2018届高三理科数学考前50天专题小练(核心考点3：判断三角形形状)
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题专题4 三角函数、解三角形 第28绬 Word版含解析
1．(2016·隆化期中)在△ABC 中，如果sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，那么cos C ＝________.2.(2016·银川月考)如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点间的距离为______________m.3．(2016·安庆检测)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a 2－c 2＝3bc ，sin B ＝23sin C ，则A ＝________.4．(2016·苏北四市一模)在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，那么边BC 的长为________．5．(2016·常州一模)在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若tan A＝7tan B ，a 2－b 2c ＝3，则c ＝________.6．(2016·东营期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B ＝________.7．(2016·南京、盐城、徐州二模)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，已知∠B ＝60°，AD ＝2，AC ＝10，DC ＝2，那么AB ＝________.8．已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x ，y ，使得AO→＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为________． 9．△ABC 中，A 、B 、C 是其内角，若sin2A ＋sin(A －C )－sin B ＝0，则△ABC 的形状是________________三角形．10．(2016·惠州二调)在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且∠C ＝60°，c ＝3，则a ＋23cos A sin B＝________. 11．(2016·佛山期中)如图，一艘船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.12．(2016·吉安期中)在△ABC 中，D 为BC 边上一点，若△ABD 是等边三角形，且AC ＝43，则△ADC 的面积的最大值为________．13．(2016·如东高级中学期中)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________．14．(2016·南通二模)若一个钝角三角形的三个内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是________．答案精析1．－14 2.502 3.π6 4.7 5.46．45°解析 由正弦定理可知a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c sin C ＝2R sin C ·sin C ，∴sin C ＝1，C ＝90°.∴S ＝12ab ＝14(b 2＋c 2－a 2)，解得a ＝b ，因此B ＝45°. 7.263解析 在△ADC 中，AD ＝2，AC ＝10，DC ＝2，则cos ∠ADC ＝－22，所以∠ADC ＝135°，从而在△ABD 中，∠ADB ＝45°.又因为∠B ＝60°，由正弦定理得AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，即232＝AB 22，解得AB ＝263. 8.23解析 设线段AC 的中点为点D ，则直线OD ⊥AC .因为AO→＝xAB →＋yAC →，所以AO →＝xAB →＋2yAD →. 又x ＋2y ＝1，所以点O 、B 、D 三点共线，即点B 在线段AC 的中垂线上，则AB ＝BC ＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠BAC ＝32＋42－322×3×4＝23. 9．等腰或直角解析 因为sin2A ＋sin(A －C )－sin B＝sin2A ＋sin(A －C )－sin(A ＋C )＝2sin A cos A －2sin C cos A＝2cos A (sin A －sin C )＝0，所以cos A ＝0或sin A ＝sin C ，所以A ＝π2或A ＝C .故△ABC 为等腰或直角三角形．10．4解析 由正弦定理知a sin A ＝c sin C ＝2，所以a ＝2sin A ，代入得原式＝2sin A ＋23cos A sin B＝4·sin (A ＋60°)sin B ＝4.11．30 2解析 依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin45°＝BM sin30°，解得BM ＝30 2.12．4 3解析 在△ACD 中，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝AD 2＋DC 2－482AD ·DC ＝－12，整理得AD 2＋DC 2＝48－AD ·DC ≥2AD ·DC ，∴AD ·DC ≤16，当且仅当AD ＝CD 时等号成立，∴△ADC 的面积S ＝12AD ·DC ·sin ∠ADC ＝34AD ·DC ≤4 3.13.533解析 由题意得203＝12×8×10×sin C ⇒sin C ＝32⇒C ＝π3或C ＝2π3(舍)，由余弦定理得c 2＝82＋102－2×8×10×12＝84，由三角形中大边对大角知角B 最大，则cos B ＝82＋84－1022×8×84＝384，所以tan B ＝533. 14．(2，＋∞)解析 设A 为钝角，C 为最小角，则A ＋C ＝120°，C ∈(0°，30°)，由正弦定理得m＝a c ＝sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.而0＜tan C ＜33，∴1tan C ＞3，则m ＞2.。
2018高三一轮复习理科数学之《天天练——三角部分》
5．B∵θ∈，∴cosθ＝＝＝，
∴sin(π－θ)sin＝－sinθcosθ＝－×＝－.故B正确．
6．D由三角函数的定义可得：tanα＝－2，由两角和的正切公式可得：tan＝＝－，故选择D.
A．y＝cosB．y＝sin
C．y＝sin2x＋cos2xD．y＝sinx＋cosx
3．(2017·广西二市模拟)将函数f(x)＝sinωx(ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象关于点(，0)对称，则ω的最小值是()
A.B．1C.D．2
4．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()
7．C因为sin＝，所以cosα＝，
所以cos(π－2α)＝－cos2α＝－(2cos2α－1)＝－＝.选C.
8．B因为g＝，g＝＋1，f＝sin＋1＝－＋1，f＝sin＋1＝－＋1，故原式＝3.
9．4 cm2解析：＝|α|⇒＝2⇒r＝2，∴S＝lr＝4.
10.π解析：由已知，得P，tanα＝＝－1，又点P在第四象限，θ∈[0,2π]，所以θ∈，θ＝π.
11．－解析：本题考查同角的三角函数基本关系式及三角函数值的符号规律．∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴2＋2＝1，解得m＝0或m＝8∵θ为第四象限角，∴sinθ<0，cosθ>0，所以m＝0
∴tanθ＝＝＝－.
12．解析：本题考查利用同角的三角函数基本关系式灵活解题的能力．由根与系数的关系可得
将①式两边同时平方，得1＋2sinαcosα＝，sinαcosα＝
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训：第四章 三角函数与解三角形4-6含答案
真题演练集训1．将函数y＝sin错误!图象上的点P错误!向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′。
若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则（)A．t＝错误!,s的最小值为错误!B．t＝错误!，s的最小值为错误!C．t＝错误!，s的最小值为错误!D．t＝错误!，s的最小值为错误!答案：A解析:因为点P错误!在函数y＝sin错误!的图象上，所以t＝sin错误!＝sin错误!＝错误!.又P′错误!在函数y＝sin 2x的图象上，所以12＝sin 2错误!，则2错误!＝2kπ＋错误!或2错误!＝2kπ＋错误!，k∈Z，得s＝－kπ＋错误!或s＝－kπ－错误!，k∈Z。
又s>0，故s的最小值为错误!。
故选A.2．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移错误!个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A．x＝错误!－错误!(k∈Z）B ．x ＝错误!＋错误!（k ∈Z )C ．x ＝错误!－错误!（k ∈Z )D ．x ＝错误!＋错误!（k ∈Z ）答案:B解析：函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移错误!个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y ＝2sin 2错误!，令2错误!＝k π＋错误!（k ∈Z ），解得x ＝错误!＋错误!（k ∈Z ）,所以所求对称轴的方程为x ＝k π2＋错误!（k ∈Z )，故选B 。
3．将函数f (x ）＝sin 2x 的图象向右平移φ错误!个单位后得到函数g （x ）的图象．若对满足|f （x 1)－g (x 2）｜＝2的x 1，x 2，有｜x 1－x 2|min ＝错误!，则φ＝（ )A.错误!B.错误!C.错误!D.错误! 答案:D解析:因为g （x )＝sin 2（x －φ)＝sin （2x －2φ），所以|f （x 1）－g (x 2)|＝｜sin 2x 1－sin(2x 2－2φ)|＝2.因为－1≤sin 2x 1≤1，－1≤sin(2x 2－2φ）≤1，所以sin 2x 1和sin(2x 2－2φ）的值中,一个为1，另一个为－1，不妨取sin 2x1＝1，sin(2x2－2φ）＝－1，则2x1＝2k1π＋错误!，k1∈Z,2x2－2φ＝2k2π－错误!,k2∈Z，2x1－2x2＋2φ＝2(k1－k2）π＋π，（k1－k2）∈Z，得｜x1－x2|＝错误!.因为0〈φ<错误!，所以0<错误!－φ<错误!,故当k1－k2＝0时，|x1－x2|min＝错误!－φ＝错误!,则φ＝错误!，故选D.4．函数f（x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f（x)的单调递减区间为( ）A.错误!，k∈ZB.错误!，k∈ZC。
2018年高考理数考前20天终极冲刺《解三角形》含答案
核心考点解读——解三角形1．（2017高考新课标Ⅰ，理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A. （1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.2．（2017高考新课标Ⅱ，理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2B AC +=． （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．3.（2017新课标III ，理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．已知sin 0A A =，a b =2.（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC,求△ABD 的面积.4.（2016高考新课标II ，理13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b = .5.（2016高考新课标III ，理8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =A B C ．- D ．-6.(2016高考新课标I ，理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （I ）求C ；（II ）若c ABC △=的面积为2，求ABC △的周长． 7. (2015高考新课标Ⅰ，理16)在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 . 8. (2015高考新课标Ⅱ，理17)ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍． (Ⅰ) 求sin sin BC∠∠；(Ⅱ)若1AD =，DC =BD 和AC 的长．1．在ABC △中,内角的对边分别为,若,则ABC △的面积为A ．3B ．C ．D ．2．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC △的面积为S ，若22232a b c =+，则222Sb c +的最大值为________________．3．已知ABC △中,π2A =,角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,点D 在边BC 上,1AD =,且BD =2,DC BAD ∠=2DAC ∠,则sin sin BC=__________． 4．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积术”，即ABC △的面积，其中a b c 、、分别为ABC △内角A B C 、、的对边.若2b =，且，则ABC △的面积S 的最大值为__________．5.在中，角 的对边分别为.（1）求角的大小； （2）若，求的面积.1. 在ABC △中,分别为内角的对边, 且,则A ．B ．C ．D ．2．