2015全国卷1数学试卷及答案(文科)
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一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分。
1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=,则集合A B I 中的元素个数为 (A ) 5 (B )4 (C )3 (D )2
2、已知点(0,1),(3,2)A B ,向量(4,3)AC =--u u u r
,则向量BC =u u u r
(A ) (7,4)-- (B )(7,4) (C )(1,4)- (D )(1,4)
3、已知复数z 满足(1)1z i i -=+,则z =( )
(A ) 2i -- (B )2i -+ (C )2i - (D )2i +
4、如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
(A )
310 (B )15 (C )110 (D )1
20
5、已知椭圆E 的中心为坐标原点,离心率为12
,E 的右焦点与抛物线2
:8C y x =的焦点重合,,A B 是C 的准线与E 的两个交点,则AB =
(A ) 3 (B )6 (C )9 (D )12
6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( )
(A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛
7、已知{}n a 是公差为1的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和,若844S S =,则10a =( ) (A )
172 (B )192
(C )10 (D )12 8、函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示,则()f x 的单调递减区间为( ) (A )13(,),44k k k Z ππ-
+∈ (B )13
(2,2),44
k k k Z ππ-+∈ (C )13(,),44k k k Z -
+∈ (D )13
(2,2),44
k k k Z -+∈ 9、执行右面的程序框图,如果输入的0.01t =,则输出的n =( )
(A ) 5 (B )6 (C )10 (D )12
10、已知函数
1
2
22,1
()
log(1),1
x x
f x
x x
-
⎧-≤
=⎨
-+>
⎩
,且()3
f a=-,则(6)
f a
-=
(A)
4
7
-(B)
5
4
-(C)
3
4
-(D)
1
4
-
11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为1620π
+,则r=( )
(A)1(B)2(C)4(D)8
12、设函数()
y f x
=的图像与2x a
y+
=的图像关于直线y x
=-对称,且(2)(4)1
f f
-+-=,
则a=( )
(A)1
-(B)1(C)2(D)4
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分
13、数列{}n a中11
2,2,
n n n
a a a S
+
==为{}n a的前n项和,若126
n
S=,则n=.
14.已知函数()31
f x ax x
=++的图像在点()
()
1,1
f的处的切线过点()
2,7,则a=. 15. 若x,y满足约束条件
20
210
220
x y
x y
x y
+-≤
⎧
⎪
-+≤
⎨
⎪-+≥
⎩
,则z=3x+y的最大值为.
16.已知P是双曲线
2
2
:1
8
y
C x-=的右焦点,P是C左支上一点,()
0,66
A,当APF
∆周长最小
时,该三角形的面积为.
三、解答题
17. (本小题满分12分)已知,,
a b c分别是ABC
∆内角,,
A B C的对边,2
sin2sin sin
B A C
=. (I)若a b
=,求cos;B
(II )若90B =o
,且2,a = 求ABC ∆的面积.
18. (本小题满分12分)如图四边形ABCD 为菱形,G 为AC 与BD 交点,BE ABCD ⊥平面, (I )证明:平面AEC ⊥平面BED ;
(II )若120ABC ∠=o
,,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为
6
3
,求该三棱锥的侧面积.
19. (本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量(单位:t )和年利润z (单位:千元)的影响,对近8年的宣传费i x ,和年销售量
()1,2,3,,8i y i =L 的数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
(I )根据散点图判断,y a bx =+与y c d x =+,哪一个宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);
(II )根据(I )的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;
(III )已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系为0.2z y x =- ,根据(II )的结果回答下列问题: (i )当年宣传费90x =时,年销售量及年利润的预报值时多少? (ii )当年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据(u 1 v 1),(u 2 v 2)…….. (u n v n ),其回归线v=αβ+u 的斜率和截距的最