中考数学勾股定理知识点-+典型题含答案

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中考数学直角三角形与勾股定理专题训练(含答案)

中考数学直角三角形与勾股定理专题训练一、选择题1. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD 的面积为()A.B.3 C.D.52. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为()A.B.C.D.3. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点，则点D的个数共有()B，C)，若线段AD长为正整数．．．A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个5.小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间6. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E.若DE=1，则BC的长为()A.2+B.+C.2+D.37. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则()A. x－y2＝3B. 2x－y2＝9C. 3x－y2＝15D. 4x－y2＝218. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为()A.32B.332C.32D. 不能确定二、填空题9. 如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA=°(点A，B，P是网格线交点).10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F.过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则CD的长是________．11. 三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD 的长度是 .12. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△DEC ，连接BD ，则BD 2的值是 .13. (2019•通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．14. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于________．15. 在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．16. (2019•伊春)一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的△是直角三角形时，则CD的长为__________．点E处，当BDE三、解答题17. 如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.18. 已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0.[尝试] 化简整式A.[发现] A=B2，求整式B.[联想] 由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2，当n>1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图.填写下表中B的值:直角三角形三边n2-1 2n B勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ3519. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF ∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.20. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完．．．．．．．．．．．．．成解答过程．．．．．21.如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1. 732)；(2)确定C港在A港的什么方向．22. 已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】D[解析]如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，∴AC===5.∴sin∠BAC==.故选D.3. 【答案】C[解析]在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中，∵∠A'DB=90°，A'D=2米，BD2+A'D2=A'B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).4. 【答案】C【解析】如解图，当AD⊥BC时，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，BD＝CD＝12BC＝4，∴AD＝AB2－BD2＝3；又∵AB＝AC＝5，∴在BD和CD之间一定存在AD＝4的两种情况，∴点D的个数共有3个．5. 【答案】C【解析】由作法过程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴OB=22222313+=+=，∴P点所表示的数就是OA AB13，∵91316<<，<<，∴3134即点P所表示的数介于3和4之间，故选C．6. 【答案】A[解析]过点D作DF⊥AC于F，如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1.在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2.在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=2+.7. 【答案】B【解析】连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过E作EG⊥BC，垂足为G.∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，又∵E是AC的中点，EG⊥BC，∴EG∥AF，∴CG＝FG＝12CF＝3，∵在Rt△CEG中，tan C＝EG CG，∴EG＝CG×tan C＝3y；∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，∵HD是BE的垂直平分线，∴BD＝DE＝x，∵在Rt△EGD中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋EG2，∴x2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x－y2＝9.8. 【答案】B【解析】如解图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H，则BH＝32，AH＝AB2－BH2＝332.连接P A，PB，PC，则S△P AB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC，∴12AB·PD＋12BC·PE＋12CA·PF＝12BC·AH，∴PD＋PE＋PF＝AH＝332.二、填空题9. 【答案】45[解析]本题考查三角形的外角，可延长AP交正方形网格于点Q，连接BQ，如图所示，经计算PQ=BQ=，PB=，∴PQ2+BQ2=PB2，即△PBQ为等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∴∠P AB+∠PBA=∠BPQ=45°，故答案为45.10. 【答案】5【解析】由题意知EF垂直平分AB，∴点D是AB的中点，∵∠ACB＝90°，∴CD为斜边AB的中线，∴CD＝12AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝82＋62＝10，∴CD＝5.11. 【答案】15-5[解析]过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10.∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=30°，∴BM=BC×sin30°=10=5，CM=BC×cos30°=15.在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5，∴CD=CM-MD=15-5.12. 【答案】8+4[解析]如图，连接AD，设AC与BD交于点O，由题意得CA=CD，∠ACD=60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD=CD，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°.∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC=CD=2.∵AB=BC，CD=AD，∴BD垂直平分AC，∴BO=AC=，OD=CD·sin60°=，∴BD=，∴BD 2=()2=8+4.13. 【答案】6或25或45【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6；②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴222425BC =+=，∴此时底边长为25；③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则223AD AC CD =-=，∴8BD =，∴45BC = ∴此时底边长为56或54514. 【答案】78 【解析】如解图，过A 作AH ⊥BC ，∵AB ＝15，AC ＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC ＝152＋202＝25，∵AD ＝5，∴DC ＝20－5＝15，∵DE ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ，∴CE ＝1525×20＝12.法一：BC·AH ＝AB·AC ，AH ＝AB·AC BC ＝15×2025＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.法二：DE ＝152－122＝9，由△CDE ∽△CAH 可得，CD CA ＝ED HA ，∴AH ＝9×2015＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.15. 【答案】13 或10 【解析】(1)如解图①所示，当P 点靠近B 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝13；(2)如解图②所示，当P 点靠近C 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝10.综上可得：AP 长为13 或10.16. 【答案】3或247【解析】分两种情况：①若90DEB ∠=︒，则90AED C ∠=︒=∠，CD ED =，连接AD ，则Rt Rt ACD EAD △≌△，∴6AE AC ==，1064BE =-=，设CD DE x ==，则8BD x =-，∵Rt BDE △中，222DE BE BD +=，∴2224(8)x x +=-，解得3x =，∴3CD =；②若90BDE ∠=︒，则90CDE DEF C ∠=∠=∠=︒，CD DE =，∴四边形CDEF 是正方形，∴90AFE EDB ∠=∠=︒，AEF B ∠=∠， ∴AEF EBD △∽△，∴AF EF ED BD=，设CD x =，则EF DF x ==，6AF x =-，8BD x =-， ∴68x x x x -=-，解得247x =，∴247CD =，综上所述，CD 的长为3或247，故答案为：3或247．三、解答题17. 【答案】解:(1)4(2)∵AC=AD ，∠CAD=60°，∴△CAD 是等边三角形，∴CD=AC=4，∠ACD=60°.过点D 作DE ⊥BC 于E ，∵AC ⊥BC ，∠ACD=60°，∴∠BCD=30°.在Rt △CDE 中，CD=4，∠BCD=30°，∴DE=CD=2，CE=2，∴BE=，在Rt△DEB中，由勾股定理得DB=.18. 【答案】解:[尝试] A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2. [发现] ∵A=B2，B>0，∴B==n2+1.[联想] ∵2n=8，∴n=4，∴B=n2+1=42+1=17.∵n2-1=35，∴B=n2+1=37.∴填表如下:直角三角形三n2-1 2n B边勾股数组Ⅰ8 17勾股数组Ⅱ35 3719. 【答案】解:(1)证明:∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3.20. 【答案】解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x，根据勾股定理可得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.(3分)∴AD2＝152－x2＝152－92＝144.(5分)∵AD>0，∴AD＝12.(8分)∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.(10分)21. 【答案】(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴22AB BC102．答：A、C两地之间的距离为14.1 km．(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，∴C港在A港北偏东15°的方向上．22. 【答案】13证明：(1)∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴∠ECD －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD ，即∠ACE ＝∠BCD ，(1分) 在△ACE 与△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧EC ＝DC ∠ACE ＝∠BCD AC ＝BC，(3分)∴△ACE ≌△BCD(SAS )．(4分)(2)∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠B ＝45°，(6分)∴∠EAD ＝∠EAC ＋∠CAD ＝90°，在Rt △EAD 中，ED 2＝AD 2＋AE 2，∴ED 2＝AD 2＋BD 2，(8分)又ED 2＝EC 2＋CD 2＝2CD 2，∴2CD 2＝AD 2＋DB 2.(10分)。

中考数学频考点突破--勾股定理的应用

中考数学频考点突破--勾股定理的应用一、综合题1．已知Rt△ABC中，△C=90˚，AC=4，BC=8.动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿射线．．CB方向运动，连接AP.设运动时间为t s.（1）求斜边AB的长.（2）当t为何值时，△PAB的面积为6？（3）若t＜4，请在所给的图中画出△PAB中AP边上的高BQ，问：当t为何值时，BQ长为4？并直接写出此时点Q到边BC的距离.2．如图，AB为△O的直径，弦CD△AB于E，点F在DC的延长线上，AF交△O于G．（1）求证：△FGC＝△ACD；（2）若AE=CD=8，试求△O的半径．3．数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想，由它可以推导出很多重要的公式．（1）如图1，是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．①用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为▲ ，第二次列式为▲ ，因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积，所以可以得出等式▲ ；②在①中，如果a+b=7，ab=10，请直接用①题中的等式，求阴影部分的面积；（2）如图3，两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形，用“算两次”的方法，探究a，b，c之间的数量关系．4．关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．5．如图，在等边△ABC的AC，BC上各取一点D，E，使AD=CE，AE，BD相交于点M，过点B作直线AE的垂线BH，垂足为H.（1）求证：△ACE△△BAD；（2）若BE=2EC=4.①求△ABC的面积；②求MH的长.6．如图1，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．（1）拼成的正方形的面积是，边长是．（2）把10个小正方形组成的图形纸（如图2），剪开并拼成正方形．①请在4×4方格图内画出这个正方形．②以小正方形的边长为单位长度画一条数轴，并在数轴上画出表示- √10的点．（3）这种研究和解决问题的方式，主要体现了的数学思想方法．A．数形结合B．代入C．换元D．归纳7．如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC=BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD、CD，且∠DCA=∠OCA．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若CD=6，OF=4，求cos∠DAC的值．8．（1）如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，若AP=2，PC=2DP，则BC=；（2）如图2，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=8，AD=10，点E在线段BC上且BE=6，连接DE，作FE⊥ED，交AB于点F，则四边形ADEF的面积是多少？（3）如图3，四边形ABCD中，AB=8，点C到AB的距离为10，∠C=90°，且BC=2CD．当四边形ABCD的面积是61时，求CD的长度是多少？9．如图，AD是▱ABDE的对角线，∠ADE=90°，延长ED至点C，使DC= ED，连接AC交BD于点O，连接BC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）连接OE，若AD=4，AB=2，求OE的长．10．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分△BAC，则AB AC＝BDCD．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过C作CE△DA．交BA的延长线于E．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，△ABC＝90°，AD平分△BAC，则△ABD的周长是．11．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=3，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求证：△CDE为等边三角形；（2）求EF的长．12．如图，（1）作△ABC的外接△O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若AB=6cm，AC=BC=5cm，求△O的半径．13．如图，在四边形ABCD中，AB=CD=6，BC=10，AC=8，∠ABC=∠BCD.过点D作DE⊥BC，垂足为点E，延长DE至点F，使EF=DE，连接BF，CF．（1）求证：四边形ABFC是矩形；（2）求DE的长．14．（1）如图所示，Rt△ABC中，△BAC ＝90 °，AB＝√3，AC＝√6，点D是斜边BC的中点，连接AD，求AD的长．（2）如图，在平行四边形ABCD中，DE△AB，BF△CD，垂足分别是E、F．求证：△ADE△△CBF15．平面直角坐标系中，直线y＝12x﹣1的图象如图所示，它与直线y＝﹣2x+4的图象都经过A （2，0），且两直线与y轴分别交于B、C两点.（1）直接画出一次函数y＝﹣2x+4的图象；（2）直接写出B、C两点的坐标；（3）判断△ABC的形状，并说明理由.16．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CE⊥AB于点E，AB= 6OE，延长AB至点D，使得BD=AB，P是弧AB（异于A，B）上一个动点，连接AC，BC，CD，PD，PE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AO=3，求AC的长度．答案解析部分1．【答案】（1）解：在Rt△ABC 中，△C=90˚，AC=4，BC=8，AB =√AC 2+BC 2=√16+64=4√5.（2）解：AC=4，BC=8， ∵△PAB 的面积为6， ∴PB=3. ∵CP=2t ，∴当点P 在点B 的左侧时，PB=8−2t ；当点P 在点B 的右侧时，PB=2t ，∴t =52或 t =112.（3）解：作△PAB 中AP 边上的高BQ ，在△ACP 与△BQP 中，{∠ACP =∠BQP ∠APC =∠BPQ AC =BQ ， ∴△ACP ≌△BQP(AAS)，∴AP =BP. 在 Rt △ACP 中，∵CP 2+CA 2=AP 2 ,即 42+(2t)2=(8−2t)2, 解得 t =32，∴当 t =32时， PQ =3.BQ =4,BP =5,根据等面积法求出点Q 到边BC 的距离： PQ⋅BQ BP=125.【知识点】三角形的面积；勾股定理；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形全等的判定（AAS ）【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出.（2）分点 P 在 B 点左侧与右侧两种情况进行讨论即可；（3）作△PAB 中AP 边上的高BQ ，先根据 AAS 定理得出 △ACP ≌△BQP ，再由勾股定理得出 t 的值，进而可得出结论.2．【答案】（1）证明：∵AB 为△O 的直径，CD△AB ，∴AB垂直平分CD，∴AC=AD，∴△ACD=△D，∵四边形AGCD内接于△O，∴△AGC+△D=180°，∵△AGC+△FGC=180°，∴△D=△FGC，∴△ACD=△FGC；（2）解：连接OC，∵AB为△O的直径，CD△AB，AE=CD=8，∴CE=ED=4，设OA=OC=r，则OE=8-r，在Rt△COE中，OE2+CE2=OC2，即(8−r)2+42=r2，解得r=5，即△O的半径为5.【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理；圆内接四边形的性质【解析】【分析】（1）利用垂径定理可证得AB垂直平分CD，利用垂直平分线的性质可得到AC=AD；利用等边对等角可知△ACD=△D；再利用圆内接四边形的性质及补角的性质可证得△D=△FGC，由此可证得结论.（2）连接OC，利用垂径定理求出CE的长；设OA=OC=r，可表示出OE的长；在Rt△COE，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值.3．【答案】（1）解：①因为小正方形的边长为：a−b，所以第一次计算的面积为：(a−b)2，第二次计算的面积为：(a+b)2−4ab，所以：(a−b)2=(a+b)2−4ab；或(a+b)2−4ab，(a−b)2，(a+b)2−4ab=(a−b)2②∵a+b=7，ab=10∴(a−b)2=(a+b)2−4ab=72−4×10=9（2）解：第一次利用梯形的面积公式图形面积为：12(a+b)2，第二次利用图形的面积和计算为：2×12ab+12c2，∴12(a+b)2=2×12ab+12c2整理得：a2+2ab+b2=2ab+c2∴a2+b2=c2【知识点】列式表示数量关系；完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明【解析】【分析】（1）①利用所给图形，再结合完全平方公式求解即可；②根据a+b=7，ab=10，计算求解即可；（2）先求出12(a+b)2=2×12ab+12c2，再整理计算求解即可。

中考数学：《勾股定理》知识要点及十三个考点典型例题分析

中考数学：《勾股定理》知识要点及十三个考点典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。

公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

常见勾股数有：（3，4，5）(5，12，13) (6，8，10)(7，24，25)(8，15，17)(9，12，15)4、最短距离问题：主要5、运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S 1D. S 2- S 3=S 1S 3S 2S 14、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

5、(难）在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。

中考数学-勾股定理

第19讲勾股定理经典·考题·赏析【例1】 (达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E 的面积是( )A ．13B ．26C ．47D ．94【解法指导】观察勾股树，发现正方形A 、B 的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角边.此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形面积之和等于较大正方形的面积，从而正方形E 的面积等于正方形A 、B 、C 、D 四个面积之和，故选C ．【变式题组】01．(安徽)如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A ，C 到直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长是___________.02．(浙江省温州)在直线l 上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______.03．(浙江省丽江)如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1、l 2、l 3上，且l 1、l 2之间的距离为2，l 2、l 3之间的距离为3，则AC 的长是( )A ．217B ．25C ．42D ．7【例2】(青岛)如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm .如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要_____cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要______cm .【解法指导】细线缠绕时绕过几个面，则将这几个面展开后在同一平面内利用线段的公理：两点之间线段最短.画出线路，然后利用勾股定理解决，应填10，22916n +. 【变式题组】01．(恩施)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是( )A ．521B ．25C ．1055+D ．35lA 1D C B 2 第1题图第2题图第3题图ACBll 2lB A 3cm 1cm6cm 第2题图AB 吸管106 502．(荆州)如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位:cm )，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm ，小孔到图中边AB 距离为1cm ，到上盖中与AB 相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hcm ，则h 的最小值大约为_____cm .(精确到个位，参考数据:2＝1．4，3＝1．7:5＝2．2)03．(荆州)若一边长为40cm 的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径最小值为_____cm .(铁丝粗细忽略不计)【例3】(荆州)如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为NM ，则线段CN 的长是( )A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm【解法指导】对折问题即对称问题，设CN ＝x ，DN ＝NE ＝8－x .在Rt △CEN 中，(8－x )2＝42＋x 2 x ＝5.故选C【变式题组】01．在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，CD ＝13，AD ＝12．求S 四边形ABCD ．02．如图，△ABC 中，AB ＝13，AD ＝6，AC ＝5 ，D 为BC 边的中点.求S △ABC ．03．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠CAB ，BC ＝4，CD ＝32.求AC ．【例4 】（四川省初二数学联赛试题)如图，直线OB 是一次函数y ＝－2x 的图象，点A 的坐标为(0，2)，在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 坐标.【解法指导】求C 点坐标需分类讨论.B 10 15 A 2C第1题A DB E CF MNA BC D A OBy xy ＝－2x(1)若以O 为顶点，OA 为腰，则C 在以O 为圆心，OA 的长为半径的圆与y ＝－2x 的交点处.(2)若以A 为顶点，AO 为腰，则C 在以A 为圆心， AO 的长为半径的圆与y ＝－2x 的交点处.(3)若以C 为顶点，则C 在OA 的中垂线与y ＝－2x 的交点处.【解】⑴若以O 为顶点，OA 为腰，如图设C (t ，－2t )，则在Rt △COD 中，OC 2＝OD 2＋CD 2 4＝t 2＋(－2t )2 5t 2＝4t＝5±∴C 1(-，C 2，- ⑵若以A 为顶点，AO 为腰，如图，设C (t ，－2t )，在Rt △ACE 中 AC 2＝CE 2＋AE 2 22＝t 2＋(－2t －2)2t ＝0（舍去），t ＝85- ∴C 3(85-，165) ⑶若C 为顶点，C 在OA 的中垂线上.∴C 4(12-，1) 【变式题组】 01．若A （3，2），B 为x 轴上一点，O 为坐标原点.若△AOB 是等腰三角形.求B 点坐标.02．如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B 为y ＝2x 上一点，若△AOB 为等腰三角形.求B点坐标.03．如图.在平面直角坐标系中，A (0，4)，B 为y ＝2x 上一点，若△AOB 为直角三角形.求B点坐标.【例5】(福建省漳州)几何模型：条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点. 问题：在直线l 上确定一点P ，使PA ＋PB 的值最小.方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A 'B 交l 于点P ，则PA ＋PB ＝A 'B 的值最小(不必证明).模型应用：⑴如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点.连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P，则PB＋PE的最小值是__________；(2)如图2，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值.【解】(2)如图2，作P关于OB的对称点P1，关于OA的对称点P2，连接P1P2，交OB于R，交OA于Q，则△PRQ的周长最小，且此时△PRQ的周长为PR ＋RQ＋QP＝P1P2．连接OP1，OP2，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＋∠3＝45°∴∠P1OP2＝90°，OP1＝OP＝OP2，在Rt△OP1P2中，P1P22＝OP12＋OP22，∴P1P2＝【变式题组】01．(荆门)一次函数y＝kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）.⑴求该函数的解析式；⑵O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.02．（四川联赛试题)已知矩形ABCD的AB＝12，AD＝3，E、F分别是AB，DC上的点，则折线AFEC长的最小值为____________.03．(陕西)如图，在锐角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是___________.【例6.【解法指导】所求的两个根式之和的最小值，因被开方数不是完全平方式而无法化简，用代数方法求解困难，但被开方数的特点x2＋4＝x2＋22，(8－x)2＋16＝(8－x)2＋42均为平方和结构，由此联边的两边之和的最小值，于是根据数形结合的思想转化为构造图形问题来解决.图1图22CA BDMN【解】如图，作AB ＝8，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝2，BD ＝4.E 是AB 上一动点.设AE ＝x .则BE ＝8－x .∴CE ＝222x +，DE ＝()2284x -+.所以求代数式最小值问题转化为在AB 上求一点E ，使CE ＋DE 值最小.根据线段公理，连接CD 交AB 于H ，则CD 为所求.作CF ⊥DB 交DB 延长线于F .在Rt △CDF 中，CD ＝22CF DF +＝10.∴所求最小值为10.【变式题组】01.（恩施自治州）如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC ．已知AB ＝5，DE ＝1，BD ＝8，设CD ＝x . ⑴用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；⑵请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小?⑶根据⑵中的规律和结论，请构图求出代数式x +24＋()2129x -+的最小值02．(咸宁)问题背景:在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网络(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC (即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示.这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积. ⑴请你将△ABC 的面积直接填写在横线上______；思维拓展:⑵我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法．．．.若△ABC 三边的长分别为5a 、22a 、17a (a ＞0)，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a )画出相应的△ABC ，并求出它的面积；探索创新:⑶若△ABC 三边的长分别为2216m n +、2294m n +、222m n +（m ＞0，n ＞0，且m ≠n ），试运用构图法．．．求出这三角形的面积.【例7】.(天津)已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE 、CF 分别与直线AB 交于点M 、N .⑴当扇形CEF 绕点C 在∠ACB 的内部旋转时，如图1，求证：MN 2 ＝ AM 2＋BN 2；【思路点拨】考虑MN 2＝AM 2＋BN 2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决.可将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连接DN ，只需证DN ＝BN ，∠MDN ＝90°就可以了.A BCD E请你完成证明过程:⑵当扇形GEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2＝AM2＋BN2是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.【解法指导】观察求证的结论容易发现MN2＝AM2＋BN2符合匀股定理的结构形式.因此我们设法构造以MN为斜边的直角三角形.【解】(l)证明:将△ABM沿直线CM对折，得△DCM，连DN.∵△ACM≌△DCM∴∠1＝∠2，AC＝CD，∠A＝∠MDC∵AC＝BC∴CD＝BC∵∠MCN＝45°，∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3∴∠3＝∠4在△DCN和△BCN中，CD＝CB∠3＝∠4 ∴△CDN≌△CBN，∴∠CDN＝∠B＝45°，BN＝DNCN＝CN∴∠MDN＝90°在Rt△DMN中，MN2＝DM2＋DN2∴NM2＝AM2＋BN2⑵将△ACM沿直线CM对折，得△GCM，连接GN.∵△GCM≌△ACM，∴∠CGM＝∠CAM＝135°，∠1＝∠2，AM＝GM∵∠BCN＝90°－∠3＝90°－(45°－∠1)＝45°＋∠1＝45°＋∠2∠CGN＝∠1＋∠3＋∠2＝45°＋∠2∴∠BCN＝∠CGN在△BCN和△GCN中CN＝CN∠BCN＝∠CGN∴△BCN≌△GCN，∴∠CGN＝∠B＝45°，GN＝BNCB＝CG∴∠MGN＝135°－45°＝90°，在Rt△MGN中，MN2＝MG2＋GN2，∴MN2＝AM2＋BN2【变式题组】01．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB边的中点，DE⊥DF.求证：EF2＝AE2＋BF202．我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.⑴写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的一种图形的名称________；⑵如图1，请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；⑶如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，∠DCB＝30°.求证：四边形ABCD是勾股四边形.ABC演练巩固·反馈提高01．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则AC 边上的高为（） A ．322B ．3510C ．355D ．45502．(哈尔滨)如图，长方形纸片ABCD 中，AB ＝8cm ，把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若AF ＝254cm ，则AD 的长为( ) A ．4cm B ．5cm C ．6cm D ．7cm03．(滨州)已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高AD 为8，则边BC 的长为( ) A ．21 B ．15 C ．6 D ．21或904．在同一平面内把边BC ＝3，AC ＝4，AB ＝5的三角形沿最长边AB 翻折后得到△ABC '，则CC '的长等于( )A ．125B ．135C ．56D ．24505．一个三角形三边长度之比为3:4:5，则这个三角形的三边上高的之比为( )A ．3:4:5B ．5:4:3C ．20:15:12D ．9:16:2506．(山西)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，AB 的垂直平分线DE 交BC的延长线于点E ，则CE 的长为( )A ．32B ．76C ．256D ．207．(湖州)如图，在正三角形ABC 中，AB ＝1，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 面积为_____.08．(安顺)如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_______.09．(安徽)长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了_______m .10．(滨州)某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB ＝4米，∠BAC ＝30°，∠C ＝90°，A BC DEF因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为______.11．(湖州)如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，分别以AC 、BC 为直径作半圆，面积分别记为S 1、S 2则S 1＋S 2的值等于________. 12．(呼和浩特)如图，四边形ABDC 中，∠ABD ＝120°，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝53，则该四边形的面积是_______.13．已知等腰三角形ABC 的底边AB ＝20cm ，P 是腰AC 上一点，且AP ＝12cm ，BP ＝16cm ，则腰长是_________.14．(沪州)如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，D 是BC 的中点，且它关于AC 的对称点为D ′，则BD ′＝_______. 15．如图，点A 在反比例函数6y x的图象上，OA ＝4，AC ⊥x 轴，OA 的中垂线交x 轴于B ．求△ABC 的周长.16．有一人字形屋架(等腰三角形)，其顶角为120°，两腰长均为4米，现拟定以其中一腰和底重新组成一个三角架，试问将屋架的第三边改为多少时，新的三角架为直角三角形? 17．(牡丹江)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为6m ，8m .现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以原来绿地8m 长的边为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长. 18．如图A (3，4)，B (a ，1)，AB ＝5，C 、D 分别为x 轴、y 轴上的两动点.求四边形ABCD 周长的最小值.培优升级•奥赛检测yxA (3,4)B (a ,1))xy O01．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 在斜边BC 上且∠DAE ＝45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转，使AC 与AB 重合，得到△AFB ，连接EF ，则下列结论:①△AED ≌AEF ；②△ABE ≌△ACD ；③BE ＋DC ＝DE ；④BE 2＋DC 2＝DE 2其中正确的是( ) A ．②④ B ．①④ C ．②③ D ．①③02．(四川联赛试题)BD 是△ABC 的中线，AC ＝6且∠ADB ＝45°，∠C ＝30°，则AB ＝( )A ．6B ．22C ．32D ．603．（江西竞赛）若将三条高线长度分别为x 、y 、z 的三角形记为(x ，y ，z )，现在以下四个三角形(6，8，10)，(8，15，17)，(12，15，20)，(20，21，29)中，直角三角形的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个04．(北京竞赛)如图，ABCD 是一张长方形纸片，将AD ，BC 折起、使A 、B 两点重合于CD边上的P 点，然后压平得折痕EF 与GH .若PE ＝8cm ，PG ＝6cm ，EG ＝10cm ，则长方形纸片ABCD 的面积为（）cm 2 A ．105.6 B ．110.4 C ．115.2 D ．124.805．如图，在由单位正方形组成的网格图中标出了AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( ) A ．CD 、EF 、GH B ．AB 、CD 、EF C ．AB 、CD 、GH D ．AB 、EF 、GH06．(四川省初二数学联赛试题)如图，等边三角形ABC 内有一点P ，过点P 向三边作垂线，垂足分别为S 、Q 、R ，且PQ ＝6，PR ＝S ，PS ＝10，则△ABC 的面积等于( )A ．1903B ．1923C ．1943D ．196307．(四川省初二数学联赛试题)如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝103cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，当P 点移动____秒时，PA 与腰垂直.08．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，AB ＝AD ＝2，AC ＝4，且BD :DC ＝2:3则BC ＝______. 09．(黑龙江竞赛)小宇同学在布置班级文化园地时，想从一块长为20cm ，宽为8cm 的长方形彩色纸板上剪下一个腰长为10cm 的等腰三角形，并使其一个顶点在长方形的一边上，另两个顶点落在对边上，请你帮他计算出所剪下的等腰三角形的底边长.第5题图F E B D C 第6题图S R Q P第7题图B 224第8题图BD C10．如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF ，若BE ＝12，CF ＝5.求.S △DEF11．如图①，已知直线y ＝－2x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，以OA 、OC 为边在第一象限内作长方形OABC ． ⑴求点A 、C 的坐标； ⑵将△ABC 对折，使得点A 与点C 重合，折痕交AB 于点D ，求直线CD 的解析式（图②）； ⑶在坐标平面内，是否存在点P (除点B 外)，使得△APC 与△ABC 全等，若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由.12．(浙江省义乌)如图1，已知∠ABC ＝90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点(点P 与B 不重合)，连接AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连接QE 并延长交射线BC 于点F .⑴如图2，当BP ＝BA 时，∠EBF ＝_____°，猜想∠QFC ＝_______°；⑵如图l ，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；⑶已知线段AB＝BP ＝x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式.图② 图②图①。

