【人教版】高中数学必修4《平面向量的坐标运算随堂练习(含答案)

合集下载

2020年高中数学必修4 《平面向量的线性运算》课后练习(含答案)

2020年高中数学必修4 平面向量的线性运算课后练习一、选择题1.已知向量a，b满足,,且∣a+b∣=2,则向量a与b的夹角的余弦值为( )A. B. C . D.2.已知平面向量a，b的夹角为，且，则∣a+b∣=( )A.3B.C.7D.3.若非零向量a，b满足，且(a-b)⊥(3a+2b)，则a与b的夹角为（）A.0.25πB.0.5πC.0.75πD.π4.若|，且(a-b)⊥a，则a与b的夹角是（）A． B． C． D．5.已知向量a，b满足=5，且，则向量a与b的夹角为（）A. B. C. D.6.已知向量m,n满足，若，则向量n在m方向上的投影为（）A．0.25 B．0.5 C．2 D．47.若两个非零向量a，b满足，则向量a+b与a-b的夹角是( )A． B． C． D．8.若，且与也互相垂直，则实数k的值为（）A.-6B.6C.-3D.39.已知向量a,b满足，且则向量a与b的夹角的余弦值为( )A. B. C. D.10.若向量（）A.2B.4C.12D.11.已知平面向量a与b的夹角为，且∣b∣=1,∣a+2b∣=2，则∣a∣（）A． B． C． D．12.已知非零向量a，b的夹角为60°，且∣b∣=1,∣2a-b∣=1，则∣a∣=（）A. 0.5B. 1C.D.2二、填空题13.若向量a与b互相垂直，且∣a∣=1，∣b∣=2，则∣a+2b∣=__________．14.已知向量a与b的夹角为120°，∣a∣=2，∣b∣=1，则∣a-2b∣=________.15.已知平面向量a,b满足b(a+b)=3，且∣a∣=1,∣b∣=2，则∣a+b∣=________．16.已知向量a,b满足：∣a∣=3，∣b∣=4，，则∣a-b∣= ．三、解答题17.已知∣a∣=4,∣b∣=3,(2a-3b)(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求∣a+b∣.18.已知非零向量a,b满足∣a|=∣b∣=1,且．(1)求向量a与b的夹角θ的值．(2)求∣a+b∣的值。

高一数学必修4平面向量测试题(含答案)[1]

高一数学必修4平面向量测试题(含答案)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高一数学必修4平面向量测试题(含答案)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高一数学必修4平面向量测试题(含答案)(word版可编辑修改)的全部内容。

黄图盛中学高一数学必修四第二章单元测试卷班级姓名座号一.选择题1．以下说法错误的是（ )A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C ．平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量2．下列四式不能化简为的是（ )A ．＋（B ．（C ．＋D ．；＋－3．已知=（3，4），=(5，12），与则夹角的余弦为（）A ．6563B ．65C ．513D ．134．已知,均为单位向量，它们的夹角为+=（）A ．7B ．10C ．13D ．45．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（）A 。

)(21→→-b a B 。

)(21→→-a b C. →a ＋→b 21 D. )(21→→+b a 6．设→a ,→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ，−→−BC ＝－4→a －→b ，−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是（）A −→−AD ＝−→−BCB 。

−→−AD ＝2−→−BC C 。

−→−AD ＝－−→−BC D.−→−AD ＝－2−→−BC7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线,则k 的值是( ）A. 1 B 。

高中数学平面向量的坐标运算随堂练习新人教版必修4

向量的坐标运算1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)满足(ka ＋b )∥c ，则k ＝2．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC ＝2AD ，则顶点D 的坐标为3．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝4．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝(1＋cos θ，－14)，且a ∥b ，则锐角θ等于 5．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)，且a ∥b ，则tan θ＝________.6．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.7．已知点A (－1，－1)、B (1,3)、C (x,5)，若对于平面上任意一点O ，都有OC ＝λOA ＋(1－λ) OB ，λ∈R ，则x ＝______.8．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________________．9．已知A 、B 、C 三点的坐标为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB .10．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，回答下列问题：(1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(3)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .答案：1.解析：ka ＋b ＝(k －1，k ＋1)，由(ka ＋b )∥c ，得2(k －1)－4(k ＋1)＝0，解得k ＝－3.答案：-32.解析：令D (x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x －＝3－－，y －＝1－－解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝72.∴顶点D 的坐标为(2，72)．答案：(2，72)． 3.解析：AB ＝(－8,8)，AC ＝(3，y ＋6)．∵AB ∥AC ，∴－8(y ＋6)－24＝0.∴y ＝－9.答案：-94.解析：由a ∥b 得－2×(－14)＝1－cos 2θ＝sin 2θ， ∵θ为锐角，∴sin θ＝22，∴θ＝45°. 答案：45°5.解析：∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ.即4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝14. 答案：146.解析：a ＋b ＝(2－1，－1＋m )＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ，得1×2－(m －1)×(－1)＝0，即m ＝－1.答案：－17.解析：取点O (0,0)，由OC ＝ λOA ＋(1－λ) OB ，得 (x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－λ＋－λ，5＝－λ＋－λ解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝2. 答案：28.解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设点B 坐标为(x ，y )，则AB ―→＝(x －1，y －2)＝b . 由⎩⎪⎨⎪⎧ －2λ＝x －1，3λ＝y －2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.① 又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，∴λ＝12或λ＝－23，代入①式得B 点坐标为(0，72)或(73，0)．答案：(0，72)或(73，0) 9.证明：设E 、F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)．∵AE ＝13AC ， ∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)． ∴点E 的坐标为(－13，23)．同理点F 的坐标为(73，0)，EF ＝(83，－23)．又83×(－1)－4×(－23)＝0，∴EF ∥AB .10.解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1) ＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a ＝mb ＋nc ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴－m ＋4n ＝3且2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝89. (3)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，又a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0.∴k ＝－1613.。

高一数学必修四平面向量基础练习题及答案

平面向量的基本定理及坐标表示、选择题1、若向量a=（1,1）,b=(1, - 1), c =( —1,2),则c 等于()13 1 3 . 3 1 -3 1 ,A、一a+ —bB、一a — bC、 a — bD、a+ b22 2 2 2 222 2、已知，A (2, 3), B （—4, 5）,则与AB共线的单位向量是( )—r 3.10.10 3.10 10 , 3 1010、A、e (, ---- -)B、e (——, ------ )或( -------- ,)101010 10 1010C、e (6,2)D、e ( 6,2)或(6,2)—*3、已知a，(1,2),b(3,2),ka b与a3b垂直时k值为( )A、171B、18C、19D、204、已知向量OP=(2, 1), OA =(1 , 7), OB =(5 , 1),设X是直线OP上的一点（O为坐标原点），那么XA XB的最小值是()A、-16B、-8C、0D、45、若向量m (1,2),n（2,1）分别是直线ax+(b —a)y —a=0 和ax+4by+b=0 的方向向量，贝U a,b的值分别可以是( )A、 1 , 2B、—2 , 1C、 1 , 2D、2 , 16、若向量a=(cos,sin),b=(cos ,sin）,则a与b 一定满足( )A、a与b的夹角等于一B、(a + b)丄(a —b)C、a// bD、a 丄b7、设i , j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，OP 3cos i3sin j ,(0,?),OQ i。

若用来表示OP与OQ的夹角，贝U 等于（）A、B、—2c、—2D、8、设0 2 ，已知两个向量OR cos , sin , OP2 2 sin , 2 cos ，则向量P-l P2长度的最大值是( )A、、2B、.3C、32D、二、填空题9、已知点A(2 , 0), B(4 , 0)，动点P在抛物线y2=- 4x运动，则使AP BP取得最小值的点P的坐标是____________________________________ 、10、把函数y 、.3cosx si nx的图象，按向量a m,n (m>0)平移后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值为____________________ 、11、_____________________________________________________________ 已知向量OA ( 1,2),OB (3,m),若OA AB,则m ________________________________ 、三、解答题12、求点A (- 3, 5)关于点P (- 1, 2)的对称点A、13、平面直角坐标系有点P(1, cosx), Q (cosx,1), x [,].4 4(1)求向量OP和OQ的夹角的余弦用x表示的函数f(x);(2)求的最值、14、设OA (2sinx,cos2x),OB ( cosx, 1)，其中x€ [0, 卜2(1)求f(x)= OA OB的最大值和最小值;um uuu uuu⑵当OA丄OB，求| AB卜215、已知定点A(0,1)、B(0, 1)、C(1,0)，动点P 满足：AP BP k|PC|、量P-l P2长度的最大值是( )(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的图形；(2)当k 2时，求| AP BP |的最大值和最小值、4min14、解：⑴ f(x)= OAOB = -2sinxcosx+cos2x= 2cos(2x、选择题参考答案I 、 B ; 2、B ; 3、C ; 4、B ; 5、D ; 6、B ; 7、D ; 8、C 二、填空题 9、 (0, 0)510、 m 一 6II 、 4 三、解答题12、解：设A3 x2，则有L 25 y 2解得1、所以 A/(1，- 1)o13、解：(1)OP OQ 2cosx,|OP||OQ| 12cos x, cosOP OQ |OP| |OQ|2cosx 1 cos 2 xf (x)(2) COSf(x)2cosx 1 2cos2 cosxcosxcosx2T 1]2 cosx3.2cosx◎ f(x) 1,即口33cos 1max2(2 arccos一 3AP BP(x, y1) (x, y 1) (2x,2y) •••I AP BP |5■/ 0$w ,_w2+— <— 2 4 4 4• ••当 2X+ —= 一，即 x=0 时，f(X )max =1 ；4 4当 2x+ 一= n,即 x= — n 时，f(x) min =- 2、4 8⑵ OA OB 即 f(x)=0 , 2x+ 一 = — , • x= 一、428此时 | AB |, (2sinx cosx)2 (cos2x 1)2=.4sin 2 x cos 2 x 4sin xcosx (cos2x 1)27 72— —cos2x 2sin2x cos 2x 2 22 7cos — 2sin — cos2 — 2 2 4 44=1 ■16 3.2、2的圆、|1 k|, 方程化为 (x 2)2 y 2115、解:(1 ）设动点P 的坐标为(x, y),则AP(x,y 1) , BP(x,y 1),PC (1 x,y)AP BP k | PC |2,• x 2y 21 k (x2 21) y即 (1 k)x 2(1 k)y 22kx k 10。

