二次函数单元综合测试卷(含答案)

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九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)

九年级数学二次函数单元试卷（一）时间90分钟满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（）A.y=(x －1)(x+2)B.y=21(x+1)2C. y=1－3x 2D. y=2(x+3)2－2x 22. 函数y=-x 2-4x+3图象顶点坐标是（）A.（2，-1）B.（-2，1）C.（-2，-1）D.（2， 1）3. 抛物线()12212++=x y 的顶点坐标是（） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1）4. y=(x －1)2＋2的对称轴是直线（） A ．x=－1 B ．x=1 C ．y=－1 D ．y=15．已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为（） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定6. 二次函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（）A. y ＝x 2＋3B. y ＝x 2－3C. y ＝(x ＋3)2D. y ＝(x －3)27．函数y=2x 2-3x+4经过的象限是（）A.一、二、三象限B.一、二象限C.三、四象限D.一、二、四象限 8．下列说法错误的是（）A ．二次函数y=3x 2中，当x>0时，y 随x 的增大而增大B ．二次函数y=－6x 2中，当x=0时，y 有最大值0 C ．a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y=ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点9．如图，小芳在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15x 2＋3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（）A ．3.5mB ．4mC ．4.5mD ．4.6m10．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误的是（） A ．a ＞0． B ．b ＞0． C ．c ＜0． D ．abc ＞0．(第9题) (第10题)3.05m yx y o二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分）11．一个正方形的面积为16cm 2，当把边长增加x cm 时，正方形面积为y cm 2，则y 关于x 的函数为。

2024年九年级数学上册《二次函数》单元测试及答案解析

第二十二章二次函数(单元重点综合测试)班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x厘米：当x=3时，y=18，那么当成本为3.2×105元时，边长为()A.1.6×103厘米B.4×102厘米C.0.4×103厘米D.2×103厘米2.如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是()x....-1034....y....0-5-8-5....A.图象的开口向下B.有最小值-8C.图象与x轴的一个交点是5,0D.图象的对称轴是x=3 23.一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()A. B.C. D.4.坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点M、N皆在x轴上，且有一水平线与两图像相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若AB=12，BC=4，CD=6，则MN的长度是()A.8B.9C.10D.115.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为1,n，且与x轴的一个交点在点3,0和4,0之间．则下列结论：①a-b+c>0；②3a+b=0；③b2=4a c-n；④一元二次方程ax2+bx+c =n -1有两个不相等的实数根；⑤若方程ax 2+bx +c =0的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=2．其中正确结论的个数有()A.5个B.4个C.3个D.2个6.如图，在正方形ABCD 中，点B ，C 的坐标分别是(-2,1)，(2,0)，点D 在抛物线y =13x 2+bx 的图像上，则b 的值是()A.23B.13C.73D.437.如图，排球运动员站在点O 处练习发球，球从点O 正上方2m 的A 处发出，其运行的高度y (m )与水平距离x (m )满足关系式y =-160x -6 2+2.6．已知球网与点O 的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距点O 的水平距离为18m ．下列判断正确的是()A.球运行的最大高度是2.43mB.球不会过球网C.球会过球网且不会出界D.球会过球网且会出界8.如图，抛物线G :y 1=a (x +1)2+2与抛物线H :y 2=-(x -2)2-1交于点B (1,-2)，且分别与y 轴交于点D ，E ．过点B 作x 轴的平行线，交抛物线于点A ，C ．则以下结论：①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；②无论x取何值，y2总是负数；③当-3<x<1时，随着x的增大，y1-y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.49.设二次函数y=a x+mx+m-k(a<0，m，k是实数)，则()A.当k=2时，函数y的最大值为-4aB.当k=2时，函数y的最大值为-2aC.当k=4时，函数y的最大值为-4aD.当k=4时，函数y的最大值为-2a10.如图，已知点A-1,0，点B2,3．若抛物线y=ax2-x+2(a为常数，a≠0)与线段AB有两个不同的公共点，则a的取值范围是()A.a≥3B.a≤-3或34≤a<1C.-3<a<1或a≥3D.34≤a<1二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.标准大气压下，质量一定的水的体积V cm3与温度t°C之间的关系满足二次函数V=18t2+104t>0，则当温度为4°C时，水的体积为cm3．12.已知二次函数y=x2-2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P2,y1，Q3,y2在抛物线C 上，则y1y2(填“>”或“<”)；13.在单位为1的正方形网格中，存在一平面直角坐标系．二次函数y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2的图象位于如图位置上，若它们的图象位置关系具有对称性，请描述它们的对称关系：，求出y2与直线y=32x+7的交点坐标为．14.如图，将抛物线y =x 2-2x -3在x 轴下方部分沿x 轴翻折，其余部分保持不变，得到图像C 1,当直线y =x +b 与图像C 1恰有两个公共点时，b 的取值范围是．15.九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙AB ⊥CD 于点O (如图)，其中AB 上的EO 段围墙空缺．同学们测得AE =6.6m ，OE =1.4m ，OB =6m ，OC =5m ，OD =3m ．班长买来可切断的围栏16m ，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是cm 2．16.如图，二次函数y =33x 2-433x +3的图象交x 轴于点A ,B (点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C ．现有一长为3的线段DE 在直线y =32上移动，且在移动过程中，线段DE 上始终存在点P ，使得三条线段P A ,PB ,PC 能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段DE 左端点D 的橫坐标为t ，则t 的取值范围是．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17.已知二次函数的图像以A-1,4．为顶点，且过点B2,-5(1)求该函数图像与坐标轴的交点坐标；(2)将函数图像向左平移几个单位，该函数图像恰好经过原点．18.飞机降落后滑行的距离S(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是S=at²+bt，当t=5时，S=262.5；当t=10时，S=450．(1)求该函数的解析式；(2)请结合平面直角坐标系中给出的点，画出符合题意的函数图象，并写出飞机降落后滑行到停下来前进了多远？19.已知一次函数y=ax+b的图像上有两点A、B，它们的横坐标分别是2、-1，若二次函数y=x 2的图像经过A、B两点．(1)求一次函数解析式并在平面直角坐标系内画出两个函数的图像；(2)若P m,y1两点都在二次函数y=x 2的图像上，试比较y1与y2的大小．，Q m+1,y220.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A-1,0两点，交y轴于点C，点P m,n，B3,0在抛物线上．(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；(2)若此抛物线点P右侧的部分(不含点P)上恰好有三个点到x轴的距离均为2，请直接写出m的取值范围．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的解析式是y1=x2，直线l的解析式是y2=-14，点F0,1 4，点P是在该抛物线上的动点，连接PF，过P作PN⊥l．(1)求证：PF=PN；(2)设点E-2,6，求PE+PF的最小值及此时点P的坐标．22.甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费-月维护费；在两公司租出的汽车数量相等且都为x(单位：辆，0<x≤50)的条件下，甲的利润用y1表示(单位：元)，乙的利润用y2(单位：元)表示，根据上述信息，解决下列问题：(1)分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？(2)甲公司最多比乙公司利润多多少元？(3)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元(a>0)给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．23.为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设BD的读数为x，CD读数为y，抛物线的顶点为C．(1)(Ⅰ)列表：①②③④⑤⑥x023456y01 2.254 6.259(Ⅱ)描点：请将表格中的x,y描在图2中；(Ⅲ)连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a x-h2+k的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB，竖直跨度为CD，且AB=m，CD=n，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：方案一：将二次函数y=a x-h2+k平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为y=ax2．①此时点B 的坐标为；②将点B 坐标代入y=ax2中，解得a=；(用含m，n的式子表示)方案二：设C点坐标为h,k①此时点B的坐标为；②将点B坐标代入y=a x-h2+k中解得a=；(用含m，n的式子表示)(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系xOy中有A，B两点，AB=4，且AB∥x轴，二次函数C1:y1=2x+h2+k和C2:y2=a x+h2+b都经过A，B两点，且C1和C2的顶点P，Q距线段AB的距离之和为10，求a的值．五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)24.中新社上海3月21日电(记者缪璐)21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C(向后翻腾三周半抱膝)．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A3,10起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)近似满足函数关系式y=a x-h．2+k a<0(1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m03 3.54 4.5竖直高度y/m1010k10 6.25根据上述数据，直接写出k的值为，直接写出满足的函数关系式：；(2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-5x2+40x-68，记她训练的入水点的水平距离为d1，比赛当天入水点的水平距离为d2，请通过计算比较d1与d2的大小；(3)在(2)的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y=-5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？25.综合与实践问题提出某兴趣小组开展综合实践活动，如图1，在正方形ABCD中，E,F分别是AB,AD上一点，且AF=2AE．点M从点E出发，沿正方形ABCD的边顺时针运动；点N同时从点F出发，沿正方形ABCD的边逆时针运动．若两动点的运动速度相同，都为每秒1个单位长度，相遇时M,N两点都停止运动，设点M运动的时间为t秒，△AMN的面积为S，探究S与t的关系．初步感知根据运动的变化，绘制了如图2所示的图象，按不同的函数解析式，图象可分为四段，还有最后一段未画出．(1)AE的长为，AB的长为．(2)a的值为，S的最大值为．延伸探究(3)请求出图2中未画出的最后一段图象对应的函数解析式，并将图象补充完整．(4)求b的值，并求出当S>3时，t的取值范围．第二十二章二次函数(单元重点综合测试)班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x厘米：当x=3时，y=18，那么当成本为3.2×105元时，边长为()A.1.6×103厘米B.4×102厘米C.0.4×103厘米D.2×103厘米【答案】B【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式的运用，求出函数的解析式是解答本题的关键．设y=kx2，由待定系数法就可以求出解析式，把y=3.2×105代入函数解析式就可以求出结论．【详解】解：设y=kx2，∵当x=3时，y=18，∴9k=18，k=2，∴y=2x2，当成本为3.2×105元时，有2x2=3.2×105，x2=1.6×105，x=4×102．故选：B．2.如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是()x....-1034....y....0-5-8-5....A.图象的开口向下B.有最小值-8C.图象与x轴的一个交点是5,0D.图象的对称轴是x=3 2【答案】C【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质等知识点，学会根据表格中的信息求得函数的解析式是解题的关键．由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质即可得出结果．【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)，由题意可知a-b+c=0c=-59a+3b+c=-8 ，解得a=1b=-4 c=-5 ，∴二次函数的解析式为y=x2-4x-5 =x-5x+1=x -2 2-9，∴函数的图象开口向上，顶点为2,-9 ，图象与x 轴的交点分别为-1,0 和5,0 ，∴图象的对称轴是x =2，函数有最小值-9，∴选项A 、B 、D 不符合题意，选项C 符合题意．故选：C ．3.一次函数y =ax +b 和二次函数y =ax 2+bx 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()A. B.C. D.【答案】B 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，本题可先由一次函数y =ax +b 图象得到字母系数的正负，再与二次函数y =ax 2+bx 的图象相比是否一致．【详解】解：A 、由抛物线可知，a <0，x =-b 2a<0，得b <0，由直线可知，a >0，b >0，故本选项不符合题意；B 、由抛物线可知，a >0，x =-b 2a <0，得b >0，由直线可知，a >0，b >0，故本选项符合题意；C 、由抛物线可知，a <0，x =-b 2a <0，得b <0，由直线可知，a <0，b >0，故本选项不符合题意；D 、由抛物线可知，a >0，x =-b 2a>0，得b <0，由直线可知，a <0，b >0，故本选项不符合题意．故选：B4.坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点M 、N 皆在x 轴上，且有一水平线与两图像相交于A 、B 、C 、D 四点，各点位置如图所示，若AB =12，BC =4，CD =6，则MN 的长度是()A.8B.9C.10D.11【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由AB ，BC ，CD 的长度以及根据二次函数的对称性可以知道，M 和C ，N 和B ，C 和B 横坐标的差，从而推出M 和N 的横坐标之差，得到MN 的长度．【详解】由A、B、C、D四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同∵AB=12，BC=4，CD=6，∴AC=AB+BC=16,BD=4+6=10∴x C-x M=AC2=8，x N-x B=BD2=5又∵x C-x B=BC=4∴MN=x N-x M=(x N-x B)+(x C-x M)-(x C-x B)=5+8-4=9．故选：B．5.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为1,n，且与x轴的一个交点在点3,0和4,0之间．则下列结论：①a-b+c>0；②3a+b=0；③b2=4a c-n；④一元二次方程ax2+bx+ c=n-1有两个不相等的实数根；⑤若方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=2．其中正确结论的个数有()A.5个B.4个C.3个D.2个【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质等等，根据开口向下得到a<0，再根据顶点坐标结合对称轴公式得到b=-2a>0，即b+2a=0，则可判断②；由对称性可得当x=-1时，y=a-b+c>0，则可判断②；根据函数图象可知抛物线与直线y=n-1有两个交点，则可判断④；根据二次函数与一元二次方程之间的关系可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵顶点坐标为1,n，∴抛物线对称轴为直线x=-b2a=1，∴b=-2a>0，即b+2a=0，∴3a+b=2a+b+a=a<0，②错误；∵当x=3时y>0，抛物线对称轴为直线x=1，∴当x=-1时，y=a-b+c>0，①正确；∵抛物线顶点纵坐标为n，∴4ac-b24a=n，∴b2=4ac-4an=4a c-n，③正确；由图象可得抛物线与直线y=n-1有两个交点，∴ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，④正确；∵抛物线对称轴为直线x=1，方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2，，∴x1+x22=1，∴x1+x2=2，⑤正确．故选：B ．6.如图，在正方形ABCD 中，点B ，C 的坐标分别是(-2,1)，(2,0)，点D 在抛物线y =13x 2+bx 的图像上，则b 的值是()A.23B.13C.73D.43【答案】B【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，作BE ⊥x 轴，DF ⊥x 轴，证明△BEC ≌△CFD ，进而求出D 点坐标，代入解析式进行求解即可．【详解】解：如图所示，作BE ⊥x 轴，DF ⊥x 轴，则：∠BEO =∠CFD =90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =CD ，∠BCD =90°，∴∠BCE =∠CDF =90°-∠DCF ，∴△BEC ≌△CFD ，∴CF =BE ,DF =CE ，∵点B ，C 的坐标分别是(-2,1)，(2,0)，∴BE =CF =1,OC =2,DF =CE =2+2=4，∴OF =3，∴D 3,4 ，∵点D 在抛物线y =13x 2+bx 的图像上，∴4=13×32+3b ，∴b =13；故选B ．7.如图，排球运动员站在点O 处练习发球，球从点O 正上方2m 的A 处发出，其运行的高度y (m )与水平距离x (m )满足关系式y =-160x -6 2+2.6．已知球网与点O 的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距点O 的水平距离为18m ．下列判断正确的是()A.球运行的最大高度是2.43mB.球不会过球网C.球会过球网且不会出界D.球会过球网且会出界【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据顶点式的特点可知球运行的最大高度为2.6m，由此即可判断A；求出当x=9时，y的值，再与2.43m进行比较即可判断B；求出当x=18时，y的值，再与0比较即可判断C、D．【详解】解：∵抛物线解析式为y=-160x-62+2.6，∴球运行的最大高度为2.6m，故A说法错误，不符合题意；在y=-160x-62+2.6中，当x=9时，y=-1609-62+2.6=2.45>2.43，∴球会过球网，故B说法错误，不符合题意；在y=-160x-62+2.6中，当x=18时，则y=-16018-62+2.6=0.2>0，∴球会过球网且会出界，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意；故选D．8.如图，抛物线G:y1=a(x+1)2+2与抛物线H:y2=-(x-2)2-1交于点B(1,-2)，且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；②无论x取何值，y2总是负数；③当-3<x<1时，随着x的增大，y1-y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】①先求抛物线G的解析式，再根据抛物线G,H的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断②；②根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；③先根据题意得出-3<x<1时，观察图像可知y1 >y2，然后计算y1-y2，进而根据一次函数的性质即可判断；④分别计算出A,E,C,D的坐标，根据正方形的判定定理进行判断即可．【详解】①∵抛物线G:y1=a(x+1)2+2与抛物线H:y2=-(x-2)2-1交于点B1,-2，∴x=1,y=-2，即-2=a(1+1)2+2，解得a=-1，∴抛物线G:y1=-x+12+2，∴抛物线G的顶点(-1,2)，抛物线H的顶点为(2,-1)，将(-1,2)向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为(2,-1)，即抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到，故①正确；②∵(x-2)2≥0，∴-(x-2)2≤0，∴y2=-x-22-1≤-1，∴无论x取何值，y2总是负数，故②正确；③∵B1,-2，∵将y=-2代入抛物线G:y1=-x+12+2，解得x1=-3,x2=1，∴A(-3,-2)，将y=-2代入抛物线H:y2=-x-22-1，解得x1=3,x2=1，∴C(3,-2)，∵-3<x<1，从图像可知抛物线G的图像在抛物线H图像的上方，∴y1>y2∵y1-y2=-(x+1)2+2-[-(x-2)2-1]=-6x+6∴当-3<x<1，随着x的增大，y1-y2的值减小，故③不正确；④设AC与y轴交于点F，∵B1,-2，∴F(0,-2)，由③可知∴A(-3,-2)，C(3,-2)，∴AF=CF，AC=6，当x=0时，y1=1,y2=-5，即D(0,1),E(0,-5)，∴DE=6，DF=EF=3，∴四边形AECD是平行四边形，∵AC=DE,AC⊥DE，∴四边形AECD是正方形，故④正确，综上所述，正确的有①②④，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识．9.设二次函数y =a x +m x +m -k (a <0，m ，k 是实数)，则()A.当k =2时，函数y 的最大值为-4aB.当k =2时，函数y 的最大值为-2aC.当k =4时，函数y 的最大值为-4aD.当k =4时，函数y 的最大值为-2a【答案】C【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数的最值，求出二次函数y =a x +m (x +m -k )与x 轴的交点坐标是-m ，0 ,-m +k ，0 ．得到二次函数的对称轴是直线x =-m -m +k 2=-2m +k 2．根据开口方向进一步求出最值即可．【详解】解：由题意，令y =0，∴a x +m (x +m -k )=0，∴x 1=-m ，x 2=-m +k ．∴二次函数y =a x +m (x +m -k )与x 轴的交点坐标是-m ，0 ,-m +k ，0 ．∴二次函数的对称轴是：直线x =-m -m +k 2=-2m +k 2．∵a <0，∴y 有最大值．当x =-2m +k 2，y 最大，即y =a -2m +k 2+m -2m +k 2+m -k =-k 24a 当k =4时，函数y 的最大值为-4a ；当k =2时，函数y 的最大值为-a ．综上，C 选项正确．故选：C ．10.如图，已知点A -1,0 ，点B 2,3 ．若抛物线y =ax 2-x +2(a 为常数，a ≠0)与线段AB 有两个不同的公共点，则a 的取值范围是()A.a ≥3B.a ≤-3或34≤a <1C.-3<a <1或a ≥3D.34≤a <1【答案】B【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，先求出直线AB 的解析式，令x +1=ax 2-x +2，根据有两个交点求出a 的取值范围，再分a >0和a <0两种情况讨论即可得到答案；【详解】解：设AB 所在直线为y =kx +b ，∵A -1,0 ，B 2,3 ，∴-k +b =02k +b =3，解得：k =1b =1 ，∴y =x +1，当x +1=ax 2-x +2时，∵二次函数与线段AB 有两个不同的公共点，∴(-2)2-4a ×1>0，解得：a <1，①当0<a <1时，此时函数的开口向上，∴a ×(-1)2-(-1)+2≥0，a ×22-2+2≥3，解得：34≤a <1，②当a <0时此时函数的开口向下，∴a ×(-1)2-(-1)+2≤0，a ×22-2+2≤3，解得：a ≤-3，综上所述得：34≤a <1，a ≤-3，故选：B ．二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.标准大气压下，质量一定的水的体积V cm 3 与温度t °C 之间的关系满足二次函数V =18t 2+104t >0 ，则当温度为4°C 时，水的体积为cm 3．【答案】106【分析】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键．将t =4代入解析式求值即可．【详解】解：∵V =18t 2+104t >0 ，当t =4°C 时，V =18×42+104=106cm 3 ，∴水的体积为106cm 3．故答案为：106．12.已知二次函数y =x 2-2x +1的图象向左平移两个单位得到抛物线C ，点P 2,y 1 ，Q 3,y 2 在抛物线C 上，则y 1y 2(填“>”或“<”)；【答案】<【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线C 的解析式为y =x +1 2，再利用二次函数图象的性质可得出答案．【详解】解：y =x 2-2x +1=x -1 2，∵二次函数y =x 2-2x +1的图象向左平移两个单位得到抛物线C ，∴抛物线C 的解析式为y =x +1 2，∴抛物线开口向上，对称轴为x =-1，∴当x >-1时，y 随x 的增大而增大，∵2<3，∴y 1<y 2，故答案为：<．13.在单位为1的正方形网格中，存在一平面直角坐标系．二次函数y 1=a 1x 2+b 1x +c 1，y 2=a 2x 2+b 2x +c 2的图象位于如图位置上，若它们的图象位置关系具有对称性，请描述它们的对称关系：，求出y 2与直线y =32x +7的交点坐标为．【答案】关于点-32,0 成中心对称-1,112 ，8,19 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，以及二次函数与一次函数的交点等知识．(1)根据抛物线图像可求出y 1顶点坐标为-5,-1 ，开口向下；抛物线y 2顶点坐标为2，1 ，开口向上，根据点坐标与二次函数的图像可得出答案．(2)用待定系数法求出抛物线y 2的函数解析式，再令32x +7=12x -2 2+1，进一步求解即可求出y 2与直线y =32x +7的交点坐标．【详解】解：由图象可得抛物线y 1顶点坐标为-5,-1 ，开口向下；抛物线y 2顶点坐标为2，1 ，开口向上，∵点-5,-1 与点2，1 关于点-32，0对称，∴抛物线y 1与抛物线y 2关于点-32，0成中心对称．设抛物线y 2解析式为y 2=a x -2 2+1，由图象可得抛物线经过(4，3)，将(4，3)代入y 2=a x -2 2+1得3=4a +1，解得a =12，∴y 2=12x -2 2+1，令32x +7=12x -2 2+1，解得x 1=-1，x 2=8，将x 1=-1代入y =32x +7得y =112，把x 2=8代入y =32x +7得y =19，∴y 2与直线y =32x +7的交点坐标为-1,112 ，8，19 ，故答案为：-1,112 ，8，19 ．14.如图，将抛物线y =x 2-2x -3在x 轴下方部分沿x 轴翻折，其余部分保持不变，得到图像C 1,当直线y =x +b 与图像C 1恰有两个公共点时，b 的取值范围是．【答案】b >134或-3<b <1【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数，a ≠0)与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程，也考查了抛物线与直线的交点问题．解决本题的关键是利用数形结合的思想的运用．通过解方程x 2-2x -3=0得到A 、B 的坐标，利用二次函数的性质得到顶点的坐标，可写出图象y =x -1 2-4-1<x <3 沿x 轴翻折所得图象的解析式为y =-x -1 2+4=-x 2+2x +3-1<x <3 ，然后求出直线y =x +b 与y =-x 2+2x +3-1<x <3 相切b 的值，直线y =x +b 过A 和过B 点所对应的b 的值，再利用图象可判断直线y =x +b 与此图象有且只有两个公共点时b 的取值范围．【详解】解：当y =0时，x 2-2x -3=0，解得x 1=-1，x 2=3，则A -1,0 ，B 3,0 ，y =x 2-2x -3=x -1 2-4，则顶点坐标为1,-4 ，把图象y =x -1 2-4-1<x <3 沿x 轴翻折所得图象的解析式为y =-x -1 2+4=-x 2+2x +3-1<x <3 ，如图，当直线y =x +b 与y =-x 2+2x +3-1<x <3 相切时，直线与新函数图象有三个交点，此时x +b =-x 2+2x +3有两个相等的实数解，方程整理得x 2-x +b -3=0，Δ=(-1)2-4(b -3)=0，解得b =134，∴当b >134时，直线y =x +b 与图像C 1恰有两个公共点，当直线y =x +b 过A -1,0 时，-1+b =0，解得b =1，当直线y =x +b 过B 3,0 时，3+b =0，解得b =-3，所以，当-3<b <1时，直线y =x +b 与此图象有且只有两个公共点．综上可知，当直线y =x +b 与图像C 1恰有两个公共点时，b 的取值范围是b >134或-3<b <1．故答案为：b >134或-3<b <1．15.九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙AB ⊥CD 于点O (如图)，其中AB 上的EO 段围墙空缺．同学们测得AE =6.6m ，OE =1.4m ，OB =6m ，OC =5m ，OD =3m ．班长买来可切断的围栏16m ，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是cm 2．【答案】46.4【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用AO 和OC 才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用AO 和OC 构成矩形，设矩形在射线OA 上的一段长为xm ，矩形菜地面积为S ，当x ≤8时，如图，则在射线OC 上的长为16-x -1.4+52=19.6-x 2则S =x ⋅19.6-x 2=-12x 2+9.8x =-12x -9.8 2+48.02，∵-12<0，∴当x ≤9.8时，S 随x 的增大而增大，∴当x =8时，S 的最大值为46.4；当x >8时，如图，则矩形菜园的总长为16+6.6+5 =27.6m ，则在射线OC 上的长为27.6-2x 2则S =x ⋅13.8-x =-x 2+13.8x =-x -6.9 2+47.61，∵-1<0，∴当x <6.9时，S 随x 的增大而减少，∴当x >8时，S 的值均小于46.4；综上，矩形菜地的最大面积是46.4cm 2；故答案为：46.4．16.如图，二次函数y =33x 2-433x +3的图象交x 轴于点A ,B (点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C ．现有一长为3的线段DE 在直线y =32上移动，且在移动过程中，线段DE 上始终存在点P ，使得三条线段P A ,PB ,PC 能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段DE 左端点D 的橫坐标为t ，则t 的取值范围是．【答案】-32≤t ≤2【分析】本题考查了二次函数的性质，两点距离公式，轴对称的性质，三角形三边关系，先求出点A ，点B ，点C 坐标，分三种情况讨论，由两点间距离公式和三角形三边关系可求解．【详解】解：∵二次函数y =33x 2-433x +3的图象交x 轴于点A ,B (点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C 当x =0时，y =3，当y =0时，33x 2-433x +3=0，解得：x 1=1,x 2=3∴A 1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ，对称轴为直线x =2如图所示，∵线段DE 上始终存在点P ，使得三条线段P A ,PB ,PC 能与某个等腰三角形的三条边对应相等∴P A =PB 或PB =PC 或PC =P A ，∵段DE 在直线y =32上移动，∴点P 的纵坐标为32,设P x ,32①若PC =P A ，∴x 2+3-322=x -1 2+32 2解得：x =12∴P 12,32∴P A =PC =1,PC =7∵P A +PB =2<7∴不能构成三角形，舍去；②若PB =PC ，∴x 2+3-322=x -3 2+32 2解得：x =32∴P 32,32∵PB =PC =3,P A =1∴能构成三角形，③若P A =PB∴x-12+322=x-32+322解得：x=2∴P A=PB=72,PC=194∵P A+PB>PC，∴P A，PB，PC能组成三角形；∵点P在长为3的线段DE上，∴线段DE左端点D的横坐标为t的取值范围为32-3≤t≤2，即-32≤t≤2故答案为：-32≤t≤2．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17.已知二次函数的图像以A-1,4为顶点，且过点B2,-5．(1)求该函数图像与坐标轴的交点坐标；(2)将函数图像向左平移几个单位，该函数图像恰好经过原点．【答案】(1)与y轴的交点坐标为(0,3)；与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0)(2)向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．(1)设顶点式y=a(x+1)2+4，然后把(2,-5)代入求出a的值即可得出二次函数解析式；通过解方程-(x+1)2+4=0可得抛物线与x轴的交点坐标，通过计算自变量为0时的函数值可得到抛物线与y轴的交点坐标；(2)由于抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0)，把点(1,0)向左平移1个单位到原点，所以把抛物线解析式y=-(x+1)2+4向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点．【详解】(1)解：设抛物线解析式为y=a(x+1)2+4，把(2,-5)代入得9a+4=-5，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-(x+1)2+4；当x=0时，y=-(x+1)2+4=-1+4=3，则抛物线与y轴的交点坐标为(0,3)；当y=0时，-(x+1)2+4=0，解得x1=1,x2=-3，则抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0)；(2)解：因为抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0)，所以把抛物线解析式y=-(x+1)2+4向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点．18.飞机降落后滑行的距离S(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是S=at²+bt，当t=5时，S=262.5；当t=10时，S=450．。

