高中数学 3.3.1-3.3.2(第2课时)两直线的交点坐标、两点间的距离习题 新人教A版必修2
高中数学人教版必修二(浙江专版)学案直线的交点坐标与距离公式含答案
∴所求直线方程为 2x＋3y＋8＝0.
题点四：线关于线对称
4．求直线 m：3x－2y－6＝0 关于直线 l：2x－3y＋1＝0 的对称直线 m′的方程．
解：在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，
则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上．
设对称点为 M′(a，b)，则
Error!
4 两点间距离公式
[典例] (1)已知点 A(－3,4)，B(2， 3)，在 x 轴上找一点 P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|
的值；
(2)已知 M(x，－4)与点 N(2,3)间的距离为 7 2，求 x 的值．
[解] (1)设点 P 的坐标为(x,0)，则有
|PA|＝ x＋32＋0－42＝ x2＋6x＋25，
A．(－2,1)
B．(－2,5)
C．(2，－5)
D．(4，－3)
解析：选 B 设对称点坐标为(a，b)，
Error!解得Error!即 Q(－2,5)．
题点三：线关于点对称
3．与直线 2x＋3y－6＝0 关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
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A．3x－2y＋2＝0
B．2x＋3y＋7＝0
即 x2－4x－45＝0，
解得 x1＝9 或 x2＝－5.
故所求 x 的值为 9 或－5.
若已知两点的坐标 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求两点间的距离，可直接应用两点间的距离 公式|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12.若已知两点间的距离，求点的坐标，可设未知数，逆
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用两点间的距离公式列出方程，从而解决问题．
[小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)过 P1(0，a)，P2(0，b)的两点间的距离为 a－b( ) (2)不论 m 取何值，x－y＋1＝0 与 x－2my＋3＝0 必相交( ) 答案：(1)× (2)× 2．已知点 A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则 a 的值为( ) A．1 B．－5 C．1 或－5 D．－1 或 5 解析：选 C ∵|AB|＝ a＋22＋3＋12＝5， ∴a＝－5 或 a＝1. 3．两直线 2x＋3y－k＝0 和 x－ky＋12＝0 的交点在 y 轴上，那么 k 的值为________．
高中数学必修二3.3.1-2两条直线的交点坐标 两点距离公式
顺德区容山中学__高二__年级__数学_学科活力课堂导学案课题 §3.3.1两条直线的交点坐标 §3.3.2 两点间的距离 设计者：__杨时香 黄宗勤_审核者：__叶建华 _日期：___10月24日____ 学习目标：1.会求二元一次方程组的解；2.掌握判断两条直线相交的方法，会通过解方程组求两条直线的交点坐标；3.了解过两条直线交点的直线系方程的问题；4.理解平面内两点间距离公式的推导过程；5.掌握两点间距离公式及其简单应用。
学习重点：求两条直线的交点坐标及掌握两点间距离公式应用学习难点：过两条直线交点的直线系方程第一部分：个体自学（预习教材P 102~ P 106，找出疑惑之处）问题：1.如何用代数方法求方程组的解?2.如何利用方程判断两直线的位置关系？3.若两条直线相交，如何求直线的交点坐标？4. 设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的任意两个点，则AB =第二部分：合作探究探究一：直线上的点与其方程0=++C By Ax 的解有什么样的关系？那如果两直线相交于一点A(a ,b )，这一点与两直线0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 有何关系？ 看下表，并填空。
几何元素及关系 代数表示点A A （a ，b ）直线LL ：Ax+By+C=0 点A 在直线上直线L 1与 L 2的交点A 探究二：如何利用方程判断两直线的位置关系？两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。
因此，只要将两条直线1l 和2l 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 1．若方程组无解，则1l 与2l2.若方程组有且只有一个解，则1l 与2l3.若方程组有无数解，则1l 与2l探究三：当λ变化时，方程0)22(243=+++-+y x y x λ表示什么图形？图形有什么特点？结论：经过直线0:1111=++C y B x A l 和0:2222=++C y B x A l 的交点的直线可表示为： 0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ探究四：在平面直角坐标系中，任意两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离是多少?两点间的距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的任意两个点，则AB =第三部分：展示分享例1：求下列两条直线的交点坐标: 1l ：3x+4y-2=02l :2x+y+2=0例2：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.（1）1l ：0243=-+y x 022:2=++y x l（2）043:1=+-y x l 026:2=-y x l（3）0543:1=-+y x l 01086:2=-+y x l例3：求经过点（2，3）且经过两直线1:340,l x y +-=2:5260l x y ++=的交点的直线方程。
国家课程校本化：3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离(习题)
3．3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离【基础达标】1．(2013·银川高一检测)直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( )． A.12 B ．－12 C.23 D ．－23解析 由⎩⎨⎧y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－9，y ＝－8，即直线y ＝2x ＋10与y ＝x ＋1相交于点(－9，－8)，代入y ＝ax －2，解得a ＝23.答案 C2．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( )． A.895 B.175 C.135 D.115解析 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135. 答案 C3．光线从点A (－3，5)射到x 轴上，经反射后经过点B (2，10)，则光线从A 到B 的距离是( )． A ．5 2 B ．2 5 C ．510 D ．10 5解析 根据光学原理，光线从A 到B 的距离，等于点A 关于x 轴的对称点A ′到点B 的距离，易求得A ′(－3，－5)．所以|A ′B |＝（2＋3）2＋（10＋5）2＝510.答案 C4．已知点A (－2，－1)，B (a ，3)，且|AB |＝5，则a 的值为________． 解析 由题意得 （a ＋2）2＋（3＋1）2＝5，解得a ＝1或a ＝－5.答案 1或－55．已知直线ax ＋4y －2＝0和2x －5y ＋b ＝0垂直，交于点A (1，m )，则a ＝________，b ＝________，m ＝________．解析 ∵点A (1，m )在两直线上，又两直线垂直，得2a －4×5＝0， ③ 由①②③得，a ＝10，m ＝－2，b ＝－12.答案 10 －12 －26．若直线x ＋a 2y ＋6＝0和直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，则a 的值是________．解析 由⎩⎨⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0，得⎩⎨⎧3a －（a －2）a 2＝0，2a －（a －2）×6≠0，解之得a ＝0或a ＝－1或a ＝3(舍)．答案 0或－17．(1)求过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点且与第一条直线垂直的直线方程．(2)求经过直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．解 (1)法一 由⎩⎨⎧3x ＋y －1＝0，x ＋2y －7＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝4，即交点为(－1，4)． ∵第一条直线的斜率为－3，且两直线垂直，∴所求直线的斜率为13.∴由点斜式得y －4＝13(x ＋1)，即x －3y ＋13＝0.法二 设所求的方程为3x ＋y －1＋λ(x ＋2y －7)＝0，即(3＋λ)x ＋(1＋2λ)y －(1＋7λ)＝0，由题意得3(3＋λ)＋(1＋2λ)＝0，∴λ＝－2，代入所设方程得x －3y ＋13＝0.(2)设直线方程为3x ＋2y ＋6＋λ(2x ＋5y －7)＝0，即(3＋2λ)x ＋(2＋5λ)y ＋6－7λ＝0.令x ＝0，得y ＝7λ－62＋5λ；令y ＝0，得x ＝7λ－63＋2λ. 由7λ－62＋5λ＝7λ－63＋2λ，得λ＝13或λ＝67. 直线方程为x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0.【能力提升】8．若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )． A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2解析 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．(1)若三条直线交于一点，由⎩⎨⎧x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3的交点(－a －1，1)代入l 1的方程解得a ＝1或a ＝－2；(2)若l 1∥l 2，则由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1，当a ＝1时，l 1与l 2重合；(3)若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合；(4)若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 1与l 3重合． 综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点，所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2.答案 D9．若动点P 的坐标为(x ，1－x )，x ∈R ，则动点P 到原点的最小值是________． 解析 由距离公式得x 2＋（1－x ）2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12， ∴最小值为12＝22. 答案 2210．求函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值．解 原式可化为y ＝（x －4）2＋（0－2）2＋（x －0）2＋（0－1）2.考虑两点间的距离公式，如图所示，令A (4，2)，B (0，1)，P (x ，0)，则上述问题可转化为：在x 轴上求一点P (x ，0)，使得|P A |＋|PB |最小．作点A (4，2)关于x 轴的对称点A ′(4，－2)，由图可直观得出|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |≥|A ′B |，故|P A |＋|PB |的最小值为|A ′B |的长度．由两点间的距离公式可得|A ′B |＝42＋（－2－1）2＝5，所以函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值为5.。
国家课程校本化：3.3.1-3.3.2两条直线的交点坐标与两点间的距离公式(导学案)
3.2.3 直线的一般式方程一、课标解读1．知识与技能（1）理解直线和直线的交点与二元一次方程组的解的关系；（2）掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2．过程与方法(1) 学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法3．情态与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。
