试时间120分钟. 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A {2，3，7}，且A 中元素至少有一个为奇数，则这样的集合共有 （ ）A ．2个B ．4个C ．5个D ．6个 2．下面给出的四组函数中，)(x f 和)(x g 是同一个函数的是（ ）A ．11)(,11)(2--=+=x x x g x x f B ．x x g x x f 222log 2)(,log )(==C ．|1|)(,)1()(2-=-=x x g x x fD ． 0)(,1)(x x g x f ==3．“a =1”是“函数y =cos ax ·sin ax 的最小正周期为π”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4．函数23-+=x x y 在1=x 处的导数为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．45．若函数b a x f x+=)(的图象过点（1，7），且0)4(1=-f ，则)(x f 的表达式是（ ）A ．43)(+=xx f B ．34)(+=xx f C ．52)(+=xx f D ．25)(+=xx f6．椭圆短轴长为52，离心率32=e ，两焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点， 则△ABF 2的周长为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．487．若0,0>>y x ，则下列不等式成立的是（ ）A ．x y x y ->22B ．x y x y -<22C ．x y x y -≤22D ．x y xy -≥228．从0、3、4、5、7中任取三个不同的数，分别作一元二次方程的二次项系数，一次项系 数及常数项，则可以作出的不同方程的个数是 （ ） A ．10 B ．24 C ．48 D ．60 9．将一个函数的图象按)2,4(π=a 平移后得到的图象的函数解析式2)4sin(++=πx y ，那么原来的函数解析式是（ ）A ．x y sin =B ．x y cos =C ．x y sin =+2D ．x y cos =+410．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么其中至少有1个一等品的概率是 （ ）A ．32024116C C C B ．320219116C C C C ．32031624116C C C C + D ．320341C C - 11．若9)222(-x的展开式的第7项为421，则x 的值是（ ）A ．125-B ．125 C ．－31 D ．31 12．国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民的生活水平，它的计算公式:(x yxn =人均食品支出总额，y :人均个人消费支出总额），且.4502+=x y王先生居住地2018年食品价格比2000年下降了7.5%，该家庭在2018年购买食品和2000年完全相同的情况下人均少支出75元，则该家庭2018年属于 （ ） A ．富裕 B ．小康 C ．温饱 D ．贫困第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．应用简单随机抽样方法，从总数为N 的一批产品中抽取一个容量为20的样本，若每个产品被抽取的概率均为0.1，则N = . 14．数列}{n a 是等比数列，若)0(1752≠=⋅⋅m m a a a ，则=⋅97a a . 15．圆1)1(22=++y x 在不等式组⎩⎨⎧≤+≤-00y x y x 所表示的平面区域中所围成的图形的面积为.16．在△ABC 中，有命题：（1）BC AC AB =- （2）0=++CA BC AB （3）若0)()(=-⋅+，则△ABC 为等腰三角形， （4）若0>⋅，则△ABC 为锐角三角形.其中真命题的编号为 （写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）某种圆形射击靶由三个同心圆构成（如图），从里到外的三个区域分别记为A 、B 、C ，（B 、C 为圆环），某射手一次射击中，击中A 、B 、C 区域的概率分别为P （A ）=0.4， P （B ）=0.25，P （C ）=0.2，没有中靶的概率为P （D ）.（1）求P （D ）；（2）该射手一次射击中，求击中A 区或B 区的概率； （3）该射手共射击三次，求恰有两次击中A 区的概率.18．（本小题满分12分） 解关于x 的不等式1|232|≥---ax ax .已知△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量)2sin ,2(cosCC =， )2sin ,2(cosC C n -=，且与的夹角为.3π（1）求角C 的值； （2）已知27=c ，△ABC 的面积233=S ，求b a +的值.已知数列{}n a 为等差数列，且.30,226352=+=+a a a a（1）求{}n a 的通项公式；（2）设*)(2N n a b n n ∈=，求{}n b 的前n 项和.n S已知三次函数)0(5)(23≠++-=a d cx x ax x f 图象上点（1，8）处的切线经过点（3，0），并且)(x f 在x =3处有极值. （1）求)(x f 的解析式；（2）若当),0(m x ∈时，)(x f >0恒成立，求实数m 的取值范围.在△ABC 中，0,3||,4||=⋅==BC AB BC AB ，若双曲线经过点C ，且以A 、B 为焦点.（1）求双曲线的方程； （2）若点G 满足21=，问是否存在过边AC 的中点D ，且不平行于AB 的直线l 与双曲线交于不同两点M 、N ，使得||||=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.福州市2018—2018学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷（文科）参考答案一、选择题1．C 2．C 3．A 4．D 5．B 6．B 7．D 8．C 9．B 10．D 11．C 12．B 二、填空题13．200；14．32m ；15．12+π；16．（2）（3） 三、解答题 17．解：（1）415.02.025.04.01)()()(1)('=---=---= C P B P A P D P（2）P=P （A ）+P （B ）=0.4+0.25=0.65 答：击中A 区或B 区的概率为0.65…………………………8′（3）288.0)4.01()4.0(223=-=C P答：恰有两次击中A 区的概率为0.288……………………12′ 18．解法1： 由原不等式得1232≥---a x a x ……（1）或1232-≤---a x ax ……（2）……2′由（1）得：0)3(≥-+-a x a x 解得a x <或3+≥a x ………………6′ 由（2）得0333≤---a x a x ，即0)1(≤-+-ax a x解得1+≤<a x a …………………………………………10′∴ 原不等式的解为a x <或1+≤<a x a 或3+≥a x …………………………12′解法2：由原不等式得⎩⎨⎧-≥--≠|||232|a x a x ax ……………………………………2′⇒⎩⎨⎧-≥--≠22)()232(a x a x ax ⇒⎩⎨⎧≥----≠0)()232(22a x a x ax⇒⎩⎨⎧≥-+--+---≠0)232)(232(a x a x a x a x ax …………………………6′ ⇒⎩⎨⎧≥+-+-≠0)]1()][3([3a x a x ax ⇒⎩⎨⎧+≥+≤≠31a x a x ax 或……………………………………10′∴原不等式的解为a x <或1+≤<a x a 或3+≥a x …………………………12′19．解：（1）1||||,3cos ||||==⋅⋅=⋅n m n m n m 且π…………………………2′3cos )2sin (2sin 2cos 2cos π=-+∴C C C C 即3cos cos π=C ………………4′又3),0(ππ=∴∈∴C C ………………………………6′ （2）由C ab b a c cos 2222-+= 得ab b a -+=22449………………① 由6sin 21=⋅=∆ab c ab S 得………………②………………………………10′由（1）（2）得4121)(2=+b a a 、+∈R b211=+∴b a ………………………………………………………………12′20．解：（1）设等差数列首项为1a ，公差为d ，则………………………………1′⎩⎨⎧=+=+3072225211d a d a ………………………………3′解得⎩⎨⎧==411d a 344)1(1-=⋅-+=∴n n a n ………………6′（2）*)(2N n a b n n ∈=2183211321)21(243)2222(49)324()324()324()324(33232321'--='---⋅=-++++='-⋅++-⋅+-⋅+-⋅=++++=∴+ n n nb b b b S n n n n nn21．解：（1）)(x f 图象过点C （1，8） 85=++-∴d c a ………①………………1′Cx ax x f +-='103)(2点（1，8）处的切线经过（3，0），,43108)1(-=--='∴f 即4103-=+-c a63=+∴c a ………………②………………………………3′又)(x f 在3=x 处有极值.3027,0)3(=+='∴c a f 即……………③…………………………4′联立①、②、③解得9,3,1===d c a 935)(23++-=∴x x x x f ……………………………………………………6′（2）)3)(13(3103)(2--=+-='x x x x x f由0)(='x f 得3,3121==x x ……………………………………………………7′ 当)31,0(∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增 9)0()(=>∴f x f ；…………………………………………………………9′当)3,31(∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减 0)3()(=>∴f x f 又0)31(>f 又),0(0)(,3,0)3(m x f m f 在时当>>∴= 内不恒成立…………………………11′∴ 当且仅当]3,0(∈m 时，),0(0)(m x f 在>内恒成立m ∴取值范围为]3,0(……………………………………………………12′22．解：（1）由已知得△ABC 为直角三角形，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，（如图），设双曲线方程为： )0,0(12222>>=-b a b y a x ……………………2′双曲线过点c ，2||||2=-=∴CB CA a ,1=∴a 又3,2222=-=∴=a c b c∴双曲线方程为1322=-y x ………………6′ （2）由已知得D （0，)3,0(),23G 设)0(23:≠+=k kx y l 代入双曲线方程，整理得：04213)3(22=---kx x k ……………………………8′直线l 与双曲线交于不同两点M 、N ，设),(),,(2211y x N y x M 0)3(219,03222>-+=∆≠-∴k k k 且解得3,0221221±≠≠<<-k k k 且 根据韦达定理：)3(421,33221221k x x k k x x --=⋅-=+…………………………9′ 又设MN 中点为F （00,y x ），则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-=+=)3(2923)3(23)(212002210k kx y k k x x x …………………………11′ l GF ⊥∴=||||000,13x kx y 消去-=-∴、0y 得： 1,1)3(233)3(29222=-=---k kk k k0,1>∆±=∴满足k …………………………………………………………13′∴存在直线23:+±=x y l ，满足题设要求………………………………14′。
2017—2018学年度第一学期期末教学质量检查高三文科数学参考答案_最新修正版
2017—2018学年度第一学期期末教学质量检查高三文科数学 参考答案一、选择题13．1(,)2+∞14．220x y --= 15．14π 16．)33,32( 三、解答题（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2324a a a =⋅34a ∴=±…………………………………1分若34a =-，则23610a a =-=，此时32a a <，不合题意，舍去； 若34a =，则2362a a =-=，此时2q =，11a =，符合题意.…………………………………4分从而数列{}n a 的通项公式12()n n a n N -*=∈.…………………………………5分 （Ⅱ）由条件n n a b n = 知 12n n n n n b a -==…………………………………6分则 21231222n n n T -=++++ ①21112122222n n n n nT --=++++ ② ①－②可得：211111(1)22222n n nnT -=++++- …………… ……………………9分所以11111221222212= =n n n n nn n T ------ …………………………………11分所以数列{}n b 的前n 项和211422n n n n T --=--. …………………………………12分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，样本中生长高度在115cm 以上（含115cm ）的频率为 ()0.010.0080.00410=0.22++⨯， 所以株数为0.221000=220⨯.…………………………………2分（Ⅱ）由频率分布直方图可估计：=600.02700.08800.14900.151000.241100.151200.11300.081400.04=100x -⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯…………………………………4分2=16000.029000.084000.141000.151000.154000.19000.0816000.04=366s ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯…………………………………6分∴莞草株高的平均数100cm ，方差为366.…………………………………7分（Ⅲ）设两株高度和不少于225cm 的事件为A ，记高度依次为100cm ，110cm ，112cm ，112cm ，125cm ，125cm 的莞草 分别为,,,,,a b c d e f .则两株高度和共有15种结果，如下：(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f…………………………………9分其中A 包含了(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,) a e a f b e b f c e c f d e d f e f 9个结果，93()155P A ∴==…………………………………11分故这两株莞草高度和不少于225cm 的概率为35. …………………………………12分（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知又2=CD ，所以DAB ∆和DBC ∆均为等腰∆Rt ，…………………………………1分所以045=∠=∠BDC ADB ，则090=∠ADC ，…………………………………2分…………………………………3分 取DE 中点H ，连,,HF AH BF ，又因为F 为EC 中点，…………………………………4分所以HF AB //且HF AB =，所以ABFH 为平行四边形， 所以AH BF //，…………………………………5分又因为AH ADE ⊂面，ADE BF 面⊄，所以ADE BF 面//.…………………………………6分（Ⅱ）由（1）BC BD ⊥又BE BC ⊥，BC EBD ∴⊥面 .DE BC ∴⊥…………………………………7分又由（1）知DE DC ⊥，DE ABCD ∴⊥面 .…………………………………8分设点D 到面BCE 的距离为h ，11,133E BCD D BCE V V h --=∴⋅= .…………………………………10分D 到面BCE.…………………………………12分 （20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）椭圆C 的焦距为2c ，则22c =即1c =…………………………………1分22e=a ∴==所以2221b ac =-=…………………………………3分故椭圆C 的方程为2212y x +=.…………………………………4分（Ⅱ） 假设满足条件的直线l 存在，设其方程为y x t =+，…………………………………5分四边形PMQN 为平行四边形即MN 与PQ 互相平分 设()11,M x y ，()()()22344,,3,,,N x y P y Q x y ， 所以 124= 3x x x ++-----------①…………………………………6分由2212y x t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得223220x tx t ++-=， 则()2241220t t ∆=-->，解得t <<由韦达定理知122= 3x x t +------------ ② …………………………………8分②代入①可得：42=33x t --t <<( …………………………………9分从而4[3]x ∈- …………………………………10分45 331333-<-=-<-由于与椭圆上点的横坐标的取值范围[]1,1-矛盾，…………………………………11分故点Q 不在椭圆上，从而满足条件的直线l 不存在.…………………………………12分21．（本小题满分12分）解：（1）因为1-=a ，,)(xe a xf +='1)(-='∴xe xf …………………………………1分 且)(),(,x f x f x '的变化关系表为…………………………3分 ∴当0=x 时，)(x f 有最小值为1)0(=f …………………………………4分1)(≥∴x f …………………………………5分（2）令()[)+∞∈++-+=+-=,0,1ln 11ln)()(x x e ax x ex f x g x ∴,11)(+++='x e a x g x…………………………………6分由（1）知[)1,,0+≥+∞∈x e x x ① 当,0211111)(02≥+>++++>+++='>-≥a x x a x e a x g x a x 时，，∴[)0)0()(,,0=+∞∈g x g x 单调递增，且 ∴[).0)0()(,,0恒成立=≥+∞∈g x g x 从而.2符合题意-≥a……………………………………8分② 当2a <-时，令()11x x e a x ϕ=+++, 则()()()()222111011x xx e x e x x ϕ+-'=-=≥++. ∴函数()x ϕ在区间[)0,+∞上单调递增.………………………………………9分由于()020a ϕ=+<,()111110111a a e a a a a a aϕ--=++≥-++=+>---. 故()00,x a ∃∈-,使得()00x ϕ=.…………………………………………10分则当00x x <<时,()()00x x ϕϕ<=,即()0g x '<. ∴函数()g x 在区间()00,x 上单调递减. ∴ ()()000g x g <=,不符题意.…………………………………………11分综上所述,实数a 的取值范围是[)2,-+∞.…………………………………………12分22．（本小题满分10分）1 ( )2x C y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩解：(1)曲线的参数方程为：为参数转化为普通方程：043222=--+y x y x ，…………………………………………2分∴曲线C 1的极坐标方程为：0sin 4cos 32=-θθρ-， 直线l 1的极坐标方程为：6πθ=（R ∈ρ）．…………………………………………5分（2）设A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，由⎪⎩⎪⎨⎧=--=0sin 4cos 326θθρπθ解得0=ρ（舍去）或5=ρ，所以51=ρ．…………………………………………7分由⎪⎩⎪⎨⎧=--=0sin 4cos 323θθρπθ解得0=ρ（舍去）或33=ρ，所以332=ρ． …………………………………………9分∴三角形△AOB 的面积为4315)63sin(2121=-=∆ππρρABC S ． …………………………………………10分 23．（本小题满分10分）解：（1）当1a =时，不等式()2f x >即为1242x x +-->， …………………………………………1分若-1x ≤，不等式可化为52x ->，解得7x >，无解， 若12x -<<，不等式可化为1(24)2x x ++->，解得53x >，所以 523x << 若2x ≥，不等式可化为1(24)2x x +-->，解得3x <，所以23x ≤<…………………………………………4分 综上所述，关于x 的不等式()2f x >的解集为533xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. …………………………………………5分 （2）由题意可知()12441 2 314 124 1 1f x x x aa x x ax a x ax a x =+--+-≥⎧⎪=+--<<⎨⎪--≤-⎩，，， …………………………………………6分所以()y f x =的图象与x 轴围成的三角形为PEF ∆41(2,21),(,0),(41,0)3a P a a E F a -++其中 …………………………………………7分8141(41)(21)823PEF S a a a ∆∴>-⇒⨯+-⨯+>2(21)12 a +>整理得： …………………………………………9分121 2a a a >∴+>>即…………………………………………10分。