已知ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且ABC △的面积S =b =，120B =o .（1）求b 、c 的值； （2）证明：tan 10S A =.真题回顾：1.（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =.故2sin sin 3B C =. （2）由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C BC -=-，即1cos()2B C +=-.所以2π3B C +=，故π3A =. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=故△ABC的周长为3.2.（1）由题设及A B C ++=π，可得2sin 8sin 2BB =，故()sin 41cos B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =(舍去)，15cos 17B =． （2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14=sin 217△ABC S ac B ac =．又=2ABC S △，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得：()()222217152c o s 21co217b ac acBa c =+-=+-+所以2b =． 3.（1）由已知可得tan A =2π3A =.在ABC △中，由余弦定理得22π2844cos 3c c =+-，即22240c c +-=.解得6c =- (舍去)，4c =.（2）由题设可得π2CAD ∠=，所以π6BAD BAC CAD ∠=∠-∠=.故ABD △面积与ACD △面积的比值为1πsin 26112AB AD AC AD ⋅⋅=⋅.又ABC △的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=，所以ABD △4.2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C =-+=+=+=，又因为sin sin a bA B=，所以s i n 21s i n 13a Bb A ==.5.C 【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以AC =，AB =．由余弦定理，知222222cos210AB AC BC A AB AC +-===-⋅，故选C ． 6.（I ）由已知及正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=，()2cos sin sin C ΑΒC +=． 故2sin cos sin C C C =．可得1cos 2C =，所以πC 3=．（II ）由已知，1sin 2ab C =．又π3C =，所以6ab =．由已知及余弦定理得，222cos 7a b ab C +-=．故2213a b +=，从而()225a b +=．所以ΑΒC △的周长为5【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=-()tan tan A B C +=-,这是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”.【解析】如图,作△PBC ,使∠B =∠C =75°,BC =2,作直线AD 分别交线段PB 、PC 于A 、D 两点(不与端点重合),且使∠BAD =75°,则四边形ABCD 就是符合题意的四边形.过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ,在△PBC 中,可求得BP =在△QBC 中,可求得BQ 所以AB 的取值范围为8.(Ⅰ)由题意，知1sin 2ABD S AB AD BAD =⋅∠△，1sin 2ADC S AC AD CAD =⋅∠△，因为2ABD ADC S S =△△，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC =△△，所以BD =ABD △和ADC △中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．又AD =1，cos 2BD CD ADB ADC ==∠与∠互为相反数，所以 222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．1．【答案】C 【解析】由可得,又因为,所以,所以ab=6,则.2．【答案】【解析】由22232a b c=+可得22223b ca+=，所以222222223cos22b cb cb c aAbc bc ++-+-===22263b cbc+≥=，所以tan2A==，当且仅当b=时取等号，所以2222sin sin tan22(2)12cos12S bc A bc A Ab c b c bc A===≤++．故222Sb c+的最大值为24．3．【答案】2【解析】由π2A=及2BAD DAC∠=∠可得BAD∠=π,3DAC∠=π6,由2BD DC=,令,2DC x BD x==则,因为1AD=,在ADC△中,由正弦定理可得1πsin sin6xC=,所以sin C=12x, 在ABD△中,πsin3sin2Bx==所以sinsinBC4．【答案】【解析】由题设可知，即，由正弦定理可得，所以，当242a a=⇒=时，5．【解析】（1）在中，，则，所以，所以，即，所以.（2）在中，，由余弦定理，得，所以，所以，.1.【答案】B【解析】因为,且,所以两式相减可得==,因为,所以,则2π3A=, 此时,则b=c,所以,故选B．2. 【解析】（1）由余弦定理2222cosb ac ac B=+-及b=，120B=o，得2227a a c ac=++，故2260a ac c --=，故(2)(3)a c a c -+=，故2c a =.又ABC △的面积为，所以21sin 2ac B a ==2a =，故b =4c =.（2）在ABC △中，由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 14a A Bb ==，又120B =o，所以A 是锐角，故cos A ==，所以sin tan cos A A A ===因为S =，所以tan 10S A =.。
2018版高考一轮总复习数学(理)习题第3章 三角函数、解三角形3-3含答案
(时间：40分钟)1．给定性质：①最小正周期为π;②图象关于直线x ＝错误!对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是（ ）A ．y ＝sin 错误!B ．y ＝sin 错误!C ．y ＝sin 错误!D ．y ＝sin ｜x ｜ 答案 B解析 注意到函数y ＝sin （）2x －π6的最小正周期T ＝错误!＝π，当x ＝错误!时，y ＝sin 错误!＝1，因此该函数同时具有性质①②。
2．函数y ＝2sin 错误!(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为（ ）A ．2－错误!B ．0C ．－1D ．－1－错误! 答案 A解析 ∵0≤x ≤9，∴－错误!≤错误!x －错误!≤错误!,∴sin 错误!∈错误!.∴y ∈,∴y max ＋y min ＝2－错误!。
3．函数f (x )＝tan ωx （ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝1所得的线段长为错误!，则f 错误!的值是( ）A．0 B．错误!C．1 D．错误!答案D解析由条件可知,f（x)的周期是错误!。
由错误!＝错误!，得ω＝4，所以f错误!＝tan错误!＝tan错误!＝错误!.4．函数y＝错误!的定义域为（)A．错误!B.错误!（k∈Z）C．错误!（k∈Z)D．R答案C解析∵cos x－错误!≥0，得cos x≥错误!，∴2kπ－错误!≤x≤2kπ＋错误!，k∈Z。
5．函数y＝2sin错误!(x∈）的递增区间是（)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!答案A解析首先将函数化为y＝－2sin错误!(x∈)，令t＝2x－错误!，x增大,t增大，所以为求函数的增区间,须研究y＝2sin t的减区间．由错误!＋2kπ≤2x－错误!≤错误!＋2kπ，k∈Z得错误!＋kπ≤x≤错误!＋kπ，k∈Z，所以k＝0时得错误!，故选A。
6．函数y＝3－2cos错误!的最大值为________,此时x＝________.答案 5 错误!＋2kπ（k∈Z)解析函数y＝3－2cos错误!的最大值为3＋2＝5，此时x＋错误!＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝错误!＋2kπ（k∈Z）．7．若函数y＝cos错误!(ω∈N*）的一个对称中心是错误!，则ω的最小值是________．答案2解析由题意得ω×错误!＋错误!＝错误!＋kπ(k∈Z),ω＝6k＋2(k∈Z),∵ω∈N*,所以ω的最小值是2。
2018届高中数学新人教b版(理科数学)三角函数图象与性质、三角恒等变换单元测试版含答案
专题三三角函数及解三角形第1讲三角函数图象与性质、三角恒等变换(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号同角三角函数关系式、诱导公式1,7三角恒等变换2,6,9三角函数图象与性质3,5,8,11综合应用4,10一、选择题1.(2017·河南天一大联考)若cos(-α)=,则cos(π-2α)等于( B )(A)(B)-(C)(D)-解析:cos(π-2α)=2cos2(-α)-1=-.故选B.2.(2017·云南民族中学三模)已知sin 2α=,则tan α+等于( A )(A)(B) (C) (D)4解析:由sin 2α=2sin αcos α=,可得sin αcos α=,所以tan α+=+==.故选A.3.(2017·成都实验外国语学校二诊)已知函数f(x)=sin2x+cos2x-,若将其图象向左平移(>0)个单位后所得的图象关于原点对称,则的最小值为( C )(A) (B) (C) (D)解析:函数f(x)=sin 2x+cos2x-=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),将其图象向左平移(>0)个单位后,可得y=sin(2x+2+)的图象,若该函数图象关于原点对称,则2+=kπ,k∈Z,故的最小值为.故选C.4.(2017·云南昆明一模)已知常数ω>0,f(x)=-1+2sin ωx cos ωx+2cos2ωx图象的对称中心到对称轴的距离的最小值为,若f(x0)=,≤x0≤,则cos 2x0等于( D )(A)(B)(C)(D)解析:f(x)=-1+2sin ωxcos ωx+2cos2ωx,sin 2ωx+cos 2ωx=2sin(2ωx+)因为对称中心到对称轴的距离的最小值为,所以T=π.由T==π,可得ω=1.f(x0)=,即2sin(2x0+)=,因为≤x0≤,所以≤2x0+≤,又sin(2x0+)=>0,所以cos(2x0+)=-.那么cos 2x0=cos(2x0+-)=cos(2x0+)cos+sin(2x0+)sin=. 故选D.5. (2017·青海西宁二模)函数y=cos(ωx+)(ω>0,0<<π)为奇函数,其部分图象如图所示,A,B分别为最高点与最低点,且|AB|=2,则该函数图象的一条对称轴方程为( D )(A)x= (B)x=。
2018届高三理科数学微专题复习二(立体几何中的三角形)
2018届高三理科数学微专题复习二（立体几何中的三角形）班级_________姓名_____________一、回顾教材直线与平面平行的判定定理：____________________________________________思考：证明这些平行、垂直关系的方法有哪些？1、如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；2、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D E 、分别是1AB BB 、的中点，12AA AC CB AB ===. (1)证明：11//BC ACD 平面；3、如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，01,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点. （Ⅰ）证明：直线//CE 平面PAB ；ABCDPEM1、等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足AD DB =12CE EA =（如图3）．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连结1A B 、1A C （如图4）．证明：1A D BCED ⊥平面2、如图5，在等腰直角三角形ABC 中，︒=∠90A ，6BC =，D E 、分别是AC AB 、上的点，CD BE ==O 为BC 的中点。
将ADE ∆沿DE 折起，得到如图6所示的四棱锥BCDE A -'，其中3='O A 。
证明：A O BCDE '⊥平面；3、如图，三棱柱111ABC A B C -中，011,,60CA CB AB AA BAA ==∠=.(1)证明：1AB AC ⊥；图6图5C DEA'OBA CB课后作业1、如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点.（I ）证明：//MN PAB 平面2、如图三棱锥111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥.（Ⅰ） 证明：1AC AB =；3、如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E F 、分别在AD CD 、上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H .将DEF ∆沿EF 折到'D EF ∆的位置10OD '=. （I ）证明：DH'⊥平面ABCD ；。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训第四章三角函数与解三角形4-4Word版含答案
