自动控制原理第二章
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自动控制原理第2章
自动控制理论
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
自动控制原理第二章
4
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵 循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。适用于简单、典型、常见的
系统，
实验法：对系统或元件输入一定形式的信 号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号 等），根据系统或元件的输出响应，经过数 据处理而辨识出系统的数学模型。适用于复杂、
非常见的系统。 实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。
许多情况下传递函数是能完全反映系统的动 态性能的 。
20
一、传递函数的概念与定义
Ur(s)
G(s)
Uc(s)
U c( s ) G( s ) U r( s )
21
二、关于传递函数的几点说明
传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用 拉氏变换导出； 传递函数完全取决于系统内部的结构、参数， 而与输入、输出无关； 传递函数只表明一个特定的输入、输出关系， 对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递 函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章）
L
R i
ui
C
uc
24
解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络 作为校正元件。无源网络通常由电阻、电容、电感 组成，利用电路理论可方便地求出其动态方程，对 其进行拉氏变换即可求出传递函数。这里用直接求 的方法。因为电阻、电容、电感的复阻抗分别为R、 1∕Cs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。
式中：T为时间常数， 为阻尼系数。 ⑦二阶微分环节，传递函数为
2 2
1 G(s) 2 2 T s 2 Ts 1
式中： 为时间常数， 为阻尼系数 此外，还经常遇到一种延迟环节，设延迟时间 为 ，该环节的传递函数为：
G(s) s 2 s 1
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵 循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。适用于简单、典型、常见的
系统，
实验法：对系统或元件输入一定形式的信 号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号 等），根据系统或元件的输出响应，经过数 据处理而辨识出系统的数学模型。适用于复杂、
非常见的系统。 实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。
许多情况下传递函数是能完全反映系统的动 态性能的 。
20
一、传递函数的概念与定义
Ur(s)
G(s)
Uc(s)
U c( s ) G( s ) U r( s )
21
二、关于传递函数的几点说明
传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用 拉氏变换导出； 传递函数完全取决于系统内部的结构、参数， 而与输入、输出无关； 传递函数只表明一个特定的输入、输出关系， 对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递 函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章）
L
R i
ui
C
uc
24
解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络 作为校正元件。无源网络通常由电阻、电容、电感 组成，利用电路理论可方便地求出其动态方程，对 其进行拉氏变换即可求出传递函数。这里用直接求 的方法。因为电阻、电容、电感的复阻抗分别为R、 1∕Cs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。
式中：T为时间常数， 为阻尼系数。 ⑦二阶微分环节，传递函数为
2 2
1 G(s) 2 2 T s 2 Ts 1
式中： 为时间常数， 为阻尼系数 此外，还经常遇到一种延迟环节，设延迟时间 为 ，该环节的传递函数为：
G(s) s 2 s 1
自动控制原理第二章
at
1 te (s a)2 sin t 2 s 2 s cos t 2 s 2
at
拉普拉斯积分下限说明：
在拉氏变换定义中，积分下限0，有左极限和右极限之分，对于在t 0 处连续或只有第一类间断点的函数， 0的左极限与右极限是相同的，对于 t 0处有无穷跳跃的函数，两种极限则是不同的。 在实际中，右极限没有体现出[0 , 0 ]区间内的跳跃性，而左极限包含这 一区间，所以0 型的拉式变换反应了客观事实，因此在拉氏变换过程中， 如不特殊声明，均认为是左极限变换。
2.常用函数拉普拉斯变换
(1) (2) (3) (4) (5)
(t ) 1 1 1(t ) s 1 t 2 s t n 1 1 n (n 1) ! s 1 at e sa
(6) (7) (8)
(9) e sin t ( s a)2 2 sa at (10) e cos t ( s a)2 2
1 周期： T f
K
Tห้องสมุดไป่ตู้
角频率： 2π f 频率： f 初相：
0
2
t
● 正弦信号为单频率信号，适于测试系统频率特性。
1-5 自动控制系统的分析与设计工具
Matlab 草稿纸式编程语言 良好的人机界面 结论可做一定等级的理论论据 Simulink工具箱
求微分方程的特解 .
控制系统建模的MATLAB方法
在控制系统系统分析和设计中，首要任务是建立系统的数学模型。 控制系统数学模型：描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式；
（1）静态数学模型：在静态条件（即变量各阶导数为零）下，描述变量之间关系
1 te (s a)2 sin t 2 s 2 s cos t 2 s 2
at
拉普拉斯积分下限说明：
在拉氏变换定义中，积分下限0，有左极限和右极限之分，对于在t 0 处连续或只有第一类间断点的函数， 0的左极限与右极限是相同的，对于 t 0处有无穷跳跃的函数，两种极限则是不同的。 在实际中，右极限没有体现出[0 , 0 ]区间内的跳跃性，而左极限包含这 一区间，所以0 型的拉式变换反应了客观事实，因此在拉氏变换过程中， 如不特殊声明，均认为是左极限变换。
2.常用函数拉普拉斯变换
(1) (2) (3) (4) (5)
(t ) 1 1 1(t ) s 1 t 2 s t n 1 1 n (n 1) ! s 1 at e sa
(6) (7) (8)
(9) e sin t ( s a)2 2 sa at (10) e cos t ( s a)2 2
1 周期： T f
K
Tห้องสมุดไป่ตู้
角频率： 2π f 频率： f 初相：
0
2
t
● 正弦信号为单频率信号，适于测试系统频率特性。
1-5 自动控制系统的分析与设计工具
Matlab 草稿纸式编程语言 良好的人机界面 结论可做一定等级的理论论据 Simulink工具箱
求微分方程的特解 .
