5-1数列的概念-高考数学总复习·人教A版数学
5-1第一节 数列的概念与简单表示法(2015年高考总复习)
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(1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an＝2n＋1.
(2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21,22,23,24，„， 2n－1 所以 an＝ n . 2 (3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各 项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4，„；而各项绝对值的分子组成 的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 2－1，偶数项为
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5．an 与 Sn 的关系 若数列{an}的前 n 项和为 Sn，通项公式为 an， 则
S1 an＝ Sn－Sn－1
n＝1， n≥2.
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新课为 N*的特殊的函数，所以函数的单调性、周期 性在数列中是应用的重点，对于数列的单调性、周期性的判断可 类比函数的单调性与周期性的判断方法．
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题型二
由 an 与 Sn 的关系求通项公式
2 【例 2】 (2013· 江西卷)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：Sn
－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0. (1)求数列{an}的通项公式 an； n＋1 (2)令 bn＝ 2 2，数列{bn}的前 n 项和为 Tn.证明：对于任 n＋2 an 5 意的 n∈N ，都有 Tn< . 64
2015高考数学(文)一轮复习课件：5-1
考向二 由an与Sn的关系求通项an 【例2】►已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，则它的通项公式 为an＝________. [审题视点] 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求解． 解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2· 3n－1；当n ＝1时，a1＝S1＝2也满足an＝2· 3n－1. 故数列{an}的通项公式为an＝2· 3n 1 .
在数列{an}中，若an最大，则
an≤an－1， 若an最小，则 an≤an＋1.
一个关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或 其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列 函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方 法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 两个区别 (1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不 同的两个数列，这有别于集合中元素的无序性． (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现．
根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以 下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变 化特征；(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变 的部分；(4)各项符号特征．若关系不明显时，应将部分项作适 当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来．
【训练1】 已知数列{an}的前四项分别为1,0,1,0，给出下列各 式： 1－－1n 1＋－1n 2 nπ ①an＝ ；②an＝ ；③an＝sin 2 ；④an＝ 2 2 1－cos nπ .其中可以作为数列{an}的通项公式的有________(填序 2 号)． 答案 ①③④
第1讲 数列的概念与简单表示法
【复习指导】 1．高考试题主要以数列的概念、通项公式的求法为主，因此 要把握好由关系式求通项公式的方法． 2．对于归纳通项公式的题目，归纳出通项后，再验证对前几 项是否适合，进而推广． 3．能结合通项公式或简单的递推关系去分析数列的性质，如 单调性、周期性等，并能利用性质解题．
高考数学一轮复习第六章数列1数列的概念与表示课件新人教A版文
, ≥ 2.
-24考点1
考点2
考点3
1 , = 1,
解题心得已知数列的前n项和Sn,则通项公式 an=
--1 , ≥ 2.
当n=1时,若a1适合Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项公式an;
当n=1时,若a1不适合Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.
-25考点1
函数y=3x+5的定义域是R,an=3n+5的图象是离散的点,且排列在
y=3x+5的图象上.
-8知识梳理
双基自测
5.数列的前n项和
在数列{an}中,Sn=
1
2
3
4
5
a1+a2+…+an
6
叫做数列的前n项和.
-9知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
6
6.数列{an}的an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn,则 an=
式.
思考已知在数列{an}中,an+1=an+f(n),利用什么方法求an?
解 ∵an+1=an+3n+2,
∴an+1-an=3n+2,
∴an-an-1=3n-1(n≥2).
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(3n-1)+(3n-4)+…+5+2
(3+1)
的大小关
系
分类
递增数列 an+1
>
an
递减数列 an+1
<
an
2021届高考数学一轮复习第六章数列第1节数列的概念与简单表示法教学案含解析新人教A版
第1节数列的概念与简单表示法考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.知识梳理1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. [常用结论与微点提醒]1.数列的最大(小)项，可以用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)⎝ ⎛⎭⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1（n ≥2，n ∈N *）求，也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合求解.2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( ) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列.(3)数列可以是常数列或摆动数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(老教材必修5P33T4改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23解析 a 2＝1＋（－1）2a 1＝2，a 3＝1＋（－1）3a 2＝12，a 4＝1＋（－1）4a 3＝3，a 5＝1＋（－1）5a 4＝23.答案 D3.(老教材必修5P33T5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.…解析 由a 1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，…，归纳a n ＝5n －4. 答案 5n －44.(2020·北京朝阳区月考)数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式a n 等于( ) A.（－1）n＋12B.cos n π2 C.cosn ＋12πD.cosn ＋22π解析 令n ＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确. 答案 D5.(2019·郑州一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1（4n －1）3，若a 4＝32，则a 1＝________.解析 由题意，得a 4＝S 4－S 3＝32. 即255a 13－63a 13＝32，解得a 1＝12. 答案 126.(2020·成都诊断)数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n (n ∈N *)，则此数列最大项的值是________.解析 a n ＝－n 2＋11n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －1122＋1214，∵n ∈N *，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30. 答案 30考点一 由a n 与S n 的关系求通项【例1】 (1)(2019·广州质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则a n ＝________. (2)(2020·西安模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝13a n ＋1－1，则数列{a n }的通项公式为________.解析 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.(2)由a 1＝1，S n ＝13a n ＋1－1可得a 1＝13a 2－1＝1，解得a 2＝6，当n ≥2时，S n －1＝13a n －1，又S n＝13a n ＋1－1，两式相减可得a n ＝S n －S n －1＝13a n ＋1－13a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)，则a n ＝6·4n －2，又a 1＝1不符合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，6·4n －2，n ≥2. 答案 (1)4n －5 (2)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，6·4n －2，n ≥2 规律方法 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.①当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；②当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示.【训练1】 (1)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a n ＝________.(2)(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ， 故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1). 两式相减得(2n －1)a n ＝2， 所以a n ＝22n －1(n ≥2).又由题设可得a 1＝2，满足上式， 从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1(n ∈N *). (2)由S n ＝2a n ＋1，得a 1＝2a 1＋1，所以a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)， 得a n ＝2a n －1.∴数列{a n }是首项为－1，公比为2的等比数列.∴S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝－（1－26）1－2＝－63.答案 (1)22n －1(n ∈N *) (2)－63考点二 由数列的递推关系求通项 多维探究角度1 累加法——形如a n ＋1－a n ＝f (n )，求a n【例2－1】 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )A.2＋ln nB.2＋(n －1)ln nC.2＋n ln nD.1＋n ＋ln n解析 因为a n ＋1－a n ＝lnn ＋1n＝ln(n ＋1)－ln n ， 所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1，a 3－a 2＝ln 3－ln 2，a 4－a 3＝ln 4－ln 3，……a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2).