人教a版高中数学必修1课时作业：作业34 3.1.2用二分法求方程的近似解 含解析
人教版高中数学必修1课后提升作业 二十四 3.1.2用二分法求方程的近似解 Word版含解析
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课后提升作业二十四
用二分法求方程的近似解
(分钟分)
一、选择题(每小题分，共分)
.下列图象表示的函数中能用二分法求该函数的近似零点的是( )
【解析】选中函数无零点，，中函数零点左右两侧的函数值同号，故不能用二分法求该函数的近似零点，故选.
.(·广州高一检测)用二分法求函数()的零点时，初始区间可选为
( ) .(，) .(，) .(，) .(，)
【解析】选.因为()<，()<，()<，()>，()>，
所以()·()<，
所以()的零点∈(，).
【补偿训练】用二分法求函数()的零点可以取初始区间是( )
.(，) .(，)
.(，) .(，)
【解析】选.因为()()<，()()>，所以()·()<，故初始区间可选为(，). .在用二分法求函数()的零点近似值时，第一次所取的区间是[，]，则第三次所取的区间可能是( )
.[，] .[，]
..
【解析】选.因为第一次所取的区间是[，]，所以第二次所取的区间可能是[，]，[，]，所以第三次所取的区间可能是，，，.故选.
.(·石家庄高一检测)用二分法求方程()在区间(，)内的唯一实数解时，经计算得()，()，，则下列结论正确的是( )
∈
∈
∈或∈
【解析】选.因为()·<，所以∈.
.(·济宁高一检测)若函数()在区间[，]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下
那么方程的一个近似根(精确度为)为( )。
高中数学 3.1.2用二分法求方程的近似解课时作业 新人
活页作业(二十四) 用二分法求方程的近似解知识点及角度 难易度及题号基础 中档 稍难 二分法的概念 1、2 二分法求函数的近似零点 3 8 12 二分法求方程的近似解4、5、76、119、101．如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是( )A ．[－2.1，－1]B ．[4.1,5]C ．[1.9,2.3]D ．[5,6.1]解析：用二分法只能求出变号零点的值，对于非变号零点，则不能使用二分法． 答案：C2．下列函数中不能用二分法求零点的是( ) A ．f (x )＝2x ＋3 B ．f (x )＝ln x ＋2x －6 C ．f (x )＝x 2－2x ＋1D ．f (x )＝2x－1解析：在C 中因为含零点x ＝1的区间[a ，b ]，不满足f (a )·f (b )＜0. 答案：C3．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________ .以上横线上应填的内容为( )A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0,1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.25)D ．(0,0.5)，f (0.125)解析：∵f (0)＜0，f (0.5)＞0，∴f (0)·f (0.5)＜0，故f (x )在(0,0.5)必有零点，利用二分法，则第二次计算应为f ⎝⎛⎭⎪⎫0＋0.52＝f (0.25)．答案：A4．根据表中的数据，可以判定方程e x－x －2＝0的一个根所在的区间为( )x－1 0 1 2 3 e x0.37 1 2.72 7.39 20.09 x ＋212345A.(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)解析：令f(x)＝e x－x－2，则f(－1)＝0.37－1＜0，f(0)＝1－2＜0，f(1)＝2.72－3＜0，f(2)＝7.39－4＞0，f(3)＝20.09－5＞0，∴f(1)·f(2)＜0，故函数f(x)的零点位于区间(1,2)内，即方程e x－x－2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．答案：C5．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)＜0，f(0.75)＞0，f(0.687 5)＜0，即可得出方程的一个近似解为______(精确度为0.1)．解析：因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5＜0.1，所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解．答案：0.75或0.687 5(答案可以是[0.687 5,0.75]内的任一数值)6．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：x －1.6－1.4－1.2－1－0.8－0.6－0.4－0.20…y＝2x0.32980.37890.43520.50.57430.65970.75780.87051…y＝x2 2.56 1.96 1.4410.640.360.160.040…x的值为______．解析：令f(x)＝2x－x2，由表中的数据可得f(－1)<0，f(－0.6)>0；f(－0.8)<0, f(－0.4)>0，∴根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内，∴a＝－1或a＝－0.8.答案：－1或－0.87．用二分法求方程x3－8＝0在区间(2,3)内的近似解，求经过几次二分后精确度能达到0.01?解：区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为127＝1128<1100＝0.01，故经过7次二分后精确度能达到0.01.8．已知曲线y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x与y ＝x 的交点的横坐标是x 0，则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,2)解析：设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x－x ，则f (0)＝1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11012 －12＝ 0.1－0.25<0，f (1)＝110－1<0，f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1102－2<0，显然有f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0. 答案：A9．设x 1，x 2，x 3依次是方程log 12x ＋2＝x ，log 2(x ＋2)＝－x ，2x＋x ＝2的实根，则x 1，x 2，x 3的大小关系为________．解析：log 12 x ＝x －2，在同一坐标系中，作出y ＝log 12 x 与y ＝x －2的图象，如图(1)所示．由图象可知，两图象交点横坐标x 1＞1.图(1)同理，作出y ＝log 2(x ＋2)与y ＝－x 的图象，如图(2)所示．由图象可知，两函数交点的横坐标x 2＜0.图(2)作出y ＝2x与y ＝－x ＋2的图象，如图(3)所示．由图象可知，两函数交点的横坐标0＜x 3＜1.图(3)综上可得，x 2＜x 3＜x 1. 答案：x 2＜x 3＜x 1 10．求方程3x＋xx ＋1＝0的近似解(精确度0.1)． 解：原方程可化为3x－1x ＋1＋1＝0，即3x＝1x ＋1－1. 在同一坐标系中，分别画出函数g (x )＝3x与h (x )＝1x ＋1－1的简图．g (x )与h (x )的图象交点的横坐标位于区间(－1,0)，且只有一交点，所以原方程只有一解x ＝x 0.令f (x )＝3x＋xx ＋1＝3x－1x ＋1＋1， ∵f (0)＝1－1＋1＝1>0，f (－0.5)＝13－2＋1＝1－33<0， ∴x 0∈(－0.5,0)． 用二分法求解列表如下：中点值中点(端点)函数值及符号选取区间f (－0.5)<0，f (0)>0 (－0.5,0) －0.25 f (－0.25)≈0.426 5>0 (－0.5，－0.25) －0.375 f (－0.375)≈0.062 3>0 (－0.5，－0.375) －0.437 5f (－0.437 5)≈－0.159 3<0(－0.437 5，－0.375)∴原方程的近似解可取为－0.4.11．已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．解：(1)若a ＝0，则f (x )＝－4，与题意不符，∴a ≠0. 由题意得f (－1)·f (1)＝8(a －1)(a －2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0a －2>0或⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0a －2<0，∴1<a <2，故实数a 的取值范围为1<a <2.(2)若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0，f (0)＝2817>0，f (1)＝－417<0.∴函数零点在(0,1)上，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，∴方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根为12.12.如图所示，有一块边长为15 cm 的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x cm 的正方形，然后折成一个无盖的盒子．(1)求盒子的容积y (以x 为自变量)的函数解析式，并写出这个函数的定义域； (2)如果要做一个容积为150 cm 3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x 是多少？(结果精确到0.1 cm)解：(1)盒子的容积y 是以x 为自变量的函数， 解析式为y ＝x (15－2x )2，x ∈(0,7.5)， (2)如果要做成一个容积是150 cm 3的盒子， 则(15－2x )2·x ＝150. 令f (x )＝(15－2x )2·x －150， 由f (0)·f (1)＜0，f (4)·f (5)＜0，可以确定f (x )在(0,1)和(4,5)内各有一个零点，即方程(15－2x )2·x ＝150在区间(0,1)和(4,5)内各有一个解．取区间(0,1)的中点x 1＝0.5， ∵f (0.5)＝－52， ∴零点x 0∈(0.5,1)． 再取中点x 2＝0.75， ∵f (0.75)≈－13.31，∴零点x0∈(0.75,1)．继续有x0∈(0.75,0.875)，x0∈(0.812 5,0.875) ，x0∈(0.843 75,0.875) ，x0∈(0.843 75,0.859 375) ，x0∈(0.843 75,0.851 562 5) ，x0∈(0.843 75,0.847 656 25)．∵区间(0.843 75,0.847 656 25)内的所有值，若精确到0.1都是0.8，∴方程在区间(0,1)内精确到0.1的近似解为0.8.同理，可得方程在区间(4,5)内精确到0.1的近似解为4.7.所以要做成一个容积为150 cm3的无盖盒子，截去小正方形的边长约是0.8 cm或4.7 cm.1．判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用．2．利用二分法求方程近似解的步骤是：(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n ∈Z；(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M；(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．。
人教新课标版数学高一人教A数学必修1作业 3-1-2用二分法求方程的近似解