控制系统建模的MATLAB方法
在控制系统系统分析和设计中，首要任务是建立系统的数学模型。 控制系统数学模型：描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式；
（1）静态数学模型：在静态条件（即变量各阶导数为零）下，描述变量之间关系
自动控制原理_第二章
Gk ( s) G ( s) H ( s)
B( s) G1 ( s)G2 ( s) H ( s) E ( s)
注意：这里的开环传递函数是针对闭环系统而言的，而不是指开环系 统的传递函数。
解：首先对小车进行受力分析，在水平方向应 用牛顿第二定律可写出：
dy(t ) d 2 y (t ) F (t ) f Ky (t ) m dt dt 2
令
2
T
m f , 可得 K 2 mK
图2 弹簧-质量-阻尼器系统图
d 2 y( t ) dy(t ) F (t ) T 2 T y ( t ) dt 2 dt K
用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤是：
（1）根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输
入、输出变量；
（2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量 所遵循的物理（或化学）定律，列写出各元部件的动态方程， 一般为微分方程组； （3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； （4）将微分方程标准化。即将与输入有关的各项放在等 号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。
以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增量方程， 经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。
二、复频域模型 – 传递函数
（1）利用时域卷积获得：
如果已知系统单位脉冲响应为g(t),则任意输入r(t)的响应输出c(t):
c( t )
r ( ) g(t )d
c(t ) r ( ) g(t )d
0 t
考虑到物理可实现性，上式改为： 对上式做拉氏变换得：
C ( s) R( s)G( s) G( s)
C ( s) R( s )
自动控制原理(第二章)
基本步骤： （1）由系统原理图画出系统方框图或直接确定 系统中各个基本部件（元件） （2）列写各方框图的输入输出之间的微分方程， 要注意前后连接的两个元件中，后级元件对前级 元件的负载效应 （3）消去中间变量
11
一、控制系统的时域数学模型
举例4：
速度控制系统的微分方程
12
一、控制系统的时域数学模型
m
d x(t ) dt 2
2
F (t ) F1 (t ) F2 (t )
dx(t ) F (t ) f Kx(t ) dt
式中 F1（t）是阻尼器的阻尼力， F2（t）是弹簧反力
9
一、控制系统的时域数学模型
比较: R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统 运动方程
LC
d 2 uC (t ) dt 2
1
本章内容：
一、控制系统的时域数学模型 二、控制系统的复数域数学模型 三、控制系统的结构图与信号流图
数学模型
时域模型
频域模型
方框图和信号流图
状态空间模型
2
控制系统的数学模型是描述系统内部 物理量之间关系的数学表达式。
模型
静态数学模型 动态数学模型
分析法
建模方法
实验法
3
本章要求:
1、了解建立系统微分方程的一般方法； 2、掌握运用拉氏变换解微分方程的方法； 3、牢固掌握传递函数的概念、定义和性质； 4、明确传递函数与微分方程之间的关系； 5、能熟练地进行结构图等效变换； 6、明确结构图与信号流图之间的关系；
7、熟练运用梅逊公式求系统的传递函数；
8、掌握从不同途径求传递函数的方法。
4
一、控制系统的时域数学模型
主要着重研究描述线性、定常、集总参量控制 系统的微分方程的建立和求解方法。
11
一、控制系统的时域数学模型
举例4：
速度控制系统的微分方程
12
一、控制系统的时域数学模型
m
d x(t ) dt 2
2
F (t ) F1 (t ) F2 (t )
dx(t ) F (t ) f Kx(t ) dt
式中 F1（t）是阻尼器的阻尼力， F2（t）是弹簧反力
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一、控制系统的时域数学模型
比较: R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统 运动方程
LC
d 2 uC (t ) dt 2
1
本章内容：
一、控制系统的时域数学模型 二、控制系统的复数域数学模型 三、控制系统的结构图与信号流图
数学模型
时域模型
频域模型
方框图和信号流图
状态空间模型
2
控制系统的数学模型是描述系统内部 物理量之间关系的数学表达式。
模型
静态数学模型 动态数学模型
分析法
建模方法
实验法
3
本章要求:
1、了解建立系统微分方程的一般方法； 2、掌握运用拉氏变换解微分方程的方法； 3、牢固掌握传递函数的概念、定义和性质； 4、明确传递函数与微分方程之间的关系； 5、能熟练地进行结构图等效变换； 6、明确结构图与信号流图之间的关系；
7、熟练运用梅逊公式求系统的传递函数；
8、掌握从不同途径求传递函数的方法。
4
一、控制系统的时域数学模型
主要着重研究描述线性、定常、集总参量控制 系统的微分方程的建立和求解方法。
自动控制原理第2章
略去高次项，
yy0 dfd(IT
第2章第20页
② 两个自变量
y=f(r1， r2)
静态工作点： y0=f(r10， r20)
在y0=f(r10， r20) 附近展开成泰勒级数，即
y
f
(r10,r20)rf1
(r1
r10)rf2
(r2
r20)
EXIT
第2章第14页
2.1.3 机电系统
图示为一他激直流电动机。 +