2017-2018学年福建省福州市高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|（x﹣6）（x+1）＜0}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣1，6）B．（﹣1，1）C．（1，6）D．∅2．（5分）若复数为纯虚数，则实数a＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．（5分）已知，，则＝（）A．B．C．D．4．（5分）＝（）A．B．C．1D．5．（5分）已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点，离心率为．若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为，则C的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（）A．4πB．C．D．16π7．（5分）如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的Mod （N，m）＝n表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如Mod（10，3）＝1．执行该程序框图，则输出i的等于（）A．23B．38C．44D．588．（5分）将函数y＝2sin x+cos x的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y＝sin x﹣2cos x B．y＝2sin x﹣cos xC．y＝﹣sin x+2cos x D．y＝﹣2sin x﹣cos x9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．8B．2C．2D．210．（5分）已知函数，若f（a）＝3，则f（a﹣2）＝（）A．B．3C．或3D．或311．（5分）过椭圆的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝e x+e2﹣x，若关于x的不等式[f（x）]2﹣af（x）≤0恰有3个整数解，则实数a的最小值为（）A．1B．2e C．e2+1D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是．14．（5分）曲线y＝x3﹣2x2+2x在x＝1处的切线方程为．15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A的大小为．16．（5分）某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元．该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是元．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，且S n＝2a n﹣1．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）设b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现．某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92．（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10个样本的均值和方差s2；（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在之间，则满意度等级为“A 级”．试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比是多少？（精确到0.1%）参考数据：．19．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，点F为棱DE的中点．（1）证明：AF∥平面BCE；（2）若，求三棱锥B﹣CEF的体积．20．（12分）抛物线C：y＝2x2﹣4x+a与两坐标轴有三个交点，其中与y轴的交点为P．（1）若点Q（x，y）（1＜x＜4）在C上，求直线PQ斜率的取值范围；（2）证明：经过这三个交点的圆E过定点．21．（12分）已知函数f（x）＝elnx﹣ax（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝e时，证明：xf（x）﹣e x+2ex≤0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线（α为参数，t＞0）．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线．（1）若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；（2）若曲线C上存在点到l距离的最大值为，求t的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣1|，x∈R．（1）求不等式f（x）≤3﹣f（x﹣1）的解集；（2）已知关于x的不等式f（x）≤f（x+1）﹣|x﹣a|的解集为M，若，求实数a的取值范围．2017-2018学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵集合A＝{x|（x﹣6）（x+1）＜0}＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|x﹣1＞0}＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x＜6}＝（1，6）．故选：C．2．【解答】解：复数＝+1＝+1＝+1﹣i，由于复数为纯虚数，∴+1＝0，且﹣≠0，∴a＝﹣2，故选：A．3．【解答】解：∵，∴＝2（1，2）﹣（﹣1，1）＝（3，3），则＝3，故选：B．4．【解答】解：＝﹣2sin15°•sin30°＝﹣sin15°＝﹣2（）＝﹣2sin（﹣45°）＝．故选：D．5．【解答】解：双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点，离心率为．若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为，可得c＝，则a＝1，所以b＝，所以双曲线方程为：．故选：C．6．【解答】解：由题意，球心O为圆柱高的中点，如图OM＝1，MN＝，∴求半径ON＝2，∴＝16π，故选：D．7．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被3除余2，②被5除余3，③被7除余2，最小两位数，故输出的n为23，故选：A．8．【解答】解：函数y＝2sin x+cos x的周期为2π，将函数y＝2sin x+cos x的图象向右平移个周期后，即平移π个单位，所得图象对应的函数为y＝2sin（x+π）+cos（x+π）＝﹣2sin x﹣cos x，故选：D．9．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：是正方体列出为2的一部分，A﹣BCD，三棱锥的表面积为：＝2．故选：D．10．【解答】解：∵函数，f（a）＝3，∴当a＞0时，f（a）＝＝3，解得a＝2，f（a﹣2）＝f（0）＝4﹣2﹣1＝﹣；当a≤0时，f（a）＝4a﹣2﹣1＝3，解得a＝3，不成立．综上，f（a﹣2）＝﹣．故选：A．11．【解答】解：直线l的方程为：，椭圆的右焦点（c，0），过椭圆的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，可得：可得：b≥2c，即a2﹣c2≥4c2，即：e2，∵e∈（0，1），解得：0＜e≤．故选：A．12．【解答】解：函数f（x）的导数为f′（x）＝e x﹣e2﹣x，当x＞1时，f（x）递增，x＜1时，f（x）递减，x＝1处f（x）取得最小值2e，且f（0）＝f（2）＝1+e2，如图所示，[f（x）]2﹣af（x）≤0，当a＞0时，0≤f（x）≤a，由于关于x的不等式[f（x）]2﹣af（x）≤0恰有3个整数解，因此其整数解为0，1，2，可得a≥1+e2，a≤0不必考虑，可得实数a的最小值是1+e2，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【解答】解：某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，基本事件总数n＝＝6，角梳与纸伞的宣传画相邻包含的基本事件个数m＝＝4，∴角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是p＝＝．故答案为：．14．【解答】解：y＝x3﹣2x2+2x的导数为y′＝3x2﹣4x+2，可得切线的斜率为k＝f′（1）＝3﹣4+2＝1，且切点为（1，1），可得切线的方程为y﹣1＝x﹣1．即y＝x．故答案为：y＝x．15．【解答】解：∵，∴由正弦定理可得：（sin A cos C﹣sin C cos A）＝sin B，可得：sin（A﹣C）＝sin B＝，∴sin（A﹣C）＝，∵A+C＝120°，又∵0°＜A＜120°，0°＜C＜120°，可得：﹣120°＜A﹣C＜120°，∴A﹣C＝30°，∴解得：A＝75°．故答案为：75°．16．【解答】解：设每天生产桌子x张，椅子y张，利润总额为p，目标函数为：p＝15x+20y，则，作出可行域：把直线l：3x+4y＝0向右上方平移至l'的位置时，直线经过可行域上的点B，此时p＝1500x+2000y取最大值，解方程，得B的坐标为（200，900）．p＝1500×200+2000×900＝2100000．∴每天应生产桌子200张，椅子900张才能获得最大利润2100000（元）．故答案为：2100000．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣1，所以a1＝1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（2a n﹣1）﹣（2a n﹣1﹣1），所以a n＝2a n﹣1，所以数列{a n}是以a1＝1为首项，以2为公比的等比数列．（2）由（1）知，，所以，所以（1）（2）（1）﹣（2）得：＝＝（3﹣2n）2n﹣3，所以．18．【解答】解：（1）由题意得，在第一分段里随机抽到的评分数据为92，其对应的编号为4，则通过系统抽样分别抽取编号为4，8，12，16，20，24，28，32，36，40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92，84，86，78，89，74，83，78，77，89．（2）由（1）中的样本评分数据可得，则有（78﹣83）2+（77﹣83）2+（89﹣83）2]＝33（3）由题意知评分在，即（77.26，88.74）之间，从调查的40名用户评分数据中在（77.26，88.74）共有21人，则该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为．19．【解答】证明：（1）证法一：取CE的中点M，连接FM，BM．因为点F为棱DE的中点，所以FM∥CD且，因为AB∥CD且AB＝2，所以FM∥AB且FM＝AB，所以四边形ABMF为平行四边形，所以AF∥BM，因为AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE，所以AF∥平面BCE．证法二：在平面ABCD内，分别延长CB，DA，交于点N．因为AB∥CD，CD＝2AB，所以A为DN中点．又因为F为DE的中点，所以AF∥EN．因为EN⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE．证明法三：取棱CD的中点G，连接AG，GF，因为点F为棱DE的中点，所以FG∥CE，因为FG⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，所以FG∥平面BCE；因为AB∥CD，AB＝CG＝2，所以四边形ABCG是平行四边形，所以AG∥BC，因为AG⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，所以AG∥平面BCE；又因为FG∩AG＝G，FG⊂平面AFG，AG⊂平面AFG，所以平面AFG∥平面BCE；因为AF⊂平面AFG，所以AF∥平面BCE．解：（2）因为AB∥CD，∠ABC＝90°，所以CD⊥BC．因为，所以CD2+CE2＝DE2，所以CD⊥CE，因为BC∩CE＝C，BC⊂平面BCE，CE⊂平面BCE，所以CD⊥平面BCE．因为点F为棱DE的中点，且CD＝4，所以点F到平面BCE的距离为 2.．三棱锥B﹣CEF的体积＝．20．【解答】解法一：（1）由题意得P（0，a）（a≠0），Q（x，2x2﹣4x+a）（1＜x＜4）．故＝2x﹣4∈（﹣2，4）（2）由（1）知，点P坐标为（0，a）（a≠0）．令2x2﹣4x+a＝0，解得，故．故可设圆E的圆心为M（1，t），由|MP|2＝|MA|2得，，解得，则圆E的半径为．所以圆E的方程为，所以圆E的一般方程为，即．由得或，故E都过定点．解法二：（1）同解法一．（2）由（1）知，点P坐标为（0，a）（a≠0），设抛物线C与x轴两交点分别为A（x1，0），B（x2，0）．设圆E的一般方程为：x2+y2+Dx+Fy+G＝0，则因为抛物线C与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），所以x1，x2是方程2x2﹣4x+a＝0，即的两根，所以，所以，所以圆E的一般方程为，即．由得或，故E都过定点．21．【解答】解：（1），①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为増函数；②若a＞0，则当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0．故在上，f（x）为増函数；在上，f（x）为减函数．（2）因为x＞0，所以只需证，由（1）知，当a＝e时，f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，所以f（x）max＝f（1）＝﹣e．记，则，所以，当0＜x＜1时，g'（x）＜0，g（x）为减函数；当x＞1时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，所以g（x）min＝g（1）＝﹣e．所以当x＞0时，f（x）≤g（x），即，即xf（x）﹣e x+2ex≤0．解法二：（1）同解法一．（2）由题意知，即证exlnx﹣ex2﹣e x+2ex≤0，从而等价于．设函数g（x）＝lnx﹣x+2，则．所以当x∈（0，1））时，g'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，故g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．从而g（x）在（0，+∞）上的最大值为g（1）＝1．设函数，则．所以当x∈（0，1））时，h'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0．故h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递増．从而h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（1）＝1．综上，当x＞0时，g（x）＜h（x），即xf（x）﹣e x+2ex≤0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）因为直线l的极坐标方程为，即ρcosθ+ρsinθ＝2，所以直线l的直角坐标方程为x+y＝2；因为（α参数，t＞0）所以曲线C的普通方程为，由消去x得，（1+t2）y2﹣4y+4﹣t2＝0，所以△＝16﹣4（1+t2）（4﹣t2）＜0，解得0＜t＜，故t的取值范围为．（2）由（1）知直线l的直角坐标方程为x+y﹣2＝0，故曲线C上的点（t cosα，sinα）到l的距离，故d的最大值为由题设得，解得．又因为t＞0，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）因为f（x）≤3﹣f（x﹣1），所以|x﹣1|≤3﹣|x﹣2|，⇔|x﹣1|+|x﹣2|≤3，或或解得0≤x＜1或1≤x≤2或2＜x≤3，所以0≤x≤3，故不等式f（x）≤3﹣f（x﹣1）的解集为[0，3]．（2）因为，所以当时，f（x）≤f（x+1）﹣|x﹣a|恒成立，而f（x）≤f（x+1）﹣|x﹣a|⇔|x﹣1|﹣|x|+|x﹣a|≤0⇔|x﹣a|≤|x|﹣|x﹣1|，因为，所以|x﹣a|≤1，即x﹣1≤a≤x+1，由题意，知x﹣1≤a≤x+1对于恒成立，所以，故实数a的取值范围．。