把以上各式分别相加得a n －a 1＝ln n －ln 1， 则a n ＝2＋ln n (n ≥2)，且a 1＝2也适合， 因此a n ＝2＋ln n (n ∈N *). 答案 A角度2 累乘法——形如a n ＋1a n＝f (n )，求a n 【例2－2】 若a 1＝1，na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析 由na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，得a n a n －1＝n n ＋1(n ≥2). 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝nn ＋1·n －1n ·n －2n －1·…·34·23·1＝2n ＋1(n ≥2)， 又a 1也满足上式，所以a n ＝2n ＋1. 答案2n ＋1角度3 构造法——形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1，B ≠0)，求a n【例2－3】 (2020·青岛模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________.解析 由a n ＋1＝3a n ＋2，得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.答案 a n ＝2·3n －1－1角度4 取倒数法——形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)，求a n 【例2－4】 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________. 解析 因为a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝1，所以a n ≠0，所以1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12.又a 1＝1，则1a 1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列.所以1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12.所以a n ＝2n ＋1.答案 a n ＝2n ＋1规律方法 由数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)已知a 1，且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n . (2)已知a 1(a 1≠0)，且a na n －1＝f (n )，可用“累乘法”求a n . (3)已知a 1，且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可用待定系数法确定)，可转化为{a n ＋k }为等比数列. (4)形如a n ＋1＝Aa n Ba n ＋C (A ，B ，C 为常数)的数列，将其变形为1a n ＋1＝C A ·1a n ＋BA ，①若A ＝C ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为BA，②若A ≠C ，则采用待定系数法构造新数列求解. 【训练2】 (1)(角度1)在数列{a n }中，若a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），则通项公式a n ＝________.(2)(角度2)已知a 1＝2，a n ＋1＝2na n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(3)(角度3)已知数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(4)(角度4)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 (1)原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋1－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n ，累计相加得，a n ＝a 1＋1－1n， 又n ＝1时也适合，故a n ＝4－1n.(2)∵a n ＋1＝2na n ，∴a n ＋1a n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·2＝2n 2－n ＋22.又a 1＝2也符合上式，∴a n ＝2n 2－n ＋22.(3)因为点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，所以4a n －a n ＋1＋1＝0. 所以a n ＋1＋13＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋13.因为a 1＝3，所以a 1＋13＝103.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋13是首项为103，公比为4的等比数列.所以a n ＋13＝103×4n －1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝103×4n －1－13.(4)由a n ＋1＝a na n ＋2，得1a n ＋1＝1＋2a n ，所以1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是首项为1a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，则1a n ＋1＝2n，则a n ＝12n －1.答案 (1)4－1n (2)2n 2－n ＋22 (3)103×4n －1－13(4)12n －1考点三 数列的性质【例3】 (1)(2019·宜春期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ≤12，2x －1，12<x <1，x －1，x ≥1，若数列{a n}满足a 1＝73，an＋1＝f (a n )(n ∈N *)，则a 2 019＝( )A.73B.43C.56D.13(2)(2020·衡水中学一调)已知数列{a n }的前n项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n－1，n ≤4，－n 2＋（m －1）n ，n ≥5.若a 5是{a n }中的最大值，则实数m 的取值范围是________.解析 (1)由题意，知a 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73＝43，a 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝13，a 4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝56，a 5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝23，a 6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝13，a 7＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝56，……，故数列{a n }从第三项起构成周期数列，且周期为3，故a 2 019＝a 3＝13.故选D.(2)因为S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n－1，n ≤4，－n 2＋（m －1）n ，n ≥5，所以当2≤n ≤4时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式； 当n ≥6时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋m ， 当n ＝5时，a 5＝S 5－S 4＝5m －45， 综上，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n ≤4，5m －45，n ＝5，－2n ＋m ，n ≥6，因为a 5是{a n }中的最大值，所以有5m －45≥8且5m －45≥－12＋m ，解得m ≥535.答案 (1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫535，＋∞ 规律方法 1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性.2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定a n 与a n ＋1的大小，常用比差或比商法进行判断. 【训练3】 (1)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则a 2 021＝( )A.－1B.12C.1D.2(2)已知等差数列{a n }的公差d <0，且a 21＝a 211，则数列{a n }的前n 项和S n 项取得最大值时，项数n 的值为( )A.5B.6C.5或6D.6或7解析 (1)由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n 得a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝2，…，可知数列{a n }是以3为周期的数列，因此a 2 021＝a 3×673＋2＝a 2＝2. (2)由a 21＝a 211，可得(a 1＋a 11)(a 1－a 11)＝0， 因为d <0，所以a 1－a 11≠0，所以a 1＋a 11＝0， 又2a 6＝a 1＋a 11，所以a 6＝0. 因为d <0，所以{a n }是递减数列，所以a 1>a 2>…>a 5>a 6＝0>a 7>a 8>…，显然前5项和或前6项和最大，故选C. 答案 (1)D (2)CA 级 基础巩固一、选择题1.已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A.a n ＝(－1)n －1＋1B.a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C.a n ＝2sinn π2D.a n ＝cos(n －1)π＋1解析 对n ＝1，2，3，4进行验证，a n ＝2sin n π2不合题意.答案 C2.已知数列{a n }满足：任意m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( )A.132B.116C.14D.12解析 由题意，得a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18，则a 5＝a 3·a 2＝132.答案 A3.(2020·江西重点中学盟校联考)在数列{a n }中，a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 2 019的值为( ) A.－14B.5C.45D.54解析 在数列{a n }中，a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，所以a 2＝1－1－14＝5，a 3＝1－15＝45，a 4＝1－145＝－14，所以{a n }是以3为周期的周期数列，所以a 2 019＝a 673×3＝a 3＝45.答案 C4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，则S 5＝( ) A.31B.42C.37D.47解析 由题意，得S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N *)，∴S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N *)，故数列{S n ＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2，则S 5＋1＝3×24，所以S 5＝47. 答案 D5.(2020·兰州重点高中联考)已知数列{a n }的首项a 1＝35，且满足a n －a n －1＝2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a nn的最小值为( )A.234B.595C.353D.12解析 数列{a n }的首项a 1＝35，且满足a n －a n －1＝2n －1(n ∈N *，n ≥2)，可得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝34＋(1＋3＋5＋…＋2n －1)＝34＋12n (1＋2n －1)＝34＋n 2(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝35符合上式，故a n ＝34＋n 2(n ∈N *)，则a n n ＝n ＋34n≥234，等号成立时n ＝34n ，解得n ＝34，n 不为正整数，由于n 为正整数，所以n ＝5时，5＋345＝595；n ＝6时，6＋346＝353<595.