真题演练集训1．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B.15C ．－15D ．－725 答案：D解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4·sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D. 2．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2答案：B解析：解法一：由tan α＝1＋sin βcos β，得 sin αcos α＝1＋sin βcos β， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得 α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2. 解法二：tan α＝1＋sin βcos β＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2， ∴α＝k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，k ∈Z ∴2α－β＝2k π＋π2，k ∈Z . 当k ＝0时，满足2α－β＝π2，故选B. 3．已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________. 答案： 2 1解析：由于2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以A ＝2，b ＝1.4．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值． 解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2. 又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因为－π2≤φ＜π2得k ＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6. (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. 因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158. 课外拓展阅读给值求角忽视角的范围致误已知α，β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则β＝________. ∵0<α<π，cos α＝17， ∴sin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437. 又∵sin(α＋β)＝5314， ∴cos(α＋β)＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫53142＝－1114. ∴sin β＝sin ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝32. 又∵0<β<π，∴β＝π3或2π3. (1)不能根据题设条件缩小α，β及α＋β的取值范围，在由同角基本关系式求sin(α＋β)时不能正确判断符号，产生两角解．(2)结论处应由cos β的值确定β的取值，由sin β确定结论时易出现两解而造成失误．因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α＝1－cos 2α＝437，故π3<α<π2.又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝5314<32，所以0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π. 由π3<α<π2，知2π3<α＋β<π， 所以cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1114， 所以cos β＝cos ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12， 又0<β<π，所以β＝π3. π3答题启示利用三角函数值求角时，要充分结合条件，确定角的取值范围，再选取合适的三角函数进行求值，最后确定角的具体取值．。
2018版高考数学一轮总复习第3章三角函数解三角形3.3三角函数的图象和性质模拟演练理
2018版高考数学一轮总复习 第3章 三角函数、解三角形 3.3 三角函数的图象和性质模拟演练 理[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．y ＝sin|x |答案 B解析 注意到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π，当x ＝π3时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝1，因此该函数同时具有性质①②.2．[2017·衡阳模拟]函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3答案 A解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝1所得的线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是( )A ．0B ．33C ．1D ． 3答案 D解析 由条件可知，f (x )的周期是π4.由πω＝π4，得ω＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π12＝tan π3＝ 3.4．[2017·南昌模拟]函数y ＝cos x －32的定义域为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R 答案 C 解析 ∵cos x －32≥0, 得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])的递增区间是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3 答案 A解析 首先将函数化为y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6(x ∈[0，π])，令t ＝2x －π6，x 增大，t 增大，所以为求函数的增区间，须研究y ＝2sin t 的减区间．由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z 得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，所以k ＝0时得⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，故选A.6．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________.答案 53π4＋2k π(k ∈Z ) 解析 函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )． 7．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值是________．答案 2解析 由题意得ω×π6＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，ω＝6k ＋2(k ∈Z )，∵ω∈N *，所以ω的最小值是2.8．[2017·郑州模拟]已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值为________．答案 32解析 因为f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以T 4≤π3，即π2ω≤π3.所以ω≥32，即ω的最小值为32. 9．设函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的定义域、周期和单调区间； (2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．解 (1)由x 2－π3≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠5π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠5π3＋2k π，k ∈Z. 因为ω＝12，所以周期T ＝πω＝2π.由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π(k ∈Z )，得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )．(2)由－1≤tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3≤3，得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π(k ∈Z )．解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )．所以不等式－1≤f (x )≤3的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z. 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解 ∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． (1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )，∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0.∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π，∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π4对称，则|φ|的最小值是( )A ．π4B ．π3C ．π6D ．π2答案 A解析 由题意可知，π4＋φ＝k π，k ∈Z ，故φ＝k π－π4，k ∈Z .当k ＝0时，φ＝－π4，此时|φ|＝π4为最小值，选A.12．[2017·石家庄模拟]若f (x )＝2sin ωx ＋1(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34解析 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω，k ∈Z .因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω.所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34. 13．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．答案 (3，2)解析 令y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如图所示．若2sin ( x ＋π3 )＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则y 1与y 2应有两个不同的交点，所以3<a <2.14．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，0对称．(1)求φ，ω的值； (2)求f (x )的单调递增区间；(3)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π2， 求f (x )的最大值与最小值．解 (1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)是R 上的偶函数，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，且0≤φ≤π，则φ＝π2，即f (x )＝cos ωx .因为图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，0对称，所以ω×34π＝π2＋k π，k ∈Z ，且0<ω<1，所以ω＝23.(2)由(1)得f (x )＝cos 23x ，由－π＋2k π≤23x ≤2k π且k ∈Z 得，3k π－3π2≤x ≤3k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－3π2，3k π，k ∈Z .(3)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π2，所以23x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3，当23x ＝0时，即x ＝0，函数f (x )的最大值为1， 当23x ＝－π2时，即x ＝－3π4，函数f (x )的最小值为0.。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训第四章三角函数与解三角形4-5Word版含答案
