江苏省启东中学高一数学下学期第一次月考
江苏省启东市2020学年高一数学下学期第一次月考试题(创新班,无答案)
江苏省启东市 2020 学年高一数学放学期第一次月考试题（创新班，无答案）一、填空题：此题共14 小题，每题 5 分，共 70分．请把答案填写在答题纸相应地点上．．．．．．．．．1．命题“x R，x2x ”的否认是．2．设a，b是向量，则“a b ”是“ a b a b ”的条件．( 填“充足不用要” 、“必需不充足” 、“充要”、“既不充足也不用要” )3．经过点 (2 ， 4) 的抛物线的标准方程为．4．命题“若ana n 2a n 1 (n N* ) ，则数列a n为递减数列”的逆否命题是．25．在平面直角坐标系xOy 中， F1、 F2分别是椭圆x2y21(a＞ b＞ 0)的左、右焦点，过F1且22a b与 x 轴垂直的直线与椭圆交于B，C两点，且BF2C 90o，则该椭圆的离心率是．226．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线xy1的焦距是．737．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AB2， AD3，AA11，BAD90 ，BAA1DAA160 ，则对角线 AC1的长为．8．已知双曲线x2y2（ b＞0）1，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的4b2两条渐近线订交于A， B， C， D四点，四边形ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为．9．由动点P向圆 x2y21引两条切线 PA 、 PB ，切点分别为A、B，若AOB120，则动点 P 的轨迹方程为．10．已知命题p：“x[1，2]，2≥”；命题q ：“，2”，若命x a0x2ax 2a0x R题“ p q ”是真命题，则实数 a 的取值范围是．11．已知抛物线y2 2 px 的焦点F与双曲线 x2y2 1 的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点3为 K ，点 A在抛物线上，且AK 2 AF ，则△AFK的面积为．12．过椭圆x2y21 上一点M（ 3，2）93作直线 MA 、 MB 交椭圆于 A 、 B 两点，若 MA 与 MB的斜率互为相反数，则直线 AB 的斜率为．13．已知 f (x)m( x2m)( x m3) ， g( x) 2 x 2 ，若同时知足条件：①x R，f (x)0 或g( x) 0 ；② x (，4) ， f ( x)g (x) 0 ．则 m 的取值范围是．14．在平面直角坐标系中，当(，) 不是原点时，定义P的“陪伴点”为P ( 2y2，x2 )；P x y2x y x y 当 P 是原点时，定义 P 的“陪伴点”为它自己，平面曲线 C上全部点的“陪伴点”所组成的曲线C 定义为曲线C的“陪伴曲线”．现有以下命题：①若点 A的“陪伴点”是点 A ，则点 A 的“陪伴点”是点 A；②单位圆的“陪伴曲线”是它自己；③若曲线 C对于 x 轴对称，则其“陪伴曲线”C对于 y 轴对称；④一条直线的“陪伴曲线”是一条直线．此中的真命题是_____________ （写出全部真命题的序号）．二、解答题：本大题共 6 小题，合计90分，请在答题纸指定地区内作答．解答时应写出必需的文．．．．．．．字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14 分）证明：对于210起码有一个实根的充要条件为 a ≤ 1．x 的方程 ax 2x16．（本小题满分14 分）AA1正三棱柱ABC A1 B1C1的全部棱长都为4，D为的 CC1中点．C D C1⑴求证：AB1⊥平面 A1 BD ；B B1⑵求二面角 A A1D B 的余弦值．17．（本小题满分14 分）已知命题p ：(x1)(2 x) ≥ 0；命题q：对于 x 的不等式x22mx m 60 恒建立．⑴若命题 q 为真，务实数m 的取值范围；⑵若 p 是 q 的充足不用要条件，务实数m 的取值范围．18．（本小题满分16 分）在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形， AB 2 ，BAD 60．⑴求证：BD平面PAC；P⑵若 PA AB ，求 PB 与 AC 所成角的余弦值；⑶当平面 PBC平面PDC时，求PA的长．D CA B 19．（本小题满分16 分）已知点 M 是圆 C ： ( x1)2 y 2 1 上的动点，定点 D (1 ， 0) ，点 P 在直线 DM 上，点 N 在直uuuur uuur uuur uuuur0 ，动点 N 的轨迹是曲线 E ．线 CM 上，且知足 DM 2DP ， NP DM⑴求曲线 E 的方程；⑵若 AB 是曲线 E 的长为 2 的动弦， O 为坐标原点，求△AOB 的面积 S 的最大值．20．（本小题满分 16 分）2 2已知椭圆xyA 、B ，它的右焦点是 F (1 ， 0) ．椭圆上一a2b 21(a b 0)的左右极点分别为动点 P( x 0 ， y 0 ) ( 不是极点 ) 知足 k PAk PB1 ．2⑴求椭圆的方程；⑵设过点 P 且与椭圆相切的直线为 m ，直线 m 与椭圆的右准线l 交于点 Q ，试证明PFQ为定值．ymlPQA O F Bx。
江苏省启东中学高一数学月考试卷答案
江苏省启东中学高一数学月考试卷答案1、72、32π 3、10 4、007515或 5、 -n+3 6、156 7、直角三角形 8、3 9、1 10、338≤<d 11、 ③ 12、 3 13、⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+)21()24()21()32(22k k k k ππ 14、2002 15．8616.解（1）由(3)23n n m S ma m -+=+，得11(3)23,n n m S ma m ++-+=+两式相减，得1(3)2,(3)n n m a ma m ++=≠-12,3n n a m a m +∴=+ {}n a ∴是等比数列． 111111112(2)1,(),2,3233()22311133.311{}131121,333.2n n n n n n n n n n n n n m b a q f m n N n m b b f b b b b b b b b b n n b b n ------====∈≥+==⋅++=⇒-=∴-+∴=+==+由且时，得是为首项为公差的等差数列,故有 17．（1）0120；（2）10；（3）23 18．解：（1）依题意，10,1001091212==+=a a a a 故，…………………………2分当109,21+=≥-n n S a n 时 ① 又1091+=+n n S a ②…………………………………4分②－①整理得：}{,101n nn a a a 故=+为等比数列，且n a q a a n n n n =∴==-log ,1011 *1}{lg ,1)1(lg lg N n a n n a a n n n ∈=-+=-∴+即是等差数列.…………………6分（2）由（1）知，)1(1321211(3+++⋅+⋅=n n T n ………………………………8分133)1113121211(3+-=+-++-+-=n n n ……………………………………10分,23≥∴n T 依题意有,61),5(41232<<-->m m m 解得 故所求最大正整数m 的值为5.……………………………………………………15分19.解:（１）为了计算前三项321,,a a a 的值，只要在递推式1,)1(2≥-+=n a S n n n 中，对n 取特殊值1,2,3n =，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异．由111121,1;a S a a ==-=得由2122222(1),0;a a S a a +==+-=得由31233332(1), 2.a a a S a a ++==+-=得……………………………6分（２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的n S ．事实上当2≥n 时，有,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -⨯+-=-=--即有 ,)1(2211---⨯+=n n n a a从而 ,)1(22221----⨯+=n n n a a32322(1),n n n a a ---=+⨯-…….2212-=a a接下来，逐步迭代就有122111)1(2)1(2)1(22-----⨯++-⨯+-⨯+=n n n n n a a ].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n n n n n n n经验证a 1也满足上式，故知 .1],)1(2[3212≥-+=--n a n n n 其实，将关系式1122(1)n n n a a --=+⨯-和课本习题1n n a ca d -=+作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对1122(1)n n n a a --=+⨯-的两边同除以(1)n -，便得1122(1)(1)n n n n a a --=-⋅---． 令,(1)n n na b =-就有122n n b b -=--，于是 1222()33n n b b -+=-+， 这说明数列23n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，公比2,q =- 首项11b =-，从而，得 111221()(2)()(2)333n n n b b --+=+⋅-=-⋅-， 即121()(2)(1)33n n n a -+=-⋅--，故有.1],)1(2[3212≥-+=--n a n n n 20．解：（1）设}{n a 的公差为d ，由题意0>d ，且⎩⎨⎧=++=+28)2)(3(52111d a d a d a 2分 11,2a d ==，数列}{n a 的通项公式为12-=n a n ………………4分（2）由题意)11()11)(11(12121n n a ++++≤ 对*N n ∈均成立 …5分 记)11()11)(11(121)(21n a a a n n F ++++= 则1)1(2)1(21)1(4)1(2)32)(12(22)()1(2=++>-++=+++=+n n n n n n n n F n F ()0F n > ，∴(1)()F n F n +>，∴()F n 随n 增大而增大 ……8分 ∴()F n 的最小值为332)1(=F∴a ≤a 的最大值为332 …………………9分 （3）12-=n a n∴在数列}{n b 中，m a 及其前面所有项之和为22)222()]12(531[212-+=++++-++++-m m m m …11分 21562211200811222210112102=-+<<=-+ ，即11102008a a <<12分又10a 在数列}{n b 中的项数为：521221108=++++ … 14分且244388611222008⨯==-， 所以存在正整数964443521=+=m 使得2008=m S。
江苏省启东中学高一下学期第一次月考数学试题（无答案）
江苏省启东中学高一下学期第一次月考数学试题（无答案）高一数学试题命题人:胡勇 2015.4.2一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．过点且与直线平行的直线方程为．2．数列{}n a 中，*113,2()n n a a a n N +=-=∈，则__ ___．3. 第4届世界杯于1950年在巴西举行，此后每4年举行一次，那么将在俄罗斯举行的2018 年世界杯是第届．4．两平行直线51230102450x y x y ++=++=与的距离是．5．等比数列中，为的前项和，且，则．6．设点, ,若直线与线段相交，则的取值范围是 __.7．下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第个图案中需用黑色瓷砖块．8．数列{}n a 满足1321312531+=-++++n n n a a a a ，则数列的通项公式为． 9. 已知是等比数列，和是关于的方程的两根，且，则锐角的值为．10.设直线cos 20()x R θθ-+=∈的倾斜角为，则角的取值范围是．11．点)cos ,1(θ 到直线01cos sin =-+θθy x 的距离是，那么= ．12．直线上有一点，它与两定点，的距离之差的绝对值最大，则点坐标是_________.13．小勇是江苏省启东中学2014级高一学生，为他将来读大学的费用做好准备，他父母计划从2014年8月1日起至2016年8月1日期间,每月初定期到银行存款元（按复利．．计算），2016年9月1日全部取出，月利率按计算，预计大学的费用为6万元，则= ．（计算结果精确到元，可参考以下数据：67.102.1,64.102.1,61.102.1262524===）14．已知)(x f 是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的R y x ∈,，都有)()()(x yf y xf y x f +=?成立。
数列满足，且，则数列的通项公式=_________.二、解答题（本大题6小题，共90分。
2019-2020学年南通市启东中学高一(下)第一次月考数学试卷(3月份)(含解析)
2019-2020学年南通市启东中学高一(下)第一次月考数学试卷(3月份)一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.经过直线l1：x−3y+4=0和l2：2x+y+5=0的交点，并且经过原点的直线的方程是()A. 19x−9y=0B. 9x+19y=0C. 3x+19y=0D. 19x−3y=02.直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题： ①若l1//l2，则斜率k1=k2； ②若斜率k1=k2，则l1//l2； ③若倾斜角α1=α2，则l1//l2； ④若l1//l2，则倾斜角α1=α2．其中正确命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 43.在△ABC中，a=5√2，c=10，A=30°，则B等于()A. 105°B. 15°C. 105°或15°D. 45°或135°4.在△ABC中，B=60°，C=45°，BC=8，D是BC边上的一点，且BD=√3−12BC，则AD的长为()A. 4(√3−1)B. 4(√3+1)C. 4(3−√3)D. 4(3+√3)5.已知△ABC中，a=√3，b=1，B=30°，则△ABC的面积是()A. √32B. √34C. √32或√3 D. √32或√346.直线x+y+2=0和圆C2：(x−1)2+(y−1)2=9的位置关系是()A. 相切B. 相交C. 不确定D. 相离7.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A. (x−1)2+(y−1)2=1B. (x+1)2+(y+1)2=1C. (x+1)2+(y+1)2=2D. (x−1)2+(y−1)2=28.已知a>2，b>2，直线y=−bax+b与曲线(x−1)2+(y−1)2=1只有一个公共点，则ab的取值范围为()A. (4,6+4√2)B. (4,6+4√2]C. [6+4√2,+∞)D. (6+4√2,+∞)二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）9.在△ABC中，满足sin2A+sin2B−sinAsinB=sin2C，则∠C=______ ．10.在△ABC中，a=2，b=√3−1，C=30°，则c=______ ．11.如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30∘，则tanθ的最大值是(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)12.如图，在平面四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=60°，∠D=150°，AB=2BC=8，则四边形ABCD的面积为______．13.在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,1)到直线L的距离分别为1和2，则符合条件的直线条数为______ ．14.若P是直线3x+2y+2=0上的一点，且到A(0,1)，B(2,0)的距离之差的绝对值最大，则点P的坐标为__________．15.若圆O：x2+y2=r2上有且只有两点到直线l：3x+4y−15=0的距离为2，则圆的半径r的取值范围是________．16. 如图，⊙O 1与⊙O 2交于M 、N 两点，直线AE 与这两个圆及MN 依次交于A 、B 、C 、D 、E ；且AD =19，BE =16，BC =4，则AE = ______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2bsinC =acosC +ccosA ，B =2π3，c =√3．(1)求角C ；(2)若点E 满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求BE 的长．18. 判断圆O 1:x 2+y2+x −2y −20=0与圆O:x 2+y2=25的位置关系．19. 已知直线l 1：(m −2)x +my −8=0和直线l 2：mx +y −3=0，其中m 为常数．(Ⅰ)若l 1⊥l 2，求m 的值；(Ⅱ)若点P(1,2m)在l 2上，直线l 过P 点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程．20.海监船甲在南海黄岩岛正常巡航，在巡航到A处海域时，发现北偏东45°方向距A为√3−1海里B处有一艘可疑越境船只，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处另一艘海监船乙奉命以10√3海里/小时的速度追截可疑船只，此时可疑船只正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问海监船乙沿什么方向能最快追上可疑船只？21.已知正六边形ABCDEF的边长是2，以正六边形中心为原点，以对角线AD所在的直线为x轴，如图建立平面直角坐标系．(1)求边AF所在的直线的方程；(2)求过点P(1,0)，且与AB边所在直线垂直的直线的方程。
江苏省启东中学2008～2009学年度第二学期第一次月考高一数学试卷
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分；要求答案为最简结果。
） 1．已知数列,,11,22,5,2⋅⋅⋅则52是该数列的第 项2．在∆ABC 中，若222a b c bc =++，则角A=3．已知等差数列｛n a ｝中，303=a ，909=a ，则该数列的首项为4．在∆ABC 中，已知B=045，c=22，b=334，则A 的值是 5．已知数列{a n }满足a 1=2, a n+1-a n +1=0,则a n =6．等差数列{a n }中，4,84111073=-=-+a a a a a .记n n a a a S +++= 21，则S 13等于7．在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是8．一个等差数列共有10项,其中奇数项的和为225,偶数项的和为15,则这个数列的第6项是 9．在△ABC 中，已知 60=∠C ，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，则ac b c b a +++ 的值等于 .10．首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d 的取值范围是11．若等比数列的各项均为正数，前n 项之和为S ，前n 项之积为P ，前n 项倒数之和为M ，则下列关系成立的是①P =M S ②P ＞M S ③n M S P ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2 ④2P ＞n M S ⎪⎭⎫ ⎝⎛ 12．若△ABC 的三边长分别是3，7，9，则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积之比是1：13．设数列{a n }是首项为50，公差为2的等差数列；{b n }是首项为10，公差为4的等差数列，以a k 、b k为相邻两边的矩形内最大圆面积记为S k ，则S k 等于14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12n n S S S T n +++=，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列2， 1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为二、解答题：（本大题共6小题，第15～16题每小题14分，第17～18题每小题16分，第19～20题每小题16分，共90分；解答时需写出计算过程或证明步骤。