则a n n 的最小值为353，故选C.答案 C 二、填空题6.已知S n ＝3n＋2n ＋1，则a n ＝________________. 解析 因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2 7.(2019·汕头一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3(n ∈N *)，则S 10＝________________. 解析 因为a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 所以S n ＋2－S n ＋1＝3S n －S n ＋1＋3，整理得S n ＋2＝3S n ＋3，即S n ＋2＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋32，又S 2＝a 1＋a 2＝3，所以S 10＋32＝S 10＋32S 8＋32·S 8＋32S 6＋32·S 6＋32S 4＋32·S 4＋32S 2＋32·⎝⎛⎭⎪⎫S 2＋32，即S 10＝S 10＋32S 8＋32·S 8＋32S 6＋32·S 6＋32S 4＋32·S 4＋32S 2＋32·⎝⎛⎭⎪⎫S 2＋32－32＝363.答案 3638.(2020·河北省级示范性高中联考)数列{a n }满足a 1＝3，且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1－a n ＝n ＋2，则a 39＝________. 解析 因为a n ＋1－a n ＝n ＋2，所以a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝5，……，a n －a n －1＝n ＋1(n ≥2)，上面(n －1)个式子左右两边分别相加 得a n －a 1＝（n ＋4）（n －1）2(n ≥2)，即a n ＝（n ＋1）（n ＋2）2(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝3适合上式，所以a n ＝（n ＋1）（n ＋2）2，n ∈N *，所以a 39＝820.答案 820 三、解答题9.已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)·a n －2a n ＋1＝0. (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式.解 (1)由题意得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1). 因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.10.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *，设b n ＝S n －3n. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围. 解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n， 即S n ＋1＝2S n ＋3n，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n)，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3， 所以数列{b n }的通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝3n＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3， 当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9.又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，a 的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞).B 级 能力提升11.(2019·晋中高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2 020这2 020个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列共有( ) A.98项B.97项C.96项D.95项解析 能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故a n ＝21n －20，由1≤a n ≤2020得1≤n ≤97321，又n ∈N *，故此数列共有97项.答案 B12.(2020·邵东月考)已知数列{a n }的通项为a n ＝2n ＋3(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ＝3n 2＋7n 2(n ∈N *)，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列{c n }，则满足c n <2 020的n 的最大整数值为( ) A.338B.337C.336D.335解析 对于{b n }，当n ＝1时，b 1＝S 1＝5，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝3n 2＋7n2－3（n －1）2＋7（n －1）2＝3n ＋2，它和数列{a n }的公共项构成的新数列{c n }是首项为5，公差为6的等差数列，则c n ＝6n －1，令c n <2 020，可得n <33656，因为n ∈N *，所以n 的最大值为336. 答案 C13.(2020·合肥联考)已知数列{a n }，a 1＝2，S n 为数列{a n }的前n 项和，且对任意n ≥2，都有2a na n S n －S 2n ＝1，则{a n }的通项公式为________________.解析 n ≥2时，由2a n a n S n －S 2n ＝1⇒2（S n －S n －1）（S n －S n －1）S n －S 2n ＝2（S n －S n －1）－S n －1S n ＝1⇒1S n －1S n －1＝12.又1S 1＝1a 1＝12， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以12为首项，12为公差的等差数列.∴1S n ＝n 2，∴S n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝－2n （n －1），当n ＝1时，a 1＝2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，－2n （n －1），n ≥2. 答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，－2n （n －1），n ≥2 14.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0).(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围. 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *).结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *). ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5<2－a2<6，即－10<a <－8.即a 的取值范围是(－10，－8).C 级 创新猜想15.(新背景题)(2019·福州二模)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为a ，当a ∈[2，2 019]时，符合条件的a 共有________个. 解析 法一 由题设a ＝3m ＋2＝5n ＋3，m ，n ∈N ， 则3m ＝5n ＋1，m ，n ∈N ，当m ＝5k 时，n 不存在；当m ＝5k ＋1时，n 不存在； 当m ＝5k ＋2时，n ＝3k ＋1，满足题意； 当m ＝5k ＋3时，n 不存在；当m ＝5k ＋4时，n 不存在.其中k ∈N .故2≤a ＝15k ＋8≤2 019，解得－615≤k ≤2 01115，则k ＝0，1，2，…，134，共135个. 即符合条件的a 共有135个，故答案为135.法二 一个整数除以三余二，这个整数可以为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，…，一个整数除以五余三，这个整数可以为3，8，13，18，23，28，33，38，…，则同时除以三余二、除以五余三的整数为8，23，38，…，构成首项为8，公差为15的等差数列，通项公式为a n＝8＋15(n－1)＝15n－7，由15n－7≤2 019得15n≤2 026，n≤135 115，因为n∈N*，所以n＝1，2，3，…，135，共有135个. 答案135。
高考数学一轮复习第五章数列5.1数列的概念与简单表示法课件理
【知识梳理】 1.数列的有关概念
概念
含义
数列 数列的项 数列的通项
按照_一__定__顺__序__排列的一列数
数列中的_________ 每一个数
数列{an}的第n项an
概念 通项公式 前n项和
含义
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用 公式_a_n=_f_(_n_)_表示,这个公式叫做数列 的通项公式
将第一项看成 这样,先不考虑符号,则分母为3,5, 7,9,…可归纳为 233 n， +1,分子为3,8,15,24,…将其每一项
加1后变成4,9,16,25,…可归纳为(n+1)2,综上,数列的
通项公式an= 1nn1211nn22n.
2n1
2n1
③把数列改写成 1， 0， 1， 0， 1， 0分， 1母， 0依， 次为 12345678
答案:(1)5 030 (2)
5k 5k 1
2
【加固训练】
1.数列
则 是该数列的 ( )
2，5， 2 2， 2 5
A.第6项
B.第7项
C.第10项
D.第11项
【解析】选B.原数列可写成
因为
所以20=2+(n-1)×3,所以n=27， . 5，8， 2 5 20，
2.根据下图5个图形及相应点的个数的变化规律,猜测 第n个图中有________个点.
1,2,3,…,而分子1,0,1,0,…周期性出现,因此数列 的通项可表示为
an
12［11n1］11n1.
n
2n
④将数列统一为 3，5，7，对9 ，于分子3,5,7,9,…, 2 5 10 17
2022年高中数学第二章数列5-1等比数列的前n项和练习含解析新人教A版必修
课时训练13 等比数列的前n项和一、等比数列前n 项和公式的应用1.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项的和等于( )A.31B.33C.35D.37答案:B解析:∵S 5=1,∴a 1(1-25)1-2=1,即a 1=131.∴S 10=a 1(1-210)1-2=33.2.设首项为1,公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则( )A .S n =2a n -1B .S n =3a n -2C .S n =4-3a nD .S n =3-2a n答案:D解析:S n =a 1(1-q n)1-q =a 1-a n q 1-q =1-23a n1-23=3-2a n ,故选D .3.(2015福建厦门高二期末,7)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若27a 2-a 5=0,则S 4S 2等于( )A.-27 B.10C.27D.80答案:B解析:设等比数列{a n }的公比为q ,则27a 2-a 2q 3=0,解得q=3,∴S 4S 2=a 1(1-q 4)1-q ·1-q a 1(1-q 2)=1+q 2=10.故选B .4.(2015课标全国Ⅰ高考,文13)在数列{a n}中,a1=2,a n+1=2a n,S n为{a n}的前n项和.若S n=126,则n= .答案:6解析:∵a n+1=2a n,即an+1a n=2,∴{a n}是以2为公比的等比数列.又a1=2,∴S n=2(1-2n)1-2=126.∴2n=64,∴n=6.5.设数列{a n}是首项为1,公比为-2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|= .答案:15解析:由数列{a n}首项为1,公比q=-2,则a n=(-2)n-1,a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,则a1+|a2|+a3+| a4|=1+2+4+8=15.二、等比数列前n项和性质的应用6.一个等比数列的前7项和为48,前14项和为60,则前21项和为( )A.180B.108C.75D.63答案:D解析:由性质可得S7,S14-S7,S21-S14成等比数列,故(S14-S7)2=S7·(S21-S14).又∵S7=48,S14=60,∴S21=63.7.已知数列{a n},a n=2n,则1a1+1a2+…+1an= .答案:1-1 2n解析:由题意得:数列{a n }为首项是2,公比为2的等比数列,由a n =2n ,得到数列{a n }各项为:2,22,…,2n ,所以1a 1+1a 2+…+1a n =12+122+…+12n .