专题16 压轴：一次函数综合(专题测试)(原卷版)

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高中化学专题16 水溶液中的离子平衡-2021年高考化学一轮复习高频考点集训(原卷版)

专题16 水溶液中的离子平衡一、单选题1．在25 ℃时，某稀溶液中由水电离产生的H ＋浓度为1.0×10－13 mol/L ，下列有关该溶液的叙述，正确的是（）A ．该溶液可能呈酸性B ．该溶液一定呈碱性C ．该溶液的pH 一定是1D ．该溶液的pH 不可能为132．常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是（） A ．遇苯酚显紫色的溶液：I -、K +、SCN -、2Mg +B ．pH 12=的溶液：K +、Na +、ClO -、23SO -C ．水电离的()--13-1c OH =110mol L ⨯⋅的溶液中：K +、Cl -、3CH COO -、2Cu +D ．10.1mol L -⋅的24K SO 溶液：Na +、3Al +、-Cl 、3NO -3．某溶液仅有+3+2++4432K Al Mg NH Cl S C O H O ---、、、、、、中的几种．为确定其成分，做如下实验：①取部分溶液．加入适量Na 2O 2固体，产生无色无味的气体和白色沉淀，再加入足量的 NaOH 溶液后白色沉淀全部溶解；②另取部分溶液，加入HNO 3酸化的()32BaNO 溶液，无沉淀产生．下列推断正确的是（） A ．肯定有3Al Cl +-、，一定没有 3HCO -和 24SO -B ．肯定有32Al Mg Cl ++-、、，可能有 4NH K ++、 C ．肯定有34Al NH Cl ++-、、，肯定没有3HCO -D ．该溶液可能显弱酸性，也可能显中性4．已知室温时，0.1-1mol L ⋅某一元酸HA 在水中有0.1%发生电离，下列叙述正确的是（） A ．该溶液的pH=3B ．升高温度，溶液的 pH 增大C ．此酸的电离平衡常数约为1×10-7D ．由 HA 电离出的()+Hc 约为水电离出的 ()+H c 的105倍5．室温时，向20 mL 0.1 mol/L 的一元弱酸HA 溶液中滴加同浓度的NaOH 溶液，溶液中-(A )lg (HA)c c 与pH的关系如图所示。

中考数学专题《一次函数与几何综合》高分必刷原卷

（培优特训）专项19.3 一一次函数与几何综合高分必刷1．（2023春•普兰店区期中）已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CD＝4，BD ＝AD．点F从点A出发，沿AC﹣CD运动，速度为1cm/s，同时点E从点B 出发，沿BD﹣DA运动，运动速度为1cm/s，一个点到达终点，另一点也停止运动．（1）求BD的长；（2）设△AEF的面积为S，点P、Q运动时间为t，求S与的函数关系式，并写出的取值范围．2．（2023春•鼓楼区期中）如图1，已知直线l1：y＝ax﹣6a交x轴于点A，交轴y于点B，直线l2：y＝bx﹣18a交x轴于点C，交y轴于点D，交直线l1于点E．（1）求点A的坐标；（2）若点B为线段AE的中点，求证：EC＝EA；（3）如图2，已知P（0，m），将线段P A绕点P逆时针方向旋转90°至PF，连接OF，求证：点F在某条直线上运动，并求OF的最小值．3．（2023春•苍南县期中）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A落在x轴上，点B的坐标为（7，4），AB＝2，点D是OC的中点，点E是线段AD上一动点，EF⊥BC于点F，连结DF．（1）求点A、C的坐标．（2）求直线AD的函数表达式．（3）若△DEF是等腰三角形，求CF的长．4．（2023•佳木斯一模）如图，将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点．点A在y轴上，点C在x轴上，OA，OB的长是x2﹣16x+60＝0的两个根，P是边AB上的一点，将△OAP沿OP折叠，使点A落在OB上的点Q处．（1）求点B的坐标；（2）求直线PQ的解析式；（3）点M在直线OP上，点N在直线PQ上，是否存在点M，N，使以A，C．M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2023春•顺德区校级月考）如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）当x时，kx+b≥mx﹣n；（2）不等式kx+b＜0的解集是；（3）求两个一次函数表达式；（4）若直线l1分别交x轴、y轴于点M、A，直线l2分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形OMPN的面积．6．（2023春•北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣2与x 轴、y轴分别交于点A、点B，与直线CD：y＝kx+b（k≠0）交于点P，OC ＝OD＝4OA．（1）求直线CD的解析式；（2）连接OP、BC，若直线AB上存在一点Q，使得S△PQC ＝S四边形OBCP，求点Q的坐标；（3）将直线CD向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023春•宜兴市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），点B、C都在x轴上，BC＝12，AD∥BC，CD所在直线的函数表达式为y＝﹣x+9，E是BC的中点，点P是BC边上一个动点．（1）当PB＝时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；（2）点P在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．8．（2023春•工业园区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x轴与y轴上，直线AB的解析式为，以线段AB、BC为边作平行四边形ABCD．（1）如图1，若点C的坐标为（3，7），判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，P为CD边上的动点，点C关于直线BP的对称点是Q，连接PQ，BQ．①当∠CBP＝°时，点Q位于线段AD的垂直平分线上；②连接AQ，DQ，设CP＝x，设PQ的延长线交AD边于点E，当∠AQD＝90°时，求证：QE＝DE，并求出此时x的值．9．（2023•沈阳一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点B（﹣5，0），与y轴交于点A，直线过点A，与x轴交于点C，点P 是x轴上方一个动点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）若点P在线段AB上，且S△APC ＝S△AOB，求点P的坐标；（3）当S△PBC ＝S△AOB时，动点M从点B出发，先运动到点P，再从点P运动到点C后停止运动．点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t（秒），请直接写出t的最小值．10．（2023春•鼓楼区期中）如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）求直线BC的函数解析式；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点M的坐标；②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．11．（2023春•顺德区校级期中）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，0）、B（﹣1，1），且和一次函数y＝﹣2x+a的图象交于点C，如图所示．（1）填空：不等式kx+b＜0的解集是；（2）若不等式kx+b＞﹣2x+a的解集是x＞1，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是直线y＝﹣2x+a上一动点．且在点C上方，当∠P AC＝15°时，求点P的坐标．12．（2023春•重庆期中）如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为（1，n）．（1）则k＝，b＝，n＝；（2）求四边形AOCD的面积；（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，请求出点P的坐标．13．（2023春•崇川区校级月考）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．（1）求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：已知直线l1：y＝﹣x﹣4与y轴交于A点．将直线l1绕着A 点逆时针旋转45°至l2，如图2，求l2的函数解析式．14．（2023春•崇川区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+4分别与x轴，y轴交于点B，C．直线l2：y＝x．（1）直接写出点B，C的坐标：B，C．（2）若D是直线l2上的点，且△COD的面积为6，求直线CD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，且当点D在第一象限时，设P是射线CD上的点，在平面内存在点Q．使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接求点Q的坐标．15．（2023•城固县模拟）如图，A、B两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱A中没有水，水箱B盛满水，现以6dm3/min的流量从水箱B中抽水注入水箱A中，直至水箱A注满水为止．设注水时间为t（min），水箱A 的水位高度为y A（dm），水箱B中的水位高度为y B（dm）．（抽水水管的体积忽略不计）（1）分别求出y A，y B与t之间的函数表达式；（2）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差．16．（2022秋•常州期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象l1与x轴交于点A，一次函数y＝x+6的图象l2与x轴交于点B，与l1交于点P．直线l3过点A且与x轴垂直，C是l3上的一个动点．（1）分别求出点A、P的坐标；（2）设直线PC对应的函数表达式为y＝kx+b，且满足函数值y随x的增大而增大．若△PCA的面积为15，分别求出k、b的值；（3）是否存在点C，使得2∠PCA+∠P AB＝90°？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2023春•靖江市期中）如图，平面直角坐标系中，已知点A（0，a）在y 轴正半轴上，点B（0，b）（a＞b），点C（c，0）在x轴正半轴上，且a2﹣2ab+b2（1）如图1，求证：AB＝OC；（2）如图2，当a＝3，b＝1时，过点B的直线与AC成45°夹角，试求该直线与AC交点的横坐标；（3）如图3，当b＜0时，点D在OC的延长线上，且CD＝OB，连接AD，射线BC交AD于点E．当点B在y轴负半轴上运动时，∠AEB的度数是否为定值？如果是，请求出∠AEB的度数；如果不是，请说明理由．18．（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，（1）求直线CD的解析表达式；（2）如图，点P是直线CD上的一个动点，当△PBM的面积为20时，求点P的坐标；（3）直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BF为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．19．（2023春•揭西县校级月考）在平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b经过点P （2，2）和点Q（0，﹣2），与x轴交于点A，与直线y2＝mx+n交于点P．（1）求出直线y1＝kx+b的解析式；（2）当m＜0时，直接写出y1＜y2时自变量x的取值范围；（3）直线y2＝mx+n绕着点P任意旋转，与x轴交于点B，当△P AB是等腰三角形时，请直接写出符合条件的所有点B的坐标．20．（2023春•溧阳市校级月考）如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是由△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是2和4；（1）求直线BD的表达式；（2）求△OFH的面积；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．21．（2023春•江都区月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x 轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）求点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．22．（2023春•新城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．（1）若直线l2上存在点P（不与B重合），满足S△COP＝S△COB，求出点P的坐标；（2）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，l2交于点M、N，且点M 在点N的下方，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2022秋•宿豫区期末）如图，直线l分别与x轴、y轴交于点A（4，0）、B （0，5），把直线l沿y轴向下平移3个单位长度，得到直线m，且直线m分别与x轴、y轴交于点C、D．（1）求直线l对应的函数表达式；（2）求四边形ABDC的面积．24．（2022秋•临淄区期末）如图，在直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（0，2），C（2，3），D（4，0）．（1）求直线BC的表达式；（2）线段AB与BC相等吗？请说明理由；（3）求四边形ABCD的面积；（4）已知点M在x轴上，且△MBC是等腰三角形，求点M的坐标．25．（2022秋•金牛区期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝2x+b 与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线CD：y＝﹣x+与x轴、y轴、直线AB分别交于点C、D、E，求△BDE面积；（3）如图2，在（2）的条件下，点F为线段AC上一动点，将△EFC沿直线EF翻折得到△EFN，EN交x轴于点M．当△MNF为直角三角形时，求点N 的坐标．26．（2022秋•婺城区期末）如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是射线BO上的动点，过点B作直线AP的垂线交x轴于点Q，垂足为点C，连结OC．（1）当点P在线段BO上时，①求证：△AOP≌△BOQ；②若点P为BO的中点，求△OCQ的面积．（2）在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△OCQ成为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．27．（2022秋•郫都区期末）在直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣x+4与x轴、y 轴分别交于点A，点B．直线l2：y＝mx+m（m＞0）与x轴，y轴分别交于点C，点D，直线l1与l2交于点E．（1）若点E坐标为（，n）．ⅰ）求m的值；ⅱ）点P在直线l2上，若S△AEP＝3S△BDE，求点P的坐标；（2）点F是线段CE的中点，点G为y轴上一动点，是否存在点F使△CFG 为以FC为直角边的等腰直角三角形．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．28．（2022秋•市中区期末）如图，直线y＝kx+b经过点，点B（0，25），与直线交于点C，点D为直线AB上一动点，过D点作x轴的垂线交直线OC于点E．（1）求直线AB的表达式和点C的坐标；（2）当时，求△CDE的面积；（3）连接OD，当△OAD沿着OD折叠，使得点A的对应点A'落在直线OC 上，直接写出此时点D的坐标．29．（2022秋•新都区期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（﹣4，0）．（1）求直线AB的表达式；（2）点M是坐标轴上的一点，若以AB为直角边构造Rt△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标；（3）如图2，以A为直角顶点作∠CAD＝90°，射线AC交x轴的正半轴于点C，射线AD交y轴的负半轴于点D，当∠CAD绕点A旋转时，求OC﹣OD 的值．30．（2022秋•皇姑区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AD：y＝﹣x+4交y轴于点A，交x轴于点D．直线AB交x轴于点B（﹣3，0），点P为直线AB上的动点．（1）求直线AB的关系式；（2）连接PD，当线段PD⊥AB时，直线AD上有一点动M，x轴上有一动点N，直接写出△PMN周长的最小值；（3）若∠POA＝∠BAO，直接写出点P的纵坐标．31．（2022秋•新都区期末）如图所示，直线l1：y＝x﹣1与y轴交于点A，直线l2：y＝﹣2x﹣4与x轴交于点B，直线l1与l2交于点C．（1）求点A，C的坐标；（2）点P在直线l1上运动，求出满足条件S△PBC＝S△ABC且异于点A的点P的坐标；（3）点D（2，0）为x轴上一定点，当点Q在直线l1上运动时，请直接写出|DQ﹣BQ|的最大值．32．（2022秋•鸡西期末）如图，直角三角形ABC在平面直角坐标系中，直角边BC在y轴上，AB，BC的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，AB＜BC，且BC＝2OB，P为BC上一点，且∠BAP＝∠C．（1）求点A的坐标；（2）求直线AP的解析式；（3）M为x轴上一点，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．33．（2022秋•锦江区校级期末）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A 和点B，点C在线段AO上，将△ABC沿BC所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若OA＝4，OD＝2．（1）求直线AB的解析式．（2）求S△ABC ：S△OCD的值．（3）直线CD上是否存在点P使得∠PBC＝45°，若存在，请直接写出P的坐标．34．（2022秋•福田区校级期末）已知：如图，一次函数的图象分别与x 轴、y轴相交于点A、B，且与经过点C（2，0）的一次函数y＝kx+b的图象相交于点D．点D的横坐标为4，直线CD与y轴相交于点E．（1）直线CD的函数表达式为：；（2）点Q为线段DE上的一个动点，连接BQ．①若直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分，求点Q的坐标；②点Q是否存在某个位置，将△BQD沿着直线BQ翻折，使得点D恰好落在直线AB下方的坐标轴上？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．35．（2022秋•抚州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP交x轴于点P（p，0），与y轴交于点A（0，a），且a，p满足＝0．（1）求直线AP的解析式；（2）如图1，直线x＝﹣2与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线x＝﹣2上，若△MAP的面积等于6，请求出点M的坐标；（3）如图2，已知点C（﹣2，4），若点B为射线AP上一动点，连接BC，在坐标轴上是否存在点Q，使△BCQ是以BC为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．36．（2022秋•天桥区期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，直线AB：y＝kx+与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A，两直线与x轴分别交于点B（﹣3，0）和C（2，0）．（1）求直线AB和AC的表达式．（2）点P是y轴上一点，当P A+PC最小时，求点P的坐标．（3）如图2，点D为线段BC上一动点，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE交x轴于点F，若△DEF为直角三角形，求点D坐标．37．（2023•桐乡市校级开学）如图，一次函数y＝x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，OC⊥AB于点C，点P在直线AB上运动，点Q在y轴的正半轴上运动．（1）求点A，B的坐标；（2）求OC的长；（3）若以O，P，Q为顶点的三角形与△OCP全等，求点Q的坐标．38．（2022秋•秦都区期末）如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A （﹣3，0）与y轴交于点B（0，6），点C是直线AB上的一点，它的坐标为（m，4），经过点C作直线CD∥x轴交y轴于点D．（1）求点C的坐标；（2）已知点P是直线CD上的动点，①若△POC的面积为4，求点P的坐标；②若△POC为直角三角形，请求出所有满足条件的点P的坐标．39．（2022秋•南海区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1分别交x 轴，y轴于点A、B．另一条直线CD与直线AB交于点C（a，6），与x轴交于点D（3，0），点P是直线CD上一点（不与点C重合）．（1）求a的值．（2）当△APC的面积为18时，求点P的坐标．（3）若直线MN在平面直角坐标系内运动，且MN始终与AB平行，直线MN 交直线CD于点M，交y轴于点N，当∠BMN＝90°时，求△BMN的面积．40．（2023•丰顺县校级开学）问题提出：如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；问题探究：如图2，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，求点C的坐标；问题解决：古城西安已经全面迎来地铁时代！继西安地铁2号线于2011年9月16日通车试运行以来，共有八条线路开通运营，极大促进了西安市的交通运输，目前还有多条线路正在修建中．如图，地铁某线路原计划按OA﹣AB的方向施工，由于在AB方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将AB段绕点A顺时针或逆时针方向旋转45°至AC或AD方向，则可以绕开此区域．已知OA长为1千米，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线AB与直线y＝﹣2x平行，请帮助施工队计算出AC和AD所在直线的解析式．41．（2022秋•碑林区校级期末）（1）模型建立：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，请直接写出图中相等的线段（除CA＝CB）；模型应用：（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，直线与x，y轴分别交于A、B两点，C为第一象限内的点，若△ABC是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点C的坐标和直线BC的表达式；探究提升：（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，A（3，0），点B在y轴上运动，将AB绕点A顺时针旋转90°至AC，连接OC，求CA+OC的最小值，及此时点B坐标．42．（2023•南岸区校级开学）如图，已知直线l1：y＝﹣x+b与直线l2：y＝kx+3相交于y轴的B点，且分别交x轴于点A、C，已知OC＝OA．（1）如图，求点C的坐标及k的值；（2）如图，若E为直线l1上一点，且E点的横坐标为，点P为y轴上一个动点，求当|PC﹣PE|最大时，点P的坐标；（3）若M为x轴上一点，当△ABM是等腰三角形时，直接写出点M的坐标．43．（2022秋•驿城区校级期末）（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角△ACB的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点（1，2）处．则：①OA的长为；②点B的坐标为．（直接写结果）（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰直角△ACB如图放置，直角顶点C（﹣1，0），点A（0，4），试求直线AB的函数表达式．（3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点B（4，3），过点B作BA⊥y 轴，垂足为点A，作BC⊥x轴，垂足为点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y＝2x﹣8上一动点，存在以点P为直角顶点的等腰直角△APQ，请直接写出点P的坐标．。

专题16 一次函数的实际应用-简单数学之八年级下册同步讲练(原卷版)

专题16 一次函数的实际应用一、知识点所谓一次函数应用题是指运用一次函数的有关概念、性质去解决实际问题，它要求通过对题目的阅读理解，抽象出实际问题中的函数关系，将文字语言转化成数学语言，再运用函数的思想方法去解决实际问题．解决这类题目的关键是正确求出一次函数关系式，同时注意以下两点：1．要注意打好基础，强化在文字语言中寻找等量关系的训练，抓住“常规” 题型，拓宽思路，注意图、表信息的提取，数形结合的运用．2．注意由特殊到一般的尝试、探索，计算过程要准确，结论表述要完整，并注意检验是否符合实际．二、标准例题例1：为了解某品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如表数据：(1)该轿车油箱的容量为______L ，行驶200km 时，油箱剩余油量为______L ； (2)根据上表的数据，写出油箱剩余油量Q(L)与轿车行驶的路程s(km)之间的表达式；(3)某人将油箱加满后，驾驶该轿车从A 地前往B 地，到达B 地时邮箱剩余油量为24L ，求A ，B 两地之间的距离．例2：如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块放在其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽地面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y 甲（厘米）、y 乙（厘米）与注水时间x （分钟）之间的关系如图②所示，根据图像提供的信息，解答下列问题.（1）图②中的折线ABC 表示槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE 表示槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B 的纵坐标表示的实际意义是；（2）当0≤x ≤4时，分别求出y 甲和y 乙与x 之间的关系式；（3）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？例3：茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具.若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元；若购进A种茶具3套和B种茶具4套则需要600元.（1）A、B两种茶具每套进价分别为多少元？（2）由于茶具畅销，老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则最多可购进A种茶具多少套？（3）若销售一套A种茶具，可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元，在（2）的条件下，如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？例4：甲、乙两列火车分别从A，B两城同时匀速驶出，甲车开往B城，乙车开往A城.由于墨迹遮盖，图中提供的只是两车距B城的路程s甲（千米），s乙（千米）与行驶时间t（时）的函数图象的一部分.（1）乙车的速度为_______________千米/时；（2）分别求出s甲，s乙与t的函数解析式（不必写出t的取值范围）；（3）求出两城之间的路程，及t为何值时两车相遇；（4）当两车相距300千米时，求t的值.例5：某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次的销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据绘制如图所示的函数图象，其中日销售量y(千克)与销售时间x（天）之间的函数关系如图甲，销售单价P(元/千克)与销售时间x（天）之间的关系如图乙。

中考数学常考考点专题之一次函数测试卷

中考数学常考考点专题之一次函数测试卷一．选择题（共15小题）1．如图1，在平面直角坐标系中，将平行四边形ABCD 放置在第一象限，且AB ∥x 轴．直线y ＝﹣x 从原点出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2，那么平行四边形ABCD 的面积为（）A ．4√5B ．4C ．8√5D ．82．一次函数y ＝mx +m 2（m ≠0）的图象过点（0，4），且y 随x 的增大而增大，则m 的值为（）A ．﹣2B ．﹣2或2C ．1D ．23．如图，直线y 1＝x +b 与y 2＝kx ﹣1相交于点P ，若点P 的横坐标为﹣1，则关于x 的不等式x +b ＞kx ﹣1的解集是（）A ．x ≥﹣1B ．x ＞﹣1C ．x ≤﹣1D ．x ＜﹣14．如果直线y ＝3x +6与y ＝2x ﹣4交点坐标为（a ，b ），则解为{x =a y =b 的方程组是（）A ．{y −3x =62y +x =−4B ．{y −3x =62y −x =4C ．{3x −y =63x −y =4D ．{3x −y =−62x −y =45．在平面直角坐标系中，点A 1（﹣1，1）在直线y ＝x +b 上，过点A 1作A 1B 1⊥x 轴于点B 1，作等腰直角三角形A 1B 1B 2（B 2与原点O 重合），再以A 1B 2为腰作等腰直角三角形A 2A 1B 2；以A2B2为腰作等腰直角三角形A2B2B3；按照这样的规律进行下去，那么A2019的坐标为（）A．（22018﹣1，22018）B．（22018﹣2，22018）C．（22019﹣1，22019）D．（22019﹣2，22019））6．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0 7．关于x的一次函数y＝﹣4x+8的图象，下列说法不正确的是（）A．直线不经过第三象限B．直线经过点（1，4）C．直线与x轴交于点（2，0）D．y随x的增大而增大8．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=54或154．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．已知A、B两地相距4千米．上午8：00，甲从A地出发步行到B的，8：20乙从B地出发骑自行车到A地，甲乙两人离A地的距离（千米）与甲所用的时间（分）之间的关系如图所示．由图中的信息可知，乙到达A地的时间为（）A．8：30B．8：35C．8：40D．8：410．“漏壶”是古代一种计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．在漏壶漏完水之前，漏壶内水的深度与对应的漏水时间满足的函数关系式（）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．反比例函数关系D．二次函数关系11．将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（）A．y＝2x+5B．y＝2x+3C．y＝2x﹣2D．y＝2x﹣3 12．对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（）A．k＞0B．kb＜0C．k+b＞0D．k=−1 2b13．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（）A．B．C．D．14．若直线BC和直线y＝x+3平行，其中点B的坐标为B（﹣2，3），将直线BC向右平移1个单位后为（）A．y＝﹣x+2B．y＝﹣x+4C．y＝x+6D．y＝x+415．如图，甲从A村匀速骑自行车到B村，乙从B村匀速骑摩托车到A村，两人同时出发，到达目的地后，立即停止运动，甲、乙两人离A村的距离y（km）与他自骑车的时间x （h）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）A．A、B两村的距离为120km B．甲的速度为20kmhC．乙的速度为40km/h D．乙运动3.5h到达目的地二．填空题（共5小题）16．我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之．问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是．17．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第象限．18．学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s（km）和时间t（h）的关系，则出发h后两人相遇．19．若函数y＝|2x﹣3|﹣2a始终大于y＝|x+a|，则a的取值范围为．20．根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是．三．解答题（共5小题）21．在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：次数数量（支）总成本（元）海鲜串肉串第一次3000400017000第二次4000300018000针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．（1）求m、n的值；（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（0＜a＜1）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值．22．在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为B（﹣2，√3），E（4，0），过点E作直线l⊥x轴，设直线l上的动点A的坐标为（4，m），连接AB，将线段BA绕点B顺时针方向旋转30°得到线段BA′，在射线BA′上取点C，构造Rt△ABC，使得∠BAC＝90°．（1）当m=−√3时，求直线AB的函数表达式．（2）当点C落在坐标轴上时，求△ABC的面积．（3）已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使以A，C，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．23．在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝3x﹣5与y2＝2x﹣4．（1）求这两个函数图象的交点坐标；（2）求一次函数y2＝2x﹣4的图象与坐标轴所围成三角形的面积．24．在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点P'，x轴正半轴上存在点Q'，使PP'∥QQ'，且∠1＝∠2＝α（如图1），则称点P 与点Q为α﹣关联点．（1）在点Q1（3，1），Q2（5，2）中，与（1，3）为45°﹣关联点的是；（2）如图2，M（6，4），N（8，4），P（m，8）（m＞1）．若线段MN上存在点Q，使点P与点Q为45°﹣关联点，结合图象，求m的取值范围；（3）已知点A（1，8），B（n，6）（n＞1）．若线段AB上至少存在一对30°﹣关联点，直接写出n的取值范围．25．近年，净月潭公园将环潭公路改造为东北三省最长的人车分离彩色环保公路，平坦宽敞的路面分橙、黑两色，拓宽了原有的人行步道，成为市民健身的好去处．小明和爸爸参加了此公园举办的“亲子健身赛”，两人的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示．（1）两人出发后小时相遇，此次“亲子健身赛”的全程是千米．（2）求出AB所在直线的函数关系式．（3）若小明想和爸爸一起到达终点，则需在两人出发 1.5小时后，将速度调整为千米/时．。

2020年九年级数学典型中考压轴题综合专项训练：一次函数(含答案)

