同步测控优化训练：1.1.1 集合的含义与表示

第一章 集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示5分钟训练 (预习类训练，可用于课前)1.下列说法正确的是( )A.2004年雅典奥运会的所有比赛项目组成一个集合B.某个班年龄较小的学生组成一个集合C.集合{1，2，3}与{3，1，2}表示不同的集合D.1，0.5，23，21组成的集合有四个元素 思路解析：考查集合元素的三个性质：确定性、互异性、无序性.A 中各比赛项目是确定的且各不相同的，∴A 正确.B 中元素是不确定的，C 中两集合是相等的，D 中有3个元素，∴选A.答案：A2.用符号∈或∉填空.(1)3.14_________Q ，0_________ N ，2_________ Z ，(-1)0_________ N ，0_________∅； (2)23__________{x|x<11},32__________｛x ｜x ＞4｝，2+5__________｛x ｜x ≤2+3｝；(3)3__________｛x ｜x=n 2+1，n ∈N ｝，5_________｛x ｜x=n 2+1，n ∈N ｝；(4)(-1，1)_________ ｛y ｜y=x 2｝,(-1,1)__________｛(x,y)｜y=x 2｝.思路解析：分清元素与集合之间的关系.(1)∈ ∈ ∉ ∈ ∉ (空集不含任何元素) (2)23＝1112>，32＝1618>＝4，2)52(52+=+ =12271027+<+ ＝32)32(2+=+，故填∉,∈,∈.(3)令n 2+1=3，n ＝±2，n ∉N.令n 2+1＝5，n ＝±2，2∈N ，故填∉,∈.(4)(因为｛y ｜y ＝x 2｝中元素是数，而(-1，1)代表一个点),故填∉,∈.答案：(1)∈ ∈ ∉ ∈ ∉ (2) ∉ ∈ ∈ (3) ∉ ∈ (4) ∉ ∈3.试用适当的方法表示下列集合.（1）24的正约数；（2）数轴上与原点的距离小于1的所有点；（3）平面直角坐标系中，Ⅰ、Ⅲ象限的角平分线上的所有点；（4）所有非零偶数；（5）所有被3除余数是1的数.思路解析：用列举法或描述法表示集合.无限集一般用描述法表示；当有限集中的元素个数不多便于枚举时，采用列举法表示.答案：（1）{1，2，3，4，6，8，12，24}；（2）{x||x|＜1}；（3）{（x ，y ）|y=x}；（4）{x|x=2k ，k ∈Z ，k ≠0}或{x|2x ∈Z 且x ≠0}； （5）{x|x=3k+1，k ∈Z }.10分钟训练 (强化类训练，可用于课中)1.下列各组对象能否构成一个集合?指出其中的集合是无限集还是有限集?并用适当的方法表示出来.(1)直角坐标平面内横坐标与纵坐标互为相反数的点；(2)高一数学课本中所有的难题；(3)方程x 4+x 2+2=0的实数根；(4)图中阴影部分的点(含边界上的点).思路解析：根据集合中元素的特点解答，只要对象是确定的，看作一个整体，便形成一个集合，否则，不然.解：(1)是无限集合.其中元素是点，这些点要满足横坐标和纵坐标互为相反数.可用两种方法表示这个集合：描述法：｛(x,y)｜y ＝-x ｝；图示法：如图中直线l 上的点.(2)不是集合.难题的概念是模糊的不确定的，实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”.因而这些难题不能构成集合.(3)是空集.其中元素是实数，这些实数应是方程x 4+x 2+2=0的根，这个方程没有实数根，它的解集是空集.可用描述法表示为：∅或者｛x ∈R ｜x 4+x 2+2=0｝.(4)是无限集合.其中元素是点，这些点必须落在题图的阴影部分(包括边界上的点). 题图本身也可看成图示法表示，我们还可用描述表示这个集合：｛(x,y)｜-1≤x ≤2，-25≤y ≤2，且xy ≤0｝. 