(全优试卷)福建省福州市高三上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
福州市2018届高三上学期期末考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）A）2.A．1 D．23.c=）A（）A．1 D若点M在C5.）A6.已知圆柱的高为2个球的表面积等于（）A7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》.执行该程序框图，则输出的）A．23 B．38 C．44 D．588. ）AC9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A10.）A．3 C． 3 D 311.左焦点和上顶点.）A3个整数解，则实12.A．1 B第Ⅱ卷（共90分）13、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是．14.处的切线方程为．大小为．16.某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是元.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1（218.随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10（3）在（2.试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为19..（1（2.20.（1（2.21.（1（2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.（1（2.23.选修4-5：不等式选讲（1（2取值范围.全优试卷参考答案一、选择题1-5: CABDC 6-10: DADAA 11、12：AC二、填空题三、解答题17. 解：（12为公比的等比数列.（2）由（1（1）2）（1）-（2）得：18.解：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.（2）由（1则有（3由（1）中容量为105人，则该地区满意度等级为40名用户评21人，则该地区满意度等级为19.解法一：（1（22.解法二：（1.（2）同解法一.解法三：（1（2）同解法一.20.解法一：（1（2）由（1解法二：（1）同解法一. （2）由（1）知，21.解：（1. （2由（1解法二：（1）同解法一.（2..22. 解：（1（2）由（123.解：（1（2。
福建省福州市2018届高三上学期期末数学质检试题(文)含答案
福建省福州市 2018 届高三上学期期末质检数学试题（文）第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A. 【答案】C 【解析】因为 所以 2. 若复数 A. 【答案】A 【解析】复数 为纯虚数，所以 B. ，故选 C. 为纯虚数，则实数 C. 1 D. 2 （ ） , , B. C. ， D. ，则 （ ）,故选 A.3. 已知 A. 【答案】B 【解析】 4. B.， C.，则 D.（）， （ ），故选 B.A.B.C. 1D.【答案】D 【解析】 ，故选 D.5. 已知双曲线 的两个焦点 且 ，都在 轴上， 对称中心为原点， 离心率为 ，则 的方程为（ ）.若点在 上，到原点的距离为A. 【答案】C 【解析】B.C.D.由直角三角形的性质可得，又，的方程为，故选 C.6. 已知圆柱的高为 2，底面半径为 这个球的表面积等于（ A. 【答案】D 【解析】设球半径为 B. C. ） D.，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上， ，故选 D.可得，球的表面积为7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的 .图中的 《孙子剩余定理》 示正整数 于（ ） 除以正整数 后的余数为 ，例如表.执行该程序框图，则输出的 等A. 23B. 38C. 44D. 58【答案】A 【解析】本题框图计算过程要求找出一个数除以 3 余数为 2；除以 5 余数为 3；除以 7 余数 为 2，那么这个数首先是 23，故选 8. 将函数 A. C. 【答案】D 【解析】 得到 函数 的周期为 函数 向右平移 个周期后， B. D. 的图象向右平移 个周期后，所得图象对应的函数为（ ），故选 D.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表 面积为（ ）A. 【答案】A 【解析】B.C.D.由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥，其中三棱锥的高为 ，底面为等腰直角三角形，直角边长为 ，表面积为 ，故选 A.10. 已知函数若，则（）A. 【答案】A 【解析】 若B. 3C.或3D.或3， 得， 若，不合题意，，故选 A.11. 过椭圆的右焦点作 轴的垂线， 交 于两点， 直线 过 的左焦点和上顶点.若以 A. 【答案】A B.为直径的圆与 存在公共点，则 的离心率的取值范围是（ C. D.）【解析】直线 的方程为，圆心坐标为，半径为与圆有公共点，，可得，，，故选 A.12. 已知函数 最小值为（ A. 1 B. ） C.，若关于 的不等式恰有 3 个整数解，则实数 的D.【答案】C 【解析】 数解，即 有 个整数解， ， 当 ，等价于 ， 时， 由 ， ， ，即 恰有 个整 时， 递减， ，不等 ， ，时，不等式无解， 可得 在 时， 时， 的最小值为不等式只有一个整数解 ， 排除选项 由 式无解； 不等式无解； 故 故选 C. 可得 在 ， 递增， 合题意，合题意， 合题意，当时， 有且只有 个整数解， 又第Ⅱ卷（共 90 分） 二.填空题（每题 5 分，满分 20 分） 13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一 面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是__________． 【答案】【解析】福州三宝的全排列共有种排法，角梳与纸伞相邻的排法，有种排法，根据古典概型概率公式可得，角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是，故答案为 .14. 曲线 【答案】 【解析】由 切点坐标为 15. 的内角在处的切线方程为__________．，得 ，由点斜式得切线方程为 的对边分别为 ，已知 ，即，所以切线斜率为 ， ，故答案为 .，则 的大小为__________． 【答案】 【解析】由 ，根据正弦定理得 ，即，，又，，故答案为.16. 某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工 4 个工作时，漆工 2 个工作时；生产一张桌子需要木工 8 个工作时，漆工 1 个工作时.生产一 把椅子的利润为 1500 元， 生产一张桌子的利润为 2000 元.该厂每个月木工最多完成 8000 个 工作时、漆工最多完成 1300 个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大 利润是__________元. 【答案】2100000 【解析】三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 （1）证明数列 （2）设 解： （1）当 当 所以 所以数列 时， ， 是以 为首项，以 2 为公比的等比数列. ， ， （1） （2） （1）-（2）得： 前 项和为 ，且 .是等比数列； ，求数列 时， 的前 项和 ，所以 ， . ，（2）由（1）知， 所以 所以， 所以 .18. 随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为 了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了 40 个用户，得到用户的满意度 评分如下：用系统抽样法从 40 名用户中抽取容量为 10 的样本， 且在第一分段里随机抽到的评分数据为 92. （1）请你列出抽到的 10 个样本的评分数据； （2）计算所抽到的 10 个样本的均值 和方差 ； （3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在 之间，则满意度等级为“ 级”.试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“ 级”的用户所占的百分比是多少？（精 确到 ) .参考数据：解： （1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40 的评分数据为 样本，则样本的评分数据为 92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. （2） 由 （1） 中的样本评分数据可得 ，则有（3）由题意知评分在 由（1）中容量为 10 的样本评分在 的用户所占的百分比约为之间，即之间，之间有 5 人，则该地区满意度等级为“ 级” .另解：由题意知评分在 数据中在 . 19. 如图，在四棱锥 中点. 中，，即之间， ，从调查的 40 名用户评分共有 21 人，则该地区满意度等级为“ 级”的用户所占的百分比约为,，点 为棱的（1）证明： （2）若 （1）证明：取 因为点 为棱 所以 因为 所以 所以四边形 且 且 且平面； ，求三棱锥 的体积.的中点 的中点，，连接.， ， ， 为平行四边形，所以 因为 所以， 平面 平面 . ， 平面 ，（2）解：因为 所以 因为 所以 因为 所以 平面 ， , . 的中点，且 的距离为 2. 平面 . ，所以，，，平面,因为点 为棱 所以点 到平面，.三棱锥的体积.20. 抛物线 （1）若点与两坐标轴有三个交点，其中与 轴的交点为 . 在 上，求直线 斜率的取值范围；（2）证明：经过这三个交点的圆 过定点. （1）解：由题意得 .故 （2）证明：由（1）知，点 坐标为 .令，解得，故.故可设圆的圆心为，由得，，解得，则圆的半径为. 所以圆的方程为，所以圆的一般方程为，即.由得或，故都过定点.21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.解：（1），①若，则，在上为増函数；②若，则当时，；当时，故在上，为増函数；在上，为减函数.（2）因为，所以只需证，由（1）知，当时，在上为增函数，在上为减函数，所以.记，则，所以，当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以.所以当时，，即，即.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线.（1）若与曲线没有公共点，求的取值范围；（2）若曲线上存在点到距离的最大值为，求的值.解：（1）因为直线的极坐标方程为，即，所以直线的直角坐标方程为；因为（参数，）所以曲线的普通方程为，由消去得，，所以，解得，故的取值范围为.（2）由（1）知直线的直角坐标方程为，故曲线上的点到的距离，故的最大值为由题设得，解得.又因为，所以.23. 选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）已知关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.解：（1）因为，所以，，或或解得或或，所以，故不等式的解集为.（2）因为，所以当时，恒成立，而，因为，所以，即，由题意，知对于恒成立，所以，故实数的取值范围.。
[精编]福建省2018届高三上学期期末考试数学(文)有答案
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泉港一中2017-2018学年上学期期末质量检测高三数学（文科）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数y =ln(2)y x =-的定义域分别为M 、N ，则M N =（ ）A ．(1,2]B ．[1,2)C ．(,1](2,)-∞+∞D ．(2,)+∞2.若2iz i=+，则复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．设D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点，则++=（ ）A ．B ．C ．D ．4.从编号为1,2,…，79,80的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的样本，若编号为10的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为（ ） A ．72B ．73C ．74D ．755.已知角α（0360α︒≤<︒）终边上一点的坐标为(sin150,cos150)︒︒，则α=（ ） A ．150︒ B ．135︒C ．300︒D ．60︒6.函数ln ||()||x x f x x =的大致图象是（ ）7．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k 的值为（ ）A．6 B．4.5 C．7.5 D．98.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．34πB．24π+C．12π+D．324π+9.实数x，y满足1|1|12x y x+≤≤-+时，目标函数z mx y=+的最大值等于5，则实数m的值为（）A．1-B．12-C．2D．510.三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．643π B ．2563π C ．4363π D11.已知动点P 在椭圆2213627x y +=上，若点A 的坐标为(3,0)，点M 满足||1AM =，0PM AM ⋅=，则||PM 的最小值是（ ） ABC．D ．312.已知函数()[]()cos ,1,1lg 2,1x x f x x x π⎧∈-⎪⎨>⎪⎩，关于x 的方程()f x a =的五个实根由小到大依次为12345,,,,x x x x x ，则345x x x +的取值范围是（ ） A. 2,15⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,25⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.观察下列式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，…，根据上述规律，第n 个不等式可能为 ．14.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的图象如图所示，则(0)f 的值为 ．15.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上一点M 关于渐进线的对称点恰为右焦点2F ，则该双曲线的离心率为 ．16.在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为a ，b ，c，其面积S =，这里1()2p a b c =++．已知在ABC ∆中，6BC =，2AB AC =，则ABC ∆面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 满足1122(1)22n n a a na n ++++=-+…，*n N ∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若2211log log n n n b a a +=⋅，12n n T b b b =+++…，求证：对任意的*n N ∈，1n T <.18.在如图所示的多面体ABCDEF 中，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90DAB ∠=︒，四边形ADEF 为等腰梯形，//EF AD ，已知AE EC ⊥，2AB AF EF ===，4AD CD ==．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ADEF ； （Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积.19.天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义.某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关.（Ⅰ）天气预报说，在今后的三天中，每一天降雨的概率均为40%，该营销部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天降雨的概率，利用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，并用1,2,3,4,表示下雨，其余6个数字表示不下雨，产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 求由随机模拟的方法得到的概率值；（Ⅱ）经过数据分析，一天内降雨量的大小x （单位：毫米）与其出售的快餐份数y 成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：降雨量（毫米） 12345快餐数（份）5085115140160试建立y 关于x 的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数．（结果四舍五入保留整数）附注：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-20．已知点P 是圆F 1：（x ﹣1）2+y 2=8上任意一点，点F2与点F 1关于原点对称，线段PF 2的垂直平分线分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点． （1）求点M 的轨迹C 的方程； （2）过点的动直线l 与点M 的轨迹C 交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数1()(1)1xax f x a x e +=-+-，其中0a ≥． （Ⅰ）若1a =，求函数()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若0x ≥，()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系．曲线1:1C ρ=．（I ）若直线l 与曲线1C 相交于点(),,1,1A B M ，证明：MA MB ⋅为定值； （II ）将曲线1C 上的任意点(),y x 作伸缩变换''x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩后，得到曲线2C 上的点()',y'x ，求曲线2C 的内接矩形ABCD 最长的最大值．23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2|1||1|f x x x =+--.（Ⅰ）求函数()f x 的图象与直线1y =围成的封闭图形的面积m ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数a 、b 满足2a b abm +=，求2a b +的最小值.