第一章二次函数单元测试卷(含答案)2024-2025学年浙教版数学九年级上册

二次函数单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．下列各式中，y是x的二次函数的是（）A．y=1x2B．y=x2+1x+1C．y=2x2−1D．y=x2−12．一个二次函数图象的顶点坐标是(2，4)，且过另一点(0，−4)，则这个二次函数的解析式为（）A．y=−2(x+2)2+4B．y=2(x+2)2−4C．y=−2(x−2)2+4D．y=2(x−2)2−43．已知A(−1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)三点都在抛物线y=x2−3x+m上，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y2<y1<y3D．y3<y2<y14．将抛物线y=3x2+2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（）A．y=3(x−2)2−1B．y=3(x−2)2+5C．y=3(x+2)2−1D．y=3(x+2)2+55．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+b(a，b都不为0)的图象的相对位置可以是( )A．B．C．D．6．若m＜n＜0，且关于x的方程a x2−2ax+3−m=0（a＜0）的解为x1，x2(x1<x2)，关于x的方程a x2−2ax+3−n=0（a＜0）的解为x3，x4(x3<x4)．则下列结论正确的是（）A．x3<x1<x2<x4B．x1<x3<x4<x2C．x1<x2<x3<x4D．x3<x4<x1<x27．已知二次函数y=a x2+bx+c满足以下三个条件：①b2a>4c，②a−b+c<0，③b<c，则它的图象可能是（）A．B．C．D．8．小明在解二次函数y=a x2+bx+c时，只抄对了a=1，b=4，求得图象过点(−1，0)．他核对时，发现所抄的c比原来的c值大2．则抛物线与x轴交点的情况是（）A．只有一个交点B．有两个交点C．没有交点D．不确定9．已知二次函数y=x2−bx+1，当−32≤x≤12时，函数y有最小值12，则b的值为（）A．−2或32B．−116或32C．±2D．−2或−11610．如图，把二次函数y=a x2+bx+c(a≠0)的图象在x轴上方的部分沿着x轴翻折，得到的新函数叫做y=a x2+bx+c(a≠0)的“陷阱”函数．小明同学画出了y=a x2+bx+c(a≠0)的“陷阱”函数的图象，如图所示并写出了关于该函数的4个结论，其中正确结论的个数为（）①图象具有对称性，对称轴是直线x=1；②由图象得a=1，b=−2，c=−3；③该“陷阱”函数与y轴交点坐标为(0，−3)；④y=−a x2−bx−c(a≠0)的“陷阱”函数与y=a x2+bx+c(a≠0)的“陷阱”函数的图象是完全相同的．A．1B．2C．3D．4二、填空题（每题4分，共24分）11．若y=(m2+m)x m2+1−x+3是关于x的二次函数，则m= ．12．如图所示，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10 s时和26 s时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 s. 13．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C，其中点A，C坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的根是第12题图第13题图第16题图14．若把二次函数y=x2−2x−2化为y=(x−ℎ)2+k的形式，其中ℎ，k为常数，则ℎ+k= ．15．y关于x的二次函数y=a x2+a2，在−1≤x≤1时有最大值6，则2a= ．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1x2−3x与x轴的正半轴交于点E.矩形ABCD2的边AB在线段OE上，点C、D在抛物线上，则矩形ABCD周长的最大值为 .三、综合题（17-20、22每题6分，21、23每题8分，共46分）17．已知点M为二次函数y=−(x−m)2+4m+1图象的顶点，直线y=kx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由；（2）如图，若二次函数图象也经过点A，B，且kx+5>−(x−m)2+4m+1，根据图象，直接写出x的取值范围．18．如图，二次函数y=a x2+2ax+c的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C，且OA=OC=3.（1）求二次函数及直线AC的解析式.（2）P是抛物线上一点，且在x轴上方，若∠ABP=45°，求点P的坐标.19．为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民把一片坡地改造后种植了优质葡萄，今年正式上市销售，并在网上直播推销优质葡萄．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y={mx−76m(1≤x<20，x为正整数)，n(20≤x≤30，x为正整数)，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售葡萄的成本是18元/千克，每天的利润是W元．（1）m= ，n= ；（2）销售优质葡萄第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？20．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，A(−2,0)，C(6,0)，反比例函数y=kx (k≠0,x>0)的图象与AB交于点D(m,4)，与BC交于点E．（1）求m，k的值；（2）点P为反比例函数y=kx(k≠0,x>0)图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作PM∥AB，交y轴于点M，过点P作PN∥x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标．21．如图，已知二次函数y=a x2+2x+c的图象经过点C(0，3)，与x轴分别交于点A，点B(3，0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点.（1）求二次函数y=a x2+2x+c的表达式；（2）连接PO，PC，并把ΔPOC沿y轴翻折，得到四边形POP′C.若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积.22．根据以下素材，探索完成任务．如何设计跳长绳方案素材1图1是集体跳长绳比赛，比赛时，各队跳绳10人，摇绳2人，共计12人．图2是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米，绳子最高点距离地面2.5米．素材2某队跳绳成员有6名男生和4名女生，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.66米至1.68米．跳长绳比赛时，可以采用一路纵队或两路纵队并排的方式安排队员位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少0.5米．问题解决任务1确定长绳形状在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．任务2探究站队方式当该队以一路纵队的方式跳绳时，绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？任务3拟定位置方案为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式居中安排站位．请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位跳绳队员横坐标的最大取值范围．23．如图，对称轴为直线x=−1的抛物线y=a x2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为(−3，0)，且点(2，5)在抛物线y=a x2+bx+c上．（1）求抛物线的解析式；（2）点C为抛物线与y轴的交点；①点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P点坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．答案解析部分1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】112．【答案】3613．【答案】x1=-2，x2=114．【答案】-215．【答案】2或−616．【答案】1317．【答案】（1）解：点M在直线y=4x+1上，∵y=−(x−m)2+4m+1，∴点M坐标为(m，4m+1)，把x=m代入y=4x+1上得y=4m+1，∴点M(m，4m+1)在直线y=4x+1上；（2）解：把x=0代入y=kx+5，可得y=5，∴点B坐标为(0，5)，把(0，5)代入y=−(x−m)2+4m+1，可得5=−m2+4m+1，解得m1=m2=2，∴y=−(x−2)2+9，把y=0代入y=−(x−2)2+9，可得0=−(x−2)2+9，解得x1=−1，x2=5，∵点A在x轴正半轴上，∴点A坐标为(5，0)，∴x<0或x>5时，kx+5>−(x−m)2+4m+1．18．【答案】（1）解：∵OA=OC=3，∴点A(−3，0)，C(0，3)，∴{9a−6a+c=0c=3，解得{a=−1c=3，∴二次函数的解析式为y=−x2−2x+3，设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)，将点A(−3,0)，C(0,3)代入，得{−3k+b=0b=3，解得{k=1b=3，∴直线AC的解析式为y=x+3；（2）解：如图，过点B作BP⊥AC交抛物线于点P，∵OA=OC，OA⊥OC，∴∠CAB=45°，∴∠ABP=45°，∴直线PB可以看作由直线y=-x向右平移得到，∴设PB的解析式为y=−x+m，∵二次函数的表达式为y=−x2−2x+3，令y=0，即−x2−2x+3=0，解得x1=−3，x2=1，∴点B(1,0)，代入y=−x+m，得m=1，∴PB的解析式为y=−x+1，联立得{y=−x2−2x+3y=−x+1，解得{x=1y=0或{x=−2 y=3，∴点P的坐标为(−2，3).19．【答案】（1）−12；25（2）解：由（1）知第x天的销售量为20+4(x−1)=(4x+16)千克．当1≤x<20时，W=(4x+16)(−12x+38−18)=−2x2+72x+320=−2(x−18)2+968，∴当x=18时，W取得最大值，最大值为968．当20≤x≤30时，W=(4x+16)(25−18)=28x+112．∵a=28>0，∴W随x的增大而增大，∴W最大=28×30+112=952．∵968>952，∴当x=18时，W最大=968．答：销售优质葡萄第18天时，当天的利润最大，最大利润是968元．20．【答案】（1）解：∵A(−2,0)，C(6,0)，∴AC=8．又∵AC=BC，∴BC=8．∵∠ACB=90°，∴点B(6,8)．设直线AB的函数表达式为y=ax+b，将A(−2,0)，B(6,8)代入y=ax+b，得{a=1,b=2.∴直线AB的函数表达式为y=x+2．将点D(m,4)代入y=x+2，得m=2．∴D(2,4)．将D(2,4)代入y=kx，得k=8．（2）解：延长NP交y轴于点Q，交AB于点L．∵AC=BC，∠BCA=90°，∴∠BAC=45°．∵PN∥x轴，∴∠BLN=∠BAC=45°，∠NQM=90°．∵AB∥MP，∴∠MPL=∠BLP=45°，∴∠QMP=∠QPM=45°，∴QM=QP．设点P 的坐标为(t ,8t)，(2<t <6)，则PQ =t ，PN =6−t ．∴MQ =PQ =t ．∴S △PMN =12⋅PN ⋅MQ =12⋅(6−t)⋅t =−12(t−3)2+92．∴当t =3时，S △PMN 有最大值92，此时P(3,83)．21．【答案】（1）解：将点B 和点C 的坐标代入 y =a x 2+2x +c ，得 {c =39a +6+c =0 ，解得 a =−1 ， c =3 ．∴ 该二次函数的表达式为 y =−x 2+2x +3 ．（2）解：若四边形POP′C 是菱形，则点P 在线段CO 的垂直平分线上；如图，连接PP′，则PE ⊥CO ，垂足为E ，∵ C （0，3），∴ E（0， 32 ），∴ 点P 的纵坐标等于 32 ．∴−x 2+2x +3=32 ，解得 x 1=2+102， x 2=2−102（不合题意，舍去），∴ 点P 的坐标为（ 2+102， 32 ）．（3）解：过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P （m ， −m 2+2m +3 ），设直线BC 的表达式为 y =kx +3 ，则 3k +3=0 ，解得 k =−1 .∴直线BC 的表达式为 y =−x +3 ．∴Q 点的坐标为（m ， −m +3 ），∴QP =−m 2+3m .当 −x 2+2x +3=0 ，解得 x 1=−1，x 2=3 ，∴ AO=1，AB=4，∴ S 四边形ABPC =S △ABC +S △CPQ +S △BPQ= 12AB ⋅OC +12QP ⋅OF +12QP ⋅FB = 12×4×3+12(−m 2+3m)×3当 m =32时，四边形ABPC 的面积最大．此时P 点的坐标为 (32，154) ，四边形ABPC 的面积的最大值为 758．22．【答案】解：任务一：以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，如图：由已知可得， (0，1) ， (6，1) 在抛物线上，且抛物线顶点的纵坐标为 2.5 ，设抛物线解析式为 y =a x 2+bx +c ，∴{c =136a +6b +c =14ac−b 24a=52 ，解得 {a =−16b =1c =1，∴抛物线的函数解析式为 y =−16x 2+x +1 ；任务二：∵y =−16x 2+x +1=−16(x−3)2+52，∴抛物线的对称轴为直线 x =3 ，10 名同学，以直线 x =3 为对称轴，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边，对称轴左侧的 3 位男同学所在位置横坐标分布是 3−0.5×12=114 ， 114−0.5=94和 94−0.5=74，当 x =74 时， y =−16×(74−3)2+52=21596≈2.24>1.8 ，∴绳子能顺利的甩过男队员的头顶，同理当 x =34 时， y =−16×(34−3)2+52=5332≈1.656<1.66 ，∴绳子不能顺利的甩过女队员的头顶；∴绳子不能顺利的甩过所有队员的头顶；任务三：两路并排，一排 5 人，当 y =1.66 时， −16x 2+x +1=1.66 ，解得 x =3+3145 或 x =3−3145，但第一位跳绳队员横坐标需不大于 2 （否则第二、三位队员的间距不够 0.5 米）∴3−3145<x ≤2 ．23．【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线x =−1，又∵点A(−3，0)与(2，5)在抛物线上，∴{9a−3b +c =04a +2b +c =5−b 2a=−1，解得{a =1b =2c =−3，∴抛物线的解析式为y =x 2+2x−3；（2）解：①由（1）知，二次函数的解析式为y =x 2+2x−3，∴抛物线与y 轴的交点C 的坐标为(0，−3)，与x 轴的另一交点为B(1，0)，则OC =3，OB =1，设P 点坐标为(x ，x 2+2x−3)，∵S △POC =4S △BOC ，∴12×3×|x|=4×12×3×1，∴|x|=4，则x =±4，当x =4时，x 2+2x−3=16+8−3=21，当x =−4时，x 2+2x−3=16−8−3=5，∴点P 的坐标为(4，21)或(−4，5)；②如图，设直线AC 的解析式为y =kx +t ，将A(−3，0)，C(0，−3)代入得{−3k +t =0t =−3，解得{k =−1t =−3，∴直线AC 的解析式为y =−x−3，设Q 点坐标为(x ，−x−3)，−3≤x ≤0，则D 点坐标为(x ，x 2+2x−3)，∴QD =(−x−3)−(x 2+2x−3)=−x 2−3x =−(x +32)2+94，∴当x =−32时，线段QD 的长度有最大值94．。