课时作业(二十四) 用二分法求方程的近似解一、选择题1．函数f (x )的图象如图所示，能够用二分法求出的函数f (x )的零点个数为( )A ．0B ．1C ．4D ．3答案：D 解析：由图可知，图象与x 轴有四个公共点，其中有3个变号零点，故选D.2. 下列函数中，不能用二分法求零点的是( )A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝x 2－1C ．y ＝log 2(x －1)D ．y ＝(x －1)2答案：D 解析：结合函数y ＝(x －1)2的图象可知，该函数在x ＝1的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点．3．在用“二分法”求函数f (x )的零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )A ．[1,4]B ．[－2,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，52 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 答案：D 解析：由于第一次所取的区间为[－2,4]，∴第二次所取区间为[－2,1]或[1,4]，第三次所取区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52 或⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4. 4．为了求函数f (x )＝2x ＋3x －7的零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数f (x )的部分对应值(精确度0.1)如下表所示．A ．1.5B ．1.4C ．1.3D ．1.2答案：B 解析：函数f (x )＝2x ＋3x －7的零点在区间(1.375,1.437 5)内，且|1.375－1.437 5|＝0.062 5<0.1，所以方程2x ＋3x ＝7的近似解(精确到0.1)可取为1.4.5．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与函数y ＝lg x 的图象的交点的横坐标(精确度0.1)约是( )A ．1.5B ．1.6C ．1.7D ．1.8答案：D 解析：设f (x )＝lg x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，经计算f (1)＝－12＜0，f (2)＝lg 2－14＞0，所以方程lg x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0在[1,2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D 符合要求．二、填空题6．若函数f (x )的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f (x )的零点所在的区间为________．(填序号)①(－∞，1]；②[1,2]；③[2,3]；④[3,4]；⑤[4,5]；⑥[5,6]；⑦[6，＋∞)．答案：③④⑤ 解析：判断区间端点的函数值情况，即可知③④⑤正确．7．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3.计算f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0∈________.(填区间)答案：(2,3) 解析：∵f (2)·f (4)＜0，f (2)·f (3)＜0，故x 0∈(2,3)．8．用二分法求方程x 3－8＝0在区间(2,3)内的近似解，经过________次“二分”后精确度能达到0.01.答案：7 解析：设n 次“二分”后精确度达到0.01，∵区间(2,3)的长度为1，∴12n ＜0.01，即2n ＞100.注意到26＝64＜100,27＝128＞100.故要经过7次二分后精确度达到0.01.9．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法求出，则a ，b 的关系是________．答案：a 2＝4b 解析：∵函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法， ∴函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 图象与x 轴相切，∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.三、解答题10．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．证明：由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝4＞0，又函数f(x)是增函数，所以函数在区间(1,2)内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈(1,2)．下面用二分法求解：因为6精确度为0.1的零点可取为1.25.11．已知函数f(x)＝x3＋x.(1)试求函数y＝f(x)的零点；(2)是否存在自然数n，使f(n)＝1 000？若存在，求出n，若不存在，请说明理由．解：(1)函数y＝f(x)的零点即方程x3＋x＝0的实数根，解方程得x＝0.(2)经计算得f(9)＝738，f(10)＝1 010，由函数f(x)＝x3＋x在区间(0，＋∞)上单调递增，可知不存在自然数n，使f(n)＝1 000成立．12．试用计算器求出函数f(x)＝x2，g(x)＝2x＋2的图象交点的横坐标(精确度0.1)．解：令h(x)＝f(x)－g(x)＝x2－2x－2.∵h(2)＝22－2×2－2＝－2＜0，h(3)＝32－2×3－2＝1＞0，h(2)·h(3)＜0，∴h(x)＝x2－2x－2在(2,3)上有零点x0.取(2,3)的中点x1＝2.5，则h(2.5)＜0，∴x0∈(2.5,3)；取(2.5,3)的中点x2＝2.75，则h(2.75)＞0，∴x0∈(2.5,2.75)；取(2.5,2.75)的中点x3＝2.625，则h(2.625)＜0，∴x0∈(2.625,2.75)；取(2.625,2.75)的中点x4＝2.687 5，则h(2.687 5)＜0，∴x0∈(2.687 5,2.75)．由于|2.75－2.687 5|＝0.062 5＜0.1，所以f(x)＝x2与g(x)＝2x＋2的一个交点的横坐标约为2.687 5.同理可得另一个交点的横坐标为－0.687 5.尖子生题库13．画出函数f(x)＝x2－x－1的图象，并利用二分法说明方程x2－x－1＝0在[0,2]内的根的情况．解：图象如图所示，因为f(0)＝－1<0，f(2)＝1>0，所以方程x2－x－1＝0在(0,2)内有根x0；取(0,2)的中点1，因为f(1)＝－1<0，所以f(1)·f(2)<0，根x0在区间(1,2)内；再取(1,2)的中点1.5，f(1.5)＝－0.25<0，所以f(1.5)·f(2)<0，根x0在区间(1.5,2)内；取(1.5,2)的中点1.75，f(1.75)＝0.312 5>0，所以f(1.5)·f(1.75)<0，根x0在区间(1.5，1.75)内．这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似根．。
【优化课堂】高一数学人教A版必修1课时作业：第三章3.1.2用二分法求方程的近似解Wor..doc
课时作业(二十一)用二分法求方程的近似解I学业水平层次］一、选择题1.下列函数图象与兀轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()【解析】利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.在B中，不满足/(G)呎历vO,不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点.故选B.【答案】B2.(2014•河南中原名校联考)设/U) = lgx+x—3,用二分法求方程lgx+x- 3=0 在(2,3)内近似解的过程中得人2.25)<0, ./(2.75)>0,人2.5)<0, /(3)>0, 则方程的根落在区间()A. (2, 2.25) B・(2.25, 2.5)C・(2.5, 2.75) D・(2.75, 3)【解析】因为X2.25)<0, /2.75)>0,由零点存在性定理知，在区间(2.25, 2.75)内必有根，利用二分法得/(2.5)<0,由零点存在性定理知，方程的根在区间(2.5, 2.75),选 C.【答案】C3.用二分法研究函数Xx)=/ + 3x-l的零点吋，第一次经计算得几0)<0,/0.5)>0,可得其中一个零点_______________ ，第二次应计算 ________ ・以上横线上应填的内容分别为()A. (0, 0.5), /(0.25)B. (0, 1),人0.25)C. (0.5, 1), X0.25) D ・(0, 0.5),几0.125)【解析】・・・夬0)<0,夬0.5)>0,・・談0)呎0.5)v0,故7U)的一个零点x o e(O,(0+0 5、0.5),利用二分法，则第二次应计算/=/(0.25)・【答案】A4. 在用二分法求函数.心)的一个正实数零点时，经计算，,A0.64)<0,夬0.72) >0, /0.68)<0,则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A. 0.68B. 0.72 C ・ 0・7 D. 06【解析】 已知几0・64) V0, /(0.72) > 0,则函数/%)的零点的初始区间为［0.64,0.72］,又 0.68=|(0.64+0.72),且/(0.68)<0,所以零点在区间［0.68, 0.72］,且 该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的 一个正实数零点的近似值.【答案】C 二、填空题5. 用二分法求方程lnx —2+兀=0在区讪1, 2］上零点的近似值，先取区间3中点C=y 则下一个含根的区间是 ___________ ・【解析】 令Ax) = lnx-2+x, V/(l)=-l<0, /(2) = ln2>0,0,・・・下一个含根的区间是俘，2；【答案】(|，2)6. 若函数/U)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定./U)的零点所在区间为 _______ •(只填序号)①(一8，1］;②［1, 2］；③［2, 3］；④［3, 4］；⑤［4, 5］；⑥［5, 6］；⑦［6,3 '232+ °°)【解析】•••函数/(劝的图象是连续不断的，且/2)；/(3)<0, /3)-/4)<0,A4)7(5)<0,・•・函数零点分别在区间[2, 3], [3, 4], [4, 5]内.【答案】③④⑤7.用二分法求函数Xx) = 3A-x—4的一个零点，其参考数据如下:据此数据，可得方程3”一兀一4=0的一个近似解(精确度到0.01)为__________________________________________________________________ ・【解析】注意到夬 1.556 2)=-0.029 和./(1.562 5)=0.003,显然人1.556 2)说1.562 5)V0,区间的端点四舍五入都为1.56,故方程的一个近似解为1.56.【答案】1.56三、解答题8.求函数Xx)=?+2?-3x-6的一个正零点(精确度为0.1).【解】/1)=-6<0,夬2)=4>0,可取区间(1, 2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：由于11.75-1.687 5|=0.062 5<0.1,所以可将1.687 5作为函数零点的近似值.9. (2014-天津高一检测)借助计算机或计算器，用二分法求方程log2(x+4) =2“的一个正根的近似值.(精确度0.1)【解】令fix) = log2(%+4)—2v,其零点为xo,借助计算机作出函数/U)的图象如图所示.取正区间［1, 2］,夬1)5.322,久2戶一1.415.取区间［1, 2］的中点兀1 = 1.5,计算几1・5)~—0.369,所以夬1)呎l・5)V0,所以x o e(i, 1.5).再取区间(1, 1.5)的中点兀2=1・25,计算>(1.25)^0.014,所以x0e(1.25, 1.5).同理可得兀0丘(1・25, 1.375),x o e(1.25, 1.312 5),因为|1.312 5—1.251=0.062 5 V0」,故可取1.3125作为此函数的一个零点，所以方程Iog2(x+4) = 2X精确度到0」的正根的近似值为1.312 5.