泉港一中2017-2018学年上学期期末质量检测高三数学（文科）试题答案一、选择题1-5BAACC 6-10BADBB 11、C 12： B 二、填空题13.22211121123(1)1n n n +++++<++…12三、解答题17. 解：（Ⅰ）当1n >时，1121212(1)222-1)(2)22n n nn a a na n a a n a n +-+++=-++++=-+①（②①-②得1(1)2(2)22n n n n na n n n +=---=⋅,2n n a =，当1n =时，12a =，所以2,*n n a n N =∈． （Ⅱ）因为2n n a =，2211111log log (1)1n n n b a a n n n n +===-⋅++.因此1111112231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+， 所以n T 1<.18.（Ⅰ）证明：取AD 中点M ，连接EM ，AF=EF=DE=2，AD=4，可知EM=12AD ，∴AE ⊥DE ， 又AE ⊥EC ，DEEC E = ∴AE ⊥平面CDE ，∵CD CDE ⊂平面 ，∴AE ⊥CD ，又CD ⊥AD ，ADAE A = ,∴CD⊥平面ADEF ．（Ⅱ）由(1)知 CD ⊥平面ADEF ，CD ⊂ 平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面ADEF ；作EO ⊥AD ，∴EO ⊥平面ABCD ，， 连接AC ，则ABCDEF C-ADEF F ABC V V V -=+111(24)4332C-ADEF ADEF V S CD ==⨯⨯+=111243323F-ABC ABC V S OE ==⨯⨯⨯=△， ∴ABCDEF V ==．19.解：（Ⅰ）上述20组随机数中恰好含有1，2，3，4中的两个数的有191 271 932 812 393 ，共5个，所以三天中恰有两天下雨的概率的近似值为51==204P . （Ⅱ）由题意可知1234535x ++++==，50+85+115+140+160=1105y =，51521()()275==27.510()iii ii x x y y b x x ==--=-∑∑， ==27.5a y bx -所以，y 关于x 的回归方程为：ˆ27.527.5yx=+． 将降雨量6x =代入回归方程得：ˆ27.5627.5192.5193y=⨯+=≈.所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份． 20.【解答】解：（1）由题意得，∴点M 的轨迹C 为以F 1，F 2为焦点的椭圆∵，∴点M 的轨迹C 的方程为．（2）直线l 的方程可设为，设A（x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立可得9（1+2k 2）x2+12kx ﹣16=0．由求根公式化简整理得，假设在y 轴上是否存在定点Q （0，m ），使以AB 为直径的圆恒过这个点，则即．∵，===．∴求得m=﹣1．因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．21. 解：（Ⅰ）当1=a时，xexxf-+-=)1(1)(，当1=x时，exf21)(-=，1'(1)fe=，所以所求切线方程为：131y xe e=+-．（Ⅱ）首先xeaaxaxf--++-=)1()1()('，令其为)(xg，则xeaaxxg--+-=)12()('．1）当12≤a即210≤≤a时，,0)('≤xg)(xg单调递减，即)('xf单调递减，)('≤xf，)(xf单调递减，0)(≤xf，所以210≤≤a成立；2）当21>a时，0)12()('=-+-=-xeaaxxg解得：ax12-=，当)12,0(ax-∈时，,0)('>xg)(xg单调递增，即)('xf单调递增，)('>xf，)(xf单调递增，0)(>xf，所以21>a不成立．综上所述：210≤≤a．22. 22.（I）曲线221:1C x y+=．()2221cos1sin2cos sin101x ty t t tx yαααα=+⎧⎪=+⇒+++=⎨⎪+=⎩，121MA MB t t⋅=⋅=．（II）伸缩变换后得222:13xC y+=．其参数方程为：sinxyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩．不妨设点(),A m n在第一象限，由对称性知：周长为())4,4sinm nθθ=+8sin 83πθ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭，（6πθ=时取等号）周长最大为8． 23. 解：（Ⅰ）函数3,1,()21131,11,3, 1.x x f x x x x x x x --≤-⎧⎪=+--=+-<<⎨⎪+≥⎩它的图象如图所示：函数)(x f 的图象与直线1=y 的交点为(4,1)-、(0,1)，故函数)(x f 的图象和直线1=y 围成的封闭图形的面积14362m =⨯⨯=．（Ⅱ）ab b a 62=+ ,621=+∴ab844244)21)(2(=+≥++=++abb a a b b a ，当且仅当abb a 4=， 可得31,32==b a 时等号成立，b a 2+∴的最小值是34。
2018年福建省福州市闽侯一中高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)
2017-2018学年福建省福州市闽侯一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．（5分）已知集合A={x∈R|log（x﹣2）≥﹣1}，B={x∈R|≥1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3）B．[﹣1，3]C．∅D．（2，3）2．（5分）已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．（5分）方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）4．（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（）A． B．C．D．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣ B．C．1 D．6．（5分）张苍是战国末期曾在荀子的门下学习，与李斯、韩非等人是同门师兄弟．他在《九章算术》卷中“盈不足”中有如下问题（改编）：“今有垣厚卅尺，两鼠对穿．小鼠日一尺，大鼠日八尺．小鼠日自倍，大鼠日自半，问几何日相逢？”其大意是：今有墙厚30尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．小老鼠第一天打1尺，以后每天加倍；大老鼠第一天打8尺，以后每天减半，问几天后两只老鼠相遇？（）A．2B．3 C．2 D．47．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．180 B．200 C．220 D．2408．（5分）已知sinα=﹣（α∈[，2π]），若=2，则tan（α+β）=（）A．B．C．﹣D．﹣9．（5分）已知定义域为R的函数y=f（x）在[0，7]上有1和6两个零点，且y=f （x+2）与y=f（x+7）都是偶函数，则y=f（x）在[0，2017]上的零点个数至少有（）个．A．403 B．807 C．806 D．40210．（5分）已知定义在R上的函数满足：f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣7，3]上的所有实数根之和为（）A．﹣9 B．﹣10 C．﹣11 D．﹣1211．（5分）已知命题p：∀x∈R，不等式ax2+2x+1＜0的解集为空集，命题q：f（x）=（2a﹣5）x在R上满足f′（x）＜0，若命题p∧¬q是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[，3]B．[3，+∞）C．[2，3]D．[2，]∪[3，+∞）12．（5分）已知O是平面上一定点，动点P满足：=+λ（），λ∈[0，+∞），则P一定经过△ABC的（）A．重心B．内心C．垂心D．外心二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．（5分）曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的切线方程为y=2x+1，则=．14．（5分）如果实数x、y满足，若直线y=k（x﹣1）将可行域分成面积相等的两部分，则实数k的值为．15．（5分）已知四面体S﹣ABC中，SA=SB=2，且SA⊥SB，BC=，AC=，则该四面体的外接球的表面积为．16．（5分）给出下列四个关于数列命题：（1）若{a n}是等差数列，则三点（10，）、（100，）、（110，）共线；（2）若{a n}是等比数列，则S m、S2m﹣S m、S3m﹣S2m（m∈N*）也是等比数列；（3）等比数列{a n}的前项n和为S n，若对任意的n∈N*，点（n，S n）均在函数的图象y=b x+r（b≠0，b≠1，b，r均为常数）上，则r的值为1．﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=2，{a n}（4）对于数列{a n}，定义数列{a n+1的“差数列”的通项为2n，则数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2其中正确命题的有．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}的首项为a1=1，且a n+1=2（a n+1）（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列的前n项和T n．18．（12分）△ABC中，D是BC边的中点，AB=3，AC=，AD=（1）求BC边的长；（2）求△ABC的面积．19．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）将函数f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后再向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，c=4，且g（B）=0，求b的值．20．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中．（Ⅰ）求证：PF⊥平面ABED；（Ⅱ）在线段PA上是否存在点Q使得FQ∥平面PBE？若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）求点A到平面PBE的距离．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣1﹣lnx，其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥x对x∈（1，+∞）成立，求实数a的取值范围．本题有（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任一点，求A，B 两点的极坐标和△PAB面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|的最小值为4．（1）求a+b的值；（2）求的最小值．2017-2018学年福建省福州市闽侯一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．（5分）已知集合A={x∈R|log（x﹣2）≥﹣1}，B={x∈R|≥1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3）B．[﹣1，3]C．∅D．（2，3）【解答】解：由A中不等式变形得：log（x﹣2）≥﹣1=log2，即0＜x﹣2＜2，解得2＜x＜4，∴A=（﹣2，4），由B中不等式变形得：≥1，即≥0，即（x+1）（x﹣3）≤0，且x﹣3≠0，解得﹣1≤x≤3，即B=[﹣1，3），则A∩B=（2，3），故选：D．2．（5分）已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选：B．3．（5分）方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）【解答】解：由题意设函数f（x）=ln（x+1）﹣，并且f（0）→﹣∞，f（1）=ln2﹣2＜0；f（2）=ln3﹣1＞0，f（e）=ln（e+1）﹣＞0，f（3）=ln4﹣＞0，f（4）=ln5﹣＞0，根据方程根的存在性定理可知，方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（1，2）；故选：B．4．（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（）A． B．C．D．【解答】解：函数y=1+x+，可知：f（x）=x+是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数y=1+x+的图象关于（0，1）对称，当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，当x=π时，y=1+π，排除B．故选：D．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣ B．C．1 D．【解答】解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．6．（5分）张苍是战国末期曾在荀子的门下学习，与李斯、韩非等人是同门师兄弟．他在《九章算术》卷中“盈不足”中有如下问题（改编）：“今有垣厚卅尺，两鼠对穿．小鼠日一尺，大鼠日八尺．小鼠日自倍，大鼠日自半，问几何日相逢？”其大意是：今有墙厚30尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．小老鼠第一天打1尺，以后每天加倍；大老鼠第一天打8尺，以后每天减半，问几天后两只老鼠相遇？（）A．2B．3 C．2 D．4【解答】解：根据题意，设大老鼠每天打洞的尺寸为数列{a n}，小老鼠每天打洞的尺寸为数列{b n}，设第n天后，两只老鼠相遇，又由小老鼠第一天打1尺，以后每天加倍；则数列{b n}为首项为1，公比为2的等比数列，大老鼠第一天打8尺，以后每天减半，数列{a n}为首项为8，公比为的等比数列，则有+≥30，（n∈N）解可得：n≥4，故选：D．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．180 B．200 C．220 D．240【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4．=2××（2+8）×4+2×5×10+2×10+8×10=240．∴S表面积故选：D．8．（5分）已知sinα=﹣（α∈[，2π]），若=2，则tan（α+β）=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵sinα=﹣（α∈[，2π]），∴cosα==，∴tanα==﹣，∵==sinα+cosα•tanβ═﹣+tanβ=2，∴tanβ=，则tan（α+β）===，故选：A．9．（5分）已知定义域为R的函数y=f（x）在[0，7]上有1和6两个零点，且y=f （x+2）与y=f（x+7）都是偶函数，则y=f（x）在[0，2017]上的零点个数至少有（）个．A．403 B．807 C．806 D．402【解答】解：∵y=f（x+2）与y=f（x+7）都是偶函数，f（x）关于x=2和x=7对称．∴f（x+2）=f（7+x），即5是函数f（x）的一个周期．∴定义域为R的函数y=f（x）在[0，7]上有1和6两个零点，可知3也是函数的零点，f（x）=0的根为5n+1或5n+3的形式．∴0≤5n+1≤2017，解得﹣0.2≤n≤403.2，共404个0≤5n+3≤2017，解得﹣0.6≤n≤402.8，共403个故函数y=f（x）在[0，2017]上的零点个数为807个，故选：B．10．（5分）已知定义在R上的函数满足：f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣7，3]上的所有实数根之和为（）A．﹣9 B．﹣10 C．﹣11 D．﹣12【解答】解：∵f（x）=，且f（x+2）=f（x），∴f（x﹣2）﹣2=又g（x）=，则g（x）=2，∴，当x≠2k﹣1，k∈Z时，上述两个函数都是关于（﹣2，2）对称，；由图象可得：方程f（x）=g（x）在区间[﹣7，3]上的实根有5个，x1满足﹣7＜x1＜﹣6，x2满足﹣5＜x2＜﹣4，x3=﹣3，x4满足0＜x4＜1，x2+x4=﹣4，x5满足2＜x5＜3，x1+x5=﹣4∴方程f（x）=g（x）在区间[﹣7，3]上的所有实根之和为﹣11．故选：C．11．（5分）已知命题p：∀x∈R，不等式ax2+2x+1＜0的解集为空集，命题q：f（x）=（2a﹣5）x在R上满足f′（x）＜0，若命题p∧¬q是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[，3]B．[3，+∞）C．[2，3]D．[2，]∪[3，+∞）【解答】解：命题p：∀x∈R，不等式ax2+2x+1＜0的解集为空集，a=0时，不满足题意．a≠0，必须满足：，解得a≥2．命题q：f（x）=（2a﹣5）x在R上满足f′（x）＜0，可得函数f（x）在R上单调递减，∴0＜2a﹣5＜1，解得．若命题p∧¬q是真命题，∴p为真命题，q为假命题．∴．解得或a≥3．则实数a的取值范围是[3，+∞）∪．故选：D．12．（5分）已知O是平面上一定点，动点P满足：=+λ（），λ∈[0，+∞），则P一定经过△ABC的（）A．重心B．内心C．垂心D．外心【解答】解：根据正弦定理可得|AB|•sinB=|AC|•sinC，∵=﹣=λ（），∴•=λ（）•=λ（+）=λ（﹣+）=0，∴⊥，即点P在BC边的高上，即点P的轨迹经过△ABC的垂心．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．（5分）曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的切线方程为y=2x+1，则=4．【解答】解：∵曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的切线方程为y=2x+1，∴k=f′（x0）=2，∴=2=2f′（x 0）=2×2=4，故答案为：414．（5分）如果实数x、y满足，若直线y=k（x﹣1）将可行域分成面积相等的两部分，则实数k的值为﹣3．【解答】解：作出不等式组对应平面区如图（三角形ABC部分）：∵直线y=k（x﹣1）过定点C（1，0），∴C点也在平面区域ABC内，要使直线y=k（x﹣1）将可行域分成面积相等的两部分，则直线y=k（x﹣1）必过线段AB的中点D．由，解得，即B（1，4），由，解得，即A（﹣1，2），∴AB的中点D（），即D（0，3），将D的坐标代入直线y=k（x﹣1）得3=﹣k，解得k=﹣3，故答案为：﹣315．（5分）已知四面体S﹣ABC中，SA=SB=2，且SA⊥SB，BC=，AC=，则该四面体的外接球的表面积为8π．【解答】解：由于SA=SB=2，且SA⊥SB，BC=，AC=，则AB=SA=2，由AB2=AC2+BC2，则AC⊥BC，取AB的中点O，连接OS，OC，则OA=OB=OC=OS=，则该四面体的外接球的球心为O，则球的表面积为S=4πr2=4π×（）2=8π．