二、自学导引1．两直线2x －y ＋k ＝0和4x －2y ＋1＝0的位置关系为( )A ．垂直B ．平行C ．重合D ．平行或重合2．过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是（ )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝03．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24. 已知点A (－3,4)和B (0，b )，且|AB |＝5，则b 等于( )A ．0或8B ．0或－8C ．0或6D ．0或－65． 已知点A (x,5)关于点C (1，y )的对称点是B (－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是_______．答案：1．D 2．A 3.B 4.A 5．17三、典例精析例1判断下列各题中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标．(1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0；(2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0；(3)l 1：x －y ＋1＝0，l 2：2x －2y ＋2＝0.解：(1)21≠1－2，所以方程组有唯一解，两直线相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)12＝12≠23，所以方程组没有解，两直线平行．(3)12＝－1－2＝12，方程组有无数个解，两直线重合．例2 已知直线l 过直线l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0，则直线l 的方程是______________．解 8x ＋16y ＋21＝0例3 已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A (1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 1的方程．解 由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)．由|AB |2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25，化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5.当x 0＝1时，AB 方程为x ＝1，当x 0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0.综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.四、自主反馈1．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于( )A ．5B ．42C ．2 5D ．2102．已知A (－3,8)，B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA |＋|MB |最短，则点M 的坐标是( )A ．(－1,0)B ．(1,0) C. ⎝⎛⎭⎫225，0 D. ⎝⎛⎭⎫0，225 3．当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．答案：1．C 2．B 3．(－1，－2)。
高中数学 第三章 直线与方程 3.3 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离学案
3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离目标定位 1.会求两条直线的交点坐标.2.理解两条直线的平行、相交与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系.3.掌握平面上两点间的距离公式并会应用.自 主 预 习1.两条直线的交点已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若两直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若方程组有唯一解，则两条直线相交；若方程组无解，则两条直线平行.若方程组有无穷多个解，则两条直线重合. 2.过定点的直线系方程已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交于点P (x 0，y 0)，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0表示过点P 的直线系，不包括直线l 2. 3.两点间的距离平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式 |P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. 4.两点间距离的特殊情况(1)原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. (3)当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.即 时 自 测1.判断题(1)求两直线的交点就是解由两直线方程组成的方程组.(√)(2)两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交的充要条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.(√) (3)方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，表示经过直线l 1：∴A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的所有直线.(×)(4)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关.(√)提示 (3)无论λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2. 2.直线x ＝1与直线y ＝2的交点坐标是( )A.(1，2)B.(2，1)C.(1，1)D.(2，2)答案 A3.已知M (2，1)，N (－1，5)，则|MN |等于( ) A.5B.37C.13D.4解析 |MN |＝（2＋1）2＋（1－5）2＝5. 答案 A4.已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是________.解析 l 1与l 2相交则有：a 4≠36，∴a ≠2.答案 a ≠2类型一 两直线的交点问题【例1】 求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程.解 法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2，2).∵直线过坐标原点，∴其斜率k ＝2－2＝－1. 故直线方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.法二 ∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0.将原点坐标(0，0)代入上式，得λ＝1，∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.规律方法 (1)方法一是解方程组方法，思路自然，但计算量稍大，法二运用了交点直线系，是待定系数法，计算简单，但要注意判断原点(0，0)不能在直线2x ＋y ＋2＝0上.否则，会出现λ的取值不确定的情形.(2)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ2(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0可表示过l 1、l 2交点的所有直线； ②A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0不能表示直线l 2.【训练1】 求经过直线l 1：x ＋3y －3＝0，l 2：x －y ＋1＝0的交点且平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程.解 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴直线l 1与l 2的交点坐标为(0，1)，再设平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程为2x ＋y ＋C ＝0， 把(0，1)代入所求的直线方程，得C ＝－1， 故所求的直线方程为2x ＋y －1＝0. 法二 设过直线l 1、l 2交点的直线方程为x ＋3y －3＋λ(x －y ＋1)＝0(λ∈R )，即(λ＋1)x ＋(3－λ)y ＋λ－3＝0，由题意可知，λ＋1λ－3＝－2，解得λ＝53， 所以所求直线方程为83x ＋43y －43＝0，即2x ＋y －1＝0.类型二 两点间距离公式的应用(互动探究)【例2】 已知△ABC 三顶点坐标A (－3，1)、B (3，－3)、C (1，7)，试判断△ABC 的形状. [思路探究]探究点一 如何判断三角形的形状？提示 判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.探究点二 从哪几个方面分析三角形的形状？提示 在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或满足勾股定理. 解 法一 ∵|AB |＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213， |AC |＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213， 又|BC |＝（1－3）2＋（7＋3）2＝226，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |，∴△ABC 是等腰直角三角形.法二 ∵k AC ＝7－11－（－3）＝32，k AB ＝－3－13－（－3）＝－23，则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB .又|AC |＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213， |AB |＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213， ∴|AC |＝|AB |.∴△ABC 是等腰直角三角形.规律方法 1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.2.在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理.【训练2】已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标.解设点P的坐标为(x，0)，由|PA|＝10，得（x－3）2＋（0－6）2＝10，解得：x＝11或x＝－5.所以点P的坐标为(－5，0)或(11，0).类型三坐标法的应用【例3】证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.证明如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0).设B(a，0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a＋b，c)，因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2.所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2).所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.规律方法坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴.【训练3】已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c).∴|AC |＝（b －0）2＋（c －0）2＝b 2＋c 2，|BD |＝（a －b －a ）2＋（c －0）2＝b 2＋c 2.故|AC |＝|BD |. [课堂小结]1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2).2.解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.3.两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.1.直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( ) A.(4，1)B.