江苏省启东中学高一下学期第一次月考数学试题(实验班,无答案).pdf
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知等比数列共有10项，其奇数项的和为15，偶数项的和为30，则该公比为 ▲ . 2. 不等式的解集是 ▲ . 3. 已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 ▲ . 4. 已知为等比数列的第1,3,5项，则的值是 ▲ . 5. 过点且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程是 。
6. 正四棱锥的底面边长为，体积为，则它的侧棱与底面所成的角是 . 7. 已知直线与平行，则的值是 。
▲ 部分。
9. 等差数列的前项和为若为一确定常数，则是 ▲ 时可以使也为确定常数 设、、为三个不同的平面，给出下列条件：①为异面直线，；②内有三个不共线的点到的距离相等；③；④。
则其中能使的条件是 。
不等式恒成立，则实数的取值范围是 ▲ ． 在等差数列中，是其前项的和，且，，则数列 的前项的和是 。
已知且，则的最大值是 ．的圆锥中，体积的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 如图，在正三棱柱中，，是的中点，是的中点。
求证：（1）平面; （2）平面; 16.已知直线与，则当为何值时，直线：(1)平行？（2）垂直？（3）相交且交点在轴上方? 17．为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1?600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1?000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数) ．?270元. (每平方米平均综合费用＝)．的前项和，数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求证：不论取何正整数，不等式恒成立 。
19. 已知三角形的顶点是A（－5，0）、B（3，－3）、C（0，2），求： AB边上的中线CD的长及CD所在的直线方程； △ABC的面积。
江苏省启东中学高一数学下学期第一次月考试题(无答案)新人教A版
命题人:陈兵一、填空题：(每小题5分,共70分)1．函数y =A ，不等式201xx -≤+的解集是B ，则A B ⋂=_______。
2．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a -=-+，则A = 。
3．不等式210kx kx -+>的解集为R ，则实数k 的取值范围为 。
4．已知a 、b 、c 分别为ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边，且a 、b 、c 成等差数列，60B ∠=，则ABC ∆的形状为 。
5．设数列211,(12),,(1222),n -+++++的前n 项和为n S ，则n S = 。
6．在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =_____________。
7．某企业在今年初贷款a 万元，年利率为r ,从今年末开始，每年末偿还x 万元，预计恰好5年内还清，则x =_____________。
8．设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ，则n a = 。
9．设4()42x x f x =+，则1231000()()()()1001100110011001f f f f ++++的值等于 。
10．已知}{},{n n b a 都是等差数列,其前n 项和分别是,n S 和n T ,若326--=n n T S n n , 则68b a 的值 。
11．如果关于x 的不等式2510693a x xb ≤-+≤的解集是[x 1，x 2]∪[x 3，x 4](x 1<x 2<x 3<x 4)，则x 1+x 2+x 3+x 4= 。
12．给出以下四个命题：⑴若sin sin A B =则△ABC 为等腰三角形；⑵若cos()cos()cos()1A B B C C A ---=， 则△ABC 为正三角形;⑶若tan tan 1A B >,则△ABC 一定是钝角三角形；⑷△ABC 中,2,3a b ==,60C =︒,则三角形为锐角三角形.以上正确命题的个数是___________。
2016-2017年江苏省南通市启东中学高一(下)第一次月考数学试卷(解析版)
2016-2017学年江苏省南通市启东中学高一（下）第一次月考数学试卷一、填空题1．（5分）不等式的解集为．2．（5分）在等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝16，则a3＝．3．（5分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sin B sin C，求A的取值范围．4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sin C＝2sin B，则A角大小为．5．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣|x|，若f（﹣m2﹣1）＜f（2），则实数m的取值范围是．6．（5分）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为．7．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a n+2﹣a n＝1+（﹣1）n（n∈N*），则S100＝．8．（5分）若关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，则实常数λ的取值范围是．9．（5分）如图，某人为了测量某建筑物两侧A．B间的距离（在A，B处相互看不到对方），选定了一个可看到A、B两点的C点进行测量，你认为测量时应测量的数据是．10．（5分）等比数列{a n}中，a1＝1，a n＝（n＝3，4，…），则{a n}的前n项和为．11．（5分）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f （x）＜c的解集为（m，m+8），则实数c的值为．12．（5分）在△ABC中，已知AC＝3，∠A＝45°，点D满足＝2，且AD＝，则BC的长为．13．（5分）在数列{a n}中，若a n2﹣a2n+1＝p（n≥1，n∈N*，p为常数），则称{a n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{a kn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列．其中真命题的序号为（将所有真命题的序号填在横线上）．14．（5分）如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列{a n}（n∈N*）的前12项，如表所示：按如此规律下去，则a2009+a2010+a2011＝．二、解答题15．（14分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}（1）求实数a、b的值；（2）解关于x的不等式＞0（c为常数）16．（14分）在△ABC中，∠A的内角平分线交BC于D，用正弦定理证明：＝．17．（15分）流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者总共有8 670人，则11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数．18．（15分）在△ABC中，A，B，C是三内角，a，b，c分别是A，B，C的对边，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B，△ABC的外接圆的半径为．（1）求角C；（2）求△ABC面积的最大值．19．（16分）已知首项为的等比数列{a n}是递减数列，其前n项和为S n，且S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝a n•log2a n，数列{b n}的前n项和为T n，求满足不等式的最大n值．20．（16分）已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝a，且a n+1＝k（a n+a n+2）对任意正整数都成立，数列{a n}的前n项和为S n（1）若k＝且S2017＝2017a，求a（2）是否存在实数k，使数列{a n}是公比不为1的等比数列，且对任意相邻三项a m，a m+1，a m+2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有的k值；若不存在，请说明理由；（3）若k＝﹣，求S n．2016-2017学年江苏省南通市启东中学高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（5分）不等式的解集为（﹣∞，0）∪[1，+∞）．【解答】解：不等式，可化为，即：x（1﹣x）≤0且x≠0解得x＜0或x≥1故答案为：（﹣∞，0）∪[1，+∞）2．（5分）在等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝16，则a3＝4．【解答】解：在等比数列中，a1a5＝，∵a1＝1，a5＝16，∴＝1×16＝16，即a3＝±4，∵a3＝，∴a3＝4，故答案为：4．3．（5分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sin B sin C，求A的取值范围．【解答】解：利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C﹣sin B sin C，得：a2≤b2+c2﹣bc，即b2+c2﹣a2≥bc，∴cos A＝≥＝，∵A为三角形内角，∴0＜A≤．4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sin C＝2sin B，则A角大小为．【解答】解：由sin C＝2sin B得：c＝2b，所以＝•2b2，即a2＝7b2，则cos A＝＝＝，又A∈（0，π），所以A＝．故答案为：5．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣|x|，若f（﹣m2﹣1）＜f（2），则实数m的取值范围是（﹣1，1）．【解答】解：易知函数f（x）＝x2﹣|x|为偶函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）＝x2﹣x，在（0，）上单调递减，（，+∝）上单调递增，f（x）图象如图所示：若f（﹣m2﹣1）＜f（2），则只需﹣2＜﹣m2﹣1＜2，解的﹣1＜m＜1故答案为：（﹣1，1）6．（5分）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为15．【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°＝＝﹣，化简得：x﹣16＝4﹣x，解得x＝10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S＝×6×10sin120°＝15．故答案为：157．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a n+2﹣a n＝1+（﹣1）n（n∈N*），则S100＝2600．【解答】解：∵a n+2﹣a n＝1+（﹣1）n（n∈N*），n为奇数时，可得：a2k+1＝a2k﹣1＝…＝a1＝1．n为偶数时，a2k+2﹣a2k＝2，可得数列{a2k}是等差数列，公差为2．∴S100＝（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）＝50+50×2+×2＝2600．故答案为：2600．8．（5分）若关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，则实常数λ的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【解答】解：关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，等价于≥对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，∵＝，∴对x∈（﹣∞，λ]恒成立．设，它的图象是开口向上，对称轴为x＝﹣的抛物线，∴当x≤﹣时，左边是单调减的，所以要使不等式恒成立，则λ2+，解得λ≤﹣1，或（舍）当x＞﹣，左边的最小值就是在x＝﹣时取到，达到最小值时，＝，不满足不等式．因此λ的范围就是λ≤﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1]．9．（5分）如图，某人为了测量某建筑物两侧A．B间的距离（在A，B处相互看不到对方），选定了一个可看到A、B两点的C点进行测量，你认为测量时应测量的数据是a，b，γ．【解答】解：∵在A，B处相互看不到对方，∴α，β无法测量，由余弦定理可知AB＝，故只需测量出a，b，γ即可求出AB；故答案为：a，b，γ10．（5分）等比数列{a n}中，a1＝1，a n＝（n＝3，4，…），则{a n}的前n项和为n或﹣×（）n．【解答】解：设公比为q，由a n＝，∴2a n＝+，∴2＝+，解得q＝1或q＝﹣，当q＝1时，a1＝1，a n＝1，S n＝n，当q＝﹣，a1＝1，S n＝＝﹣×（）n，故答案为：n或﹣×（）n，11．（5分）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f （x）＜c的解集为（m，m+8），则实数c的值为16．【解答】解：∵函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），∴函数的最小值为0，可得△＝a2﹣4b＝0，即b＝a2又∵关于x的不等式f（x）＜c可化成x2+ax+b﹣c＜0，即x2+ax+a2﹣c＜0，∴不等式f（x）＜c的解集为（m，m+8），也就是方程x2+ax+a2﹣c＝0的两根分别为x1＝m，x2＝m+8，∴，可得|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝64，即（﹣a）2﹣4（a2﹣c）＝64，解之即可得到c＝16故答案为：1612．（5分）在△ABC中，已知AC＝3，∠A＝45°，点D满足＝2，且AD＝，则BC的长为3．【解答】解：根据题意，以A为坐标原点，点C在x轴上建立平面直角坐标系，如图所示；则C（3，0），∵∠A＝45°，∴设B（t，t），其中t＞0，D（x，y）；根据＝2，得（x﹣3，y）＝2（t﹣x，t﹣y），即，解得x＝，y＝，∴D（，）；又∵AD＝，∴+＝13，解得t＝3或t＝﹣（舍去）；∴B（3，3），即BC＝3．故答案为：3．13．（5分）在数列{a n}中，若a n2﹣a2n+1＝p（n≥1，n∈N*，p为常数），则称{a n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{a kn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列．其中真命题的序号为①②③（将所有真命题的序号填在横线上）．【解答】解：对于①，因为a n2﹣a2n+1＝p，所以a n+12﹣a n2＝﹣p，于是数列{a n2}为等差数列，故①正确，对于②，因为（﹣1）2n﹣（﹣1）2（n+1）＝0为常数，于是数列{（﹣1）n}是等方差数列，故②正确；对于③，因为﹣＝（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝kp，则{a kn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列，故③正确．故答案为：①②③．14．（5分）如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列{a n}（n∈N*）的前12项，如表所示：按如此规律下去，则a2009+a2010+a2011＝1005．【解答】解：奇数项，偶数项分开看，奇数项为1，﹣1，2，﹣2…，发现a2n﹣1+a2n+1＝0，偶数项为1，2，3…，所以a2n＝n当2n﹣1＝2009时，n＝1005，故a2009+a2011＝0．当2n＝2010，a2010＝1005．∴a2009+a2010+a2011＝1005．答案1005．二、解答题15．（14分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}（1）求实数a、b的值；（2）解关于x的不等式＞0（c为常数）【解答】解：（1）由题意可得，1和b是ax2﹣3x+2＝0的两个实数根，由韦达定理可得1+b ＝，且1×b＝，解得a＝1，b＝2．（2）关于x的不等式＞0 等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，当c＝2时，不等式的解集为{x|x≠2}；当c＞2时，不等式的解集为{x|x＞c，或x＜2}；当c＜2时，不等式的解集为{x|x＜c，或x ＞2}．16．（14分）在△ABC中，∠A的内角平分线交BC于D，用正弦定理证明：＝．【解答】证明：在△ABD中，由正弦定理可得：；在△ACD中，由正弦定理可得：；因为：sin∠ADB＝sin∠ADC，sin∠BAD＝sin∠DAC可得：＝，从而得证．17．（15分）流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者总共有8 670人，则11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数．【解答】解：设11月1日，该市第n日（n∈N*，1≤n≤30）感染此病毒的新患者人数最多．则从11月1日至第n日，每日感染此病毒的新患者人数构成一个等差数列．其首项为20，公差为50．前n日患者总人数S n＝＝25n2﹣5n．从第n+1日开始至11月30日止，每日感染此病毒的新患者人数依次构成另一个等差数列．其首项为20+（n﹣1）×50﹣30＝50n﹣60，公差为﹣30．项数为（30﹣n），其患者总人数为T30﹣n＝（30﹣n）（50n﹣60）+＝﹣65n2+2445n﹣14850．由题意可得S n+T30﹣n＝8670，即（25n2﹣5n）+（﹣65n2+2445n﹣14850）＝8670．化为n2﹣61n+588＝0，解得n＝12（1≤n≤30）．∴n＝12，第12日的新患者人数为20+（12﹣1）×50＝570．∴11月12日该市感染此病毒的新患者人数最多，且这一天患者人数为570．18．（15分）在△ABC中，A，B，C是三内角，a，b，c分别是A，B，C的对边，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B，△ABC的外接圆的半径为．（1）求角C；（2）求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理：可得a＝sin A•2，b＝sin B，2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B，可得：sin2A﹣sin2C＝sin A sin B﹣sin2B即a2﹣c2＝ba﹣b2由余弦定理得：cos C＝＝∵0＜C＜π，∴C＝；（2）由（1）可知a2﹣c2＝ba﹣b2，c＝sin C＝，∴由余弦定理得b2+a2﹣6＝ba，即ba+6≥2ab，当且仅当a＝b＝取等号∴ba≤6，那么ABC面积为S＝ba sin C＝故ABC面积的最大值．