2.下面有四个命题：①集合N 中的最小元素为1；②方程（x-1）3（x+2）（x-5）=0的解集含有3个元素；③0∈∅；④满足1＋x ＞x 的实数的全体形成集合.其中正确命题的个数是 …( )A.0B.1C.2D.3思路解析：集合N 表示自然数集，最小的自然数是0，故①不对；据集合中元素的互异性知方程（x －1）3（x+2）（x －5）=0有3个不同的解1、－2、5，所以②对；空集不含有任何元素，故③错，容易误以为0∈∅.若认为0∈∅，表明了空集中有一个元素0.而事实上空集中不含有任何元素，当然也就不会有元素0了.1＋x ＞x 表示x 可以为任意实数，因此④对，故选C.答案：C3.（1）实数a 、b 满足关系_________时，集合A={x|ax+b=0}是有限集；（2）a 、b 满足关系_________时，集合A={x|ax+b=0}为无限集；（3）a 、b 满足关系_________时，集合A={x|ax+b=0}为空集.思路解析：（1）集合A={x|ax+b=0}是有限集，即方程ax+b=0有有限个解，即x=-a b 存在.因此a ≠0，b ∈R .（2）集合A={x|ax+b=0}是无限集，即方程ax+b=0有无数多个解.∴a=b=0.（3）集合A={x|ax+b=0}为空集，即方程ax+b=0无解.∴a=0，b ≠0.答案：(1)a ≠0，b ∈R (2)a=b=0 (3)a=0，b ≠04.下面有五个命题：①若-a ∈N ，则a ∈N ；②若a ∈N ，b ∈N ，则a+b 的最小值是0；③x 2+4=4x 的解集可表示为{2，2}；④高一（6）班个子较高的学生可构成一个集合.其中正确命题的序号是_________.思路解析：N 是自然数集，∴-a ∈N ，则a ∈N 不正确；x 2+4=4x 的解集为{2}，单元素集；个子较高的学生是不确定的.∴只有②正确.答案：②5.设A={4,a},B={2,ab},若A=B,则a+b=_________.思路解析：两个集合相等，则两集合的元素完全相同，则有a=2,ab=4,将a=2代入ab=4,得b=2.∴a+b=4.答案：4人6.已知集合A=｛p ｜x 2+2(p-1)x+1=0,x ∈R ｝，求一次函数y=2x-1，x ∈A 的取值范围.思路解析：关键是理解集合A 中元素的属性.p 的取值范围必须满足关于x 的一元二次方程x 2+2(p-1)x+1=0有实数根.解：由已知，Δ＝4(p-1)2-4≥0，得p ≥2或p ≤0.所以A ＝｛p ｜p ≥2或p ≤0｝.因为x ∈A ，所以x ≥2或x ≤0.所以2x-1≥3或2x-1≤-1.所以y 的取值范围是｛y ｜y ≤-1或y ≥3｝.快乐时光道破天机父亲心血来潮，测试儿子：“宝贝，你晓得什么话能一语道破天机吗？”“爸爸，”儿子很快回答：“天气预报!”30分钟训练 (巩固类训练，可用于课后)1.下面六种表示法：①｛x=-1，y=2｝;②｛(x,y)｜x=-1,y=2｝;③｛-1，2｝;④(-1，2);⑤｛(-1，2)｝;⑥｛(x,y)｜x=-1或y=2｝，能正确表示方程组⎩⎨⎧=+-=+03,02y x y x 的解集的是( ) A.①②③④⑤⑥ B.①②④⑤C.②⑤D.②⑤⑥思路解析一（直接法）:由于此方程组的解是⎩⎨⎧=-=,2,1y x ，因而写成集合时，应表示成一对有序实数(-1，2).因为｛(x,y)｜⎩⎨⎧=+-=+0302y x y x ｝＝｛(x,y)｜⎩⎨⎧=-=21y x ｝＝｛(-1，2)｝，故选C.思路解析二（排除法）：集合①既非列举法，又非描述法.集合③表示由-1和2两个数组成的集合.④是一个点.⑥中的元素是(-1，y)或(x,2)，x 、y ∈R 是一个无限集.以上均不合题意.故选C.答案：C2.