(1，4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝13.即直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.答案 C2.经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( )A.2x ＋y －8＝0B.2x －y －8＝0C.2x ＋y ＋8＝0D.2x －y ＋8＝0解析 首先解得交点坐标为(1，6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0. 答案 A3.已知点A (－2，－1)，B (a ，3)，且|AB |＝5，则a 的值为________. 解析 由题意得（a ＋2）2＋（3＋1）2＝5，解得a ＝1或a ＝－5.答案 1或－54.求经过两条直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程.解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75.∵所求直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行， ∴直线l 的斜率k ＝－3，根据点斜式可得y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，即所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0.基 础 过 关1.已知A (－1，0)，B (5，6)，C (3，4)，则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12C.3D.2解析 由两点间的距离公式，得|AC |＝[3－（－1）]2＋（4－0）2＝42，|CB |＝（3－5）2＋（4－6）2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2.答案 D2.两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( ) A.－24 B.6 C.±6 D.24解析 在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6.答案 C3.以A (5，5)，B (1，4)，C (4，1)为顶点的三角形是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形解析 ∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32， ∴三角形为等腰三角形.故选B.答案 B4.设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________. 解析 设A (x ，0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)， ∴x 2＝2，y2＝－1，∴x ＝4，y ＝－2， 即A (4，0)，B (0，－2)，∴|AB |＝42＋22＝2 5. 答案 2 55.若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k 的取值范围是________.解析 由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33＋62＋3k ，y ＝6k －232＋3k .由于交点在第一象限，故x >0，y >0，解得k >33.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 6.在直线l ：3x －y ＋1＝0上求一点P ，使点P 到两点A (1，－1)，B (2，0)的距离相等. 解 法一 设P 点坐标为(x ，y )，由P 在l 上和点P 到A ，B 的距离相等建立方程组⎩⎨⎧3x －y ＋1＝0，（x －1）2＋（y ＋1）2＝（x －2）2＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，所以P 点坐标为(0，1).法二 设P (x ，y )，两点A (1，－1)、B (2，0)连线所得线段的中垂线方程为x ＋y －1＝0.① 又3x －y ＋1＝0，②解由①②组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，所以所求的点为P (0，1).7.求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标.证明 法一 对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0，令m ＝0，得x －3y －11＝0；令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －11＝0，x ＋4y ＋10＝0得两条直线的交点坐标为(2，－3).将点(2，－3)代入直线方程，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝0. 这表明不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).法二 将已知方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0.由于m 取值的任意性，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，－x ＋3y ＋11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3.所以不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).能 力 提 升8.已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互为垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( ) A.24B.20C.0D.－4解析 由垂直性质可得2m －20＝0，m ＝10.由垂足可得⎩⎪⎨⎪⎧10＋4p －2＝0，2－5p ＋n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－2，n ＝－12.∴m －n＋p ＝20. 答案 B9.两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( ) A.895B.175C.135D.115解析 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135.答案 C10.过点P (3，0)作一直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截的线段AB 以P 为中点，则此直线l 的方程是________.解析 法一 显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意，当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，将此方程分别与l 1，l 2的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3），2x －y －2＝0和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3），x ＋y ＋3＝0. 解得x A ＝3k －2k －2和x B ＝3k －3k ＋1，∵P (3，0)是线段AB 的中点，∴x A ＋x B ＝6，即3k －2k －2＋3k －3k ＋1＝6，解得k ＝8. 故直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 法二 设l 1上的点A 的坐标为(x 1，y 1)， ∵P (3，0)是线段AB 的中点， ∴l 2上的点B 的坐标为(6－x 1，－y 1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－y 1－2＝0，（6－x 1）＋（－y 1）＋3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝113，y 1＝163.∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫113，163，由两点式可得l 的方程为8x －y －24＝0.答案 8x －y －24＝011.已知直线l 1过点A (2，1)，B (0，3)，直线l 2的斜率为－3且过点C (4，2). (1)求l 1，l 2的交点D 的坐标； (2)已知点M (－2，2)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，72，若直线l 3过点D 且与线段MN 相交，求直线l 3的斜率k 的取值范围.解 (1)∵直线l 1过点A (2，1)，B (0，3)，∴直线l 1的方程为y －13－1＝x －20－2，即y ＝－x ＋3.∵直线l 2的斜率为－3且过点C (4，2)， ∴直线l 2的方程为y －2＝－3(x －4)，即y ＝－3x ＋14.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋14，y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112，y ＝－52，即l 1，l 2的交点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫112，－52. (2)由题设知k MD ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52－2－112＝－35.k ND ＝72－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52152－112＝3.因为过点D 的直线与线段MN 相交，故直线l 3的斜率k 的取值范围为：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－35∪[3，＋∞).探 究 创 新12.某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1，2)，B (4，0)，一条河所在直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P 使之到A ，B 两镇的管道最省，问供水站P 应建在什么地方？此时|PA |＋|PB |为多少？解 如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于P ，因为若P ′(异于P )在直线l 上，则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B |.因此，供水站只能在点P 处，才能取得最小值.设A ′(a ，b )，则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋2×b ＋22－10＝0，b －2a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝6，即A ′(3，6). 所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3811，y ＝3611.所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611. 故供水站应建在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611处， 此时|PA |＋|PB |＝|A ′B |＝（3－4）2＋（6－0）2＝37.。
3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离
探究1：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标 与二元一次方程组有什关系？
如果两条直线 A1 x B1 y C1 0 和 A2 x B2 y C2 0
相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们 的方程组成的方程组
A1 x B1 y C1 0 的解. A2 x B2 y C2 0
直线上的点
y
l
2x y 3 0
(1)点（ 5）在直线上吗？ 1，
(2)点（2， 7）在直线上吗？
(3)点（3， 8）在直线上吗？
P(x,y)
O
x
直线的方程就是直线上每一点坐标都满足的一个关系式
1. 两条直线的交点
已知两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0 l2: A2 x B2 y C 2 0 相交, 如何求这两条直线交点的坐标 ?
无数组解
重合
x y 1 0 （3） x y 1 0
无解
平行
如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线
的位置关系？
l1 : A1 x B1 y C1 0 l2:A2 x B2 y C 2 0