(完整word)高一数学必修四平面向量基础练习题及答案

(0, ),OQ i 。若用来表示 OP 与 OQ 的夹角，则等于（） 2
A、
B、
C、
D、
2
2
8、设 0
2 ，已知两个向量 OP1 cos , sin ， OP2 2 sin , 2 cos ，则向
量 P1P2 长度的最大值是（
）
A、 2
二、填空题
B、 3
C、 3 2
D、
9、已知点 A(2 ，0) ，B(4 ，0)，动点 P 在抛物线 y2＝－ 4x 运动，则使 AP BP 取得最小值的点
（）
3 10 10
A、e (
,)
B、 e
3 10 10 3 10
(
, )或 (
,
10 )
10 10
10 10
10 10
C、 e ( 6,2)
D、 e ( 6,2)或(6,2)
3、已知 a (1,2), b ( 3,2), ka b与a 3b垂直时 k 值为
A 、17 B 、 18 C、 19 D、20
（ 2）当 k 2 时，求 | AP BP | 的最大值和最小值、
参考答案
一、选择题 1、 B； 2、 B； 3、 C； 4、 B； 5、D ； 6、 B； 7、 D ；8、 C 二、填空题 9、 (0， 0)
5 10、 m
6
11、 4 三、解答题
12、解：设 A/ （ｘ，ｙ），则有
3x 2 5y 2
| AP BP | 2 x2 y 2 2 5 4cos
∴当 cos 1时， | AP BP | 的最大值为 6 ，当 cos
1时，最小值为 2 。
（）
4、已知向量 OP =(2 ， 1)，是直线 OP 上的一点 (O 为坐标

(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(包含答案解析)(1)