所以数列{1a n }是首项为12,公比为12的等比数列.则1a 1+1a 2+…+1a n =12+122+…+12n=12[1-(12)n]1-12=1-12n.8.在等比数列{a n }中,a 1+a n =66,a 2·a n-1=128,S n =126,求n 和q.解:∵a 2a n-1=a 1a n ,∴a 1a n =128.解方程组{a 1a n =128,a 1+a n =66,得{a 1=64,a n =2,①或{a 1=2,a n =64.②将①代入S n =a 1-a n q 1-q=126,可得q=12,由a n =a 1q n-1,可得n=6.将②代入S n =a 1-a n q 1-q=126,可得q=2,由a n =a 1q n-1可解得n=6.综上可得,n=6,q=2或12.三、等差、等比数列的综合应用9.已知数列{a n }是以1为首项,2为公差的等差数列,{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列,设c n =a b n ,T n =c 1+c 2+…+c n ,当T n >2 013时,n 的最小值为( )A.7B.9C.10D.11答案:C解析:由已知a n =2n-1,b n =2n-1,∴c n =a b n =2×2n-1-1=2n -1.∴T n =c 1+c 2+…+c n =(21+22+ (2))-n=2×1-2n1-2-n=2n+1-n-2.∵T n>2013,∴2n+1-n-2>2013,解得n≥10,∴n的最小值为10,故选C.10.已知公差不为0的等差数列{a n}满足S7=77,a1,a3,a11成等比数列.(1)求a n;(2)若b n=2a n,求{b n}的前n项和T n.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d(d≠0),由S7=7(a1+a7)2=77可得7a4=77,则a1+3d=11 ①.因为a1,a3,a11成等比数列,所以a32=a1a11,整理得2d2=3a1d.又d≠0,所以2d=3a1 ②,联立①②,解得a1=2,d=3,所以a n=3n-1.(2)因为b n=2a n=23n-1=4·8n-1,所以{b n}是首项为4,公比为8的等比数列.所以T n=4(1-8n)1-8=23n+2-47.(建议用时:30分钟) 1.在等比数列{a n}中,a1=3,a n=96,S n=189,则n的值为( ) A.5B.4C.6D.7答案:C解析:显然q≠1,由a n=a1·q n-1,得96=3×q n-1.又由S n=a1-anq1-q,得189=3-96q1-q.∴q=2.∴n=6.2.等比数列{a n}的前n项和为S n,若S1,S3,S2成等差数列,则{a n}的公比等于( )A.1B.12C.-12D.1+√52答案:C解析:设等比数列{a n}的公比为q,由2S3=S1+S2,得2(a1+a1q+a1q2)=a1+a1+a1q,整理得2q2+q=0,解得q=-12或q=0(舍去).故选C.3.等比数列{a n}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( )A.2B.12C.4D.14答案:C解析:a3=3S2+2,a4=3S3+2,等式两边分别相减得a4-a3=3a3即a4=4a3,∴q=4.4.设S n为等比数列{a n}的前n项和,8a2+a5=0,则S5S2=( )A.11B.5C.-8D.-11答案:D解析:设等比数列的首项为a1,公比为q,则8a1q+a1q4=0,解得q=-2.∴S5S2=a1(1-q5)1-qa1(1-q2)1-q=1-q51-q2=-11.5.设{a n}是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是( )A.X+Z=2YB.Y(Y-X)=Z(Z-X)C.Y2=XZD.Y(Y-X)=X(Z-X)答案:D解析:S n=X,S2n-S n=Y-X,S3n-S2n=Z-Y,不妨取等比数列{a n}为a n=2n,则S n,S2n-S n,S3n-S2n成等比数列,∴(Y-X)2=X(Z-Y),整理得D正确.6.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n (n ∈N *)等于 . 答案:6解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列,所以S n =2(1-2n)1-2=2(-1+2n )≥100,∴2n ≥51,∴n ≥6.7.已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列{1a n}的前5项和为 . 答案:3116解析:易知公比q ≠1.由9S 3=S 6,得9×a 1(1-q 3)1-q =a 1(1-q 6)1-q ,解得q=2.∴{1a n }是首项为1,公比为12的等比数列.∴其前5项和为1-(12)51-12=3116.8.在等比数列{a n }中,若a 1=12,a 4=-4,则公比q= ;|a 1|+|a 2|+…+|a n |= .答案:-2 2n-1-12解析:设等比数列{a n }的公比为q ,则a 4=a 1q 3,代入数据解得q 3=-8,所以q=-2;等比数列{|a n |}的公比为|q|=2,则|a n |=12×2n-1,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=12(1+2+22+…+2n-1)=12(2n-1)=2n-1-12.9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足a2=4,a3+a4=17.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=2a n+2,证明数列{b n}是等比数列并求其前n项和T n. (1)解:设等差数列{a n}的公差为d.由题意知{a3+a4=a1+2d+a1+3d=17,a2=a1+d=4,解得a1=1,d=3,∴a n=3n-2(n∈N*).(2)证明:由题意知,b n=2a n+2=23n(n∈N*),b n-1=23(n-1)=23n-3(n∈N*,n≥2),∴bnb n-1=23n23n-3=23=8(n∈N*,n≥2),又b1=8,∴{b n}是以b1=8,公比为8的等比数列.∴T n=8×(1-8n)1-8=87(8n-1).10.已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R),且1a1,1a2,1a4成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)对n∈N*,试比较1a2+1a22+1a23+…+1a2n与1a1的大小.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意可知(1a2)2=1a1·1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),从而a1d=d2,因为d≠0,∴d=a1=a.故通项公式a n=na.(2)记T n=1a2+1a22+…+1a2n,因为a2n=2n a,所以T n=1a(12+122+ (12))=1 a ·12[1-(12)n]1-12=1a[1-(12)n].从而,当a>0时,T n<1 a 1 ;当a<0时,T n>1 a 1 .。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案数列的概念与简单表示法1
第一节 数列的概念与简单表示法数列的概念及表示方法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)． (2)了解数列是自变量为正整数的一类函数． 知识点一 数列的概念 1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫作首项)．2．数列的分类分类原则 类型 满足条件 按项数有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限按项与项 间的大小 关系递增数列a n ＋1≥a n 其中n ∈N ＋递减数列 a n ＋1≤a n 常数列a n ＋1＝a n ,摇摆数列 从第2项起有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项易误提醒1．由前n 项写通项、数列的通项并不唯一．2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．[自测练习]1．数列{a n }：1，－58，715，－924，…，的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n(n ∈N ＋) B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n (n ∈N ＋) C ．a n ＝(－1)n＋12n －1n 2＋2n(n ∈N ＋)D ．a n ＝(－1)n－12n ＋1n 2＋2n(n ∈N ＋) 解析：观察数列{a n }各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，故选D.答案：D2．已知数列的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则3( ) A ．不是数列{a n }中的项 B ．只是数列{a n }中的第2项 C ．只是数列{a n }中的第6项 D ．是数列{a n }中的第2项或第6项解析：令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3，解得n ＝2或6，故3是数列{a n }中的第2项或第6项．答案：D知识点二 数列与函数关系及递推公式 1．数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．2．数列的递推公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．必记结论 a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[自测练习]3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，则a 5的值为( ) A ．30 B ．31 C ．32D ．33解析：a 5＝2a 4＋1＝2(2a 3＋1)＋1＝22a 3＋2＋1＝23a 2＋22＋2＋1＝24a 1＋23＋22＋2＋1＝31.答案：B4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式是________． 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－(2n －1－3)＝2n －2n －1＝2n －1.故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝12n －1，n ≥2考点一 由数列的前几项求数列的通项公式|1．下列公式可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝1B ．a n ＝(－1)n ＋12C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2 D ．a n ＝(－1)n －1＋32解析：由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…. 答案：C2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…； (3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式a n ＝2(n ＋1)(n ∈N ＋)．(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×1n (n ＋1).(3)这是一个摆动数列，奇数项是a ，偶数项是b ，所以此数列的一个通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，b ，n 为偶数. (4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1，1 000－1,10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n －1.用观察法求数列的通项公式的两个技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．(2)对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．考点二 由a n 与S n 的关系求通项a n |已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n ＋b . [解] (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.已知S n 求a n 的三个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N ＋，求{a n }的通项公式．