A1 B1 A2 B2 A1 B1 C1 A2 B2 C 2
OP x 2 y 2
例3 已知点 A(1, 2), B(2, 7), 在 使 | PA || PB | ，并求 | PA | 的值. 解：设所求点为P（x,0），于是 由 PA PB 得
x 轴上求一点
P，
x 1 0 2
2
2
x 2
2
0 7
2 (2) 相交，交点坐标（0，3 ）
高中数学第三章直线与方程3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离课件新人教A版必修
2
3
C. + =1
答案:C
1
3
1
D.y=- x+4
3
B.y=- x-12
)
S 随堂练习
UITANG LIANXI
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1
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
2
2.两点间的距离公式
已知平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离为|P1P2|,则
-1
2-1
=
-(-3)
,
2-(-3)
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探究一
探究二
探究三
探究四
J 基础知识 Z 重点难点
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探究五
探究四坐标法的应用
将几何问题代数化,即用代数的语言描述几何要素及其关系,并最终解决几
何问题,这种处理问题的方法叫作坐标法(或解析法),通过这种方法,把点与
坐标、曲线与方程联系起来,实现空间形式与数量关系的结合.
坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.
坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有
两点:
①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;②如果条件中有互相
垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑
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HONGDIAN NANDIAN
探究五
解:(1)设所求直线方程为 x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.
高中数学 3.3.1、3.3.2 两条直线的交点坐标、两点间的距离练习 新人教A版必修2-新人教A版
3．3.1 两条直线的交点坐标3．3.2 两点间的距离一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．已知直线x －y ＋1＝0和直线x －2y ＋1＝0，则它们的交点坐标是( ) A ．(0，1) B ．(1，0) C ．(－1，0) D ．(－2，－1)2．已知△ABC 中，顶点分别为A (－3，1)，B (3，－3)，C (1，7)，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形3．若过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6 B. 2 C ．2 D ．不确定4．已知坐标平面内两点A (3，－1)，B (5，－2)，点P 在直线x ＋y ＝0上．若使|PA |＋|PB |取最小值，则P 点的坐标为( )A ．(1，－1)B ．(－1，1) C.⎝⎛⎭⎪⎫135，－135D ．(－2，2)5．已知坐标平面内两点M (1，0)，N (－1，0)，若直线2x ＋y ＝b 与线段MN 相交，则b 的取值X 围是( )A ．[－2，2]B ．[－1，1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 D ．[0，2]6．使三条直线4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0，2x －3my ＝4不能围成三角形的m 值的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．若光线从点A(－3，5)射到直线l：3x－4y＋4＝0上，反射后经过点B(2，15)，则光线从A点经反射后到B点所经过的路程为( )A．5 2B．5 13C．5 17D．5 5二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．已知直线ax＋3y－12＝0与直线4x－y＋b＝0互相垂直，且相交于点P(4，m)，则b ＝________．9．设a＋b＝k(k≠0，k为常数)，则直线ax＋by＝1恒过定点________．10．经过两直线2x－y－3＝0和x＋y＋3＝0的交点且与直线3x－y－1＝0垂直的直线方程为______________．11．已知坐标平面内两点A(－2，2)，B(2，2 3)，若在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，则此时|PA|的值为________．三、解答题(本大题共2题，共25分)12．(12分)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．13．(13分)求过两直线l1：x＝－2与l2：2x＋y＝－3的交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．14．(5分)已知x ，y ∈R ，S ＝（x ＋1）2＋y 2＋（x －1）2＋y 2，则S 的最小值是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D. 215．(15分)已知直线l 被两平行直线3x ＋y －6＝0和3x ＋y ＋3＝0所截得的线段长为9，且直线过点A (1，0)，求直线l 的方程．3．3.1 两条直线的交点坐标 3．3.2 两点间的距离1．C [解析] 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.2．D [解析] 由两点间的距离公式得||AB ＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝52，||AC ＝（1＋3）2＋（7－1）2＝52， ||BC ＝（1－3）2＋（7＋3）2＝104， 所以有||AB 2＋||AC 2＝||BC 2，且||AB ＝||AC ，故△ABC 为等腰直角三角形．3．B [解析] 由题意得k AB ＝b －a5－4＝1，即b －a ＝1，由两点间的距离公式得|AB |＝（5－4）2＋（b －a ）2＝ 2.4．C [解析] 设点A (3，－1)关于直线x ＋y ＝0的对称点为A ′(1，－3)，连接A ′B ，则A ′B 与直线x ＋y ＝0的交点即为P 点，因为直线A ′B 的方程为y ＋3＝－2＋35－1×(x －1)，即y ＝14x －134，与x ＋y ＝0联立，解得x ＝135，y ＝－135，故P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135.5．A [解析] 将M (1，0)代入2x ＋y ＝b ，得b ＝2；将N (－1，0)代入2x ＋y ＝b ，得b ＝－2.对比选项知应选A.6．D [解析] 当直线4x ＋y ＝4与直线mx ＋y ＝0平行时，m ＝4；当直线4x ＋y ＝4与直线2x －3my ＝4平行时，－4＝23m ，即m ＝－16；当直线mx ＋y ＝0与直线2x －3my ＝4平行时，－m ＝23m，无解；当三条直线交于一点时，联立⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44－m ，y ＝－4m 4－m ，代入2x －3my ＝4，解得m＝23或m ＝－1.综上所述，满足条件的m 值有4个． 7．B [解析] 设A (－3，5)关于直线l ：3x －4y ＋4＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧3×x ′－32－4×y ′＋52＋4＝0，y ′－5x ′＋3×34＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3，y ′＝－3.∵所求的路程即为|A ′B |， ∴由两点间的距离公式得d ＝|A ′B |＝（3－2）2＋（－3－15）2＝5 13.8．－13 [解析] 由两直线互相垂直得－a 3·4＝－1，即a ＝34，由点P (4，m )在直线34x＋3y －12＝0上，得3＋3m －12＝0，即m ＝3，再将P (4，3)的坐标代入4x －y ＋b ＝0，得16－3＋b ＝0，即b ＝－13.9.⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，1k [解析] 由题知ax ＋by ＝1可变为ax ＋(k －a )y ＝1，即a (x －y )＋ky －1＝0，若其对于任何a ∈R 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，ky －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1k ，y ＝1k .10．x ＋3y ＋9＝0 [解析] 联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3，故交点为(0，－3)．又因为直线3x －y －1＝0的斜率为3，所求的直线与直线3x －y －1＝0垂直，所以所求直线的斜率为－13，所以所求直线的方程为y ＋3＝－13x ，化简得x ＋3y ＋9＝0.11.13 [解析] 设所求点P 的坐标为(x ，0)，由||PA ＝|PB |及两点间的距离公式得， （x ＋2）2＋（0－2）2＝（x －2）2＋（0－2 3）2， 化简得8x ＝8，解得x ＝1，所以所求点P 的坐标为(1，0)，所以||PA ＝（1＋2）2＋（0－2）2＝13.12．解：设直线l 的方程为2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 整理得(λ＋2)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0.又∵直线l 与直线3x ＋y －1＝0平行， ∴λ＋23＝λ－31≠2λ－3－1，解得λ＝112. 故直线l 的方程为15x ＋5y ＋16＝0.13．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，2x ＋y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，即P 点坐标为(－2，1)．根据题意知，当截距等于0时，所求直线的方程为y ＝－12x ，即x ＋2y ＝0.当截距不等于0时，设所求直线l 的方程为x a ＋y b＝1，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，－2a ＋1b＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1，所以所求直线的方程为x －1＋y－1＝1，即x ＋y ＋1＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y ＝0或x ＋y ＋1＝0.14．B [解析] S ＝（x ＋1）2＋y 2＋（x －1）2＋y 2可以看作是点(x ，y )到点(－1，0)与点(1，0)的距离之和，数形结合易知最小值为2.15．解：①若直线l 的斜率不存在，且过点A (1，0)，则l 的方程为x ＝1，此时l 与两平行线的交点分别为M (1，3)，N (1，－6)，由两点间的距离公式得|MN |＝9，满足题意．②若直线l 的斜率存在，且过点A (1，0)，则可设l 的方程为y ＝k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0，y ＝k （x －1），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6k ＋3，y ＝3k k ＋3，即直线l 与直线3x ＋y －6＝0的交点坐标为C ⎝⎛⎭⎪⎫k ＋6k ＋3，3k k ＋3.同理可得直线l 与直线3x ＋y ＋3＝0的交点坐标为D ⎝⎛⎭⎪⎫k －3k ＋3，－6k k ＋3.∴由两点间的距离公式得|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －3k ＋3－k ＋6k ＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k k ＋3－3k k ＋32＝9， ∴k ＝－43，∴直线l 的方程为y ＝－43(x －1)，即4x ＋3y －4＝0.综合①②可知，直线l 的方程为x ＝1或4x ＋3y －4＝0.。
高中数学第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1-3.3.2两点间的距离优化练习