人教版九年级数学上册第22章二次函数单元综合测试题(含解析)

2022-2023学年人教版九年级数学上册《第22章二次函数》单元综合测试题（附答案）一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．下列函数中不属于二次函数的是（）A．y＝（x+1）（x﹣2）B．y＝（x+1）2C．y＝2（x+2）2﹣2x2D．y＝1﹣x22．将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x+1）2+4B．y＝（x﹣1）2+4C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x﹣1）2+2 3．已知抛物线y＝x2﹣x+1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2022的值为（）A．2020B．2021C．2022D．20234．将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后所得抛物线解析式为（）A．y＝2x2+1B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x﹣8）2+1D．y＝2（x﹣8）2﹣35．抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝﹣3D．x＝36．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足表格：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）7．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数），A（﹣3，y1）B（3，y2）C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列为（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1 8．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞1B．x＜﹣3或x＞1C．﹣4＜x＜1D．﹣3＜x＜1 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．ac＜0B．b＜0C．b2﹣4ac＜0D．a+b+c＜0 11．若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）图象如图，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣5、最大值0B．有最小值﹣3、最大值6C．有最小值0、最大值6D．有最小值2、最大值612．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1012345y1250﹣3﹣4﹣30512给出了结论：（1）二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（2）当时，y＜0；（3）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0二、填空题（本大题共6小题，共24分）13．顶点为（﹣2，﹣5）且过点（1，﹣14）的抛物线的解析式为．14．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为．15．把二次函数y＝ax2+bx+c的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位后得到y＝2（x﹣1）2，则y＝ax2+bx+c图象顶点坐标是．16．如图，一为运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，此运动员将铅球推出m．17．是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是．18．如图，线段AB＝8，点C是AB上一点，点D、E是线段AC的三等分点，分别以AD、DE、EC、CB为边作正方形，则AC＝时，四个正方形的面积之和最小．三、解答题（本大题共7小题，共60分）19．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）观察图象写出A、B、C三点的坐标，并求出此二次函数的解析式；（2）求出此抛物线的顶点坐标和对称轴．20．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；（2）写出方程ax2+bx+c＜0时x的取值范围；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．21．如图是二次函数y＝（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，﹣4）（1）求出图象与x轴的交点A、B的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△P AB＝S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）设计费能达到24000元吗？为什么？（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？23．某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？24．如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若点P（m，﹣m）（m≠0）为抛物线上一点，求与P关于抛物线对称轴对称的点Q 的坐标．（注：抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣）25．如图，已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点（B 点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求M点的坐标．参考答案一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．解：A、y＝（x+1）（x﹣2）是二次函数，故此选项不合题意；B、y＝（x+1）2是二次函数，故此选项不合题意；C、y＝2（x+2）2﹣2x2＝8x+8不是二次函数，故此选项符合题意；D、y＝1﹣x2是二次函数，故此选项不合题意；故选：C．2．解：y＝x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1﹣1+3＝（x﹣1）2+2．故选：D．3．解：∵抛物线y＝x2﹣x+1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m+1＝0，∴m2﹣m+2022＝m2﹣m+1+2021＝2021．故选：B．4．解：抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1的顶点坐标为（4，﹣1），∵向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，∴平移后的函数图象的顶点坐标为（8，﹣3），∴平移后所得抛物线解析式为y＝2（x﹣8）2﹣3，故选：D．5．解：∵﹣1，3是方程a（x+1）（x﹣3）＝0的两根，∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交点横坐标是﹣1，3，∵这两个点关于对称轴对称，∴对称轴是直线x＝＝1．故选：A．6．解：∵x＝﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3，相等，∴二次函数的对称轴为直线x＝﹣2，∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．故选：B．7．解：抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数）的对称轴为直线x＝2，所以A（﹣3，y1）到直线x＝2的距离为5，B（3，y2）到直线x＝2的距离为1，C（4，y3）到直线的距离为2，所以y2＜y3＜y1．故选：C．8．解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误．故选：B．9．解：函数的对称轴为：x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），则另外一个交点坐标为：（﹣3，0），故：y＜0时，x＜﹣3或x＞1，故选：B．10．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线交于y轴的正半轴，∴c＞0，∴ac＞0，A错误；∵﹣＞0，a＞0，∴b＜0，∴B正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，C错误；当x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，D错误；故选：B．11．解：由二次函数的图象可知，∵﹣5≤x≤0，∴当x＝﹣2时函数有最大值，y最大＝6；当x＝﹣5时函数值最小，y最小＝﹣3．故选：B．12．解；由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x＝1，所以，当x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4；故（1）小题错误；根据表格数据，当﹣1＜x＜3时，y＜0，所以，﹣＜x＜2时，y＜0正确，故（2）小题正确；二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为（﹣1，0）（3，0），它们分别在y轴两侧，故（3）小题正确；综上所述，结论正确的是（2）（3）共2个．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，共24分）13．解：设顶点式y＝a（x+2）2﹣5，将点（1，﹣14）代入，得a（1+2）2﹣5＝﹣14，解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x+2）2﹣5，即y＝﹣x2﹣4x﹣9．14．解：∵对称轴为直线x＝2的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x＝2对称，∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点B的坐标为（6，0），AB＝6﹣（﹣2）＝8．故答案为：8．15．解：y＝2（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位后得到y＝2（x﹣1）2，∴二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为：y＝2（x+1）2﹣3，∴二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，﹣3），故答案为：（﹣1，﹣3）．16．解：当y＝0时，﹣x2+x+＝0，解之得x1＝10，x2＝﹣2（不合题意，舍去），所以推铅球的距离是10米．故答案为：10．17．解：设出抛物线方程y＝ax2（a≠0），由图象可知该图象经过（﹣2，﹣2）点，故﹣2＝4a，a＝﹣，故y＝﹣．18．解：设AC为x，四个正方形的面积和为y．则BC＝8﹣x，AD＝DE＝EC＝，∴y＝3×（）2+（8﹣x）2＝x2﹣16x+64＝，∴x＝﹣＝6时，四个正方形的面积之和最小．故答案为6．三、解答题（本大题共7小题，共60分）19．解：（1）根据二次函数的图象可知：A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（4，5），把A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（4，5）代入y＝ax2+bx+c可得，解得．即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝y＝（x﹣1）2﹣4，∴此抛物线的顶点坐标（1，﹣4），和对称轴x＝1．20．解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，则方程ax2+bx+c＝0的两个根为1和3；（2）由图象可知当x＜1或x＞3时，不等式ax2+bx+c＜0；（3）由图象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为x＝2，开口向下，即当x＞2时，y随x的增大而减小；（4）由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2，若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，则k＜2．21．解：（1）∵抛物线解析式为y＝（x+m）2+k的顶点为M（1，﹣4）∴y＝（x﹣1）2﹣4令y＝0得（x﹣1）2﹣4＝0令y＝0得（x﹣1）2﹣4＝0解得x1＝3，x2＝﹣1∴A（﹣1，0），B（3，0）（2）∵△P AB与△MAB同底，且S△P AB＝S△MAB，∴|y P|＝×4＝5，即y P＝±5又∵点P在y＝（x﹣1）2﹣4的图象上∴y P≥﹣4∴y P＝5，则（x﹣1）2﹣4＝5，解得x1＝4，x2＝﹣2∴存在合适的点P，坐标为（4，5）或（﹣2，5）．22．解：（1）∵矩形的一边为x米，周长为16米，∴另一边长为（8﹣x）米，∴S＝x（8﹣x）＝﹣x2+8x，其中0＜x＜8；（2）能，∵设计费能达到24000元，∴当设计费为24000元时，面积为24000÷2000＝12（平方米），即﹣x2+8x＝12，解得：x＝2或x＝6，∴设计费能达到24000元．（3）∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，∴当x＝4时，S最大值＝16，∴当x＝4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元．23．解：（1）根据题意得：y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；（2）当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）当x＝2时，30+x＝32（元）答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．（3）根据题意得：y＝﹣10x2+130x+2300＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．24．解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+1，将点O（0，0）的坐标代入得：4a+1＝0，解得a＝﹣．所以二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1；（2）∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1的对称轴为直线x＝2，且经过原点O（0，0），∴与x轴的另一个交点B的坐标为（4，0），∴△AOB的面积＝×4×1＝2；（3）∵点P（m，﹣m）（m≠0）为抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1上一点，∴﹣m＝﹣（m﹣2）2+1，解得m1＝0（舍去），m2＝8，∴P点坐标为（8，﹣8），∵抛物线对称轴为直线x＝2，∴P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标为（﹣4，﹣8）．25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，∴﹣＝3，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝8，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x+4＝4，∴点C的坐标为（0，4）．设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）．将B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4）（0＜x＜8），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．∴PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，∴S△PBC＝PD•OB＝×8•（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．∵﹣1＜0，∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．∵0＜x＜8，∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．（3）设点M的坐标为（m，﹣m2+m+4），则点N的坐标为（m，﹣m+4），∴MN＝|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|＝|﹣m2+2m|．又∵MN＝3，∴|﹣m2+2m|＝3．当0＜m＜8时，有﹣m2+2m﹣3＝0，解得：m1＝2，m2＝6，∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）；当m＜0或m＞8时，有﹣m2+2m+3＝0，解得：m3＝4﹣2，m4＝4+2，∴点M的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．综上所述：M点的坐标为（4﹣2，﹣1）、（2，6）、（6，4）或（4+2，﹣﹣1）．。

2023-2024学年人教版九年级数学上册《第二十二章二次函数》单元测试卷附有答案

2023-2024学年人教版九年级数学上册《第二十二章二次函数》单元测试卷附有答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题(共10小题，满分40分)1．关于抛物线22y x x =-+，下列说法错误的是（） A ．该抛物线经过原点B ．该抛物线的对称轴是直线1x =C ．该抛物线的最大值为1D ．当0x >时，y 随x 增大而减小2．已知一次函数y ＝ax ＋b 的图象如图所示，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．3．用20cm 长的绳子围成一个矩形，如果这个矩形的一边长为xcm ，面积是Scm 2，则S 与x 的函数关系式为（）A ．S ＝x （20﹣x ）B ．S ＝x （20﹣2x ）C ．S ＝x （10﹣x ）D ．S ＝2x （10﹣x ）4．将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（） A ． B ． C ．D ．5．若抛物线2y x bx c =++与x 轴两个交点之间的距离为2，抛物线的对称轴为直线1x =，将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的顶点坐标为（） A ．(2,3)--B ．(1,3)-C ．(3,2)-D ．(2,3)-6．如图所示，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为直线1x =，与y 轴的一个交点坐标为()0,3，其部分图象如图所示，下列结论：①<0abc ；①40a c +>；①方程20ax bx c ++=有一个实根大于2；①当0x <时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．下列抛物线平移后可得到抛物线y=-（x -2）2的是（） A ．y=-x 2B ．y=x 2-2C ．y=（x -2）2+1D ．y=（2-x ）28．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（） ①abc ＜0；①a+c ＞0；①2a+b=0；①关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的解是x 1=﹣1，x 2=3①b 2＜4acA ．①①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①①9．设函数221y x kx k =-+-（k 为常数），下列说法正确的是（）A ．对任意实数k ，函数与x 轴都没有交点B ．存在实数n ，满足当x n ≥时，函数y 的值都随x 的增大而减小C ．k 取不同的值时，二次函数y 的顶点始终在同一条直线上D ．对任意实数k ，抛物线221y x kx k =-+-都必定经过唯一定点 10．在平面直角坐标系中，若点()11,M x y ，()()2212,N x y x x <是抛物线()220y mx x m m =-+>上的两点，且满足124x x +=时，都有12y y >，则m 的取值范围是（）A ．102m <<B ．104m <<C ．12m >D ．1142m <<二、填空题（共8小题，满分32分）11．二次函数y=﹣2（x ﹣1）2+3的图象与y 轴的交点坐标是．12．若点A(2，m )在函数21y x =-的图象上，则点A 关于x 轴的对称点的坐标是 . 13．把抛物线2y x =-向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线()213y x =--+. ( )14．已知抛物线22y x mx m =-++，当21x -<<时，y 随x 的增大而增大，m 的取值范围是． 15．已知抛物线y ＝ax 2（a ≠0）过点（﹣2，6），在下列5个点中，对于不在此抛物线上的一点P ，将点P 平移到点P ′，使点P ′在此抛物线上，写出点P 的坐标及平移方法：（1，32），（﹣1，32），（1，﹣32），（2，8），（2，3）答：．16．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a 元（a ＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t （t 为正整数）的增大而增大，a 的取值范围应为．17．若将图中的抛物线y =x 2-2x +c 向上平移，使它经过点（2，0），则此时的抛物线位于x 轴下方的图象对应x 的取值范围是 .18．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，有下列4个结论：①abc＞0；①b＞a+c；①4a+2b+c＞0；①b2﹣4ac＞0；其中正确的是．三、解答题（共6小题，每题8分，满分48分）19．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．(1)若商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品的售价应为多少元？(2)如果要使商场一天获得最大利润，每件衬衫应降价多少元？20．已知二次函数2=++过点A（1，0），B(-3，0)，C（0，-3）y ax bx c(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线的对称轴上求点F，使AF+CF最小，求点F的坐标．(3)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6，求点P的坐标．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +1交y 轴于点A ，交x 轴正半轴于点B （4，0），交直线AD 于点D （3，52），过点D 作DC ①x 轴于点C ．（1）直接写出：a ＝，b ＝；（2）点P 为x 轴正半轴上一动点，过点P 作PN ①x 轴交直线AD 于点M ，交抛物线于点N ；若点P 在线段OC 上（不与O 、C 重合），连接CM ，求①PCM 面积的最大值．22．函数y=ax 2（a≠0）的图象与直线y=2x ﹣3交于点（1，b ）．（1）求a 和b 的值．（2）求抛物线y=ax 2的解析式，并求出顶点坐标和对称轴．（3）求抛物线与直线y=﹣2的两个交点及顶点所构成的三角形的面积．23．如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求拋物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线23=-++与x轴交于点A和点B（点A在点By x mx左侧），（1）若抛物线的对称轴是直线x=1，求出点A和点B的坐标，并画出此时函数的图象；（2）当已知点P（m，2），Q(－m，2m－1)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．参考答案：12．（2，-3）13．√14．m1≥15．（1，﹣32）向上平移3个单位，点（2，8）向下平移2个单位16．0＜a＜617．0＜x＜218．①①①．19．(1)92(2)520．(1)223y x x=+-；(2)F（1-，2-）；(3)P（17-+，3）或（17--，3）或（0，3-）或P（2-，3-）．21．（1）﹣34和114；（2）最大值为251622．(1)a=-1,b=-1;(2) 顶点坐标（0，0），对称轴x=0;(3)6 23．(1)223y x x=--+(2)存在，点P坐标为(1,6)-或(1,10)-或(1,10)--或5 (1,)3 -24．（1）点A坐标为(－1，0)，点B坐标为(3，0)；（2）m≤－2 或m≥1。

二次函数单元测试题及答案详解

二次函数单元测试题一、选择题1、二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（）2、如图为抛物线的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（）A．a＋b=－1 B．a－b=－1 C．b<2a D．ac<03、已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A. B. C.且 D.且4、抛物线C1：y=x2+1与抛物线C2关于轴对称，则抛物线C2的解析式为A. y=-x2B. y=-x2+1C. y=x2-1D. y=-x2-15、将抛物线y=2x2向左平移3个单位,再向上平移1个单位得到的抛物线,其解析式是A. y=2(x+3)2+1B. y=2(x－3)2－1C.y=2(x+3)2－1D. y=2(x－3)2+16、根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图象与x 轴…………………………………………………【】X ……-1 0 1 2 ……Y ……-9 -3 -1 -3 ……A.只有一个交点B.有两个交点，且它们分别在y轴两侧C.有两个交点，且它们均在y轴同侧D.无交点7、如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞58、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个9、二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则的最大值为（）A．B．3 C．D．910、如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是11、如图，已知□ABCD中，AB=4,AD=2,E是AB边上的一动点（与点A、B不重合），设AE=,DE的延长线交CB的延长线于点F，设BF=，则下列图象能正确反映与的函数关系的是12、若二次函数（为常数）的图象如下，则的值为（）A． B． C．或 D．13、如图，四边形ABCD是边长为1 的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D （F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F→H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与 x之间函数关系的图象是（）14、如图所示，二次函数的图像经过点（－1，2），且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①；②；③；④其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15、抛物线的部分图像如图所示，若y>0，则的取值范围是( )A． B． C． D．二、填空题16、已知二次函数x+2的图象与x轴分别交于A、B两点（如图所示），与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的坐标为．17、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，（1）给出三个结论：①b2-4ac>0；②c>0；③b>0，其中正确结论的序号是： .（2）给出三个结论：①9a+3b+c<0；②2c>3b；③8a+c>0，其中正确结论的序号是： .18、如图7，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面_____________．19、已知直线（p＞0）与x轴、y轴分别交于点A和点B，过B点的抛物线的顶点为C，如果△ABC恰为等边三角形，则b的值为．20、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列三个结论：①a＜0；②a＋b＋c＞0；③－＞0．其中正确的结论有。