解：由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2，由已知a 1＝S 1>1，因此a 1＝2.又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)，得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n . 因为a n >0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去． 因此a n ＋1－a n －3＝0.即a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是以公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项公式为a n＝3n －1.考点三 由递推关系式求数列的通项公式|递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．归纳起来常见的探究角度有： 1．形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n . 2．形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n .3．形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n . 4．形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C (A ，B ，C 为常数)，求a n .探究一 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n .1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)．解：因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.由累乘法可得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n (n ≥2)．又a 1＝1符合上式，∴a n ＝1n .探究二 形如a n ＋1－a n ＝f (n )，求a n . 2．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2.解：因为a n ＋1－a n ＝3n ＋2，所以a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n (3n ＋1)2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＝12×(3×1＋1)，符合上式，所以a n ＝32n 2＋n2.探究三 形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)求a n . 3．在数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.解：因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3.又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以a n ＝2·3n －1－1.探究四 形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)，求a n .4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解：∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解． 1．形如a n ＝a n －1＋f (n )(n ≥2，n ∈N *)时，用累加法求解． 2．形如a na n －1＝f (n )(a n －1≠0，n ≥2，n ∈N *)时，用累乘法求解．3．形如a n ＝a n －1＋m (n ≥2，n ∈N *)时，构造等差数列求解；形如a n ＝xa n －1＋y (n ≥2，n ∈N *)时，构造等比数列求解．16.函数思想在数列中的应用 【典例】 已知数列{a n }． (1)若a n ＝n 2－5n ＋4. ①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立．求实数k 的取值范围． [思路点拨] (1)求使a n <0的n 值；从二次函数看a n 的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f (n )＝n 2＋kn ＋4.f (n )在N *上单调递增，但自变量不连续．从二次函数的对称轴研究单调性．[解] (1)①由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. ②∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94， ∴对称轴方程为n ＝52.又n ∈N *，∴n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4， 所以(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4， 即k >－1－2n ，又n ∈N *，所以k >－3. [方法点评]1．本题给出的数列通项公式可以看作是一个定义在正整数集上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k 的取值范围，使问题得到解决．2．本题易错答案为k >－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数． 3．在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取． [跟踪练习] 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，试问该数列中有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．解：法一：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ×9－n 11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， ∴该数列中有最大项，为第9、10项， 且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119.法二：根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)，即⎩⎨⎧n ×⎝⎛⎭⎫1011n －1≤(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ，(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n≥(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *， ∴n ＝9或n ＝10，∴该数列中有最大项，为第9、10项， 且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119.A 组 考点能力演练1．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，则a 13＝( ) A ．143 B ．156 C ．168D ．195解析：由a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1得a n ＋1＋1＝(a n ＋1＋1)2，所以a n ＋1＋1－a n ＋1＝1，又a 1＝0，则a n ＋1＝n ，a n ＝n 2－1，则a 13＝132－1＝168.答案：C2．(2015·杭州质检)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝( ) A ．0 B ．－ 3 C. 3D.32解析：本题由数列递推关系式，推得数列{a n }是周期变化的，找出规律，再求a 20.由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，…由此可知：数列{a n }是周期变化的，且三个一循环，所以可得a 20＝a 2＝－3，故选B.答案：B3．在数列{a n }中，a 3＝8，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2(n 为奇数)，2a n(n 为偶数)，则a 5等于( )A ．12B ．14C ．20D ．22解析：本题考查数列的基本性质．代入得a4＝a3＋2＝10，a5＝2a4＝20.答案：C4．在数列{a n}中，有a n＋a n＋1＋a n＋2(n∈N*)为定值，且a7＝2，a9＝3，a98＝4，则此数列{a n}的前100项的和S100＝()A．200 B．300C．298 D．299解析：由题意，知a n＋a n＋1＋a n＋2＝a n＋1＋a n＋2＋a n＋3，则a n＝a n＋3，所以数列{a n}是周期为3的周期数列，则a1＝a4＝a7＝…＝a97＝a100＝2，a2＝a5＝…＝a98＝4，a3＝a6＝a9＝…＝a99＝3，所以数列的前100项和为(a1＋a2＋a3)×33＋a100＝299，故选D.答案：D5．已知在数列{a n}中，a1＝2，a2＝7，若a n＋2等于a n a n＋1(n∈N*)的个位数，则a2 016的值为()A．8 B．6C．4 D．2解析：因为a1a2＝2×7＝14，所以a3＝4；因为a2a3＝7×4＝28，所以a4＝8；因为a3a4＝4×8＝32，所以a5＝2；因为a4a5＝8×2＝16，所以a6＝6；因为a5a6＝2×6＝12，所以a7＝2；因为a6a7＝6×2＝12，所以a8＝2；依次计算得a9＝4，a10＝8，a11＝2，a12＝6，所以从第3项起，数列{a n}成周期数列，周期为6，因为2 016＝2＋335×6＋4，所以a2 016＝6.答案：B6．已知在数列{a n}中，a1＝1，a2＝0，若对任意的正整数n，m(n>m)，有a2n－a2m＝a n－a n＋m，则a2 015＝________.m解析：令n＝2，m＝1，则a22－a21＝a1a3，得a3＝－1；令n＝3，m＝2，则a23－a22＝a1a5，得a5＝1；令n＝5，m＝2，则a25－a22＝a3a7，得a7＝－1，所以猜想当n为奇数时，{a n}为1，－1,1，－1，…，所以a2 015＝－1.答案：－17．若数列{(n－a)2}是递增数列，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得，对任意的n∈N*.(n＋1－a)2>(n－a)2恒成立，即2a<2n＋1恒成立，所以2a<(2n＋1)min＝3，则a<32.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，32 8．(2016·蚌埠检查)已知数列{a n }满足：a 1为正整数，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2， a n 为偶数，3a n ＋1， a n 为奇数，如果a 1＝1，则a 1＋a 2＋…＋a 2 014＝________.解析：由题意知a 1＝1，a 2＝3×1＋1＝4，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝4，a 6＝2，…，所以{a n }的周期为3，因为2 014＝3×671＋1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝(1＋4＋2)×671＋1＝4 698.答案：4 6989．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n ＋p ，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －5，设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，a n ≤b n ，b n ，a n >b n .若在数列{c n }中，c 8>c n (n ∈N *，n ≠8)，求实数p 的取值范围． 解：由题意得，c 8是数列{c n}中的最大项，所以⎩⎪⎨⎪⎧－7＋p >22，－9＋p ≤24，－8＋p >4，23>－9＋p ，解得12<p <17.10．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4， a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a 2. ∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性， 知5<2－a 2<6，∴－10<a <－8. 故a 的取值范围为(－10，－8)．B 组 高考题型专练1．(2012·高考大纲全国卷)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B.⎝⎛⎭⎫32n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.12n －1 解析：由已知S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n ＝32，而S 1＝a 1＝1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1，故选B.