3.3.1-3.3.2 两点间的距离[课时作业][A 组 基础巩固]1．已知A (0,10)，B (a ，－5)两点间的距离是17，则实数a 的值是( )A ．8B ．－8C ．±8D ．18解析：由两点间距离公式得a 2＋152＝172，∴a 2＝64，∴a ＝±8.答案：C2．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：因为线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0.所以线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12，0在直线x ＋2y －2＝0上，解得m ＝3. 答案：C3．直线(2k －1)x －(k ＋3)y －(k －11)＝0(k ∈R)所经过的定点是( )A ．(5,2)B ．(2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3 D ．(5,9) 解析：由(2k －1)x －(k ＋3)y －(k －11)＝0，得k (2x －y －1)－x －3y ＋11＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，－x －3y ＋11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴直线过定点(2,3)． 答案：B4．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( )A ．6 B. 2 C ．2 D ．不确定 解析：由题意得k AB ＝b －a 5－4＝1，即b －a ＝1， 所以|AB |＝5－42＋b －a 2＝ 2.答案：B 5．已知A (3，－1)，B (5，－2)，点P 在直线x ＋y ＝0上．若使|PA |＋|PB |取最小值，则P 点的坐标为( )A ．(1，－1)B ．(－1,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135 D ．(－2,2) 解析：点A (3，－1)关于直线x ＋y ＝0的对称点为A ′(1，－3)，连接A ′B ，则A ′B 与直线x ＋y ＝0的交点即为所求的点，直线A ′B 的方程为y ＋3＝－2＋35－1(x －1)，即y ＝14x －134，与x ＋y ＝0联立，解得x ＝135，y ＝－135，故P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135. 答案：C6．若△ABC 的三个顶点分别为A (－2,2)，B (3,2)，C (4,0)，则AC 边的中线BD 的长为________． 解析：由题知AC 中点D 的坐标为(1,1)，则由距离公式得|BD |＝3－12＋2－12＝5.答案： 57．已知点A (－2,2)，B (2,23)，在x 轴上求一点P ，使|PA |＝|PB |，此时|PA |的值为________． 解析：设所求点P (x,0)，由|PA |＝|PB |得，x ＋22＋0－22＝x －22＋0－232，化简得8x ＝8，解得x ＝1，所以所求点P (1,0)，所以|PA |＝1＋22＋0－22＝13.答案：13 8．若三条直线x ＋y ＋1＝0,2x －y ＋8＝0和ax ＋3y －5＝0共有三个不同的交点，则a 的取值范围为________．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋1＝0，2x －y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝2，即两直线的交点坐标为(－3,2)，故实数a 满足 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ×－3＋3×2－5≠0，－a 3≠－1，－a 3≠2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠13，a ≠3，a ≠－6，即实数a 满足的条件为a ∈R 且a ≠13，a ≠3，a ≠－6. 答案：a ∈R 且a ≠13，a ≠3，a ≠－6 9．在直线2x －y ＝0上求一点P ，使它到点M (5,8)的距离为5，并求直线PM 的方程． 解析：∵点P 在直线2x －y ＝0上，∴可设P (a,2a )．根据两点的距离公式得|PM |2＝(a －5)2＋(2a －8)2＝52，即5a 2－42a ＋64＝0，解得a ＝2或a ＝325， ∴P (2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫325，645. ∴直线PM 的方程为y －84－8＝x －52－5或y －8645－8＝x －5325－5， 即4x －3y ＋4＝0或24x －7y －64＝0.10．求过两条直线x －2y ＋4＝0和x ＋y －2＝0的交点P ，且满足下列条件的直线方程．(1)过点Q (2，－1)；(2)与直线3x －4y ＋5＝0垂直． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴P (0,2)． (1)∵k PQ ＝－32. ∴直线PQ ：y －2＝－32x ， 即3x ＋2y －4＝0.(2)直线3x －4y ＋5＝0的斜率为34， ∴所求直线的斜率为－43，其直线方程为：y －2＝－43x ， 即4x ＋3y －6＝0.[B 组 能力提升]1．光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离是( )A ．5 2B ．2 5C ．510D ．10 5 解析：根据光学原理，光线从A 到B 的距离，等于点A 关于x 轴的对称点A ′到点B 的距离，易求得A ′(－3，－5)．所以|A ′B |＝2＋32＋10＋52＝510. 答案：C 2．函数y ＝x 2－2x ＋2＋ x 2－6x ＋13的最小值是( ) A. 5 B.7 C.11 D.13 解析：y ＝x 2－2x ＋2＋ x 2－6x ＋13 ＝ x －12＋0－12＋ x －32＋0－22，∴y 表示x 轴上的点P (x,0)到A (1,1)，B (3,2)两点的距离之和．如图，点B 关于x 轴的对称点B ′(3，－2)，∴|BP |＝|B ′P |.又∵两点之间线段最短，∴y 的最小值为|AB ′|＝3－12＋－2－12＝13. 答案：D3．两直线l 1：3ax －y －2＝0和l 2：(2a －1)x ＋5ay －1＝0，分别过定点A 、B ，则|AB |＝________.解析：直线l 1：y ＝3ax －2过定点A (0，－2)，直线l 2：a (2x ＋5y )－(x ＋1)＝0，过定点⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝0x ＋1＝0， 即B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间距离公式得∴|AB |＝135. 答案：1354．已知△ABC 的一个顶点A (2，－4)，且∠B ，∠C 的角平分线所在直线的方程依次是x ＋y －2＝0，x －3y －6＝0，求△ABC 的三边所在直线的方程．解析：如图，BE ，CF 分别为∠B ，∠C 的角平分线，由角平分线的性质，知点A 关于直线BE ，CF 的对称点A ′，A ″均在直线BC 上．∵直线BE 的方程为x ＋y －2＝0，∴A ′(6,0)．∵直线CF 的方程为x －3y －6＝0，∴A ″⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45. ∴直线A ′A ″的方程是y ＝0－456－25(x －6)， 即x ＋7y －6＝0，这也是BC 所在直线的方程．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －6＝0，x ＋y －2＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋7y －6＝0，x －3y －6＝0，得C (6,0)， ∴AB 所在直线的方程是7x ＋y －10＝0，AC 所在直线方程是x －y －6＝0.5．已知两直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4(0<a <2)与两坐标轴的正半轴围成四边形．当a 为何值时，围成的四边形面积取最小值？并求最小值． 解析：两直线l 1：a (x －2)＝2(y －2)，l 2：2(x －2)＝－a 2(y －2)，都过点(2,2)，如图：设两直线l 1，l 2的交点为C ，且它们的斜率分别为k 1和k 2，则k 1＝a2∈(0,1)，k 2＝－2a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12. ∵直线l 1与y 轴的交点A 的坐标为(0,2－a )，直线l 2与x 轴的交点B 的坐标为(2＋a 2,0)．∴S OACB ＝S △OAC ＋S △OCB ＝12(2－a )·2＋12·(2＋a 2)·2＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154. ∴当a ＝12时，四边形OACB 的面积最小，其值为154.。
直线的交点坐标与距离公式 教案
教师引导学生先从点与直线的
位置关系入手，看表一，并填空.
几 何 元 素 及 关 代数表示
系
点A
A （a，b）
直线 L
L：Ax + By + C =
0
点 A 在直线上
直线 L1 与 L2 的 交点 A
师生互动 课堂设问一：由直线方 程的概念，我们知道直线上 的一点与二元一次方程的解 的关系，那如果两直线相交 于一点，这一点与这两条直 线的方程有何关系？
【解析】当 l1∥l2（或重合） 时：
A1B2 – A2B1 = 1×3 – （m – 2）·m = 0，解得：m = 3，m = –1.
（1）当 m = 3 时，l1：x + 3y + 6 = 0，l2：x + 3y + 6 = 0，所以 l1 与 l2 重合；
（2）当 m = –1 时，l1：x – y + 6 = 0，l2：–3x + 3y – 2 = 0，所以 l1∥l2；
教学过程 教学 环节
教学内容
创设 情景 导入 新课
用大屏幕打出直角坐标系中两 直线，移动直线，让学生观察这两 直线的位置关系.
概念 形成 与 深化
1．分析任务，分组讨论，判断
两直线的位置关系
已知两直线 L1：A1x + B1y + C1 = 0，L2：A2x + B2y + C2 = 0.
如何判断这两条直线的关系？
回忆数轴上两点间的距
概念的 P2 (x2 , y2 ) 分别向 y 轴和 x 轴作垂线， 离公式，同学们能否用以前所
形成与 垂足分别 N1 0，y1 ，M2 x2，0 ， 学的知识来解决平面直角坐
第三章 3.3.1~3.3.2 两条直线的交点坐标及两点间距离
§3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.掌握两点间距离公式并会应用.知识点一两条直线的交点1.两直线的交点2.两直线的位置关系知识点二两点间的距离1.公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.2.文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根.特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关.(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.当直线P 1P 2平行于y 轴时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.1.若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.( √ )2.点P 1(0，a )，点P 2(b,0)之间的距离为a －b .( × )3.无论m 为何值，x －y ＋1＝0与x －2my ＋3＝0必相交.( × )4.若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.( × )题型一 求相交直线的交点坐标例1 (1)求经过点(2,3)且经过直线l 1：x ＋3y －4＝0与l 2：5x ＋2y ＋6＝0的交点的直线方程； (2)求经过两条直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0垂直的直线方程.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y －4＝0，5x ＋2y ＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，所以直线l 1与l 2的交点为(－2,2).由两点式可得所求直线的方程为y －32－3＝x －2－2－2，即x －4y ＋10＝0.(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－35，y ＝－75，因为所求直线和直线3x ＋y －1＝0垂直， 所以所求直线的斜率k ＝13，所以有y －⎝⎛⎭⎫－75＝13⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－35， 即所求的直线方程为5x －15y －18＝0.反思感悟 求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组，解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.