［能力提升层次］1.(2014-合肥高一检测)函数J(x)=2x+m的零点落在(一1, 0)内,则加的取值范围为()A. ( — 2, 0) B・(0, 2)C・［一2, 0］D・［0, 2］【解析】由题意一1)呎0)=(加一2)m<0,・・・0<m<2.【答案】B2.下列函数不宜用二分法求零点的是()A. Xx)=?-1B. /(x) = lnx+3C・人兀)=/+2迈兀+2 D・j(x)=-x1+4x-\【解析】因为,/U) =x2+2y/2x+2 = (x+^2)20,不存在小于0的函数值, 所以不能用二分法求零点.【答案】C3.(2014•广州高一检测)一块电路板的线路之间有64个串联的焊接点(如图3-1-2所示)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测______ 次.A C B图3-1-2【解析】第1次取中点把焊点数减半为—=32(^),第2次取中点把焊点64 64数减半为才=16(个)，第3次取中点把焊点数减半为y=8(个)，第4次取中点把64 64焊点数减半为話=4(个)，第5次取中点把焊点数减半为莽=2(个)，第6次取中点把焊点数减半为前=1(个)，所以至多需要检测的次数是6.【答案】64.已知函数Xx) = lnx+2x-6.(1)证明：夬力有且仅有一个零点.(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于右【解】(1)因为函数y=\nx, y=2x—6在(0, +°°)上都是增函数, 所以fix) = \nx+2x—6在(0, +8)上是增函数，所以夬兀)至多有一个零点，由/2)=ln2-2<0, /3)=ln3>0,所以几2)呎3)V0,所以夬兀)在(2, 3)内至少有一个零点，所以人尢)有且仅有一个零点.(2)因为^2)<0, X3)>0,订2+3 5取兀1_二-_刁5、 5 5勺=ln ㊁+5—6=ln ㊁一1V0,所以X3)/lj<0, 所以夬尢)的零点心弟，3=1丹_*>0, 所以兀()W(5因为H_5 T~2所以满足题意的区间为。
高中数学3.1.2用二分法求方程的近似解课时作业新人教A版必修1
f (0.687 5)<0 ，即可得出方程的一个近似解为 ____________( 精确度为 0.1) ． 三、解答题
10．确定函数 f ( x) ＝ log 1 x ＋ x－ 4 的零点所在的区间．
2
11．证明方程
6－
3
x
＝
x
2
在区间
[1,2]
内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．
度 0.1)
( 精确
3．1.2 用二分法求方程的近似解
1．二分法的概念 对于在区间 [ a，b] 上连续不断且 ____________ 的函数 y＝ f ( x) ，通过不断地把函数 f ( x) 的零点所在的区间 __________ ，使区间的两个端点 ______________ ，进而得到零点近似 值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求 ________________________________________________________________________ ． 2．用二分法求函数 f ( x) 零点近似值的步骤： (1) 确定区间 [ a， b] ，验证 ____________ ，给定精确度 ε ； (2) 求区间 ( a， b) 的中点 ____； (3) 计算 f ( c) ； ①若 f ( c) ＝ 0，则 ________________ ； ②若 f ( a) · f ( c)<0 ，则令 b＝ c( 此时零点 x0∈ ________) ； ③若 f ( c) · f ( b)<0 ，则令 a＝ c( 此时零点 x0∈ ________) ． (4) 判断是否达到精确度 ε ：即若 | a－ b|< ε，则得到零点近似值 a( 或 b) ；否则重复 (2) ～ (4) ．
高中数学人教A版必修一练习：3.1.2 用二分法求方程的近似解.doc
3.1.2 用二分法求方程的近似解【选题明细表】1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( C )(A)x1(B)x2(C)x3(D)x4解析:观察图象可知,零点x3的附近两边的函数值都为负值,所以零点x3不能用二分法求.2.用二分法找函数f(x)=2x+3x-7在区间[0,4]上的零点近似值,取区间中点2,则下一个存在零点的区间为( B )(A)(0,1) (B)(0,2)(C)(2,3) (D)(2,4)解析:因为f(0)=20+0-7=-6<0,f(4)=24+12-7>0,f(2)=22+6-7>0,所以f(0)f(2)<0,所以零点在区间(0,2).3.已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为(0,),(0,),(0,),则下列说法中正确的是( B )(A)函数f(x)在区间(0,)内一定有零点(B)函数f(x)在区间(0,)或(,)内有零点,或零点是(C)函数f(x)在(,a)内无零点(D)函数f(x)在区间（0,）或（,）内有零点解析:根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在（0,）或（,）中或f（）=0.故选B.4.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为( B )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:由<0.01,得2n>10,所以n的最小值为4.故选B.5.用二分法求方程x2-5=0在区间(2,3)内的近似解,经过次二分后精确度能达到0.01.解析:因为初始区间的长度为1,精确度要求是0.01,所以≤0.01,化为2n≥100,解得n≥7.答案:76.用二分法研究函数f(x)=x3+ln（x+）的零点时,第一次经计算f(0)<0,f（）>0,可得其中一个零点x0∈,第二次应计算.解析:由于f(0)<0,f（）>0,故f(x)在（0,）上存在零点,所以x0∈（0,）,第二次计算应计算0和在数轴上对应的中点x1==.答案:（0,）f（）7.(2018·安徽省江南名校高一联考)若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,15),(0,7),(0,4),(1,3)内,那么下列说法中正确的是( C )(A)函数f(x)在区间(1,2)内有零点(B)函数f(x)在区间(1,2)或(2,3)内有零点(C)函数f(x)在区间[3,15)内无零点(D)函数f(x)在区间(2,15)内无零点解析:根据二分法的实施步骤即可判断.故选C.8.下面是函数f(x)在区间[1,2]上的一些点的函数值.由此可判断:方程f(x)=0在[1,2]上解的个数( A )(A)至少5个 (B)5个(C)至多5个 (D)4个解析:由所给的函数值的表格可以看出,在x=1.25与x=1.375这两个数字对应的函数值的符号不同,即f(1.25)f(1.375)<0,所以函数的一个零点在(1.25,1.375)上,同理:函数的一个零点在(1.375,1.406 5)上,函数的一个零点在(1.406 5,1.438)上,函数的一个零点在(1.5,1.61)上,函数的一个零点在(1.61,1.875)上.故函数至少有5个零点,即方程f(x)=0在[1,2]上至少有5个解. 9.利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:若方程2x=x2有一个根位于区间(a,a+0.4)(a在表格中第一栏里的数据中取值),则a的值为.解析:令f(x)=2x-x2,由表中的数据可得f(-1)<0,f(-0.6)>0;f(-0.8)<0,f(-0.4)>0,所以根在区间(-1,-0.6)与(-0.8,-0.4)内,所以a=-1或a=-0.8.答案:-1或-0.810.利用计算器,求方程x2-6x+7=0的近似解(精确度0.1). 解:设f(x)=x2-6x+7,通过观察函数的草图得,f(1)=2>0,f(2)=-1<0,所以方程x2-6x+7=0有一根在(1,2)内,设为x1,因为f(1.5)=0.25>0,所以1.5<x1<2,又因为f()=f(1.75)=-0.437 5<0,所以1.5<x1<1.75,如此继续下去,得f(1)>0,f(2)<0⇒x1∈(1,2),f(1.5)>0,f(2)<0⇒x1∈(1.5,2),f(1.5)>0,f(1.75)<0⇒x1∈(1.5,1.75),f(1.5)>0,f(1.625)<0⇒x1∈(1.5,1.625),f(1.562 5)>0,f(1.625)<0⇒x1∈(1.562 5,1.625),由于|1.562 5-1.625|=0.062 5<0.1,所以方程x2-6x+7=0的一个近似解可取为 1.625,用同样的方法,可求得方程的另一个近似解可取为4.437 5.11.如果在一个风雨交加的夜里查找线路,从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子,10 km长,大约有200多根电线杆子.假如你是维修线路的工人师傅,你应该怎样工作?想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?解:如图.他首先从中点C查.用随身带的话机向两端测试时,如果发现AC段正常,则断定故障在BC段,再到BC段中点D,这次若发现BD段正常,则故障在CD段,再到CD中点E来查,……每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,算一算,要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m左右,即两根电线杆附近,设需要排查n 次,则有50<<100,即100<2n<200.因此只要7次就够了.。
【人教A版】高中数学必修一：全册作业与测评(含答案) 课时提升作业(二十四) 3.1.2
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课时提升作业(二十四)用二分法求方程的近似解(15分钟30分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( )A.x1B.x2C.x3D.x4【解题指南】观察图象,与x轴交点的两侧符号相同时不能用二分法求零点. 【解析】选C.观察图象可知:点x3的附近两旁的函数值都为负值,所以点x3不能用二分法求,故选C.2.下列函数不能用二分法求零点的是( )A.f(x)=3x-2B.f(x)=log2x+2x-9C.f(x)=(2x-3)2D.f(x)=3x-3【解析】选C.因为f(x)=(2x-3)2≥0,所以不能用二分法求零点.【补偿训练】下列函数零点不能用二分法求解的是( )A.f(x)=x3B.f(x)=lnx+3C.f(x)=x2+2x+1D.f(x)=-x2+2x+2【解析】选C.对于C,f(x)=(x+1)2≥0,不能用二分法.3.(2015·本溪高一检测)用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )A.0.9B.0.7C.0.5D.0.4【解析】选B.因为f(0.72)>0,f(0.68)<0,所以零点在区间(0.68,0.72),|0.72-0.68|=0.04<0.1,零点在区间[0.68,0.72]内,故只有B选项符合要求.二、填空题(每小题4分,共8分)4.(2015·四平高一检测)用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解(精确度0.01)为.【解析】注意到f(1.5562)=-0.029和f(1.5625)=0.003,显然f(1.5562)·f(1.5625)<0,且|1.562 5−1.556 2|=0.0063<0.01,故方程3x-x-4=0的一个近似解为1.5625或1.5562.答案:1.5625(或1.5562)【补偿训练】在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.6875)<0,即可得出方程的一个近似解为(精确度0.1).【解析】因为|0.75-0.6875|=0.0625<0.1,所以0.75或0.6875都可作为方程的近似解.答案:0.75(或0.6875)5.