真题演练集训1．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x答案：A解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于⎝⎛⎭⎪⎫π4＋k π2，0对称，故B 不正确；C ，D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C ，D 不正确．2．设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 答案：B解析：由于f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝1－cos 2x 2＋b sin x ＋c .当b ＝0时，f (x )的最小正周期为π；当b ≠0时，f (x )的最小正周期为2π.c 的变化会引起f (x )图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5答案：B解析：因为x ＝－π4为函数f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以π2＝kT 2＋T4(k ∈Z ，T 为周期)，得T ＝2π2k ＋1(k ∈Z )．又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以T ≥π6，k ≤112.又当k ＝5时，ω＝11，φ＝－π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9.4．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．答案：π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z ) 解析：∵f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1 ＝12sin 2x －12cos 2x ＋32 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，∴ 函数f (x )的最小正周期T ＝π. 令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )．5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x－3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性． 解：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π.当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减． 课外拓展阅读 三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数中最基本的问题，是历年高考考查的重点和热点内容，对于这类问题如果能找到恰当的方法，掌握其规律，就可以简捷地求解．前面考点3中介绍了两种类型，还有如下几种常见类型．1．y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 型函数的最值可将y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 中的sin x 看作t ，即令t ＝sin x ，则y ＝at 2＋bt ＋c ，这样就转化为二次函数的最值问题．但这里应注意换元前后变量的取值范围要保持不变，即要根据给定的x 的取值范围，求出t 的范围．另外，y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c ，y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 等形式的函数的最值都可归为此类．设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，求函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最值．令t ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3→t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1→求得y ＝4t 2－12t －1的最值，即原函数的最值令t ＝sin x ，由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，故t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.y ＝4t 2－12t －1＝4⎝⎛⎭⎪⎫t －322－10，因为当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1时，函数单调递减， 所以当t ＝－12，即x ＝－π6时，y max ＝6；当t ＝1，即x ＝π2时，y min ＝－9.2．y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型函数的最值可利用降幂公式⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ＝1－cos 2x 2，cos 2x ＝1＋cos 2x 2，sin x cos x ＝sin 2x 2将y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 整理转化为y ＝A sin 2x ＋B cos 2x ＋C 求最值．求函数y ＝sin x (cos x －sin x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π4的最大值．y ＝sin x (cos x －sin x ) ＝sin x cos x －sin 2x ＝12sin 2x －1－cos 2x2 ＝12(sin 2x ＋cos 2x )－12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12.因为0<x <π4，所以π4<2x ＋π4<3π4，所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，y max ＝2－12.3．y ＝a sin x ＋cb cos x ＋d型函数的最值此类题目的特点是分子或分母中含有sin x 或cos x 的一次式的形式，一般可将其化为f (y )＝sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用三角函数的有界性求其最值．求函数y ＝3cos x2＋sin x 的最值．由y ＝3cos x2＋sin x ，得y sin x －3cos x ＝－2y ，所以y 2＋3sin(x －φ)＝－2y (其中φ为辅助角)，所以sin(x －φ)＝－2yy 2＋3，又|sin(x －φ)|≤1， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2y y 2＋3≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2y y 2＋32≤1， 解得－1≤y ≤1，故y max ＝1，y min ＝－1.4．y ＝a (sin x ±cos x )＋b sin x cos x ＋c 型函数的最值对于y ＝a (sin x ＋cos x )＋b sin x cos x ＋c ，令sin x ＋cos x ＝t ，t ∈，因为(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ，所以sin x cos x ＝t 2－12，则函数就变为y ＝at ＋b ·t 2－12＋c 的形式，因此，此类函数的最值也可通过换元转化为二次函数的最值问题．对于形如y ＝a (sin x －cos x )＋b sin x cos x ＋c 的函数也可采用同样的方法，另外，此类题目也应注意换元前后变量的取值范围要保持相同．求函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值．y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ， 令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈， 且sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝16－12t ＋9×t 2－12＝12(9t 2－24t ＋23)．故当t ＝43时，y min ＝72.5．通过换元转化为代数函数的最值通过换元的方法将三角函数的最值问题转化为代数函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性等求函数的最值．已知x ∈(0，π)，求函数y ＝3sin x1＋3sin 2x 的最大值．令sin x ＝tt→转化为求代数函数y ＝31t＋3t的最值→利用基本不等式求最值 令sin x ＝t (0<t ≤1)， 则y ＝3t 1＋3t 2＝31t＋3t ≤321t·3t＝12， 当且仅当t ＝33时等号成立．故y max ＝12. 已知x ∈(0，π)，求函数y ＝sin x ＋2sin x 的最小值．令sin x ＝t (0<t ≤1)，然后求导，利用函数的单调性求最值． 设sin x ＝t (0<t ≤1)， 则原函数可化为y ＝t ＋2t，因为y ′＝1－2t 2＝t 2－2t 2＝t －2t ＋2t2， 所以当0<t ≤1时，y ′<0，则y ＝t ＋2t在(0,1]上为减函数，所以当t ＝1时，y min ＝3.即函数y ＝sin x ＋2sin x 的最小值是3.温馨提示y ＝sin x ＋asin x型三角函数求最大值时，当sin x >0，a >1时，不能用基本不等式求最值，宜用函数在区间上的单调性求解．。
2018届高三理科数学考前50天专题小练(核心考点3：比较大小)
专题二：函数与导数核心考点3：比较大小 4月27日二、真题再现1.【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z2.【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<3.（2016年全国I 高考）若101a b c >><<，，则 （A ）c c a b <（B ）c c ab ba <（C ）log log b a a c b c <（D ）log log a b c c <4.（2016年全国3，理6）已知432a =，254b =，1325c =，则(A)b a c << (B)a b c << (C)b c a <<(D)c a b <<5.【2013新课标2，理8】设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则（） （A ）a b c >>（B ）b c a >>（C ）a c b >>（D ）C b a >>三高考预测1．已知函数()sin f x x x =+，若()3a f =，()2b f =，()2log 6c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. b a c <<D. b c a <<2．已知函数y =f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x >0时，不等式f (x )+x ⋅f′(x )<0成立，若a =30.2f (30.2)，b =(log π2)f (log π2)，c =(log 214)f (log 214)，则a ，b ，c 之间的大小关系为（ ）A. a >c >bB. c >a >bC. c >b >aD. b >a >c3．若函数()f x 对任意的R x ∈恒有()()13f x f x +=-，且当()12,2,x x ∈+∞，12x x ≠时，()()()12120f x f x x x ⎡⎤-->⎣⎦，设()0a f =，()b f π=，()1c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. c b a << B. c a b << C. b c a << D. b a c <<4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有A. a c b <<B. a b c <<C. c b a <<D. b c a <<5．设sin33,cos55,tan35a b c === ，则（）A. a b c >>B. c b a >>C. a c b >>D. c a b >>专题二：函数与导数核心考点3：比较大小参考答案 4月27日二、真题再现1.【2017课标1，理11】【答案】D【解析】试题分析：令235(1)x y z k k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k = ∴22lg lg3lg913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 【考点】指、对数运算性质 2.【2017天津，理6】【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【考点】指数、对数、函数的单调性 3.（2016年全国I 高考）【答案】C 4.（2016年全国3，理6）【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 【考点】幂函数的性质． 5.【2013新课标2，理8】【答案】D三高考预测1．【来源】【全国省级联考】山西省2018年高考考前适应性测试理科数学试题 【答案】D【解析】()f x x sinx =+ ，()1cos 0f x x ∴=+≥'()f x ∴单调递增，22log 63<<2(2)(log 6)(3)f f f <<，即b c a <<，故选D2．【来源】【全国市级联考】甘肃省兰州市2018届高三一诊数学试题 【答案】C【解析】构造函数g x =xf x ，则g′ x =f x +xf′ x ，当x >0时,不等式f x +x ⋅f′ x <0成立，∴当x >0时,g′ x <0,函数g x 单调递减. ∵函数y =f (x )是定义在R 上的偶函数，∴g −x =−xf −x =−xf x =−g x ， ∴g x 在R 上是奇函数，∴g x 在R 上是减函数.∵a =30.2f 30.2 ,b = log π2 f log π2 ,c = log 21 f log 21 ,log 21=−2,而−2<log π2<30.2，∴c >b >a . 本题选择C 选项. 3．【来源】【全国百强校】河北省沧州市普通高中高三上学期教学质量监测（联考）数学试题 【答案】A【解析】函数()f x 对任意的R x ∈恒有()()13f x f x +=-，则函数()f x 关于直线2x =对称， 由对称性可得：()()()()()04,,13a f f b fc f π=====，当()12,2,x x ∈+∞，12x x ≠时，()()()12120f x f x x x ⎡⎤-->⎣⎦，则函数()f x 在区间()2,+∞上是增函数，据此可得：()()()34f ff π<<，即c b a <<.本题选择A 选项. 4．