中考数学复习《勾股定理》专项练习题-附带有答案

中考数学复习《勾股定理》专项练习题-附带有答案一、单选题1．线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．Ba= √41，b=4，c=5C．a= 34，b=1，c= 54D．a=40，b=50，c=602．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A．65B．95C．125D．1653．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和9，则b的面积为（）A．16 B．2 C．32 D．1304．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在图中找出格点C，使得△ABC是腰长为无理数的等腰三角形，点C的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．75．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S A=10，S B=8，S C=9，S D=4则下列判断不正确的是（）A．S E=18B．S F=13C．S M=31D．S M−S E=176．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．2.1B．√5C．2√2D．2√37．我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b，那么(a+b)2的值为（）.A．49 B．25 C．13 D．18．如图，在△ABC中∠C=60°，AC=4，BC=3 .分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，作直线MN交AC于点D，则CD的长为（）A．1 B．75C．32D．3二、填空题9．如图，△ABC中AB=AC=10，BC=16，△ABC的面积是.10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC＝4 √2，则BC＝．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是12．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为m．13．活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如已知△ABC中∠A=30°，AC=3，∠A所对的边为√3，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为三、解答题14．如图，点C在∠DAB内部，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，CD＝CB，若AD＝5，求AB的长．15．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．AD＝1，BD＝4，CD＝2．求证：∠ACB＝90°．16．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=20米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离AC=25米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C 点的距离．17．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，E为AC边上一点，且满足∠AED＝2∠DCB．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠B＝90°，AD＝6，AE＝9，求CE的长．18．如图，在正△ABC的AC，BC上各取一点D，E，使AD=CE，AE，BD相交于点M（1）如图1，求∠BME的度数；（2）如图2，过点B作直线AE的垂线BH，垂足为H①求证：2MH+DM=AE；②若BE=2EC=2，求BH的长．答案1．D2．C3．A4．C5．D6．B7．A8．B9．4810．511．1.512．2.213．2√3或√314．解：解法一：连结AC∵CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B∴∠CDA=∠CBA=90°在Rt△ABC与Rt△ADC中有AC=AC，CD=CB∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）∴AB=AD=5解法二：连结AC∵CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B∴∠CDA=∠CBA=90°∵CD=CB∴由勾股定理得：AB= √AC2−BC2 = √AC2−CD2 =AD=515．证明：∵CD是△ABC的高∴∠ADC=∠BDC=90°．∵AD=1，BD=4，CD=2∴AC2=AD2+CD2=12+22=5，BC2=BD2+CD2=42+22=20，AB2=（1+4）2=25．∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形∴∠ACB=90°．16．解：由勾股定理得；BC2=AC2−AB2=252−202=225∴BC=15（米）∵BD=AB−AD=20−12=8（米）∴在Rt△BCD中，由勾股定理得CD=√DB2+BC2=√82+152=17∴此时小鸟到地面C点的距离17米．答；此时小鸟到地面C点的距离为17米．17．（1）证明：∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠DCB即∠ACB=2∠DCB又∵∠AED=2∠DCB∴∠ACB=∠AED∴DE//BC；（2）解：∵DE//BC∴∠EDC=∠BCD，∠B=∠ADE=90°∵∠BCD=∠ECD∴∠EDC=∠ECD∴ED=CE∵AD=6，AE=9∴DE=√AE2−AD2=√92−62=3√5∴CE=3√5．18．（1）解：∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°又∵AD=CE ∴△ABD≌△CAE(SAS)∴∠BME=∠ABD+∠BAE=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°（2）解：①∵BH⊥AE ∠BME=60°∴∠HBM=30°∴BM=2MH∵△ABD≌△CAE ∴AE=BD=BM+MD=2MH+MD②过点E作EG⊥AB于点GBE=2EC=2 ∴AB=BC=3∴使用ABC=60°∴BG=1，AG=2，由勾股定理可得，GE= √3，AE= √7设HE=x，则AH= √7 -x由勾股定理得32-（√7 -x）2=22-x2解得x= √77再由勾般定理可得：BH= 3√21.7。

《勾股定理》专题复习(含答案)

第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸（单位：mm ），计算两圆孔中心A 和B 的距离为______mm ．（2）如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（）Ａ．4 Ｂ．6Ｃ．16Ｄ．55分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180—60=120，由勾股定理得: AB 2=902+1202=22500,所以AB=150（mm ）（2)由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C ．点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边,求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求122424454A E A A E C A E C ++∠∠∠的度数．解：连结32A E ．32122222A A A A A E A E ==，，32212290A A E A A E ∠=∠=，322122Rt Rt A A E A A E ∴△≌△（SAS ）．322122A E A A E A ∴∠=∠．由勾股定理,得:4532C E C E ===，4532A E A E ===,44332A C A C ==,445332A C E A C E ∴△≌△（SSS ）．323454A E C A E C ∴∠=∠图1 图21A2A3A 4A 5A 5E 2E 1E 1D 1C 1B 4C1A 2A 3A4A 5A 5E2E 1E1D 1C 1B 4C 3C 2C图3122424454324424323224A E A A E C A E C A E C A E C A E C A E C ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠．由图可知224E C C △为等腰直角三角形．22445A E C ∴∠=．即12242445445A E A A E C A E C ∠+∠+∠=．点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得．（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力．专练一：1、△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2:1：1,a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列各等式中成立的是（）（A ）222a b c +=；（B ）222a b =; （C)222c a =； (D ）222b a = 2、若直角三角形的三边长分别为2，4,x,则x 的可能值有（）（A ）1个；（B ）2个； (C ）3个； (D ）4个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（）（A ）10.5米；（B ）7。

中考数学专项复习勾股定理含解析

中考数学专项复习勾股定理含解析一．选择题（共11小题）1．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3=60，则S2的值是（）A．12 B．15 C．20 D．302．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．9，12，15C．，，D．0.3，0.4，0.53．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是A．B．C． D．4．下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．a=1.5 b=2 c=2.5 B．a：b：c=5：12：13C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：55．如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（）A．8米B．12米C．5米D．5或7米6．如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B． C． D．27．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判定△ABC的形状（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形8．如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是（）A．4 B．8 C．16 D．329．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（）A．10 B．2C．10或2 D．无法确定10．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB =90°，BE=4，AD=7，则AB的长为（）A．10 B．5C．2D．211．长方形台球桌ABCD上，一球从AB边上某处P击出，分别撞击球桌的边BC、DA各1次后，又回到动身点P处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（例如图∠α=∠β）若AB=3，BC=4，则此球所走路线的总长度（不计球的大小）为（）A．不确定B．12 C．11 D．10二．填空题（共12小题）12．勾股定理a2+b2=c2本身确实是一个关于a，b，c的方程，满足那个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，依照该公式能够构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组能够发觉，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为．13．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=7，E是BC上的一个动点（不与点B，C重合），△DEF≌△ABC，其中点A，B的对应点分别是点D，E．当点E运动时DE边始终通过点A．设EF与AC相交于点G，当△AEG是等腰三角形时，BE的长为．14．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，依照勾股定理，得OP 1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥O P2且P2P3=1，得OP3=2；…依此连续，得OP2021=，OPn=（n为自然数，且n＞0）15．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴正半轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P的坐标为．16．若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的x的值是．17．直角三角形三边长分别为5，12，x，则x2=．若a，b为两个连续的正整数，且a＜＜b，则a+b=．18．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，假如大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．19．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1=30，S2=40，则S3=．20．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为．21．如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在那个“田字格”中最多能够作出以格点为端点、长度为的线段条．22．如图，所有的四边形差不多上正方形，所有的三角形差不多上直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A2的边长为6cm，正方形B的边长为5cm，正方形C的边长为5cm，则正方形D的面积是cm2．23．设x＞0，则三个正数2x，3x，x+5，构成三角形三边的条件是；构成直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的x的取值范畴分别是、、．三．解答题（共10小题）24．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A动身，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若现在两船相距50海里．（1）求两船的速度分别是多少？（2）求客船航行的方向．25．从正面看一个底面直径为10cm的圆柱体饮料杯子如图所示，在它的正中间竖直插入一根吸管（吸管在杯口一端的位置固定不动），吸管露出杯子外1cm，当吸管伸向杯壁底部时，吸管顶端刚好与杯口高度平齐．求杯子的高度．26．先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式P1P2=，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．（3）已知一个三角形ABC其中两个顶点坐标为A（0，﹣6）、B（﹣8，0）在坐标轴上是否存在点C，使三角形ABC中AB=AC或者AB=BC？若能请直截了当写出因此符合条件的点C的坐标；若不能，请说明理由．27．阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇特三角形．明白得：①依照奇特三角形的定义，请你判定：等边三角形一定是奇特三角形吗？（填“是”或“不是”）②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形（填“是”或“不是”）奇特三角形．探究：在Rt△ABC中，两边长分别是a、c，且a2=50，c2=100，则那个三角形是否是奇特三角形？请说明理由．拓展：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇特三角形，求a2：b2：c2．28．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，CD是高．（1）求AB的长；（2）求△ABC的面积；（3）求CD的长．29．阅读下列材料，并回答问题．事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，那个结论确实是闻名的勾股定理．请利用那个结论，完成下面活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么那个直角三角形斜边长为．（2）如图1，AD⊥BC 于D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求B D的长度．（3）如图2，点A在数轴上表示的数是，请用类似的方法在图2数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）．30．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以A M、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB 的勾股分割点．（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM=1.5，MN =2.5，BN=2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若A B=24，AM=6，求BN的长．31．如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD，绕点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE，连接AF．通过用不同方法运算梯形ABEF的面积可验证勾股定理，请你写出验证的过程．32．在△ABC中，∠ABC=90°，D为平面内一动点，AD=a，AC=b，其中a，b为常数，且a＜b．将△ABD沿射线BC方向平移，得到△FCE，点A、B、D的对应点分别为点F、C、E．连接BE．（1）如图1，若D在△ABC内部，请在图1中画出△FCE；（2）在（1）的条件下，若AD⊥BE，求BE的长（用含a，b的式子表示）；（3）若∠BAC=α，当线段BE的长度最大时，则∠BAD的大小为；当线段BE的长度最小时，则∠BAD的大小为（用含α的式子表示）．33．如图，四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=，BC=5﹣，CD=6，求AD．答案一．选择题（共11小题）1．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3=60，则S2的值是（）A．12 B．15 C．20 D．30【分析】设每个小直角三角形的面积为m，则S1=4m+S2，S3=S2﹣4 m，依据S1+S2+S3=60，可得4m+S2+S2+S2﹣4m=60，进而得出S2的值．【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1=4m+S2，S3=S2﹣4m，因为S1+S2+S3=60，因此4m+S2+S2+S2﹣4m=60，即3S2=60，解得S2=20．故选：C．【点评】此题要紧考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性质的运用，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．9，12，15C．，，D．0.3，0.4，0.5【分析】依照勾股定理的逆定理，一个三角形的三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，那个三角形确实是直角三角形．【解答】解：A、因为32+42=52，故能构成直角三角形，此选项错误；B、因为92+122=152，能构成直角三角形，此选项错误；C、因为（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，此选项正确；D、因为0.32+0.42=0.52，能构成直角三角形，此选项错误．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，关键明白两个较小边的平方和等于较大边的平方，那个三角形确实是直角三角形．3．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是A．B．C． D．【分析】过C作CD⊥AB于D，依据AB=6，AC=8，可得CD≤8，进而得到当CD与AC重合时，CD最长为8，现在，∠BAC=90°，△ABC 的面积最大．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵AB=6，AC=8，∴CD≤8，∴当CD与AC重合时，CD最长为8，现在，∠BAC=90°，△ABC的面积最大，∴BC==10，∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10，故选：C．【点评】本题要紧考查了三角形的面积以及勾股定理的逆定理，关键在于正确的表示出斜边、直角边的长度，熟练运用勾股定理的逆定理进行分析．4．下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．a=1.5 b=2 c=2.5 B．a：b：c=5：12：13C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5【分析】依照勾股定理的逆定理以及三角形的内角和为180度，即可判定出三角形的形状．【解答】解：A、因为1.52+22=2.52符合勾股定理的逆定理，故△AB C为直角三角形；B、因为a：b：c=5：12：13，因此可设a=5x，b=12x，c=13x，则（5 x）2+（12x）2=（13x）2，故△ABC为直角三角形；C、因为∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，故△AB C为直角三角形；D、因为∠A：∠B：∠C=3：4：5，因此设∠A=3x，则∠B=4x，∠C= 5x，故3x+4x+5x=180°，解得x=15°，3x=15×3=45°，4x=15×4=60°，5x=15×5=75°，故此三角形是锐角三角形．故选：D．【点评】此题考查了解直角三角形的判定，依照勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．5．如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（）A．8米B．12米C．5米D．5或7米【分析】由题意得，在直角三角形中，明白了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．【解答】解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，∴折断的部分长为=5，∴折断前高度为5+3=8（米）．故选：A．【点评】此题考查了勾股定理的应用，要紧考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．6．如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B． C． D．2【分析】依照勾股定理进行逐一运算即可．【解答】解：∵AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，∴AC===；AD===；AE===2．故选：D．【点评】本题考查了利用勾股定明白得直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．7．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判定△ABC的形状（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】第一把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判定△ABC的形状．【解答】解：由a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，得a4+b2c2﹣a2c2﹣b4=（a4﹣b4）+（b2c2﹣a2c2）=（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）=（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）=（a+b）（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，∵a+b＞0，∴a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0，即a=b或a2+b2=c2，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判定三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判定即可．8．如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是（）A．4 B．8 C．16 D．32【分析】等腰直角三角形中，直角边长和斜边长的比值为1：，正方形面积为边长的平方；因此要求①号正方形的面积，求出①号正方形的边长即可．【解答】解：要求①号正方形的面积，求①号正方形的边长即可，题目中给出③号正方形的面积为1，即③号正方形的边长为1，依照勾股定理4号正方形的边长为=，以此类推，能够求得①号正方形边长为4，因此①号正方形面积为4×4=16．故选：C．【点评】本题考查的是在等腰直角三角形中勾股定理的运用，已知直角边求斜边边长，解本题的关键是正确的运用勾股定理．9．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（）A．10 B．2C．10或2 D．无法确定【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边依旧斜边，因此两条边中的较长边既能够是直角边，也能够是斜边，因此求第三边的长必须分类讨论，即较长是斜边或直角边的两种情形，然后利用勾股定理求解．【解答】解：长为8的边可能为直角边，也可能为斜边．当8为直角边时，依照勾股定理，第三边的长==10；当8为斜边时，依照勾股定理，第三边的长==2．故选：C．【点评】此题易忽视的地点：长为8的边可能为直角边，也可能为斜边．10．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB =90°，BE=4，AD=7，则AB的长为（）A．10 B．5C．2D．2【分析】设EC=x，DC=y，则直角△BCE中，x2+4y2=BE2=16，在直角△ADC中，4x2+y2=AD2=49，解方程组可求得x、y，在直角△ABC中，AB=．【解答】解：设EC=x，DC=y，∠ACB=90°，∴在直角△BCE中，CE2+BC2=x2+4y2=BE2=16在直角△ADC中，AC2+CD2=4x2+y2=AD2=49，解得x=，y=1．在直角△ABC中，AB===2，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中依照直角△BCE和直角△ADC求DC．BC的长度是解题的关键．11．长方形台球桌ABCD上，一球从AB边上某处P击出，分别撞击球桌的边BC、DA各1次后，又回到动身点P处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（例如图∠α=∠β）若AB=3，BC=4，则此球所走路线的总长度（不计球的大小）为（）A．不确定B．12 C．11 D．10【分析】要求球走过的总长度，就要求PQ+QR，依照运算得PQ+QR= BD=AC．依照此关系式能够解题．【解答】解：令PQ∥AC，则QR∥BD，∵撞击前后的路线与桌边所成的角相等∴图中所有三角形均相似；∴+==1，即PQ+QR=AC=BD，同理PS+SR=AC=BD，∴PQ+QR+RS+SP=AC+BD=2AC．∵AC==5，∴PQ+QR+RS+SP=AC+BD=2AC=10．故选：D．【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中令PQ∥AC是解题的关键．二．填空题（共12小题）12．勾股定理a2+b2=c2本身确实是一个关于a，b，c的方程，满足那个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，依照该公式能够构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组能够发觉，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为（11，60，61）．【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，进而得出（11，60，61）．【解答】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）；第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61），故答案为：（11，60，61）．【点评】本题要紧考查了勾股定理的逆定理，关键是找出数据之间的关系，把握勾股定理逆定理．13．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=7，E是BC上的一个动点（不与点B，C重合），△DEF≌△ABC，其中点A，B的对应点分别是点D，E．当点E运动时DE边始终通过点A．设EF与AC相交于点G，当△AEG是等腰三角形时，BE的长为1或．【分析】第一由∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE＞∠C，可得AE≠AG，然后分别从AE=EG与AG=EG去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案．【解答】解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE＞∠C，∴∠AGE＞∠AEF，∴AE≠AG；当AE=EG时，则△ABE≌△ECG，∴CE=AB=6，∴BE=BC﹣EC=7﹣6=1，当AG=EG时，则∠GAE=∠GEA，∴∠GAE+∠BAE=∠GEA+∠CEG，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴CE==，∴BE=7﹣=；∴BE=1或．故答案为：1或．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练把握性质定理是解题的关键．14．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，依照勾股定理，得OP 1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥O P2且P2P3=1，得OP3=2；…依此连续，得OP2021=，OPn=（n为自然数，且n＞0）【分析】依照题意找出规律，依照规律解答．【解答】解：由题意得，OP1=；OP2=；OP3=，则OP2021=，OPn=，故答案为：；．【点评】本题考查的是勾股定理，假如直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．15．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴正半轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P的坐标为（0，3）或（0，1+）．【分析】分两种情形进行讨论，过B作BP⊥AB，交y轴于P，过B作BD⊥CP于D，则∠ABP=90°，BD=1，依据△BCP是等腰直角三角形，即可得到点P的坐标；当∠APB=90°时，△ABP是直角三角形，依据C为AB的中点，AB=2，即可得到点P的坐标．【解答】解：如图，过B作BP⊥AB，交y轴于P，过B作BD⊥CP 于D，则∠ABP=90°，BD=1，∵点A（﹣1，0）和点B（1，2），∴直线AB的表达式为y=x+1，令x=0，则y=1，∴C（0，1），即OC=1=OA，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠ACO=45°=∠BCP，∴△BCP是等腰直角三角形，∴CP=2BD=2，∴OP=1+2=3，∴P（0，3）；如图，当∠APB=90°时，△ABP是直角三角形，∵点A（﹣1，0），点B（1，2），点C（0，1），∴C为AB的中点，AB=2，∴CP=AB=，∴OP=1+，∴P（0，1+），综上所述，点P的坐标为（0，3）或（0，1+）．故答案为：（0，3）或（0，1+）．【点评】本题要紧考查了坐标与图形的性质和直角三角形的判定．要把所有的情形都考虑到里面去，不要漏掉某种情形．16．若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的x的值是5或．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边依旧斜边，因此两条边中的较长边4既能够是直角边，也能够是斜边，因此求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情形，然后利用勾股定理求解．【解答】解：设第三边为x（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得32+42=x2，因此x=5；（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得32+x2=42，因此x=；因此第三边的长为5或．【点评】本题考查了利用勾股定明白得直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．17．直角三角形三边长分别为5，12，x，则x2=169或119．若a，b为两个连续的正整数，且a＜＜b，则a+b=9．【分析】分12为直角边和12为斜边两种情形，依照勾股定理运算；依照无理数的估算方法、算术平方根的概念解答．【解答】解：当12为直角边时，x2=52+122=169，当12为斜边时，x2=122﹣52=119；∵16＜20＜25，∴4＜＜5，∴a=4，b=5，∴a+b=9，故答案为：169或119；9．【点评】本题考查的是勾股定理，假如直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．18．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，假如大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树4米之外才是安全的．【分析】依照题意构建直角三角形ABC，利用勾股定明白得答．【解答】解：如图，BC即为大树折断处4m减去小孩的高1m，则BC=4﹣1=3m，AB=9﹣4 =5m，在Rt△ABC中，AC===4．【点评】此题考查直角三角形的性质及勾股定理的应用，要依照题意画出图形即可解答．19．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1=30，S2=40，则S3=70．【分析】依照勾股定理以及圆面积公式，能够证明：S1+S2=S3．故S3 =70．【解答】解：设直角三角形三边分别为a、b、c，如图所示：则S1=π（）2=，S2=π（）2=，S3=π（）2=．因为a2+b2=c2，因此+=．即S1+S2=S3．因此S3=70．【点评】注意发觉此图中的结论：S1+S2=S3．20．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为16．【分析】依照已知及全等三角形的判定可得到△ABC≌△CDE，从而得到b的面积=a的面积+c的面积．【解答】解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°∴∠ACB=∠DEC∵∠ABC=∠CDE，AC=CE，在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴BC=DE∴（如上图），依照勾股定理的几何意义，b的面积=a的面积+c的面积∴b的面积=a的面积+c的面积=5+11=16．【点评】本题考查了对勾股定理几何意义的明白得能力，依照三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．21．如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在那个“田字格”中最多能够作出以格点为端点、长度为的线段8条．【分析】如图，由于每个小正方形的边长为1，那么依照勾股定理容易得到长度为的线段，然后能够找出所有如此的线段．【解答】解：如图，所有长度为的线段全部画出，共有8条．【点评】此题是一个探究试题，第一探究如何找到长度为的线段，然后利用那个规律找出所有如此的线段．22．如图，所有的四边形差不多上正方形，所有的三角形差不多上直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A2的边长为6cm，正方形B的边长为5cm，正方形C的边长为5cm，则正方形D的面积是14cm2．【分析】依照勾股定理的几何意义可直截了当解答．【解答】解：依照正方形的面积公式结合勾股定理，得正方形A2，B，C，D的面积和等于最大的正方形的面积，因此正方形D的面积=100﹣36﹣25﹣25=14cm2．【点评】此题注意依照正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积．23．设x＞0，则三个正数2x，3x，x+5，构成三角形三边的条件是；构成直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的x的取值范畴分别是x=或x=、＜x＜、＜x＜或x＞．【分析】依照三角形两边之和大于第三边，依照三边表达式列不等式求解；直角三角形两直角边平方和等于第三边平方，锐角三角形两边平方和大于第三边平方，钝角三角形两边平方和小于钝角所对应的边的平方．【解答】解：构成三角形则要满足2x+3x＞x+5，即4x＞5，则x＞，即可；①当三角形为直角三角形时，若x+5＞3x，即x＜（2x）2+（3x）2=（x+5）2解得x=，若3x＞x+5，即x＞（2x）2+（x+5）2=（3x）2解得x=②当构成锐角三角形时，即（2x）2+（3x）2＞（x+5）212x2﹣10x﹣25＞0解得x＞（2x）2+（x+5）2＞（3x）2﹣4x2+10x+25＞0x＜综上，构成锐角三角形的x的取值范畴是：＜x＜；③当构成钝角三角形时，若x+5＞3x，即x＜（2x）2+（3x）2＜（x+5）2解得＜x＜＜，若3x＞x+5，即x＞（2x）2+（x+5）2＜（3x）2解得x＞综上，构成钝角三角形的x的取值范畴是：＜x＜或x＞；故答案为x＞，x=或x=，＜x＜；＜x＜或x＞，【点评】本题考查了三角形成构成条件，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中确定以x+5为第三边是解本题的关键．三．解答题（共10小题）24．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A动身，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若现在两船相距50海里．（1）求两船的速度分别是多少？（2）求客船航行的方向．【分析】（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依据客船每小时比货船多走5海里，列方程求解即可；（2）依据AB2+AC2=BC2，可得△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，再依照货船沿东偏南10°方向航行，即可得到客船航行的方向为北偏东1 0°方向．【解答】解：（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依题意得4x﹣3x=5．解得x=5，∴4x=20，3x=15，∴两船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时；（2）由题可得，AB=15×2=30，AC=20×2=40，BC=50，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，又∵货船沿东偏南10°方向航行，∴客船航行的方向为北偏东10°方向．【点评】此题要紧考查了方向角以及勾股定理的应用，正确得出AB的长是解题关键．25．从正面看一个底面直径为10cm的圆柱体饮料杯子如图所示，在它的正中间竖直插入一根吸管（吸管在杯口一端的位置固定不动），吸管露出杯子外1cm，当吸管伸向杯壁底部时，吸管顶端刚好与杯口高度平齐．求杯子的高度．【分析】设杯子的高度为xcm，则吸管的长度为（x+1）cm，依照勾股定理可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设杯子的高度为xcm，则吸管的长度为（x+1）cm，依照题意得：（x+1）2=52+x2，解得：x=12．答：杯子的高度为12cm．【点评】本题考查了勾股定理的应用以及解一元一次方程，在应用勾股定明白得决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．26．先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式P1P2=，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．（3）已知一个三角形ABC其中两个顶点坐标为A（0，﹣6）、B（﹣8，0）在坐标轴上是否存在点C，使三角形ABC中AB=AC或者AB=BC？若能请直截了当写出因此符合条件的点C的坐标；若不能，请说明理由．【分析】（1）依照两点的距离公式运算即可；（2）关于平行于坐标轴的两点距离公式可利用|y2﹣y1|代入运算；（3）分别以A、B为圆心，以10为半径画圆与坐标轴的交点确实是C 点．【解答】解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），∴AB==13…．（4分）答：A、B两点间的距离是13．（2）∵AB∥y轴，∴AB=5﹣（﹣1）=6，答：A、B两点间的距离是6．（8分）（3）如图所示：①AB=AC时，符合条件的点C的坐标为（8，0）、（0，4）、（0，﹣16）；②AB=BC时，符合条件的点C的坐标为：（0，6）、（2，0）、（﹣18，0）…．（1 2分）综上所述，符合条件的点C的坐标为：（2，0）、（8，0）（﹣18，0）、（0，4）、（0，﹣16）、（0，6）．【点评】本题考查了等腰三角形的判定、平面上两点的距离公式的明白得与应用，认真阅读材料，明白得两点间的距离公式，注意当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．27．阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇特三角形．明白得：①依照奇特三角形的定义，请你判定：等边三角形一定是奇特三角形吗？是（填“是”或“不是”）②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形是（填“是”或“不是”）奇特三角形．探究：在Rt△ABC中，两边长分别是a、c，且a2=50，c2=100，则那个三角形是否是奇特三角形？请说明理由．那个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。