已知函数f(x)=log a x+x-b(a>0且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1)(n∈N*),则n= .【解析】因为函数f(x)=log a x+x-b(2<a<3)在(0,+∞)上是增函数,f(2)=log a2+2-b<log a a+2-b=3-b<0,f(3)=log a3+3-b>log a a+3-b=4-b>0,所以x0∈(2,3)即n=2.答案:2三、解答题6.(10分)(2015·南京高一检测)在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条长10km的线路,电线杆的间距为100m.如何迅速查出故障所在呢?【解题指南】利用二分法,将线路不断一分为二,最终缩小到100m之内,即可查出故障所在.【解析】如图所示,首先从AB线路的中点C开始检查,当用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,判定故障在BC;再到BC段中点D检查,这次发现BD段正常,可见故障出在CD段;再到CD段中点E来检查……每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半.要把故障可能发生的范围缩小到100m之内,查7次就可以了.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·银川高一检测)在用二分法求函数f(x)零点近似值时,第一次取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是( )A.[1,4]B.[-2,1]C.[-2,2.5]D.[-0.5,1]【解析】选D.因为第一次所取的区间是[-2,4],所以第二次的区间可能是[-2,1],[1,4],第三次所取的区间可能是[-2,-0.5],[-0.5,1],[1,2.5],[2.5,4],只有选项D在其中. 2.(2015·东营高一检测)已知函数f(x)的一个零点x0∈(2,3),在用二分法求精确度为0.01的x0的一个值时,判断各区间中点的函数值的符号最少要( ) A.5次 B.6次 C.7次 D.8次【解析】选C.区间长度为1,每次长度缩小一半,注意到12>0.01,12>0.01,12<0.01,因此判断各区间中点的函数值符号最少7次.【延伸探究】若将函数y=f(x)的零点所在的区间改为在[0,1]内,欲使零点的近似值的精确度达到0.01,则用二分法取中点的次数的最小值为( )A.6B.7C.8D.9【解析】选B.因为(12)6=0.015625,(12)7=0.0078125,所以至少要取7次中点,区间的长度才能达到精确度要求.二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知f(x)图象是一条连续的曲线,且在区间(a,b)内有唯一零点x0,用“二分法”求得一系列含零点x0的区间,这些区间满足(a,b)⊇(a1,b1)⊇(a2,b2)⊇…⊇(a k,b k),若f(a)<0,f(b)>0,则f(a k)的符号为.(填“正”,“负”,“正、负、零均可能”)【解题指南】本题考查的是二分法求函数的近似区间的问题,直接根据二分法的定义即可得到结论.【解析】因为f(a)<0,f(b)>0,要想一步步进行下去,直到求出零点,按二分法的的定义可知,f(a k)<0.如果f(a k)为0的话,零点就是a k,应该是左闭区间;如果f(a k)为正的话,零点应该在(a k,b k)的前面那个区间内.答案:负4.(2015·滁州高一检测)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.1)为.【解析】因为|1.437 5−1.375|=0.0625<0.1,所以在区间[1,375,1.437 5]内的任何一个值都可以作为x3+x2-2x-2=0的一个近似解,故方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解可取为1.4375或1.375.答案:1.4375(或1.375)【补偿训练】下面是连续函数f(x)在[1,2]上一些点的函数值:由此可判断:方程f(x)=0的一个近似解为.(精确度0.1)【解析】由题中表格对应的数值可得函数零点必在区间(1.4065,1.438)上,由精确度可知近似解可取为1.438或1.4065.答案:1.438(或1.4065)三、解答题5.(10分)(2015·株洲高一检测)已知函数f(x)=3x+x−2在(-1,+∞)上为增函数,x+1求方程f(x)=0的正根(精确度0.01).【解题指南】由函数在(-1,+∞)上单调递增,故在(0,+∞)上也单调递增,可先判断出f(x)=0的正根最多有一个,然后选用二分法逐次计算求解.在(-1,+∞)上为增函数,故在(0,+∞)上也单调递增, 【解析】由于函数f(x)=3x+x−2x+1因此f(x)=0的正根最多有一个.因为f(0)=-1<0,f(1)=5>0,2所以方程的正根在(0,1)内,取(0,1)为初始区间,用二分法逐次计算,列出下表:(0.265 625,0.281 25) 0.273 437 5 -0.005 43(0.273 437 5,0.281 25)因为|0.243 437 5−0.281 25|=0.0078125<0.01,所以方程的根的近似值为0.2734375,即f(x)=0的正根约为0.2734375.【补偿训练】利用计算器,求方程lgx=3-x的近似解.(精确度0.1)【解析】设f(x)=lgx+x-3,在同一坐标系中,作出y=lgx和y=3-x的图象,如图所示,观察图象可以发现lgx=3-x有唯一解x1,且x1∈(2,3),f(2)<0,利用二分法,可列下表:区间中点值中点函数近似值(2,3) 2.5 -0.102 059 991(2.5,3) 2.75 0.189 332 694(2.5,2.75) 2.625 0.044 129 308(2.5,2.625) 2.562 5 -0.028 836 126(2.562 5,2.625)由于|2.625-2.5625|=0.0625<0.1,所以原方程的近似解可取2.5625.【拓展延伸】数形结合思想在求方程近似解中的妙用(1)求解形如f(x)=g(x)的根时,通过在同一直角坐标系中作出函数y=f(x)和y=g(x)的图象,观察交点位置,可以得到方程的近似解所在的区间.(2)可以利用函数的单调性等,分析函数图象交点的个数,从而指导我们利用计算器列函数对应值表时,有针对性地对变量取值.(3)借助方程求交点,利用图象求近似解是数形结合思想的重要体现.关闭Word文档返回原板块。
高一数学人教A版必修一精品教案：3.1.2用二分法求方程的近似解Word版含答案
课题：§ 3.1.2用二分法求方程的近似解教学目标：知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用.过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备.情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一.教学重点：重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解.教学程序与环节设计:由二分查找及高次多项式方程的求问题引入.二分法的意义、算法思想及方法步骤.体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围.二分法的算法思想及方法步骤，初步应用二分法解决简单问题.二分法应用于实际.i.二分法为什么可以逼近零点的再分析;2 .追寻阿贝尔和伽罗瓦.2.求区间（a , b ）的中点x i ； 3 .计算 f (xj :环节 呈现教学材料师生互动设计① 若f （xJ = O ，则X i 就是函数的零点; ② 若f(a) • f (x i )<0，则令b = x i (此时零 点 X o(a ,X i ))；③若f （xj • f （b ）＜0，则令a = x i （此时零 点 X o (x i ,b))；4 .判断是否达到精度 ； 即若| a b| ,则得到零点零点值 a （或 b ）； 否则重复步骤2~4 .例题解析：例1.求函数f （x ） x 3x 2x 2的一个正数零点（精确到0.1）.分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算 器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间， 然后利用二分法逐步计算解答.解:（略）. 注意：①第一步确定零点所在的大致区间(a , b),但尽 通常 零点所在区间中点函数值区间长度[1 , 2]f (1.5)>0 1 [1 , 1.5]f(1.25) <0 0.5[1.25 , 1.5]f (1.375) <00.25可利用函数性质，也可借助计算机或计算器, 量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度, 可确定一个长度为1的区间；③建议列表样式如下： 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小 于精度时，即为计算的最后一步.生：结合引例“二分查 找”理解二分法的算法 思想与计算原理.师：引导学生分析理解 求区间（a , b ）的中点 的方法X i师：引导学生利用二分法逐步寻求函数零点 的近似值，注意规范方 法、步骤与书写格式.生：根据二分法的思想 与步骤独立完成解答， 并进行交流、讨论、评 析.师：引导学生应用函数 单调性确定方程解的 个数.生：认真思考，运用所 学知识寻求确定方程 解的个数的方法，并进 行、讨论、交流、归纳、。
人教A版高中数学必修一课时达标作业3.1.2用二分法求方程的近似解
课时提升作业(二十四)用二分法求方程的近似解(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知函数y=f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A.4,4B.3,4C.5,4D.4,3【解析】选D.题中图象与x轴有4个交点,所以解的个数为4;左、右函数值异号的有3个零点,所以可以用二分法求解的个数为3.2.为了求函数f(x)=2x+3x-7的一个零点,某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值,如下表所示:则方程2x+3x=7的近似解(精确到0.1)可取为()A.1.32B.1.39C.1.4D.1.3【解析】选C.由图表可知,函数f(x)=2x+3x-7的零点介于1.375到1.4375之间,故方程2x+3x=7的近似解也介于1.375到1.4375之间,由于精确到0.1,结合选项可知1.4符合题意,故选C.3.下列是关于函数y=f(x),x∈[a,b]的几种说法:①若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是近似值.那么以上叙述中,正确的个数为()A.0B.1C.3D.4【解析】选A.因为①中x0∈[a,b]且f(x0)=0,所以x0是f(x)的一个零点,而不是(x0,0),所以①错误;②因为函数f(x)不一定连续,所以②错误;③方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,所以③错误;④用二分法求方程的根时,得到的根也可能是精确值,所以④也错误.4.(2014·石家庄高一检测)用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是()A.[-2,1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[1,2]【解析】选A.由于f(-2)=-3<0,f(1)=6>0,故可以取区间[-2,1]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算.5.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0可得其中一个零点x0∈,第二次应计算.()A.(0,0.5),f(0.25)B.(0,1),f(0.25)C.(0.5,1),f(0.75)D.(0,0.5),f(0.125)【解析】选 A.因为f(0)<0,f(0.5)>0,所以函数零点所在区间为(0,0.5),第二次应计算x==0.25的函数值,故选A.