第6讲 循环群和置换群
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《循环群与置换群》课件
在实际应用中，同态和同构的概念可 以用于比较不同置换群之间的相似性 和差异性，以及进行置换群的分类和 结构分析。此外，同态和同构也是研 究其他代数结构的重要工具和方法。
06
应用实例
在密码学中的应用
加密算法
置换群和循环群在加密算法中有着广泛的应用，如凯撒密码、栅栏密码等。这些 算法利用置换群中的置换操作对明文进行加密，保护信息的安全。
编码理论
置换群在编码理论中也有着广泛的应用，如线性码和循环码等。这些编码利用置换群的性质，能够设 计出高效可靠的编码方案。
在几何学中的应用
几何变换
置换群在几何变换中有着重要的应用 ，如矩阵表示和仿射变换等。通过利 用置换群的性质，可以研究几何图形 在不同变换下的性质和关系。
分形几何
循环群在分形几何中也有着一定的应 用，如Mandelbrot集和Julia集等。 这些分形结构通过循环群的迭代和递 归生成，展现出复杂而美丽的几何图 案。
《循环群与置换群》PPT课件
目录
• 群的基本概念 • 置换群 • 循环群与置换群的关系 • 循环群的性质 • 置换群的性质 • 应用实例
01
群的基本概念
群的定义
1
群是由一个集合以及定义在这个集合上的二元运 算所组成的一个代数结构。
2
群中的元素称为群元，通常用小写字母表示，如 $a, b, c, ldots$。
子群的构造
通过选择置换群中的若干个置换作为子群的元素，可以构造出置换群的子群。子群可以由单位元和若干个非单位元的 置换构成，其中非单位元的置换可以两两复合得到。
子群在置换群中的作用
子群在置换群的结构和性质研究中具有重要的作用。通过研究子群的性质和分类，可以进一步了解整个 置换群的性质和结构。
交换群与循环群
例： ∵(-1)0=0 、(-1)1=-1、(-1)2 = (-1)+(-1) = -2、……、 (-1) n = - n、…… (-1)-1 = 1、(-1)-2 = (-1-1)2 = (-1)-1+(-1)-1 = 1+1 = 2、……、 (-1)-n = n、…...
∴ -1也是<I,+>的生成元 可见，一个循环群的生成元可以是不唯一的。
(2) 证明a, a2, a3, ……, a n-1, a n 中任何两个元素都不相同 (反证法)设有1≤ i < j ≤ n，使 ai = aj，则 aj-i = aj * a-i = ai * a-i = e ，1≤ j- i ≤n-1< n 由 (1) 已经证明了不可能存在小于 n 的整数 m ， 使得 a m = e
显设然S=<{Sa,c*,a>d是,a循e,a环f…群ao…(}e1 =Ge，，令e是m=生m成in元{x|)ax S}
2) 若S≠{e}，∵S的元素都由a的幂组成， ∴必存在最小的正整数m，使得amS
xS，x= aL, 必有 L = mq+r (q是非负整数，0≤r<m ) 由封闭性，可得：ar = aL - m q = aL * (a m) -q S ∵ 0 ≤ r < m，m是使 a m S的最小正整数 ∴必有 r = 0 ，L = m q aL = ( a m )q，即S中任意元素 aL 都可用 am 的幂表示 又∵<S,*>是群 ∴<S,*>是以 am 为生成元的循环群
证明： 对任意的a,bG，有 (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) ∵a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b) = ( a * b) * ( a * b ) = a * ( b * a ) * b ∴ a-1 * ( a * ( a *b ) * b ) * b-1 = a-1 * ( a * ( b* a ) * b ) * b-1 ∴a*b=b*a ∴ <G,*>是交换群
第6节置换群
定义
, ik 和 j1 , j2 , , js 都是循环置换,如果 与 不含相同元素，
设 i1 , i2 ,
则称 与 定理3
ik
是不相连（交）的.
每个置换都可表成不相连循环置换之积.
j1 j2 js a js a i1 j1 j2 b b
（i1 i2 i3 ik )，（i2 i3 ik i1 )， ，或（ik i1 i2 ik 1 )
注：循环置换的表示一般也不是唯一的。 习惯上，称2-轮换为对换；单位置换常记为
(1) (2) (3)
( n)
S3 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 例 三次对称群为：
, 2 , 3 ,求A的全体置换. 例1 设 A 1
2 3 1 0 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2
2 3 1 1 3 2 1 2 3 1 3 3 1 2
1 p1 2 p2 n p1 1 pn 1
p2 2 pn n
注意：置换乘法没有交换律。如
2 3 2 3 1 1 5 1 3 2 1 1 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 5 3 2 3 2 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 5 1 3 2 1 1 3 2 2 3 1
二、置换的矩阵表示
考虑任意有限集合，不妨设 A 置换
1, 2,
n pn
, n
: 1 p1 , 2 p2 ,
, n pn
可表示为
循环群和置换群-置换群
1
置换群的元素都是一一对应的，即每个元素都有 一个唯一的逆元素。
2
置换群中的元素可以相乘，满足结合律和单位元 存在性。
3
置换群中的元素可以相逆，满足逆元存在性。
置换群的例子
01
02
03
置换群的一个简单例子 是$S_n$，即所有$n$个 元素的排列组成的群。
置换群也可以是有限集 合上的自同构群，例如 有限环上的模运算构成
定义
通过同态映射将置换群映射到另一个群或半 群上，从而将问题转化为更易于处理的形式 。
优点
能够将复杂问题简化，便于理解和分析。