中考数学勾股定理专项练习题(附答案

中考数学勾股定理专项练习题（附答案）一、单选题（共15题；共30分）1.如图，在正方形网格中，将三角形ABC绕点A旋转后得到三角形ADE，则下列旋转方式中，符合题意的是( )（1题图）（2题图）A. 顺时针旋转90°B. 逆时针旋转90°C. 顺时针旋转45°D. 逆时针旋转45°2.如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm 至D点，则橡皮筋被拉长了（）A. 4cmB. 3cmC. 2cmD. 5cm3.以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（）A. 1、、B. 5、12、13C. 2、3、4D. 9、40、414.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（）（4题图）（5题图）A. 2B. 3C. 4D. 55.如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，D为BC的中点，EF=3，BC=8，则△DEF的周长是（）A. 7B. 10C. 11D. 146.如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，以BD为直径作圆，交于AB于E，交CD于F，若BD=12，AD：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（）（6题图）（7题图）A. 12B.C.D.7.如图，在正方形ABCD中∠DAE=25°，AE交对角线BD于E点，那么∠BEC等于（）A. 45°B. 60°C. 70°D. 75°8.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积是（）（8题图）（9题图）A. 1B. 2C. 3D. 49.如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A. 76B. 72C. 68D. 5210.关于直角三角形，下列说法正确的是（）A. 所有的直角三角形一定相似；B. 如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长一定是5；C. 如果已知直角三角形两个元素（直角除外），那么这个直角三角形一定可解；D. 如果已知直角三角形一锐角的三角函数值，那么这个直角三角形的三边之比一定确定．11.如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）（11题图）（12题图）A. 66°B. 104°C. 114°D. 124°12.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（）A. B. 2 ﹣2 C. 2 ﹣2 D. 413.下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（）A. a=2，b=3，c=4B. a=4，b=4，c=5C. a=5，b=6，c=7D. a=5，b=12，c=1314.如图，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM=x，则y 关于x的函数关系式是（）A. B.C. D.15.如图，将正方形纸片ABCD沿FH折叠，使点D与AB的中点E重合，则△FAE与△EBG的面积之比为（）A. 4：9B. 2： 3C. 3：4D. 9：16二、填空题（共6题；共14分）16.如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝________．17.下列各组数：①1、2、3；②6、8、10；③0.3、0.4、0.5；④9、40、41；其中是勾股数的有________ (填序号)18.观察以下几组勾股数，并寻找规律：1）3，4，5；2）5，12，13；3）7，24，25；4）9，40，41；…请你写出有以上规律的第（n）组勾股数：________．19.一个图形无论经过平移变换还是旋转变换，下列结论一定正确的是________（把所有你认为正确的序号都写上）①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都不变．20.⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长，以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是 ________．21.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上．若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第2017个等腰直角三角形A2017B2016B2017顶点B2017的横坐标为________．三、综合题（共5题；共56分）22.已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC．（1）发现：如图1，当点E在AB上且点C和点D重合时，若点M、N分别是DB、EC的中点，则MN与EC的位置关系是________，MN与EC的数量关系是________．（2）探究：若把（1）小题中的△AED绕点A顺时针旋转45°得到的图2，连接BD和EC，并连接DB、EC 的中点M、N，则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（3）若把（1）小题中的△AED绕点A逆时针旋转45°得到的图3，连接BD和EC，并连接DB、EC的中点M、N，则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．23.已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于B，且BC=AB，D为半圆⊙O上的一点，连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E．（1）如图1，若CD=CB，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，若F点在OB上，且CD⊥DF，求的值．24.在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路．如：在图1中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A 在OM 上，此时，在射线ON上截取OB=OA，连结BC，根据三角形全等的判定方法(SAS)，容易构造出全等三角形△OBC 和△OAC，参考上面的方法，解答下列问题：（1）如图2，在△ABC 中，AD是∠BAC的平分线，E，F 分别为AB，AC上的点，且∠AED+∠AFD=180°．求证：DE=DF．（2）如图3，在非等边△ABC 中，∠B=60°，AD，CE 分别是∠BAC，∠BCA 的平分线，且AD，CE 交于点F，求证：AC=AE+CD．25.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．（1）求MP的值（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）26.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD=5cm，OD=3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E．（1）求OC的长；（2）求四边形OBEC的面积．答案一、单选题1. B2.C3. C4. A5. C6.C7. C8.C9. A 10.D 11. C 12.B 13. D 14. A 15.D二、填空题16. 5 17.②④ 18.2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1 19.②③④ 20.相切21.22018﹣2三、综合题22.（1）MN⊥EC；MN= EC （2）解：如图2, 连接EM并延长交BC于F，∵∠AED=∠ACB=90°，∴DE∥BC，∴∠DEM=∠AFM，∠EDM=∠MBF，又BM=MD，在△EDM和△FBM中，，∴△EDM≌△FBM，∴BF=DE=AE，EM=FM，∴MN= FC= （BC﹣BF）= （AC﹣AF）= EC，且MN⊥EC（3）解：如图3, 延长ED交BC于点F，连接AF、MF，则AF为矩形ACFE对角线，所以必经过EC的中点N且AN=NF=EN=NC．在Rt△BDF中，M是BD的中点，∠B=45°，∴FD=FB，∴FM⊥AB，∴MN=NA=NF=NC，即MN= EC，∴∠NAM=∠AMN，∠NAC=∠NCA，∴∠MNF=∠NAM+∠AMN=2∠NAM，∠FNC=∠NAC+∠NCA=2∠NAC，∴∠MNC=∠MNF+∠FNC=2∠NAM+2∠NAC=2（∠NAM+∠NAC）=2∠DAC=90°，∴∠MNC=90°，即MN⊥FC且MN= EC23.（1）解：连接DO，CO，∵BC⊥AB于B，∴∠ABC=90°，在△CDO与△CBO中，，∴△CDO≌△CBO，∴∠CDO=∠CBO=90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线（2）解：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADF+∠BDF=90°，∠DAB+∠DBA=90°，∵∠BDF+∠BDC=90°，∠CBD+∠DBA=90°，∴∠ADF=∠BDC，∠DAB=∠CBD，∵在△ADF和△BDC中，，∴△ADF∽△BDC，∴= ，∵∠DAE+∠DAB=90°，∠E+∠DAE=90°，∴∠E=∠DAB，∵在△ADE和△BDA中，，∴△ADE∽△BDA，∴= ，∴= ，即= ，∵AB=BC，∴=124.（1）证明：如图1,在AB上截取AK=AF,连结KD∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD. 在△AKD和△AFD中,∴△AKD≌△AFD(SAS)∴DK=DF,∠AKD=∠AFD ∵∠AED+∠AFD=180°∠EKD+∠AKD=180°∵,∠AED=∠EKD∴DE=DK ∴DE=DF（2）证明：如图2,在AC上截取AG=AE,连接FG∵AD是∠BAC的平分线,CE是∠BCA的平分线∴∠1=∠2,∠3=∠4在△AEF和△AGF中,∴△AEF≌△AGF(SAS),∴∠AFE=∠AFG∵∠B=60°∵.∠BAC+∠ACB=120°∵.∠2+∠3= (∠BAC+∠ACB)=60°,∵∠AFE=∠2+∠3,∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°,∴∠CFG=180°-∠CFD-∠AFG=60°∴∠CFD=∠CFG,在△CFG和△CFD中∴△CFG≌△CFD(ASA)∴CG=CD,∴AC=AG+CG=AE+CD25.（1）解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=4，∠D=90°，∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，∴MP==5；（2）解：如图1，作点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，则点F即为所求，过点E作EN⊥AD，垂足为N，∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4，∴AM=AM′=4，∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，∴∠CEP=∠MEP，而∠CEP=∠MPE，∴∠MEP=∠MPE，∴ME=MP=5，在Rt△ENM中，MN===3，∴NM′=11，∵AF∥ME，∴△AFM′∽△NEM′，∴=，即=，解得AF=，即AF=时，△MEF的周长最小.（3）解：如图2，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，∵ER=GQ，ER∥GQ，∴四边形ERGQ是平行四边形，∴QE=GR，∵GM=GM′，∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此时MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小，在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，M′R==5，∵ME=5，GQ=2，∴四边形MEQG的最小周长值是7+5．26.（1）解：∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴直角△OCD中，OC= （cm）（2）解：∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形，又∵AC⊥BD，即∠COB=90°，∴平行四边形OBEC为矩形，∵OB=0D，∴S=OB•OC=4×3=12（cm2）矩形OBEC。

中考数学真题分类汇编及解析(二十五)勾股定理

（2022•湖州中考）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．4√2B．6C．2√10D．3√5【解析】选C．如图所示：△MNP为等腰直角三角形，∠MPN＝45°，此时PM最长，根据勾股定理得：PM=√22+62=√40=2√10．（2022•宁波中考）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（）A．2√2B．3C．2√3D．4【解析】选D．因为D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，所以AE＝2DF＝4，因为AE＝AD，所以AD＝4，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，所以BD=12AC＝AD＝4A ．2B ．32C ．12D ．√55【解析】选A ．由已知可得，大正方形的面积为1×4+1＝5，设直角三角形的长直角边为a ，短直角边为b ，则a 2+b 2＝5，a ﹣b ＝1，解得a ＝2，b ＝1，所以tan α=a b =21=2（2022·遵义中考）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若AB ＝BC ＝1，∠AOB ＝30°，则点B 到OC 的距离为（）A ．√55B ．2√55C ．1D ．2 【解析】选B ．作BH ⊥OC 于H ，因为∠AOB ＝30°，∠A ＝90°，所以OB ＝2AB ＝2，在Rt △OBC 中，由勾股定理得，OC =√OB 2+BC 2=√22+12=√5，因为∠CBO ＝∠BHC ＝90°，所以∠CBH ＝∠BOC ，所以cos ∠BOC ＝cos ∠CBH ，所以OBOC =BHBC ，所以2√5=BH 1，所以BH =2√55.（2022•十堰中考）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在BC，CD 上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN＝50（√3−1）m，若在M，N 之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少370 m（结果取整数，参考数据：√3≈1.7）．【解析】解法一：如图，延长DC，AB交于点G，因为∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，所以∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，所以∠G＝90°，所以AD＝2DG，Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°，BC＝50，CG＝50√3，所以DG＝CD+CG＝100+50√3，所以BG=12所以AD＝2DG＝200+100√3，AG=√3DG＝150+100√3，因为DM＝100，所以AM＝AD﹣DM＝200+100√3−100＝100+100√3，因为BG＝50，BN＝50（√3−1），所以AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100√3−50﹣50（√3−1）＝150+50√3，AN＝75+25√3，AH=√3NH＝75√3+75，Rt△ANH中，因为∠A＝30°，所以NH=12由勾股定理得：MN=√NH2+MH2=√(75+25√3)2+(25√3+25)2=50（√3+1），所以AM+AN﹣MN＝100+100√3+150+50√3−50（√3+1）＝200+100√3≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．解法二：如图，延长DC，AB交于点G，连接CN，CM，则∠G＝90°，因为CD＝DM，∠D＝60°，所以△BCM是等边三角形，所以∠DCM＝60°，由解法一可知：CG＝50√3，GN＝BG+BN＝50+50（√3−1）＝50√3，所以△CGN是等腰直角三角形，所以∠GCN＝45°，所以∠BCN＝45°﹣30°＝15°，所以∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°=12∠BCD，由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（√3−1）＝50√3+50，因为AM+AN﹣MN＝AD+AG﹣MN＝100+100√3+150+50√3−50（√3+1）＝200+100√3≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．答案：370．（2022•河南中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为√5或√13．【解析】如图：因为∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，所以AB=√2AC＝4，因为点D为AB的中点，所以CD＝AD=12AB＝2，∠ADC＝90°，因为∠ADQ＝90°，所以点C、D、Q在同一条直线上，由旋转得：CQ＝CP＝CQ′＝1，分两种情况：当点Q在CD上，在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1，所以AQ=√AD2+DQ2=√22+12=√5，当点Q在DC的延长线上，在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ ′＝3，所以AQ′=√AD2+DQ′2=√22+32=√13，综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为√5或√13.答案：√5或√13是25，小正方形的面积是1，则AE＝3．【解析】因为大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，所以AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，所以（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），所以x﹣1＝3.答案：3（2022•泰州中考）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为√2．【解析】走两步后的落点与出发点间的最短距离为√12+12=√2．答案：√2．（2022•内江中考）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝48．【解析】设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，所以S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．。

中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题(含答案解)

中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题（含答案解）知识点总结1. 勾股民定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。

若直角三角形的两直角边是b a ，，斜边是c ，则222b a c +=。

2. 勾股数：满足直角三角形勾股定理的三个正整数是一组勾股数。

3. 勾股定理的逆定理：若三角形的三条边分别是c b a ，，，且满足222b a c +=，则三角形是直角三角形，且∠C 是直角。

4. 特殊三角形三边的比：①含30°的直角三角形三边的比例为（从小打大）：2:3:1。

②45°的等腰直角三角形三边的比例为（从小到大）：2:1:1。

5. 两点间的距离公式：若点()11y x A ，与点()22y x B ，，则线段AB 的长度为：()()221221y y x x AB −+−=。

练习题 1、（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC ．若OC ＝，BC ＝1，∠AOB ＝30°，则OA 的值为（）A ．3B ．23C ．2D ．1【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC＝，BC＝1，∴OB＝＝＝2，∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴AB＝OB＝1，∴OA＝＝＝，故选：A．2、（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）A．120m B．603m C．605m D．1203m【分析】根据底部是边长为120m的正方形求出BC的长，再由含30°角的直角三角形的性质求解AB的长，利用勾股定理求出AC的长即可．【解答】解：如图，∵底部是边长为120m的正方形，∴BC＝×120＝60m，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB ＝2BC ＝120m ，∴AC ＝＝m ．故选：B ．3、（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝3，∠A 所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC 是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（）A ．23B ．23﹣3C ．23或3D ．23或23﹣3【分析】根据题意知，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CH ，AH 的长，再利用勾股定理求出BH ，从而得出答案．【解答】解：如图，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，∴DH ＝BH ，∵∠A ＝30°，∴CH ＝AC ＝，AH ＝CH ＝，在Rt △CBH 中，由勾股定理得BH ＝＝，∴AB ＝AH +BH ＝＝2，AD ＝AH ﹣DH ＝＝，故选：C ． 4、（2022•荆州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，通过尺规作图得到的直线MN 分别交AB ，AC 于D ，E ，连接CD ．若CE ＝31AE ＝1，则CD ＝．【分析】如图，连接BE ，根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，从而得到AE ＝BE ＝3，然后利用勾股定理求出BC ，AB ，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．【解答】解：如图，连接BE ，∵CE ＝AE ＝1，∴AE ＝3，AC ＝4，而根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ＝3，在Rt △ECB 中，BC ＝＝2，∴AB ＝＝2， ∵CD 为直角三角形ABC 斜边上的中线，∴CD ＝AB ＝．故答案为：． 5、（2022•广元）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∠C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于21AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（）A ．25B ．3C ．22D ．310 【分析】利用勾股定理求出AB ，再利用相似三角形的性质求出AE 即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝＝＝10， ∵BD ＝CB ＝6，∴AD ＝AB ﹣BC ＝4，由作图可知EF 垂直平分线段AD ，∴AF ＝DF ＝2，∵∠A ＝∠A ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AFE ∽△ACB ，∴＝， ∴＝，∴AE ＝，故选：A ．6、（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM ＝4，BN ＝2．若点P 是这个网格图形中的格点，连结PM ，PN ，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是（）A ．42B ．6C ．210D ．35【分析】在网格中，以MN 为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM 最长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，此时PM最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP＝＝2，则PM＝＝2．故选：C．7、（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．【解答】解：如右图所示，点O到超市的距离为：＝，点O到学校的距离为：＝，点O到体育场的距离为：＝，点O到医院的距离为：＝，∵＜＝＜，∴点O到超市的距离最近，故选：A．8、（2022•舟山）如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，点A在边DE 的中点上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，连结CE，则CE的长为（）A．14B．15C．4D．17【分析】方法一：根据题意先作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到AB和BC的长，根据等面积法可以求得EG的长，再根据勾股定理求得EF的长，最后计算出CE的长即可．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，然后根据全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，可以求得CE的长．【解答】解：方法一：作EF⊥CB交CB的延长线于点F，作EG⊥BA交BA的延长线于点G，∵DB＝DE＝2，∠BDE＝90°，点A是DE的中点，∴BE＝＝＝2，DA＝EA＝1，∴AB＝＝＝，∵AB＝BC，∴BC＝，∵＝，∴，解得EG＝，∵EG⊥BG，EF⊥BF，∠ABF＝90°，∴四边形EFBG是矩形，∴EG＝BF＝，∵BE＝2，BF＝，∴EF＝＝＝，CF＝BF+BC＝+＝，∵∠EFC＝90°，∴EC＝＝＝，故选：D．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，如图所示，∵BD＝DE＝2，∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠BDF＝90°，EF＝4，∴△BDE≌△BDF（SAS），∴BE＝BF，∠BEA＝∠BF A＝45°，∵∠EBA+∠ABF＝90°，∠ABF+∠FBC＝90°，∴∠EBA＝∠FBC，∵BE＝BF，BA＝BC，∴△EBA≌△FBC（SAS），∴∠BEA＝∠BFC＝45°，AE＝CF，∴∠CFE＝∠BFC+∠AFB＝90°，∵点A为DE的中点，∴AE＝1，∴CF＝1，∴EC＝＝＝，故选：D．9、（2022•成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．【分析】设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，由一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝6，ab＝4，再由勾股定理即可求出斜边长．【解答】解：设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，∵直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，∴a+b＝6，ab＝4，∴斜边c＝＝＝＝2，故答案为：2．10、（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE ∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，∵DE∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，∵DE＝5，DF＝3，∴AE＝5，CD＝3，故选项B、C正确；∴CE＝＝4，∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；∵DE∥AB，∠DFB＝90°，∴∠EDF＝∠DFB＝90°，∴∠CDE+∠FDB＝90°，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠FDB，∵tan∠DEC＝，tan∠FDB＝，∴，解得BF＝，故选项A错误；故选：A．11、（2022•通辽）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为．【分析】题中60°的锐角，可能是∠A也可能是∠B；∠PCB＝30°可以分为点P在在线段AB上和P在线段AB的延长线上两种情况；直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，同时借助勾股定理求得AP的长度．【解答】解：当∠A＝30°时，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠CBA＝60°，BC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，AC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∠CBA＝60°∴∠CPB＝90°，∴∠CP A＝90°，在Rt△ACP中，∠A＝30°，∴PC＝AC＝×3＝．∴在Rt△APC中，由勾股定理得AP＝．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝90°+30°＝120°，∵∠A＝30°，∴∠CP A＝30°．∵∠PCB＝30°，∴∠PCB＝∠CP A，∴BP＝BC＝3，∴AP＝AB+BP＝6+3＝9．当∠ABC＝30°时，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，AC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，BC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝60°，∴△ACP是等边三角形∴AP＝AC＝3．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∠ABC＝30°，∴CP∥AP这与CP与AP交于点P矛盾，舍去．综上所得，AP的长为，9或3．故答案为：，9或3．12、（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是．【分析】过点D作DM⊥CI于点M，过点F作FN⊥CI于点N，由正方形的性质可证得△ACJ≌△CDM，△BCJ≌△CFN，可得DM＝CJ，FN＝CJ，可证得△DMI≌△FNI，由直角三角形斜边上的中线的性质可得DI＝FI＝CI，由勾股定理可得MI，NI，从而可得CN，可得BJ与AJ，即可求解．【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N，∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四边形ABHL为正方形，∴AL＝AB＝10，∵四边形AJKL为矩形，∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，故答案为：80．13、（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可．【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．14、（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝．【分析】根据题意得出AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，设AF＝DE＝CH ＝BG＝x，结合图形得出AE＝x﹣1，利用勾股定理列方程求解．【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案为：3．15、（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2﹣1，∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，故答案为：m2+1．16、（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD＝60°，则橡皮筋AC断裂（填“会”或“不会”，参考数据：3≈1.732）．【分析】设AC与BD相交于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得BD＝20cm，然后再在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO，从而求出AC的长，即可解答．【解答】解：设AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝20cm，∴DO＝BD＝10（cm），在Rt△ADO中，AO＝＝＝10（cm），∴AC＝2AO＝20≈34.64（cm），∵34.64cm＜36cm，∴橡皮筋AC不会断裂，故答案为：不会．17、（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是．【分析】如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．求出梯形的上下底以及高，可得结论．【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE＝＝＝5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∵•DF•EF＝•DE•GF，∴FG＝，∴BG＝＝＝，∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，∴F′H＝FG＝，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴＝＝，∴BM＝AB＝，同法可证AN＝AB＝，∴MN＝15﹣﹣＝，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，故答案为：21．18、（2022•泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，第一步到①，第二步到②，故走两步后的落点与出发点间的最短距离为＝，故答案为：．。