【举一反三】本题条件不变,试问第二次计算后零点所在的区间是.【解析】因为f(0.25)=0.253+3×0.25-1=-<0,又f(0.5)>0,所以第二次计算后零点所在的区间是(0.25,0.5).答案:(0.25,0.5)6.若函数f(x)在[a,b]上连续,且同时满足f(a)·f(b)<0,f(a)·f>0,则()A.f(x)在上有零点B.f(x)在上有零点C.f(x)在上无零点D.f(x)在上无零点【解析】选B.由已知可知f(b)·f<0,故在区间上有零点.二、填空题(每小题4分,共12分)7.函数f(x)=x3-3x+5的零点所在长度为1的一个端点为整数的区间为.【解析】因为f(-2)=-8+6+5=3>0,f(-3)=-27+9+5=-13<0,所以f(x)的零点所在长度为1的一个端点为整数的区间为[-3,-2].答案:[-3,-2]8.(2014·安阳高一检测)用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解(精确度0.01)为.【解析】由表可知f(1.5625)·f(1.5562)<0,且1.5625-1.5562=0.0063<0.01,故方程3x-x-4=0的一个近似解为1.56.答案:1.569.用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上零点的近似解,经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1==3,计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0∈(填区间).【解析】因为f(2)·f(3)<0,所以零点在区间(2,3)内.答案:(2,3)【举一反三】本题条件“f(2)·f(x1)<0”改为“f(2)·f(x1)>0”,则此时零点x0∈(填区间).【解析】因为f(2)·f(3)>0,所以f(3)·f(4)<0,所以零点在区间(3,4)内.答案:(3,4)三、解答题(每小题10分,共20分)10.证明函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一零点,并求出这个零点(精确度0.1).【解析】由于f(1)=-1<0,f(2)=4>0,又函数f(x)是连续的增函数,所以函数在区间(1,2)内有唯一零点,不妨设为x0,则x0∈(1,2).下面用二分法求解:因为f(1.1875)·f(1.25)<0,且|1.1875-1.25|=0.0625<0.1,所以函数f(x)=2x+3x-6精确度为0.1的零点可取为1.25.11.用二分法求f(x)=x3+x2-2x-2在x轴正半轴上的一个零点(精确度0.1).【解析】显然f(2)=23+22-2×2-2=6>0.当x>2时,f(x)>0,又f(0)=-2<0,f(1)=-2<0,故f(x)在区间(1,2)内有零点.因为f(1.375)·f(1.4375)<0,且|1.375-1.4375|=0.0625<0.1,故f(x)=x3+x2-2x-2的近似零点为x=1.4.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是()A.[1,4]B.[-2,1]C.D.【解析】选D.由于第一次所取的区间为[-2,4],所以第二次所取区间为[-2,1]或[1,4],第三次所取区间为,,或.2.(2014·浏阳高一检测)用二分法求函数的零点,函数的零点总位于区间[a n,b n](n∈N)上,当|a n-b n|<m时,函数的零点近似值x0=与真实零点a的误差最大不超过()A. B. C.mD.2m【解析】选B.因为取中点,故零点的近似值与真实零点的误差最大不超过区间长度的一半即.3.用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为()A.0.65B.0.74C.0.7D.0.6【解析】选C.因为f(0.72)>0,f(0.68)<0,所以零点在区间(0.68,0.72)内,又零点是精确度为0.1的正实数,所以为0.7.4.(2014·长春高一检测)用二分法求方程x3-8.5=0在区间(2,3)内的近似解,经过次“二分”后精确度能达到0.01.()A.5B.6C.7D.8【解析】选C.设n次“二分”后精确度达到0.01,因为区间(2,3)的长度为1,所以<0.01,即2n>100,注意到26=64<100,27=128>100,故要经过7次“二分”后精确度达到0.01.二、填空题(每小题5分,共10分)5.用二分法求f(x)=0的近似解,f(1)=-2,f(1.5)=0.625,f(1.25)=-0.984,f(1.375)=-0.260,下一个求f(m),则m=.【解析】由于f(1.5)>0,f(1.375)<0,故下一个应求f(1.4375),故m=1.4375.答案:1.43756.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是.【解题指南】不能用二分法求出的零点一定是不变号零点,而二次函数的零点为不变号零点,需Δ=0.【解析】因为函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,所以函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴相切,所以Δ=a2-4b=0,所以a2=4b.答案:a2=4b三、解答题(每小题12分,共24分)7.求的近似值(精确度0.1).【解析】令=x,则x3=2,令f(x)=x3-2,则就是函数f(x)=x3-2的零点,因为f(1)=-1<0,f(2)=6>0,所以可取初始区间为[1,2],用二分法计算,列表如下:至此,得到区间[1.25,1.3125]的区间长度为0.0625<0.1,因此可取区间[1.25,1.3125]内的任意一个数作为函数f(x)的零点,不妨取1.3125,即≈1.3125.【方法锦囊】用二分法求无理数的近似值二分法是一种非常重要的方法,其体现的逼近思想经常会得到应用.在碰到求解某无理数的近似值时,我们应先将此无理数看作某方程的解,然后构造其对应的函数,通过二分法去逼近其近似值,这一过程既体现了转化的数学思想,又体现了逼近的数学思想,值得我们好好把握. 8.利用计算器,求方程lgx=2-x的近似解(精确度为0.1).【解析】作出y=lgx,y=2-x的图象,可以发现,方程lgx=2-x有唯一解,记为x0,并且解在区间(1,2)内.设f(x)=lgx+x-2,用计算器计算得f(1)<0,f(2)>0⇒x0∈(1,2);f(1.5)<0,f(2)>0⇒x0∈(1.5,2);f(1.75)<0,f(2)>0⇒x0∈(1.75,2);f(1.75)<0,f(1.875)>0⇒x0∈(1.75,1.875); f(1.75)<0,f(1.8125)>0⇒x0∈(1.75,1.8125); 因为|1.8125-1.75|=0.0625<0.1,所以方程的近似解可取为1.8125.。
高一数学人教A版必修1课后训练3.1.2 用二分法求方程的近似解 Word版含解析
课后训练基础巩固．用二分法求函数()＝－的零点时，初始区间可选为( )．() ．()．() ．()．用二分法求函数()在区间(，)内的唯一零点时，精确度为，则结束计算的条件是( )．－＜．－＜．－＞．－＝．下列函数不宜用二分法求零点的是( )．()＝－．()＝＋．()＝＋＋．()＝－＋－．函数()＝＋的零点必落在区间( )．[－，－] ．[－，－]．[－] ．[]．．．．．用二分法求图象是连续不断的函数()在区间()内零点近似值的过程中得到()＜，()＞，()＜，则该函数的零点所在的一个区间为( )．．()．()．()．不能确定．下列函数中在区间[]上一定有零点的是( )．()＝－＋．()＝－－．()＝－＋．()＝＋－．用二分法求方程－－＝在区间[]上的近似解，取区间中点＝，那么下一个有解区间为．．用二分法求函数()＝－－在区间[]内的一个零点(精确到)．能力提升．下列函数中能用二分法求零点的是( )．方程－＝的解所在的区间是( )．()．(，)．()．(，＋∞)．若是方程的解，则属于区间( )．．．．．某方程在区间＝()内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，且使所得近似值的精确度达到，则应将分( )．次．次．次．次．求的近似值(精确度)．．(压轴题)如图，有一块边长为的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．()写出盒子的体积以为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；()如果要做成一个容积是的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长是多少(精确到 )?错题记录错题号错因分析参考答案．点拨：∵()＝－，()＝，∴()·()＜．∴可选区间为()．．点拨：据二分法的步骤知当区间长度－小于精确度ε时，便可结束计算．．点拨：∵()＝＋＋＝(＋)≥，不存在小于的函数值，∴不能用二分法求零点．．点拨：因(－)＝－＜，(－)＝＞，故函数()＝＋在区间[－，－]内必有零点．．点拨：由表可知：()·()＜，()·()＜，()·()＜，()·()＜，因此函数＝()在区间()内至少有个零点．．点拨：∵()＜，()＞，∴()·()＜，则函数的零点落在区间()内．．点拨：对于项，∵()＝＋－＝－＜，()＝＋－＝＞，∴()·()＜，∴函数()＝＋－在区间[]上一定有零点．．[] 点拨：记()＝－－，∵()＝－＜，()＝－＞，∴下一个有解区间为[]．．解：∵()＝－－＝－＜，()＝－－＝＞，∴函数()在区间[]内存在零点，取区间[]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：。
高一数学人教A版必修1课后训练3.1.2 用二分法求方程的近似解 (1) Word版含解析
课后训练．设函数()＝＋＋是[－]上的增函数，且，则方程()＝在区间[－]上( )．可能有个实数根．可能有个实数根．有唯一实数根．没有实数根．若函数()唯一的零点在区间()，()，()，()内，那么下列命题正确的是( )．函数()在区间()内有零点．函数()在区间()或()内有零点．函数()在区间[)内无零点．函数()在区间()内有零点．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[，](∈)上，当－＜时，函数的零点近似值与真实零点的误差最大不超过( )．．．．．方程＋＝的解一定位于区间( )．()．()．()．()．若函数()的图象是连续不断的，且()＞，()()()＜，则下列命题正确的是( )．函数()在区间()内有零点．函数()在区间()内有零点．函数()在区间()内有零点．函数()在区间()内有零点．在用二分法求方程()＝在[]上的近似解时，经计算，()＜，()＞，( )＜，即可得出方程的一个近似解为(精确度为)．．某方程有一无理根在区间＝()内，若用二分法求此根的近似值，则将至少等分次后，所得近似值的精确度为.．已知方程－－＝在()内恰有一解，则实数的取值范围是．．用二分法求方程的近似解(精确度)．．在个钢珠中，混入了一个外表和它们完全相同的铜珠(铜珠稍重)，现只有一台天平，你能否设计一个方案，称最少的次数把铜珠找出来．参考答案答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：(，＋∞)答案：解：由方程可得，分别画出函数＝和的图象(如图)．这两个函数图象交点处函数值相等，因此交点处的横坐标就是方程，即方程的解．从图象上可以看出，两图象只有一个交点，交点的横坐标介于和之间，设，()＝－＜，，因为－＝答案：解：把个钢珠等分成两份，放在天平里，铜珠一定在较重的个中，把这个钢珠随便拿出一个，再将剩下的个等分成两份，放在天平上，若质量相等，则拿出的那个就是铜珠；否则，在质量较重的个中，再等分为两份放在天平上，铜珠还是在稍重的个中，再拿出一个，其余的两个放在天平上，若天平平衡，则拿出的一个便是铜珠，否则天平上稍重的那个便是，因而最少称次便可把铜珠找出来．。
2022版数学人教A版必修1基础训练：3.1.2用二分法求方程的近似解Word版含解析