缺点
同态映射的选择需要具备一定的理论基础和 实践经验，且可能引入额外的复杂性。
05
CATALOGUE
置换群的应用
在对称性物理中的应用
量子力学
置换群在量子力学中用于描述粒子的 对称性，例如在描述原子或分子的电 子排布时，置换群可以用来描述电子 的对称性。
在密码学中的应用
密码算法
置换群在密码学中被广泛应用于各种密码算法，例如AES、DES等对称加密算 法中都涉及到置换群的概念。
密钥管理
置换群可以用于密钥管理，例如通过对称加密算法中的置换操作来生成密钥， 保证通信的安全性。
THANKS
感谢观看
晶Hale Waihona Puke 结构在晶体物理学中，置换群被用来描述 晶体的对称性，例如空间群可以描述 晶体在三维空间中的对称性。
在组合数学中的应用
组合问题
置换群在组合数学中用于解决各种组合问题，例如排列、组合、划分等问题。
组合恒等式
置换群可以用来证明和推导组合恒等式，例如在证明帕斯卡恒等式时，置换群被用来证明组合数的对称性。
循环群·变换群和置换群
（V ）循环群·变换群和置换群一、定义及例子1、定义：设G 是群，若存在a ∈G 使得G 中任意元素均为a 的幂，即G=（a ）【=（a -1）】2、例子：（1）Z =（1）（2）(Z 12，+)=（[1]）=([11])注：（[5]）=Z 12,([7]),([11])【小于12的素数都能生成Z 12】（3）n 次单位根群Un 【Unit 】)(),(},1|{0ω=⨯⊆∈==∈≠*C C x x x U Nn n nn n i ππω22sin cos +=二、生成元，循环群1、循环群的元素⎩⎨⎧∞=∈>===-)(},|{0)(},,...,,{)(1a o Z i a m a o a a e a G i m 2、生成元（1）1,)(±=⇔∞=r a a o r是生成元（2）1),(,)(=⇔=n r a n a o r 是生成元 {}xi x e n r n r r n n ix sin cos Enler 1,1),(|)(n n )(#+=≤≤==）：欧拉公式（互素的。
的数中与：小于欧拉数ϕϕ如（Z 12，+）=（[1]）=（[5]）=([7])=([11])三、循环群的子群1、循环群的子群是循环群2、循环群子群的分类 }|1|){(G ),(,0)()2(}0|){(G ),(,)()1(n r n r a a G n a o r a a G a o r r 且的所有子群为则设的所有子群为则设≤≤=>=≥=∞=变换群和置换群·任意一个置换可以写成若干个对换的乘积。
·(ij)=(1i)(1j)(1i)·任意一个置换可以写成若干个形如（1i ）的乘积（2≤i ≤n ） 置换的性质)()...()()...(6],...,,[)()(5/*/*)...)(...()...)( (4)...()...(3))...((2)...()...()...(12112121212121212111121211113221r r t i i t r r r r r r r r r r r r i i i i i i rr r r o r o i i i j j j j j j i i i i i i i i i ri i i o i i i i i i i i i i σσσσσσσσσσσ====⋅⋅⋅======----、附加：则不相连）且是循环置换的表示（互、前提：无交、、、、。
置换群的表示方法及循环
§6.置换群
• 6.1 置换群 • 6.2 置换的表示方法:2-行法 • 6.3 循环 • 6.4 补充结论
变换群的一种特例,叫做置换群,在代数 里占一个很重要的地位.比方说,在解决方程 能不能用根号解这个问题时就要用到这种 群．这种群还有一个特点，就是它们的元 可以用一种很具体的符号来表示，使得这 种群里的计算比较简单．现在我们把这种 群讨论一下．
表示置换的第一个方法就是把以上这个置换写成
1
k1
2 k2
L L
n
kn
形式不唯一.在这种表示方法里，第一行的 n
个数字的次序显然没有什么关系，比方说以上的
我们也可用
213L n
k2
k1
L
kn
例１ n 3．假如
: a1 a2 , a2 a3, a3 a1
那么
123
231
132
1
我们再用归纳法．
I.当 不使任何元变动的时候，就是当 是
恒等置换的时候，定理是对的．
II. 假定对于最多变动 r 1(r n) 个元的 定理是对的．现
在我们看一个变动 r 个元的 ．我们任意取一个被 变动
的元 ai1 ，从 ai1 出发我们找 ai1 的象 ai2，ai2 的象 ai3 ，这样找
们用符号
(i1i2 L ik ) ，(i2i3 L iki1) ，…或 (iki1 L ik1) 来表示．2-循环称为对换.
例３ 我们看 S5 ，这里
12345
23145
123
231
312
12345
23451
12345
23451
L
51234
12345 12345
1
• 6.1 置换群 • 6.2 置换的表示方法:2-行法 • 6.3 循环 • 6.4 补充结论
变换群的一种特例,叫做置换群,在代数 里占一个很重要的地位.比方说,在解决方程 能不能用根号解这个问题时就要用到这种 群．这种群还有一个特点，就是它们的元 可以用一种很具体的符号来表示，使得这 种群里的计算比较简单．现在我们把这种 群讨论一下．
表示置换的第一个方法就是把以上这个置换写成
1
k1
2 k2
L L
n
kn
形式不唯一.在这种表示方法里，第一行的 n
个数字的次序显然没有什么关系，比方说以上的
我们也可用
213L n
k2
k1
L
kn
例１ n 3．假如
: a1 a2 , a2 a3, a3 a1
那么
123
231
132
1
我们再用归纳法．
I.当 不使任何元变动的时候，就是当 是
恒等置换的时候，定理是对的．
II. 假定对于最多变动 r 1(r n) 个元的 定理是对的．现
在我们看一个变动 r 个元的 ．我们任意取一个被 变动
的元 ai1 ，从 ai1 出发我们找 ai1 的象 ai2，ai2 的象 ai3 ，这样找
们用符号
(i1i2 L ik ) ，(i2i3 L iki1) ，…或 (iki1 L ik1) 来表示．2-循环称为对换.