19．（16分）已知首项为的等比数列{a n}是递减数列，其前n项和为S n，且S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝a n•log2a n，数列{b n}的前n项和为T n，求满足不等式的最大n值．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，由题知a1＝，又∵S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列，∴2（S2+a2）＝S1+a1+S3+a3，变形得S2﹣S1+2a2＝a1+S3﹣S2+a3，即得3a2＝a1+2a3，∴q＝+q2，解得q＝1或q＝，又由{a n}为递减数列，∴q＝，∴a n＝a1q n﹣1＝（）n；（Ⅱ）由于b n＝a n log2a n＝﹣n•（）n，∴，则，两式相减得：＝，∴．∴．由≥，解得n≤4．∴n的最大值为4．20．（16分）已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝a，且a n+1＝k（a n+a n+2）对任意正整数都成立，数列{a n}的前n项和为S n（1）若k＝且S2017＝2017a，求a（2）是否存在实数k，使数列{a n}是公比不为1的等比数列，且对任意相邻三项a m，a m+1，a m+2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有的k值；若不存在，请说明理由；（3）若k＝﹣，求S n．【解答】解：（1）k＝时，a n+1＝（a n+a n+2），a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n，∴数列{a n}是等差数列．a1＝1，公差d＝a2﹣a1＝a﹣1．S n＝n+（a﹣1），∴2017a＝2017+（a﹣1），解得a＝1．（2）设数列{a n}是公比不为1的等比数列，公比q＝a．∴a m＝a m﹣1，a m+1＝a m，a m+2＝a m+1．①若a m+1为等差中项，则2a m+1＝a m+a m+2，即2a m＝a m﹣1+a m+1，解得a＝1，不合题意，舍去．②若a m为等差中项，则2a m＝a m+1+a m+2，即2a m﹣1＝a m+a m+1，化简a2+a﹣2＝0，解得a＝﹣2，或1（舍去）．k＝＝＝＝﹣．③若a m+2为等差中项，则2a m+2＝a m+a m+1，即2a m+1＝a m﹣1+a m，化简2a2﹣a﹣1＝0，解得a＝﹣，或1（舍去）．k＝＝＝＝﹣．综上可得：k＝﹣．（3），则a n+1＝﹣（a n+a n+2），a n+2+a n+1＝﹣（a n+1+a n），a n+3+a n+2＝﹣（a n+2+a n+1）＝a n+1+a n，当n为偶数时，S n＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a n﹣1+a n）＝（a1+a2）＝．当n为奇数时，S n＝a1+（a2+a3）+…+（a n﹣1+a n）＝a1+（a2+a3）＝a1+＝1﹣（a+1），n＝1时也适合．综上可得：S n＝．。
最新江苏省启东市2019-2020学年高一数学下学期第一次月考试题(有答案)
江苏省启东市2019-2020学年高一数学下学期第一次月考试题（本试卷共160分，考试时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1．不等式1x≤1的解集是____▲______．2．在等比数列{}n a 中，===351,16,1a a a 则__▲_____．3．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是___▲_____．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 角大小为___▲_____．5．已知函数f (x )＝x 2－|x |，若f (－m 2－1)<f (2)，则实数m 的取值范围是____▲____．6．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为__▲______． 7．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，则S 100＝___▲_____.8．若关于x 的不等式x 2＋12x －n⎪⎭⎫ ⎝⎛21≥0，对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是____▲____．9．如图，某人为了测量某建筑物两侧A 、B 间的距离(在A 、B 处相互看不到对方)，选定了一个可看到A 、B 两点的C 点进行测量，你认为测量时应测量的数据是____▲____．10．等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋a n －22(n ＝3,4，…)，则{a n }的前n 项和为___▲_____.11．已知函数),()(2R b a b ax x x f ∈++=的值域为[)∞+，0，若关于x 的不等式c x f <)( 的解集为)8,+m m （，则实数c 的值为___▲______.12．在△ABC 中，已知AC ＝3，∠A ＝45°，点D 满足CD →＝2DB →，且AD ＝13，则BC 的长为__▲______． 13．在数列{a n }中，若a 2n －a 2n ＋1＝p (n ≥1，n ∈N *，p 为常数)，则称{a n }为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列； ②{(－1)n}是等方差数列；③若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列．其中真命题的序号为___▲_____(将所有真命题的序号填在横线上)．14．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＝__▲______.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域內作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 15.（本小题共14分）已知不等式0232>+-x ax 的解集为{}b x x x ><或1|. （1）求b a 、； （2）解不等式.(0为常数）c bax cx >--16.（本小题共14分）A ABC ∠∆中，在的內角平分线交BC 于D ，用正弦定理证明：DC BDAC AB =17.（本小题共15分）某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8 670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数．18.（本小题共15分）已知()()B b a C A ABC sin sin sin 2222-=-∆中，，.2外接圆半径为ABC ∆ （1）求.C ∠（2）求ABC ∆面积的最大值.19.（本小题共16分）已知首项为12的等比数列{}n a 是递减数列，其前n 项和为n S ，且332211,,a S a S a S +++ 成等差数列．(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 若n n n a a b 2log ⋅=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足不等式16122≥++n T n 的最大n 值．20.（本小题共16分）已知数列{}n a 中，a a a ==21,1，且)(21+++=n n n a a k a 对任意正整数都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S(1) 若21=k ，且a a S 求,20172017= (2) 是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且对任意相邻三项21,,++m m m a a a 按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有的k 值；若不存在，请说明理由；(3) 若21-=k ，求.n S启东中学高一数学月考答案一、填空题1.不等式1x ≤1的解集是__________．答案：(－∞，0)∪[1，＋∞) 解析：1x≤11－1x ＝x －1x≥0，解得x<0或x≥1. 2.在等比数列{}n a 中，_______,16,1351===a a a 则 43.在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是________．解析 由题意和正弦定理，得a 2≤b 2＋c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2≥bc ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，所以0＜A ≤π3.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，π34.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 角大小为________．解析 由a 2－b 2＝3bc ，c ＝23b ，得a 2＝7b 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b2＝32，所以A ＝π6. 答案π65.已知函数f (x )＝x 2－|x |，若f (－m 2－1)<f (2)，则实数m 的取值范围是________． 解析 因为f (－x )＝(－x )2－|－x |＝x 2－|x |＝f (x )， 所以函数f (x )为偶函数．所以f (－m 2－1)＝f (m 2＋1)， 因为m 2＋1≥1,2>1且f (x )在[1，＋∞)上为增函数， 所以m 2＋1<2，解得－1<m <1. 答案 (－1,1)6.已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．解析 不妨设A ＝120°，c ＜b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是由cos 120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12，解得b ＝10，S ＝12bc sin 120°＝15 3.答案 15 37.在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，则S 100＝________.解析 n 为奇数时，a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 99＝1；n 为偶数时，a 2＝2，a 4＝4，a 6＝6，…，a 100＝2＋49×2＝100.所以S 100＝(2＋4＋6＋…＋100)＋50＝50(2＋100)2＋50＝2 600.答案 2 6008.若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥0，对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是________．解析 由已知得x 2＋12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立．∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≤12，n ∈N *； ∴x 2＋12x ≥12在x ∈(－∞，λ]上恒成立．解不等式x 2＋12x ≥12，得x ≤－1或x ≥12，∴当λ≤－1时，x 2＋12x ≥12在(－∞，λ]恒成立．答案 (－∞，－1]9.如图，某人为了测量某建筑物两侧A.B 间的距离(在A ，B 处相互看不到对方)，选定 了一个可看到A 、B 两点的C 点进行测量，你认为测量时应测量的数据是________．答案：a ，b ，γ解析：测出a ，b ，γ就可以利用余弦定理求出AB 的距离．10.等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋a n －22(n ＝3,4，…)，则{a n }的前n 项和为________．解析 设a n ＝qn －1，则由a n ＝a n －1＋a n －22，得q 2＝1＋q 2，解得q ＝1或q ＝－12.所以a n ＝1或a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，从而S n ＝n 或S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n1＋12＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .答案 n 或23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n11.已知函数),()(2R b a b ax x x f ∈++=的值域为[)∞+，0，若关于x 的不等式c x f <)(的解集为)8,+m m （，则实数c 的值为__________1612.在△ABC 中，已知AC ＝3，∠A ＝45°，点D 满足CD →＝2DB →，且AD ＝13，则BC 的长为________．313.在数列{a n }中，若a 2n －a 2n ＋1＝p (n ≥1，n ∈N *，p 为常数)，则称{a n }为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列； ②{(－1)n}是等方差数列；③若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列．其中真命题的序号为________(将所有真命题的序号填在横线上)．解析 ①正确，因为a 2n －a 2n ＋1＝p ，所以a 2n ＋1－a 2n ＝－p ，于是数列{a 2n }为等差数列．②正确，因为(－1)2n－(－1)2(n ＋1)＝0为常数，于是数列{(－1)n }为等方差数列．③正确，因为a 2kn －a 2kn ＋k ＝(a 2kn －a 2kn ＋1)＋(a 2kn ＋1－a 2kn ＋2)＋(a 2kn ＋2－a 2kn ＋3)＋…＋(a 2kn ＋k －1－a 2kn ＋k )＝kp ，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列． 答案 ①②③14.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＝________.解析 观察发现，a 2n ＝n ，且当n 为奇数时，a 2n －1＋a 2n ＋1＝0，所以a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＝0＋2 0102＝1 005.答案 1 005二、解答题15.（14分）已知不等式0232>+-x ax 的解集为{}b x x x ><或1|. （3）求b a 、； （4）解不等式.(0为常数）c bax cx >--解：（1）由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=a b ab 312解得⎩⎨⎧==21b a .................................5分（2）不等式等价于,0)2)(>--x c x （当时，解集为2>c {};2|<>x c x x 或...........8分{}c x x c <><或时，解集为当2|2.....................11分 {}R x x x x ∈≠=,2|2时，解集为当......................14分16.（14分）A ABC ∠∆中，在的內角平分线交BC 于D ，用正弦定理证明：DCBDAC AB =证明：设βα=∠=∠BDA BAD ,，则βα-=∠=∠︒180,CDA CAD ，在ABD ∆和ACD ∆中分别使用正弦定理，得αβsin sin =BD AB ，αβsin )180sin(-=︒DCAC ，又ββs i n )180s i n (=-︒，所以DCBDAC AB DC AC BD AB ==即,17.（15分）某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8 670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数．解：设第n 天新患者人数最多，则从(n ＋1)天起该市医疗部门采取措施，前n 天流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20，公差为50的等差数列的n 项和，S n ＝20n ＋n （n －1）2×50＝25n 2－5n(1≤n≤30，n∈N )，而后(30－n)天的流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20＋(n －1)×50－30＝50n －60，公差为－30，项数为30－n 的等差数列的和，T n ＝(30－n)(50n －60)＋（30－n ）（30－n －1）2×(－30)＝－65n 2＋2 445n －14 850，依题意得S n ＋T n ＝8 670，∴ 25n 2－5n ＋(－65n 2＋2 445n －14 850)＝8 670， 化简得n 2－61n ＋588＝0，∴ n＝12或n ＝49(舍)，则第12天的新的患者人数为 20＋(12－1)×50＝570人． ∴ 11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，新患者人数为570人．18.（15分）已知()()B b a C A ABC sin sin sin 2222-=-∆中，，.2外接圆半径为ABC ∆ （2）求.C ∠（2）求ABC ∆面积的最大值.解：（1）由题意可得：()R b b a R c R a 244222222-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，又2=R ，故222b ab c a -=-，即 212cos 222=-+=ab c b a C ，又()︒︒︒=∴∈60180,0C C（3）ab C ab S 43sin 21==，R BbA a 2sin sin ==，()︒+=⋅=∴60sin sin 32sin sin 843A A B A S =()A A 2sin 232cos -123+ ()23302sin 3+-=︒A ()()︒︒︒︒︒-∈-∈210,30302,120,0A A 时即当︒︒︒==-∴6090302A A 233max =S19.（16分）已知首项为12的等比数列{}n a 是递减数列，其前n 项和为n S ，且332211,,a S a S a S +++成等差数列．(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 若n n n a a b 2log ⋅=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足不等式16122≥++n T n 的最大n 值． 解：(1) 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意知a 1＝12，∵ S 1＋a 1，S 2＋a 2，S 3＋a 3成等差数列， ∴ 2(S 2＋a 2)＝S 1＋a 1＋S 3＋a 3， 变形得S 2－S 1＋2a 2＝a 1＋S 3－S 2＋a 3， 即得3a 2＝a 1＋2a 3，∴ 32q ＝12＋q 2，解得q ＝1或q ＝12， 又由{a n }为递减数列，于是q ＝12，∴ a n ＝a 1q n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.