【来源】【全国校级联考】天津市滨海新区2017届高三上学期八校联考（理科）数学试卷 【答案】A【解析】设120x x <<，则在()0,+∞上单调递减，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()g x 是定义在R 上的偶函数，因此()()()2.120.40.40.5g g g =>>，即a c b <<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 5．【来源】【全国校级联考】全国名校大联考2017-2018年度高三第三次联考数学（理）试题 【答案】B，c b a >>，故选B. 专题二：函数与导数核心考点3：比较大小 4月27日二、真题再现1.【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D【解析】试题分析：令235(1)x y z k k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k = ∴22lg lg3lg913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 【考点】指、对数运算性质【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，在用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式和0与1的对数表示.2.【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.3.（2016年全国I 高考）若101a b c >><<，，则 （A ）c c a b <（B ）c cab ba <（C ）log log b a a c b c <（D ）log log a b c c <【答案】C4.（2016年全国3，理6）已知432a =，254b =，1325c =，则(A)b a c << (B)a b c << (C)b c a <<(D)c a b << 【答案】A 【解析】试题分析：因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 【考点】幂函数的性质．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．5.【2013新课标2，理8】设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则（） （A ）a b c >>（B ）b c a >>（C ）a c b >>（D ）C b a >> 【答案】D三高考预测1．已知函数()sin f x x x =+，若()3a f =，()2b f =，()2log 6c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. b a c <<D. b c a << 【来源】【全国省级联考】山西省2018年高考考前适应性测试理科数学试题 【答案】D【解析】()f x x sinx =+ ，()1cos 0f x x ∴=+≥'()f x ∴单调递增，22log 63<<2(2)(log 6)(3)f f f <<，即b c a <<，故选D2．已知函数y =f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x >0时，不等式f (x )+x ⋅f′(x )<0成立，若a =30.2f (30.2)，b =(log π2)f (log π2)，c =(log 214)f (log 214)，则a ，b ，c 之间的大小关系为（ ） A. a >c >b B. c >a >b C. c >b >a D. b >a >c 【来源】【全国市级联考】甘肃省兰州市2018届高三一诊数学试题 【答案】C【解析】构造函数g x =xf x ，则g′ x =f x +xf′ x ，当x >0时,不等式f x +x ⋅f′ x <0成立，∴当x >0时,g′ x <0,函数g x 单调递减. ∵函数y =f (x )是定义在R 上的偶函数，∴g −x =−xf −x =−xf x =−g x ， ∴g x 在R 上是奇函数，∴g x 在R 上是减函数.∵a =30.2f 30.2 ,b = log π2 f log π2 ,c = log 214 f log 214 ,log 214=−2,而−2<log π2<30.2，∴c >b >a . 本题选择C 选项.3．若函数()f x 对任意的R x ∈恒有()()13f x f x +=-，且当()12,2,x x ∈+∞，12x x ≠时，()()()12120f x f x x x ⎡⎤-->⎣⎦，设()0a f =，()b f π=，()1c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. c b a << B. c a b << C. b c a << D. b a c << 【来源】【全国百强校】河北省沧州市普通高中高三上学期教学质量监测（联考）数学试题 【答案】A【解析】函数()f x 对任意的R x ∈恒有()()13f x f x +=-，则函数()f x 关于直线2x =对称， 由对称性可得：()()()()()04,,13a f f b fc f π=====，当()12,2,x x ∈+∞，12x x ≠时，()()()12120f x f x x x ⎡⎤-->⎣⎦，则函数()f x 在区间()2,+∞上是增函数，据此可得：()()()34f f f π<<，即c b a <<.本题选择A 选项.4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，A. a c b <<B. a b c <<C. c b a <<D. b c a << 【来源】【全国校级联考】天津市滨海新区2017届高三上学期八校联考（理科）数学试卷 【答案】A【解析】设120x x <<，则在()0,+∞上单调递减，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()g x 是定义在R 上的偶函数，因此()()()2.120.40.40.5g g g =>>，点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 5．设sin33,cos55,tan35a b c === ，则（）A. a b c >>B. c b a >>C. a c b >>D. c a b >> 【来源】【全国校级联考】全国名校大联考2017-2018年度高三第三次联考数学（理）试题 【答案】B，c b a >>，故选B.。
近年高考数学复习 第3章 三角函数、解三角形 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数课时分层训练
（浙江专版）2018高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数课时分层训练编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2018高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数课时分层训练）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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课时分层训练(十五) 任意角、弧度制及任意角的三角函数A组基础达标（建议用时：30分钟）一、选择题1．给出下列四个命题：①－错误!是第二象限角；②错误!是第三象限角;③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数有（)A．1个B．2个C．3个D．4个C［－错误!是第三象限角,故①错误。
错误!＝π＋错误!，从而错误!是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．] 2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )A．2 B．sin 2C.错误!D．2sin 1C［由题设知，圆弧的半径r＝错误!，∴圆心角所对的弧长l＝2r＝错误!。
］3．已知点P(cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B[由题意可得错误!则错误!所以角α的终边在第二象限,故选B。
］4．(2017·宁波镇海中学）已知点P错误!在角θ的终边上,且θ∈［0，2π）,则θ的值为( )A。
2018届高三理科数学(新课标)：专题三 三角函数 专题能力训练10 Word版含答案
专题能力训练10三角变换与解三角形能力突破训练1.在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sin B sin C,则A的取值范围是()A. B.C. D.2.已知=-,则sin α+cos α等于()A.-B.C.D.-3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为()A. B.C. D.4.在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC等于()A. B. C. D.5.(2017湖北七市一调)已知△ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,C=120°,a=2b,则tan A=.6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.7.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20a cos A,则sin A∶sin B∶sin C=.8.在△ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.9.(2017北京,理15)在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.10.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b tan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=;(2)求sin A+sin C的取值范围.11.设f(x)=sin x cos x-cos2.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值.思维提升训练12.若0<α<,-<β<0,cos,cos,则cos等于()A. B.- C. D.-13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足c sin A=a cos C.当sin A-cos取最大值时,角A的大小为()A. B. C. D.14.(2017湖北荆州一模)在△ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于点D,若C=,BC=8,BD=7,则△ABC的面积为.15.(2017河北石家庄二检)已知sin sin,α∈,则sin 4α的值为.16.在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin B sin C,则tan A tan B tan C的最小值是.17.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,<C<,且.(1)判断△ABC的形状;(2)若||=2,求的取值范围.参考答案专题能力训练10三角变换与解三角形能力突破训练1.C解析由正弦定理,得a2≤b2+c2-bc,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A,则cos A0<A<π,∴0<A2.D解析=-=2cos cosα+sinα=-,∴sinα+cosα=-,故选D.3.D解析由(a2+c2-b2)tan B=ac,得,即cos B=,则sin B=∵0<B<π,∴角B为故选D.4.C解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BA·BC cos∠ABC=()2+32-23cos=5.解得AC=由正弦定理,得sin∠BAC=5解析借助题设条件,先运用正弦定理将三角形中的边的关系转化化归为角的关系,再求解含角A的三角方程.由正弦定理可得sin A=2sin B,因为B=180°-A-120°=60°-A,所以sin A=2sin(60°-A),即sin A=cos A-sin A,所以2sin A=cos A,故tan A=6解析因为cos A=,cos C=,且A,C为△ABC的内角,所以sin A=,sin C=,sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=又因为,所以b=7.6∶5∶4解析∵A>B>C,∴a>b>c.设a=b+1,c=b-1(b>1,且b∈N*),由3b=20a cos A得3b=20(b+1),化简,得7b2-27b-40=0.解得b=5或b=-(舍去),∴a=6,c=4, ∴sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4.8.解(1)由余弦定理及题设得cos B=又因为0<B<π,所以B=(2)由(1)知A+C=cos A+cos C=cos A+cos=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos因为0<A<,所以当A=时,cos A+cos C取得最大值1.9.解(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,所以由正弦定理得sin C=(2)因为a=7,所以c=7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A得72=b2+32-2b×3,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=bc sin A=8×3=610.(1)证明由a=b tan A及正弦定理,得,所以sin B=cos A,即sin B=sin又B为钝角,因此+A,故B=+A,即B-A=(2)解由(1)知,C=π-(A+B)=π--2A>0,所以A,于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos2A=-2sin2A+sin A+1=-2因为0<A<,所以0<sin A<,因此<-2由此可知sin A+sin C的取值范围是11.