例３ 我们看 S5 ，这里
12345
23145
123
231
312
12345
23451
12345
23451
L
51234
12345 12345
1
高等代数循环群与交换群
⟨a⟩ = {· · · , am, a−(m−1), · · · , a−1, a0 = e, a, · · · , am−1, am, · · · } 有无限个元. 当 a 有两个幂相等时，必有 n 为正整数，使 ⟨a⟩= {a, a2, · · · , an = e}，其中任意两个幂互不相同. 这时 ⟨a⟩ 的阶为 n， 称为 a 的阶，记作 o(a)，故当 G 为有限群时，o(a) | |G|.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
元素的阶
循环群与交换群是最简单的群. 我们来研究它们的结构与性质. 定理 设 G 是群，a ∈ G. 当 a 的任意两个方幂皆不相等时，
⟨a⟩ = {· · · , am, a−(m−1), · · · , a−1, a0 = e, a, · · · , am−1, am, · · · }
上面讨论循环子群 ⟨a⟩, a ∈ G，G 是乘法群形式. 而 ⟨a⟩ = {ak | k ∈ Z}. 当 G 是加法群形式时，乘法群时 a 的方幂要变成 a 的倍数：
k 为正整数时, ka = a + a + · · · + a; 0a = 0;
k个
k 为负整数时, ka = (−a) + (−a) + · · · + (−a) .
Gi = ⟨ai⟩ = {ai, a2i , · · · , ani −1, ani = eGi }, i = 1, 2,
其中 ai 的各个幂 aki (1 ≤ k ≤ n, i = 1, 2) 是不同的. 作映射 G1 −φ→ G2 ak1 −→ ak2,k = 1, 2, · · · , n.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
元素的阶
循环群与交换群是最简单的群. 我们来研究它们的结构与性质. 定理 设 G 是群，a ∈ G. 当 a 的任意两个方幂皆不相等时，
⟨a⟩ = {· · · , am, a−(m−1), · · · , a−1, a0 = e, a, · · · , am−1, am, · · · }
上面讨论循环子群 ⟨a⟩, a ∈ G，G 是乘法群形式. 而 ⟨a⟩ = {ak | k ∈ Z}. 当 G 是加法群形式时，乘法群时 a 的方幂要变成 a 的倍数：
k 为正整数时, ka = a + a + · · · + a; 0a = 0;
k个
k 为负整数时, ka = (−a) + (−a) + · · · + (−a) .
Gi = ⟨ai⟩ = {ai, a2i , · · · , ani −1, ani = eGi }, i = 1, 2,
其中 ai 的各个幂 aki (1 ≤ k ≤ n, i = 1, 2) 是不同的. 作映射 G1 −φ→ G2 ak1 −→ ak2,k = 1, 2, · · · , n.
第五章 4阿贝尔群 循环群 置换群
(3) (an)-1=(a-1)n（记为a-n）（n为整数）
5-5 阿贝尔群、循环群和置换群
例6 (1)令A={2i|i∈Z}，那么〈A,·〉(·为普通的数 乘)是循环群，2是生成元(2-1也是生成元)。 (2)〈Z8,+8〉为循环群，1,7是生成元。 (3) Klein四元群不是循环群。
eabc eeabc aaecb bbcea ccbae
练习：设
表示在平面
上几何图形绕形心顺时针旋转角度的六种可能，设
☆是R上的二元运算，a☆b表示平面图连续旋转a和 b得到的总旋转角度，并规定旋转360表示回到原来 状态。列出R上☆的运算表，并证明<R,☆>是循环 群。
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
幺元是0,60和300 是其生成元
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
ab = a-1b-1= (ba)-1 = ba， 所以〈G , 〉是一个阿贝尔群。
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
二、循环群(Cyclic Groups)
定义5-5.2 设 G, 是群，若G中存在元素a，使得 G中每个元素都由a的幂组成，则称 G, 为循环 群(Cyclic Groups) ，元素a称为该循环群的生成元 。
2 2
3 3
2
=
1 2
2 1
3 3
4
=
1 3
2 2
3 1
5
=
1 2
2 3
3 1
3
=
1 1
2 3
3 2
6
=
1 3
2 1
3
2
任意两个置换的运算 ，即两个可逆变换的 复合，从右往左计算，如：
S3
5-5 阿贝尔群、循环群和置换群
5-5 阿贝尔群、循环群和置换群
例6 (1)令A={2i|i∈Z}，那么〈A,·〉(·为普通的数 乘)是循环群，2是生成元(2-1也是生成元)。 (2)〈Z8,+8〉为循环群，1,7是生成元。 (3) Klein四元群不是循环群。
eabc eeabc aaecb bbcea ccbae
练习：设
表示在平面
上几何图形绕形心顺时针旋转角度的六种可能，设
☆是R上的二元运算，a☆b表示平面图连续旋转a和 b得到的总旋转角度，并规定旋转360表示回到原来 状态。列出R上☆的运算表，并证明<R,☆>是循环 群。
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
幺元是0,60和300 是其生成元
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
ab = a-1b-1= (ba)-1 = ba， 所以〈G , 〉是一个阿贝尔群。
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
二、循环群(Cyclic Groups)
定义5-5.2 设 G, 是群，若G中存在元素a，使得 G中每个元素都由a的幂组成，则称 G, 为循环 群(Cyclic Groups) ，元素a称为该循环群的生成元 。
2 2
3 3
2
=
1 2
2 1
3 3
4
=