2020年九年级数学典型中考压轴题综合专项训练：一次函数一．选择题（共10小题）1．如图，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（）A．（4，2）B．（2，4）C．（，3）D．（2+2，2）2．如图，△ABC顶点坐标分别为A（1，0）、B（4，0）、C（1，4），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（）A．4B．8C．D．163．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°．则过B、C两点直线的解析式为（）A．y＝x+3B．y＝x+3C．y＝x+3D．y＝x+34．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行．直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点E，F．将菱形ABCD沿x轴向左平移k个单位，当点C落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），k的值可能是（）A．2B．3C．4D．55．如图，点B，C分别在直线y＝2x和直线y＝kx上，A，D是x轴上两点，若四边形ABCD 是长方形，且AB：AD＝1：2，则k的值是（）A．B．C．D．6．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D，运动时间为t秒．当S△BCD＝时，t的值为（）A．2或2+3B．2或2+3C．3或3+5D．3或3+57．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（）A．y＝x+B．y＝x+C．y＝x+D．y＝x+8．如图，点M（﹣3，4），点P从O点出发，沿射线OM方向1个单位/秒匀速运动，运动的过程中以P为对称中心，O为一个顶点作正方形OABC，当正方形面积为128时，点A 坐标是（）A．（，）B．（，11）C．（2，2）D．（，）9．如图，直线AB：y＝﹣x+9交y轴于A，交x轴于B，x轴上一点C（﹣1，0），D为y 轴上一动点，把线段BD绕B点逆时针旋转120°得到线段BE，连接CE，CD，则当CE 长度最小时，线段CD的长为（）A．B．C．2D．510．如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x＝﹣5与x轴交于点D，直线y＝﹣x﹣与x轴及直线x＝﹣5分别交于点C，E，点B，E关于x轴对称，连接AB．①C（﹣13，0），E（﹣5，﹣3）；②直线AB的解析式为：y＝x+5；③设面积的和S＝S△CDE+S四边形ABDO，则S＝32；④在求面积的和S＝S△CDE+S四边形ABDO时，琪琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，即S＝S△CDE+S四边形ABDO ＝S△AOC”．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共10小题）11．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y＝x+4上的一个动点，若∠EAB＝∠ABO，则点E的坐标为．12．如图，点M是直线y＝2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使△MNP为等腰直角三角形，请写出符合条件的点P的坐标．13．如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C在y轴的正半轴上，且OC＝3．在直线AB上有一点P，若满足∠CPB＞∠ACB，则点P横坐标x的取值范围是．14．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y ＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝．15．如图，平面直角坐标系中，已知点P（2，2），C为y轴正半轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线OP交于点A，且BD＝4AD，直线CD与直线OP交于点Q，则点Q的坐标为．16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（2，0），连结AB，点P是线段AB上的一个动点（包括两端点），直线y＝﹣x上有一动点Q，连结OP，PQ，已知△OPQ的面积为，则点Q的坐标为．17．如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（3，4），点P为x轴上的一点，若点B关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上，则点P的坐标为．18．平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣1与x轴和y轴分别交于B、C两点，与直线x＝4交于点D，直线x＝4与x轴交于点A，点M（3，0），点E为直线x＝4上一动点，点F 为直线y＝﹣x﹣1上一动点，ME+EF最小值为，此时点F的坐标为．19．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，以PC为边做等腰直角三角形PCD，∠CPD＝90°，PC＝PD，过点D作线段AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则Q点的坐标是．20．如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，AC所在直线的函数表达式是y＝2x+4，若保持AC的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x 轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是．三．解答题（共10小题）21．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（1）请直接写出直线l的表达式；（2）求出△ABC的面积；（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．22．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（a，0）点，B（0，b），且a、b满足a2﹣4a+4+|2a﹣b|＝0，点P在直线AB的左侧，且∠APB＝45°．（1）求a、b的值；（2）若点P在x轴上，求点P的坐标；（3）若△ABP为直角三角形，求点P的坐标．23．在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y1＝x 交于点C．（1）当直线AB解析式为y2＝﹣x+10时，如图1．①求点C的坐标；②根据图象求出当x满足什么条件时﹣x+10＜x．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为9，且OA＝6．P，Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值：若不存在，说明理由．24．如图1，已知直线y＝2x+4与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证BE＝DE；（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，a）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图（a），直线l1：y＝kx+b经过点A、B，OA＝OB＝3，直线12：y＝x﹣2交y轴于点C，且与直线l1交于点D，连接OD．（1）求直线11的表达式；（2）求△OCD的面积；（3）如图（b），点P是直线11上的一动点；连接CP交线段OD于点E，当△COE与△DEP的面积相等时，求点P的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+8与x轴和y轴分别交于点B和点C，与直线OA相交于点A（3，4）．（1）求点B和点C的坐标；（2）求△OAC的面积；（3）在线段OA或射线AC上是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由；（4）若点N是线段OC上一点，若将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在x轴负半轴上的点D处，求BN所在直线的函数关系式．27．如图，直线y＝kx+b与x轴，y轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（﹣2，0），且2OA＝OB．（1）求直线AB解析式；（2）如图，将△AOB向右平移6个单位长度，得到△A1O1B1，求线段OB1的长；（3）求（2）中△AOB扫过的面积．28．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A和B的融合点．例如：M（﹣1，8），N（4，﹣2），则点T（1，2）是点M和N的融合点．如图，已知点D（3，0），点E是直线y ＝x+2上任意一点，点T（x，y）是点D和E的融合点．（1）若点E的纵坐标是6，则点T的坐标为；（2）求点T（x，y）的纵坐标y与横坐标x的函数关系式：（3）若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．29．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标（6，0），点C在直线AB上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连结CD，以CD为直角边在右侧构造一个等腰Rt△CDE，且∠CDE＝90°．（1）求直线AB的解析式以及C点坐标；（2）设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；（3）如图2，连结OC，OE，请直接写出使得△OCE周长最小时，点E的坐标．30．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB ＝OA，直线l2：y＝k2x+b经过点C（，1），与x轴、y轴、直线AB分别交于点E、F、D三点．（1）求直线l1的解析式；（2）如图1，连接CB，当CD⊥AB时，求点D的坐标和△BCD的面积；（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1．【解答】解：在y＝﹣x+2中令x＝0，解得：y＝2；令y＝0，解得：x＝2．则OA＝2，OB＝2．∴在直角△ABO中，AB＝＝4，∠BAO＝30°，又∵∠BAB′＝60°，∴∠OAB′＝90°，∴B′的坐标是（2，4）．故选：B．2．【解答】解：如图所示，当△ABC向右平移到△DEF位置时，四边形BCFE为平行四边形，C点与F点重合，此时C在直线y＝2x﹣6上，∵C（1，4），∴FD＝CA＝4，将y＝4代入y＝2x﹣6中得：x＝5，即OD＝5，∵A（1，0），即OA＝1，∴AD＝CF＝OD﹣OA＝5﹣1＝4，则线段BC扫过的面积S＝S平行四边形BCFE＝CF•FD＝16．故选：D．3．【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+3中，令x＝0得：y＝3；令y＝0，解得x＝4，∴B的坐标是（0，3），A的坐标是（4，0）．如图，作CD⊥x轴于点D．∵∠BAC＝90°，∴∠OAB+∠CAD＝90°，又∵∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠BAO．在△ABO与△CAD中，，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴OB＝AD＝3，OA＝CD＝4，OD＝OA+AD＝7．则C的坐标是（7，4）．设直线BC的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得，∴直线BC的解析式是y＝x+3．故选：A．4．【解答】解：连接AC，BD，交于点Q，过C作y轴垂线，交y轴于点M，交直线EF于点N，如图所示，∵菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行，∴CQ＝AQ＝1，CM＝2，即AC＝2AQ＝2，∴C（2，2），当C与M重合时，k＝CM＝2；当C与N重合时，把y＝2代入y＝x+4中得：x＝﹣2，即k＝CN＝CM+MN＝4，∴当点C落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），k的范围为2＜k＜4，则k的值可能是3，故选：B．5．【解答】解：设长方形的AB边的长为a，则BC边的长度为2a，B点的纵坐标是a，把点B的纵坐标代入直线y＝2x的解析式得：x＝，则点B的坐标为（，a），点C的坐标为（+2a，a），把点C的坐标代入y＝kx中得，a＝k（+2a），解得：k＝．故选：B．6．【解答】解：根据题意得：∠BAC＝90°，∴∠CAO+∠BAE＝90°，∵BE⊥x轴，∴∠AEB＝90°＝∠AOC，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠CAO＝∠ABE．∴△CAO∽△ABE．∴＝，∵M是AC的中点，AB＝AM，∴CA＝2AB，∴＝，∴BE＝t，AE＝2．分两种情况：①当0＜t＜8时，如图1所示：S＝CD•BD＝（2+t）（4﹣）＝解得：t1＝t2＝3．②当t＞8时，如图2所示，S＝CD•BD＝（2+t）（﹣4）＝．解得：t1＝3+5，t2＝3﹣5（不合题意，舍去）．综上所述：当t＝3或3+5时，S＝；故选：D．7．【解答】解：直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC ⊥OC于C，∵正方形的边长为1，∴OB＝3，∵经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴三角形ABP面积是8÷2+1＝5，∴BP•AB＝5，∴AB＝2.5，∴OA＝3﹣2.5＝0.5，由此可知直线l经过（0，0.5），（4，3）设直线方程为y＝kx+b，则，解得．∴直线l解析式为y＝x+．故选：A．8．【解答】解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，设直线OM的解析式为y＝kx，直线AC的解析式为y＝k′x+b，∵点M（﹣3，4），∴4＝﹣3k，∴k＝﹣，∵四边形ABCO是正方形，∴直线AC⊥直线OM，∴k′为，∵四边形ABCO是正方形，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠AOD+∠COE＝90°，∵∠AOD+∠OAD＝90°∴∠COE＝∠OAD，在△COE和△OAD中，∴△COE≌△OAD（AAS），∴CE＝OD，OE＝AD，设A（a，b），则C（﹣b，a），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∴解得m＝，∴＝，整理得，b＝7a，∵正方形面积为128，∴OA2＝128，在RT△AOD中，AD2+OD2＝OA2，即（7a）2+a2＝128，解得，a＝，∴b＝7a＝7×＝，∴A（，），故选：D．9．【解答】解：如图，设D（0，m）．由题意：B（5，0）．在BD的下方作等边三角形△BDQ，延长DQ到M，使得QM＝DQ，连接BM，DE，DE 交BQ于点N，作MH⊥x轴于H．∵△BDQ是等边三角形，∴∠DQB＝∠DBQ＝60°，∵QM＝BQ，∴∠QMB＝∠QBM，∵∠DQB＝∠QMB+∠BQM，∴∠QMB＝∠QBM＝30°，∴∠DBM＝90°，∴BM＝BD，∵∠DBO+∠ODB＝90°，∠DBO+∠MBH＝90°，∴∠MBH＝∠BDO，∵∠DOB＝∠MHB＝90°，∴△DOB∽△BHM，∴＝＝＝，∵OD＝m，OB＝5，∴BH＝m，MH＝5，∴M（5﹣m，﹣5），∵MQ＝DQ，∴Q（，），∵∠DBE＝120°，∴∠DBN＝∠EBN＝60°，∴DE⊥BQ，DN＝NE，QN＝BN，∴N（，），E（，），∴CE2＝（）2+（）2＝m2﹣6m+91，∴当m＝﹣＝3时，CE的值最小，此时D（0，3），∴CD＝＝2，故选：C．10．【解答】解：∵在直线y＝﹣x﹣中，令y＝0，则有0＝﹣x﹣，∴x＝﹣13，∴C（﹣13，0），令x＝﹣5，则有y＝﹣×（﹣5）﹣＝﹣3，∴E（﹣5，﹣3），故①正确；∵点B，E关于x轴对称，∴B（﹣5，3），∵A（0，5），∴设直线AB的解析式为y＝kx+5，∴﹣5k+5＝3，∴k＝，∴直线AB的解析式为y＝x+5．故②错误；由①知，E（﹣5，﹣3），∴DE＝3，∵C（﹣13，0），∴CD＝﹣5﹣（﹣13）＝8，∴S△CDE＝CD×DE＝12，由题意知，OA＝5，OD＝5，BD＝3，∴S四边形ABDO＝（BD+OA）×OD＝20，∴S＝S△CDE+S四边形ABDO＝12+20＝32，故③正确；④由③知，S＝32，在△AOC中，OA＝5，OC＝13，∴S△AOC＝OA×OC＝32.5，∴S△CDE+S四边形ABDO＝12+20≠S△AOC．故④错误．综上所述，正确的结论有2个．故选：B．二．填空题（共10小题）11．【解答】解：当点E在y轴右侧时，如图1，连接AE，∵∠EAB＝∠ABO，∴AE∥OB，∵A（0，8），∴E点纵坐标为8，又E点在直线y＝x+4上，把y＝8代入可求得x＝4，∴E点坐标为（4，8）；当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2，设E点坐标为（a，a+4），设直线AE的解析式为y＝kx+b，把A、E坐标代入可得，解得，∴直线AE的解析式为y＝x+8，令y＝0可得x+8＝0，解得x＝，∴C点坐标为（，0），∴AC2＝OC2+OA2，即AC2＝（）2+82，∵B（4，0），∴BC2＝（4﹣）2＝（）2﹣+16，∵∠EAB＝∠ABO，∴AC＝BC，∴AC2＝BC2，即（）2+82＝（）2﹣+16，解得a＝﹣12，则a+4＝﹣8，∴E点坐标为（﹣12，﹣8）．方法二：设C（m，0），∵∠ACB＝∠CBA，∴AC＝BC，∴（4﹣m）2＝m2+82，解得m＝﹣6，∴直线AE的解析式为y＝x+8，由，解得．∴E（﹣12，﹣8）．综上可知，E点坐标为（4，8）或（﹣12，﹣8）．故答案为：（4，8）或（﹣12，﹣8）．12．【解答】解：当M运动到（﹣1，1）时，ON＝1，MN＝1，∵MN⊥x轴，所以由ON＝MN可知，（0，0）和（0，1）就是符合条件的两个P点；又∵当M运动到第三象限时，要MN＝MP，且PM⊥MN，设点M（x，2x+3），则有﹣x＝﹣（2x+3），解得x＝﹣3，所以点P坐标为（0，﹣3）．如若MN为斜边时，则∠ONP＝45°，所以ON＝OP，设点M（x，2x+3），则有﹣x＝﹣（2x+3），化简得﹣2x＝﹣2x﹣3，这方程无解，所以这时不存在符合条件的P点；又∵当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P＝M′P，∠M′N′P＝45°，设点M′（x，2x+3），则OP＝ON′，而OP＝M′N′，∴有﹣x＝（2x+3），解得x＝﹣，这时点P的坐标为（0，）．综上，符合条件的点P坐标是（0，0），（0，），（0，﹣3），（0，1）．故答案为：（0，0），（0，1），（0，），（0，﹣3）．13．【解答】解：如图所示：过点P1作P1E⊥x轴于点E，∵一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C在y轴的正半轴上，且OC＝3，∴AO＝BO＝1，则BC＝2，AC＝，AB＝，当∠CP1B＝∠ACB时，又∵∠CAB＝∠CAP1，∴△CAB∽△P1AC，∴＝，则＝，解得：AP1＝5，则AE＝P1E＝5，故P1（﹣4，5），当∠CPB＞∠ACB时，则点P横坐标x满足：﹣4＜x，同理可得：当∠CP2B＝∠ACB时，又∵∠ABC＝∠P2BC，∴△CAB∽△P2CB，∴＝，则＝，解得：BP2＝2，可得P2（2，﹣1），故当∠CPB＞∠ACB时，则点P横坐标x满足：2＞x，综上所述：﹣4＜x＜2且x≠0．故答案为：﹣4＜x＜2且x≠0．14．【解答】解：∵直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分∴直线必经过正方形的中心∵点B的坐标为（4，4）∴中心为（2，2），代入直线中得：2＝2m﹣2，m＝215．【解答】解：过点P作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F．∵AB⊥OB，∴∠OBF＝∠EOB＝∠FEO＝90°，∴四边形EOBF是矩形，∵P（2，2），∴OE＝PE＝BF＝2，∵∠CPD＝90°，∴∠CPE+∠DPF＝90°，∠ECP+∠CPE＝90°，∴∠ECP＝∠DPF，在△CPE和△PDF中，，∴△CPE≌△PDF（AAS），∴DF＝PE＝2，∴BD＝BF+DF＝4，∵BD＝4AD，∴AD＝1，AB＝OB＝5，∴CE＝PF＝3，∴D（5，4），C（0，5），设直线CD的解析式为y＝kx+b则有，解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+5，由解得，∴点Q的坐标为（，）．故答案为（，）．16．【解答】解：方法一：∵点Q在直线y＝﹣x上，∴设点Q的坐标为（m，﹣m）．∵点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（2，0），∴△AOB为等腰直角三角形，点O（0，0）到AB的距离h＝OA＝．设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵点A（0，2），点B（2，0）在直线AB上，∴有，解得．即直线AB的解析式为y＝﹣x+2，∵直线y＝﹣x+2与y＝﹣x平行，∴点P到底OQ的距离为（平行线间距离处处相等）．∵△OPQ的面积S△OPQ＝OQ•h＝OQ＝，∴OQ＝2．由两点间的距离公式可知OQ＝＝2，解得：m＝±，∴点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．故答案为：（，﹣）或（﹣，）．方法二：当P点与A重合时，则△OPQ底OP为2，∵△OPQ的面积为，∴△OPQ的高为，即点Q的横坐标为﹣，∵点Q在直线y＝﹣x上，∴点Q的坐标为（﹣，）；当P点与B重合时，同理可求出点Q的坐标为（，﹣）．综上即可得出点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．17．【解答】方法一：解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b，把A（0，2），B（3，4）代入得：，解得：k＝，b＝2，∴直线AB的解析式为：y＝x+2；∵点B与B′关于直线AP对称，设B′坐标为（a，0）∴线段BB′的中点坐标为（，2）∵线段BB′的中点在直线AP上，且A点坐标为（0，2）∴A点为线段BB′的中点，即A、B、B′三点共线∴AP⊥AB，∴设直线AP的解析式为：y＝﹣x+c，把点A（0，2）代入得：c＝2，∴直线AP的解析式为：y＝﹣x+2，当y＝0时，﹣x+2＝0，解得：x＝，∴点P的坐标为：（）；故答案为：（）．方法二：解：如图，连接AB、AB′∵A（0，2），B（3，4）∴AB＝＝∵点B与B′关于直线AP对称∴AB′＝AB＝，在Rt△AOB′中，B′O＝＝3∴B′点坐标为（﹣3，0）设直线BB′方程为y＝kx+b将B（3，4），B′（﹣3，0）代入得：，解得k＝，b＝2∴直线BB′的解析式为：y＝x+2，∴直线AP的解析式为：y＝﹣x+2，当y AP＝0时，﹣x+2＝0，解得：x＝，∴点P的坐标为：（）；故答案为：（）．18．【解答】解：①如图，作M点关于直线x＝4的对称点M′，然后作M′F⊥直线y＝﹣x﹣1于F，交直线x ＝4于E，此时ME+EF有最小值，最小值为M′F；∵y＝﹣x﹣1与x轴和y轴分别交于B、C两点，令x＝0，可得y＝﹣1，令y＝0，可得x＝﹣2，∴B（﹣2，0），C（0，﹣1），∴OB＝2，OC＝1，∴BC＝＝，∵M（3，0），∴M′（5，0），∴BM′＝5+2＝7，∵M′F⊥直线BC，∴∠BFM′＝90°＝∠BOC，∵∠OBC＝∠FBM′∴△BOC∽△BFM′，∴，即，解得：M′F＝，∴ME+EF的最小值为；②∵直线M′F与直线y＝﹣x﹣1互相垂直，∴直线M′F与直线y＝﹣x﹣1的k互为负倒数，∴设直线M′F的关系式为：y＝2x+b，将M′（5，0），代入y＝2x+b，可得：b＝﹣10，∴直线M′F的关系式为：y＝2x﹣10，将直线y＝2x﹣10与直线y＝﹣x﹣1联立方程组得：，解得：，∴点F的坐标为（，﹣）．故答案为：；（，﹣）．19．【解答】解：解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，∴∠MCP＝∠DPN，∵P（1，1），∴OM＝BN＝1，PM＝1，在△MCP和△NPD中，∴△MCP≌△NPD（AAS），∴DN＝PM，PN＝CM，∵BD＝2AD，∴设AD＝a，BD＝2a，∵P（1，1），∴BN＝2a﹣1，则2a﹣1＝1，∴a＝1，即BD＝2．∵直线y＝x，∴AB＝OB＝3，∴点D（3，2）∴PC＝PD＝＝＝，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝＝＝2，则C的坐标是（0，3），设直线CD的解析式是y＝kx+3，把D（3，2）代入得：k＝﹣，即直线CD的解析式是y＝﹣x+3，∴组成方程组解得：∴点Q（，），故答案为：（，）．20．【解答】解：当x＝0时，y＝2x+4＝4，∴A（0，4）；当y＝2x+4＝0时，x＝﹣2，∴C（﹣2，0）．∴OA＝4，OC＝2，∴AC＝＝2．如图所示．过点B作BD⊥x轴于点D．∵∠ACO+∠ACB+∠BCD＝180°，∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACB＝90°，∴∠CAO＝∠BCD．在△AOC和△CDB中，，∴△AOC≌△CDB（AAS），∴CD＝AO＝4，DB＝OC＝2，OD＝OC+CD＝6，∴点B的坐标为（﹣6，2）．如图所示．取AC的中点E，连接BE，OE，OB，∵∠AOC＝90°，AC＝2，∴OE＝CE＝AC＝，∵BC⊥AC，BC＝2，∴BE＝＝5，若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE＝5+．若点O，E，B在一条直线上，则OB＝OE+BE＝5+，∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为5+，故答案为：5+．三．解答题（共10小题）21．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线l的表达式为：；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13∵△ABC为等腰直角三角形，∴S△ABC＝AB2＝；（3）连接BP，PO，P A，则：①若点P在第一象限时，如图1：∵S△ABO＝3，S△APO＝a，S△BOP＝1，∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO＝，即，解得；②若点P在第四象限时，如图2：∵S△ABO＝3，S△APO＝﹣a，S△BOP＝1，∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO＝，即，解得a＝﹣3；故：当△ABC与△ABP面积相等时，实数a的值为或﹣3．22．【解答】解：（1）∵a2﹣4a+4+|2a+b|＝0，∴（a﹣2）2+|2a+b|＝0，∴a＝2，b＝4．（2）由（1）知，b＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4．∵点P在直线AB的左侧，且在x轴上，∠APB＝45°∴OP＝OB＝4，∴B（4，0）．（3）由（1）知a＝﹣2，b＝4，∴A（2，0），B（0，4）∴OA＝2，OB＝4，∵△ABP是直角三角形，且∠APB＝45°，∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，如图，①当∠ABP＝90°时，∵∠BAP＝45°，∴∠APB＝∠BAP＝45°．∴AB＝PB．过点P作PC⊥OB于C，∴∠BPC+∠CBP＝90°，∵∠CBP+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BPC．在△AOB和△BCP中，∠AOB＝∠BCP＝90°，∠ABO＝∠BPC，AB＝PB，∴△AOB≌△BCP（AAS）．∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2．∴OC＝OB﹣BC＝2．∴P（﹣4，2）．②当∠BAP＝90°时，过点P'作P'D⊥OA于D，同①的方法得，△ADP'≌△BOA（AAS）．∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4．∴OD＝AD﹣OA＝2．∴P'（﹣2，2））．即：满足条件的点P（﹣4，2）或（﹣2，﹣2）．23．【解答】解：（1）①由題意，，解得：，所以C（4，4）．②观察图象可知x＞4时，直线AB位于直线OC的下方，即x＞4时，﹣x+10＜x．（2）由题意，在OC上截取OM＝OP，连结MQ，∵ON平分∠AOC，∴∠AOQ＝∠COQ，又OQ＝OQ．∴△POQ≌△MOQ（SAS），∴PQ＝MQ，∴AQ+PQ＝AQ+MQ，当A、Q、M在同一直銭上，且AM⊥OC吋，AQ+MQ最小，即AQ+PQ存在最小値；∴AB⊥ON，∴∠AEO＝∠CEO，∴△AEO≌△CEO（ASA），∴OC＝OA＝6，∵△OAC的面积为9，∴OC•AM＝9，∴AM＝3，∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．24．【解答】解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠OBA+∠QBC＝90°，∴∠OAB＝∠QBC，又∵AB＝BC，∠AOB＝∠Q＝90°，∴△ABO≌△BCQ（AAS），∴BQ＝AO＝4，OQ＝BQ+BO＝6，CQ＝OB＝2，∴C（﹣6，2），由A（0，4），C（﹣6，2）可知，直线AC：y＝x+4；（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，∵AC＝AD，AB⊥CB，∴BC＝BD，∴△BCH≌△BDF（AAS），∴BF＝BH＝4，∴OF＝OB＝2，∴DG＝OB，∴△BOE≌△DGE（AAS），∴BE＝DE；（3）如图3，直线BC：y＝﹣x﹣1，P（﹣，k）是线段BC上一点，∴P（﹣，），由y＝x+4知M（﹣12，0），∴BM＝10，则S△BCM＝10．设点N（n，0），则BN＝|n+2|，假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，则BN•y C＝×10，n＝或﹣，故点N的坐标为：（，0）或（﹣，0）．25．【解答】解：（1）OA＝OB＝3，则点A、B的坐标分别为：（3，0）、（0，3），将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线11的表达式为：y＝﹣x+3…①；（2）联立l1、l2的表达式得：，解得：，故点D（2，1）；△OCD的面积＝×OA•y D＝3×1＝；（3）△COE与△DEP的面积相等，则S△CDO＝S△CDE+S△OCE＝S△PED+S△CED＝S△PCD，则点P、O到CD的距离相等，故OP所在的直线与CD平行，则直线OP的表达式为：y＝x…②，联立①②并解得：x＝，则点P（，）．26．【解答】解：（1）设y＝0，则x＝6；设点x＝0，则y＝6，故点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，8）；（2）S△OAC＝×CO×x A＝×8×3＝12；（3）存在点M使S△OMC＝S△OAC，设M的坐标为（x，y）；OA的解析式是y＝mx，则3m＝4，解得：，则直线OA的解析式是：，∵当S△OMC＝S△OAC时，即，又∵OC＝8，∴，当M在线段OA上时，x＞0，所以时，y＝1，则M的坐标是；当M在射线上时，则y＝7，则M的坐标是；则y＝9，则M的坐标是，综上所述：M的坐标是：或或；（4）在Rt△OBC中，∠COB＝90°，OB＝6，OC＝8，∴，∵△BCN沿直线BN折叠后，所得三角形为△BDN，∴CN＝DN，BD＝BC＝10，∴OD＝4在Rt△ODN中，设ON＝x，则DN＝8﹣x，∴42+x2＝（8﹣x）2∴x＝3，故点N（0，3），设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0）代入A（6，0），N（0，3）得：，解得，∴直线AM的解析式为．27．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣2，0），∴OA＝2，∵OB＝2OA＝4，∴B（0，4），把A（﹣2，0）和B（0，4）代入y＝kx+b中得：，解得：，∴直线AB解析式为：y＝2x+4；（2）∵∠AOB＝90°，∴∠AO1B1＝90°，由平移得：OO1＝6，O1B1＝OB＝4，由勾股定理得：OB1＝＝2，即线段OB1的长是2；（3）△AOB扫过的面积＝+4×6＝28．28．【解答】解：（1）∵点E是直线y＝x+2上一点，点E的纵坐标是6，∴x+2＝6，解得，x＝4，∴点E的坐标是（4，6），∵点T（x，y）是点D和E的融合点，∴x＝＝，y＝＝2，∴点T的坐标为（，2），故答案为：（，2）；（2）设点E的坐标为（a，a+2），∵点T（x，y）是点D和E的融合点，∴x＝，y＝，解得，a＝3x﹣3，a＝3y﹣2，∴3x﹣3＝3y﹣2，整理得，y＝x﹣；（3）设点E的坐标为（a，a+2），则点T的坐标为（，），当∠THD＝90°时，点E与点T的横坐标相同，∴＝a，解得，a＝，此时点E的坐标为（，），当∠TDH＝90°时，点T与点D的横坐标相同，∴＝3，解得，a＝6，此时点E的坐标为（6，8），当∠DTH＝90°时，该情况不存在，综上所述，当△DTH为直角三角形时，点E的坐标为（，）或（6，8）．29．【解答】解：（1）把A（6，0）代入y＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：，∴，把x＝3代入，得y＝4，∴C（3，4）；（2）作CF⊥x轴于点F，EG⊥x轴于点G，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，∠CDE＝90°，∴∠CDF＝90°﹣∠EDG＝∠DEG，且∠CFD＝∠DGE＝90°，∴△CDF≌△DEG（AAS）∴CF＝DG＝4，DF＝EG＝3﹣m，∴OG＝4+m，∴E（4+m，m﹣3）；（3）点E（4+m，m﹣3），则点E在直线l：y＝x﹣7上，设：直线l交y轴于点H（0，﹣7），过点O作直线l的对称点O′，∵直线l的倾斜角为45°，则HO′∥x轴，则点O′（7，﹣7），连接CO′交直线l于点E′，则点E′为所求点，OC是常数，△OCE周长＝OC+CE+OE＝OC+OE′+CE′＝OC+CE′+O′E′＝OC+CO′为最小，由点C、O′的坐标得，直线CO′的表达式为：y＝﹣x+联立，解得：，故：．30．【解答】解：（1）y＝k1x+6，当x＝0时，y＝6，∴OB＝6，∵OB＝OA，∴OA＝2，∴A（﹣2，0），把A（﹣2，0）代入：y＝k1x+6中得：﹣2k1+6＝0，k1＝，∴直线l1的解析式为：y＝x+6；（2）如图1，过C作CH⊥x轴于H，∵C（，1），∴OH＝，CH＝1，Rt△ABO中，AB＝＝4，∴AB＝2OA，∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝30°，∴EH＝，∴OE＝OH+EH＝2，∴E（2，0），把E（2，0）和C（，1）代入y＝k2x+b中得：，解得：，∴直线l2：y＝﹣x+2，∴F（0，2）即BF＝6﹣2＝4，则，解得，∴D（﹣，3），∴S△BCD＝BF（x C﹣x D）＝＝4；（3）分四种情况：①当Q在y轴的正半轴上时，如图2，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，∵△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，∴∠CQD＝90°，CQ＝DQ，∴∠DMQ＝∠CNQ＝90°，∴∠MDQ＝∠CQN，∴△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，﹣m+1），∴OQ＝QN+ON＝OM+QM，即﹣m+1＝m+6+，m＝＝1﹣2，∴Q（0，2）；②当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m+1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM﹣QM，即m+6﹣＝﹣m﹣1，m＝5﹣4，∴Q（6﹣4，0）；③当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m﹣1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6﹣＝﹣m+1，m＝﹣4﹣5，∴Q（﹣4﹣6，0）；④当Q在y轴的负半轴上时，如图5，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，m+1），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6+＝﹣m﹣1，m＝﹣2﹣1，∴Q（0，﹣2）；综上，存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是（0，±2）或（6﹣4，0）或（﹣4﹣6，0）．。

中考数学总复习《一次函数综合》专项测试卷(附答案)

中考数学总复习《一次函数综合》专项测试卷(附答案)（考试时间：90分钟；试卷满分：100分）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。

1．（2023秋•铜陵期中）下列函数①y＝πx，②y＝﹣2x+3，③，④，⑤y＝x2﹣1中是一次函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2023•长沙模拟）已知一次函数y＝ax﹣4的函数值y随x的增大而减小，则该函数的图象大致是（）A．B．C．D．3．（2022秋•大东区校级期末）将一次函数y＝﹣2x的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为（）A．y＝﹣2（x﹣4）B．y＝﹣2x+4C．y＝﹣2（x+4）D．y＝﹣2x﹣44．（2022秋•碑林区期末）一次函数y＝kx+b图象经过（1，1），（2，﹣4），则k与b的值为（）A．B．C．D．5．（2023春•乾安县期末）已知A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（1，y3）是一次函数y＝﹣3x+b的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y16．（2023•灞桥区校级二模）若一次函数y＝（m﹣1）x+m﹣2的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m＜2C．1＜m＜2D．1＜m≤27．（2023春•开福区校级期末）对于函数y＝﹣2x+4，说法正确的是（）A．点A（1，3）在这个函数图象上B．y随着x的增大而增大C．它的图象必过一、三象限D．当x＞2时，y＜08．（2023•南岗区校级二模）在全民健身越野比赛中乙选手匀速跑完全程，甲选手1.5小时后的速度为每小时10千米，甲、乙两选手的行程y（千米）随时间z（时）变化的图象（全程）如图所示．下列说法：①起跑后半小时内甲的速度为每小时16千米；②第1小时两人都跑了10千米；③两人都跑了20千米；④乙比甲晚到0.3小时．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（2023秋•合肥期中）如图，已知一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象相交于点P，则根据图象可得二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．10．（2023春•盖州市期末）如图，直线y＝x+2与y轴相交于点A0，过点A0作x轴的平行线交直线y＝0.5x+1于点B1，过点B1作y轴的平行线交直线y＝x+2于点A1，再过点A1作x轴的平行线交直线y＝0.5x+1于点B2，过点B2作y轴的平行线交直线y＝x+2于点A2，…，依此类推，得到直线y＝x+2上的点A1，A2，A3，…，与直线y＝0.5x+1上的点B1，B2，B3，…，则A8B9的长为（）A．64B．128C．256D．512二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。