(2) 由于b n ＝a n log 2a n ＝－n·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n， ∴ T n ＝－[1·12＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋n·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ]，于是12T n ＝－[1·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋n·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1]，两式相减得12T n ＝－[12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1] ＝－12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋n·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，∴ T n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n－2. ∴ T n ＋2n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥116，解得n≤4，∴ n 的最大值为4.20.（16分）已知数列{}n a 中，a a a ==21,1，且)(21+++=n n n a a k a 对任意正整数都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S(1) 若21=k ，且a a S 求,20172017= (2) 是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且对任意相邻三项21,,++m m m a a a 按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有的k 值；若不存在，请说明理由；(3) 若21-=k ，求.n S 解：(1) k ＝12时，a n ＋1＝12(a n ＋a n ＋2)，a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以数列{a n }是等差数列，此时首项a 1＝1，公差d ＝a 2－a 1＝a －1，数列{a n }的前n 项和是S n ＝n ＋12n(n －1)(a －1)，故2 017a ＝2 017＋12×2 017×2 016(a －1)，即a ＝1＋12×2 016(a －1)，得a ＝1.(2) 设数列{a n }是等比数列，则它的公比q ＝a 2a 1＝a ，所以a m ＝am －1，a m ＋1＝a m ，a m ＋2＝am ＋1.① 若a m ＋1为等差中项，则2a m ＋1＝a m ＋a m ＋2，即2a m＝a m －1＋am ＋1，解得a ＝1，不合题意；② 若a m 为等差中项，则2a m ＝a m ＋1＋a m ＋2，即2am －1＝a m ＋am ＋1，化简得a 2＋a －2＝0，解得a ＝－2(舍1)，...... k ＝a m ＋1a m ＋a m ＋2＝a m a m －1＋a m ＋1＝a 1＋a 2＝－25； ③ 若a m ＋2为等差中项，则2a m ＋2＝a m ＋1＋a m ，即2am ＋1＝a m ＋a m －1，化简得2a 2－a －1＝0，解得a ＝－12， k ＝a m ＋1a m ＋a m ＋2＝a m a m －1＋a m ＋1＝a 1＋a 2＝－25. 综上可得，满足要求的实数k 有且仅有一个，k ＝－25. (3) k ＝－12，则a n ＋1＝－12(a n ＋a n ＋2)， a n ＋2＋a n ＋1＝－(a n ＋1＋a n )，a n ＋3＋a n ＋2＝－(a n ＋2＋a n ＋1)＝a n ＋1＋a n ，当n 是偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＝n 2(a 1＋a 2)＝n 2(a ＋1)； 当n 是奇数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1＋a n＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n )＝a 1＋n －12(a 2＋a 3)＝a 1＋n －12[－(a 1＋a 2)] ＝1－n －12(a ＋1)，n ＝1也适合上式． 综上可得，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－n －12（a ＋1），n 是奇数，n 2（a ＋1），n 是偶数.。
优质金卷：江苏省启东中学2017-2018学年高一下学期第一次月考数学试题(考试版)
绝密★启用前江苏省启东中学2017-2018学年高一下学期第一次月考考试范围：解三角形、数列；考试时间：120分钟；【名师解读】本卷难度中等，全卷梯度设置合理．命题内容符合考试说明命题要求，全卷覆盖面广，涵盖了高中数学解三角形和数列等重要内容，无偏难怪出现，命题所占比例基本符合教章所占比例，重点内容重点考查.全卷仿高考试卷命制，突出基础知识、基本运算能力及推理论证能力的考查，选题贴近高考. 一、填空题1．ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ， 60ab =，面积ABC S ∆=， ABC ∆则c =________.2．若数列{}n a 满足()*1220n n n a a a n N ++-+=∈，且122,4a a ==，则数列{}n a 的通项公式为n a =____________.3．在△ABC 中，BC =， 1AC =，且6B π=，则A =______．4．在等比数列{}n a 中，已知253432,4a a a a =-+=，且公比为整数，则9a =_______.5．若在,x y 两数之间插入3个数，使这五个数成等差数列，其公差为()110d d ≠，若在,x y 两数之间插入4个数，使这6个数也成等差数列，其公差为()220d d ≠，那么12dd =______．6．已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则15a a += ___________． 7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和， ()7193S a a =+则的54a a 值为____________. 8．已知等比数列的前n 项和为n S ，若32:3:2S S =，则公比q = ． 9．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,ab c，已知2,sin ,a b B C +==sin 2C=______________.10．已知{}{},n n a b 均为等比数列，其前n 项和分别为,n n S T ，若对任意的*n ∈N ，总有314n n n S T +=，则33a b = ． 11．各项均为正数的等比数列{}n a 中，211a a -=．当3a 取最小值时，数列{}n a 的通项公式a n = ．12．在ABC ∆中，已知1,2,b c AD ==是A ∠的平分线，AD =，则C ∠=________. 13．在锐角三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围为___________.14．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数．若1a d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 等于_______．二、解答题15．在ABC ∆中， ,,a b c 分别为角A 、B 、C 的对边， （1）若,,A B C 成等差数列，求cos cos A C +的取值范围；（2）若,,a b c 成等差数列，且4cos 5B =，求11tan tan A C+的值． 16．已知数列{a n }是首项为a 1=14，公比q=14的等比数列，设1423log n n b a +=（n ∈N *），数列{c n }满足c n =a n •b n（1）求证：{b n }是等差数列； （2）求数列{c n }的前n 项和S n ．17．已知数列{}n a 的首项为2，前n 项和为n S ，且()*1112.41n n n n N a a S +-=∈-. （1）求2a 的值； （2）设1nn n na b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式；（3）求数列{}n a 的通项公式；18．如图，半圆O 的直径为2， A 为直径延长线上的一点， 2OA =， B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，设AOB α∠= (0)απ<<.（1）当α为何值时,四边形OACB 面积最大,最大值为多少； （2）当α为何值时， OC 长最大，最大值为多少．19．设{}n a 是公差不为零的等差数列，满足2222623455,,a a a a a =+=+数列{}n b 的通项公式为311n b n =-（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）将数列{}n a ,{}4n b +中的公共项按从小到大的顺序构成数列{}n C ，请直接写出数列{}n C 的通项公式； （3）记nn nb d a =，是否存在正整数,m n ()5m n ≠≠，使得5,,m n d d d 成等差数列？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由．20．已知n 为正整数，数列{}n a 满足0n a >， ()221410n n n a na++-=，设数列{}n b 满足2n n n a b t=（1）求证：数列为等比数列； （2）若数列{}n b 是等差数列，求实数t 的值；（3）若数列{}n b 是等差数列，前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈，均存在*m N ∈，使得242211816n n a S a n b -=成立，求满足条件的所有整数1a 的值.。
江苏省南通市启东中学2017-2018学年高一下学期第一次月考数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一（下）第一次月考数学试卷一、填空题（每题5分，共70分）1．若，则S50= ．2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC=BC，则点A在点B的．3．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a+3b+c=10，则a= ．4．图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含个互不重叠的单位正方形．5．直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围为．6．某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3km，结果离出发点恰好km，那么x的值为．7．制造某种产品，计划经过两年要使成本降低36%，则平均每年应降低成本．8．在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形的形状是．9．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2008年将所有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为．10．在数列{a n}中，，记T n=a1•a2•…•a n，则使成立的最小正整数n= ．11．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．12．已知函数f（x）=log2（x+1），且a＞b＞c＞0，则的大小顺序是．13．等比数列{a n}中，a1=1，a n=（n=3，4，…），则{a n}的前n项和为．14．若数列{a n}，{b n}的通项公式分别是a n=（﹣1）n+2010•a，，且a n＜b n 对任意n∈N*恒成立，则常数a的取值范围是．二、解答题（共90分）15．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，其外接圆半径为1，且有（1）求A、B、C的大小；（2）求△ABC的面积．16．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？17．某人年初向银行贷款10万元用于购房，（1）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？（2）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？（其中：1.0410=1.4802）18．一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到，记为；②当从A口输入自然数n（n≥2）时，在B口得到的结果f（n）是前一个结果f（n﹣1）的倍．（1）当从A口分别输入自然数2，3，4 时，从B口分别得到什么数？并求f（n）的表达式；（2）记S n为数列{f（n）}的前n项的和．当从B口得到16112195的倒数时，求此时对应的S n的值．19．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点（n，S n），均在函数y=b x+r（b＞0）且b≠1，b，r均为常数）的图象上．（1）求r的值；（2）当b=2时，记b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．20．记公差d≠0的等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2+，S3=12+3．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n．（2）已知等比数列{b nk}，b n+=a n，n1=1，n2=3，求n k．（3）问数列{a n}中是否存在互不相同的三项构成等比数列，说明理由．2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题5分，共70分）1．若，则S50= ﹣25 ．【考点】数列的求和．【分析】根据SN表达式，采用分组法为宜，从第一项起每相邻两项的和为﹣1．进行计算．【解答】解：S50=（1﹣2）+（3﹣4）+…+（49﹣50）=（﹣1）+（﹣1）+…+（﹣1）=﹣25故答案为：﹣252．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC=BC，则点A在点B的北偏西15°．【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意画出图形，数形结合可得答案．【解答】解：如图，∵AC=BC，由图可知，∠CAB=∠CBA=45°，利用内错角相等可知，A位于B北偏西15°．故答案为：北偏西15°．3．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a+3b+c=10，则a= ﹣4 ．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】设这三个数为b﹣d，b，b+d，再根据已知条件寻找关于b，d的两个方程，通过解方程组即可获解．【解答】解：由互不相等的实数a，b，c成等差数列，可设a=b﹣d，c=b+d，由题设得，∵d≠0，∴b=2，d=6，∴a=b﹣d=﹣4，故答案为：﹣4．4．图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含2n2﹣2n+1 个互不重叠的单位正方形．【考点】归纳推理．【分析】根据图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，寻找其规律，可得第n个图包含1+4个互不重叠的单位正方形．【解答】解：设第n个图包含a n个互不重叠的单位正方形．∵图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，∴a1=1，a2=5=1+4=1+4×1，a3=13=1+4+8=1+4×（1+2），a4=25=1+4+8+12=1+4×（1+2+3）∴a n=1+4=1+4×=2n2﹣2n+1故答案为：2n2﹣2n+15．直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围为．【考点】直线的倾斜角．【分析】由于直线xcosα+y+2=0的斜率为﹣，设此直线的倾斜角为θ，则0≤θ＜π，且﹣≤tanθ≤，由此求出θ的围．【解答】解：由于直线xcosα+y+2=0的斜率为﹣，由于﹣1≤cosα≤1，∴﹣≤﹣≤．设此直线的倾斜角为θ，则0≤θ＜π，故﹣≤tanθ≤．∴θ∈．故答案为：．6．某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3km，结果离出发点恰好km，那么x的值为或2．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】作出图象，三点之间正好组成了一个知两边与一角的三角形，由余弦定理建立关于x 的方程即可求得x的值．【解答】解：如图，AB=x，BC=3，AC=，∠ABC=30°．由余弦定理得3=x2+9﹣2×3×x×cos30°．解得x=2或x=故答案为或2．7．制造某种产品，计划经过两年要使成本降低36%，则平均每年应降低成本20% ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】先设平均每年降低x，然后根据经过两年使成本降低36%，列出方程解之即可．【解答】解：设平均每年降低x，（1﹣x）2=1﹣36%解得x=20%或x=180%（舍去）．故平均每年降低20%．故答案为：20%．8．在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形的形状是锐角三角形．【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】根据已知结合等差数列的性质和等比数列的性质，可求出tanA和tanB，代入两角和的正切公式，结合诱导公式，可得tanC的值，进而判断出三个角的大小，进而判断出三角形的形状．【解答】解：设以﹣4为第三项，4为第七项的等差数列的公差为d则d= =2即tanA=2设以为第三项，9为第六项的等比数列的公比为q则q==3即tanB=3则tan（A+B）=﹣tanC==﹣1即tanC=1故A，B，C均为锐角故△ABC为锐角三角形故答案为：锐角三角形9．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2008年将所有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为．【考点】数列的应用；等比数列的前n项和．【分析】由题意知可取回的钱的总数a（1+p）7+a（1+p）6+…+a（1+p），再由等比数列求和公式进行求解即可．【解答】解：第一年存的钱到期可以取：a（1+p）7，第二年存的钱到期可以取：a（1+p）6，…可取回的钱的总数：a（1+p）7+a（1+p）6+…+a（1+p）==．故答案为．10．在数列{a n}中，，记T n=a1•a2•…•a n，则使成立的最小正整数n= 11 ．【考点】数列的求和．【分析】由T n=a1•a2•…•a n，根据同底数幂的乘法可知：T n=，根据等差数列的前n项和公式，，即可求得＞5，即可求得n的最小正整数．【解答】解：T n=a1•a2•…•a n，=•••…•，=，=，=∵，∴＞5，∴n2+n﹣110＞0，解得：n＞10或n＜﹣11，由n∈N*，最小正整数为：11．故答案为：11．11．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．【考点】数列的应用．【分析】由题设知，先求出首项和公差，然后再由等差数列的通项公式求第5节的容积．【解答】解：由题设知，解得，∴=．故答案为：．12．