1 3
2 2
3 1
5
=
1 2
2 3
3 1
3
=
1 1
2 3
3 2
6
=
1 3
2 1
3
2
任意两个置换的运算 ，即两个可逆变换的 复合，从右往左计算，如：
S3
5-5 阿贝尔群、循环群和置换群
交换群与循环群的关系
交换群与循环群的关系交换群和循环群是抽象代数学中的两个重要概念，它们之间存在着密切的联系和相互关系。
首先，我们来介绍一下交换群和循环群的概念。
交换群，也叫做阿贝尔群，是由一组元素以及一个二元运算组成的代数结构。
这个二元运算通常表示为“+”，并且满足以下性质：1. 封闭性：对于任意的元素a、b∈G，有a+b∈G。
2. 结合律：对于任意的元素a、b、c∈G，有(a+b)+c=a+(b+c)。
3. 存在单位元素：存在一个元素0∈G，使得对于任意的元素a ∈G，有a+0=a。
4. 存在逆元素：对于任意的元素a∈G，存在一个元素-b∈G，使得a+b=0。
5. 交换律：对于任意的元素a、b∈G，有a+b=b+a。
而循环群则是由一个生成元a和一个二元运算组成的群，这个二元运算通常表示为“×”，并且满足以下性质：1. 封闭性：对于任意的元素ai、aj∈G，有ai×aj=ak∈G。
2. 结合律：对于任意的元素ai、aj、ak∈G，有(ai×aj)×ak=ai ×(aj×ak)。
3. 存在单位元素：存在一个元素e∈G，使得对于任意的元素ai ∈G，有ai×e=ai。
4. 存在逆元素：对于任意的元素ai∈G，存在一个元素aj∈G，使得ai×aj=e。
5. 生成性：对于任意的元素ai∈G，都可以表示成a的幂次方的形式，即ai=a^k，其中k为整数。
从定义可以看出，循环群是一种特殊的群，它的元素都可以表示成生成元的幂次方。
而交换群则是一种满足交换律的群，它的元素之间的运算顺序不影响最终结果。
接着，我们来探讨一下交换群和循环群的关系。
首先，循环群是一种群，因此它也是一种交换群。
因为循环群中的运算满足交换律，即ai×aj=aj×ai，所以循环群也是一个交换群。
另外，交换群和循环群之间还存在着更为深刻的联系，即任意一个有限交换群都可以表示成循环群的直积的形式。
离散数学课件变换群、置换群与循环群
的运算
• [An;•]是代数系统。
• 1.封闭性
• 2.结合律当然成立
• 3.恒等置换eAn • 4.对于An,
在Sn中有逆元-1, -1也是偶置换
• 推论13.5：对称群Sn中所有偶置换组成的 集合, 记为An,关于置换的乘法构成群。
• 定义13.9：称上述[An;•]为n次交待群。
• 由于An中每个元素都是置换,因此根据置 换群的定义可知[An;•] 也是置换群.
• 证明:对任两个对换:
• (a,b)(c,d)
• (a,b)(b,c)
推论14.4：Sn中的奇、偶置换在置换的乘法运算 下,其奇偶性由下表给出:
• 偶置换 偶置换 偶置换
奇置换 奇置换
奇置换 奇置换 偶置换
• 恒等置换看作为偶置换 • Sn= On∪An • On∩An= • 偶置换与偶置换的乘积仍是偶置换，•是An上
• [Sn;•]是一个置换群, n次对称群。
• S上的置换Sn,习惯上写成
1(1)2(2) (nn)
这里(i)即为i在函数下的象，这里1,2, ,n次序无关，即
1 ( 1 )2 (2 ) ( n n ) i( 1 i1 )i2 (i2 ) ( ii n n )
• SS表示S到S的所有映射全体组成的集合, • SS={f|f:SS}， • [SS;•]是半群。是拟群。不是群 • T(S)表示S上所有一一变换组成的集合。 • T(S)={f|fSS,且f为一一对应} • [T(S);•]是群
• 定义13.5:设GT(S),当[G;•]为群时,就称
该群为变换群,其中•为一一变换的合成
离散数学课件变换群,置换群与循环群 13.10:g,egag, ra =era;arraa p17112.(2) autohwd 分享于 2017-03-30 16:16:11.0 暂无简介 文档格式: .ppt 文档页数: 22页 文档大小: 496.5k 文档热度: 文档分类: 待分类 系统标签: 数学课 置换 离散 变换 egag 循环
• [An;•]是代数系统。
• 1.封闭性
• 2.结合律当然成立
• 3.恒等置换eAn • 4.对于An,
在Sn中有逆元-1, -1也是偶置换
• 推论13.5：对称群Sn中所有偶置换组成的 集合, 记为An,关于置换的乘法构成群。
• 定义13.9：称上述[An;•]为n次交待群。
• 由于An中每个元素都是置换,因此根据置 换群的定义可知[An;•] 也是置换群.
• 证明:对任两个对换:
• (a,b)(c,d)
• (a,b)(b,c)
推论14.4：Sn中的奇、偶置换在置换的乘法运算 下,其奇偶性由下表给出:
• 偶置换 偶置换 偶置换
奇置换 奇置换
奇置换 奇置换 偶置换
• 恒等置换看作为偶置换 • Sn= On∪An • On∩An= • 偶置换与偶置换的乘积仍是偶置换，•是An上
• [Sn;•]是一个置换群, n次对称群。
• S上的置换Sn,习惯上写成
1(1)2(2) (nn)
这里(i)即为i在函数下的象，这里1,2, ,n次序无关，即
1 ( 1 )2 (2 ) ( n n ) i( 1 i1 )i2 (i2 ) ( ii n n )
• SS表示S到S的所有映射全体组成的集合, • SS={f|f:SS}， • [SS;•]是半群。是拟群。不是群 • T(S)表示S上所有一一变换组成的集合。 • T(S)={f|fSS,且f为一一对应} • [T(S);•]是群
• 定义13.5:设GT(S),当[G;•]为群时,就称
该群为变换群,其中•为一一变换的合成
离散数学课件变换群,置换群与循环群 13.10:g,egag, ra =era;arraa p17112.(2) autohwd 分享于 2017-03-30 16:16:11.0 暂无简介 文档格式: .ppt 文档页数: 22页 文档大小: 496.5k 文档热度: 文档分类: 待分类 系统标签: 数学课 置换 离散 变换 egag 循环
循环群和置换群
1.2 置换群
定义11.16 对任意集合A定义
集合S S = {f fAA∧f
为双射} 那么群<S，○>及其子
群称为变换群.其中
○ 为函数的合成运 算．
定理11.29
每个群均同构
于一个变换群， 特别地,每一个 有限群均同构于 一个置换群.