(1)若一条直线的方程是斜截式，常常应用代入消元法解方程组. (2)若直线的方程都是一般式，常常应用加减消元法解方程组.跟踪训练1 (1)已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们的交点是( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，13 B.⎝⎛⎭⎫13，1C.⎝⎛⎭⎫1，13D.⎝⎛⎭⎫－1，－13 答案 B(2)经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( ) A.2x ＋y －8＝0 B.2x －y －8＝0 C.2x ＋y ＋8＝0 D.2x －y ＋8＝0答案 A题型二 两点间的距离例2 如图，已知△ABC 的三顶点A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)，(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积. 考点 两点间的距离公式 题点 两点间距离公式的综合应用解 (1)方法一 ∵|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52＝213， |AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52＝213， 又|BC |＝(1－3)2＋(7＋3)2＝104＝226， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |， ∴△ABC 是等腰直角三角形.方法二 ∵k AC ＝7－11－(－3)＝32，k AB ＝－3－13－(－3)＝－23，∴k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB .又|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52＝213， |AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52＝213， ∴|AC |＝|AB |，∴△ABC 是等腰直角三角形. (2)S △ABC ＝12|AC |·|AB |＝12(52)2＝26，∴△ABC 的面积为26.反思感悟 (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理. 跟踪训练2 已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值. 考点 两点间的距离公式题点 已知两点间的距离求参数的值 解 设P (x,0)，|P A |＝(x ＋1)2＋(－2)2， |PB |＝(x －2)2＋(－7)2，∵|P A |＝|PB |，∴(x ＋1)2＋4＝(x －2)2＋7， 解得x ＝1，∴P (1,0)， ∴|P A |＝(1＋1)2＋4＝2 2. 题型三 直线系过定点问题例3 无论m 为何值，直线l ：(m ＋1)x －y －7m －4＝0恒过一定点P ，求点P 的坐标. 解 ∵(m ＋1)x －y －7m －4＝0， ∴m (x －7)＋(x －y －4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝0，x －y －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.∴点P 的坐标为(7,3).反思感悟 解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得.若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0).跟踪训练3 已知直线方程为(2＋λ)x ＋(1－2λ)y ＋4－3λ＝0，求证：不论λ取何实数值，此直线必过定点.证明 把直线方程整理为2x ＋y ＋4＋λ(x －2y －3)＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.即点(－1，－2)是方程2x ＋y ＋4＋λ(x －2y －3)＝0的解，也就是方程(2＋λ)x ＋(1－2λ)y ＋4－3λ＝0的解，所以不论λ取何实数值，直线(2＋λ)x ＋(1－2λ)y ＋4－3λ＝0必过定点(－1，－2).直线系方程的应用典例1 已知直线(a －2)y ＝(3a －1)x －1，求证：无论a 为何值，直线总经过第一象限. 证明 将直线方程整理为a (3x －y )＋(－x ＋2y －1)＝0. 因为直线3x －y ＝0与x －2y ＋1＝0的交点为⎝⎛⎭⎫15，35， 即直线系恒过第一象限内的定点⎝⎛⎭⎫15，35， 所以无论a 为何值，直线总经过第一象限.典例2 求过两直线x －2y ＋4＝0和x ＋y －2＝0的交点，且分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)直线l 与直线3x －4y ＋1＝0平行； (2)直线l 与直线5x ＋3y －6＝0垂直.解 设过两直线x －2y ＋4＝0和x ＋y －2＝0的交点的直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. (1)∵直线l 与直线3x －4y ＋1＝0平行， ∴1＋λ3＝λ－2－4≠4－2λ1，∴λ＝27. ∴97x －127y ＋247＝0，∴3x －4y ＋8＝0. (2)∵直线l 与直线5x ＋3y －6＝0垂直， ∴5·(1＋λ)＋3·(λ－2)＝0，∴λ＝18，∴98x －158y ＋308＝0，∴3x －5y ＋10＝0. [素养评析] 过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. (2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程.这两种方法，体现了两种不同的思路和技巧，考查了数学运算的数学核心素养.1.已知点(x ，y )到原点的距离等于1，则实数x ，y 满足的条件是( ) A.x 2－y 2＝1 B.x 2＋y 2＝0 C.x 2＋y 2＝1 D.x 2＋y 2＝0答案 C解析 由两点间的距离公式得：x 2＋y 2＝1.2.直线y ＝x 上的两点P ，Q 的横坐标分别是1,5，则|PQ |等于( ) A.4 B.4 2 C.2 D.2 2 答案 B解析 ∵P (1,1)，Q (5,5)，∴|PQ |＝42＋42＝4 2.3.到A (1,3)，B (－5,1)的距离相等的动点P 满足的方程是( ) A.3x －y －8＝0 B.3x ＋y ＋4＝0 C.3x －y ＋6＝0 D.3x ＋y ＋2＝0考点 两点间的距离公式 题点 两点间距离公式的综合应用 答案 B解析 设P (x ，y )，则(x －1)2＋(y －3)2＝(x ＋5)2＋(y －1)2， 即3x ＋y ＋4＝0.4.已知△ABC 的顶点坐标为A (－1,5)，B (－2，－1)，C (2,3)，则BC 边上的中线长为________. 考点 两点间的距离公式 题点 两点间距离公式的综合应用 答案17解析 BC 的中点坐标为(0,1)，则BC 的中线长为(－1－0)2＋(5－1)2＝17.5.斜率为－2，且过两条直线3x －y ＋4＝0和x ＋y －4＝0交点的直线方程为______________. 考点 过两条直线交点的直线方程 题点 直接求过两直线交点的直线方程 答案 2x ＋y －4＝0解析 设所求直线方程为3x －y ＋4＋λ(x ＋y －4)＝0， 即(3＋λ)x ＋(λ－1)y ＋4－4λ＝0， ∴k ＝3＋λ1－λ＝－2，解得λ＝5.∴所求直线方程为2x ＋y －4＝0.1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2).其中A 21＋B 21≠0，A 22＋B 22≠0.2.两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.一、选择题1.直线x ＝1和直线y ＝2的交点坐标是( ) A.(2,2) B.(1,1) C.(1,2) D.(2,1) 考点 两条直线的交点 题点 求两条直线的交点坐标 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，得交点坐标为(1,2)，故选C.2.直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点坐标为( ) A.(－4，－3) B.(4,3) C.(－4,3) D.(3,4)答案 C解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3.故选C.3.已知坐标平面内三点A (3,2)，B (0,5)，C (4,6)，则△ABC 的形状是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形答案 C解析 由两点间的距离公式， 可得|AB |＝18，|BC |＝|CA |＝17， 且|BC |2＋|CA |2≠|AB |2， ∴△ABC 为等腰三角形.4.以点A (－3,0)，B (3，－2)，C (－1,2)为顶点的三角形是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形D.以上都不是 考点 两点间的距离公式 题点 求两点间的距离 答案 C解析 |AB |＝(－3－3)2＋22＝36＋4＝40＝210， |BC |＝(－1－3)2＋(2＋2)2＝16＋16＝32＝42，|AC |＝(－1＋3)2＋22＝8＝22， ∵|AC |2＋|BC |2＝|AB |2， ∴△ABC 为直角三角形.故选C.5.若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y ＝1和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值为( ) A.－12 B.12 C.2 D.－2考点 两条直线的交点题点 已知相交关系，求参数的值 答案 A解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得直线2x ＋3y ＋8＝0与x －y －1＝0的交点坐标为(－1，－2)，代入直线x ＋ky ＝0，得k ＝－12.6.直线kx ＋y ＋1＝2k ，当k 变动时，所有直线都通过定点( ) A.(2，－1) B.(－2，－1) C.(2,1)D.(－2,1)考点 恒过定点的直线 题点 求直线恒过的定点坐标 答案 A解析 kx ＋y ＋1＝2k ，可化为y ＋1＝k (2－x )， 故该直线恒过定点(2，－1).7.在△ABC 中，已知A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，D 为BC 边的中点，则线段AD 的长是( ) A.2 5 B.3 5 C.52 5 D.72 5答案 C解析 由中点坐标公式可得，BC 边的中点D ⎝⎛⎭⎫32，6. 由两点间的距离公式得|AD |＝⎝⎛⎭⎫4－322＋(1－6)2＝552.故选C.8.直线x ＋y －1＝0上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A.(－4,5)B.(－3,4)C.(－3,4)或(－1,2)D.(－4,5)或(0,1)考点 两点间的距离公式 题点 两点间距离公式的综合应用 答案 C解析 设所求点的坐标为(x 0，y 0)，有 x 0＋y 0－1＝0，且(x 0＋2)2＋(y 0－3)2＝2，两式联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝2.故选C.二、填空题9.设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |＝________. 考点 两点间的距离公式 题点 求两点间的距离 答案 2 5解析 设A (a,0)，B (0，b )， 由中点坐标公式，得⎩⎨⎧a ＋02＝2，b ＋02＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，∴|AB |＝(4－0)2＋(0＋2)2＝2 5.10.三条直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10,2x －y ＝10相交于一点，则实数a 的值为________. 答案 －111.直线2x －5y －10＝0与坐标轴所围成的三角形面积是________. 答案 5解析 令x ＝0，则y ＝－2；令y ＝0，则x ＝5. ∴S ＝12×|－2|×|5|＝5.三、解答题12.求经过直线l 1：7x －8y －1＝0和l 2：2x ＋17y ＋9＝0的交点，且垂直于直线2x －y ＋7＝0的直线方程.解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋17y ＋9＝0，7x －8y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－1127，y ＝－1327，所以交点坐标为⎝⎛⎭⎫－1127，－1327.又因为直线斜率为k ＝－12，所以，求得直线方程为27x ＋54y ＋37＝0.13.