一、选择题1．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（）A ．3B ．8C ．12D ．162．如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为( )A ．19B ．13C ．1D ．33．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（） A ．6 B ．4 C ．3 D ．24．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则PM PN +的取值范围为（）A ．53,53+⎡⎣B ．103,103⎡-⎣C ．523,523-+⎡⎣D ．1023,1023-+⎡⎤⎣⎦5．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（）A ．(0,21⎤-⎦B ．(0,21⎤+⎦C ．21,21⎡⎤-+⎣⎦D ．)21,⎡-+∞⎣ 6．在平行四边形ABCD 中，3DE CE =，若AE 交BD 于点M .且AM AB AD λμ=+，则λμ=（） A ．23 B ．32 C ．34 D ．437．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（）A ．14B ．12C ．2D ．48．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（）A ．52B ．52-C ．4D ．4-9．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（）A ．42，0B ．4，42C ．16，0D ．4，010．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．2B ．8 km/hC ．34D ．10 km/h11．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（）A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定12．已知2a b ==，0a b ⋅=，()()0c a c b -⋅-=，若2d c -=，则d 最大值为（）A ．22B ．122+C ．222+D ．42 二、填空题13．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G ，作用在行李包上的两个拉力分别为1F ，2F ，且12F F =，1F 与2F 的夹角为θ.给出以下结论：①θ越大越费力，θ越小越省力；②θ的范围为[]0,π；③当2πθ=时，1F G =； ④当23πθ=时，1F G =. 其中正确结论的序号是______.14．在△ABC 中，D 为BC 中点，直线AB 上的点M 满足：32(33)()AM AD AC R λλλ=+-∈，则AMMB =__________．15．把单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ，点C 在线段AB 上，若12AC CB =，则OC BA ⋅的值为__________． 16．如图,在△ABC 中,13AN NC =,P 是BN 上的一点,若AP =m 211AB AC +,则实数m 的值为_____.17．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，圆M 为BCD △的内切圆，点P 为圆上任意一点，且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为________.18．在ABC ∆中，1AC BC ==，3AB =，且CE xCA =，CF yCB =，其中(),0,1x y ∈，且41x y +=，若M ，N 分别为线段EF ，AB 中点，当线段MN 取最小值时x y +=__________.19．如图所示，已知OAB ，由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区（不含边界）.已知下列四个向量：①12=+OM OA OB ； ②23143OM OA OB =+；③33145=+OM OA OB ；④44899=+OM OA OB .对于点1M ，2M ，3M ，4M 落在阴影区域内（不含边界）的点有________（把所有符合条件点都填上）20．设λ是正实数，三角形ABC 所在平面上的另三点1A 、1B 、1C 满足：()1AA AB AC λ=+，()1BB BC BA λ=+，()1CC CA CB λ=+，若三角形ABC 与三角形111A B C 的面积相等，则λ的值为_____. 三、解答题21．已知ABC 中C ∠是直角，CA CB =，点D 是CB 的中点，E 为AB 上一点．（1）设CA a =，CD b =，当12AE AB =，请用a ，b 来表示AB ，CE . （2）当2AE EB =时，求证：AD CE ⊥.22．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()()sin sin ,sin sin ,sin sin ,sin m B C A B n B C A =++=-，且m n ⊥.（1）求角C 的大小；（2）若3c =2a b +的取值范围.23．已知向量()1,2a =，(),1b x =.（1）若|2|||a b a b -=+，求实数x 的值；（2）若2x =，求2a b -与a b +的夹角.24．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边CD 上．（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF AB AD λμ=+，求λ+μ的值．（2）若AB ＝2，当AE BF ⋅=1时，求DF 的长．25．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =（1）若||25c =，且//c a ，求c 的坐标；（2）若5||b =，且2 a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ. 26．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1,2)a =-，(1,)b k =．（1）若()a a b ⊥+，求实数k 的值；（2）若对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，求实数k 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】利用AB 、AD 表示向量AC ，再利用平面向量数量积的运算性质可求得AC AD ⋅的值.【详解】()3343AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB =+=+=+-=-， AD AB ⊥，则0⋅=AD AB ，所以，()224344216AC AD AD AB AD AD ⋅=-⋅==⨯=.故选：D.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 2．A解析：A【解析】因为2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭29mAB AC =+，设BP tBN =，而31()()(1)44AP AB BP AB t BC CN AB t BC AC t AB t AC =+=++=+-=-+，所以1m t =-且249t =，故811199m t =-=-=，应选答案A ． 3．C解析：C【分析】根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，作出图形，如图所示：由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+，所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=. 故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 4．B解析：B【分析】作出图形，可求得线段MN 的中点Q 的轨迹方程为2234x y +=，由平面向量加法的平行四边形法则可得出2PM PN PQ +=，求得PQ 的取值范围，进而可求得PM PN +的取值范围. 【详解】由1MN =，可知OMN 为等边三角形，设Q 为MN 的中点，且3sin 602OQ OM ==Q 的轨迹为圆2234x y +=，又()3,4P ，所以，33PO PQ PO -≤≤+，即3355PQ ≤≤+. 由平面向量加法的平行四边形法则可得2PM PN PQ +=，因此2103,103PM PN PQ ⎡+=∈+⎣.故选：B.【点睛】本题考查平面向量模长的取值范围的计算，考查了圆外一点到圆上一点距离的取值范围的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.5．C解析：C【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出22OB x y d =+=,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 取得最小值21-,O 在BM 的延长线上时,OB 取得最大值21+．故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,()()2222222ax cy a c x y x y +≤++=+,取等号条件：ay cx =,令22OB x y d =+=,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得2121d -≤≤+．故选:C【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.6．B解析：B【分析】根据已知找到相似三角形，用向量AB 、AD 线性表示向量AM .【详解】如图，平行四边形ABCD 中，3DE CE =，ABM EDM ，3322DE DC AB ∴==，()22223323555255AM ME AE AD DE AD AB AB AD ⎛⎫===+=+=+ ⎪⎝⎭. 32λμ= 故选：B【点睛】此题考查平面向量的线性运算，属于中档题.7．C解析：C【分析】由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos 62b a b t a a π⋅=-=-时，()g t 取得最小值1，变形可得22sin 16b π=，从而可求出b【详解】解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，因为2222224()44(cos1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<，所以()g t 恒大于零，所以当232cos 622b b a b t a a a π⋅=-=-=-时，()g t 取得最小值1，所以2223332122b b b g a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得2114b =，所以2b =，故选：C【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题8．C解析：C【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可.【详解】以点A 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系(0,0),(2,1),(1,2)A E F(2,1),(1,2)AE AF ∴==21124AE AF ∴⋅=⨯+⨯=故选：C【点睛】本题主要考查了求平面向量的数量积，属于中档题.9．D解析：D【分析】利用向量的坐标运算得到|2|a b -用θ的三角函数表示化简求最值．【详解】解：向量()a cos sin θθ=，，向量()31b =-，，则2a b -=（2cosθ32sinθ+1），所以|2|a b -2＝（2cosθ3-2+（2sinθ+1）2＝8﹣3cosθ+4sinθ＝8﹣8sin（3πθ-），所以|2|a b -2的最大值，最小值分别是：16，0；所以|2|a b -的最大值，最小值分别是4，0；故选：D ．【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．10．A解析：A【解析】设客船在静水中的速度大小为 /v km h 静，水流速度为 v 水，则2/v km h =水，则船实际航行的速度v v v =+静水，60.160t h =，由题意得100.1AB v ≤=．把船在静水中的速度正交分解为x y v v v 静=+， ∴0.660.1y v ==，在Rt ABC 中，221060.8BC =-=．． ∵80.1x x BCv v v v +=+==水水，∴826x v =-= ∴2262x yv v v 静=+=设v v 静水＜，＞＝θ，则tan 1yxv v θ==，∴2cos 2θ=．此时222272242410102v v v v v v v +=+⋅+=+⨯+=≤静水静静水水＝，满足条件，故选A.11．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较．【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+．同理可得2222()bc a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ．故选：C ．【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．12．C解析：C【分析】不妨设(2,0),(0,2)a b ==，设(,),(,)c m n d x y ==，则由()()0c a c b -⋅-=求出点(,)a b 满足的关系（点(,)C a b 在一个圆上），而2d c -=表示点(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆上，d 表示该圆上的点到原点的距离，由几何意义可得解．【详解】∵2a b ==，0a b ⋅=，∴不妨设(2,0),(0,2)a OA b OB ====，如图，设(,)c OC m n ==，(,)d OD x y ==，则()()(2,)(,2)(2)(2)0c a c b m n m n m m n n -⋅-=-⋅-=-+-=，即22(1)(1)2m n -+-=，∴点(,)C m n 在以(1,1)M 为圆心，2为半径的圆M 上，又2d c -=，∴(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆C 上，则2d OC ≤+，当且仅当D 在OC 延长线上时等号成立，又OC 的最大值是圆M 的直径22， ∴d 最大值为222+．故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，解题关键是引入坐标表示向量，用几何意义表示向量，求解结论．二、填空题13．①④【分析】根据为定值求出再对题目中的命题分析判断正误即可【详解】解：对于①由为定值所以解得；由题意知时单调递减所以单调递增即越大越费力越小越省力；①正确对于②由题意知的取值范围是所以②错误对于③当解析：①④. 【分析】根据12G F F =+为定值，求出()22121cos GF θ=+，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【详解】解：对于①，由12G F F =+为定值，所以()2222121212cos 21cos G F F F F F θθ=++⨯⨯=+，解得(22121cos GF θ=+；由题意知()0,θπ∈时，cos y θ=单调递减，所以21F 单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确.对于②，由题意知，θ的取值范围是()0,π，所以②错误. 对于③，当2πθ=时，2212GF =，所以12F G =，③错误. 对于④，当23πθ=时，221F G =，所以1F G =，④正确.综上知，正确结论的序号是①④. 故答案为：①④. 【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题14．1【解析】设∵D 为BC 中点所以可以化为3x=λ（）+（3-3λ）化简为（3x-λ）=（3-2λ）只有3x-λ=3-2λ=0时（3x-λ）=（3-2λ）才成立所以λ=x=所以则M 为AB 的中点故答案为1解析：1 【解析】设 AM AB λ=，∵D 为BC 中点，所以12AD AB AC （）=+,() 3233AM AD AC λλ=+- 可以化为3x AB =λ（AB AC +）+（3-3λ）AC ，化简为（3x-λ）AB =（3-2λ）AC ，只有3x-λ=3-2λ=0时，（3x-λ）AB =（3-2λ）AC 才成立，所以λ=32，x=12所以12AM AB =，则M 为AB 的中点故答案为1点睛：本题考查向量的基本定理基本定理及其意义，考查向量加法的三角形法则，考查数形结合思想，直线AB 上的点M 可设成 AM AB λ=，D 为BC 中点可得出12AD AB AC （）=+，代入已知条件整理可得.15．【分析】由题意可得与夹角为先求得则再利用平面向量数量积的运算法则求解即可【详解】单位向量绕起点逆时针旋转再把模扩大为原来的3倍得到向量所以与夹角为因为所以所以故答案为【点睛】本题主要考查平面向量几何解析：116-【分析】由题意可得3OB =，OA 与OB 夹角为120︒，先求得1(2)3OC OA AC OA OB =+=+，则1(2)()3OC BA OA OB OA OB ⋅=+⋅-，再利用平面向量数量积的运算法则求解即可. 【详解】单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ，所以3OB =，OA 与OB 夹角为120︒，因为12AC CB =，所以111()(2)333OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+，所以()2211(2)()233OC BA OA OB OA OB OA OB OA OB ⋅=+⋅-=--⋅ 11291332⎡⎤⎛⎫=--⨯⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦116=-，故答案为116-. 【点睛】本题主要考查平面向量几何运算法则以及平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）．16．【解析】由得设=n 所以+n=+n()=(1-n)=m 由n=得m=1-n= 解析：311【解析】由13AN NC =,得14AN AC =. 设BP =n BN ,所以AP AB BP AB =+=+n BN =AB +n (AN AB -)=(1-n )14AB nAC +=m 211AB AC +. 由14n=211,得m=1-n=311. 17．【分析】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示由已知条件得出点坐标圆M 的方程设由得出再设（为参数）代入中根据三角函数的值域可求得最大值【详解】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示因为在解析：116【分析】以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，由已知条件得出点坐标，圆M 的方程，设(),P x y ，由AP AB AD λμ=+，得出134y x λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再设3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），代入λμ+中，根据三角函数的值域，可求得最大值. 【详解】以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，因为在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，所以圆M 的半径为3+4512r -==，所以()0,0B ，()0,3A ，()4,0C ，()4,3D，()3,1M ，圆M 的方程为()()22311x y -+-=，设(),P x y ，又AP AB AD λμ=+，所以()()(),30,34,0x y λμ-=-+，解得134y x λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又点P 是圆M 上的点，所以3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），所以()1sin 3cos 517sin 1+1+34312124+y x θθβθλμ+=+--+=-=，其中3tan 4β=，所以，当()sin 1βθ-=时，λμ+取得最大值116，故答案为：116.【点睛】本题考查向量的线性表示，动点的轨迹中的最值问题，属于中档题.18．【分析】根据平面向量的数量积运算求得的值再利用中线的性质表示出由此求得计算当的最小时的值即可【详解】解：连接如图所示：由等腰三角形中知所以∵是的中线∴同理可得∴又∴故当时有最小值此时故答案为：【点睛解析：47【分析】根据平面向量的数量积运算求得CA CB 的值，再利用中线的性质表示出CM 、CN ，由此求得MN ，计算当||MN 的最小时x y +的值即可．【详解】解：连接CM ，CN ，如图所示：由等腰三角形中，1AC BC ==，3AB =120ACB ∠=︒，所以1=2CA CB ⋅-.∵CM 是CEF ∆的中线，∴()()1122CM CE CF xCA yCB =+=+. 同理可得()1=2CN CA CB +. ∴()()111122MN CN CM x CA y CB =-=-+-， ()()()()222111111114224MN x x y y ⎛⎫=-+--⨯-+- ⎪⎝⎭，又41x y +=，∴222131424MN y y =-+，(),0,1x y ∈. 故当17y =时，2MN 有最小值，此时3147x y =-=. 故答案为：47. 【点睛】本题考查了平面向量数量积公式及其运算性质问题，也考查了二次函数求最值的应用问题，属于中档题．19．①②④【分析】射线与线段的公共点记为根据平面向量基本定理可得到由在阴影区域内可得实从而且得出结论【详解】解：设在阴影区域内则射线与线段有公共点记为则存在实数使得且存在实数使得从而且又由于故对于①中解解析：①②④ 【分析】射线OM 与线段AB 的公共点记为N ，根据平面向量基本定理，可得到(1)ON tOA t OB =+-，由M 在阴影区域内可得实1r ≥，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥得出结论【详解】解：设M 在阴影区域内，则射线OM 与线段AB 有公共点，记为N ，则存在实数(0,1]t ∈，使得(1)ON tOA t OB =+-，且存在实数1r ≥，使得OM rON =，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥．又由于01t ≤≤，故(1)0r t -≥．对于①中1,(1)2rt r t =-=，解得313,r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故①满足条件．对于②中31,(1)43rt r t =-=，解得139,1213r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故②满足条件，对于③31,(15)4rt r t =-=，解得19,152019r t ==，不满足1r ≥，故③不满足条件，对于④,(189)49rt r t =-=，解得,4133r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故④满足条件．故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，向量数乘的运算及其几何意义，属于中档题．20．【分析】设的重心为点可知与关于点对称利用重心的向量性质可求得实数的值【详解】设的重心为点则由于和的面积相等则与关于点对称则解得故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算涉及三角形重心向解析：23【分析】设ABC ∆的重心为点G ，可知ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称，利用重心的向量性质可求得实数λ的值. 【详解】设ABC ∆的重心为点G ，则3AB AC AG +=，()13AA AB AC AG λλ∴=+=，由于ABC ∆和111A B C ∆的面积相等，则ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称，则12AA AG =，32λ∴=，解得23λ=. 故答案为：23. 【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算，涉及三角形重心向量性质的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）2AB b a =-，12CE a b =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出2CB b =，利用AB CB CA =-与12CE CA AB =+化简可得答案；（2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ，求出,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得0AD CE ⋅=，进而可得答案.【详解】（1）∵CA a =，CD b =，点D 是CB 的中点， ∴2CB b =，∴2AB CB CA b a =-=-，∵()1112222CE CA AE a AB a b a a b =+=+=+-=+. （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ，∴B 点坐标为(),0a ，另设点E 坐标为(),x y ，∵点D 是CB 的中点，∴点D 坐标为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，又∵2AE EB =，∴()(),2,x y a a x y -=--，∴23a x =，3ay =，所以,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()20233a a aAD CE a ⋅=⨯+-⨯=， ∴AD CE ⊥.【点睛】方法点睛：平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用． 22．（1）2C 3π=；（2）(323，.【分析】（1）根据向量m n ⊥得到22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++=，再由正弦定理将边化为角的表达式，结合余弦定理求得角C 的值．（2）利用正弦定理求的△ABC 的外接圆半径，将2a b +表示成A 与B 的三角函数式，利用辅助角公式化为角A 的函数表达式；再由角A 的取值范围求得2a b +的范围．【详解】（1）∵m n ⊥ ∴0m n ⋅=∴22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++= ∴222c a b ab =++ ∴1cos 2C =- 又()0,C π∈ . ∴23C π=.（2）∵23C π=，c = ∴△ABC 外接圆直径2R=2∴24sin 2sin a b A B +=+4sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭4sin sin A A A =+-3sin A A =6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴1sin ,162A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2a b + 的取值范围是 .【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，正弦定理、余弦定理的综合应用，辅助角公式化简三角函数表达式，知识点多，较为综合，属于中档题． 23．（1）12；（2）4π．【分析】（1）求出向量2a b -与a b +的坐标，然后由模的坐标运算列出方程可求得x ；（2）求出向量2a b -与a b +的坐标，由向量夹角的坐标运算计算．【详解】（1）因为()1,2a =，(),1b x =，所以()22,3a b x -=-，()1,3a b x +=+. 因为|2|||a b a b -=+，=解得12x =. （2）当2x =时，()20,3a b -=，()3,3a b +=，所以()()203339a b a b -⋅+=⨯+⨯=，23a b -=，32a b +=.设2a b -与a b +的夹角为θ.则(2)()cos |2|||332a b a b a b a b θ-⋅+===-⋅+⋅. 又[]0,θπ∈，所以4πθ=，即2a b -与a b +的夹角为4π. 【点睛】本题考查向量模的坐标运算，考查向量夹角的坐标运算，掌握向量的坐标运算是解题基础．24．（1）16；（2）32．【分析】（1）先转化得到13CF AB =-，12EC AD =，再表示出1132EF AB AD =-+，求出λ13=-，μ12=，最后求λ+μ的值；（2）先得到12AE AB AD =+和0AB AD ⋅=，再建立方程421λ-+=求解λ14=，最后求DF 的长.【详解】（1）∵点E 是BC 边上中点，点F 是CD 上靠近C 的三等分点，∴1133CF DC AB =-=-，1122EC BC AD ==， ∴1132EF EC CF AB AD =+=-+， ∴λ13=-，μ12=，故λ+μ111326=-+=. （2）设CF =λCD ，则BF BC CF AD =+=-λAB ，又12=+=+AE AB BE AB AD ，AB AD ⋅=0， ∴AE BF ⋅=（12AB AD +）•（AD -λAB ）＝﹣λAB 2212AD +=-4λ+2＝1，故λ14=， ∴DF ＝（1﹣λ）×232=．【点睛】本题考查利用向量的运算求参数，是基础题25．（1）(2,4)或(2,4)--；（2）π.【分析】（1）根据共线向量的坐标关系运算即可求解；（2）由向量垂直及数量积的运算性质可得52a b ⋅=-，再利用夹角公式计算即可. 【详解】（1）设(,)c x y =，||25c =且//c a ， 222020x y x y ⎧+=∴⎨-=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩， (2,4)c ∴=或(2,4)c =--；（2）由已知得(2)(2),(2)(2)0a b a b a b a b +⊥-∴+⋅-= ，即2252320,253204a ab b a b +⋅-=∴⨯+⋅-⨯=，整理得52a b ⋅=-，cos 1||||a b a b θ⋅∴==-，又[0,π]θ∈，πθ∴=.【点睛】本题主要考查了共线向量的坐标运算，数量积的运算，夹角公式，属于中档题. 26．（1）2k =-；（2）2k ≠-．【分析】（1）根据向量垂直，其数量积等于0，利用向量数量积公式得到对应的等量关系式，求得结果；（2）平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，其等价结果为向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，根据坐标关系得到结果.【详解】（1）若()a a b ⊥+，则有()0a a b ⋅+=，即20a a b +⋅=，又因为(1,2)a =-，(1,)b k =，所以222[(1)2](1)120a a b k +⋅=-++-⋅+=，即5120k -+=，解得2k =-；（2）对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，所以向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，所以121k -⋅≠⋅，即2k ≠-，所以实数k 的取值范围是2k ≠-.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，平面向量基本定理，一组向量可以作为基底的条件，属于基础题目.。