故答案为：8π．16．（5分）给出下列四个关于数列命题：（1）若{a n}是等差数列，则三点（10，）、（100，）、（110，）共线；（2）若{a n}是等比数列，则S m、S2m﹣S m、S3m﹣S2m（m∈N*）也是等比数列；（3）等比数列{a n}的前项n和为S n，若对任意的n∈N*，点（n，S n）均在函数的图象y=b x+r（b≠0，b≠1，b，r均为常数）上，则r的值为1．﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=2，{a n}（4）对于数列{a n}，定义数列{a n+1的“差数列”的通项为2n，则数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2其中正确命题的有（1）（4）．【解答】解：（1）若{a n}是等差数列，则其前n项和为S n=An2+Bn，=An+B，则数列为等差数列，因此三点（10，）、（100，）、（110，）共线，正确；（2）若{a n}是等比数列，则S m、S2m﹣S m、S3m﹣S2m（m∈N*）也是等比数列，不正确，例如等比数列{（﹣1）n}，取m=2，则S2=0；（3）等比数列{a n}的前项n和为S n，若对任意的n∈N*，点（n，S n）均在函数的图象y=b x+r（b≠0，b≠1，b，r均为常数）上，∴S n=b n+r，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=b n+r﹣（b n﹣1+r=b n﹣1（b﹣1）≠0．n=1时，a1=S1=b+r，对于上式也成立，则b+r=b﹣1，解得r=﹣1，因此不正确．﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=2，{a n}（4）对于数列{a n}，定义数列{a n+1﹣a n=2n，则n≥2时，a n=2n﹣1+2n﹣的“差数列”的通项为2n，则a n+12+…+2+2=+1=2n，n=1时也成立．数列{a}的前n项和S n==2n+1﹣2，n因此正确．其中正确命题的有（1）（4）．故答案为：（1）（4）．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}的首项为a1=1，且a n+1=2（a n+1）（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）数列{a n}的首项为a1=1，且a n+1=2（a n+1）（n∈N*）．则：a n+2=2（a n+2），+1所以：{a n+2}是以3为首项，2为公比的等比数列．则：，解得：．（2）由于=n，则：=，所以：+…+，解得：．18．（12分）△ABC中，D是BC边的中点，AB=3，AC=，AD=（1）求BC边的长；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，D是BC边的中点，AB=3，AC=，AD=设BC=2x，则：BD=CD=x，利用余弦定理得：①，②①+②得：22=2x2+14，解得：x=2．所以：BC=4．（2）由（1）得：，所以：sinB=．=3．19．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）将函数f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后再向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，c=4，且g（B）=0，求b的值．【解答】解：（Ⅰ）函数=，令，解得，所以函数f（x）的对称轴方程为．（Ⅱ）函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，再向左平移个单位，得到函数的图象，所以函数．又△ABC中，g（B）=0，所以，又，所以，则．由余弦定理可知，，所以．20．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中．（Ⅰ）求证：PF⊥平面ABED；（Ⅱ）在线段PA上是否存在点Q使得FQ∥平面PBE？若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）求点A到平面PBE的距离．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）连结EF，由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，在△PBF中，PF2+BF2=20+16=36=PB2，所以PF⊥BF…（2分）在图1中，利用勾股定理，得，在△PEF中，EF2+PF2=61+20=81=PE2，∴PF⊥EF…（4分）又∵BF∩EF=F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，∴PF⊥平面ABED．…（6分）（Ⅱ）当Q为PA的三等分点（靠近P）时，FQ∥平面PBE．证明如下：∵，，∴FQ∥BP…（8分）又∵FQ不包含于平面PBE，PB⊂平面PBE，∴FQ∥平面PBE．…（10分）（Ⅲ）由（Ⅰ）知PF⊥平面ABED，∴PF为三棱锥P﹣ABE的高．…（11分）设点A到平面PBE的距离为h，由等体积法得V A=V P﹣ABE，…（12分）﹣PBE即，又，，∴，即点A到平面PBE的距离为．…（14分）21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣1﹣lnx，其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥x对x∈（1，+∞）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=ax2﹣1﹣lnx的导数为f′（x）=2ax﹣=，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）为减函数；当a＞0时，f′（x）=0可得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x＞时，f′（x）＞0．可得f（x）在（0，）为减函数，在（，+∞）为增函数，综上可得，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）为减函数；当a＞0时，f（x）在（0，）为减函数，在（，+∞）为增函数；（2）f（x）≥x对x∈（1，+∞）成立，可得ax2≥1+x+lnx，当x＞1时，a≥++，令g（x）=++，g′（x）=﹣﹣+=，当x≥1时，﹣1﹣x﹣2lnx＜0，即g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）递减，可得a≥g（1）=2，则a的取值范围是[2，+∞）．本题有（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任一点，求A，B 两点的极坐标和△PAB面积的最小值．【解答】解：（1）由消去参数t，得（x+5）2+（y﹣3）2=2，所以圆C的普通方程为（x+5）2+（y﹣3）2=2．由，得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，所以直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0；（2）直线l与x轴，y轴的交点为A（﹣2，0），B（0，2），化为极坐标为，设P点的坐标为，则P点到直线l的距离为，∴，又，所以△PAB面积的最小值是．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|的最小值为4．（1）求a +b 的值； （2）求的最小值．【解答】解：（1）因为|x +a |+|x ﹣b |≥|x ﹣b ﹣x ﹣a |=|﹣a ﹣b |=|a +b |， 所以f （x ）≥|a +b |，当且仅当（x +a ）（x ﹣b ）≤0时，等号成立， 又a ＞0，b ＞0， 所以|a +b |=a +b ，所以f （x ）的最小值为a +b ， 所以a +b=4．（2）由（1）知a +b=4，b=4﹣a ，，当且仅当时，的最小值为．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。
福州市2017-2018学年第一学期高三期末考试文科数学试卷(有答案)
福州市2017-2018学年第一学期高三期末考试文科数学试卷(有答案)福州市2017-2018学年第一学期高三期末考试文科数学试卷（有答案）本试题卷共23题，分为第I卷和第II卷，共计150分，考试时间120分钟。
第I卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合A={x(x-6)(x+1)0}，则A∩B=（C）。
2.若复数z=a1为纯虚数，则实数a=（B）。
3.已知a=(12)，b=(-1,1)，c=2a-b，则|c|=（B）。
4.3cos15°-4sin215°cos15°=（D）。
5.已知双曲线C的两个焦点F1F2都在x轴上，对称中心为原点，离心率为3，若点M在C 上，且MF1MF2M到原点的距离为3，则C的方程为（C）。
6.已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（B）。
7.右面的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》。
图中的Mod(N,m)=n表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如Mod(10,3)=1.执行该程序框图，则输出的i等于（C）。
8.将函数y=2sinx+cosx的图象向右平移1个周期后，所得图象对应的函数为（D）。
二、填空题（共3小题，每小题10分，共30分）9.已知函数y=ln(1-x)，则y''=（B）。
10.已知函数f(x)=x+sinx，则f'(π)的值为（C）。
11.已知函数f(x)=x+sinx，则f(x)在[0,π]上的最小值为（A）。
三、解答题（共8小题，每小题10分，共80分）12.解方程log2(x+1)+log2(x-1)=1.13.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求f(x)的单调递减区间。
14.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求f(x)的极值和极值点。
15.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程。
福建省福州市闽侯三中2017-2018学年高三上学期第一次月卷数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年福建省福州市闽侯三中高三（上）第一次月卷数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．已知A={x|x+1≥0}，B={y|y2﹣4＞0}，全集I=R，则A∩（∁I B）为（）A．{x|x≥2或x≤﹣2}B．{x|x≥﹣1或x≤2}C．{x|﹣1≤x≤2}D．{x|﹣2≤x ≤﹣1}2．已知cosα=﹣，α为第二象限角，则﹣=（）A．﹣B．C．﹣D．3．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=（）A．60 B．70 C．80 D．904．函数y=cos（4x+）的图象的相邻两个对称中心间的距离为（）A．B．C．D．π5．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣106．关于x的不等式|x+cos2θ|≤sin2θ的解是（）A．cos2θ≤x≤1 B．﹣1≤x≤﹣cos2θC．﹣cos2θ≤x≤1 D．﹣1≤x≤cos2θ7．设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（）A．m∥α，n∥β，m∥n B．m∥α，n⊥β，m∥n C．m⊥α，n∥β，m⊥n D．m⊥α，n⊥β，m∥n8．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，BB1，A1B1的中点，则点G到平面EFD1的距离为（）A．B．C．D．9．从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，分别派到西部的三个不同地区，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派方法种数是（）A．70 B．140 C．420 D．84010．F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上，若|PF1|=9，则|PF2|=（）A．1 B．17 C．1或17 D．911．已知二次函数f（x）=2ax2﹣ax+1（a＜0），若x1＜x2，x1+x2=0，则f（x1）与f（x2）的大小关系为（）A．f（x1）=f（x2）B．f（x1）＞f（x2）C．f（x1）＜f（x2）D．与a值有关12．已知O是平面上一定点，A﹑B﹑C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ（+）λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．二项式（﹣）6展开式中常数项为．14．经过点P（2，﹣3）作圆x2+2x+y2=24的弦AB，使得点P平分弦AB，则弦AB所在直线的方程为．15．若实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值是．3bx2cx d）的定义域为．三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），•=﹣sin2C．（1）求角C的大小；（2）若c=2，求△ABC的面积的最大值．18．中国海关规定，某类产品的每批产品在出口前要依次进行五项检验，如果有两项指标不合格，则这批产品不能出口，后面的几项指标不再检验，已知每项指标抽检不合格的概率都是0.2，现有一批产品准备出口而进行检验．（1）求这批产品不能出口的概率；（2）求必须要五项指标全部检验完毕，才能确定该批产品能否出口的概率．（精确到两位数）参考数据：0.83=0.512，0.84=0.4096，0.85=0.32768．19．如图：在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥面ABC，△ABC是直角三角形，∠B=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥PD；（Ⅱ）求直线PF与平面PBD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角E﹣PF﹣B的正切值．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S1=1，3S n=（n+2）a n．（1）求a2，a3的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求的和．21．已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f（a•b）=af （b）+bf（a）．（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（3）若f（）=﹣，令b n=，S n表示数列{b n}的前n项和，试问：是否存在关于n=（S n﹣1）•g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？的整式g（n），使得S1+S2+S3+…+S n﹣1若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试什么理由．22．已知两定点，，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx﹣1与曲线E交于A、B两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）如果且曲线E上存在点C，使求m的值和△ABC的面积S．2016-2017学年福建省福州市闽侯三中高三（上）第一次月卷数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．已知A={x|x+1≥0}，B={y|y2﹣4＞0}，全集I=R，则A∩（∁I B）为（）A．{x|x≥2或x≤﹣2}B．{x|x≥﹣1或x≤2}C．{x|﹣1≤x≤2}D．{x|﹣2≤x ≤﹣1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先化简集合A，B，B补集与A的交集确定．【解答】解：∵A={x|x+1≥0}={x|x≥﹣1}，B={y|y2﹣4＞0}={y|y＞2或y＜﹣2}，∴∁I B={y|﹣2≤y≤2}，∴A∩（∁I B）={x|﹣1≤x≤2}故选：C．2．已知cosα=﹣，α为第二象限角，则﹣=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵cosα=﹣，α为第二象限角，∴sinα==，则﹣==﹣2sinα=﹣，故选：A．3．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=（）A．60 B．70 C．80 D．90【考点】分层抽样方法．【分析】先求出总体中中A种型号产品所占的比例，是样本中A种型号产品所占的比例，再由条件求出样本容量．【解答】解：由题意知，总体中中A种型号产品所占的比例是=，因样本中A种型号产品有16件，则×n=16，解得n=80．故选C．4．函数y=cos（4x+）的图象的相邻两个对称中心间的距离为（）A．B．C．D．π【考点】余弦函数的图象；余弦函数的对称性．【分析】先根据函数的表达式求出函数的最小正周期，然后根据两向量对称轴间的距离等于半个周期可得答案．【解答】解：对于，T=∴两条相邻对称轴间的距离为=故选B．5．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=﹣8，∴a2=﹣6．故选：B．6．关于x的不等式|x+cos2θ|≤sin2θ的解是（）A．cos2θ≤x≤1 B．﹣1≤x≤﹣cos2θC．﹣cos2θ≤x≤1 D．﹣1≤x≤cos2θ【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用绝对值不等式展开，再由同角三角函数的基本关系式与倍角公式化简得答案．【解答】解：由|x+cos2θ|≤sin2θ，得﹣sin2θ≤x+cos2θ≤sin2θ，即﹣（sin2θ+cos2θ）≤x≤﹣（cos2θ﹣sin2θ），∴﹣1≤x≤﹣cos2θ．故选：B．7．设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（）A．m∥α，n∥β，m∥n B．m∥α，n⊥β，m∥n C．m⊥α，n∥β，m⊥n D．m⊥α，n⊥β，m∥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】正确命题加以论证，不正确命题举出反例，即可得出结论．【解答】解：A：若m∥α，n∥β，m∥n，则α，β平行或相交，故A不正确．B：m∥α，n⊥β，m∥n可得α⊥β，所以B不正确．C：若m⊥α，n∥β，m⊥n可得α，β相交，所以C不正确．