中考数学《一次函数》专题训练(附带答案)

中考数学《一次函数》专题训练（附带答案）一、单选题1．已知一次函数y ＝（1﹣a ）x+2a+1的图象经过第二象限，则a 的值可以是（）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．12．如图，直线y =k 1x +b 1和直线y =k 2x +b 2相交于点M(23，−2)，则关于x ，y 的方程组{y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2，的解为（）A ．{x =23，y =−2 B ．{x =−2，y =23C ．{x =23，y =2D ．{x =−2，y =−233．若一次函数y=（3-k ）x -k 的图象经过第二、三、四象限，则k 的取值范围是（）A ．k ＞3B ．0＜k≤3C ．0≤k ＜3D ．0＜k ＜34．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A ，B 两点，P 是线段AB 上任意一点（不包括端点），过P 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是（）A ．y=x+5B ．y=x+10C ．y=﹣x+5D ．y=﹣x+105．设min{x ，y}表示x ，y 两个数中的最小值，例如min{0，2}=0，min{12，8}=8，则关于x 的函数y=min{2x ，x+2}可以表示为（） A ．y={2x(x <2)x +2(x ≥2)B ．y={x +2(x <2)2x(x ≥2)C ．y=2xD ．y=x+26．已知一次函数y=kx ﹣1，若y 随x 的增大而增大，则该函数的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．已知k≠0，在同一坐标系中，函数y=k（x+1）与y= k x的图象大致为如图所示中的（）A．B．C．D．8．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是()A．y=-x+1B．y=x2-1C．y=1x D．y=-x2+19．下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（）A．y=x2B．y=2x C．y=x2D．y=x+1210．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=−x+4√2与x轴交于B点，与y轴交于A点，点C，D在线段AB上，且CD=2AC=2BD，若点P在坐标轴上，则满足PC+PD=7的点P的个数是（）A．4B．3C．2D．111．已知在一次函数y=﹣1.5x+3的图象上，有三点（﹣3，y1）、（﹣1，y2）、（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．无法确定12．一次函数y=（k-3）x|k|-2+2的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、填空题13．已知一次函数 y =(k +1)x −b ，若y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 . 14．如图，一次函数与反比例函数的图象分别是直线 AB 和双曲线．直线 AB 与双曲线的一个交点为点 C ，CD ⊥x 轴于点 D ，OD =2OB =4OA =4 ，则此反比例函数的解析式为 .15．一次函数 y 1=k 1x +b 1 与 y 2=k 2x +b 2 的图象如图，则不等式组 {k 1x +b 1≤0k 2x +b 2>0 的解为 .16．若点 (m,n) 若在直线 y =3x −2 上，则代数式2n -6m+1的值是 .17．已知一次函数y ＝﹣x ﹣（a ﹣2）中，当a 时，该函数的图象与y 轴的交点坐标在x 轴的下方．18．已知一次函数 y =ax +|a −1| 的图象经过点（0，3），且函数y 的值随x 的增大而减小，则a 的值为．三、综合题19．甲、乙两车分别从相距480千米的 A 、 B 两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途经 C 地，甲车到达 C 地停留1小时，因有事按原路原速返回 A 地.乙车从 B 地直达 A 地，两车同时到达 A 地.甲、乙两车距各自出发地的路程 y （千米）与甲车出发后所用的时间 x （时）的函数图象如图所示．（1）求t的值；（2）求甲车距它出发地的路程y与x之间的函数关系式；（3）求两车相距120千米时乙车行驶的时间．20．根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1=kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2=ax2+bx的图象如图②所示.（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨.①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式.并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？21．已知一次函数y=-2x-2．（1）画出函数的图象；（2）求图象与x轴，y轴的交点A，B的坐标；（3）求A，B两点之间的距离；（4）求△AOB的面积；（5）当x为何值时，y≥0(利用图象解答)？22．在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A．（1）当m=4时，求n的值；（2）设m=﹣2，当﹣3≤x≤0时，求二次函数y=x2+mx+n的最小值；（3）当﹣3≤x≤0时，若二次函数﹣3≤x≤0时的最小值为﹣4，求m、n的值．23．同时点燃甲乙两根蜡烛，蜡烛燃烧剩下的长度y（cm）与燃烧时间x（min）的关系如图所示．（1）求点P的坐标，并说明其实际意义；（2）求点燃多长时间，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．24．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉样物．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小张在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定用900元(全部用完)从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：A款玩偶B款玩偶进货价(元/个)2520销售价(元/个)3325（1）求y与x之间的函数表达式；（2）如果小张购进A款玩偶20个，那么这次进货全部售完，能盈利多少元？参考答案1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】C 10．【答案】A 11．【答案】A 12．【答案】C 13．【答案】k <−1 14．【答案】y =−4x15．【答案】x≤-4 16．【答案】-3 17．【答案】＞2 18．【答案】-219．【答案】（1）由函数图象得：乙车的速度为：60÷1=60（千米/小时），甲车从A 地出发至返回A 地的时间为：（480−60）÷60＝420÷60＝7（小时） ∴t ＝（7−1）÷2＝3 即t 的值是3；（2）当0≤x≤3时，设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ，则360＝3k ，解得k ＝120∴当0≤x≤3时，y 与x 的函数关系式为：y ＝120x 当3＜x≤4时，y ＝360当4＜x≤7，设y 与x 的函数关系式为：y ＝ax ＋b 则 {4a +b ＝3607a +b ＝0 解得： {a ＝−120b ＝840∴当4＜x≤7，y与x的函数关系式为：y＝−120x＋840由上可得，y与x的函数关系式为：y={120x(0≤x≤3) 360(3<x≤4)−120x+840(4<x≤7)（3）设乙车行驶的时间为m小时时，两车相距120千米，乙车的速度为60千米/小时，甲车的速度为360÷3＝120（千米/小时）甲乙第一次相遇前，60＋（60＋120）×（m−1）＋120＝480，得m＝8 3甲乙第一次相遇之后，60＋（60＋120）×（m−1）＝480＋120，得m＝4甲车返回A地的过程中，当m＝5时，两车相距5×60-（480-360）＝180（千米）∴（120−60）×（m−5）＝180−120得m＝6答：两车相距120千米时乙车行驶的时间是83小时、4小时或6小时．20．【答案】（1）解：由题意得，设y1=kx5k=3∴k=0.6∴y1=0.6x根据题意得，设y2=ax2+bx+c，由图知，抛物线经过点(0，0)、(1，2)、(5，6)，代入得{c=0a+b+c=2 25a+5b+c=6∴{a=−0.2b=2.2c=0∴y2=−0.2x2+2.2x；（2）解：①设乙种蔬菜的进货量为t吨，w=y1+y2=0.6(10−t)+(−0.2t2+2.2t)=−0.2t2+1.6t+6=−0.2(t−4)2+9.2当t=4，利润之和最大W最大=9200（元）答：当乙种蔬菜进货4吨，甲种蔬菜进货6吨，利润之和最大，最大9200元.②w=y1+y2=−0.2t2+1.6t+6当w≥8.4时，即−0.2t2+1.6t+6≥8.4∴−0.2t2+1.6t−2.4≥0令−0.2t2+1.6t−2.4=0t2−8t−12=0(t−2)(t−6)=0解得t1=2，t2=6因为抛物线开口向下，所以2≤t≤6答：乙种蔬菜进货量为2吨到6吨范围内.21．【答案】（1）解：列表：x……-10……y……0-2……（2）解：由(1)可得该图象与x轴，y轴的交点坐标分别为A(-1，0)，B(0，-2)．（3）解：A，B两点之间的距离为√OA2+OB2=√12+22=√5（4）解：S△AOB= 12OA·OB=12×1×2= 1（5）解：由(1)中图象可得，当x≤-1时，y≥0．22．【答案】（1）解：当y=x+3=0时，x=﹣3∴点A 的坐标为（﹣3，0）．∵二次函数y=x 2+mx+n 的图象经过点A ∴0=9﹣3m+n ，即n=3m ﹣9 ∴当m=4时，n=3m ﹣9=3．（2）解：抛物线的对称轴为直线x=﹣ m 2当m=﹣2时，对称轴为x=1，n=3m ﹣9=﹣15 ∴当﹣3≤x≤0时，y 随x 的增大而减小∴当x=0时，二次函数y=x 2+mx+n 的最小值为﹣15．（3）解：①当对称轴﹣ m2 ≤﹣3，即m≥6时，如图1所示．在﹣3≤x≤0中，y=x 2+mx+n 的最小值为0，∴此情况不合题意；②当﹣3＜﹣ m2 ＜0，即0＜m ＜6时，如图2，有 {4n−m 24=49−3m +n =0解得： {m =2n =−3 或 {m =10n =21（舍去）∴m=2、n=﹣3；③当﹣ m2 ≥0，即m≤0时，如图3有 {n =−49−3m +n =0 ，解得： {m =53n =−4（舍去）．综上所述：m=2，n=﹣3． 23．【答案】（1）解：设乙蜡烛剩下的长度y 与燃烧时间x 的函数表达式为y=kx+b ，得：{b =4050k +b =0 ，解得： {k =−0.8b =40，即乙蜡烛剩下的长度y 与燃烧时间x 的函数表达式为y=﹣0.8x+40，将x=20代入得y=24，故P （20，24）该点表示的实际意义是点燃20分钟后，两支蜡烛剩下的长度都是24cm ；（2）解：设甲蜡烛剩下的长度y 甲与x 之间的函数表达式为y 甲=mx+n ，得： {48=n 24=20m +n，解得： {m =−1.2n =48 ，∴y 甲与x 之间的函数表达式为y 甲=﹣1.2x+48．∵甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍，∴﹣1.2x+48=1.1（﹣0.8x+40），解得：x=12.5．答：点燃12.5分钟，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍24．【答案】（1）解：由题意，得25x +20y =900∴y =−54x +45；（2）解：当x =20时，则y =−54×20+45=20∴这次进货全部售完，能盈利=20(33−25)+20(25−20)=260(元) 答：这次进货全部售完，能盈利260元．。

中考数学总复习《一次函数》专项测试卷(带有答案)

中考数学总复习《一次函数》专项测试卷(带有答案)时间：45分钟满分：100分学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．(2023·鄂州)象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点(－2，－1)的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为 ( )第1题图A．y＝x＋1 B．y＝x－1C．y＝2x＋1 D．y＝2x－12．(2023·无锡)将函数y＝2x＋1的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是( )A．y＝2x－1 B．y＝2x＋3C．y＝4x－3 D．y＝4x＋53．(2023·兰州)一次函数y＝kx－1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，y的值可以是( )A．2 B．1 C．－1 D．－24．(2023·陕西)在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x＋a(a为常数，a＜0)的图象可能是( )A BC D5．(2023·荆州)如图，直线y ＝－32x ＋3分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，将△OAB绕着点A 顺时针旋转90°得到△CAD，则点B 的对应点D 的坐标是( )第5题图A ．(2，5)B ．(3，5)C ．(5，2)D ．(13，2)6．(2023·苏州)已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点(1，3)和(－1，2)，则k 2－b 2＝．7．(2023·天津)若直线y ＝x 向上平移3个单位长度后经过点(2，m)，则m 的值为．8．(2023·南充)如图，直线y ＝kx －2k ＋3(k 为常数，k ＜0)与x ，y 轴分别交于点A ，B ，则2OA ＋3OB的值是．第8题图9．(2023·迎江区三模)如图，直线y＝kx＋b与直线y＝－x相交于点A，则关于x的不等式0＜－x＜kx＋b的解集为．第9题图10．(2022·东营改编)如图，△AB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，是等边三角形，直线y＝33x＋2经过它们的顶点A，A1，A2，A3，…，点B1，B2，B3，…，在x轴上，则点A2 024的横坐标是．第10题图11．(2023·眉山)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(－8，6)，过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点C，点A，直线y＝－2x－6与AB交于点D，与y轴交于点E，动点M在线段BC上，动点N在直线y＝－2x－6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为．第11题图12．(2023·绥化)某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A，B两型客车(每种型号的客车至少租用一辆)．A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元．若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人．(1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？(2)若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5 500元，并将全校420人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？(3)在这次活动中，学校除租用A，B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地．如图是两车离开学校的路程s(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数图象．根据图象信息，求甲、乙两车第一次相遇后，t为何值时两车相距25千米．第12题图参考答案1．(2023·鄂州)象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点(－2，－1)的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为 ( A)第1题图A．y＝x＋1 B．y＝x－1C．y＝2x＋1 D．y＝2x－12．(2023·无锡)将函数y＝2x＋1的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是( A)A．y＝2x－1 B．y＝2x＋3C．y＝4x－3 D．y＝4x＋53．(2023·兰州)一次函数y＝kx－1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，y的值可以是( D)A．2 B．1 C．－1 D．－24．(2023·陕西)在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x＋a(a为常数，a＜0)的图象可能是( D)A BC D5．(2023·荆州)如图，直线y ＝－32x ＋3分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，将△OAB绕着点A 顺时针旋转90°得到△CAD，则点B 的对应点D 的坐标是( C )第5题图A ．(2，5)B ．(3，5)C ．(5，2)D ．(13，2)6．(2023·苏州)已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点(1，3)和(－1，2)，则k 2－b 2＝－6．7．(2023·天津)若直线y ＝x 向上平移3个单位长度后经过点(2，m)，则m 的值为5．8．(2023·南充)如图，直线y ＝kx －2k ＋3(k 为常数，k ＜0)与x ，y 轴分别交于点A ，B ，则2OA ＋3OB的值是1．第8题图9．(2023·迎江区三模)如图，直线y ＝kx ＋b 与直线y ＝－x 相交于点A ，则关于x 的不等式0＜－x ＜kx ＋b 的解集为－2＜x ＜0．第9题图10．(2022·东营改编)如图，△AB 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，是等边三角形，直线y ＝33x ＋2经过它们的顶点A ，A 1，A 2，A 3，…，点B 1，B 2，B 3，…，在x 轴上，则点A 2 024的横坐标是(22 025－2)3．第10题图11．(2023·眉山)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(－8，6)，过点B 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为点C ，点A ，直线y ＝－2x －6与AB 交于点D ，与y 轴交于点E ，动点M 在线段BC 上，动点N 在直线y ＝－2x －6上，若△AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为(－8，6)或(－8，23)．第11题图12．(2023·绥化)某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A ，B 两型客车(每种型号的客车至少租用一辆)．A 型车每辆租金500元，B 型车每辆租金600元．若5辆A 型和2辆B 型车坐满后共载客310人；3辆A 型和4辆B 型车坐满后共载客340人．(1)每辆A 型车、B 型车坐满后各载客多少人？(2)若该校计划租用A 型和B 型两种客车共10辆，总租金不高于5 500元，并将全校420人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ (3)在这次活动中，学校除租用A ，B 两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地．如图是两车离开学校的路程s(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数图象．根据图象信息，求甲、乙两车第一次相遇后，t 为何值时两车相距25千米．第12题图解：(1)设每辆A 型车坐满后载客x 人，每辆B 型车坐满后载客y 人根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝310，3x ＋4y ＝340，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40，y ＝55，∴每辆A 型车坐满后载客40人，每辆B 型车坐满后载客55人； (2)设租用A 型车m 辆，则租用B 型车(10－m)辆由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧500m ＋600（10－m ）≤5 500，40m ＋55（10－m ）≥420，解得5≤m ≤823∵m 是正整数 ∴m 可取5，6，7，8 ∴共有4种方案设总租金为w 元根据题意，得w ＝500m ＋600(10－m)＝－100m ＋6 000 ∵－100＜0∴w 随m 的增大而减小∴m ＝8时，w 最小为－100×8＋6 000＝5 200(元)； ∴租用A 型车8辆，租用B 型车2辆最省钱； (3)设s 甲＝kt ，把(4，300)代入，得 300＝4k 解得k ＝75 ∴s 甲＝75t设s 乙＝k 1t ＋b ，把(0.5，0)，(3.5，300)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0.5k 1＋b ＝0，3.5k 1＋b ＝300，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝100，b ＝－50，∴s 乙＝100t －50∵两车第一次相遇后，相距25千米 ∴100t －50－75t ＝25或300－75t ＝25解得t ＝3或t ＝113∴在甲乙两车第一次相遇后，当t ＝3小时或113小时时，两车相距25千米．。

一次函数综合题(含详细解析)