答案：B2．(2011·高考四川卷)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1解析：法一：a 1＝1，a 2＝3S 1＝3，a 3＝3S 2＝12＝3×41，a 4＝3S 3＝48＝3×42，a 5＝3S 4＝3×43，a 6＝3S 5＝3×44.故选A.法二：当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1，∴该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列，又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)，3×4n －2 (n ≥2)，∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.答案：A3．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________. 解析：由a n ＋1＝11－a n ，得a n ＝1－1a n ＋1，∵a 8＝2，∴a 7＝1－12＝12， a 6＝1－1a 7＝－1，a 5＝1－1a 6＝2，…， ∴{a n }是以3为周期的数列，∴a 1＝a 7＝12. 答案：124．(2012·高考上海卷)已知f (x )＝11＋x.各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝f (a n )．若a 2 010＝a 2 012，则a 20＋a 11的值是________．解析：∵a n ＋2＝11＋a n，a 1＝1，∴a 3＝12， a 5＝11＋12＝23，a 7＝11＋23＝35，a 9＝11＋35＝58，a 11＝11＋58＝813，又a 2 010＝a 2 012， 即a 2 010＝11＋a 2 010⇒a 22 010＋a 2 010－1＝0， ∴a 2 010＝5－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2 010＝－5－12舍去. 又a 2 010＝11＋a 2 008＝5－12， ∴1＋a 2 008＝25－1＝5＋12，即a 2 008＝5－12，依次类推可得a 2 006＝a 2 004＝…＝a 20＝5－12，故a 20＋a 11＝5－12＋813＝135＋326. 答案：135＋3265．(2015·高考江苏卷)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．解析：由a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)得，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，则1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和S 10＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋110－111 ＝2⎝⎛⎭⎫1－111＝2011. 答案：2011。
高考数学 第五章 第一节 数列的概念与简单表示法课时
【全程复习方略】（广东专用）2014年高考数学第五章第一节数列的概念与简单表示法课时作业理新人教A版一、选择题1.已知数列错误!未找到引用源。
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,…,错误!未找到引用源。
,…,下面各数中是此数列中的项的是( )(A)错误!未找到引用源。
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(D)错误!未找到引用源。
2.数列{a n}中,a n=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是( )(A)103 (B)108错误!未找到引用源。
(C)103错误!未找到引用源。
(D)1083.已知数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n+1,则a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10的值为( )(A)150 (B)161 (C)160 (D)1714.已知数列{a n}满足a1=1,且a n=错误!未找到引用源。
a n-1+(错误!未找到引用源。
)n(n≥2,且n ∈N*),则数列{a n}的通项公式为( )(A)a n=错误!未找到引用源。
(B)a n=错误!未找到引用源。
(C)a n=n+2 (D)a n=(n+2)3n5.(2012·西安模拟)在数列{a n}中,a1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则错误!未找到引用源。
的值是( ) (A)错误!未找到引用源。
(B)错误!未找到引用源。
(C)错误!未找到引用源。
(D)错误!未找到引用源。
6.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+ln(1+错误!未找到引用源。
),则a n= ( )(A)2+ln n (B)2+(n-1)ln n(C)2+nln n (D)1+n+ln n7.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-9n,第k项满足5<a k<8,则k等于( )(A)9 (B)8 (C)7 (D)68.(能力挑战题)定义:F(x,y)=y x(x>0,y>0),已知数列{a n}满足:a n=()()F n,2F2,n错误!未找到引用源。
人教新课标A版高一数学《必修5》§2.1.1 数列的概念
典例突破
（四）数列的规律性
2
-16
-36
典例突破
（四）数列的规律性
6
谢谢大家！
（二）数列的分类
（2）1,2,3,4和1,2,3,4，…有区别吗？ 【答案】有区别．数列1,2,3,4表示有穷数列，
而1,2,3,4，…表示无穷数列．
新ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ探究
（二）数列的分类
问题5. (1) 根据定义，数列对其项的大小顺序有限制
吗？如果按项的大小对数列分类，该怎样分？ 【答案】没有限制. 如果按项的大小对数列分类，应
典例突破
（二）数列的分类
①
①⑤ ③⑥ ②
②③④⑤⑥ ④
典例突破
（二）数列的分类
D
典例突破
（三）数列的表示
典例突破
（三）数列的表示
【答案】（1）不足近似值构成的数列： 1，1.7，1.73，1.732，1.7320，1.73205，1.732050； （2）过剩近似值构成的数列： 2，1.8，1.74，1.733，1.7321，1.73206，1.732051.
分为：递增数列，递减数列，常数列和摆动数列.
新知探究
（二）数列的分类
(2) 你能从项的大小上对下面的数列进行分类吗？
① 1，0.1，0.01，0.001，…… ；② 1，0，1，0，…… ；
③ 3，3，3，3，……. 【答案】① 递减数列；② 摆动数列；③ 常数列.
新知探究
（三）数列与函数的关系
知识链接
新知探究
（一）数列的概念
都是按照一定的顺序排列的 一定的顺序 每一个数 序号 首项 第n项
获取新知
（一）数列的概念
问题2. {an}与an的含义一样吗？
高考数学一轮复习 第五章 数列 5.1 数列的概念与简单表示法课件 理 高三全册数学课件
＝__－___1n___.
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【解析】 (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得 a1＝2， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1， ∴an＝2an－1， ∴数列{an}为首项为 2，公比为 2 的等比数列， 所以 an＝2n.
2 ． 若 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， 通 项 公 式 为 an ， 则 an ＝ S1，n＝1， Sn－Sn－1，n≥2，n∈N*.
3．三种必会方法 (1)叠加法：对于 an＋1－an＝f(n)型，若 f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的和是可 求的，可用多式相加法求得 an.
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2．若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”，如何求解？
解：设递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1－t＝2(an－t)， 即 an＋1＝2an－t，解得 t＝－3.故 an＋1＋3＝2(an＋3)．令 bn＝an＋3， 则 b1＝a1＋3＝5，且bbn＋n 1＝aan＋n＋1＋33＝2.所以{bn}是以 5 为首项，2 为公比的等比数列．所以 bn＝5×2n－1，故 an＝5×2n－1－3.
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考向三 由递推关系求通项公式
n2＋n＋2
【例 3】 设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则 an＝____2____.
【解析】 由条件知 an＋1－an＝n＋1， 则 an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2 ＋3＋4＋…＋n)＋2＝n2＋2n＋2.
2021/12/8
5-1第一节 数列的概念与简单表示法练习题(2015年高考总复习)
第一节 数列的概念与简单表示法时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．按数列的排列规律猜想数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式，a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021.答案 C2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．－2解析 由题可知S n ＝2(a n －1)， 所以S 1＝a 1＝2(a 1－1)，解得a 1＝2.又S 2＝a 1＋a 2＝2(a 2－1)，解得a 2＝a 1＋2＝4. 答案 A3．(2014·济南模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于( )A ．44B ．3×44＋1C ．3×44D ．44＋1 解析 由a n ＋1＝3S n (n ≥1)得a n ＋2＝3S n ＋1，两式相减得a n ＋2－a n ＋1＝3a n ＋1，∴a n ＋2＝4a n ＋1，即a n ＋2a n ＋1＝4，a 2＝3S 1＝3，∴a 6＝a 244＝3×44.答案 C4．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( ) A ．2n －1 B ．n 2 C.(n ＋1)2n 2D.n 2(n －1)2解析 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2， 当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2(n －1)2. 答案 D5．(2014·江西八校联考)将石子摆成如下图的梯形形状．即数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a 2 012－5＝( )A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 011解析 因为a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)，所以a n ＝5＋(n ＋6)(n －1)2，所以a 2 012－5＝1 009×2 011.答案 D6．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 014的值是( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析 ∵a 1a 2＝2×7＝14，∴a 3＝4,4×7＝28，∴a 4＝8,4×8＝32，∴a 5＝2,2×8＝16，∴a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，∴从第三项起，a n 的值成周期排列，周期数为6,2 014＝335×6＋4，∴a 2 014＝a 4＝8.答案 A二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知数列{a n }满足a st ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________.解析 令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8.