解(1)由题意知f(x)==sin2x-由-+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x+kπ,k∈Z;由+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z);单调递减区间是(k∈Z).(2)由f=sin A-=0,得sin A=,由题意知A为锐角,所以cos A=由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得1+bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+,且当b=c时等号成立.因此bc sin A所以△ABC面积的最大值为思维提升训练12.C解析∵cos,0<α<,∴sin又cos,-<β<0,∴sin,∴cos=cos=cos cos+sin sin =13.A解析由正弦定理,得sin C sin A=sin A cos C.因为0<A<π,所以sin A>0,从而sin C=cos C.又cos C≠0,所以tan C=1,则C=,所以B=-A.于是sin A-cos sin A-cos(π-A)=sin A+cos A=2sin因为0<A<,所以<A+,从而当A+,即A=时,2sin取最大值2.故选A.14.20或24解析本题易错点在利用正弦定理时,产生缺解.在△CDB中,设CD=t,由余弦定理得49=64+t2-2×8t×cos60°,即t2-8t+15=0,解得t=3或t=5.当t=3时,CA=10,△ABC的面积S=10×8×sin60°=20;当t=5时,CA=12,△ABC的面积S=12×8×sin60°=24故△ABC的面积为20或2415.-解析因为sin=cos=cos,所以sin sin=sin cos sin=cos2α=,所以cos2α=因为<α<π,所以π<2α<2π.所以sin2α=-=-所以sin4α=2sin2αcos2α=-=-16.8解析sin A=sin(B+C)=2sin B sin C⇒tan B+tan C=2tan B tan C,因为tan A=-tan(B+C)=-,所以tan A tan B tan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan B tan C.因为△ABC为锐角三角形,所以tan A>0,tan B tan C>0,所以tan A+2tan B tan C≥2,当且仅当tan A=2tan B tan C时,等号成立,即tan A tan B tan C≥2,解得tan A tan B tan C≥8,即最小值为8.17.解(1)由及正弦定理,得sin B=sin2C,∴B=2C或B+2C=π.若B=2C,<C<,<B<π,B+C>π(舍去).若B+2C=π,又A+B+C=π,∴A=C,∴△ABC为等腰三角形.(2)∵||=2,∴a2+c2+2ac cos B=4.又由(1)知a=c,∴cos B=而cos B=-cos2C,<cos B<1,∴1<a2<=ac cos B=a2cos B,且cos B=, ∴a2cos B=2-a2。
2018年全国各地高考数学理科模拟试卷分项汇编专题4【三角函数与解三角形类题】及解析
A ymax ymin , B ymax ymin
(1)
2
2.
(2)由函数的周期 T
,T
求
2
.
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .
5．【2018 河南省中原名校质检二】已知α ∈ 0, π4，a = sinαsinα，b = cosαsinα，c = sinαcosα，则（
=
−
sin2x sin2x
= =
1−cos2x
2 cos2x−1
2
,x ,x
∈ ∈
0−,1212,0，∵
y
=
cos2x
在0,
1上递减，
2
在−
1 2
,0上递增，∴
y
=
fsinx在−
1 2
,
1上递增，∴命题“函数
2
f(sinx)是奇函数，且在(
−
1 2
,
1 2
)上是减函数”
错误，故选 A.
3．【2018 天津市滨海新区八校联考】已知在 ABC 中，
A. 函数 f(x)是周期函数且最小正周期为π C. 函数 f(x)在区间0, π2上的值域为1, 2 【答案】C
B. 函数 f(x)是奇函数
D.
函数
f(x)在π4
,
π是增函数
2
对于 D，f(x) =
2sin
sinx
+
π，令
4
t
=
sinx
+
π在π
44
,
π2上单调递增，t
∈
2 2
+
π 4
，1
+
π，
2018届高中数学人教B版(理科) 解三角形 单元测试 Word版 含答案
2018高考数学（理）周末培优训练5（解三角形）含解析 第05周 解三角形（测试时间：60分钟，总分：90分）班级：____________ 姓名：____________ 座号：____________ 得分：____________ 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1,30a b A === ，则B = A ．60 或120 B ．60 C ．120D ．30 或150【答案】Ab a >，∴60B =︒或120 ，故本题选A.2．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2c =，221a b =+，则cos a B =A ．58 B ．54C ．52D ．5【答案】B【解析】由余弦定理得，2222212cos 154cos a b a c ac B a a B=+=+-+=+-554cos 0cos 4a B a B ⇒-=⇒=,故选B. 3．若ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin23sin b A a B =，且2c b =，则ab等于A ．32BC ．43D【答案】B 【解析】2sin 23sin b A a B =4sin cos 3sin 4sin sin cos 3sin sin b A A a B B A A A B ⇒=⇒=2224cos 343,2b c a A bc+-⇒=⇒⋅=B.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 4．在中，，，分别为角，，的对边，若2a b +=，，则角的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】C5．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()sin sin 2sin2C B A A +-=，且2c =，则ABC △的面积为ABC D 【答案】A【解析】()()()sin sin sin sin 2sin cos 4sin cos C B A B A B A B A A A +-=++-==()sin 2sin cos 0B A A ⇒=≠C 2==若cos 0A =，即π2A =，又2c =，，所以b =，所以故选A.6．在ABC △中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，60,1A b ==，这个三角形的面，则ABC △外接圆的直径是ABC D 【答案】D【名师点睛】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理、余弦定理的综合应用，属于基础题；由已知利用三角形面积公式可解得c ，由余弦定理即可求得a 的值，利用正弦定理即可得ABC △外接圆的直径2R . 7．在中，若，,则一定是A ．钝角三角形B ．正三角形C ．等腰直角三角形D ．非等腰直角三角形【答案】B【解析】在ABC △中,∵22,sin sin sin a b c A B C =+=,∴由正弦定理可得2a =b +c ,且。
2018年高考数学(理)一轮复习课时达标第三章三角函数、解三角形18Word版含解析
课时达标 第18讲[解密考纲]本考点主要考查三角函数的概念、任意角和弧度制．通常以选择题、填空题的形式呈现．安排在比较靠前的位置．一、选择题1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( C ) A ．π3B ．π6C ．－π3D ．－π6解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A ，B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3，故选C ．2．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( A )A ．⎝⎛⎭⎫－12，32B ．⎝⎛⎭⎫－32，－12 C ．⎝⎛⎭⎫－12，－32D ．⎝⎛⎭⎫－32，12 解析：由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.3．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( A )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，解得－2<a ≤3. 4．(2017·福建三明模拟)设α是第二象限内，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则sin α＝( A )A ．45B ．－35C ．35D ．－45解析：因为r ＝x 2＋42，cos α＝15x ＝xx 2＋42，得x ＝3或x ＝－3，又因为α是第二象限角，则x ＝－3，r ＝5，所以sin α＝45，故选A ．5．(2017·安徽合肥模拟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( B )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ，将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1中可得cos 2θ＝15，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35，故选B ． 6．已知正角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小值为( D ) A ．5π6B ．2π3C ．5π3D ．11π6解析：∵⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3＝⎝⎛⎭⎫32，－12，∴角α为第四象限角，且sin α＝－12，cos α＝32，∴角α的最小值为11π6，故选D ．二、填空题7．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为－5π6.解析：∵2 010°＝676π＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6.8．设角θ为第四象限角，并且角θ的终边与单位圆交于点P (x 0，y 0)．若x 0＋y 0＝－13，则cos 2θ＝－179. 解析：由三角函数的定义，得x 0＝cos θ，y 0＝sin θ.∵ cos θ＋sin θ＝－13，两边平方得sin 2θ＝－89，∴cos 2θ＝±1－sin 22θ＝±179.∵θ为第四象限角，sin θ<0，cos θ>0，sin θ＋cosθ<0，∴|sin θ|>|cos θ|，∴cos 2θ＝|cos θ|2－|sin θ|2<0，∴cos 2θ＝－179. 9．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第四象限角． 解析：由α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z )，k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )，知α2是第二或第四象限角，再由⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，知sin α2<0，所以α2只能是第四象限角．三、解答题10．角α的终边上的点P 与A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠0，b ≠0)，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin αcos β＋tan αtan β＋1cos αsin β的值． 解析：由题意可知P 点坐标为P (a ，－b )，Q 点的坐标为Q (b ，a )． 根据三角函数定义得sin α＝－b a 2＋b 2，cos α＝a a 2＋b 2，tan α＝－b a ，sin β＝aa 2＋b 2，cos β＝b a 2＋b2，tan β＝a b ，所以sin αcos β＋tan αtan β＋1cos αsin β＝－1－b 2a 2＋a 2＋b2a 2＝0. 11．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB ． 解析：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6， ∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 12．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求α2的终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解析：(1)由sin α<0，知α的终边在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0，知α的终边在第一、三象限，故α的终边在第三象限，其集合为 ⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫(2k ＋1)π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由(2k ＋1)π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2的终边在第二、四象限．(3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0， 所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此tan α2sin α2cos α2取正号．。
