2019春九年级数学下册28锐角三角函数28.1锐角三角函数第2课时学案人教版

28.1 锐角三角函数
锐角三角函数(第2课时)
学习目标
1.探究体验,当直角三角形的锐角固定时,它是邻边与斜边、对边与邻边都固定这一事实.
2.理解余弦、正切的概念,能根据余弦、正切的概念进行相关计算.
学习过程
一、自主复习
1.在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都是.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的,记作.
二、新知探究
1.问题如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C',中,∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'.
那么(1)AA
AA 与A'A'
A'A'
有什么关系?(2)AA
AA
与A'A'
A'A'
呢?
解析:(1)∵∠C=∠C'=90°,, ∴△ABC∽△A'B'C',
∴,
即AA
AA =A'A'
A'A'
.
(3)∵△ABC∽△A'B'C', ∴,
即AA
AA =A'A'
A'A'
.
2.结论:
(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的邻边
斜边
叫做∠A的,记作,即cos
A=.
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的对边
∠A的邻边
叫做∠A的,记作,即tan
A=.
(3)锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的.
三、例题探析
1.例题:(教材例2)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sin A、 cos A、tan A 的值.
解:由勾股定理,得
AC===,
故sin A=∠A的对边
斜边
==,
cos A=∠A的邻边
斜边
==,
tan A=∠A的对边
∠A的邻边
==.
2.拓展:在例题的条件下,求sin B,cos B,tan B的值.
解:
四、知识梳理
本节课你所学习的三个定义分别是什么?
答:
评价作业(满分100分)
1.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则下列等式中不正确的是()
A.a=c×sin A
B.b=a×tan B
C.b=c×sin B
D.c=A
cos A
2.(8分)已知Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则tan B的值是()
A.3
5B.3
4
C.4
5D.4
3
3.(8分)已知Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=4
3
,BC=8,则AC等于()
A.6
B.32
3
C.10
D.12
4.(8分)如图所示,若cos α=√10
10
,则sin α的值为()
A.√10
10
B.2
3
C.3
4
D.3√10
10
5.(8分)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,则cos∠ABC的值是.
6.(8分)如图所示,AB是☉O的直径,AB=15,AC=9,连接BC,则tan∠ADC=.
7.(8分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是BC边上的中线,sin∠CAM=3
,则tan B
5
的值是.
,AB=26.求cos B及AC的长.
8.(10分)在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=2
3
9.(10分)如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,tan B=cos∠DAC.
(1)求证AC=BD;
,BC=12,求AD的长.
(2)若sin C=12
13
10.(12分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,AC=2,CD=1,设∠CAD=α.
(1)求sin α,cos α,tan α的值;
(2)若∠B=∠CAD,求BD的长.
11.(12分)在Rt△ABC中,∠C=90°,请利用锐角三角函数的定义及勾股定理探索∠A的正弦、余弦之间的关系.
参考答案
学习过程
一、自主复习
1.固定的
2.正弦 sin A 二、新知探究 1.解析:(1)∠A=∠A' AA A 'A '
=AA
A 'A '
(2)AA A 'A '=AA
A 'A ' 2.结论: (1)余弦 cos A A A (2)正切 tan A A A
(3)锐角三角函数 三、例题探析
1.解:√AA 2-AA 2 √102-62 8
AA AA 35 AA AA 45 AA AA 3
4
2.解:sin B=AA
AA =4
5,cos B=AA AA =3
5,tan B=AA
AA =4
3. 四、知识梳理
答:略
评价作业
1.D
2.D
3.A
4.D
5.√5
5 6.3
4 7.2
3
8.解:在Rt △ABC 中,∠C=90°,∴tan A=AA
AA =2
3,∴设BC=2k ,AC=3k ,由勾股定理可得
AB=√13k ,∴√13k=26,∴k=2√13,∴BC=2k=4√13,AC=3k=6√13,∴cos B=AA AA =4√1326
=
2√1313
.∴
AC 的长为6√13,cos B=
2√1313
.
9.(1)证明:∵AD 是BC 边上的高,∴AD ⊥BC ,∴∠ADB=90°,∠ADC=90°.在Rt △ABD 和Rt △ADC 中,tan B=AA
AA ,cos ∠DAC=AA
AA ,又∵tan B=cos ∠DAC ,∴AA
AA =AA
AA ,∴AC=BD.
(2)解:在Rt △ADC
中,sin C=AA
AA =12
13
,故可设AD=12k ,AC=13k ,∴CD=√AC 2-AD 2
=5k ,∵
BC=BD+CD ,又AC=BD ,∴BC=13k+5k=18k ,∵BC=12,∴18k=12,∴k=2
3,∴AD=12k=12×2
3=8.
10.解:在Rt △ACD 中,∵AC=2,DC=1,∴AD=√AC 2+CD 2=√5.(1)sin α=CD
AD =
√
5
=√5
5
,cos α=AC AD =√5=
2√55
,tan α=CD AC
=1
2.
(2)在Rt △ABC 中,tan B=AC
BC ,即tan α=2
BC =1
2,∴BC=4,∴BD=BC-CD=4-1=3. 11.解:∠A 的正弦、余弦值的平方和等于1,理由如下:
∵sin A=A
A ,cos A=A
A ,a 2+b 2=c 2,
∴sin2A+cos2A=(A
A )2+(A
A
)2=A2+A2
A2
=1.。