已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和点A (1，－1)，过A 点作直线l 与已知直线l 1相交于B 点，且使|AB |＝5，求直线l 的方程.解 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＝kx －k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7＋kk ＋2，y ＝4k －2k ＋2，即B ⎝⎛⎭⎪⎫7＋k k ＋2，4k －2k ＋2.由|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋k k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝5， 解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.当过A 点的直线的斜率不存在时，方程为x ＝1. 此时，与l 1的交点为(1,4)也满足题意， 综上所述，直线的方程为3x ＋4y ＋1＝0或x ＝1.14.已知x ，y ∈R ，S ＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2，则S 的最小值是( ) A.0 B.2 C.4 D. 2 考点 两点间的距离公式 题点 两点间距离公式的综合应用 答案 B解析 S ＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2可以看作是点(x ，y )到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2.15.已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在的直线方程为x －2y －5＝0，求顶点C 的坐标. 考点 两条直线的交点 题点 两直线交点的综合应用 解 由题意知BH 与AC 垂直，所以k BH ·k AC ＝12k AC ＝－1，所以k AC ＝－2， 所以直线AC 的方程为y －1＝－2(x －5)， 即2x ＋y －11＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －5＝0，2x ＋y －11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3， 所以点C 的坐标为(4,3).。
(部编版)2020学年高中数学第三章3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离1学案含解析新人教A版必修0
3．3.1 & 3.3.2 两条直线的交点坐标 两点间的距离第一课时 两条直线的交点坐标 两点间的距离[提出问题]已知二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.问题1：二元一次方程组的解法有哪些？ 提示：代入消元法、加减消元法．问题2：在方程组中，每一个方程都可表示为一直线，那么方程组的解说明什么？ 提示：两直线的公共部分，即交点．问题3：若给出两直线y ＝x ＋1与y ＝3x －2，如何求其交点坐标？ 提示：联立解方程组求方程组的解即可得． [导入新知]1．两直线的交点坐标2 [化解疑难] 两直线相交的条件(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交． (2)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2相交的条件是A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2，B 2≠0)．(3)设两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2.[提出问题]数轴上已知两点A ，B .问题1：如何求A ，B 两点间的距离？ 提示：|AB |＝|x A －x B |.问题2：在平面直角坐标系中能否用数轴上两点间距离求出任意两点间距离？ 提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解． [导入新知] 两点间的距离公式(1)公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根． [化解疑难]两点间距离公式的理解(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P 1P 2|＝ x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)当直线P 1P 2平行于x 轴时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. 当直线P 1P 2平行于y 轴时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|. 当点P 1，P 2中有一个是原点时，|P 1P 2|＝x 2＋y 2.[例1] (1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12；(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－103，y ＝143.所以l 1与l 2相交，且交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0， ①y ＝13x ＋12， ②②×6整理得2x －6y ＋3＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合． (3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝0， ①y ＝13x ＋12， ②②×6－①得3＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2. [类题通法]判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． (2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． [活学活用]直线y ＝kx ＋3与直线y ＝1kx －5的交点在直线y ＝x 上，求k 的值．解：由题意可知，三条直线y ＝kx ＋3，y ＝1k x －5，y ＝x 交于一点．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，y ＝x ，得x ＝y ＝31－k，代入y＝1k x －5，得31－k ＝1k ·31－k －5，解得k ＝1或k ＝35.因为直线y ＝kx ＋3与直线y ＝1k x －5相交，所以k ≠1k ，即k ≠1，故k ＝35.[例2] 求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过某一定点． [解] 证明：法一：取m ＝1时，直线方程为y ＝－4；取m ＝12时，直线方程为x ＝9.两直线的交点为P (9，－4)，将点P 的坐标代入原方程左边＝(m －1)×9＋(2m －1)×(－4)＝m －5. 故不论m 取何实数，点P (9，－4)总在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上，即直线恒过点P (9，－4)． 法二：原方程化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0.若对任意m 都成立， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.所以不论m 为何实数，所给直线都过定点P (9，－4)． [类题通法]解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．[活学活用]求过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．解：法一：设所求直线为l ，因为直线l 过已知两直线的交点，因此直线l 的方程可设为2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0(其中λ为常数)，即(λ＋2)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0. ①又直线l 与直线3x ＋y －1＝0平行，所以－λ＋2λ－3＝－3且λ＋23≠2λ－3－1，解得λ＝112.将λ＝112代入①，整理，得15x ＋5y ＋16＝0，即为所求．法二：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75，所以两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－75.又所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.故所求直线方程为y ＋75＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即15x＋5y ＋16＝0.[例3] 已知点A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，求证：△ABC 为直角三角形． [解] 证明：法一：∵|AB |＝－2＋－2＝25，|AC |＝－2＋－2＝5，又|BC |＝－2＋－2＝5，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， ∴△ABC 为直角三角形．法二：∵k AB ＝3－15－1＝12，k AC ＝3－10－1＝－2，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．[类题通法]1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 2．解答本题还要注意构成三角形的条件． [活学活用]若点A (－3,4)与坐标轴上的点P 的距离等于5，试确定点P 的坐标． 解：若点P 在x 轴上，设点P 的坐标为(x,0)，由点P 与点A 之间的距离等于5，得x ＋2＋－2＝5，解得x ＝0或x ＝－6，所以点P 的坐标为(0,0)或(－6,0)；若点P 在y 轴上，设点P 的坐标为(0，y )，由点P 与点A 之间的距离等于5，得＋2＋y －2＝5，解得y ＝0或y ＝8，所以点P 的坐标为(0,0)或(0,8)．故所求的点P 有3个，坐标分别为(－6,0)，(0,0)，(0,8)．8.两条直线相交求参数中的误区[典例] 若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点． ①若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3的交点(－a －1,1)代入l 1的方程解得a ＝1或a ＝－2*； ②若l 1∥l 2，则由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1**， 当a ＝1时，l 1与l 2重合；③若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合；④若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0，得a ＝1， 当a ＝1时，l 1与l 3重合． 综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2. [答案] D [易错防范]*处，解题过程中，由a ＝1或a ＝－2得a ≠1且a ≠－2，此种错误是因只考虑了三条直线相交于一点不能构成三角形，而忽视了任意两条平行或重合的直线也不能构成三角形．**处，若得到a ≠±1，只考虑了直线的斜率不相等的条件，而忽视了三条直线相交于一点也不能构成三角形． 解答此类问题由条件不易直接求参数，可考虑从反面入手，同时考虑问题要全面，不要漏掉某些情形．[成功破障]若直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( ) A.12 B ．－12C.23 D ．－23答案：C[随堂即时演练]1．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点的坐标为( ) A ．(－4，－3) B ．(4,3) C ．(－4,3) D ．(3,4)答案：C2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5 D ．－1或5 答案：C3．若直线y ＝kx ＋3k －2与y ＝－14x ＋1的交点在第一象限，则k 的取值范围为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫27，14．若p ，q 满足p －2q ＝1，直线px ＋3y ＋q ＝0必过一个定点，该定点坐标为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，16 5．分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程． (1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0. 答案：(1)2x －y －1＝0 (2)2x ＋3y －5＝0[课时达标检测]一、选择题1．