一次函数综合题1．如图，平面直角坐标系中，直线:AB y x b =-+交y 轴于点(0,4)A ，交x 轴于点B ．（1）求直线AB 的表达式和点B 的坐标；（2）直线l 垂直平分OB 交AB 于点D ，交x 轴于点E ，点P 是直线l 上一动点，且在点D 的上方，设点P 的纵坐标为n ． ①用含n 的代数式表示ABP ∆的面积； ②当8ABP S ∆=时，求点P 的坐标；③在②的条件下，以PB 为斜边在第一象限作等腰直角PBC ∆，求点C 的坐标．2．如图在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形OACB 的顶点A ，B 分别在x ，y 轴上，已知3OA =，点D 为y 轴上一点，其坐标为(0,1)，5CD =，点P 从点A 出发以每秒1个单位的速度沿线段A C B --的方向运动，当点P 与点B 重合时停止运动，运动时间为t 秒（1）求B ，C 两点坐标；（2）①求OPD ∆的面积S 关于t 的函数关系式；②当点D 关于OP 的对称点E 落在x 轴上时，求点E 的坐标；（3）在（2）②情况下，直线OP 上求一点F ，使FE FA +最小．3．如图，直线27y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点C 、B ，与直线32y x =相交于点A ．（1）求A 点坐标；（2）如果在y 轴上存在一点P ，使OAP ∆是以OA 为底边的等腰三角形，则P 点坐标是；（3）在直线27y x =-+上是否存在点Q ，使OAQ ∆的面积等于6？若存在，请求出Q 点的坐标，若不存在，请说明理由．4．已知四边形OABC 是边长为4的正方形，分别以OA 、OC 所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线l 经过A 、C 两点．（1）写出点A 、点C 坐标并求直线l 的函数表达式；（2）若P 是直线l 上的一点，当OPA ∆的面积是5时，请求出点P 的坐标；（3）如图2，点(3,1)D -，E 是直线l 上的一个动点，求出使||BE DE -取得最大值时点E 的坐标和最大值（不需要证明）．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线483y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，点D 在y 轴的负半轴上，若将DAB ∆沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处．（1）求AB 的长和点C 的坐标；（2）求直线CD 的解析式．6．如图，直线24y x =-+交x 轴和y 轴于点A 和点B ，点(0,2)C -在y 轴上，连接AC ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）若点P 是直线AB 上一点，若BCP ∆的面积为3，求点P 的坐标；（3）过点B 的直线BE 交x 轴于点(E E 点在点A 右侧），当45ABE ∠=︒时，求直线BE 的表达式．7．如图，在平面直角坐标系中，过点(6,0)B的直线AB与直线OA相交于点(4,2)A，动点M在线段OA和射线AC上运动．（1）求直线AB的解析式．（2）求OAC∆的面积．（3）是否存在点M，使OMC∆的面积是OAC∆的面积的14？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，过点(0,6)A的直线AB与直线OC相交于点(2,4)C动点P 沿路线O C B→→运动．（1）求直线AB的解析式；（2）当OPB∆的面积是OBC∆的面积的14时，求出这时点P的坐标；（3）是否存在点P，使OBP∆是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图（1），在平面直角坐标系中，直线443y x =-+交坐标轴于A 、B 两点，过点(4,0)C -作CD 交AB 于D ，交y 轴于点E ．且COE BOA ∆≅∆．（1）求B 点坐标为；线段OA 的长为；（2）确定直线CD 解析式，求出点D 坐标；（3）如图2，点M 是线段CE 上一动点（不与点C 、E 重合），ON OM ⊥交AB 于点N ，连接MN ．①点M 移动过程中，线段OM 与ON 数量关系是否不变，并证明； ②当OMN ∆面积最小时，求点M 的坐标和OMN ∆面积．10．如图，在平面直角坐标系中，直线334y x =--交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，交直线x a =于点C ，点D 与点B 关于x 轴对称，连接AD 交直线x a =于点E ．（1）填空：ABD S ∆= ．（2）求直线AD 的解析式；（3）在x 轴上存在一点P ，则PE PD +的和最小为；（直接填空即可）（4）当40a -<<时，点Q 为y 轴上的一个动点，使得QEC ∆为等腰直角三角形，求点Q 的坐标．11．如图，已知长方形OABC 的顶点A 在x 轴上，顶点C 在y 轴上，18OA =，12OC =，D 、E 分别为OA 、BC 上的两点，将长方形OABC 沿直线DE 折叠后，点A 刚好与点C 重合，点B 落在点F 处，再将其打开、展平．（1）点B 的坐标是；（2）求直线DE 的函数表达式；（3）设动点P 从点D 出发，以1个单位长度/秒的速度沿折线D A B C →→→向终点C 运动，运动时间为t 秒，求当2PDE OCD S S ∆∆=时t 的值．12．如图1，直线443y x =-+与坐标轴分别相交于A 、B 两点，在第一象限内，以线段AB 为边向外作正方形ABCD ，过A 、C 点作直线AC ．（1）填空：点A 的坐标是，正方形ABCD 的边长等于；（2）求直线AC 的函数解析式；（3）如图2，有一动点M 从B 出发，以1个单位长度/秒的速度向终点C 运动，设运动的时间为t （秒)，连接AM ，当t 为何值时，则AM 平分BAC ∠？请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 交坐标轴于点A (0,6)、B (8,0)，点C 为x 轴正半轴上一点，连接AC ，将ABC ∆沿AC 所在的直线折叠，点B 恰好与y 轴上的点D 重合．（1）求直线AB 的解析式；（2）求出点C 的坐标；（3）点P 为直线AB 上的点，请求出点P 的坐标使94COP S ∆=；（4）点Q 为直线AB 上一动点，连接DQ ，线段DQ 是否存在最小值？若存在，请求出DQ 的最小值，若不存在，请说明理由．14．如图，平面直角坐标系中，(0,2)A ，(1,0)B ，(2,3)C ，CD y ⊥轴于点D ．（1）AOB CDA ∆≅∆；（2）连接BC ，判断ABC ∆的形状，并说明理由；（3）如图（2），已知(3,4)P ，(6,2)Q ，若PQM ∆是等腰直角三角形，且90QPM ∠=︒，则点M 坐标为．15．如图，已知函数12y x b =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与函数y x =图象交于点M ，点M 的横坐标为2，在x 轴上有点(,0)P a （其中2)a >，过点P 作x 轴的垂线，分别交函数12y x b =-+和y x =的图象于点C 、D ．（1）求点A 的坐标；（2）若OB CD =，求a 的值；（3）在（2）条件下若以OD 线段为边，作正方形ODEF ，求直线EF 的表达式．16．如图，正方形ABOD的边长为2，OB在x轴上，OD在y轴上，且//AD OB，AB OD，点C为AB的中点，直线CD交x轴于点F．//（1）求直线CD的函数关系式；（2）过点C作CE DF∠=∠；⊥且交于点E，求证：ADC EDC（3）求点E坐标；（4）点P是直线CE上的一个动点，求PB PF+的最小值．17．已知长方形OABC的边长4AB=，E是OA的中点，分别以OA、OC所在的OA=，3直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线l经过C、E两点．（1）求直线l的函数表达式；（2）如图2，在长方形OABC中，过点E作EG EC∆⊥交AB于点G，连接CG，将COE 沿直线l折叠后得到CEF=．∆，点F恰好落在CG上．证明：GF GA（3）在（2）的条件下求四边形AGFE的面积．18．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上．90=，6OB=，∠=︒且OA ABOABOC=．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴5平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知4t=时，直线l恰好过点C．（1）求点A和点B的坐标；（2）当03<<时，求m关于t的函数关系式；t（3）当 3.5m=时，请直接写出点P的坐标．一次函数综合题参考答案与试题解析1．如图，平面直角坐标系中，直线:AB y x b =-+交y 轴于点(0,4)A ，交x 轴于点B ．（1）求直线AB 的表达式和点B 的坐标；（2）直线l 垂直平分OB 交AB 于点D ，交x 轴于点E ，点P 是直线l 上一动点，且在点D 的上方，设点P 的纵坐标为n ．①用含n 的代数式表示ABP ∆的面积；②当8ABP S ∆=时，求点P 的坐标；③在②的条件下，以PB 为斜边在第一象限作等腰直角PBC ∆，求点C 的坐标．【解答】解：（1）把(0,4)A 代入y x b =-+得4b =∴直线AB 的函数表达式为：4y x =-+．令0y =得：40x -+=，解得：4x =∴点B 的坐标为(4,0)．（2）①l 垂直平分OB ，2OE BE ∴==．将2x =代入4y x =-+得：242y =-+=．∴点D 的坐标为(2,2)．点P 的坐标为(2,)n ，2PD n ∴=-．APB APD BPD S S S ∆∆∆=+，1111(2)2(2)2242222ABP S PD OE PD BE n n n ∆∴=+=-⨯+-⨯=-． ②8ABP S ∆=，248n ∴-=，解得：6n =．∴点P 的坐标为(2,6)．③如图1所示：过点C 作CM l ⊥，垂足为M ，再过点B 作BN CM ⊥于点N ．设点(,)C p q ．PBC ∆为等腰直角三角形，PB 为斜边，PC CB ∴=，90PCM MCB ∠+∠=︒．CM l ⊥，BN CM ⊥，90PMC BNC ∴∠=∠=︒，90MPC PCM ∠+∠=︒．MPC NCB ∴∠=∠．在PCM ∆和CBN ∆中，90PMC BNC MPC NCBPC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， PCM CBN ∴∆≅∆．CM BN ∴=，PM CN =．∴462p q q p -=-⎧⎨=-⎩，解得64p q =⎧⎨=⎩． ∴点C 的坐标为(6,4)．如图2所示：过点C 作CM l ⊥，垂足为M ，再过点B 作BN CM ⊥于点N ．设点(,)C p q ．PBC ∆为等腰直角三角形，PB 为斜边，PC CB ∴=，90PCM MCB ∠+∠=︒．CM l ⊥，BN CM ⊥，90PMC BNC ∴∠=∠=︒，90MPC PCM ∠+∠=︒．MPC NCB ∴∠=∠．在PCM ∆和CBN ∆中，90PMC BNC MPC NCBPC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， PCM CBN ∴∆≅∆．CM BN ∴=，PM CN =．∴462p q q p -=-⎧⎨=-⎩，解得02p q =⎧⎨=⎩． ∴点C 的坐标为(0,2)舍去．综上所述点C 的坐标为(6,4)．2．如图在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形OACB 的顶点A ，B 分别在x ，y 轴上，已知3OA =，点D 为y 轴上一点，其坐标为(0,1)，5CD =，点P 从点A 出发以每秒1个单位的速度沿线段A C B --的方向运动，当点P 与点B 重合时停止运动，运动时间为t 秒（1）求B ，C 两点坐标；（2）①求OPD ∆的面积S 关于t 的函数关系式；②当点D 关于OP 的对称点E 落在x 轴上时，求点E 的坐标；（3）在（2）②情况下，直线OP 上求一点F ，使FE FA +最小．【解答】解（1）四边形OACB 是矩形，3BC OA ∴==，在Rt BCD ∆中，5CD =，3BC =，4BD ∴==，5OB ∴=，(0,5)B ∴，(3,5)C ；（2）①当点P 在AC 上时，1OD =，3BC =，32S ∴=，当点在BC 上时，1OD =，538BP t t =+-=-，111(8)422S t t ∴=⨯⨯-=-+；(0)t ②当点D 关于OP 的对称点落在x 轴上时，点D 的对称点是(1,0)， (1,0)E ∴；（3）如图2点D 、E 关于OP 对称，连接AD 交OP 于F ，则AD 的长度就是AF EF +的最小值，则点F 即为所求．3．如图，直线27y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点C 、B ，与直线32y x =相交于点A ．（1）求A 点坐标；（2）如果在y 轴上存在一点P ，使OAP ∆是以OA 为底边的等腰三角形，则P 点坐标是 13(0,)6；（3）在直线27y x =-+上是否存在点Q ，使OAQ ∆的面积等于6？若存在，请求出Q 点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解方程组：2732y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得：23x y =⎧⎨=⎩ A ∴点坐标是(2,3)；（2）设P 点坐标是(0,)y ，OAP ∆是以OA 为底边的等腰三角形，OP PA ∴=，2222(3)y y ∴+-=，解得136y =， P ∴点坐标是13(0,)6，故答案为13(0,)6；（3）存在；由直线27y x =-+可知(0,7)B ，7(2C ，0)， 172136224AOC S ∆=⨯⨯=<，172762AOB S ∆=⨯⨯=>， Q ∴点有两个位置：Q 在线段AB 上和AC 的延长线上，设点Q 的坐标是(,)x y ，当Q 点在线段AB 上：作QD y ⊥轴于点D ，如图①，则QD x =， 761OBQ OAB OAQ S S S ∆∆∆∴=-=-=， ∴112OB QD =，即1712x ⨯=， 27x ∴=，把27x =代入27y x =-+，得457y =， Q ∴的坐标是2(7，45)7，当Q 点在AC 的延长线上时，作QD x ⊥轴于点D ，如图②则QD y =-， 213644OCQ OAQ OAC S S S ∆∆∆∴=-=-=， ∴1324OC QD =，即173()224y ⨯⨯-=， 37y ∴=-，把37y =-代入27y x =-+，解得267x =， Q ∴的坐标是26(7，3)7-，综上所述：点Q 是坐标是2(7，45)7或26(7，3)7-．4．已知四边形OABC 是边长为4的正方形，分别以OA 、OC 所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线l 经过A 、C 两点．（1）写出点A 、点C 坐标并求直线l 的函数表达式；（2）若P 是直线l 上的一点，当OPA ∆的面积是5时，请求出点P 的坐标；（3）如图2，点(3,1)D -，E 是直线l 上的一个动点，求出使||BE DE -取得最大值时点E 的坐标和最大值（不需要证明）．【解答】解：（1）四边形OABC 是边长为4的正方形，(4,0)A ∴和(0,4)C ；设直线l 的函数表达式(0)y kx b k =+≠，经过(4,0)A 和(0,4)C 得044k b b =+⎧⎨=⎩，解之得14k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线l 的函数表达式4y x =-+；（2）设OPA ∆底边OA 上的高为h ，由题意等1452h ⨯⨯=， 52h ∴=， 5|4|2x ∴-+=，解得32x =或13213(2P ∴，5)2、213(2P ，5)2-；（3）O 与B 关于直线l 对称，∴连接OD 并延长交直线l 于点E ，则点E 为所求，此时||||BE DE OE DE OD -=-=，OD 即为最大值，如图2．设OD 所在直线为1y k x = 1(0)k ≠，经过点(3,1)D -，113k ∴-=，113k ∴=- ∴直线OD 为13y x =-，解方程组：413y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，得62x y =⎧⎨=-⎩， ∴点E 的坐标为(6,2)-．又D 点的坐标为(3,1)-由勾股定理可得OD =．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线483y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，点D 在y 轴的负半轴上，若将DAB ∆沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处．（1）求AB 的长和点C 的坐标；（2）求直线CD 的解析式．【解答】解：（1）直线483y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ， (6,0)A ∴，(0,8)B ，在Rt OAB ∆中，90AOB ∠=︒，6OA =，8OB =，10AB ∴=，DAB ∆沿直线AD 折叠后的对应三角形为DAC ∆， 10AC AB ∴==．16OC OA AC OA AB ∴=+=+=．点C 在x 轴的正半轴上，∴点C 的坐标为(16,0)C ．（2）设点D 的坐标为(0D ，)(0)y y <，由题意可知CD BD =，22CD BD =，在Rt OCD ∆中，由勾股定理得22216(8)y y +=-，解得12y =-．∴点D 的坐标为(0,12)D -，可设直线CD 的解析式为12(0)y kx k =-≠ 点(16,0)C 在直线12y kx =-上， 16120k ∴-=，解得34k =， ∴直线CD 的解析式为3124y x =-． 6．如图，直线24y x =-+交x 轴和y 轴于点A 和点B ，点(0,2)C -在y 轴上，连接AC ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）若点P是直线AB上一点，若BCP∆的面积为3，求点P的坐标；（3）过点B的直线BE交x轴于点(E E点在点A右侧），当45ABE∠=︒时，求直线BE的表达式．【解答】解：（1）24y x=-+交X轴和y轴于点A和点B，∴当0x=时，则4y=；当240y x=-+=时，解得2x=，(2,0)A∴，(0,4)B；（2）设点(,24)P a a-+，如图1，连接PC，则11(42)322BPCS BC a a∆==+=，解得1a=，当1a=时，242a-+=，故点(1,2)P；（3）当45ABE ∠=︒，如图，过点A 作AD AB ⊥交BE 于点D ，过点D 作DH x ⊥轴，45ABE ∠=︒，BAD ∴∆为等腰直角三角形， AB AD ∴=，90BAD ∠=︒，90BAO DAH ∴∠+∠=︒，90DAH ADH ∠+∠=︒， BAO ADH ∴∠=∠，在AOB ∆与DHA ∆中， 90BAO ADH AOB BAD AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， AOB DHA ∴∆≅∆()AAS ， 2OA =，4OB =，246OH OA AH ∴=+=+=，2DH =，(6,2)D ∴， (0,4)B ，设直线BE 的表达式为y kx b =+，则264k b b =+⎧⎨=⎩，解得134k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故直线BE 的表达式为143y x =-+．7．如图，在平面直角坐标系中，过点(6,0)B 的直线AB 与直线OA 相交于点(4,2)A ，动点M 在线段OA 和射线AC 上运动．（1）求直线AB 的解析式．（2）求OAC ∆的面积．（3）是否存在点M ，使OMC ∆的面积是OAC ∆的面积的14？若存在求出此时点M 的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设直线AB 的解析式是y kx b =+，根据题意得：4260k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：16k b =-⎧⎨=⎩，则直线的解析式是：6y x =-+；（2）在6y x =-+中，令0x =，解得：6y =， 164122OAC S ∆=⨯⨯=；（3）设OA 的解析式是y mx =，则42m =，解得：12m =，则直线的解析式是：12y x =，当OMC ∆的面积是OAC ∆的面积的14时， ∴当M 的横坐标是1414⨯=，在12y x =中，当1x =时，12y =，则M 的坐标是1(1,)2；在6y x =-+中，1x =则5y =，则M 的坐标是(1,5)．则M 的坐标是：11(1,)2M 或2(1,5)M ．当M 的横坐标是：1-，在6y x =-+中，当1x =-时，7y =，则M 的坐标是(1,7)-；综上所述：M 的坐标是：11(1,)2M 或2(1,5)M 或3(1,7)M -．8．如图，在平面直角坐标系中，过点(0,6)A 的直线AB 与直线OC 相交于点(2,4)C 动点P 沿路线O C B →→运动．（1）求直线AB 的解析式；（2）当OPB ∆的面积是OBC ∆的面积的14时，求出这时点P 的坐标；（3）是否存在点P ，使OBP ∆是直角三角形？若存在，直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）点A 的坐标为(0,6)， ∴设直线AB 的解析式为6y kx =+，点(2,4)C 在直线AB 上， 264k ∴+=， 1k ∴=-，∴直线AB 的解析式为6y x =-+；（2）由（1）知，直线AB 的解析式为6y x =-+，令0y =， 60x ∴-+=， 6x ∴=，(6,0)B ∴，1122OBC C S OB y ∆∴==，OPB ∆的面积是OBC ∆的面积的14， 11234OPB S ∆∴=⨯=，设P 的纵坐标为m ， 1332OPB S OB m m ∆∴===，1m ∴=，(2,4)C ，∴直线OC 的解析式为2y x =，当点P 在OC 上时，12x =， 1(2P ∴，1)，当点P 在BC 上时，615x =-=， (5,1)P ∴，即：点1(2P ，1)或(5,1)；（3）OBP ∆是直角三角形， 90OPB ∴∠=︒，当点P 在OC 上时，由（2）知，直线OC 的解析式为2y x =①， ∴直线BP 的解析式的比例系数为12-， (6,0)B ，∴直线BP 的解析式为132y x =-+②，联立①②，解得65125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，6(5P ∴，12)5，当点P 在BC 上时，由（1）知，直线AB 的解析式为6y x =-+③，∴直线OP 的解析式为y x =④，联立③④解得，33x y =⎧⎨=⎩，(3,3)P ∴，即：点P 的坐标为6(5，12)5或(3,3)．9．如图（1），在平面直角坐标系中，直线443y x =-+交坐标轴于A 、B 两点，过点(4,0)C -作CD 交AB 于D ，交y 轴于点E ．且COE BOA ∆≅∆．（1）求B 点坐标为 (0,4) ；线段OA 的长为；（2）确定直线CD 解析式，求出点D 坐标；（3）如图2，点M 是线段CE 上一动点（不与点C 、E 重合），ON OM ⊥交AB 于点N ，连接MN ．①点M 移动过程中，线段OM 与ON 数量关系是否不变，并证明； ②当OMN ∆面积最小时，求点M 的坐标和OMN ∆面积．【解答】解：（1）直线443y x =-+交坐标轴于A 、B 两点，∴当0y =时，3x =，当0x =时，4y =， ∴点A 的坐标为(3,0)，点B 的坐标为(0,4)，3OA ∴=；故答案为：(0,4)，3；（2）过点(4,0)C -作CD 交AB 于D ，交y 轴于点E ．且COE BOA ∆≅∆， 4OC ∴=，OC OB =，OE OA =，点(3,0)A ， 3OA ∴=，3OE ∴=，∴点E 的坐标为(0,3)，设过点(4,0)C -，点(0,3)E 的直线解析式为y kx b =+， 403k b b -+=⎧⎨=⎩，得343k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线CE 的解析式为334y x =+，即直线CD 的解析式为334y x =+，由334443y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得12258425x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点D 的坐标为12(25，84)25；（3）①线段OM 与ON 数量关系是OM ON =保持不变，证明：COE BOA ∆≅∆， OE OA ∴=，OEM OAN ∠=∠， 90BOA ∠=︒，ON OM ⊥， 90MON BOA ∴∠=∠=︒，MOE EON EON NOA ∴∠+∠=∠+∠， MOE NOA ∴∠=∠，在MOE ∆和NOA ∆中， MOE NOA OE OAOEM OAN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()MOE NOA SAS ∴∆≅∆， OM ON ∴=，即线段OM 与ON 数量关系是OM ON =保持不变； ②由①知OM ON =， OM ON ⊥，OMN ∴∆面积是：222OM ON OM =， ∴当OM 取得最小值时，OMN ∆面积取得最小值，4OC =，3OE =，90COE ∠=︒， 5CE ∴=，当OM CE ⊥时，OM 取得最小值， ∴22OM CE OC OE=， ∴54322OM ⨯⨯=，解得，125OM =， OMN ∴∆面积取得最小值是：212()725225=，当OMN ∆取得最小值时，设此时点M 的坐标为3(,3)4a a +，∴222312(3)()45a a ++=，解得，3625a =-， ∴3483425a +=， ∴点M 的坐标为36(25-，48)25，由上可得，当OMN ∆面积最小时，点M 的坐标是36(25-，48)25和OMN ∆面积是722510．如图，在平面直角坐标系中，直线334y x =--交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，交直线x a =于点C ，点D 与点B 关于x 轴对称，连接AD 交直线x a =于点E ．（1）填空：ABD S ∆= 12 ．（2）求直线AD 的解析式；（3）在x 轴上存在一点P ，则PE PD +的和最小为；（直接填空即可）（4）当40a -<<时，点Q 为y 轴上的一个动点，使得QEC ∆为等腰直角三角形，求点Q 的坐标．【解答】解：（1）如图1，直线334y x =--交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，令0x =，3y =-， (0,3)B ∴-，令0y =，3034x =--，4x ∴=-，(4,0)A ∴-，点D 与点B 关于x 轴对称， (0,3)D ∴， 11461222ABD S BD OA ∆∴=⨯=⨯⨯=，故答案为：12；（2）如图1，设直线AD 的解析式为y kx b =+，由（1）知，(4,0)A -，(0,3)D ， ∴403k b b -+=⎧⎨=⎩，∴343k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AD 的解析式为334y x =+；（3）解法一：如图2，点D 与点B 关于x 轴对称， ∴当BE AD ⊥时，BE 的值最小，即PD PE BE +=，4OA =，3OD =， 5AD ∴=，1122ABD S BD AO AD BE ∆∴==， 1164522BE ⨯⨯=⨯⨯， 245BE =；则PE PD +的和最小为245；解法二：如图2，由（2）知，直线AD 的解析式为334y x =+，直线:CE x a =， 3(,3)4E a a ∴+，点D 与点B 关于x 轴对称，∴连接BE 交x 轴于P ，此时，PD PE +最小，最小值为BE ，BE ===BE ∴245=，则PE PD +的和最小为245；故答案为：245；（4）//EF OD ，AEF ADO ∴∆∆∽， ∴34EF OD AF AO ==，设3EF x =，4AF x =，QEC ∆为等腰直角三角形时，存在以下三种情况：①当E 为直角顶点时，如图3，16EQ EC x ==，则464x x +=，25x =， 635EF x ∴==， 16(0,)5Q ∴；②当C 为直角顶点时，如图3，同理得26(0,)5Q -；③当Q 为直角顶点时，如图4，此时Q 与O 重合，(0,0)Q综上，点Q的坐标为6(0,)5Q或6(0,)5或(0,0)．11．如图，已知长方形OABC 的顶点A 在x 轴上，顶点C 在y 轴上，18OA =，12OC =，D 、E 分别为OA 、BC 上的两点，将长方形OABC 沿直线DE 折叠后，点A 刚好与点C 重合，点B 落在点F 处，再将其打开、展平．（1）点B 的坐标是 (18,12) ；（2）求直线DE 的函数表达式；（3）设动点P 从点D 出发，以1个单位长度/秒的速度沿折线D A B C →→→向终点C 运动，运动时间为t 秒，求当2PDE OCD S S ∆∆=时t 的值．【解答】解：（1）四边形ABCO 是矩形，AB OC ∴=，BC AO =，18OA =，12OC =，12AB ∴=，18BC =，∴点B 坐标(18,12)故答案为：(18,12)（2）折叠AD CD ∴=，ADE CDE ∠=∠，222OC OD CD +=，22144(18)OD OD ∴+=-，5OD ∴=，13CD ∴=，点D 坐标为(5,0)，//BC AO ，CED EDA ∴∠=∠，且ADE CDE ∠=∠，CED CDE ∴∠=∠，13CE CD ∴==，∴点E 坐标为(13,12)，设直线DE 的函数表达式为y kx b =+，∴051213k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：32k =，152b =- ∴解析式31522y x =- （3）2PDE OCD S S ∆∆=，12125602PDE S OC OD ∆∴=⨯⨯⨯=⨯= 当点P 在AD 上时，112602PDE S PD ∆=⨯⨯=， 10PD ∴=10101t ∴==，当点P 在AB 上时，()11108512136022PDE PBE APD ABED S S S S AP AP ∆∆∆=--=-⨯⨯--⨯⨯=梯形 92AP ∴= 91335212t +∴== 当点P 在BC 上时，112602PDE S PE ∆=⨯⨯= 10PE ∴=1051213401t +++∴==综上所述：当2PDE OCD S S ∆∆=时，t 的值为10，352，40． 12．如图1，直线443y x =-+与坐标轴分别相交于A 、B 两点，在第一象限内，以线段AB 为边向外作正方形ABCD ，过A 、C 点作直线AC ．（1）填空：点A 的坐标是 (3,0) ，正方形ABCD 的边长等于；（2）求直线AC 的函数解析式；（3）如图2，有一动点M 从B 出发，以1个单位长度/秒的速度向终点C 运动，设运动的时间为t （秒)，连接AM ，当t 为何值时，则AM 平分BAC ∠？请说明理由．【解答】解：（1）直线443y x =-+与坐标轴分别相交于A 、B 两点，令0x =，则4y =，(0,4)B ∴，令0y =，则4043x =-+， 3x ∴=，(3,0)A ∴，5AB ∴=，故答案为：(3,0)，5；（2）如图1，过点C 作CN OB ⊥于N ，90CBN BCN ∴∠+∠=︒，四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABC ∠=︒，90OBA CBN ∴∠+∠=︒，OBA BCN ∴∠=∠，在AOB ∆和BNC ∆中，90AOB BNC ABO BCNAB BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AOB BNC AAS ∴∆≅∆，4CN OB ∴==，3BN OA ==，7ON OB BN ∴=+=，(4,7)C ∴，设直线AC 的解析式为y kx b =+，(3,0)A ，∴4730k b k b +=⎧⎨+=⎩，∴721k b =⎧⎨=-⎩∴直线AC 的解析式为721y x =-；（3）如图2，过M 作MF AC ⊥当AM 为BAC ∠的角平分线时，MF AC ⊥，MB AB ⊥BM FM ∴=45MCF ∠=︒，MF CF ∴=设BM x =，则5CM x =-，则CM5x ∴-1)5x ∴=5x ∴==t ∴为5时，AM 平分BAC ∠．13．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交坐标轴于点A(0,6)、B(8,0)，点C为x轴正半轴上一点，连接AC，将ABC∆沿AC所在的直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合．（1）求直线AB的解析式；（2）求出点C的坐标；（3）点P为直线AB上的点，请求出点P的坐标使94COPS∆=；（4）点Q为直线AB上一动点，连接DQ，线段DQ是否存在最小值？若存在，请求出DQ的最小值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为：y kx b=+，把A(0,6)、B(8,0)的坐标代入得：680bk b=⎧⎨+=⎩，解得：346k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，AB ∴的解析式为：364y x =-+；（2）点A (0,6)、B (8,0)，6OA ∴=，8OB =，10AB ∴===，由折叠的性质的10AD AB ==，设OC x =，则8BC CD x ==-，68OA OB ==，10AD AB ∴==，从而可知4OD =，∴在OCD ∆中由勾股定理得2224(8)x x +=-，解得3x =，(3,0)C ∴；（3）点P 为直线AB 上的点，∴设3(,6)4P m m -+， 1393|6|244COP S m ∆=⨯⨯-+=； 6m ∴=或10m =，3(6,)2P ∴或3(10,)2-；（4）DQ 存在最小值．理由如下：连接BD ，则ABD ∆为等腰三角形，由垂线段最短可知，DQ 的最小值即为ABD ∆腰上的高， DQ ∴的最小值8OB ==．14．如图，平面直角坐标系中，(0,2)A ，(1,0)B ，(2,3)C ，CD y ⊥轴于点D ．（1）AOB CDA ∆≅∆；（2）连接BC ，判断ABC ∆的形状，并说明理由；（3）如图（2），已知(3,4)P ，(6,2)Q ，若PQM ∆是等腰直角三角形，且90QPM ∠=︒，则点M 坐标为 (1,1)或(5,7) ．【解答】解：（1）(2,3)C ，3OD ∴=，2CD =，(0,2)A ，(1,0)B ，2OA ∴=，1OB =，1AD ∴=，AD OB ∴=，在AOB ∆和CDA ∆中，90OB AD AOB CDA AO CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()AOB CDA SAS ∴∆≅∆；（2）ABC ∆是等腰直角三角形，理由如下：AOB CDA ∆≅∆，ABO CAD ∴∠=∠，AC AB =，90ABO BAO ∠+∠=︒，90CAD BAO ∴∠+∠=︒，90BAC ∴∠=︒，又AC AB =，ABC ∴∆是等腰直角三角形；（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线GH ，作MG GH ⊥于G ，QH GH ⊥于H ， (3,4)P ，(6,2)Q ，3PH ∴=，2QH =，MPQ ∆为等腰直角三角形，90MPQ ∴∠=︒，PM PQ =，90MPG HPQ ∴∠+∠=︒，90MPG PMG ∠+∠=︒，GMP HPQ ∴∠=∠，在GMP ∆和HPQ ∆中，GMP HPQ PGM QHP PM PQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()GMP HPQ AAS ∴∆≅∆3GM PH ∴==，2GP HQ ==，∴点M 坐标为(1,1)，过点P 作y 轴的平行线ST ，作M S ST '⊥于S ，QT ST ⊥于T ，同理可得，△M ST PTQ '≅∆，2M S PT ∴'==，3SP TQ ==，∴点M '坐标为(5,7)，故答案为：(1,1)或(5,7)．15．如图，已知函数12y x b =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与函数y x =图象交于点M ，点M 的横坐标为2，在x 轴上有点(,0)P a （其中2)a >，过点P 作x 轴的垂线，分别交函数12y x b =-+和y x =的图象于点C 、D ．（1）求点A 的坐标；（2）若OB CD =，求a 的值；（3）在（2）条件下若以OD 线段为边，作正方形ODEF ，求直线EF 的表达式．【解答】解：（1）点M 在直线y x =的图象上，且点M 的横坐标为2， ∴点M 的坐标为(2,2)，把(2,2)M 代入12y x b =-+得12b -+=，解得3b =， ∴一次函数的解析式为132y x =-+，把0y =代入132y x =-+得1302x -+=，解得6x =， A ∴点坐标为(6,0)，（2）把0x =代入132y x =-+得3y =， B ∴点坐标为(0,3)，CD OB =，3CD ∴=，PC x ⊥轴，C ∴点坐标为1(,3)2a a -+，D 点坐标为(,)a a ， 1(3)32a a ∴--+=， 4a ∴=．（3）如图以OD 为边作正方形ODEF 有两种情况．(4,4)D ，当正方形为ODE F ''时，90DOF ∠'=︒，OD 与x 轴夹角为045，x ∴轴平分DOF ∠'，∴正方形顶点1E 在x 轴上，由对称性知(8,0)E ∴'，(4,4)F '-，∴直线E F ''的解析式为8y x =-，同理当正方形为ODEF 时，∴直线EF 的解析式为8y x =+．16．如图，正方形ABOD 的边长为2，OB 在x 轴上，OD 在y 轴上，且//AD OB ，//AB OD ，点C 为AB 的中点，直线CD 交x 轴于点F ．（1）求直线CD 的函数关系式；（2）过点C 作CE DF ⊥且交于点E ，求证：ADC EDC ∠=∠；（3）求点E 坐标；（4）点P 是直线CE 上的一个动点，求PB PF +的最小值．【解答】解：（1）四边形ABOD 为正方形，2AB BO OD AD ∴====，(0,2)D ∴， C 为AB 的中点，1BC ∴=，(2,1)C ∴-，设直线CD 解析式为(0)y kx b k =+≠，∴212k b b -+=⎧⎨=⎩，解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线CD 的函数关系式为122y x =+；（2）C 是AB 的中点，AC BC ∴=，四边形ABOD 是正方形，90A CBF ∴∠=∠=︒，在ACD ∆和BCF ∆中A CBFAC BC ACD BCF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ACD BCF ASA∴∆≅∆，CF CD∴=，CE DF⊥，CE∴垂直平分DF，DE FE∴=，EDC EFC∴∠=∠，//AD BF，EFC ADC∴∠=∠，ADC EDC∴∠=∠；（3）由（2）可2BF AD==，且1BC=，90CBF CBE FCE∠=∠=∠=︒，90 CFB FCB FCB ECB∴∠+∠=∠+∠=︒，CFB BCE∴∠=∠，BCF BEC∴∆∆∽，∴BF CBCB BE=，即211BE=，解得12BE=，13222OE OB BE∴=-=-=，E∴点坐标为3(2-，0)；方法二：设DE EF x==，在Rt DEO∆中，利用勾股定理求出x即可．（4）如图，连接BD交直线CE于点P，由（2）可知点D与点F关于直线CE对称，PD PF∴=，PB PF PB PD BD∴+=+，(2,0)B -，(0,2)D ，BD ∴=，PB PF ∴+的最小值为17．已知长方形OABC 的边长4OA =，3AB =，E 是OA 的中点，分别以OA 、OC 所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线l 经过C 、E 两点．（1）求直线l 的函数表达式；（2）如图2，在长方形OABC 中，过点E 作EG EC ⊥交AB 于点G ，连接CG ，将COE ∆沿直线l 折叠后得到CEF ∆，点F 恰好落在CG 上．证明：GF GA =．（3）在（2）的条件下求四边形AGFE 的面积．【解答】（1）解：矩形OABC 的边长4OA =，3AB =，E 是OA 的中点， 3OC AB ∴==，2OE =，(2,0)E ∴，(0,3)C ．设直线l 的解析式(0)y kx b k =+≠．将(2,0)E ，(0,3)C ，分别代入y kx b =+得203k b b +=⎧⎨=⎩解得323k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线l 的解析式332y x =-+；（2）证明：四边形OABC 是矩形，90COA OAB ∴∠=∠=︒．又根据折叠的性质得到90COE CFE ∠=∠=︒，OE EF =，90EFG EAG ∴∠=∠=︒．又E 是OA 的中点，OE AE ∴=，EF EA ∴=，∴在Rt EFG ∆和Rt EAG ∆中，EF EA EG EG =⎧⎨=⎩， Rt EFG Rt EAG(HL)∴∆≅∆，GF GA ∴=；（3）解：由（2）知，GF GA =，根据折叠的性质知3OC CF ==．3BG AB AG AG =-=-，3CG CF GF GA =+=+，2AE =，∴在Rt CBG ∆中，由勾股定理得：222CG BC BG =+，即222(3)(3)4AG AG +=-+，解得，43AG =．由（2）知，Rt EFG Rt EAG ∆≅∆，Rt EFG Rt EAG S S ∆∆∴=，114822222233Rt EAG AGFE S S AE AG ∆∴==⨯⋅=⨯⨯⨯=四边形，即四边形AGFE 的面积是83． 18．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，点A 在第一象限，点C 在第四象限，点B 在x 轴的正半轴上．90OAB ∠=︒且OA AB =，6OB =，5OC =．点P 是线段OB 上的一个动点（点P 不与点O ，B 重合），过点P 的直线l 与y 轴平行，直线l 交边OA 或边AB 于点Q ，交边OC 或边BC 于点R ．设点P 的横坐标为t ，线段QR 的长度为m ．已知4t =时，直线l 恰好过点C ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）当03t <<时，求m 关于t 的函数关系式；（3）当 3.5m =时，请直接写出点P 的坐标．【解答】解：（1）如图：过点A 作AM OB ⊥于M ，90OAB ∠=︒，OA AB =，6OB =，AM OB ⊥，132AM OM MB OB ∴====， ∴点A 的坐标为(3,3)，点B 的坐标为(6,0)；（2）作CN x ⊥轴于N ，如图，4t =时，直线l 恰好过点C ，4ON ∴=，在Rt OCN ∆中，3CN =， C ∴点坐标为(4,3)-，设直线OC 的解析式为y kx =，把(4,3)C -代入得43k =-，解得34k =-， ∴直线OC 的解析式为34y x =-，设直线OA 的解析式为y ax =，把(3,3)A 代入得33a =，解得1a =， ∴直线OA 的解析式为y x =， (P t ，0)(03)t <<，(,)Q t t ∴，3(,)4R t t -， 37()44QR t t t ∴=--=，即7(03)4m t t =<<；（3）设直线AB 的解析式为y px q =+，把(3,3)A ，(6,0)B 代入得：3360p q p q +=⎧⎨+=⎩，解得16p q =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为6y x =-+，同理可得直线BC 的解析式为392y x =-，当03t <<时，74m t =，若 3.5m =，则73.54t =，解得2t =，此时P 点坐标为(2,0)；当34t <时，(,6)Q t t -+，3(,)4R t t -， ∴316()644m t t t =-+--=-+，若 3.5m =，则13.564t =-+，解得10t =（不合题意舍去）；当46t <时，(,6)Q t t -+，3(,9)2R t t -， ∴356(9)1522m t t t =-+--=-+，若 3.5m =，则53.5152t =-+，解得235t =，此时P 点坐标为23(5，0)；综上所述，满足条件的P 点坐标为(2,0)或23(5，0)．。

(完整版)一次函数压轴题经典.docx

一次函数压轴题训练典型例题题型一、 A 卷压轴题一、 A 卷中涉及到的面积问题例 1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数 y 12x 2 与 x 轴、 y 轴分别相交于点3A 和点B ，直线 y 2 kx b (k0) 经过点 C （ 1，0）且与线段 AB 交于点 P ，并把△ ABO 分成两部分．（ 1）求△ ABO 的面积；（ 2）若△ ABO 被直线 CP 分成的两部分的面积相等，求点 P 的坐标及直线CP 的函数表达式。

yy 1B PO CAxy 2练习 1、如图，直线 l 1 过点 A （ 0， 4），点 D （ 4， 0），直线 l 2 ： y1x 1与 x 轴交于点 C ，2两直线 l 1 ， l 2 相交于点 B 。

l 1y（1）、求直线 l 1 的解析式和点 AB 的坐标；l 2（2）、求△ ABC 的面积。

BCODx二、 A 卷中涉及到的平移问题例 2、正方形 ABCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在X轴的正半轴上，且 A 点的坐标是（1， 0）。

4 8①直线 y=3x- 3经过点 C，且与 x 轴交与点E，求四边形AECD的面积；②若直线 l 经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分求直线l 的解析式，③若直线 l1经过点F3 .0 且与直线y=3x平行,将②中直线l沿着y轴向上平移2个单位23交 x 轴于点M , 交直线l1于点N , 求NMF 的面积.练习 1、如图，在平面直角坐标系中，直线l1： y4x 与直线 l2： y kx b 相交于3点 A，点 A 的横坐标为 3，直线l2交y轴于点 B，且OA 1OB 。

2（1）试求直线l 2函数表达式。

（6分）（2）若将直线l 1沿着x轴向左平移3个单位，交y 轴y 于点 C，交直线l2于点 D；试求△ BCD的面积。

（4分）。

L 2l 1A1x题型二、 B 卷压轴题一、一次函数与特殊四边形例 1、如图，在平面直角坐标系中，点A、B 分别在 x 轴、y 轴上，线段OA、 OB的长 (0A<OB)2x y2x 与直线是方程组的解，点 C是直线y3x y6AB的交点，点 D 在线段 OC上， OD=25(1)求点 C 的坐标；(2)求直线 AD的解析式；(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以 0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习 1、. 如图 , 在平面直角坐标系xOy 中,已知直线PA是一次函数y=x+m( m>0)的图象,直线 PB是一次函数y3x n(n > m )的图象,点P是两直线的交点, 点 A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点。