已知x 、y 、z 为非零实数，代数式xyzxyz z z y y x x ||||||||+++的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A.0∉MB.2∈MC.-4∉MD.4∈M思路解析：分4种情况讨论：x 、y 、z 中三个都为正，代数式值为4；x 、y 、z 中两个为正，一个为负，代数式值为0；x 、y 、z 中一个为正，两个为负，值为0；x 、y 、z 都为负数时，代数式值为-4.∴选D.答案：D3.已知集合S={a ，b ，c}中的三个元素可构成△ABC 的三条边长，那么△ABC 一定不是 …( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形 思路解析：由集合元素的互异性，知a 、b 、c 各不相同.∴选D.答案：D4.已知x ∈{1，2，x 2}，则x=_________.思路解析：由集合的定义可建立方程求解.答案：0或25.已知A=｛x ｜x=a+b2，a 、b ∈Z ｝，判断下列元素x 与集合A 之间的关系：(1)x=0; (2)x=321+; (3)x=249+.思路解析：研究元素与集合的关系，一要注意集合的表示方法(列举法或描述法)，二要准确判断元素的属性.x 与A 的关系只有x ∈A 和x ∉A 两种.判断x 是不是A 中的元素，即观察x 能否写成a+b2(a 、b ∈Z )的形式.解：(1)因为0=0+0×2，所以0∈A.(2)因为x=321+=23-，无论a 、b 为何整数，a+b 2=23-不能成立，所以x=321+∉A. (3)因为x=2)122(249+=+=1+22，所以249+∈A. 6.已知f(x)=x 2-ax+b(a 、b ∈R )，A=｛x ｜f(x)-x=0,x ∈R ｝，B=｛x ｜f(x)-ax=0,x ∈R ｝，若A=｛1，-3｝，试用列举法表示集合B.思路解析：集合B 是方程f(x)-ax=0的解集；要求集合B ，需设法求出a 、b 的值，于是可通过集合A=｛1，-3｝为突破口来寻找本题的解题途径.解：f(x)-x=0，即x 2-(a+1)x+b=0.∵A=｛1,-3｝,∴由韦达定理得⎩⎨⎧=-⨯+=-+.)3(1,1)3(1b a ∴⎩⎨⎧-=-=.3,3b a ∴f(x)=x 2+3x-3.f(x)-ax=0，亦即x 2+6x-3=0，∴B=｛x ｜x 2+6x-3=0｝=｛-3-23,-3+23｝.7.在任意两个正整数m 、n 间定义某种运算(用⊗表示运算符号)：当m 、n 都为正偶数或都为正奇数时，m ⊗n=m+n ，如4⊗6=4+6=10，3⊗7=3+7=10，当m 、n 中一个为正奇数，另一个为正偶数时，m ⊗n=mn ，如3⊗4=3×4=12，4⊗3=4×3=12.则在上述定义下，集合M=｛(a,b)｜a ⊗b=36，a 、b ∈N ｝中的元素个数为_________.思路解析：在充分理解题目中给出的新的定义的基础上，利用所学的知识求解.分两类：①当m 、n 都为正偶数或都为正奇数时：∵m ⊗n=m+n=36，∴m=1，n=35；m=2，n=34;m=3，n=33；…；m=35，n=1,集合M 共有35个元素.②当m 、n 一个为正偶数，一个为正奇数时，m ⊗n=m ·n=36.又∵1×36=36，3×12=36,4×9=36，∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==,4,99,43,1212,31,3636,1n m n m n m n m n m n m 或或或或或故M 中有6个元素.综上M 中共有6+35=41个元素.答案：418.若1∈{x|x 2+px+q=0}，2∈{x|x 2+px+q=0}，求p 、q 的值.思路解析：首先注意集合的代表元素，然后看元素的特点.