高中数学一轮复习随堂训练第2讲《向量的坐标运算》人教版必修4

第2讲向量的坐标运算随堂演练巩固1.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b等于 ( )A.(7,3)B.(7,7)C.(1,7)D.(1,3)【答案】 A【解析】a-2b=(3,5)-(-4,2)=(7,3).2.已知向量a=(1,3),b=(2,1),若(a+2b)与(3ab)平行,则的值等于( )A.-6B.6C.2D.-2【答案】 B【解析】a+2b=(5,5),3ab.∵(a+2b)∥(3ab),∴解得.3.已知两点A(4,1)、B(7,-3),则与向量同向的单位向量是( )A. B.C. D.【答案】 A【解析】∵=(3,-4),| |∴与同向的单位向量是.4.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且则顶点D的坐标为( )A. B. C.(3,2) D.(1,3)【答案】 A【解析】设D又∴∴即点D坐标为.课后作业夯基1.ee是平面内一组基底,那么( )A.若存在实数使ee0,则B.空间内任一向量a可以表示为aee为实数C.对实数ee不一定在该平面内D.对平面内任一向量a,使aee的实数有无数对【答案】 A【解析】对于A,∵ee不共线,故正确;对于B,空间向量a应改为该平面内的向量才可以;C中ee一定在该平面内;D中,根据平面向量基本定理应是唯一一对.2.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),则向量a与b ( )A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且反向D.平行且同向【答案】 C【解析】∴a∥b.又∵b=-2a,∴a、b平行且反向.3.设向量a=(1,-3),b=(-2,4).若表示向量4a、3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c为…( )A.(1,-1)B.(-1,1)C.(-4,6)D.(4,-6)【答案】 D【解析】依题可知4a+(3b-2a)+c=0,所以c=2a-4a-3b=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).4.已知向量a=(-3,1),b=(1,-2),若(-2a+b)∥(a+k b),则实数k的值是( )A.-17B.C. D.【答案】 D【解析】易知a+k b为非零向量,故由题意得-2a+ba+k b),∴.∴.5.对于非零向量a和b“a∥b”是“”的( )A.必要不充分条件B.充分必要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B【解析】由向量平行的坐标表示可得a∥b故选B.6.设=(1,-2), =(a,-1), =(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A、B、C三点共线,则的最小值是A.2B.4C.6D.8【答案】 D【解析】=-=(a-1,1), =-=(-b-1,2).∵A、B、C三点共线,∴∥.∴.∴2a+b=1.∴当且仅当时取等号.∴的最小值是8.7.已知向量ab=(0,-1),c.若a-2b与c共线,则k= .【答案】 1【解析】a-2b因为a-2b与c共线,所以即k=1.8.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m= .【答案】 -1【解析】a+b=(1,m-1),由(a+b)∥c得1)=0,∴m=-1.9.设向量a=(1,0),b=(1,1),若向量a+b与向量c=(6,2)共线,则实数 .【答案】 2【解析】a+b∵a+b与向量c=(6,2)共线,∴∴.10.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC.已知A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为 .【答案】 (0,-2)【解析】设D点的坐标为(x,y),由题意知即(2,-2)=(x+2,y),所以x=0,y=-2,∴D(0,-2).11.若a,b为非零向量且a∥b R,且求证:a+b与ab为共线向量.【证明】设ab.∵a∥b,b0,a0,∴存在实数m,使得a=m b,即a.∴ab.同理ab∴ab)∥bab)∥b.而b0,∴ab)∥ab),即ab与ab为共线向量.12.a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,k a+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向? 【解】 k a+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).当k a+b与a-3b平行时,存在唯一实数使k a b a-3b).由(k-3.∴解得.当时,k a+b与a-3b平行,这时k a+b a ba-3b).∵∴k a+b与a-3b反向.13. 已知A(1,－2),B(2,1),C(3,2)和D(－2,3),试以、为一组基底表++【解】=(2－1,1+2)=(1,3),=(3－1,2+2)=(2,4), =(－3,5),=(－4,2), =(－5,1),∴++=(－3－4－5,5+2+1)=(－12,8).令(－12,8)=m+n,则有m(1,3)+n(2,4)=(－12,8),即(m+2n,3m+4n)=(－12,8).∴解得m=32,n=－22.∴++=32－22.14.已知A(1,1)、B(3,-1)、C(a,b).(1)若A、B、C三点共线,求a、b的关系式;(2)若求点C的坐标.【解】 (1)由已知得1),∵A、B、C三点共线,∴∥∴2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2.(2)∵.∴(a-1,b-1)=2(2,-2),∴解得∴点C的坐标为(5,-3).。

【优质文档】必修四《平面向量》全章练习题(带测试含答案)

∵ |A→D |＝ 2，
∴ |E→G|＝ |B→H |＝ 2.
又
|B→C
|＝
5，
∴
→ |HC
|＝
3.
又 E、 F 分别为腰 AB、 DC 的三等分点．
∴ G 为 DH 的三等分点，
∴
G→F
∥
Hห้องสมุดไป่ตู้C
且|G→F
|＝
1 3|
→ HC
|，
∴ |G→F |＝ 1，
∴
|E→F
|＝
→ |EG
|＋
→ |GF
|＝
2＋
2
鸡西市第十九中学高一数学组 3
鸡西市第十九中学高一数学组
答案
1． D 2.C 3.C 4.B 5.C 6.①③④ 7.菱形
8．解 (1) 与 a 的模相等的向量有 23 个．
(2)与 a 的长度相等且方向相反的向量有
→ OD
，
B→C
，
A→O
，
F→E.
(3)与
a 共线的向量有
→ EF
，B→C
，O→D
1＝
3.
11．解 (1) 向量 A→D， D→C，C→B ，A→B如图所示．
(2)由题意知 A→D＝ B→C，
∴ AD 綊 BC ，则四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ A→B＝ D→C，则 B 地相对于 A 地的位置向量为 “北偏东 60°， 6 千米 ”． 12．证明 (1) ∵AA→′＝ B→B′ ，
与 b 都是单位向量．其中能使 a∥ b 成立的是 ________． (填序号 )
7．
在四边形
ABCD
中，
→ AB
＝
D→C

(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(有答案解析)