中考数学专题复习《利用勾股定理求最短路径》测试卷-附带答案

中考数学专题复习《利用勾股定理求最短路径》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．如图一个牧童在小河的南4km的A处牧马而他正位于他的小屋B的西8km北7km 处他想把他的马牵到小河边去饮水然后回家他要完成这件事情所走的最短路径是km．2．如图长方体的长为3cm 宽为2cm 高为1cm的长方体蚂蚁沿着表面从A爬行到B 的最短路程是．3．如图在△ABC中AD是BC边上的高垂足为D已知BD=1,AD=CD=2,BC上方有一动点P且点P到A,D两点的距离相等则△BCP的周长最小值为．4．如图这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图该U型池可以看成是长方体去掉m的半圆其边缘AB＝CD＝15m 一个“半圆柱”而成中间可供滑行部分的截面是直径为32π点E在CD上CE＝3m一滑板爱好者从A点滑到E点则他滑行的最短距离约为m．（边缘部分的厚度忽略不计）5．如图四边形ABCD∠BAD＝60° ∠ADC＝150° 且BD∠DC已知AC的最大值是3 则BC＝．6．如图在一个长为5m宽为3m的长方形草地上放着一根长方体的木块它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD木块从正面看是边长为1m的正方形一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程约为m．（精确到1m）7．如图C为线段BD上一动点分别过B D作AB⊥BD ED⊥BD连接AC EC已知AB=5DE=1BD=8设CD=x．请用含x的代数式表示AC+CE的长为根据上述方法求出√x2+4+√(12−x)2+9的最小值为．8．如图四边形ABCD为矩形AD=3AB=4点E是AD所在直线的一个动点点F 是对角线BD上的动点且BF=DE则AF+BE的最小值是．9．如图长方形BCFG是一块草地折线ABCDE是一条人行道BC＝12米CD＝5米．为了避免行人穿过草地（走虚线BD践踏绿草管理部门分别在B D处各挂了一块牌子牌子上写着“少走米踏之何忍”．10．如图BD是RtΔABC的角平分线点F是BD上的动点已知AC=2AE=2√3−2∠ABC=30°则（1）BE=（2）AF+EF的最小值是．11．如图AB是半圆O的直径半圆的半径为4 点C D在半圆上OC⊥AB,BD=2CD 点P是OC上的一个动点则BP+DP的最小值为．12．如图一大楼的外墙面ADEF与地面ABCD垂直点P在墙面上若P A＝AB＝5米点P到AD的距离是4米有一只蚂蚁要从点P爬到点B它的最短行程是米13．如图在Rt∠AOB中∠AOB＝90° OA＝4 OB＝6 以点O为圆心3为半径的∠O与OB交于点C过点C作CD∠OB交AB于点D点P是边OA上的动点则PC+PD的最小值为．14．如图台阶阶梯每一层高20cm宽40cm长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点最短路程是．15．已知正方形ABCD的边长为1 点E F分别是边BC CD上的两个动点且满足BE= CF连接AE AF则AE+AF的最小值为．16．如图在菱形ABCD中AB=4∠ABC=60°M为AD中点P为对角线BD上一动点连接PA和PM则PA+PM的最小值是．17．如图圆柱形容器高为18cm 底面周长为24cm 在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处则蚂蚁从外币A 处到达内壁B处的最短距离为．18．如图直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A B两点点C的坐标是（1 0）DE分别是AB OA上的动点当∠CDE的周长最小时点E的坐标是．19．如图菱形ABCD的边长为4 ∠BAD＝120° E是边CD的中点F是边AD上的一个动点将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF' 连接AF' BF' 则∠ABF'的周长的最小值是．20．如图已知矩形ABCD中AB＝4 AD＝3 E F分别为AB DC上的两个动点且EF∠AC则AF+FE+EC的最小值为．参考答案1．解：如图做出点A关于小河MN的对称点A` 连接A`B交MN于点P则A`B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度．在Rt∠A`DB中由勾股定理求得A`B=√A`D2+DB2=√(7+4+4)2+82=17(km)．则他要完成这件事情所走的最短路程是17km．2．解：如图1AB= √52+12=√26（cm）如图2AB= √32+32=3√2（cm）如图3AB= √22+42=√20=2√5（cm）故沿长方体的表面爬到对面顶点B处只有图2最短其最短路线长为：3√2cm．故答案为：3√2.3．解：∠P到AD两点的距离相同∠P在线段AD的垂直平分线上取AD的中点H作HF//BC作B关于HF的对称点E连接CE与直线FH交于P点P 即为所求∠∠BFH=90° BF=EF EP=BP∠要使∠BCP的周长最小∠BP+CP最小即为CE长又∠EF//BC∠ADC=90°∠∠FHD=∠HDB=90°∠四边形BDHF是矩形AD=1∠FBD=90°∠BF=DH=EF=12∠BE=2∠CE=√BC2+BE2∠CE=√13∠BCP的周长最小值=BC+BP+CP=3+√13故答案为：3+√13．4．解：如图是其侧面展开图：AD=12π⋅32π=16（m）AB=CD=15m．DE=CD-CE=15-3=12（m）在Rt∠ADE中AE=√AD2+DE2=√162+122=20（m）．故他滑行的最短距离约为20m．故答案为：20．5．解：如图取BC的中点F以BC为边在∠BCD另一侧作等边三角形∠BCG连接DG DF FG∠∠ADC＝150° 且BD∠DC∠∠ADB＝150°﹣90°＝60°∠∠BAD＝60°∠∠ADB＝∠BAD＝60°∠∠ABD是等边三角形而∠BCG也是等边三角形∠AB＝DB BC＝BG∠ABD＝∠CBG＝60°∠∠ABD+∠DBC＝∠CBG+∠DBC即∠ABC＝∠DBG在∠ABC和∠DBG中{AB=DB ∠ABC=∠DBG BC=BG∠∠ABC∠∠DBG（S A S）∠AC＝DG∠AC 的最大值是3∠DG 的最大值也是3在∠DGF 中 DG ≤DF +FG∠当DF FG 在同一条直线上时 DG 取最大值3 即DG ＝DF +FG ＝3 ∠BD ∠DC BC 的中点F∠DF ＝BF ＝CF ＝12BC∠等边三角形∠BCG BC 的中点F∠GF ∠BC ∠BGF ＝∠CGF ＝12∠BGC ＝30°∠BF ＝CF ＝12BG ＝12BC∠设DF ＝BF ＝CF ＝x 则BC ＝BG ＝2x∠FG ＝√BG 2−BF 2=√(2x)2−x 2=√3x∠DF +FG ＝x +√3x ＝3解得：x ＝3√3−32∠BC ＝2x ＝2×3√3−32＝3√3﹣3故答案为3√3﹣3．6．解：由题意可知将木块展开如图长相当于是AB +2个正方形的宽∠长为5+2×1＝7m 宽为3 m ．于是最短路径为：√32+72=√58≈8 m ．故答案为8．7．解：AC +CE =√BC 2+AB 2+√CD 2+DE 2=√(8−x)2+25+√x 2+1 当A C E 三点共线时 AC +CE 的值最小如右图所示作BD =12 过点B 作AB ∠BD 过点D 作ED ∠BD 使AB =2 ED =3连接AE交BD于点C设BC=x则AE的长即为代数式√x2+4+√(12−x)2+9的最小值．过点A作AF∠BD交ED的延长线于点F得矩形ABDF则AB=DF=2 AF=BD=12 EF=ED+DF=3+2=5所以AE=√AF2+EF2=√122+52=13即√x2+4+√(12−x)2+9的最小值为13故答案为：√(8−x)2+25+√x2+113．8．解：如图延长BC至G使得BG=BD连接GF∵四边形ABCD是矩形∴∠DAB=∠ABC=90°,AD//CB∴∠EDB=∠FBC在△EDB与△FBG中{ED=BF ∠EDB=∠FBG BD=BG∴△EDB≌△FBG∴BE=GF∴AF+BE=AF+GF≥AG 在Rt△ABD中AD=3,AB=4BD=√AD2+AB2=5∴BG=5在Rt△ABG中BG=5,AB=4AG=√AB2+BG2=√42+52=√41∴AF+BE的最小值是√41．故答案为：√41．9．解：在Rt△BCD中∴BD=√BC2+CD2=13则BC+CD−BD=12+5−13=4（米）故答案为：410．解：（1）∠AC=2∠ABC=30°∠BAC=90°∠BC=2AC=4∠AB=√BC2−AC2=√42−22=2√3∠BE=AB−AE=2√3−(2√3−2)=2故答案为：2（2）如图所示作E点关于BD的对称点G连接EG AG GF∠BD是∠ABC的平分线∠点G在线段BC上∠根据对称性可得EF=GF BG=BE=2∠EF+AF=GF+AF≥AG∠当点A F G三点共线时GF+AF的长度最短即EF+AF的最小值为AG的长度．∠GC=BC-BG=4-2=2又∠∠ABC=30°∠BAC=90°∠∠C=60°又∠AC=2∠△AGC是等边三角形∠AG=AC=2．∠AF+EF的最小值是2．故答案为：2．11．解：作点D关于OC的对称点为D1连接BD1OD1过点D1作D1Q⊥AB由题知OC⊥AB BD=2CD∠BC=3CD可得CD对应的圆心角∠COD=30°又点D关于OC的对称点为D1∠∠COD1=30°∠AOD1=60°∠BD1长为BP+DP的最小值在RtΔQOD1中OD1=4∠OQ=2D1Q=2√3在RtΔQD1B中BQ=OQ+OB=6D1Q=2√3∠BD1=√62+(2√3)2=4√3故填：4√312．解：如图过P作PG∠BF于G连接PB∠AG=4 AP=AB=5∠PG=√AP2−AG2=3BG=9∠PB=√GB2+GP2=3√10故这只蚂蚁的最短行程应该是3√10故答案为：3√1013．解：延长CO交∠O于点E连接ED交AO于点P则PC+PD的值最小最小值为线段DE的长．∠CD∠OB∠∠DCB＝90°∠∠AOB＝90°∠∠DCB＝∠AOB ∠CD∠AO∠CD AO =BCBO∠CD 4=36∠CD＝2在Rt∠CDE中DE＝√CD2+CE2=√22+62=2√10∠PC+PD的最小值为2√10．故答案为：2√10．14．解：如图所示∠楼梯的每一级的高宽长分别为20cm宽40cm长50cm ∠AB=√502+[2(20+40)]2=130(cm)即蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm．故答案为：130cm．15．解：连接DE∠BE=CF且四边形ABCD为正方形∠CD-CF=BC-BE即DF=CE在△ADF和△DCE中{AD=DC ∠ADF=∠DCE DF=CE∴△ADF∠∠DCE∠AF=DE AE+AF=AE+DE以BC为对称轴作A点关于BC的对应点A′连接DA′与BC交点即为点E∠点A和点A′关于BC对称∠AE=A′EAE+DE=A′E+DE=A′D由勾股定理可得：A′D=√AD2+A′A2=√22+12=√5∠AE+AF的最小值为√5故答案为：√516．解：作点M关于BD的对称点N交CD于点N连接AN则AN就是P A+PM的最小值∠在菱形ABCD 中 AB =4 ∠ABC =60° M 为AD 中点 AC ∠BD∠∠ADC =60° DA =DC 点N 为CD 的中点∠∠DAC 是等边三角形 AN ∠CD∠AC =AD =AB =4∴AN =√AD 2−DN 2=√42−22=2√3故答案为：2√317．解∠如图将杯子侧面展开作A 关于EF 的对称点A ′ 连接A ′B 则A ′B 即为最短距离．根据勾股定理得A ′B =√A ′D 2+BD 2=√122+162=20m ．故答案为：20cm ．18．解：如图点C 关于OA 的对称点C ′（-1 0）点C 关于直线AB 的对称点C ″ ∠直线AB 的解析式为y =-x +7∠直线C C ″的解析式为y =x -1由{y =−x +7y =x −1得{x =4y =3∠F（4 3）∠F是C C″中点∠可得C″（7 6）．连接C′C″与AO交于点E与AB交于点D此时∠DEC周长最小∠DEC的周长=DE+EC+CD=E C′+ED+D C″=C′C″=√82+62=10．故答案为10．19．解：取AD中点G连接EG F'G BE作BH∠DC的延长线于点H∠四边形ABCD为菱形∠AB＝AD∠∠BAD＝120°∠∠CAD＝60°∠∠ACD为等边三角形又∠DE＝DG∠∠DEG也为等边三角形．∠DE＝GE∠∠DEG＝60°＝∠FEF'∠∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG即∠DEF＝∠GEF'由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'所以EF＝EF'．在∠DEF和∠GEF'中{DE=GE∠DEF=∠GEF′EF=EF′∠∠DEF∠∠GEF'（SAS）．∠∠EGF'＝∠EDF＝60°∠∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°则点F'的运动轨迹为射线GF'．观察图形可得A E关于GF'对称∠AF'＝EF'∠BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE在Rt∠BCH中∠∠H＝90° BC＝4 ∠BCH＝60°∠CH=12BC=2,BH=2√3,在Rt∠BEH中BE＝√BH2+EH2＝√12+16＝2√7∠BF'+EF'≥2√7∠∠ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2√7故答案为：4+2√7．20．解：过B作BH∠EF交CD于H过A作AG∠EF且使AG＝EF连接GE∠四边形AGEF是平行四边形∠AF＝GE∠当G E C三点共线时AF+EC最小∠EF ∠AC∠BH ∠AC∠∠HBC +∠BCA ＝90° ∠BCA +∠ACH ＝90° ∠∠HBC ＝∠ACH∠tan∠HBC ＝tan∠ACD 即HC BC =AD CD∠AB ＝4 AD ＝3∠ HC 3=34∠HC ＝94∠BH =√BC 2+CH 2=√9+(94)2=154∠AF +EF +EC ≥GC +BH∠GA ∠AC∠∠ACG 为直角三角形∠AB ＝4 AD ＝3∠AC ＝5∠EF ＝BH ＝AG∠AG ＝154∠GC ＝√AG 2+AC 2=√52+(154)2=254∠GC +EF ＝254+154＝10∠AF +FE +EC 的最小值为10故答案为：10．。

(完整版)勾股定理典型例题详解及练习(附答案)

典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB CD EF 、GH 四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）1）题意分析：本题考查勾照定理及勾股定理的逆定理./2）解题思踏；可利用勾照定理直接求出各也长，再进行判断.卜解答过程：#ai^AEAF 中，AF=h AE=2,根据勾股定理，得。

跻=J 招己'十』十F = 姊同理 = 2思* QH. = 1 CD = 2^5计算发现（右尸十0招”=（雁沪t 即/费+寥=奇,根据勾股定理的迎定理得到以AE 、EF 、GH 为也的三角形是直角三角形.故选 B. *解题后B0思考、1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形. 因此，解跑时一定要认真分析题目所蛤条件，看是否可用勾股定理来解n ，L 在运用勾股定理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为七”就是斜诳而.固执"地运用公式"二/十舛其实，同样是四"6 NC 不一定就等于叩幻I 不一定就是斜遮，A ABC 不一定就是直角三痢形.卜A. CD 、EF 、GH C. AB 、CD GHB. AB 、EF 、GHD. AB 、CD EF3.直角三角形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从"形胡（一个三角形是直角三角形）到板'3’ =疽十瑟）的辿程，而直角三角形的判定是一个从W〔一个三角形的三满是L = ^+广的条件）到胃形'这个三弟形是直急三甬形）的过程.甘1在应用勾股定理解题时，要全面地毒虑问题.注意m题中存在的多种可能性，避免漏解。

/例2-如图'有一块直角三角形舐板幽G两直角边ACMkm, BWg 现博直甬边AC沿直线AD折叠,庾它落在斜辿AB上,且点C落到点E处, 则CD等于（EC 。

A. 2cmB. 3cm C 4an D 5cm*" iiEMraZJ VI :『n暴意分析，本题考查勾股定理的应用，：）解题思路；本题若直接在△XOQ中运用勾股定理是无法求得® ffi 长的，因为只知道一条迫应。

中考数学-勾股定理知识点与常见题型总结

勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB⑵8BC ==题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC ， 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mAB CD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD ==答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形。

专题21 勾股定理-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破(解析版)

专题21 勾股定理【考查题型】【知识要点】知识点一勾股定理勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么。

变式：，，,,.适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。

用拼图的方法验证勾股定理的思路是：1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理勾股定理的证明方法：方法一（图一）：，，化简可证．方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为，所以方法三（图三）：，，化简得证图一图二图三知识点二勾股数勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数常见的勾股数：如；；；等扩展：用含字母的代数式表示组勾股数：1）（为正整数）；2）（为正整数）3）（，为正整数）注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。

知识点三勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边【注意】1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；2)定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边3)勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形知识点四直角三角形的性质与判定性质：1）直角三角形的两个锐角互余。

第十七章勾股定理知识与题型总结及测试题含答案

勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能一、本章知识内容归纳1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。

（1）重视勾股定理的叙述形式：①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积.②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和.从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。

（2）定理的作用：①已知直角三角形的两边，求第三边。

②证明三角形中的某些线段的平方关系。

,2……的无理数线段的几③作长为n的线段。

（利用勾股定理探究长度为,3何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。

）2、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。

（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。

（3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。

要注意叙述及书写格式。

运用勾股定理的逆定理的步骤如下：①首先确定最大的边（如c）②验证22b a +与2c 是否具有相等关系：若222c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。

若222c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。

补充知识：当222c b a >+时，则是锐角三角形；当222c b a <+时，则是钝角三角形。

（4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。

如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。

勾股数组的一般规律： ① 丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数） ② 毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数） ③柏拉图发现的：1,1,222+-n n n （1>n 的整数）3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系（1）注意分清应用条件：勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。

中考数学数学勾股定理试题含答案

一、选择题1．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于O，AB＝3，BC＝4，CD＝5，则AD的长为（）A．1 B．32C．4 D．232．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。