图中，ω为电动机角速度
（ rad/s ） ， Mc 为 折 算 到 电 ua 动机轴上的总负载力矩 _
（ N·m ） ， ua 为 电 枢 电 压 + （V）。设激磁电流恒定，
并忽略电枢反应。
_
ia La
ea Ra
Mc
负载
取得u: a为给定输入量， ω为输出量，Mc为扰动量，忽略电枢电感，
• 传递函数是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统或 元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的一 种数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数对系统响 应的影响。
EXIT
第2章第26页
1. 定义 零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变
换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函 数，记为G(s)，即：
例 一个由弹簧-质量-阻尼器组成 的机械平移系统如图所示。m为物 体质量，k为弹簧系数，f 为粘性 阻尼系数，外力F(t)为输入量，位 移x(t)为输出量。列写系统的运动 方程。
F
k
m x
EXIT
第2章第10页
解 在物体受外力F的作用下，质量m相对于初始状态的位移、速 度、加速度分别为x、dx/dt、d2x/dt2 。设外作用力F为输入量，位 移 x 为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关 系和牛顿第二定律，可列出作用在上的力和加速度之间的关系为
自动控制原理 第二章
lim sX ( s )
s
存在，则
x ( 0 ) lim sX ( s )
s
6)延迟定理
L[ x(t )1(t )] = esX(s)
L[eat x(t)] = X(s + a)
7)时标变换
t L x aX ( as ) a
(0)
1 s
x
( 2 )
(0)
若x1(0)= x2(0) = … = 0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，
x t dt
1 s
X s
L
x t dt
1 s
2
X s
L x t dt n
1 X s n s
例2-2 电阻－电感－电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur(t) 为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。
ur(t)
R
L
C uc(t)
解：（1）确定输入量
为ur(t)，输出量为uc(t)，中 间变量为i(t)。
i(t) ur(t)
R
L C
uc(t)
（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。
1 s
0
例2-4 求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。
解：
X ( s ) L x ( t ) t s e
st 0
te
0
st
dt e
st
0
1 s
dt
1 s
2
X ( s ) L t L 1 s
1 ( t )dt
s
存在，则
x ( 0 ) lim sX ( s )
s
6)延迟定理
L[ x(t )1(t )] = esX(s)
L[eat x(t)] = X(s + a)
7)时标变换
t L x aX ( as ) a
(0)
1 s
x
( 2 )
(0)
若x1(0)= x2(0) = … = 0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，
x t dt
1 s
X s
L
x t dt
1 s
2
X s
L x t dt n
1 X s n s
例2-2 电阻－电感－电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur(t) 为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。
ur(t)
R
L
C uc(t)
解：（1）确定输入量
为ur(t)，输出量为uc(t)，中 间变量为i(t)。
i(t) ur(t)
R
L C
uc(t)
（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。
1 s
0
例2-4 求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。
解：
X ( s ) L x ( t ) t s e
st 0
te
0
st
dt e
st
0
1 s
dt
1 s
2
X ( s ) L t L 1 s
1 ( t )dt
自动控制原理 第二章
C1
U c1 R2i2 U c 2
③
U 2 U c2 ⑤
由④、⑤得
dU c 2 dU 2 i2 C 2 C2 dt dt
由②导出 dUc1 dUc1 dU 2 i1 C1 i2 C1 C2 dt dt dt 将i1、i2代入①、③，则得
U1 R1 R2 i2 U c 2
ts 0
拉氏变换函数 （象函数）
原函数
衰减因子，其中： τ -时间常数 s = -σ+jω 为拉氏变换算 子，其中： σ-衰减系数 ω -振荡频率（rad/s）
由拉氏变换的定义得1(t)的象函数为
F ( s ) L[1(t )] 1 e dt
st 0
1 st 1 e |0 s s
例2-1： 如图所示，由一RC组成的四端无源网络。 试列写以U1(t)为输入量，U2(t)为输出量 的网络微分方程。
R1 R2
U1
C1
C2
U2
图2-1
RC组成的四端网络
解：设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列写 方程如下：
R1 R2
U1
I1
C1
I2
C2
U2