一次函数综合题(解析版)--2024年中考数学压轴题专项训练

一次函数综合题通用的解题思路：(1)一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．(2)一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x 的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．(3)用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．1(2024•鼓楼区一模)如图，直线y =-3x +6与⊙O 相切，切点为P ，与x 轴y 轴分别交于A 、B 两点．⊙O 与x 轴负半轴交于点C ．(1)求⊙O 的半径；(2)求图中阴影部分的面积．【分析】(1)由OP =OA ⋅sin60°，即可求解；(2)由图中阴影部分的面积=S 扇形COP -S ΔPOC ，即可求解．【解答】解：(1)对于直线y =-3x +6，令y =-3x +6=0，则x =23，即OA =23，由一次函数的表达式知，OB =6，则tan ∠BAC =OB AO =623=3，则∠BAC =60°连接OP ，则OP ⊥AB ，则OP =OA ⋅sin60°=23×32=3；(2)过点P 作PH ⊥AC 于点H ，∵∠POH =30°，则∠POC =150°，PH =12OP =32，则图中阴影部分的面积=S 扇形COP -S ΔPOC =150°360°×π×32-12×3×32=15π-94．【点评】本题考查了一次函数和圆的综合运用，涉及到圆切线的和一次函数的性质，解直角三角形，面积的计算等，综合性强，难度适中．2(2023•宿豫区三模)如图①，在平面直角坐标系中，直线l 1:y =x +1与直线l 2:x =-2相交于点D ，点A 是直线l 2上的动点，过点A 作AB ⊥l 1于点B ，点C 的坐标为(0,3)，连接AC ，BC ．设点A 的纵坐标为t ，ΔABC 的面积为s ．(1)当t =2时，求点B 的坐标；(2)s 关于t 的函数解析式为s =14t 2+bt -54t -1或t 5 a t +1 t -5 (-1<t <5)，其图象如图②所示，结合图①、②的信息，求出a 与b 的值；(3)在直线l 2上是否存在点A ，使得∠ACB =90°，若存在，请求出此时点A 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)解法一：先根据t =2可得点A (-2,2)，因为B 在直线l 1上，所以设B (x ,x +1)，利用y =0代入y =x +1可得G 点的坐标，在Rt ΔABG 中，利用勾股定理列方程可得点B 的坐标；解法二：根据可以使用y =x +1与x 轴正半轴夹角为45度来解答；(2)先把(7,4)代入s =14t 2+bt -54中计算得b 的值，计算在-1<t <5范围内图象上一个点的坐标值：当t =2时，根据(1)中的数据可计算此时s =94，可得坐标2,94，代入s =a (t +1)(t -5)中可得a 的值；(3)存在，设B (x ,x +1)，如图5和图6，分别根据两点的距离公式和勾股定理列方程可解答．【解答】解：(1)解法一：如图1，连接AG ，当t =2时，A (-2,2)，设B (x ,x +1)，在y =x +1中，当x =0时，y =1，∴G (0,1)，∵AB ⊥l 1，∴∠ABG =90°，∴AB 2+BG 2=AG 2，即(x +2)2+(x +1-2)2+x 2+(x +1-1)2=(-2)2+(2-1)2，解得：x 1=0(舍)，x 2=-12，∴B -12，12；解法二：如图1-1，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，过点A 作AH ⊥BE 于H ，当x =0时，y =1，当y =0时，x +1=0，则x =-1，∴OF =OG =1，∵∠GOF =90°，∴∠OGF =∠OFG =45°，∴BE =EF ，∵∠ABD =90°，∴∠ABH =∠BAH =45°，∴ΔABH 是等腰直角三角形，∴AH =BH ，当t =2时，A (-2,2)，设B (x ,x +1)，∴x +2=2-(x +1)，∴x =-12，∴B -12，12 ；(2)如图2可知：当t =7时，s =4，把(7,4)代入s =14t 2+bt -54中得：494+7b -54=4，解得：b =-1，如图3，过B 作BH ⎳y 轴，交AC 于H ，由(1)知：当t =2时，A (-2,2)，B -12，12 ，∵C (0,3)，设AC 的解析式为：y =kx +n ，则-2k +n =2n =3 ，解得k =12n =3 ，∴AC 的解析式为：y =12x +3，∴H -12，114，∴BH =114-12=94，∴s=12BH⋅|x C-x A|=12×94×2=94，把2,9 4代入s=a(t+1)(t-5)得：a(2+1)(2-5)=94，解得：a=-1 4；(3)存在，设B(x,x+1)，当∠ACB=90°时，如图5，∵∠ABD=90°，∠ADB=45°，∴ΔABD是等腰直角三角形，∴AB=BD，∵A(-2,t)，D(-2,-1)，∴(x+2)2+(x+1-t)2=(x+2)2+(x+1+1)2，(x+1-t)2=(x+2)2，x+1-t=x+2或x+1-t=-x-2，解得：t=-1(舍)或t=2x+3，RtΔACB中，AC2+BC2=AB2，即(-2)2+(t-3)2+x2+(x+1-3)2=(x+2)2+(x+1-t)2，把t=2x+3代入得：x2-3x=0，解得：x=0或3，当x=3时，如图5，则t=2×3+3=9，∴A(-2,9)；当x=0时，如图6，此时，A(-2,3)，综上，点A的坐标为：(-2,9)或(-2,3)．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积、两点间距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3(2023•溧阳市一模)如图1，将矩形AOBC放在平面直角坐标系中，点O是原点，点A坐标为(0,4)，点B坐标为(5,0)，点P是x轴正半轴上的动点，连接AP，ΔAQP是由ΔAOP沿AP翻折所得到的图形．(1)当点Q落在对角线OC上时，OP=　165　；(2)当直线PQ经过点C时，求PQ所在的直线函数表达式；(3)如图2，点M是BC的中点，连接MP、MQ．①MQ的最小值为；②当ΔPMQ是以PM为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．【分析】(1)通过Q 点在OC 上，可以通过∠BOC 的三角函数和∠OAP 的三角函数来导出对应的边的关系，求得结果；(2)通过直角ΔAQC 中，得到QC 的长度，然后通过OP =PQ =x ，可以在Rt ΔBCP 中，得到对应的x 值然后求出结果；(3)通过QA =OA =4，可得出Q 点的运动轨迹，是以A 点为圆心，4为半径长度的圆弧，从而可知，MA 的连线上的Q 点为最短的MQ 长度，通过分类讨论，PM =PQ ，PM =QM ，PQ =QM 来求得对应的P 的坐标．【解答】解：(1)如图1，∵∠OAP +∠AOE =90°，∠BOC +∠AOE =90°，∴∠OAP =∠BOC ，又∵∠AOP =∠OBC =90°，∴ΔOAP ∽ΔBOC ，∴OP BC =OA OB ，即OP 4=45，∴OP =165，故答案为：165；(2)如图，∵AQ ⊥PQ ，∴∠AQC =90°，∴QC =AC 2-AQ 2=52-42=3，∵AQ =AO =4，设OP =PQ =x ，则CP =3+x ，PB =5-x ，∴CP 2=BP 2+BC 2，(3+x )2=(5-x )2+42，x =2，∴P 点的坐标为(2,0)，将P (2,0)和C (5,4)代入y =kx +b 中，0=2k +b 4=5k +b ，解得：k =43b =-83，∴PQ 所在直线的表达式为：y =43x -83；(3)如图，①∵AQ =AO =4，∴Q 点的运动轨迹，是以A 为圆心，4为半径的圆弧，∴MQ 的最小值在AM 的连线上，如图，MQ ′即为所求，∵M 是BC 中点，CM =12BC =2，∴AM =52+22=29，MQ ′=MA -AQ ′=29-4，故答案为：29-4；②如图，设OP =PQ =x ，BP =5-x ，∴PM 2=(5-x )2+22=x 2-10x +29，当PM =PQ 时，PM 2=PQ 2，∴x 2-10x +29=x 2，x =2910，∴P 2910，0，当MP =MQ 时，如图，若点Q 在AC 上，则AQ =OA =4，∵MP =MQ ，MB =MC ，∠PBM =∠QCM ，∴ΔPMB ≅ΔQMC (HL )，∴PB =QC ，QC =AC -AQ =5-4=1，∴PB =1，∴OP =BO -PB =5-1=4，∴P (4,0)；若点Q 在AC 上方时，由对称性可知OM =MQ ，∵MQ =MQ ，∴MO =MP ，∴P (10,0)；当MQ =PQ 时，不符合题意，不成立，故P 点坐标为P 2910，0或P (4,0)或(10,0)．【点评】本题考查一次函数的图象及应用，通过一次函数坐标图象的性质，三角函数的性质，全等三角形的性质和勾股定理，来求得对应的解．4(2022•启东市模拟)我们知道一次函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象关于y 轴对称，所以我们定义：函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)互为“M ”函数．(1)请直接写出函数y =2x +5的“M ”函数；(2)如果一对“M ”函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象交于点A ，且与x 轴交于B ，C 两点，如图所示，若∠BAC =90°，且ΔABC 的面积是8，求这对“M ”函数的解析式；(3)在(2)的条件下，若点D 是y 轴上的一个动点，当ΔABD 为等腰三角形时，请求出点D 的坐标．【分析】(1)根据互为“M ”函数的定义，直接写出函数y =2x +5的“M ”函数；(2)现根据已知条件判断ΔABC 为等腰直角三角形，再根据互为“M ”函数的图象关于y 轴对称，得出OA =OB =OC ，再根据函数解析式求出点A 、B 、C 的坐标，再根据ΔABC 的面积是8求出m 、n 的值，从而求出函数解析式；(3)ΔABD 为等腰三角形，分以A 为顶点，以B 为顶点，以D 为顶点三种情况讨论即可．【解答】(1)解：根据互为“M ”函数的定义，∴函数y =2x +5的“M ”函数为y =-2x +5；(2)解：根据题意，y =mx +n 和y =-mx +n 为一对“M 函数”．∴AB =AC ，又∵∠BAC =90°，∴ΔABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC =∠ACB =45°，∵OB =OC ，∴∠BAO =∠CAO =45°，∴OA =OB =OC ，又∵S ΔABC =12×BC ×AO =8且BC =2AO ，∴AO =22，∵A 、B 、C 是一次函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象于坐标轴的交点，∴A (0,n )，B -n m ，0 ，C n m ，0，∵OA =OB =n ，∴n m=22，∴m =1，∴y =x +22和y =-x +22；(3)解：根据等腰三角形的性质，分情况，∵AO =BO =22，∴AB =4，由(2)知，A (0，22)，B (-22，0)，C (22，0)，∴①以A 为顶点，则AB =AD ，当点D 在点A 上方时，AD =22+4，当点D 在点A 下方时，AD =22-4，∴D 1(0，22+4)，D 2(0，22-4)，②以B 为顶点，则BA =BD ，此时点D 在y 轴负半轴，∴D 3(0,-22)，③以D 为顶点，则DA =DB ，此时D 为坐标原点，∴D 4(0,0)．∴D 点坐标为D 1(0，22+4)，D 2(0，22-4)，D 3(0,-22)，∴D 4(0,0)．【点评】本题考查一次函数的综合应用，以及新定义、等腰三角形的性质等知识，关键是理解新定义，用新定义解题．5(2024•新北区校级模拟)如图①，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，以v 1的速度沿折线A -B -C 向终点C 运动；同时，一动点Q 从点D 出发，以v 2的速度沿DC 向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E 为CD 的中点，连接PE ，PQ ，记ΔEPQ 的面积为S ，点P 运动的时间为t ，其函数图象为折线MN -NF 和曲线FG (图②)，已知，ON =4，NH =1，点G 的坐标为(8,0)．(1)点P 与点Q 的速度之比v 1v 2的值为　85　；AB AD的值为；(2)如果OM =15．①求线段NF 所在直线的函数表达式；②求FG 所在曲线的函数表达式；③是否存在某个时刻t ，使得S ≥154？若存在，求出t 的取值范围：若不存在，请说明理由．【分析】(1)由函数图象可知t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，则Q 的速度v 2=DE 4，P 的速度v 1=AB 4，从而得出答案；(2)①当t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，此时S ΔADE =2，可得AD =BC =DE =15，AB =CD =53AD =10，从而得出点P 与Q 的速度，即可得出点F 的坐标，利用待定系数法可得答案；②设FG 所在的曲线的数解析式为S =a (t -6)2+k (a ≠0)，把F 5,154，G (8,0)代入解析式求得a ，k 值即可求解答；③利用待定系数法求出直线MN 的函数解析式，当S =154时，可得t 的值，根据图象可得答案．【解答】解：(1)∵ON =4，NH =1，G (8,0)，∴N (4,0)，H (5,0)，由图象可知：t =4时，Q 与E 重合，t =5时，P 与B 重合，t =8时，P 与C 重合，∴Q 的速度v 2=DE 4，P 的速度v 1=AB 5，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∵E 为CD 的中点，∴DE =12CD =12AB ，∴v 1v 2=AB5DE 4=AB 5⋅4DE =85，∵P 从A 到B 用了5秒，从B 到C 用了3秒，∴AB =5v 1，BC =3v 1，∴AB =53BC ，∴AB :AD 的值为53，故答案为：85，53；(2)①∵OM =15，∴M (0,15)，由题知，t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，∴S ΔEPQ =12AD ⋅DE =15，∵AB :AD =53，DE =12AB ，∴DE =56AD ，∴12AD ⋅56AD =15，∴AD =BC =6(舍去负值)，∴AB =CD =53AD =10，∴v 2=DE 4=54，当t =5时，DQ =v 2t =54×5=254，∴QE =DQ -DE =254-5=54，此时P 与B重合，∴S ΔEPQ =12EQ ⋅BC =12×54×6=154，∴F 5,154 ，设直线NF 的解析式为S =kt +b (k ≠0)，将N (4,0)与F 5,154 代入得：4k +b =05k +b =154，∴k =154b =-15 ，∴线段NF 所在直线的函数表达式为S =154t -15(4<t ≤5)；②设FG所在的曲线的数解析式为S=1254t-5(16-2t)=-54t2+15t-40，∴FG所在的曲线的函数解析式为S=-54t2+15t-40(5≤t≤8)；③存在，分情况讨论如下：当Q在DE上，P在AB上时，∵直线MN经过点M(0,15)，N(4,0)，可求得直线MN的解析式为S=-54t+15(0≤t≤4)，当s=154时，-154t+15=154，∴x=3，∵s随x的增大而减小，∴当0≤x≤3时，S≥154，当Q在CE上，P在BC上时，直线NF的解析式为S=154t-15(4<t≤5)；由F5,15 4知：当t=5时，S=154，当S=154时，-54t2+15t-40=154，∴t=7或5，由图象知：当5≤x≤7，x的取值范围为0≤t≤3或5≤t≤7．【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，矩形的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键．6(2024•梁溪区校级模拟)在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =-ax 2+3ax +4a 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴正半轴交于点C ，直线y =12x 交于第一象限内的D 点，且ΔABC 的面积为10．(1)求二次函数的表达式；(2)点E 为x 轴上一点，过点E 作y 轴的平行线交线段OD 于点F ，交抛物线于点G ，当GF =5OF 时，求点G 的坐标；(3)已知点P (n ,0)是x 轴上的点，若点P 关于直线OD 的对称点Q 恰好落在二次函数的图象上，求n 的值．【分析】(1)在y =-ax 2+3ax +4a 中，令y =0得A (-1,0)，B (4,0)，根据ΔABC 的面积为10，即得OC =4，C (0,4)，用待定系数法即得二次函数的表达式为y =-x 2+3x +4；(2)设E (m ,0)，则F m ,12m ，G (m ,-m 2+3m +4)，由GF =5OF ，可得-m 2+52m +4=5×52m ，即可解得G (2,6)；(3)连接PQ 交直线OD 于K ，过Q 作QT ⊥x 轴于T ，设Q (r ,s )，可得K n +r 2，s 2 ，即得s 2=12×n +r 2，n +r =2s ①，又r 2+s 2=n 2，(n +r )(n -r )=s 2②，可解得r =35n ，s =45n ，故Q 35n ，45n ，代入y =-x 2+3x +4得45n =-35n 2+3×35n +4，解得n =5或n =-209．【解答】解：(1)如图：在y =-ax 2+3ax +4a 中，令y =0得-ax 2+3ax +4a =0，解得x =4或x =-1，∴A (-1,0)，B (4,0)，∴AB =5，∵ΔABC 的面积为10，∴12AB ⋅OC =10，即12×5⋅OC =10，∴OC =4，∴C (0,4)，把C (0,4)代入y =-ax 2+3ax +4a 得：4a =4，∴a =1，∴二次函数的表达式为y =-x 2+3x +4；(2)如图：设E (m ,0)，则F m ,12m ，G (m ,-m 2+3m +4)，∴OF =m 2+12m 2=52m ，GF =-m 2+3m +4-12m =-m 2+52m +4，∵GF =5OF ，∴-m 2+52m +4=5×52m ，解得m =2或m =-2(舍去)，∴G (2,6)；(3)连接PQ 交直线OD 于K ，过Q 作QT ⊥x 轴于T ，如图：∵P (n ,0)关于直线对称点为Q ，∴OQ =OP =|n |，K 是PQ 中点，设Q (r ,s )，∴K n +r 2，s 2，∵K 在直线y =12x 上，∴s 2=12×n +r 2，整理得：n +r =2s ①，∵OT 2+QT 2=OQ 2，∴r 2+s 2=n 2，变形得：(n +r )(n -r )=s 2②，把①代入②得：2s (n -r )=s 2，∵s ≠0，∴n -r =s2③，由①③可得r =35n ，s =45n ，∴Q 35n ，45n ，∵Q 在抛物线y =-x 2+3x +4上，∴45n =-35n 2+3×35n +4，解得n =5或n =-209，答：n 的值为5或-209．【点评】本题考查一次函数、二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，对称变换等知识，解题的关键是用含n 的代数式表示Q 的坐标．7(2023•邗江区校级一模)如图1，在平面直角坐标系中，直线l :y =-33x +43分别与x 轴、y 轴交于点A 点和B 点，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，以OD 为边构造等边ΔEDF (F 点在x 轴的正半轴上)．(1)求A 、B 点的坐标，以及OD 的长；(2)将等边ΔEDF ，从图1的位置沿x 轴的正方向以每秒1个单位的长度平移，移动的时间为t (s )，同时点P 从E 出发，以每秒2个单位的速度沿着折线ED -DF 运动(如图2所示)，当P 点到F 点停止，ΔDEF 也随之停止．①t =3或6(s )时，直线l 恰好经过等边ΔEDF 其中一条边的中点；②当点P 在线段DE 上运动，若DM =2PM ，求t 的值；③当点P 在线段DF 上运动时，若ΔPMN 的面积为3，求出t 的值．【分析】(1)把x =0，y =0分别代入y =-33x +43，即可求出点A 、B 的坐标，求出∠BAO =30°，根据直角三角形的性质，即可得出OD =12OA =6；(2)①当直线l 分别过DE 、DF 、EF 的中点，分三种情况进行讨论，得出t 的值，并注意点P 运动的最长时间；②分点P 在直线l 的下方和直线l 上方两种情况进行讨论，求出t 的值即可；③分点P 在DN 之间和点P 在NF 之间两种情况进行讨论，求出t 的值即可．【解答】解：(1)令x =0，则y =43，∴点B 的坐标为(0,43)，令y =0，则-33x +43=0，解得x =12，∴点A 的坐标为(12,0)，∵tan ∠BAO =OB OA=4312=33，∴∠BAO =30°，∵OD ⊥AB ，∴∠ODA =90°，∴ΔODA 为直角三角形，∴OD =12OA =6；(2)①当直线l 过DF 的中点G 时，∵ΔDEF 为等边三角形，∴∠DFE =60°，∵∠BAO =30°，∴∠FGA =60°-30°=30°，∴∠FGA =∠BAO ，∴FA =FG =12DF =3，∴OF =OA -FA =9，∴OE =OF -EF =9-6=3，∴t =3；当l 过DE 的中点时，∵DE ⊥l ，DG =EG ，∴直线l 为DE 的垂直平分线，∵ΔDEF 为等边三角形，∴此时点F 与点A 重合，∴t =12-61=6；当直线l 过EF 的中点时，运动时间为t =12-31=9；∵点P 从运动到停止用的时间为：6+62=6，∴此时不符合题意；综上所述，当t =3s 或6s 时，直线l 恰好经过等边ΔEDF 其中一条边的中点，故答案为：3或6；②∵OE =t ，AE =12-t ，∠BAO =30°，∴ME =6-t2，∴DM =DE -EM =t2，∵EP =2t ，∴PD =6-2t ，当P 在直线l 的下方时，∵DM =23DP ，∴t 2=23(6-2t )，解得：t =2411；当P 在直线l 的上方时，∵DM =2DP ，∴t2=2(6-2t )，解得t =83；综上所述：t 的值为2411或83；③当3<t ≤6时，∵∠D =60°，∠DMN =90°，DM =t2，∴∠DNM =90°-60°=30°，∴MN =DM ×tan60°=32t ，DN =2DM =2×t2=t ，∵DP =2t -6，∴PN =DN -DP =t -(2t -6)=6-t ，∵∠DNM =30°，∴边MN 的高h =12PN =3-12t ，∵ΔPMN 的面积为3，∴12×32t 3-12t =3，整理得：t 2-6t +8=0，解得t =2(舍)或t =4当点P 在NF 之间时，∵∠D =60°，∠DMN =90°，DM =t2，∴∠DNM =90°-60°=30°，∴MN =DM ×tan60°=32t ，DN =2DM =2×t2=t ，∵DP =2t -6，∴PN =DP -DN =2t -6-t =t -6，∵∠DNM =30°，∴∠FNA =∠DNM =30°，∴边MN 的高h =12PN =12t -3，∵ΔPMN 的面积为3，∴12×32t 12t -3 =3，解得t =3+17(舍)或t =3-17(舍)，综上所述，t 的值为4s ．【点评】本题主要考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、利用三角函数解直角三角形，熟练掌握含30°的直角三角形的性质并注意进行分类讨论是解题的关键．8(2023•武进区校级模拟)在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|；若|x 1-x 2|<|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1-y 2|．例如：点P 1(1,2)，点P 2(3,5)，因为|1-3|<|2-5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值(点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 交点)．(1)已知点A -12，0，B 为y 轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标；②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；(2)已知C 是直线y =34x +3上的一个动点，①如图2，点D 的坐标是(0,1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 与点C 的坐标．【分析】(1)①根据点B 位于y 轴上，可以设点B 的坐标为(0,y )．由“非常距离”的定义可以确定|0-y |=2，据此可以求得y 的值；②设点B 的坐标为(0,y )．因为-12-0 ≥|0-y |，所以点A 与点B 的“非常距离”最小值为-12-0 =12；(2)①设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ．根据材料“若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|”知，C 、D 两点的“非常距离”的最小值为-x 0=34x 0+2，据此可以求得点C 的坐标；②根据“非常距离”的定义，点E 在过原点且与直线y =34x +3垂直的直线上，且C 与E 的横纵坐标差相等时，点C 与点E 的“非常距离”取最小值，据此求出C 与E 的坐标及“非常距离”的最小值．【解答】解：(1)①∵B 为y 轴上的一个动点，∴设点B 的坐标为(0,y )．∵-12-0 =12≠2，∴|0-y |=2，解得，y =2或y =-2；∴点B 的坐标是(0,2)或(0,-2)；②点A 与点B 的“非常距离”的最小值为12．(2)①如图2，当点C 与点D 的“非常距离”取最小值时，需要根据运算定义“若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|”解答，此时|x 1-x 2|=|y 1-y 2|．即AC =AD ，∵C 是直线y =34x +3上的一个动点，点D 的坐标是(0,1)，∴设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ，∴-x 0=34x 0+2，此时，x 0=-87，∴点C 与点D 的“非常距离”的最小值为：|x 0|=87，此时C -87，157；②如图3，当点E 在过原点且与直线y =34x +3垂直的直线上，且CF =EF 时，点C 与点E 的“非常距离”最小，设E (x ,y )(点E 位于第二象限)．则y x=-43x 2+y 2=1 ，解得x =-35y =45，故E -35，45．设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ，-35-x 0=34x 0+3-45，解得x0=-8 5，则点C的坐标为-8 5，95，点C与点E的“非常距离”的最小值为1．【点评】本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键．9(2023•海安市一模)对于平面直角坐标系xOy中的图形W和点P，给出如下定义：F为图形W上任意一点，将P，F两点间距离的最小值记为m，最大值记为M，称M与m的差为点P到图形W的“差距离”，记作d(P,W)，即d(P,W)=M-m，已知点A(2,1)，B(-2,1)(1)求d(O,AB)；(2)点C为直线y=-1上的一个动点，当d(C,AB)=1时，点C的横坐标是　(2-5)或(5-2，)　；(3)点D为函数y=x+b(-2≤x≤2)图象上的任意一点，当d(D,AB)≤2时，直接写出b的取值范围．【分析】(1)画出图形，根据点P到图形W的“差距离”的定义即可解决问题．(2)如图2中，设C(m,-1)．由此构建方程即可解决问题．(3)如图3中，取特殊位置当b=6时，当b=-4时，分别求解即可解决问题．【解答】解：(1)如图1中，∵A(2,1)，B(-2,1)，∴AB⎳x轴，∴点O到线段AB的最小距离为1，最大距离为5，∴d(O,AB)=5-1．(2)如图2中，设C(m,-1)．当点C在y轴的左侧时，由题意AC-2=1，∴AC=3，∴(2-m)2+22=9，∴m=2-5或2+5(舍弃)，∴C(2-5，-1)，当点C在y轴的右侧时，同法可得C(5-2，-1)，综上所述，满足条件的点C的坐标为(2-5，-1)或(5-2，-1)．故答案为：(2-5，-1)或(5-2，-1)．(3)如图3中，当b=6时，线段EF:y=x+6(-2≤x≤2)上任意一点D，满足d(D,AB)≤2，当b=-4时，线段E′F′:y=x-4(-2≤x≤2)上任意一点D′，满足d(D′,AB)≤2，观察图象可知：当b≥6或b≤-4时，函数y=x+b(-2≤x≤2)图象上的任意一点，满足d(D,AB)≤2．【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，点P到图形W的“差距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考创新题型．10(2022•姑苏区校级模拟)平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图2，已知M(4,1)，N(-2,3)，点P(m,n)．(1)①若m=2，n=4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为18，面积为；②若m=2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；(2)若点P在直线y=-2x+5上．①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；(3)若点P(m,n)在抛物线y=ax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，-2≤m≤-1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．【分析】(1)①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，②利用“最佳三点矩形”的定义求解即可；(2)①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+5，可得x分别为-1，5，点P的坐标为(-1,7)或(4,-3)；(3)利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式．【解答】解：(1)①如图，画出点M，N，P的“最佳三点矩形”，可知矩形的周长为6+6+3+3=18，面积为3×6=18；故答案为：18，18．②∵M(4,1)，N(-2,3)，∴|x M-x N|=6，|y M-y N|=2．又∵m=2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24．∴此矩形的邻边长分别为6，4．∴n=-1或5．(2)如图，①由图象可得，点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12；分别将y=3，y=1代入y=-2x+5，可得x分别为1，2；结合图象可知：1≤m≤2；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+5，可得x分别为-1，4；∴点P的坐标为(-1,7)或(4,-3)；(3)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，经过点(-1,1)，(1,1)，(3,3)，∴a -b +c =1a +b +c =19a +3b +c =3，a =14b =0c =34，∴y =14x 2+34，同理抛物线经过点(-1,3)，(1,3)，(3,1)，可求得抛物线的解析式为y =-14x 2+134，∴抛物线的解析式y =14x 2+34或y =-14x 2+134．【点评】本题主要考查了一次函数的综合题，涉及点的坐标，正方形及矩形的面积及待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是理解运用好“最佳三点矩形”的定义．11(2022•太仓市模拟)如图①，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，以v 1的速度沿折线A -B -C 向终点C 运动；同时，一动点Q 从点D 出发，以v 2的速度沿DC 向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E 为CD 的中点，连接PE ，PQ ，记ΔEPQ 的面积为S ，点P 运动的时间为t ，其函数图象为折线MN -NF 和曲线FG (图②)，已知，ON =3，NH =1，点G 的坐标为(6,0)．(1)点P 与点Q 的速度之比v 1v 2的值为　32　；AB :AD 的值为；(2)如果OM =2．①求线段NF 所在直线的函数表达式；②是否存在某个时刻t ，使得S ≥23？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由函数图象可知t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，则Q 的速度v 2=DE 3，P 的速度v 1=AB4，从而得出答案；(2)①当t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，此时S ΔADE =2，可得AD =BC =DE =2，AB =CD =2AD =4，从而得出点P 与Q 的速度，即可得出点F 的坐标，利用待定系数法可得答案；②利用待定系数法求出直线MN 的函数解析式，当S =23时，可得t 的值，根据图象可得答案．【解答】解：(1)∵ON =3，NH =1，G (6,0)，∴N (3,0)，H (4,0)，由图象可知：t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，∴Q 的速度v 2=DE 3，P 的速度v 1=AB4，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∵E 为CD 的中点，∴DE =12CD =12AB ，∴v 1v 2=AB4DE 3=AB 4⋅3DE =AB 4⋅312AB =32，∵P 从A 到B 用了4秒，从B 到C 用了2秒，∴AB =4v 1，BC =2v 1，∴AB =2BC ，∴AB :AD 的值为2，故答案为：32,2；(2)①∵OM =2，∴M (0,2)，由题知，t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，∴S ΔEPQ =12AD ⋅DE =2，∵AB :AD =2，∴AD =DE =12AB ，∴12AD 2=2，∴AD =BC =DE =2，AB =CD =2AD =4，∴v 2=DE 3=23，当t =4时，DQ =v 2t =23×4=83，∴QE =DQ -DE =83-2=23，此时P 与B 重合，∴S ΔEPQ =12EQ ⋅BC =12×23×2=33，∴F 4,23，设直线NF 的解析式为S =kx +b (k ≠0)，将N (3,0)与F 4,23 代入得：3k +b =04k +b =23 ，∴k =23b =-2，∴线段NF 所在直线的函数表达式为S =23x -2(3<x ≤4)；②存在，分情况讨论如下：当Q 在DE 上，P 在AB 上时，∵直线MN 经过点M (0,2)，N (3,0)，同理求得直线MN 的解析式为S =-23x +2(0≤x ≤3)，当s =23时，-23x +2=2，∴x =2，∵s随x的增大而减小，∴当0≤x≤2时，S≥23，当Q在CE上，P在AB上时，直线NF的解析式为S=23x-2(3<x≤4)，由F4,2 3知：当x=4时，S=23，当Q在CE上，P在BC上时，SΔEPQ=12EQ⋅CP，∵DQ=v2t=23t，∴EQ=DQ-DE=23t-2，∵v1=AB4=44=1，∴AB+BP=v1t=t，∵AB+BC=4+2=6，∴CP=6-t，∴S=1223t-2(6-t)=-13t2+3t-6(4<x≤6)，当S=23时，-13t2+3t-6=23，∴t=4或5，由图象知：当4<x≤5时，S≥2 3，综上，S≥23时，x的取值范围为0≤x≤2或4≤x≤5．【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，矩形的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键．12(2022•邗江区校级一模)在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段ST，我们定义点P关于线段ST的线段比k=PSST(PS<PT)PTST(PS≥PT) ．(1)已知点A(0,1)，B(1,0)．①点Q(2,0)关于线段AB的线段比k=　22　；②点C(0,c)关于线段AB的线段比k=2，求c的值．(2)已知点M(m,0)，点N(m+2,0)，直线y=x+2与坐标轴分别交于E，F两点，若线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤14，直接写出m的取值范围．【分析】(1)①求出QA、QB、AB，根据线段比定义即可得到答案；②方法同①，分c>0和c≤0讨论；(2)分两种情况，画出图象，根据线段比定义，分别在M(N)为“临界点”时列出不等式，即可得到答案．【解答】解：(1)①∵A(0,1)，B(1,0)，Q(2,0)，∴AB=2，QA=5，QB=1，根据线段比定义点Q(2,0)关于线段AB的线段比k=QBAB=22；故答案为：22；②∵A (0,1)，B (1,0)，C (0,c )，∴AB =2，AC =|1-c |，BC =1+c 2，AC 2=1+c 2-2c ，BC 2=1+c 2，当c >0时，AC 2<BC 2，即AC <BC ，由C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2可得：|1-c |2=2，解得c =3或c =-1(舍去)，∴c =3，当c ≤0时，AC 2≥BC 2，即AC ≥BC ，由C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2可得：1+c 22=2，解得c =3(舍去)或c =-3，∴c =-3，综上所述，点C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2，c =3或c =-3；(2)∵直线y =x +2与坐标轴分别交于E ，F 两点，∴E (-2,0)，F (0,2)，∵点M (m ,0)，点N (m +2,0)，∴MN =2，N 在M 右边2个单位，当线段EF 上的点到N 距离较小时，分两种情况：①当M 、N 在点E 左侧时，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴NE MN≤14，即-2-(m +2)2≤14，解得：m ≥-92，②当N 在E 右侧，M 在E 左侧时，过M 作MG ⊥EF 于G ，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴GM MN ≤14，即GM 2≤14，∴GM ≤12，而E (-2,0)，F (0,2)，∴∠FEO =45°，∴ΔHEM 时等腰直角三角形，∴GM =22EM ，∴22EM ≤12，即22[(m +2)-(-2)]≤12，解得m ≤-4+22，∴线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，线段EF 上的点到N 距离较小时，-92≤m ≤-4+22，当线段EF 上的点到M 距离较小时，也分两种情况：①当N 在E 右侧，M 在E 左侧时，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴ME MN≤14，即-2-m 2≤14，解得m ≥-52，②当M 、N 在点E 右侧时，过M 作MH ⊥EF 于H ，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴HM MN ≤14，即HM 2≤14，∴HM ≤12，而E (-2,0)，F (0,2)，∴∠FEO =45°，∴ΔHEM 时等腰直角三角形，∴HM =22EM ，∴22EM ≤12，即22[m -(-2)]≤12，解得：m ≤-2+22，∴线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，线段EF 上的点到M 距离较小时，-52≤m ≤-2+22，综上所述，线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，则-92≤m ≤-4+22或-52≤m ≤-2+22．【点评】本题考查一次函数应用，解题的关键是读懂线段比的定义，找出“临界点”列不等式．13(2022•泰州)定义：对于一次函数y 1=ax +b 、y 2=cx +d ，我们称函数y =m (ax +b )+n (cx +d )(ma +nc ≠0)为函数y 1、y 2的“组合函数”．(1)若m =3，n =1，试判断函数y =5x +2是否为函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”，并说明理由；(2)设函数y 1=x -p -2与y 2=-x +3p 的图像相交于点P ．①若m +n >1，点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图像的上方，求p 的取值范围；②若p ≠1，函数y 1、y 2的“组合函数”图像经过点P ．是否存在大小确定的m 值，对于不等于1的任意实数p ，都有“组合函数”图像与x 轴交点Q 的位置不变？若存在，请求出m 的值及此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由y =5x +2=3(x +1)+(2x -1)，可知函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”；(2)①由y =x -p -2y =-x +3p得P (2p +1,p -1)，当x =2p +1时，y =m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )=(p-1)(m +n )，根据点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图象的上方，有p -1>(p -1)(m +n )，而m +n >1，可得p <1；②由函数y 1、y 2的“组合函数” y =m (x -p -2)+n (-x +3p )图象经过点P ，知p -1=m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )，即(p -1)(1-m -n )=0，而p ≠1，即得n =1-m ，可得y =(2m -1)x +3p -(4p +2)m ，令y =0得(2m -1)x +3p -(4p +2)m =0，即(3-4m )p +(2m -1)x -2m =0，即可得m =34时，“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)．【解答】解：(1)函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”，理由如下：∵3(x +1)+(2x -1)=3x +3+2x -1=5x +2，∴y =5x +2=3(x +1)+(2x -1)，∴函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”；(2)①由y =x -p -2y =-x +3p得x =2p +1y =p -1 ，∴P (2p +1,p -1)，∵y 1、y 2的“组合函数”为y =m (x -p -2)+n (-x +3p )，∴x =2p +1时，y =m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )=(p -1)(m +n )，∵点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图象的上方，∴p -1>(p -1)(m +n )，∴(p -1)(1-m -n )>0，∵m +n >1，∴1-m -n <0，∴p -1<0，∴p <1；②存在m =34时，对于不等于1的任意实数p ，都有“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)，理由如下：由①知，P (2p +1,p -1)，∵函数y 1、y 2的“组合函数”y =m (x -p -2)+n (-x +3p )图象经过点P ，∴p -1=m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )，∴(p -1)(1-m -n )=0，∵p ≠1，∴1-m -n =0，有n =1-m ，∴y =m (x -p -2)+n (-x +3p )=m (x -p -2)+(1-m )(-x +3p )=(2m -1)x +3p -(4p +2)m ，令y =0得(2m -1)x +3p -(4p +2)m =0，变形整理得：(3-4m )p +(2m -1)x -2m =0，∴当3-4m =0，即m =34时，12x -32=0，∴x =3，∴m =34时，“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)．【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，函数图象上点坐标的特征，一次函数与一次方程的关系等，解题的关键是读懂“组合函数“的定义．14(2024•钟楼区校级模拟)在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这两个三角形叫做“共边全等”．(1)下列图形中两个三角形不是“共边全等”是③；AB，点E、F分别在AC、BC边(2)如图1，在边长为6的等边三角形ABC中，点D在AB边上，且AD=13上，满足ΔBDF和ΔEDF为“共边全等”，求CF的长；(3)如图2，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+12分别与直线y=x、x轴相交于A、B两点，点C是OB 的中点，P、Q在ΔAOB的边上，当以P、B、Q为顶点的三角形与ΔPCB“共边全等”时，请直接写出点Q 的坐标．【分析】(1)由于第③个图不符合共边要求，所以图③即为答案；(2)DF为两个全等三角形的公共边，由于F点在BC边上，E在AC边上，两个三角形的位置可以如图②，在公共边异侧，构成一个轴对称图形，也可以构成一个平行四边形(将图③的两条最长边重合形成)，分两类讨论，画出图形，按照图②构图，会得到一个一线三等角模型，利用相似，列出方程来解决，按照平行四边形构图，直接得到ΔADE为等边三角形，计算边长即可求得；(3)由题目要求，可以知道两个全等三角形的公共边为PB边，由于要构成ΔPCB，所以P点只能在OA和OB边上，当P在OA边上，两个三角形可以在PB同侧，也可以在PB异侧，当在PB异侧构图时，可以得到图3和图4，在图3中，当在PB同侧构图时，可以得到图6，当P在OB边上时，Q只能落在OA上，得到图7，利用已知条件，解三角形，即可求出Q点坐标．【解答】解：(1)①②均符合共边全等的特点，只有③，没有公共边，所以③不符合条件，∴答案是③；(2)①如图1，当ΔBDF≅ΔEFD，且是共边全等时，∠BFD=∠EDF，∴DE⎳BC，∵ΔABC是等边三角形，∴ΔADE是等边三角形，AB=2，∵AD=13∴DE=AE=BF=2，∴CF=BC-BF=4，②如图2，当ΔBDF≅ΔEDF，且是共边全等时，BD=DE=6-AD=4，∠DEF=∠B=60°，EF=BF，∴∠AED+∠FEC=120°，又∠AED+∠EDA=120°，。