二次函数单元测试卷含答案

二次函数单元测试卷一、选择题（每题 3 分，共 30 分）1.当 -2 ≤ x≦1, 二次函数 y=- （ x-m）2 + m2 +1有最大值4，则实数 m值为（）7 B. 3 或-3或 -3 D. 2或 3或-7 442.函数ymx2x2m（m是常数）の图像与x轴の交点个数为（）A.0 个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或 2个3.关于二次函数yax2bxcの图像有以下命题：①当c时，函数の图像经过原点；②当c0，且函数の图像张口向下时，方程ax 2bx c 0必有两个不相等の实根；③函数图像最高点の纵坐标是4ac b2y轴对称．此中正确命题の个数是（4a；④当 b0时，函数の图像关于）A.1 个 B ．2个C． 3 个 D ．4个4.关于xの二次函数y2mx2(8m1)x8mの图像与x轴有交点，则mの范围是（）m1m ≥1m1m11616 且m 01616 且m 0A ．B ．C． D ．5.以下二次函数中有一个函数の图像与x 轴有两个不一样の交点，这个函数是（）2B ．y x24C．y 3x22x 5D．y 3x25x 1A ．y x6.若二次函数 y ax2 c ，当 x 取 x1、 x2（ x1x2）时，函数值相等，则当x 取 x1x2时，函数值为（）A ．a c B．a c C ．c D ．c7.以下二次函数中有一个函数の图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（）A ．y x2—1B ．y x24C．y x2—2x 1 D．y 3x25x 18.抛物线 y3x22x1の图象与坐标轴交点の个数是（）A ．没有交点B．只有一个交点C．有且只有两个交点D．有且只有三个交点9.函数 y ax 2bx c の图象以以下图，那么关于x の一元二次方程ax2bx c30 の根の状况是（）yA ．有两个不相等の实数根B．有两个异号の实数根3C ．有两个相等の实数根D ．没有实数根Ｏx10.. 若把函数 y=x の象用 E（ x， x），函数 y=2x+1 の象用 E（ x，2x+1），⋯⋯E（x， x22x1）可以由E（x， x2）怎平移获得？A ．向上平移１个位B ．向下平移１个位C ．向左平移１个位D．向右平移１个位二、填空（每小 3 分，共 24 分）11. 抛物y2x83x2与 x 有个交点，因其判式b24ac0 ，相二次方程 3x2 2 x80 の根の个数．12. 关于xの方程mx2mx 5 m 有两个相等の数根，相二次函数y mx2mx5m 与 x 必然订交于点，此 m．13. 抛物y x2(2 m 1)x 6m 与 x 交于两点 ( x1，0) 和 ( x2，0) ，若 x1x2x1 x249，要使抛物原点，将它向右平移个位．14. 如所示，函数y(k 2) x 27x (k 5) の像与 x 只有一个交点，交点の横坐x．yＯx15.已知二次函数 y 1 x2bx c ，关于xの一元二次方程 1 x2bx c 0 の两个22根是1和 5，个二次函数の分析式16.若函数 y=（ m 1） x2 4x+2mの象与 x 有且只有一个交点，mの17.若根式1有意，双曲y= 2k - 2与抛物 y=x2+2x+2－2k の交点在第象限 .22k x18.将二次三式 x2+16x+100 化成（ x+p）2+q の形式三、解答（本大共7 小，共66 分）19.. （7 分）已知一个二次函数の象点（0， 0），（ 1， 3），（ 2， 8），求函数分析式。

《第22章二次函数》单元检测试卷及答案(共6套)

《第22章二次函数》单元检测试卷（一）一、选择题：1.若(2，5)，(4，5)是抛物线y=ax2＋bx＋c上的两个点，则它的对称轴是( )A.x=1B.x=2C.x=3D.x=42.抛物线y=2（x+3）2+1的顶点坐标是（）A.（3，1）B.（3，﹣1）C.（﹣3，1）D.（﹣3，﹣1）3.下列函数中，是二次函数的有( )①y=1-x2；②y=；③y=x(1-x)；④y=(1-2x)(1+2x).A.1个B.2个C.3个D.4个4.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0),无论k取何值,其图象的顶点都在( )A.直线y=x上B.直线y=-x上C.x轴上D.y轴上5.把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到抛物线是( )A.y=(x+2)2+2B.y=(x+2)2-2C.y=x2+2D.y=x2-26.在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所经过的路程为( )A.88米B.68米C.48米D.28米7.二次函数y=x2+2x-3的开口方向、顶点坐标分别是（）A.开口向上,顶点坐标为（-1,-4）B.开口向下，顶点坐标为（1,4）C.开口向上,顶点坐标为（1,4）D.开口向下，顶点坐标为（-1,﹣4）8.在同一坐标系中,一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2﹣b的图象可能是（）9.将进货单价为40元的商品按50元出售时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得8000元的利润，商品售价应为（）A.60元B.80元C.60元或80元D.30元10.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为（）A．3 B．2 C．3 D．211.向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒12.已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大二、填空题：13若把二次函数y=x2+6x+2化为y=（x-h）2+k的形式，其中h，k为常数，则h+k= ．14.抛物线y=(x-1)2+2的顶点坐标是 .15.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在二次函数y=﹣2(x﹣2)2+1的图象上，且x1＜x2＜2，则1,y1、y2的大小关系是．16a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b c（用“＞”或“＜”号填空）17.将抛物线y=3(x﹣4)2+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是．18.二次函数y=x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y=x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为．19.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是_______．三、解答题：20.已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．21.已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点（0，2）和（1，﹣1），求图象的顶点坐标和对称轴．22. 如图，一次函数y 1＝kx ＋1与二次函数y 2＝ax 2＋bx －2交于A ，B 两点，且A(1，0)，抛物线的对称轴是x ＝－32.(1)求k 和a ，b 的值；(2)求不等式kx ＋1＞ax 2＋bx －2的解集．23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．(1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D ，求∠BCD 的面积；(3)若直线y ＝－12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线BDC(包括端点B ，C)部分有两个交点，求b 的取值范围．24.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分，如图。

二次函数单元测试题及答案

二次函数单元测试题及答案一、选择题1. 二次函数y = ax^2 + bx + c中，当a的值变为原来的2倍时，函数图像如何变化？A. 向上平移B. 向下平移C. 向左平移D. 向右平移答案：B2. 下列哪个选项是二次函数的标准形式？A. y = x^2 + 2x + 1B. y = 2x^2 - 3x + 4C. y = 3x + 4D. y = x - 2答案：B3. 若二次函数y = -2x^2 + 3x + 1的顶点坐标为(1, 2)，则下列哪个选项是正确的？A. a = -2, b = 3, c = 1B. a = 2, b = -3, c = -1C. a = -2, b = -3, c = -1D. a = 2, b = 3, c = 1答案：A4. 二次函数y = 3x^2 - 6x + 9的最小值是多少？A. 0B. 3C. 9D. 无法确定答案：C5. 如果二次函数y = x^2 + 4x + 4的图像与x轴相交于两点A和B，那么线段AB的长度是多少？A. 2B. 4C. 6D. 8答案：C二、填空题6. 已知二次函数y = 2x^2 - 5x + 3，其顶点坐标为__________。

答案：(1, -1)7. 函数y = -x^2 + 4x - 3的最大值是__________。

答案：18. 若二次函数y = 3x^2 - 2x - 5的图像关于y轴对称，则新的函数表达式为y = __________。

答案：y = 3x^2 + 2x - 5三、解答题9. 已知二次函数y = -2x^2 + 6x + 3，求该函数在x = -1时的函数值。

答案：当x = -1时，y = -2*(-1)^2 + 6*(-1) + 3 = -2 - 6 + 3 =-5。

10. 给定二次函数y = x^2 - 6x + 9，求该函数的对称轴方程。

答案：对称轴为x = -b/(2a) = -(-6)/(2*1) = 3。

二次函数单元测试卷及答案

二次函数单元测试卷及答案第一部分：选择题（共10题，每题2分）1. 若 $f(x)=2x^2+6x+1$，则该函数的抛物线开口向上（）。

A. 对B. 错2. 对于函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，若 $a>0$，则抛物线开口（）。

A. 向上B. 向下3. 已知 $f(x)=x^2+bx+c$，若 $b^2-4c>0$，则该函数（）。

A. 有两个实根B. 无实根C. 有一个实根4. 若 $f(x)=\frac{1}{2}x^2+ax+b$ 的导函数为 $f'(x)=x+1$，则 $f(x)$ 的解析式为（）。

A. $\frac{1}{2}x^2+x+1$B. $\frac{1}{2}x^2+2x+1$C.$\frac{1}{2}x^2+x+2$5. 设 $f(x)=2x^2-10x+8$，$g(x)=x^2-3x+7$，则 $f(x)-g(x)$ 的值域为（）。

A. $(0,+\infty)$B. $(-\infty,0)$C. $[0,+\infty)$6. 函数 $f(x)=x^2-2mx+1$ 与 $y=0$ 交点的横坐标为 $4$，则 $m$ 的值为（）。

A. $1$B. $2$C. $-1$7. 若 $f(x)=x^2+1$，则 $f(2x+1)$ 的最小值为（）。

A. $2$B. $5$C. $6$8. 已知函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 在 $x=1$ 处有极值 $0$，则 $a+b+c$ 等于（）。

A. $-1$B. $0$C. $1$9. 函数 $f(x)=x^2-2x+5$ 与 $g(x)=2x-1$ 的交点横坐标之和为（）。

A. $0$B. $1$C. $2$10. 若 $f(x)=x^2-2x-15$，则 $f(x)$ 的零点为（）。

A. $-3,5$B. $-5,3$C. $-3,-5$答案：1.A 2.A 3.A 4.B 5.A 6.C 7.C 8.B 9.C 10.A第二部分：填空题（共5题，每题4分）1. 函数 $f(x)=x^2+2x+1$ 的零点是 _____________。

初三二次函数综合测试题及答案

二次函数单元测评一、选择题(每题3分，共30分)1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )A. B. C. D.2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( )A. (1，-4)B.(-1，2)C. (1，2)D.(0，3)3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. x轴上D. y轴上二、4. 抛物线的对称轴是( )A. x=-2B.x=2C. x=-4D. x=45. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是(A. ab>0，c>0B. ab>0，c<0C. ab<0，c>0D. ab<0，c<06.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限( ) A. 一B. 二C. 三 D. 四7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是( )A. 4+mB. mC. 2m-8D. 8-2m8. 若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax 2+bx 的图象只可能是( )9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线上的点，且-1<x 1<x 2，x 3<-1，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 1<y 2<y 3 B. y 2<y 3<y 1 C. y 3<y 1<y 2 D. y 2<y 1<y 3 10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( ) A. B. C. D.二、填空题(每题4分，共32分)11. 二次函数y=x 2-2x+1的对称轴方程是______________.12. 若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.14. 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________.(m/s)竖直向上抛物16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：=10m/s，则该物体在运(其中g是常数，通常取10m/s2).若v动过程中最高点距地面_________m.17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.的值是18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1三、解答下列各题(19、20每题9分，21、22每题10分，共38分)19. 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0) (1)求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标(2)求此二次函数的解析式；20.在直角坐标平面内，点 O为坐标原点，二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4)的图象交 x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求二次函数解析式；(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积.21.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.(1)求抛物线的解析式；.(2)求△MCB的面积S△MCB1.考点：二次函数概念.选A.2.考点：求二次函数的顶点坐标.解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k)，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2)，答案选C.3. 考点：二次函数的图象特点，顶点坐标.解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0)，所以顶点在x轴上，答案选C.4. 考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为.解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选B.5.考点：二次函数的图象特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，答案选C.6.考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方在第四象限，答案选D.7.考点：二次函数的图象特征.解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x轴于点D，所以A、B两点关于对称轴对称，因为点A(m，0)，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C.8.考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状.解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，所以二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向下，对称轴在y轴左侧，交坐标轴于(0，0)点.答案选C.9. 考点：一次函数、二次函数概念图象与性质.解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1<x1<x2，当x>-1时，由图象知，y随x的增大而减小，所以y2<y1；又因为x3<-1，此时点P3(x3，y3)在二次函数图象上方，所以y2<y1<y3.答案选D.10.考点：二次函数图象的变化.抛物线的图象向左平移2个单位得到，再向上平移3个单位得到.答案选C.考点：二次函数性质.解析：二次函数y=x2-2x+1，所以对称轴所在直线方程.答案x=1.12.考点：利用配方法变形二次函数解析式.解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2.答案y=(x-1)2+2.13. 考点：二次函数与一元二次方程关系.解析：二次函数y=x2-2x-3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，求得x1=-1，x2=3，则AB=|x2-x1|=4.答案为4.14.考点：求二次函数解析式.解析：因为抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)两点，解得b=-2，c=-3，答案为y=x2-2x-3.15.考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，.解析：需满足抛物线与x轴交于两点，与y轴有交点，与△ABC是直角三角形，但没有确定哪个角为直角，答案不唯一，如：y=x2-1.16.考点：二次函数的性质，求最大值.解析：直接代入公式，答案：7.考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一.解析：如：y=x2-4x+3.18.考点：二次函数的概念性质，求值.答案：.19. 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式.解析：(1)A′(3，-4)(2)由题设知：∴y=x2-3x-4为所求(3)20.考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式. 解析：(1)由已知x 1，x 2是x 2+(k-5)x-(k+4)=0的两根又∵(x 1+1)(x 2+1)=-8 ∴x 1x 2+(x 1+x 2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0 ∴k=5∴y=x 2-9为所求(2)由已知平移后的函数解析式为： y=(x-2)2-9 且x=0时y=-5 ∴C(0，-5)，P(2，-9).21. 解：(1)依题意：。