若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是A．13 B．225C．47 D．133．如图所示，在中，，，.分别以，，为直径作半圆（以为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（）A．4 B．5 C．7 D．64．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是（）A．8 B．9 C．10 D．125．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．若直角三角形的三边长分别为-a b 、a 、+a b ，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为（） A ．22B ．32C ．62D ．827．如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（）A ．6B ．32π C ．2π D ．128．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为（）A ．5B ．6C ．8D ．109．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A ＝90°，BD ＝4，CF ＝6，设正方形ADOF 的边长为x ，则210x x +=（）A ．12B ．16C ．20D ．2410．已知三角形的两边分别为3、4，要使该三角形为直角三角形，则第三边的长为（） A ．5B ．7C ．5或7D ．3或4二、填空题11．如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，若点 M 、N 分别是线段 AC 、AB 上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为_____________________．12．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，BC=DC ，点E 为AD 边上一点，连接BD 、CE ，CE与BD 交于点F ，且CE ∥AB ，若∠A =60°，AB=4，CE=3，则BC 的长为_______．13．如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的下底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的C 点处的食物，需要爬行的最短路程是___________________（π的值取3）．14．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，以BC 为斜边作等腰直角BCD ∆，连接DA ，若22AB =，42AC =，则DA 的长为______．15．如图，在ABC △中8,4,AB AC BC AD BC ===⊥于点D ，点P 是线段AD 上一个动点，过点P 作PE AB ⊥于点E ，连接PB ，则PB PE +的最小值为________.16．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠ABC =45°，D 是BC 边上的一点，BD =2，将△ACD 沿直线AD 翻折，点C 刚好落在AB 边上的点E 处.若P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是________．17．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，且AB =3，BC =5． ①线段OA 的取值范围是______________； ②若BD -AC =1，则AC •BD = _________．18．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =4，斜边AB 的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，连接AD ，线段CD 的长为_________．19．如图所示，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，若AD ＝4，DC ＝3，求BE 的长．20．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知25AB = ，24AC = 其中阴影部分面积是_____________平方单位．三、解答题21．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E 是AB 的中点，连接CE 交AD 于点F ，BD =3，求BF 的长．22．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．感悟与应用：（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒； ②求AB 的长．23．已知a ，b ，c 88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，（1）求a ，b ，c 的值；（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．24．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值. ②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积. 25．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =，求ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+. 26．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.27．在ABC ∆中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，若10,45AB BC ==.（1）求CD 的长.（2）动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒；动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动，速度为v 个单位秒()v>1，设运动的时间为()0t t >，当点Q 到点C 时，两个点都停止运动.①若当2v =时，CP BQ =，求t 的值.②若在运动过程中存在某一时刻，使CP BQ =成立，求v 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围. 28．（知识背景）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．（应用举例）观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时，股14(91)2=-，弦15(91)2=+；勾为5时，股112(251)2=-，弦113(251)2=+；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股24＝弦25＝（2）如果勾用n （3n ≥，且n 为奇数）表示时，请用含有n 的式子表示股和弦，则股＝，弦＝．（解决问题）观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：（3）如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数，2a m =（m 表示大于1的整数），则b = ，c = ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组：、24、：第二组：、、37．29．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45︒，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM的长度．30．如图1，已知△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且CD ＝AE ，AD 与BE 相交于点F ．（1）求证：∠ABE ＝∠CAD ；（2）如图2，以AD 为边向左作等边△ADG ，连接BG ． ⅰ）试判断四边形AGBE 的形状，并说明理由；ⅱ）若设BD ＝1，DC ＝k （0＜k ＜1），求四边形AGBE 与△ABC 的周长比（用含k 的代数式表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，根据勾股定理求出a 2+b 2＝AB 2＝9，c 2+b 2＝BC 2＝16，c 2+d 2＝CD 2＝25，即可证得a 2+d 2＝18，由此得到答案. 【详解】设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，由勾股定理得，a 2+b 2＝AB 2＝9，c 2+b 2＝BC 2＝16，c 2+d 2＝CD 2＝25，则a 2+b 2+c 2+b 2+c 2+d 2＝50， ∴a 2+d 2+2（b 2+c 2）＝50， ∴a 2+d 2＝50﹣16×2＝18， ∴AD 221832a d +== 故选：B ．【点睛】此题考查勾股定理的运用，根据题中的已知条件得到直角三角形，再利用勾股定理求出未知的边长，解题中注意直角边与斜边.2．C解析：C 【分析】根据勾股定理即可得到正方形A 的面积加上B 的面积加上C 的面积和D 的面积是E 的面积．即可求解．【详解】四个正方形的面积的和是正方形E 的面积：即222233=92549=47＋5＋2＋＋＋＋；故答案为C ．【点睛】理解正方形A ，B ，C ，D 的面积的和是E 的面积是解决本题的关键．3．D解析：D【解析】【分析】先利用勾股定理计算BC的长度，然后阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+-以AC为直径的半圆面积.【详解】解：在中∵，,∴,∴BC=3,∴阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+-以AC为直径的半圆面积=6.故选D.【点睛】本题考查扇形面积的计算和勾股定理.在本题中解题关键是用重叠法去表示阴影部分的面积. 4．C解析：C【解析】【分析】要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，∴BN＝ND∴DN＋MN＝BN＋MN连接BM交AC于点P，∵点 N为AC上的动点，由三角形两边和大于第三边，知当点N运动到点P时，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，BN＋MN的最小值为BM的长度，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8−2＝6，BCM＝90°，∴BM＝＝10，∴DN＋MN的最小值是10．故选：C．【点睛】此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．5．D解析：D【解析】分析：由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS 得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.详解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，∴△BCE≌△DCG，∴BE=DG，故结论①正确.②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.由①可知，△BCE≌△DCG，∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，∴∠DOM=∠MCB=90°，∴BE⊥DG.故②结论正确.③如图所示，连接BD、EG，由②知，BE⊥DG，则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，∴BG2+DE2=2a2+2b2.故③结论正确.故选：D.点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.6．B解析：B【解析】由题可知（a-b）2+a2=（a+b）2，解得a=4b，所以直角三角形三边分别为3b，4b，5b，当b=8时，4b=32，故选B．7．A解析：A【分析】分别求出以AB、AC、BC为直径的半圆及△ABC的面积，再根据S阴影=S1+S2+S△ABC-S3即可得出结论．【详解】解：如图所示：∵∠BAC=90°，AB=4cm，AC=3cm，BC=5cm，∴以AB为直径的半圆的面积S1=2π（cm2）；以AC为直径的半圆的面积S2=98π（cm2）；以BC为直径的半圆的面积S3=258π（cm2）；S△ABC=6（cm2）；∴S阴影=S1+S2+S△ABC-S3=6（cm2）；故选A．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．8．C解析：C【分析】根据等腰三角形的三线合一得出∠ADB=90°，再根据勾股定理得出BD的长，即可得出BC 的长.【详解】在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BC=2BD.∴∠ADB=90°在Rt△ABD中，根据勾股定理得：=4∴BC=2BD=2×4=8.故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.9．D解析：D【分析】设正方形ADOF的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，整理方程即可．【详解】解：设正方形ADOF的边长为x，由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，∴BC＝BE＋CE＝BD＋CF＝10，在Rt△ABC中，AC2＋AB2＝BC2，即（6＋x）2＋（x＋4）2＝102，整理得，x2＋10x﹣24＝0，∴x2＋10x＝24，故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．10．C解析：C【分析】根据勾股定理和分类讨论的方法可以求得第三边的长，从而可以解答本题．【详解】由题意可得，当3和45，当斜边为4，故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和分类讨论的数学思想解答．二、填空题11．8【解析】如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，则BM+MN的最小值等于的最小值作交于，则为所求；设,,由，，h+5=8，即BM+MN的最小值是8.点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键．12．7【分析】连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD，BO＝OD，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE＝EF＝DF，由勾股定理可求OC，BC的长．【详解】连接AC，交BD于点O，∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝4，BO＝OD＝2，∵CE∥AB，∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°，∴∠DAO＝∠ACE＝30°，∴AE＝CE＝3，∴DE＝AD−AE＝1，∵∠CED＝∠ADB＝60°，∴△EDF是等边三角形，∴DE＝EF＝DF＝1，∴CF＝CE−EF＝2，OF＝OD−DF＝1，22∴=-=，OC CF OF322∴，BC=OB+OC=7故答案为：7．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．13．15厘米【分析】要想求得最短路程，首先要画出圆柱的侧面展开图，把A和C展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短，结合勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程．【详解】解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形，π=厘米，矩形的宽BC=12厘米．∴矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即AB=39∴蚂蚁需要爬行最短路程2222=+=+=厘米．12915AC BC AB故答案为：15厘米【点睛】求两个不在同一平面内的两点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内，根据两点之间，线段最短．14．6或2.【分析】由于已知没有图形，当Rt△ABC固定后，根据“以BC为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：①当D点在BC上方时，如图1，把△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，证明A、C、E三点共线，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD长；②当D点在BC下方时，如图2，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，证明过程类似于①求解．【详解】解：分两种情况讨论：①当D点在BC上方时，如图1所示，把△ABD绕点D逆时针旋转90°，得到△DCE，则∠ABD=∠ECD，CE=AB=22，AD=DE，且∠ADE=90°在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，∴∠ACD+∠ECD=180°，∴A、C、E三点共线．∴AE=AC+CE=42+22=62在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，即2AD2=（62）2，解得AD=6②当D点在BC下方时，如图2所示，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，则2，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，所以∠EAD=∠AED=45°，∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三点共线．∴222在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．故答案为：6或2.【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解． 15．15 【分析】根据题意点B 与点C 关于AD 对称，所以过点C 作AB 的垂线，与AD 的交点即点P ，求出CE 即可得到答案【详解】∵8,AB AC AD BC ==⊥∴点B 与点C 关于AD 对称过点C 作CE ⊥AB 于一点即为点P ，此时PB PE +最小∵8,4,AB AC BC AD BC ===⊥∴BD=2在Rt △A BC 中， 222282215AD AB BD =-=-= ∵S △ABC=1122BC AD AB CE ⋅⋅=⋅⋅ ∴42158CE ⨯=得15CE =故此题填15【点睛】此题考察最短路径，根据题意找到对称点，作直角三角形，利用勾股定理解决问题16．222【分析】连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可．【详解】如图，连接CE，交AD于M，∵沿AD折叠C和E重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，BD=2，∴2，∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°，∵∠ABC=45°，∴∠B=45°，∵2，∴2即2，∴△PEB的周长的最小值是222．故答案为2【点睛】本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置．17．①1＜OA＜4．②672．【解析】(1)由三角形边的性质5-3<2OA <5+3,1＜OA ＜4.(2)过A 作AF BC ,F ⊥于过D 作DE BC ⊥于E,可知，ABF 全等DCE ,由题意知，22BD DE =+()2BC CE +=2DE +()24CE +， ()()222225AC DE BC CE DE CE ∴=+-=+-，2AC ∴+ 2BD=2DE +()()22245CE DE CE +++-=2(22)5018DE CE ++=+50=68，BD -AC =1，两边平方2AC ∴+ 2BD -2AC •BD =1， ∴AC •BD =672.18．78．【解析】 ∵∠C =90°，AB =5，BC =4，∴AC 2254-．∵AB 的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，∴BD =AD ．设CD =x ，则AD =BD =4-x ，在Rt △ACD 中，2223(4)x x +=- ，解得：78x =．故答案为：78． 19．78【解析】试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6，BC=AD=8，AD ∥BC ，∠B=90°，再根据折叠性质得∠DAC=∠D′AC ，而∠DAC=∠ACB ，则∠D′AC=∠ACB ，所以AE=EC ，设BE=x ，则EC=4-x ，AE=4-x ，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理可计算出BE 的长即可．试题解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°，∵△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，∴∠DAC=∠D′AC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC，设BE=x ，则EC=4﹣x ，AE=4﹣x ，在Rt△ABE 中，∵AB 2+BE 2=AE 2，∴32+x 2=（4﹣x ）2，解得x=78，即BE 的长为78． 20．49【分析】先计算出BC 的长，再由勾股定理求出阴影部分的面积即可.【详解】∵∠ACB=90︒，25AB = ，24AC =,∴22222252449BC AB AC =-=-=,∴阴影部分的面积=249BC =，故答案为：49.【点睛】此题考查勾股定理，能利用根据直角三角形计算得到所需的边长，题中根据勾股定理的图形得到阴影部分面积等于BC 的平方是解题的关键. 三、解答题21．BF 的长为32【分析】先连接BF ，由E 为中点及AC=BC ，利用三线合一可得CE ⊥AB ，进而可证△AFE ≌△BFE ，再利用AD 为角平分线以及三角形外角定理，即可得到∠BFD 为45°，△BFD 为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解得BF ．【详解】解：连接BF ．∵CA=CB ，E 为AB 中点∴AE=BE ，CE ⊥AB ，∠FEB=∠FEA=90°在Rt △FEB 与Rt △FEA 中，BE AE BEF AEF FE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △FEB ≌Rt △FEA又∵AD 平分∠BAC ，在等腰直角三角形ABC 中∠CAB=45°∴∠FBE=∠FAE=12∠CAB=22.5° 在△BFD 中，∠BFD=∠FBE+∠FAE=45°又∵BD ⊥AD ，∠D=90°∴△BFD 为等腰直角三角形，BD=FD=3∴BF ===【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线，解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质．22．（1）BC−AC ＝AD ；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14【分析】（1）在CB 上截取CE ＝CA ，连接DE ，证△ACD ≌△ECD 得DE ＝DA ，∠A ＝∠CED ＝60°，据此∠CED ＝2∠CBA ，结合∠CED ＝∠CBA ＋∠BDE 得出∠CBA ＝∠BDE ，即可得DE ＝BE ，进而得出答案；（2）①在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，先证△ADC ≌△AMC ，得到∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ，结合CD ＝BC 知CM ＝CB ，据此得∠B ＝∠CMB ，根据∠CMB ＋∠CMA ＝180°可得；②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，由CB ＝CM 知BN ＝MN ＝a ，CN 2＝BC 2−BN 2＝AC 2−AN 2，可得关于a 的方程，解之可得答案．【详解】解：（1）BC−AC ＝AD ．理由如下：如图（a ），在CB 上截取CE ＝CA ，连接DE ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠ECD ，又CD ＝CD ，∴△ACD ≌△ECD （SAS ），∴DE ＝DA ，∠A ＝∠CED ＝60°，∴∠CED ＝2∠CBA ，∵∠CED ＝∠CBA ＋∠BDE ，∴∠CBA ＝∠BDE ，∴DE ＝BE ，∴AD ＝BE ，∵BE ＝BC−CE ＝BC−AC ，∴BC−AC ＝AD ．（2）①如图（b ），在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠MAC ，∵AC ＝AC ，∴△ADC ≌△AMC （SAS ），∴∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ＝12，∵CD ＝BC ＝12，∴CM ＝CB ，∴∠B ＝∠CMB ，∵∠CMB ＋∠CMA ＝180°，∴∠B ＋∠D ＝180°；②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，∵CB ＝CM ＝12，∴BN ＝MN ＝a ，在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝，则22221216(8)a a --+＝，解得：a ＝3，即BN ＝MN ＝3，则AB ＝8+3+3=14，∴AB=14．【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．23．（1）a ＝8，b ＝15，c ＝17；（2）能，60【分析】（1）根据算术平方根，绝对值，平方的非负性即可求出a 、b 、c 的值；（2）根据勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形，由此得到面积和周长【详解】解：（1）∵a ，b ，c |c ﹣17|+b 2﹣30b +225，21||7(15)c b +-﹣，∴a ﹣8＝0，b ﹣15＝0，c ﹣17＝0，∴a ＝8，b ＝15，c ＝17；（2）能．∵由（1）知a ＝8，b ＝15，c ＝17，∴82+152＝172．∴a 2+c 2＝b 2，∴此三角形是直角三角形，∴三角形的周长＝8+15+17＝40；三角形的面积＝12×8×15＝60．【点睛】此题考查算术平方根，绝对值，平方的非负性，勾股定理的逆定理判断三角形的形状.24．（1）该命题是真命题，理由见解析；（2）①a 的值为92；②k 的取值范围为13k ≤<；（3）ABC ∆．【分析】（1）根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断；（2）①先利用勾股定理求出c 的值，再根据优三角形的定义列出,,a b c 的等式，然后求解即可；②类似①分三种情况分析，再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下,,a b c 之间的关系，然后根据优比的定义求解即可；（3）如图（见解析），设BD x =，先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC 、AB 的长及ABC ∆面积的表达式，再类似（2），根据优三角形的定义分三种情况分别列出等式，然后解出x 的值，即可得出ABC ∆的面积．【详解】（1）该命题是真命题，理由如下：设等边三角形的三边边长为a则其中两条边的和为2a ，恰好是第三边a 的2倍，满足优三角形的定义，即等边三角形为优三角形又因该两条边相等，则这两条边的比为1，即其优比为1故该命题是真命题；（2）①90,6CB b A ∠=︒=c ∴=根据优三角形的定义，分以下三种情况：当2a b c +=时，6a +=，整理得24360a a -+=，此方程没有实数根当2a c b +=时，12a =，解得92a =当2b c a +=时，62a =，解得86a =>，不符题意，舍去综上，a 的值为92； ②由题意得：,,a b c 均为正数根据优三角形的定义，分以下三种情况：（c b a ≥≥）当2a b c +=时，则1b k a=≥ 由三角形的三边关系定理得b a c a b -<<+ 则2a b b a a b +-<<+，解得3b a <，即3b k a=< 故此时k 的取值范围为13k ≤< 当2a c b +=时，则1c k a =≥ 由三角形的三边关系定理得c a b a c -<<+ 则2a c c a a c +-<<+，解得3c a <，即3c k a=< 故此时k 的取值范围为13k ≤< 当2b c a +=时，则1c k b =≥ 由三角形的三边关系定理得c b a b c -<<+ 则2b c c b b c +-<<+，解得3c b <，即3c k b=< 故此时k 的取值范围为13k ≤<综上，k 的取值范围为13k ≤<；（3）如图，过点A 作AD BC ⊥，则180********ABC ABD ∠=︒-︒∠-==︒︒ 设BD x =22,AB BD x AD ∴====AC ===11422ABC S BC AD ∆=⋅=⨯= ABC ∆是优三角形，分以下三种情况：当2AC BC AB +=时，即222444x x x +++=，解得103x =则1020323233ABC S x ∆==⨯= 当2AC AB BC +=时，即222428x x x +++=，解得65x =则612323235ABC S x ∆==⨯= 当2BC AB AC +=时，即242424x x x +=++，整理得234120x x ++=，此方程没有实数根综上，ABC ∆的面积为2033或1235．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系定理等知识点，理解题中的新定义，正确分多种情况讨论是解题关键．25．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可；（2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =∴222AC AD CD =-=，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=；（2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°，∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ），∴BG =BH ，CG =EH ， ∴222GH BG BH BG =+=，∴2EG GH EH BG CG =+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．26．（1）证明见解析；（2）21.【分析】（1）只需要证明'30A DB B ∠=∠=︒，再根据等角对等边即可证明''A D A B =,再结合小明的分析即可证明；（2）作△ADC 关于AC 的对称图形AD'C ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则'D E =BE ．设'D E =BE=x ．在Rt △CEB 和Rt △CEA 中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】解：（1）证明：如下图，作△ADC 关于CD 的对称图形△A′DC ，∴A′D=AD ，C A′=CA ，∠CA′D=∠A=60°，∵CD 平分∠ACB ，∴A′点落在CB 上∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=30°，∴∠A′DB=∠CA′D-∠B=30°，即∠A′DB=∠B ，∴A′D=A′B ，∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.（2）如图，作△ADC 关于AC 的对称图形△AD′C ．∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，∵AC平分∠BAD，∴D′点落在AB上，∵BC=10，∴D′C=BC，过点C作CE⊥AB于点E，则D′E=BE，设D′E=BE=x，在Rt△CEB中，CE2=CB2-BE2=102-x2，在Rt△CEA中，CE2=AC2-AE2=172-（9+x）2．∴102-x2=172-（9+x）2，解得：x=6，∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1）中证明∠A′DB=∠B不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.27．（1）CD=8；（2）t=4；（3）12-=tvt(26t≤<)【分析】（1）作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=12BC，然后利用勾股定理求出AE，再用等面积法可求出CD的长；（2）①过B作BF⊥AC于F，易得BF=CD，分别讨论Q点在AF和FC之间时，根据△BQF≌△CPD，得到PD=QF，建立方程即可求出t的值；（3）同（2）建立等式关系即可得出关系式，再根据Q在FC之间求出t的取值范围即可.【详解】解：（1）如图，作AE⊥BC于E，∵AB=AC，∴BE=12BC=25在Rt△ABE中，()2222AE=AB BE=1025=45--∵△ABC的面积=11BC AE=AB CD 22⋅⋅∴BC AE4545 CD===8AB10⋅⨯（2）过B作BQ⊥AC，当Q在AF之间时，如图所示，∵△ABC的面积=11AC BF=AB CD22⋅⋅，AB=AC∴BF=CD在Rt△CPD和Rt△BQF中∵CP=BQ，CD=BF，∴Rt△CPD≌Rt△BQF（HL）∴PD=QF在Rt△ACD中，CD=8，AC=AB=10∴22AD=AC CD=6-同理可得AF=6∴PD=AD=AP=6-t，QF=AF-AQ=6-2t 由PD=QF得6-t=6-2t，解得t=0，∵t＞0，∴此种情况不符合题意，舍去；当Q 点在FC 之间时，如图所示，此时PD=6-t ，QF=2t-6由PD=QF 得6-t=2t-6，解得t=4，综上得t 的值为4.（3）同（2）可知v ＞1时，Q 在AF 之间不存在CP=BQ ，Q 在FC 之间存在CP=BQ ，Q 在F 点时，显然CP ≠BQ ，∵运动时间为t ，则AP=t ，AQ=vt ，∴PD=6-t ，QF=vt-6，由PD=QF 得6-t=vt-6，整理得12-=t v t， ∵Q 在FC 之间，即AF ＜AQ ≤AC∴610<≤vt ，代入12-=t v t得 61210<-≤t ，解得26t ≤< 所以答案为12-=t v t (26t ≤<) 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，熟练掌握勾股定理求出等腰三角形的高，利用全等三角形对应边相等建立方程是解题的关键.28．（1）1(491)2-；1(491)2+；（2）21(1)2n -；21(1)2n +；（3）21m -；21m +；（4）10；26； 12；35；【解析】【分析】（1）依据规律可得，如果勾为7，则股24=1(491)2-，弦25=1(491)2+；（2）如果勾用n （n≥3，且n 为奇数）表示时，则股=21(1)2n -，弦=21(1)2n +；（3）根据规律可得，如果a ，b ，c 是符合同样规律的一组勾股数，a=2m （m 表示大于1的整数），则b=m 2-1，c=m 2+1；（4）依据柏拉图公式，若m 2-1=24，则m=5，2m=10，m 2+1=26；若m 2+1=37，则m=6，2m=12，m 2-1=35．【详解】解：（1）依据规律可得，如果勾为7，则股24=1(491)2-，弦25=1(491)2+；故答案为：1(491)2-；1(491)2+；（2）如果勾用n （n≥3，且n 为奇数）表示时，则股=21(1)2n -，弦=21(1)2n +；故答案为：21(1)2n -；21(1)2n +；（3）根据规律可得，如果a ，b ，c 是符合同样规律的一组勾股数，a=2m （m 表示大于1的整数），则b=m 2-1，c=m 2+1；故答案为：m 2-1，m 2+1；（4）依据柏拉图公式，若m 2-1=24，则m=5，2m=10，m 2+1=26；若m 2+1=37，则m=6，2m=12，m 2-1=35；故答案为：10、26；12、35．【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形．29．（1）,CM ME CM EM =⊥；（2）见解析；（3）CM =【解析】【分析】(1)证明ΔFME ≌ΔAMH ，得到HM=EM ，根据等腰直角三角形的性质可得结论. （2）根据正方形的性质得到点A 、E 、C 在同一条直线上,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知. （3）如图3中，连接EC ，EM ，由（1）（2）可知，△CME 是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．【详解】解：（1）结论：CM ＝ME ，CM ⊥EM ．理由：∵AD ∥EF ，AD ∥BC ，∴BC ∥EF ，∴∠EFM ＝∠HBM ，在△FME 和△BMH 中，EFM MBH FM BMFME BMH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△FME ≌△BMH （ASA ），∴HM ＝EM ，EF ＝BH ，∵CD ＝BC ，∴CE ＝CH ，∵∠HCE ＝90°，HM ＝EM ，∴CM ＝ME ，CM ⊥EM ．（2）如图2，连接BD ，∵四边形ABCD 和四边形EDGF 是正方形，∴45,45FDE CBD ︒︒∠=∠=∴点B E D 、、在同一条直线上，∵90,90BCF BEF ︒︒∠=∠=，M 为BF 的中点， ∴12CM BF =，12EM BF =，∴CM ME =， ∵45EFD ∠=︒，∴135EFC ∠=︒，∵CM FM ME ==，∴,MCF MFC MFE MEF ∠=∠∠=∠∴135MCF MEF ∠+∠=︒，∴36013513590CME ∠=︒-︒-︒=︒，∴CM ME ⊥．（3）如图3中，连接EC ，EM ．由（1）（2）可知，△CME 是等腰直角三角形， ∵22EC 26210=+=∴CM ＝EM ＝25【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．30．（1）详见解析；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，证明详见解析；ⅱ）222133k k k k ++++. 【解析】【分析】（1）只要证明△BAE ≌△ACD ；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，只要证明BG=AE ，BG ∥AE 即可；ⅱ）求出四边形BGAE 的周长，△ABC 的周长即可；【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAE ＝∠C ＝60°，∵AE ＝CD ，∴△BAE ≌△ACD ，∴∠ABE ＝∠CAD ．（2）ⅰ）如图2中，结论：四边形AGBE 是平行四边形．理由：∵△ADG ，△ABC 都是等边三角形，∴AG ＝AD ，AB ＝AC ，∴∠GAD ＝∠BAC ＝60°，。