已知函数f（x）=log2（x+1），且a＞b＞c＞0，则的大小顺序是．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】利用对数函数的图象及性质，数形结合，把看作与原点连接直线的斜率，即可得到答案．【解答】解：由题意，可将分别看作函数f（x）=log2（x+1）图象上的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c））与原点连线的斜率．结合图象可知当a＞b＞c＞0时，．故填：．13．等比数列{a n}中，a1=1，a n=（n=3，4，…），则{a n}的前n项和为n或﹣×（）n．【考点】数列递推式．【分析】由已知条件，先求出公比，再根据前n项和公式计算即可．【解答】解：设公比为q，由a n=，∴2a n=+，∴2=+，解得q=1或q=﹣，当q=1时，a1=1，a n=1，S n=n，当q=﹣，a1=1，S n==﹣×（）n，故答案为：n或﹣×（）n，14．若数列{a n}，{b n}的通项公式分别是a n=（﹣1）n+2010•a，，且a n＜b n对任意n∈N*恒成立，则常数a的取值范围是．【考点】数列与不等式的综合．【分析】根据题中已知条件先求出数列{a n}，{b n}的规律，然后令（a n）max＜（b n）min即可求出a的取值范围．【解答】解：数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n+2010•a=（﹣1）n•a，∴数列{a n}为﹣a，a，﹣a，a，﹣a，a，…，﹣a，a，…数列{b n}的通项公式为=2+，∴数列{b n }为2+1，2﹣，2+，2﹣，…，2+，…要想使a n ＜b n 对任意n ∈N *恒成立，则（a n ）max ＜（b n ）min ，当a ＞0时则有a ＜2﹣，即a ＜，当a ＜0时，则有﹣a ≤2，即a ≥﹣2，则a 的取值范围为﹣2≤a ＜，故答案为2=（b ﹣1）b 2×（b+r ） 解可得r=﹣1，（2）当b=2时，a n =（b ﹣1）b n ﹣1=2n ﹣1，bn=则T n =Tn=相减，得Tn=+=所以Tn=20．记公差d ≠0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=2+，S 3=12+3．（1）求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n ．（2）已知等比数列{b nk }，b n +=a n ，n 1=1，n 2=3，求n k ．（3）问数列{a n }中是否存在互不相同的三项构成等比数列，说明理由． 【考点】数列递推式．【分析】（1）在等差数列{a n }中，由已知求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）由b n +=a n ，得，结合数列{}是等比数列即可求得；（3）假设存在三项a r，a s，a t成等比数列，则，即有，整理后分rt﹣s2≠0和rt﹣s2=0推得矛盾，可知不存在满足题意的三项a r，a s，a t．【解答】解：（1）在等差数列{a n}中，∵a1=2+，S3=12+3，∴，得d=2，∴，；（2）∵b n+=a n，∴，∴，又数列{}的首项为，公比q=，∴，则，故；（3）假设存在三项a r，a s，a t成等比数列，则，即有，整理得：，若rt﹣s2≠0，则，∵r，s，t∈N*，∴是有理数，与为无理数矛盾；若rt﹣s2=0，则2s﹣r﹣t=0，从而可得r=s=t，这样r＜s＜t矛盾．综上可知，不存在满足题意的三项a r，a s，a t．2018年10月28日。
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2018-2019学年江苏省南通市启东中学高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.直线：，：，若与只有一个公共点，则A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析可得直线与相交，结合直线的方程分析可得，变形可得，即可得答案．【详解】根据题意，若与只有一个公共点，即直线与相交，又由：，：，则有，即，故选：B．【点睛】本题考查直线的一般式方程，注意直线的一般式方程判定直线位置关系的方法，属于基础题．2.直线与为两条不重合的直线，则下列命题：若，则斜率；若斜率，则；若倾斜角，则；若，则倾斜角．其中正确命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】通过两条直线平行的充要条件，结合倾斜角和斜率的关系判断选项的正误即可．【详解】直线与为两条不重合的直线，因为两条直线的倾斜角为时，没有斜率，所以不正确；因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，所以正确；若倾斜角，则；正确；若，则倾斜角正确；故选：C．【点睛】本题考查学生掌握两直线平行与倾斜角、斜率的关系，是一道基础题．3.在中，，，，则的面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理，求出C，从而可求A，利用的面积，即可得出结论．【详解】中，，，，，，或，或，的面积为或．故选：B．【点睛】本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．4.在中，，D是BC边上一点，，，，则AB的长为A. 5B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据余弦定理求出的值，即可得到的值，最后根据正弦定理可得答案．【详解】在中，，，，由余弦定理得．，，在中，，，，由正弦定理得，则．故选：D．【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．5.在中，，，，则的面积是A. 9B. 18C.D.【答案】C【解析】试题分析：由题意得，在中，，所以，所以此三角形为等腰三角形，所以,所以三角形的面积为，故选C.考点：三角形的面积公式.6.在同一坐标系下，直线ax＋by＝ab和圆＋＝（ab≠0，r＞0）的图像可能是【答案】D【解析】逐一根据a,b的几何意义验证知选项D中,直线ax+by=ab,即+=1在x,y轴上的截距分别为b<0和a>0时,D中圆的圆心亦为b<0和a>0,故选D.7.在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD 的面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由过圆内一点的最长弦和最短弦分别为和，可知最长弦为直径，最短弦为过点且与直径垂直。
江苏省启东中学高一下学期第一次月考(数学).pdf
【学习目标】 知道熔化、凝固图象，知道熔化过程吸热，凝固过程放热；知道晶体有一定的熔点，能用来解释简单的现象，会查熔点表。
【重点难点】 海波的熔化实验，熔化和凝固图象。
【学习过程】 1．关于“活动2。
6 探究冰、石蜡的熔化特点”的教学 熔化是指物质从固态变化到液态的过程，凝固是指物质从液态变化到固态的的过程． 明确实验目的，重点要求学生注意观察温度、状态变化。
参考表格如下 时间(min)123456789101112温度(0C) 状态吸（放）热采用描点法作出冰熔化图象：指出图象中 （1）AB段 态，吸热温度 ；BC段 态，吸热温度 ；CD段 态，吸热温度 ． （2）指出图象中熔化过程为 ，其特点 ． 对比石蜡的熔化图象得出： （1）固体分为晶体和非晶体两类。
常见的晶体和非晶体。
（2）查熔点表可知：冰的熔点及其表示的意义 （3）根据凝固是熔化的相反过程，请对称地画出海波的凝固图象及非晶体的凝固图象． 2．根据熔化、凝固图象回答： （1）熔化吸热，凝固放热。
（2）晶体熔化的条件有达到熔点和继续吸热，晶体凝固的条件有达到凝固点和继续放热。
3．典型例题 现代建筑出现一种新设计：在墙面装饰材料中均匀混人颗粒状的小球，球内充入一种晶体材料，当温发升高时．球内材料熔化吸热；当温度降低时球内材料凝固放热，使建 筑物内温度基本保持不变．下图中表示球内材料熔化图象的是 ( ) 三、熔化和凝固---课内作业 班级 姓名 成绩 1．下列说法错误的是 （ ） A．晶体有熔点，非晶体没有熔点 B．沸腾放热，蒸发吸热 C．蒸发和沸腾都是汽化现象 D．物质熔化时要吸热，凝固时要放热 2．下列自然现象中，属于熔化现象的是（ ） A．春天，河里的冰化成水 B.夏天清晨，花草叶子上附着的露水 C．秋天清晨，笼罩大地的雾 D.冬天，空中纷飞的雪花 3．在0℃的环境中，把一块0℃的冰放入一杯0℃的水中，则（ ） A．有部分冰化成水，水变多 B．有部分水结成冰，冰变多 C．冰和水的多少都没有变化 D．以上三种情况都可以发生 4．午饭后，小明和小玲来到商店，小明买了根“冰棍”，小玲买了根“棒棒糖”。
2018-2019学年江苏省南通市启东中学高一(下)第一次月考数学试卷(3月份)
2018-2019学年江苏省南通市启东中学高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）直线l1：A1x+B1y+C1=0.l2：A2x+B2y+C2=0.若l1与l2只有一个公共点.则（）A.A1B1-A2B2=0B.A1B2-A2B1≠0C. A1B1≠A2B2D. A1A2≠B1B22.（单选题.5分）直线l1与l2为两条不重合的直线.则下列命题：① 若l1 || l2.则斜率k1=k2；② 若斜率k1=k2.则l1 || l2；③ 若倾斜角α1=α2.则l1 || l2；④ 若l1 || l2.则倾斜角α1=α2．其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.43.（单选题.5分）在△ABC中. c=√3 .b=1.B=30°.则△ABC的面积为（）A. √32或√3B. √34或√32C. √34或√3D. √34.（单选题.5分）在△ABC中.B=45°.D是BC边上一点.AD=10.AC=14.DC=6.则AB的长为（）A.5B. √2C.5 √3D.5 √65.（单选题.5分）在△ABC中.a=6.B=30°.C=120°.则△ABC的面积是（）A.9B.18C. 9√3D. 18√36.（单选题.5分）在同一坐标系下.直线ax+by=ab和圆（x-a）2+（y-b）2=r2（ab≠0.r＞0）的图象可能是（）A.B.C.D.7.（单选题.5分）在圆x2+y2-2x-6y=0内.过点E（0.1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD.则四边形ABCD的面积为（）A. 5√2B. 10√2C. 15√2D. 20√28.（单选题.5分）两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点.则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点.则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点.则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l1：2x-y+a=0.l2：2x-y+a2+1=0和圆：x2+y2+2x-4=0相切.则a的取值范围是（）A.a＞7或a＜-3B. a＞√6或a＜−√6C.-3≤a≤一√6或√6≤a≤7D.a≥7或a≤-39.（填空题.5分）△ABC中.sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC.则A的取值范围为___ ．10.（填空题.5分）若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2-c2=4.且C=60°.ab的值为___ ．11.（填空题.5分）如图.某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB.C是该小区的一个出入口.且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟.从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米.则该扇形的半径为___ 米．12.（填空题.5分）如图所示.为了测量河对岸A.B两点间的距离.在这一岸定一基线CD.现已测出CD=a和∠ACD=60°.∠BCD=30°.∠BDC=105°.∠ADC=60°.则AB的长为___ ．13.（填空题.5分）在平面直角坐标系中.与点A（1.1）的距离为1.且与点B（-2.-3）的距离为6的直线条数为___ ．14.（填空题.5分）直线2x-y-4=0上有一点P.它与两定点A（4.-1）、B（3.4）的距离之差最大.则P点的坐标是___ ．15.（填空题.5分）若圆（x-3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离为1.则半径r的取值范围是___ ．16.（填空题.5分）在直角坐标系xOy中.圆M：（x-a）2+（y+a-3）2=1（a＞0）.点N为圆M上任意一点.若以N为圆心.ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点.则a的最小值为___ ．17.（问答题.10分）在△ABC中.内角A.B.C的对边分别为a.b.c．已知cosA−2cosCcosB =2c−ab．（1）求sinCsinA的值；（2）若cosB= 14.△ABC的周长为5.求b的长．18.（问答题.12分）圆O1的方程为x2+（y+1）2=4.圆O2的圆心O2（2.1）．（1）若圆O2与圆O1外切.求圆O2的方程；（2）若圆O2与圆O1交于A、B两点.且|AB|=2 √2．求圆O2的方程．19.（问答题.12分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2-a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等.求l的方程；（2）若l不经过第二象限.求实数a的取值范围．20.（问答题.12分）如图.甲船以每小时30√2海里的速度向正北方航行.乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时.乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处.此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A2处时.乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处.此时两船相距10√2海里.问乙船每小时航行多少海里？21.（问答题.12分）过点A（3.-1）作直线l交x轴于点B.交直线l1：y=2x于点C.若|BC|=2|AB|.求直线l的方程．22.（问答题.12分）已知圆M：（x-1）2+（y-1）2=4.直线l：x+y-6=0.A为直线l上一点．（1）若AM⊥l.过A作圆M的两条切线.切点分别为P.Q.求∠PAQ的大小；（2）若圆M上存在两点B.C.使得∠BAC=60°.求点A横坐标的取值范围．2018-2019学年江苏省南通市启东中学高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）直线l1：A1x+B1y+C1=0.l2：A2x+B2y+C2=0.若l1与l2只有一个公共点.则（）A.A1B1-A2B2=0B.A1B2-A2B1≠0C. A1B1≠A2B2D. A1A2≠B1B2【正确答案】：B【解析】：根据题意.分析可得直线l1与l2相交.结合直线的方程分析可得A1B2≠A2B1.变形可得A1B2-A2B1≠0.即可得答案．【解答】：解：根据题意.若l1与l2只有一个公共点.即直线l1与l2相交.又由l1：A1x+B1y+C1=0.l2：A2x+B2y+C2=0.则有A1B2≠A2B1.即A1B2-A2B1≠0.故选：B．【点评】：本题考查直线的一般式方程.注意直线的一般式方程判定直线位置关系的方法.属于基础题．2.（单选题.5分）直线l1与l2为两条不重合的直线.则下列命题：① 若l1 || l2.则斜率k1=k2；② 若斜率k1=k2.则l1 || l2；③ 若倾斜角α1=α2.则l1 || l2；④ 若l1 || l2.则倾斜角α1=α2．其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：D【解析】：通过两条直线平行的充要条件判断选项的正误即可．【解答】：解：因为两条直线的倾斜角为90°时.没有斜率.由于斜率都存在.若l1 || l2.则k1=k2.所以① 正确；因为两直线的斜率相等即斜率k1=k2.得到倾斜角的正切值相等即tanα1=tanα2.即可得到α1=α2.所以l1 || l2.所以② 正确；若倾斜角α1=α2.则l1 || l2；正确；若l1 || l2.则倾斜角α1=α2．正确；故选：D．【点评】：本题考查学生掌握两直线平行与倾斜角、斜率的关系.是一道综合题．3.（单选题.5分）在△ABC中. c=√3 .b=1.B=30°.则△ABC的面积为（）A. √32或√3B. √34或√32C. √34或√3D. √3【正确答案】：B【解析】：利用正弦定理.求出C.从而可求A.利用△ABC的面积12bcsinA .即可得出结论．【解答】：解：∵△ABC中.B=30°.b=1.c= √3 .∴ √3 sinC =1sin30°.∴sinC= √32.∴C=60°或120°. ∴A=90°或30°.∴△ABC的面积为12bcsinA = √32或√34．故选：B．【点评】：本题考查正弦定理的运用.考查三角形面积的计算.考查学生的计算能力.属于中档题．4.（单选题.5分）在△ABC中.B=45°.D是BC边上一点.AD=10.AC=14.DC=6.则AB的长为（）A.5B. √2C.5 √3D.5 √6【正确答案】：D【解析】：先根据余弦定理求出∠ADC的值.即可得到∠ADB的值.最后根据正弦定理可得答案．【解答】：解：（1）在△ADC中.AD=10.AC=14.DC=6.由余弦定理得cos∠ADC= AD 2+DC2−AC22AD•DC= 12．∴∠ADC=120°.∠ADB=60°.在△ABD中.AD=10.B=45°.∠ADB=60°.由正弦定理得ADsinB =ABsin∠ADB.则AB= AD•sin∠ADBsinB=5 √6．故选：D．【点评】：此题考查了正弦、余弦定理.以及特殊角的三角函数值.熟练掌握定理是解本题的关键．5.（单选题.5分）在△ABC中.a=6.B=30°.C=120°.则△ABC的面积是（）A.9B.18C. 9√3D. 18√3【正确答案】：C【解析】：利用三角形的内角和公式求得A=30°.可得△ABC为等腰三角形.直接利用△ABC的面积.求得结果．【解答】：解：∵△ABC中.a=6.B=30°.C=120°.∴A=30°．故△ABC为等腰三角形.故b=6.则△ABC的面积为12×6×6×sin120°=9 √3 .故选：C．【点评】：本题考查三角形中的几何计算.也可以利用正弦定理求解.是一道基础题．6.（单选题.5分）在同一坐标系下.直线ax+by=ab和圆（x-a）2+（y-b）2=r2（ab≠0.r＞0）的图象可能是（）A.B.C.D.【正确答案】：D【解析】：根据直线在坐标轴上的截距的符号.以及圆心的坐标的符号.发现ABC都不可能.而D中由直线位置可得a＞0.b＜0.而由圆的位置可得a＞0.b＜0.故D满足条件.由此得到结论．【解答】：解：直线ax+by=ab在x轴.y轴上的截距分别为b和a.圆心横坐标为a.纵坐标为b．在A中.由直线位置可得b＜0.而由圆的位置可得b＞0.这不可能.故A不正确．在B中.由直线位置可得a＞0.而由圆的位置可得a＜0.这不可能.故B不正确．在C中.由直线位置可得a＞0.而由圆的位置可得a＜0.这不可能.故C不正确．在D中.由直线位置可得a＞0.b＜0.而由圆的位置可得a＞0.b＜0.故D满足条件.故选：D．【点评】：本题主要考查直线和圆的位置关系.直线在坐标轴上的截距.函数的图象应用.属于中档题．7.（单选题.5分）在圆x2+y2-2x-6y=0内.过点E（0.1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD.则四边形ABCD的面积为（）A. 5√2B. 10√2C. 15√2D. 20√2【正确答案】：B【解析】：把圆的方程化为标准方程后.找出圆心坐标与圆的半径.根据图形可知.过点E最长的弦为直径AC.