二次函数单元测试题及答案

二次函数单元测试题一、选择题（本题共计7 小题，每题3 分，共计21分，）1. 下列函数中是二次函数的是（）+x2A.y=ax2+bx+cB.y=3x2+1C.y=2(x+1)2−2x2D.y=1x2. 已知二次函数的图象如右图，则下列结论中，正确的结论有（）①a+b+c>0②a−b+c<0③abc<0④b=2a⑤b>0．A.5个B.4个C.3个D.2个3. 若正方形的边长为6，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（）A.y=(x+6)2B.y=x2+62C.y=x2+6xD.y=x2+12x4. 已知二次函数y=a(x+1)2−b(a≠0)有最小值1，则a，b的大小关系为（）A.a>bB.a<bC.a=bD.不能确定5. 二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(0, 1)和(−1, 0)．下列结论：①ab<0；②b2>4ac；③0<b<1；④当x<−1时，y< 0．其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.46. 设函数y＝a(x−ℎ)2+k(a，ℎ，k是实数，a≠0)，当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y ＝8，（）A.若ℎ＝4，则a<0B.若ℎ＝5，则a>0C.若ℎ＝6，则a<0D.若ℎ＝7，则a>07. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，现有下列结论：①abc> 0；②b2−4ac<0；③4a−2b+c<0；④b=−2a．则其中结论正确的是（）A.①③B.③④C.②③D.①④二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）8. 抛物线y=x2+x+2上三点(−2, a)、(−1, b)，(3, c)，则a、b、c的大小关系是________．9. 将函数y=−12(x−1)2+5图象向________平移________个单位可得函数y=−12(x+1)2+5的图象．10. 抛物线y=−3x2+8向右平移5个单位的抛物线的函数关系式是________．11. 已知二次函数y=x2，在−1≤x≤3内，函数的最小值为________.12. 不等式x2+px>4x+p−3对于一切0≤p≤4均成立，则实数x的取值范围是________．13. 已知抛物线y=x2−kx−8经过点P(2, −8)，则k=________，这条抛物线的顶点坐标是________．14. 用配方法将抛物线y=x2+2√3x+1化成y=(x+ℎ)2+k的形式是________．15. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________米．16. 在二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法中：①b2−4ac<0；>0；③abc>0；④a−b−c>0，说法正确的是________（填序②−b2a号）．17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2−4x+1与y轴交于点A，过点A平行于x轴的直线交抛物线y=x2于点B、C两点，点P在抛物线y=−x2−4x+1上且在x轴的上方，连接PB、PC，则△PBC面积的最大值是________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）18. 已知抛物线y=x2−2x−3．（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，与y轴的一个交点为C，画草图，求△ABC的面积．19. 利用二次函数y=12x2+x+2的图象和性质，求方程−12x2+x+2=0在3和4之间的根的近似值．（结果精确到0.1）20. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(1, 0)，与y轴的交点坐标为(0, −3)．（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．21. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−112x2+23x+53．则他将铅球推出的距离是10m．22. 抛物线y＝−x2+2x+3的顶点为D，它与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求顶点D的坐标；（2）求直线BC的解析式；（3）求△BCD的面积；（4）当点P在直线BC上方的抛物线上运动时，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并且写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．23. 已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C分别为坐标轴上的三个点，且OA= 1，OB=3，OC=4.(1)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A，B，C，P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点M为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出使|PM−AM|最大时点M的坐标，并直接写出|PM−AM|的最大值．参考答案一、选择题（本题共计7 小题，每题 3 分，共计21分）1.【答案】B【考点】二次函数的定义【解答】解：A、y=ax2+bx+c，其中a≠0，故本选项错误；B、y=3x2+1，故本选项正确；C、y=2(x+1)2−2x2，整理后不含二次项，故本选项错误；+x2，不是整式，故本选项错误；D、y=1x故选B．2.【答案】B【考点】二次函数图象与系数的关系【解答】解：根据图象，当x=1时，y=a+b+c>0，当x=−1时，y=a−b+c<0，可知①②正确；>0，且抛物线开口向下，a<根据图象与y轴的交点位置可知c>0，根据对称轴x=−b2a0，可知b>0，abc<0，故③⑤正确；=1得b=−2a，可知④错误．根据对称轴x=−b2a正确的是①②③⑤4个，故选B．3.【答案】D【考点】根据实际问题列二次函数关系式【解答】解：原边长为6的正方形面积为：6×6=36，边长增加x后边长变为：x+6，则面积为：(x+6)2，∴ y=(x+6)2−36=x2+12x．故选：D．4.【答案】A【考点】二次函数的最值【解答】解：∴ 二次函数y=a(x+1)2−b(a≠0)有最小值，∴ 抛物线开口方向向上，即a>0；又最小值为1，即−b=1，∴ b=−1，∴ a>b．故选A．5.【答案】D【考点】二次函数图象上点的坐标特征二次函数图象与系数的关系抛物线与x轴的交点【解答】∴ 二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)过点(0, 1)和(−1, 0)，∴ c＝1，a−b+c＝0．>0，①∴ 抛物线的对称轴在y轴右侧，∴ x=−b2a∴ a与b异号，∴ ab<0，正确；②∴ 抛物线与x轴有两个不同的交点，∴ b2−4ac>0，∴ b2>4ac，正确；③∴ 抛物线开口向下，∴ a<0，∴ ab<0，∴ b>0．∴ a−b+c＝0，c＝1，∴ a＝b−1，∴ a<0，∴ b−1<0，b<1，∴ 0<b<1，正确；④由图可知，当x<−1时，y<0，正确；综上所述，正确的结论有①②③④．6.【答案】C【考点】二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数图象上点的坐标特征【解答】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，∴ a(8−ℎ)2−a(1−ℎ)2＝7，整理得：a(9−2ℎ)＝1，若ℎ＝4，则a＝1，故A错误；若ℎ＝5，则a＝−1，故B错误；若ℎ＝6，则a＝-，故C正确；若ℎ＝7，则a＝-，故D错误；7.【答案】B【考点】二次函数图象与系数的关系【解答】解：由抛物线的开口向下，得到a<0，>0，∴ b>0，∴ −b2a由抛物线与y轴交于正半轴，得到c>0，∴ abc<0，选项①错误；又抛物线与x轴有2个交点，∴ b2−4ac>0，选项②错误；∴ x=−2时对应的函数值为负数，∴ 4a−2b+c<0，选项③正确；=1，即b=−2a，选项④正确，∴ 对称轴为直线x=1，∴ −b2a则其中正确的选项有③④．故选B二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分） 8.【答案】c >a >b【考点】二次函数图象上点的坐标特征【解答】解：∴ 二次函数的解析式为y =x 2+x +2=(x +12)2+74， ∴ 抛物线的对称轴为直线x =−12，∴ (−2, a)、(−1, b)，(3, c)，∴ 点(3, c)离直线x =−12最远，(−1, b)离真相x =−12最近，而抛物线开口向上，∴ c >a >b ；故答案为c >a >b ．9.【答案】左,2【考点】二次函数图象与几何变换【解答】解：由“左加右减”的原则将函数y =−12(x −1)2+5的图象向左平移2个单位，所得二次函数的解析式为：y =−12(x +1)2+5；故答案为：左，2．10.【答案】y =−3(x −5)2+8【考点】二次函数图象与几何变换【解答】解：∴ 抛物线y =−3x 2+8顶点坐标为(0, 8)，向右平移5个单位后，顶点坐标为(5, 8)，由顶点式，得平移后抛物线解析式为y =−3(x −5)2+8．故本题答案为：y =−3(x −5)2+8．11.【答案】【考点】二次函数的最值【解答】解：y=x2的对称轴为x=0，且−1≤x≤3，故x=0时，取最小值，最小值为0,故答案为：0.12.【答案】x<−1或x>3．【考点】二次函数与不等式（组）【解答】∴ x2+px>4x+p−3，∴ x2−1>4x−px+p−4，∴ x2−1>(4−p)x+p−4，∴ x2−1>(4−p)(x−1)，当p＝4时，x2−1>0，画出函数y＝x2−1的图象，找出x轴上方所对应的x的取值范围得到x>1或x<−1；当p＝0时，x2−4x+3>0，画出函数y＝x2−4x+3的图象，找出x轴上方所对应的x的取值范围得到x<1或x>3；当0<p<4，①当x>1，不等式变形为x+1>4−p>0，解得x>−1，则x>1；②当x<1，不等式变形为x+1<4−p，则x+1<0，解得x<−1，则x<−1；∴ x>1或x<−1；综上所述，实数x的取值范围为x<−1或x>3．13.【答案】2,(1, −9)【考点】待定系数法求二次函数解析式【解答】解：∴ 抛物线y=x2−kx−8经过点P(2, −8)，∴ 4−2k−8=−8，解得k=2，∴ 此抛物线的解析式为y=x2−2x−8，配方得y=(x−1)2−9，∴ 这条抛物线的顶点坐标是(1, −9)．14.【答案】y=(x+√3)2−2【考点】二次函数的三种形式【解答】解：y=x2+2√3x+1=x2+2√3x+3−3+1=(x+√3)2−2．故化成y=(x+ℎ)2+k的形式是y=(x+√3)2−2．15.【答案】0.5【考点】二次函数的应用【解答】解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，由题意可得A(0, 2.5)，B(2, 2.5)，C(0.5, 1)，设函数解析式为y=ax2+bx+c，把A，B，C三点分别代入得出c=2.5，同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1，解之得a=2，b=−4，c=2.5．∴ y=2x2−4x+2.5=2(x−1)2+0.5．∴ 2>0，∴ 当x=1时，y=0.5米．故答案为：0.5．16.【答案】②③④【考点】二次函数图象与系数的关系【解答】解：由图可知，抛物线与x轴有2个交点，所以b2−4ac>0，故①错误；>0，故②正确；对称轴在y轴右侧，则x=−b2a抛物线开口向上，则a>0，而对称轴在y轴右侧，则a、b异号，所以b<0，其与y轴的交点(0, c)位于y轴的负半轴，则c<0，所以abc>0，故③正确；∴ a>0，b<0，c<0，∴ a−b−c>0，故④正确；故答案为：②③④．17.【答案】4【考点】二次函数图象上点的坐标特征抛物线与x轴的交点【解答】当x=0时，y=−x2−4x+1=1，则A(0, 1)，当y=1时，x2=1，解得x1=1，x2=−1，则B(−1, 1)，C(1, 1)，∴ BC=2，设P(x, −x2−4x+1)，P点在BC上方时，△PBC面积有最大值，⋅2⋅(−x2−4x+1−1)=−x2−4x=−(x+2)2+4，∴ S△PBC=12∴ 当x=−2时，△PBC面积的最大值为4．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）18.【答案】解：（1）∴ y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴ 该抛物线开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为(1, −4)．（2）按点A在点B的左侧画出草图，如图所示．∴ y=x2−2x−3=(x+1)(x−3)，∴ 点A(−1, 0)，点B(3, 0)，当x=0时，y=−3，∴ 点C(0, −3)，∴ S△ABC=12AB⋅OC=12×[3−(−1)]×|−3|=6．【考点】抛物线与x轴的交点【解答】解：（1）∴ y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴ 该抛物线开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为(1, −4)．（2）按点A在点B的左侧画出草图，如图所示．∴ y=x2−2x−3=(x+1)(x−3)，∴ 点A(−1, 0)，点B(3, 0)，当x=0时，y=−3，∴ 点C(0, −3)，∴ S△ABC=12AB⋅OC=12×[3−(−1)]×|−3|=6．19.【答案】解：方程−12x2+x+2=0根是函数y=12x2+x+2与x轴交点的横坐标．如图所示：二次函数y=12x2+x+2的图象，由图象可知方程有两个根，一个在−2和−1之间，另一个在3和4之间．当x=3.2时，y=0.08；当x=3.3时，y=−0.145；因此，x=3.2是方程的一个近似根，故方程−12x2+x+2=0在3和4之间的根的近似值为x≈3.2．图象法求一元二次方程的近似根【解答】解：方程−12x 2+x +2=0根是函数y =12x 2+x +2与x 轴交点的横坐标．如图所示：二次函数y =12x 2+x +2的图象，由图象可知方程有两个根，一个在−2和−1之间，另一个在3和4之间．当x =3.2时，y =0.08；当x =3.3时，y =−0.145；因此，x =3.2是方程的一个近似根，故方程−12x 2+x +2=0在3和4之间的根的近似值为x ≈3.2． 20.【答案】解：（1）由二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过(1, 0)和(0, −3)两点，得{1+b +c =0c =−3，解这个方程组，得{b =2c =−3； ∴ 抛物线的解析式为y =x 2+2x −3．（2）当x <−3或x >1时，y >0．【考点】待定系数法求二次函数解析式二次函数与不等式（组）【解答】解：（1）由二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过(1, 0)和(0, −3)两点，得{1+b +c =0c =−3，解这个方程组，得{b =2c =−3； ∴ 抛物线的解析式为y =x 2+2x −3．（2）当x <−3或x >1时，y >0．21.【答案】当y ＝0时，−112x 2+23x +53=0，解之得x 1＝10，x 2＝−2（不合题意，舍去），所以推铅球的距离是10米．二次函数的应用【解答】当y ＝0时，−112x 2+23x +53=0，解之得x 1＝10，x 2＝−2（不合题意，舍去），所以推铅球的距离是10米．22.【答案】函数的对称轴为：x ＝1，当x ＝1时，y ＝−1+2+3＝4，故点D(1, 4)；y ＝−x 2+2x +3的顶点为D ，它与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，则点A 、B 、C 的坐标分别为：(−1, 0)、(3, 0)、(0, 3)，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：{0=3k +b b =3 ，解得：{k =−1b =3，故直线BC 的表达式为：y ＝−x +3；过点D 作DG // y 轴交BC 于点G ，则点G(1, 2)，△BCD 的面积=12×DG ×OB =12×(4−2)×3＝3；过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，设点P(x, −x 2+2x +3)，点H(x, −x +3)，则S △PBC =12×PH ×OB =32(−x 2+2x +3+x −3)=−32x(x −3)， ∴ −32<0，∴ S △PBC 有最大值，最大值为：278，此时点P(32, 154)．【考点】二次函数综合题【解答】函数的对称轴为：x ＝1，当x ＝1时，y ＝−1+2+3＝4，故点D(1, 4)；y ＝−x 2+2x +3的顶点为D ，它与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，则点A 、B 、C 的坐标分别为：(−1, 0)、(3, 0)、(0, 3)，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：{0=3k +b b =3 ，解得：{k =−1b =3，故直线BC 的表达式为：y ＝−x +3；过点D 作DG // y 轴交BC 于点G ，则点G(1, 2)，△BCD 的面积=12×DG ×OB =12×(4−2)×3＝3；过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，设点P(x, −x 2+2x +3)，点H(x, −x +3)，则S △PBC =12×PH ×OB =32(−x 2+2x +3+x −3)=−32x(x −3)， ∴ −32<0， ∴ S △PBC 有最大值，最大值为：278，此时点P(32, 154)． 23.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c .由题意可知，A(1, 0)，B(0, 3)，C(−4, 0)，∴ {a +b +c =0,c =3,16a −4b +c =0,解得：a =−34，b =−94，c =3，∴ 经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为y =−34x 2−94x +3.(2)在平面直角坐标系xOy 中存在一点P ，使得以点A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为菱形，理由如下：如图，∴ OB =3，OC =4，OA =1，∴ BC =AC =5.当BP 平行且等于AC 时，四边形ACBP 为菱形，∴ BP =AC =5，且点P 到x 轴的距离等于OB ，∴ 点P 的坐标为(5, 3).当点P 在第二、三象限时，以点A ，B ，C ，P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点P 的坐标为(5, 3)时，以点A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为菱形.(3)设直线PA 的解析式为y =kx +b(k ≠0).∴ A(1, 0)，P(5, 3)，∴ {5k +b =3,k +b =0, 解得：{k =34,b =−34, ∴ 直线PA 的解析式为y =34x −34. 当点M 与点P ，A 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系可得：|PM −AM|<PA ，当点M 与点P ，A 在同一直线上时，|PM −AM|=PA ，∴ 当点M 与点P ，A 在同一直线上时，|PM −AM|的值最大，即点M 为直线PA 与抛物线的交点，解方程组{y =34x −34,y =−34x 2−94x +3, 得{x 1=1,y 1=0 或{x 2=−5,y 2=−92, ∴ 当点M 的坐标为(1,0)或(−5, −92)时，|PM −AM|的值最大，此时|PM −AM|的最大值为5．【考点】二次函数综合题待定系数法求二次函数解析式【解答】解：(1)设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c .由题意可知，A(1, 0)，B(0, 3)，C(−4, 0)，∴ {a +b +c =0,c =3,16a −4b +c =0,解得：a =−34，b =−94，c =3， ∴ 经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为y =−34x 2−94x +3. (2)在平面直角坐标系xOy 中存在一点P ，使得以点A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为菱形，理由如下：如图，∴ OB =3，OC =4，OA =1，∴ BC =AC =5.当BP 平行且等于AC 时，四边形ACBP 为菱形，∴ BP =AC =5，且点P 到x 轴的距离等于OB ，∴ 点P 的坐标为(5, 3).当点P 在第二、三象限时，以点A ，B ，C ，P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点P 的坐标为(5, 3)时，以点A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为菱形.(3)设直线PA 的解析式为y =kx +b(k ≠0).∴ A(1, 0)，P(5, 3)，∴ {5k +b =3,k +b =0, 解得：{k =34,b =−34, ∴ 直线PA 的解析式为y =34x −34.当点M与点P，A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系可得：|PM−AM|<PA，当点M与点P，A在同一直线上时，|PM−AM|=PA，∴ 当点M与点P，A在同一直线上时，|PM−AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，解方程组{y=34x−34,y=−34x2−94x+3,得{x1=1,y1=0或{x2=−5,y2=−92,∴ 当点M的坐标为(1,0)或(−5, −92)时，|PM−AM|的值最大，此时|PM−AM|的最大值为5．。

二次函数单元测试题及答案

二次函数单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项不是二次函数的一般形式？A. y = ax^2 + bx + cB. y = (x - h)^2 + kC. y = ax^2 + bx + c + dD. y = ax^2 + bx答案：C2. 若二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，则a的值是：A. 正数B. 负数C. 零D. 任意实数答案：A3. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标是：A. (-b, c)B. (-b/2a, c)C. (-b/a, c)D. (-b/2a, 4ac - b^2 / 4a)答案：D4. 二次函数y = ax^2 + bx + c的对称轴是：A. x = -bB. x = -b/2aC. x = b/2aD. x = b/a答案：B5. 若二次函数y = ax^2 + bx + c与x轴有两个交点，则判别式Δ的值是：A. Δ > 0B. Δ < 0C. Δ = 0D. Δ ≤ 0答案：A二、填空题（每题2分，共10分）6. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的顶点坐标是________。

答案：(1, 1)7. 若二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与y轴交于(0, k)，则k等于________。

答案：c8. 当a > 0时，二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口________。

答案：向上9. 二次函数y = -3x^2 + 6x + 5的对称轴方程是________。

答案：x = 110. 若二次函数y = ax^2 + bx + c与x轴相交于两点，则判别式Δ必须________。

答案：大于0三、解答题（每题5分，共20分）11. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点(1, 2)和(-1, 0)，求a和b的值。

解答：将点(1, 2)代入函数得：a + b + c = 2将点(-1, 0)代入函数得：a - b + c = 0两式相减得：2b = 2，即b = 1将b代入任一式得：a + c = 1由于题目条件不足，无法唯一确定a和c的值。

九年级上册数学《二次函数》单元综合检测(附答案)