第11讲勾股定理与锐角三角函数(题型训练)【有答案】-【2022年】中考数学大复习(知识点·易错点

第11讲勾股定理与锐角三角函数题型一勾股定理1．（2021·福建·福州十八中九年级期中）若二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像与x 轴有两个交点A 和B ，顶点为C ，且b 2﹣4ac ＝12，则∠ACB 的度数为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【解析】解：令y ＝0，则ax 2+bx +c ＝0，∴x ＝2b a -，∴AB ＝|． ∵b 2﹣4ac ＝12，∴C （﹣2b a ，﹣3a）．∴AC ．由抛物线的对称性可知BC ＝， ∴AC ＝BC ＝AB ，∴∠ACB ＝60°．故选：C ．2．（2021·内蒙古呼和浩特·九年级期中）已知AB ，CD 是⊙O 的两条平行弦，AB ＝8，CD ＝6，⊙O 的半径为5，则弦AB 与CD 的距离为（）A ．1B ．7C ．4或3D ．7或1【答案】D【解析】①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图①，过点O 作OF ⊥CD ，垂足为F ，交AB 于点E ，连接OA ，OC ，∵AB ∥CD ，∴OE ⊥AB ，∵AB ＝8，CD ＝6，∴AE ＝4，CF ＝3，∵OA ＝OC ＝5，∴由勾股定理得：EO ＝2254-＝3，OF ＝2253-＝4，∴EF ＝OF ﹣OE ＝1；②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，如图②，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，反向延长OE 交AD 于点F ，连接OA ，OC ，EF ＝OF +OE ＝7，所以AB 与CD 之间的距离是1或7．故选：D ．3．（2021·河南·洛阳市洛龙区教育局教学研究室九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，连接EF ，G 是EF 的中点，连接DG ．在中，2BE =，，若将绕点B 逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段DG 长的最大值是（）A 67B ．217C ．10D ．12【答案】C【解析】解：如图，△ BEF 旋转到图中位置，连接BD 、BG ，∵在△BEF 中，∠EBF =90°，BE =2，∠BFE =30°，∴EF =2BE =4，BF 3，∵旋转前点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，∴AB =CD =4，BC 3∴BD =8.∵在Rt △BEF 中，点G 是EF 的中点，∴BG =12EF =2.在△BEF 的旋转过程中，BG 的长不变，∵在△DBG 中，BG+BD >GD ，∴当D ，B ，G 三点共线且B 点在D 、G 之间时，DG 最大，此时，DG=BG+BD =2+8=10，∴DG 的最大值为10.故选C.4．（2021·浙江·杭州市杭州中学九年级期中）如图，点C ，D 在以AB 为直径的⊙O 上，且CD 平分∠ACB ，若CD ＝23，∠CBA ＝15°，则AB 的长是（）A ．23B ．4C ．33D ．43【答案】B【解析】解：过点O 作OE CD ⊥交于点E ，连接OC ，则123CE DE CD ， ∵OC OB =，15CBA ∠=︒，∴，∵AB 是⊙O 的直径，∴，∵CD 平分ACB ∠，∴1452BCDACB ，∴，设OE =x ，则OC =2x ，在中，由勾股定理得， 222OC OE CE =+222(2)3x x =+ 2243x x =+233x =21x =解得11x =，21x =-（舍），∴OC =2，∴，故选B ．5．（2021·浙江台州·九年级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，点P 在△ABC 内一点，连接P A ，PB ，PC ，若∠BAP =∠CBP ，且AP =6，则PC 的最小值是（）A ．B ．3C ．3-3D ．【答案】D【解析】把△BPC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABP ’，连接PP ’则AP ’=PC ，BP =BP ’，∠PBP ’=90°，∠AP ’B =∠CPB故△PP ’B 是等腰直角三角形∴∠PP ’B =45°∵∠BAP =∠CBP∴∠BAP =∠ABP ’∴BP ’∥AP∴∠APB =90°当P ’、P 、C 在同一直线上，且AP ’⊥P ’C 时，AP ’最短∴∠AP ’B =90°+45°=135°∴∠P AP ’=180°-∠AP ’B =45°∴△APP ’是等腰直角三角形∴AP ’=6∴PC =AP故选D ．6．（2021·陕西师大附中九年级期中）如图所示，在边长为12的正方形中ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中点E 、F 、G 分别在线段AB 、BC 、FD 上，若3BF ，则小正方形的边长为（）A ．6B ．5C ．154D ．【答案】C【解析】解：在△BEF 与△CFD 中∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CFD ，∵BF ＝3，BC ＝12，∴CF ＝BC −BF ＝12−3＝9，又∵DF ＝222212915CD CF +=+=，∴BF EF CD DF =，即31215EF =， ∴154EF =，故选：C ．7．（2021·江西省临川第二中学九年级期中）如图，在Rt ABC △中，AB AC =，D ，E 是斜边BC 上两点，且，将绕点A 顺时针旋转90°后，得到AFB △，连接EF ，下列结论：①；②ACD ；③BE DC DE +=；④222BE DC DE +=．其中正确的是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】解：∵△ADC 绕A 顺时针旋转90°后得到△AFB ，∴△ABF ≌△ACD ，∴AF =AD ，∠CAD =∠BAF ，∵在直角三角形ABC 中，AB =AC ，∴∠BAC =90°，即∠CAD +∠BAD =90°，∴∠BAF +∠BAD =90°，即∠F AD =90°，∵∠DAE =45°，∴∠DAE =∠F AE =45°，在△AED 和△AEF 中， DA FA DAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AED ≌△AEF （SAS ），故①正确，∵AE 与AD 不一定相等，∴AE AD 不一定与1AB AC=相等 ∴△ABE 与△ACD 不一定相似，②错误；∵△AED ≌△AEF ，∴DE =EF ，由旋转可知：△ADC ≌△AFB ，∴BF =CD ，∵BE +BF ＞EF=DE ，∴BE +DC ＞DE ，③错误；∵在Rt △ABC 中，AB =AC ，∴∠BAC =90°，∠ABC =∠C =45°，由旋转可知：∠ABF =∠C =45°，∴∠EBF =90°，∴BE 2+BF 2=EF 2，∴BE 2+DC 2=DE 2，④正确；故选B ．8．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）九年级期中）如图，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，半径的圆，点P 的坐标为（2，2），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值为（）A ．8πB ．323πC ．8π﹣16D ．323π-【答案】D【解析】解：由题意当OP ⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，∵P （2，2），∴OP ，∵OA '=OB '=∴P A'=PB '= ，∴tan ∠A'OP =tan ∠B'OP ， ∴∠A'OP =∠B'OP =60°，∴∠A'OB'=120°，∴S阴=S 扇形OA'B'-S △A'OB''=()212042132462236023ππ-=-，故答案为：D ．9．（2021·福建省福州第十九中学九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 是对角线AC 上的两点，AB ＝EF ＝BC ，点G 是边AB 上的中点，连接GE 、DF ．当GE +DF 取最小值时，线段CF 的长是（）A ．1BC ．43D ．【答案】C【解析】解：取BC 的中点H ，连接GH 、HF 、HD ，∵在矩形ABCD 中， AB EF =BC ，∴BC =2，EF =BC =2，∴AC 4，∵点G 是边AB 上的中点，点H 是边BC 上的中点，∴GH =12AC =2，GH ∥AC ，∴GH = EF =2，GH ∥EF ，∴四边形EGHF 是平行四边形，∴EG =HF ，∴GE +DF = HF +DF ≥DH ，∴当H 、F 、D 共线时，GE +DF 有最小值，最小值为DH ，如图：在矩形ABCD 中，CH ∥AD ，CH =12BC =12AD ，∠DAC =∠HCF ，∴△CFH △AFD ，∴12CF CHAF AD ==，∵AC =4，∴CF =43，故选：C ．10．（2021·江苏·无锡市江南中学九年级期中）如图1，若△ABC 内一点P 满足∠P AC ＝∠PBA ＝∠PCB ，则点P 为△ABC 的布洛卡点，已知在等腰直角三角形DEF 中，如图2，∠EDF ＝90°，若点Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ EQ +FQ ＝（）A ．4B ．C ．D ．【答案】D【解析】解：如图2，在等腰直角△DEF 中，∠EDF =90°，DE =DF ， ∠1=∠2=∠3，∴∠1+∠QEF =∠3+∠DFQ =45°，∴∠QEF =∠DFQ ，且∠2=∠3，∴△DQF ∽△FQE ， ∴DQ FQ DF FQ QE EF ===∵DQ∴2,FQ EQ ==∴EQ +FQ =2+，故选：D ．11．（2021·广东·深圳市龙岗区百合外国语学校九年级期中）如图，在四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，∠BAE ＝∠ADC ，BE ＝CE ＝2，CD ＝5，AD ＝kAB （k 为常数），则BD 的长为____．（用含k 的式子表示）【解析】解：如图，连接AC ，∵AE ⊥BC ，BE ＝CE ＝2，∴BC =4，AE 垂直平分BC ，AB =AC ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转至△ACG ，如图所示，连接DG ，则AD =AG ，BD =CG ，由旋转的性质可得：∠BAC =∠DAG ，∵AB=AC，AD=AG，∴△ABC∽△ADG，∴AD DG AB BC=，∵AD＝kAB，∴DG=kBC=4k，∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，∴∠ABC+∠ADC=90°，∵△ABC∽△ADG，∴∠ABC=∠ADG，∴∠ADG+∠ADC=90°，即：∠CDG=90°，∴，∴．12．（2021·四川·中江县凯江中学校九年级期中）在⊙O中，AB、CD是两条弦，AB＝6，CD＝8，且AB∥CD，⊙O的半径为5，则AB、CD之间的距离是____．【答案】1【解析】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∵AB=6，CD=8，∴CE=4，AF=3，∵OA=OC=5，∴由勾股定理得：EO3=，OF4，∴EF=OFOE=1；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，过点O 作OE ⊥CD 于点E ，反向延长OE 交AB 于点F ，连接OA ，OC ，EF =OF +OE =7，所以AB 与CD 之间的距离是1或7．故答案为：1或7．13．在等边△ABC 中，AB ＝6，BD ＝4，点E 为AC 边上一个动点，连接DE ，将△CDE 沿着DE 翻折得到△FDE ，则点F 到AB 距离的最小值是_____．【答案】2【解析】解：如图，过点D 作DT AB ⊥于T ．ABC ∆是等边三角形，，6BC AB ==，90DTB ∠=︒，4BD =，2CD DF ∴==，sin 60DT BD =︒=观察图象可知，当点F 落在DT 上时，点F 到AB 距离的最小，最小值为2，故答案为：2．14．（2021·山东李沧·九年级期中）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，AD DGH 是AF 的中点，那么CH 的长是 __________________．【解析】如图，连接AC 、CF ，∵正方形ABCD 和正方形CEFG 中，AD =DG =2AC ∴=，CG =， 143CF ∴=，∠ACD ＝∠GCF ＝45°， ∴∠ACF ＝90°，由勾股定理得，2222142582()33AF AC CF =+=+=， ∵H 是AF 的中点，11258582233CH AF ∴==⨯=．故答案为：583． 15．（2021·浙江·温州市第四中学九年级期中）如图，在中，AD BC ⊥，BE AC ⊥交AD 于点F ，且BD AD =．（1）求证：．（2）若F 为AD 的中点，且1DC =．求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）5AC =【解析】（1）证：∵AD BC ⊥，BE AC ⊥，∴∠BDF =∠ADC =∠FEA =90°，∵∠AFB =∠CAD +∠FEA =∠FBD +∠BDF ，∴∠CAD =∠FBD ，在△BDF 和△ADC 中，∴；（2）∵，∴DF =DC ，∵F 为AD 的中点，1DC =，∴AD =2DF =2DC =2，∴在Rt △ADC 中，225AC AD DC =+=∴5AC =16．（2021·北京教育学院附属中学九年级期中）如图，点M ，N 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，且∠MAN ＝45°．把△ADN 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABE ．（1）求证：△AEM ≌△ANM ．（2）若BM ＝3，DN ＝2，求正方形ABCD 的边长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】（1）证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE，∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN，∠D＝∠ABE＝90°，∴∠ABC＋∠ABE＝180°，∴点E，点B，点C三点共线，∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠MAE＝∠BAE＋∠BAM＝∠DAN＋∠BAM＝45°，∴∠MAE＝∠MAN，∵MA＝MA，∴△AEM≌△ANM（SAS）．（2）解：设CD＝BC＝x，则CM＝x−3，CN＝x−2，∵△AEM≌△ANM，∴EM＝MN，∵BE＝DN，∴MN＝BM＋DN＝5，∵∠C＝90°，∴MN2＝CM2＋CN2，∴25＝（x−2）2＋（x−3）2，解得，x＝6或−1（舍弃），∴正方形ABCD的边长为6．17．（2021·天津河西·九年级期中）如图，已知BC为⊙O的直径，BC=5，AB=3，点A点B点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求BD，CD的长．．【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）CD BD【解析】解：（Ⅰ）连接OD，∵BC为直径，∴．在Rt CAB △中， 2222534AC BC AB =-=-=．（Ⅱ）∵ AD 平分CAB ∠，∴ ∠CAD =∠BAD ，∴CD BD =．在中，5BC =，222CD BD BC +=，∴ 522BD CD ==． 18．（2021·河南·永城市实验中学九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD 中，点,E F 分别在AB 和BC 上，4BE =．1AE BF ==，将绕点F 顺时针旋转，当点H 落在CD 边上时，得到GHF △．（1）求证：．（2）求,E H 两点之间的距离．【答案】（1）见解析；（2）34【解析】（1）将绕点F 顺时针旋转得到GHF △，，四边形ABCD 是正方形，1AE BF ==， 4CF BE ∴==，22(17)41CH ∴=-=，，在EBF △与FCH △中，，，；（2）如图，连接EH ，作EM CD ⊥交于点M ，，，225334EH ∴+19．（2021·四川江油·九年级期中）如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，6BC DE ==，8AC FE ==，顶点D 与边AB 的中点重合．（1）若DE 经过点C ，DF 交AC 于点G ，求重叠部分（DCG △）的面积：（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将绕点D 旋转，使DE AB ⊥交AC 于点H ，DF 交AC 于点G ，如图2，求DH 的长．【答案】（1）6；（2）154【解析】（1）∵，D 是AB 的中点，∴DC DB DA ==．∴∠B =∠DCB ．又∵ABC FDE △≌△，∴FDE B ∠=∠．∴．∴DG BC ∥．∴，∴DG AC ⊥．又∵DC DA =，∴G 是AC 的中点． ∴118422CG AC ==⨯=，116322DG BC ==⨯=． ∴1143622DCG SCG DG =⨯⋅=⨯⨯=．（2）如图2所示：∵ABC FDE △≌△，∴1B ∠=∠．∵90C ∠=︒，ED AB ⊥，∵，，∴2B ∠=∠，∴12∠=∠，∴GH GD =，∵，1390∠+∠=︒，∴3A ∠=∠，∴AG GD =，∴AG GH =，∴点G 为AH 的中点；在Rt ABC △中，10AB ==，∵D 是AB 中点， ∴152AD AB ==，连接BH ．∵DH 垂直平分AB ，∴AH BH =．设AH x =，则BH x =，8CH x =-，由勾股定理得：()22286x x -+=，解得254x =，∴154DH =． 20．（2021·北京师范大学第二附属中学西城实验学校九年级期中）如图，在△ABC 中，AC ＝ BC ，∠ACB ＝ 90°，D 是线段AC 延长线上一点，连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 于E ．（1）求证：∠CAE ＝∠CBD ；（2）将射线AE 绕点A 顺时针旋转45°后，所得的射线与线段BD 的延长线交于点F ，连接CE ． ①依题意补全图形；②用等式表示线段EF ，CE ，BE 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②EF BE =，见解析【解析】（1）如图1，∵，AE BD ⊥，∴，又∵12∠=∠，∴CAE CBD ∠=∠；（2）①补全图形如图2；②EF BE =.理由如下：在AE 上截取AM ，使AM BE =.又∵AC CB =，CAE CBD ∠=∠，∴ACM BCE ∆∆≌，∴CM CE =，，又∵，∴，∴ME =，又∵射线AE 绕点A 顺时针旋转45︒，后得到AF ，且，∴.题型二锐角三角函数1．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）已知在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＜∠A ，设sin B ＝n ，那么n 的取值范围是（）A ．0＜n ＜1B ．102n <<C ．0n <<D ．0n < 【答案】C【解析】解：在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＜∠A ，且，∴0°＜∠B ＜45°，∴0sin B <<，即0n << 故选C ．2．（2021·吉林·长春市净月实验中学九年级期中）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，下列三角函数表示正确的是（）A ．sin A ＝45B ．tan A ＝43C ．cos A ＝45D ．tan B ＝34【答案】C【解析】解：∵∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，∴BC3，∴sin A ＝35，故选项A 错误； tan A ＝34，故选项B 错误； cos A ＝45，故选项C 正确； tan B ＝43，故选项D 错误．故选：C ．3．（2021·安徽省马鞍山市第七中学九年级期中）如图，将AOB ∠放在正方形网格中，则cos AOB ∠的值为（）A ．B C ．2 D ．12 【答案】A【解析】解：如图所示，在直角三角形OBE 中，OE =2，BE =4，∠OEB =90°， ∴OB∴，故选A ．4．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC =3，AB ＝5，则cos A 的值为（）A ．35B ．43C ．34D ．45【答案】A 【解析】解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∴cos A ＝35AC AB =．5．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校九年级期中）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，下列四个三角比正确的是（）A ．sinA ＝AC AB B ．cosA ＝AD AC C ．tanA ＝CD BD D ．cosA ＝CD AD【答案】B【解析】解：因为∠ACB =90°，CD ⊥AB ，所以sinA BC AB =，cosA =AD AC AC AB =，tanA =CD AD ，故选：B ．6．（2021·陕西师大附中九年级期中）如图所示，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点C 沿对角线BD 折叠，点C 的对应点为E ，线段BE 交AD 于点F ，则tan EDF ∠的值为（）A ．724B ．C ．725D ．247【答案】A【解析】∵在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，∴AD =BC =4∵点C 沿对角线BD 折叠，得到△EDF∴DE =DC =AB又∠A =∠E =90°，∠AFB =∠EFD∴△ABF ≌△DEF ，∴BF =DF ，AF =EF设EF =x =AF ，则DF =4-x在Rt △DEF 中，DF 2=EF 2+DE 2即（4-x ）2=x 2+32解得x =78∴EF =78， ∴tan EDF ∠=778324EF DE ==7．已知a =3，且2(4tan 45)0b -°，则以a 、b 、c 为边长的三角形面积等于（） A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】A 【解析】解：∵2(4tan 45)0b -=°， ∴4tan 450,130,2b b c ︒-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 解得 4,5.b c =⎧⎨=⎩所以a =3，b =4，c =5，即222+=a b c ，∴∠C =90°，所以162S ab ==． 8．（2021·山东新泰·九年级期中）已知α是锐角，sin cos30α=︒，则α的值为（）A ．30°B ．60°C ．45°D ．无法确定【答案】B【解析】解：α是锐角，sin cos30α=︒，．故选：B ．9．（2021·浙江鄞州·九年级期末）角α，β满足045αβ<<<︒︒，下列是关于角α，β的命题，其中错误．．的是（）A．0sin α<<B ．0tan 1β<<C ．cos sin βα<D ．sin cos βα<【答案】C【解析】解：角α，β满足045αβ<<<︒︒，sin α随α的增大而增大，cos β随β的增大而减小， tan β随β的增大而增大， A.∵sin 45︒∴0<sin α<,选项A 正确，不合题意； B ．∵tan 45=1︒,∴0tan 1β<<,选项B 正确，不合题意；C．sin 45︒，cos 45︒，cos βα><，cos sin βα>，选项C 不正确，符合题意； D．sin 45︒，cos 45︒，cos αβ><sin cos βα<，选项D 正确，不符合题意．故选择：C ．10．（2021·四川乐山·中考真题）如图，直线1l 与反比例函数3(0)y x x=>的图象相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为点C ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．直线2l 过原点O 和点C ．若直线2l 上存在点(,)P m n ，满足，则m n +的值为（）A ．3B ．3或32C ．3+3D ．3【答案】A 【解析】根据题意，得3,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，33,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()1,3A ，()3,1B ∵直线2l 过原点O 和点C∴直线2l ：y x =∵(,)P m n 在直线2l 上∴m n =∴PC = 连接PA ，PB ，FB∴PA PB =，线段AB 的中点为点C∴()2,2C ，OC AB ⊥过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D∴()2,0D∴AD ==AB =BD = ∴222AD AB BD =+∴∴点A 、B 、D 、P 共圆，直线2l 和AB 交于点F ，点F 为圆心∴cos BD ADB AD ∠== ∵AC BC =，12FB FA AD ==∴12BFC AFB ∠=∠ ∵，且12APB AFB ∠=∠ ∴∴cos cos FC APB BFC FB ∠=∠===∴FC ∴或当时，APB ∠和ADB ∠位于直线AB 两侧，即∴不符合题意∴PC PF FC =+=2m < ∴)2PC m ==-，∴)2m -=∴32m =∴23m n m +==故选：A ．11．（2021·山东·潍坊市寒亭区教学研究室九年级期中）在Rt ABC 中，90C ∠=︒，1sin 3A =，2BC =，则AC =______．【答案】【解析】解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∵1sin 3BC A AB==，又∵BC =2，∴AB =6，∴，故答案为：12．（2021·上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图，折线AB ﹣BC 中，AB ＝3，BC ＝5，将折线AB ﹣BC 绕点A 按逆时针方向旋转，得到折线AD ﹣DE ，点B 的对应点落在线段BC 上的点D 处，点C 的对应点落在点E 处，连接CE ，若CE ⊥BC ，则tan ∠EDC ＝_________________．【答案】247【解析】解：如图，连接AC ，AE ，过点A 作AF ⊥BC 于F ，作AH ⊥EC 于H ，∵CE ⊥BC ，AF ⊥BC ，AH ⊥EC ，∴四边形AFCH 是矩形，∴AF ＝CH ，∵将折线AB ﹣BC 绕点A 按逆时针方向旋转，得到折线AD ﹣DE ，∴AD ＝AB ＝3，BC ＝DE ＝5，∠ABC ＝∠ADE ，∴△ABC ≌△ADE （SAS ），∴AC ＝AE ，∵AC ＝AE ，AB ＝AD ，AF ⊥BC ，AH ⊥EC ，∴BF ＝DF ，CH ＝EH ，∵AB 2＝AF 2＋BF 2，DE 2＝DC 2＋CE 2，∴9＝AF 2＋BF 2，25＝（5﹣2BF ）2＋4AF 2，∴BF ＝95，AF ＝125， ∴EC ＝2CH ＝2AF ＝245，CD ＝5﹣2×95＝75， ∴tan ∠EDC ＝EC CD ＝247，故答案为：247．13．（2021·重庆南开中学九年级期中）计算：02tan 45)π+︒＝___．【答案】3【解析】解：原式＝2×1+1＝2+1＝3，故答案为：3．14．若三个锐角,,αβγ满足sin 48,cos 48,tan 48αβγ===，则,,αβγ由小到大的顺序为________________．【答案】βαγ<<【解析】解：根据锐角三角函数的性质可得：cos48°=sin42°,sin42°<sin48°<1,tan45°<tan48°,tan45°=1，∴cos48°<sin48°<1<tan48°，∴β<α<γ，故答案为β<α<γ．15．（2021·福建·泉州五中九年级期中）如果α是锐角，且22sin cos 481α+︒=，那么α= _________度【答案】48【解析】∵α是锐角，22sin cos 481α+︒=，又∵22sin cos 1αα+=，∴α=48°．故答案是48．16．（2021·陕西·西北工业大学附属中学九年级阶段练习）如图，在边长为4的正方形ABCD 内有一动点P ，且BP ．连接CP ，将线段PC 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ．连接CQ 、DQ ，则12DQ +CQ 的最小值为 ___．【答案】5【解析】解：如图，连接AC 、AQ ，∵四边形ABCD 是正方形，PC 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，∴∠ACB ＝∠PCQ ＝45°，∴∠BCP ＝∠ACQ ，cos ∠ACB ＝BC AC cos ∠PCQ ＝PC QC = ∴∠ACB =∠PCO ，∴△BCP ∽△ACQ ，∴AQ BP =∵BP ，∴AQ ＝2，∴Q 在以A 为圆心，AQ 为半径的圆上，在AD 上取AE ＝1， ∵12AE AQ =，12AQ AD =，∠QAE ＝∠DAQ ， ∴△QAE ∽△DAQ ， ∴12EQ QD =即EQ ＝12QD ， ∴12DQ +CQ ＝EQ +CQ ≥CE ，连接CE ， ∴5CE =， ∴12DQ +CQ 的最小值为5．故答案为：5．17．（2021·河北·广平县第二中学九年级期中）（1）（1﹣sin45°）0﹣tan60°＋．（2）cos30°﹣3tan60°﹣2sin45°•cos45°．【答案】（1）（2）1．【解析】解：（1）（1﹣sin45°）0﹣tan60°＋，，（2）cos30°﹣3tan60°﹣2sin45°•cos45°，3222-⨯，1-，=1．18．（2021·四川·（﹣2014）0﹣（12）−2＋|2sin45°﹣2|．【答案】−2（﹣2014）0﹣（12）﹣2＋|2sin45°﹣2|4＋＝−2．19．（2021·广东·佛山市华英学校九年级期中）计算：tan60cos30 2sin60tan45-︒-︒︒︒【答案】3 2【解析】解：tan60cos30 2sin60tan45--1-3=2．20．（2021·吉林·长春市净月实验中学九年级期中）图①、图②均是边长为1的小正方形组成的5×5网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）（1）在图①中的线段AB上画出点M，使AB＝3AM．（2）在图②中作出△ABN，使点N在格点上，且tan∠BAN＝12．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】解：（1）如图，点M即为所求．（2）如图，点N即为所求．BN=AN=AB=∵222BN AN AB+=,∴△ABN是直角三角形，且∠ANB=90°，∴1tan2BNBANAN∠===．21．如图所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，DC ⊥AC ，且∠BCD ＝30°，求∠CDA 的正弦值、余弦值和正切值．【答案】sin CDA ∠=cos 7CDA ∠=，tan CDA ∠= 【解析】解：过D 作DE ∥AC ，交BC 于点E ．∵AD ＝BD ，∴CE ＝EB ，∴AC ＝2DE ．又∵ DC ⊥ AC ，DE ∥AC ，∴DC ⊥DE ，即∠CDE ＝90°．又∵∠BCD ＝30°，∴EC ＝2DE ，DC ．设DE ＝k ，则CD ，AC ＝2k ．在Rt △ACD 中，．∴sinAC CDA AD ∠==cos CD CDA AD ∠===tanAC CDA CD ∠==22．（2021·上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图1，已知在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝tan ∠ABC ＝3，BF ⊥AC ，垂足为F ．点D 是边AB 上一点（不与A ，B 重合）．（1）求边BC 的长；（2）如图2，联结DF ，DF 恰好经过△ABC 的重心，求线段AD 的长；（3）过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，DE 交BF 于点Q ．联结DF ，如果△DQF 和△ABC 相似，求线段BD 的长．【答案】（1）10；（2（3）BD BD 【解析】解（1）如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ，∴∠AHB ＝90°，∵AB ＝AC ＝∴BC ＝2BH ，在Rt △AHB 中，tan ∠ABC ＝AH BH＝3， ∴AH ＝3BH ，根据勾股定理得，AH 2＋BH 2＝AB 2，∴（3BH ）2＋BH 2＝（2，∴BH ＝5，∴BC ＝2BH ＝10；（2）∵BC ＝10，tan ∠ABC ＝3，∴CF BF ＝2，作BN ⊥BC ，CM ⊥BC ，∵G 为重心，∴AG ＝10，GH ＝5，∵AH ⊥BC ，CM ⊥BC∴CM AG ∥，∴∠ACM =∠CAG ，∠GMC =∠AGM∴△CMF ∽△AGF 则CM CF AG AF =＝14， ∴CM ＝14AG ＝52， ∵AH ⊥BC ，CM ⊥BC ，BN ⊥BC∴CM AG BN ∥∥∴∴G 为MN 中点∴HG 为梯形CMNB 的中位线，∴BN ＝2GH ﹣CM ＝152， ∵NB AG ∥，∴∠DAG =∠NBD ,∠AGD =∠BND∴△ADG ∽△BDN ∴43AD AG BD BN ==，∴AD ＝47AB （3）∵BF ⊥AC ，DE ⊥BC ，∴∠BFC ＝∠DEB ＝90°，∴∠BQE ＝∠ACB （同角的余角相等）∵∠BQE ＝∠DQF ，∴∠DQF ＝∠ACB∵△DQF 和△ABC 相似，∴或DQ FQ BC AC=， ∵tan ∠BQE ＝tan ∠ACB ＝tan ∠ABC ＝3， ∴3BE QE =，3DE BE= 设QE ＝x ，BE ＝3x ，则DE ＝9x ，∴BQ BD ＝DQ ＝8x ，∵BF ＝3CF ＝∴QF ＝，（ⅰ解得x ＝1513，∴BD ＝（ⅱ）当DQ FQ BC AC =时，则，810x = 解得x 35=，∴BD ＝=，综上所述，BD BD 23．（2021·北京市第三中学九年级期中）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AC 上一点（与点A ，C 不重合），连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 的延长线于E ．（1）①在图中作出△ABC 的外接圆⊙O ，并用文字描述圆心O 的位置；②连接OE ，求证：点E 在⊙O 上；（2）①延长线段BD 至点F ，使EF ＝AE ，连接CF ，根据题意补全图形；②用等式表示线段CF 与AB 的数量关系，并证明．【答案】（1）①见祥解，圆心O 在斜边AB 的中点；②见详解；（2）①见详解；②AB ，见详解．【解析】解：（1）①作AC 的垂直平分线GH 与AB 的交点O 为圆心O ，以点O 为圆心，以OA 为半径画圆，则⊙O 是△ABC 的外接圆，∵GH 为AC 的垂直平分线，OI ⊥AC ，AI =CI ，∠ACB =90°，连OC ，∴IO ∥CB ， ∴1AI AO IC OB==， ∴AO =OB ，∴点O 为AB 中点，∴OC 为斜边中线，∴OC =OA =OB ，∴⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在斜边AB 的中点；②∵AE ⊥BD ，AO=BO ，∴OE 为斜边中线，∴OE =OA =OB ，∴点E 在⊙O 上；（2）①延长线段BD 至点F ，使EF ＝AE ，连接CF ，如图；②AB ，理由如下：∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴∠BAC =∠ABC =()1180452ACB ︒-∠=︒， ∴∠CEB =∠CAB =45°，∴∠AEC =∠CEB +∠AEB =45°+90°=135°，∴∠FEC =180°-∠CEB =180°-45°=135°=∠AEC ，在△FEC 和△AEC 中，FE AE FEC AEC EC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FEC ≌△AEC （SAS ），∴FC =AC∵AC =AB sin45°AB ， ∴FC =ACAB ，∴AB ．24．（2021·陕西·西安高新第一中学初中校区九年级期中）问题提出：西安市为迎接“十四运”计划实施扩大城市绿化面积．现有一块四边形空地（如图2，四边形ABCD ）需要铺上草皮，但由于规划图纸被污损，仅能看清两条对角线AC ，BD 的长度分别为40cm ，30cm 及夹角∠BEC ＝60°，你能利用这些数据，帮助工作人员求出这块空地的面积吗？建立模型：我们先来解决较为简单的三角形的情况．（1）如图1，△ABC 中，D 为AB 上任意一点（不与A ，B 两点重合），连接CD ，CD ＝a ，AB ＝b ，∠ADC ＝α（α为CD 与AB 所夹的锐角），则△ABC 的面积为．（用a ，b ，α表示）问题解决：请你解决工作人员的问题．（2）如图2，四边形ABCD 中，E 为对角线AC ，BD 的交点，已知AC ＝40cm ，BD ＝30cm ，∠BEC ＝60°，求四边形ABCD 的面积．（写出必要的解答过程）新建模型：（3）若四边形ABCD 中，E 为对角线AC ，BD 的交点，已知AC ＝a ，BD ＝b ，∠BEC ＝α（α为AC 与BD 所夹的锐角），直接写出四边形ABCD 的面积为．（用a ，b ，α表示）模型应用：（4）如图3，四边形ABCD 中，AD +BC ＝AB ，∠BAD ＝∠ABC ＝60°．已知BD ＝a ，求四边形ABCD 的面积．（“新建模型”中的结论可直接利用）【答案】（1）12ab sinα；（2）2；（3）12ab sinα；（4）a 2．【解析】解：（1）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，如图1所示：∴△CMD为直角三角形．又∵∠ADC＝α，∴sinα＝CMCD，∴CM＝CD•sinα，∴S△ABC＝12AB•CM＝12AB•CD•sinα＝12ab sinα，故答案为：12ab sinα；（2）过点D作DF⊥AC于F，过点B作BN⊥AC于N，如图2所示：∵∠BEC＝60°，∴∠AED＝60°，同（1）得：S△ACD＝12AC•DE•sin60°＝AC•DE，S△ABC＝12AC•BE•sin60°＝AC•BE，∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝AC•DE+AC•BE＝AC（DE+BE）＝AC•BD＝×40×30＝cm2）；（3）如图2，过点D作DF⊥AC于F，过点B作BN⊥AC于N，∵∠BEC＝α，∴∠AED＝α，同（1）得：S△ACD＝12AC•DE•sinα，S△ABC＝12AC•BE•sinα，∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABD＝12AC•DE•sinα+12AC•BE•sinα＝12AC•（DE+BE）•sinα＝12AC•BD•sinα＝12ab sinα，故答案为：12ab sinα；（4）在AB上取BG＝BC，连接DG、AC、CG，AC分别交DG、BD于H、P，如图3所示：∵AD+BC＝AB，AG+BG＝AB，∴AD＝AG，∵∠BAD＝∠ABC＝60°，∴△ADG与△BCG均为等边三角形，∴DG＝AG，CG＝BG，∠AGD＝∠BGC＝60°，∴∠DGC＝60°＝∠BGC，∴∠AGC＝∠DGB＝120°，∴△AGC ≌△DGB （SAS ），∴AC ＝BD ，∠GAC ＝∠GDB ，∵∠DHC ＝∠AHG ，∴∠DPH ＝∠AGD ＝60°，∴S 四边形ABCD ＝12•a •a •sin60°＝12•a •a •＝a 2．题型三解直角三角形1．如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知折痕AE =10m ，且tan ∠CEF =43，那么矩形ABCD 的面积为（）cm ；A ．280B ．300C ．320D ．360【答案】C【解析】解：在Rt △EFC 中，tan ∠CEF=CF CE =43， ∴设3CE k =，则4CF k =，根据勾股定理得到5EF k =，由折叠的性质知，∴8DC AB k ==，∵，，∴，∴，∴6BF k =，，在Rt AEF 中，由勾股定理可得：，∴2k =，∴，20BC =，∴矩形ABCD 的面积为；故选C ．2．（2021·重庆八中九年级期中）如图，垂直于地面的通信基地AB 建在陡峭的山坡BC 上，该山坡的坡度i ＝1：2.4．小明为了测得通信基地AB 的高度，他首先在C 处测得山脚与通信基地AB 的水平距离CD ＝156米，然后沿着斜坡走了52米到达E 处，他在E 处测得通信基地顶端A 的仰角为60°，则通信基地AB 的高度约为（）≈1.414）A ．136米B ．142米C ．148米D ．87米【答案】B【解析】解：如图，作EH ⊥CD 于H ，EF ⊥AD 于F ．在Rt △ECH 中，∵EH ：CH ＝1：2.4，EC ＝52m ，设EH=x ，则CH =2.4x ，222EH CH EC +=，即()2222.452x x +=，解得x=20(负值舍去)，∴EH ＝DF ＝20m ，CH ＝48m ，∴EF ＝DH ＝CD ﹣CH ＝156﹣48＝108m ，在Rt △AEF 中，∵∠AEF ＝60°，∴AF ＝EF •tan60°＝∴AD ＝AF +DF ＝m ，在Rt △BCD 中，∵BD ：CD ＝1：2.4，∴BD ＝65m ，∴AB ＝AD ﹣BD ＝207﹣65＝142m ，故选：B ．3．如图，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则sin B 的值是（）A B ． C D 【答案】D【解析】解：如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∵ ∠BAC ＝120°，∴ ∠CAD ＝60°，又∵ AC ＝2，∴ AD ＝1，CD∴ BD ＝BA +AD ＝5，在Rt △BCD 中，BC =∴ sin CD B BC ==．故选：D ．4．（2021·天津河西·九年级期中）如图，在⊙O 中，点A ，B 在圆上，∠AOB =120°，弦AB 的长度为则半径OA 的长度为（）A ．B ．4C ．D ．【答案】B【解析】过点O 作OD ⊥AB ，垂足为D ，∵OA =OB ，∠AOB =120°，AB∴AD =BD =12AB ∠AOD =60°， ∵AD OA =sin ∠AOD = sin 60°=， ∴OA ==4，故选B ．5．（2021·山东东昌府·九年级期中）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD ，AE ，DF 为梯形的高，其中迎水坡AB 的坡角α=45°，坡长AB =米，背水坡CD 的坡度i =则背水坡的坡长CD 为（）米．A ．20B ．C ．10D ．【答案】A【解析】解：∵迎水坡AB 的坡角α=45°，坡长AB 米，∴AE sin45°=10（米），∴DF =AE =10，∵背水坡CD 的坡度i =1∠DFC =90°，∴tan ∠C =DF FC = ∴∠C =30°，∴DC=2DF=2AE=20（米），故选A．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A．1 B．1.2 C．3 D．5【答案】B【解析】解：如下图：以点F为国心，以2为半径作圆F，过点F作AB的垂线，垂足为Q，FQ交圆F于P0，故点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FQ⊥AB时，点P到AB的距离最短，在Rt△AFQ和Rt△ABC中，∵sin∠A=FQAF，sin∠A=BCAB，∴FQAF=BCAB，∵AC＝6，BC＝8，CF＝2，∴AB=10，∴8 410 FQ=，∴FQ=3.2，∵FP0=2，∴P0Q=3.2-2=1.2．故选：B．7．（2021·山东沂源·九年级期中）在Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，tan A＝_________．【答案】3 4【解析】如图，∵Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，∴∠C=90°，AC，∴tanA =68BC AC ==34，故答案为：34． 8．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝60°，则△ABC 的面积是 ___．【答案】123【解析】解：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，在Rt ABD △中，sin AD B AB =，即3sin 6062AD =︒=，解得33AD =，则的面积是1183312322BC AD ⋅=⨯⨯ 故答案为：39．（2021·浙江·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）如图，在菱形ABCD 中，tan ∠DAB ＝43，AB ＝3，点P 为边AB 上一个动点，延长BA 到点Q ，使AQ ＝2AP ，且CQ 、DP 相交于点T ．当点P 从点A 开始向右运动到点B 时，求点T 运动路径的长度为__________．385 【解析】解：连接AT 并延长交CD 于N ，如图：∵CD ∥BQ ，∴AP DN＝AT NT ＝AQ CN ， ∴ AP AQ ＝12＝DN CN ， ∴点N 是CD 上靠近D 的三等分点，∴点T 在线段AN 上运动，当P 从点A 开始向右运动到点B ，即P 与B 重合时，如图：点T 运动路径即为AT ，过D 作DH ⊥AB 于H ，过T 作TM ⊥AB 于M ，在Rt△ADH中，tan∠DAB＝43，设DH＝4k，则AH＝3k，AD＝5k，∵AD＝AB＝3，∴5k＝3，∴k＝35，∴DH＝125，AH＝95，∴BH＝AB﹣AH＝65，∵DTPT＝CDPQ＝APAP AQ+＝13，∴PTPD＝34，∵DH⊥AB，TM⊥AB，∴TM∥DH，∴PTPD＝TMDH＝BMBH，即34＝125TM＝65BM，∴TM＝95，BM＝910，∴AM＝AB﹣BM＝21 10，在Rt△ATM中，AT，．10．（2021·广东·广州六中九年级期中）如图，△ABCAB＝AC，∠BAC＝120°，P为⊙O中优弧BC上一点，连接P A，PB，PC，则P A+PB+PC的最大值___．【答案】6+【解析】延长PC至F，使CF＝BP，连接AF，∵四边形ABPC是圆内接四边形，∴∠ACF＝∠ABP，在△ACF和△ABP中，AC AB ACF ABP CF BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF ≌△ABP （SAS ），∴AF ＝AP ，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠ABC ＝30°，∴∠APC ＝30°，过点A 作AE ⊥PF 于E ，∵AF =AP ，∴△APF 是等腰三角形，则PF ＝2PE ，在Rt △AEP 中，cos ∠APC ＝PE AP， ∴PE ＝AP •cos ∠APC ＝AP •cos 30°＝ AP ，∴PF ＝2PE，∵PF ＝PC ＋CF ＝PC ＋BP，即PC ＋PB，∴P A +PB +PC =（AP而AP 为⊙O∴AP 最大＝∴P A +PB +PC 的最大值为（×故答案为：．11．（2021·山东泰山·九年级期中）在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了学校旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC 为4米，落在斜坡上的影长CD 为3.8米，AB ⊥BC ，同一时刻，光线与水平面的夹角为60°，1米的竖立标杆PQ 在斜坡上的影长QR 为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1）．【答案】旗杆的高度约为8.8米【解析】解：如图，过C 作CM ∥AB 交AD 于点M ，过M 作MN ⊥AB 于点N ．则四边形BCMN 是矩形，∴MN ＝BC ＝4米，BN ＝CM ，由题意得：CM PQ CD QR =，即13.82CM =，解得：CM ＝1.9（米），在Rt △AMN 中，∠ANM ＝90°，MN ＝BC ＝4米，∠AMN ＝60°，∴tan60°＝AN MN ＝4AN∴AN ＝．∵BN ＝CM ＝1.9米，∴AB ＝AN +BN ＝（米），答：旗杆的高度约为8.8米．12．（2021·广东·佛山市华英学校九年级期中）全球最长跨海大桥——港珠澳大桥连接香港、澳门、珠海三地，总长55千米．大桥某段采用低塔斜拉桥桥型，图2是从图1引申出的平面图．假设你站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30，拉索CD 与水平桥面的夹角是60︒，两拉索顶端的距离BC 为2米，两拉索底端距离AD 为20米，请求出立柱BH 的长．（结果精确到0.1 1.732）．【答案】立柱BH 的长约为16.3米【解析】解：设DH 的长为x 米，由题意得∠AHB =90°，∵∠CDH =60°，∠AHB =90°，∴米∴()2BH CH BC =+=米，∵∠A =30°，∴米，∵AH=AD+DH，∴320=+，x x∴10x=∴米，答：立柱BH的长约为16.3米．13．（2021·山东阳谷·九年级期中）如图，小杰在高层楼A点处，测得多层楼CD最高点D的俯角为30°，小杰从高层楼A处乘电梯往下到达B处，又测得多层楼CD最低点C的俯角为10°，高层楼与多层楼CD之间的距离为CE，已知AB＝CE＝30米，求多层楼CD的高度．（结果精确到1米），sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）【答案】18米【解析】解：如图所示，延长CD至F点，使得AF⊥CD，则四边形AECF为矩形，AF=CE=30，AE=CF，由题意，∠F AD=30°，在Rt△ADF中，，∵在B处测得最低点C的俯角为10°，∴∠BCE=10°，在Rt△BCE中，，∵AE=CF，∴AB+BE=DF+CD，即：30+5.4CD=，∴米，∴CD的高度约为18米．14．（2021·浙江·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1AB＝12米，AE＝24米.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：2 1.41≈，3≈1.73，sin53°≈45，34cos53,tan 5353︒︒≈≈）（1）求点B 距水平地面AE 的高度；（2）求广告牌CD 的高度．【答案】（1）点B 距水平地面AE 的高度为6米；（2）广告牌CD 的高约8.4米【解析】解：（1）如图，过点B 作BM AE ⊥，BN CE ⊥，垂足分别为M N 、，由题意可知，45CBN ∠︒＝，53DAE ∠︒＝，13i ＝：，12AB ＝米，24AE ＝米，∵13BM i tan BAM AM∠＝：＝＝， ∴30BAM ∠︒＝，∴162BM AB ＝＝（米），即点B 距水平地面AE 的高度为6米；（2）在中，∴162NE BM AB ＝＝＝（米）， 3632AM AB ＝＝（米）， ∴()6324ME AM AE ++＝＝米，∵45CBN ∠︒＝，∴()6324CN BN ME +＝＝＝米，∴()6330CE CN NE ++＝＝米，在中，53DAE ∠︒＝，24AE ＝米， ∴4·5324323DE AE tan ︒≈⨯＝＝（米）， ∴CD CE DE -＝33032-＝32＝8.4≈（米）答：广告牌CD的高约8.4米．15．（2021·山东任城·九年级期中）如图，在小山的东侧A庄，有一热气球，由于受西风的影响，以每分钟35m的速度沿着与水平方向成75°角的方向飞行，40min时到达C处，此时气球上的人发现气球与山顶P点及小山西侧的B庄在一条直线上，同时测得B庄的俯角为30°．又在A庄测得山顶P的仰角为45°，求A庄与B≈1.4≈2.45，结果精确到个位）．【答案】A庄与B庄的距离是1960米，山高是735米．【解析】如图，过点A作AD BC⊥于D，△中，，在Rt ACDAC＝35×40＝1400（米），则（米）．△中，∠B＝30°，在Rt ABD∴（米）．过点P作PE AB⊥，垂足为E，则AE＝PE•tan45°＝PE，BE＝PE•tan60°，∴，∴)1PE=PE=≈．解得：700735综上可得：A庄与B庄的距离是1960米，山高是735米．16．（2021·山东任城·九年级期中）测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°．若已知旗杆的高度AB＝5米，求建筑物BC的高度．（参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）【答案】建筑物BC的高度为25米．【解析】设BC＝x米，则AC＝（x+5）米，在Rt△BDC中，∠BDC＝45°，∴DC＝BC＝x米，在Rt△ADC中，tan∠ADC＝ACDC，即5xx+＝1.2，解得：x＝25，答：建筑物BC的高度为25米．17．（2021·上海交通大学附属第二中学九年级期中）交大二附中地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点．点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB＝143°，AB＝AE＝1.2米，（1）求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到真线BC的距离）．（2）为了增加安全性，在保持车辆经过时栏杆EF段距离地面的高度不变的前提下．在图2中把连接点向右移动．若移动后∠EAB减小16°，则改进后栏杆平行地面时，图1中E向右移动的距离是多少？（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin37°＝0.60，cos 37°＝0.80，tan 37°＝0.75）【答案】（1）2.2米；（2）0.6米【解析】解：（1）如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．∵∠EAB=143°，∠BAG=90°，∴∠EAH=∠EAB-∠BAG=53°．在△EAH中，∠EHA=90°，∠AEH=90°-∠EAH=37°，AE=1.2米，∴EH=AE•cos∠AEH≈1.2×0.80=0.96（米），∵AB=1.2米，∴栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH≈1.2+0.96=2.16≈2.2（米）．故栏杆EF段距离地面的高度约为2.2米．（2）把连接点E向右移动到E'，连接A E',过点E'作E K AG'⊥,垂足为K，∴∴四边形EHKE'是矩形，∴EE HK'=，米∵∠EAH= =53°，．∴。