U1 R1i1 U c1图2-1 ①RC组成的四端网络 1 U i dt 1 ④ c 2 2 ② U c1 C2 (i1 i2 )dt
控制系统数学模型的类型
时域（t）模型 微分方程
复域（S）模型 传递函数
结构图=原理图 ＋传递函数
频域（ω）模型 频率特性
常见数学模型： 时域：微分方程；差分方程；状态方程 复数域：传递函数 频域：频率特性
表达形式 时域：微分方程、差分方程、状态方程 复域：传递函数、动态结构图 频域：频率特性
U c1 R2i2 U c 2
③
U 2 U c2 ⑤
由④、⑤得
dU c 2 dU 2 i2 C 2 C2 dt dt
由②导出 dUc1 dUc1 dU 2 i1 C1 i2 C1 C2 dt dt dt 将i1、i2代入①、③，则得
U1 R1 R2 i2 U c 2
ts 0
拉氏变换函数 （象函数）
原函数
衰减因子，其中： τ -时间常数 s = -σ+jω 为拉氏变换算 子，其中： σ-衰减系数 ω -振荡频率（rad/s）
由拉氏变换的定义得1(t)的象函数为
F ( s ) L[1(t )] 1 e dt
st 0
1 st 1 e |0 s s
例2-1： 如图所示，由一RC组成的四端无源网络。 试列写以U1(t)为输入量，U2(t)为输出量 的网络微分方程。
R1 R2
U1
C1
C2
U2
图2-1
RC组成的四端网络
解：设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列写 方程如下：
R1 R2
U1
I1
C1
I2
C2
U2
U1 R1i1 U c1图2-1 ①RC组成的四端网络 1 U i dt 1 ④ c 2 2 ② U c1 C2 (i1 i2 )dt
控制系统数学模型的类型
时域（t）模型 微分方程
复域（S）模型 传递函数
结构图=原理图 ＋传递函数
频域（ω）模型 频率特性
常见数学模型： 时域：微分方程；差分方程；状态方程 复数域：传递函数 频域：频率特性
表达形式 时域：微分方程、差分方程、状态方程 复域：传递函数、动态结构图 频域：频率特性
自动控制原理第二章
传递函数与结构图
R(s)
Φ(s)
C(s ) (s ) R (s )
C(s)
1 Y( s ) X(s) Ts 1
X(s)
R(s)•Φ(s)=C(s)
R(s)
1 Ts 1
Y(s)
Φ(s)
C(s)
电阻、电容、电感
+ i(t) R –
u(t)= i (t)· R
u(t )
i(t) C
Ur (s)
RC电路
1 I(s) R
UC (s)
1 sc
UC (s)
信号线、综合点、方框和引出点。
绘制动态结构图的一般步骤为:
（1）确定系统中各元件或环节的传递函数。
（2）绘出各环节的方框，方框中标出其传 递函数、输入量和输出量。
（3）根据信号在系统中的流向，依次将各 方框连接起来。
操纵手柄
W1 电位器对 W2
+ i(t) R –
u(t ) Ri( t )
u(t )
i(t) C
u(t) i( t ) R
+
–
u(t )
+ i(t) L
1 du ( t ) u ( t ) i( t )dt i( t ) C C dt di ( t ) u(t) L dt 1 i( t ) u ( t )dt L
将分子与分母多项式分别用因式连乘的形式来表示，即
电阻、电容、电感
+ i(t) R –
u(t)= i (t)· R
u(t )
i(t) C
u(t) i(t)= R
U( s ) R I (s )
–
+
u(t )
自动控制原理第二章
x m
x i
K2 K1
x o
K2 f
xo
x o
K1 K2 K1
x o
K2 f
xo
x i
xo
f
K1K2 (K1 K2)
xo
K1 K1 K2
x i
二、控制系统的微分方程的建立
+E
R1
R0
ur
A+
+ u1
R0
Rb
R0 B
R0
+
+ u+2
Rb
功率 放大器
uf
+ ua -
-
TG
+
+ -
减速器
负载
M ω
R
u(r t) i(t)
C
uc(t)
F(t)
k
m f
x(t)
解：输入转矩要克服
M(t)
J
k1
θ
f1
1.弹簧与角位移成正比的弹性扭矩 J1 k1(t)
2.阻尼器与角速度成正比的摩擦阻力矩
J2
f1
d (t)
dt
由牛顿第二运动定律
d2(t)
M(t)J1 J2 J dt2
M(t)
k1(t)
f1
d(t)
dt
4）整理，与输入有关的放在等号右面，与输出有关的放在等 号左面，并按照降阶次进行排列。
习题 弹簧—阻尼器系统
A : Fi K1( xi xm )
B :
Fm f ( x m xo )
Fo K2 x0
K1( xi xm ) f ( xm xo ) K2 xo
K1 x m K1 x i K 2 xo
自动控制原理第二章
解.
求
t2
L
2
?
L t2 2 L
t2 t dt
2 11
t dt s s2
1 t2
s2
1 s3
t0
2-1 控制系统的时域数学模型
（4）实位移定理 L f (t 0 ) eτ0s F(s)
证明：左
0
f (t
0 ) etsdt
令 t 0
f ( ) es( 0 )d e0s f ( ) e sd 右
1 2j
1
s
j
e (s j)t
0
1
s j
e (s j)t
0
1 1
1 1 2 j
2j
s
j
s
j
2j
s2
2
s2
2
2-1 控制系统的时域数学模型
■拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
（2）微分定理 L f t s F s f 0
uc
(t)
ur
(t)
d 2 y(t) m
f
dy(t)
ky(t)
F (t)
dt 2
dt
2-1 控制系统的时域数学模型
2.非线性微分方程线性化
实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等非线性 特性，严格地讲，任何一个元件或系统都不同程度地具 有非线性特性。
在研究系统时尽量将非线性在合理、可能的条件下 简化为线性问题，即将非线性模型线性化。
则系统的微分方程为
J
d 2
dt 2
f
d
dt
Mi
2-1 控制系统的时域数学模型
求
t2
L
2
?