两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( ) A ．－24 B ．6 C ．±6 D ．24答案：C2．一条平行于x 轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A (2,1)，则它的另一个端点是( ) A ．(－3,1)或(7,1) B ．(2，－3)或(2,7) C ．(－3,1)或(5,1) D ．(2，－3)或(2,5)答案：A3．过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是( ) A ．x －3y ＋7＝0 B ．x －3y ＋13＝0 C ．3x －y ＋7＝0 D ．3x －y －5＝0答案：B4．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6 B. 2 C ．2 D ．不能确定答案：B5．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R)所表示的直线( ) A ．恒过定点(－2,3) B ．恒过定点(2,3)C ．恒过点(－2,3)和点(2,3)D ．都是平行直线 答案：A 二、填空题6．已知在△ABC 中，A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)，则△ABC 的形状为________． 答案：等腰直角三角形7．已知直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线l 2：a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2,1)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程是____________．答案：2x ＋y ＋1＝08．在直线x －y ＋4＝0上求一点P ，使它到点M (－2，－4)，N (4,6)的距离相等，则点P 的坐标为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52 三、解答题9．若三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0能构成一个三角形，求k 的取值范围． 解：①当l 1∥l 3时知k ≠0且有5k＝1，所以有k ＝5.②当l 2∥l 3时知k ≠0且有5k＝－1，所以有k ＝－5.③当l 1，l 2，l 3三线交于一点时，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故直线l 1与l 2相交于点(1,1)．又l 3过点(1,1)，所以有5×1－k －15＝0， 所以有k ＝－10.综上可知，要使三条直线构成一个三角形，需有k ≠±5且k ≠－10.10．已知点A (1，－1)，B (2,2)，点P 在直线y ＝12x 上，求|PA |2＋|PB |2取得最小值时P 点的坐标．解：设P (2t ，t )，则|PA |2＋|PB |2＝(2t －1)2＋(t ＋1)2＋(2t －2)2＋(t －2)2＝10t 2－14t ＋10.当t ＝710时，|PA |2＋|PB |2取得最小值，此时有P ⎝ ⎛⎭⎪⎫75，710，所以|PA |2＋|PB |2取得最小值时P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫75，710.。
高中数学必修二教案：3.3.1+两直线的交点坐标与两点间的距离
集体备课电子教案高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
高中数学 3.3(1+2)两条直线的交点坐标 两点间的距离课
3．3.2 两点间的距离
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)会用解方程组的方法求两直线的交点坐标．
(2)会用方程组解的个数判断两直线的位置关系． (3)掌握直角坐标系两点间的距离，会用坐标法证明简单 的几何问题． 2．过程与方法 (1)组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断， 归纳过定点的直线系方程． (2)通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合 的优越性．
这两组直线的位置关系怎样？若平行，说明理由；若相 交，求出交点坐标．
【提示】 第(1)组直线平行，因为两直线的斜率相等且 在y轴上的截距不相等．第(2)组直线相交，其交点坐标为(－ 57，17)．
两条直线的交点 已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 若两直线方程组成的方程组
坐标法的教学是本节知识的一个难点，教学时，教师可 从建系原则、几何问题代数化等角度引导学生突破难点．在 本节学习过程中，建议教师适当补充例题，通过题目训练， 让学生充分体会用代数方法刻画两直线交点关系的过程(由 数到形)，了解解析几何解决问题的基本方法，体会“数形 结合”的思想．
●教学流程
演示结束
两条直线的交点问题
判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求 出交点的坐标：
(1)l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0； (2)l1：2x－6y＋3＝0，l2：y＝13x＋12； (3)l1：2x－6y＝0，l2：y＝13x＋12.
【思路探究】
【自主解答】 (1)解方程组52xx＋＋4y＋y－22＝＝00，，
1.能用解方程组的方法求 两直线的交点坐标．(重 点) 课标解 2.会根据方程组解的个数 读 判定两条直线的位置关 系．(难点) 3.掌握两点间的距离公式 并会简单应用．(重点)
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3.3.1-3.3.2第2课时 两直线的交点坐标、两点间的距离
一、选择题
1．点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( )
A ．(－2,1)
B ．(－2,5)
C ．(2，－5)
D ．(4，－3)
解析：选B 设对称点坐标为(a ，b )，
满足⎩⎪⎨⎪⎧
a －32＋
b ＋42－2＝0，b －4
a ＋3＝1，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－2，
b ＝5，
即Q (－2,5)．
2．两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点在第二象限，则m 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，0 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，2 D.()2，＋∞
解析：选 C 解出两直线的交点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫6m －122 3＋m 2 ，6＋4m 3＋m 2，由交点在第二象限，得
⎩⎪⎨⎪⎧
6m －12
2 3＋m 2
＜0，6＋4m 3＋m 2
＞0
，解得m ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，2. 3．光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离
是( ) A ．5 2 B ．2 5 C ．510
D ．10 5
解析：选C 根据光学原理，光线从A 到B 的距离，等于点A 关于x 轴的对称点A ′到点B 的距离，易求得A ′(－3，－5)． 所以|A ′B |＝ 2＋3 2
＋ 10＋5 2
＝510.
4．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值等于( ) A ．－2 B ．－1
2
C ．2
D.12
解析：选B 解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋3y ＋8＝0，
x －y －1＝0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，
y ＝－2.代入方程x ＋ky ＝0得－1－
2k ＝0，所以k ＝－1
2
，选B.
5．若直线ax ＋by －11＝0与3x ＋4y －2＝0平行，并过直线2x ＋3y －8＝0和x －2y ＋3＝0的交点，则a ，b 的值分别为( ) A ．－3，－4 B ．3,4 C ．4,3
D ．－4，－3
解析：选B 由方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
2x ＋3y －8＝0，
x －2y ＋3＝0，
得交点B (1,2)，代入方程ax ＋by －11＝0中，
有a ＋2b －11＝0 ①，又直线ax ＋by －11＝0平行于直线3x ＋4y －2＝0，所以－a
b
＝－34 ②，11b ≠1
2 ③.由①②③，得a ＝3，b ＝4. 二、填空题
6．点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是________．
解析：设对称点坐标是(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧
b －5a －2· －1 ＝－1，
a ＋22＋
b ＋5
2＝1.
解得a ＝－4，b ＝－1，
即所求对称点坐标是(－4，－1)． 答案：(－4，－1)
7．直线ax ＋by －2＝0，若满足3a －4b ＝1，则必过定点________．
解析：由3a －4b ＝1，解出b ，代入ax ＋by －2＝0，得a (4x ＋3y )＝y ＋8.
令⎩⎪⎨⎪
⎧
4x ＋3y ＝0，y ＋8＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝6，y ＝－8.
答案：(6，－8)
8．已知A (2,1)，B (1,2)，若直线y ＝ax 与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是________． 解析：如图，直线y ＝ax 的斜率为a 且经过原点O ，
∵直线y ＝ax 与线段AB 相交，∴实数a 的最小值为OA 的斜率，最大值为OB 的斜率，
OA 的斜率为12
，OB 的斜率为2，故实数a 的取值范围是⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤1
2
，2.
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2 三、解答题
9．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和点A (1，－1)，过A 点作直线l 与已知直线l 1相交于B 点，且使|AB |＝5，求直线l 的方程．
解：若l 与x 轴垂直，则l 的方程为x ＝1，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，2x ＋y －6＝0，
得B 点坐标(1,4)，此时|AB |＝5，
∴x ＝1为所求；
当l 不与x 轴重直时，可设其方程为y ＋1＝k (x －1)．
解方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k x －1 ，
得交点B (k ＋7k ＋2，4k －2
k ＋2
)(k ≠－2)． 由已知
k ＋7k ＋2－1 2＋ 4k －2k ＋2
＋1 2
＝5， 解得k ＝－3
4
.
∴y ＋1＝－3
4
(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.
综上可得，所求直线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.
10．某地东西有一条河，南北有一条路，A 村在路西3公里、河北岸4公里处；B 村在路东
2公里、河北岸3公里处．两村拟在河边建一座水力发电站，要求发电站到两村距离相等，问发电站建在何处？到两村的距离为多远？
解：以小河的方向向东为x 轴正方向，以路的方向向北为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，则A (－3,4)，B (2，3)，问题转化为在x 轴上找一点P ，使|PA |＝|PB |，并求|PA |的值．
可设点P 为(x,0)，则有|PA |＝ x ＋3 2
＋ 0－4 2
＝x 2
＋6x ＋25，|PB |＝ x －2 2
＋ 0－3 2
＝x 2
－4x ＋7.由|PA |＝|PB |得x 2
＋6x ＋25＝
x 2－4x ＋7，解得x ＝－95
.
即所求点P 为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－95，0且|PA |＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－95＋32＋ 0－4 2 ＝2109
5
. 故发电站应建在小路以西95公里处的河边，它距两村的距离为2109
5公里．。