5.5-阿贝尔群与循环群PPT课件

p1，p2，p3Sn,xS有p3(x)=y ，p2(y)=z, p1(z)=u, 则(p1p2)p3(x)=u,p1(p2p3)(x)=p1(z)=u p1(p2p3)=(p1p2)p3 (3)恒等置换为幺元
(4)pSn,xS,存在逆元p-1,其中若p(x)=y则p-1(y)=x。
.
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所以，<Sn,>是一个20群21/3。/10
ii)hkHK,则k-1h-1是h k的逆元。
又∵k-1h-1=(h-1) ’(k-1) ’ HK
<HK, >是一个子群。
必要性: 若<k h=(h-1 k-1)-1HKKHHK
xHK,x-1HK x-1=hk x=(x-1)-1=(h k)-1=k-1 h-1KH
HKKH，
11 KH=HK。
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共同的心声
一起帮助孩子更好学习， 一起帮助孩子健康成长。
* α γ γ2 γ3 α α γ γ2 γ3 γ γ γ2 γ3 α γ2 γ2 γ2 α γ γ3 γ3 α γ γ2
由上表看出<G,*>是一个循环群.
* αβγδ α αβγδ β βαδγ γ γδβα δ δγαβ
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﹡置换群
1.定义（5-6.1）:一个具有n个元素的集合S,将S上所
<Sn,>是一个群
例:p1= 123 312
p1-1= 123 231
p1 p1-1= 123 123
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置换群与对称群
定义5-6.2:<Sn,>的任何子群称为集合S上的一个置
换群。<Sn,>称为S上的对称群。
例: S上对称群Sn={p0,p1,p2,p3,p4,p5}的置换群： 以p1为生成元的置换群为<{p1,p0},>， 以p2为生成元的置换群为<{p2,p0},>， 以p3为生成元的置换群为<{p3,p0},>, 以p4为生成元的置换群为<{p4,p5,p0},>。
＃
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循环群的性质
例1. a)<I,+>是无限循环群,其中-1,1均是生成元。（生成元不唯一）
b)<{5j|jI},+>是无限循环群,其中-5,5均是生成元。
c)Nk={[0],,[k-1]}，<Nk,+k>是有限循环群,其中[1]是生成元,与k互 质的任一数也是生成元，这里Nk={[0],,[k-1]},[x]是I中的模k等价类。 +k定义为: [x]+k[y]=[x+y] +4 [0] [1] [2] [3] [3] [0] [0] [1] [2] [3] [3]2=[6]=[2]
5.5 阿贝尔群与循环群
定义5-5.2
设<G,*>是一个群,若存在gG,使得 aG,iI（I为整数集），有a=gi,则称<G,*> 是一个循环群, g是<G,*>的生成元。也可称 <G,*>是由g生成的循环群。
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循环群的性质
1. 定理5-5.2
每个循环群必是阿贝尔群。 证:设g是<G,*>的生成元,则 a,bG, 则存在r,sI,，使得a=gr且b=gs。 a*b=gr*gs=gr+s= gs+r =gs*gr=b*a。 ＃
[1] [1] [2] [3] [0]
[3]3=[5]=[1]
[2] [2] [3] [0] [1] [3]4=[4]=[0]
[3] [3] [0] [1] [2]
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循环群的性质
例2.设G={α,β,γ,δ}，G上二元运算*如下右表所示。
证明<G,*>是循环群 。
证: ∵γ2=β, γ3=δ,γ4=α∴运算表可 改写如下:
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置换群
②二元运算 pipj表示先进行置换pj,再进行置换pi,称左复合。 pipj表示先进行置换pi,再进行置换pj,称右复合。
例:左复合 123 321
123 213
=
123 231
右复合
123 321
123 213
=
123 312
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<Sn,>是一个群
证:(1)封闭性p1,p2Sn，须证p1p2Sn， ∵若a,bS且ab则当a,b被p2置换为c,d时,必有cd。 当c,d被p1置换为e,f时,必有ef。 p1p2将S中任二个不同元素映射到S中的二个不同元素， p1p2Sn(有限集A上的单射必为满射)。 (2)运算满足结合律
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循环群的性质
2.定理5-5.3： 设<G,*>是由g生成的有限循环群,
若|G|=n,则G={g1,g2,,gn}。
证:
a) 证g的阶为n。先证：若m<n,则gm≠e。
（ 反证法） 若m<n,且gm=e,gkG,k=m q+r, 0≤r<m，
有gk=gmq+r=gmqgr=gr，
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习题讲评
P197.证<HK, >是子群的充要条件是HK=KH
证:充分性: 若HK=KH,
h kHK, k’ h’KH有hk=k’h’成立。
i)h1k1, h2 k2HK h1 k1 h2 k2=h1 h2’k1’ k2HK(∵<H, >,<K, >是 群)
有n!个不同的置换所生成的集合记作Sn。
①例:A={1,2}有二个置换1=
1
1
， = 2
1
2
2
2
A={1,2,3}有6个置换
。 2
1
P0
p1
p2
p3
p4
p5
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3 3 2 1 1 3 2 2 3 1 3 1 2
∴G中最多有m个不同元素,这与|G|=n矛盾，所以g的阶为 n。
b)证{g1,g2,,gn}中的元素全不相同。
若gi=gj(1≤i<j≤n )， gj-i=e 。
∵0≤j-i<n ∴这与a)矛盾。
c)∵giG且|G|=n(1≤i≤n)，∴G={g1,,gn} ，
∵ g的阶为 n， ∴gn=e。
G={g0 ,g1 , g2 , ,gn-1}。