一、选择题1．过点()3,1P 的直线l 与函数21()26x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则()OA OB OP +⋅=（）AB．C ．10D ．202．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为（2，﹣1），点N 的坐标满足111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则OM ON ⋅的最大值为（）A ．2B ．1C ．0D ．－13．已知函数()sin (0)2f x x a a π⎛⎫=>⎪⎝⎭，点A ，B 分别为()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB 为钝角三角形，则a 的取值范围为（） A ．10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B．0,(1,)3⎛⋃+∞ ⎝⎭C．3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．(1,)+∞4．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（） A ．199B ．4122-C ．111-D ．17115．已知平面向量a 与b 的夹角为23π，若(3,1)a =-，2213a b -=，则b （） A ．3B ． 4C ．3D ．26．已知1a =，2b=，则a b ab ++-的最大值等于（） A ．4B C ．D ．57．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则（） A ．11,3a c ==B ．21,3a c ==C ．12,3a c ==D ．22,3a c ==8．若2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,2]C ．22,222]-+D ．[222,2]-9．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，向量AB AC +与向量AD 共线，若10AC =，2BC =，0GA GB GC ++=，则AB CG=（）A ．3B ．5C ．2D ．10210．如图，已知点D 为ABC 的边BC 上一点，3BD DC =，*()∈n E n N 为AC 边的一列点，满足11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+，其中实数列{}n a 中，10,1n a a >=，，则{}n a 的通项公式为（）A ．1321n -⋅-B ．21n -C ．32n -D ．1231n -⋅-11．已知向量(6,4),(3,),(2,3)a b k c =-==-，若//a b ，则b 与c 的夹角的余弦值为（） A ．1213B ．1213-C ．45-D ．4512．设O 为ABC 内一点,已知2332OA OB OC AB BC CA ++=++,则::AOB BOC COA S S S ∆∆∆= （）A ．1:2:3B ．2:3:1C ．3:1:2D ．3:2:1二、填空题13．已知平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-，则a b -的最小值为________. 14．已知3a =，2b =，()()2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为_____． 15．如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =AD =4，CD =8，若7CE DE =-，3BF FC =，则AF ·BE =_____.16．如图，在ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若2BC CD =，且34AE AB AC λ=+，则λ=___________.17．已知(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在a 方向上的投影为_________.18．已知ABC 的三边长3AC =，4BC =，5AB =，P 为AB 边上任意一点，则()CP BA BC ⋅-的最大值为______________.19．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，圆M 为BCD △的内切圆，点P 为圆上任意一点，且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为________.20．在ABC △中，已知4CA =，3CP =23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点，则CP CA ⋅的值为_____.三、解答题21．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，左顶点为A ，若122F F =，椭圆的离心率为12e =．（1）求椭圆的标准方程．（2）若P 是椭圆上的任意一点，求1PF PA ⋅的取值范围． 22．已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=. （1）求a 与b 的夹角为θ；（2）求a b +；（3）若AB ＝a ，BC ＝b ，求△ABC 的面积． 23．已知向量()1,2a =-，()3,1b =-. （1）若()a b a λ+⊥，求实数λ的值；（2）若2c a b =-，2d a b =+，求向量c 与d 的夹角. 24．已知向量()cos ,sin m x x =-，()3,3n =，[]0,x π∈. （1）若m 与n 共线，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 25．已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.26．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足1cos cos sin sin 2b A C a B C b -=．（1）求B 的大小；（2）设1BA BC ⋅=-，D 为边AC 上的点，满足2AD DC =，求BD 的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】判断函数()f x 的图象关于点P 对称，得出过点()3,1P 的直线l 与函数()f x 的图象交于A ，B 两点时，得出A ，B 两点关于点P 对称，则有 2OA OB OP +=，再计算()OA OB OP +⋅的值．【详解】()52121263x f x x x -==+-- ，∴函数21()26x f x x -=-的图象关于点()3,1P 对称，∴过点()3,1P 的直线l 与函数()2126x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，且A ，B 两点关于点()3,1P 对称，∴ 2OA OB OP +=，则()()222223120OA OB OP OP +⋅==⨯+=．故选D ．【点睛】本题主要考查了函数的对称性，以及平面向量的数量积运算问题，是中档题．2．A解析：A 【分析】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y ，做出不等式组所表示的平面区域，做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移，结合图象可判断取得最大值时的位置．【详解】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的△ABC 阴影部分：做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移，到点A 时Z 最大，而由x+y=11x ⎧⎨=⎩可得A （1，0），此时Z max ＝2．故选：A ．【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(有答案解析)