离散1.1 循环群
定理 11.27 循环群的子群都是循环群．
定理11.28 设<G，>为g生成的循环群．
（1）若G为无限群，则G有无限多个子群， 它们分别由g0,g1,g2, g3,…生成．
（2）若G为有限群， G ＝ n，且n有因子 k1,k2,k3,…,kr，那么G有r个循环子群，它们分别由 gk1,gk2,gk3,…生成.（注意这r个子群中可能有相同者．）
.
循环群和置换群
1.2 置换群
定义11.14
称有限集上的双射函数为置换． 称任意集合上的双射函数为变换．
定义11.15 将n个元素的集合A上的置换全体记为S，那么称
群<S, ○>为n次对称群（symmetric group），它的 子群又称为n次置换群（permutation group）．
.
循环群和置换群
离散数学导论
.
循环群和置换群
1.1 循环群
定义11.13
称<G，>为循环群(cyclic group)，
如果 G为群，且G中存在元素 g ,使 G以{g}为 生成集，即 G的任何元素都可表示为 g 的幂 （约定e = g0），这时g称为循环群G的
生成元（generater）．
.
循环群和置换群
1.1 循环群
定理11.26 设<G，>为循环群，g为生成元，那么
定义11.16 对任意集合A定义
集合S S = {f fAA∧f
为双射} 那么群<S，○>及其子
群称为变换群.其中
○ 为函数的合成运 算．
定理11.29
每个群均同构
于一个变换群， 特别地,每一个 有限群均同构于 一个置换群.
离散1.1 循环群
定理 11.27 循环群的子群都是循环群．
定理11.28 设<G，>为g生成的循环群．
（1）若G为无限群，则G有无限多个子群， 它们分别由g0,g1,g2, g3,…生成．
（2）若G为有限群， G ＝ n，且n有因子 k1,k2,k3,…,kr，那么G有r个循环子群，它们分别由 gk1,gk2,gk3,…生成.（注意这r个子群中可能有相同者．）
.
循环群和置换群
1.2 置换群
定义11.14
称有限集上的双射函数为置换． 称任意集合上的双射函数为变换．
定义11.15 将n个元素的集合A上的置换全体记为S，那么称
群<S, ○>为n次对称群（symmetric group），它的 子群又称为n次置换群（permutation group）．
.
循环群和置换群
离散数学导论
.
循环群和置换群
1.1 循环群
定义11.13
称<G，>为循环群(cyclic group)，
如果 G为群，且G中存在元素 g ,使 G以{g}为 生成集，即 G的任何元素都可表示为 g 的幂 （约定e = g0），这时g称为循环群G的
生成元（generater）．
.
循环群和置换群
1.1 循环群
定理11.26 设<G，>为循环群，g为生成元，那么
《循环群与置换群》课件
05
循环群与置换群的习题 与解答
习题部分
习题1
什么是循环群？请给出循环群 的定义。
习题2
置换群的定义是什么？请举例 说明。
习题3
请描述循环群和置换群之间的 关系。
习题4
给出几个具体的循环群和置换 群的例子。
解答部分
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
解答1
循环群是由一个元素生 成的群，其定义是 G={a^n | n属于整数} ，其中a是G的元素， 且a^n表示a自乘n次 。
群，其中包含元素 (1,2,3)和(1,3,2)，因为 它们分别表示元素之间
的替换。
谢谢观看
交替群
由两个置换交换位置形成 的群。
完全置换群
由所有可能的置换组成的 群。
置换群的子群与共轭类
子群
置换群的子集，满足封闭性和结合性。
共轭类
两个置换在共轭关系下形成的类。
03
循环群与置换群的关系
循环群是置换群的特例
循环群是置换群的一 种特殊形式，其中元 素都是循环置换。
置换群中的元素可以 表示为 $(1)(2)(3),(1)(3)(2),( 2)(1)(3),(2)(3)(1),do ts,(12)(34),dots$。
循环群中的元素可以 表示为 $(1),(12),(13),(14),d ots,(123),(124),dots ,(1234),dots$。
置换群在几何中的应用
置换群在几何中有着广泛的应用，特 别是在晶体结构和分子结构的研究中 。
通过研究置换群的性质和分类，可以 深入了解晶体或分子的结构和性质。
和逆元等。
晶体结构中的置换群
总结词
晶体结构中的置换群是物理学中的一个 重要实例，它展示了置换群的基本性质 和特点。
§2变换群、置换群与循环群
• 由于An中每个元素都是置换,因此根据置 换群的定义可知[An;•] 也是置换群.
• |An|=? • 若n=1，Sn只有一个置换——恒等置换
，它也是An的元素，|An|=1。 • 若n>1, • |An|=|On|=12 n !
