概率期末考复习习题及答案

1.仓库中有

10

箱统一规格的产品，其中2箱有甲厂生产，

3

箱有乙厂生产，5

箱由丙场生产。三厂的合格率分别为，，(1)求这批产品的合格率；（2）从这10箱中任取一箱，若此产品为合格品，问此件产品由甲厂生产的可能性是多少？

解设A i ={由i厂生产的产品}，i=甲、乙、丙 B={生产的产品} P(A1)= , P(A2)= , P(A3)=, P(B/A1)=, P(B/A2)= , P(B/A3) =

(1)P(B)= P(A1）P(B/A1)+P(A2）P(B/A2)+P(A3）P(B/A3)=*+*+*=

(2)P(A1/B)=P(A1B)/ P(B)=P(A1)P(B/A1)/ P(B)=*=

2.人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素比如利率的变化。现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%。根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%,而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该支股票将上涨的概率

解：设A表示利率下调，表示利率不变，B表示股票价格上涨 P(A)=60% ，P()=40% P(B/A)=80% ，P(B/)=40% 于是P(B)=P(A)P(B/A)+ P()P(B/)=60%x80%+40%x40%=64%

3.假设某地区成年男性的身高（单位：厘米）X N( ),求该地区成年男性的身高超过175厘米的概率。

解：设X表示该地区男性的身高 X-N( 170、 )

P(X>175)=P(X-170/ >175-170/ =P(X-170> =1-P(X-170≤） =1- ==

4.一台自动包装机向袋中装糖果，标准是每袋64克，但因随机性误差，每袋具体重量有波动、据以往资料认为：每袋糖果的重量服从正态分布

试问随机抽一袋糖果其重量超过65克的概率是多少？不到62克的概率是多少？

解：设

∴超过65克概率为%，不足62克概率为%。

5.设随机变量函数的分布

求Y=（X-1）2的概率分布和Y的分布函数F(y)

解：Y=g（x）=（X-1）2 当 X=-1时Y=4，P= 当X=0时Y=1，P= 当X=1时Y=0，P= 当X=3时Y=4，P=

P(Y=0)=P(X=1)= P(Y=1)=P(X=0)= P(Y=4)=P(X=-1)+P(X=3)=+=

Y=（X-1）2的概率分布为①y<0,F(y)=P(Y≤y)=0 ②0≤y＜1,F(y)=P(Y≤y)=P(y=0)=

③1≤y＜4,F(y)=P(Y≤y)=P(y=0)+P(y=1)=+= F(y)=P(Y≤y)

④y≥4,F(y)=P(Y≤y)=P(y=0)+P(y=1)+P(y=4)=++=1

6.设随机变量X的分布列为

求F(X)

解：F(x)=P(X≤X),所以①x<0,F(x)=P(X≤X)=0 ②0≤x＜1,F(x)=P(X≤x)=P(x=0)=1/3 ③1≤x＜2,F(x)=P(X≤

x)=P(x=0)+P(x=1)=1/3+1/6=1/2 ④x≥2,F(x)=P(X≤x)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)=1/3+1/6+1/2=1

F(x)=P(X≤X)

X-1013

Pk

Y01 4

P2

X012

P11/31/61/2

7.设总体X的概率分布为

其中为未知参数，现抽得一个样本X1=1, X2=2 ,X3=1，求抽得矩估计值。

解：EX=1*+2*2（1-）+3*（1-）2 =3-2= EX= 3-2=

所以合计量为=

3-/2则矩估计量为=3-1/3*（1+2+1）/ 2=6/5

9.某保险公司自投保人中随机抽取36人，计算出此36人的平均年龄＝岁，已知投保人年龄分布近似正态分布，标准差为岁，试求所有投保人平均年龄的置信区间（1－α＝99%）。

解：由题知，选择的枢轴量为（1）Z= （2）P(-<<)=

P(-<

即的置信区间为（-/ n ，）（3）代入数据n=36，= ，=== =

，+*√36) 即总体的置信区间为（，）有99%的把握保证投保人的平均年龄在36～42岁之间。

10.随机抽取某地区20家旅馆，记录每家旅馆的房间数80 99 100 107 120 125 139 142 154 160 202 214 247 254 255 264 308 320 332 400 计算平均数和样本标准差

解：==20/1*（80+99+100+107+120+125+139+142+154+160+202+214+247+254+255+264+308+320+332+400）=20/1*4022=

S==1/20-1[2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2]=1/19*=

11.某化学日用品有限责任公司用包装机包装洗衣粉，洗衣粉包装机在正常工作时，装包量X~N（500，22）（单位：g），每天开工

X123

P12（1-）

（1-）

2

(0,1)

/

X

N

n

μ

σ

-

:

0(0,1)

/

X u

Z N

n

σ

-

=:

后，需先检验包装机工作是否正常。某天开工后，在装好的洗衣粉中任取9袋，其重量如下：499 502 506 498 498 497 510 503 假设总体标准差σ不变，即σ=2，试问这天包装机工作是否正常（a =）？ （1）

（2）在H 0成立时，选择的统计量

（3）根据标准正态分布的分位数P=（|Z|）>

=

所以拒绝域w=（-∞，-

）U （，+∞）

而

=，== 所以w=（-∞，）U （，+∞） （4）代入数据n=9 ,=1/9*(499+502+506+498+498+497+510+503)=502 σ=2

（5） 所以接受H 0即认为这天洗衣粉包装机工作不正常。

12.某工厂生产10欧姆的电阻，根据以往生产的电阻实际情况，可以认为其电阻值服从正态分布，现随机抽取10个电阻，测得它们的平均值为，问从这些样本我们能否认为该厂生产的电阻平均值为10欧姆？ （1）

（2）在H 0成立时，选择的统计量

（3）根据标准正态分布的分位数P=（|T|）>t

(n-1)=

所以拒绝域w=（-∞，-t

(n-1)）U （t (n-1)，+∞）

而

=，t (n-1)=(9)= 所以w=（-∞，）U （，+∞）

（4）代入数据n=10

= t

(n-1)= =

（5）所以接受H 0即认为该厂生产的电阻平均值为10欧姆

数学期望记为 数学期望的性质

①E(c)=c ； ②E (kX )=k E (X )； ③E (X +k )=E (X )+k ④E (kX +b)=kE (X )+b ； ⑤E (X +Y )=E (X )+E (Y )．

方差

~(1)

/X T t n S n

μ-=-∑

+∞==

1

k k

k p x EX (6),,()()()

X Y E XY E X E Y =若相互独立则()

2

()k k

k

D X x EX

p =

-∑