3 极值分布的统计推断.

3 极值分布的统计推断统计推断就是依据样本推断总体分布的未知部分。

本章只讨论在已知总体分布为极值分布或属于极值分布最大值吸引场情况下，如何估计其中的未知参数或其它数值特征，如高分位数、尾部特征，如何进行模型的检验等问题。

依照统计学中惯用的记号，以1X ……n X 表示一个随机样本，1x ,……，n x 表示相应的观测值。

前者强调所处理的是独立同分布的随机变量，后者则强调它们是一组实数值。

3.1数据的经验分析给定数据集合1x ,……，n x ，统计分析的目的之一是寻找一个较好的模型拟合这些数据。

为寻求合适的模型，首先必须了解这些数据的统计特征。

我们从散点图开始，因为图形醒目直观，尤其对于大型数据集合，更是如此。

数据的散点图由点（i ，i x ），i =1,2，……组成，从图上可粗略估计数据是否平稳（见4.1节）。

如果平稳，再进一步确认数据是独立同分布还是存在相关性。

大多数情况下，可以假定数据是独立同分布的。

样本1n (,)X X ……，的数字特征能从不同角度综合反映数据的概况，最常用的就是样本的q 阶原点矩（moment of order q about the origin ）,它是观测值q 次幂的算术平均11,n q q i i A X n ==∑和q 阶中心矩(central moment of order q),它是观测值与它们算术平均之差的q 次幂的算术平均11(),nq i i B X X n ==-∑其中 表示样本均值，即一阶原点矩。

一阶中心矩等于零，二阶中心矩即样本方差，记为 ，S 称为样本标准差。

通过样本矩估计总体分布未知参数的方法，既是通常所说的参数矩估计。

样本偏度系数是3阶中心矩与标准差3次幂的比，即()()()331/2113/23/222111()1n n i i i i s n n i i i i X X n X X n b X X X X n ====--==⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑ 若偏度系数小于0，则该分布是一种左偏的分布，又称为负偏。

若偏度系数大于0，则该分布是一种右偏的分布，又称为正偏。

样本偏度系数是4阶中心矩与标准差4次幂的比，即()()()44112222111()1n n i i i i s n n i i i i X X n X X n b X X X X n ====--==⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑也是常用的数字特征，它是分布形状的另一种度量。

2.5节已提到正态分布的峰度为3.若3k b ＞，表示分布有较厚的尾部，说明样本含有较多 远离均值的数据，即通常所说的“尖峰后尾”，金融数据大部分是以峰度判定它的后尾性的。

若对总体分布没有多少认识，样本经验分布不失为一个较好的选择。

假定n n n-1.n 1.n x x x ≤≤≤，……是次序统计量，则样本经验分布函数为,1..1,0,;1(),1,2,1;1,.n n n n i n n i n n x x F x x x x i n n x x -+-⎧⎪⎪==-⎨⎪⎪⎩≤＜≤……，＜有了经验分布函数，不难得到样本分位数函数。

{}1()inf ()(),01n n n q p x F x p F p p -==△≥＜＜，即经验p 分位数，特别，对连续的分布函数F ，我们有1,,()1/1(1)n k n F p X k n p k n -=---＜≤／，其中k=1,……，n 即{}(1)1,n p n X -+是经验p 分位数。

例如95%经验分位数就是 []0.051,n n x +，其中[ y ]表示y 的整数分布。

如果选择适当的分布ˆF 作为样本1n ,X X ……， 的总体分布，则ˆF 必须与经验分布nF 在某种度量上尽可能一致，许多模型就是基于F 和n F 的这种比较。

3.3广义极值分布的参数估计本节主要讨论GEV 分布三个参数的各种估计方法，包括最常用的极大似然估计、概率权矩估计和L 矩估计。

由于极大似然估计的优良性质，R 中的极值统计包括如evir ，evd 和ismev 提供的GEV 分布参数估计的函数都是基于极大似然方法的。

最后还探讨了参数的bayes 估计以及自助（bootstrap ）方法，ebdbayes 包主要处理参数的bayes 估计，至于自助法，可以进一步参阅其他书籍，R 中boot 包提供了更多关于自助法的函数。

3.3.1GEV 模型的建立由定理2.2可知，GEV 分布为区组最大值提供了一个理想的模型。

为此首先按等长度对数据进行分组，并以GEV 分布作为区组最大值序列的模型。

区组大小的选择是关键问题，这需要权衡偏和方差：区组过小使得由定理2.1得到的极限模型与实际模型有较大差别，导致一个有偏估计；区组过大，只能得到少量的区组最大值，由此得到的统计量有较大方差。

在实际应用中，如果只是记录了年最大值，自然形成最大值序列。

如果记录的是每日观测值，一般按年度分组，此时定理2.1独立同分布的条件不满足，它们可能是相关的，但年最大值可以认为是满足定理2.1的条件。

例如，日温度随季节而变化，这不满足i x 具有相同分布的假定。

如果将数据以3各月为一季分组，夏季的最高温度将远大于冬季的最高温度，这种没有考虑到非齐次性的推断会得到不准确的结论。

但如果是以年度分组，由于不同姐姐的日温度各有不同的分布，GEV 分布作为年最高温度近似分布的理由似乎不是很充分，但各个区组最大值有共同分布的假定却是可以将接受的。