2018届高三数学(理)一轮总复习课时规范训练第三章三角函数、解三角形3-1Word版含答案
课时规范训练 [A 级 基础演练]1．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角解析：选C.易知cos θ与tan θ异号，∴θ是第三或第四象限角．2．如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)解析：选A.由三角函数的定义知P (cos θ，sin θ)．3．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3B ．π6C ．－π3D ．－π6解析：选C.将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，3]B ．(－2，3)C ．解析：选A.∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.故选A. 5．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )解析：选C.与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．6．点P 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D ．⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 解析：选A.由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 7．若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选C.由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角．由cos αtan α＜0可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角，故α为第三象限角．8．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为 ．解析：2 010°＝676π＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6.答案：－5π69．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转到90°到B 点，则B 点坐标为 ．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)10．已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l 为 ． 解析：设扇形的半径为r cm ，如图．∠AOB ＝120°，12∠AOB ＝60°，12AB ＝6，由sin 60°＝6r ，得r ＝4 3 cm ，∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π(cm)．答案：833π cm[B 级 能力突破]1．(2017·江淮十校联考)已知锐角α，且5α的终边上有一点P (sin(－50°)，cos 130°)，则α的值为( )A ．8°B ．44°C ．26°D ．40°解析：选B.∵sin(－50°)＝－cos 40°＝cos (180°＋40°)＝cos 220°<0，cos 130°＝－cos 50°＝－sin 40°＝sin (180°＋40°)＝sin 220°<0，∴点P (sin(－50°)，cos 130°)在第三象限． 又∵0°<α<90°，∴0°<5α<450°.又∵点P 的坐标可化为(cos 220°，sin 220°)， ∴5α＝220°，∴α＝44°，故选B.2．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B.由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4D ．2或4解析：选C.设此扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2. 从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.4．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第 象限角． 解析：由α是第三象限角，知2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )，k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z )，知α2是第二或第四象限角，再由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2＜0，所以α2只能是第四象限角．答案：四5．若x ∈(0，2π)，则sin x ＞12的必要不充分条件是( )A.π6＜x ＜5π6 B ．π6＜x ＜πC.π6＜x ＜π2D ．π3＜x ＜5π6解析：选B.依题意，由sin x ＞12，x ∈(0，2π)得知π6＜x ＜5π6，可以推得π6＜x ＜π；反过来，由π6＜x ＜π不能得出sin x ＞12，如取π6＜x ＝5π6＜π，此时sin x ＝12.因此，sin x ＞12的必要不充分条件是π6＜x ＜π，故选B.6.如图，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴的正半轴的交点，A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫513，1213，∠AOB ＝90°. (1)求cos ∠COA ； (2)求tan ∠COB .解：(1)因为A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213，根据三角函数的定义可得cos ∠COA ＝513. (2)因为∠AOB ＝90°，sin ∠COA ＝1213，所以cos ∠COB ＝cos (∠COA ＋90°)＝－sin ∠COA＝－1213.又点B 在第二象限，所以sin ∠COB ＝1－cos 2∠COB ＝513，故tan ∠COB ＝sin ∠COB cos ∠COB ＝－512.。
2018届高三数学(理)一轮总复习练习-第三章三角函数、解三角形3-4Word版含答案
课时规范训练[A 级 基础演练]1．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b解析：选C.∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .2．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析：选B.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．3．(2016·高考山东卷)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.32πD ．2π解析：选B.法一：由题意得f (x )＝3sin x cos x －3sin 2x ＋3cos 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 .故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.法二：由题意得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6×2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.4．(2016·高考全国甲卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )解析：选B.法一：将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )得，∴x ＝π6＋k2π.(k ∈Z )，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．法二：∵y ＝2sin 2x 的对称轴为x ＝π4＋k 2π，向左平移π12个单位后为x ＝π4－π12＋k 2π＝π6＋k2π，故选B. 5．(2017·长春模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋ф)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为 ．解析：函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2向左平移π6个单位后得到函数为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，因为此时函数为奇函数，所以π3＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋k π(k ∈Z )．因为|φ|<π2，所以当k ＝0时，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，即当2x －π3＝－π3时，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3有最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32. 答案：－326．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝ ． 解析：由已知条件可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，又由0≤x <2π得－π3≤x －π3<5π3，当x －π3＝π2时y 取得最大值，此时x ＝5π6.答案：5π67．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 ．解析：分析三角函数图象，根据最小值求k ，再求最大值．根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.答案：88．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为 ． 解析：利用正弦函数的对称性求周期． ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， ∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3. ∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.答案：π9．(2016·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－38π，k π＋π8k ∈Z .10．已知函数y ＝f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＋a (x ∈R )，其中a 为常数． (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期；(2)如果y ＝f (x )的最小值为0，求a 的值，并求此时f (x )的最大值及图象的对称轴方程．解：(1)y ＝f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，所以函数的最小正周期T ＝π.(2)f (x )的最小值为0，所以－2＋a ＋1＝0，故a ＝1， 所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2的最大值等于4.当2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π2＋π6(k ∈Z )时函数有最大值或最小值， 故函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．[B 级 能力突破]1．同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上是增函数”的一个函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3解析：选C.对于A ，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的最小正周期为4π，故排除A ；对于B ，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的最小正周期为4π，故排除B ；对于D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3时，2x ＋π3∈(0，π)，此时y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3单调递减，故排除D.选C.2．函数f (x )＝|sin x |＋2|cos x |的值域为( ) A ．[1， 5 ] B ．[1，2] C ．[2， 5 ]D ．[5，3]解析：选A.∵f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＋2|cos(x ＋π)|＝|－sin x |＋2|－cos x |＝|sin x |＋2|cos x |，∴f (x )为偶函数，f (x )为周期函数，其中的一个周期为π，故只需考虑f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域即可．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ＋2cos x ＝5sin(x ＋α)，其中cos α＝15，sin α＝25，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝5，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin(x ＋β)，其中cos β＝15， sin β＝－25，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝5，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，∴f (x )的值域为[1， 5 ]．