2015年广东省高考最后一卷文科数学试卷及答案

2015广东省高考最后一卷文科数学本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：球的表面积公式24S r π=，其中r 是球的半径． 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高．线性回归方程ˆˆy bx a =+中系数计算公式为()()()121niii nii x x yyb x x ==--=-∑∑，ˆa y bx=-．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}2,0M =，{}1,5B =，则A B =A ．∅B ．{}0C ．{}0,1D ．{}2,0,1,52．函数()lg 1()2x f x x -=-的定义域是 A ．()1,+∞B ．()()1,22,+∞C ．()(),22,-∞+∞D ．[)()1,22,+∞3．若复数11i z =+，21i z =-，则复数21z z 的模是A ．1BC ．2D ．44．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A ．tan y x =B ．2x y =C ．y x =D ．()lg y x 2=1+5．已知平面向量(1,2)=a ，(2,)y =b ，且//a b ，则y = A ．1-B ．1C ．4-D ．46．椭圆22194x y +=的实轴长是A ．2B ．3C ．4D ．67．经过坐标原点，且与圆()()22312x y -++=相切于第四象限的直线方程是 A ．0x y -=B ．0x y +=C ．70x y -=D ．70x y +=8．阅读如图所示的程序框图，若输入6m =，则输出S 等于 A ．4 B ．9 C ．16D ．25第7题图第8题图9．某几何体的三视图如图所示，它的表面积为 A ．4πB ．54π C ．78πD ．π10．设函数()2xf x e x =-，则 A ．2x e=为()f x 的极小值点 B ．2x e=为()f x 的极大值点 C ．ln 2x =为()f x 的极小值点D ． ln 2x =为()f x 的极大值点二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．已知{}n a 是递增等差数列，21=a ，且1a ，2a ，5a 成等比数列，则此数列的公差d =_________．正视图1 侧视图俯视图12．已知变量x ，y 满足约束条件20,2,0,x y y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最小值为_________．13．已知a b c ，，分别是ABC ∆的三个内角A B C ，，所对的边，若a =，1b =，cos 3C =，则sin B =_________．（二）选做题（14-15小题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线l 经过圆4cos ρθ=的圆心且与直线cos 4ρθ=平行，则直线l 与极轴的交点的极坐标为_________． 15．（几何证明选讲选做题）如图，过圆外一点P 作圆的切线PA （A 为切点），再作割线PBC 依次交圆于B ，C ．若6PA =，3PB =，4AB =，则AC =________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()()sin 0,0f x A x A ωω=>>的最大值为13，且最小正周期为2π． （1）求()f x 的解析式；（2）若145f θ⎛⎫=-⎪⎝⎭,3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．17．（本小题满分13分）201515（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测甲在6月份的纯收入；（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月，求恰有1个月的纯收入在区间()3 3.5, 中的概率．BPAC18．（本小题满分14分）如图，直三棱柱111ABC A BC -中，2BAC π∠=，D 为AC 中点，E 为BC 上一点，且CDE ABC ∠=∠． （1）求证：11DE BCC B ⊥平面；（2）若122AA AC AB ===，求三棱锥1D BCB-的体积．19．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足232n n n S -=,n N *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设123n n n a b ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分14分）设0p >，抛物线方程为2:2C x py =．如图所示，过焦点F 作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过点()0,1-． （1）求满足条件的抛物线方程；（2）过点()0,2-作抛物线C 的切线，若切点在第二象限，求切线m 的方程；ECAC 1A 1B 1BD21．（本小题满分14分） 已知函数()3143f x x ax =++． （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当4a =-时，若函数()f x 在区间[,3]m 上的最大值为283，求m 的取值范围．y2015广东省高考最后一卷数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题 1．【答案】A【解析】A B =∅． 2．【答案】B【解析】∵1020x x ->⎧⎨-≠⎩，∴12x x ≥⎧⎨≠⎩，∴函数()f x 的定义域是()()1,22,+∞．3．【答案】A 【解析】∵()()()()211i 1i 1i i 1i 1i 1i z z ---===-++-，∴复数21z z 的模是i 1-==．4．【答案】C【解析】A 是奇函数但不是增函数；B 既不是奇函数也不是偶函数；C 既是奇函数又是增函数；D 是偶函数． 5．【答案】D 【解析】 ∵//a b ，∴220y -⨯=，∴4y =． 6．【答案】D【解析】实轴长26a =． 7．【答案】B【解析】依题意，设所求直线方程为y kx =，即0k x y -=，∵圆心到直线的距离为d ==1k =-或17k =（舍去），∴所求直线方程是是0x y +=．8．【答案】C【解析】根据程序框图，135716S =+++=． 9．【答案】B 【解析】根据三视图，该几何体为14个球，半径为1．∴它的表面积为22145311484πππ⨯⨯⨯+⨯⨯=．10．【答案】C【解析】 由()20xf x e '=-=，得ln 2x =，又ln2x <时，()0f x '<，ln 2x >时，()0f x '>，∴()f x 在ln 2x =时取得极小值． 二、填空题11．【答案】4【解析】依题意，d d 42,2,2++成等比数列，∴2(2)2(24)d d +=+，解得0d =（舍去）或4=d ． 12．【答案】2【解析】如图，作出可行域，当目标函数直线经过点A 时取得最大值．由2,20,y x y =⎧⎨+-=⎩解得()0,2A ，∴max 2022z =⨯+=．13．【答案】3【解析】由余弦定理得c ==，∵0c π<<，cos 3C =，∴sin C =，∴由正弦定理得sin sin b C B c ===14．【答案】()2,0【解析】4cos ρθ=化为直角坐标方程()2224x y -+=，圆心为()2,0，cos 4ρθ=化为直角坐标方程4x =，∴直线l 方称为2x =，直线l 与极轴的交点的极坐标为()2,0． 15．【答案】8【解析】由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴12PC =．∵PAB ∆∽PCA ∆，∴PA ABPC CA=，∴12486PC AB CA PA ⋅⨯===． 三、解答题16．