人教版数学九年级上学期《二次函数》单元测试[考试时间：90分钟分数：100分]班级：_______ 姓名：________得分:_______一．选择题(每题3分,共30分)1．下列函数是二次函数的是( )A ．y＝x+B ．y＝3(x﹣1)2C ．y＝A x2+B x+C D．y＝+3x 2．若点M在抛物线y＝(x+3)2﹣4的对称轴上,则点M的坐标可能是( )A ．(3,﹣4)B ．(﹣3,0)C ．(3,0)D ．(0,﹣4) 3．二次函数y＝2(x﹣3)2+2图象向左平移6个单位,再向下平移2个单位后,所得图象的函数表达式是( )A ．y＝2x2﹣12xB ．y＝﹣2x2+6x+12C ．y＝2x2+12x+18D ．y＝﹣2x2﹣6x+184．在同一直角坐标系中,函数y＝mx+m和函数y＝﹣mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．5．关于x的函数y＝A x2+(2A +1)x+A ﹣1与坐标轴有两个交点,则A 的取值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．二次函数y＝A x2+B x+C (A ≠0,A 、B 、C 为常数)中,函数y与自变量x的部分对应值如下表,则方程A x2+B x+C ＝0的一个解的范围是( )x 3.17 3.18 3.19y﹣0.03 ﹣0.01 0.02A ．﹣0.03＜x＜﹣0.01B ．3.18＜x＜3.19C ．﹣0.01＜x＜0.02D ．3.17＜x＜3.187．广场上喷水池中的喷头微露水面,喷出的水线呈一条抛物线,水线上水珠的高度y(米)关于水珠和喷头的水平距离x(米)的函数解析式是y＝x2+6x(0≤x≤4),那么水珠的高度达到最大时,水珠与喷头的水平距离是( )A ．1米B ．2米C ．5米D ．6米8．把抛物线y＝x2﹣2x+4向左平移2个单位,再向下平移6个单位,所得抛物线的顶点坐标是( )A ．(3,﹣3)B ．(3,9)C ．(﹣1,﹣3)D ．(﹣1,9)9．如图,已知二次函数y＝A x2+B x+C 的图象与x轴相交于A (﹣2,0)、B (1,0)两点．则以下结论：①A C ＞0；②二次函数y＝A x2+B x+C 的图象的对称轴为x＝﹣1；③2A +C ＝0；④A ﹣B +C ＞0．其中正确的有( )个．A ．0B ．1C ．2D ．310．已知二次函数y＝x2﹣2B x+2B 2﹣4C (其中x是自变量)的图象经过不同两点A (1﹣B ,m),B (2B +C ,m),且该二次函数的图象与x轴有公共点,则B +C 的值为( )A ．﹣1B ．2C ．3D ．4二．填空题(每题4分,共20分)11．若二次函数y＝x2+mx+3的图象关于直线x＝1对称,则m的值为．12．已知抛物线的顶点为(,﹣),与x轴交于A ,B 两点,在x轴下方与x轴距离为4的点M在抛物线上,且S△A MB ＝10,则点M的坐标为．13．已知二次函数y＝x2﹣4x+3,当自变量满足﹣1≤x≤3时,y的最大值为A ,最小值为B ,则A ﹣B 的值为．14．若直线y＝2x+t与函数y＝x2﹣2|x﹣1|﹣1的图象有且只有两个公共点时,则t的取值范围是．15．二次函数y＝A x2+B x+C (A 、B 、C 为常数,A ≠0)中的x与y的部分对应值如表：x﹣1 0 3y n﹣3 ﹣3当n＞0时,下列结论中一定正确的是．(填序号即可)①B C ＞0；②当x＞2时,y的值随x值的增大而增大；③n＞4A ；④当n＝1时,关于x 的一元二次方程A x2+(B +1)x+C ＝0的解是x1＝﹣1,x2＝3．三．解答题(每题10分,共50分)16．如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y＝x2+B x+C 与x轴交于A 、B 两点,与y轴交于点C ,对称轴为直线x＝2,点A 的坐标为(1,0)．(1)求该抛物线的表达式及顶点坐标；(2)点P为抛物线上一点(不与点A 重合),连接PC ．当∠PC B ＝∠A C B 时,求点P的坐标；(3)在(2)的条件下,将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移,平移后的抛物线的顶点为点D ,点P的对应点为点Q,当OD ⊥D Q时,求抛物线平移的距离．17．对于二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4,把y＝t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4)称为这两个函数的“再生二次函数”,其中t是不为零的实数,其图象记作抛物线E．现有点A (2,0)和抛物线E上的点B (﹣1,n),请完成下列任务：(1)当t＝2时,抛物线E的顶点坐标是；(2)判断点A 是否在抛物线E上；(3)求n的值．(4)通过(2)和(3)的演算可知,对于t取任何不为零的实数,抛物线E总过定点,这个定点的坐标是．(5)二次函数y＝﹣3x2+5x+2是二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是,求出t的值；如果不是,说明理由．(6)以A B 为一边作矩形A B C D ,使得其中一个顶点落在y轴上,若抛物线E经过点A 、B 、C 、D 中的三点,求出所有符合条件的t的值．18．黔东南州某超市购进甲、乙两种商品,已知购进3件甲商品和2件乙商品,需60元；购进2件甲商品和3件乙商品,需65元．(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？(2)设甲商品的销售单价为x(单位：元/件),在销售过程中发现：当11≤x≤19时,甲商品的日销售量y(单位：件)与销售单价x之间存在一次函数关系,x、y之间的部分数值对应关系如表：销售单价x(元/件) 11 19日销售量y(件) 18 2请写出当11≤x≤19时,y与x之间的函数关系式．(3)在(2)的条件下,设甲商品的日销售利润为w元,当甲商品的销售单价x(元/件)定为多少时,日销售利润最大？最大利润是多少？19．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+3|x|+4的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整．(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下：x…﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …y…﹣6 0 4 6 6 4 6 6 4 0 m…其中,m＝．(2)根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分．(3)观察函数图象,写出两条函数的性质．(4)直线y＝kx+B 经过(,),若关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+B 有4个不相等的实数根,则B 的取值范围为．20．如图,已知抛物线y＝A x2+B x+C (A ≠0)的对称轴为直线x＝﹣1,抛物线经过A (1,0),C(0,3)两点,与x轴交于A 、B 两点．(1)若直线y＝mx+n经过B 、C 两点,求直线B C 和抛物线的解析式．(2)在该抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M,使点M到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求出点M的坐标；(3)设点P为该抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点,直接写出使△B PC 为直角三角形的点P的坐标．提示：若平面直角坐标系内有两点P(x1,y1)、Q(x2,y2),则线段PQ的长度PQ＝)．答案与解析一．选择题1．解：A 、y＝x+是一次函数,此选项错误；B 、y＝3(x﹣1)2是二次函数,此选项正确；C 、y＝A x2+B x+C 不是二次函数,此选项错误；D 、y＝+3x不是二次函数,此选项错误；故选：B ．2．解：∵y＝(x+3)2﹣4,∴抛物线对称轴为x＝﹣3,∵点M在抛物线对称轴上,∴点M的横坐标为﹣3,故选：B ．3．解：二次函数y＝2(x﹣3)2+2图象向左平移6个单位,再向下平移2个单位后,所得图象的函数表达式是：y＝2(x﹣3+6)2+2﹣2,即y＝2x2+12x+18．故选：C ．4．解：A 、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0,即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上,与图象不符,故A 选项错误；B 、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0,对称轴为x＝﹣＝﹣＝＜0,则对称轴应在y轴左侧,与图象不符,故B 选项错误；C 、由函数y＝mx+m的图象可知m＞0,即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝下,与图象不符,故C 选项错误；D 、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0,即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上,对称轴为x＝﹣＝﹣＝＜0,则对称轴应在y轴左侧,与图象相符,故D 选项正确；故选：D ．5．解：∵关于x的函数y＝A x2+(2A +1)x+A ﹣1的图象与坐标轴有两个交点, ∴可分如下三种情况：①当函数为一次函数时,有A ＝0,∴A ＝0,此时y＝x﹣1,与坐标轴有两个交点；②当函数为二次函数时(A ≠0),与x轴有一个交点,与y轴有一个交点,∵函数与x轴有一个交点,∴△＝0,∴(2A +1)2﹣4A (A ﹣1)＝0,解得A ＝﹣；③函数为二次函数时(A ≠0),与x轴有两个交点,与y轴的交点和x轴上的一个交点重合,即图象经过原点,∴A ﹣1＝0,∴A ＝1．当A ＝1,此时y＝x2+3x,与坐标轴有两个交点．综上所述,A 的取值为0,﹣,1,故选：C ．6．解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0,故x应取对应的范围为：3.18＜x＜3.19,故选：B ．7．解：方法一：根据题意,得y＝x2+6x(0≤x≤4),＝﹣(x﹣2)2+6所以水珠的高度达到最大时,水珠与喷头的水平距离是2米．方法二：因为对称轴x＝＝2,所以水珠的高度达到最大时,水珠与喷头的水平距离是2米．故选：B ．8．解：∵抛物线y＝x2﹣2x+4＝(x﹣1)2+3,∴顶点坐标为(1,3),∴把点(1,3)向左平移2个单位,再向下平移6个单位得到(﹣1,﹣3)．故选：C ．9．解：对于①：二次函数开口向下,故A ＜0,与y轴的交点在y的正半轴,故C ＞0,故A C ＜0,因此①错误；对于②：二次函数的图象与x轴相交于A (﹣2,0)、B (1,0),由对称性可知,其对称轴为：,因此②错误；对于③：设二次函数y＝A x2+B x+C 的交点式为y＝A (x+2)(x﹣1)＝A x2+A x﹣2A ,比较一般式与交点式的系数可知：B ＝A ,C ＝﹣2A ,故2A +C ＝0,因此③正确；对于④：当x＝﹣1时对应的y＝A ﹣B +C ,观察图象可知x＝﹣1时对应的函数图象的y 值在x轴上方,故A ﹣B +C ＞0,因此④正确．∴只有③④是正确的．故选：C ．10．解：由二次函数y＝x2﹣2B x+2B 2﹣4C 的图象与x轴有公共点,∴(﹣2B )2﹣4×1×(2B 2﹣4C )≥0,即B 2﹣4C ≤0 ①,由抛物线的对称轴x＝﹣＝B ,抛物线经过不同两点A (1﹣B ,m),B (2B +C ,m),B ＝,即,C ＝B ﹣1 ②,②代入①得,B 2﹣4(B ﹣1)≤0,即(B ﹣2)2≤0,因此B ＝2,C ＝B ﹣1＝2﹣1＝1,∴B +C ＝2+1＝3,故选：C ．二．填空题(共5小题)11．解：∵二次函数y＝x2+mx+3的图象关于直线x＝1对称,∴对称轴为：x＝﹣＝1,解得：m＝﹣2,故答案为：﹣2．12．解：抛物线的顶点为(,﹣),因此设抛物线的关系式为y＝A (x﹣)2﹣, 点M到x轴的距离为4,即△A B M底边A B 上的高为4,∵S△A MB ＝10,∴ A B ×4＝10,∴A B ＝5,又∵抛物线的对称轴为x＝,∴抛物线与x轴的两个交点坐标为(﹣2,0)(3,0),把(3,0)代入得,0＝A (3﹣)2﹣,解得,A ＝1,∴抛物线的关系式为y＝(x﹣)2﹣,当y＝﹣4时,即(x﹣)2﹣＝﹣4,解得,x1＝2,x2＝﹣1,∴点M(2,﹣4)或(﹣1,﹣4)．13．解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝(x﹣2)2﹣1,∴该函数图象开口向上,对称轴为直线x＝2,∵当自变量满足﹣1≤x≤3时,y的最大值为A ,最小值为B ,∴当x＝﹣1时,取得最大值,当x＝2时,函数取得最小值,∴A ＝1+4+3＝8,B ＝﹣1,∴A ﹣B ＝8﹣(﹣1)＝8+1＝9,故答案为：9．14．解：由函数y＝x2﹣2|x﹣1|﹣1可知y＝,画出函数的图象如图：由图象可知函数的最低点为(﹣1,﹣4),把(﹣1,﹣4)代入y＝2x+t解得t＝﹣2,若直线y＝2x+t与函数y＝x2﹣2x+1有一个交点时,x2﹣4x+1﹣t＝0,则△＝16﹣4(1﹣t)＝0,解得t＝﹣3,若直线y＝2x+t与函数y＝x2+2x﹣3有一个交点时,x2﹣3﹣t＝0,则△＝4(3+t)＝0,解得t＝﹣3,由图象可知：直线y＝2x+t与函数y＝x2﹣2|x﹣1|﹣1的图象有且只有两个公共点时t 的取值范围是t＞﹣2或t＝﹣3．故答案为t＞﹣2或t＝﹣3．15．解：①函数的对称轴为直线x＝(0+3)＝,即＝﹣,则B ＝﹣3A ,∵n＞0,故在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,故抛物线开口向上,则A ＞0,对称轴在y轴的右侧,故B ＜0,而C ＝﹣3,故B C ＞0正确,符合题意；②x＝2在函数对称轴的右侧,故y的值随x值的增大而增大,故②正确,符合题意；③当x＝﹣1时,n＝y＝A ﹣B +C ＝4A ﹣3＜4A ,故③错误,不符合题意；④当n＝1时,即：x＝﹣1时,y＝1,A x2+(B +1)x+C ＝0可以变形为A x2+B x+C ＝﹣x,即探讨一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝A x2+B x+C 图象情况,当x＝1,y＝﹣1,即(1,﹣1)是上述两个图象的交点,根据函数的对称性,另外一个交点的横坐标为：×2＝3,则该交点为(3,﹣3),故两个函数交点的横坐标为﹣1、3,即关于x的一元二次方程A x2+(B +1)x+C ＝0的解是x1＝﹣1,x2＝3,正确,符合题意, 故答案为：①②④．三．解答题(共5小题)16．解：(1)∵对称轴为直线x＝2,点A 的坐标为(1,0),∴点B 的坐标是(3,0)．将A (1,0),B (3,0)分别代入y＝x2+B x+C ,得．解得．则该抛物线解析式是：y＝x2﹣4x+3．由y＝x2﹣4x+3＝(x﹣2)2﹣1知,该抛物线顶点坐标是(2,﹣1)；(2)如图1,过点P作PN⊥x轴于N,过点C 作C M⊥PN,交NP的延长线于点M,∵∠C ON＝90°,∴四边形C ONM是矩形．∴∠C MN＝90°,C O＝MN、∴y＝x2﹣4x+3,∴C (0,3)．∵B (3,0),∴OB ＝OC ＝3．∵∠C OB ＝90°,∴∠OC B ＝∠B C M＝45°．又∵∠A C B ＝∠PC B ,∴∠OC B ﹣∠A C B ＝∠B C M﹣∠PC B ,即∠OC A ＝∠PC M．∴tA n∠OC A ＝tA n∠PC M．∴＝．故设PM＝A ,MC ＝3A ,PN＝3﹣A ．∴P(3A ,3﹣A ),将其代入抛物线解析式y＝x2﹣4x+3,得(3A )2﹣4(3﹣A )+3＝3﹣A ．解得A 1＝,A 2＝0(舍去)．∴P(,)．(3)设抛物线平移的距离为m,得y＝(x﹣2)2﹣1﹣m．∴D (2,﹣1﹣m)．如图2,过点D 作直线EF∥x轴,交y轴于点E,交PQ延长线于点F,∵∠OED ＝∠QFD ＝∠OD Q＝90°,∴∠EOD +∠OD E＝90°,∠OD E+∠QD P＝90°．∴∠EOD ＝∠QD F．∴tA n∠EOD ＝tA n∠QD F,∴＝．∴＝．解得m＝．故抛物线平移的距离为．17．解：(1)将t＝2代入抛物线E中,得：y＝t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4)＝2x2﹣4x＝2(x﹣1)2﹣2,∴此时抛物线的顶点坐标为：(1,﹣2)．故答案为：(1,﹣2)；(2)将x＝2代入y＝t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4),得y＝0,∴点A (2,0)在抛物线E上．(3)将x＝﹣1代入抛物线E的解析式中,得：n＝t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4)＝6．(4)将抛物线E的解析式展开,得：y＝t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4)＝t(x﹣2)(x+1)﹣2x+4∴抛物线E必过定点(2,0)、(﹣1,6)．故答案为：A (2,0)、B (﹣1,6)；(5)将x＝2代入y＝﹣3x2+5x+2,y＝0,即点A 在抛物线上．将x＝﹣1代入y＝﹣3x2+5x+2,计算得：y＝﹣6≠6,即可得抛物线y＝﹣3x2+5x+2不经过点B ,二次函数y＝﹣3x2+5x+2不是二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”．(6)如图,作矩形A B C 1D 1和矩形A B C 2D 2,过点B 作B K⊥y轴于K,过点D 1作D 1G ⊥x轴于G,过点C 2作C 2H⊥y轴于H,过点B 作B M⊥x轴于M,C 2H与B M交于点T．∵∠A MB ＝∠B KC 1,∠KB C 1＝∠A B M,∴△KB C 1∽△MB A ,∴＝,∵A M＝3,B M＝6,B N＝1,∴＝,∴C 1K＝,∴点C 1(0,)．∵B C 1＝A D 1,∠A GD 1＝∠B KC 1＝90°,∠GA D 1＝∠KB C 1, ∴△KB C 1≌△GA D 1(A A S),∴A G＝1,GD 1＝,∴点D 1(3,)．同理△OA D 2∽△GA D 1,∴＝,∵A G＝1,OA ＝2,GD 1＝,∴OD 2＝1,∴点D 2(0,﹣1)．同理△TB C 2≌△OD 2A ,∴TC 2＝A O＝2,B T＝OD 2＝1,∴点C 2(﹣3,5)．∵抛物线E总过定点A (2,0)、B (﹣1,6),∴符合条件的三点可能是A 、B 、C 或A 、B 、D ．当抛物线E经过A 、B 、C 1时,将C 1(0,)代入y＝t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4), 解得t1＝﹣；当抛物线经过A 、B 、D 1时,将D 1(3,)代入y＝t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4),得到t＝,当抛物线经过A 、B 、C 2时,将C 2(﹣3,5)代入y＝t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4),得到t ＝﹣,当抛物线经过A 、B 、D 2时,将D 2(0,﹣1)代入y＝t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4),得到t ＝,∴满足条件的所有t的值为：﹣,,﹣,．18．解：(1)设甲、乙两种商品的进货单价分别是A 、B 元/件,由题意得：,解得：．∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件．(2)设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+B 1,将(11,18),(19,2)代入得：,解得：．∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+40(11≤x≤19)．(3)由题意得：w＝(﹣2x+40)(x﹣10)＝﹣2x2+60x﹣400＝﹣2(x﹣15)2+50(11≤x≤19)．∴当x＝15时,w取得最大值50．∴当甲商品的销售单价定为15元/件时,日销售利润最大,最大利润是50元．19．解：(1)把x＝5代入函数y＝﹣x2+3|x|+4中,得y＝﹣25+15+4＝﹣6,∴m＝﹣6,故答案为：﹣6；(2)连线得,(3)由函数图象可知①该函数的图象关于y轴对称：②该函数的图象有最高点：(答案不唯一)(4)∵直线y＝kx+B 经过(,),∴,∴k＝∵关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+B 有4个不相等的实数根,∴x2﹣3x﹣4+kx+B ＝0和方程x2+3x﹣4+kx+B ＝0各有两个不相等的实数根,即方程x2﹣(3﹣)x﹣4+B ＝和0x2+(3+)x﹣4+B ＝0各有两个不相等的实数根,∴,解得B ≠,且B ＞或B ＜,∴B 的取值范围为B ＞或B ＜．故答案为：B ＞或B ＜．20．解：(1)由题意得：,解得：,∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3,∵对称轴为x＝﹣1,且抛物线经过A (1,0),∴把B (﹣3,0)、C (0,3)分别代入直线y＝mx+n,得,解得：,∴直线y＝mx+n的解析式为y＝x+3；(2)设直线B C 与对称轴x＝﹣1的交点为M,则此时MA +MC 的值最小．把x＝﹣1代入直线y＝x+3得,y＝﹣1+3＝2,∴M(﹣1,2),即当点M到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M的坐标为(﹣1,2)；(3)如图,设P(﹣1,t),又∵B (﹣3,0),C (0,3),∴B C 2＝18,PB 2＝(﹣1+3)2+t2＝4+t2,PC 2＝(﹣1)2+(t﹣3)2＝t2﹣6t+10,①若点B 为直角顶点,则B C 2+PB 2＝PC 2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10解之得：t＝﹣2；②若点C 为直角顶点,则B C 2+PC 2＝PB 2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2解之得：t＝4,③若点P为直角顶点,则PB 2+PC 2＝B C 2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18解之得：t1＝,t2＝；综上所述P的坐标为(﹣1,﹣2)或(﹣1,4)或(﹣1,) 或(﹣1,)．。

二次函数单元综合测试卷(含答案)