3．(2017·江西南昌一模)如图，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )分别是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与两条直线l 1：y ＝m (A ≥m ≥0)，l 2：y ＝－m 的两个交点，记S (m )＝|x N －x M |，则S (m )的图象大致是( )解析：选C.如图所示，作曲线y ＝f (x )的对称轴x ＝x 1，x ＝x 2，点M 与点D 关于直线x ＝x 1对称，点N 与点C 关于直线x ＝x 2对称，所以x M ＋x D ＝2x 1，x C＋x N ＝2x 2，所以x D ＝2x 1－x M ，x C ＝2x 2－x N ，又点M 与点C 、点D 与点N 都关于点B 对称，所以x M ＋x C ＝2x B ，x D ＋x N ＝2x B ，所以x M ＋2x 2－x N ＝2x B ，2x 1－x M ＋x N ＝2x B ， 得x M －x N ＝2(x B －x 2)＝－T2， x N －x M ＝2(x B －x 1)＝T2，所以|x M －x N |＝T2(常数)，其中，T 为f (x )的周期，选C.4．设函数f (x )＝|cos x |＋|sin x |，下列四个结论正确的是 ． ①f (x )是奇函数；②f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称；③当x ∈[0，2π]时，f (x )∈[1，2]；④当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )单调递增．解析：对于①，f (－x )＝|cos(－x )|＋|sin(－x )|＝|cos x |＋|sin x |，∴f (－x )＝f (x )是偶函数，①不正确；对于②，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，因此函数f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，②正确；对于③④，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，因此函数f (x )是以π2为周期的函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝|sin x |＋|cos x |＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的值域是[1，2]，故当x ∈[0，2π]时，f (x )∈[1，2]，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2>1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上不是增函数，故③正确，④不正确．综上所述，其中正确的结论是②③.答案：②③5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω>0)，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间． 解：(1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －4×1－cos 2ωx 2＋2＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝3sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3(ω>0)， 根据函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，可得函数f (x )的最小正周期为2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋m ）＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋π3的图象， 根据g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，可得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －π3＝0，所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，因为m >0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6. 此时，g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z .结合x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12，可得g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12.。
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专题一：三角函数 核心考点3：判断三角形形状 4月20日二、真题再现1.（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定2.（2012年高考（上海理））在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是 （ ） A ．锐角三角形. B ．直角三角形. C ．钝角三角形. D ．不能确定.3.（2010上海文数）18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC（A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.三、高考预测1. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若，则ABC ∆是（ ） A. 等边三角形 B. 锐角三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形2. 在ABC ∆中，角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，若c os c os a A b B =，则ABC ∆为（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形3．“cos cos a A b B =”是“ΔABC 为等腰三角形”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若cos sin 0bx y A B ++=与cos cos 0ax y B B ++=平行，则ABC ∆一定是（ ）A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰三角形5. (山西大学附中期中),cos ,,cos ,,cos A B C m a n b p c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪共线，其中,,a b c , ,,A B C 分别是ABC ∆的三条边及相对三个角，则ABC ∆的形状是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形专题一：三角函数 核心考点3：判断三角形形状参考答案 4月20日1.（2013年高考陕西卷（理））【答案】B【解析】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以A A B C C B sin sin cos sin cos sin =+ 又A C B B C C B sin )sin(cos sin cos sin =+=+。
联立两式得A A A sin sin sin =。
所以2,1sin π==A A 。
选B2.（2012年高考（上海理））答案：C3.（2010上海文数）解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角三、高考预测1. 【来源】【全国市级联考】湖南省永州市2018届高三第二次模拟考试理科数学试题【答案】C【解析】sin sin c B +1sin ∴=，当“=”成立， ABC ∴∆是等腰直角三角形，故选C.2. 【来源】【全国百强校】河北省武邑中学2018届高三下学期开学考试数学（理）试题【答案】D022022sin2sin22222A B A B A B A B A B πππ<<<<=∴=+=∴=或或. 故选D.3．【来源】【全国百强校】山东省师大附中2017-2018学年高三第三次模拟考试数学（理）试题【答案】D【解析】由cos cos a A b B =可得sin cos sin cos A A B B =,则sin2sin2A B =,则A=B 或A+B 因此充分性不成立;若ΔABC 为等腰三角形,令b c a =≠,则cos cos a A b B ≠,即必要性不成立,故“cos cos a A b B =”是“ΔABC 为等腰三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D4. 【来源】【全国市级联考】河南省洛阳市17-18学年高二上学期期末考试 数学（理）试卷【答案】D5. 【来源】2018届高三数学训练题(29)：正弦定理、余弦定理【答案】B【解析】,cos m a ⎛= ⎝与,cos n b ⎛= 由正弦定理，得sin cossin cos 2A A B ，化简，得 同理，由,cos n b ⎛= ,cos C p c ⎛= 共线得到B C =， 即A B C ==，即ΔABC 是等边三角形．专题一：三角函数 核心考点3：判断三角形形状 4月20日二、真题再现1.（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定【答案】B【解析】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以A A B C C B sin sin cos sin cos sin =+ 又A C B B C C B sin )sin(cos sin cos sin =+=+。
联立两式得A A A sin sin sin =。
所以2,1sin π==A A 。
选B2.（2012年高考（上海理））在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是 （ ）A ．锐角三角形.B ．直角三角形.C ．钝角三角形.D ．不能确定.答案：C3.（2010上海文数）18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC（A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角三、高考预测1. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若，则ABC ∆是（ ） A. 等边三角形 B. 锐角三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形【来源】【全国市级联考】湖南省永州市2018届高三第二次模拟考试理科数学试题【答案】C【解析】sin sin c B +1sin ∴=，当“=”成立，ABC ∴∆是等腰直角三角形，故选C.2. 在ABC ∆中，角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，若c os c os a A b B =，则ABC ∆为（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【来源】【全国百强校】河北省武邑中学2018届高三下学期开学考试数学（理）试题【答案】D022022sin2sin22222A B A B A B A B A B πππ<<<<=∴=+=∴=或或. 故选D.3．“cos cos a A b B =”是“ΔABC 为等腰三角形”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【来源】【全国百强校】山东省师大附中2017-2018学年高三第三次模拟考试数学（理）试题【答案】D【解析】由cos cos a A b B =可得sin cos sin cos A A B B =,则sin2sin2A B =,则A=B 或A+B 因此充分性不成立;若ΔABC 为等腰三角形,令b c a =≠,则cos cos a A b B ≠,即必要性不成立,故“cos cos a A b B =”是“ΔABC 为等腰三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D4. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若cos sin 0bx y A B ++=与cos cos 0ax y B B ++=平行，则ABC ∆一定是（ ）A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰三角形【来源】【全国市级联考】河南省洛阳市17-18学年高二上学期期末考试 数学（理）试卷【答案】D5. (山西大学附中期中),cos ,,cos ,,cos A B C m a n b p c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪共线，其中,,a b c , ,,A B C 分别是ABC ∆的三条边及相对三个角，则ABC ∆的形状是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【来源】2018届高三数学训练题(29)：正弦定理、余弦定理【答案】B【解析】,cos m a ⎛= ⎝与,cos n b ⎛= 由正弦定理，得sin cossin cos 2A A B ，化简，得 同理，由,cos n b ⎛= ,cos C p c ⎛= 共线得到B C =， 即A B C ==，即ΔABC 是等边三角形．。