最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD.根据两点间的距离公式求出ME的长度.根据垂径定理得到E为BD的中点.在直角三角形BME中.根据勾股定理求出BE.则BD=2BE.然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．【解答】：解：把圆的方程化为标准方程得：（x-1）2+（y-3）2=10.则圆心坐标为（1.3）.半径为√10 .根据题意画出图象.如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC.最短的弦为过E与直径AC垂直的弦.则AC=2√10 .MB= √10 .ME= √(1−0)2+(3−1)2 = √5 .所以BD=2BE=2 √(√10)2−(√5)2 =2 √5 .又AC⊥BD.所以四边形ABCD的面积S= 12AC•BD= 12×2 √10 ×2 √5 =10 √2．故选：B．【点评】：此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用.灵活运用两点间的距离公式化简求值.是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．8.（单选题.5分）两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点.则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点.则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点.则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l1：2x-y+a=0.l2：2x-y+a2+1=0和圆：x2+y2+2x-4=0相切.则a的取值范围是（）A.a＞7或a＜-3B. a＞√6或a＜−√6C.-3≤a≤一√6或√6≤a≤7D.a≥7或a≤-3【正确答案】：C【解析】：当两平行直线和圆相交时.由{√5√5 2√5√5求得a的范围.当两平行直线和圆相离时.由{√5√5 2√5√5求得 a的取值范围．再把以上所求得的a的范围取并集后.再取此并集的补集.即得所求．【解答】：解：当两平行直线和圆相交时.有{√5√5 2√5√5.解得- √6＜a＜√6．当两平行直线和圆相离时.有{√5√5 2√5√5.解得 a＜-3 或a＞7．故当两平行直线和圆相切时.把以上两种情况下求得的a的范围取并集后.再取此并集的补集.即得所求．故所求的a的取值范围是-3≤a≤一√6或√6≤a≤7.故选：C．【点评】：本题主要考查直线和圆的位置关系.点到直线的距离公式的应用.体现了分类讨论的数学思想.属于中档题．9.（填空题.5分）△ABC中.sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC.则A的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（0.60°]【解析】：利用正弦定理化简已知的不等式.再利用余弦定理表示出cosA.将得出的不等式变形后代入表示出的cosA中.得出cosA的范围.由A为三角形的内角.根据余弦函数的图象与性质即可求出A的取值范围．【解答】：解：利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC得：a2≤b2+c2-bc. 变形得：b2+c2-a2≥bc.∴cosA= b2+c2−a22bc ≥ bc2bc= 12.又A为三角形的内角.则A的取值范围是（0.60°]．故答案为：（0.60°]【点评】：此题考查了正弦、余弦定理.特殊角的三角函数值.以及余弦函数的图象与性质.熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．10.（填空题.5分）若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2-c2=4.且C=60°.ab的值为___ ．【正确答案】：[1] 43【解析】：将（a+b）2-c2=4化为c2=（a+b）2-4=a2+b2+2ab-4.又C=60°.再利用余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab即可求得答案．【解答】：解：∵△ABC的边a、b、c满足（a+b）2-c2=4.∴c2=（a+b）2-4=a2+b2+2ab-4.又C=60°.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab.∴2ab-4=-ab.∴ab= 43．故答案为：43．【点评】：本题考查余弦定理.考查代换与运算的能力.属于基础题．11.（填空题.5分）如图.某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB.C是该小区的一个出入口.且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟.从D 沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米.则该扇形的半径为___ 米．【正确答案】：[1]50 √7【解析】：连接OC.由CD || OA知∠CDO=60°.可由余弦定理得到OC的长度．【解答】：解：设该扇形的半径为r米.连接CO．由题意.得CD=150（米）.OD=100（米）.∠CDO=60°在△CDO中.CD2+OD2-2CD•OD•cos60°=OC2即. 150 2+1002−2×150×100×12=r2解得r=50 √7（米）．答：该扇形的半径OA的长约为50 √7米．【点评】：本题主要考查用余弦定理求三角形边长.解答的关键是构造三角形后利用余弦定理.属于基础题．12.（填空题.5分）如图所示.为了测量河对岸A.B两点间的距离.在这一岸定一基线CD.现已测出CD=a和∠ACD=60°.∠BCD=30°.∠BDC=105°.∠ADC=60°.则AB的长为___ ．【正确答案】：[1] √22a【解析】：由题意.ACD是等边三角形.∠ACB=∠BCD=30°.可得CB⊥AD.且AD= 12a .∠BDA=45°可得DB= √22a .利用余弦定理即可求解AB；【解答】：解：由题意.ACD是等边三角形.∠ACB=∠BCD=30°∴可得CB⊥AD.且AD= 12a .∵∠BDC=105°.∠ADC=60°.∴∠BDA=45°.可得DB= √22a .由余弦定理：AB2=a2+ 12 a2-2× a×√22a×cos45° = 12a2；a；则AB= √22a故答案为：√22【点评】：本题考查了余弦定理在三角形中的应用．属于基础题．13.（填空题.5分）在平面直角坐标系中.与点A（1.1）的距离为1.且与点B（-2.-3）的距离为6的直线条数为___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：分别以点A（1.1）、点B（-2.-3）为圆心.半径为1.6的圆为：（x-1）2+（y-1）2=1.（x+2）2+（y+3）2=36．判断两圆的位置关系.可得公切线的条数即可得出．【解答】：解：分别以点A（1.1）、点B（-2.-3）为圆心.半径为1.6的圆为：（x-1）2+（y-1）2=1.（x+2）2+（y+3）2=36．而|AB|= √32+42 =5=6-1.∴上述两圆内切.因此满足条件的直线有且只有1条.为两圆的外公切线．故答案为：1．【点评】：本题考查了圆的标准方程及其位置关系、公切线的性质、两点之间的距离公式.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．14.（填空题.5分）直线2x-y-4=0上有一点P.它与两定点A（4.-1）、B（3.4）的距离之差最大.则P点的坐标是___ ．【正确答案】：[1]（5.6）【解析】：判断A.B与直线的位置关系.求出A关于直线的对称点A1的坐标.求出直线A1B的方程.与直线2x-y-4=0联立.求出P的坐标．【解答】：解：易知A（4.-1）、B（3.4）在直线l：2x-y-4=0的两侧．作A关于直线l的对称点A1（0.1）.当A1、B、P共线时距离之差最大.A1B的方程为：y-x-1=0… ① 直线2x-y-4=0… ②解① ② 得 P点的坐标是（5.6）故答案为：（5.6）【点评】：本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程.两点间距离公式的应用.考查转化思想.计算能力.是基础题．15.（填空题.5分）若圆（x-3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离为1.则半径r的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（4.6）【解析】：先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离.由题意得|5-r|＜1.解此不等式求得半径r的取值范围．=5.【解答】：解：∵圆心P（3.-5）到直线4x-3y=2的距离等于√16+9由|5-r|＜1.解得：4＜r＜6.则半径r的范围为（4.6）．故答案为：（4.6）【点评】：本题考查了直线与圆的位置关系.涉及的知识有：点到直线的距离公式的应用.以及绝对值不等式的解法.列出关于r的不等式是解本题的关键．16.（填空题.5分）在直角坐标系xOy中.圆M：（x-a）2+（y+a-3）2=1（a＞0）.点N为圆M上任意一点.若以N为圆心.ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点.则a的最小值为___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：求出圆的圆心与半径.利用ON与已知圆的直径列出关系式求解即可．【解答】：解：圆M：（x-a）2+（y+a-3）2=1（a＞0）.圆的圆心（a.3-a）.半径为1. 点N为圆M上任意一点.若以N为圆心.ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点.|ON|≥2.|ON|的最小值为：|OM|-1.可得√a2+(a−3)2 -1≥2.解得a≥3或a≤0（舍去）．a的最小值为：3．故答案为：3．【点评】：本题考查圆的方程的综合应用.考查转化思想以及计算能力．17.（问答题.10分）在△ABC中.内角A.B.C的对边分别为a.b.c．已知cosA−2cosCcosB =2c−ab．（1）求sinCsinA的值；（2）若cosB= 14.△ABC的周长为5.求b的长．【正确答案】：【解析】：（1）利用正弦定理化简等式的右边.然后整理.利用两角和的正弦函数求出sinCsinA的值．（2）利用（1）可知c=2a.结合余弦定理.三角形的周长.即可求出b的值．【解答】：解：（1）因为cosA−2cosCcosB =2c−ab所以cosA−2cosCcosB=2sinC−sinAsinB即：cosAsinB-2sinBcosC=2sinCcosB-cosBsinA 所以sin（A+B）=2sin（B+C）.即sinC=2sinA 所以sinCsinA=2（2）由（1）可知c=2a… ①a+b+c=5… ②b2=a2+c2-2accosB… ③cosB= 14… ④解① ② ③ ④ 可得a=1.b=c=2；所以b=2【点评】：本题是中档题.考查正弦定理、余弦定理的应用、两角和的三角函数的应用.函数与方程的思想.考查计算能力.常考题型．18.（问答题.12分）圆O1的方程为x2+（y+1）2=4.圆O2的圆心O2（2.1）．（1）若圆O2与圆O1外切.求圆O2的方程；（2）若圆O2与圆O1交于A、B两点.且|AB|=2 √2．求圆O2的方程．【正确答案】：【解析】：（1）通过圆心距对于半径和.求出圆的半径.即可求出圆的方程．（2）利用圆心距与两圆的位置关系求出.圆到直线的距离.然后求出所求圆的半径.即可求出圆的方程．【解答】：解：（1）圆O1的方程为x2+（y+1）2=4.圆心坐标（0.-1）.半径为：2.圆O2的圆心O2（2.1）．圆心距为：√(2−0)2+(1+1)2 =2 √2 .圆O2与圆O1外切.所求圆的半径为：2 √2−2 .圆O2的方程（x-2）2+（y-1）2=12-8 √2 .（2）圆O2与圆O1交于A、B两点.且|AB|=2√2．所以圆O1到AB的距离为：√22−(√2)2 = √2 .当圆O2到AB的距离为：√2 .圆O2的半径为：√(√2)2+(√2)2 =2．圆O2的方程：（x-2）2+（y-1）2=4．当圆O2到AB的距离为：3 √2 .圆O2的半径为：√(3√2)2+(√2)2 = √20．圆O2的方程：（x-2）2+（y-1）2=20．综上：圆O2的方程：（x-2）2+（y-1）2=4或（x-2）2+（y-1）2=20．【点评】：本题考查两个圆的位置关系.圆的方程的求法.考查计算能力．19.（问答题.12分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2-a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等.求l的方程；（2）若l不经过第二象限.求实数a的取值范围．【解析】：（1）对a 分类讨论.利用截距式即可得出；（2）y=-（a+1）x+a-2.由于l 不经过第二象限.可得 {−(a +1)≥0a −2≤0 .解出即可得出．【解答】：解：（1）若2-a=0.解得a=2.化为3x+y=0． 若a+1=0.解得a=-1.化为y+3=0.舍去． 若a≠-1.2.化为： xa−2a+1+y a−2 =1.令 a−2a+1=a-2.化为a+1=1.解得a=0.可得直线l 的方程为：x+y+2=0．综上所述直线l 的方程为：x+y+2=0或3x+y=0； （2）y=-（a+1）x+a-2. ∵l 不经过第二象限. ∴ {−(a +1)≥0a −2≤0 . 解得：a≤-1．当2-a=0时.即a=2时.l 不经过第二象限 ∴实数a 的取值范围是（-∞.-1]．【点评】：本题考查了直线的方程、不等式的性质、三角形的面积计算公式.考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力.属于中档题．20.（问答题.12分）如图.甲船以每小时 30√2 海里的速度向正北方航行.乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A 1处时.乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处.此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A 2处时.乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处.此时两船相距 10√2 海里.问乙船每小时航行多少海里？【解析】：连结A 1B 2.则△A 1A 2B 2是等边三角形.从而∠B 1A 1B 2=105°-60°=45°.A 1B 2=10 √2 .在△B 1A 1B 2中.由余弦定理求出B 1B 2得出乙船的速度．【解答】：解：由题意可知A 1B 1=20.A 2B 2=10 √2 .A 1A 2=30 √2 × 2060 =10 √2 .∠B 2A 2A 1=180°-120°=60°.连结A 1B 2.则△A 1A 2B 2是等边三角形. ∴A 1B 2=10 √2 .∠A 2A 1B 2=60°． ∴∠B 1A 1B 2=105°-60°=45°.在△B 1A 1B 2中.由余弦定理得B 1B 22=A 1B 12+A 1B 22-2A 1B 1•A 1B 2cos∠B 1A 1B 2=400+200-400=200． ∴B 1B 2=10 √2 ． ∴乙船的航行速度是 10√213=30√2 海里/小时．【点评】：本题考查了解三角形的实际应用.属于中档题．21.（问答题.12分）过点A （3.-1）作直线l 交x 轴于点B.交直线l 1：y=2x 于点C.若|BC|=2|AB|.求直线l 的方程．【正确答案】：【解析】：设C （a.2a ）.B （b.0）.根据|BC|=2|AB|.可得关于a 、b 的方程组.解出a 、b 之值.从而得到B 的坐标.利用直线方程的点斜式列式.化简即得直线l 的一般式方程．【解答】：解：∵由|BC|=2|AB|可得： OB ⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ）.或 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ）. ① 当 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ）时.化简得 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ - OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .∵点C 在直线y=2x 上.B 在x 轴上.∴可设点C （a.2a ）.B （b.0）.∵点A （3.-1）.∴可得 {a =2×3−b 2a =2×(−1).解得a=-1.b=7 由此可得B （7.0）.直线l 的斜率为k= 0+17−3 = 14 . ∴直线l 的方程为y= 14 （x-7）.即x-4y-7=0．① 当 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ）时.化简得 OC⃗⃗⃗⃗⃗ =-2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵点C 在直线y=2x 上.B 在x 轴上.∴可设点C （a.2a ）.B （b.0）.∵点A （3.-1）.∴可得 {a =−2×3+3b 2a =−2×(−1).解得a=1.b= 73 由此可得B （ 73 .0）.直线l 的斜率为k= 0+173−3 = −32. ∴直线l 的方程为y= −32 （x- 73 ）.即3x+2y-7=0．【点评】：本题给出直线l 满足的向量式.求直线l 的方程．着重考查了向量的坐标运算、直线的基本量与基本形式等知识.属于基础题．22.（问答题.12分）已知圆M ：（x-1）2+（y-1）2=4.直线l ：x+y-6=0.A 为直线l 上一点．（1）若AM⊥l .过A 作圆M 的两条切线.切点分别为P.Q.求∠PAQ 的大小；（2）若圆M 上存在两点B.C.使得∠BAC=60°.求点A 横坐标的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）确定△APM是等腰直角三角形.可得∠PAM=45°.同理得∠QAM=45°.即可求∠PAQ的大小；（2）从直线上的点向圆上的点连线成角.当且仅当两条线均为切线时才是最大的角.不妨设切线为AP.AQ.则∠PAQ为60°时.∠PMQ为120°.所以MA的长度为4.故可确定点A的横坐标x0的取值范围．【解答】：解：（1）由题知AM⊥l.即AM为M点到直线l的距离.AM=2 √2 .…2分在直角三角形APM中.AM=2 √2 .PM=2.∴AP=2∴△APM是等腰直角三角形.…5分∴∠PAM=45°.…6分同理得∠QAM=45°∴∠PAQ=90° …8分（2）由题意.从直线上的点向圆上的点连线成角.当且仅当两条线均为切线时才是最大的角.不妨设切线为AP.AQ.则∠PAQ为60°时.∠PMQ为120°.所以MA的长度为4.故问题转化为在直线上找到一点.使它到点M的距离为4．设A（x0.6-x0）.则∵M（1.1）.∴（x0-1）2+（5-x0）2=16∴x0=1或5∴点A的横坐标x0的取值范围是[1.5]…16分．【点评】：本题考查直线与圆的方程的应用.考查学生分析解决问题的能力.解题的关键是明确从直线上的点向圆上的点连线成角.当且仅当两条线均为切线时才是最大的角．。
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一(下)第一次月考数学试卷