第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.2用二分法求方程的近似解根底过关练题组一用二分法求方程近似解的条件1.(2021湖北黄冈中学高一月考)求以下函数的零点,可以采用二分法的是()A.f(x)=x4B.f(x)=x3+√x3C.f(x)=-e x-x2D.f(x)=|2x-3|2.(2021成都锦江校级月考)用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x-1在区间[0,1]上的零点,要求精确度为0.01时,所需二分区间的次数最少为()3.函数f(x)的图象如图,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(),4,4,4,34.假设用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,那么结束计算的条件是.题组二用二分法求方程近似解的过程5.(2021江苏如东高级中学高一上阶段性测试)利用二分法求方程log3x=3-x的近似解,可以取的一个区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)6.(2021湖北武汉期末)用二分法求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时,依次计算得到如下数据:f(1)=-2,f(1.5)=0.625,f(1.25)≈-0.984,f(1.375)≈-0.260,关于下一步的说法正确的选项是()A.已经到达精确度的要求,可以取1.4作为近似值B.已经到达精确度的要求,可以取1.375作为近似值C.没有到达精确度的要求,应该接着计算f(1.4375)D.没有到达精确度的要求,应该接着计算f(1.3125)7.(2021广东普宁期末)用二分法求函数f(x)=ln(2x+6)+2-3x的零点时,用计算器得到下表:x1.00 1.25 1.375 1.50f(x) 1.079 4 0.191 8 -0.3604-0.9989那么由表中数据,可得到函数的一个零点的近似值(精确度为0.1)为() 55758.证明2x+x=4在区间[1,2]内有解.设f(x)=2x+x-4,x∈[1,2],填写下表,并求方程的近似解(精确度为0.2).区间区间中点值x n f(x n)的值(1,2)x1=f(x1)≈0.328(1,1.5)x2=1.25f(x2)≈(1.25,1.5)x3=1.375f(x3)≈-0.031题组三二分法的应用9.在一个风雨交加的夜里,从某水库闸门到防洪指挥所的线路发生了故障,这是一条长为10km的线路,设计一个能迅速查出故障所在的方案,并求出维修线路的工人师傅至多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100m范围内).10.函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实数根.答案全解全析第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.2用二分法求方程的近似解根底过关练1.B f(x)=x4不是单调函数,且f(x)≥0恒成立,所以不能用二分法求零点;f(x)=x3+√x3是单调函数,且f(x)∈R,所以能用二分法求零点;f(x)=-e x-x2不是单调函数,且f(x)≤0恒成立,所以不能用二分法求零点;f(x)=|2x-3|不是单调函数,且f(x)≥0恒成立,所以不能用二分法求零点.应选B.2.B根据题意,原来区间[0,1]的长度为1,每经过一次二分法操作,区间,长度变为原来的一半,那么经过n(n∈N*)次操作后,区间的长度变为12n 令1<0.01,可得n≥7.应选B.2n3.D题中图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;零点左、右函数值异号的有3个,所以可以用二分法求解的个数为3,应选D.4.答案b-a<0.001解析精确度为0.001,即|a-b|<0.001,又b>a,∴b-a<0.001.5.C方程log3x=3-x可化为log3x+x-3=0,设f(x)=log3x+x-3,那么f(1)=-2<0,f(2)=log32-1<0,f(3)=log33=1>0,又f(x)是增函数,所以f(x)的零点在(2,3)内,应选C.6.C由二分法知,方程x3+x2-2x-2=0的一个正零点在区间(1.375,1.5)内,但|1.5-1.375|=0.125>0.1,没有到达精确度的要求,所以应该接着计算f(1.4375).应选C.7.B由题表知f(1.00)·f(1.50)<0,所以函数f(x)在区间(1.00,1.50)内有零点x0,取区间(1.00,1.50)的中点1.25,由题表知f(1.25)·f(1.50)<0,所以x0∈(1.25,1.50),再取区间(1.25,1.50)的中点1.375,由题表知f(1.25)·f(1.375)<0,所以x0∈(1.25,1.375),再取区间(1.25,1.375)的中点1.3125,可知区间(1.25,1.3125)和(1.3125,1.375)中必有一个存在f(x)的零点,且区间长度为0.0625<0.1,满足精确度要求.因此函数的一个零点的近似值可取为1.3125.应选B.8.解析易知f(x)在定义域上单调递增,由于f(1)=2+1-4=-1<0,f(2)=22+2-4=2>0,所以方程2x+x-4=0在区间[1,2]内有唯一解.利用二分法求值得到下表:区间区间中点值x nf(x n)的值(1,2)x1=1.5f(x1)≈0.328 (1,1.5)x2=1.25f(x2)≈-0.372(1.25,1.5)x3=1.375f(x3)≈-0.031因为|1.375-1.5|=0.125<0.2,所以方程的近似解所在区间为[1.375,1.5],所以2x+x=4在区间[1,2]内的近似解可取为1.375.9.信息提取①线路长为10km;②精确到100m范围内.数学建模以查找线路故障点为情境,构建二分法的实际应用模型.解析根据实际问题,抽象出模型,如图.工人师傅首先从中点C检测,用随身带的设备向两端测试,假设发现AC段正常,那么可知故障在BC段;再从线段BC的中点D检测,假设发现BD段正常,可见故障在CD段;再从CD段的中点E检测;……,由此类推,每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,可以算出经过n次检测,所剩线路的长度为100002n m,令100002n≤100,即2n ≥100,又26=64,27=128,故至多检测7次就能找出故障地点所在区域. 10.证明∵f (1)>0,∴f (1)=3a +2b +c >0, 即3(a +b +c )-b -2c >0. ∵a +b +c =0, ∴a =-b -c ,-b -2c >0,∴-b -c >c ,即a >c. ∵f (0)>0,∴f (0)=c >0,∴a >0.取区间[0,1]的中点12,那么f (12)=34a +b +c =34a +(-a )=-14a <0. ∵f (0)>0,f (1)>0,∴函数f (x )在区间(0,12)和(12,1)上各有一个零点. 又f (x )为二次函数,最多有两个零点, ∴f (x )=0在[0,1]内有两个实数根.。
人教A版高中数学必修1课时作业：作业34 3.1.2用二分法求方程的近似解 Word版含解析
课时作业(三十四)1.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A.[－2，－1]B.[－1，0]C.[0，1]D.[1，2]答案 A2.设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间()A.(1，1.25)B.(1.25，1.5)C.(1.5，2)D.不能确定答案 B3.已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值：A.1个B.2个C.3个D.4个答案 D解析由表可知：f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，f(6)f(7)<0，所以函数f(x)存在实数解的区间有4个.4.以下函数图像中，不能用二分法求函数零点的是()答案 D解析利用二分法无法求不变号的零点.5.已知函数y＝f(x)的零点在区间[0，1]内，欲使零点的近似值的精确度达到0.01，则用二分法取中点的次数的最小值为()A.6B.7C.8D.9答案 B解析 ∵(12)6＝0.015 625，(12)7＝0.007 812 5，∴至少要取7次中点，区间的长度才能达到精确度要求. 6.方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)答案 C7.若函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图像不间断，则( ) A.若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a ，b]上不存在零点 B.若f(a)·f(b)<0，则f(x)在[a ，b]上至少有一个零点C.若f(x)在[a ，b]上存在零点，则可用二分法求此零点的近似值D.用二分法只能求出函数的正数的零点 答案 B8.若函数y ＝f(x)在区间(－2，2)上的图像是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2，2)上仅有一个实数根0，则f(－1)·f(1)的值( ) A.大于0 B.小于0 C.无法判断 D.等于零 答案 C9.设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4) 答案 B解析 令f(x)＝x 3－(12)x －2，f(0)＝－4<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，∴x 0∈(1，2).10.函数f(x)＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A.(－2，－1) B.(－1，0) C.(0，1) D.(1，2) 答案 C 解析由f(x)＝0，得e x ＋x －2＝0，即e x ＝2－x.∴原函数的零点就是函数y ＝e x 与y ＝2－x 图像交点的横坐标x 0，显然0<x 0<1.11.用二分法研究函数f(x)＝x 3＋3x －1的零点时，第一次计算得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x 1)，则x 1＝________. 答案 0.2512.三次方程x 3＋x 2－2x －1＝0在下列哪些连续整数之间有根？把正确选项的序号写出来：________.①－2与－1之间； ②－1与0之间； ③0与1之间； ④1与2之间； ⑤2与 3之间. 答案 ①②④13.用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是________. 答案 (2，2.5)解析 令f(x)＝x 3－2x －5，∵f(2)＝－1<0，f(2.5)＝5.625>0，f(3)＝16>0， ∴f(2)·f(2.5)<0.∴f(x)在(2，2.5)内有零点.1.用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[a n ，b n ](n ∈N )上，当|a n －b n |<m 时，函数的零点近似值x 0＝a n ＋b n 2与真实零点a 的误差最大不超过( )A.m 4B.m2 C.m D.2m答案 B解析 假设a ∈[a n ，a n ＋b n 2]，因为|x 0－a|＝|a n ＋b n 2－a|≤|a n ＋b n 2－a n |＝|b n －a n 2|<m2，所以选B 项.2.求证：函数f(x)＝lnx ＋4x －5在(0，＋∞)内仅有一个零点. 证明 设x 1>x 2>0，即f(x 1)－f(x 2)＝(lnx 1＋4x 1－5)－(lnx 2＋4x 2－5)＝lnx 1－lnx 2＋4x 1－4x 2＝ln x 1x 2＋4(x 1－x 2).∵x 1>x 2>0，∴x 1x 2>1.∴ln x 1x 2>0，4(x 1－x 2)>0.∴f(x 1)－f(x 2)>0.∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数. 又f(1)＝0＋4－5＝－1<0， f(e)＝1＋4e －5>0， ∴f(x)在(1，e)内有一个零点. 由于f(x)在(0，＋∞)上是增函数.所以f(x)＝lnx ＋4x －5在(0，＋∞)上只有一个零点.3.若在区间D 上，函数g(x)的图像恒在函数f(x)图像的下方，则称函数g(x)的图像在区间D 上被函数f(x)的图像覆盖，判断函数g(x)＝2x 2在区间(1，2)上能否被函数f(x)＝2x ＋x 的图像覆盖，并说明理由.解析 令F(x)＝f(x)－g(x)＝2x －2x 2＋x ，则有F(1)＝1，F(2)＝－2，∴F(1) ·F(2)＝－2<0. ∴函数在区间(1，2)上一定有零点，即函数f(x)和g(x)的图像在(1，2)上一定有公共点.∴函数g(x)＝2x 2在区间(1，2)上不能被函数f(x)＝2x ＋x 的图像覆盖.。