二次函数综合测试卷一、填空：(30分)1．二次函数的图象经过三个定点（2，0），（3，0），（•0，-•1），则它的解析式为________，该图象的顶点坐标为__________．2．当k=________时，直线x+2y+k+1=0和2x+y+2k=0的交点在抛物线y=-x2上．3．已知二次函数y=x2-2（k+1）x+k2+2的图象与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且（x1+1）（x2+1）=8，则k的值为__________．4．如果y与x2成正比例，并且它的图象上一点P的横坐标a和纵坐标b分别是方程x2-x-6=0的两根，那么这个函数的解析式为_________．5．抛物线y=x2-4x+11的对称轴是直线________，顶点坐标为________．6．如果抛物线y=-23x2+（m+2）x+27m的对称轴为直线x=32，则m的值为_________．7．把函数y=5x2+10mx+n的图象向左平移2个单位，向上平移3个单位，•所得图象的函数解析式为y=5x2+30x+44，则m=_______，n=_______．8．二次函数y=a x2+bx+c中的a、b、c满足条件________时，•它的图象经过坐标系中的四个象限．9．开口向下的抛物线y=a（x+1）（x-4）与x轴交于A、B两点，与y•轴交于点C．•若∠ACB=90°，则a的值为________．10．如图，二次函数y=x2-ax+a-5的图象交x轴于点A和B，交y轴于点C，当线段AB•的长度最短时，点C的坐标为________．二、选择题：(20分)11．在同一直角坐标系内，二次函数y1=ax2+bx+c与y2=cx2+bx+a的图象大致为（）12．在同一直角坐标系内，函数y=ax2+bx与y=bx（b≠0）的图象大致为（）13．给出下列四个函数：y=-2x，y=2x-1，y=3x（x>0），y=-x2+3（x>0），其中y随x•的增大而减小的函数有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个14．当m取任何实数时，抛物线y=-2（x-m）2-m的顶点所在的直线为（）A．x轴 B．y轴 C．y=x D．y=-x15．当m取任何实数时，抛物线y=-2（x+m）2-m2的顶点所在的曲线为（）A．y=x2 B．y=-x2 C．y=x2（x>0） D．y=-x2（x>0）16．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y=x2-4x+3关于x轴对称，则a、b、c•的值分别是（） A．-1，4，-3 B．-1，-4，-3 C．-1，4，3 D．-1，-4，317．已知抛物线y=a x2+bx+c（a≠0）与抛物线y=x2-4x+3关于y轴对称，则函数y=ax2+bx+c的解析式为（）A．y=x2+4x+3 B．y=x2-4x-3 C．y=x2+4x-3 D．y=-x2-4x+318．从一张矩形纸片ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个半圆，它们的直径分别是AE、DE，要使剪下的两个半圆的面积和最小，点E应选在（）A．边AD的中点外 B．边AD的13处 C．边AD的14处 D．边AD的15处19．对某条路线的长度进行n次测量，得到n个结果x1，x2，…，x n，如果用x作为这条路线长度的近似值，当x=p时，（x-x1）2+（x-x2）2+…+（x-x n）2最小，则p的值为（）A．1n（x1+x2+…+x n） B．1n（x1-x2-…-x n）C．1nn+（x1+x2+…+x n） D．1nn+（x1+x2+…+x n）20．已知函数y=-（x-1）2-（x-3）2-（x-5）2-（x-7）2，当x=p时，函数y取得最大值，则p•的值为（）A．4 B．8 C．10 D．16三、解答题：(90分)1．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x=t•截这个三角形所得位于直线左方的图形面积为y．（1）写出以自变量为t的函数y的解析式；（2）画出（1）中函数y的图象．2．如图，AB是半径为R的圆的直径，C为直径AB上的一点，•过点C•剪下两个正方形ADCE和BFCG，它们的对角线分别是AC、CB．要使剪下的两个正方形的面积和最小，•点C应选在何处？3．已知一个二次函数的图象过点A（-1，10），B（1，4），C（2，7），点D和B•关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只有一个公共点D的直线？如果存在，求出符合条件的直线；如不存在，请说明理由．4．如图，在直角坐标系xOy中，A、B是x轴上的两点，以AB为直径的圆交y轴于C，设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=x2-mx+n，方程x2-mx+n=0的两根倒数和为-2．（1）求n的值；（2）求此抛物线的解析式；（3）设平行于x轴的直线交此抛物线于E、F两点，问是否存在此线段EF•为直径的圆恰好与x轴相切，若存在，求出此圆的半径；若不存在，说明理由．5．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过x度，•那么这个月这户居民只交10元用电费．如果超过x度，这个月除了要交10元用电费外，超过部分按每度元交费．（1）该厂某户居民1月份用电90度，超过了x度的规定，试用x的代数式表示超过部分应交的电费（元）；（2）下表是这户居民2月、3月的用电情况和交费情况，请根据表中的数据，•求出电厂规定的这个标准x度．月份用电量（度）交电费总数（元）2月 80 253月 45 106．如图（1），平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A•点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6）．D是BC边上的动点（与点B、C不重合），现将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，使△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG，DF重合．（1）如图②，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；（2）设D（a，6），E（10，b），求b关于a的函数关系式，并求b的最小值；（3）一般地，请你猜想直线DE与抛物线y=-124x2+6的公共点的个数，•在图②的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线y=-124x2+6始终有公共点，请在图①中作出这样的公共点．附加题：(10分)当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．例如：由抛物线y=x 2-2mx+m 2+3m-2． ① 得y=（x-m ）2+3m-2 ②抛物线的顶点坐标为（m ，3m-2），即32x my m =⎧⎨=-⎩ 当m 的值变化时，x ，y 的值也随之变化，•因而y 值也随x 值的变化而变化．将③代入④，得y=3x-2 ⑤可见不论m 取任何实数抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足关系式y=3x-2，即抛物线①的顶点总在直线y=3x-2上．在上述过程中，由①到②所用的数学方法是__________；由③、④到⑤所用的数学方法是________．请解答:求出抛物线y=x 2-4mx+4m 2-2m•的顶点的纵坐标y 和横坐标x 之间的关系式．答案:一、填空： 1．y=-16x 2+56x-1 （52，124）2．13±63 3．14．y=-29x 2和y=34x 25．x=2 （2，7） 6．0 7．1 18．a 、c 异号，b 为任何实数 9．-10．（0，-3）（设A （x 1，0），B （x 2，0）．（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=a 2-4a+20=（a-2）2+16．当a=2时，•线段AB 的长度最短为4，此时y=x 2-2x-3，点C 的坐标为（0，-3）二、选择题：11．D 12．D 13．A 14．D 15．B 16．A 17．A 18．A 19．A 20．A 三、解答题：1．（1）y=223(01)23(2)3(2)2t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪--+≤≤⎪⎩（2）如第1题图.2．设AC 长为x ，BC 长为2R-x ，S 正方形ADCE =12x 2，S 正方形BFCG =12（2R-x ）2．两个正方形面积之和为y=12x 2+12（2R-x ）2=x 2-2Rx+2R 2=（x-R ）2+R 2，当x=R 时，两个正方形面积之和有最小值R 2，此时点C 应选在AB•的中点处，即圆心．3．过点A 、B 、C 的抛物线的解析式为y=2x 2-3x+5，其对称轴为直线x=34．因D 和B 关于直线x=34对称，所以D 点坐标为（12，4）．与抛物线只有一个公共点D 的直线有两条：（1）平行于y 轴，即直线x=12．（2）不平行于y 轴，设直线为y=kx+b ，因为过D 点，所以4=12k+b ．即k=8-2b ，（8-2b ）x+b=2x 2-3x+5．2x 2+（2b-11）x+5-b=0．方程有两个相等的实数根，△=（2b-11）2-8（5-b ）=0，解得b=92，k=-1．所以y=-x+92．符合条件的直线为y=-x+92和x=12． 4．（1）设A （x 1，0），B （x 2，0），则OA=-x 1，OB=x 2．因为AB 是直径，OC ⊥AB ，所以CO 2=OA·OB ，•即n 2=-x 1x 2．又x 1x 2=n ，所以n 2=-n ，n=-1，n=0（舍去）．（2）11x +21x =1212x x x x +=-2，又x 1+x 2=m ，x 1x 2=-1，1m -=-2，m=2，所求的抛物线的解析式为y=x 2-2x-1．（3）由（2）得抛物线的对称轴为x=1．设满足条件的圆的半径为│a │，则点F•的坐标为（1+│a │，a ），点F 在抛物线上，a=（1+│a │）2-2（1+│a │）-1，即a 2-a-2=0，a 1=2，a 2=-1，所求的圆的半径为1或2，故存在以EF 为直径的圆，恰好与x 轴相切． 5．（1）100x（90-x ）元（2）表格中的数据告诉我们，这户居民2月份用电超标，3•月份用电不超标，可见45≤x<80，列出方程10+100x（80-x ）=25，即x 2-80x+150=0，解得x 1=30，x 2=50．因45≤x<80，所以x=30，电厂规定的标准是30度．6．（1）解：根据题意，可知D （6，6），E （10，2），直线DE 的函数关系式为y=-x+12．（2）解：根据题意，可知∠CDO=∠ODF ，∠BDE=∠GDE ．∠CDO+∠ODF+∠BDE+∠GDE=180°，•∠CDO+∠BDE=90°，∠COD+∠CDO=90°，∠COD=∠BDE ．又∠COD=∠DBE=90°，△COD ≌△BDE ．CE COBE BD=．根据题意，可知BE=6-b ，BD=10-a ，6610a b a =--，b+16a 2-53a+6=16（a-5）2+116．当a=5时，b 最小值=116．（3）猜想：直线DE 与抛物线y=-124x 2+6只有1个公共点．证明:由（1）可知，DE 所在直线为y=-124x+12．代入抛物线y=-x 2+6，消去y ，得-124x 2+6=-x+12．化简，得x 2-24x+144=0，△=0．直线DE 与抛物线y=-124x 2+6只有1个公共点．作法一：延长OF 交DE 于点H ，作法二：在DB 上取点M ，使DM=CD ，过M 作MH ⊥BC ，交DE 于点H ．附加题：配方法; 消元法; y=-4x.。

《二次函数》单元测试卷 (含答案)

《二次函数》单元测试卷 (含答案)考生姓名：______________ 考号：______________时间限制：90分钟一、选择题（每小题2分，共30分）（每小题2分，共30分）1. 下列函数中，是二次函数的是（）A. y = x + 2B. y = 2x^2 + 3x + 1C. y = 1/xD. y = √x2. 设二次函数 f(x) = 2x^2 + 5x - 3，那么它的判别式为（）A. -13B. 17C. 29D. -393. 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则该二次函数的判别式必须为（）A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 无法确定4. 已知二次函数 f(x) = 3x^2 + 4x + 2，那么它的对称轴为（）A. x = -2/3B. x = -4/3C. x = 4/3D. x = 2/35. 设函数 f(x) = ax^2 + bx + c，若a > 0，则函数图象开口向（）A. 上B. 下C. 左D. 右...二、填空题（每小题3分，共30分）（每小题3分，共30分）1. 设二次函数 f(x) = 2x^2 - 5x + 3，那么它的顶点坐标为（）答案：(5/4, 37/8)2. 若二次函数 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标为 (2, -3)，则 a + b+ c 的值为（）答案：-53. 设二次函数 f(x) = -x^2 + 4x + 5，那么它的对称轴的方程为（）答案：x = 24. 若二次函数的图象与y轴相交于点 (0, 6)，则该二次函数必定为（）答案：f(x) = 2x^2 + 35. 设二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，若a > 0，则函数的值域为（）答案：( -∞, f(c) ]...三、解答题（共40分）（共40分）1. 解方程 3x^2 - 2x - 1 = 0解答：首先，我们可以求出这个二次方程的判别式：Δ = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4*3*(-1) = 4 + 12 = 16因为判别式大于0，所以方程有两个不相等的实根。

二次函数综合测评卷(含答案)

二次函数综合测评卷一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列各式中，y 是x 的二次函数的是( ).A.x 2+2y 2=2B.x =y 2C.3x 2－2y =1D.21x +2y －3=0 2.对于二次函数y =(x －1)2+3的图象，下列说法正确的是( ). A.开口向下 B.对称轴是直线x =－1 C.顶点坐标是(1，3) D.与x 轴有两个交点（第3题）3.如图所示，一边靠墙(墙有足够长)，其他三边用12m 长的篱笆围成一个矩形(ABCD )花园，这个矩形花园的最大面积是( ).A.16m 2B.12m 2C.18m 2D.以上都不对 4.如果抛物线y =mx 2+(m －3)x －m +2经过原点，那么m 的值等于( ). A.0 B.1 C.2 D.3 5.如图所示，直线x =1是抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴，那么有( ). A.abc ＞0 B.b ＜a +c C.a +b +c ＜0 D.c ＜2b(第5题) (第6题) (第7题) (第8题)6.已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示.关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法中正确的是( ).A.有最小值0，有最大值3B.有最小值－1，有最大值0C.有最小值－1，有最大值3D.有最小值－1，无最大值7.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为点P (－2，2)，与y 轴交于点A (0，3).若平移该抛物线使其顶点P 由(－2，2)移动到(1，－1)，此时抛物线与y 轴交于点A ′，则AA ′的长度为( ). A.343 B.241C.32D.3 8.如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB =8m ，然后用一根长4m 的小竹竿CD 竖直地接触地面和门的内壁，测得AC =1m ，则门高OE 为( ).A.9mB.764m C.8.7m D.9.3m 9.已知二次函数y =x 2+bx +c 与x 轴只有一个交点，且图象过A (x 1，m )，B (x 1+n ，m )两点，则m ，n 满足的关系为( ). A.m =21n B.m =41n C.m =21n 2 D.m =41n 2 10.已知二次函数y =－(x －1)2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m +n 的值为( ). A.25 B.2 C. 23 D. 21二、填空题(每题4分，共24分)11.如果某个二次函数的图象经过平移后能与y =3x 2的图象重合，那么这个二次函数的表达式可以是 (只要写出一个)．12.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y 轴的直线.若点P (5，0)在抛物线上，则9a －3b +c 的值为 .（第12题）（第13题） (第14题) (第15题)13.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于点A ，B (m +2，0),与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c )，则点A 的坐标是 .14.如图所示，将两个正方形并排组成矩形OABC ，OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上.正方形EFMN 的边EF 落在线段CB 上，过点M ，N 的二次函数的图象也过矩形的顶点B ，C ，若三个正方形边长均为1，则此二次函数的表达式为．15.某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w (元)与降价x (元)的函数关系如图所示.这种工艺品的销售量y （件）关于降价x （元）的函数表达式为． 16.已知抛物线y =a (x －1)（x +a2）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，若△ABC 为等腰三角形，则a 的值是．三、解答题(共66分)17.(6分)已知抛物线的顶点坐标是(2，－3)，且经过点（1，－25）． (1)求这个抛物线的函数表达式，并作出这个函数的大致图象．(2)当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而增大？当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而减小？18.(8分)今有网球从斜坡点O 处抛出，网球的运动轨迹是抛物线y =4x －21x 2的图象的一段，斜坡的截线OA 是一次函数y =21x 的图象的一段，建立如图所示的平面直角坐标系．(第18题)(1)求网球抛出的最高点的坐标．(2)求网球在斜坡上的落点A 的竖直高度．19.(8分)若直线y =x +3与二次函数y =－x 2+2x +3的图象交于A ，B 两点，(1)求A ，B 两点的坐标． (2)求△OAB 的面积．(3)x 为何值时，一次函数的值大于二次函数的值？20.（10分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫的距离为x (km )，乘坐地铁的时间y 1(min )是关于x 的一次函数，其关系如下表所示：1(2)李华骑单车的时间也受x 的影响，其关系可以用y 2=21x 2－11x +78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间.21.（10分）已知二次函数y =ax 2+bx +21(a ＞0，b ＜0)的图象与x 轴只有一个公共点A. (1)当a =21时，求点A 的坐标. (2)过点A 的直线y =x +k 与二次函数的图象相交于另一点B ，当b ≥－1时，求点B 的横坐标m 的取值范围.22.(12分)设函数y =kx 2+(2k +1)x +1(k 为实数)．(1)写出符合条件的两个函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一平面直角坐标系内，用描点法画出这两个函数的图象．(2)根据所画的函数图象，提出一个对任意实数k ，函数的图象都具有的特征的猜想，并给予证明．(3)对任意负实数k ，当x <m 时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值．23.(12分)如图1所示，点P (m ，n )是抛物线y =41x 2－1上任意一点，l 是过点(0，－2)且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH ⊥l ，垂足为点H ．【特例探究】(1)当m =0时，OP = ，PH = ；当m =4时，OP =，PH = ．【猜想验证】(2)对任意m ，n ，猜想OP 与PH 的大小关系，并证明你的猜想．【拓展应用】(3)如图2所示，图1中的抛物线y =41x 2－1变成y =x 2－4x +3，直线l 变成y =m (m ＜－1).已知抛物线y =x 2－4x +3的顶点为点M ，交x 轴于A ，B 两点，且点B 坐标为(3，0)，N 是对称轴上的一点，直线y =m (m ＜－1)与对称轴交于点C ，若对于抛物线上每一点都满足：该点到直线y =m 的距离等于该点到点N 的距离．①用含m 的代数式表示MC ，MN 及GN 的长，并写出相应的解答过程. ②求m 的值及点N 的坐标．(第23题)二次函数综合测评卷一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列各式中，y 是x 的二次函数的是(C ).A.x 2+2y 2=2B.x =y 2C.3x 2－2y =1D.21x+2y －3=0 2.对于二次函数y =(x －1)2+3的图象，下列说法正确的是(C ). A.开口向下 B.对称轴是直线x =－1 C.顶点坐标是(1，3) D.与x 轴有两个交点（第3题）3.如图所示，一边靠墙(墙有足够长)，其他三边用12m 长的篱笆围成一个矩形(ABCD )花园，这个矩形花园的最大面积是(C ).A.16m 2B.12m 2C.18m 2D.以上都不对 4.如果抛物线y =mx 2+(m －3)x －m +2经过原点，那么m 的值等于(C ). A.0 B.1 C.2 D.3 5.如图所示，直线x =1是抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴，那么有(D ). A.abc ＞0 B.b ＜a +c C.a +b +c ＜0 D.c ＜2b(第5题) (第6题) (第7题) (第8题)6.已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示.关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法中正确的是(C ).A.有最小值0，有最大值3B.有最小值－1，有最大值0C.有最小值－1，有最大值3D.有最小值－1，无最大值7.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为点P (－2，2)，与y 轴交于点A (0，3).若平移该抛物线使其顶点P 由(－2，2)移动到(1，－1)，此时抛物线与y 轴交于点A ′，则AA ′的长度为(A ). A.343 B.241C.32D.3 8.如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB =8m ，然后用一根长4m 的小竹竿CD 竖直地接触地面和门的内壁，测得AC =1m ，则门高OE 为(B ).A.9mB.764m C.8.7m D.9.3m 9.已知二次函数y =x 2+bx +c 与x 轴只有一个交点，且图象过A (x 1，m )，B (x 1+n ，m )两点，则m ，n 满足的关系为(D ). A.m =21n B.m =41n C.m =21n 2 D.m =41n 2 10.已知二次函数y =－(x －1)2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m +n 的值为(D ). A.25 B.2 C. 23 D. 21（第10题答图）【解析】二次函数y =－(x －1)2+5的大致图象如答图所示：①当m ≤0≤x ≤n ＜1时，当x =m 时y 取最小值，即2m =－(m －1)2+5，解得m =－2或m =2(舍去).当x =n 时y 取最大值，即2n =－(n －1)2+5，解得n =2或n =－2(均不合题意，舍去).②当m ≤0≤x ≤1≤n 时，当x =m 时y 取最小值，由①知m =－2.当x =1时y 取最大值，即2n =－(1－1)2+5，解得n =25，或x =n 时y 取最小值，x =1时y 取最大值，2m =－(n －1)2+5，n =25，∴m =811.∵m ＜0，∴此种情形不合题意.∴m +n =－2+25=21.故选D. 二、填空题(每题4分，共24分)11.如果某个二次函数的图象经过平移后能与y =3x 2的图象重合，那么这个二次函数的表达式可以是 y =3（x +2）2+3 (只要写出一个)．12.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y 轴的直线.若点P (5，0)在抛物线上，则9a －3b +c 的值为 0 .（第12题）（第13题） (第14题) (第15题)13.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于点A ，B (m +2，0),与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c )，则点A 的坐标是 (－2,0) .14.如图所示，将两个正方形并排组成矩形OABC ，OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上.正方形EFMN 的边EF 落在线段CB 上，过点M ，N 的二次函数的图象也过矩形的顶点B ，C ，若三个正方形边长均为1，则此二次函数的表达式为 y =－34x 2+38x +1 ． 15.某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w (元)与降价x (元)的函数关系如图所示.这种工艺品的销售量y （件）关于降价x （元）的函数表达式为 y =60+x ． 16.已知抛物线y =a (x －1)（x +a2）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，若△ABC 为等腰三角形，则a 的值是 2或34或251 ．三、解答题(共66分)17.(6分)已知抛物线的顶点坐标是(2，－3)，且经过点（1，－25）． (1)求这个抛物线的函数表达式，并作出这个函数的大致图象．(2)当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而增大？当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而减小？【答案】(1)设抛物线的函数表达式为y =a （x －2）2－3，把(1,－ 25)代入,得－25=a －3，即a =21. ∴抛物线的函数表达式为y =21x 2－2x －1.图略. (2)∵抛物线对称轴为直线x =2,且a >0,∴当x ≥2时，y 随x 的增大而增大；当x ≤2时，y 随x 的增大而减小.18.(8分)今有网球从斜坡点O 处抛出，网球的运动轨迹是抛物线y =4x －21x 2的图象的一段，斜坡的截线OA 是一次函数y =21x 的图象的一段，建立如图所示的平面直角坐标系．(第18题)(1)求网球抛出的最高点的坐标．(2)求网球在斜坡上的落点A 的竖直高度．【答案】(1)∵y =4x －21x 2=－21（x －4）2+8，∴网球抛出的最高点的坐标为（4，8）. (2)由题意得4x －21x 2=21x ,解得x =0或x =7.当x =7时，y =21×7=27.∴网球在斜坡的落点A的垂直高度为27.19.(8分)若直线y =x +3与二次函数y =－x 2+2x +3的图象交于A ，B 两点， (1)求A ，B 两点的坐标． (2)求△OAB 的面积．(3)x 为何值时，一次函数的值大于二次函数的值？【答案】(1)由题意得⎩⎨⎧++-=+=3232x x y x y ，解得⎩⎨⎧==30y x 或⎩⎨⎧==41y x .∴A ，B 两点的坐标分别为（0，3），（1，4）.(2)∵A ，B 两点的坐标是（0，3），（1，4），∴OA =3，OA 边上的高线长是1.∴S △OAB =21×3×1=23. (3)当x ＜0或x ＞1时，一次函数的值大于二次函数的值.20.（10分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫的距离为x (km )，乘坐地铁的时间y 1(min )是关于x 的一次函数，其关系如下表所示：(1)求y 1关于x 的函数表达式.(2)李华骑单车的时间也受x 的影响，其关系可以用y 2=21x 2－11x +78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间.【答案】(1)设y 1=kx +b ，将(8，18)，(9，20)代入，得⎩⎨⎧=+=+209188b k b k ,解得⎩⎨⎧==22b k .∴y 1关于x的函数表达式为y 1=2x +2.(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y .则y =y 1+y 2=2x +2+21x 2－11x +78=21x 2－9x +80.∴当x =9时，y 有最小值，y min =2149802142⨯-⨯⨯=39.5.∴李华应选择在B 站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5min . 21.（10分）已知二次函数y =ax 2+bx +21(a ＞0，b ＜0)的图象与x 轴只有一个公共点A. (1)当a =21时，求点A 的坐标. (2)过点A 的直线y =x +k 与二次函数的图象相交于另一点B ，当b ≥－1时，求点B 的横坐标m 的取值范围.【答案】(1)∵二次函数y =ax 2+bx +21 (a ＞0，b ＜0)的图象与x 轴只有一个公共点A ，∴Δ=b 2－4a ×21=b 2－2a =0.∵a =21，∴b 2=1.∵b ＜0，∴b =－1.∴二次函数的表达式为y =21x 2－x +21.当y =0时，21x 2－x +21=0，解得x 1=x 2=1，∴A (1，0). (2)∵b 2=2a ，∴a =21b 2，∴y =21b 2x 2+bx +21=21 (bx +1)2.当y =0时，x =－b 1，∴A （－b 1，0）.将点A （－b 1,0）代入y =x +k ，得k =b 1.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=b x y bx x b y 1212122消去y 得21b 2x 2+(b －1)x +21－b 1=0，解得x 1=－b 1，x 2=22b b -.∵点A 的横坐标为－b 1，∴点B 的横坐标m =22bb -.∴m =22b b -=2（21b －b 21）=2（b 1－41）2－81.∵2＞0，∴当b 1＜41时，m 随b 1的增大而减小.∵－1≤b ＜0，∴b 1≤－1.∴m ≥2×（－1－41）2－81=3，即m ≥3. 22.(12分)设函数y =kx 2+(2k +1)x +1(k 为实数)．(1)写出符合条件的两个函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一平面直角坐标系内，用描点法画出这两个函数的图象．(2)根据所画的函数图象，提出一个对任意实数k ，函数的图象都具有的特征的猜想，并给予证明．(3)对任意负实数k ，当x <m 时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值．【答案】(1)如：y =x +1,y =x 2+3x +1，图略.(2)不论k 取何值，函数y =kx 2+(2k +1)x +1的图象必过定点(0,1),(－2,－1)，且与x 轴至少有1个交点.证明如下：由y =kx 2+(2k +1)x +1，得k (x 2+2x )+(x －y +1)=0.当x 2+2x =0,x －y +1=0，即x =0,y =1，或x =－2,y =－1时，上式对任意实数k 都成立，∴函数的图象必过定点(0,1),(－2,－1).∵当k =0时，函数y =x +1的图象与x 轴有一个交点；当k ≠0时，Δ=(2k +1)2－4k =4k 2+1>0，函数图象与x 轴有两个交点,∴函数y =kx 2+(2k +1)x +1的图象与x 轴至少有1个交点.(3)只要写出的m ≤－1就可以.∵k <0，∴函数y =kx 2+(2k +1)x +1的图象在对称轴直线x =－k k 212+的左侧，y 随x 的增大而增大.由题意得m ≤－k k 212+.∵当k <0时，k k 212+=－1－k 21>－1.∴m ≤－1.23.(12分)如图1所示，点P (m ，n )是抛物线y =41x 2－1上任意一点，l 是过点(0，－2)且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH ⊥l ，垂足为点H ．【特例探究】(1)当m =0时，OP = 1 ，PH = 1 ；当m =4时，OP = 5 ，PH = 5 ．【猜想验证】(2)对任意m ，n ，猜想OP 与PH 的大小关系，并证明你的猜想．【拓展应用】(3)如图2所示，图1中的抛物线y =41x 2－1变成y =x 2－4x +3，直线l 变成y =m (m ＜－1).已知抛物线y =x 2－4x +3的顶点为点M ，交x 轴于A ，B 两点，且点B 坐标为(3，0)，N 是对称轴上的一点，直线y =m (m ＜－1)与对称轴交于点C ，若对于抛物线上每一点都满足：该点到直线y =m 的距离等于该点到点N 的距离．①用含m 的代数式表示MC ，MN 及GN 的长，并写出相应的解答过程.②求m 的值及点N 的坐标．(第23题)【答案】 (1)1，1，5，5.(2)猜想：OP =PH .证明：设PH 交x 轴于点Q ∵P 在y =41x 2－1上，∴P （m ，41m 2－1），PQ =∣41m 2－1∣，OQ =|m |.∵△OPQ 是直角三角形，∴OP =22OQ PQ +=222141m m +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22141⎪⎭⎫ ⎝⎛+m =14m 2+1.∵PH =yp －（－2）=（41m 2－1）－（－2）=41m 2+1，∴OP =PH . (3)①∵M （2，－1），∴CM =MN =－m －1.GN =CG －CM －MN =－m －2（－m －1）=2+m .②点B 的坐标是（3，0），BG =1，GN =2+m .由勾股定理得BN =22GN BG +=()2221m ++.∵对于抛物线上每一点都有：该点到直线y =m 的距离等于该点到点N 的距离，∴1+（2+m ）2=（－m ）2,解得m =－45. ∵GN =2+m =2－45=43，∴N （2，－43）.。