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一（下）第一次月考数学试卷试题数：20.满分：1601.（填空题.5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a.b.c.ab=60.面积S△ABC=15 √3 .△ABC 外接圆半径为√3 .则c=___ ．2.（填空题.5分）若数列{a n}满足a n-2a n+1+a n+2=0（n∈N*）.且a1=2.a2=4.则数列{a n}的通项公式为a n=___ ．3.（填空题.5分）在△ABC中.BC= √3 .AC=1.且B= π6.则A=___ ．4.（填空题.5分）在等比数列{a n}中.已知a2a5=-32.a3+a4=4.且公比为整数.则a9=___ ．5.（填空题.5分）若在x.y两数之间插入3个数.使这五个数成等差数列.其公差为d1（d1≠0）.若在x.y两数之间插入4个数.使这6个数也成等差数列.其公差为d2（d2≠0）.那么d1d2=___ ．6.（填空题.5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+1.则a1+a5=___ ．7.（填空题.5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和.S7=3（a1+a9）.则a5a4的值为___ ．8.（填空题.5分）已知等比数列的前n项和为S n.若S3：S2=3：2.则公比q=___ ．9.（填空题.5分）在△ABC中.∠A.∠B.∠C所对边的长分别为a.b.c．已知a+ √2 c=2b.sinB= √2sinC.则sin C2=___ ．10.（填空题.5分）已知{a n}.{b n}均为等比数列.其前n项和分别为S n.T n.若对任意的n∈N*.总有S n T n =3n+14.则a3b4=___ ．11.（填空题.5分）各项均为正数的等比数列{a n}中.a2-a1=1．当a3取最小值时.数列{a n}的通项公式a n=___ ．12.（填空题.5分）在△ABC中.已知b=1.c=2.AD是∠A的平分线.AD= 2√33.则∠C=___ ．13.（填空题.5分）在锐角三角形ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c.且满足b2-a2=ac.则1tanA- 1tanB的取值范围为___ ．14.（填空题.5分）已知等差数列{a n}的公差d不为0.等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若a1=d.b1=d2.且a12+a22+a32b1+b2+b3是正整数.则q等于___ ．15.（问答题.14分）在△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边. （1）若A.B.C成等差数列.求cosA+cosC的取值范围；（2）若a.b.c成等比数列.且cosB= 45 .求1tanA+ 1tanC的值．16.（问答题.14分）已知数列{a n}是首项为a1= 14 .公比q= 14的等比数列.设b n+2= 3log14a n（n∈N*）.数列{c n}满足c n=a n•b n （1）求证：{b n}是等差数列；（2）求数列{c n}的前n项和S n．17.（问答题.14分）已知数列{a n}的首项为2.前n项和为S n.且1a n −1a n+1=24S n−1(n∈N∗)．（1）求a2的值；（2）设b n=a na n+1−a n.求数列{b n}的通项公式；（3）求数列{a n}的通项公式；18.（问答题.16分）如图.半圆O的直径为2.A为直径延长线上的一点.OA=2.B为半圆上任意一点.以AB为一边作等边三角形ABC.设∠AOB=α（0＜α＜π）．（1）当α为何值时.四边形OACB面积最大.最大值为多少；（2）当α为何值时.OC长最大.最大值为多少．19.（问答题.16分）设{a n}是公差不为零的等差数列.满足a6=5，a22+a32=a42+a52 .数列{b n}的通项公式为b n=3n-11（1）求数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}.{b n+4}中的公共项按从小到大的顺序构成数列{c n}.请直接写出数列{c n}的通项公式；.是否存在正整数m.n（m≠n≠5）.使得d5.d m.d n成等差数列？若存在.求出m.n （3）记d n=b na n的值；若不存在.请说明理由．20.（问答题.16分）已知n为正整数.数列{a n}满足a n＞0.4（n+1）a n2-na n+12=0.设数列{b n}满足b n= a n2t n}为等比数列；（1）求证：数列{ a n√n（2）若数列{b n}是等差数列.求实数t的值：（3）若数列{b n}是等差数列.前n项和为S n.对任意的n∈N*.均存在m∈N*.使得8a12S n-a14n2=16b m成立.求满足条件的所有整数a1的值．2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：20.满分：1601.（填空题.5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a.b.c.ab=60.面积S△ABC=15 √3 .△ABC 外接圆半径为√3 .则c=___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：由题意和三角形的面积公式可得sinC.再由正弦定理可得c值．【解答】：解：∵△ABC中ab=60.面积S△ABC=15 √3 .∴S= 12 absinC= 12×60×sinC=15 √3 .解得sinC= √32.∵△ABC外接圆半径R= √3 .∴由正弦定理可得c=2RsinC=2 √3 × √32=3．故答案为：3．【点评】：本题考查正弦定理解三角形.涉及三角形的面积公式.属基础题．2.（填空题.5分）若数列{a n}满足a n-2a n+1+a n+2=0（n∈N*）.且a1=2.a2=4.则数列{a n}的通项公式为a n=___ ．【正确答案】：[1]2n【解析】：由题意可知a n+a n+2=2a n+1.则数列{a n}是以2为首项.2为公差的等差数列.利用等差数列的通项公式即可求得a n．【解答】：解：由a n-2a n+1+a n+2=0.则a n+a n+2=2a n+1.∴数列{a n}为等差数列.a2-a1=4-2=2.∴数列{a n}是以2为首项.2为公差的等差数列.∴a n=a1+（n-1）d=2n.故答案为：2n．【点评】：本题考查等差数列的证明.等差数列的通项公式.考查计算能力.属于基础题．3.（填空题.5分）在△ABC中.BC= √3 .AC=1.且B= π6.则A=___ ．【正确答案】：[1] π3或2π3．【解析】：利用正弦定理即可得出．【解答】：解：由正弦定理可得：√3sinA =1sinπ6.可得：sinA= √32.A∈（0.π）.a＞b.因此A可能为钝角．∴A= π3或2π3．故答案为：π3或2π3．【点评】：本题考查了正弦定理、三角函数求值.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．4.（填空题.5分）在等比数列{a n}中.已知a2a5=-32.a3+a4=4.且公比为整数.则a9=___ ．【正确答案】：[1]-256【解析】：根据等比数列的性质可得a3a4=-32.求出q.即可求出a9．【解答】：解：∵a2a5=-32.a3+a4=4.∴a3a4=-32.解得a3=-4.a4=8或a3=8.a4=-4.∴q= a4a3 =-2.或q=- 12（舍去）.∴a9=-4×26=-256.故答案为：-256；【点评】：本题考查了等比数列的性质和通项公式.属于基础题．5.（填空题.5分）若在x.y两数之间插入3个数.使这五个数成等差数列.其公差为d1（d1≠0）.若在x.y两数之间插入4个数.使这6个数也成等差数列.其公差为d2（d2≠0）.那么d1d2=___ ．【正确答案】：[1] 54【解析】：根据等差数列的通项公式把x.y的关系建立起来.即可得d1d2的值．【解答】：解：在x.y两数之间插入3个数.使这五个数成等差数列.其公差为d1. 则有：x+4d1=y.… ①在x.y两数之间插入4个数.使这6个数也成等差数列.其公差为d2.则有x+5d2=y.… ②用① - ② 可得：4d1=5d2.那么d1d2 = 54．故答案为54．【点评】：本题考查了等差数列的性质.考查了等差数列通项公式的灵活运用.是基础的计算题．6.（填空题.5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+1.则a1+a5=___ ．【正确答案】：[1]11【解析】：由数列的前n项和求出首项.再由a5=S5-S4求得a5.则a1+a5的值可求．【解答】：解：由S n=n2+1 .得a1=12+1=2 .a5=S5−S4=(52+1)−(42+1)=9．∴a1+a5=2+9=11．故答案为：11．【点评】：本题考查了数列递推式.考查了由数列前n项和求通项．7.（填空题.5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和.S7=3（a1+a9）.则a5a4的值为___ ．【正确答案】：[1] 76【解析】：由等差数列的通项公式、前n项和公式得到a1=3d.由此能求出a5a4的值．【解答】：解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和.S7=3（a1+a9）.∴ 7a1+7×62d=3(a1+a1+8d) .解得a1=3d.∴ a5a4 = a1+4da1+3d= 7d6d= 76．故答案为：76．【点评】：本题考查等差数列中两项的比值的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意等差数列的性质的合理运用．8.（填空题.5分）已知等比数列的前n项和为S n.若S3：S2=3：2.则公比q=___ ．【正确答案】：[1] 1或−12【解析】：验证q=1是否满足题意.q≠1时.代入求和公式可得关于q的方程.解方程可得．【解答】：解：若q=1.必有S3：S2=3a1：2a1=3：2.满足题意；故q≠1.由等比数列的求和公式可得S3：S2= a1(1−q3)1−q ：a1(1−q2)1−q=3：2.化简可得2q2-q-1=0.解得q=- 12.综上.q= 1或−12．故答案为：1或−12．【点评】：本题考查等比数列的前n项和公式.涉及分类讨论的思想.属中档题．9.（填空题.5分）在△ABC中.∠A.∠B.∠C所对边的长分别为a.b.c．已知a+ √2 c=2b.sinB= √2sinC.则sin C2=___ ．【正确答案】：[1] √24【解析】：由题意和正弦定理可得a=b= √2 c.代入余弦定理可得cosC.由二倍角公式和三角形内角的范围可得．【解答】：解：∵在△ABC中a+ √2 c=2b.sinB= √2 sinC.∴由正弦定理可得a+ √2 c=2b.b= √2 c.联立可解得a=b= √2 c.∴由余弦定理可得cosC= a2+b2−c22ab= 222 2×√2c×√2c = 34.再由二倍角公式可得cosC=1-2sin2C2 = 34.解得sin C2 = √24或sin C2=- √24.再由三角形内角的范围可得C2∈（0. π2）故sin C2 = √24故答案为：√24【点评】：本题考查解三角形.涉及正余弦定理和二倍角公式.属中档题．10.（填空题.5分）已知{a n }.{b n }均为等比数列.其前n 项和分别为S n .T n .若对任意的n∈N *.总有S n T n=3n +14 .则 a 3b 4=___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：n=1时.a 1=b 1．n=2时. a 1+a 1q b 1+b 1q′ = 52．n=3时. a 1+a 1q+a 1q 2b 1+b 1q′+b 1q′2=7．推导出q=9.q′=3.由此能求出 a 3b 4的值．【解答】：解：设{a n }.{b n }的公比分别为q.q′. ∵{a n }.{b n }均为等比数列.其前n 项和分别为S n .T n . 对任意的n∈N *.总有 S nT n=3n +14. ∴n=1时.a 1=b 1． n=2时. a 1+a 1q b 1+b 1q′ = 52 ．n=3时. a 1+a 1q+a 1q 2b 1+b 1q′+b 1q′2=7． ∴2q -5q′=3.7q′2+7q′-q 2-q+6=0. 解得：q=9.q′=3. ∴ a3b 4= a 1q 2b 1q′3 = 8127 =3．故答案为：3．【点评】：本题考查等差数列的首项的求法.考查等差数列的性质基础知识.考查运算求解能力.是中档题．11.（填空题.5分）各项均为正数的等比数列{a n }中.a 2-a 1=1．当a 3取最小值时.数列{a n }的通项公式a n =___ ． 【正确答案】：[1]2n-1【解析】：设出等比数列的公比.代入a 2-a 1=1后求出首项和公比的关系.把a 3用公比表示.利用二次函数求最值求出使a 3最小的q 的值.则通项公式可求．【解答】：解：设等比数列的公比为q （q ＞0）.由a 2-a 1=1.得a 1（q-1）=1. 所以 a 1=1q−1 ． a 3=a 1q 2=q 2q−1 = 1−1q2+1q（q ＞0）. 而 −1q2+1q =−(1q−12)2+14 .当q=2时有最大值 14.所以当q=2时a3有最小值4．此时a1=1q−1=12−1=1．所以数列{a n}的通项公式a n=2n-1．故答案为2n-1．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式.考查了利用配方法求二次函数的最值.是基础题．12.（填空题.5分）在△ABC中.已知b=1.c=2.AD是∠A的平分线.AD= 2√33.则∠C=___ ．【正确答案】：[1]90°【解析】：根据角平线的性质.可设BD=2x.CD=x.然后结合余弦定理列方程解x.然后利用余弦定理求解C即可．【解答】：解：因为AD是∠A的平分线.所以cb = BDCD.不妨设BD=2x.CD=x.结合已知得cos∠BAD=cos∠CAD.在△ABD中由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB•ADcos∠BAD.即：4x2=4+ 43 -2× 2×2√33cos∠BAD.… ①在△ACD中.由余弦定理可得CD2=AC2+AD2-2AC•ADcos∠CAD.即：x2=1+ 43 -2× 1×2√33cos∠BAD… ② .① - ② ×2.可得：2x2=2- 43 = 23.解得：x2= 13．在△ADC则.cosC= AC 2+CD2−AD22AC•CD= 1+13−432×1×√33=0．∠C=90°．故答案为：90°．【点评】：本题考查了解三角形的有关知识和方法.解题的关键是角平分线的性质以及利用两个角相等结合余弦定理列出方程求解．13.（填空题.5分）在锐角三角形ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c.且满足b2-a2=ac.则1tanA- 1tanB的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（1.2√33） 【解析】：先根据余弦定理得到c=2acosB+a.再根据正弦定理和两角和差正弦公式可得sinA=sin （B-A ）.根据三角形为锐角三角形.求得B=2A.以及A.B 的范围.再利用商的关系、两角差的正弦公式化简所求的式子.由正弦函数的性质求出所求式子的取值范围．【解答】：解：∵b 2-a 2=ac. ∴b 2=a 2+c 2-2accosB=a 2+ac. ∴c=2acosB+a .∴sinC=2sinAcosB+sinA .∵sinC=sin （A+B ）=sinAcosB+cosAsinB. ∴sinA=cosAsinB -sinAcosB=sin （B-A ）. ∵三角形ABC 为锐角三角形. ∴A=B -A. ∴B=2A . ∴C=π-3A. ∴ {0＜2A ＜π20＜π−3A ＜π2 ∴A∈（ π6 . π4 ）.B∈（ π3 . π2）∴1tanA - 1tanB = sin (B−A )sinBsinA = 1sinB. ∵B∈（ π3 . π2 ）∴sinB∈（ √32 .1）. ∴ 1sinB ∈.2√33 ）. ∴ 1tanA - 1tanB 的范围为（1. 2√33）. 故答案为：（1. 2√33）【点评】：本题考查了正弦定理.三角恒等变换中公式.以及正弦函数的性质.涉及知识点多、公式多.综合性强.考查化简、变形能力.属于中档题．14.（填空题.5分）已知等差数列{a n }的公差d 不为0.等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数．若a 1=d.b 1=d 2.且 a 12+a 22+a 32b 1+b 2+b 3是正整数.则q 等于___ ．【正确答案】：[1] 12【解析】：由等差数列和等比数列的通项公式.将a 2=a 1+d=2d.a 3=a 1+2d=3d.b 2=b 1q=d 2q.b 3=b 1q 2=d 2q 2代入 a 12+a 22+a 32b 1+b 2+b 3.再由比值是正整数.通过验证的方法求解．【解答】：解：根据题意：a 2=a 1+d=2d.a 3=a 1+2d=3d b 2=b 1q=d 2q.b 3=b 1q 2=d 2q 2∴ a 12+a 22+a 32b 1+b 2+b3=d 2+4d 2+9d 2d 2+d 2q +d 2q 2=141+q+q 2又∵ a 12+a 22+a 32b 1+b 2+b 3是正整数.q是小于1的正有理数．可令 141+q+q 2=t .t 是正整数.则有 14t =1+q +q 2 .即 q 2+q +1−14t=0解得q=−1+√−3+56t2对t 赋值.验证知.当t=8时.有q= 12符合题意 故答案为： 12【点评】：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的应用.特别是等比数列混合题.两者的内在联系很重要．15.（问答题.14分）在△ABC 中.a.b.c 分别为角A.B.C 的对边. （1）若A.B.C 成等差数列.求cosA+cosC 的取值范围； （2）若a.b.c 成等比数列.且cosB= 45 .求 1tanA + 1tanC 的值．【正确答案】：【解析】：（1）由A.B.C 成等差数列.可得2B=A+C=π-B.解得B ．根据A 的范围.利用和差公式即可得出．（2）a.b.c 成等比数列.可得b 2=ac ．利用正弦定理可得：sin 2B=sinAsinC ．cosB= 45.可得：sinB= √1−cos 2B ．可得 1tanA + 1tanC = cosAsinA +cosCsinC .化简即可得出．【解答】：解：（1）∵A .B.C 成等差数列.∴2B=A+C=π-B.解得B= π3 ． A∈ (0，2π3) . ∴cosA+cosC=cosA+cos (2π3−A) = √32 sinA+ 12 cosA=sin (A +π6) ∈ (12，1] ． （2）a.b.c 成等比数列.∴b 2=ac ． ∴sin 2B=sinAsinC ．∴cosB= 45 .可得：sinB= √1−cos 2B = 35 ．∴ 1tanA + 1tanC = cosA sinA +cosC sinC = sin (A+C )sinAsinC = sinB sinAsinC = 1sinB = 53 ．【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式倍角公式.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．16.（问答题.14分）已知数列{a n }是首项为a 1= 14 .公比q= 14 的等比数列.设b n +2= 3log 14a n（n∈N *）.数列{c n }满足c n =a n •b n （1）求证：{b n }是等差数列； （2）求数列{c n }的前n 项和S n ．【正确答案】：【解析】：（1）由题意知. b n+1−b n =3log 14a n+1−3log 14a n =3log 14a n+1a n=3log 14q =3 .所以数列{b n }是首项b 1=1.公差d=3的等差数列．（2）由题设条件知. S n =1×14+4×(14)2+7×(14)3++(3n −5)×(14)n−1+(3n −2)×(14)n .运用错位相减法可求出数列{c n }的前n 项和S n ．【解答】：解：（1）由题意知. a n =(14)n (n ∈N ∗) ∵ b n =3log 14a n −2 .b 1=3log 14a 1−2=1∴ b n+1−b n =3log 14a n+1−3log 14a n =3log 14a n+1a n=3log 14q =3∴数列{b n }是首项b 1=1.公差d=3的等差数列 （2）由（1）知. a n =(14)n，b n=3n −2(n ∈N ∗)∴ c n=(3n−2)×(14)n.