2017人教a版数学必修一3.1.2用二分法求方程的近似解课
用二分法求方程的近似解1．已知函数y ＝f (x )的图象如图，其中零点的个数与能够用二分法求解的个数别离为( )．A ．4,4B ．3,4C ．5,4D ．4,3解析 题中图象与x 轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以能够用二分法求解的个数为3. 答案 D2．设方程2x ＋2x＝10的根为β则β∈( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析 设f (x )＝2x ＋2x－10，则f (x )在R 上为单调增函数，故只有一个零点．f (0)＝－9，f (1)＝－6，f (2)＝－2，f (3)＝4，∴f (2)·f (3)＜0.∴β∈(2,3)．答案 C解析 ∵f ·f ＜0，且|－|＜， ∴f (x )的一个正零点x 0∈,， ∴x 0＝可作为零点的近似值． 答案 C4．用二分法求函数y ＝f (x )在区间[2,4]上的近似零点(精准度为，验证f (2)·f (4)＜0，取区间[2,4]的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)＜0，则现在零点x 0所在的区间是________．解析 ∵f (2)·f (4)＜0，f (2)·f (3)＜0， 因此f (3)·f (4)＞0，∴x 0∈(2,3)． 答案 (2,3)5．用二分法求方程x3－8＝0在区间(2,3)内的近似解通过________次“二分”后精准度能达到?解析设n次“二分”后精准度达到，∵区间(2,3)的长度为1，∴12n＜，即2n＞100.注意到26＝64＜100,27＝128＞100.故要通过7次二分后精准度达到.答案76．(2013·合肥高一检测)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点周围的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)＝－2f＝f＝－f＝－f 5)＝f 25)＝－那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为________(精准度．解析由表知| 5－|＝ 5＜，所以方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为 5.答案 5(不唯一)7．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一零点，并求出那个零点(精准度．证明由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝4＞0，又函数f(x)是增函数，所以函数在区间(1,2)内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈(1,2)．下面用二分法求解：区间中点的值中点函数近似值(1,2)(1,(1,－, 5－因为| 5－|x.能力提升8．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )．A．[1,4] B．[－2,1]解析由于第一次所取的区间为[－2,4]，∴第二次所取区间为[－2,1]或[1,4]， 第三次所取区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52或⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4. 答案 D9．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法求出，则a ，b 的关系是________．解析 ∵函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法，∴函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 图象与x 轴相切，∴Δ＝a 2－4b ＝0，∴a 2＝4b . 答案 a 2＝4b10．利用计算器，求方程lg x ＝2－x 的近似解(精准度为．解 作出y ＝lg x ，y ＝2－x 的图象，能够发觉，方程lg x ＝2－x 有唯一解，记为x 0，而且解在区间(1,2)内．设f (x )＝lg x ＋x －2，用计算器计算 得f (1)＜0，f (2)＞0⇒x ∈(1,2)；f ＜0，f (2)＞0⇒x ∈,2)； f ＜0，f (2)＞0⇒x ∈,2)； f ＜0，f ＞0⇒x ∈,； f ＜0，f 5 )＞0⇒x ∈, 5)；∵| 5－|＝ 5＜，所以方程的近似解可取为 5.。
人教A版数学必修一版《学习方略》必修1课时提升作业(二十四)3.1.2用二分法求方程的近似解.docx
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课时提升作业(二十四)用二分法求方程的近似解(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.如图,函数的图象与x轴均有交点,其中不宜用二分法求交点的横坐标的是( )A.①B.①③C.②③D.①④【解析】选D.图①④中零点左侧与右侧的函数值符号相同,不宜用二分法求零点,当然也不宜用二分法求交点的横坐标.( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)【解析】选C.因为f(-1)=2-1-3=-<0,f(0)=20-3=-2<0,f(1)=2-3=-1<0,f(2)=22-3=1>0,f(3)=23-3=5>0,所以f(1)·f(2)<0,所以f(x)=2x-3的零点x0∈(1,2).【变式训练】用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取初始区间是( )A.[-2,-1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[1,2]【解析】选A.因为f(-2)=(-2)3+5=-3<0,f(-1)=(-1)3+5=4>0,f(0)=03+5=5>0,f(1)=13+5=6>0,f(2)=23+5=13>0,所以f(-2)·f(-1)<0,所以初始区间可选为[-2,-1].3.在用二分法求函数f(x)的零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是( )A.[1,4]B.[-2,1]C.[-2,]D.[-,1]【解析】选 D.因为第一次所取的区间是[-2,4],所以第二次所取的区间可能是[-2,1],[1,4],所以第三次所取的区间可能是[-2,-],[-,1],[1,],[,4].故选D.4.在用二分法求函数f(x)在区间(a,b)上的唯一零点x0的过程中,取区间(a,b)的中点c=,若f(c)=0,则函数f(x)在区间(a,b)上的唯一零点x0( )B.在区间(c,b)内C.在区间(a,c)或(c,b)内D.等于【解析】选D.根据二分法求方程近似解的方法和步骤,函数f(x)在区间(a,b)上的唯一零点等于,即x0=.5.(2014·桂林高一检测)下列函数中,不适合用二分法求零点的是( )A.f(x)=2x+3B.f(x)=lnx+2x-9C.f(x)=x4-2x3+x2D.f(x)=2x-3【解析】选C.因为f(x)=x4-2x3+x2=x2(x-1)2,所以函数f(x)的图象与x轴有两个公共点(0,0)和(1,0),除此两点外,其图象完全在x轴上方,所以函数f(x)=x4-2x3+x2不适合用二分法求零点,A,B,D均适合用二分法求零点.6.函数y=与函数y=lgx的图象的交点的横坐标(精确度0.1)约是( )A.1.7125B.1.8025C.1.8125D.1.8775【解析】选C.设f(x)=lgx-,经计算f(1)=-<0,f(2)=lg2->0,所以方程lgx-=0在[1,2]内有解,设为x=x0.取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器算得f(1.5)≈-0.1775,因为f(1.5)f(2)<0,所以x0∈(1.5,2).取区间(1.5,2)的中点x2=1.75,用计算器算得f(1.75)≈-0.0543,因为f(1.75)f(2)<0,所以x0∈(1.75,2).用计算器算得f(1.875)≈0.0004,因为f(1.75)f(1.875)<0,所以x0∈(1.75,1.875).取区间(1.75,1.875)的中点x4=1.8125,用计算器算得f(1.8125)≈-0.0264,因为f(1.8125)f(1.875)<0,所以x0∈(1.8125,1.875).由于|1.875-1.8125|=0.0625<0.1,所以函数f(x)=lgx-的零点即y=与y=lgx图象交点的横坐标的近似值可取1.8125.二、填空题(每小题4分,共12分)7.在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.6875)<0,即可得出方程的一个近似解为(精确度为0.1). 【解析】因为|0.75-0.6875|=0.0625<0.1,所以原方程的近似解可取为0.75.答案:0.75(答案不唯一)8.(2014·南京高一检测)在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为. 【解析】设f(x)=x3-2x-1,其零点为x0,则f(1)=13-2×1-1=-2<0,f(2)=23-2×2-1=3>0.取区间(1,2)的中点x1=1.5,因为f(1.5)f(2)<0,所以x0∈(1.5,2).答案:(1.5,2)(说明:写成闭区间也算对)【变式训练】用二分法求方程lnx=在[1,2]上的近似解,取中点c=1.5,则下一个有根区间为.【解析】令f(x)=lnx-.f(1)=-1<0,f(2)=ln2-=ln>ln1=0,f(1.5)=ln1.5-=(ln1.53-2)因为1.53=3.375,e2>4>1.53,故f(1.5)=(ln1.53-2)<(lne2-2)=0,f(1.5)f(2)<0,所以下一个有根区间是(1.5,2).答案:(1.5,2)9.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下表:那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似的正数根(精确度0.1)为.【解析】由于精确度是0.1,而|1.4375-1.375|=0.0625<0.1,故可得方程x3+x2-2x-2=b的一个近似的正数根为1.4375.答案:1.4375(答案不唯一)【拓展延伸】用二分法求函数零点应注意的两个问题(1)求函数的近似零点时,所要求的精确度不同,得到的结果也不相同.(2)求函数零点的近似值时,由于所选取的起始区间不同,最后得到的结果可以不同,但它们都是符合所给定的精确度的.三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·天津高一检测)借助计算机或计算器,用二分法求方程log2(x+4)=2x 的一个正根的近似值.(精确度0.1)【解析】令f(x)=log2(x+4)-2x,其零点为x0,借助计算机作出函数f(x)的图象如图所示.取正区间[1,2],f(1)≈0.322,f(2)≈-1.415.取区间[1,2]的中点x1=1.5,计算f(1.5)≈-0.369,所以f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5).再取区间(1,1.5)的中点x2=1.25,计算f(1.25)≈0.014,所以x0∈(1.25,1.5).同理可得x0∈(1.25,1.375),x0∈(1.25,1.3125),因为|1.3125-1.25|=0.0625<0.1,故可取1.3125作为此函数的一个零点,所以方程log2(x+4)=2x精确度为0.1的正根的近似值为1.3125.