L t2 2 L
t2 t dt
2 11
t dt s s2
1 t2
s2
1 s3
t0
2-1 控制系统的时域数学模型
（4）实位移定理 L f (t 0 ) eτ0s F(s)
证明：左
0
f (t
0 ) etsdt
令 t 0
f ( ) es( 0 )d e0s f ( ) e sd 右
1 2j
1
s
j
e (s j)t
0
1
s j
e (s j)t
0
1 1
1 1 2 j
2j
s
j
s
j
2j
s2
2
s2
2
2-1 控制系统的时域数学模型
■拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
（2）微分定理 L f t s F s f 0
uc
(t)
ur
(t)
d 2 y(t) m
f
dy(t)
ky(t)
F (t)
dt 2
dt
2-1 控制系统的时域数学模型
2.非线性微分方程线性化
实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等非线性 特性，严格地讲，任何一个元件或系统都不同程度地具 有非线性特性。
在研究系统时尽量将非线性在合理、可能的条件下 简化为线性问题，即将非线性模型线性化。
则系统的微分方程为
J
d 2
dt 2
f
d
dt
Mi
2-1 控制系统的时域数学模型
自动控制原理(王万良)第二章
18
考察单位脉冲输入信号下系统的输出
单位脉冲输入信号的拉氏变换为1
U (s) = L{δ (t)} = 1
U(s) 系统G(s) Y(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出的拉氏变换为
Y(s) = G(s)
1 系统G(s) Y(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出为
g(t) = L−1{Y(s)} = L−1{G(s)} δ(t)
2
2.1 系统数学模型的概念
自控理论方法是先将系统抽象完数学模型，然后用数学的方法处理。 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量） 之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。
F(t)
m
f
X(t)
d 2 X (t) m
+
f
dX (t)
+ kX (t)
=
F (t)
dt 2
dt
＋ ur(t) －
相应的传递函数为： G (s) = C (s) = 3s 2 + 5s + 1 R(s) s3 + s2 + 4s
练习2
已知某系统传递函数为：
G(s) = C(s) = 3s2 + 2s +1 R(s) s3 + 4s +1
相应的微分方程为： c (t) + 4c(t) + c(t) = 3r(t) + 2r(t) + r(t)
惯性环节: 从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要经过一段
时间之后才接近所要求的输出值；
延迟环节: 从输入开始后在0－τ时间内没有输出，在t =τ之后，才有输出。
r(t) c(t)
0τ
24
自动控制原理第二章
1 ui (t ) 1(t ), U i ( s) s Ui 0.1s 0.2 1 1 u0 (t ) L [U 0 ( s )] L [ 2 2 ] s s 1 s s 1 1 0.1s 0.2 1 L [ 2 ] 2 s ( s s 1) s s 1
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
输入： Fi 1(t )
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
相似系统
RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系 统的数学模型均是二阶微分方程，为相似 系统。 相似系统便于用一个简单系统去研究与其 相似的复杂系统，也便于控制系统的计算 机数字仿真。
化的过程。
4、线性系统的基本特性 叠加性：系统在几个输入信号同时作用 下的总响应，等于这几个输入信号单独 作用的响应之和。
如果元件输入为： r1(t)、r2(t)、r(t) ，
对应的输出为： c1(t)、c2(t)、c(t) 。
如果 r(t)=r1(t)+r2(t) 时， c(t)=c1(t)+c2(t) 满足叠加性。
满足齐次性。
满足叠加性和齐次性的元件才是线性元件
例如 y=kx 是线性元件
输入 x1 输出 y1=kx1 x2 输入x1 ＋x2 C为常数， Cx1 y2=kx2 y1 ＋ y2 满足迭加性 Cy1 满足齐次性
所表示的元件 为线性元件
线性方程不一定满足迭加性和齐次性
y=kx+b(b为常数 0)线性方程，所表示的元件不是 线性元件 . 输入 x1y1 输出 y1＝ kx1+b x2 y2 y2 =kx2+b 输入 x1 ＋ x2 输出 y=k(x1 ＋ x2)+b =k x1 +kx2+b y1 +y2 不满足迭加性 k为常数 :kx1输出y=k(kx1)+b=k2x1+b ky1=k(kx1+b)= k2x1+kb yky1 不满足齐次方程。 所表示的元件不是线性元件。
自动控制原理-第二章全
其中： fs (t) Kx(t)
弹簧力
fd (t)
阻尼力
B
dx(t dt
)
m
K
B
所以有：
m
d 2 x(t) dt 2
B
dx(t) dt
Kx(t)
f
(t)
特点：f (t) 为作用于各部件的诸力之和，而每一个部件变化
了相同的位移x(t) 。
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 元件和系统微分方程的建立
A1(0.5 j0.866) A2 (0.5 j0.866)
使等号两端的实部和虚部分别相等有 解之得 A1 1, A2 0
0.5.866
所以
F (s)
1 s
s2
s s 1
1 s
(s
s 0.5 0.5)2 (0.866 )2
（4）对部分分式进行拉式反变换，即得微分方程 的解。
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
例：已知
d 2 xc dt 2
5 dxc dt
6xc
6u(t)
u(t) 1(t)
设初始条件为 xc (0) 2, xc (0) 2 求输出量 xc (t)
解： 将微分方程取拉氏变换
(s
0.5 0.5)2 (0.866 )2
所以 f (t) 1 e0.5t cos 0.866 t 0.57e0.5t sin 0.866 t
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
