阿贝尔群与极大类p-群的半直积的Coleman自同构

令
ＯｕｃＧ）＝Ａ ｔ（ ／ｎ （ ． ｔ（ ： ｕｃＣ）ＩｎＧ）
Ｃ ｌ ｎ自同构在 有限群整 群环 的正规化子 问题 的研 究中起 了重要作 用 ． Ｚ 是有 限 ｏｅ ｍａ 设 Ｇ 群 Ｇ 在 整数环 ｚ上的整 群环 ，用 ｕ（ａ） ｚ 表示 Ｚ 的单位群 ， ｚ（ ｚ ） 示 Ｕ（Ｇ）的中 Ｇ ｕ（ａ）表 Ｚ 心， ｆｏ （ 表示 Ｇ 在 ｕ（ ａ）中的正规 化子 ．显然有 ｚ） Ｇ） ｚ
一பைடு நூலகம்
化子性 质 ． Ｈ ｒｗ ｃ ｅｔ ｅｋ在文 献 ［ 中首先 构造 了上述 问题 的一个 反例 ，然 而 由于 该 问题 与著 名 ４ ］ 的同构 问题 之间 的紧密联 系，研 究哪类 群有正 规化子性 质仍 然是 人们感 兴趣 的问题 ．关于正 规化 子 问题一 些近期 的研 究结果 可 见文献 ［ ３ ５７ ９１］ ２ ，－ ，－ ４． ，
Ｍ Ｒ（０ ０ 主题分 类： ０ ０； ６３ ； ０ １ 中图分类号 ： ５． 文献标识码：Ａ ２０） ２Ｃ ５ １Ｓ ４ ２ Ｃ ０ ０１２１ 文章编号：１０—９８２ １）２３４ ５ ０３３９（０２０—４— ０
１ 引 言
本文所 考虑 的群均 指有 限群 ． 设 Ｇ 是 一个有 限群 ， 是 Ｇ 的一个 自同构 ．若 满 足下面 三个条 件 （）盯保 持 Ｇ 的共轭类 ； １ （）ｃ在 Ｇ 的每 个 Ｓ ｌ 子群 上的 限制 等 于 Ｇ 的某个 内 自同构 的限制 ； ２ ｒ ｙｏ ｗ （） ３ 是 内 自同构 ， 则 称 为 Ｇ的一个 Ｃ ｌ ｎ白同构． ｏｅ ｍａ 该定 义是 由 Ｍａｃ ｉｋ Ｒｏｇｎａ 在 文献 【 ］ ｒｉ ａ 和 ｎ ｇｅ ｋｍｐ １ 中首 ２ 先 引进 的． Ｇ 的所 有 Ｃ ｌ ｎ自同构构成 一个群 ， 为 Ａｕ。Ｇ） 显然 ＩｎＧ） Ａｕ。Ｇ） 群 ｏｅ ｍａ 记 ｔ（ ． ｎ（ ｔ（ ，
Ａ ｔ （ Ａｕ Ｇ） ｕ ｚＧ） ｔ（
所 以若 我 们能证 明 Ｏｕ Ｇ） ｌ 则 Ｏｎｚａ） １从 而 Ｇ 有正 规化 子性 质 ．在 这 一方 面， ｔ（ ： ， ｔ（ ＝ ， Ｍａｃ ｉｋ和 Ｒ ｇｅｋｍｐ在 文献 『 ］ ｒｉ ａ ｎ ｏｇｎａ １ 中证 明 了若 Ｇ 是一 个具 有阿 贝尔 Ｓ ｌ 一 群的亚 ２ ｙｏ ２ 子 ｗ 阿 贝尔群 ，则 Ｇ 的每个 Ｃ ｌ ｎ自同构 是 内 自同构 ； Ｈｅｔ ｅｋ在文 献 『 ６ 中证 明了若 有 ｏｅ ｍａ ｒｗ ｃ ５ １ － 限群 Ｇ 的 Ｓｌｗ２一 群是循 环群 、 面体 群或广 义 四元数 群，则 Ｇ的 每个 Ｃ ｌ ｎ 自同构 ｙｏ 子 二 ｏｅ ｍａ 是 内 自同构 ；海进 科和 王 玉雷在 文 献 『 中证 明 了若 有 限群 Ｇ 的 Ｓ ｌ 子 群是 Ｔ 一 ， ３ ］ ｙｏ ２一 ｗ Ｉ 集 则 Ｇ 的每个 Ｃ ｌ ｎ自同构 是 内 自同构 ． ｏｅ ｍａ 本文 的 目的是研 究阿 贝尔群与 极大类 Ｐ一 的半直积 的 Ｃ ｌ ｎ 自同构 ．