新数理建模

对数似然方程组
一、基本概念
1. 统计量的定义
设 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体 X 的一个样本 , g ( X 1 , X 2 , , X n ) 是 X 1 , X 2 , , X n 的函数 , 若 g 中 不含未知参数 计量 . , 则称 g ( X 1 , X 2 , , X n ) 是一个统
总体
指标
指标值全集
随机变量
把总体与某个随机变量的可能取值的集合等同， 把总体分布与某个随机变量的分布等同，把对总 体的研究转化为对某个随机变量规律的研究。 数理统计中提到的总体，是指分布未知或 者分布类型已知但至少某些参数未知的随机变 量，常用X，Y，Z等表示。
6.1.1
总体与个体
因此，总体可以是一维随机变量，也可以是多 维随机变量． 例如，在研究某厂生产的灯泡的质量时，可以 分别用X，Y表示灯泡的寿命和光亮度，那么，对 上面两个问题的研究就转化为对总体(X，Y)的研 究了．
2 2 2
一般地,
用样本均值 X
n
1
n
X i 作为总体 X 的均值的矩估计
,
i 1
用样本二阶中心矩 X 的方差的矩估计 .
B2
n
1
n
( X i X ) 作为总体
2
i 1
2. 最大似然估计
一般说，事件A发生的概率与参数有关，
取值不同，则P(A)也不同。因而应记事件A发生的
ˆ
2
A 2 A1
2
n
1
n
Xi X
2 2
i 1
(Xi X ) n
i 1
1
n
2
.
2. 矩估计法 上例表明: 总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不 同的总体分布而异.
例 X ~ N ( , ), , 未知 , 即得 , 的矩估计量 n 1 2 2 X, ˆ ˆ (Xi X ) . n i 1
2

S
S
2
样本方差和样本标准差刻画了样本数据的分散 程度，常用来作为总体方差和标准差的估计量.
观测值分别为
s
2
1 n1

n
( xi x ) ,
2
s
s
2

1 n1
i1

n
( xi x )
2
i1
3.极差
1. 表示分布形状的统计量—偏度和峰度 偏度： g
1

1 s
3
1
n
x ,
k i
bk
i1
n
1
n
( xi x )
k
i1
6.2.2 抽样分布
1. 2分布 定义6.3 设X1，X2，…，Xn为相互独立的随机 变量，它们都服从标准正态N(0，1)分布，则称随 n 机变量 2 2



Xi
i1
服从自由度为n的2分布，记为2 ～ 2(n)．
此处自由度指2中包含独立变量的个数．
ˆ ˆ ˆ 1 , 2 ,, k
可作为待估参数 , ,..., 的估计量(称为矩估计 1 2 k 量),其观察值为待估参数的估计值(称为矩估计值).
2. 矩估计法 例

2
设总体 X 的均值 和方差 都存在 , 且有
2 2
0, 但 和
均为未知 , 又设 X 1 , X 2 , , X n 是

n
p ( x i ; )
i 1
L ( ) L ( x 1 , x 2 , , x n ; )