D：若m⊥α，m∥n，可得n⊥α，由于n⊥β可得α∥β，所以D正确．故选：D．8．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，BB1，A1B1的中点，则点G到平面EFD1的距离为（）A．B．C．D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】根据A1B1∥EF得出点G到平面D1EF的距离是A1到平面D1EF的距离，由三角形面积可得所求距离．【解答】解：因为A1B1∥EF，G在A1B1上，所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，即是A1到D1E的距离，D1E==，由三角形面积可得所求距离为=．故选：D．9．从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，分别派到西部的三个不同地区，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派方法种数是（）A．70 B．140 C．420 D．840【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，有C93种选法，再排除其中只选派3名男公务员的方案数为C53=10，只有女公务员的方案为C43种，最后分别派到西部的三个不同地区，问题得以解决．【解答】解：由题意，从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，有C93种选法，再排除其中只选派3名男公务员的方案数为C53=10，只有女公务员的方案为C43种，利用间接法可得有C93﹣C53﹣C43种方法，分别派到西部的三个不同地区共有A33（C93﹣C53﹣C43）=420．故选：C．10．F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上，若|PF1|=9，则|PF2|=（）A．1 B．17 C．1或17 D．9【考点】双曲线的简单性质．【分析】首先根据双曲线的标准方程求得a的值然后根据定义|PF1|﹣|PF2|=±2a求解．【解答】解：F1、F2是双曲线=1的焦点，2a=8，点P在双曲线上（1）当P点在左支上时，|PF1|﹣|PF2|=﹣2a，|PF1|=9，解得：|PF2|=17（2）当P点在右支上时，|PF1|﹣|PF2|=2a，|PF1|=9，解得：|PF2|=1故选：C11．已知二次函数f（x）=2ax2﹣ax+1（a＜0），若x1＜x2，x1+x2=0，则f（x1）与f（x2）的大小关系为（）A．f（x1）=f（x2）B．f（x1）＞f（x2）C．f（x1）＜f（x2）D．与a值有关【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】由题意可得，对称轴x=，开口向下，x1＜0＜x2，且x2=﹣x1，根据开口向下的二次函数，距对称轴越远，函数值越小的性质可判断函数值的大小【解答】解：∵f（x）=2ax2﹣ax+1（a＜0）的对称轴x=，开口向下又∵x1＜x2，x1+x2=0，∴x1＜0＜x2，且x2=﹣x1则x1距离对称轴x=较远根据开口向下的二次函数，距对称轴越远，函数值越小的性质可知，f（x1）＜f（x2）故选C12．已知O是平面上一定点，A﹑B﹑C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ（+）λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【考点】空间向量的加减法．【分析】将=提取出来，转化成λt（+），而λt（+）表示与共线的向量，点D是BC的中点，故P的轨迹一定通过三角形的重心．【解答】解：∵=设它们等于t，∴=+λ（+）而+=2λ（+）表示与共线的向量而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心．故选C二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．二项式（﹣）6展开式中常数项为60．【考点】二项式定理的应用．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得常数项的值．=•（﹣2）r•，【解答】解：二项式（﹣）6的展开式的通项公式为T r+1令=0，求得r=2，故展开式中常数项为•22=60，故答案为：60．14．经过点P（2，﹣3）作圆x2+2x+y2=24的弦AB，使得点P平分弦AB，则弦AB所在直线的方程为x﹣y﹣5=0．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】将圆的方程化为标准方程，确定圆心坐标以及半径．因为点P在圆内，则过点P且被点P平分的弦AB所在的直线与点P与圆心的连线垂直．根据两直线垂直的性质确定此直线的斜率．从而确定直线方程．【解答】解；将圆x2+2x+y2=24化为标准方程，得（x+1）2+y2=25∴圆心坐标O（﹣1，0），半径r=5∵（2+1）2+（﹣3）2=18＜25∴点P在圆内又∵点P平分弦AB∴OP⊥AB∵∴弦AB所在直线的斜率k=1又直线过点P（2，﹣3）∴直线方程为：y﹣（﹣3）=x﹣2即x﹣y﹣5=015．若实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值是15．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（5，5），此时z max=2×5+5=15．故答案为：1532）的定义域为（﹣，）∪（，+）．【考点】函数的定义域及其求法；函数的图象．【分析】函数y=lgf（x），而f（x）=ax3+bx2+cx+d，可知y是一个复合函数，y=lgf（x）是对数型复合函数，所以f（x）＞0，由表中的数据可知f（x）单调性【解答】解：函数y=lgf（x）是对数型复合函数，∴f（x）＞0，由表中的数据可知f（x）单调性：当x＞2时，f（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f（x）＞0；当x＜﹣1时，f（x）＜0；所以：函数y=lgf（x）的定义域为（﹣1，1）∪（2，+∞），故答案为：（﹣1，1）∪（2，+∞）三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），•=﹣sin2C．（1）求角C的大小；（2）若c=2，求△ABC的面积的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理．【分析】（1）进行数量积的坐标运算便可得出sin（A+B）=﹣sin2C，进而可求出cosC=，从而得出C=；（2）根据余弦定理及不等式a2+b2≥2ab即可得出3ab≤12，进而得到ab≤4，这样根据三角形面积公式即可求出△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）=sin（A+B）=sinC=﹣sin2C；即sinC=﹣2sinCcosC，且sinC＞0；∴；∵0＜C＜π；∴；（2）根据余弦定理，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab≥2ab+ab；∴3ab≤12；∴ab≤4，当且仅当a=b=2时取等号；∴；∴△ABC的面积的最大值是．18．中国海关规定，某类产品的每批产品在出口前要依次进行五项检验，如果有两项指标不合格，则这批产品不能出口，后面的几项指标不再检验，已知每项指标抽检不合格的概率都是0.2，现有一批产品准备出口而进行检验．（1）求这批产品不能出口的概率；（2）求必须要五项指标全部检验完毕，才能确定该批产品能否出口的概率．（精确到两位数）参考数据：0.83=0.512，0.84=0.4096，0.85=0.32768．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】（1）先求出这批产品能出口的概率，再用1减去此概率，即为所求．（2）根据相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，求得要求得必须要五项指标全部检验完毕，才能确定该批产品能否出口的概率．【解答】解：（1）由题意可得，每项指标合格的概率为0.8，则这批产品能出口的概率为0.85+•0.2•0.84=0.74，∴这批产品不能出口的概率为1﹣0.74=0.26．（2）必须要五项指标全部检验完毕，才能确定该批产品能否出口，说明前4项指标中只有1项不合格，故它的概率为•0.2•0.83≈0.41．19．如图：在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥面ABC，△ABC是直角三角形，∠B=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥PD；（Ⅱ）求直线PF与平面PBD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角E﹣PF﹣B的正切值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．【分析】解法一：（Ⅰ）因为EF∥AC，故只要证PD⊥AC，由三垂线定理可证；（Ⅱ）因为面PBD⊥面ABC，故只需过电F作BD的垂线，因为EF⊥BD，交点为O，则∴∠FPO为直线PF与平面PBD所成的角，求解即可．（Ⅲ）由EB⊥面PBC，故可有三垂线定理法作出二面角的平面角．过点B作BM⊥PF于点M，连接EM，则∠EMB为二面角E﹣PF﹣B的平面角再在△EBM中求解即可．解法二：（向量法）因为BA、BC、BP两两垂直，故可建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．（Ⅰ）只要证即可（Ⅱ）求出平面PBD的法向量，法向量和夹角的余弦的绝对值即为直线PF与平面PBD所成的角的正弦值．（Ⅲ）分别求出两个面的法向量，再由夹角公式求二面角的余弦值，再求正切．【解答】解：法一（Ⅰ）连接BD、在△ABC中，∠B=90°．∵AB=BC，点D为AC的中点，∴BD⊥AC．又∵PB⊥面ABC，即BD为PD在平面ABC内的射影，∴PD⊥AC．∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥PD．（Ⅱ）∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥EF．连接BD交EF于点O，∵EF⊥PB，EF⊥PD，∴EF⊥平面PBD，∴∠FPO为直线PF与平面PBD所成的角，EF⊥PO．．∵PB⊥面ABC，∴PB⊥AB，PB⊥BC，又∵∠PAB=45°，∴PB=AB=2．∵，∴，∴在Rt△FPO中，，∴．（Ⅲ）过点B作BM⊥PF于点M，连接EM，∵AB⊥PB，AB⊥BC，∴AB⊥平面PBC，即BM为EM在平面PBC内的射影，∴EM⊥PF，∴∠EMB为二面角E﹣PF﹣B的平面角．∵Rt△PBF中，，∴．法二：建立空间直角坐标系B﹣xyz，如图，则B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），E（1，0，0），F（0，1，0），P（0，0，2）．（Ⅰ）∵，，∴∴EF⊥PD．（Ⅱ）由已知可得，为平面PBD的法向量，，∴，∴直线PF与面PBD所成角的正弦值为．∴直线PF与面PBD所成的角为．（Ⅲ）设平面PEF的一个法向量为a=（x，y，z），∵，∴a，a，令z=1，∴a=（2，2，1）由已知可得，向量为平面PBF的一个法向量，∴cos＜a，∴tan＜a．∴二面角E﹣PF﹣B的正切值为．20．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 1=1，3S n =（n +2）a n ． （1）求a 2，a 3的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）求的和．【考点】数列递推式；数列的求和． 【分析】（1）利用递推式分别令n=2，3即可得出；（2）当n ≥2时，由3Sn=（n +2）a n ，3S n ﹣1=（n +1）a n ﹣1，两式相减得．再利用“累乘求积”…•即可得出；（3）利用“裂项求和”即可得出． 【解答】解：（1）当n=2时，3S 2=4a 2，∴3（a 1+a 2）=4a 2，化为a 2=3a 1=3．当n=3时，得3S 3=5a 3，∴3（a 1+a 2+a 3）=5a 3，代入得3（1+3+a 3）=5a 3，解得a 3=6．（2）当n ≥2时，由3Sn=（n +2）a n ，3S n ﹣1=（n +1）a n ﹣1，两式相减得3a n =（n +2）a n ﹣（n +1）a n ﹣1，化为．∴…•=…•=．（3）由（2）可得： =．∴=…+=．21．已知f （x ）是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足f （a •b ）=af （b ）+bf （a ）． （1）求f （0），f （1）的值；（2）判断f （x ）的奇偶性，并证明你的结论；（3）若f （）=﹣，令b n =，S n 表示数列{b n }的前n 项和，试问：是否存在关于n的整式g （n ），使得S 1+S 2+S 3+…+S n ﹣1=（S n ﹣1）•g （n ）对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出g （n ）的解析式，并加以证明；若不存在，试什么理由．【考点】数列与函数的综合；函数奇偶性的判断；函数恒成立问题；数列的函数特性；数列的求和． 【分析】（1）令a=b=0，得f （0）=0•f （0）+0•f （0）=0，令a=b=1，得f （1）=1•f （1）+1•f （1），故可解；（2）令a=b=﹣1，可得f （﹣1）=0；令a=﹣1，b=x ，可得f （﹣x ）=﹣f （x ），故可得f （x ）是奇函数；（3）先可得，即nS n ﹣（n ﹣1）S n ﹣1=S n ﹣1+1，从而（n ﹣1）S n ﹣1﹣（n﹣2）S n ﹣2=S n ﹣2+1，…，S 2﹣S 1=S 1+1由此可得S 1+S 2+…S n ﹣1=nS n ﹣n=（S n ﹣1）•n （n ≥2），故可解．【解答】解：（1）令a=b=0，得f （0）=0•f （0）+0•f （0）=0． 令a=b=1，得f （1）=1•f （1）+1•f （1），∴f （1）=0．（2）令a=b=﹣1，得f （1）=f [（﹣1）•（﹣1）]=﹣f （﹣1）﹣f （﹣1）=﹣2f （﹣1），∴f （﹣1）=0．令a=﹣1，b=x ，得f （﹣x ）=f （﹣1•x ）=﹣1•f （x ）+x •f （﹣1）=﹣f （x ）+0=﹣f （x ）．∴f （x ）是奇函数．（3）当．令，∴g （a n ）=ng （a ）．∴f （a n ）=a n •g （a n ）=n •a n •g （a ）=n •a n ﹣1•f （a ）．∵∴f （2）=2，∴∴，∴即nS n ﹣（n ﹣1）S n ﹣1=S n ﹣1+1，∴（n ﹣1）S n ﹣1﹣（n ﹣2）S n ﹣2=S n ﹣2+1，…，2S 2﹣S 1=S 1+1， ∴nS n ﹣S 1=S 1+S 2+…+S n ﹣1+n ﹣1，∴S 1+S 2+…S n ﹣1=nS n ﹣n=（S n ﹣1）•n （n ≥2） ∴g （n ）=n ．故存在关于n 的整式g （n ）=n ，使等式对于一切不小于2的自然数n 恒成立22．已知两定点，，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx﹣1与曲线E交于A、B两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）如果且曲线E上存在点C，使求m的值和△ABC的面积S．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．【分析】（Ⅰ）首先根据曲线的定义判断出曲线E是双曲线的左支，a和c已知，则可求得b，曲线E的方程可得．设出A，B的坐标，把直线方程与双曲线方程联立消去y，进而根据直线与双曲线左支交于两点A，B，联立不等式求得k的范围．（Ⅱ）根据弦长公式求得|AB|的表达式，根据结果为6求得k，则直线AB的方程可得，设C（x0，y0），根据，可得；根据x1+x2和y1+y2的值求得C点的坐标，代入双曲线方程求得m的值，进而求得点C到直线AB的距离，最后利用三角形面积公式求得三角形ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，且，易知b=1故曲线E的方程为x2﹣y2=1（x＜0）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意建立方程组消去y，得（1﹣k2）x2+2kx﹣2=0又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有解得．（Ⅱ）∵===依题意得整理后得28k4﹣55k2+25=0∴或但∴故直线AB的方程为设C（x0，y0），由已知，得（x1，y1）+（x2，y2）=（mx0，my0）∴，（m≠0）又，∴点C将点C的坐标代入曲线E的方程，得得m=±4，但当m=﹣4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意∴m=4，点C的坐标为C到AB的距离为∴△ABC的面积2016年11月25日。