解：（1）∵()f x 的最大值为13，0A > ∴13A = (2)分∵()f x 的最小正周期为2π∴22T ππω==又0ω> ∴4ω= (4)分 ∴1()sin 43f x x = (5)分 （2）∵11sin 435f θθ⎛⎫==-⎪⎝⎭ ∴3sin 5θ=- ………………………………………………………………………………………………7分 又3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴4cos 5θ===- …………………………………………………………9分 ∴cos cos cos sin sin 444πππθθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭4355⎛⎫=---= ⎪⎝⎭………………………………………………………………………12分 17．解：（1）由表中数据可知，甲的纯收入比乙的纯收入集中，故甲的纯收入较稳定．……………2分 （2）∵1(12345)35x =++++=， 1(2.9 3.3 3.6 4.4 4.8) 3.85y =++++=，()()()()()()25222221132333435310i x x=-=-+-+-+-+-=∑，()()51iii x x yy=--∑()()()()()()()()()()13 2.9 3.823 3.3 3.833 3.6 3.843 4.4 3.853 4.8 3.8=--+--+--+--+--4.9=∴()()()51521iii ii x x yyb x x ==--=-∑∑ 4.90.4910==，…………………………………………………………5分 ˆˆ 3.80.493 2.33ay bx =-=-⨯=． ……………………………………………………………6分 ∴所求回归方程为0.49 2.33y x ∧=+.……………………………………………………………7分令6x =，得0.496 2.33 5.27y ∧=⨯+=，∴预测甲在6月份的纯收入为5.27千元．……………………………………………………………8分（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月的基本事件有： ()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，共10种…………………………………………………10分记“恰有1个月的纯收入在区间()3 3.5, 中”为事件A ，其中有：()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，共6种………………………………………………………………………………………12分∴恰有1个月的纯收入在区间()3 3.5, 中的概率为()63105P A ==………………………………13分 18．（1）证明：∵111ABC A B C -是直三棱柱 ∴1B B ABC ⊥平面 又DE ABC ⊂平面∴1B B DE ⊥ ………………………………………………………………………………………………2分∵CDE ABC ∠=∠，DCE BCA ∠=∠ ∴EDC ∆∽ABC ∆ ∴2DEC BAC π∠=∠=即DE BC ⊥………………………………………………………………………………………………4分 又1B B BC B =I∴11DE BCC B ⊥平面……………………………………………………………………………………6分 （2）BCD ABC ABD S S S ∆∆∆=-1122AB AC AB AE =⋅-⋅ 1111211222=⨯⨯-⨯⨯=…………………………………………………………………………………9分 ∵1B B ABC ⊥平面∴1B B 为三棱锥1B BCD -的高…………………………………………………………………………10分∴11D BCB B BCD V V --=113BCD S B B ∆=⋅ 1112323=⨯⨯=……………………………………………………………………………………………13分19．解：（1）∵232n n n S -=①∴当2n ≥时，()()213112n n n S ----=② …………………………………………………………2分①-②得642n n a -=∴32n a n =- (4)分∵1n =时，得213112a ⨯-=，∴11a =，符合上式 ………………………………………………5分∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-………………………………………………………………6分（2）∵1123333n n n n n a n n b +++=== ……………………………………………………………………7分 ∴231233333n n n T =++++③ …………………………………………………………………………8分∴212331333n n n T -=++++④ ……………………………………………………………………9分④-③得21111213333n n nn T -=++++- 1113313n n n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--121333n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=- …………………………………………………………12分∴1113323n n n n T +=--⋅ (13)分 20．解：（1）由22x py =得212y x p=， 当2p y =得x p =±，∴G 点的坐标为,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，……………………………………………………2分 1'y x p=，'|1x p y ==，过点G 的切线方程为2p y x p -=-即2p y x =-，…………………………………………………5分 令0x =得2p y =-， ∴12p -=-即2p =，即抛物线的方程为24x y =…………………………………………………7分 （2）设切点2000(0)4x Q x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，…………9分 ∴所求切线方程2000()42x x y x x -=-， 即20024x x y x =- ． ……………………………………………………………………………11分 ∵点()0,2-在切线上， ∴2024x -=-，∴0x =（舍去）或0x =- …………………………………………………………13分∴所求切线方程为2y =-． ……………………………………………………………14分 21．解：（1）()2f x x a '=+．…………………………………………………………………1分 ①0a ≥时，()20f x x a '=+≥，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；②0a <时，()(2f x x a x x '=+=+．令()0f x '=，得10x =<，20x =>．∴()1,x x ∈-∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<；()2,x x ∈+∞时，()0f x '>． ∴()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减．…………………………7分 （2）当4a =-时，31()44,[,3]3f x x x x m =-+∈ ()()2()422f x x x x '=-=+-令()0f x '=得122,2x x =-= ……………………………………………………………………8分将x ，()f x '，()f x 变化情况列表如下：10分 由此表可得28()(2)3f x f =-=极大，4()(2)3f x f ==-极小 …………………………………………11分 又28(3)13f =< ……………………………………………………………………………………12分 故区间[,3]m 内必须含有2-，即m 的取值范围是2]-∞-（，． ………………………………14分。