例：已知
F (s)
s2 s2
9s 33 6s 34
求 f (t) L1 F (s)
F (s) M (s) A1 A2 An
《自动控制原理》第2章 拉氏变换与拉氏反变换
=
(s
+
s+a a)2 +
2
（四）有理分式的拉氏反变换
Ch2 控制系统的数学模型
F (s)
=
B(s) A(s)
=
b0 s m a0 s n
+ b1sm−1 + a1sn−1
++ bm ++ an
(m n)
定义: F(s) 的零点：B(s)=0的解 zj F(s)的极点：A(s)=0的解 pi F(s)的特征多项式：A(s)
c1
=
F (s)s
s=0
=
s+2 (s + 3)(s +1)2
s=0
=
2 31
=
2 3
c2
=
F (s)(s
+ 3)
s = −3
=
s+2 s(s +1)2
s = −3
=
−1 − 3 4
=
1 12
Ch2 控制系统的数学模型
c3
=
F (s)(s
+ 1) 2
s = −1
=
s+2 s(s + 3)
s = −1
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
或 相似定理
Ch2 控制系统的数学模型
设 p1 = + j, p1 = − j,
自动控制原理第二章
解 根据系统的物理特性，可写出以下微 分方程
ui (t ) − uc (t ) = uo (t ) duc (t ) uc (t ) + i (t ) = C dt R1 uc (t ) = R2i (t )
进而可得
U i ( s) − U c ( s) = U o (s) R1Cs + 1 U c ( s) I (s) = R1 U o ( s ) = R2 I ( s )
2.2传递函数 传递函数
引言： 引言：传递函数是在拉氏变换基础上引 申出来的复数域数学模型。传递函数不 仅可以表征系统的动态特性，而且可以 用来研究系统的结构或参数变化对系统 性能的影响。经典控制理论中广泛应用 的根轨迹法和频域法，就是以传递函数 为基础建立起来的。因此，传递函数是 经典控制理论中最基本也是最重要的数 学模型。
传递函数的零点和极点 零点：传递函数中分子多项式为零的值称为传 递函数的零点，通常用Zi 表示，在复平面坐标 中用“0”表示。 极点：传递函数中分母多项式为零的值，称为 传递函数的极点，通常用Pj表示，在复平面坐 标中用“X”表示。
零、极点可以是实数、复数（若为复数则 共轭成对出现），在复平面上总能找到 相对应的一点，故系统的传递函数与复 平面有相应的对应关系。因此在传递函 数分子多项式和分母多项式互质时，传 递函数的零、极点分布图也表征了系统 的动态性能。
(2-2)
传递函数是在零初始条件下定义的。零 初始条件有两方面含义：一是指输入是 在 t = 0 以后才作用于系统，因此，系统 输入量及其各阶导数在 t ≤ 0 时均为零； 二是指输入作用于系统之前，系统是 “相对静止”的，即系统输出量及各阶 t≤0 导数在 时的值也为零。
自动控制原理第二章
i(t) C duo (t) dt
消去中间变量i (t )，可得
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
第一节 控制系统微分方程的建立
2、机械位移系统
一个由弹簧-质量-阻尼器组成的机械平移系统如图所示。m为物体质量，k为
弹簧系数，f 为粘性阻尼系数，外力x(t)为输入量，位移y(t)为输出量。列写系统
y
y0+△y y0
AB
A点：r=r0 , y=y0 ,且y0=f(r0)
B点：当r变化△ r， y=y0+△ y
0
r0
r0+△r
函数在（r0 , y0 ）点连续可微，在A点展开成泰勒级数，即
y
f
(r0
)
df (r dr
)
r
r0
(r r0 )
1 d 2 f (r)
例1 已知 F(s) 1 ，求 f (t) ? s(s a)
解.
F(s) 1 (s a)-s a s(s a)
1 a
1 s
s
1 a
f(t) 1 1 eat a
第二节 拉氏变换及其应用
用留数法分解部分分式
一般有 设
F (s)
B(s) A(s)
n
Ci
s s1 s s2
s sn i1 s si
Ci
lim (s
ssi
si
) F(s)
其中：
B(s) Ci A(s) ssi
消去中间变量i (t )，可得
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
第一节 控制系统微分方程的建立
2、机械位移系统
一个由弹簧-质量-阻尼器组成的机械平移系统如图所示。m为物体质量，k为
弹簧系数，f 为粘性阻尼系数，外力x(t)为输入量，位移y(t)为输出量。列写系统
y
y0+△y y0
AB
A点：r=r0 , y=y0 ,且y0=f(r0)
B点：当r变化△ r， y=y0+△ y
0
r0
r0+△r
函数在（r0 , y0 ）点连续可微，在A点展开成泰勒级数，即
y
f
(r0
)
df (r dr
)
r
r0
(r r0 )
1 d 2 f (r)
例1 已知 F(s) 1 ，求 f (t) ? s(s a)
解.
F(s) 1 (s a)-s a s(s a)
1 a
1 s
s
1 a
f(t) 1 1 eat a
第二节 拉氏变换及其应用
用留数法分解部分分式
一般有 设
F (s)
B(s) A(s)
n
Ci
s s1 s s2
s sn i1 s si
Ci
lim (s
ssi
si
) F(s)
其中：
B(s) Ci A(s) ssi
自动控制原理—第二章
M（s）──传递函数的分子多项式； N（s）──传递函数的分母之多项式。
2．2．2 传递函数的性质
1. 传递函数它只适用于线性定常系统，且只能反映零初始条件下的全部 运动规律。
2. 传递函数是s的复变函数，其M（s）、N（s）的各项系数均由系统或 元件的结构参数决定，并与微分方程式中的各项系数一一对应。 3. 传递函数表征系统或元件本身的特性，而与输入信号无关，但它不能 反映系统或元件的物理结构。也就是说，对于许多物理性质截然不同的 系统或元件，它们可以有相同形式的传递函数。 4. 由于能源的限制和实际系统或元件总是具有惯性的缘故，其输出量不 可能无限制上升，因而有：n≥m。 5. 传递函数表征输入输出信号间的信号传递关系，因此对于同一系统， 选取不同的输入、输出变量，传递函数将不同。 6. 传递函数还可以用下式表达：
由线性系统的齐次性和叠加性可知：作用于线性定常系统的多 个输入信号（它们可以作用于不同的输入端）的总的响应等于 各个输入信号单独作用时产生的响应的代数和。 线性系统的这两个重要性质使得线性定常系统的分析大为简化。
例5求例1的RLC串联电路的传递函数.