一次函数综合题专项练习(含答案)

1、如图，一次函数y x b =+与反比例函数k y x=在第一象限的图象交于点B ，且点B 的横坐标为1，过点B 作y 轴的垂线，C 为垂足，若32BCO S ∆=，求一次函数和反比例函数的解析式.解：∵一次函数y x b =+过点B ，且点B 的横坐标为1， ∴1y b =+，即11B b +（，） BC y ⊥轴，且32BCO S ∆=， 1131(1)222OC BC b ∴⨯⨯=⨯⨯+=，解得2b =， ∴()13B ，∴一次函数的解析式为2y x =+. 又∵k y x=过点B ， 3 3.1k k ∴==，∴反比例函数的解析式为3.y x=2、如图，一次函数2y kx =+的图象与反比例函数my x=的图象交于点P ，点P 在第一象限．PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、D ，且S △PBD =4，12OC OA=．（1）求点D 的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当0x >时，一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围.解：（1）在2y kx =+中，令0x =得2y = ∴点D 的坐标为（0，2）（2）∵ AP ∥OD ∴Rt △PAC ∽ Rt △DOC ∵ 12OC OA= ∴13OD OC APAC==∴AP =6又∵BD =624-= ∴由S △PBD =4可得BP =2 ∴P (2，6)把P (2，6)分别代入2y kx =+与my x=可得一次函数解析式为：y =2x +2 反比例函数解析式为：12y x=3、已知正比例函数2y x =的图象与反比例函数k y x=的图象有一个交y xPBD AO C点的纵坐标是2.（1）求反比例函数的解析式；（2）当31x --≤≤时，求反比例函数y 的取值范围. 解：（1）由题意，得22x =， 1.x ∴=将12x y ==，，代入k y x=中，得122k =⨯=．∴所求反比例函数的解析式为2y x=．（2）当3x =-时，23y =-；当1x =-时， 2.y =-20>∴，反比例函数在每个象限内y 随x 的增大而减小.∴当31x --≤≤时，反比例函数y 的取值范围为223y -≤≤.4、已知：12y y y =+，1y 与2x 成正比例，2y 与x 成反比例，且1x =时，3y =；1x =-时，1y =．求12x =-时，y 的值．解：1y 与2x 成正比例，2y 与x 成反比例设211y k x =，22k y x=，221k y k x x =+把1x =，3y =，1x =-，1y =分别代入上式得121231k k k k =+⎧⎨=-⎩∴1221k k =⎧⎨=⎩， 212y x x =+当12x =-，211132212222y ⎛⎫=⨯-+=-=- ⎪⎝⎭-5、如图，1P 是反比例函数(0)ky k x=>在第一象限图像上的一点，点1A 的坐标为（2，0）．（1）当点1P 的横坐标逐渐增大时，11POA △的面积将如何变化？（2）若11POA △与212P A A △均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及2A 点的坐标．解：（1）11POA △的面积将逐渐减小．（2）作11PC OA ⊥，垂足为C ，因为11POA △为等边三角形，所以113OC PC ==，，所以1(13)P ，．代入ky x=，得3k =，所以反比例函数的解析式为3y x=．作212P D A A ⊥，垂足为D ，设1A D a =，则223OD a P D a =+=，，所以2(23)P a a +，．代入3y x=，得(2)a +·33a =，化简得2210a a +-= 解得：12a =-± ∵0a > ∴12a =-+所以点2A 的坐标为(220)，6、天水市某果蔬公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共120吨去外地销售．按计划20辆都要装运，每辆汽车只能装运同一种水果，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：yxOP 1P 2A 2A 1（1）设装运甲种苹果的车辆数为x ，装乙种苹果的车辆数为y ，求y 与x 之间的函数关系．（2）如果装运每种苹果的车辆数都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案．（3）若要使此次销售获得最大利润，应采用哪种安排方案，并求出此次销售的最大利润．解：（1）由题意可知865(20)120x y x y ++--= ∴203y x =-．∴y 与x 之间函数关系式为203y x =-．（2）（4分）∵3x ≥，2033y x =-≥，203x y --≥∴3203323x x x ⎧⎪-⎨⎪⎩≥≥≥ ∴2353x ≤≤ ∵x 是正整数，∴345x =，，．故方案有三种．（3）设此次销售获利为w 百元8126(203)165[20(203)]10w x x x x =+-+---即921920w x =-+ ∵w 随x 的增大而减小，∴当3x =时，1644w =最大百元16.44=万元答：使此次销售获利最大，应采用方案一，即甲种3辆，乙种11辆，丙种6辆，获得最大利润为16.44万元．7、为了抓住世博会商机，某商店决定购进A B 、两种世博会纪念品.若购进A 种纪念品10件，B 种纪念品5件，需要1000元；若购进A 种纪念品5件，B 种纪念品3件，需要550元. （1）求购进A B 、两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑到市场需要，要求购进A 种纪念品的数量不少于B 种纪念品数量的6倍，且不超过B 种纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A 种纪念品可获利润20元，每件B 种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？解：（1）设该商店购进一件A 种纪念品需要a 元，购进一件B 种纪念品需要b 元，则105100053550a b a b +=⎧⎨+=⎩解方程组得50100a b =⎧⎨=⎩∴购进一件A 种纪念品需50元，购进一件B 种纪念品需100元．（2）设该商店应购进A 种纪念品x 个，购进B 种纪念品y 个．501001000068x y y x y+=⎧⎨⎩≤≤ 解得2025y ≤≤∵y 为正整数，∴共有6种进货方案．（3）设总利润为W 元203020(2002)30W x y y y =+=-+104000(2025)y y =-+≤≤∵100-<， ∴W 随y 的增大而减小 ∴当20y =时，W 有最大值102040003800W =-⨯+=最大（元）∴当购进A 种纪念品160件，B 种纪念品20件时，可获最大利润，最大利润是3800元．8、A ，B 两城相距600千米，甲、乙两车同时从A 城出发驶向B 城，甲车到达B 城后立即返回．如图是它们离A 城的距离y （千米）与行驶时间 x （小时）之间的函数图象．（1）求甲车行驶过程中y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当它们行驶了7小时时，两车相遇，求乙车速度．解（1）①当0≤x ≤6时，x/小时y /千米 600146 OFEC Dx y 100=；②当6＜x ≤14时，设b kx y +=，∵图象过（6，600），（14，0）两点， ∴⎩⎨⎧=+=+.014,6006b k b k 解得⎩⎨⎧=-=.1050,75b k ∴105075+-=x y ． ∴⎩⎨⎧≤<+-≤≤=).146(105075)60(100x x x x y（2）当7=x 时，5251050775=+⨯-=y ，757525==乙v （千米/小时）． 9、在一条直线上依次有A 、B 、C 三个港口，甲、乙两船同时分别从A 、B 港口出发，沿直线匀速驶向C 港，最终达到C 港．设甲、乙两船行驶x （h ）后，与．B ．港的距离．．．．分别为1y 、2y （km ），1y 、2y 与x 的函数关系如图所示．（1）填空：A 、C 两港口间的距离为 km ，=a ；（2）求图中点P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两船的距离不超过10 km 时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x 的取值范围．解：（1）120，2a =O y/km9030 aP甲乙x/h（2）由点（3，90）求得，230y x =．当x ＞0.5时，由点（0.5，0），（2，90）求得，16030y x =-．当12y y =时，603030x x -=，解得，1x =．此时1230y y ==．所以点P 的坐标为（1，30）该点坐标的意义为：两船出发1 h 后，甲船追上乙船，此时两船离B 港的距离为30 km ．求点P 的坐标的另一种方法：由图可得，甲的速度为30600.5=（km/h ），乙的速度为90303=（km/h ）．则甲追上乙所用的时间为3016030=-（h ）．此时乙船行驶的路程为30130⨯=（km ）．所以点P 的坐标为（1，30）．（3）①当x ≤0.5时，由点（0，30），（0.5，0）求得，16030y x =-+．依题意，(6030)30x x -++≤10．解得，x ≥23．不合题意．②当0.5＜x ≤1时，依题意，30(6030)x x --≤10．解得，x ≥23．所以23≤x ≤1．③当x ＞1时，依题意，(6030)30x x --≤10．解得，x ≤43．所以1＜x ≤43．综上所述，当23≤x ≤43时，甲、乙两船可以相互望见．10、为了扶持农民发展农业生产，国家对购买农机的农户给予农机售价13%的政府补贴.某市农机公司筹集到资金130万元，用于一次性购进A B 、两种型号的收割机共30台.根据市场需求，这些收割机可以全部销售，全部销售后利润不少于15万元.其中，收割机的进价和售价见下表：设公司计划购进A型收割机x台，收割机全部销售后公司获得的利润为y万元.（1）试写出y与x的函数关系式；（2）市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择？（3）选择哪种购进收割机的方案，农机公司获利最大？最大利润是多少？此种情况下，购买这30台收割机的所有农户获得的政府补贴总额W为多少万元？解：（1）(6 5.3)(4 3.6)(30)0.312.y x x x=-+--=+依题意，有5.3(30) 3.6130 0.31215.x xx+-⨯⎧⎨+⎩≤，≥即16121710.xx⎧⎪⎨⎪⎩≤，≥161012.17x∴≤≤x为整数，x∴=10，11，12.即农机公司有三种购进收割机的方案可供选择：方案1：购A型收割机10台，购B型收割机20台；方案2：购A型收割机11台，购B型收割机19台；方案3：购A型收割机12台，购B型收割机18台；（3）0.30>∴，一次函数y随x的增大而增大.即当12x =时，y 有最大值，0.3121215.6y =⨯+=最大（万元）.此时，W =613%12413%1818.72⨯⨯+⨯⨯=（万元）.11、由于连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．右图是该水库的蓄水量y （万米3）与干旱持续时间x （天）之间的函数图象．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）按以上规律，预计持续干旱多少天水库将全部干涸？解：（1）设y kx b =+，根据题意，得0120050200.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得20k =-，1200b =，所以201200y x =-+．（2）当0y =时，60x =，所以预计持续干旱60天水库将全部干涸． 12、一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示：销售方式粗加工后销售精加工后销售每吨获利(元)10002000已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行.受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完.（1）如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加O y /万米3x /天12001000 800 600 400 20010 20 30 40 50工，几天粗加工？（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工.①试求出销售利润W 元与精加工的蔬菜吨数m 之间的函数关系式； ②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？此时如何分配加工时间？解：（1）设应安排x 天进行精加工，y 天进行粗加工，根据题意得 12515140.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得48.x y =⎧⎨=⎩，答：应安排4天进行精加工，8天进行粗加工.（2）①精加工m 吨，则粗加工（140m -）吨，根据题意得20001000(140)W m m =+-=1000140000m +②要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完，14010515m m -∴+≤ 解得 5m ≤05m ∴<≤又在一次函数1000140000W m =+中，10000k =>，W ∴随m 的增大而增大，∴当5m =时，5140000145000.W ⨯+=最大=1000∴精加工天数为55÷=1，粗加工天数为(1405)159-÷=．∴安排1天进行精加工，9天进行粗加工，可以获得最多利润为145000元.13、如图，在平面直角坐标系中，函数212y x =+的图象分别交x 轴、y 轴于A B 、两点.过点A 的直线交y 轴正半轴于点M ，且点M 为线段OB 的中点.（1）求直线AM 的函数解析式.（2）试在直线AM 上找一点P ，使得ABP AOB S S =△△，请直接写出点P 的坐标.（3）若点H 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H ，使以A B M 、、、H 为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）函数的解析式为212y x =+ ∴(60)A -，，(012)B ， ∵点M 为线段OB 中点， ∴(06)M ，设直线AM 的解析式为y kx b =+ ∵606k b b -+=⎧⎨=⎩∴16k b =⎧⎨=⎩ ∴直线AM 的解析式为6y x =+ （2）1(1812)P --，，2(612)P ，（3）1(618)H -，，2(120)H -，，361855H ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 14、如图，直线y=kx-1与x 轴、y 轴分别交与B 、C 两点，tan ∠OCB=21.（1）求B 点的坐标和k 的值；（2）2若点A （x ，y ）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点.当点A 运动过程中，试写出△AOB 的面积S 与x 的函数关系式；（3）探索：①当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是41；②在①成立的情况下，x 轴上是否存在一点P ，使△POA 是等腰三角形.若存在，请写出满足条件的所有P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）∵y= kx-1与y 轴相交于点C ， ∴OC=1∵tan ∠OCB=OC OB =21∴OB=21∴B 点坐标为：⎪⎭⎫ ⎝⎛021，把B 点坐标为：⎪⎭⎫⎝⎛021，代入y= kx-1得 k=2 （2）∵S = y 21⨯⨯OB ∵y=kx-1∴S =()1-x 22121⨯∴S =4121-x（3）①当S =41时，4121-x =41∴x=1，y=2x-1=1∴A 点坐标为（1，1）时，△AOB 的面积为41 ②存在.满足条件的所有P 点坐标为： P 1(1,0), P 2(2,0), P 3(2,0), P 4(2-,0).。

2023安徽中考数学专题《一次函数与几何综合压轴题型》专训含答案解析

专题16 一次函数与几何综合压轴题型专训【题型目录】题型一根据两直线的交点求不等式的解集题型二两直线的交点与二元一次方程组的解题型三一次函数中最短路径问题题型四动点问题的函数图象题型五一次函数的规律探究问题题型六一次函数与全等三角形综合题型七一次函数与平行四边形综合题型八一次函数综合压轴题【经典例题一根据两直线的交点求不等式的解集】【知识归纳】由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点诠释：求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集y ax b =+的函数值大于y cx d =+的函数值时的自变量x 取值范围直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围．【例1】（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）一次函数11y kx =-（0k ≠）与22y x =-+的图像如图所示，当1x <时，12y y <，则满足条件的k 的取值范围是（）A ．1k >-，且0k ≠B ．12k -<<，且0k ≠C ．2k <，且0k ≠D ．1k <-或2k >【答案】B 【分析】联立11y kx =-与22y x =-+，求出两条直线交点的横坐标，根据当1x <时，12y y <，结合图象列不等式，即可求解．⇔⇔【变式训练】【变式的图象相交于点，则关于x的不等式22m ∴-=，解得：1m =-，()1,2A ∴-，将A 代入23y ax =+中，23a =-+ ，解得：1a =∴ 23y x =+∴解不等式23x x ->+解集为1x <-．故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，求出点A 的坐标和2y 的函数解析式，并结合函数图象进行解答是解题的关键．【变式2】（2021·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，垂直x 轴的直线l 分别与函数1+1,2y x a y x a =-=-+的图像交于P 、Q 两点，若平移直线l ，可以使P 、Q 都在x 轴的下方，则实数a 的取值范围是_________．【答案】1x <-【分析】根据题意可知1+1,2y x a y x a =-=-+在0y <时，x 有公共解，因此可以列出不等式，从而得到答案．【详解】令+10y x a =-＜，则-1x a ＜，令102y x a =-+＜，则2x a ＞，∵平移直线l ，可以使P 、Q 都在x 轴的下方，∴可知1+1,2y x a y x a =-=-+在0y <时，x 有公共解，∴2-1a a ＜，解得：1a ＜-，故填：1a ＜-．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、函数与不等式的关系，解答的关键是将图象问题转化为不等式．点A 、B ，与直线相交于点C ，点P 为直线(1)求n 和k 的值；(2)若点P 在射线CA 上，且2POC AOC S S ∆∆=，求点P (3)观察函数图象，请直接写出不等式443x kx -+≥的解集．【答案】(1)43n =，23k =(2)P 4(4,)3-∴1322OAPS PN∆=⨯⨯=，∴43 PN=，∴43y=-，令43y=-，则443x-+解得4x=，【经典例题二【知识归纳】一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，则就是二元一次方程组则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程如二元一次方程组无解，【变式训练】【变式个单位长度，使其与联立后可以得到：336y x m y x =+⎧⎨=-+⎩，解得1632m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，因为它们的交点在第二象限，00x y <⎧∴⎨>⎩即106302m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得66m m >⎧⎨>-⎩，6m ∴>，故选：B ．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移以及求图象的交点的问题，解决本题需要建立关于x 和y 的二元一次方程组和关于m 的不等式组，要求学生能熟练运用平移的规则得到平移后的函数解析式，同时能联立这两个解析式求交点坐标，最后还需要根据交点坐标的特征建立不等式组求出其中的字母参数的取值范围，整个过程对学生的计算能力有较高的要求．【变式2】（2021·全国·八年级专题练习）对于实数a ，b ，我们定义符号max{a ，b}的意义为：当a≥b 时，max{a ，b}＝a ；当a ＜b 时，max{a ，b]＝b ；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x 的函数为y ＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是_____．【答案】2【分析】联立两函数解析式成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据max{a ，b}的意义即可得出函数的最小值．【详解】解：联立两函数解析式成方程组，得：31y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得：12x y =-⎧⎨=⎩．∴当x ＜﹣1时，y ＝max{x+3，﹣x+1}＝﹣x+1＞2；当x≥﹣1时，y ＝max{x+3，﹣x+1}＝x+3≥2．∴函数y ＝max{x+3，﹣x+1}最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查一次函数，解题的关键是掌握分段函数的解析式和函数最值的求解方法．【变式3】（2022·黑龙江鹤岗·八年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线()40y kx k =+≠与轴交于点A．【经典例题三【解题技巧】我们将“连点之间，线段最短【变式训练】【变式553y =上一动点，BE 交轴于点H ，且A ．55(0,)2B ．(0,5) 【答案】C【分析】首先求得8AB AC ==，取点可推导BD EF =，即有BD BE BE +=BD BE +的值最小；利用待定系数法求出直线【详解】解：对于直线AB ：553y =当0x =时，可有55y =，∵(3,0)C ，∴CF AO ∥，∴ECF OAC ∠=∠，∵AB AC =，AO BC ⊥，∴OAC BAD ∠=∠，∴BAD ECF ∠=∠，∵8CF AB ==，AD EC =，∴()ECF DAB SAS V V ≌，【答案】30401313⎛⎫- ⎪⎝⎭，【分析】如图所示，过点Q 作QD 利用勾股定理求出5OA =，再利用三角形面积法求出股定理求出(234BP BQ +=+-【点睛】本题主要考查了勾股定理，坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点问题，正确得到要使BP BQ +最小就相当于在x 轴上找一点到点G ()43，和点H 182455⎛⎫- ⎪⎝⎭，的距离最小是解题的关键．。

一次函数综合练习题

一次函数综合练习题一、选择题1. 一次函数的图象是一条（）。

A. 折线B. 曲线C. 直线D. 折线和曲线2. 下列函数中，是一次函数的是（）。

A. y = 2x^2 + 1B. y = 3x + 5C. y = x^3D. y = √x3. 一次函数y = kx + b中，当k > 0时，函数图象在（）。

A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限4. 一次函数y = 2x 3的图象与x轴的交点坐标是（）。