一、选择题1．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的个数为（）①当0x =时，[]2,3y ∈②当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =③若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A ．1 B ．2C ．3D ．42．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（） A ．B ．C ．D ．3．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒4．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．325．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N是平面内两两互不相等的向量，121a a-=，且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（） A ．3B ．4C ．5D ．66．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（） A ．6B ．4C ．3D ．27．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（）A B ．1C ．2D ．8．已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)+==a b m b m ，且a 在b ，则实数m =（）A ．2±B ．2C ．5±D 9．已知两个非零向量a ，b 的夹角为23π，且=2a b -，则·ab 的取值范围是（） A ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．[)2,0-C ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．[)1,0-10．在直角梯形ABCD 中，0AD AB ⋅=，30B ∠=︒，AB =，2BC =，13BE BC =，则（）A ．1163AE AB AD =+ B ．1263AE AB AD =+ C ．5163AE AB AD =+ D ．5166AE AB AD =+ 11．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（） A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定12．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（）A ．56πB ．23π C ．3π D ．6π 二、填空题13．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b ==，2c =，0a b ⋅=，1c d -=，则2a b d ++的取值范围为______.14．已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，对于下列命题： ① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭；② A 、B③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =； ④ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是________（请写出所有真命题的序号）15．如图，在Rt ABC ∆中，2,60,90AB BAC B =∠=︒∠=︒，G 是ABC ∆的重心，则GB GC ⋅=__________．16．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.17．如图，设圆M 的半径为2，点C 是圆M 上的定点，A ，B 是圆M 上的两个动点，则CA CB ⋅的最小值是________.18．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.19．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.20．已知平面向量a ，b 满足3a b +=，3a b -=，则向量a 与b 夹角的取值范围是______.三、解答题21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ；（3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k . 22．已知向量a 与b 的夹角为3π，且1a =，2b =. （1）求a b +；（2）求向量a b +与向量a 的夹角的余弦值. 23．已知向量,a b 满足：16,()2a b a b a ==⋅-=,. （1）求向量a 与b 的夹角；（2）求2a b -.24．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1．M ，N 分别是BC ，DE 上的动点，且满足BM DN =．（1）若M ，N 分别是BC ，DE 的中点，求AM AN ⋅的值；（2）求AM AN ⋅的取值范围．25．已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.26．在ABC 中，D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，4DF FE =，设AB m =，BC n =. （1）用m ，n 表示AF ；（2）设G 是线段BC 上一点，且使//EG AF ，求CG CB的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③正确；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出②正确,利用三点共线解得④正确【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故①错当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ ()11153(2)32222OB OB AB OB OB OB OA OA OB =+-+=-+-=-+，故②对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故③对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴≤，1y ≥；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故④正确所以选项②③④正确. 故选：C 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.2．C解析：C 【解析】，，又，，则，故选3．B解析：B 【分析】首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之．【详解】由已知，1212e e ⋅=，所以(()1212)2e e e e +-+=32，|12e e +3，|122e e -+3, 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α，则312cos ,2333παα==∴=⋅.故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：·cos ,ab a b a b=,方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则121222221122cos x y x yθ=+⋅+.4．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =，∴225AB OA OB += ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示；则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =，即()(155,255m n =-，，求得45m =， ∴4525D ⎝⎭；则45254525OE OD λλ⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 45255,EA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭；∵34OE EA ⋅=， ∴2454525354⎫⎫⋅-=⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭，解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为))452511ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭，当34λ=时，5512ED ⎛== ⎝⎭；当14λ=时，353532ED ==⎝⎭．即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A.5．D解析：D 【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时121A A =，由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2，所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上，由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.6．C解析：C 【分析】根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，作出图形，如图所示：由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+，所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=.故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．B解析：B 【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值. 【详解】如下图所示：由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O ，()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P 为ABCD 的顶点时，2OP 取得最大值2，所以PE PF ⋅的最大值为1.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.8．A解析：A 【分析】根据2(1,2),(1,)+==a b m b m 可得0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合||cos a θ=，列出等式，即可解出答案. 【详解】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)a b m b m +==，22(0,)a a b b m =+-=，所以20,,22m m a a b ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，若向量,a b 的夹角为θ，则2225||(||cos )152m b a m a b θ=+⋅=⋅=，所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=，解得2m =±. 故选：A ．【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是||||cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos ||||a ba b θ⋅=⋅（此时a b ⋅往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是||a bb ⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;（4）求向量ma nb +的模（平方后需求a b ⋅）. 9．C解析：C 【分析】对=2a b -两边平方后，结合2·cos 3a b a b π=⋅进行化简可得：224a b b +⋅+=；由基本不等式可得222a b a b +⋅，于是推出403a b<⋅，再结合平面向量数量积即可得解．【详解】因为2a b -=，所以 2224a a b b -⋅+=，所以2222cos 43b b a a π-⋅+=，即224a a b b +⋅+=，由基本不等式的性质可知，222a ba b +⋅，403a b∴<⋅，所以212·cos ,0323a b a b a b π⎡⎫=⋅⋅=-⋅∈-⎪⎢⎣⎭．故选：C ．【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算，考查利用基本不等式求最值，难度一般.对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，然后结合平面向量数量积的运算公式求解即可．10．C解析：C 【分析】先根据题意得1AD =，CD =2AB DC =，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】由题意可求得1AD =，CD =所以2AB DC =，又13BE BC =，则()1133AE AB BE AB BC AB BA AD DC =+=+=+++ 1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.11．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较．【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+．同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ．故选：C ．【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．12．B解析：B 【分析】由//m n ，可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C . 【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-，且//m n ，()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=，整理得222c a b ab =++. 又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-.()20,,3C C ππ∈∴=.故选：B. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.二、填空题13．【分析】用几何意义求解不妨设则在圆心在原点半径为2的圆上设则在以为圆心半径为1的圆上运动后形成的轨迹是圆心在原点大圆半径为3小圆半径为1的圆环表示圆环内的点与定点的距离由图形可得最大值和最小值【详解解析：3⎡⎤⎣⎦【分析】用几何意义求解．不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则(,)C x y 在圆心在原点，半径为2的圆上，设(),d x y '='，则(,)D x y ''在以C 为圆心半径为1的圆上，C 运动后，D 形成的轨迹是圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环，2a b d ++表示圆环内的点D 与定点()2,1P --的距离，由图形可得最大值和最小值．【详解】令()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.设(),d x y '='，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---表示D 与点()2,1P --的距离，由图可知，故2a b d ++的取值范围为0,53⎡⎤+⎣⎦. 故答案为：0,53⎡⎤+⎣⎦【点睛】本题考查向量模的几何意义，考查模的最值，解题关键是设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，(),d x y '='，固定,a b 后得出了,C D 的轨迹，然后由模2a b d ++的几何意义得出最值．14．①③【分析】根据点的广义坐标分别为利用向量的运算公式分别计算①②③④得出结论【详解】点的广义坐标分别为对于①线段的中点设为M 根据=（）=中点的广义坐标为故①正确对于②∵（x2﹣x1）A 两点间的距离为解析：①③ 【分析】根据点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，利用向量的运算公式分别计算①②③④，得出结论.【详解】点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，对于①，线段A 、B 的中点设为M ，根据OM =12（OA OB +）=12112211()()22x x e y y e +++∴中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭,故①正确. 对于②，∵AB =（x 2﹣x 1）()1212e y y e +-，∴A 、B 12e ，故②不一定正确.对于③，向量OA 平行于向量OB ，则t OA OB =，即（11,x y ）=t ()22,x y ,1221x y x y ∴=，故③正确.对于④，向量OA 垂直于向量OB ，则OA OB =0，221211221121220x x e x y x y e e y y e ∴+++=（），故④不一定正确.故答案为①③. 【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【解析】分析：建立平面直角坐标系结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果详解：建立如图所示的平面直角坐标系则：由中心坐标公式可得：即据此有：结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：点睛：求解析：209-【解析】分析：建立平面直角坐标系，结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则：()0,2A ，()0,0B ，()C ，由中心坐标公式可得：2003G ⎫++⎪⎪⎝⎭，即23G ⎫⎪⎭，据此有：233GB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，4233GC ⎛⎫=-⎪⎭，结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：222203339GB GC ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．16．【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角解析：494【分析】由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【详解】解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=，即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形，由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-，解得||2DA =，ABC ∆的边长为4cos3023︒=以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，可得B(3,3),C(3,3),D(2,0)-，由||1AP =，可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由PM MC =，可得M 为PC 中点，即有3cos 3sin (2M θθ++，则2223cos3sin||3=3+2BMθθ⎛⎫++⎛⎫-+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝22(3cos)(33sin)376cos63sin4θθθθ-+-+=+=3712sin64πθ⎛⎫+-⎪⎝⎭=，当sin16πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，即23πθ=时，取得最大值，且为494．故答案为：494．【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．【分析】延长BC作圆M的切线设切点为A1切线与BD的交点D结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时在上的投影最小设将结果表示为关于的二次函数求出最值即可【详解】如图延长BC作圆M的切线设切点为A1切解析：2-【分析】延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小，设CP x=，将结果表示为关于x的二次函数，求出最值即可.【详解】如图，延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，由数量积的几何意义，CA CB⋅等于CA在CB上的投影与CB之积，当点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小；设BC中点P，连MP，MA1，则四边形MPDA1为矩形；设CP=x，则CD=2-x，CB=2x，CA CB⋅=()()222224212x x x x x--⋅=-=--，[]02x∈，，所以当1x =时，CA CB ⋅最小，最小值为2-，故答案为：2-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.18．【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数量积运算解析：77【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN ,结合二次函数性质即可求得最小值. 【详解】根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=- 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则()()1122AM AE AF AB AC λμ=+=+ ()12AN AB AC =+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭因为(),0,1λμ∈且41λμ+=10,4μ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭所以当17μ=时, 2MN 取得最小值17因而minMN==故答案为: 7【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.19．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析：53【分析】将已知条件转化为1539AO AB AC =+，结合BD DC λ=，得到111AD AB AC λλλ=+++，设AO k AD =，列出关于,k λ的方程组，由此求得λ. 【详解】由于305OA OB OC =++，所以()()350OA AB AO AC AO +-+-=，所以935AO AB AC =+，即1539AO AB AC =+. 因为BD DC λ=，即()AD AB AC AD λ-=-, 化简得111AD AB AC λλλ=+++，设11k k AO k AD AB AC λλλ==+++，所以1 13519kkλλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得53λ=.故答案为：53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20．【分析】由已知得由得由不等式可知再由得最后由可得解【详解】由得即由得即由得由得所以故答案为：【点睛】本题考查了向量及其模的运算考查了向量的夹角公式和基本不等式考查了计算能力属于中档题解析：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由已知，得22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①，由+①②，得226a b+=，由不等式可知3a b ≤，再由-①②，得32a b⋅=，最后由cos,a ba ba b⋅=可得解.【详解】由3a b+=，3a b-=，得()()2239baab⎧⎪⎨⎪-==+⎩，即22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①由+①②，得226a b+=，即226a b+=由-①②，得32a b⋅=由222a b a b +≥，得3a b ≤1cos ,2a b a b a b⋅=≥所以，0,3a b π≤≤.故答案为：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了向量及其模的运算，考查了向量的夹角公式和基本不等式，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）6；（2）58,99m n ==；（3）1118k =-.【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；（2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，a mb nc =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==；（3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，解得1118k =-. 【点睛】结论点睛：若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.22．（1；（2. 【分析】（1）由已知利用平面向量数量积公式可得1a b ⋅=，平方后根据向量数量积的运算可求||a b +的值．（2）结合（1），根据已知条件，由向量夹角的余弦公式即可求解．【详解】（1）向量a 与b 的夹角为3π，且||1a =，||2b =， ∴||||cos a b a b a ⋅=<，112cos12132b π>=⨯⨯=⨯⨯=．222||()2142a b a b a b a b ∴+=+=++⋅=++=．（2）设向量a b +与向量a 的夹角θ，22()||27cos ||||||||||||71a b a a a b a a b a b a a b a a b a θ+⋅+⋅+⋅∴=====+⋅+⋅+⋅⨯．【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，属于中档题．23．（1）π3；（2）【分析】（1）设向量a 与b 的夹角θ，利用向量的数量积公式计算()2a b a ⋅-=，可得向量的夹角；（2）利用向量的模长公式：2a a =，代入计算可得. 【详解】（1）设向量a 与b 的夹角θ， ()16cos 12a b a a b θ⋅-=⋅-=-=，解得1cos 2θ=，又[]0πθ∈，，π3θ∴= （2）由向量的模长公式可得：()222a b a b -=-==. 【点睛】本题主要考查向量数量积公式的应用，向量模长的计算，求向量的模长需要熟记公式2a a =，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于基础题.24．（1）118；（2）31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）首先以点A 为坐标原点建立平面直角坐标系．求AM ，AN 的坐标，再求数量积；（2）首先利用BM DN =，设BM DN t ==，表示向量AM ，AN ，利用数量积的坐标表示转化为二次函数求取值范围. 【详解】（1）如图，以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系．因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，且M ，N 分别是BC ，DE 的中点，所以53,44M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，132N ⎛ ⎝，所以5311848AM AN ⋅=+=．（2）设BM DN t ==，则[]0,1t ∈．所以31,22t M ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，(13N t -．所以()()223113*********t AM AN t t t t t ⎛⎫⋅=+⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭．当0t =时，AM AN ⋅取得最小值1；当1t =时，AM AN ⋅取得最大值32．所以AM AN ⋅的取值范围为31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查数量积的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型.25．(1)()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)()2g x sin x =, 对称轴为,42k x k Z ππ=+∈;(3)112m ≤<,,1223x x π+=. 【分析】 (1) 根据向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭和函数()f x u v =⋅，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，()26πω⎛⎫=-⎪⎝⎭f x sin x ，再根据函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π求解. (2)依据左加右减，将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后，得到函数()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z 求其对称轴. (3)作出函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象，根据函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点求解.再令2,62x k k Z πππ-=+∈，求对称轴. 【详解】(1)()()21122ωωωωωω=-=-f x sin x sin x x sin x xcos x ，1222226πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭sin x cos x sin x ∵函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π， ∴22T π=， ∴2(0)2ππωω=>， ∴ω=1，故函数f (x )的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭; (2)依题意，()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z ，则,42ππ=+∈k x k Z ， ∴函数g (x )的对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ;(3)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的草图如下，依题意，函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，则112m ≤<，令2,62x k k Z πππ-=+∈，则,32k x k Z ππ=+∈， ∴函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称轴为3x π=，则1223x x π+=. 【点睛】本题主要考查了平面向量和三角函数，三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.26．（1）1135AF m n =+（2）310CG CB = 【分析】（1）依题意可得23AD AB =、14AE AC =，再根据DE AE AD =-，AF AD DF =+计算可得；（2）设存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<，由因为//EG AF ，所以存在实数μ，使AF EG μ=，再根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：（1）因为D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，所以23AD AB =.因为E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，所以14AE AC =，所以1243DE AE AD AC AB =-=-. 因为4DF FE =，所以4185515DF DE AC AB ==-，则2183515AF AD DF AB AC AB =+=+- 2111()15535AB AB BC AB BC =++=+. 又AB m =，BC n =. 所以11113535AF AB BC m n =+=+. （2）因为G 是线段BC 上一点，所以存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<，则33()44EG EC CG AC CB AB BC BC λλ=+=+=+- 3333()()4444AB BC m n λλ=+-=+- 因为//EG AF ，所以存在实数μ，使AF EG μ=，即1133[()]3544m n m n μλ+=+-，整理得31,4331(),45μμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得310λ=，故310CGCB =. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用，属于中档题.。