2017-2018学年福建省福州市闽侯一中高三(上)开学数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年福建省福州市闽侯一中高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．（5分）设集合M＝{x|x2+3x+2＞0}，集合N＝{x|（）x≤4}，则M∪N＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x≤﹣2}D．R2．（5分）已知复数z满足zi＝2i+x（x∈R），若z的虚部为1，则|z|＝（）A．2B．2C．D．3．（5分）若2cos2α＝sin（α﹣），且α∈（，π），则cos2α的值为（）A．﹣B．﹣C．1D．4．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题B．“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为500尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（）A．6B．7C．8D．96．（5分）记A＝cos，B＝cos，C＝sin﹣sin，则A，B，C的大小关系是（）A．A＞B＞C B．A＞C＞B C．B＞A＞C D．C＞B＞A 7．（5分）如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，第1次到第第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…A14，如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（）A．7B．8C．9D．108．（5分）函数f（x）＝|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），的图象与g（x）＝2cos2（x﹣）+1的图象的对称轴相同，则f（x）的一个增区间为（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[，] 10．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，|a n+1﹣a n|＝，若a2n+1＞a2n﹣1，a2n+2＜a2n（n∈N*）则数列{（﹣1）n a n}的前40项的和为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣x2+（2﹣a）x﹣a（a∈R）若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＞0，则实数a的取值范围是（）A．[，]B．（，）C．（，]D．（ln3，ln2+1）12．（5分）已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式x2f（）﹣f（x）＞0的解集为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（1，+∞）D．（2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．（5分）已知向量，满足＝（4，﹣3），||＝3，若向量，的夹角为，则|2+3|＝．14．（5分）已知a∈R，设函数f（x）＝ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l 在y轴上的截距为．15．（5分）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2＝4×朱实+黄实＝弦实，化简，得勾2+股2＝弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为．16．（5分）已知直线l n：y＝x﹣与圆∁n：x2+y2＝2a n+n交于不同的两点A n、B n，n∈N+，数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝|A n B n|2，则数列{a n}的通项公式为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2＝，a n b n+1+b n+1＝nb n．（I）求{a n}的通项公式；（II）求{b n}的前n项和．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin A cos C+c sin A cos A ＝c，D是AC的中点，且cos B＝，BD＝．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的最短边的边长．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若△ABC的外接圆直径为1，求a2+b2的取值范围．20．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}中，a1，a3，a7成等比数列，且a2n＝2a n﹣1，等比数列{b n}满足b n+b n+1＝．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．21．（12分）已知函数f（x）＝ln+ax﹣1（a≠0）．（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知g（x）+xf（x）＝﹣x，若函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：g（x1）＜0．[选修4-4：极坐标与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）已知直线l：，曲线C：（1）当m＝3时，判断直线l与曲线C的位置关系；（2）若曲线C上存在到直线l的距离等于的点，求实数m的范围．2017-2018学年福建省福州市闽侯一中高三（上）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．【解答】解：∵集合M＝{x|x2+3x+2＞0}＝{x|x＜﹣2或x＞﹣1}，集合N＝{x|（）x≤4}＝{x|2﹣x≤22}＝{x|﹣x≤2}＝{x|x≥﹣2}，∴M∪N＝R，故选：D．2．【解答】解：由zi＝2i+x，得，则x＝﹣1，∴z＝2+i，则|z|＝．故选：C．3．【解答】解：法一、∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵2cos2α＝sin（α﹣），∴2（cos2α﹣sin2α）＝（sinα﹣cosα），∴cosα+sinα＝，①∴1+2sinαcosα＝，则2sinαcosα＝﹣，（cosα﹣sinα）2＝1﹣2sinαcosα＝1+，∴cosα﹣sinα＝，②联立①②，解得cosα＝，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2（）2﹣1＝．法二、由2cos2α＝sin（α﹣），得2sin（）＝sin（α﹣），则4sin（）cos（α）＝sin（α﹣），∴cos（α）＝﹣，∵α∈（，π），∴∈（），则sin（）＝﹣，则cos2α＝sin（）＝2sin（）cos（α）＝2×．故选：D．4．【解答】解：对于A，“若x＝y，则sin x＝sin y”是真命题，它的逆否命题也为真命题，A正确；对于B，x＝﹣1时，x2﹣5x﹣6＝0，充分性成立，x2﹣5x﹣6＝0时，x＝﹣1或x＝6，必要性不成立，是充分不必要条件，B错误；对于C，命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，∴C错误；对于D，命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，∴D错误．故选：A．5．【解答】解：设需要n天时间才能打穿，则+≥500，化为：2n﹣﹣499≥0，令f（n）＝2n﹣﹣499，则f（8）＝﹣499＝﹣﹣243＜0．f（9）＝29﹣﹣499＝13﹣＞0．f（x）＝﹣499，（x≥1）．∴f （x ）在（8，9）内存在一个零点．又函数f （x ）在x ≥1时单调递增，因此f （x ）在（8，9）内存在唯一一个零点． ∴需要9天时间才能打穿． 故选：D ．6．【解答】解：A ﹣C ＝cos ﹣sin +sin ＝sin （+）﹣sin ，∵＜+＜， ∴sin （+）＞1，∴sin （+）﹣sin ＞0，即A ＞C ，B ﹣C ＝cos ﹣sin +sin ＝sin ﹣sin （﹣）， ∵﹣+＝﹣1+＜0，∴＜﹣， ∵0＜＜，0＜﹣＜，∴sin ＜sin （﹣）＜sin （﹣），∴sin ﹣sin （﹣）＜0，即B ＜C ，综合知A ＞C ＞B ． 故选：B ．7．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用．根据流程图所示的顺序， 可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数． 根据茎叶图可得超过90分的次数为10， 故选：D ．8．【解答】解：当a ＝0时，函数f （x ）＝|x |+＝|x |，函数的图象可以是B ．当a ＝1时，函数f （x ）＝|x |+＝|x |+，函数的图象可以类似A ；当a ＝﹣1时，函数f （x ）＝|x |+＝|x |﹣，x ＞0时，|x |﹣＝0只有一个实数根x＝1，函数的图象可以是D ； 所以函数的图象不可能是C ．故选：C．9．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象与g（x）＝2cos2（x﹣）+1＝2+cos（2x﹣）的图象的对称轴相同，∴ω＝2，且sin（2•+φ）＝cos（2×﹣）＝1，∴φ＝，函数f（x）＝sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，令k＝0，可得f（x）的一个增区间为[﹣，]，故选：B．10．【解答】解：由题意可得：a2n﹣a2n﹣1＞0，a2n+2﹣a2n＜0，则：a2n﹣a2n﹣1＞a2n+2﹣a2n⇒a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，①而，即：|a2n+1﹣a2n+2|＜|a2n﹣1﹣a2n|，②综合①②可得：a2n﹣1﹣a2n＜0，即：，裂项可得：，综上可得数列的前40项的和为：（a2﹣a1）+（a4﹣a3）+…+（a40﹣a39）＝＝．故选：D．11．【解答】解：由题意，a＜＝﹣（x+1）+4﹣＝﹣x+3﹣，设h（x）＝﹣x+3﹣，则h′（x）＝，设g（x）＝﹣x2﹣2x﹣ln（x+1）+3，∴g′（x）＝﹣2x﹣2﹣＝﹣，∵2x2+4x+3＞0恒成立，∴g′（x）＜0恒成立，∴g（x）单调递减，∵g（0）＝3＞0，g（1）＝﹣ln2＜0，∴g（x）在（0，1）上存在唯一的零点，即h（x）在（0，1）上有唯一的极值点，且为极大值点，∵h（1）＝，h（2）＝，∴要使不等式有唯一的正整数解，需≤a≤，故选：A．12．【解答】解：令F（x）＝，（x＞0），则F′（x）＝，∵f（x）＞xf′（x），∴F′（x）＜0，∴F（x）为定义域上的减函数，由不等式x2f（）﹣f（x）＞0，得：＞，∴＜x，∴x＞1，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．【解答】解：||＝5，∴＝||||cos＝5×3×（﹣）＝﹣．∴（2+3）2＝4+12+9＝91，∴|2+3|＝．故答案为：．14．【解答】解：函数f（x）＝ax﹣lnx，可得f′（x）＝a﹣，切线的斜率为：k＝f′（1）＝a﹣1，切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a＝（a﹣1）（x﹣1），l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）＝1．故答案为：1．15．【解答】解：设勾股形的勾股数分别为1，，则弦为2，故而大正方形的面积为4，小正方形的面积为（）2＝4﹣2，∴图钉落在黄色图形内的概率为＝，∴落在黄色图形内的图钉数大约为1000×≈134．故答案为：134．16．【解答】解：圆∁n：x2+y2＝2a n+n的圆心（0，0）到直线L n的距离为d n＝＝，半径，∴a n+1＝|A n B n|2＝＝2a n+n﹣n＝2a n，即＝2，又a1＝1，∴{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（I）由已知，数列{b n}满足b1＝1，b2＝，a n b n+1+b n+1＝nb n．可得：a1b2+b2＝b1，可得+＝1，解得a1＝2．所以数列{a n}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n＝3n﹣1．（II）由（I）可得：a n b n+1+b n+1＝nb n．得b n+1＝，因此{b n}是首项为1，公比为的等比数列．记{b n}的前n项和为S n，S n＝＝﹣．18．【解答】解：（1）∵cos B＝，∴sin B＝，又∵a sin A cos C+c sin A cos A＝c，∴正弦定理化简可得：sin A cos C sin A+sin A sin C cos A＝sin C．即sin A（cos C sin A+sin C cos A）＝sin C∴sin A sin B＝sin C，∵A+B+C＝π，∴C＝π﹣（A+B）∴sin A sin B＝sin（A+B）sin A＝sin A cos B+cos A sin B，∴sin A＝cos A．即tan A＝1，∵0＜A＜π，∴A＝．（2）D是AC的中点，且cos B＝，BD＝，根据余弦定理得c2+b2﹣bc＝26∵sin A＝sin C，且sin B×＝sin C∴解得：a＝2．b＝2，c＝6∴△ABC的最短边的边长2．19．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理，可得：，∴sin C cos A+sin C cos B＝cos C sin A+cos C sin B，即sin（C﹣A）＝sin（B﹣C），∴C﹣A＝B﹣C或C﹣A＝π﹣B﹣C（不成立），即2C＝A+B，∴C＝；（Ⅱ）由C＝，设A＝，B＝，∵，∴．∵a＝2R sin A，b＝2R sin B，R＝．∴a＝sin A，b＝sin B．那么：a2+b2＝sin2A+sin2B＝1﹣cos2A﹣cos2B＝1﹣[cos（）+cos （）]＝1+cos2α，∵．∴，那么：﹣＜cos2α≤，故得：＜a2+b2．20．【解答】解：（1）∵公差d不为0的等差数列{a n}中，a1，a3，a7成等比数列，且a2n＝2a n﹣1，∴＝a1（a1+6d），a2＝2a1﹣1＝a1+d，联立解得：a1＝2，d＝1．∴a n＝2+（n﹣1）＝n+1．等比数列{b n}满足b n+b n+1＝．∴b1+b1q＝，＝，联立解得q＝＝b1，∴b n＝．（2）c n＝a n•b n＝（n+1）．∴数列{c n}的前n项和T n＝++…+（n+1）．∴＝2×+…+n+（n+1），∴T n＝+…+﹣（n+1）＝﹣（n+1），可得：T n＝﹣．21．【解答】（I）解：f（x）＝ln+ax﹣1＝﹣lnx+ax﹣1，定义域是（0，+∞）∴f′（x）＝．a＞0时，令f′（x）＝0，得x＝，0＜x＜，f′（x）＜0，x＞，f′（x）＞0，∴函数的单调减区间是（0，），单调增区间是（，+∞）；a＜0，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函数单调递减；（Ⅱ）证明：已知g（x）+xf（x）＝﹣x，则g（x）＝xlnx﹣ax2，g′（x）＝lnx﹣2ax+1，∵函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），∴g′（x）在定义域上有两个零点x1，x2（x1＜x2），∴x1，x2是lnx﹣2ax+1＝0的两个根，∴lnx1﹣2ax1+1＝0，∴g（x1）＝，∵g′（x）＝lnx﹣2ax+1，∴g″（x）＝．a＜0时，g″（x）＞0恒成立，∴g′（x）在（0，+∞）内单调递增，∴g′（x）至多一个零点；a＞0时，令g″（x）＝0得x＝，0＜x＜，g″（x）＞0，x＞，g″（x）＜0，∴g′（x）max＝g′（）＝ln＝﹣ln2a＞0，∴0＜a＜且0＜x1＜＜x2，∵g（x1）＝，抛物线开口向上，对称轴为x＝，∴g（x1）＜0．[选修4-4：极坐标与参数方程]（共1小题，满分10分）22．【解答】解：（1）直线l：，展开可得：＝m，化为直角坐标方程：y+x＝m，m＝3时，化为：y+x﹣3＝0，曲线C：，利用平方关系化为：（x﹣1）2+y2＝3．圆心C（1，0）到直线l的距离d＝＝＝r，因此直线l与曲线C相切．（2）∵曲线C上存在到直线l的距离等于的点，∴圆心C（1，0）到直线l的距离d＝≤+，解得﹣2≤m≤4．∴实数m的范围是[﹣2，4]．。
福建省闽侯第一中学高三上学期开学考试数学(文)试题
2018届高三第一学期开学考试数学(文科)试卷（共4页；完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1．设集合{}2320M x x x =++>，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=4)21(x x N ，则 MN =（ ）A ．{}2x x ≥-B ．{}1x x >-C ． {}2x x ≤-D ．R2. 已知复数z 满足2zi i x =+()x R ∈，若z 的虚部为1，则z =（ ）．A ． 2B ．C D3. 若2cos 2sin()4παα=-，且()2παπ∈，，则cos2α的值为（ ）A ． 78-B ．8-C ．1D ．84. 下列有关命题的说法正确的是( )A.命题“若x y =,则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C. 命题“R x ∃∈,使得210x x ++<”的否定是:“R x ∀∈,均有210x x ++<”.D. 命题“若21x =,则1x =”的否命题为: “若21x =,则1x ≠”.5. 我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为500尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（ ） A ．6B ．7C ．8D ．96. 记21sin 23sin,23cos ,21cos -===c B A ，则A,B,C 的大小关系是（ ） A ．A B C >> B ．A C B >> C ． B A C >>D. C B A >>7. 如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，第1次到第第14次的考试成绩依次记为A 1 ， A 2 ， …A 14 ， 如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）A. 10B. 9C. 8D. 7 8. 函数f （x ）＝｜x ｜＋2ax（其中a∈R）的图象不可能是9. 函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，的图象与2()2cos ()16g x x π=-+的图象的对称轴相同，则()f x 的一个增区间为（ ）A ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ． ,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10. 已知数列{}n a 满足11a =，()112n n a a n n +-=+，若2121n n a a +->，222()n n a a n N *+<∈则数列{}(1)nn a -的前40项的和为（ ） A.1920 B. 325462 C. 4184 D. 204111. 已知函数2()ln(1)(2)()f x x x a x a a R =+-+--∈若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x >，则实数a 的取值范围是 ( )A. ln3ln 21,32+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ln 3ln 21(,)32+C. ln3ln 21,32+⎛⎤⎥⎝⎦ D. ()ln3,ln 21+ 12．已知f （x ）为定义在(0,)+∞上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2>-x f xf x 的解集为（ ）． A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13. 已知向量,a b 满足(4,3),3a b =-=，若向量,a b 的夹角为23π，则23a b +=_____. 14. 已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________ .15. 三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为______________16. 已知直线n l ：y x = 与圆n C ：222n x y a n +=+ 交于不同的两点n A 、n B ，n N +∈，数列{}n a 满足：11a =，2114n n n a A B +=，则数列{}n a 的通项公式为________ . 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足 12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，，. （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求{}n b 的前n 项和. 18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1sin cos sin cos 3a A C c A A c +=，D 是AC 的中点，且cos 5B BD == (Ⅰ) 求角A 的大小；(Ⅱ) 求△ABC 的最短边的边长。