答案 88．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是此数列中的第________项．解析 将数列分为第1组1个，第2组2个，…，第n 组n 个，(11)，(12，21)，(13，22，31)，…，(1n ，2n －1，…，n 1)，则第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1，则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.答案 509．(2013·湖南卷)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________. 解析 本题考查数列的通项及求和．令n ＝3得S 3＝－a 3－123，① 令n ＝4得S 4＝a 4－124，② 由②－①得a 3＝－116.当n 为偶数时，S n ＝a n －12n ，③ S n －1＝－a n －1－12n －1，④③－④得a n －1＝－12n ，⑤ 将⑤代入④得S n －1＝－12n ，故n 为奇数时，a n ＝－12n ＋1，S n ＝－12n ＋1；当n 为奇数时，S n ＝－a n －12n ， ∴S n －1＋a n ＝－a n －12n ，∴S n －1＝0，即当n 为偶数时，S n ＝0，故S 1，S 3，S 5，…，S 99构成了以S 1＝－14为首项，14为公比的等比数列．∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝S 1＋S 3＋…＋S 99＝－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14501－14＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1. 答案 －116 13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 解 (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N *，∴n ＝2或3.∴数列有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94的对称轴方程为n ＝52，又n ∈N *，∴n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n >0，S n 是数列{a n }的前n 项和，对任意n ∈N *，有2S n ＝p (2a 2n ＋a n －1)(p 为常数)．(1)求p 和a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)令n ＝1得2S 1＝p (2a 21＋a 1－1)． 又a 1＝S 1＝1，得p ＝1；令n ＝2，得2S 2＝2a 22＋a 2－1.又S 2＝1＋a 2， 得2a 22－a 2－3＝0，a 2＝32或a 2＝－1(舍去)， ∴a 2＝32； 令n ＝3，得2S 3＝2a 23＋a 3－1.又S 3＝52＋a 3，得2a 23－a 3－6＝0，a 3＝2或a 3＝－32(舍去)，∴a 3＝2.(2)由2S n ＝2a 2n ＋a n －1，得2S n －1＝2a 2n －1＋a n －1－1(n ≥2)，两式相减，得2a n ＝2(a 2n －a 2n －1)＋a n －a n －1，即(a n ＋a n －1)(2a n －2a n －1－1)＝0.∵a n >0，∴2a n －2a n －1－1＝0，即a n －a n －1＝12(n ≥2)． 故{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，得a n ＝12(n ＋1)．12．(2014·青岛模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值． 解 (1)当n ≥2时，由题可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n ，① a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，② ②－①得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ， 即(n ＋1)a n ＋1＝3na n ，(n ＋1)a n ＋1na n＝3.∴{na n }是以2a 2＝2为首项，3为公比的等比数列(n ≥2)． ∴na n ＝2·3n －2，∴a n ＝2n ·3n －2(n ≥2)．∵a 1＝1，∴a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n ·3n －2，n ≥2.(2)a n ≤(n ＋1)λ⇔λ≥a n n ＋1，由(1)可知当n ≥2时，a nn ＋1＝2·3n －2n (n ＋1)，设f (n )＝n (n ＋1)2·3n (n ≥2，n ∈N *)，a n n ＋1＝132·1f (n )， 则f (n ＋1)－f (n )＝2(n ＋1)(1－n )2·3n ＋1<0，∴1f (n ＋1)>1f (n )(n ≥2)，又132·1f (2)＝13及a 12＝12，∴所求实数λ的最小值为13.。
高中数学第四章数列1第1课时数列的概念与简单表示法课件新人教A版选择性必修2
若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是( ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 【解析】选A.an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0， 所以an＋1>an，即{an}是递增数列．
D．摆动数列
【补偿训练】已知下列数列：
(1)0，0，0，0，0，0；
(2)0，－1，2，－3，4，－5，…；
2．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式． (2)讨论数列{an}的单调性，并证明你的结论． 【解析】(1)因为f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n， 所以有2log2an－2－log2an＝－2n， 即an－a1n ＝－2n， 所以an2 ＋2nan－1＝0， 解得an＝－n± n2＋1 .
【解析】由数列中项的多少可知(1)是有穷数列，(2)(3)(4)(5)是无穷数列，根据数 列单调性的定义知(3)是递增数列，(4)是递减数列，(1)是常数列，(2)(5)是摆动数 列． 答案：(1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1) (2)(5)
探究点二 用观察法求数列的通项公式
A．1，13 ，312 ，313 ，…
B．sin
π 13
，sin
2π 13
，sin
3π 13
，sin
4π 13
，…
C．－1，－12 ，－13 ，－14 ，…
D．1，2，3，4，…，30
【思维导引】(1)根据数列的定义去判断． (2)根据无穷数列和递增数列的定义逐一判断四个选项，即可得正确答案．
【解析】(1)选C.A中的{1，2，3，5，7}表示集合而不是数列，故A错，B中的两 个数列是不同的两个数列，因为1，0，－1，－2这四个数的顺序不一样，故B错 误，数列0，2，4，6，8，…，可记为{2(n－1)}，而不是{2n}，故D错．
【金榜教程】高考数学总复习 第5章 第1讲数列的概念与简单表示法配套课件 理 新人教A
例 3 根据下列条件，求数列的通项公式 an. (1)a1＝4，an＋1＝n＋n 2an； (2)a1＝－1，an＋1＝an＋2n. (3)a1＝1，an＋1＝2an＋1.
[审题视点] (1)可转化后利用累乘求解，(2)可利用累加法 求解，(3)可构造等比数列求解．
[解] (1)由递推关系得aan＋n 1＝n＋n 2，
a3－a2＝2×2， a2－a1＝2×1， 将以上n－1个式子相加，
得 an－a1＝2(1＋2＋…＋n－2＋n－1)， 所以 an＝a1＋2×1＋n－21n－1＝－1＋n(n－1)＝n2－ n－1. 当 n＝1 时，a1＝12－1－1＝－1，也与已知 a1＝－1 相 符，所以数列{an}的通项公式为 an＝n2－n－1.
按项与项
递增数列 an＋1____an
间的大小关 系分类
递减数列 常数列
an＋1____an an＋1＝an
其中n∈N*
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项 小于它的前一项
(3) 通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可 以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的
________，即an＝f(n)．
(1) 已 知
f(1)
＝
3
，
f(n
＋
1)
＝
fn＋1 2
(n
∈
N*)
．
则
f(4)＝
________.
(2)数列{an}中，an＋1＝2＋2aan n(n∈N*)，且 a7＝12，则 a5＝
________. (3)数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，则 a4＝
________.
[审题视点] 先观察各项的特点，然后归纳出通项公式， 要注意项与项数的关系及项与前后项的关系．
高考数学大一轮复习 第五章 数列 5.1 数列的概念及简单表示法课件 文
所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2. 所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列． 故an＝2n.
【答案】 C
(2)(2016·西安八校联考)观察下列三角形数表： 1 2 3 4 … 97 98 99 100 3 5 7 …… 195 197 199 8 12 ……… 392 396 20 ………… 788 …………… ……… …… …
其中从第2行起，每行的每一个数为其“肩膀”上两数之 和，则该数表的最后一行的数为( )
高考真题演练 课时作业
突破考点 01
由数列前几项归纳数列的通项公式
（基础送分型——自主练透）
1．数列的分类
2.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与________之间的关系可以用一个 式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
1.有限 无限 > < 2．序号n
【调研1】 (1)(2016·西安五校联考)下列可作为数列
①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征，并对此进行归纳、猜想； ⑤若给出图示，充分结合图示分析规律． 2．由数列的前几项求通项时，数列的通项公式不唯一．
突破考点 02
Sn与an的关系
（高频考点型——多维探究）
数列的前n项和通常用Sn表示，记作____出下列各数列的一个通项公 式：
①－1,7，－13,19，… ②0.8,0.88,0.888，… ③1,0，13，0，15，0，17，0，… ④32，1，170，197，…
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2．倒序相加法 如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项的 和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前 n 项和即 可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和即是用此法推 导的．
3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比 数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前 n 项和 可用“乘公比，错位相减”法进行．如等比数列的前 n 项和就是用此法推导的．
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教师介绍
• XX老师，上海交通大学XX专业，高 考总分XX分，XX单科（教授科目）XX分 。目前在XX新锐负责XX学科的教研、咨 询和教授工作。 • XX老师对XX章节的内容特别有心得 ，并且总结出了一套XX学习法。 • XX老师曾经教授过超过XX名学生， 平均提分XX分，广受好评为XX新锐金牌 讲师。
二、注意数列的两个性质 (1)单调性——若 an＋1>an，则{an}为递增数列；若 an ＋1<an，则{an}为递减数列．否则为摆动数列或常数数列． (2)周期性——若 an＋k＝an(n∈N*，k 为非零常数)，则 {an}为周期数列，k 为{an}的一个周期．
三、数列求和方法 1．公式法 (1)直接用等差、等比数列的求和公式求． (2)了解一些常见的数列的前 n 项和． 1＋2＋3＋…＋n＝12n(n＋1)； 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2； 12＋23＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)．
∴可得它的一个通项公式为 an＝2nn2＋＋11.