有,求出一个近似零点.(精确度0.1)【解题指南】由题目可获取以下主要信息:①判断函数在区间[1,1.5]内有无零点,可用根的存在性定理判断;②精确度0.1.解答本题在判断出在[1,1.5]内有零点后可用二分法求解.【解析】因为f(1)=-1<0,f(1.5)=0.875>0,且函数y=x3-x-1的图象是连续的曲线,所以它在区间[1,1.5]内有零点,用二分法逐次计算,列表如下:由于|1.375-1.3125|=0.0625<0.1,所以函数的一个近似零点为1.3125.【变式训练】求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个正数零点.(精确度0.1)【解析】由于f(1)=-6<0,f(2)=4>0,可取区间(1,2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下:由于|1.75-1.6875|=0.0625<0.1,所以可将1.6875作为函数零点的近似值.所以函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个正数零点为1.6875.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.下列的函数中,有零点但不宜用二分法求零点近似值的是( )①y=3x2-2x-5;②y=③y=+1;④y=x2-2x+3;⑤y=x2+4x+8.A.①③B.②⑤C.③⑤D.⑤【解析】选D.要用二分法求零点的近似值必须满足以下两点:(1)函数在区间(a,b)上连续无间断点;(2)函数图象必须在零点穿过x轴,即该零点不能是二重零点.⑤有二重零点,故⑤符合题意.2.(2014·宁德高一检测)设函数f(x)=4x3+x-8,用二分法求方程4x3+x-8=0的近似解,则方程的解落在下列哪个区间上( )A.(1,1.5)B.(1.5,2)C.(2,2.5)D.(2.5,3)【解析】选A.因为f(x)=4x3+x-8的图象在[1,3]上连续不断,且f(1)·f(3)<0,所以函数f(x)的零点x0∈(1,3),因为f(2)=4×23+2-8=26>0,所以f(1)f(2)<0,故x0∈(1,2),因为f(1.5)=4×1.53+1.5-8>0,所以f(1)f(1.5)<0,故x0∈(1,1.5).3.若函数f(x)在[a,b]上图象连续不断,且同时满足f(a)f(b)<0,f(a)f>0,A.f(x)在上有零点B.f(x)在上有零点C.f(x)在上无零点D.f(x)在上无零点【解析】选B.因为f(a)f(b)<0,f(a)f>0,所以f(b)f<0,又f(x)在上图象连续不断,所以f(x)在上有零点.4.(2014·南阳高一检测)已知f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)内有唯一零点x0,用二分法求得一系列含零点x0的区间,这些区间满足:(a,b) (a1,b1)(a2,b2)…(a k,b k),若f(a)<0,f(b)>0,则f(b k)的符号为( ) A.正 B.负C.非负D.正、负、零均有可能【解题指南】所有区间左端点函数值f(a1),f(a2),…,f(a k)与f(a)同号,右端点函数值f(b1),f(b2),…,f(b k)与f(b)同号.【解析】选A.由二分法求函数零点近似值的方法可知f(a k)与f(a)同号,f(b k)与f(b)同号,故f(b k)>0.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·武汉高一检测)用二分法求方程lnx-2+x=0在区间[1,2]上零点的近似值,先取区间中点c=,则下一个含根的区间是.【解析】设f(x)=lnx-2+x,其零点为x0,则f(1)=ln1-2+1=-1<0,所以f(1)f(2)<0,x0∈(1,2).取区间(1,2)的中点x1=,计算f=ln-2+=ln-,因为<e,所以<,所以ln<ln=,所以f=ln-<0,所以f f(2)<0,所以下一个含根区间是.答案:【举一反三】本题中方程改为“lnx+2-x=0”,试确定此方程的解在下列哪个区间之内.(1). (2).(3)(1,2).(4)(2,3). (5)(3,4).【解析】方程lnx+2-x=0可变为lnx=x-2,画出函数y=lnx与y=x-2的图象.设f(x)=lnx+2-x,则f=ln+2-=ln+.因为>e>2,所以ln>ln2,ln-ln2>0,即+ln>0,f(1)=ln1+2-1=1>0,结合图象知内有一个原方程的解.f(2)=ln2+2-2=ln2>0,f(3)=ln3+2-3=ln3-1>0,结合图象知(3,4)内有一个原方程的解.综上可知,方程lnx+2-x=0在区间和(3,4)上有解.6.(2014·福州高一检测)已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点.(精确度为0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数一般为次.【解析】区间长度为0.1,等分1次区间长度变为0.05,等分2次,区间长度变为0.025,等分3次,区间长度变为0.0125,等分4次,区间长度变为0.00625<0.01,符合条件.答案:4三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知函数f(x)=lnx+2x-6.(1)证明:f(x)有且仅有一个零点.(2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于.【解析】(1)因为函数y=lnx,y=2x-6在(0,+∞)上都是增函数,所以f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数,所以f(x)至多有一个零点,由f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,所以f(2)·f(3)<0,所以f(x)在(2,3)内至少有一个零点,所以f(x)有且仅有一个零点.(2)因为f(2)<0,f(3)>0,取x1==,f=ln+5-6=ln-1<0,所以f(3)·f<0,所以f(x)的零点x0∈.取x2==,f=ln+2×-6=ln->0,所以f·f<0,所以x0∈.因为-=≤,所以满足题意的区间为.8.探讨函数y=1.3x与函数y=log1.3x的图象有无交点,如有交点,求出交点的坐标(坐标值精确度0.1).【解题指南】如果存在交点,设交点横坐标为x0,则 1.=log1.3x0,即1.-log1.3x0=0,只要构造函数f(x)=1.3x-log1.3x,判断有没有零点即可.【解析】设函数f(x)=1.3x-log1.3x,因为f(1)=1.3>0,f(2)=1.32-log1.32≈-0.95<0,且f(x)在(1,2)上是连续函数, 所以方程1.3x=log1.3x在(1,2)上有实数解,设为x=x0.取区间中点x1=1.5,f(1.5)≈-0.06<0,所以f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5).取x2==1.25,f(1.25)≈0.54>0,所以f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5).同理可得x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.4375,1.5),x0∈(1.46875,1.5).因为|1.5-1.46875|≈0.03<0.1,可取x0=1.5作为函数f(x)的零点的近似解,1.31.5≈1.5,故两个函数的交点是(1.5,1.5).关闭Word文档返回原板块。
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课时作业(三十四)
1.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A.[－2，－1]
B.[－1，0]
C.[0，1]
D.[1，2]
答案 A
2.设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A.(1，1.25)
B.(1.25，1.5)
C.(1.5，2)
D.不能确定
答案 B
3.已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值：
由表可知函数f(x)存在实数解的区间有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案 D
解析由表可知：f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，f(6)f(7)<0，所以函数f(x)存在实数解的区间有4个.
4.以下函数图像中，不能用二分法求函数零点的是( )
答案 D
解析 利用二分法无法求不变号的零点.
5.已知函数y ＝f(x)的零点在区间[0，1]内，欲使零点的近似值的精确度达到0.01，则用二分法取中点的次数的最小值为( )
A.6
B.7
C.8
D.9
答案 B
解析 ∵(12)6＝0.015 625，(12
)7＝0.007 812 5， ∴至少要取7次中点，区间的长度才能达到精确度要求.
6.方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为( )
A.(0，1)
B.(1，2)
C.(2，3)
D.(3，4) 答案 C
7.若函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图像不间断，则( )
A.若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a ，b]上不存在零点
B.若f(a)·f(b)<0，则f(x)在[a ，b]上至少有一个零点
C.若f(x)在[a ，b]上存在零点，则可用二分法求此零点的近似值
D.用二分法只能求出函数的正数的零点
答案 B
8.若函数y ＝f(x)在区间(－2，2)上的图像是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2，2)上仅有一个实数根0，则f(－1)·f(1)的值( )
A.大于0
B.小于0
C.无法判断
D.等于零 答案 C
9.设函数y ＝x 3与y ＝(12
)x －2的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A.(0，1)
B.(1，2)
C.(2，3)
D.(3，4) 答案 B
解析 令f(x)＝x 3－(12
)x －2，f(0)＝－4<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，∴x 0∈(1，2). 10.函数f(x)＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )
A.(－2，－1)
B.(－1，0)
C.(0，1)
D.(1，2)
答案 C
解析
由f(x)＝0，得e x ＋x －2＝0，即e x ＝2－x. ∴原函数的零点就是函数y ＝e x 与y ＝2－x 图像交点的横坐标x 0，显然0<x 0<1.
11.用二分法研究函数f(x)＝x 3＋3x －1的零点时，第一次计算得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x 1)，则x 1＝________.
答案 0.25
12.三次方程x 3＋x 2－2x －1＝0在下列哪些连续整数之间有根？把正确选项的序号写出来：________.
①－2与－1之间； ②－1与0之间； ③0与1之间； ④1与2之间；
⑤2与 3之间.
答案 ①②④
13.用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是________.
答案 (2，2.5)
解析 令f(x)＝x 3－2x －5，
∵f(2)＝－1<0，f(2.5)＝5.625>0，f(3)＝16>0， ∴f(2)·f(2.5)<0.∴f(x)在(2，2.5)内有零点.
1.用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[a n ，b n ](n ∈N)上，当|a n －b n |<m
时，函数的零点近似值x 0＝a n ＋b n 2
与真实零点a 的误差最大不超过( ) A.m 4 B.m 2。