2020/10/31
• 例：G={g1, g2, gn},[G;]是群,对任 意gG,定义映射g:GG,使得对任意 xG,有g(x) =gx。设={g|gG},则 [;•]是置换群。这里•是关于映射的复 合运算.Leabharlann ii1 2i2 i3
id1 id
id i1
iid d 1 1 iin n
其中2≤d≤n。这种形式的置换叫做循环置换 , 称其循环长度为d。上述可写为=(i1,…, id)，其中在变换下的象是自身的元素就不 再写出。 • 特别, 当 d=2时称为对换。
2020/10/31
• 定理14.10:Sn中的任一个置换均可分解 为不含公共元的若干个循环置换的乘积 。
(1 4)(31)(26)(57)(85)
(1,4)(1(,22,)3)(2(,66,)1)(5(,88,)7)
• 说明分解不唯一
2020/10/31
• 定理14.11：任意一个置换可分解成对换 的乘积, 这种分解是不唯一的, 但是这些 对换的个数是奇数个还是偶数个却完全 由置换本身确定。
• 对一个置换，它可能有不同的对换乘积 ，但它们的对换个数的奇偶性则是一致 的。
变换称为置换。S上的某些置换关于乘法 运算构成群时, 就称为置换群。
• 若|S|=n,设S={1,2,,n},其置换全体组成 的集合表示为Sn;
• [Sn;•]是一个置换群, n次对称群。
2020/10/31
• |An|=? • 若n=1，Sn只有一个置换——恒等置换
，它也是An的元素，|An|=1。 • 若n>1, • |An|=|On|=12 n !
2020/10/31
• 例：G={g1, g2, gn},[G;]是群,对任 意gG,定义映射g:GG,使得对任意 xG,有g(x) =gx。设={g|gG},则 [;•]是置换群。这里•是关于映射的复 合运算.Leabharlann ii1 2i2 i3
id1 id
id i1
iid d 1 1 iin n
其中2≤d≤n。这种形式的置换叫做循环置换 , 称其循环长度为d。上述可写为=(i1,…, id)，其中在变换下的象是自身的元素就不 再写出。 • 特别, 当 d=2时称为对换。
2020/10/31
• 定理14.10:Sn中的任一个置换均可分解 为不含公共元的若干个循环置换的乘积 。
(1 4)(31)(26)(57)(85)
(1,4)(1(,22,)3)(2(,66,)1)(5(,88,)7)
• 说明分解不唯一
2020/10/31
• 定理14.11：任意一个置换可分解成对换 的乘积, 这种分解是不唯一的, 但是这些 对换的个数是奇数个还是偶数个却完全 由置换本身确定。
• 对一个置换，它可能有不同的对换乘积 ，但它们的对换个数的奇偶性则是一致 的。
变换称为置换。S上的某些置换关于乘法 运算构成群时, 就称为置换群。
• 若|S|=n,设S={1,2,,n},其置换全体组成 的集合表示为Sn;
• [Sn;•]是一个置换群, n次对称群。
2020/10/31
循环群与置换群
② n=∞，在G ={ gk | k ∈ Z }中，假若 gs= gt，则有gs-t=e所 以 G没有相同旳元素，故 G旳阶 m=∞ 。
• 循环群是互换群。 • 若( G,◦)为循环群， g为G旳生成元，则G旳构造
在同构旳意义下完全由 g旳阶所拟定：
（1）若 g旳阶= n，则 ( G,◦) ≅ (Zn, +n)； （2）若 g旳阶=∞，则 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
例7.3.7 在 S3中，我们有
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
1 2
2 3
3 1
4 4
55
(123)
(231)
(312)
1 4
2 2
3 5
4 3
15
(1435)
(4351)
(3514)
(5143)
1 2
2 3
3 4
4 5
15
(12345)
(23451)
(34512)
都能够看作n个元素旳循环置换。所以，τ 就分解成若干个
不含公共元素旳循环置换旳乘积。
注意，不含公共元素旳循环置换旳乘法是可互换旳。
例如，
1 3
2 6
3 4
4 1
5 8
6 2
7 5
8 7
(587)(26)(134)
(134)(26)(587)
例 利用循环置换旳措施，我们有 3次对称群 S3旳元素能够表达为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4旳元素能够表达为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34);
• 循环群是互换群。 • 若( G,◦)为循环群， g为G旳生成元，则G旳构造
在同构旳意义下完全由 g旳阶所拟定：
（1）若 g旳阶= n，则 ( G,◦) ≅ (Zn, +n)； （2）若 g旳阶=∞，则 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
例7.3.7 在 S3中，我们有
1 1
2 2
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4 4
5 5
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
1 2
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3 1
4 4
55
(123)
(231)
(312)
1 4
2 2
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4 3
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(1435)
(4351)
(3514)
(5143)
1 2
2 3
3 4
4 5
15
(12345)
(23451)
(34512)
都能够看作n个元素旳循环置换。所以，τ 就分解成若干个
不含公共元素旳循环置换旳乘积。
注意，不含公共元素旳循环置换旳乘法是可互换旳。
例如，
1 3
2 6
3 4
4 1
5 8
6 2
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8 7
(587)(26)(134)
(134)(26)(587)
例 利用循环置换旳措施，我们有 3次对称群 S3旳元素能够表达为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4旳元素能够表达为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34);
离散数学第6讲置换群和循环群
23
p5
12
2 3
31
一般地， |A|=n时，记A上所有置换集合为Sn, |Sn|=n!