列写微分方程的一般步骤
确定元件的input量和output量，并引入 必要的中间变量 根据物理或化学定律，列微分方程 消去中间变量，得出元件的数学模型
2．1．1 电气系统
电气系统中最常见是由电阻、电感、电容、运算放大器
等元件组成的的装置,其电路又称电气网络。像电阻、电
感、电容这类本身不含有电源的器件称为无源器件，像运 算放大器这种本身包含电源的器件称为有源器件。仅由无 源器件组成的电气网络称为无源网络。如果电气网络中包 含有源器件或电源，就称为有源网络．
自动控制原理(王万良)第二章
惯性环节: 从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要经过一段
时间之后才接近所要求的输出值；
延迟环节: 从输入开始后在0－τ时间内没有输出，在t =τ之后，才有输出。
r(t) c(t)
0τ
24
2.4 结构图
2.4.1 结构图的基本组成 控制系统的结构图是系统数学模型的图解形式； 结构图可以形象直观地描述系统中各元件间的相互
2
2.1 系统数学模型的概念
自控理论方法是先将系统抽象完数学模型，然后用数学的方法处理。 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量） 之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。
F(t)
m
f
X(t)
d 2 X (t) m
+
f
dX (t)
+ kX (t)
=
F (t)
dt 2
dt
＋ ur(t) －
ห้องสมุดไป่ตู้
±
Q(s)
1/G (s)
C(s) = [R(s) ± Q(s) ]G(s) G(s)
30
◆ 比较点后移：
R(s)
±
C(s) G (s)
Q(s) C (s) = [R(s) ± Q(s)]G(s)
R(s) G (s)
Q(s) G (s)
C(s)
±
C (s) = R(s)G (s) ± Q(s)G (s)
G1(s)
U1
+
C(s)
+
G2(s) U2
思考：多个环节并联？
? R(s)
C(s) G1(s)+G2(s)
结论：并联的总传递函数等于各个方框传递函数的代数和。
27
时间之后才接近所要求的输出值；
延迟环节: 从输入开始后在0－τ时间内没有输出，在t =τ之后，才有输出。
r(t) c(t)
0τ
24
2.4 结构图
2.4.1 结构图的基本组成 控制系统的结构图是系统数学模型的图解形式； 结构图可以形象直观地描述系统中各元件间的相互
2
2.1 系统数学模型的概念
自控理论方法是先将系统抽象完数学模型，然后用数学的方法处理。 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量） 之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。
F(t)
m
f
X(t)
d 2 X (t) m
+
f
dX (t)
+ kX (t)
=
F (t)
dt 2
dt
＋ ur(t) －
ห้องสมุดไป่ตู้
±
Q(s)
1/G (s)
C(s) = [R(s) ± Q(s) ]G(s) G(s)
30
◆ 比较点后移：
R(s)
±
C(s) G (s)
Q(s) C (s) = [R(s) ± Q(s)]G(s)
R(s) G (s)
Q(s) G (s)
C(s)
±
C (s) = R(s)G (s) ± Q(s)G (s)
G1(s)
U1
+
C(s)
+
G2(s) U2
思考：多个环节并联？
? R(s)
C(s) G1(s)+G2(s)
结论：并联的总传递函数等于各个方框传递函数的代数和。
27
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C3
交换分支点
C2
合并分支点
C1
C3
C1
R
R
C2
C3
2.4 控制系统方框图
例：
R(s)
G4 ( s)
G1 (s) G2 ( s )
+
C (s )
G3 ( s)
-
H (s)
G4 ( s )
R(s)
G1 (s)
G2 ( s )
+ -
+
G3(s)
G2 ( s )
C (s)
H (s)
R(s)
G1 (s)G2 (s) G4 (s)
2.2 微分方程
2.2 微分方程
2.2 微分方程
2.3 传递函数
一、传递函数定义
零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏 变换之比。
dn d n1 d dm d m1 d a0 n c(t ) a1 n1 c(t ) an1 c(t ) an c(t ) b0 m r (t ) b1 m1 r (t ) bm1 r (t ) bmr (t ) dt dt dt dt dt dt
2.4 控制系统方框图
二、方框图组成 方框：表示输入到输出单向传输的函数关系。 信号线： 带有箭头的直线，箭头表示信号的流向。
R(s) C(s)
G(s)
信号线
方框
2.4 控制系统方框图
相加点（比较点）：两个或两个以上的信号进行 加减比较的点。
R1(s) _ + R2(s) R1(s) _ R2(s) R3(s) R2(s) R1(s) _ R2(s)+R3(s) R1(s) _ R2(s) R1(s)
中间变量至少要在一个方程的左边出现一次；
输入量至少要在一个方程的右边出现一次。
2、从包含输入量的方程开始绘制方框图，直到包含系统输出 量的方程(方程的乘除用串联环节、加减用比较点表示)。 3、根据信号的流向将各方框依次连接，相同名称的信号用分
支点连接到一起。
例：
2.4 控制系统方框图
四、方框图化简 1. 串连环节的简化
H (s)
CR ( s ) G1 ( s)G2 ( s ) R (s) R( s) 1 G1 ( s)G2 ( s ) H ( s )
CR ( s ) R ( s ) R ( s ) G1 ( s)G2 ( s ) R( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
二阶微分环节
C ( s) G( s) s 1 R( s )