二次函数单元测试卷(答案)

二次函数单元测试卷(答案)1.已知函数y=2x^2+3x-1的自变量x取值范围为[-2,1]，则在该范围内，该函数的最大值为_____，最小值为_____。

答案：最大值为3，最小值为-1.2.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(1,2)和点(3,4)，则a+b+c的值为_____。

答案：a+b+c的值为6.3.抛物线y=-x^2+2x+3的顶点坐标为_____。

答案：(1,4)。

4.已知函数y=x^2-4x+5，则将其表示成y=a(x-h)^2+k的形式为_____。

答案：y=(x-2)^2+1.5.抛物线y=ax^2+bx+c的对称轴方程为x=2，且经过点(0,1)，则a+b+c的值为_____。

答案：a+b+c的值为1.6.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象与x轴交于点(1,0)和点(3,0)，则a的值为_____。

答案：a的值为-1/4.7.抛物线y=2x^2-4x+1的最小值为_____。

答案：最小值为-3.8.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(1,1)，且在x=2处取得最大值，最大值为2，则a、b、c的值分别为_____。

答案：a=1，b=-6，c=7.11.二次函数 $y=(x-2)^2+3$ 的一般形式为 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a=1$，$b=-4$，$c=7$。

12.一个开口向上，顶点坐标是 $(-2,1)$ 的函数解析式为$y=a(x+2)^2+1$，其中 $a>0$。

13.由于该二次函数的顶点坐标为 $(2,4)$，因此解析式为$y=a(x-2)^2+4$，其中 $a>0$。

又因为该函数的形状与抛物线$y=4x^2$ 相同，所以 $a=4$，最终得到 $y=4(x-2)^2+4$。

14.将原点代入抛物线方程 $y=x^2+kx+(k+3)$，得到$k=0$。

15.由于抛物线 $y=-2x^2-8x+m$ 经过点 $(-1,y_1)$，$(-2,y_2)$，$(-4,y_3)$，因此可以列出以下方程组：begin{cases}-2(-1)^2-8(-1)+m=y_1 \\ -2(-2)^2-8(-2)+m=y_2 \\ -2(-4)^2-8(-4)+m=y_3\end{cases}$$解得 $m=-6$，$y_1=-2$，$y_2=2$，$y_3=10$，因此$y_3>y_2>y_1$。

二次函数单元测试题及答案

二次函数单元测试题及答案一、选择题1. 已知二次函数$ y = ax^2 + bx + c $，当$ a < 0 $时，抛物线的开口方向是：A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案：B2. 对于二次函数$ y = -2x^2 + 3x + 1 $，其顶点的横坐标是：A. $ -\frac{1}{2} $B. $ -\frac{3}{2} $C. $ \frac{3}{4} $D. $ \frac{1}{4} $答案：C3. 若二次函数$ y = x^2 + 2x + 1 $与x轴有交点，则交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题4. 二次函数$ y = 3x^2 - 6x + 5 $的对称轴方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

答案：$ x = 1 $5. 当$ x = 2 $时，二次函数$ y = x^2 - 4x + 3 $的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

答案：-1三、解答题6. 已知二次函数$ y = -x^2 + 2x + 3 $，求其与x轴的交点坐标。

解：令$ y = 0 $，得$ -x^2 + 2x + 3 = 0 $。

解此方程，我们可以使用求根公式：\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]代入$ a = -1, b = 2, c = 3 $，得：\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{-2} = \frac{-2 \pm\sqrt{16}}{-2} = 1 \pm 2 \]因此，与x轴的交点坐标为$ (-1, 0) $和$ (3, 0) $。

7. 已知抛物线$ y = 2x^2 - 4x + 1 $，求其顶点坐标。

解：顶点的横坐标可以通过公式$ x = -\frac{b}{2a} $求得，代入$ a = 2, b = -4 $，得：\[ x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 \]将$ x = 1 $代入原方程求得$ y $值：\[ y = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 \]因此，顶点坐标为$ (1, -1) $。

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二次函数综合测试卷一、填空：(30分)1．二次函数的图象经过三个定点（2，0），（3，0），（•0，-•1），则它的解析式为________，该图象的顶点坐标为__________．2．当k=________时，直线x+2y+k+1=0和2x+y+2k=0的交点在抛物线y=-x2上．3．已知二次函数y=x2-2（k+1）x+k2+2的图象与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且（x1+1）（x2+1）=8，则k的值为__________．4．如果y与x2成正比例，并且它的图象上一点P的横坐标a和纵坐标b分别是方程x2-x-6=0的两根，那么这个函数的解析式为_________．5．抛物线y=x2-4x+11的对称轴是直线________，顶点坐标为________．6．如果抛物线y=-23x2+（m+2）x+27m的对称轴为直线x=32，则m的值为_________．7．把函数y=5x2+10mx+n的图象向左平移2个单位，向上平移3个单位，•所得图象的函数解析式为y=5x2+30x+44，则m=_______，n=_______．8．二次函数y=a x2+bx+c中的a、b、c满足条件________时，•它的图象经过坐标系中的四个象限．9．开口向下的抛物线y=a（x+1）（x-4）与x轴交于A、B两点，与y•轴交于点C．•若∠ACB=90°，则a的值为________．10．如图，二次函数y=x2-ax+a-5的图象交x轴于点A和B，交y轴于点C，当线段AB•的长度最短时，点C的坐标为________．二、选择题：(20分)11．在同一直角坐标系内，二次函数y1=ax2+bx+c与y2=cx2+bx+a的图象大致为（）12．在同一直角坐标系内，函数y=ax2+bx与y=bx（b≠0）的图象大致为（）13．给出下列四个函数：y=-2x，y=2x-1，y=3x（x>0），y=-x2+3（x>0），其中y随x•的增大而减小的函数有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个14．当m取任何实数时，抛物线y=-2（x-m）2-m的顶点所在的直线为（）A．x轴 B．y轴 C．y=x D．y=-x15．当m取任何实数时，抛物线y=-2（x+m）2-m2的顶点所在的曲线为（）A．y=x2 B．y=-x2 C．y=x2（x>0） D．y=-x2（x>0）16．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y=x2-4x+3关于x轴对称，则a、b、c•的值分别是（）A．-1，4，-3 B．-1，-4，-3 C．-1，4，3 D．-1，-4，317．已知抛物线y=a x2+bx+c（a≠0）与抛物线y=x2-4x+3关于y轴对称，则函数y=ax2+bx+c 的解析式为（）A．y=x2+4x+3 B．y=x2-4x-3 C．y=x2+4x-3 D．y=-x2-4x+318．从一张矩形纸片ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个半圆，它们的直径分别是AE、DE，要使剪下的两个半圆的面积和最小，点E应选在（）A．边AD的中点外 B．边AD的13处 C．边AD的14处 D．边AD的15处19．对某条路线的长度进行n次测量，得到n个结果x1，x2，…，x n，如果用x作为这条路线长度的近似值，当x=p时，（x-x1）2+（x-x2）2+…+（x-x n）2最小，则p的值为（）A．1n（x1+x2+…+x n） B．1n（x1-x2-…-x n）C．1nn+（x1+x2+…+x n） D．1nn+（x1+x2+…+x n）20．已知函数y=-（x-1）2-（x-3）2-（x-5）2-（x-7）2，当x=p时，函数y取得最大值，则p•的值为（）A．4 B．8 C．10 D．16三、解答题：(90分)1．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x=t•截这个三角形所得位于直线左方的图形面积为y．（1）写出以自变量为t的函数y的解析式；（2）画出（1）中函数y的图象．2．如图，AB是半径为R的圆的直径，C为直径AB上的一点，•过点C•剪下两个正方形ADCE 和BFCG，它们的对角线分别是AC、CB．要使剪下的两个正方形的面积和最小，•点C应选在何处？3．已知一个二次函数的图象过点A（-1，10），B（1，4），C（2，7），点D和B•关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只有一个公共点D的直线？如果存在，求出符合条件的直线；如不存在，请说明理由．4．如图，在直角坐标系xOy中，A、B是x轴上的两点，以AB为直径的圆交y轴于C，设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=x2-mx+n，方程x2-mx+n=0的两根倒数和为-2．（1）求n的值；（2）求此抛物线的解析式；（3）设平行于x轴的直线交此抛物线于E、F两点，问是否存在此线段EF•为直径的圆恰好与x轴相切，若存在，求出此圆的半径；若不存在，说明理由．5．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过x度，•那么这个月这户居民只交10元用电费．如果超过x度，这个月除了要交10元用电费外，超过部分按每度元交费．（1）该厂某户居民1月份用电90度，超过了x度的规定，试用x的代数式表示超过部分应交的电费（元）；（2）下表是这户居民2月、3月的用电情况和交费情况，请根据表中的数据，•求出月份用电量（度）交电费总数（元）2月 80 253月 45 106．如图（1），平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A•点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6）．D是BC边上的动点（与点B、C不重合），现将△COD沿OD 翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，使△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG，DF重合．（1）如图②，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；（2）设D（a，6），E（10，b），求b关于a的函数关系式，并求b的最小值；（3）一般地，请你猜想直线DE与抛物线y=-124x2+6的公共点的个数，•在图②的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线y=-124x2+6始终有公共点，请在图①中作出这样的公共点．附加题： (10分)当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．例如：由抛物线y=x 2-2mx+m 2+3m-2． ① 得y=（x-m ）2+3m-2 ②抛物线的顶点坐标为（m ，3m-2），即32x my m =⎧⎨=-⎩当m 的值变化时，x ，y 的值也随之变化，•因而y 值也随x 值的变化而变化．将③代入④，得y=3x-2 ⑤可见不论m 取任何实数抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足关系式y=3x-2，即抛物线①的顶点总在直线y=3x-2上．在上述过程中，由①到②所用的数学方法是__________；由③、④到⑤所用的数学方法是________．请解答:求出抛物线y=x 2-4mx+4m 2-2m•的顶点的纵坐标y 和横坐标x 之间的关系式．答案:一、填空：1．y=-16x 2+56x-1 （52，124） 2．13±6 3．14．y=-29x 2和y=34x 25．x=2 （2，7） 6．0 7．1 18．a 、c 异号，b 为任何实数 9．-10．（0，-3）（设A （x 1，0），B （x 2，0）．（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=a 2-4a+20=（a-2）2+16．当a=2时，•线段AB 的长度最短为4，此时y=x 2-2x-3，点C 的坐标为（0，-3）二、选择题：11．D 12．D 13．A 14．D 15．B 16．A 17．A 18．A 19．A 20．A 三、解答题：1．（1）y=223(01)3(2)3(2)2t t t t ⎧≤≤⎪⎨⎪--+≤≤⎪⎩（2）如第1题图.2．设AC 长为x ，BC 长为2R-x ，S 正方形ADCE =12x 2，S 正方形BFCG =12（2R-x ）2．两个正方形面积之和为y=12x 2+12（2R-x ）2=x 2-2Rx+2R 2=（x-R ）2+R 2，当x=R 时，两个正方形面积之和有最小值R 2，此时点C 应选在AB•的中点处，即圆心．3．过点A 、B 、C 的抛物线的解析式为y=2x 2-3x+5，其对称轴为直线x=34．因D 和B 关于直线x=34对称，所以D 点坐标为（12，4）．与抛物线只有一个公共点D 的直线有两条：（1）平行于y 轴，即直线x=12．（2）不平行于y 轴，设直线为y=kx+b ，因为过D 点，所以4=12k+b ．即k=8-2b ，（8-2b ）x+b=2x 2-3x+5．2x 2+（2b-11）x+5-b=0．方程有两个相等的实数根，△=（2b-11）2-8（5-b ）=0，解得b=92，k=-1．所以y=-x+92．符合条件的直线为y=-x+92和x=12． 4．（1）设A （x 1，0），B （x 2，0），则OA=-x 1，OB=x 2．因为AB 是直径，OC ⊥AB ，所以CO 2=OA·OB ，•即n 2=-x 1x 2．又x 1x 2=n ，所以n 2=-n ，n=-1，n=0（舍去）．（2）11x +21x =1212x x x x +=-2，又x 1+x 2=m ，x 1x 2=-1，1m -=-2，m=2，所求的抛物线的解析式为y=x 2-2x-1．（3）由（2）得抛物线的对称轴为x=1．设满足条件的圆的半径为│a │，则点F•的坐标为（1+│a │，a ），点F 在抛物线上，a=（1+│a │）2-2（1+│a │）-1，即a 2-a-2=0，a 1=2，a 2=-1，所求的圆的半径为1或2，故存在以EF 为直径的圆，恰好与x 轴相切． 5．（1）100x（90-x ）元（2）表格中的数据告诉我们，这户居民2月份用电超标，3•月份用电不超标，可见45≤x<80，列出方程10+100x（80-x ）=25，即x 2-80x+150=0，解得x 1=30，x 2=50．因45≤x<80，所以x=30，电厂规定的标准是30度．6．（1）解：根据题意，可知D （6，6），E （10，2），直线DE 的函数关系式为y=-x+12．（2）解：根据题意，可知∠CDO=∠ODF ，∠BDE=∠GDE ．∠CDO+∠ODF+∠BDE+∠GDE=180°，•∠CDO+∠BDE=90°，∠COD+∠CDO=90°，∠COD=∠BDE ．又∠COD=∠DBE=90°，△COD ≌△BDE ．CE COBE BD=．根据题意，可知BE=6-b ，BD=10-a ，6610a b a =--，b+16a 2-53a+6=16（a-5）2+116．当a=5时，b 最小值=116．（3）猜想：直线DE 与抛物线y=-124x 2+6只有1个公共点．证明:由（1）可知，DE 所在直线为y=-124x+12．代入抛物线y=-x 2+6，消去y ，得-124x 2+6=-x+12．化简，得x 2-24x+144=0，△=0．直线DE与抛物线y=-124x2+6只有1个公共点．作法一：延长OF交DE于点H，作法二：在DB上取点M，使DM=CD，过M作MH⊥BC，交DE于点H．附加题：配方法; 消元法; y=-4x.。

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