置换的合成运算：
左合成运算： ◦, p1 ◦ p2, 先进行p2置换, 再进行p1置换。 右合成运算：◇, p1◇p2, 先进行p1置换, 再进行p2置换。
p3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
13
2 2
31
p6 13
2 1
23
1 1 3 2
2 31 2
p6
1 2
2 1
3 4
4 3
( 旋转
270 )
p7
1 1
2 4
3 3
4 2
( 旋转
360 )
p8
1 3
2 2
3 1
4 4
( 绕 AA ' 翻转 ) ( 绕 BB ' 翻转 ) ( 绕 13 翻转 ) ( 绕 24 翻转 )
一、置换群
这不是对称群, 元素没有4!个, 是一置换群。 一般地说, 在合成运算◇作用下, n边正多边形
p13
2 2
3 4
14
A={a1,a2,…,an}，即|A|=n时，称为A上的置换为n次置换。A上的n次置换p可表示为：
ppa(1 a1)
a2 p(a2)
pa(a nn)
一、置换群 |A|=n时，A上有 n!个n次置换, 如A={1,2,3}时,
p1 11
2 2
33
p2
12
2 1
33
p4 11
2 3
例2 两面体群 (a) 给定正三角形123(如左下图所示), 将三角形围绕重心O旋转, 分别旋转0°, 120°, 240°。可以
置换群
11.7 循环群与置换群 一、循环群1. 循环群的定义定义11.14 设G 是群，若a G ∃∈使得{|}kG a k Z =∈, 则称G 是循环群，记作G a =<>，称a 为G 的生成元。
注意：(1) 对于任何群G ，由G 中元素a 生成的子群是循环群。
(2) 任何素数阶的群都是循环群。
设G 是循环群，若a 是n 阶元，则0121{,,,,}n G a e a aa-== ，那么|G|=n ，称G 为n 阶循环群。
若a 是无限阶元，则12{,,,}G a e a a ±±== ，这时称G 为无限阶循环群。
例如 (1)G=<Z,+>是无限阶循环群。
(2)G=<Z 6,⊕>是6阶循环群。
2.循环群的性质定理 11.20 设G a =<>是循环群.(1)若G 是无限循环群，则G 只有两个生成元，即a 和a -1.(2)若G 是n 阶循环群，则G 含有()n ϕ个生成元，对于任何小于等于n 且与n 互质的正整数r ，a r 是G 的生成元。
证 (1)显然1aG -<>⊆，为了证明1G a-⊆<>，只须证明对任何k a G ∈，a k 都可以表达成a -1的幂。
由定理11.1有11()k a a --=，从而得到1G a -=<>，1a -是G 的生成元。
再证明G 中只有a 和a -1这两个生成元，假设b 也是G 的生成元，则G b =<>。
由a G ∈可知存在整数t 使得ta b =，又由b G a ∈=<>可知存在整数m 使得mb a=。
从而得到()tmtm ta b a a===则由消去律得1mt a e -=。
因为G 是无限群，必有mt-1=0。
从而证明了m=t=1或m=t=-1，即b=a 或b=a -1。
(2) 只须证明：()r Z r n ∀∈≤，a r 是G 的生成元当且仅当n 与r 互质。
近世代数课件 第6节 置换群
(2 3) (1 2 3)
(2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1 3) (1 2 3) (2 3)
(1) (1 2) (1 3) (1 3 2) (1 2) (1)
(1 3 2)
(1 3 2) (2 3) (1 2) (1 3) (1)
(1 2 3)
17/20
近世 代数
Sn的子群
定理2 设An是所有的n元偶置换作成一个集合，则An 关于置换的合成作成一个群，称为n元交错群或n元
2-循环置换称为对换.
7/20
近世 代数
n元置换的循环置换表示
约定: n元恒等置换
I
11
2 2
3 3
n n
简记为(1), (2), …，(n)，并把(i)称为1-循环置换.
对k=1, 2, …, n， k-循环置换统称为循环置换.
8/20
近世 代数
n元置换的性质
性质1 (i1 i2 … ik)=(i2 i3 … ik i1)=(i3 i4 … ik i1 i2)=… = (ik i1 i2 … ik-1 )=( i1 i2) ( i1 i3)… ( i1 ik).
性质5 每个置换都能分解成若干个没有共同数字的 循环置换的乘积. 如果不计这些循环置换的顺序，这 个分解是唯一的.
11/20
近世 代数
实例
例1 设S = {1, 2, … , 8},
1 5
2 3
3 6
4 4
5 2
6 1
7 8
8 7
1 8
2 1
3 4
4 2
5 6
6 7
7 5
8 3
则 置换可分解为：
= (1 5 2 3 6) (4) (7 8) = (1 5 2 3 6) (7 8) = (1 8 3 4 2) (5 6 7)
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f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}
f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}
f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}
2021/4/12
f6={<1,3>,<3,2>,<2,1>} 5
循环群必是阿贝尔群
性质:任何循环群必为阿贝尔群。
证：设G为一个循环群，其生成元为a,则 x,y∈ G ，必r,s∈Z, s.t. x=ar ,y=as 而且，
2021/4/12
3
例10.14(1-3)
(1) <Z,+>整数加群,
1,-1都是生成元
(2) <Zp,+p>模p整数加群
除0外，每个元都是生成元
(3) <Zn,+n>模n整数加群
与n互素的元都是生成元
生成元不唯一
2021/4/12
4
例10.14(4-6)
(4) <Mn(R),+>n阶实矩阵加群
2021/4/12
35
置换群子群
S4={(1),(12),(13),(14),(23),(24),(34), (12)(34),(13)(24),(14)(23), (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234)
,(243), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(143
2)}
2021/4/12
36
置换群子群
2021/4/12
37
Calay定理
• Calay定理：每个有限群都与一个置换群 同构
2021/4/12
38
作业
(1) 举出一个8阶群不是交换群。
P218，26,28,29-31
2021/4/12
39
2021/4/12
7
循环群的生成元
定理10.11 G=<a>是循环群
(1) 若G 是无限循环群，则G 的生成元是 a 和a−1;
(2) 若G 是n 阶循环群，则G 有φ(n)个生 成元。
Eulerφ函数φ(n)：当n＝1 时， φ(1)＝1；当n>1时，它的值 φ(n)等于比n小而与n互素的正 整数的个数。
(3) <Z12,+12>, 求生成元、子群. 生成元为与12 互质的数：1, 5, 7, 11 12 的正因子为1, 2, 3, 4, 6, 12， 子群：<0>, <1>, <2>, <3>, <4>, <6>
2021/4/12
17
置换
定义：设A是一个非空有限集合，从集合 A到A的一个双射称为A的一个置换
x*y=ar*as=ar+s=as+r=as+ar=y*x
因此， G为一阿贝尔群
2021/4/12
6
循环群的阶与生成元的阶
生成元的阶无限，则G 为无限循环群 生成元a 为n 阶元，则G={e,a,a2,⋯,an−1}
为n 阶循环群，循环群的阶和生成元的 阶相等。
实例
<Z,+>为无限循环群 <Zn,+n>为n 阶循环群
无限阶; (3) 若G 是n 阶的，则对于n 的每个正因子d,
在G 中有且仅有一个d 阶子群.