n
f ( x i ; );
( 二 ) 取对数 ln L ( )
i 1
ln
i 1
n
p ( x i ; )
或
ln L ( )
ln
i 1
n
f ( x i ; );
2
一个样本 , 求 和 的矩估计量 1 E ( X ) , 解
2
.
2
2 E ( X ) D ( X ) [ E ( X )] 2
A1 , 令 2 2 A2 .
,
2
ˆ 解方程组得到矩估计量分别为 A1 X ,
设 x 1 , x 2 , , x n 是相应于样本
Байду номын сангаас
X 1 , X 2 , , X n
的样本值 , 则称 g ( x 1 , x 2 , , x n ) 是 g ( X 1 , X 2 , , X n ) 的观察值 .
1. 表示位置的统计量 设X1，X2，…，Xn 为总体X的样本，x1， x2，...，xn为样本观测值，
设已知总体X的可能分布函数族为:
F ( x;1 , 2 ,..., k )
其中 1 , 2 ,..., k 为待估参数.
矩估计法 设总体X的前k阶矩
l x f ( x;1 , 2 ,..., k ) dx l l E ( X ) l x p ( x;1 , 2 ,..., k ) xRX (连续型) , (离散型)
总 体 X
整理加工 随机抽样 获得样本
统计推断
样本X1,X2,…,Xn
完成试验 获得数据
样本值x1,x2,…,xn
统计 工作
3 统计量与抽样分布
在利用样本推断总体的性质时，往往不能直接 利用样本，而需要对它进行一定的加工，这样才 能有效地利用其中的信息，否则，样本只是呈现 为一堆“杂乱无章”的数据．
第八章 数理统计方法
数 理 统 计 的 分 类
描述统计学——
对随机现象进行观测、试验， 以取得有代表性的观测值
推断统计学——
对已取得的观测值进行整理、 分析,作出推断、决策,从而 找出所研究的对象的规律性
参数估计
推断 统计学
假设检验 方差分析 回归分析
三、概率论与数理统计的区别与联系 1、概率论与数理统计的联系 都以随机现象为对象，研究其统计规律性。 2、概率论与数理统计的区别 主要体现在研究方法的差别上： 概率论是在已知随机变量服从某种分布（概率函数、 概率密度、分布函数）的情况下，研究随机变量分 布的性质，数字特征和它的应用。
n x 1 1 x2 e 2, n 1 x ( ) x e dx , 0 f2 (x) 2 0 2 ( n ) 2 0, 其中()称为伽马函数，
可以证明，2(n)的概率密度为
x 0 x 0
6.2.2 抽样分布
2. t分布
定义6.4 设X ～ N(0，1)，Y ～ 2(n)，X与Y独立，
则称随机变量
记为T ～ t(n)．
T
X Y n
服从自由度为n的t分布，
又称为学生氏分布(Student distribution)， 可以证明t(n)的概率密度为
n1 n1 2 x 2 2 1 ft ( x) , n n n 2 x
2
样本与抽样
实际应用中，为了研究总体的特性，总是从总 体中抽出部分个体进行观察和试验，根据观察或 试验得到的数据推断总体的性质． 我们把从总体中抽出的部分个体称为样本， 把样本中包含个体的数量称为样本容量， 把对样本的观察或试验的过程称为抽样，
把观察或试验得到的数据称为样本观测值（观测 数据），简称样本值．

n
(X i X )
3
峰度： g
2

1 s
4
i 1

n
(X i X )
4
i 1
偏度反映分布的对称性， g1 >0 称为右偏态，此时数据位于均值右边的比位于左边的多 g1 <0 称为左偏态，情况相反； 而 g1 接近 0，则可认为分布是对称的. 峰度是分布形状的另一种度量，正态分布的峰度为 3， 若 g2 比 3 大很多，表示分布有沉重的尾巴，说明样本 中含有较多远离均值的数据，因而峰度可用作衡量 偏离正态分布的尺度之一.
概率为P(A|).若A发生了，则认为此时的值应是
在中使P(A|) 达到最大的那一个。这就是极大
似然的思想.
3. 最大似然估计 最大似然估计法是由费舍尔引进的. 求最大似然估计量的步骤:
( 一 ) 写出似然函数 L ( ) L ( x 1 , x 2 , , x n ; ) 或
(1) 样本均值
X
n
n
1
n
Xi
i1
常用来作为总体期望（均值）的估计量， 其观测值为 x 1 x n
i i1
2.中位数
把一组数据按大小顺序排序后处于中间位置的数。
分位数
设X为一随机变量，我们知道对于给定的实数x， P{X > x}是事件{X > x}的概率．在统计中，我们常 常需要对给定事件{X > x}的概率，由此确定的x取是 一个临界点,称为分位数(点),有如下定义：
实际中被研究对象(即随机变量)的概率分布F(x,), f(x,), p(xi,) 往往是未知的, 或大体知其分布而参数 未知。
通过观察收集数据, 然后进行整理、分析, 并用概 率论的知识对分布F, f , p或参数 作出估计、推断
——数理统计的一些基本内容。
数理统计的任务: 1. 如何有效地收集、整理有限的数据资料； 2. 如何对所得数据资料进行分析、研究，从而对研究 对象的性质、特点做出合理的推断——统计推断。
在应用中，我们从总体中抽出的个体必须具有代 表性，样本中个体之间要具有相互独立性，为保证 这两点，一般采用简单随机抽样．
定义 一种抽样方法若满足下面两点，称其为简单 随机抽样：