新课标人教版高一数学必修4第二章平面向量练习题及答案全套

新课标⼈教版⾼⼀数学必修4第⼆章平⾯向量练习题及答案全套第⼆章平⾯向量 21 平⾯向量的实际背景及基本概念 1下列各量中不是向量的是com C位移 D密度 2下列说法中错误的是 A零向量是没有⽅向的 B零向量的长度为0 C零向量与任⼀向量平⾏ D零向量的⽅向是任意的 3把平⾯上⼀切单位向量的始点放在同⼀点那么这些向量的终点所构成的图形是 A⼀条线段B⼀段圆弧C圆上⼀群孤⽴点 D⼀个单位圆 4下列命题①⽅向不同的两个向量不可能是共线向量②长度相等⽅向相同的向量是相等向量③平⾏且模相等的两个向量是相等向量④若a≠b则a≠b 其中正确命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．45．下列命题中正确的是若则 B 若则 C 若则D 若则 6在△ABC中ABACDE分别是ABAC的中点则 A 与共线 B 与共线C 与相等D 与相等7已知⾮零向量a‖b若⾮零向量c‖a则c与b必定8已知ab是两⾮零向量且a与b不共线若⾮零向量c与a共线则c与b必定9已知1 2若∠BAC60°则 10在四边形ABCD中且则四边形ABCD是22 平⾯向量的线性运算 com 向量的加法运算及其⼏何意义 1．设分别是与向的单位向量则下列结论中正确的是 A． B． C． D． 2在平⾏四边形中ABCD则⽤ab表⽰的是 A．a＋a B．bb C．0 D．a＋b 3若则 A⼀定可以构成⼀个三⾓形 B⼀定不可能构成⼀个三⾓形 C都是⾮零向量时能构成⼀个三⾓形 D都是⾮零向量时也可能⽆法构成⼀个三⾓形 4⼀船从某河的⼀岸驶向另⼀岸船速为⽔速为已知船可垂直到达对岸则 AB C D 5若⾮零向量满⾜则comＤ 6⼀艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的⽅向⾏驶船的实际航⾏的速度的⼤⼩为求⽔流的速度 7⼀艘船距对岸以的速度向垂直于对岸的⽅向⾏驶到达对岸时船的实际航程为8km求河⽔的流速 8⼀艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的⽅向⾏驶同时河⽔的流速为船的实际航⾏的速度的⼤⼩为⽅向与⽔流间的夹⾓是求和 9⼀艘船以5kmh的速度在⾏驶同时河⽔的流速为2kmh则船的实际航⾏速度⼤⼩最⼤是kmh最⼩是kmh com 向量的减法运算及其⼏何意义 1在△ABC中 a b则等于 Aab B-a-bCa-b Db-a 2下列等式①a0a ②baab ③--aa ④a-a0 ⑤a-ba-b正确的个数是A2 B3 C4D5 3下列等式中⼀定能成⽴的是 A B -C D - 4化简-的结果等于 A B C D 5如图在四边形ABCD中根据图⽰填空 ab bc c-d abc-d 6⼀艘船从A点出发以2kmh的速度向垂直于对岸的⽅向⾏驶⽽船实际⾏驶速度的⼤⼩为4 kmh则河⽔的流速的⼤⼩为 7若ab共线且ab＜a-b成⽴则a与b的关系为8在正六边形ABCDEF中 m n则 9已知ab是⾮零向量则a-bab时应满⾜条件 10在五边形ABCDE中设a b c d⽤abcd表⽰ com 向量数乘运算及其⼏何意义 1．下列命题中正确的是 A． B．C． D． 2．下列命题正确的是 A．单位向量都相等 B．若与是共线向量与是共线向量则与是共线向量C．则 D．若与是单位向量则 3 已知向量2若向量与共线则下列关系⼀定成⽴是 B C‖ D‖或 4对于向量和实数λ下列命题中真命题是 A若则或 B若则或 C若则或 D若则 5下列命题中正确的命题是 A且 B或 C若则 D若与不平⾏则 6已知是平⾏四边形O为平⾯上任意⼀点设则有 A B C D 7向量与都不是零向量则下列说法中不正确的是 A向量与同向则向量与的⽅向相同 B向量与同向则向量与的⽅向相同C向量与反向且则向量与同向D向量与反向且则向量与同向8若ab为⾮零向量且abab则有 Aa‖b且ab⽅向相同BabCa－bD以上都不对 9在四边形ABCD中－－等于 AB C D 23平⾯向量的基本定理及坐标表⽰ com 平⾯向量基本定理 1若ABCD是正⽅形E是DC边的中点且则等于 AB C D 2 若O为平⾏四边形ABCD的中⼼ 4e1 6e2则3e2－2e1等于 A B C D 3 已知的三个顶点及平⾯内⼀点满⾜若实数满则的值为 A2 B C3 D6 4 在中若点满⾜则 A BC D 5 在平⾏四边形ABCD中M为BC的中点则 A B CD 6如图在平⾏四边形ABCD中EF分别是BCCD的中点 DE与AF相交于点H 设等于_____ 7已知为的边的中点所在平⾯内有⼀点满⾜设则的值为______ 8在平⾏四边形ABCD中E和F分别是边CD和BC的中点或其中R 则 _________ 9．在ABCD中设对⾓线试⽤表⽰10．设是两个不共线向量已知2k 3 2 若三点A B D共线求k的值 comcom 平⾯向量的正交分解和坐标表⽰及运算 1 若则A11 B－1－1 C37 D-3-7 2下列各组向量中不能作为平⾯内所有的向量的基底的⼀组是ＡＢＣＤ 3已知平⾯向量则向量ＡＢＣＤ 4若向量与向量相等则 Ax1y3 Bx3y1 Cx1y -5 Dx5y -1 5点B的坐标为12的坐标为mn则点A的坐标为 A B C D 6在平⾏四边形ABCD中AC为⼀条对⾓线若则 A．－2－4B．－3－5C．35D．24 7已知向量则_____________________ 8已知向量则的坐标是 9已知点O是平⾏四边形ABCD的对⾓线交点25-23则坐标为坐标为的坐标为10．已知x1y1x2y2线段AB的中点为C则的坐标为 com 平⾯向量共线的坐标表⽰ 1 已知平⾯向量且则＝ A B C D 2．已知向量且与共线则等于 A B 9 C D1 3．已知｜｜｜｜若与反向则等于 A-410 B4-10 C -1D 1 4．平⾏四边形ABCD的三个顶点为A-21B-13C34则点D的坐标是A21 B22 C 12 D23 5．与向量不平⾏的向量是 A B CD 6已知ab是不共线的向量＝λa＋b＝a＋µb λµ∈R 那么ABC三点时λµ满⾜的条件是 A．λ＋µ＝2 B．λ－µ＝1 C．λµ＝－1 D．λµ＝1 7与向量同⽅向的单位向量是_______8设向量若向量与向量共线则9．已知A-1-2B48C5x如果ABC三点共线则x的值为 10．已知向量向量与平⾏｜｜4求向量的坐标 24平⾯向量的数量积 com量的数量积的物理背景及其含义 1下列叙述不正确的是 A向量的数量积满⾜交换律 B向量的数量积满⾜分配律 C向量的数量积满⾜结合律 Da·b是⼀个实数 2已知a6b4a与b的夹⾓为６０°则a2b·a-3b等于 A72 B-72 C36 D-36 3 已知向量121则向量与的夹⾓⼤⼩为 A B CD 4已知a1b且a-b与a垂直则a与b的夹⾓是A60°B30°C135°D４５° 5若平⾯四边形ABCD满⾜则该四边形⼀定是A．正⽅形 B．矩形 C．菱形 D．直⾓梯形 6若向量则与⼀定满⾜ A与的夹⾓等于B C D 7下列式⼦中其中的abc为平⾯向量正确的是A．B．ab·c a·bcC．D． 8设a3b5且aλb与a－λb垂直则λ＝ 9已知ab2i-8ja-b-8i16j其中ij是直⾓坐标系中x轴y轴正⽅向上的单位向量那么a·b 10已知a⊥bc与ab的夹⾓均为60°且a1b2c3则a2b-c２＝______ 11已知a1b1若a‖b求a·b2若ab的夹⾓为６０°求。

高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)

a an t 1平面向量练习题一、选择题1、若向量= (1,1), = (1,－1), =(－1,2),则等于()abc cA 、+B 、C 、D 、+ 21-a 23b 21a 23-b 23a 21-b23-a 21b2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与共线的单位向量是（）AB A 、B 、)1010,10103(-=e 1010,10103()1010,10103(--=或e C 、D 、)2,6(-=e )2,6()2,6(或-=e 3、已知垂直时k 值为（）b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与A 、17B 、18C 、19D 、204、已知向量=(2，1)， =(1，7)， =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么的最OP OA OB XB XA ⋅小值是 ( )A 、-16B 、-8C 、0D 、45、若向量分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a,b 的值分别可以是)1,2(),2,1(-==n m （）A 、－1 ，2B 、－2 ，1C 、 1 ，2D 、 2，16、若向量a =(cos ,sin )，b =(cos ,sin )，则a 与b 一定满足（）αβαβA 、a 与b 的夹角等于－B 、(a ＋b )⊥(a －b )αβC 、a ∥bD 、a ⊥b7、设分别是轴，轴正方向上的单位向量，，。

若用来表示j i ,x y j i OP θθsin 3cos 3+=i OQ -=∈),2,0(πθ与的夹角，则等于（）OP OQ A 、B 、C 、D 、θθπ+2θπ-2θπ-8、设，已知两个向量，，则向量长度的最大值是πθ20<≤()θθsin ,cos 1=OP ()θθcos 2,sin 22-+=OP 21P P （）A 、B 、C 、D 、2323二、填空题9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使取得最小值的点P 的坐标是BP AP ⋅i r t 2、10、把函数的图象，按向量（m>0）平移后所得的图象关于轴对称，则m 的最sin y x x =-(),a m n =-y 小正值为__________________、11、已知向量、=⊥=-=m AB OA m OB OA 则若,),,3(),2,1(三、解答题12、求点A （－3，5）关于点P （－1，2）的对称点、/A 13、平面直角坐标系有点].4,4[),1,(cos ),cos ,1(ππ-∈=x x Q x P （1）求向量的夹角的余弦用x 表示的函数；OQ OP 和θ)(x f （2）求的最值、θ14、设其中x ∈[0，]、，)2cos ,sin 2(x x OA =，x ，OB )1cos (-=2π(1)求f(x)=的最大值和最小值；OB OA ·(2)当 ⊥，求||、OA OB AB 15、已知定点、)1,0(-B 、，动点P 满足：、)1,0(A )0,1(C 2||−→−−→−−→−=⋅PC k BP AP （1）求动点的轨迹方程，并说明方程表示的图形；P （2）当时，求的最大值和最小值、2=k ||−→−−→−+BP APa t i me l i ng i nt e n t 3参考答案一、选择题1、B ；2、B ；3、C ；4、B ；5、D ；6、B ；7、D ；8、C 二、填空题9、(0，0)10、56m π=11、4三、解答题12、解：设（ｘ，ｙ），则有，解得、所以（1，－1）。