中考数学勾股定理知识点-+典型题含答案

中考数学勾股定理知识点-+典型题含答案一、选择题1．如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接B ，D 和B ，E ．下列四个结论：①BD =CE ，②BD ⊥CE ，③∠ACE +∠DBC=30°，④()2222BE AD AB =+．其中，正确的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4 2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a ＋b ）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A ．3B ．4C ．5D ．6 3．如果直角三角形的三条边为3、4、a ，则a 的取值可以有（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．以线段a 、b 、c 的长为边长能构成直角三角形的是（） A ．a =3，b=4，c=6B ．a =1，b=2，c=3C ．a =5，b=6，c=8D ．a =3，b=2，c=55．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝7，∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，则点D 到AB 的距离是（）A．3 B．4 C．7(21)-D．7(21)+6．下列命题中，是假命题的是( )A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形C．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形7．如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（）A．6 B．32πC．2πD．128．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A．B．C．D．9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（）A．3 B．5 C．4.2 D．410．如图，正方体的棱长为4cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（）A．9 B．210C．326+D．12二、填空题11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是_________．12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝12，BC＝5，D是AB边上的动点，E 是AC边上的动点，则BE＋ED的最小值为．∠+∠=__________°（点A，B，C是13．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB网格线交点）．14．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A对应的点B就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.15．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=_____.16．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________17．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =4，斜边AB 的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，连接AD ，线段CD 的长为_________．18．如图，E 为等腰直角△ABC 的边AB 上的一点，要使AE ＝3，BE ＝1，P 为AC 上的动点，则PB ＋PE 的最小值为____________．19．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在ABC 内，AD 平分BAC ∠，连结CD ，把ADC 沿CD 折叠，AC 落在CE 处，交AB 于F ，恰有CE AB ⊥.若10BC =，7AD =，则EF =__________.20．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方行ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH,已知AM为Rt△ABM的较长直角边，AM＝7EF，则正方形ABCD的面积为_______.三、解答题21．如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．22．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，∠ABC=70°，∠BAC=40°，∠ACD=∠ADC=80°，求证：四边形ABCD是邻和四边形．（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A、B、C三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D．，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为邻和四边形．（3）如图3，△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3D，使四边形ABCD是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．23．如图，将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动，当点E 、F 其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点E 的运动时间为t :（秒）（1）OE =_________，OF =___________（用含t 的代数式表示）（2）当1t =时，将OEF ∆沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标及直线DE 的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 是射线DB 上的任意一点，过点M 作直线DE 的平行线，与x 轴交于N 点，设直线MN 的解析式为y kx b =+，当点M 与点B 不重合时，设MBN ∆的面积为S ，求S 与b 之间的函数关系式．24．如图，ABC ∆是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =；（2）延长BD 与EF 交于点G ．①如图2，求证：60BGE ∠=︒；②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=︒=，则BCG ∆的面积为______________．25．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值.②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积.26．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);(2)证明勾股定理;(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2a b +的值.27．2ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .①求证：BE EF =;②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.28．已知n 组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．29．（知识背景）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．（应用举例）观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时，股14(91)2=-，弦15(91)2=+；勾为5时，股112(251)2=-，弦113(251)2=+；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股24＝弦25＝（2）如果勾用n （3n ≥，且n 为奇数）表示时，请用含有n 的式子表示股和弦，则股＝，弦＝．（解决问题）观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：（3）如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数，2a m =（m 表示大于1的整数），则b = ，c = ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组：、24、：第二组：、、37．30．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证：四边形AFCE 为菱形．（2）如图1，求AF 的长．（3）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，点P 的速度为每秒1cm ，设运动时间为t 秒．①问在运动的过程中，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t 和点Q 的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q 的速度为每秒0.8cm ，当A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】①由AB=AC ，AD=AE ，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得出三角形ABD 与三角形ACE 全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE ；②由三角形ABD 与三角形ACE 全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD 垂直于CE ；③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°； ④由BD 垂直于CE ，在直角三角形BDE 中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．【详解】解：如图，① ∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，即∠BAD=∠CAE ，∵在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴BD=CE ，故①正确；②∵△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD=∠ACE ，∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°， ∴∠BDC=90°，∴BD ⊥CE ，故②正确；③∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵∠ABD=∠ACE∴∠ACE+∠DBC=45°，故③错误；④∵BD ⊥CE ，∴在Rt △BDE 中，利用勾股定理得BE 2=BD 2+DE 2，∵△ADE 为等腰直角三角形，∴AE=AD ，∴DE 2=2AD 2，∴BE 2=BD 2+DE 2=BD 2+2AD 2，在Rt △BDC 中，BD BC <，而BC 2=2AB 2，∴BD 2<2AB 2，∴()2222BE AD AB<+故④错误，综上，正确的个数为2个．故选：B ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 2．C解析：C【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知2()a b + =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。

八年级数学下册勾股定理中考考点梳理及练习(含答案) 试题

轧东卡州北占业市传业学校第18章勾股定理-中考链接趋势一直接运用勾股定理求线段长度的计算题1．〔•2021，•〕•假设电视机屏幕为矩形长为52cm， “某个电视机屏幕大小是65cm〞的含义是矩形对角线长65cm，如图1•所示•，•那么该电视机屏幕的高•CD•为_____cm．图1 图2 图32．〔2021，〕如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，CE=3cm，AB=8cm，那么图中阴影局部面积为_______．3．〔2021，〕等腰直角三角形的斜边长为2，那么此三角形直角边的长为_____．4．〔2021，〕如果直角三角形的斜边与一条直角边长分别是25cm和15cm，那么这个直角三角形的面积是______．5．〔2021，〕要在旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以旁为x轴，建立了如图3所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为〔0，3〕，B点的坐标为〔6，5〕，•那么从A，B两点到奶站距离之和的最小值是_____．6．〔2021，宁夏〕如下列图，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC•于M，交AB于N，假设AC=4，MB=2MC，求AB的长．7．〔2021，〕如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD•上的点B′处，点A落在点A′处．〔1〕求证：BE′=BF；〔2〕设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．答案1．39 2．30cm 3 4．1505．10 点拨：作过B关于的对称点B′，连结AB′．求出AB′的长． 6．连结AM．∵MN是AB的垂直平分线，∴MA=MB，∴MA=2MC，∴MA2=MC2+42，MC2=16 3，∴BC2=9MC2=48AB2=AC2+BC2=16+48=64=82．∴AB=8．7．〔1〕由题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，在长方形ABCD中，AD∥BC，∴∠B′EF=∠BFE，∴∠B′FE=∠B′EF．∴B′F=B′E，∴B′E=BF．〔1〕∵a，b，c三者关系不唯一，有两种可能情况．①a，b，c三者存在的关系是a2+b2=c2．证明：连结BE，那么BE=B′E，由〔1〕知B′E=BF=c，∴AE2+AB2=BE2，∵AE=a，AB=b，∴a2+b2=c2．②a，b，c三者存在的关系是a+b>c．证明：连结BE，那么BE=B′E，由〔1〕知B′E=BF=c，∴BE=c，在△ABE中，AE+AB>BE，∴a+b>c．。

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一、选择题1．在ABC ∆中，D 是直线BC 上一点，已知15AB =，12AD =，13AC =，5CD =，则BC 的长为（）A ．4或14B ．10或14C ．14D ．102．如图，已知ABC 中，10,86,AB AC BC AB ===,的垂直平分线分别交,AC AB 于,,D E 连接BD ，则CD 的长为（）A ．1B ．54C ．74D ．2543．△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的周长为（）A ．42B ．32C ．42或32D ．37或33 4．如图，在ABC ∆中，,90︒=∠=AB AC BAC ，ABC ∠的平分线BD 与边AC 相交于点D ，DE BC ⊥，垂足为E ，若CDE ∆的周长为6，则ABC ∆的面积为（）.A ．36B ．18C ．12D ．95．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。