2021/4/12
12
证明思路：
(1) 子群H 中最小正方幂元am 为H 的生成 元;
(2) 若子群H=<am>有限，a≠e, 则 |a| 有限; (3) <an/d>是d 阶子群，再证唯一性.
2021/4/12
5 7
6 6
7 1
48 (15 7) (4 8) (15)(17)(48) (17)(57)(48)
2021/4/12
28
奇置换、偶置换
奇置换：表成奇数个对换之积 偶置换：表成偶数个对换之积 奇置换与偶置换之间存在一一对应，因
此各有n!/2个
2021/4/12
29
置换的乘法与求逆
置换的乘法：函数的复合 例 如 ： 8 元 置 换 =(132)(5648) ，
映射复合构成群S3={f1, f2, f3, f4, f5, f6}，
f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>} f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>} f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>} f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}
11
2 2
33
13
2 2
13
1 2
2 1
33
11
=(18246573), 则 =(15728)(3)(4)(6)=(15728) 置换求逆：求反函数 =(132)(5648)，-1=(8465)(231),
2021/4/12
30
对称群、置换群、交错群
令Sn为{1,2,…,n}上所有n元置换的集合. Sn关于置换乘法构成群，称为n元对称群. Sn的子群称为n元置换群. 所交错以群偶A置n.换的集合做成Sn的子群称为n元 例 3元对称群
S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)} 3元交错群A3={(1),(123),(132)}
2021/4/12
31
置换群举例
eg: A={1,2,3,4} f: A A 12 23 34 41
则f1, f2, f3, f4 对f复合做成一个置换群.
1 2
2 3
3 4
置换的表示法3
对换分解式： 对换 ( i j ) =( j i ) (i1 i2…ik) = (i1 i2) … (i1 ik-1) (i1 ik)
12
2 3
3 4
14
13
2 4
3 1
4 2
1 4
2 1
3 2
34 11
2 2
3 3
4 4
(1 2)(1 3)(1 4),(1 3)(2 4),(1 4)(1 3)(1 2),(1)
2021/4/12
26
置换的表示法3
13
2 1
3 2
4 8
5 6
6 4
7 7
85
(132)(5648) =(13)(12)(56)(54)(58)
2021/4/12
27
n元置换的对换表示
任意轮换都可以表成对换之积 对换可以有交
表法不唯一，但是对换个数的奇偶性不 变
15
2 2
4
3 1
4 2
1 4
2 1
3 2
4 3
11
2 2
3 3
44
(1 2 3 4),(1 3)(2 4),(1 4 3 2),(1)
2021/4/12
32
置换群中元素的阶
元素的阶 k 阶轮换(i1 i2…ik) 的阶为k σ=τ1τ2…τl 是不交轮换的分解式，则
|σ|=[|τ1|,|τ2|,…,|τl|]
Lagrange定理
Lagrange 定理： |G| = |H| [G:H] 证明： 令G 的不同的陪集为Ha1, Ha2, …, Har, |G| = |Ha1|+|Ha2|+…+|Har|
= |H| r = |H| [G:H]
2021/4/12
1
Lagrange定理推论
推论 (1) 群中元素的阶是群的阶的因子. 证明：构造子群 <a>，|<a>| = |a|. (2) 素数阶群一定是交换群（实际上是循环
当n=1 时G=<e>的生成元为e； 当n>1 时,∀r(r∈Z+∧r<n),ar 是 G 的生成元⇔(n,r)=1.
2021/4/12
8
例10.14(1-3)
(1) <Z,+>整数加群,
1,-1都是生成元
(2) <Zp,+p>模p整数加群
除0外，每个元都是生成元
(3) <Zn,+n>模n整数加群
1 2
2 3
13
13
2 1
23
2021/4/12
19
置换举例
eg: A={1,2,3,4} f: A A 12 23 34 41
则f1, f2, f3, f4
12
2 3
3 4
14
13
2 4
3 1
24
1 4
2 1
3 2
34 11
2 2
3 3
44
2021/4/12
20
置换的表示法2 -k阶轮换
轮换:(i1 i2…ik) 不交轮换的分解式：σ = τ1τ2…τt, 其中 τ1,τ2,…,τt,为不交轮换
1 2
2 3
3 4
4 1
1 4
2 1
3 2
34
11
2 2
3 3
44
(1 2 3 4), (1 4 3 2), (1)
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21
置换的表示法2
13
2 1
3 2
4 8
5 6
6 4
7 7
85
(132)(5648)
2021/4/12
22
S3的轮换表示
(6)集合A={1,2,3}上所有的双射函数关于