（n∈N*）∴ S n=1×14+4×(14)2+7×(14)3++(3n−5)×(14)n−1+(3n−2)×(14)n.于是14S n=1×(14)2+4×(14)3+7×(14)4++(3n−5)×(14)n+(3n−2)×(14)n+1两式相减得34S n=14+3[(14)2+(14)3++(14)n]−(3n−2)×(14)n+1= 12−(3n+2)×(14)n+1．∴ S n=23−12n+83×(14)n+1(n∈N∗)【点评】：本题考查数列的性质和应用.解题时要认真审题.注意错位相减法的应用.仔细解答．17.（问答题.14分）已知数列{a n}的首项为2.前n项和为S n.且1a n −1a n+1=24S n−1(n∈N∗)．（1）求a2的值；（2）设b n=a na n+1−a n.求数列{b n}的通项公式；（3）求数列{a n}的通项公式；【正确答案】：【解析】：（1）在数列递推式中取n=1即可求得a2的值；（2）由数列递推式可得4S n−1=2a n a n+1a n+1−a n .得到当n≥2时. 4S n−1−1=2a n−1a na n−a n−1.作出整理即可证明数列{b n}是等差数列.并求其通项公式；（3）由（2）可得：a na n+1−a n =4n−14.化为：a n+1a n=4n+34n−1．然后利用累积法求数列{a n}的通项公式．【解答】：解：（1）∵a1=2.且1a n −1a n+1=24S n−1(n∈N∗) .∴ 1 2−1a2=24×2−1.解得a2=143；（2）由1a n −1a n+1=24S n−1(n∈N∗) .可得：4S n−1=2a n a n+1a n+1−a n.当n≥2时. 4S n−1−1=2a n−1a na n−a n−1.相减可得：4a n=2a n a n+1a n+1−a n −2a n−1a na n−a n−1.a n≠0.可得： a n+1a n+1−a n−a n−1an −a n−1=2 . 变形为a n+1−a n +a n a n+1−a n −a n−1an −a n−1=2 .化为： a n an+1−a n−a n−1an −a n−1=1 .∴b n -b n-1=1.则数列{b n }是等差数列.首项为 2143−2=34 .公差为1．∴ b n =34+(n −1)=4n−14 ； （3）由（2）可得： a n a n+1−a n=4n−14 .化为： a n+1a n=4n+34n−1 ．∴ a n =a n a n−1×a n−1a n−2×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1 =4n−14n−5×4n−54n−9×…×117×73×2 =8n−23. n=1时时也成立． ∴ a n =8n−23．【点评】：本题考查数列递推式.考查等差关系的确定.训练了累积法求数列的通项公式.是中档题．18.（问答题.16分）如图.半圆O 的直径为2.A 为直径延长线上的一点.OA=2.B 为半圆上任意一点.以AB 为一边作等边三角形ABC.设∠AOB=α（0＜α＜π）． （1）当α为何值时.四边形OACB 面积最大.最大值为多少； （2）当α为何值时.OC 长最大.最大值为多少．【正确答案】：【解析】：（1）OA=2.B 为半圆上任意一点.那么△OAB 是直角三角形.AB 2=5-4cosα．三角形S △AOB =sinα. 三角形 S △ABC =√34AB 2=54√3−√3cosα .两个三角之和.可得四边形OACB 面积.利用三角函数的有界限.即可求解最大值．（2）在△OAB中.利用正弦定理.把OC用三角函数关系式表示出来.利用三角函数的有界限.即可求解最大值．【解答】：解：（1）由题意.在△OAB中.AB2=5-4cosα.三角形S△AOB=sinα.三角形S△ABC=√34AB2=54√3−√3cosα四边形OABC的面积为S=S△AOB+S△ABC=2sin(α−π3)+54√3．∵0＜α＜π.∴当α−π3=π2.即α=56π时.四边形OABC的面积最大.故得当α=56π .四边形OABC的面积最大且最大值为2+54√3．（2）△OAB中. sin∠OAB=OBsin∠AOBAB =√5−4cosα∴ cos∠OAB=√1−sin2∠OAB=√5−4cosα∴ cos∠OAC=cos(∠OAB+60°)=√3sinα2√5−4cosα．△OAC中.OC2=OA2+AC2-2OA•AC•cos∠OAC= 2√3sinα−2cosα+5即OC=√4sin(α−π6)+5(α∈(0，π))∵ α−π6∈(−π6，5π6) .∴ α−π6=π2.即α=23π时.OC有最大值．故得当α=23π时.OC有最大值3．【点评】：本题考查三角函数的有界性.考查转化思想以及计算能力．属于中档题．19.（问答题.16分）设{a n}是公差不为零的等差数列.满足a6=5，a22+a32=a42+a52 .数列{b n}的通项公式为b n=3n-11（1）求数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}.{b n+4}中的公共项按从小到大的顺序构成数列{c n}.请直接写出数列{c n}的通项公式；（3）记d n=b na n.是否存在正整数m.n（m≠n≠5）.使得d5.d m.d n成等差数列？若存在.求出m.n 的值；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设公差为d.则a22−a52=a42−a32 .由性质得-3d（a4+a3）=d（a4+a3）.由此能求出{a n}的通项公式．（2）c n=6n+1．（3）假设存在正整数m、n.使得d5.d m.d n成等差数列.则d5+d n=2d m．d n=3n−112n−7从而2m=13- 9n−2.由此存在正整数m=11.n=1；m=2.n=3；m=6.n=11使得b2.b m.b n成等差数列．【解答】：解：（1）设公差为d.则a22−a52=a42−a32 .由性质得-3d（a4+a3）=d（a4+a3）.因为d≠0.所以a4+a3=0.即2a1+5d=0.又由a6=5得a1+5d=5.解得a1=-5.d=2.所以{a n}的通项公式为a n=2n-7．………………………………（5分）（2）c n=6n+1………………………………………………………………………（10分）（3）假设存在正整数m、n.使得d5.d m.d n成等差数列.则d5+d n=2d m．d n=3n−112n−7所以43 + 3n−112n−7= 2×3m−112m−7.化简得：2m=13- 9n−2．………（13分）当n-2=-1.即n=1时.m=11.符合题意；当n-2=1.即n=3时.m=2.符合题意当n-2=3.即n=5时.m=5（舍去）；当n-2=9.即n=11时.m=6.符合题意．所以存在正整数m=11.n=1；m=2.n=3；m=6.n=11使得b2.b m.b n成等差数列．…（16分）【点评】：本题考查数列通项公式的求法.考查等差数列的判断等等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．20.（问答题.16分）已知n为正整数.数列{a n}满足a n＞0.4（n+1）a n2-na n+12=0.设数列{b n}满足b n= a n2t n（1）求证：数列{ n√n}为等比数列；（2）若数列{b n}是等差数列.求实数t的值：（3）若数列{b n }是等差数列.前n 项和为S n .对任意的n∈N *.均存在m∈N *.使得8a 12S n -a 14n 2=16b m 成立.求满足条件的所有整数a 1的值．【正确答案】：【解析】：（1）数列{a n }满足a n ＞0.4（n+1）a n 2-na n+12=0.化为：n+1√n+1 =2× n√n.即可证明． （2）由（1 n √n = a 1×2n−1 .可得 a n 2=n a 12 •4n-1．数列{b n }满足b n = a n 2t n .可得b 1.b 2.b 3.利用数列{b n }是等差数列即可得出t ．（3）根据（2）的结果分情况讨论t 的值.化简8a 12S n -a 14n 2=16b m .即可得出a 1．【解答】：（1）证明：数列{a n }满足a n ＞0.4（n+1）a n 2-na n+12=0. ∴ 2√n +1a n = √n a n+1.即n+1√n+1 =2 n√n. ∴数列{ n √n}是以a 1为首项.以2为公比的等比数列．（2）解：由（1 n √n = a 1×2n−1 .∴ a n 2=n a 12 •4n-1．∵b n = a n 2t n .∴b 1= a 12t .b 2= a 22t 2 .b 3= a 32t 3 . ∵数列{b n }是等差数列.∴2× a 22t 2 = a 12t + a 32t 3 . ∴ 2×2a 12×4t = a 12+ 3a 12×42t 2 .化为：16t=t 2+48.解得t=12或4． 当t=12时. b n =na 124×3n.显然不是等差数列.舍去； 当t=4时. b n =na 124.是等差数列.符合题意． ∴t=4．（3）解：数列{b n }是等差数列.由（2）可得：t=4． t=4时.b n =na 12•4n−14n=na 124.S n =n(a 124+na 124)2.对任意的n∈N *.均存在m∈N *.使得8a 12S n -a 14n 2=16b m 成立.∴ 8a 12 ×n(a 124+na124)2-a 14n 2=16×ma 124. ∴n a 12=4m.∴a1= 2√mn ．∵a1为正整数.∴ √mn= 12k.k∈N*．∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2 √mn .n∈N*.m∈N*.且√mn= 12k.k∈N*}．【点评】：本题考查了三角函数的诱导公式、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．。
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江苏省启东中学2008～2009学年度第二学期第一次月考高一数学试卷考试时间：120分钟 试卷满分：160分友情提醒：将所有答案填在答题纸中。
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分；要求答案为最简结果。
） 1．已知数列,,11,22,5,2⋅⋅⋅则52是该数列的第 项 2．在∆ABC 中，若222a b c bc =++，则角A=3．已知等差数列｛n a ｝中，303=a ，909=a ，则该数列的首项为 4．在∆ABC 中，已知B=045，c=22，b=334，则A 的值是 5．已知数列{a n }满足a 1=2, a n+1-a n +1=0,则a n =6．等差数列{a n }中，4,84111073=-=-+a a a a a .记n n a a a S +++= 21，则S 13等 于7．在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是 8．一个等差数列共有10项,其中奇数项的和为225,偶数项的和为15,则这个数列的第6项是9．在△ABC 中，已知60=∠C ，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，则ac b c b a +++ 的值等于 .10．首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d 的取值范围是11．若等比数列的各项均为正数，前n 项之和为S ，前n 项之积为P ，前n 项倒数之和为M ，则下列关系成立的是①P =M S ②P ＞M S ③n M S P ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2 ④2P ＞nM S ⎪⎭⎫ ⎝⎛12．若△ABC 的三边长分别是3，7，9，则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积之比是1：13．设数列{a n }是首项为50，公差为2的等差数列；{b n }是首项为10，公差为4的等差数列，以a k 、b k 为相邻两边的矩形内最大圆面积记为S k ，则S k 等于 14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列2， 1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为二、解答题：（本大题共6小题，第15～16题每小题14分，第17～18题每小题16分，第19～20题每小题16分，共90分；解答时需写出计算过程或证明步骤。
） 15．（本小题满分14分）已知等差数列{a n }的前n 项和是S n =n n 2522-，试求数列{|a n |}的前10项的和。
16．（本小题满分14分）设数列{a n }前n 的项和为 S n ，且*).(32)3(N n m ma S m n n ∈+=+-其中m 为常数，03≠-≠m m 且（1）求证：{a n }是等比数列；（2）若数列{a n }的公比满足q=f (m )且11131,()(*,2),2n n n b a b f b n N n b -⎧⎫==∈≥⎨⎬⎩⎭求证为等差数列，并求n b ．17．（本小题满分15分）在ABC ∆中，b AC a BC ==,，且b a ,是方程02322=+-x x 的两根，又()1cos 2=+B A ，（1）求角C 的度数；（2）求AB 的长；（3）ABC ∆的面积18．（本小题满分15分）设数列.109,10,}{11+==+n n n n S a a S n a 项和为的前 （1）求证：}{lg n a 是等差数列； （2）设)5(41,}))(lg (lg 3{21m m T n a a T n n n n ->+求使项和的前是数列对所有的*N n ∈ 都成立的最大正整数m 的值.19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n .（1）写出数列{}n a 的前三项321,,a a a ；（2）求数列{}n a 的通项公式；20．（本小题满分16分）已知数列}{n a 是由正数组成的等差数列，n S 是其前n 项的和，并且28,5243==S a a .（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n a a a a n对一切*N n ∈均成立的最大实数a ；（3）对每一个*N k ∈，在k a 与1+k a 之间插入12-k 个2，得到新数列}{n b ，设n T 是数列}{n b 的前n 项和，试问是否存在正整数m ，使2008=m T ？若存在求出m 的值；若不存在，请说明理由.江苏省启东中学高一数学月考试卷答案1、72、32π 3、10 4、007515或 5、 -n+3 6、156 7、直角三角形 8、3 9、1 10、338≤<d 11、 ③ 12、 3 13、⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+)21()24()21()32(22k k k k ππ 14、2002 15．8616.解（1）由(3)23n n m S ma m -+=+，得11(3)23,n n m S ma m ++-+=+两式相减，得1(3)2,(3)n n m a ma m ++=≠-12,3n n a m a m +∴=+ {}n a ∴是等比数列．111111112(2)1,(),2,3233()22311133.311{}131121,333.2n n n n n n n n n n n n n mb a q f m n N n m b b f b b b b b b b b b n n b b n ------====∈≥+==⋅++=⇒-=∴-+∴=+==+由且时，得是为首项为公差的等差数列,故有17．（1）0120；（2）10；（3）23 18．解：（1）依题意，10,1001091212==+=a a a a 故，…………………………2分 当109,21+=≥-n n S a n 时 ①又1091+=+n n S a ②…………………………………4分②－①整理得：}{,101n nn a a a 故=+为等比数列， 且n a q a a n n n n =∴==-log ,1011*1}{lg ,1)1(lg lg N n a n n a a n n n ∈=-+=-∴+即是等差数列.…………………6分（2）由（1）知，)1(1321211(3+++⋅+⋅=n n T n ………………………………8分 133)1113121211(3+-=+-++-+-=n n n ……………………………………10分 ,23≥∴n T 依题意有,61),5(41232<<-->m m m 解得故所求最大正整数m 的值为5.……………………………………………………15分19.解:（１）为了计算前三项321,,a a a 的值，只要在递推式1,)1(2≥-+=n a S n n n 中，对n 取特殊值1,2,3n =，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异．由111121,1;a S a a ==-=得由2122222(1),0;a a S a a +==+-=得由31233332(1), 2.a a a S a a ++==+-=得……………………………6分 （２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的n S ．事实上 当2≥n 时，有,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -⨯+-=-=--即有 ,)1(2211---⨯+=n n n a a 从而 ,)1(22221----⨯+=n n n a a 32322(1),n n n a a ---=+⨯-…….2212-=a a接下来，逐步迭代就有122111)1(2)1(2)1(22-----⨯++-⨯+-⨯+=n n n n n a a].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n经验证a 1也满足上式，故知 .1],)1(2[3212≥-+=--n a n n n 其实，将关系式1122(1)n n n a a --=+⨯-和课本习题1n n a ca d -=+作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对1122(1)n n n a a --=+⨯-的两边同除以(1)n-，便得1122(1)(1)n n n n a a --=-⋅---． 令,(1)n n na b =-就有122n n b b -=--，于是 1222()33n n b b -+=-+， 这说明数列23n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，公比2,q =- 首项11b =-，从而，得111221()(2)()(2)333n n n b b --+=+⋅-=-⋅-， 即121()(2)(1)33n n na -+=-⋅--，故有.1],)1(2[3212≥-+=--n a n n n 20．解：（1）设}{n a 的公差为d ，由题意0>d ，且⎩⎨⎧=++=+28)2)(3(52111d a d a d a 2分11,2a d ==，数列}{n a 的通项公式为12-=n a n ………………4分（2）由题意)11()11)(11(12121n n a ++++≤对*N n ∈均成立 …5分 记)11()11)(11(121)(21n a a a n n F ++++=则1)1(2)1(21)1(4)1(2)32)(12(22)()1(2=++>-++=+++=+n n n n n n n n F n F()0F n >，∴(1)()F n F n +>，∴()F n 随n 增大而增大 ……8分∴()F n 的最小值为332)1(=F∴a ≤a 的最大值为332 …………………9分（3）12-=n a n∴在数列}{n b 中，m a 及其前面所有项之和为22)222()]12(531[212-+=++++-++++-m m m m …11分 21562211200811222210112102=-+<<=-+ ，即11102008a a <<12分又10a 在数列}{n b 中的项数为：521221108=++++ … 14分 且244388611222008⨯==-，所以存在正整数964443521=+=m 使得2008=m S ……16分。