A. (1.5, 0)B. (1.5, 0)C. (3, 0)D. (3, 0)5. 一次函数y = x + 5的图象与y轴的交点坐标是（）。

A. (0, 5)B. (0, 5)C. (5, 0)D. (5, 0)二、填空题1. 一次函数的一般形式是_________。

2. 一次函数的图象是一条_________。

3. 一次函数y = 3x 2的斜率是_________，y轴截距是_________。

4. 当一次函数的斜率k > 0时，函数图象_________；当斜率k < 0时，函数图象_________。

5. 一次函数y = 2x + 4的图象与x轴的交点坐标是_________。

三、解答题1. 已知一次函数y = kx + b的图象过点(1, 3)和(3, 7)，求该一次函数的解析式。

2. 一次函数y = x + 6的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，求线段AB的长度。

3. 已知一次函数y = 2x 5的图象在x轴下方，求x的取值范围。

4. 画出一次函数y = x 2的图象，并标出其与x轴、y轴的交点坐标。

5. 已知一次函数y = kx + 1的图象过点(2, 5)，求斜率k的值。

四、应用题1. 某商品的单价为x元，销售量为y件。

根据市场调查，销售量与单价之间存在一次函数关系，已知当单价为50元时，销售量为100件；当单价为80元时，销售量为50件。

中考数学总复习《一次函数》专项测试卷-附带参考答案

中考数学总复习《一次函数》专项测试卷-附带参考答案（测试时间60分钟满分100分）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题（共8题，共40分）1.一次函数y=kx−k(k<0)的图象大致是( )A．B．C．D．2.下列函数中，函数值y随自变量x增大而减小的是( )x−5A．y=4x B．y=12C．y=3x+6D．y=−1.6x+43.如果y=(m−1)x2−m2+3是一次函数，那么m的值是( )A．1B．−1C．+1D．±√24.如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P(1,3)，则关于x的不等式x+b>kx+4的解集是( )A ． x >−2B ． x >0C ． x >1D ． x <15.若一次函数 y =kx +b 的图象如图所示，则 k ，b 的取值范围是 ( )A ． k >0，b >0B ． k >0，b <0C ． k <0，b >0D ． k <06.关于 x 的一次函数 y =12x +2，下列说法正确的是 ( )A ．图象与坐标轴围成的三角形的面积是 4B ．图象与 x 轴的交点坐标是 (0,2)C ．当 x >−4 时D ． y 随 x 的增大而减小7.如图，OA 和 BA 分别表示甲乙两名学生运动的一次函数的图象，图 s 和 t 分别表示路程和时间，根据图象判定快者比慢者得速度每秒快 ( )A ． 2.5 米B ． 2 米C ． 1.5 米D ． 2 米8.若直线 y =3x +6 与直线 y =2x +4 的交点坐标为 (a,b )，则解为 {x =a,y =b 的方程组是 ( )A ． {y −3x =6,2x +y =4B ． {3x +6+y =0,2x −4−y =0C ． {3x +6−y =0,2x +4−y =0D ． {3x −y =6,2x −y =4 二、填空题（共5题，共15分）9.已知二元一次方程组 {x −y =−5,x +2y =−2的解为 {x =−4,y =1, 则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y=x+5与直线l2：y=−1x−1的交点坐标为．210.已知函数y=(m−3)x+2m+2，当x=2时y=12，则m=．11.已知直线y=−3x+b与直线y=−kx+1在同一直角坐标系中交于点(3,−√3)，则关于x的方程−3x+b=−kx+1的解为x=．12.已知一次函数y=kx+b的图象经过A(1,−1)，B(−1,3)两点，则k0（填“>”或“<”）．13.已知点P(a,b)在一次函数y=4x+3的图象上，则代数式4a−b−2的值是．三、解答题（共3题，共45分）14.星期一升旗仪式前，李雷和韩梅梅两位数学课代表因为清查作业耽搁了时间，打算匀速从教室跑到600米外的中心广场参加升旗仪式，出发时李雷发现鞋带松了，停下来系鞋带，韩梅梅继续跑往中心广场，李雷系好鞋带后立即沿同一路线开始追赶韩梅梅，李雷在途中追上韩梅梅后，担心迟到继续以原速度往前跑，李雷到达操场时升旗仪式还没有开始，于是李雷站在广场等待，韩梅梅继续跑往中心广场．设李雷和韩梅梅两人相距s（米），韩梅梅跑步的时间为t（秒），s关于t的函数图象如图所示，则在整个运动过程中，李雷和韩梅梅第一次相距80米后，求再过多少秒钟两人再次相距80米．15.如图，正比例函数y=kx(k≠0)的图象过点A(2,−3)．直线y=x+b沿y轴平行移动，与x轴、y轴分别交于点B，C与直线OA交于点D．(1) 若点D在线段OA上（含端点），求b的取值范围．(2) 当点A关于直线BC的对称点Aʹ恰好落在y轴上时，求直线BC的解析式．16.如图，一次函数y=−2x+4的图象与坐标轴分别交于A，B两点，将线段AB绕着点A顺时针旋转90∘至线段AC．(1) 求AB的长；(2) 求过B，C两点的直线的解析式．参考答案1. 【答案】D2. 【答案】D3. 【答案】B4. 【答案】C5. 【答案】B6. 【答案】C7. 【答案】C8. 【答案】C9. 【答案】(−4,1)10. 【答案】411. 【答案】312. 【答案】<13. 【答案】−514. 【答案】函数图象可以分段讨论，前10秒李雷没跑，韩梅梅跑了40米∴韩梅梅的速度为40÷10=4（米/秒）∵10秒至30秒，李雷在追赶韩梅梅，设李雷的速度为x米/秒∴(x−4)×20=40，解得x=6，即李雷的速度为6米/秒．∵李雷和韩梅梅相遇后，距离越来越远，当距离为80米时，需要的时间为80÷(6−4)=40（秒）．∴此时韩梅梅的跑步时间为：40+30=70（秒）．∵李雷在韩梅梅出发110秒后到达目的地，韩梅梅继续前进当距离目的地80米，就是距离李雷80米，此时距离她出发：[(110−10)×6−80]÷4=130（秒）∴李雷和韩梅梅第一次相距80米后，再过130−70=60（秒），两人再次相距80米．15. 【答案】(1) 当点D和点O重合时将点O(0,0)代入y=x+b中，得b=0当点D和点A重合时将点A(2,−3)代入y=x+b中，得−3=2+b，即b=−5∴b的取值范围为−5≤b≤0．(2) 在y=x+b中，令y=0，则x=−b，令x=0，则y=b∴B(−b,0)C(0,b)∴OB=OC∵∠BOC=90∘∴∠OCB=∠OBC=45∘∵点A关于直线BC的对称点Aʹ恰好落在y轴上∴CD垂直平分AAʹ∴CA=CAʹ∴∠ACD=∠OCB=45∘∴∠ACO=90∘∴C(0,−3)∴将点C(0,−3)代入y=x+b中，得−3=0+b∴b=−3∴直线BC的解析式为y=x−3．16. 【答案】(1) 在y=−2x+4中令x=0，则y=4，即点B(0,4)令y=0，得−2x+4=0，解得x=2，即点A(2,0)则AB=√22+42=2√5；(2) 如图，过C点作CD⊥x轴于点D∵线段AB绕点A顺时针旋转90∘∴AB=AC∠BAC=90∘∴∠BAO+∠CAD=90∘而∠BAO+∠ABO=90∘∴∠ABO=∠CAD．∵∠AOB=∠CDA∠ABO=∠CAD AB=CA∴△ABO≌△CAD(AAS)∴AD=OB=4CD=OA=2∴OD=OA+AD=2+4=6∴点C坐标为(6,2)设直线BC解析式为y=kx+4(k≠0)∵点C(6,2)在直线BC上∴6k+4=2∴k=−13x+4．∴直线BC解析式为y=−13。

专题16 函数与导数常见经典压轴小题全归类(精讲精练)(原卷版)

专题16函数与导数常见经典压轴小题全归类【命题规律】1、导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小．2、应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．【核心考点目录】核心考点一：函数零点问题之分段分析法模型核心考点二：函数嵌套问题核心考点三：函数整数解问题核心考点四：唯一零点求值问题核心考点五：等高线问题核心考点六：分段函数零点问题核心考点七：函数对称问题核心考点八：零点嵌套问题核心考点九：函数零点问题之三变量问题核心考点十：倍值函数核心考点十一：函数不动点问题核心考点十二：函数的旋转问题核心考点十三：构造函数解不等式核心考点十四：导数中的距离问题核心考点十五：导数的同构思想核心考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法核心考点十七：三次函数问题核心考点十八：切线问题核心考点十九：任意存在性问题核心考点二十：双参数最值问题核心考点二十一：切线斜率与割线斜率核心考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）核心考点二十三：两边夹问题和零点相同问题核心考点二十四：函数的伸缩变换问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（） A ．1-B ．12-C ．12D ．12．（2022·全国·统考高考真题）函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（）A ．ππ22-，B ．3ππ22-， C ．ππ222-+，D ．3ππ222-+， 3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数3()1f x x x =-+，则（） A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线4．（2022·天津·统考高考真题）设a ∈R ，对任意实数x ，记(){}2min 2,35f x x x ax a =--+-．若()f x 至少有3个零点，则实数a 的取值范围为______.5．（2022·全国·统考高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．6．（2022·全国·统考高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．7．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数()22,1,11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________；若当[,]x a b ∈时，1()3f x ≤≤，则b a -的最大值是_________．8．（2022·全国·统考高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 9．（2022·北京·统考高考真题）设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________．【方法技巧与总结】1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现()()f f a 的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）．3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对x 进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点解不等式．4、分段函数零点的求解与判断方法：（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．5、动态二次函数中静态的值：解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图象的开口、对称轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题．6、动态二次函数零点个数和分布问题：通常转化为相应二次函数的图象与x 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通过对称轴，根的判别式，相应区间端点函数值等来考虑．7、求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型：（1）对称轴变动，区间固定；（2）对称轴固定，区间变动；（3）对称轴变动，区间也变动．这时要讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值．8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象来研究原函数的图象．如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的（变号）零点研究原函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点…具体来说，对于三次函数()()32 0f x ax bx cx d a =+++＞，其导函数为()()232 0f x ax bx c a '=++＞，根的判别式()243b ac ∆=-．增区间：(), x -∞，0∆≤恒成立，三次函数()f x 在R 上为增函数，没有极值点，有且只有一个零点；（2）当0∆≥时，()0f x '=有两根1x ，2x ，不妨设12x x ＜，则1223b x x a+=-，可得三次函数()f x 在()1, x -∞，()2, x +∞上为增函数，在()12, x x 上为减函数，则1x ，2x 分别为三次函数()32f x ax bx cx d=+++的两个不相等的极值点，那么：① 若()()120f x f x ⋅＞，则()f x 有且只有1个零点； ② 若()()120f x f x ⋅＜，则()f x 有3个零点； ③ 若()()120f x f x ⋅=，则()f x 有2个零点．特别地，若三次函数()()32 0f x ax bx cx d a =+++＞存在极值点0x ，且()00f x =，则()f x 地解析式为()()()20f x a x x x m =--．同理，对于三次函数()()32 0f x ax bx cx d a =+++＜，其性质也可类比得到．9、由于三次函数()()32 0f x ax bx cx d a =+++≠的导函数()232f x ax bx c '=++为二次函数，其图象变化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象对称中心应当为点, 33bb faa ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此结论可以由对称性的定义加以证明．事实上，该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点．10、对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同．导数的几何意义就是求图象在该店处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如果是过某一点，一定要设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可．11、恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．12、如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值．13、当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围．14、两类零点问题的不同处理方法利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<．．①直接法：判断-一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明()()0f a f b ⋅<．②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明()()0f a f b ⋅<．15、利用导数研究方程根（函数零点）的技巧（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．（2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． 16、已知函数零点个数求参数的常用方法（1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．（2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．【核心考点】核心考点一：函数零点问题之分段分析法模型【典型例题】例1．（2023·浙江奉化·高二期末）若函数322ln ()x ex mx xf x x -+-=至少存在一个零点，则m 的取值范围为（） A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭C ．1,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦D ．1,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭例2．（2023·天津·耀华中学高二期中）设函数()322ln f x x ex mx x =-+-，记()()f xg x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是 A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．210,e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦C ．21e ,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D ．2211e ,e e e ⎛⎤--+ ⎥⎝⎦例3．（2023·湖南·长沙一中高三月考（文））设函数()22x xf x x x a e=--+（其中e 为自然对数的底数），若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．1(0,1]e+B ．1(0,]e e +C ．1[,)e e ++∞D ．1(,1]e-∞+核心考点二：函数嵌套问题【典型例题】例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(1)x f x x x e =--，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e-=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或6例5．（2023·全国·高三专题练习（文））已知函数()||12x f x e =-，()()11,021ln ,0x x g x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若关于x 的方程()()0g f x m -=有四个不同的解，则实数m 的取值集合为（） A ．ln 20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．ln 22⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．()0,1例6．（2023·河南·高三月考（文））已知函数()ln x f x x=，若关于x 的方程()()210f x af x a ++-=⎡⎤⎣⎦有且仅有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．()2e,1e --B ．()1e,0-C ．(),1e -∞-D ．()1e,2e -核心考点三：函数整数解问题【典型例题】例7．（2023·福建宁德·高三）当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的最大值为（） A ．2-B ．1-C ．0D ．1例8．（2023·江苏·苏州大学附属中学高三月考）已知a Z ∈，关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（） A ．13B ．21C ．26D ．30例9．（2023·江苏宿迁·高一月考）用符号[x ]表示不超过x 的最大整数（称为x 的整数部分），如[﹣1.2]=﹣2，[0.2]=0，[1]=1，设函数f （x ）=（1﹣ln x ）（ln x ﹣ax ）有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，若[x 1]+[x 2]+[x 3]=6，则实数a 的取值范围是（） A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．ln 31,3e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ln 21,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．ln 2ln 3,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 核心考点四：唯一零点求值问题【典型例题】例10．（2023·安徽蚌埠·模拟预测（理））已知函数()()()2ln 1ln f x x x a x =-+--有唯一零点，则a =（）A ．0B ．12-C ．1D ．2例11．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数()(),g x h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()x g x h x e x +=+，若函数()()12216x f x g x λλ-=+--有唯一零点，则正实数λ的值为（）A ．12B ．13C ．2D ．3例12．（2023·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin xg x h e x x x ++=-，若函数()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为 A ．1-或12B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1核心考点五：等高线问题【典型例题】例13．（2023·陕西·千阳县中学模拟预测（理））已知函数2()log 1f x x =-，若方程()f x a =(0)a >的4个不同实根从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，有以下三个结论：①142x x +=且232x x +=；②当1a =时，12111x x +=且34111x x +=；③21340x x x x +=．其中正确的结论个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3例14．（2023·江苏省天一中学高三月考）已知函数2()(2)x f x x x e =-，若方程()f x a =有3个不同的实根()123123x x x x x x <<，，，则22ax -的取值范围为（） A ．10e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，B．1e⎡-⎢⎣⎭C．()D．(例15．（2023·浙江·高一单元测试）已知函数(){}2max ,32f x x x =-，其中{},max ,,p p q p q q p q ≥⎧=⎨<⎩，若方程()()302f x ax a =+>有四个不同的实根1x 、2x 、3x 、()41234x x x x x <<<，则1423x x x x ++的取值范围是（）A ．93,102⎫⎛-- ⎪⎝⎭B ．193,102⎫⎛-- ⎪⎝⎭C ．39,210⎫⎛- ⎪⎝⎭D ．319,210⎫⎛- ⎪⎝⎭核心考点六：分段函数零点问题【典型例题】例16．（2023·山东青岛·高三期末）已知函数2|ln(1),1()(2),1x x f x x x ⎧+-=⎨+≤-⎩，若方程()0f x m -=有4个不相同的解，则实数m 的取值范围为（） A ．(0,1]B ．[0,1)C ．(0,1)D ．[0,1]例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2log ,1()11,14x x f x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，()()g x f x kx =-，若函数()g x 有两个零点，则k 的取值范围是（） A ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．10,ln 2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,42eln ⎡⎫⎪⎢⎣⎭例18．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，函数()()g x f x x m =++，若()g x 有两个零点，则m 的取值范围是（）． A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．[0,)+∞D ．[1,0)-核心考点七：函数对称问题【典型例题】例19．（2023·安徽省滁州中学高三月考（文））已知函数()22ln ,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在10kx y +-=的图象上,则实数k 的取值范围是A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭例20．（2023·全国·高一课时练习）若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数()f x 的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对[],P Q 是函数()f x 的一个“友好点对”（注：点对[],P Q 与[],Q P 看作同一个“友好点对”）．已知函数()22log ,04,0x x f x x x x >⎧=⎨--≤⎩，则此函数的“友好点对”有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个例21．（2023·福建·厦门一中高一竞赛）若函数y ＝f (x )图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B ]是函数y ＝f (x )的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一对“黄金点对”）已知函数2229,0()4,041232,4x x f x x x x x x x +<⎧⎪=-+≤≤⎨⎪-+>⎩，则此函数的“黄金点对”有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对核心考点八：零点嵌套问题【典型例题】例22．（2023·湖北武汉·高三月考）已知函数2()()(1)()1x x f x xe a xe a =+-+-有三个不同的零点123,,x x x .其中123x x x <<，则3122123(1)(1)(1)x x x x e x e x e ---的值为（）A ．1B ．2(1)a -C ．1-D ．1a -例23．（2023·全国·模拟预测（理））已知函数2()e e x x x ax f x a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有三个不同的零点123,,x x x （其中123x x x <<），则3122312111e e ex x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 A ．1B ．1-C ．aD ．a -例24．（2023·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知函数()()()2ln ln f x ax x x x x =+--，有三个不同的零点，（其中123x x x <<），则2312123ln ln ln 111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 A ．1a - B ．1a - C ．-1 D ．1核心考点九：函数零点问题之三变量问题【典型例题】例25．（2023·全国·高三）若存在两个正实数x 、y ，使得等式3(24)(ln ln )0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（）．A ．()0-∞，B ．3(0)[)2e-∞⋃+∞，， C ．3(0]2e，D ．3[)2e+∞，例26．（2023·山东枣庄·高二期末）对于任意的实数[1,e]x ∈，总存在三个不同的实数y ，使得ln 0ye xy x ay y--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是A ．2(,)4e -∞-B ．2(,0)4e -C ．2[,)4e -+∞D ．2(,)4e -+∞例27．（2023·四川省新津中学高三月考（理））若存在两个正实数,x y ，使得等式330yx x e ay -=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为A ．2[,)8e +∞B ．3(0,]27eC ．3[,)27e +∞D ．2(0,]8e核心考点十：倍值函数【典型例题】例28．（河南省郑州市第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学（理）试题）对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时的值域为[](),0ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若()2xf x e x =+是k倍值函数，则实数k 的取值范围是（） A ．()1,e ++∞B ．()2,e ++∞C ．1,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D ．,e e 2⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭例29．（2023·四川·内江市教育科学研究所高二期末（文））对于函数()y f x =，若存在区间,a b ，当[],x a b ∈时，()f x 的值域为[],ka kb ，则称()y f x =为k 倍值函数.若()xf x e =是k 倍值函数，则k 的取值范围为（）A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,eC ．(),e +∞D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭例30．（2023·吉林·长春十一高高二期中（理））对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时，()f x 的值域为[],ka kb ，则称()y f x =为k 倍值函数．若()ln f x x x =+是k 倍值函数，则k 的取值范围为（） A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．11,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭核心考点十一：函数不动点问题【典型例题】例31．（2023·广东海珠·高三期末）设函数()f x a R e ∈，为自然对数的底数），若曲线y x x =上存在点00()x y ，使得00()f y y =，则a 的取值范围是（） A ．1e[1]e-, B ．1e[e 1]e-+， C ．[1e 1]+， D ．[1,e]例32．（2023·山西省榆社中学高三月考（理））若存在一个实数t ，使得()F t t =成立，则称t 为函数()F x 的一个不动点.设函数()1(xg x e x a =+-(a R ∈，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()g x 的一个不动点，则实数a 的取值范围为（）A ．⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ C ．⎛⎤⎥ ⎝⎦ D ．⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭例33．（2023·四川自贡·高二期末（文））设函数()()1ln 2=+-∈f x x x a a R ，若存在[]1,b e ∈(e 为自然对数的底数)，使得()()f f b b =，则实数a 的取值范围是（） A ．1,122⎡⎤--⎢⎥⎣⎦eB ．e 1,ln 212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,ln 212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦核心考点十二：函数的旋转问题【典型例题】例34．（2023·上海市建平中学高三期末）双曲线2213x y -=绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数f （x ）的图象，关于此函数f （x ）有如下四个命题，其中真命题的个数为（） ①f （x ）是奇函数；②f （x ）的图象过点32⎫⎪⎪⎝⎭或32⎫-⎪⎪⎝⎭； ③f （x ）的值域是33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；④函数y ＝f （x ）－x 有两个零点． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个例35．（2023·山东青岛·高三开学考试）将函数2([3,3])y x =∈-的图象绕点(3,0)-逆时针旋转(0)ααθ≤≤，得到曲线C ，对于每一个旋转角α，曲线C 都是一个函数的图象，则θ最大时的正切值为（）A ．32B ．23C ．1D 例36．（2023·浙江·高三期末）将函数π2sin 0,22x y x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图像绕着原点逆时针旋转角α得到曲线T ，当(]0,αθ∈时都能使T 成为某个函数的图像，则θ的最大值是（）A ．π6B ．π4C ．3π4D ．2π3核心考点十三：构造函数解不等式【典型例题】例37．（2023·江西赣州·高三期中（文））已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()f x 的导数1()2f x '>，则不等式||1(||)22x f x <+的解集为（） A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(1,1)-D ．(,1][1,)-∞-+∞例38．（2023·全国·高二课时练习）设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()'2f x f x +<，()02021f =，则不等式()22019x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（） A ．()0+∞，B ．()2019+∞，C ．()0-∞，D ．()()02019-∞+∞，，例39．（2023·全国·高二课时练习）已知()f x 的定义域为0,，()'f x 为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是（）A ．0,1B ．2,C ．1,2D ．1,核心考点十四：导数中的距离问题【典型例题】例40．（2023春•荔湾区期末）设函数22()()(22)f x x a lnx a =-+-，其中0x >，a R ∈，存在0x 使得04()5f x 成立，则实数a 的值是( ) A ．15B ．25C ．12D ．1例41．（2023•龙岩模拟）若对任意的正实数t ，函数33()()()3f x x t x lnt ax =-+--在R 上都是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．1(,]2-∞B ．(-∞C ．(-∞D ．(-∞，2]例42．（2023•淮北一模）若存在实数x 使得关于x 的不等式2221()22x e a x ax a -+-+成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．1{}2B ．1{}4C ．1[2，)+∞D ．1[4，)+∞核心考点十五：导数的同构思想【典型例题】例43．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式ln ln(1)0x e mx x m ---+≥在(0,)+∞恒成立，则m 的取值范围是（） A ．(]1,1-B ．(]1,1e --C ．(]1,1e -D ．(]1,e例44．（2023·安徽·合肥一中高三月考（理））设实数0m ＞，若对任意的()1,x ∈+∞，不等式2ln 20mxxe m-≥恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞D ．[),e +∞例45．（2023·宁夏·石嘴山市第一中学高二月考（理））若对任意()0,x ∈+∞，不等式ln 0ax ae x ->恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,D ．(),e +∞核心考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法【典型例题】例46．（2023·浙江·高三月考）已知函数2()1x f x xe =-，不等式()ln f x mx x ≥+对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．(,2]-∞B ．[0,2]C ．(2,e 1⎤-∞-⎦D ．20,1e ⎡⎤-⎣⎦例47．（2023·四川省资中县第二中学高二月考（理））关于x 的不等式()32ln 113x x a x xe x+++-≥对任意0x >恒成立，则a 的取值范围是（）． A ．(],1-∞-B ．(){},1e -∞⋃C ．[],1e --D ．(],0-∞例48．（2023·全国·高三专题练习）已知,a b ∈R ，若关于x 的不等式2ln 0x a x a b -+-≥恒成立，则ab 的最大值为_______．核心考点十七：三次函数问题【典型例题】例49．（2023·全国·高三课时练习）设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数，经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的图象都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=，已知函数()3272392f x x x x =-+-，则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．2021 B ．20212C ．2022D ．40212例50．（2023·安徽·东至县第二中学高三月考（理））人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数()f x 都有对称中心，其对称中心为00(,())x f x （其中0''()0f x =）.已知函数32()345f x x x x =-++.若()4,()10f m f n ==，则m n +=（） A ．1B ．32C ．2D ．3例51．（2023·全国·高三月考（文））已知m ，n ，p ∈R ，若三次函数()32f x x mx nx p =+++有三个零点a ，b ，c ，且满足()()3112f f -=<，()()022f f =>，则111a b c ++的取值范围是（）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭核心考点十八：切线问题【典型例题】例52．（2023·云南红河·高三月考（理））下列关于三次函数32()(0)()f x ax bx cx d a x R =+++≠∈叙述正确的是（）①函数()f x 的图象一定是中心对称图形； ②函数()f x 可能只有一个极值点； ③当03bx a≠-时，()f x 在0x x =处的切线与函数()y f x =的图象有且仅有两个交点； ④当03bx a≠-时，则过点()()00,x f x 的切线可能有一条或者三条． A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④例53．（2023·江西·南昌二中高三月考（文））若函数2()1f x x =+的图象与曲线C:()21(0)x g x a e a =⋅+>存在公共切线，则实数a 的取值范围为 A ．220,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．23,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例54．（2023·全国·高二单元测试）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则( ) A ．e b a <B ．e b a >C ．0e b a <<D ．0e a b <<核心考点十九：任意存在性问题【典型例题】例55．（2023·河南·郑州外国语中学高三月考（理））若不等式()()()221212log 1log 3,,13x xa x x ++-≥-∈-∞恒成立，则实数a 的范围是（） A ．[0,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,0]-∞D ．(,1]-∞.例56．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()=++f x x px q 对,∀∈p q R ，总有0[1,5]∃∈x ，使()0f x m≥成立，则m 的范围是（） A ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,2]-∞C ．(,3]-∞D ．(,4]-∞例57．（2023·全国·高二课时练习）已知()()1ln f x x x =+，若k ∈Z ，且()()2k x f x -<对任意2x >恒成立，则k 的最大值为（） A ．3B ．4C ．5D ．6核心考点二十：双参数最值问题【典型例题】例58．（2023·浙江·宁波市北仑中学高三开学考试）已知,a b ∈R ，且0ab ≠，对任意0x >均有()()(ln )0x a b x a x b ----≥，则（） A ．0,0a b <<B ．0,0a b <>C ．0,0a b ><D ．0,0a b >>例59．（2023·山西运城·高三期中（理））已知在函数()()0,0f x ax b a b =+>>，()()ln 2g x x =+，若对2x ∀>-，()()f x g x ≥恒成立，则实数ba的取值范围为（）A ．[)0,+∞B ．[)1,+∞C ．[)2,+∞D ．[),e +∞例60．（2023·黑龙江·鹤岗一中高三月考（理））当(1,)x ∈+∞时，不等式ln(1)230(x ax b a --+，b R ∈，0)a ≠恒成立，则ba 的最大值为（）A ．1eB ．2C ．43D ．2e核心考点二十一：切线斜率与割线斜率【典型例题】例61．（2023·广东·佛山一中高三月考）已知函数2()ln (1)1h x a x a x =+-+(0)a < ，在函数()h x 图象上任取两点,A B ，若直线AB 的斜率的绝对值都不小于5，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞B ．⎛-∞ ⎝⎦C ．,⎛-∞ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎝⎭例62．（2023·山西大同·高一期中）已知函数(),()f x g x 是定义在R 上的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x g x +=2x ax +，记2()()()g x h x xf x x =+，若对于任意的1212x x <<<，都有()()12120h x h x x x -<-，则实数a 的取值范围为（） A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．(0,)+∞C ．(,1]-∞-D ．(0,2]例63．（2023·全国·高一课时练习）已知函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，若对任意的1x ，2x ，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．[)1,8C ．()4,8D ．[)4,8核心考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）【典型例题】例64．设二次函数2()(2)32f x a x ax =-++在R 上有最大值，最大值为m （a ），当m （a ）取最小值时，(a =) A ．0B ．1C ．12D例65．（2023春•绍兴期末）已知函数2()||||f x x a x b =+++，[0x ∈，1]，设()f x 的最大值为M ，若M 的最小值为1时，则a 的值可以是( ) AB ．0 CD ．1例66．（2023•济南模拟）已知函数2()||2x f x ax b x -=--+，若对任意的实数a ，b ，总存在0[1x ∈-，2]，使得0()f x m 成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．1(,]4-∞B ．(-∞，1]2C ．(-∞，2]3D ．(-∞，1]核心考点二十三：两边夹问题和零点相同问题【典型例题】例67．（2023春•湖州期末）若存在正实数x ，y 使得不等式22414lnx x lny ln y -++-成立，则(xy += ) ABCD 例68．（2023•上饶二模）已知实数x ，y 满足2(436)326x y ln x y e x y +-+--+-，则x y +的值为( ) A ．2B ．1C ．0D ．1-例69．（2023•崇明区期末）若不等式(||)sin()06x a b x ππ--+对[1x ∈-，1]恒成立，则a b +的值等于() A ．23B ．56C ．1D ．2核心考点二十四：函数的伸缩变换问题【典型例题】例70．（2023·天津一中高三月考）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．[]2,3 B ．[]1,3 C ．[]1,4D ．[]2,4例71．（2023·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()18≥-f x t t恒成立，则实数t 的取值范围是( ) A ．(](],10,3-∞-B．((,0,3⎤-∞⎦C ．[)[)1,03,-+∞D ．))3,⎡⎡+∞⎣⎣例72．（2023届山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)2213,0,1{ln ,1,2x x x f x x x x -+∈=∈，若当[)4,2x ∈--时，函数()22f x t t ≥+恒成立，则实数t 的取值范围为（） A ．30t -≤≤B ．31t -≤≤C ．20t -≤≤D ．01t ≤≤【新题速递】一、单选题1．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知函数()2,01,011x x f x x x x ⎧≤⎪=-≤<⎨≥，若函数()()()22231g x m f x mf x =-+，存在5个零点，则m =（） A ．1B ．12C ．1或12D ．1-2．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 的零点个数为（）A ．1B ．3C ．4D ．53．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数()11,041,0x xf x x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，若()()12f x f x =，则12x x -的最小值为（） A ．4B ．92C ．143D ．54．（2023春·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知实数0a >，0b >，1a b +=，则下列说法中，正确的是（）． A ．114a b+≤B ．存在a ，b ，使得223a b +≥C ．22log log 1a b ⋅≤D ．存在a ，b ，使得直线10ax by 与圆224x y +=相切5．（2023·全国·高三专题练习）已知()0,2A ，()(),00B t t <，动点C 在曲线T ：()2401y x x =≤≤上，若△ABC 面积的最小值为1，则t 不可能为（） A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-6．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知P 为直线=1y x --上一动点，过点P 作抛物线2:2C x y =的两条切线，切点记为A ，B ，则原点到直线AB 距离的最大值为（） A ．1BCD ．27．（2023春·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知0a >，0b >，直线2e y x b -=+与曲线ln y x a =-相切，则11a b+的最小值是（） A ．16B ．12C ．8D ．48．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）若关于x 的不等式(41ln )ln 3k x x x x --<-+对于任意(1,)x ∈+∞恒成立，则整数k 的最大值为（） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1二、多选题9．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知函数()e xf x x =-，()lng x x x =-，则下列说法正确的是（）A ．()e xg 在()0,∞+上是增函数B ．1x ∀>，不等式()()2ln f ax f x ≥恒成立，则正实数a 的最小值为2eC ．若()f x t =有两个零点12,x x ，则120x x +>D ．若()()()122f x g x t t ==>，且210x x >>，则21ln t x x -的最大值为1e10．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知函数32()e 3xf x ax =-有三个不同的极值点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则下列结论正确的是（）A ．2e 8a >B ．11x <-C ．2x 为函数()f x 的极大值点D ．()23e 3f x <11．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知函数()3f x x ax b =++，其中a ，b 为实数，则下列条件能使函数()f x 仅有一个零点的是（） A ．3a =-，3b =-B ．3a =-，2b =C ．0a =，3b =-D ．1a =，2b =12．（2023春·山东潍坊·高三统考期中）定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，对于任意实数x ，都有2()e ()x f x f x -=，且满足22()()21e x f x f x x -'+=+-，则（）A ．函数()e ()x F x f x =为偶函数B ．(0)0f =C ．不等式e ()e e x xxf x +<的解集为(1,)+∞ D ．若方程2()()0f x x a x--=有两个根12,x x ，则122x x a +> 13．（2023·浙江温州·统考模拟预测）若函数()y f x =的图象上存在两个不同的点P ，Q ，使得()f x 在这两点处的切线重合，则称函数()y f x =为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（） A ．sin cos y x x =+ B ．(sin c s )o y x = C ．sin y x x =+D ．2sin y x x =+14．（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）已知双曲线C ：224x y -=，曲线E ：2y ax x b =++，记两条曲线过点()1,0的切线分别为1l ，2l ，且斜率均为正数，则（） A ．若=0a ，1b =，则C 与E 有一个交点 B ．若=1a ，=0b ，则C 与E 有一个交点C ．若0a b ，则1l 与E 夹角的正切值为7-D ．若==1a b ，则1l 与2l 三、填空题15．（2023·河南郑州·高三阶段练习）正实数a ，b 满足1e 4a a +=+，()ln 3b b +=，则b a -的值为____________． 16．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数()234202312342023x x x x f x x =+-+-++，()234202312342023x x x x g x x =-+-+--，设()()()53F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间[](a b a b <，，a ，)b Z ∈内，则b a -的最小值为__________．17．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）方程e 0x ax a -+=有唯一的实数解，实数a 的取值范围为__________．18．（2023春·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知函数()()23e ,? 0e ,? 0x x xf x x a x ⎧->=⎨-≤⎩，若()()12f x f x =，且12x x -的最大值为4，则实数a 的值为_______．19．（2023·全国·高三专题练习）若存在0a >，0b >，满足(2e )ln (2e )ln a t b a b t b a a +-=-，其中e 为自然对数的底数，则实数t 的取值范围是___________．20．（2023·四川资阳·统考模拟预测）若2224ln x ax a x ->，则a 的取值范围是______．。