d 2 r (t ) dr (t ) 2 c(t ) 2 r (t ) 2 dt dt C (s) 2 2 G (s) s 2 s 1 R(s)
2.3 传递函数
惯性环节
零初始条件： c(t ) ，r (t ) 及其各阶导数在t=0时的值均为零。
2.3 传递函数
例
R
u1
L
C
d 2u 2 du 微分方程： LC 2 RC 2 u2 u1 dt dt
u2
U 2 ( s) 1 传递函数： U1 ( s ) LCs 2 RCs 1
Fi
K
d2y dy Ky Fi 微分方程： m 2 f dt dt
G2 ( s) F ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
2.4 控制系统方框图
当控制输入R(s)与扰动F(s)同时作用于系统时，系统 的输出：
C ( s ) R ( s ) R( s ) F ( s ) F ( s )
G1 ( s)G2 ( s) H ( s) G2 ( s) R( s ) F ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
U 2 ( s) Z1 R2 G (s) U1 ( s ) R1 R1 ( R2Cs 1)
2.3 传递函数
1 U (s) 1 G ( s) 2 Cs U 1 (s) R RCs
G(s)
U 2 (s) R RCs 1 U1 ( s ) Cs
2.3 传递函数
G3 (s) 1 G2 (s)G3 (s) H (s)
C (s)
例：
1 R1
1 C1 S
1 R2
1 C2 S
R1
C2 S
1 C1 S
1 R1
1 R2
1 C2 S
R1
C2 S
1 C1 S
1 R1
1 R2
1 C2 S
RC2 S 1
U i
1 1 R1C1 S
1 1 R2 C 2 S
Uo
2.4 控制系统方框图
2.1 引言
三、建模方法
分析法（理论建模） 根据系统中各元件所遵循的客观（物理、化学等）规 律和运行机理，列写运动方程。 实验法（系统辨识） 给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当 的数学模型去逼近系统的输入输出特性。
2.2 微分方程
一、 理想元件的微分方程
2.2 微分方程
2.2 微分方程
第二章 系统的数学模型
引言
系统微分方程的建立
控制系统的传递函数 制系统的框图 信号流程图 本章小结
2.1 引言
分析 系统数 学模型
时域法
根轨迹法
频域法
性能 指标
校正
2.1 引言 一、数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学 表达式。
二、数学模型种类
微分方程、传递函数、结构图、频率特性等。
2.4 控制系统方框图
偏差信号对于扰动输入的传递函数
F (s )
R (s )
E (s )
G1 ( s )
G2 ( s)
C (s )
Y (s )
H (s )
令R(s)=0
传递函数的零极点表达式： G( s) N ( s) k ( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) D( s ) ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
2.4 控制系统方框图
一、方框图概念
表示输 入信号在系统各部分传递过程。
2.4 控制系统方框图
2）偏差信号对于参考输入的传递函数
F (s )
R (s )
E (s )
G1 ( s )
G2 ( s )
C (s )
Y (s )
H (s )
R (s )
令F(s)=0
E (s )
H (s)
G2 ( s)
G1 ( s )
E (s) 1 1 E ( s) R( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1 G ( s) H ( s)
C ( s) s G( s) e R( s )
2.3 传递函数
三、电气网络传递函数
1 运算阻抗 R R , L Ls ,C Cs
U 2 (s) 1 G (s) U1 ( s ) R 1 RCs 1 Cs
1 Cs
2.3 传递函数
1 R2 Cs Z1 1 R2 Cs 1 R2 Cs R2
前向通道 反馈通道
G(s)
H (s)
开环传递函数
G( s ) H ( s )
2.4 控制系统方框图
4.相加点和分支点的移动
x1
G (s )
x2 x3 x2
分支点
x1
G (s ) G (s )
x2
x3 x2
前移
x1
G (s )
x2 x3 x1
分支点 后移
x1
G (s)
1 G (s)
x2
x3 x1
2
(0 1) (0 1)
2.3 传递函数
积分环节
C ( s) 1 c(t ) r (t )d(t ) G ( s) R( s ) s
放大环节（比例环节）
c(t ) Kr(t )
延迟环节
C ( s) G(s) K R( s )
c(t ) r (t )
m
f
y
Y (s) 1 传递函数： Fi ( s ) ms 2 fs K
2.3 传递函数
二、基本环节的传递函数
纯微分环节
dr (t ) c(t ) d(t )
C ( s) G( s) s R( s )
一阶微分环节
dr (t ) c(t ) r (t ) dt
例：
R (s )
F (s )
E (s )
G1 ( s )
G2 ( s)
C (s )
Y (s )
H (s)
求该系统输出C(s)和偏差E(s) ?
2.4 控制系统方框图
（令F(s)=0） 解：1）输出对于参考输入的闭环传递函数
R (s )
E (s )
G1 ( s )
G2 ( s)
CR ( s )
Y (s )
T dc(t ) c(t ) r (t ) dt G( s) C ( s) 1 R( s) Ts 1
振荡环节
d 2 c(t ) dc(t ) T 2 T c(t ) r (t ) 2 dt dt C ( s) 1 G ( s) 2 2 R( s ) T s 2 Ts 1
2.4 控制系统方框图
输出对于扰动输入的闭环传递函数 （令R(s)=0）
F (s )
G2 ( s)
CF ( s )