若正方形A 、B 、C 、D 的边长是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是A ．13B ．225+C ．47D ．136．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A 点绕到正上方B 点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm ，高是20 cm ，那么所需彩带最短的是( )A ．13 cmB ．4cmC ．4cmD ．52 cm7．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝7，∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，则点D 到AB 的距离是（）A ．3B ．4C ．7(21)-D ．7(21)+8．有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（）A ．5B ．7C ．5D ．5或79．下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（） A ．9,41,40a b c ===B ．5,5,52a b c ===C ．::3:4:5a b c =D ．11,12,13a b c === 10．长度分别为9cm 、12cm 、15cm 、36cm 、39cm 五根木棍首尾连接，最多可搭成直角三角形的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB ∠+∠=__________°（点A ，B ，C 是网格线交点）．12．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，3CD =，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒，则BD 的长为__________．13．在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC ∆的周长为_______________．14．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________15．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AB=2，BC=AC ，D 为AB 的中点，E 为BC 上一点，将△BDE 沿DE 翻折，得到△FDE ，EF 交AC 于点G ，则△ECG 的周长是___________．16．如图,30AOB ∠=︒，点,M N 分别在,OA OB 上，且6,8OM ON ==，点,P Q 分别在,OB OA 上运动，则PM PQ QN ++的最小值为______．17．已知x ，y 为一个直角三角形的两边的长，且（x ﹣6）2=9，y =3，则该三角形的第三边长为_____．18．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m ，4m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m 的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2．19．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC BC ==，D 为BC 边上一动点，作如图所示的AED ∆使得AE AD =，且45EAD ∠=，连接EC ，则EC 的最小值为__________．20．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝6cm ，腰AC 上的高BE ＝4m ，则△ABC 的面积为_____cm 2．三、解答题21．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，其中AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ．（1）如图①，连接BE 、CD ，求证：BE ＝CD ；（2）如图②，连接BE 、CD ，若∠BAC ＝∠DAE ＝60°，CD ⊥AE ，AD ＝3，CD ＝4，求BD 的长；（3）如图③，若∠BAC ＝∠DAE ＝90°，且C 点恰好落在DE 上，试探究CD 2、CE 2和BC 2之间的数量关系，并加以说明．22．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O ．（1）“距离坐标”为(1，0)的点有个；（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为(p ，q )，且∠BOD = 150︒，请写出p 、q 的关系式并证明；（3）如图3，点M 的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30︒，求OM 的长．23．Rt ABC ∆中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .24．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，在 ABD 外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在 ABD 内部，90EAP ∠=︒，2AE AP ==，当E 、P 、D 三点共线时，7BP =．下列结论：①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 的距离为5；②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ∆∆+=+；=532ABD S ∆+③； ④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为5+232-；⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．其中正确结论的序号是___．25．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________；(2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示)26．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.27．如图1, △ABC 和△CDE 均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a ，且点A 、D 、E 在同一直线上，连结BE.(1)求证: AD=BE.(2)如图2,若a=90°，CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).28．2ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .①求证：BE EF =;②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.29．如图,在△ABC 中,D 是边AB 的中点,E 是边AC 上一动点,连结DE,过点D 作DF ⊥DE 交边BC 于点F(点F 与点B 、C 不重合),延长FD 到点G,使DG=DF,连结EF 、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.(1)求证:△ADG ≌△BDF ；(2)请你连结EG,并求证:EF=EG ；(3)设AE=x ,CF=y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围；(4)求线段EF 长度的最小值.30．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ． ①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据AC =13，AD =12，CD =5，可判断出△ADC 是直角三角形，在Rt △ADB 中求出BD ，继而可得出BC 的长度．【详解】∵AC =13，AD =12，CD =5，∴222AD CD AC +=，∴△ABD 是直角三角形，AD ⊥BC ，由于点D 在直线BC 上，分两种情况讨论：当点D 在线段BC 上时，如图所示，在Rt △ADB 中，229BD AB AD =-=，则14BC BD CD =+=；②当点D 在BC 延长线上时，如图所示，在Rt △ADB 中，229BD AB AD =-=，则4BC BD CD =-=．故答案为：Ａ．【点睛】本题考查勾股定理和逆定理，需要分类讨论，掌握勾股定理和逆定理的应用为解题关键．2．C解析：C【分析】先根据勾股定理的逆定理证明△ABC 是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD ，由此根据勾股定理求出CD.【详解】∵AB=10，AC=8，BC=6，∴2222228610AC BC AB +=+==,∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°，∵DE 垂直平分AB ，∴AD=BD ，在Rt △BCD 中，222BD BC CD =+ ,∴222(8)6CD CD -=+,解得CD=74，故选：C. 【点睛】此题考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，题中证得△ABC 是直角三角形，且∠C=90°是解题的关键，再利用勾股定理求解.3．C解析：C【分析】存在2种情况，△ABC 是锐角三角形和钝角三角形时，高AD 分别在△ABC 的内部和外部【详解】情况一：如下图，△ABC 是锐角三角形∵AD 是高，∴AD ⊥BC∵AB=15，AD=12∴在Rt△ABD 中，BD=9∵AC=13，AD=12∴在Rt△ACD 中，DC=5∴△ABC 的周长为：15+12+9+5=42情况二：如下图，△ABC 是钝角三角形在Rt△ADC 中，AD=12，AC=13，∴DC=5在Rt△ABD 中，AD=12，AB=15，∴DB=9∴BC=4∴△ABC 的周长为：15+13+4=32故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是多解，注意当几何题型题干未提供图形时，往往存在多解情况.4．D解析：D【分析】利用角平分定理得到DE=AD ，根据三角形内角和得到∠BDE=∠BDA ，再利用角平分线定理得到BE=AB=AC ，根据CDE ∆的周长为6求出AB=6，再根据勾股定理求出218AB =，即可求得ABC ∆的面积.【详解】∵90BAC ︒∠=，∴AB ⊥AD,∵DE BC ⊥,BD 平分ABC ∠,∴DE=AD ，∠BED=90BAC ︒∠=，∴∠BDE=∠BDA ，∴BE=AB=AC ，∵CDE ∆的周长为6，∴DE+CD+CE=AC+CE=BC=6，∵,90︒=∠=AB AC BAC∴22236AB AC BC +==,∴2236AB =, 218AB =,∴ABC ∆的面积=211922AB AC AB ⋅⋅==, 故选：D.【点睛】此题考查角平分线定理的运用，勾股定理求边长，在利用角平分线定理时必须是两个垂直一个平分同时运用，得到到角两边的距离相等的结论. 5．C解析：C【分析】根据勾股定理即可得到正方形A 的面积加上B 的面积加上C 的面积和D 的面积是E 的面积．即可求解．【详解】四个正方形的面积的和是正方形E 的面积：即222233=92549=47＋5＋2＋＋＋＋；故答案为C ．【点睛】理解正方形A ，B ，C ，D 的面积的和是E 的面积是解决本题的关键．6．D解析：D【解析】【分析】本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决..要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】如图，由图可知，彩带从易拉罐底端的A 处绕易拉罐4圈后到达顶端的B 处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为xcm ，∵∵易拉罐底面周长是12cm ，高是20cm ，∴x 2=(12×4)2+202∴x 2=(12×4)2+202，所以彩带最短是52cm ．故选D ．【点睛】本题考查了平面展开−−最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，7．C解析：C【分析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，根据角平分线的性质定理，可得：DE ＝DC ＝x ，则BE ＝72－x ，进而可得到AE ＝AC ＝7，在Rt △BDE 中，应用勾股定理即可求解．【详解】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则∠AED ＝90°，AE ＝AC ＝7，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴BC ＝AC ＝7，AB ＝22AC +BC =72，在Rt △AED 和Rt △ACD 中，AE ＝AC ，DE ＝DC ，∴Rt △AED ≌Rt △ACD ，∴AE ＝AC ＝7，设DE ＝DC ＝x ，则BD ＝7－x ，在Rt △BDE 中，222BE +DE =BD ，即：()()22272-77-x x +=，解得： 7(21)x =-，故选：C ．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，运用方程思想是解题的关键．8．D解析：D【分析】分4是直角边、4是斜边，根据勾股定理计算即可．【详解】当4是直角边时，斜边，当4是斜边时，另一条直角边=，故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．9．D解析：D【分析】根据直角三角形的判定，符合a 2+b 2＝c 2即可；反之不符合的不能构成直角三角形．【详解】解：A 、因为92+402＝412，故能构成直角三角形；B 、因为52+52=(2，故能构成直角三角形；C 、因为()()()222345x x x +=，故能构成直角三角形；D 、因为112+122≠152，故不能构成直角三角形；故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足222a b c +=关系时，则三角形为直角三角形． 10．B解析：B【解析】试题分析：解：∵92=81，122=144，152=225，362=1296，392=1521，∴81+144=225，225+1296=1521，即92+122=152，152+362=392，故选B ．考点：勾股定理的逆定理点评：本题难度中等，主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键熟知勾股定理逆定理的内容．二、填空题11．45【分析】∠+∠=∠，只需证△ADC是如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD. ABC ACB DAC等腰直角三角形即可【详解】如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD设正方形网络每一小格的长度为1则根据网络，AB=5，AD=5，CD=5，BC=5，∴BD=25其中BD、DC、BC边长满足勾股定理逆定理∴∠CDA=90°∵AD=DC∴△ADC是等腰直角三角形∴∠DAC=45°故答案为：45°【点睛】本题是在网格中考察勾股定理的逆定理，解题关键是延长BA，构造处△ABC的外角∠CAD 12．5【分析】作AD′⊥AD，AD′=AD构建等腰直角三角形，根据SAS求证△BAD≌△CAD′，证得BD=CD′，∠DAD′=90°，然后在Rt△AD′D和Rt△CD′D应用勾股定理即可求解．【详解】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，∴∠BAD=∠CAD′，在△BAD 与△CAD′中，{BA CABAD CAD AD AD =∠=∠=''，∴△BAD ≌△CAD′（SAS ），∴BD=CD′，∠DAD′=90°，由勾股定理得DD′=22()4AD AD +='，∵∠D′DA+∠ADC=90°，∴由勾股定理得CD′=22(')5DC DD +=，∴BD=CD′=5故答案为5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，正确引出辅助线构造等腰直角三角形是本题的关键．13．32或42【分析】根据题意画出图形，分两种情况：△ABC 是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC ，即可得到答案【详解】当△ABC 是钝角三角形时，∵∠D=90°，AC=13，AD=12，∴222213125CD AC AD =-=-=,∵∠D=90°，AB=15，AD=12，∴222215129BD AB AD =-=-=,∴BC=BD-CD=9-5=4，∴△ABC 的周长=4+15+13=32；当△ABC 是锐角三角形时，∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，∴2222CD AC AD=-=-=，13125∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，∴2222=-=-=，BD AB AD15129∴BC=BD-CD=9+5=14，∴△ABC的周长=14+15+13=42；综上，△ABC的周长是32或42，故答案为：32或42.【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键.14．【解析】【分析】延长BC，AD交于E点，在直角三角形ABE和直角三角形CDE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.【详解】如图，延长AD、BC相交于E，∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,∴∠E=30°∴AE=2AB，CE=2CD∵AB=3，AD=4,∴AE=6, DE=2设CD=x,则CE=2x，DE=x即x=2x=即CD=故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理的运用，含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角△ABE和直角△CDE，是解题的关键．15．2【分析】连接CE．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、等腰三角形的性质以及折叠的性质推知EG+CG=EG+GF=EF=BE，【详解】解：（1）如图，连接CD、CF.∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点，∴BD=CD=1．2 ,∵由翻折可知BD=DF，∴CD=BD=DF=1，∠DFE=∠B=∠DCA=45°,∴∠DCF=∠DFC，∴∠DCF-∠DCA=∠DFC-∠DFE，即∠GCF=∠GFC，∴GC=GF，∴EG+CG=EG+GF=EF=BE，∴△ECG的周长2,2.【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理、直角三角形的性质，能将三角形的周长转移到已知线段上是解题的关键.．16．10【分析】首先作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值，易得△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∠N ′OM ′=90°，继而可以求得答案．【详解】作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ =∠M ′OB =30°，∠ONN ′=60°，OM ′=OM =6，ON ′=ON =8，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′=90°．在Rt △M ′ON ′中，M ′N ′=22''OM ON +=10．故答案为10．【点睛】本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键．17．310232【解析】【详解】∵（x-6）2=9，∴x-6=±3，解得：x 1=9，x 2=3，∵x ，y 为一个直角三角形的两边的长，y=3，∴当x=3时，x 、y 223332+=；当x=9时，x 、y 2293310+=；当x=9时，x 为斜边、y 为直角边，则第三边为263922=-.故答案为：310232【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决问题的关键，解题时注意一定不要漏解．18．8或10或12或253【详解】解：①如图1：当BC=CD=3m时，AB=AD=5m，AC⊥BD，此时等腰三角形绿地的面积：12×6×4=12（m2）；②如图2：当AC=CD=4m时，AC⊥CB，此时等腰三角形绿地的面积：12×4×4=8（m2）；③如图3：当AD=BD时，设AD=BD=xm，在Rt△ACD中，CD=（x-3）m，AC=4m，由勾股定理，得AD2=DC2+CA2，即(x-3)2+42=x2，解得x=256，此时等腰三角形绿地的面积：12BD·AC=12×256×4=253（m2）；④如图4，延长BC 到D ，使BD=AB=5m ，故CD=2m ，此时等腰三角形绿地的面积：12BD·AC=12×5×4=10（m 2）；综上所述，扩充后等腰三角形绿地的面积为8m 2或12m 2或10m 2或253m 2．点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形．19．22-【分析】根据已知条件，添加辅助线可得△EAC ≌△DAM （SAS ），进而得出当MD ⊥BC 时，CE 的值最小，转化成求DM 的最小值，通过已知值计算即可．【详解】解：如图所示，在AB 上取AM=AC=2，∵90ACB ∠=，2AC BC ==，∴∠CAB=45°，又∵45EAD ∠=，∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD=45°，∴∠EAC =∠DAB ，∴在△EAC 与△DAB 中AE=AD ，∠EAF =∠DAB ，AC =AM ，∴△EAC ≌△DAM （SAS ）∴CE=MD ，∴当MD ⊥BC 时，CE 的值最小，∵AC=BC=2，由勾股定理可得2222AB AC BC =+= ∴222=BM ，∵∠B=45°，∴△BDM 为等腰直角三角形，∴DM=BD ，由勾股定理可得222+BD DM =BM∴DM=BD=22∴CE=DM=22-故答案为：22-【点睛】本题考查了动点问题及全等三角形的构造，解题的关键是作出辅助线，得出全等三角形，找到CE最小时的状态，化动为静．20．2【分析】根据三角形等面积法求出32ACBC=，在Rt△ACD中根据勾股定理得出AC2=14BC2+36，依据这两个式子求出AC、BC的值.【详解】∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，∴12AC•BE＝12BC•AD，∵AD＝6，BE＝4，∴ACBC＝32，∴22ACBC＝94，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝12BC，∵AC2﹣CD2＝AD2，∴AC2＝14BC2+36，∴221364BCBC+＝94，整理得，BC2＝3648⨯，解得：BC＝32∴△ABC的面积为12×3292cm2故答案为：【点睛】本题考查了三角形的等面积法以及勾股定理的应用，找出AC与BC的数量关系是解答此题的关键．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）5；（3）CD2+CE2＝BC2，证明见解析．【分析】（1）先判断出∠BAE=∠CAD，进而得出△ACD≌△ABE，即可得出结论．（2）先求出∠CDA=12∠ADE=30°，进而求出∠BED=90°，最后用勾股定理即可得出结论．（3）方法1、同（2）的方法即可得出结论；方法2、先判断出CD2+CE2=2（AP2+CP2），再判断出CD2+CE2=2AC2．即可得出结论．【详解】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE．（2）如图2，连结BE，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，∵CD⊥AE，∴∠CDA＝12∠ADE＝12×60°＝30°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，∴BD5．（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2＝BC2，理由如下：解法一：如图3，连结BE．∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠D＝∠AED＝45°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2．∴BC 2＝CD 2+CE 2．解法二：如图4，过点A 作AP ⊥DE 于点P ．∵△ADE 为等腰直角三角形，AP ⊥DE ，∴AP ＝EP ＝DP ．∵CD 2＝（CP +PD ）2＝（CP +AP ）2＝CP 2+2CP •AP +AP 2，CE 2＝（EP ﹣CP ）2＝（AP ﹣CP ）2＝AP 2﹣2AP •CP +CP 2，∴CD 2+CE 2＝2AP 2+2CP 2＝2（AP 2+CP 2），∵在Rt △APC 中，由勾股定理可知：AC 2＝AP 2+CP 2，∴CD 2+CE 2＝2AC 2．∵△ABC 为等腰直角三角形，由勾股定理可知：∴AB 2+AC 2＝BC 2，即2AC 2＝BC 2，∴CD 2+CE 2＝BC 2．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠BAE=∠CAD ，解（2）（3）的关键是判断出BE ⊥DE ，是一道中等难度的中考常考题．22．(1)2；(2)32q p =；(3)27OM =【分析】（1）根据“距离坐标”的定义结合图形判断即可；（2）过M 作MN ⊥CD 于N ，根据已知得出MN q =，OM p =，求出∠MON ＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出2232MN MO NO p =-=即可解决问题；（3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点，首先证明OM OE OF EF ===，求出2MF =，23ME =，然后过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，根据含30度直角三角形的性质求出1FG =，3MG =，再利用勾股定理求出EF 即可．【详解】解：（1）由题意可知，在直线CD 上，且在点O 的两侧各有一个，共2个，故答案为：2；（2）过M 作MN CD ⊥于N ，∵直线l AB ⊥于O ，150BOD ∠=︒，∴60MON ∠=︒，∵MN q =，OM p =，∴1122NO MO p ==， ∴223MN MO NO p =-=， ∴32q p =；（3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点．∴OFP OMP △≌△，OEQ OMQ △≌△，∴FOP MOP ∠=∠，EOQ MOQ ∠=∠，OM OE OF ==，∴260EOF BOD ∠=∠=︒，∴△OEF 是等边三角形，∴OM OE OF EF ===，∵1MP =，3MQ =∴2MF =，23ME =， ∵30BOD ∠=︒，∴150PMQ ∠=︒，过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，∴30FMG ∠=︒，在Rt FMG △中，112FG MF ==，则3MG =，在Rt EGF 中，1FG =，33EG ME MG =+=，∴22(33)127EF =+=，∴27OM =．【点睛】本题考查了轴对称的应用，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质等，正确理解题目中的新定义是解答本题的关键．23．作图见解析，325【分析】作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，连接AN ，首先用等积法求出AH 的长，易证△ACH ≌△A'NH ，可得A'N=AC=4，然后设NM=x ，利用勾股定理建立方程求出NM 的长，A'M 的长即为AN+MN 的最小值．【详解】如图，作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，最小值为A'M 的长．连接AN ，在Rt △ABC 中，AC=4，AB=8，∴2222AB AC =84=45++∵11AB AC=BC AH 22⋅⋅∴∵CA ⊥AB ，A 'M ⊥AB ，∴CA ∥A 'M∴∠C=∠A 'NH ，由对称的性质可得AH=A 'H ，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N在△ACH 和△A'NH 中，∵∠C=∠A 'NH ，∠AHC=∠A'HN ，AH=A 'H ，∴△ACH ≌△A'NH （AAS ）∴A'N=AC=4=AN ，设NM=x ，在Rt △AMN 中，AM 2=AN 2-NM 2=222416-=-x x在Rt △AA'M 中，AA'=2AH=5，A 'M=A 'N+NM=4+x∴AM 2=AA '2-A 'M 2=()224-+⎝⎭x∴()2224=16-+-⎝⎭x x 解得125x = 此时AN MN +的最小值=A'M=A'N+NM=4+125=325 【点睛】本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．24．②③⑤【分析】①先证得ABE ADP ≅，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得90PEB ∠=︒，利用勾股定理求出BE ，即可求得点B 到直线AE 的距离；②根据①的结论，利用APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+即可求得结论； ③在Rt AHB 中，利用勾股定理求得2AB ，再利用三角形面积公式即可求得ABD S ∆； ④当A P C 、、共线时，PC 最小，利用对称的性质，AB BC =的长，再求得AC 的长，即可求得结论；⑤先证得ABP ADE ≅，得到ABP ADE ∠=∠，根据条件得到ABP NAB ∠=∠，利用互余的关系即可证得结论．【详解】①∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =，45APE AEP ∠=∠=︒， ∴EAB PAD ∠=∠，∴()ABE ADP SAS ≅，∴180********AEB APD APE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1354590PEB AEB AEP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴222PE BE PB +=，∵2AE AP ==，90EAP ∠=︒， ∴22PE AE ==， ∴()22227BE +=，解得：3BE =，作BH ⊥AE 交AE 的延长线于点H ，∵45AEP ∠=︒，90PEB ∠=︒， ∴180180904545HEB PEB AEP ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴26sin 453HB BE =︒==， ∴点B 到直线AE 6，故①错误； ②由①知：ABE ADP ≅，2EP =，3BE =∴APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+1122AE AP PE EB =⨯⨯+⨯⨯ 11222322=⨯ 13=，故②正确；③在Rt AHB 中，由①知：6EH HB ==∴62AH AE EH =+=，22222256623AB AH BH ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭，21153222ABD S AB AD AB ∆=⋅==+，故③正确； ④因为AC 是定值，所以当A P C 、、共线时，PC 最小，如图，连接BC ，∵A C 、关于 BD 的对称，∴523AB BC ==+ ∴225231043AC BC ==+=+∴ min PC AC AP =-，10432=+⑤∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =，在ABP 和ADE 中，AB AD BAP DAE AP AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABP ADE SAS ≅，∴ABP ADE ∠=∠，∵AN BN =，∴ABP NAB ∠=∠，∴EAN ADE ∠=∠，∵90EAN DAN ∠+∠=︒，∴90ADE DAN ∠+∠=︒，∴AN DE ⊥，故⑤正确；综上，②③⑤正确，故答案为：②③⑤．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是解题的关键．25．（1）∠CBD=20°；（2）AD=164；(3) △BCD的周长为m+2【分析】（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；（2）根据折叠可得AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62=（8-x）2，再解方程可得x的值，进而得到AD的长；（3）根据三角形ACB的面积可得11 2AC CB m=+，进而得到AC•BC=2m+2，再在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到△BCD的周长．【详解】（1）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴∠1=∠A=35°，∵∠C=90°，∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，∴∠2=55°-35°=20°，即∠CBD=20°；（2）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，在Rt △CDB 中，CD 2+CB 2=BD 2，x 2+62=（8-x ）2，解得：x=74， AD=8-74=164；（3）∵△ABC 的面积为m+1， ∴12AC •BC=m+1， ∴AC •BC=2m+2， ∵在Rt △CAB 中，CA 2+CB 2=BA 2，∴CA 2+CB 2+2AC •BC=BA 2+2AC •BC ，∴（CA+BC ）2=m 2+4m+4=（m+2）2，∴CA+CB=m+2，∵AD=DB ，∴CD+DB+BC=m+2．即△BCD 的周长为m+2．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．26．（1）①详见解析；（2）2CD =+-1n >）；（2）AD BD -=，理由详见解析.【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，利用同角的余角相等证明∠3=∠4，∠1=∠E ，进而证明△ACD ≌△BCE ，求出DE 的长，再利用勾股定理求解即可.（2）过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，先证∠ACD=∠BCF ，再证△ACD ≌△BCF ，得CD=CF ，AD=BF ，再利用勾股定理求解即可.【详解】（1）①∵()()()22222222212214AD BD n n n n n +=-+=-++()()22222211n n n =++=+ 又∵()2221AB n =+∴222AD BD AB +=∴△ABD 是直角三角形②如图①，过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90°∴∠3=∠4由①知△ABD 是直角三角形∴1290∠+∠=︒又∵290E ∠+∠=︒∴∠1=∠E在ACD ∆和BCE ∆中，A 34E AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE∴CD CE =，AD BE =∴221DE BD BE BD AD n n =+=+=+-又∵CD CE =，90DCE ∠=︒ ∴由勾股定理得222DE CD DE CD =+=∴22CD =222222n n =+-（1n >）（2）AD 、BD 、CD 的数量关系为：2AD BD CD -=，理由如下：如图②，过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5∴∠ACD=∠BCF∵BD ⊥AD∴∠ADB=90°∴∠6+∠7=90°∵∠ACB=90°∴∠9=∠8=90°又∵∠6=∠8∴∠7=∠9ACD ∆和BCF ∆中97AC BCACD BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACD ≌△BCF∴CD=CF ，AD=BF又∵∠DCF=90°∴由勾股定理得DF ==又DF=BF-BD=AD-BD∴AD BD -=【点睛】本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是关键.27．（1）见解析；（2）26；（3）3a+ 【分析】（1）由∠ACB=∠DCE 可得出∠ACD=∠BCE ，再利用SAS 判定△ACD ≌△BCE ，即可得到AD=BE ；（2）由等腰直角三角形的性质可得CM=12DE ，同（1）可证△ACD ≌△BCE ，得到AD=BE ，然后可求AE 的长，再判断∠AEB=90°，即可用勾股定理求出AB 的长；（3）由等腰三角形的性质易得∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，根据30度所对的直角边是斜边的一半可求出，然后利用三角形外角性质推出∠BEN=60°，在Rt △BEN 中即可求出BE ，由于BE=AD ，所以利用AE=AD+DE 即可得出答案.【详解】证明：（1）∵∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE在△ACD 和△BCE 中，AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴AD=BE（2）∵∠DCE=90°，CD=CE ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∵CM ⊥DE ，∴CM 平分DE ，即M 为DE 的中点∴CM=12DE ， ∴DE=2CM=14，∵∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE在△ACD 和△BCE 中，AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴AD=BE=10，∠CAD=∠CBE∴AE=AD+DE=24如图，设AE ，BC 交于点H ，在△ACH 和△BEH 中，∠CAH+∠ACH=∠EBH+∠BEH ，而∠CAH=∠EBH ，∴∠BEH=∠ACH=90°，∴△ABE 为直角三角形由勾股定理得2222AB=AE BE =2410=26++（3）由（1）（2）可得△ACD ≌△BCE ，∴∠DAC=∠EBC ，∵△ACB ，△DCE 都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=120°∴∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，∵CM ⊥DE ，∴∠CMD=90°，DM=EM ，∴CD=CE=2CM ，3CM∴33∵∠BEN=∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠EBC+∠CBA=∠BAE+∠DAC+∠CBA=30°+30°=60°， ∴∠NBE=30°，∴BE=2EN ，3EN∵BN=a∴BE=2EN=23a =AD ∴AE=AD+DE=2323+a b 【点睛】本题考查全等三角形的旋转模型，掌握此模型的特点得到全等三角形是关键，其中还需要用到等腰三角形三线合一与30度所对的直角边的性质，熟练掌握这些基本知识点是关键.28．(1)①见解析；②()22012x y x x-=<<-；（2）见解析【解析】【分析】（1）①连接DE ，如图1，先用SAS 证明△CBE ≌△CDE ，得EB=ED ，∠CBE =∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC =∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；②将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点E 落在点P 处，如图2，用SAS 可证△PBG ≌△EBG ，所以PG=EG =2－x －y ，在直角三角形PCG 中，根据勾股定理整理即得y 与x 的函数关系式，再根据题意写出x 的取值范围即可.（2）由（1）题已得EB=ED ，根据正方形的对称性只需再确定点E 关于点O 的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长BE 交AD 于点M ，再连接MO 并延长交BC 于点N ，再连接DN 交AC 于点Q ，问题即得解决.【详解】（1）①证明：如图1，连接DE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴CB=CD ，∠BCE =∠DCE =45°，又∵CE=CE ，∴△CBE ≌△CDE （SAS ），∴EB=ED ，∠CBE =∠1，∵∠BEC =90°，∠BCF =90°，∴∠EBC +∠EFC =180°，∵∠EFC +∠2=180°，∴∠EBC =∠2，∴∠1=∠2.∴ED=EF ，∴BE=EF .②解：∵正方形ABCD的边长为2，∴对角线AC =2.将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点A 与点C 重合，点E 落在点P 处，如图2，则△BAE ≌△BCP ，∴BE =BP ，AE=CP=x ，∠BAE =∠BCP =45°，∠EBP =90°，由①可得，∠EBF =45°，∴∠PBG =45°=∠EBG ，在△PBG 与△EBG 中，PB EB PBG EBG BG BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBG ≌△EBG （SAS ）.∴PG=EG =2－x －y ，∵∠PCG =∠GCB +∠BCP =45°+45°=90°，∴在Rt △PCG 中，由222PC CG PG +=，得()2222x y x y +=--，化简，得()22012x y x x-=<<-. （2）如图3，作法如下：①延长BE 交AD 于点M ， ②连接MO 并延长交BC 于点N ，③连接DN 交AC 于点Q ，④连接DE 、BQ ，则四边形BEDQ 为菱形.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、勾股定理和菱形的作图等知识，其中通过三角形的旋转构造全等三角形是解决②小题的关键，利用正方形的对称性确定点Q 的位置是解决（2）题的关键.29．(1)见解析(2) 见解析(3) 见解析（4）5【解析】【分析】（1）由D 是AB 中点知AD =BD ，结合DG =DF ，∠ADG =∠BDF 即可得证；（2）连接EG ．根据垂直平分线的判定定理即可证明．（3）由△ADG ≌△BDF ，推出∠GAB =∠B ，推出∠EAG =90°，可得EF 2=（8-x ）2+y 2，EG 2=x 2+（6-y ）2，根据EF =EG ，可得（8-x ）2+y 2=x 2+（6-y ）2，由此即可解决问题．（4）由EF =22EC CF +=2247(8)()33x x -+-=225(4)259x -+知x =4时，取得最小值．【详解】解：（1）∵D 是边AB 的中点，∴AD =BD ，在△ADG 和△BDF 中， ∵AD BD ADG BDF DG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△BDF （SAS ）；（2）如图，连接EG ．∵DG =FD ，DF ⊥DE ，∴DE 垂直平分FG ．∴EF =EG ．（3）∵D 是AB 中点，∴AD =DB ，∵△ADG ≌△BDF ，∴∠GAB =∠B∵AB =10,BC =6,AC =8.∴2AB = 2BC + 2AC∴∠ACB =90°，∴∠CAB +∠B =90°，∠CAB +∠GAB =90°，∴∠EAG =90°，∵AE =x ，AC =8，∴EC =8-x ，∵∠ACB =90°，∴EF 2=（8-x ）2+y 2，∵△ADG ≌△BDF ，∴AG =BF ，∵CF =y ，BC =6，∴AG =BF =6-y ，∵∠EAG =90°，∴EG 2=x 2+（6-y ）2，∵EF =EG ，∴（8-x ）2+y 2=x 2+（6-y ）2，∴y =473x -，（74＜x ＜254）．（4）∵EC =8-x ，CF =y =43x -73，∴EF=== ∵（x -4）2≥0， ∴225(4)259x -+≥25， ∴当x =4时，EF 取得最小值，最小值为5．故线段EF 的最小值为5．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查勾股定理以及逆定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．30．（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】()1由等边三角形的性质可求6AB BC ==，132BG BC ==，1DG =，由勾股定理可。

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