第六章一次函数(动点、全等、三角形存在性问题压轴)(原卷版)

第六章一次函数（压轴题专练）一、动点函数问题1．如图，在长方形ABCD 中，动点P 从A 出发，以一定的速度，沿A B C D A ®®®®方向运动到点A 处停止（提示：当点P 在AB 上运动时，点P 到DC 的距离始终等于AD 和BC ）．设点P 运动的路程为x ，PCD V 的面积为y ，如果y 与x 之间的关系如图所示，那么长方形ABCD 的面积为（）A ．6B ．9C ．15D ．182．已知动点H 以每秒x 厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A B C D E F -----的路径匀速运动，相应的HAF △的面积 ()2cm S 关于时间(s)t 的关系图象如图2，已知8cm AF =，则下列说法正确的有几个（）①动点H 的速度是2cm/s ；②BC 的长度为3cm ；③b 的值为14；④在运动过程中，当HAF △的面积是230cm 时，点H 的运动时间是3.75s 和1025s .．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图1，四边形ABCD 中，90DAB ∠=︒，AB CD ∥，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿路线A -B-C -D 运动.设P 点的运动时间为ts ，PAD V 的面积为S ，当P 运动到BC 的中点时，PAD V 的面积为A ．7B ．7.5C ．84．如图，在长为形ABCD 中，5cm 16cm AB AD ==，，点3cm 4cm AM AE ==，，连线CE ，动点P 从点B 出发，以运动到点A 即停止运动，连接MP ，设点P 运动的时间为(1)如图1，线段CE = cm ；当10t =时，线段EP = cm ；(2)如图1，点P 在线段BC 上运动的过程中，连接EM EP ，，当EMP V 是以EM 为直角边的直角三角形时，请求出对应的时间的值；(1)求线段OC的长；(2)若点E是点C关于y轴的对称点，求(3)已知y轴上有一点P，若以点标．(1)求n和b的值；△是直角三角形，求点P的坐标；(2)若ACP∠=∠，求点P的坐标．(3)当PBE BAC(1)求点D的坐标；(2)点E是线段CD上一动点，直线BE与x轴交于点i）若BDFV的面积为8，求点F的坐标；ii）如图2，当点F在x轴正半轴上时，将直线接FM，若1OF MF=+，求线段MF的长．(1)求直线AB的解析式；(2)已知点D为直线BC上第三象限的一点，连接AD，设点D的横坐标为t 间的函数关系式（不要求写出变量t的取值范围）；(3)在（2）的条件下，256S=，点D关于y轴的对称点为点E，点F在第一象限直线。

专题4.6 一次函数的综合大题专项训练(50道)(举一反三)(北师大版)(原卷版)

专题4.6 一次函数的综合大题专项训练（50道）【北师大版】考卷信息：本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了涵盖了一次函数的综合大题所有类型！一．解答题（共50小题）1．（2022•江阴市校级模拟）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则称这个点为强点．例如，图中过点P分别作x轴，y轴的垂线与坐标轴围成矩形OAPB 的周长与面积相等，则点P是强点．（1）点M（1，2），N（4，4），Q（6，﹣3）中，是强点的有；（2）若强点P（a，3）在直线y＝﹣x+b（b为常数）上，求a和b的值．2．（2022秋•东营区校级期末）点P（x，y）在第一象限，且x+y＝8，点A的坐标为（6，0）．设三角形OP A的面积为S．（1）用含x的解析式表示S，写出x的取值范围．（2）当点P的横坐标为5的时候，三角形OP A的面积是多少？x+5的图象l1分别与x轴，y轴交于A、B两点，正3．（2022秋•青羊区校级期末）如图，一次函数y=−12比例函数的图象l2与l1交于点C（m，15）．4（1）求m的值及l2的解析式；（2）求得S△AOC﹣S△BOC的值为；（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3且l1，l2，l3可以围成三角形，直接写出k的取值范围．4．（2022•来安县一模）如图，直线l对应的函数表达式为y＝x+1，在直线l上，顺次取点A1（1，2），A2（2，3），A3（3，4），A4（4，5），…，A n（n，n+1），构成的形如“7”的图形的阴影部分面积分别为S1＝3×2﹣2×1；S2＝4×3﹣3×2；S3＝5×4﹣4×3；…猜想并填空：（1）S5＝；（2）S n＝（用含n的式子表示）；（3）S1+S2+S3+…+S n＝（用含n的式子表示，要化简）．5．（2022春•南昌期末）如图为一次函数l：y＝kx+b的图象．（1）用“＞”、“＝”，“＜”填空：k0，b0；（2）将直线l向下平移2个单位，再向左平移1个单位，发现图象回到l的位置，求k的值；（3）当k＝3时，将直线l向上平移1个单位得到直线l1，已知：直线l，直线l1，x轴，y轴围成的四边形面积等于1，求b的值．6．（2022春•保亭县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与y轴、x轴分别交于A（﹣1，0），B（0，﹣3）．（1）求直线y＝kx+b的解析式；（2）直接写出直线AB向下平移2个单位后得到的直线解析式；（3）求在（2）的平移中直线AB在第三象限内扫过的图形面积．7．（2022•邢台三模）如图，直线y＝kx+3（k＜0）与x轴和y轴分别交于点B和点A，C点坐标为（4，2），将直线y＝kx+3在x轴下方的部分记作G，作G关于x轴的对称图形G1．（1）求A的坐标；（2）若S△ABC＝5，求k的值；（3）若G1经过点C，求k的值．x+3与x轴、y轴交点分别为点8．（2022秋•南岸区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=12A和点B，直线l2过点B且与x轴交于点C，将直线l1向下平移4个单位长度得到直线l3，已知直线l3刚好过点C且与y轴交于点D．（1）求直线l2的解析式；（2）求四边形ABCD的面积．9．（2022春•开封期末）如图，点A、B在单位长度为1的正方形网格的格点上，建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（2，0）．（1）请在图中建立平面直角坐标系．（2）若C、D两点的坐标分别为（1，2）、（﹣2，2），请描出C、D两点．C、D两点的坐标有什么异同？直线CD与x轴有什么关系？（3）若点E（2m+4，m﹣1）为直线CD上的一点，则m＝，点E的坐标为．x﹣2与x轴、y轴分别交于A，B两10．（2022春•涪陵区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x﹣2沿y轴向上平移6个单位长度得到直线l，直线l与x轴、y轴分别交于C，D两点．将直线y=−12点．（1）求点C的坐标，并在同一平面直角坐标系中直接画出直线l的图象；（2）连接BC，DA，求四边形ABCD的面积．11．（2022春•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）点A关于y轴的对称点为C，将直线y＝2x+1，直线BC都沿y轴向上平移t（t＞0）个单位，点（﹣1，m）在直线y＝2x+1平移后的图形上，点（2，n）在直线BC平移后的图形上，试比较m，n的大小，并说明理由．12．（2022春•新蔡县期末）如图，直线y＝2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线AB向下平移后经过点P（3，0）．（1）求平移后的直线所对应的函数表达式；（2）求△P AB的面积．13．（2022秋•泰兴市期末）点A（m，p），B（m+3，q）为一次函数y＝kx+4（k＜0）图象上两点．（1）若k＝﹣2．①当y＜0时，x的范围为．②若将此函数图象沿y轴向上平移3个单位，平移后的函数图象的表达式为．（2）比较p、q的大小，并说明理由．14．（2022•兴隆县一模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由y=1x的图象向下平移2 1个单位得到．（1）直接写出这个一次函数的解析式；（2）直线y＝kx+b（k≠0）上一点A（﹣2，a），B（b，0），求△AOB的面积；（3）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，y＝mx（m≠0）的值都大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．15．（2022春•斗门区期末）已知直线y＝2x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．（1）求A，B两点的坐标；（2）平移直线使其与x轴相交于点P，且OP＝2OA，求平移后直线的解析式．16．（2022•徐州模拟）我们知道对于x轴上的任意两点A（x1，0），B（x2，0），有AB＝|x1﹣x2|，而对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为P1，P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2），即d（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．（1）已知O为坐标原点，若点P坐标为（1，3），则d（O，P）＝；（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）＝2，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；（3）试求点M（2，3）到直线y＝x+2的最小直角距离．17．（2022秋•永嘉县校级期末）已知y+3与x成正比例，且x＝2时，y＝7．（1）求y与x的函数关系式；（2）将所得函数图象平移，使它过点（0，3），求平移后直线的解析式．18．（2022春•宜州区期末）如图，平面直角坐标系中，函数y＝kx+2的图象过点A（3，0），将其图象向上平移2个单位后与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）图象经过点B和C的函数解析式为；（3）△OBC的面积为．19．（2022春•南昌期末）学习一次函数时，我们通过列表、描点、连线画出一次函数图象，并结合函数图象研究函数性质．小南结合学习一次函数的经验，对函数y＝3﹣|x﹣1|的图象和性质进行了研究，下面是小南的探讨过程，请补充完整：（1）列表：x……﹣2﹣10123……y……m1232n……表格中m＝，n＝；（2）①根据列表在给出的平面直角坐标系中描点、画出函数图象；②根据所画的函数图象，该函数有（填“最大值”或“最小值”）；这个值为；（3）直接写出函数图象与x轴所围成的图形的面积：；（4）过点（0，a）作直线l∥x轴，结合所画的函数图象，若直线l与函数y＝3﹣|x﹣1|图象有两个交点，请直接写出a的取值范围．20．（2022春•朝阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横纵坐标都为整数的点叫做“整点坐标”．若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与直线y＝3及y轴围成三角形．（1）当正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（1，1）；①k的值为；②此时围成的三角形内的“整点坐标”有个；写出“整点坐标”．（2）若在y轴右侧，由已知围成的三角形内有3个“整点坐标”，求k的取值范围．21．（2022春•延庆区期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和点Q（x，y'），给出如下定义：若y'={y(x≥0)−y(x＜0)，则称点Q为点P的“调控变点”．例如：点（2，1）的“调控变点”为（2，1）．（1）点（﹣2，4）的“调控变点”为；（2）若点N（m，3）是函数y＝x+2上点M的“调控变点”，求点M的坐标；（3）点P为直线y＝2x﹣2上的动点，当x≥0时，它的“调控变点”Q所形成的图象如图所示（端点部分为实心点）．请补全当x＜0时，点P的“调控变点”Q所形成的图象．22．（2022春•永年区月考）一次函数y＝（2m+4）x+（3﹣n），求：（1）m，n是什么数时，y随x增大而增大？（2）m，n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？（3）若m＝﹣1，n＝2时，求一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积．23．（2022秋•三元区期中）已知一次函数y＝﹣3x+b的图形过点M．（1）求实数b 的值；（2）设一次函数y ＝﹣3x +b 的图形与y 轴交于点N ，连接OM ．求△MON 的面积．24．（2022春•东湖区期末）已知函数y 1＝（m +1）x ﹣m 2+1（m 是常数）．（1）m 为何值时，y 1随x 的增大而减小；（2）m 满足什么条件时，该函数是正比例函数？（3）若该函数的图象与另一个函数y 2＝x +n （n 是常数）的图象相交于点（m ，3），求这两个函数的图象与y 轴围成的三角形的面积．25．（2022秋•绿园区校级期中）我们把形如y ={x −a(x ≥a)−x +a(x ＜a)的函数称为对称一次函数，其中y ＝x ﹣a （x≥a ）的图象叫做函数的右支，y ＝﹣x +a （x ＜a ）的图象叫做函数的左支．（1）当a ＝0时：①在下面平面直角坐标系中画出该函数图象；②点P （1，m ）和点Q （n ，2）在函数图象上，则m ＝，n ＝；（2）点A （4，3）在对称一次函数图象上，求a 的值；（3）点C 坐标为（﹣1，2），点D 坐标为（4，2），当一次对称函数图象与线段CD 有交点时，直接写出a 的取值范围．26．（2022秋•杏花岭区校级期中）已知一次函数y ＝2x +2的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求A，B两点的坐标；（2）在给定的直角坐标系中，画出一次函数y＝2x+2的图象；，﹣1）是否在这个函数的图象上？（填“是”或“否”）；（3）判断（−12（4）该函图象与坐标轴围成的三角形面积是．27．（2022秋•上城区期末）已知一次函数的表达式是y＝（m﹣4）x+12﹣4m（m为常数，且m≠4）．（1）当图象与x轴交于点（2，0）时，求m的值；（2）当图象与y轴交点位于原点下方时，判定函数值y随着x的增大而变化的趋势；（3）在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，求其中任意两条直线与y轴围成的三角形面积的取值范围．28．（2022春•嘉定区期末）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数y=−4x+b的图象与x轴、3 y轴分别相交于点A、B，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为6．（1）直接写出点A与点B的坐标（用含b的代数式表示）；（2）求b的值；x+b的图象经过第二、三、四象限，点C的坐标为（2，m），其中m＞0，试（3）如果一次函数y=−43用含m的代数式表示△ABC的面积．29．（2022秋•句容市期末）已知一次函数y＝kx+b的图象过A（1，1）和B（2，﹣1）（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）求直线y＝kx+b与坐标轴围成的三角形的面积；（3）将一次函数y＝kx+b的图象沿y轴向下平移3个单位，则平移后的函数表达式为，再向右平移1个单位，则平移后的函数表达式为．30．（2022秋•平果市期中）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝3x向下平移得到，且过点A（1，2）．（1）求k，b的值；（2）求直线y＝kx+b与x轴的交点B的坐标；（3）设坐标原点为O，一条直线过点B，且与两条坐标轴围成的三角形的面积是1，这条直线与y轴交2于点C，且点C位于x轴上方，求直线AC对应的一次函数的表达式．31．（2022秋•垣曲县期中）作出函数y＝﹣x+2的图象，并利用图象回答问题：（1）写出图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标．（2）当x＞﹣1时，y的取值范围是．（3）有一点C的坐标是（3，4），顺次连接点A、B、C得到△ABC，三角形ABC的面积为．（4）点C关于x轴对称的点D的坐标；（5）连接B，D两点，求直线BD的函数关系式．32．（2022秋•建平县期末）已知一次函数y=3x+6．4x+6与x轴、y轴交点坐标；（1）求直线y=34（2）求出一次函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积；x+6的距离．（3）求坐标原点O到直线y=3433．（2022秋•修武县期中）如图所示，直线y＝3x+5与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．34．（2022秋•上虞区期末）设y是关于x的一次函数，其图象与y轴交点的纵坐标为﹣10，且当x＝1时，y＝﹣5．（1）求该一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积；时，自变量的取值是多少？（2）当函数值为10335．（2022秋•高台县校级期中）作出函数y=4x﹣4的图象，并根据图象回答下列问题：3（1）y的值随x的增大而；（2）图象与x轴的交点坐标是；与y轴的交点坐标是；（3）求该图象与坐标轴所围成的三角形的面积．36．（2022春•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，将直线AB向右平移6个单位长度，得到直线CD，点A平移后的对应点为点D，点B平移后的对应点为点C．（1）求点C的坐标；（2）求直线CD的表达式；（3）若点B关于原点的对称点为点E，设过点E的直线y＝kx+b，与四边形ABCD有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．37．（2022春•章贡区期末）规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即y＝kx+b和y＝bx+k （其中|k|≠|b|），称这样的两个一次函数为“互助”函数，例如y＝﹣2x+3与y＝3x﹣2就是“互助”函数．根据规定解答下列问题：x+4的“互助”函数：；（1）请直接写出一次函数y=−14是“互助”函数，求两函数图象与y （2）若两个一次函数y＝（k﹣b）x﹣k﹣2b与y＝（k﹣3）x+3k−52轴围成的三角形的面积．38．（2022春•忠县期末）请帮助小明探究函数y=|x−2|的图象及性质，并按要求完成．2（1）直接写出m，n的值，并在图中作出该函数图象；x…﹣2﹣10123456…y…2 1.510.5m0.5n 1.52…（2）判断下面说法是否正确，如果正确，请说明理由；如果错误，请写出正确结论．①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线x＝1；②该函数有最大值和最小值．当x＝﹣2或6时，函数取得最大值2；当x＝1时，函数取得最小值0．39．（2022春•门头沟区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（a，b），点P的“变换点”P′的坐标．定义如下：当a≥b时，P′点坐标为（b，a）；当a＜b时，P′点坐标为（﹣a，﹣b）．（1）写出A（5，3）的变换点坐标，B（1，6）的变换点坐标，C（﹣2，4）的变换点坐标；x+3上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W，请画出图形W；（2）如果直线l：y=−12（3）在（2）的条件下，若直线y＝kx﹣1（k≠0）与图形W有两个交点，请直接写出k的取值范围．40．（2022秋•南岸区校级期末）初三某班同学小戴想根据学习函数的经验，通过研究一个未学过的函数的图象，从而探究其各方面性质．下表是函数y与自变量x的几组对应值：x…﹣10123456912…y…﹣40481297.2643…（1）在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长为一个单位长度，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象．（2）请根据画出的函数图象，直接写出该函数的关系式y＝（请写出自变量的取值范围），并写出该函数的一条性质：．x+b与该函数图象有3个交点时，求b的取值范围．（3）当直线y=−1241．（2022春•房山区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做“整点”．一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）点B的坐标为；（2）若点A坐标为（4，0），△ABO内的“整点”有个（不包括三角形边上的“整点”）；（3）若△ABO内有3个“整点”（不包括三角形边上的“整点”），结合图象写出k的取值范围．x+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x 42．（2022春•沙坪坝区校级期末）如图：一次函数y=13轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．（1）求点B的坐标；（2）求四边形ABCO的面积；（3）求直线CD的解析式．43．（2022秋•邗江区期末）在直角坐标系中画出一次函数y＝2x﹣4的图象，并完成下列问题：（1）此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是；（2）观察图象，当0≤x≤4时，y的取值范围是；（3）将直线y＝2x﹣4平移后经过点（﹣3，1），求平移后的直线的函数表达式．44．（2022春•高邑县期中）如图，直线l是一次函数y＝﹣x+8的图象，点A、B在直线l上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为3，正比例函数y＝kx的图象经过点A，一次函数y＝2x+b的图象经过点B，且与x轴相交于点C．（1）求k的值；（2）求点C的坐标；（3）求四边形OABC的面积．45．（2022春•洛宁县期中）在平面直角坐标系中画出直线y=1x+1的图象，并根据图象回答下列问题：3（1）写出直线与x轴、y轴的交点的坐标；（2）求出直线与坐标轴围成的三角形的面积；x+1关于y轴对称，求k、b的值．（3）若直线y＝kx+b与直线y=1246．（2022秋•下城区期末）如图，一次函数y＝x+2的函数图象与x轴，y轴分别交于点A，B．（1）若点P（﹣1，m）为第三象限内一个动点，请问△OPB的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由？（2）在（1）的条件下，试用含m的代数式表示四边形APOB的面积；若△APB的面积是4，求m的值．47．（2022春•陆川县期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+1的图象与y轴交于点A．x+b的图象上，求b的值，并在同一坐标系中画出该一（1）若点A关于x轴的对称点B在一次函数y=12次函数的图象；（2）求这两个一次函数的图象与y轴围成的三角形的面积．x+4，点P为坐标轴上一点，△ABP为48．（2022秋•浔阳区期中）如图，直线AB的函数关系式为y=−43等腰三角形，回答问题：（1）求线段AB的长度；（2）当点P为y轴正半轴上一点时，求点P的坐标；（3）当点P为x轴负半轴上一点时，求点P的坐标．49．（2022秋•瑶海区期中）定义[P，q]为一次函数y＝Px+q的特征数．（1）若特征数是[k﹣1，k2﹣1]的一次函数为正比例函数，求k的值；（2）在平面直角坐标系中，有两点A（﹣m，0），B（0，﹣2m），且三角形OAB的面积为4（O为原点），求过A，B两点的一次函数的特征数．50．（2022秋•亭湖区校级期末）在直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．（1）点M（3，2）和谐点（填“是”或“不是”）；（2）若点P（a，6）是和谐点，a的值为；（3）若（2）中和谐点P（a，6）在y＝﹣4x+m上，求m的值．。

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专题16 压轴：一次函数综合
专题测试
1．（2018春•陆川县期末）如图，直线L1：y＝x+1与直线L2：y＝﹣x+5相交于点C直线L1与x轴相交于点A，直线L2与x轴相交于点B．
（1）求三角形ABC的面积；
（2）若经过点C的一条直线交x轴于D，直线CD把三角形ABC分成两个三角形，且这两个三角形面积的比为1：2，请直接写出点D的坐标；
（3）假设G是直线y＝x+1上的点，在坐标平面上是否存在一点Q，使以A，B，Q，G为顶点的四边形是正方形，若存在求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
2．（2018春•成都期末）在平面直角坐标系中，过点C（1，3）、D（3，1）分别作x轴的垂线，垂足分别为
A、B．
（1）求直线CD和直线OD的解析式；
（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交直线CD于点N，是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中，设平移距离为t，△AOC与△OBD重叠部分的面积记为s，试求s与t的函数关系式．
3．（2018春•邓州市期末）直线y＝﹣x+6与x轴交于A，与y轴交于B，直线CD与y轴交于C（0，2）与直线AB交于D，过D作DE⊥x轴于E（2，0）．
（1）求直线CD的函数解析式；
（2）P是x轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与直线AB，CD交于M，N，设MN的长为d，P点的横坐标为t，求出d与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以M，N，E，D为顶点的四边形是平行四边形．（直接写出结果）
4．（2018春•江岸区期末）一次函数y＝kx+3交x轴于点B，y轴于点A．（如图1）
（1）若k＝1，求线段AB的长度；
（2）如图2，点M、N是直线y＝kx+3（k＞0）上的两点，设点M、N的横坐标分别为a，b，且a＜0，b＞0，a+b≠0，过M作直线l1：y＝ax和过N作直线l2：y＝bx．
①求ab的值；
②在y轴的负半轴上是否存在一点P，使得∠MP A＝∠APN，若存在求出P点坐标；若不存在，说明理
由．
5．（2018春•青山湖区期末）如图，在平面直角坐标系可中，直线y＝x+1与y x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）在直线AB上是否存在点E使得四边形EODA为平行四边形？存在的话直接写出的值，不存在请说明理由；
（3）当△CBD为等腰三角形时直接写出D坐标．
6．（2018春•青浦区期末）如图，平面直角坐标系xOy中，直线y x+2与x轴、y轴分别交于点
A．B．
（1）求△AOB的面积；
（2）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A．B．P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2018春•岳池县期末）如图，直线l1的解析表达式为：y＝﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C．根据图中信息：
（1）求点D的坐标
（2）求直线l2的解析表达式
（3）求△ADC的面积
（4）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2018春•河北区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y x与x轴交于点A，与y 轴交于点B，与直线OC：y x交于点C
（Ⅰ）求点C的坐标；
（Ⅱ）求证：△OAC为等边三角形；
（Ⅲ）如图2，作∠AOC的平分线ON交AC于F，P、Q分别为线段OA、OF上的动点，连结AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．
9．（2018春•新罗区期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△AOB的斜边OB在x轴上，顶点A的坐标为（2，2）．
（1）求直线OA的解析式；
（2）如图2，动点P从原点O沿x轴正方向运动，到B点时停止运动．过点P作PC⊥x轴于点P，交直线OA于点C，设点P的坐标为（m，0），
（ⅰ）直线PC在△OAB内部扫过的面积为S，求S与m之间的函数关系式；
（ⅱ）在线段AB上是否存在一点Q，使得△QPC为等腰直角三角形？若存在，求出此时m的值或m的取值范围；若不存在，说明理由．
10．如图1，直线y x+6与y轴于点A，与x轴交于点D，直线AB交x轴于点B，△AOB沿直线AB 折叠，点O恰好落在直线AD上的点C处．
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，直线AB上的两点F、G，△DFG是以FG为斜边的等腰直角三角形，求点G的坐标；
（3）如图3，点P是直线AB上一点，点Q是直线AD上一点，且P、Q均在第四象限，点E是x轴上一点，若四边形PQDE为菱形，求点E的坐标．
11．（2018春•香洲区期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，4）和点B（3，0），以线段AB 为边在第一象限内作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求出点C的坐标；
（3）点P是y轴上一动点，当PB+PC最小时，求点P的坐标．
12．（2018春•吉州区期末）已知∠MON＝90°，OC为∠MON的角平分线，P为射线OC上一点，A为直线OM上一点，B为直线ON上一点，且PB⊥P A．
（1）若点A在射线OM上，点B在射线ON上，如图1，求证：P A＝PB；
（2）若点A在射线OM上，点B在射线ON的反向延长线上，请将图2补充完整，并说明（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）在（1）的前提下，以图2中的点O为坐标原点，ON所在的直线为x轴，OM所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．设直线P A与x轴交于点D，直线PB与y轴交于E，连接DE，如图3所示，若点A的坐标为（0，6），点B的坐标为（2，0），求直线DE的函数解析式．
13．（2018春•金牛区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x、y轴于点A、B，直线BC分别交x、y轴于点C、B，点A的坐标为（2，0），∠ABO＝30°，且AB⊥BC．
（1）求直线BC和AB的解析式；
（2）将点B沿某条直线折叠到点0，折痕分别交BC、BA于点E、D，在x轴上是否存在点F，使得点D、
E、F为顶点的三角形是以DE为斜边的直角三角形？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系内是否存在两个点，使得这两个点与B、C两点构成的四边形是正方形？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2018春•锦江区期末）已知菱形ABCD的边长为5，其顶点都在坐标轴上，且点A坐标为（0，﹣3）．（1）求点B的坐标及菱形ABCD的面积；
（2）点P是菱形边上一动点，沿A→B→C→D运动（到达D点时停止）
①如图1，当点P关于x轴对称的点Q恰好落在直线y x﹣3上时，求点P的坐标．
②探究：如图2，当P运动到BC，CD边时，作△ABP关于直线AP的对称图形为△AB′P，是否存在
这样的P点，使点B′正好在直线y x﹣3上？若存在，求出满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2018春•武侯区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB经过点A（﹣2，0），与y轴的正半轴交于点B，且OA＝2OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）点C在直线AB上，且BC＝AB，点E是y轴上的动点，直线EC交x轴于点D，设点E的坐标为（0，m）（m＞2），求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若CE：CD＝1：2，点F是直线AB上的动点，在直线AC上方的平面内是否存在一点G，使以C，G，F，E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2018春•金山区期末）如图，已知直线AQ与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，∠QAO ＝45°，直线AQ在y轴上的截距为2，直线BE：y＝﹣2x+8与直线AQ交于点P．
（1）求直线AQ的解析式；
（2）在y轴正半轴上取一点F，当四边形BPFO是梯形时，求点F的坐标．
（3）若点C在y轴负半轴上，点M在直线P A上，点N在直线PB上，是否存在以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在请求出点C的坐标；若不存在请说明理由．。