为简单起见，记区组最大值序列为1m ,x x ……，，且假定是含有未知参数的GEV 分布的独立观测值。

极值模型参数估计方法，包括图形法、矩法、L 矩法以及基于似然估计的各种方法。

每种方法均有其优劣，但极大似然法是一个比较好的，且是对复杂模型具有易适应性的方法。

3.3.2极大似然估计假定1m X X ，……，是服从GEV 分布的独立随机变量，当0ε≠时，GEV 分布的对数似然函数为1/11(,,)log (11/)log 1()1()mm i i i i x u x u u m ξσξσξξξσσ-==--⎡⎤⎡⎤=--++-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑这里要求1()m i x uξσ-+＞0,i =1，……，否则似然函数值为零，对应的对数似然函数值为-∞当0ξ=时，对数似然函数为式（3.7）。

将式（3.21）关于参数向量（,,μσξ）极大化，得到GEV 分布的极大似然估计.尽管不存在解析解，但对给定的数据，用数值算法可得到极大似然估计值，注意这里始终要求式（3.22）成立。

当ξ在0附近时，对数似然用式（3.7）而不是式（3.21），以避免数值计算时可能遇上的麻烦。

当0.5ξ＞时，极大似然估计量（ˆˆˆ,,μσξ）的渐近分布是多元正态分[]178布，均值向量为（,,μσξ），协方差矩阵为观测信息矩阵0()I θ在极大似然估计值处的逆矩阵。

尽管对极值分布，协方差矩阵1()E I θ-有解析表示，但对一般分布，()E I θ的元素未必有解析表示，因此用数值微分法来计算()θ的二阶导数，并用标准的数值方法计算逆矩阵，即用1ˆ()E I θ-作为（ˆˆˆ,,μσξ）的协方差矩阵，可能会更容易些。

相应的置信区间及其它推断可推断可由估计量的渐近正态性得到。

有了参数的估计值后，就可以进一步估计分位数。

对于0＜p ＜1,由式（2.13）和式（2.14）知分位数p x 的极大似然估计为ˆˆˆ(1,0ˆˆˆˆˆlog ,=0p p p y x y ξσμξξμσξ-⎧--≠⎪=⎨⎪-⎩当；当；其中y log .p p =-而且，由delta 法可知ˆ(),p p Var xx V τ∇∇≈ 其中V 是（ˆˆˆ,,μσξ）的协方差矩阵，px τ∇为12,,(1,(1),(1)log p p p p p p p x x x y y y ξξξξσξσξμσξ-----∂∂∂⎛⎫=---- ⎪∂∂∂⎝⎭在（ˆˆˆ,,μσξ） 处的值。

我们最关心的是当p 很大，即高分位数时的情形。

如果ˆ0ξ＜，可能需要估计分布支撑的上端点n x ，及对应于p = 1时p x 的极大似然估计1ˆˆˆˆ/xμσξ=- 且由式（3.25），知1x τ∇是11(1,,)ξσξ---在（ˆˆˆ,,μσξ）处的值。

当ˆ0ξ＞时，上端点n x 的极大似然估计为∞。

当有讨厌参数（见3.4.3节）时，可以用轮廓似然函数构造感兴趣参数的置信区间，一般对形状参数ξ是最感兴趣的。

为了得到ξ的轮廓似然函数，我们可以假定0=ξξ不变，求式（3.21）关于μ和ξ的极大值，并对一定范围内的0ξ重复此步骤。

这样每给定一个0ξ，就可以得到一个似然函数的极大值，实际上就是ξ的轮廓似然函数值。

在对轮廓似然函数取极大值，对应的ˆξ就是ξ的轮廓似然估计，最后由定理3.5可得到ξ的近似置信区间。

轮廓似然方法也可以用于估计多参数函数的置信区间。

例如，为得到分位数p x 的置信区间，需要重新定义GEV 模型的参数，使p x 是其中一个参数，比如新的参数为p x ，σ和p x ，有关系式[]{}1log ,p x p ξσμξ-=+-- 将式（3.26）打入式（3.21）就可得到GEV 模型关于参数（,,p x σξ）的对数似然函数。

再按照上述方法求出参数p x 的轮廓似然估计ˆp x及轮廓似然置信区间。

使用极大似然法估计GEV 分布不满足这些正则条件，因为GEV 分布的支撑是其参数的函数：0ξ＜时，/μσξ-是分布的上端点；当0ξ＞时，/μσξ-是分布支撑的下端点。

极大似然估计的渐近正态性不一定成立，但有以下结[]179论：1.当0.5ξ＞时，极大似然估计是正则的，即通常的渐进性质成立；2.当0.5ξ-1＜＜时，可得到极大似然估计，但它不具有标准的渐进性质；3. 当1ξ-＜时，得不到极大似然估计。

在0.5ξ≤时，GEV 分布具有非常端点上尾，这种情形在极值的应用中很少见。

因此，上述问题并不妨碍极大似然估计在实际中的应用。

3.3.3 概率权估计在参数估计方法中，矩法是很有意义的一种。

矩法的一般原则是让所有研究的总体分布 (,)F F x θ=的各阶矩与对应的样本矩相等。

因为二阶及高阶样本矩的抽样性质不好，所以矩法的性质一般并不好。

因此引入一类新的矩估计，即概率权矩（probability-weighted moments ）。

首先给出概率权矩的定义，称()0((;)),r r E XF X r N θωθ=∈ 为r 阶概率权矩，更一般定义为3,,()(;)(1(;)).r ts r t E X F X F X ωθθθ⎡⎤=-⎣⎦()r ωθ是,,()s r t ωθ在s=1,t=0是的特殊情况。

我们只考虑X 的分布是参数为(,,)θμσξ=的GEV 分布H 。