答案：(1)an＝2n－21n＋ 21n＋1；(2)an＝(－1)n·3nn＋＋24； (3)an＝89(1－110n)；(4)an＝(－1)n·2n2－n 3；(5)an＝2nn2＋＋11.
点评：根据数列的前几项写通项时，所求的通项公式 不是惟一的．其中常用方法是观察法．观察 an 与 n 之间 的联系，用归纳法写出一个通项公式，体现了由特殊到一 般的思维规律．联想与转换是有效的思维方法，它是由已 知认识未知、将未知转化为已知的重要思维方法．
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3．分类讨论的思想在本章尤为突出，如等比数列求 和时，公式 q≠1 与 q＝1 等．学习时考虑问题要全面．
4．等价转化在数列中的应用．如通过 an 与 Sn 之间 的关系，将一些数列转化成等差(比)数列来解决等．复习 时要及时总结归纳．
5．灵活应用定义和等差(比)数列的性质是学好本章 的关键．
6．要善于总结基本数学方法(如类比法、倒序相加法、 累加法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法、 构造法)，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效 果．
(1)12，34，78，1156，3312，…； (2)－1,7，－13,19，…； (3)5,55,555，…； (4)23，145，365，683，1909，…； (5)23，－1，170，－197，2116，－3173，….
解析：(1)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21,22,23,24，…，所以 an＝2n2－n 1.
●命题趋势 主要命题热点： 1．an 与 Sn 的关系 2．等差、等比数列的定义、通项公式以及等差、等 比数列的性质、求和公式． 3．简单的递推数列及归纳、猜想、证明问题． 4．数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何综 合问题． 5．数列应用题． 6．探究性问题．
●备考指南 1．数列是一种特殊的函数，要善于利用函数的思想 来解决数列问题． 2．运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型，解 决此类问题需要抓住基本量 a1、d(或 q)，常通过“设而 不求，整体代入”来简化运算．
(1)形如 Sn＝aan＋b 的条件求通项公式时，首先考虑
公式：an＝SS1n－Sn－1
n＝1 n≥2
(2)形如 an＋1＝pan＋q 的条件求通项公式可用配凑 法、换元法等．
此种类型递推数列，都能转化为等比数列{an＋x}， 其中 x 的确定方法：假设 an＋1＋x＝p(an＋x)，则 an＋1＝pan
an＝59(10n－1)． (4)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分
母可分解为 1×3,3×5,5×7,7×9,9×11…，每一项都是两 个相邻奇数的乘积．经过组合，则所求数列的通项公式
an＝2n－12n2n＋1.
(5)偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子(－ 1)n＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第 3 项到第 6 项可 见，分母分别由奇数 7,9,11,13 组成，而分子则是 32＋1,42 ＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第 1、2 两项可改写为 122＋＋11，－22·22＋＋11，所以 an＝(－1)n＋1·2nn2＋＋11.
2．数列的通项公式
一个数列 a 的第 n
n
项
an 与__项__数__n__之间的函数关
系，如果可以用一个公式 an＝f(n)来表示，这个公式叫做
这个数列的通项公式．
二、数列的分类 1．按照项数是有限还是无限分：有穷数列与无穷数 列． 2．按照项与项之间的大小关系分：递增数列、递减 数列、摆动数列和常数列．
三、an 与 Sn 的关系 设数列{an}前 n 项和 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an， 则 an＝SS1n－Sn－1nn＝≥12，.
误区警示 1．数列与数集应予区别，数列中的数排列有序，数 集中的元素无序；数列中的数可重复出现，数集中的元素 互异． 2．并不是每一个数列都有通项公式，给出前 n 项时， 写出的通项公式可以不止一个．
∴an＝(－1)n·2n2－n 3.
(5)将数列统一为32，55，170，197，…，分子 3,5,7,9，…， 是 等 差 数 列 ， 通 项 公 式 为 bn ＝ 2n ＋ 1 ， 对 于 分 母 2,5,10,17，…联想到数列 1,4,9,16…即数列{n2}，可得分母 的通项公式为 cn＝n2＋1，
3 ． 已 知 {an} 的 前 n 项 和 Sn 求 an 时 ， 用 an ＝
S1
n＝1
Sn－Sn－1 n≥2
求解应注意分类讨论．an＝Sn－Sn－1 是
在 n≥2 条件下求出的，应检验 a1 是否适合．如果适合，
则合写在一块，如果不适合，则分段表示．
一、求数列的通项公式常见的有以下三种类型 1．已知数列的前几项，写出一个通项公式． 依据数列前几项的特点归纳出通项公式：方法是依据 数列的排列规律，求出项与项数的关系．一般步骤是：① 定符号，②定分子、分母，③观察前后项的数值特征找规 律，④综合写出项与项数的关系．
第 一节
数列的概念
重点难点 重点：数列的定义和通项公式． 难点：正确运用数列的递推关系解答数列问题．
知识归纳 一、数列的概念 1．数列的定义 数列是按一定次序排成的一列数，从函数观点看，数 列是定义域为__正__整__数__集__(或__它__的__有__限__子__集___) _的函数 f(n)， 当自变量 n 从 1 开始依次取正整数时所对应的一列函数 值 f(1)，f(2)，…，f(n)，….
(3)
将
数
列
变
形
为
8 9
(1
－
0.1)
，
8 9
(1
－
0.01)
，
8 9
(1
－
0.001)，…，
∴an＝891－110n.
(4)各项的分母分别为 21,22,23,24，…易看出第 2,3,4 项 的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为－2－2 3，至此原 数列已化为－212－1 3，222－2 3，－232－3 3，242－4 3，…，
写出下列数列的一个通项公式： (1)1，85，175，294，…； (2)－1，32，－13，34，－15，12，…. 答案：(1)an＝n2nn＋＋12；(2)an＝(－1)n·2＋n－1n.
由递推关系式求通项
[例 2] (文)已知 an＋1＝3an＋1 a1＝1，则 an＝________. 解析：由上式得 an＋1＋12＝3(an＋12) ∴{an＋12}为等比数列，公比为 3，首项为 1＋12＝32 ∴an＋12＝32·3n－1∴an＝12(3n－1)． 答案：12(3n－1)
(2)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1 表示，其各项的 绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝 对值大 6，故通项公式为 an＝(－1)n(6n－5)．
(3)先联想数列 1,11,111,1111，…的通项，它又与数列
9,99,999,9999，…的通项有关，而
＝10n－1，于是
答案：(1)an＝2n2－n 1；(2)an＝(－1)n(6n－5)；(3)an＝59 (10n－1)；(4)an＝2n－12n2n＋1；(5)an＝(－1)n＋1·2nn2＋＋11.
(理)根据数列的前几项，写出下列各数列{an}的一个 通项公式：
(1)1，13，395，1673，3939，…，an＝________. (2)－37，25，－153，38，－179，141，…，an＝________. (3)0.8,0.88,0.888，…，an＝________. (4)12，14，－58，1136，－2392，6614，…，an＝________. (5)32，1，170，197，…，an＝________.
4．裂项相消法 如果数列的通项可以表达成两项之差，各项随 n 的 变化而变化，前后项相加可以相互抵消就用裂项相加相消 法． 5．分组求和法 当一个数列的通项由几个项构成，各个项构成等差或 等比数列时，可分为几个数列分别求和再相加．
由数列的前几项写出数列的一个通项公式
[例 1] (文)根据下面各数列的前几项的值，写出数列的 一个通项公式：
要特别注意以下数列特点： (1)自然数列 自然数的平方列． (2)奇数列 偶数列 (3)an＝(－1)n an＝12[1＋(－1)n] 类 (4)an＝sinn2π an＝cosn2π. (5)an＝k9(10n－1)(k＝1,2，…，9)类．