我 们的研究 动 群 ｏｅ ｍａ 机 源于 Ｍａｃｎａ ｒｉｉｋ和 Ｒ ｇｅｋｍｐ在 文献 ［ 】 ｏｇｎａ １ 中构造 的一个例子 ： ２ 存在 同构 于 （ ×Ｃ ） ｃ４ ３ 的有 限群 Ｇ， 使得 Ｏｕ Ｇ） １ 这 个例 子说 明若 一个 有限 群是 阿 贝尔群与 Ｐ一 的半直积 ， ｔ（ ≠ ． 群 则 该 群的 Ｃ ｌ ｎ 自同构未 必 都是 内 自同构 ．然 而 ，本 文将要 证 明下面这 个 主要结 果 ． ｏｅ ｍａ 定 理 设 Ｇ ＝Ａ Ｐ 是 阿 贝尔群 和 一个极 大类 Ｐ一 Ｐ 的半 直积 ，其 中 Ｊ 中的元 以 群 Ｆ ） 幂 白同构 的方式 作用 于 Ａ， Ｇ 的每 个 Ｃ ｌ ｎ自同构 都是 内 自同构 ，即 则 ｏｅ ｍａ
织 黝
数学物理学报
ｈｔ： ａｔｍｓ ｉ ａ． ｔ ／ ｃａ ． ｐ ｃ ｎ ｐ／ ｗ ｍ． ｅ
阿贝尔群与极大类 Ｐ一 群的半直积 的 Ｃ ｌ ｎ 自同构 ｏｅ ｍａ
李 正兴 海进 科
（ 岛大学数学科 学学院 青 山 青岛 ２ ６ ７ ） 东 ６０ １
摘要 ： Ｇ＝ Ａ Ｐ 是阿贝尔群 Ａ 与极大类 Ｐ一群 Ｐ 的半直积，其 中 Ｐ 中的元以幂 自同构 设 的方 式作用于 Ａ 该文证明了 Ｇ 的每个 Ｃｏｅ ｎ自同构都是 内自同构 ．作为该结果的一个直 ｌｍａ 接推论，作者得 到了这样 的群 Ｇ 有正规化子性质． 关键词：整群环； Ｃ ｌｍａ ｏｅ ｎ自同构 ；正规化子性质 ．
Ｎ． ｏ２
李 正兴 等 ：阿 贝 尔群与极 大类 Ｐ一 的半 直积 的 Ｃ ｌ ｎ 自同构 群 ｏｅ ｍａ
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设 ｕ∈Ｎｕｚ ） ， 们用 表 示 由 ， （Ｇ（ 我 Ｇ） “通过 共 轭诱导 的 Ｇ 的 自同构 ，即对 任 意 ｇ∈Ｇ， （）＝ Ｕ １ｕ ９ ＿ －ｇ ．有 限 群 Ｇ 的所 有这 样 的 自同构 构成 的群记 为 Ａ ｔ（ ． 显然 ＩｎＧ）≤ ｕｚＧ） ｎ（ Ａ ｔ（ ， ｕｚＧ）令 ＯｕｚＧ）＝ＡｕｚＧ）ＩｎＧ ． ｔ（ ： ｔ（ ／ｎ （ ） 文 献 ［ 问题 ３７ 问 ：对 任意 有限 群 Ｇ， 否 总有 ＯｕｚＧ） １ ７ ， ． ］ 是 ｔ（ ＝ ７不难 看 出上述 问题 与正规 化 子 问题是 等 价 的．另外 我们 知道对 任 意有限 群 Ｇ， 有
Ｎｕｚ ） Ｇｚ（ ｚ ） （ａ（ Ｇ） ｕ（ａ） 个 自然的问题 （ 见文献 ［ ， １ 问题 ４］是： 任意有限群 Ｇ是否总有 ＮＵＺ ） ＝ｃｚ（ ｚ ） ５ ３） 对 （ （ Ｇ Ｇ） ｕ（ａ） 成立 ？称 该 问题 为整 群环 的正规 化子 问题 ．如果 上述 等式对 Ｇ 成 立 ，那 么 我们称 Ｇ 有 正规
收稿 日期： ０ ００ － ８ 修订 日期： ０ １１— ６ ２ １— ７０ ； ２ １ －２０
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｛ 基金项 目：国家 自 然科学基金 （１ ７ １ ５ １ １ １ ６ ） 山东省 自然科学基金 （ ２ ０ Ａ ３ 资助 １０ １５， １７ １９ 和 Ｙ ０８ ０ ）