由已知两集合中的元素分别为一元二次方程x 2+px+q=0的解，最后利用方程解的定义或根与系数的关系求解.解：方法一：∵1∈{x|x 2+px+q=0}，2∈{x|x 2+px+q=0}，∴1，2都是方程x 2+px+q=0的解，即1，2都适合方程.分别代入方程，得)2()1(,024,01⎩⎨⎧=++=++q p q p ②-①得3+p=0，∴p=-3.代入①，得q=-（p+1）=2.故所求p 、q 的值分别为-3，2.方法二：∵1∈{x|x 2+px+q=0}，2∈{x|x 2+px+q=0}，∴1和2都是方程x 2+px+q=0的解. 由根与系数的关系知⎩⎨⎧=⨯-=+.21,21q p∴p=-3，q=2.故所求p=-3，q=2.9.求：（1）方程x 2-4x+4=0的所有根的和；（2）集合S={x|x 2-4x+4=0}的所有元素的和.思路解析：本题极易忽略的一个问题是，方程根的个数与方程解集中元素的个数不一定相同，由于方程x 2-4x+4=0有两个重根x 1=x 2=2，但其解集中却只有一个元素2，即S={2}，所以两个问题有区别，应用了集合中元素的互异性.解：（1）方程x 2-4x+4=0的所有根的和为4.（2）由于集合S={x|x 2-4x+4=0}={2}，∴S 中所有元素之和为2.10.设S={x|x=m+n 2，m 、n ∈Z }.（1）若a ∈Z ，则a 是否是集合S 中的元素？（2）对S 中的任意两个x 1、x 2，则x 1+x 2、x 1·x 2是否属于S?思路解析：考查集合的元素满足的条件.解：（1）a 是集合S 的元素，因为a=a+0×2∈S.（2）不妨设x 1=m+n 2，x 2=p+q 2，m 、n 、p 、q ∈Z .则x 1+x 2=（m+n 2）+（p+q 2）=（m+n ）+（p+q ）2，m 、n 、p 、q ∈Z .∴x 1+x 2∈S ，x 1·x 2=（m+n 2）·（p+q 2）=（mp+2nq ）+（mq+np ）2，m 、n 、p 、q ∈Z .∴x 1x 2∈S.综上，x 1+x 2、x 1·x 2都属于S.11.向100名学生调查对A 、B 两件事的看法，得到如下结果：赞成A 的人数是全体的53，其余不赞成；赞成B 的人数比赞成A 的人数多3人，其余不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的人数比对A 、B 都赞成的学生数的31多1人，问对A 、B 都赞成的学生数和对A 、B 都不赞成的学生数各有多少人?思路解析：数量关系比较复杂，可采用Venn 图来直观表示.解：赞成A 的人数为100×53 =60， 赞成B 的人数为60+3=63.如图，记100名学生组成的集合为U ，赞成A 的学生的全体记为集合A ，赞成B 的学生的全体记为集合B ，并设对A 、B 都赞成的学生数为x ，则对A 、B 都不赞成的人数为3x +1， 由题意，知（60-x ）+（63-x ）+x+3x +1=100，解得x=36. 所以对A 、B 都赞成的学生数为36人，对A 、B 都不赞成的学生数为13人.12.已知集合A={x ｜ax 2＋2x ＋1=0，a ∈R }，若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个元素.思路解析：集合A 为单元素集，即方程ax 2+2x+1=0有唯一解或两个相等的实数解.由于此方程二次项的系数不确定，所以要对a 分类讨论.弄清集合元素的特征和元素与集合的关系，应用等价转化和分类讨论思想.转化分类时，要注意不重不漏.形如ax 2+2x+1=0的方程让人很容易想当然地认为方程为一个二次方程，而实际上它当a=0时为一个一次方程.解：对a 分类讨论：①a=0时，x=-21； ②a ≠0时，Δ=4-4a=0，所以a=1，此时x=-1.。