【同步练习】2019年高中数学必修4 平面向量的坐标表示同步练习(含答案)

2019年高中数学必修4 平面向量的坐标表示同步练习一、选择题（本大题共12小题）1.已知向量a=(3,-1),b=(-1,2),c=(2,1)，若a=xb+yc(x,y ∈R),则x+y=（）A.2B.1C.0D.0.5 2.已知向量a=(1,2),a-b=(4,5),c=(x,3)，若(2a+b)//c ，则x=( )A.-1B.-2C.-3D.-4 3.已知向量a ，b 的夹角为，且a=(3,-4)，|b|=2，则|2a+b|=（）A.B.2C.D.4.已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1)，则下列结论正确的是（）A.a ∙b=2B.a//bC.|a|=|b|D.b ⊥(a+b) 5.已知向量a=(2,1),b=(-1,3)，则（）A.a//bB.a ⊥bC.a ⊥(a-b)D.a//(a-b) 6.已知向量a,b 满足|a|=|b|=2，a ∙(b-a)=-2，则|2a-b|=( )A.2B.C.4D.87.在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB.若CB →=a ，CA →=b ，|a |=1，|b |=2，则CD →=( ).A.31a ＋32b B.32a ＋31b C.53a ＋54b D.54a ＋53b 8.若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ).A.e 1－e 2，e 2－e 1B.2e 1－e 2，e 1－21e 2 C.2e 2－3e 1,6e 1－4e 2 D.e 1＋e 2，e 1－e 2 9.已知a ，b 为非零不共线向量，向量8a-kb 与-ka+b 共线，则k=（）A.B.C.D.810.已知a,b 满足：|a|=3,|b|=2,|a+b|=4,则|a-b|=( )A.B.C.D.311.已知a=(3,4),b=(2,-1)且(a+xb)⊥(a-b),则x 等于（）A.23B.11.5C.D.12.已知向量，.若向量满足，，则（） A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题） 13.已知是夹角为60°的两个单位向量，若向量，则________.14.已知向量a=(1,2)，b=(－3,2)，若ka ＋b 与b 平行，则k= .15.若非零向量a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|，则a 与b 的夹角余弦值为 . 16.已知向量a=(2,3)，b=(-1,2)，若μa+b 与a-2b 平行，则μ等于__________. 17.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5,1).若(a+kb)∥c,则实数k 的值为 . 18.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa ＋μb(λ，μ∈R)，则μλ=______.三、解答题（本大题共5小题） 19.已知|a|=4,b=(-1,3).（1）若a//b ，求a 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为120°，求|a-b|.20.已知向量a=(2,3),b=(-1,2).（1）求(a-b)(a+2b)；（2）若向量a+λb 与2a-b 平行，求λ的值.21.已知向量a=（1，2），b=（x ，1）.（1）若a//b ，求x 的值；（2）若＜a ，b ＞为锐角，求λ的范围；（3）当（a+2b ）⊥（2a-b ）时，求x 的值.22.如图，ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a ，=b ，试以a ，b 为基底表示、BF 、CG ．23.设，)2cos ,sin 2(x x =，x ，)1cos (-=其中x ∈[0，2π]、 (1)求f(x)=·的最大值和最小值； (2)当 OA ⊥OB ，求|AB |参考答案1.答案为：C ；2.答案为：C ；3.答案为：C ；4.答案为：D ；5.答案为：C ；6.答案为：B ；7.答案为：B ；8.答案为：D ； 9.答案为：C ； 10.答案为：C ； 11.答案为：C ； 12.答案为：D ； 13.答案为：19. 14.答案为：0. 15.答案为：-1/3. 16.答案为：-0.5. 17.答案为：21; 解析:由题意知,a+kb=(2,-1)+k(1,1)=(k+2,k-1),由(a+kb)∥c,得-5(k-1)=k+2,解得k=21. 18.答案为：4;解析：以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a=(－1,1)，b=(6,2)，c=(－1，－3).由c=λa ＋ μb ，即(－1，－3)=λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ=－1，λ＋2μ=－3，故λ=－2，μ=－0.5，则μλ=4.19.解：20.解：21.解：22.解：1122DE AE AD AB BE AD a b b a b =-=+-=+-=- 1122BF AF AB AD DF AB b a a b a =-=+-=+-=-G 是△CBD 的重心，111()333CG CA AC a b ==-=-+23.解：⑴f(x)=·= -2sinxcosx+cos2x=)42cos(2π+x 、∵0≤x ≤2π ， ∴4π≤2x+4π≤45π、∴当2x+4π=4π，即x=0时，f(x)max =1；当2x+4π=π，即x=83π时，f(x)min = -2、⑵⊥即f(x)=0，2x+4π=2π，∴x=8π、此时||22)12(cos )cos sin 2(-++=x x x=222)12(cos cos sin 4cos sin 4-+++x x x x x=x x x 2cos 2sin 22cos 27272++- =4cos 4sin 24cos 27272πππ++-=231621-、。

人教A版高中数学必修四平面向量的坐标运算同步练习(1)

高一向量同步练习6（平面向量坐标运算2）一、选择题1、若A(x ，－1)、B(1，3)、C(2，5)三点共线，则x 的值为A ．－3B ．－1C ． 1D ． 32、向量(x 1，y 1)∥(x 2，y 2)的充要条件是A ．2121y y x x =B ．2211y x y x = C ．x 1y 2 = x 2y 1 D ．以上答案都正确 3、已知AB =(5，－3)，C(－1，3)， CD =2AB ，则点D 坐标A ．(11，9)B ．(4，0)C ．(9，3)D ．(9，-3)4、设=(23，sin α)，=(cos α，31)，且∥，则锐角α为 A ． 30０ B ． 600 C ． 450 D ． 7505、若向量=(1，－2) ， | | = 4 ||，且，共线，则可能是A ．(4，8)B ．(－4，8)C ．(－4，－8)D ．(8，4)6、平行四边形ABCD 的三个顶点为A （-2，1）、B （-1，3）、C （3，4），则点D 的坐标是A ．（2，1）B ．（2，2）C ．（1，2）D ．（2，3）二、填空题1、设=(4，－3)，=(x ，5)，=(－1，y)，若+=，则（x ，y ）= ．2、若a =(-1，x)与b =(－x ，2)共线且方向相同，则x= ．3、若A(－1，－1)， B(1，3)， C(x ，5) 三点共线，则x= ．4、已知=(3，2)，=(－2，1)，若λ+与+λ（λ∈R ）平行，则λ= ．5、已知|a |=10，b =（4，－3），且a ∥b ，则向量a 的坐标是．6、若向量a =(－1，x)，b =(－x ，2)，且a 与b 同向，则a －2b = ．7、已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AD =(2，5)，AB =(-2，3)，则CD 坐标为，DO 坐标为，的坐标为．8、已知=(x 1，y 1)，=(x 2，y 2)，线段AB 中点为C ，则的坐标为．三、解答题1、已知向量=（1，2），=（x ，1），1e =+2，2e =2-且1e ∥2e ，求x ．2、已知向量()2,3=a ，()1,1-=b ，向量m 与b a 23-平行，且m =4137，求向量m 的坐标．3、已知两点A(4，－2)，B(－4，4)，C(1，1)， (1)求方向与→AB 一致的单位向量；（2）过点C 作向量→CD 与→AB 共线，且4=→CD ，求D 点坐标；（3）若A 、B 、C 都是某个平行四边形的顶点，求另一个顶点D 的坐标．参考答案一、选择题BCD CBB二、填空题1、()2,5-。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

向量的坐标运算
1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)满足(ka ＋b )∥c ，则k ＝
2．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC ＝2AD ，则顶点D 的坐标为
3．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝
4．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝(1＋cos θ，－14
)，且a ∥b ，则锐角θ等于 5．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)，且a ∥b ，则tan θ＝________.
6．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.
7．已知点A (－1，－1)、B (1,3)、C (x,5)，若对于平面上任意一点O ，都有OC ＝λOA ＋(1－λ) OB ，λ∈R ，则x ＝______.
8．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________________．
9．已知A 、B 、C 三点的坐标为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB .
10．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，回答下列问题：
(1)求3a ＋b －2c ；
(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；
(3)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .
答案：
1.解析：ka ＋b ＝(k －1，k ＋1)，
由(ka ＋b )∥c ，得2(k －1)－4(k ＋1)＝0，解得k ＝－3.
答案：-3
2.解析：令D (x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x －＝3－－，y －＝1－－
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2
，y ＝72.∴顶点D 的坐标为(2，72)．
答案：(2，72)．
3.解析：AB ＝(－8,8)，AC ＝(3，y ＋6)．
∵AB ∥AC ，∴－8(y ＋6)－24＝0.
∴y ＝－9.
答案：-9
4.解析：由a ∥b 得－2×(－14)＝1－cos 2θ＝sin 2
θ，
∵θ为锐角，∴sin θ＝2
2，∴θ＝45°.
答案：45°
5.解析：∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ.
即4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1
4. 答案：1
4
6.解析：a ＋b ＝(2－1，－1＋m )＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ，得1×2－(m －1)×(－1)＝0，即m ＝－1.
答案：－1
7.解析：取点O (0,0)，由OC ＝ λOA ＋(1－λ) OB ，得
(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－λ＋－λ，5＝－λ＋－λ解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－1
2，
x ＝2.
答案：2
8.解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．
设点B 坐标为(x ，y )，则AB ―→＝(x －1，y －2)＝b . 由⎩⎪⎨⎪⎧ －2λ＝x －1，3λ＝y －2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.① 又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
∴λ＝12或λ＝－23
，代入①式得 B 点坐标为(0，72)或(73，0)．
答案：(0，72)或(73
，0) 9.证明：设E 、F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，
依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)． ∵AE ＝13AC ，
∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)．
∴点E 的坐标为(－13，23)．
同理点F 的坐标为(73，0)，EF ＝(83，－23)．
又83×(－1)－4×(－23)＝0，∴EF ∥AB .
10.解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1) ＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)
＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．
(2)∵a ＝mb ＋nc ，
∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )． ∴－m ＋4n ＝3且2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝89.
(3)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，
又a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，
∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0.
∴k ＝－1613.。