(全优试卷)福建省闽侯第一中学高三7月质量检测数学(文)试题Word版含答案
2018届高三毕业班质量检测文科数学本试卷共23题，共150分，共6页，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 选择题（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U=｛x∈NⅠ-4＜x ＜5｝，集合A=｛x∈NⅠx 2+x-6＜0｝，则U C A 的子集的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D.4 2.若复数z 满足11zi i=-+（i 为虚数单位），则复数z = ( ) A. 1 B. 2 C. i D. 2i 3.已知1sin 23α=,则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.13- B.13 C.23- D.234.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()()21ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处切线的斜率为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．25.已知数列{}n a 满足：为正整数）m m a (1=,,若16=a ，则m 的所有可能值为A ．2或4或8B ．4或5或8C ．4或5或16D ．4或5或32 6.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈()sin()f x A x b ωϕ=++（＞0，ω＞0，||2πϕ<）的模型波动（x 为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 744f x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ （1≤x≤12，+∈N x ）B ．()9sin 44f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭（1≤x≤12，+∈N x ）C ．()74f x x π=+（1≤x≤12，+∈N x ）D ．()2sin 744f x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（1≤x≤12，+∈N x ）7.函数1sin y x x=-的图象大致是( )8.下列说法错误的是（ ）①命题p :2x ∀>,230x ->的否定是02x ∃>, 0230x -≤；②已知复数z 的共轭复数为，若（z +2）（1﹣2i ）=3﹣4i （i 为虚数单位），则在复平面内，复数z 所对应的点位于第四象限③已知,x y R ∈，且2323x y y x --+>+，则0x y -<④若a →＝(λ，-2)，b →＝(－3,5)，且a →与b →的夹角是钝角，则λ的取值范围是10(,)3λ∈-+∞⑤设函数()x f x m π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是()(),22,-∞-∞A.①②B.②③C.③④D.④⑤9.设集合{}k S S S M ,,,,6,5,4,3,2,121 =都是M 的含有两个元素的子集，且满足{}{}{}()k j i j i b a S b a S j j j i i i ,,2,1,,,,, ∈≠==对任意的都有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧j j j j i i i i a b b a a b b a ,min ,min ，其中{}y x ,m in 表示x,y 两个数的较小者，则k 的最大值是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．1310.已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组给出⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≤≤x y y 4504x 0，若()y x M ,为D 上的动点，点()1,2-A，则z =的最小值为（ ）A ．5 B ．17176 C ．63D ．2211.如图，在梯形ABCD 中，()AB DC AB a CD b a b ==>，，∥．若EF AB ∥，EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则可推算出：ma mbEF m m+=+．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD BC ，相交于O 点，设 OAB △，OCD △的面积分别为12S S ，，EF AB ∥且EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则OEF △的面积0S 与12S S ，的关系是（ ）A ．120mS nS S m n +=+B ．120nS mS S m n +=+C=D12.函数()x x x x f sin 3+--=，当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒有成立，则实数m 的取值范围（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21第Ⅱ卷 非选择题（90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
福建省福州市2018届高三上学期期末质检数学(文)试题 Word版含解析
已知集合，，则（B. C. D.,,若复数为纯虚数，则实数B. C. 1 D. 2为纯虚数，所以,故选A.3. 已知，则B. C. D.【解析】，故选（）B. C. 1 D.【答案】【解析】，故选5. 已知双曲线的两个焦点都在轴上，对称中心为原点，离心率为若点在到原点的距离为B. C. D.【解析】由直角三角形的性质可得，又的方程为，故选，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这B. C. D.【解析】设球半径为该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，可得，球的表面积为，故选7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》图中的表示正整数除以正整数后的余数为，例如执行该程序框图，则输出的等于，故选将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（B.D.【解析】函数的周期为向右平移，故选B. C. D.【解析】由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥，其中三棱锥的高为三角形，直角边长为，表面积为，故选A.已知函数若，则B. 3C. 或3D.【答案】【解析】若，得，不合题意，，故选过椭圆的右焦点作轴的垂线，交于两点，直线过若以为直径的圆与存在公共点，则B. C. D.【答案】的方程为半径为与圆有公共点，，，故选【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的简单性质及求椭圆的离心率范围，属于难题. 求解与的不等式，从而求出的不等式，最后解出已知函数，若关于的不等式则实数C. D.【解析】，等价于，即个整数解，有个整数解，，时，不等式无解，个整数解，排除选项，当时，由可得在递减，由可得递增，，合题意，时，不等式无解；，合题意，，合题意，当，不等式无解；故个整数解，又的最小值为方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、排除法解选择题，属于难题）解方程、求解析式、求通项、求前【答案】【解析】福州三宝的全排列共有种排法，角梳与纸伞相邻的排法，有种排法，根据古典概型概率公式可得，角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是，故答案为曲线【答案】由，所以切线斜率为坐标为，由点斜式得切线方程为，即的内角的对边分别为，已知，则【答案】【解析】由，根据正弦定理得，即，，，故答案为.16. 某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序【解析】【方法点晴】本题主要考查利用线性规划解决现实生活中的最佳方案及最大利润问题，属于难题题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列前项和为，且.是等比数列；）设，求数列的前.）数列是以）当，可得以以数列为首项，以）知，，可得，利用错位相减法可得数列的前项和试题解析：（1）当，所以时，，所以数列是以）知，，（（1）-（2）得：，.方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的的前是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列”与“确写出“”的表达式随着“互联网个样本的均值和方差）条件下，若用户的满意度评分在之间，则满意度等级为“)参考数据：）,））由第一分段里随机抽到的评分数据为的编号为，根据系统抽样方个样本的均值由题意知评分在之间，即之间，根据表格数据可得容量为之间有级”的用户所占的百分比约为）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40）中的样本评分数据可得）由题意知评分在之间，即之间，之间有则该地区满意度等级为“.，即之间，共有19. 如图，在四棱锥中，,，为棱）证明：平面；）若，求三棱锥））取的中点，连接，根据三角形中位线定理可得从而可得四边形为平行四边形，平面；由得，，从而得平面，到的距离为，利用三角形面积公式求出底面积，根据等积变换及棱锥的体积公式可得.试题解析：（1）取的中点，连接因为点为棱的中点，且且，且所以四边形为平行四边形，平面，平面，平面.）因为，.，所以，,平面，平面平面因为点为棱的中点，且，所以点到平面的距离为三棱锥的体积.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题抛物线与两坐标轴有三个交点，其中与轴的交点为）若点在上，求直线过定点（）由.）设圆的圆心为都过定点.试题解析：（1）由题意得.2）由（1）知，点坐标为，解得，.故可设圆的圆心为，得，，则圆的半径为.所以圆的方程为，所以圆的一般方程为.或都过定点.21. 已知函数.）讨论）当时，证明：2）见解析）对两种情况讨论，分别令求得增区间，求得的减区间；）因为，结合（）可得，利用导数研究函数调性，可得以，所以，即，即.），则，在，则当时，；当时，.上，为増函数；在上，为减函数）因为，所以只需证）知，当时，在上为增函数，在.，则所以，当时，，为减函数；当时，为增函数，.所以当，即，即两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分中，曲线为参数，在以为极点，的极坐标系中，直线.）若与曲线没有公共点，求的取值范围；）若曲线上存在点到距离的最大值为，求的值）利用三角函数求出点到直线的距离表达式，结合题目求得结果的极坐标方程为，即所以直线的直角坐标方程为；（参数，）所以曲线，消去得，所以，，的取值范围为）知直线的直角坐标方程为故曲线到的距离，的最大值为由题设得.又因为，所以设函数的解集；的不等式的解集为，若实数（）根据题目进行分类讨论的化简利用不等式求解，再根据条件计算出实数）因为，所以或解得或或，故不等式的解集为）因为所以当时，恒成立，，所以，即由题意，知对于恒成立，，故实数的取值范围。
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A．
B．
C．
D．
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7． （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A．
B．
C．18π
D．22π+4
8． （5 分）如图，把圆周长为 1 的圆的圆心 C 放在 y 轴上，顶点 A（0，1） ，一动 点 M 从 A 开始逆时针绕圆运动一周，记 0） ，则函数 t=f（x）的图象大致为（ =x，直线 AM 与 x 轴交于点 N（t， ）
2017-2018 学年福建省福州市闽侯一中高三（上）期末数学试卷 （文科）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题所给的四个 答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上． ） 1． （5 分）集合 M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则 M∩N=（ A． （0，2] 2． （5 分）设 z= A． B． （0，2） +i，则|z|=（ B． ） C． D．2 C． （1，2] ） D． （1，2）
A．
B．
C．
D．
9． （5 分）某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克，B 原料 1 千克．每 桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元．公司在生产这两种 产品的计划中，要求每天消耗 A、B 原料都不超过 12 千克．通过合理安排生 产计划， 从每天生产的甲、 乙两种产品中， 公司共可获得的最大利润是 （ A．1800 元 B．2400 元 C．2800 元 D．3100 元 ）
18． （12 分）如图，直三棱柱 ABC﹣A′B′C′中，AC=BC=5，AA′=AB=6，D，E 分别为 AB 和 BB′上的点，且 ．
（Ⅰ）当 D 为 AB 中点时，求证：A′B⊥CE； （Ⅱ）当 D 在 AB 上运动时，求三棱锥 A′﹣CDE 体积的最小值．
19． （12 分）某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定 的价格进行试销，得到一组销售数据（xi，yi） （i=1，2，…6） ，如表所示： 试销单价 x（元） 产品销量 y（件） 已知 （1）求 q 的值 （2）已知变量 x，y 具有线性相关性，求产品销量 y 关于试销单价 x 的线性回归 q 84 83 80 75 68 4 5 6 7 8 9
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方程
可供选择的数据
（3） 用 表示 （2） 中所求的线性回归方程得到的与 xi 对应的产品销量的估计值． 当 销售数据（xi，yi） （i=1，2，…，6）对应的残差的绝对值 时，则
12． （5 分）若 F1、F2 为双曲线
的左、右焦点，O 为坐标原点，点 P 在
双 曲 线 的 左 支 上 ， 点 M 在 双 曲 线 的 右 准 线 上 ， 且 满 足 （λ＞0） ，则该双曲线的离心率为（ A． B． C．2 D．3 ）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相 应位置上． ） 13． （5 分）向量 与 的夹角为 60°，若 =（0，2） ，| |=1，则| +2 |= ．
3． （5 分）已知直线 l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，其中 a∈R，则“a=﹣3” 是“l1⊥l2”的（ ） B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A．充分不必要条件 C．充要条件
4． （5 分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层， 红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔 共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的 顶层共有灯（ A．1 盏 ） B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏 上的图象，为 ）
14． （5 分）从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再 随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率 为 ．
15． （5 分）设 e1，e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 =0，则 的值为 ．
5． （5 分）图是函数 y=Asin（ωx+φ） （x∈R）在区间
了得到这个函数的图象，只要将 y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（
A．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐
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标不变 B．向左平移 坐标不变 C．向左平移 标不变 D．向左平移 坐标不变 6． （5 分）有编号为 1，2，…，700 的产品，现需从中抽取所有编号能被 7 整除 的产品作为样品进行检验．下面是四位同学设计的程序框图，其中正确的是 （ ） 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵
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10． （5 分）在如图所示的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，F 分别棱是 B1B，AD 的 中点，异面直线 BF 与D．
11． （5 分）把函数 f（x）=x3﹣3x 的图象 C1 向右平移 u 个单位长度，再向下平移 v 个单位长度后得到图象 C2、若对任意的 u＞0，曲线 C1 与 C2 至多只有一个交 点，则 v 的最小值为（ A．2 B．4 ） C．6 D．8
16． （5 分）△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量 =（2a，1） ， = （2b﹣c， cosC） ， 且 ∥ ， 三角函数式 μ=
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+1 的取值范围是
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要 求作答． 17． （12 分）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S5=﹣5，且 a3，a4，a6 成等比 数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．